Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.28★★Trang 21— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x^{2} + e x + f

Bài 6.28 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

- x^{2} + 77 x - 212 = x^{2} + x - 2

;
b)

x^{2} + 25 x - 26 = x - x^{2}

;
c)

4 x^{2} + 8 x - 37 = - x^{2} - 2 x + 3

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu cùng dạng

f = g

, vế phải là tam thức phân tích được thành tích nên đặt điều kiện cho vế phải là gọn nhất. Câu b có nghiệm làm cả hai biểu thức dưới căn bằng

0

— vẫn là nghiệm. Bẫy ở câu c: phương trình bậc hai có hai nghiệm nhưng cả hai làm biểu thức dưới căn âm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng

Δ^{'}

rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, rút gọn, giải phương trình bậc hai bằng biệt thức thu gọn, rồi thay nghiệm vào biểu thức dưới căn.

- x^{2} + 77 x - 212 = x^{2} + x - 2 \Rightarrow x^{2} - 38 x + 105 = 0

Δ^{'} = 361 - 105 = 256

x = 19 \pm 16

x = 3

x^{2} + x - 2 = 10 > 0

(thoả mãn);

x = 35

1225 + 35 - 2 = 1258 > 0

(thoả mãn)
b)

x^{2} + 25 x - 26 = x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + 12 x - 13 = 0

Δ^{'} = 36 + 13 = 49

x = - 6 \pm 7

x = 1

1 + 25 - 26 = 0 = 1 - 1

(thoả mãn);

x = - 13

x - x^{2} = - 182 < 0

(loại)
c)

4 x^{2} + 8 x - 37 = - x^{2} - 2 x + 3 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0

Δ^{'} = 1 + 8 = 9

x = - 1 \pm 3

x = 2

- 4 - 4 + 3 = - 5 < 0

(loại);

x = - 4

- 16 + 8 + 3 = - 5 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {3; 35}$ ; b) $S = {1}$ ; c) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Điều kiện đặt cho vế phải, viết sẵn dưới dạng tích; tách hạng tử giữa: a) tổng $- 38$ , tích $105$ là $- 3$ và $- 35$ ; b) tổng $12$ , tích $- 13$ là $13$ và $- 1$ ; c) tổng $2$ , tích $- 8$ là $4$ và $- 2$ .

\Leftrightarrow {x^{2} - 3 x - 35 x + 105 = 0 (x - 1) (x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 3) (x - 35) = 0 (x - 1) (x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow x = 3

hoặc

x = 35

\Leftrightarrow {x^{2} - x + 13 x - 13 = 0 x (1 - x) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 1) (x + 13) = 0 0 \leq x \leq 1 \Leftrightarrow x = 1

\Leftrightarrow {x^{2} - 2 x + 4 x - 8 = 0 - (x - 1) (x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 2) (x + 4) = 0 - 3 \leq x \leq 1

, không có

x

nào

Vậy a) $S = {3; 35}$ ; b) $S = {1}$ ; c) phương trình vô nghiệm.

3Cách 3. Tìm tập xác định bằng dấu tam thức.

Định hướng. Giải điều kiện cả hai biểu thức dưới căn không âm; câu b, c cho tập xác định rất hẹp nên kết luận gần như ngay.

x^{2} - 77 x + 212 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{77 - 5081}{2} \leq x \leq \frac{77 + 5081}{2}

(\approx [2, 86; 74, 14])

, kết hợp

x \leq - 2

hoặc

x \geq 1

D = [\frac{77 - 5081}{2}; \frac{77 + 5081}{2}]

3 \in D

(vì

5081 > 71

35 \in D

0 \leq x \leq 1

và

(x - 1) (x + 26) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 26

hoặc

x \geq 1 \Rightarrow D = {1}

;

x = 1

0 = 0

- 3 \leq x \leq 1

;

4 x^{2} + 8 x - 37 = 4 (x + 1)^{2} - 41 \leq 4 \cdot 4 - 41 = - 25 < 0

trên

[- 3; 1] \Rightarrow D = \emptyset

Vậy a) $S = {3; 35}$ ; b) $S = {1}$ ; c) $S = \emptyset$ .

Nhận xét. Ở câu b tập xác định chỉ gồm đúng một điểm $x = 1$ nên chỉ cần thử điểm đó; ở câu c tập xác định rỗng nên không cần giải phương trình bậc hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a; câu b, c dùng Cách 3 vì tập xác định rút gọn còn một điểm hoặc rỗng.

Đáp số. a)

S = {3; 35}

. b)

S = {1}

. c) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, loại

x = 1

vì cho rằng "căn bằng

0

thì không xác định" — sai,

0 = 0

hoàn toàn xác định. Ở câu c, thấy tại

x = 2

và

x = - 4

"hai vế bằng nhau" rồi nhận nghiệm — thật ra cả hai biểu thức dưới căn đều bằng

- 5

, căn không xác định.

🚀 Mở rộng. Với

x^{2} + 25 x - 26 = m x - x^{2}

, thử tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.29★★Trang 21— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x + e

Bài 6.29 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

2 x^{2} - 13 x + 16 = 6 - x

;
b)

3 x^{2} - 33 x + 55 = x - 5

;
c)

- x^{2} + 3 x + 1 = x - 4

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải bậc nhất nên điều kiện then chốt là a)

x \leq 6

, b)

x \geq 5

, c)

x \geq 4

. Bình phương cho phương trình bậc hai hệ số nguyên. Bẫy ở câu c: với

x \geq 4

biểu thức

- x^{2} + 3 x + 1

đã âm, căn không xác định, nên vô nghiệm dù phương trình bậc hai có hai nghiệm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng

Δ

rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai, thay nghiệm vào phương trình ban đầu.

2 x^{2} - 13 x + 16 = 36 - 12 x + x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - 20 = 0

Δ = 81

x = \frac{1 \pm 9}{2}

x = 5

50 - 65 + 16 = 1 = 6 - 5

;

x = - 4

32 + 52 + 16 = 10 = 6 + 4

(cả hai thoả mãn)
b)

3 x^{2} - 33 x + 55 = x^{2} - 10 x + 25 \Rightarrow 2 x^{2} - 23 x + 30 = 0

Δ = 529 - 240 = 289

x = \frac{23 \pm 17}{4}

x = 10

300 - 330 + 55 = 5 = 10 - 5

(thoả mãn);

x = \frac{3}{2}

\frac{3}{2} - 5 < 0

(loại)
c)

- x^{2} + 3 x + 1 = x^{2} - 8 x + 16 \Rightarrow 2 x^{2} - 11 x + 15 = 0

Δ = 121 - 120 = 1

x = \frac{11 \pm 1}{4}

x = 3

3 - 4 < 0

(loại);

x = \frac{5}{2}

\frac{5}{2} - 4 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {- 4; 5}$ ; b) $S = {10}$ ; c) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm; tách hạng tử giữa: a) tổng $- 1$ , tích $- 20$ là $- 5$ và $4$ ; b) tổng $- 23$ , tích $60$ là $- 20$ và $- 3$ ; c) tổng $- 11$ , tích $30$ là $- 6$ và $- 5$ .

\Leftrightarrow {x \leq 6 x^{2} - 5 x + 4 x - 20 = 0 \Leftrightarrow {x \leq 6 (x - 5) (x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 5

hoặc

x = - 4

\Leftrightarrow {x \geq 5 2 x^{2} - 20 x - 3 x + 30 = 0 \Leftrightarrow {x \geq 5 (x - 10) (2 x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 10

\Leftrightarrow {x \geq 4 2 x^{2} - 6 x - 5 x + 15 = 0 \Leftrightarrow {x \geq 4 (x - 3) (2 x - 5) = 0

, không có

x

nào

Vậy a) $S = {- 4; 5}$ ; b) $S = {10}$ ; c) phương trình vô nghiệm.

3Cách 3. Nhân liên hợp (a, b) và xét tập xác định (c).

Định hướng. Trên miền vế phải không âm, mẫu liên hợp dương nên phương trình tương đương tử bằng $0$ ; câu c chỉ ra biểu thức dưới căn âm trên cả miền $x \geq 4$ .

x \leq 6

(tại

x = 6

10 > 0

\frac{2 x ^{2} - 13 x + 16 - ( 6 - x ) ^{2}}{2 x ^{2} - 13 x + 16 + 6 - x} = \frac{( x - 5 ) ( x + 4 )}{2 x ^{2} - 13 x + 16 + 6 - x} = 0

\Leftrightarrow x = 5

hoặc

x = - 4

x > 5

(tại

x = 5

75 - 165 + 55 = - 35 < 0

\frac{( x - 10 ) ( 2 x - 3 )}{3 x ^{2} - 33 x + 55 + x - 5} = 0 \Leftrightarrow x = 10

x \geq 4

- x^{2} + 3 x + 1 = - x (x - 3) + 1 \leq - 4 \cdot 1 + 1 = - 3 < 0

Vậy a) $S = {- 4; 5}$ ; b) $S = {10}$ ; c) căn không xác định trên miền $x \geq 4$ nên phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Câu c là ví dụ điển hình: không cần bình phương, chỉ cần thấy điều kiện vế phải và điều kiện căn mâu thuẫn nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho a, b; câu c dùng Cách 3 vì chỉ một dòng đánh giá là xong.

Đáp số. a)

S = {- 4; 5}

. b)

S = {10}

. c) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, loại

x = - 4

vì "nghiệm âm" — sai, điều kiện là

6 - x \geq 0

và

6 - (- 4) = 10 > 0

. Ở câu b, nhận

x = \frac{3}{2}

chỉ vì

3 \cdot \frac{9}{4} - \frac{99}{2} + 55 = \frac{49}{4} \geq 0

, quên vế phải âm.

🚀 Mở rộng. Thử giải

2 x^{2} - 13 x + 16 = m - x

và tìm

m

để phương trình có đúng một nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.30★★★Trang 21— Phương trình chứa căn quy về phương trình bậc hai

Bài 6.30 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

2 x - 3 = x - 3

;
b)

(x - 3) x^{2} + 4 = x^{2} - 9

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
$A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ hoặc $B = 0$ .
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có căn của nhị thức bậc nhất, bình phương vẫn ra phương trình bậc hai. Câu b có nhân tử chung

x - 3

ở hai vế vì

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

: đưa về phương trình tích thay vì chia cho

x - 3

. Bẫy: chia hai vế cho

x - 3

làm mất nghiệm

x = 3

1Cách 1. Bình phương (a) và đưa về phương trình tích (b).

Định hướng. Câu a đặt điều kiện $x \geq 3$ rồi bình phương; câu b chuyển vế, đặt $x - 3$ làm nhân tử chung.

\Leftrightarrow {x \geq 3 2 x - 3 = x^{2} - 6 x + 9 \Leftrightarrow {x \geq 3 x^{2} - 8 x + 12 = 0

Δ^{'} = 16 - 12 = 4

x = 4 \pm 2

;

x = 6 \geq 3

(nhận),

x = 2 < 3

(loại)
b)

(x - 3) x^{2} + 4 - (x - 3) (x + 3) = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (x^{2} + 4 - x - 3) = 0

x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3

x^{2} + 4 = x + 3 \Leftrightarrow {x \geq - 3 x^{2} + 4 = x^{2} + 6 x + 9 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 3 x = - \frac{5}{6} \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}

Vậy a) $S = {6}$ ; b) $S = {- \frac{5}{6}; 3}$ .

2Cách 2. Bình phương rồi thử lại, giải bằng tách nhân tử.

Định hướng. Câu a bình phương rồi tách $x^{2} - 8 x + 12$ (hai số có tổng $- 8$ , tích $12$ là $- 2$ và $- 6$ ); câu b bình phương cả hai vế, nhân tử $(x - 3)^{2}$ xuất hiện ở cả hai vế.

2 x - 3 = (x - 3)^{2} \Rightarrow x^{2} - 2 x - 6 x + 12 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 6) = 0

x = 2

1 = 1 \neq = - 1

(loại);

x = 6

9 = 3 = 6 - 3

(nhận)
b)

(x - 3)^{2} (x^{2} + 4) = (x - 3)^{2} (x + 3)^{2} \Rightarrow (x - 3)^{2} [x^{2} + 4 - (x + 3)^{2}] = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} (- 6 x - 5) = 0

x = 3

0 = 0

(nhận);

x = - \frac{5}{6}

- \frac{23}{6} \cdot \frac{169}{36} = - \frac{23}{6} \cdot \frac{13}{6} = - \frac{299}{36}

\frac{25}{36} - 9 = - \frac{299}{36}

(nhận)

Vậy a) $x = 6$ ; b) $x = 3$ hoặc $x = - \frac{5}{6}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ (a) và nhân liên hợp (b).

Định hướng. Câu a đặt $t = 2 x - 3 \geq 0$ để được phương trình bậc hai ẩn $t$ ; câu b dùng $x^{2} + 4 + x + 3 > 0$ với mọi $x$ để nhân liên hợp mà không cần điều kiện.

t = 2 x - 3 \geq 0

x = \frac{t ^{2} + 3}{2}

t = \frac{t ^{2} + 3}{2} - 3 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 3) = 0

t = 3

(vì

t \geq 0

)

\Rightarrow 2 x - 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6

x^{2} + 4 > ∣ x ∣ \geq - x \Rightarrow x^{2} + 4 + x + 3 > 3 > 0

x^{2} + 4 - (x + 3) = \frac{x ^{2} + 4 - ( x + 3 ) ^{2}}{x ^{2} + 4 + x + 3} = \frac{- ( 6 x + 5 )}{x ^{2} + 4 + x + 3}

(x - 3) \cdot \frac{- ( 6 x + 5 )}{x ^{2} + 4 + x + 3} = 0 \Leftrightarrow x = 3

hoặc

x = - \frac{5}{6}

Vậy a) $S = {6}$ ; b) $S = {- \frac{5}{6}; 3}$ .

Nhận xét. Ẩn phụ ở câu a biến điều kiện $x \geq 3$ thành điều kiện đơn giản $t \geq 0$ ; liên hợp ở câu b cho biến đổi tương đương hoàn toàn, không phải thử lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a đặt điều kiện rồi bình phương, câu b đặt nhân tử chung — ngắn và không bỏ sót nghiệm

x = 3

Đáp số. a)

S = {6}

. b)

S = {- \frac{5}{6}; 3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, chia hai vế cho

x - 3

được

x^{2} + 4 = x + 3

rồi chỉ ra

x = - \frac{5}{6}

— mất nghiệm

x = 3

. Ở câu a, nhận cả

x = 2

vì

2 \cdot 2 - 3 = 1 \geq 0

, quên vế phải

2 - 3 = - 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu b:

(x - a) x^{2} + k = x^{2} - a^{2}

(

k > 0

) luôn có nghiệm

x = a

; thử tìm điều kiện để phương trình còn thêm nghiệm khác

a

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.31★★★Trang 21— Phương trình chứa căn có tham số

Bài 6.31 (trang 21). Tìm điều kiện của tham số

m

để phương trình sau có nghiệm:

2 x^{2} + x + 1 = x^{2} + m x + m - 1

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $Δ \geq 0$ .
Với $t > 0$ : $t + \frac{2}{t} \geq 22$ , dấu bằng khi $t = 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái có

2 x^{2} + x + 1 > 0

với mọi

x

(

Δ = - 7 < 0

), nên khi hai biểu thức bằng nhau thì vế phải tự động dương — điều kiện căn không còn ràng buộc gì. Bài toán quy về: phương trình bậc hai

x^{2} + (1 - m) x + 2 - m = 0

có nghiệm. Bẫy: đặt thêm điều kiện

x^{2} + m x + m - 1 \geq 0

rồi giải hệ phức tạp không cần thiết.

1Cách 1. Quy về điều kiện

Δ \geq 0

Định hướng. Đặt điều kiện cho vế trái (luôn thoả mãn), bình phương, rồi tìm $m$ để phương trình bậc hai có nghiệm.

2 x^{2} + x + 1 = 2 (x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{7}{8} > 0

với mọi

x

\Leftrightarrow 2 x^{2} + x + 1 = x^{2} + m x + m - 1 \Leftrightarrow x^{2} + (1 - m) x + 2 - m = 0

Δ = (1 - m)^{2} - 4 (2 - m) = m^{2} + 2 m - 7 \geq 0

\Leftrightarrow m \leq - 1 - 22

hoặc

m \geq - 1 + 22

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \leq - 1 - 22$ hoặc $m \geq - 1 + 22$ .

2Cách 2. Cô lập tham số

m

Định hướng. Viết phương trình thành $m (x + 1) = x^{2} + x + 2$ ; $x = - 1$ không thoả nên chia được, rồi tìm tập giá trị của vế phải theo $t = x + 1$ .

x^{2} + x + 2 = m (x + 1)

;

x = - 1

2 = 0

(vô lí)

\Rightarrow x \neq = - 1

m = \frac{x ^{2} + x + 2}{x + 1} = \frac{t ^{2} - t + 2}{t} = t + \frac{2}{t} - 1

t = x + 1 \neq = 0

t > 0

t + \frac{2}{t} - 22 = (t - \frac{2}{t})^{2} \geq 0 \Rightarrow m \geq 22 - 1

t < 0

t + \frac{2}{t} = - (∣ t ∣ + \frac{2}{∣ t ∣}) \leq - 22 \Rightarrow m \leq - 22 - 1

t + \frac{2}{t} = m + 1 \Leftrightarrow t^{2} - (m + 1) t + 2 = 0

có nghiệm

t \neq = 0

khi

(m + 1)^{2} \geq 8

Vậy $m$ nhận mọi giá trị thuộc $(- \infty; - 1 - 22] \cup [- 1 + 22; + \infty)$ .

3Cách 3. Đọc bằng đồ thị: parabol cắt đường thẳng quay quanh một điểm.

Định hướng. Phương trình $x^{2} + x + 2 = m (x + 1)$ là hoành độ giao điểm của parabol $(P) : y = x^{2} + x + 2$ và đường thẳng $d_{m} : y = m (x + 1)$ luôn đi qua $I (- 1; 0)$ .

I (- 1; 0)

nằm dưới

(P)

vì

(- 1)^{2} - 1 + 2 = 2 > 0

d_{m}

tiếp xúc

(P) \Leftrightarrow x^{2} + (1 - m) x + 2 - m = 0

có nghiệm kép

\Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = - 1 \pm 22

d_{m}

cắt

(P) \Leftrightarrow

hệ số góc

m

không nằm giữa hai hệ số góc tiếp tuyến

\Leftrightarrow m \leq - 1 - 22

hoặc

m \geq - 1 + 22

Vậy điều kiện cần tìm là $m \leq - 1 - 22$ hoặc $m \geq - 1 + 22$ .

Nhận xét. Hình ảnh đường thẳng quay quanh $I$ giải thích vì sao tập $m$ gồm hai nửa đường thẳng: giữa hai tiếp tuyến, đường thẳng lọt hẳn dưới parabol.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra vế trái luôn dương là bài toán chỉ còn một điều kiện

Δ \geq 0

Đáp số.

m \leq - 1 - 22

hoặc

m \geq - 1 + 22

Sai lầm thường gặp. Đặt điều kiện

x^{2} + m x + m - 1 \geq 0

với mọi

x

(tức đòi vế phải luôn không âm) — đây là điều kiện để căn xác định trên

R

, không phải điều kiện để phương trình có nghiệm; hoặc giải

m^{2} + 2 m - 7 \geq 0

thành

- 1 - 22 \leq m \leq - 1 + 22

(nhầm chiều).

🚀 Mở rộng. Thử tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương (gợi ý: thêm điều kiện tổng

m - 1 > 0

và tích

2 - m > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.32★★★Trang 21— Bài toán thực tế dẫn đến phương trình chứa căn

Bài 6.32 (trang 21). Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài

66

cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng

0, 3

lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy

π = 3, 14

và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích nửa hình tròn đường kính $x$ : $\frac{π x ^{2}}{8}$ .
Đường chéo hình chữ nhật: $d^{2} = x^{2} + h^{2}$ .
$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Gọi

x

là cạnh trên (cũng là đường kính), chiều cao hình chữ nhật là

6 6^{2} - x^{2}

theo Pythagore. Điều kiện diện tích cho phương trình

\frac{3 , 14 x ^{2}}{8} = 0, 3 x 4356 - x^{2}

, chia cho

x > 0

được dạng

f = g

. Bẫy: diện tích nửa hình tròn là

\frac{π}{2} (\frac{x}{2})^{2} = \frac{π x ^{2}}{8}

, không phải

\frac{π x ^{2}}{4}

1Cách 1. Phương trình chứa căn theo cạnh trên

x

(cm).

Định hướng. Biểu diễn chiều cao $h = 4356 - x^{2}$ , lập phương trình diện tích rồi bình phương.

0 < x < 66

h = 6 6^{2} - x^{2} = 4356 - x^{2}

\frac{3 , 14 x ^{2}}{8} = 0, 3 x 4356 - x^{2} \Leftrightarrow 3, 14 x = 2, 4 4356 - x^{2}

\Rightarrow 9, 8596 x^{2} = 5, 76 (4356 - x^{2}) \Leftrightarrow 15, 6196 x^{2} = 25090, 56

\Rightarrow x^{2} \approx 1606, 35 \Rightarrow x \approx 40, 08

(vì

x > 0

)

h = 4356 - x^{2} \approx 2749, 65 \approx 52, 44

Vậy hình chữ nhật có cạnh trên (đường kính nửa hình tròn) khoảng $40, 08$ cm và chiều cao khoảng $52, 44$ cm.

2Cách 2. Tính tỉ số hai cạnh trước, rồi dùng Pythagore.

Định hướng. Điều kiện diện tích chỉ liên hệ tỉ số $\frac{h}{x}$ ; biết tỉ số và đường chéo là tính được hai cạnh mà không gặp căn chứa ẩn.

\frac{3 , 14 x ^{2}}{8} = 0, 3 x h \Leftrightarrow h = \frac{3 , 14}{2 , 4} x = \frac{157}{120} x

x^{2} + h^{2} = 4356 \Leftrightarrow x^{2} (1 + \frac{24649}{14400}) = 4356 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{4356 \cdot 14400}{39049}

x = \frac{7920}{39049} \approx 40, 08

h = \frac{157}{120} x = \frac{10362}{39049} \approx 52, 44

Vậy kích thước hình chữ nhật khoảng $40, 08$ cm $\times$ $52, 44$ cm.

3Cách 3. Dùng góc giữa đường chéo và cạnh đáy.

Định hướng. Gọi $α$ là góc giữa đường chéo và cạnh đáy: $x = 66 cos α$ , $h = 66 sin α$ , và $tan α = \frac{h}{x} = \frac{157}{120}$ .

cos α = \frac{1}{1 + tan ^{2} α} = \frac{120}{39049} \approx 0, 6073

sin α = \frac{157}{39049} \approx 0, 7945

x = 66 cos α \approx 40, 08

h = 66 sin α \approx 52, 44

Vậy hình chữ nhật có kích thước khoảng $40, 08$ cm và $52, 44$ cm.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả chính xác $x = \frac{7920}{39049}$ ; Cách 1 bám dạng phương trình chứa căn của bài học, hai cách sau cho thấy bản chất là bài toán tỉ số cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút ngay

h = \frac{157}{120} x

từ điều kiện diện tích, chỉ còn một phép khai căn ở cuối nên ít sai số làm tròn.

Đáp số. Hình chữ nhật có cạnh trên (bằng đường kính nửa hình tròn) khoảng

40, 08

cm và chiều cao khoảng

52, 44

cm.

Sai lầm thường gặp. Lấy diện tích nửa hình tròn bằng

\frac{π x ^{2}}{2}

(nhầm bán kính là

x

) hoặc

\frac{π x ^{2}}{4}

(quên chia đôi) cho kết quả sai hoàn toàn; làm tròn

x^{2}

quá sớm cũng làm lệch chữ số thập phân thứ hai của

h

🚀 Mở rộng. Nếu diện tích nửa hình tròn bằng

k

lần diện tích hình chữ nhật thì

\frac{h}{x} = \frac{π}{8 k}

— thử tìm

k

để hình chữ nhật là hình vuông.

Mở bài này trong app ↗