Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang21 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.28★★Trang 21— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x^{2} + e x + f

Bài 6.28 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

- x^{2} + 77 x - 212 = x^{2} + x - 2

;
b)

x^{2} + 25 x - 26 = x - x^{2}

;
c)

4 x^{2} + 8 x - 37 = - x^{2} - 2 x + 3

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu cùng dạng

f = g

, vế phải là tam thức phân tích được thành tích nên đặt điều kiện cho vế phải là gọn nhất. Câu b có nghiệm làm cả hai biểu thức dưới căn bằng

0

— vẫn là nghiệm. Bẫy ở câu c: phương trình bậc hai có hai nghiệm nhưng cả hai làm biểu thức dưới căn âm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng

Δ^{'}

rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, rút gọn, giải phương trình bậc hai bằng biệt thức thu gọn, rồi thay nghiệm vào biểu thức dưới căn.

- x^{2} + 77 x - 212 = x^{2} + x - 2 \Rightarrow x^{2} - 38 x + 105 = 0

Δ^{'} = 361 - 105 = 256

x = 19 \pm 16

x = 3

x^{2} + x - 2 = 10 > 0

(thoả mãn);

x = 35

1225 + 35 - 2 = 1258 > 0

(thoả mãn)
b)

x^{2} + 25 x - 26 = x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + 12 x - 13 = 0

Δ^{'} = 36 + 13 = 49

x = - 6 \pm 7

x = 1

1 + 25 - 26 = 0 = 1 - 1

(thoả mãn);

x = - 13

x - x^{2} = - 182 < 0

(loại)
c)

4 x^{2} + 8 x - 37 = - x^{2} - 2 x + 3 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0

Δ^{'} = 1 + 8 = 9

x = - 1 \pm 3

x = 2

- 4 - 4 + 3 = - 5 < 0

(loại);

x = - 4

- 16 + 8 + 3 = - 5 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {3; 35}$ ; b) $S = {1}$ ; c) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Điều kiện đặt cho vế phải, viết sẵn dưới dạng tích; tách hạng tử giữa: a) tổng $- 38$ , tích $105$ là $- 3$ và $- 35$ ; b) tổng $12$ , tích $- 13$ là $13$ và $- 1$ ; c) tổng $2$ , tích $- 8$ là $4$ và $- 2$ .

\Leftrightarrow {x^{2} - 3 x - 35 x + 105 = 0 (x - 1) (x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 3) (x - 35) = 0 (x - 1) (x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow x = 3

hoặc

x = 35

\Leftrightarrow {x^{2} - x + 13 x - 13 = 0 x (1 - x) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 1) (x + 13) = 0 0 \leq x \leq 1 \Leftrightarrow x = 1

\Leftrightarrow {x^{2} - 2 x + 4 x - 8 = 0 - (x - 1) (x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 2) (x + 4) = 0 - 3 \leq x \leq 1

, không có

x

nào

Vậy a) $S = {3; 35}$ ; b) $S = {1}$ ; c) phương trình vô nghiệm.

3Cách 3. Tìm tập xác định bằng dấu tam thức.

Định hướng. Giải điều kiện cả hai biểu thức dưới căn không âm; câu b, c cho tập xác định rất hẹp nên kết luận gần như ngay.

x^{2} - 77 x + 212 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{77 - 5081}{2} \leq x \leq \frac{77 + 5081}{2}

(\approx [2, 86; 74, 14])

, kết hợp

x \leq - 2

hoặc

x \geq 1

D = [\frac{77 - 5081}{2}; \frac{77 + 5081}{2}]

3 \in D

(vì

5081 > 71

35 \in D

0 \leq x \leq 1

và

(x - 1) (x + 26) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 26

hoặc

x \geq 1 \Rightarrow D = {1}

;

x = 1

0 = 0

- 3 \leq x \leq 1

;

4 x^{2} + 8 x - 37 = 4 (x + 1)^{2} - 41 \leq 4 \cdot 4 - 41 = - 25 < 0

trên

[- 3; 1] \Rightarrow D = \emptyset

Vậy a) $S = {3; 35}$ ; b) $S = {1}$ ; c) $S = \emptyset$ .

Nhận xét. Ở câu b tập xác định chỉ gồm đúng một điểm $x = 1$ nên chỉ cần thử điểm đó; ở câu c tập xác định rỗng nên không cần giải phương trình bậc hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a; câu b, c dùng Cách 3 vì tập xác định rút gọn còn một điểm hoặc rỗng.

Đáp số. a)

S = {3; 35}

. b)

S = {1}

. c) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, loại

x = 1

vì cho rằng "căn bằng

0

thì không xác định" — sai,

0 = 0

hoàn toàn xác định. Ở câu c, thấy tại

x = 2

và

x = - 4

"hai vế bằng nhau" rồi nhận nghiệm — thật ra cả hai biểu thức dưới căn đều bằng

- 5

, căn không xác định.

🚀 Mở rộng. Với

x^{2} + 25 x - 26 = m x - x^{2}

, thử tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.29★★Trang 21— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x + e

Bài 6.29 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

2 x^{2} - 13 x + 16 = 6 - x

;
b)

3 x^{2} - 33 x + 55 = x - 5

;
c)

- x^{2} + 3 x + 1 = x - 4

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải bậc nhất nên điều kiện then chốt là a)

x \leq 6

, b)

x \geq 5

, c)

x \geq 4

. Bình phương cho phương trình bậc hai hệ số nguyên. Bẫy ở câu c: với

x \geq 4

biểu thức

- x^{2} + 3 x + 1

đã âm, căn không xác định, nên vô nghiệm dù phương trình bậc hai có hai nghiệm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng

Δ

rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai, thay nghiệm vào phương trình ban đầu.

2 x^{2} - 13 x + 16 = 36 - 12 x + x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - 20 = 0

Δ = 81

x = \frac{1 \pm 9}{2}

x = 5

50 - 65 + 16 = 1 = 6 - 5

;

x = - 4

32 + 52 + 16 = 10 = 6 + 4

(cả hai thoả mãn)
b)

3 x^{2} - 33 x + 55 = x^{2} - 10 x + 25 \Rightarrow 2 x^{2} - 23 x + 30 = 0

Δ = 529 - 240 = 289

x = \frac{23 \pm 17}{4}

x = 10

300 - 330 + 55 = 5 = 10 - 5

(thoả mãn);

x = \frac{3}{2}

\frac{3}{2} - 5 < 0

(loại)
c)

- x^{2} + 3 x + 1 = x^{2} - 8 x + 16 \Rightarrow 2 x^{2} - 11 x + 15 = 0

Δ = 121 - 120 = 1

x = \frac{11 \pm 1}{4}

x = 3

3 - 4 < 0

(loại);

x = \frac{5}{2}

\frac{5}{2} - 4 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {- 4; 5}$ ; b) $S = {10}$ ; c) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm; tách hạng tử giữa: a) tổng $- 1$ , tích $- 20$ là $- 5$ và $4$ ; b) tổng $- 23$ , tích $60$ là $- 20$ và $- 3$ ; c) tổng $- 11$ , tích $30$ là $- 6$ và $- 5$ .

\Leftrightarrow {x \leq 6 x^{2} - 5 x + 4 x - 20 = 0 \Leftrightarrow {x \leq 6 (x - 5) (x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 5

hoặc

x = - 4

\Leftrightarrow {x \geq 5 2 x^{2} - 20 x - 3 x + 30 = 0 \Leftrightarrow {x \geq 5 (x - 10) (2 x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 10

\Leftrightarrow {x \geq 4 2 x^{2} - 6 x - 5 x + 15 = 0 \Leftrightarrow {x \geq 4 (x - 3) (2 x - 5) = 0

, không có

x

nào

Vậy a) $S = {- 4; 5}$ ; b) $S = {10}$ ; c) phương trình vô nghiệm.

3Cách 3. Nhân liên hợp (a, b) và xét tập xác định (c).

Định hướng. Trên miền vế phải không âm, mẫu liên hợp dương nên phương trình tương đương tử bằng $0$ ; câu c chỉ ra biểu thức dưới căn âm trên cả miền $x \geq 4$ .

x \leq 6

(tại

x = 6

10 > 0

\frac{2 x ^{2} - 13 x + 16 - ( 6 - x ) ^{2}}{2 x ^{2} - 13 x + 16 + 6 - x} = \frac{( x - 5 ) ( x + 4 )}{2 x ^{2} - 13 x + 16 + 6 - x} = 0

\Leftrightarrow x = 5

hoặc

x = - 4

x > 5

(tại

x = 5

75 - 165 + 55 = - 35 < 0

\frac{( x - 10 ) ( 2 x - 3 )}{3 x ^{2} - 33 x + 55 + x - 5} = 0 \Leftrightarrow x = 10

x \geq 4

- x^{2} + 3 x + 1 = - x (x - 3) + 1 \leq - 4 \cdot 1 + 1 = - 3 < 0

Vậy a) $S = {- 4; 5}$ ; b) $S = {10}$ ; c) căn không xác định trên miền $x \geq 4$ nên phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Câu c là ví dụ điển hình: không cần bình phương, chỉ cần thấy điều kiện vế phải và điều kiện căn mâu thuẫn nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho a, b; câu c dùng Cách 3 vì chỉ một dòng đánh giá là xong.

Đáp số. a)

S = {- 4; 5}

. b)

S = {10}

. c) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, loại

x = - 4

vì "nghiệm âm" — sai, điều kiện là

6 - x \geq 0

và

6 - (- 4) = 10 > 0

. Ở câu b, nhận

x = \frac{3}{2}

chỉ vì

3 \cdot \frac{9}{4} - \frac{99}{2} + 55 = \frac{49}{4} \geq 0

, quên vế phải âm.

🚀 Mở rộng. Thử giải

2 x^{2} - 13 x + 16 = m - x

và tìm

m

để phương trình có đúng một nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.30★★★Trang 21— Phương trình chứa căn quy về phương trình bậc hai

Bài 6.30 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

2 x - 3 = x - 3

;
b)

(x - 3) x^{2} + 4 = x^{2} - 9

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
$A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ hoặc $B = 0$ .
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.31★★★Trang 21— Phương trình chứa căn có tham số

Bài 6.31 (trang 21). Tìm điều kiện của tham số

m

để phương trình sau có nghiệm:

2 x^{2} + x + 1 = x^{2} + m x + m - 1

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $Δ \geq 0$ .
Với $t > 0$ : $t + \frac{2}{t} \geq 22$ , dấu bằng khi $t = 2$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.32★★★Trang 21— Bài toán thực tế dẫn đến phương trình chứa căn

Bài 6.32 (trang 21). Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài