Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Định hướng. Khử căn bằng cách bình phương, giải phương trình bậc hai, rồi thay từng giá trị vào phương trình ban đầu.

Vậy a) phương trình nhận được có hai nghiệm $x=0$, $x=\frac{1}{2}$; b) cả hai giá trị đều thoả mãn phương trình đã cho.

Định hướng. Chỉ cần một vế không âm, vì khi hai biểu thức bằng nhau thì vế kia cũng không âm; chọn vế phải để đặt điều kiện.

Vậy hai giá trị $x=0$ và $x=\frac{1}{2}$ đều là nghiệm, đúng như kết quả thử lại ở câu b.

Định hướng. Giải điều kiện hai biểu thức dưới căn không âm (Bài 17) để được miền $D$; nghiệm của phương trình sau khi bình phương thuộc $D$ mới nhận.

Vậy cả $x=0$ và $x=\frac{1}{2}$ thoả mãn phương trình đã cho.

Nhận xét. Cách 3 tốn công giải điều kiện nhưng cho biết trước mọi nghiệm phải nằm trong đoạn nào; Cách 2 chỉ phải kiểm một bất đẳng thức cho mỗi giá trị nên nhanh nhất.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai bằng $\Delta$, thay nghiệm vào phương trình ban đầu.

Vậy a) $S=\left\{-\frac{3}{5};0\right\}$; b) $S=\varnothing$.

Định hướng. Đặt điều kiện cho vế đơn giản hơn; phương trình bậc hai giải bằng cách tách hạng tử giữa (hai số có tổng $-3$, tích $2$ là $-1$ và $-2$).

Vậy a) $S=\left\{-\frac{3}{5};0\right\}$; b) $S=\varnothing$.

Định hướng. Tìm miền $D$ nơi cả hai biểu thức dưới căn không âm; nghiệm của $f=g$ nằm ngoài $D$ bị loại mà không cần tính căn.

Vậy a) $S=\left\{-\frac{3}{5};0\right\}$; b) phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Ở câu b, chỉ cần thấy $1$ và $2$ đều nhỏ hơn $\sqrt{7}\approx 2,65$ là kết luận được, không phải thay số vào căn nào.

Định hướng. Bình phương khử căn, giải phương trình bậc hai bằng $\Delta$ rồi thay vào phương trình đã cho.

Vậy a) $x=1$ hoặc $x=2$; b) chỉ $x=2$ thoả mãn, $x=1$ là nghiệm ngoại lai.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm ngay từ đầu; phương trình bậc hai tách hạng tử giữa: hai số có tổng $-3$, tích $2$ là $-1$ và $-2$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$; giá trị $x=1<\frac{6}{5}$ bị loại, khớp với câu b.

Định hướng. Với $5x-6\ge 0$ (điều kiện cần để có nghiệm), mẫu $\sqrt{26x^2-63x+38}+5x-6$ dương nên có thể nhân liên hợp đưa về phương trình tích.

Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất.

Nhận xét. Cách 1 cho thấy vì sao cần thử lại: bình phương đã "gộp" cả phương trình $\sqrt{26x^2-63x+38}=-(5x-6)$, và $x=1$ chính là nghiệm của phương trình đó.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai bằng $\Delta$, thay nghiệm vào phương trình ban đầu.

Vậy a) $S=\{-2;-1\}$; b) $S=\varnothing$.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm; tách hạng tử giữa: câu a hai số có tổng $3$, tích $2$ là $1$ và $2$; câu b hai số có tổng $-7$, tích $2\cdot 5=10$ là $-2$ và $-5$.

Vậy a) $S=\{-2;-1\}$; b) phương trình vô nghiệm.

Định hướng. Câu a: $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$ ($\Delta =-23<0$) nên mẫu liên hợp dương khi $x\le 1$. Câu b: với $x\ge 3$ chứng minh vế trái luôn lớn hơn vế phải.

Vậy a) $S=\{-2;-1\}$; b) vế trái luôn lớn hơn vế phải nên phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Đánh giá ở câu b giải thích bản chất: trên miền $x\ge 3$, đồ thị $y=\sqrt{3x^2-13x+14}$ luôn nằm phía trên đường thẳng $y=x-3$.

Định hướng. Nhân chéo đưa về $5\sqrt{x^2+16}=37-4x$, đặt điều kiện vế phải không âm rồi bình phương.

Vậy điểm hẹn $M$ cách bến Bính $3$ km (cách thôn Hoành $6,25$ km); hai người cùng đến sau $1,25$ giờ.

Định hướng. Cùng thời gian $t$: $AM=4t$, $CM=5t$, $BM=9,25-5t$; định lí Pythagore cho phương trình bậc hai ẩn $t$, không còn căn.

Vậy hai người gặp nhau tại $M$ cách bến Bính $3$ km, sau $1,25$ giờ (1 giờ 15 phút).

Định hướng. $AB=4$ gợi ý bộ ba $3-4-5$: thử $x=3$; sau đó dùng tính đơn điệu hai vế để khẳng định không còn nghiệm khác.

Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất: điểm hẹn cách bến Bính $3$ km.

Nhận xét. Vế trái (thời gian chèo) tăng, vế phải (thời gian kéo) giảm khi $M$ dời về phía $C$, nên chỉ có một điểm cân bằng — đúng ý nghĩa thực tế của bài.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, thay từng nghiệm vào biểu thức dưới căn.

Vậy a) $S=\{-2;2\}$; b) $S=\left\{\frac{4}{3}\right\}$; c) $S=\varnothing$; d) $S=\{2\}$.

Định hướng. Đặt điều kiện cho vế đơn giản; tách hạng tử giữa: b) tích $3\cdot (-8)=-24$, tổng $2$ là $6$ và $-4$; c) tích $-12$, tổng $4$ là $6$ và $-2$; d) tích $-6$, tổng $1$ là $3$ và $-2$.

Vậy a) $S=\{-2;2\}$; b) $S=\left\{\frac{4}{3}\right\}$; c) phương trình vô nghiệm; d) $S=\{2\}$.

Định hướng. Giải hệ hai bất phương trình "biểu thức dưới căn không âm" để được miền $D$; chỉ nghiệm của $f=g$ nằm trong $D$ mới được nhận.

Vậy a) $S=\{-2;2\}$; b) $S=\left\{\frac{4}{3}\right\}$; c) $S=\varnothing$; d) $S=\{2\}$.

Nhận xét. Cách 3 cho lời giải đẹp nhất ở câu c: tập xác định rỗng nên kết luận vô nghiệm mà không cần giải phương trình bậc hai; ngược lại ở câu a, Cách 2 nhanh hơn vì vế phải luôn dương.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai, rồi xét dấu vế phải tại từng nghiệm.

Vậy a) $S=\left\{\frac{3-\sqrt{33}}{4};\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right\}$; b) $S=\varnothing$; c) $S=\left\{\frac{7}{2}\right\}$; d) $S=\{3\}$.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm; câu a bình phương đủ, các câu còn lại tách hạng tử giữa: b) tổng $-1$, tích $-6$ là $-3$ và $2$; c) tổng $-11$, tích $28$ là $-4$ và $-7$.

Vậy a) $x=\frac{3\pm \sqrt{33}}{4}$; b) vô nghiệm; c) $x=\frac{7}{2}$; d) $x=3$.

Định hướng. Trên miền vế phải không âm, mẫu liên hợp $\sqrt{f}+g$ dương nên phương trình tương đương $f-g^2=0$; ở câu b chứng minh vế trái luôn lớn hơn vế phải.

Vậy a) $S=\left\{\frac{3-\sqrt{33}}{4};\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right\}$; b) $S=\varnothing$; c) $S=\left\{\frac{7}{2}\right\}$; d) $S=\{3\}$.

Nhận xét. Tử số sau khi nhân liên hợp chính là phương trình bậc hai của Cách 1, nên liên hợp cho thấy vì sao nghiệm ngoại lai xuất hiện: chúng làm mẫu $\sqrt{f}+g$ không còn dương.