Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 25— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x^{2} + e x + f

HĐ1 (trang 25). Cho phương trình

x^{2} - 3 x + 2 = - x^{2} - 2 x + 2

.
a) Bình phương hai vế phương trình để khử căn và giải phương trình nhận được.
b) Thử lại các giá trị

x

tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế đều là căn bậc hai của một tam thức — dấu hiệu của dạng

f = g

. Bình phương làm mất căn và các hạng tử

x^{2}

cùng tự do triệt tiêu, còn lại phương trình bậc hai khuyết hệ số tự do. Bẫy: bình phương có thể sinh nghiệm làm biểu thức dưới căn âm, nên câu b bắt buộc thử lại.

1Cách 1. Bình phương hai vế rồi thử lại (theo SGK).

Định hướng. Khử căn bằng cách bình phương, giải phương trình bậc hai, rồi thay từng giá trị vào phương trình ban đầu.

x^{2} - 3 x + 2 = - x^{2} - 2 x + 2

\Leftrightarrow 2 x^{2} - x = 0

\Leftrightarrow x (2 x - 1) = 0

\Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \frac{1}{2}

x = 0

0 - 0 + 2 = 2

0 - 0 + 2 = 2

(thoả mãn)

x = \frac{1}{2}

\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{4}

- \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{3}{4}

(thoả mãn)

Vậy a) phương trình nhận được có hai nghiệm $x = 0$ , $x = \frac{1}{2}$ ; b) cả hai giá trị đều thoả mãn phương trình đã cho.

2Cách 2. Biến đổi tương đương với điều kiện một vế.

Định hướng. Chỉ cần một vế không âm, vì khi hai biểu thức bằng nhau thì vế kia cũng không âm; chọn vế phải để đặt điều kiện.

x^{2} - 3 x + 2 = - x^{2} - 2 x + 2 \Leftrightarrow {x^{2} - 3 x + 2 = - x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - 2 x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow {x (2 x - 1) = 0 x^{2} + 2 x - 2 \leq 0

x = 0

0 + 0 - 2 = - 2 \leq 0

(nhận)

x = \frac{1}{2}

\frac{1}{4} + 1 - 2 = - \frac{3}{4} \leq 0

(nhận)

Vậy hai giá trị $x = 0$ và $x = \frac{1}{2}$ đều là nghiệm, đúng như kết quả thử lại ở câu b.

3Cách 3. Tìm tập xác định trước bằng định lí về dấu.

Định hướng. Giải điều kiện hai biểu thức dưới căn không âm (Bài 17) để được miền $D$ ; nghiệm của phương trình sau khi bình phương thuộc $D$ mới nhận.

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1

hoặc

x \geq 2

- x^{2} - 2 x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 - 3 \leq x \leq - 1 + 3

D = [- 1 - 3; - 1 + 3]

(vì

- 1 + 3 \approx 0, 73 < 1

)

0 \in D

\frac{1}{2} \in D

Vậy cả $x = 0$ và $x = \frac{1}{2}$ thoả mãn phương trình đã cho.

Nhận xét. Cách 3 tốn công giải điều kiện nhưng cho biết trước mọi nghiệm phải nằm trong đoạn nào; Cách 2 chỉ phải kiểm một bất đẳng thức cho mỗi giá trị nên nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ đặt điều kiện cho vế đơn giản hơn rồi kiểm tra trực tiếp, không phải tính căn ở cả hai vế như khi thử lại.

Đáp số. a)

x = 0

hoặc

x = \frac{1}{2}

. b) Cả hai giá trị đều thoả mãn phương trình đã cho.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

f = g \Leftrightarrow f = g

mà quên điều kiện: ở bài này may mắn không có nghiệm ngoại lai, nhưng với

x^{2} - 7 = 2 x^{2} - 3 x - 5

(Luyện tập 1b) cả hai nghiệm

x = 1

x = 2

của

f = g

đều làm biểu thức dưới căn âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

f (x) - g (x)

là đa thức bậc hai có hai nghiệm

x_{1}

x_{2}

thì phương trình

f = g

có nhiều nhất hai nghiệm, đúng bằng những

x_{i}

làm

g (x_{i}) \geq 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 25— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x^{2} + e x + f

Luyện tập 1 (trang 25). Giải các phương trình sau:
a)

3 x^{2} - 6 x + 1 = - 2 x^{2} - 9 x + 1

;

2 x^{2} - 3 x - 5 = x^{2} - 7

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế đều là căn của tam thức, nên bình phương đưa về phương trình bậc hai. Câu a hai hệ số tự do bằng nhau nên phương trình nhận được khuyết hệ số tự do, tách nhân tử ngay. Bẫy ở câu b: phương trình bậc hai có hai nghiệm đẹp nhưng cả hai đều làm

x^{2} - 7 < 0

, phương trình vô nghiệm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng công thức nghiệm rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai bằng $Δ$ , thay nghiệm vào phương trình ban đầu.

3 x^{2} - 6 x + 1 = - 2 x^{2} - 9 x + 1 \Rightarrow 5 x^{2} + 3 x = 0

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 9

x_{1} = \frac{- 3 + 3}{10} = 0

x_{2} = \frac{- 3 - 3}{10} = - \frac{3}{5}

x = 0

1 = 1

(thoả mãn)

x = - \frac{3}{5}

3 \cdot \frac{9}{25} + \frac{18}{5} + 1 = \frac{142}{25}

- 2 \cdot \frac{9}{25} + \frac{27}{5} + 1 = \frac{142}{25}

(thoả mãn)
b)

2 x^{2} - 3 x - 5 = x^{2} - 7 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0

Δ = 9 - 8 = 1

x_{1} = \frac{3 + 1}{2} = 2

x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1

x = 2

x^{2} - 7 = - 3 < 0

(loại);

x = 1

x^{2} - 7 = - 6 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {- \frac{3}{5}; 0}$ ; b) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện cho vế đơn giản hơn; phương trình bậc hai giải bằng cách tách hạng tử giữa (hai số có tổng $- 3$ , tích $2$ là $- 1$ và $- 2$ ).

\Leftrightarrow {5 x^{2} + 3 x = 0 3 x^{2} - 6 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow {x (5 x + 3) = 0 3 x^{2} - 6 x + 1 \geq 0

x = 0

1 \geq 0

(nhận);

x = - \frac{3}{5}

\frac{27}{25} + \frac{18}{5} + 1 = \frac{142}{25} \geq 0

(nhận)
b)

\Leftrightarrow {x^{2} - 3 x + 2 = 0 x^{2} - 7 \geq 0 \Leftrightarrow {x^{2} - x - 2 x + 2 = 0 x^{2} \geq 7 \Leftrightarrow {(x - 1) (x - 2) = 0 x^{2} \geq 7

x = 1

1 < 7

;

x = 2

4 < 7

(cả hai loại)

Vậy a) $S = {- \frac{3}{5}; 0}$ ; b) $S = \emptyset$ .

3Cách 3. Xét tập xác định bằng dấu tam thức.

Định hướng. Tìm miền $D$ nơi cả hai biểu thức dưới căn không âm; nghiệm của $f = g$ nằm ngoài $D$ bị loại mà không cần tính căn.

- 2 x^{2} - 9 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 9 x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 9 - 89}{4} \leq x \leq \frac{- 9 + 89}{4}

3 x^{2} - 6 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{3 - 6}{3}

hoặc

x \geq \frac{3 + 6}{3}

D = [\frac{- 9 - 89}{4}; \frac{- 9 + 89}{4}] \approx [- 4, 61; 0, 11]

0 \in D

- \frac{3}{5} \in D

x^{2} - 7 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 7

hoặc

x \geq 7

;

2 x^{2} - 3 x - 5 = (x + 1) (2 x - 5) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1

hoặc

x \geq \frac{5}{2}

D = (- \infty; - 7] \cup [7; + \infty)

1 \in / D

2 \in / D

(vì

2 < 7

)

Vậy a) $S = {- \frac{3}{5}; 0}$ ; b) phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Ở câu b, chỉ cần thấy $1$ và $2$ đều nhỏ hơn $7 \approx 2, 65$ là kết luận được, không phải thay số vào căn nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chọn vế đơn giản (

3 x^{2} - 6 x + 1

ở câu a,

x^{2} - 7

ở câu b) để đặt điều kiện, kiểm tra từng nghiệm chỉ mất một phép tính.

Đáp số. a)

S = {- \frac{3}{5}; 0}

. b) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, giải xong

x^{2} - 3 x + 2 = 0

rồi kết luận

S = {1; 2}

mà không thử lại: thay

x = 1

thì

- 6

không xác định. Ở câu a, chia hai vế của

5 x^{2} + 3 x = 0

cho

x

làm mất nghiệm

x = 0

🚀 Mở rộng. Với

2 x^{2} - 3 x - 5 = x^{2} - m

, phương trình có nghiệm

x = 2

khi và chỉ khi

m \leq 4

— thử tìm mọi

m

để phương trình có đúng một nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★Trang 25— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x + e

HĐ2 (trang 25). Cho phương trình

26 x^{2} - 63 x + 38 = 5 x - 6

.
a) Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.
b) Thử lại các giá trị

x

tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là căn của tam thức, vế phải là nhị thức bậc nhất — dạng

f = g

. Bình phương vế phải cho

25 x^{2} - 60 x + 36

, trừ đi được phương trình bậc hai hệ số nhỏ. Bẫy: vế phải có thể âm, nghiệm làm

5 x - 6 < 0

phải loại dù biểu thức dưới căn vẫn dương.

1Cách 1. Bình phương hai vế rồi thử lại (theo SGK).

Định hướng. Bình phương khử căn, giải phương trình bậc hai bằng $Δ$ rồi thay vào phương trình đã cho.

26 x^{2} - 63 x + 38 = (5 x - 6)^{2}

\Leftrightarrow 26 x^{2} - 63 x + 38 = 25 x^{2} - 60 x + 36

\Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0

Δ = 9 - 8 = 1

x_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1

x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2

x = 1

26 - 63 + 38 = 1 = 1

5 \cdot 1 - 6 = - 1

(không thoả mãn)

x = 2

104 - 126 + 38 = 16 = 4

5 \cdot 2 - 6 = 4

(thoả mãn)

Vậy a) $x = 1$ hoặc $x = 2$ ; b) chỉ $x = 2$ thoả mãn, $x = 1$ là nghiệm ngoại lai.

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm ngay từ đầu; phương trình bậc hai tách hạng tử giữa: hai số có tổng $- 3$ , tích $2$ là $- 1$ và $- 2$ .

26 x^{2} - 63 x + 38 = 5 x - 6 \Leftrightarrow {5 x - 6 \geq 0 26 x^{2} - 63 x + 38 = (5 x - 6)^{2}

\Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq \frac{6}{5} x^{2} - x - 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq \frac{6}{5} (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$ ; giá trị $x = 1 < \frac{6}{5}$ bị loại, khớp với câu b.

3Cách 3. Nhân lượng liên hợp.

Định hướng. Với $5 x - 6 \geq 0$ (điều kiện cần để có nghiệm), mẫu $26 x^{2} - 63 x + 38 + 5 x - 6$ dương nên có thể nhân liên hợp đưa về phương trình tích.

x \geq \frac{6}{5}

; tại

x = \frac{6}{5}

26 \cdot \frac{36}{25} - \frac{378}{5} + 38 = - \frac{4}{25} < 0

nên

x > \frac{6}{5}

, mẫu dương

26 x^{2} - 63 x + 38 - (5 x - 6) = \frac{26 x ^{2} - 63 x + 38 - ( 5 x - 6 ) ^{2}}{26 x ^{2} - 63 x + 38 + 5 x - 6} = \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{26 x ^{2} - 63 x + 38 + 5 x - 6} = 0

\Leftrightarrow (x - 1) (x - 2) = 0

x > \frac{6}{5} \Leftrightarrow x = 2

Vậy $x = 2$ là nghiệm duy nhất.

Nhận xét. Cách 1 cho thấy vì sao cần thử lại: bình phương đã "gộp" cả phương trình $26 x^{2} - 63 x + 38 = - (5 x - 6)$ , và $x = 1$ chính là nghiệm của phương trình đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: điều kiện

x \geq \frac{6}{5}

loại ngay

x = 1

mà không phải tính căn.

Đáp số. a)

x = 1

hoặc

x = 2

. b) Chỉ

x = 2

thoả mãn;

x = 1

không thoả mãn vì vế phải bằng

- 1

Sai lầm thường gặp. Chỉ kiểm tra biểu thức dưới căn không âm: tại

x = 1

có

26 - 63 + 38 = 1 \geq 0

nên nhận nhầm

x = 1

; thật ra

1 = 1 \neq = - 1

🚀 Mở rộng. Thử giải

26 x^{2} - 63 x + 38 = 6 - 5 x

: bình phương cho đúng phương trình cũ, nhưng lần này nghiệm được nhận lại là

x = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 26— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x + e

Luyện tập 2 (trang 26). Giải các phương trình sau:
a)

2 x^{2} + x + 3 = 1 - x

;

3 x^{2} - 13 x + 14 = x - 3

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có dạng

f = g

với

g

bậc nhất, nên điều kiện then chốt là

g \geq 0

: câu a cần

x \leq 1

, câu b cần

x \geq 3

. Sau khi bình phương đều ra phương trình bậc hai có nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ đẹp. Bẫy ở câu b: hai nghiệm

1

và

\frac{5}{2}

đều nhỏ hơn

3

nên phương trình vô nghiệm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng công thức nghiệm rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai bằng $Δ$ , thay nghiệm vào phương trình ban đầu.

2 x^{2} + x + 3 = (1 - x)^{2} = 1 - 2 x + x^{2} \Rightarrow x^{2} + 3 x + 2 = 0

Δ = 9 - 8 = 1

x_{1} = \frac{- 3 + 1}{2} = - 1

x_{2} = \frac{- 3 - 1}{2} = - 2

x = - 1

2 - 1 + 3 = 2 = 1 - (- 1)

(thoả mãn);

x = - 2

8 - 2 + 3 = 3 = 1 - (- 2)

(thoả mãn)
b)

3 x^{2} - 13 x + 14 = (x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9 \Rightarrow 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0

Δ = 49 - 40 = 9

x_{1} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{5}{2}

x_{2} = \frac{7 - 3}{4} = 1

x = \frac{5}{2}

x - 3 = - \frac{1}{2} < 0

(loại);

x = 1

x - 3 = - 2 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {- 2; - 1}$ ; b) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm; tách hạng tử giữa: câu a hai số có tổng $3$ , tích $2$ là $1$ và $2$ ; câu b hai số có tổng $- 7$ , tích $2 \cdot 5 = 10$ là $- 2$ và $- 5$ .

\Leftrightarrow {1 - x \geq 0 x^{2} + x + 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x \leq 1 (x + 1) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = - 2

\Leftrightarrow {x - 3 \geq 0 2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x \geq 3 (x - 1) (2 x - 5) = 0

1 < 3

\frac{5}{2} < 3

Vậy a) $S = {- 2; - 1}$ ; b) phương trình vô nghiệm.

3Cách 3. Nhân liên hợp (câu a) và đánh giá hai vế (câu b).

Định hướng. Câu a: $2 x^{2} + x + 3 > 0$ với mọi $x$ ( $Δ = - 23 < 0$ ) nên mẫu liên hợp dương khi $x \leq 1$ . Câu b: với $x \geq 3$ chứng minh vế trái luôn lớn hơn vế phải.

x \leq 1

2 x^{2} + x + 3 - (1 - x) = \frac{2 x ^{2} + x + 3 - ( 1 - x ) ^{2}}{2 x ^{2} + x + 3 + 1 - x} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{2 x ^{2} + x + 3 + 1 - x} = 0

\Leftrightarrow (x + 1) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = - 2

(đều

\leq 1

)
b)

x \geq 3

3 x^{2} - 13 x + 14 - (x - 3)^{2} = 2 x^{2} - 7 x + 5 = (x - 1) (2 x - 5) > 0

\Rightarrow 3 x^{2} - 13 x + 14 > (x - 3)^{2} \geq 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 13 x + 14 > ∣ x - 3∣ = x - 3

Vậy a) $S = {- 2; - 1}$ ; b) vế trái luôn lớn hơn vế phải nên phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Đánh giá ở câu b giải thích bản chất: trên miền $x \geq 3$ , đồ thị $y = 3 x^{2} - 13 x + 14$ luôn nằm phía trên đường thẳng $y = x - 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: điều kiện

x \leq 1

(câu a) và

x \geq 3

(câu b) quyết định ngay nghiệm nào được nhận.

Đáp số. a)

S = {- 2; - 1}

. b) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, kết luận

S = {1; \frac{5}{2}}

vì cả hai đều làm

3 x^{2} - 13 x + 14 \geq 0

(

x = 1

cho

4

x = \frac{5}{2}

cho

\frac{1}{4}

) — quên rằng vế phải

x - 3

âm tại hai giá trị này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

f = x - 3

chỉ có nghiệm khi

f - (x - 3)^{2}

có nghiệm

x \geq 3

; thử đổi vế phải thành

x - 1

ở câu b rồi giải lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng★★★Trang 26— Bài toán thực tế dẫn đến phương trình

a x^{2} + b x + c = d x + e

Vận dụng (trang 26). Bác Việt sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển

4

km. Hằng tuần bác chèo thuyền vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bính để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở thôn Hoành, bên bờ biển cách bến Bính

9, 25

km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bính bằng xe kéo. Bác Việt đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó giữa bến Bính và thôn Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Giả thiết rằng đường dọc bờ biển là thẳng và bác Việt cũng di chuyển theo một đường thẳng để tới điểm hẹn. Tìm vị trí hai người hẹn gặp, biết rằng vận tốc của anh Nam là

5

km/h và của bác Việt là

4

km/h.
Hướng dẫn. Ta mô hình hoá bài toán như trong Hình 6.20: Trạm hải đăng ở vị trí

A

; bến Bính ở

B

và thôn Hoành ở

C

. Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí

M

và ta đặt

B M = x

(km) (

x > 0

). Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình:

\frac{x ^{2} + 16}{4} = \frac{9 , 25 - x}{5}

. Giải phương trình này sẽ tìm được vị trí hai người dự định gặp nhau.

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Định lí Pythagore: $A M^{2} = A B^{2} + B M^{2}$ .
Thời gian $=$ quãng đường $:$ vận tốc.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Quãng chèo thuyền là cạnh huyền

A M = x^{2} + 16

, quãng kéo xe là

C M = 9, 25 - x

; "không chờ nhau" nghĩa là hai thời gian bằng nhau. Nhân chéo được dạng

f = g

với

g = 37 - 4 x

. Bẫy: số liệu thập phân

9, 25

nên nhân

4

để có số nguyên

37

, và nghiệm âm của phương trình bậc hai phải loại vì

x > 0

1Cách 1. Giải phương trình căn theo ẩn

x = B M

Định hướng. Nhân chéo đưa về $5 x^{2} + 16 = 37 - 4 x$ , đặt điều kiện vế phải không âm rồi bình phương.

\frac{x ^{2} + 16}{4} = \frac{9 , 25 - x}{5} \Leftrightarrow 5 x^{2} + 16 = 37 - 4 x

0 < x \leq 9, 25

\Rightarrow 25 (x^{2} + 16) = (37 - 4 x)^{2}

\Leftrightarrow 25 x^{2} + 400 = 1369 - 296 x + 16 x^{2}

\Leftrightarrow 9 x^{2} + 296 x - 969 = 0

Δ^{'} = 14 8^{2} + 9 \cdot 969 = 21904 + 8721 = 30625 = 17 5^{2}

x_{1} = \frac{- 148 + 175}{9} = 3

x_{2} = \frac{- 148 - 175}{9} = - \frac{323}{9} < 0

(loại)

x = 3

37 - 12 = 25 \geq 0

\frac{9 + 16}{4} = \frac{5}{4} = \frac{9 , 25 - 3}{5}

Vậy điểm hẹn $M$ cách bến Bính $3$ km (cách thôn Hoành $6, 25$ km); hai người cùng đến sau $1, 25$ giờ.

2Cách 2. Chọn ẩn là thời gian

t

(giờ) đi tới điểm hẹn.

Định hướng. Cùng thời gian $t$ : $A M = 4 t$ , $C M = 5 t$ , $B M = 9, 25 - 5 t$ ; định lí Pythagore cho phương trình bậc hai ẩn $t$ , không còn căn.

A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} \Leftrightarrow 16 t^{2} = 16 + (9, 25 - 5 t)^{2}

\Leftrightarrow 16 t^{2} = 16 + 85, 5625 - 92, 5 t + 25 t^{2}

\Leftrightarrow 9 t^{2} - 92, 5 t + 101, 5625 = 0 \Leftrightarrow 144 t^{2} - 1480 t + 1625 = 0

Δ^{'} = 74 0^{2} - 144 \cdot 1625 = 547600 - 234000 = 313600 = 56 0^{2}

t_{1} = \frac{740 - 560}{144} = 1, 25

t_{2} = \frac{740 + 560}{144} = \frac{325}{36}

t_{2}

C M = 5 \cdot \frac{325}{36} > 9, 25

(loại);

t_{1}

C M = 6, 25

B M = 9, 25 - 6, 25 = 3

Vậy hai người gặp nhau tại $M$ cách bến Bính $3$ km, sau $1, 25$ giờ (1 giờ 15 phút).

3Cách 3. Đoán nghiệm nhờ bộ ba Pythagore và chứng minh duy nhất.

Định hướng. $A B = 4$ gợi ý bộ ba $3 - 4 - 5$ : thử $x = 3$ ; sau đó dùng tính đơn điệu hai vế để khẳng định không còn nghiệm khác.

x = 3

\frac{3 ^{2} + 4 ^{2}}{4} = \frac{5}{4}

\frac{9 , 25 - 3}{5} = \frac{6 , 25}{5} = \frac{5}{4}

0 < x_{1} < x_{2} \leq 9, 25 \Rightarrow \frac{x _{1}^{2} + 16}{4} < \frac{x _{2}^{2} + 16}{4}

và

\frac{9 , 25 - x _{1}}{5} > \frac{9 , 25 - x _{2}}{5}

x < 3

: vế trái

< \frac{5}{4} <

vế phải;

x > 3

: vế trái

> \frac{5}{4} >

vế phải

Vậy $x = 3$ là nghiệm duy nhất: điểm hẹn cách bến Bính $3$ km.

Nhận xét. Vế trái (thời gian chèo) tăng, vế phải (thời gian kéo) giảm khi $M$ dời về phía $C$ , nên chỉ có một điểm cân bằng — đúng ý nghĩa thực tế của bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nếu đề đã cho sẵn phương trình; Cách 3 nhanh nhất khi nhận ra bộ ba

3 - 4 - 5

nhưng phải có lập luận duy nhất đi kèm.

Đáp số. Điểm hẹn cách bến Bính

3

km (cách thôn Hoành

6, 25

km); hai người cùng đến sau

1, 25

giờ.

Sai lầm thường gặp. Bình phương ngay

\frac{x ^{2} + 16}{16} = \frac{( 9 , 25 - x ) ^{2}}{25}

rồi giữ cả nghiệm

x = - \frac{323}{9}

; hoặc nhầm

C M = x

thay vì

B M = x

, dẫn tới phương trình

(9, 25 - x)^{2} + 16

khác hẳn.

🚀 Mở rộng. Nếu anh Nam đi

5

km/h còn bác Việt chèo

v

km/h, điểm hẹn

B M = x

thoả

5 x^{2} + 16 = v (9, 25 - x)

— thử tìm

v

để hai người gặp nhau đúng tại bến Bính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.20★★Trang 27— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x^{2} + e x + f

Bài 6.20 (trang 27). Giải các phương trình sau:
a)

3 x^{2} - 4 x - 1 = 2 x^{2} - 4 x + 3

;

x^{2} + 2 x - 3 = - 2 x^{2} + 5

;
c)

2 x^{2} + 3 x - 3 = - x^{2} - x + 1

;

- x^{2} + 5 x - 4 = - 2 x^{2} + 4 x + 2

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {f (x) = g (x) g (x) \geq 0$ (có thể thay $g (x) \geq 0$ bằng $f (x) \geq 0$ , chọn vế đơn giản hơn).
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu cùng dạng

f = g

: bình phương ra phương trình bậc hai, rồi lọc nghiệm bằng điều kiện của vế đơn giản hơn. Câu a vế phải luôn dương (

Δ^{'} = 4 - 6 < 0

) nên không phải loại gì. Bẫy nằm ở b, c, d: có nghiệm làm biểu thức dưới căn âm, riêng câu c cả hai nghiệm đều bị loại.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng

Δ

rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, thay từng nghiệm vào biểu thức dưới căn.

3 x^{2} - 4 x - 1 = 2 x^{2} - 4 x + 3 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2

hoặc

x = - 2

x = \pm 2

2 x^{2} - 4 x + 3 = 11 \mp 8 > 0

, hai vế bằng nhau (thoả mãn)
b)

x^{2} + 2 x - 3 = - 2 x^{2} + 5 \Rightarrow 3 x^{2} + 2 x - 8 = 0

Δ^{'} = 1 + 24 = 25

x = \frac{- 1 \pm 5}{3}

x = \frac{4}{3}

- 2 \cdot \frac{16}{9} + 5 = \frac{13}{9} > 0

(thoả mãn);

x = - 2

- 8 + 5 = - 3 < 0

(loại)
c)

2 x^{2} + 3 x - 3 = - x^{2} - x + 1 \Rightarrow 3 x^{2} + 4 x - 4 = 0

Δ^{'} = 4 + 12 = 16

x = \frac{- 2 \pm 4}{3}

x = \frac{2}{3}

- \frac{4}{9} - \frac{2}{3} + 1 = - \frac{1}{9} < 0

(loại);

x = - 2

- 4 + 2 + 1 = - 1 < 0

(loại)
d)

- x^{2} + 5 x - 4 = - 2 x^{2} + 4 x + 2 \Rightarrow x^{2} + x - 6 = 0

Δ = 1 + 24 = 25

x = \frac{- 1 \pm 5}{2}

x = 2

- 4 + 10 - 4 = 2 > 0

(thoả mãn);

x = - 3

- 9 - 15 - 4 = - 28 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {- 2; 2}$ ; b) $S = {\frac{4}{3}}$ ; c) $S = \emptyset$ ; d) $S = {2}$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện cho vế đơn giản; tách hạng tử giữa: b) tích $3 \cdot (- 8) = - 24$ , tổng $2$ là $6$ và $- 4$ ; c) tích $- 12$ , tổng $4$ là $6$ và $- 2$ ; d) tích $- 6$ , tổng $1$ là $3$ và $- 2$ .

\Leftrightarrow {(x - 2) (x + 2) = 0 2 x^{2} - 4 x + 3 \geq 0

2 x^{2} - 4 x + 3 = 2 (x - 1)^{2} + 1 > 0 \Rightarrow x = \pm 2

\Leftrightarrow {3 x^{2} + 6 x - 4 x - 8 = 0 - 2 x^{2} + 5 \geq 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ (x + 2) (3 x - 4) = 0 x^{2} \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}

(vì

\frac{16}{9} \leq \frac{5}{2}

4 > \frac{5}{2}

)
c)

\Leftrightarrow {3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4 = 0 - x^{2} - x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow {(x + 2) (3 x - 2) = 0 x^{2} + x - 1 \leq 0

;

x = - 2

1 > 0

;

x = \frac{2}{3}

\frac{1}{9} > 0

\Leftrightarrow {x^{2} + 3 x - 2 x - 6 = 0 - x^{2} + 5 x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 2) (x + 3) = 0 (x - 1) (x - 4) \leq 0 \Leftrightarrow x = 2

Vậy a) $S = {- 2; 2}$ ; b) $S = {\frac{4}{3}}$ ; c) phương trình vô nghiệm; d) $S = {2}$ .

3Cách 3. Tìm tập xác định bằng định lí về dấu tam thức.

Định hướng. Giải hệ hai bất phương trình "biểu thức dưới căn không âm" để được miền $D$ ; chỉ nghiệm của $f = g$ nằm trong $D$ mới được nhận.

2 x^{2} - 4 x + 3 > 0

với mọi

x

;

3 x^{2} - 4 x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{2 - 7}{3}

hoặc

x \geq \frac{2 + 7}{3}

;

\pm 2 \in D

(x - 1) (x + 3) \geq 0

và

- \frac{10}{2} \leq x \leq \frac{10}{2} \Rightarrow D = [1; \frac{10}{2}]

;

\frac{4}{3} \in D

- 2 \in / D

- x^{2} - x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{- 1 - 5}{2} \leq x \leq \frac{- 1 + 5}{2}

(\approx [- 1, 62; 0, 62])

2 x^{2} + 3 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{- 3 - 33}{4}

hoặc

x \geq \frac{- 3 + 33}{4}

(\approx - 2, 19

;

0, 69)

\Rightarrow D = \emptyset

1 \leq x \leq 4

và

x^{2} - 2 x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow 1 - 2 \leq x \leq 1 + 2 \Rightarrow D = [1; 1 + 2]

;

2 \in D

- 3 \in / D

Vậy a) $S = {- 2; 2}$ ; b) $S = {\frac{4}{3}}$ ; c) $S = \emptyset$ ; d) $S = {2}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho lời giải đẹp nhất ở câu c: tập xác định rỗng nên kết luận vô nghiệm mà không cần giải phương trình bậc hai; ngược lại ở câu a, Cách 2 nhanh hơn vì vế phải luôn dương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: mỗi câu chỉ kiểm một bất đẳng thức đơn giản cho từng nghiệm; riêng câu c có thể dùng Cách 3 để thấy ngay tập xác định rỗng.

Đáp số. a)

S = {- 2; 2}

. b)

S = {\frac{4}{3}}

. c) Phương trình vô nghiệm. d)

S = {2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c, chỉ thử điều kiện

2 x^{2} + 3 x - 3 \geq 0

cho

x = - 2

(được

8 - 6 - 3 = - 1

, loại) nhưng lại quên thử

x = \frac{2}{3}

(được

- \frac{1}{9}

), rồi nhận nhầm

S = {\frac{2}{3}}

. Ở câu a, từ

x^{2} = 4

chỉ lấy

x = 2

là mất nghiệm.

🚀 Mở rộng. Với

x^{2} + 2 x - 3 = - 2 x^{2} + m

, thử tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt (gợi ý: cả hai nghiệm của

3 x^{2} + 2 x - 3 - m = 0

phải thoả

x \leq - 3

hoặc

x \geq 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.21★★Trang 27— Phương trình dạng

a x^{2} + b x + c = d x + e

Bài 6.21 (trang 27). Giải các phương trình sau:
a)

6 x^{2} + 13 x + 13 = 2 x + 4

;

2 x^{2} + 5 x + 3 = - 3 - x

;
c)

3 x^{2} - 17 x + 23 = x - 3

;

- x^{2} + 2 x + 4 = x - 2

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả nên phải thử lại (hoặc đặt điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn câu có vế phải bậc nhất, nên điều kiện quyết định là vế phải không âm: a)

x \geq - 2

, b)

x \leq - 3

, c)

x \geq 3

, d)

x \geq 2

. Bình phương cho phương trình bậc hai; câu a có nghiệm vô tỉ, phải so sánh

\frac{3 - 33}{4}

với

- 2

. Bẫy ở câu b: cả hai nghiệm

3

và

- 2

đều lớn hơn

- 3

nên vô nghiệm.

1Cách 1. Bình phương, giải bằng

Δ

rồi thử lại.

Định hướng. Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai, rồi xét dấu vế phải tại từng nghiệm.

6 x^{2} + 13 x + 13 = 4 x^{2} + 16 x + 16 \Rightarrow 2 x^{2} - 3 x - 3 = 0

Δ = 9 + 24 = 33

x = \frac{3 \pm 33}{4}

2 x + 4 = \frac{3 \pm 33}{2} + 4 = \frac{11 \pm 33}{2} > 0

(vì

33 < 11

), cả hai thoả mãn
b)

2 x^{2} + 5 x + 3 = 9 + 6 x + x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0

Δ = 25

x = \frac{1 \pm 5}{2}

x = 3

- 3 - 3 = - 6 < 0

(loại);

x = - 2

- 3 + 2 = - 1 < 0

(loại)
c)

3 x^{2} - 17 x + 23 = x^{2} - 6 x + 9 \Rightarrow 2 x^{2} - 11 x + 14 = 0

Δ = 121 - 112 = 9

x = \frac{11 \pm 3}{4}

x = \frac{7}{2}

\frac{147}{4} - \frac{119}{2} + 23 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - 3

(thoả mãn);

x = 2

2 - 3 = - 1 < 0

(loại)
d)

- x^{2} + 2 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4 \Rightarrow 2 x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x = 0

hoặc

x = 3

x = 3

- 9 + 6 + 4 = 1 = 3 - 2

(thoả mãn);

x = 0

0 - 2 = - 2 < 0

(loại)

Vậy a) $S = {\frac{3 - 33}{4}; \frac{3 + 33}{4}}$ ; b) $S = \emptyset$ ; c) $S = {\frac{7}{2}}$ ; d) $S = {3}$ .

2Cách 2. Biến đổi tương đương, tách nhân tử.

Định hướng. Đặt điều kiện vế phải không âm; câu a bình phương đủ, các câu còn lại tách hạng tử giữa: b) tổng $- 1$ , tích $- 6$ là $- 3$ và $2$ ; c) tổng $- 11$ , tích $28$ là $- 4$ và $- 7$ .

\Leftrightarrow {x \geq - 2 2 x^{2} - 3 x - 3 = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 2 (x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{33}{16} \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm 33}{4}

(vì

\frac{3 - 33}{4} > \frac{3 - 11}{4} = - 2

)
b)

\Leftrightarrow {x \leq - 3 x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x \leq - 3 (x - 3) (x + 2) = 0

, không có

x

nào
c)

\Leftrightarrow {x \geq 3 2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14 = 0 \Leftrightarrow {x \geq 3 (x - 2) (2 x - 7) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}

\Leftrightarrow {x \geq 2 2 x (x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 3

Vậy a) $x = \frac{3 \pm 33}{4}$ ; b) vô nghiệm; c) $x = \frac{7}{2}$ ; d) $x = 3$ .

3Cách 3. Nhân liên hợp (a, c, d) và đánh giá (b).

Định hướng. Trên miền vế phải không âm, mẫu liên hợp $f + g$ dương nên phương trình tương đương $f - g^{2} = 0$ ; ở câu b chứng minh vế trái luôn lớn hơn vế phải.

x \geq - 2

(tại

x = - 2

11 + 0 > 0

\frac{6 x ^{2} + 13 x + 13 - ( 2 x + 4 ) ^{2}}{6 x ^{2} + 13 x + 13 + 2 x + 4} = \frac{2 x ^{2} - 3 x - 3}{6 x ^{2} + 13 x + 13 + 2 x + 4} = 0

\Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x - 3 = 0

x \geq - 2 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm 33}{4}

x \leq - 3

2 x^{2} + 5 x + 3 - (- 3 - x)^{2} = x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2) > 0

(hai thừa số cùng âm)

\Rightarrow 2 x^{2} + 5 x + 3 > ∣ - 3 - x ∣ = - 3 - x

x > 3

(tại

x = 3

27 - 51 + 23 = - 1 < 0

\frac{( x - 2 ) ( 2 x - 7 )}{3 x ^{2} - 17 x + 23 + x - 3} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}

x \geq 2

(tại

x = 2

4 + 0 > 0

\frac{- 2 x ( x - 3 )}{- x ^{2} + 2 x + 4 + x - 2} = 0 \Leftrightarrow x = 3

Vậy a) $S = {\frac{3 - 33}{4}; \frac{3 + 33}{4}}$ ; b) $S = \emptyset$ ; c) $S = {\frac{7}{2}}$ ; d) $S = {3}$ .

Nhận xét. Tử số sau khi nhân liên hợp chính là phương trình bậc hai của Cách 1, nên liên hợp cho thấy vì sao nghiệm ngoại lai xuất hiện: chúng làm mẫu $f + g$ không còn dương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: điều kiện vế phải loại nghiệm tức thì; với nghiệm vô tỉ ở câu a chỉ cần so

33 < 11

Đáp số. a)

S = {\frac{3 - 33}{4}; \frac{3 + 33}{4}}

. b) Phương trình vô nghiệm. c)

S = {\frac{7}{2}}

. d)

S = {3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, thấy

x = \frac{3 - 33}{4} \approx - 0, 69

là số âm rồi loại luôn — sai, vì điều kiện là

2 x + 4 \geq 0

chứ không phải

x \geq 0

. Ở câu b, bình phương

(- 3 - x)^{2}

thành

9 - 6 x + x^{2}

làm sai dấu hạng tử giữa.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu b:

2 x^{2} + 5 x + 3 = m - x

có nghiệm khi nào? (Gợi ý: xét giao điểm của nửa trên hai nhánh căn với đường thẳng

y = m - x

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.22★★★Trang 27— Bài toán hình học dẫn đến phương trình chứa căn

Bài 6.22 (trang 27). Cho tứ giác

A B C D

có

A B ⊥ C D

;

A B = 2

;

B C = 13

;

C D = 8

;

D A = 5

(H.6.21). Gọi

H

là giao điểm của

A B

và

C D

và đặt

x = A H

. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài

x

, từ đó tính diện tích tứ giác

A B C D

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore trong tam giác vuông.
$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
$S_{A B C D} = S_{H B C} - S_{H A D}$ khi $A \in H B$ , $D \in H C$ .
Tách hạng tử giữa: tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $a \cdot c$ để đưa $a x^{2} + b x + c$ về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Hai tam giác vuông tại

H

là

H A D

(cạnh huyền

5

) và

H B C

(cạnh huyền

13

), cùng góc vuông nên dùng định lí Pythagore hai lần. Biểu diễn

H D = 25 - x^{2}

rồi đưa vào tam giác lớn được phương trình chứa căn dạng

f = g

. Diện tích tứ giác bằng hiệu diện tích hai tam giác vuông; bẫy là quên điều kiện

0 < x < 5

khi chọn nghiệm.

1Cách 1. Phương trình chứa căn theo ẩn

x = A H

Định hướng. Tam giác $H A D$ cho $H D = 25 - x^{2}$ ; tam giác $H B C$ có $H B = x + 2$ , $H C = 8 + 25 - x^{2}$ , áp dụng Pythagore được phương trình một căn.

0 < x < 5

H D = 25 - x^{2}

H B = x + 2

H C = 8 + 25 - x^{2}

(x + 2)^{2} + (8 + 25 - x^{2})^{2} = 169

\Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 4 + 64 + 16 25 - x^{2} + 25 - x^{2} = 169

\Leftrightarrow 16 25 - x^{2} = 76 - 4 x \Leftrightarrow 4 25 - x^{2} = 19 - x

\Rightarrow 16 (25 - x^{2}) = 361 - 38 x + x^{2} \Leftrightarrow 17 x^{2} - 38 x - 39 = 0

\Leftrightarrow 17 x^{2} - 51 x + 13 x - 39 = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (17 x + 13) = 0

x = 3

(thoả

0 < x < 5

và

19 - 3 > 0

x = - \frac{13}{17}

(loại)

H D = 25 - 9 = 4

H C = 12

H B = 5

S_{A B C D} = S_{H B C} - S_{H A D} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 30 - 6 = 24

Vậy phương trình $(x + 2)^{2} + (8 + 25 - x^{2})^{2} = 169$ cho $x = 3$ , và $S_{A B C D} = 24$ .

2Cách 2. Hệ hai ẩn

x = A H

y = H D

, trừ vế để khử bình phương.

Định hướng. Hai đẳng thức Pythagore có chung $x^{2} + y^{2}$ ; trừ vế cho một phương trình bậc nhất, thế vào đường tròn $x^{2} + y^{2} = 25$ .

{x^{2} + y^{2} = 25 (x + 2)^{2} + (y + 8)^{2} = 169

x > 0

y > 0

\Rightarrow 4 x + 4 + 16 y + 64 = 144 \Leftrightarrow x = 19 - 4 y

(19 - 4 y)^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow 17 y^{2} - 152 y + 336 = 0

Δ^{'} = 7 6^{2} - 17 \cdot 336 = 5776 - 5712 = 64

y = \frac{76 \pm 8}{17}

y = 4 \Rightarrow x = 3

;

y = \frac{84}{17} \Rightarrow x = - \frac{13}{17} < 0

(loại)

S_{A B C D} = \frac{1}{2} (x + 2) (y + 8) - \frac{1}{2} x y = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 24

Vậy $A H = 3$ và diện tích tứ giác $A B C D$ bằng $24$ .

3Cách 3. Phương trình chứa căn theo ẩn

y = H D

Định hướng. Đổi vai trò: biểu diễn $x = 25 - y^{2}$ , phương trình thu được có vế phải $19 - 4 y$ và nghiệm hữu tỉ dễ tách.

(25 - y^{2} + 2)^{2} + (y + 8)^{2} = 169

\Leftrightarrow 25 - y^{2} + 4 25 - y^{2} + 4 + y^{2} + 16 y + 64 = 169 \Leftrightarrow 25 - y^{2} = 19 - 4 y

\Rightarrow 25 - y^{2} = 361 - 152 y + 16 y^{2} \Leftrightarrow 17 y^{2} - 152 y + 336 = 0

\Leftrightarrow 17 y^{2} - 68 y - 84 y + 336 = 0 \Leftrightarrow (y - 4) (17 y - 84) = 0

y = 4

19 - 16 = 3 \geq 0

(nhận),

x = 3

;

y = \frac{84}{17}

19 - \frac{336}{17} = - \frac{13}{17} < 0

(loại)

S_{A B C D} = S_{A B D} + S_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot H D + \frac{1}{2} \cdot C D \cdot H B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 4 + 20 = 24

Vậy $x = A H = 3$ , $S_{A B C D} = 24$ .

Nhận xét. Số liệu được chọn để có hai bộ ba Pythagore $3 - 4 - 5$ và $5 - 12 - 13$ ; Cách 3 tính diện tích bằng hai tam giác có đáy $A B$ , $C D$ và đường cao $H D$ , $H B$ là một kiểm tra chéo cho Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: trừ hai đẳng thức Pythagore khử ngay phần bậc hai, không phải bình phương biểu thức chứa căn nên ít sai.

Đáp số. Phương trình

(x + 2)^{2} + (8 + 25 - x^{2})^{2} = 169

cho

x = A H = 3

; diện tích tứ giác

A B C D

bằng

24

(đơn vị diện tích).

Sai lầm thường gặp. Lấy

H C = 8

(nhầm

H

trùng

D

) hoặc

H B = x - 2

(nhầm vị trí

A

B

) dẫn tới phương trình sai; tính diện tích bằng

\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D = 8

như tứ giác có hai đường chéo vuông góc — trong khi

A B

C D

là hai cạnh, không phải hai đường chéo.

🚀 Mở rộng. Giữ

A B = 2

C D = 8

D A = 5

và cho

B C = c

thay đổi: thử tìm miền giá trị của

c

để bài toán có nghiệm

0 < x < 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.23★★★Trang 27— Bài toán thực tế dẫn đến phương trình

a x^{2} + b x + c = d x + e

Bài 6.23 (trang 27). Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí

A

cách lề đường một khoảng

50

m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm

B

, cách mình một đoạn

200

m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là

5

km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là

15

km/h. Hãy xác định vị trí

C

trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Định lí Pythagore; định lí côsin $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ .
Cùng thời gian thì quãng đường tỉ lệ với vận tốc.

🧠 Phân tích tư duy

Gọi

H

là chân đường vuông góc từ

A

xuống lề đường:

A H = 50

B H = 20 0^{2} - 5 0^{2} = 5015

. Vận tốc xe gấp

3

lần vận tốc đi bộ nên "không ai chờ" nghĩa là

B C = 3 A C

. Đặt

x = H C

được phương trình

3 x^{2} + 2500 = 5015 - x

. Bẫy: hệ số vô tỉ

15

nên giữ dạng chính xác đến cuối rồi mới làm tròn.

1Cách 1. Phương trình căn theo ẩn

x = H C

(m).

Định hướng. Minh đi $A C = x^{2} + 2500$ , Hùng đi $B C = 5015 - x$ ; thời gian bằng nhau cho $B C = 3 A C$ .

B H = 20 0^{2} - 5 0^{2} = 37500 = 5015

0 \leq x \leq 5015

\frac{x ^{2} + 2500}{5} = \frac{50 15 - x}{15} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2500 = 5015 - x

\Rightarrow 9 x^{2} + 22500 = 37500 - 10015 x + x^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2515 x - 3750 = 0

Δ = 9375 + 30000 = 39375 = (757)^{2}

x = \frac{- 25 15 + 75 7}{4} \approx 25, 4

(nhận),

x = \frac{- 25 15 - 75 7}{4} < 0

(loại)

B C = 5015 - x \approx 193, 6 - 25, 4 = 168, 2

Vậy $C$ nằm giữa $B$ và $H$ , cách $H$ khoảng $25, 4$ m (cách $B$ khoảng $168, 2$ m).

2Cách 2. Định lí côsin với ẩn

y = B C

(m).

Định hướng. Trong tam giác $A B C$ biết $A B = 200$ , $cos B = \frac{B H}{A B} = \frac{15}{4}$ và $A C = \frac{y}{3}$ ; định lí côsin cho phương trình bậc hai ẩn $y$ , không có căn chứa ẩn.

(\frac{y}{3})^{2} = 20 0^{2} + y^{2} - 2 \cdot 200 \cdot y \cdot \frac{15}{4}

\Leftrightarrow y^{2} = 360000 + 9 y^{2} - 90015 y \Leftrightarrow 2 y^{2} - 22515 y + 90000 = 0

Δ = 759375 - 720000 = 39375 = (757)^{2}

y = \frac{225 15 \pm 75 7}{4}

y_{1} = \frac{225 15 - 75 7}{4} \approx 168, 2

y_{2} = \frac{225 15 + 75 7}{4} \approx 267, 5 > B H

C

ở giữa

B

và

H

(H.6.22)

\Rightarrow y = y_{1}

H C = 5015 - y_{1} = \frac{75 7 - 25 15}{4} \approx 25, 4

Vậy $B C \approx 168, 2$ m, tức $C$ cách $H$ khoảng $25, 4$ m.

3Cách 3. Pythagore với ẩn là quãng đi bộ

u = A C

(m).

Định hướng. Đặt $u = A C$ thì $B C = 3 u$ và $H C = 5015 - 3 u$ ; tam giác vuông $A H C$ cho phương trình bậc hai theo $u$ .

u^{2} = 5 0^{2} + (5015 - 3 u)^{2} \Leftrightarrow u^{2} = 2500 + 37500 - 30015 u + 9 u^{2}

\Leftrightarrow 2 u^{2} - 7515 u + 10000 = 0

Δ = 84375 - 80000 = 4375 = (257)^{2}

u = \frac{75 15 - 25 7}{4} \approx 56, 1

(ứng với

C

giữa

B

và

H

B C = 3 u \approx 168, 2

H C = 5015 - 3 u = \frac{75 7 - 25 15}{4} \approx 25, 4

Vậy $C$ cách $H$ khoảng $25, 4$ m về phía $B$ ; Minh đi bộ khoảng $56, 1$ m, Hùng đạp xe khoảng $168, 2$ m.

Nhận xét. Nghiệm còn lại $y_{2} \approx 267, 5$ m ứng với điểm $C^{'}$ vượt qua $H$ khoảng $73, 8$ m — về toán học hai bạn cũng gặp nhau đúng lúc, nhưng Hình 6.22 đặt $C$ giữa $B$ và $H$ và đó cũng là điểm gặp sớm hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bám sát dạng

f = g

của bài học; Cách 2 gọn khi đã quen định lí côsin và cho thấy đủ cả hai vị trí gặp nhau.

Đáp số. Điểm

C

nằm giữa

B

và

H

, cách

H

khoảng

25, 4

m (cách

B

khoảng

168, 2

m); chính xác

H C = \frac{75 7 - 25 15}{4}

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm

B H = 200

m (coi

200

m là khoảng cách dọc lề đường) trong khi đề cho

A B = 200

m là khoảng cách từ Minh tới

B

; hoặc đổi vận tốc sang m/s rồi làm tròn giữa chừng khiến kết quả lệch ở hàng phần mười.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu vận tốc xe gấp

k

lần vận tốc đi bộ (

k > 1

) thì

H C

thoả

k x^{2} + 2500 = 5015 - x

— thử tìm

k

nhỏ nhất để hai bạn còn gặp được nhau trước

H

Mở bài này trong app ↗