Chương I. Mệnh đề và tập hợp

Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang11 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.9★★Trang 11— Xét quan hệ tập con và dấu bằng giữa các tập hợp số

Điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai: a)

\emptyset \subset N

; b)

N \subset Z

; c)

\emptyset = {0}

; d)

{\emptyset} \subset R

Kiến thức cần nhớ

$X \subset Y$ khi và chỉ khi mọi phần tử của $X$ đều là phần tử của $Y$ .
Tập rỗng $\emptyset$ là tập con của mọi tập hợp.
Chuỗi bao hàm các tập hợp số: $N \subset Z \subset Q \subset R$ .
$\emptyset$ không có phần tử nào, còn ${0}$ có đúng một phần tử là số $0$ .
${\emptyset}$ có đúng một phần tử, phần tử ấy là tập hợp $\emptyset$ chứ không phải một số.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều quy về một việc duy nhất là đối chiếu với định nghĩa

X \subset Y

, tức mọi phần tử của

X

đều phải thuộc

Y

. Hai ý đầu rơi trúng quy ước về tập rỗng và chuỗi bao hàm quen thuộc nên trả lời được ngay không cần tính toán. Bẫy dồn hết vào hai ý sau, chỗ phải phân biệt tập không có phần tử nào với tập có một phần tử, và phân biệt

\emptyset

với

{\emptyset}

1Cách 1. Bám định nghĩa tập con, soi từng phần tử của vế trái

Định hướng. Với mỗi ý, lấy một phần tử bất kì của vế trái rồi xét xem nó có thuộc vế phải hay không; chỉ cần chỉ ra một phần tử không thuộc là mệnh đề sai.

\emptyset

không có phần tử nào nên không thể có

x \in \emptyset

mà

x \in / N

\emptyset \subset N

: Đ

n \in N

thì

n

là một số nguyên không âm, nên

n \in Z

N \subset Z

: Đ

0 \in {0}

nhưng

0 \in / \emptyset

\emptyset \neq = {0}

: S

d) Phần tử duy nhất của

{\emptyset}

là

\emptyset

, mà

\emptyset

là một tập hợp chứ không phải số thực nên

\emptyset \in / R

{\emptyset} \neq \subset R

: S

Vậy thứ tự điền vào bốn ô là Đ, Đ, S, S.

2Cách 2. Đếm số phần tử để bác bỏ dấu bằng và truy ra phần tử phản chứng

Định hướng. Dùng số phần tử làm dấu hiệu nhận biết: hai tập bằng nhau thì phải có cùng số phần tử, còn muốn phá quan hệ $\subset$ thì phải trưng ra được một phần tử cụ thể.

n (\emptyset) = 0

n ({0}) = 1

0 \neq = 1

nên

\emptyset \neq = {0}

: S

n ({\emptyset}) = 1

, phần tử ấy là

\emptyset

Mọi phần tử của

R

đều là số, còn

\emptyset

là tập hợp

{\emptyset} \neq \subset R

: S

a) Muốn có

\emptyset \neq \subset N

thì phải tồn tại

x \in \emptyset

, trái với

n (\emptyset) = 0

: Đ

b) Mỗi

n \in N

đều viết được dưới dạng số nguyên

n = n

với

n \geq 0

: Đ

Vậy bốn ô lần lượt là Đ, Đ, S, S, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đọc kết quả trên sơ đồ Ven của chuỗi bao hàm các tập số

Định hướng. Vẽ $N \subset Z \subset Q \subset R$ thành bốn vòng lồng nhau, đặt vòng rỗng vào trong cùng rồi đọc quan hệ bằng mắt.

a) Vòng

\emptyset

nằm lọt trong mọi vòng nên

\emptyset \subset N

: Đ

b) Vòng

N

nằm trọn bên trong vòng

Z

: Đ

c) Vòng

\emptyset

không chứa chấm nào, vòng

{0}

chứa đúng một chấm là số

0

Hai vòng khác nhau nên

\emptyset \neq = {0}

: S

{\emptyset}

là vòng chứa đúng một vật, vật đó lại là một VÒNG chứ không phải chấm trên trục số

Vòng ấy không nằm trong

R

: S

Vậy sơ đồ cho cùng đáp án Đ, Đ, S, S.

Nhận xét. Sơ đồ vòng lồng nhau còn đọc ngay được nhiều quan hệ khác của bài, chẳng hạn $N \subset R$ hay $Z \subset Q$ , nên rất đáng vẽ một lần rồi dùng lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần đọc đúng định nghĩa tập con là xử gọn cả bốn ý trong vài dòng; Cách 2 tuy cho phản ví dụ sắc nét nhưng phải viết thêm phần đếm số phần tử.

Đáp số. a) Đ; b) Đ; c) S vì

\emptyset

không có phần tử nào còn

{0}

có một phần tử; d) S vì phần tử của

{\emptyset}

là tập

\emptyset

, không phải số thực.

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến nhất là coi

\emptyset

và

{0}

là một, rồi viết

n (\emptyset) = 1

; thực ra

{0}

chứa số

0

nên nó có một phần tử và

{0} \neq = \emptyset

. Ý d) hay bị điền Đ do nhầm

{\emptyset}

với

\emptyset

: đúng là

\emptyset \subset R

, nhưng

{\emptyset} \subset R

lại sai vì phần tử

\emptyset

của nó không nằm trong

R

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với mọi tập

X

luôn có

\emptyset \subset X

, còn

{\emptyset} \subset X

chỉ đúng khi

\emptyset

là một PHẦN TỬ của

X

; hãy thử chỉ ra một tập

X

có đúng hai phần tử thoả mãn đồng thời

{\emptyset} \subset X

và

\emptyset \subset X

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.10★★Trang 11— Đọc biểu đồ Ven, liệt kê phần tử và đếm số phần tử của hợp

Cho hai tập hợp

A

B

được mô tả bởi biểu đồ Ven, trong đó

A

gồm các số

1

;

4

;

5

;

8

và

B

gồm các số

2

;

4

;

7

;

8

;

9

. a) Hãy chỉ ra các phần tử của tập hợp

A

, tập hợp

B

; b) Tính

n (A \cup B)

; c) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp

A

mà không thuộc tập hợp

B

; d) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp

B

mà không thuộc tập hợp

A

Kiến thức cần nhớ

$A \cup B$ gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ , mỗi phần tử chỉ kể một lần.
$A \cap B$ gồm các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập hợp.
$A ∖ B$ gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$ .
Công thức đếm: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .
Ba mảnh $A ∖ B$ , $A \cap B$ , $B ∖ A$ đôi một không giao nhau và gộp lại đúng bằng $A \cup B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của dạng này là đề cho sẵn hình chứ không cho công thức, nên việc đầu tiên là đọc ba mảnh rời nhau của biểu đồ: mảnh chỉ thuộc

A

, mảnh chung, mảnh chỉ thuộc

B

. Khi đã tách được ba mảnh thì cả bốn câu hỏi đều trả lời được mà không cần tính gì thêm. Chỗ dễ hỏng là đếm

n (A \cup B)

bằng cách cộng thẳng

n (A)

với

n (B)

, làm hai số nằm ở mảnh chung bị đếm hai lần.

1Cách 1. Liệt kê thẳng mọi phần tử của hợp rồi đếm

Định hướng. Viết hẳn tập hợp $A \cup B$ ra dưới dạng liệt kê, mỗi số chỉ ghi một lần, sau đó đếm số phần tử đã ghi.

A = {1; 4; 5; 8}

B = {2; 4; 7; 8; 9}

A \cup B = {1; 4; 5; 8} \cup {2; 4; 7; 8; 9}

A \cup B = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}

n (A \cup B) = 7

A ∖ B = {1; 5}

B ∖ A = {2; 7; 9}

Vậy $A = {1; 4; 5; 8}$ , $B = {2; 4; 7; 8; 9}$ , $n (A \cup B) = 7$ , $A ∖ B = {1; 5}$ và $B ∖ A = {2; 7; 9}$ .

2Cách 2. Dùng công thức

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

Định hướng. Đếm riêng số phần tử của từng tập rồi trừ đi phần chung đã bị đếm hai lần, khỏi phải viết lại cả tập hợp.

n (A) = 4

n (B) = 5

A \cap B = {4; 8}

n (A \cap B) = 2

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

n (A \cup B) = 4 + 5 - 2

n (A \cup B) = 7

A ∖ B

gồm các phần tử của

A

sau khi bỏ đi phần chung:

{1; 4; 5; 8} ∖ {4; 8} = {1; 5}

B ∖ A = {2; 4; 7; 8; 9} ∖ {4; 8} = {2; 7; 9}

Vậy $n (A \cup B) = 7$ , $A ∖ B = {1; 5}$ , $B ∖ A = {2; 7; 9}$ , trùng với Cách 1.

3Cách 3. Chia biểu đồ Ven thành ba mảnh rời nhau rồi cộng

Định hướng. Cắt $A \cup B$ thành ba mảnh không chồng lên nhau; vì rời nhau nên số phần tử của hợp bằng đúng tổng ba số.

A ∖ B = {1; 5}

nên mảnh chỉ thuộc

A

có

2

phần tử

A \cap B = {4; 8}

nên mảnh chung có

2

phần tử

B ∖ A = {2; 7; 9}

nên mảnh chỉ thuộc

B

có

3

phần tử

n (A \cup B) = 2 + 2 + 3

n (A \cup B) = 7

Gộp ba mảnh lại:

A \cup B = {1; 5} \cup {4; 8} \cup {2; 7; 9} = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}

Vậy ba mảnh cho $n (A \cup B) = 7$ và cùng lúc trả lời luôn hai câu c), d).

Nhận xét. Cách chia ba mảnh là cách duy nhất trong ba cách trả lời được cả bốn câu chỉ bằng một lần đọc hình, và nó chính là ý tưởng gốc sinh ra công thức ở Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chia ba mảnh rời nhau thì bốn câu a), b), c), d) ra cùng lúc, không phải viết lại tập hợp lần nào; Cách 2 chỉ nhanh khi đề hỏi mỗi số phần tử.

Đáp số. a)

A = {1; 4; 5; 8}

B = {2; 4; 7; 8; 9}

; b)

n (A \cup B) = 7

; c)

A ∖ B = {1; 5}

; d)

B ∖ A = {2; 7; 9}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là viết

n (A \cup B) = n (A) + n (B) = 4 + 5 = 9

; con số

9

sai vì hai phần tử

4

và

8

bị đếm hai lần, đáp số đúng là

7

. Một lỗi khác là kể cả

4

và

8

vào

A ∖ B

, trong khi

4 \in B

và

8 \in B

nên chúng phải bị loại,

A ∖ B

chỉ còn

{1; 5}

🚀 Mở rộng. Mở rộng cho ba tập hợp: khi đó

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (C \cap A) + n (A \cap B \cap C)

, và biểu đồ Ven bị cắt thành bảy mảnh rời nhau thay vì ba.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.11★★★Trang 11— Chuyển tập hợp từ dạng liệt kê sang dạng nêu tính chất đặc trưng

Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

A = {0; 4; 8; 12; 16}

;

B = {- 3; 9; - 27; 81}

;

C

là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

M N

Kiến thức cần nhớ

Tập hợp cho bằng tính chất đặc trưng viết dưới dạng $X = {x ∣ p (x)}$ với $p (x)$ là tính chất của phần tử.
Dãy có hiệu hai số liên tiếp không đổi và bằng $d$ thì số hạng tổng quát có dạng $u_{k} = u_{1} + k d$ .
Dãy có thương hai số liên tiếp không đổi và bằng $q$ thì số hạng tổng quát có dạng $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .
Đường trung trực của đoạn thẳng $M N$ là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút $M$ và $N$ .
Điều kiện đặc trưng phải kèm chặn để tập không bị thừa phần tử.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.12★★Trang 11— Nhận biết tập rỗng qua điều kiện ràng buộc phần tử

Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

A = {x \in N ∣ x \leq 0}

;

B = {x \in N ∣ 2 x^{2} - 3 x - 5 = 0}

Kiến thức cần nhớ

Tập rỗng là tập không có phần tử nào, kí hiệu $\emptyset$ .
$N = {0; 1; 2; 3; \dots}$ , tức số $0$ là số tự nhiên.
Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ với $a \neq = 0$ có biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; khi $Δ > 0$ thì hai nghiệm là $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
$2 x^{2} - 3 x - 5 = (x + 1) (2 x - 5)$ .
Tập cho bởi tính chất đặc trưng chỉ rỗng khi KHÔNG có giá trị nào vừa thoả điều kiện vừa nằm trong tập nền.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.13★★Trang 11— Phân biệt quan hệ thuộc và quan hệ tập con

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? Giải thích kết luận đưa ra. a) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp; b) Nếu

X = {a; b}

thì

a \subset X

; c) Nếu

X = {a; b}

thì

{a; b} \subset X

Kiến thức cần nhớ

$a \in X$ nói rằng $a$ là một phần tử của tập $X$ .
$Y \subset X$ nói rằng mọi phần tử của $Y$ đều là phần tử của $X$ , hai vế đều phải là tập hợp.
Mọi tập hợp $X$ đều thoả $X \subset X$ .
$\emptyset \subset X$ với mọi tập hợp $X$ .
Tập $X = {a; b}$ có đúng bốn tập con là $\emptyset$ , ${a}$ , ${b}$ , ${a; b}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.14★★★Trang 11— Giao và hiệu hai khoảng, nửa khoảng trên trục số

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số: a)

(4; 7) \cap (- 1; 3)

; b)

(- 2; 1] \cap (- \infty; 1)

; c)

(- 2; 6) ∖ (3; 10)

; d)

(- 3; 5] ∖ [2; 8)

Kiến thức cần nhớ

$(a; b) = {x \in R ∣ a < x < b}$ và $(a; b] = {x \in R ∣ a < x \leq b}$ .
$x \in A \cap B$ khi và chỉ khi $x$ thoả đồng thời hai điều kiện của $A$ và của $B$ .
$x \in A ∖ B$ khi và chỉ khi $x \in A$ và $x \in / B$ .
$A ∖ B = A \cap C_{R} B$ , trong đó $C_{R} B$ là phần bù của $B$ trong $R$ .
Trên trục số, đầu mút được lấy vẽ bằng chấm đặc, đầu mút không lấy vẽ bằng chấm rỗng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.15★★★Trang 11— Bài toán đếm bằng biểu đồ Ven và công thức cộng loại trừ

Trong một cuộc phỏng vấn

56

người về những việc họ thường làm vào ngày nghỉ cuối tuần, có

24

người thích tập thể thao,

15

người thích đi câu cá và

20

người không thích cả hai hoạt động trên. a) Có bao nhiêu người thích chơi thể thao hoặc thích câu cá? b) Có bao nhiêu người thích cả câu cá và chơi thể thao? c) Có bao nhiêu người chỉ thích câu cá, không thích chơi thể thao?

Kiến thức cần nhớ

Gọi $A$ là tập người thích thể thao, $B$ là tập người thích câu cá thì người thích ít nhất một hoạt động lập thành $A \cup B$ .
$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .
Số người không thích hoạt động nào bằng tổng số người trừ đi $n (A \cup B)$ .
Số người chỉ thích câu cá là $n (B) - n (A \cap B)$ .
Bốn mảnh chỉ $A$ , chỉ $B$ , cả hai, không mảnh nào đôi một rời nhau và có tổng bằng cả nhóm.