Chương I. Mệnh đề và tập hợp

Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

SBT (Sách bài tập) Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.9★★Trang 11— Xét quan hệ tập con và dấu bằng giữa các tập hợp số

Điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai: a)

\emptyset \subset N

; b)

N \subset Z

; c)

\emptyset = {0}

; d)

{\emptyset} \subset R

Kiến thức cần nhớ

$X \subset Y$ khi và chỉ khi mọi phần tử của $X$ đều là phần tử của $Y$ .
Tập rỗng $\emptyset$ là tập con của mọi tập hợp.
Chuỗi bao hàm các tập hợp số: $N \subset Z \subset Q \subset R$ .
$\emptyset$ không có phần tử nào, còn ${0}$ có đúng một phần tử là số $0$ .
${\emptyset}$ có đúng một phần tử, phần tử ấy là tập hợp $\emptyset$ chứ không phải một số.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều quy về một việc duy nhất là đối chiếu với định nghĩa

X \subset Y

, tức mọi phần tử của

X

đều phải thuộc

Y

. Hai ý đầu rơi trúng quy ước về tập rỗng và chuỗi bao hàm quen thuộc nên trả lời được ngay không cần tính toán. Bẫy dồn hết vào hai ý sau, chỗ phải phân biệt tập không có phần tử nào với tập có một phần tử, và phân biệt

\emptyset

với

{\emptyset}

1Cách 1. Bám định nghĩa tập con, soi từng phần tử của vế trái

Định hướng. Với mỗi ý, lấy một phần tử bất kì của vế trái rồi xét xem nó có thuộc vế phải hay không; chỉ cần chỉ ra một phần tử không thuộc là mệnh đề sai.

\emptyset

không có phần tử nào nên không thể có

x \in \emptyset

mà

x \in / N

\emptyset \subset N

: Đ

n \in N

thì

n

là một số nguyên không âm, nên

n \in Z

N \subset Z

: Đ

0 \in {0}

nhưng

0 \in / \emptyset

\emptyset \neq = {0}

: S

d) Phần tử duy nhất của

{\emptyset}

là

\emptyset

, mà

\emptyset

là một tập hợp chứ không phải số thực nên

\emptyset \in / R

{\emptyset} \neq \subset R

: S

Vậy thứ tự điền vào bốn ô là Đ, Đ, S, S.

2Cách 2. Đếm số phần tử để bác bỏ dấu bằng và truy ra phần tử phản chứng

Định hướng. Dùng số phần tử làm dấu hiệu nhận biết: hai tập bằng nhau thì phải có cùng số phần tử, còn muốn phá quan hệ $\subset$ thì phải trưng ra được một phần tử cụ thể.

n (\emptyset) = 0

n ({0}) = 1

0 \neq = 1

nên

\emptyset \neq = {0}

: S

n ({\emptyset}) = 1

, phần tử ấy là

\emptyset

Mọi phần tử của

R

đều là số, còn

\emptyset

là tập hợp

{\emptyset} \neq \subset R

: S

a) Muốn có

\emptyset \neq \subset N

thì phải tồn tại

x \in \emptyset

, trái với

n (\emptyset) = 0

: Đ

b) Mỗi

n \in N

đều viết được dưới dạng số nguyên

n = n

với

n \geq 0

: Đ

Vậy bốn ô lần lượt là Đ, Đ, S, S, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đọc kết quả trên sơ đồ Ven của chuỗi bao hàm các tập số

Định hướng. Vẽ $N \subset Z \subset Q \subset R$ thành bốn vòng lồng nhau, đặt vòng rỗng vào trong cùng rồi đọc quan hệ bằng mắt.

a) Vòng

\emptyset

nằm lọt trong mọi vòng nên

\emptyset \subset N

: Đ

b) Vòng

N

nằm trọn bên trong vòng

Z

: Đ

c) Vòng

\emptyset

không chứa chấm nào, vòng

{0}

chứa đúng một chấm là số

0

Hai vòng khác nhau nên

\emptyset \neq = {0}

: S

{\emptyset}

là vòng chứa đúng một vật, vật đó lại là một VÒNG chứ không phải chấm trên trục số

Vòng ấy không nằm trong

R

: S

Vậy sơ đồ cho cùng đáp án Đ, Đ, S, S.

Nhận xét. Sơ đồ vòng lồng nhau còn đọc ngay được nhiều quan hệ khác của bài, chẳng hạn $N \subset R$ hay $Z \subset Q$ , nên rất đáng vẽ một lần rồi dùng lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần đọc đúng định nghĩa tập con là xử gọn cả bốn ý trong vài dòng; Cách 2 tuy cho phản ví dụ sắc nét nhưng phải viết thêm phần đếm số phần tử.

Đáp số. a) Đ; b) Đ; c) S vì

\emptyset

không có phần tử nào còn

{0}

có một phần tử; d) S vì phần tử của

{\emptyset}

là tập

\emptyset

, không phải số thực.

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến nhất là coi

\emptyset

và

{0}

là một, rồi viết

n (\emptyset) = 1

; thực ra

{0}

chứa số

0

nên nó có một phần tử và

{0} \neq = \emptyset

. Ý d) hay bị điền Đ do nhầm

{\emptyset}

với

\emptyset

: đúng là

\emptyset \subset R

, nhưng

{\emptyset} \subset R

lại sai vì phần tử

\emptyset

của nó không nằm trong

R

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với mọi tập

X

luôn có

\emptyset \subset X

, còn

{\emptyset} \subset X

chỉ đúng khi

\emptyset

là một PHẦN TỬ của

X

; hãy thử chỉ ra một tập

X

có đúng hai phần tử thoả mãn đồng thời

{\emptyset} \subset X

và

\emptyset \subset X

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.10★★Trang 11— Đọc biểu đồ Ven, liệt kê phần tử và đếm số phần tử của hợp

Cho hai tập hợp

A

B

được mô tả bởi biểu đồ Ven, trong đó

A

gồm các số

1

;

4

;

5

;

8

và

B

gồm các số

2

;

4

;

7

;

8

;

9

. a) Hãy chỉ ra các phần tử của tập hợp

A

, tập hợp

B

; b) Tính

n (A \cup B)

; c) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp

A

mà không thuộc tập hợp

B

; d) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp

B

mà không thuộc tập hợp

A

Kiến thức cần nhớ

$A \cup B$ gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ , mỗi phần tử chỉ kể một lần.
$A \cap B$ gồm các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập hợp.
$A ∖ B$ gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$ .
Công thức đếm: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .
Ba mảnh $A ∖ B$ , $A \cap B$ , $B ∖ A$ đôi một không giao nhau và gộp lại đúng bằng $A \cup B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của dạng này là đề cho sẵn hình chứ không cho công thức, nên việc đầu tiên là đọc ba mảnh rời nhau của biểu đồ: mảnh chỉ thuộc

A

, mảnh chung, mảnh chỉ thuộc

B

. Khi đã tách được ba mảnh thì cả bốn câu hỏi đều trả lời được mà không cần tính gì thêm. Chỗ dễ hỏng là đếm

n (A \cup B)

bằng cách cộng thẳng

n (A)

với

n (B)

, làm hai số nằm ở mảnh chung bị đếm hai lần.

1Cách 1. Liệt kê thẳng mọi phần tử của hợp rồi đếm

Định hướng. Viết hẳn tập hợp $A \cup B$ ra dưới dạng liệt kê, mỗi số chỉ ghi một lần, sau đó đếm số phần tử đã ghi.

A = {1; 4; 5; 8}

B = {2; 4; 7; 8; 9}

A \cup B = {1; 4; 5; 8} \cup {2; 4; 7; 8; 9}

A \cup B = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}

n (A \cup B) = 7

A ∖ B = {1; 5}

B ∖ A = {2; 7; 9}

Vậy $A = {1; 4; 5; 8}$ , $B = {2; 4; 7; 8; 9}$ , $n (A \cup B) = 7$ , $A ∖ B = {1; 5}$ và $B ∖ A = {2; 7; 9}$ .

2Cách 2. Dùng công thức

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

Định hướng. Đếm riêng số phần tử của từng tập rồi trừ đi phần chung đã bị đếm hai lần, khỏi phải viết lại cả tập hợp.

n (A) = 4

n (B) = 5

A \cap B = {4; 8}

n (A \cap B) = 2

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

n (A \cup B) = 4 + 5 - 2

n (A \cup B) = 7

A ∖ B

gồm các phần tử của

A

sau khi bỏ đi phần chung:

{1; 4; 5; 8} ∖ {4; 8} = {1; 5}

B ∖ A = {2; 4; 7; 8; 9} ∖ {4; 8} = {2; 7; 9}

Vậy $n (A \cup B) = 7$ , $A ∖ B = {1; 5}$ , $B ∖ A = {2; 7; 9}$ , trùng với Cách 1.

3Cách 3. Chia biểu đồ Ven thành ba mảnh rời nhau rồi cộng

Định hướng. Cắt $A \cup B$ thành ba mảnh không chồng lên nhau; vì rời nhau nên số phần tử của hợp bằng đúng tổng ba số.

A ∖ B = {1; 5}

nên mảnh chỉ thuộc

A

có

2

phần tử

A \cap B = {4; 8}

nên mảnh chung có

2

phần tử

B ∖ A = {2; 7; 9}

nên mảnh chỉ thuộc

B

có

3

phần tử

n (A \cup B) = 2 + 2 + 3

n (A \cup B) = 7

Gộp ba mảnh lại:

A \cup B = {1; 5} \cup {4; 8} \cup {2; 7; 9} = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}

Vậy ba mảnh cho $n (A \cup B) = 7$ và cùng lúc trả lời luôn hai câu c), d).

Nhận xét. Cách chia ba mảnh là cách duy nhất trong ba cách trả lời được cả bốn câu chỉ bằng một lần đọc hình, và nó chính là ý tưởng gốc sinh ra công thức ở Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chia ba mảnh rời nhau thì bốn câu a), b), c), d) ra cùng lúc, không phải viết lại tập hợp lần nào; Cách 2 chỉ nhanh khi đề hỏi mỗi số phần tử.

Đáp số. a)

A = {1; 4; 5; 8}

B = {2; 4; 7; 8; 9}

; b)

n (A \cup B) = 7

; c)

A ∖ B = {1; 5}

; d)

B ∖ A = {2; 7; 9}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là viết

n (A \cup B) = n (A) + n (B) = 4 + 5 = 9

; con số

9

sai vì hai phần tử

4

và

8

bị đếm hai lần, đáp số đúng là

7

. Một lỗi khác là kể cả

4

và

8

vào

A ∖ B

, trong khi

4 \in B

và

8 \in B

nên chúng phải bị loại,

A ∖ B

chỉ còn

{1; 5}

🚀 Mở rộng. Mở rộng cho ba tập hợp: khi đó

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (C \cap A) + n (A \cap B \cap C)

, và biểu đồ Ven bị cắt thành bảy mảnh rời nhau thay vì ba.

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.11★★★Trang 11— Chuyển tập hợp từ dạng liệt kê sang dạng nêu tính chất đặc trưng

Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

A = {0; 4; 8; 12; 16}

;

B = {- 3; 9; - 27; 81}

;

C

là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

M N

Kiến thức cần nhớ

Tập hợp cho bằng tính chất đặc trưng viết dưới dạng $X = {x ∣ p (x)}$ với $p (x)$ là tính chất của phần tử.
Dãy có hiệu hai số liên tiếp không đổi và bằng $d$ thì số hạng tổng quát có dạng $u_{k} = u_{1} + k d$ .
Dãy có thương hai số liên tiếp không đổi và bằng $q$ thì số hạng tổng quát có dạng $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .
Đường trung trực của đoạn thẳng $M N$ là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút $M$ và $N$ .
Điều kiện đặc trưng phải kèm chặn để tập không bị thừa phần tử.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu chung của cả ba tập là phải tìm một điều kiện DUY NHẤT vừa đúng cho mọi phần tử đã cho, vừa loại hết các phần tử khác. Ở

A

các số cách đều nhau nên hướng tự nhiên là xét hiệu hai số liên tiếp, còn ở

B

các số đổi dấu và lớn rất nhanh nên phải xét thương. Với

C

thì không liệt kê được vì tập vô hạn điểm, bắt buộc phải mô tả bằng một tính chất hình học.

1Cách 1. Xét hiệu và thương của hai số hạng liên tiếp để lộ quy luật

Định hướng. Lấy hiệu hai số liên tiếp để thử quy luật cộng, lấy thương hai số liên tiếp để thử quy luật nhân, quy luật nào giữ nguyên suốt dãy thì đó là tính chất đặc trưng.

4 - 0 = 4

8 - 4 = 4

12 - 8 = 4

16 - 12 = 4

A = {4 k ∣ k \in N, k \leq 4}

\frac{9}{- 3} = - 3

\frac{- 27}{9} = - 3

\frac{81}{- 27} = - 3

B = {(- 3)^{n} ∣ n \in N, 1 \leq n \leq 4}

C = {P ∣ P M = P N}

Vậy $A = {4 k ∣ k \in N, k \leq 4}$ , $B = {(- 3)^{n} ∣ n \in N, 1 \leq n \leq 4}$ và $C = {P ∣ P M = P N}$ .

2Cách 2. Mô tả bằng điều kiện chia hết kèm chặn trên và bằng luỹ thừa

Định hướng. Thay vì mô tả theo chỉ số, mô tả thẳng bằng tính chất của chính số đó: chia hết cho mấy, nằm trong khoảng nào, là luỹ thừa của số nào.

Mọi phần tử của

A

đều là bội của

4

và không vượt quá

16

A = {x \in N ∣ x ⋮ 4, x \leq 16}

Mọi phần tử của

B

đều là luỹ thừa của

- 3

với số mũ nguyên dương không vượt quá

4

B = {x ∣ x = (- 3)^{n}, n \in N^{*}, n \leq 4}

Một điểm nằm trên đường trung trực của

M N

khi và chỉ khi nó cách đều

M

và

N

C = {P ∣ P M = P N}

Vậy ba tập được mô tả bằng ba tính chất: bội của $4$ không quá $16$ , luỹ thừa của $- 3$ với số mũ từ $1$ đến $4$ , và điểm cách đều hai đầu mút.

3Cách 3. Tham số hoá rồi thử ngược lại từng giá trị của tham số

Định hướng. Đặt công thức tổng quát chứa tham số, cho tham số chạy hết miền đã chọn rồi đối chiếu kết quả với tập đã cho; trùng khít cả hai chiều mới là mô tả đúng.

Đặt

x = 4 k

với

k \in {0; 1; 2; 3; 4}

k = 0 \Rightarrow x = 0

;

k = 1 \Rightarrow x = 4

;

k = 2 \Rightarrow x = 8

;

k = 3 \Rightarrow x = 12

;

k = 4 \Rightarrow x = 16

Năm giá trị thu được đúng bằng

A

, không thừa không thiếu

Đặt

x = (- 3)^{n}

với

n \in {1; 2; 3; 4}

n = 1 \Rightarrow x = - 3

;

n = 2 \Rightarrow x = 9

;

n = 3 \Rightarrow x = - 27

;

n = 4 \Rightarrow x = 81

Bốn giá trị thu được đúng bằng

B

Đặt điều kiện

P M = P N

rồi kiểm hai chiều: điểm trên trung trực thì cách đều hai đầu mút, và điểm cách đều hai đầu mút thì nằm trên trung trực

C = {P ∣ P M = P N}

Vậy cả ba mô tả đều trùng khít với tập đã cho theo cả hai chiều.

Nhận xét. Bước thử ngược mới là bước quyết định: viết $A = {x \in N ∣ x ⋮ 4}$ mà quên chặn $x \leq 16$ thì tập thu được là vô hạn, khác hẳn tập $A$ ban đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì viết được ngay một dòng cho mỗi tập và giám khảo đọc là thấy đủ hai vế điều kiện; Cách 3 nên dùng để tự kiểm tra lại trong nháp cho chắc.

Đáp số.

A = {x \in N ∣ x ⋮ 4, x \leq 16} = {4 k ∣ k \in N, k \leq 4}

;

B = {(- 3)^{n} ∣ n \in N^{*}, n \leq 4}

;

C = {P ∣ P M = P N}

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là bỏ quên chặn trên, viết

A = {x \in N ∣ x ⋮ 4}

; tập này chứa cả

20

và

2024

nên không phải tập

A

chỉ có năm phần tử. Ở tập

B

nhiều bạn viết

B = {3^{n}}

rồi thêm dấu trừ bằng lời, nhưng

3^{n}

luôn dương nên không bao giờ ra

- 3

hay

- 27

; phải để nguyên cơ số âm là

(- 3)^{n}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

B

thành

{- 3; 9; - 27; 81; \dots}

kéo dài vô hạn thì chỉ cần bỏ chặn

n \leq 4

, và khi đó mọi phần tử ở vị trí lẻ đều âm còn vị trí chẵn đều dương vì dấu của

(- 3)^{n}

theo tính chẵn lẻ của

n

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.12★★Trang 11— Nhận biết tập rỗng qua điều kiện ràng buộc phần tử

Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

A = {x \in N ∣ x \leq 0}

;

B = {x \in N ∣ 2 x^{2} - 3 x - 5 = 0}

Kiến thức cần nhớ

Tập rỗng là tập không có phần tử nào, kí hiệu $\emptyset$ .
$N = {0; 1; 2; 3; \dots}$ , tức số $0$ là số tự nhiên.
Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ với $a \neq = 0$ có biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; khi $Δ > 0$ thì hai nghiệm là $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
$2 x^{2} - 3 x - 5 = (x + 1) (2 x - 5)$ .
Tập cho bởi tính chất đặc trưng chỉ rỗng khi KHÔNG có giá trị nào vừa thoả điều kiện vừa nằm trong tập nền.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai tập đều cho bằng tính chất đặc trưng nên muốn biết tập nào rỗng thì phải đi tìm thật các phần tử thoả mãn, chứ không đoán theo hình thức của điều kiện. Điểm mấu chốt nằm ở ràng buộc

x \in N

đứng trước dấu gạch, nó lọc lại kết quả sau khi giải xong. Bẫy của đề là điều kiện

x \leq 0

trông như vô lí với số tự nhiên, trong khi số

0

vẫn là số tự nhiên và vẫn thoả mãn.

1Cách 1. Thử trực tiếp các số tự nhiên nhỏ rồi chặn phần còn lại

Định hướng. Thay lần lượt các số tự nhiên nhỏ vào điều kiện, sau đó đánh giá dấu để khẳng định các số lớn hơn đều không thể thoả mãn.

Với

A

: số tự nhiên duy nhất thoả

x \leq 0

là

x = 0

A = {0}

nên

A

có một phần tử,

A

không rỗng

Với

B

x = 0

cho

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 5 = - 5 \neq = 0

x = 1

cho

2 - 3 - 5 = - 6 \neq = 0

x = 2

cho

8 - 6 - 5 = - 3 \neq = 0

x = 3

cho

18 - 9 - 5 = 4 \neq = 0

Với

x \geq 3

thì

2 x^{2} - 3 x - 5 = x (2 x - 3) - 5 \geq 3 \cdot 3 - 5 = 4 > 0

Không số tự nhiên nào thoả mãn nên

B = \emptyset

Vậy $A = {0}$ không rỗng, còn $B = \emptyset$ là tập rỗng.

2Cách 2. Giải phương trình bậc hai bằng biệt thức

Δ

rồi lọc theo tập nền

Định hướng. Giải trọn vẹn phương trình trên tập số thực trước, sau đó mới đối chiếu từng nghiệm với ràng buộc $x \in N$ .

2 x^{2} - 3 x - 5 = 0

Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)

Δ = 9 + 40

Δ = 49 > 0

Δ = 7

x = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

hoặc

x = \frac{3 - 7}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1

\frac{5}{2} \in / N

và

- 1 \in / N

B = \emptyset

A = {x \in N ∣ x \leq 0} = {0} \neq = \emptyset

Vậy chỉ có $B$ là tập rỗng.

3Cách 3. Tách nhân tử

(x + 1) (2 x - 5)

để đọc ngay hai nghiệm

Định hướng. Phân tích vế trái thành tích hai nhân tử bậc nhất, khi đó nghiệm hiện ra ngay mà không phải tính biệt thức.

2 x^{2} - 3 x - 5 = 2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5

= 2 x (x + 1) - 5 (x + 1)

= (x + 1) (2 x - 5)

(x + 1) (2 x - 5) = 0

x + 1 = 0

hoặc

2 x - 5 = 0

x = - 1

hoặc

x = \frac{5}{2}

Cả hai giá trị đều không phải số tự nhiên nên

B = \emptyset

A = {0}

vì

0 \in N

và

0 \leq 0

Vậy $B$ là tập rỗng, $A$ thì không.

Nhận xét. Nhìn trên parabol $y = 2 x^{2} - 3 x - 5$ thấy rõ hơn nữa: đồ thị cắt trục hoành tại $x = - 1$ nằm bên trái gốc và $x = \frac{5}{2}$ rơi vào giữa hai chấm $2$ và $3$ , nên không có chấm số tự nhiên nào nằm trên giao điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì tách được nhân tử thì hai nghiệm hiện ra sau ba dòng, không cần nhớ công thức biệt thức và không sợ nhầm dấu của

- 4 a c

; Cách 2 là phương án an toàn khi hệ số xấu không tách nhẩm được.

Đáp số.

A = {0}

nên

A

không phải tập rỗng;

B = \emptyset

vì phương trình

2 x^{2} - 3 x - 5 = 0

chỉ có hai nghiệm

x = - 1

và

x = \frac{5}{2}

, đều không thuộc

N

Sai lầm thường gặp. Sai điển hình là kết luận

A = \emptyset

với lí do số tự nhiên thì không âm; thực ra điều kiện là

x \leq 0

chứ không phải

x < 0

, mà

0 \in N

nên

A = {0}

có đúng một phần tử. Sai thứ hai là giải xong phương trình rồi kết luận

B = {- 1; \frac{5}{2}}

, quên mất ràng buộc

x \in N

ghi ngay trong đề.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tập nền

N

thành

Q

thì

B = {- 1; \frac{5}{2}}

có hai phần tử, còn đổi thành

Z

thì

B = {- 1}

chỉ còn một phần tử; cùng một điều kiện mà tập nền khác nhau cho kết quả khác hẳn.

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.13★★Trang 11— Phân biệt quan hệ thuộc và quan hệ tập con

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? Giải thích kết luận đưa ra. a) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp; b) Nếu

X = {a; b}

thì

a \subset X

; c) Nếu

X = {a; b}

thì

{a; b} \subset X

Kiến thức cần nhớ

$a \in X$ nói rằng $a$ là một phần tử của tập $X$ .
$Y \subset X$ nói rằng mọi phần tử của $Y$ đều là phần tử của $X$ , hai vế đều phải là tập hợp.
Mọi tập hợp $X$ đều thoả $X \subset X$ .
$\emptyset \subset X$ với mọi tập hợp $X$ .
Tập $X = {a; b}$ có đúng bốn tập con là $\emptyset$ , ${a}$ , ${b}$ , ${a; b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba mệnh đề chỉ khác nhau ở hai bên của dấu quan hệ, nên trước khi phán đúng sai phải xác định rõ mỗi vế là PHẦN TỬ hay là TẬP HỢP. Dấu

\in

nối một phần tử với một tập, còn dấu

\subset

nối hai tập với nhau, viết lệch là mệnh đề sai ngay dù nội dung nghe có vẻ hợp lí. Ý c) nhìn thì lạ vì hai vế giống hệt nhau, nhưng chính chỗ đó lại là chìa khoá: mọi tập đều là tập con của chính nó.

1Cách 1. Đối chiếu định nghĩa để tách bạch dấu thuộc với dấu tập con

Định hướng. Với mỗi mệnh đề, chỉ rõ vế trái là phần tử hay tập hợp rồi so với đòi hỏi của dấu quan hệ đang dùng.

a) Muốn

\emptyset \neq \subset X

thì phải có phần tử thuộc

\emptyset

mà không thuộc

X

\emptyset

không có phần tử nào nên không thể xảy ra điều đó

Mệnh đề a) ĐÚNG

b) Trong

X = {a; b}

thì

a

là một PHẦN TỬ, không phải tập hợp

Dấu

\subset

đòi hai vế đều là tập hợp nên phải viết

a \in X

Mệnh đề b) SAI

c) Hai vế

{a; b}

và

X

là cùng một tập hợp

Mọi phần tử của

{a; b}

hiển nhiên thuộc

X

nên

{a; b} \subset X

Mệnh đề c) ĐÚNG

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng.

2Cách 2. Liệt kê toàn bộ tập con của

X

rồi tra xem vế trái có mặt không

Định hướng. Viết ra hết các tập con của $X$ ; mệnh đề dạng $Y \subset X$ đúng khi và chỉ khi $Y$ có tên trong danh sách đó.

X = {a; b}

có

n (X) = 2

nên có

2^{2} = 4

tập con

Các tập con của

X

là

\emptyset

{a}

{b}

{a; b}

\emptyset

có tên trong danh sách nên

\emptyset \subset X

: ĐÚNG

a

không có tên trong danh sách vì danh sách chỉ gồm các TẬP, còn

a

là phần tử

Trong danh sách chỉ có

{a}

chứ không có

a

, nên mệnh đề b) SAI

{a; b}

có tên trong danh sách nên mệnh đề c) ĐÚNG

Vậy danh sách bốn tập con cho ngay kết quả a) đúng, b) sai, c) đúng.

3Cách 3. Thay chữ bằng số cụ thể để phá mệnh đề sai

Định hướng. Chọn một trường hợp cụ thể nhất có thể; nếu ngay trường hợp ấy mệnh đề đã hỏng thì mệnh đề tổng quát sai.

b) Chọn

a = 1

b = 2

thì

X = {1; 2}

Mệnh đề b) trở thành

1 \subset {1; 2}

Số

1

không phải tập hợp nên câu

1 \subset {1; 2}

không thể đúng, đúng phải là

1 \in {1; 2}

Mệnh đề b) SAI

c) Với

X = {1; 2}

thì c) trở thành

{1; 2} \subset {1; 2}

Mỗi phần tử

1

và

2

của vế trái đều thuộc vế phải nên mệnh đề c) ĐÚNG

a) Với

X = {1; 2}

thì

\emptyset \subset {1; 2}

đúng, và lập luận này không phụ thuộc vào

X

nên a) ĐÚNG

Vậy ví dụ số cụ thể cho lại kết quả a) đúng, b) sai, c) đúng.

Nhận xét. Chỉ cần đổi đề một chút là kết luận đảo chiều: nếu $X = {a; b}$ với $a$ chính là tập ${1}$ thì khi đó $a \in X$ vẫn đúng còn $a \subset X$ vẫn sai, vì phần tử $1$ của $a$ không thuộc $X$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì câu hỏi yêu cầu GIẢI THÍCH, mà lập luận theo định nghĩa là lời giải thích đầy đủ nhất; Cách 3 chỉ nên dùng kèm để minh hoạ cho ý b).

Đáp số. a) ĐÚNG vì tập rỗng không có phần tử nào để phá quan hệ bao hàm; b) SAI vì

a

là phần tử nên phải viết

a \in X

; c) ĐÚNG vì mọi tập hợp đều là tập con của chính nó.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là dùng lẫn hai dấu, viết

{a} \in X

hoặc

a \subset X

; với

X = {1; 2}

thì

{1} \in X

là SAI vì phần tử của

X

chỉ có

1

và

2

chứ không có tập

{1}

. Ý c) hay bị chấm là sai với lí do hai vế bằng nhau thì phải dùng dấu bằng chứ không dùng

\subset

, trong khi

X \subset X

luôn đúng theo định nghĩa.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tập

X

có

n

phần tử thì có đúng

2^{n}

tập con, trong đó luôn có hai tập con đặc biệt là

\emptyset

và chính

X

; số tập con thực sự khác

X

là

2^{n} - 1

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.14★★★Trang 11— Giao và hiệu hai khoảng, nửa khoảng trên trục số

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số: a)

(4; 7) \cap (- 1; 3)

; b)

(- 2; 1] \cap (- \infty; 1)

; c)

(- 2; 6) ∖ (3; 10)

; d)

(- 3; 5] ∖ [2; 8)

Kiến thức cần nhớ

$(a; b) = {x \in R ∣ a < x < b}$ và $(a; b] = {x \in R ∣ a < x \leq b}$ .
$x \in A \cap B$ khi và chỉ khi $x$ thoả đồng thời hai điều kiện của $A$ và của $B$ .
$x \in A ∖ B$ khi và chỉ khi $x \in A$ và $x \in / B$ .
$A ∖ B = A \cap C_{R} B$ , trong đó $C_{R} B$ là phần bù của $B$ trong $R$ .
Trên trục số, đầu mút được lấy vẽ bằng chấm đặc, đầu mút không lấy vẽ bằng chấm rỗng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề toàn khoảng và nửa khoảng nên dấu hiệu rõ ràng là dùng trục số, ở đó giao là phần chồng lên nhau còn hiệu là phần còn lại sau khi xoá đi tập trừ. Việc phải canh chừng nhất là loại đầu mút: đầu mút chỉ được lấy khi nó thuộc tập thứ nhất và đồng thời không bị tập thứ hai lấy mất. Câu a) có bẫy riêng vì hai khoảng nằm tách hẳn nhau, giao ra tập rỗng chứ không phải một khoảng nào đó.

1Cách 1. Vẽ hai tập lên cùng một trục số rồi đọc phần chồng hoặc phần còn lại

Định hướng. Tô hai tập lên cùng một trục, phần bị tô hai lần chính là giao, phần chỉ bị tô bởi tập thứ nhất chính là hiệu.

a) Khoảng

(4; 7)

nằm hẳn bên phải điểm

4

, khoảng

(- 1; 3)

nằm hẳn bên trái điểm

3

Vì

3 < 4

nên hai khoảng không có điểm chung

(4; 7) \cap (- 1; 3) = \emptyset

b) Phần chồng của

(- 2; 1]

và

(- \infty; 1)

nằm giữa

- 2

và

1

Điểm

1

bị

(- \infty; 1)

bỏ ra nên không lấy

(- 2; 1] \cap (- \infty; 1) = (- 2; 1)

c) Xoá phần

(3; 10)

khỏi

(- 2; 6)

thì còn lại đoạn từ

- 2

đến

3

Điểm

3

vẫn còn vì

3 \in / (3; 10)

(- 2; 6) ∖ (3; 10) = (- 2; 3]

d) Xoá phần

[2; 8)

khỏi

(- 3; 5]

thì còn lại đoạn từ

- 3

đến

2

Điểm

2

bị xoá vì

2 \in [2; 8)

(- 3; 5] ∖ [2; 8) = (- 3; 2)

Vậy $(4; 7) \cap (- 1; 3) = \emptyset$ , $(- 2; 1] \cap (- \infty; 1) = (- 2; 1)$ , $(- 2; 6) ∖ (3; 10) = (- 2; 3]$ và $(- 3; 5] ∖ [2; 8) = (- 3; 2)$ .

2Cách 2. Chuyển về hệ điều kiện theo định nghĩa giao và hiệu

Định hướng. Viết mỗi tập thành điều kiện về $x$ , giao thì ghép hai điều kiện bằng và, hiệu thì ghép điều kiện của tập thứ nhất với phủ định điều kiện của tập thứ hai.

x \in (4; 7) \cap (- 1; 3)

khi

4 < x < 7

và

- 1 < x < 3

Từ

x > 4

và

x < 3

suy ra

4 < x < 3

, vô lí

(4; 7) \cap (- 1; 3) = \emptyset

x \in (- 2; 1] \cap (- \infty; 1)

khi

- 2 < x \leq 1

và

x < 1

Hai điều kiện gộp lại thành

- 2 < x < 1

(- 2; 1] \cap (- \infty; 1) = (- 2; 1)

x \in (- 2; 6) ∖ (3; 10)

khi

- 2 < x < 6

và không có

3 < x < 10

Phủ định của

3 < x < 10

là

x \leq 3

hoặc

x \geq 10

Kết hợp với

- 2 < x < 6

được

- 2 < x \leq 3

(- 2; 6) ∖ (3; 10) = (- 2; 3]

x \in (- 3; 5] ∖ [2; 8)

khi

- 3 < x \leq 5

và không có

2 \leq x < 8

Phủ định của

2 \leq x < 8

là

x < 2

hoặc

x \geq 8

Kết hợp với

- 3 < x \leq 5

được

- 3 < x < 2

(- 3; 5] ∖ [2; 8) = (- 3; 2)

Vậy bốn kết quả lần lượt là $\emptyset$ , $(- 2; 1)$ , $(- 2; 3]$ và $(- 3; 2)$ .

3Cách 3. Đưa hiệu về giao với phần bù

A ∖ B = A \cap C_{R} B

Định hướng. Đổi mọi phép hiệu thành phép giao với phần bù, nhờ đó chỉ còn phải làm duy nhất một thao tác là lấy giao, khỏi phải nhớ quy tắc riêng cho dấu trừ tập hợp.

C_{R} (3; 10) = (- \infty; 3] \cup [10; + \infty)

(- 2; 6) ∖ (3; 10) = (- 2; 6) \cap [(- \infty; 3] \cup [10; + \infty)]

= [(- 2; 6) \cap (- \infty; 3]] \cup [(- 2; 6) \cap [10; + \infty)]

= (- 2; 3] \cup \emptyset

= (- 2; 3]

C_{R} [2; 8) = (- \infty; 2) \cup [8; + \infty)

(- 3; 5] ∖ [2; 8) = (- 3; 5] \cap [(- \infty; 2) \cup [8; + \infty)]

= (- 3; 2) \cup \emptyset

= (- 3; 2)

(4; 7) \cap (- 1; 3) = \emptyset

vì

sup

của khoảng sau bằng

3

còn

in f

của khoảng trước bằng

4

(- 2; 1] \cap (- \infty; 1) = (- 2; 1)

vì điểm

1

bị khoảng thứ hai loại

Vậy ba cách cho cùng bộ đáp số $\emptyset$ , $(- 2; 1)$ , $(- 2; 3]$ , $(- 3; 2)$ .

Nhận xét. Mẹo nhớ đầu mút: dấu ngoặc vuông của tập BỊ TRỪ luôn lật thành ngoặc tròn ở kết quả, còn dấu ngoặc tròn của tập bị trừ lật thành ngoặc vuông, thấy rõ khi so câu c) với câu d).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì vẽ trục số mất chưa tới nửa phút và đề còn yêu cầu biểu diễn trên trục số nên hình vẽ tính luôn điểm; Cách 2 nên dùng để kiểm lại riêng phần đầu mút cho chắc.

Đáp số. a)

\emptyset

; b)

(- 2; 1)

; c)

(- 2; 3]

; d)

(- 3; 2)

Sai lầm thường gặp. Sai nhiều nhất là đầu mút ở câu c) và d): nhiều bạn viết

(- 2; 6) ∖ (3; 10) = (- 2; 3)

và

(- 3; 5] ∖ [2; 8) = (- 3; 2]

, tức là làm ngược cả hai. Số

3

PHẢI giữ lại vì

3 \in / (3; 10)

, còn số

2

PHẢI bỏ đi vì

2 \in [2; 8)

. Câu a) thì hay bị trả lời là

(4; 3)

, một kí hiệu vô nghĩa vì khoảng chỉ tồn tại khi đầu trái nhỏ hơn đầu phải; đáp số đúng là

\emptyset

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho hai khoảng

(a; b)

và

(c; d)

: giao của chúng là

(max (a; c); min (b; d))

nếu

max (a; c) < min (b; d)

, còn lại là

\emptyset

; áp vào câu a) thì

max (4; - 1) = 4

không nhỏ hơn

min (7; 3) = 3

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.15★★★Trang 11— Bài toán đếm bằng biểu đồ Ven và công thức cộng loại trừ

Trong một cuộc phỏng vấn

56

người về những việc họ thường làm vào ngày nghỉ cuối tuần, có

24

người thích tập thể thao,

15

người thích đi câu cá và

20

người không thích cả hai hoạt động trên. a) Có bao nhiêu người thích chơi thể thao hoặc thích câu cá? b) Có bao nhiêu người thích cả câu cá và chơi thể thao? c) Có bao nhiêu người chỉ thích câu cá, không thích chơi thể thao?

Kiến thức cần nhớ

Gọi $A$ là tập người thích thể thao, $B$ là tập người thích câu cá thì người thích ít nhất một hoạt động lập thành $A \cup B$ .
$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .
Số người không thích hoạt động nào bằng tổng số người trừ đi $n (A \cup B)$ .
Số người chỉ thích câu cá là $n (B) - n (A \cap B)$ .
Bốn mảnh chỉ $A$ , chỉ $B$ , cả hai, không mảnh nào đôi một rời nhau và có tổng bằng cả nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng số người, số người thích từng hoạt động và số người không thích hoạt động nào, đó đúng là bộ dữ kiện của dạng đếm hai tập hợp có phần chung. Dữ kiện

20

người không thích cả hai chính là chìa khoá vì nó cho ngay số người thuộc hợp hai tập bằng phép trừ. Bẫy nằm ở chỗ hai số

24

và

15

đã bao gồm cả những người thích đồng thời cả hai việc, nên cộng thẳng chúng là đếm trùng.

1Cách 1. Đặt ẩn cho phần chung rồi lập phương trình tổng bốn mảnh

Định hướng. Gọi số người thích cả hai là ẩn, biểu diễn ba mảnh còn lại theo ẩn ấy rồi dùng tổng bốn mảnh bằng $56$ để tìm ẩn.

Gọi

x

là số người thích cả thể thao và câu cá, với

x \in N

Số người chỉ thích thể thao là

24 - x

Số người chỉ thích câu cá là

15 - x

(24 - x) + x + (15 - x) + 20 = 56

59 - x = 56

x = 59 - 56

x = 3

Số người thích thể thao hoặc câu cá là

56 - 20 = 36

Số người chỉ thích câu cá là

15 - 3 = 12

Vậy có $36$ người thích thể thao hoặc câu cá, $3$ người thích cả hai và $12$ người chỉ thích câu cá.

2Cách 2. Lấy phần bù để có số người thích ít nhất một việc rồi áp công thức cộng loại trừ

Định hướng. Dùng dữ kiện $20$ người không thích gì để lấy ngay $n (A \cup B)$ , sau đó rút $n (A \cap B)$ từ công thức cộng loại trừ.

Gọi

A

là tập người thích thể thao và

B

là tập người thích câu cá

n (A) = 24

và

n (B) = 15

n (A \cup B) = 56 - 20

n (A \cup B) = 36

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

36 = 24 + 15 - n (A \cap B)

n (A \cap B) = 39 - 36

n (A \cap B) = 3

n (B ∖ A) = n (B) - n (A \cap B)

n (B ∖ A) = 15 - 3

n (B ∖ A) = 12

Vậy $n (A \cup B) = 36$ , $n (A \cap B) = 3$ và $n (B ∖ A) = 12$ .

3Cách 3. Lập bảng hai chiều thích hay không thích cho từng hoạt động

Định hướng. Xếp $56$ người vào bảng bốn ô theo hai tiêu chí, rồi lần lượt điền các ô mà mỗi dòng, mỗi cột đều có tổng đã biết.

Dòng không thích thể thao có tổng

56 - 24 = 32

người

Trong dòng ấy, ô không thích cả hai đã biết là

20

người

Ô không thích thể thao nhưng thích câu cá là

32 - 20 = 12

người

Cột thích câu cá có tổng

15

người

Ô thích cả hai là

15 - 12 = 3

người

Ô thích thể thao nhưng không thích câu cá là

24 - 3 = 21

người

Số người thích ít nhất một hoạt động là

21 + 3 + 12 = 36

Kiểm lại toàn bảng:

21 + 3 + 12 + 20 = 56

Vậy bảng cho $36$ người thích ít nhất một hoạt động, $3$ người thích cả hai và $12$ người chỉ thích câu cá.

Nhận xét. Bảng hai chiều hơn hẳn ở chỗ nó tự kiểm tra: nếu tổng bốn ô lệch khỏi $56$ thì chắc chắn có số liệu bị đọc sai, điều mà công thức cộng loại trừ không phát hiện được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ hai phép trừ là ra cả ba đáp số và công thức cộng loại trừ dùng lại được cho mọi bài đếm hai tập; Cách 3 nên dùng khi đề cho nhiều số liệu chéo dễ lẫn.

Đáp số. a)

36

người thích chơi thể thao hoặc thích câu cá; b)

3

người thích cả hai hoạt động; c)

12

người chỉ thích câu cá mà không thích chơi thể thao.

Sai lầm thường gặp. Sai kinh điển là lấy

24 + 15 = 39

rồi coi đó là số người thích ít nhất một hoạt động, từ đó ra

56 - 39 = 17

người không thích gì, mâu thuẫn với dữ kiện

20

của đề. Nguyên nhân là

3

người thích cả hai bị đếm hai lần. Lỗi thứ hai là trả lời câu c) bằng

15

người, tức nhầm số người thích câu cá với số người CHỈ thích câu cá; phải trừ đi

3

người thích cả hai mới ra

12

🚀 Mở rộng. Tổng quát: phỏng vấn

N

người,

p

người thích việc thứ nhất,

q

người thích việc thứ hai và

r

người không thích việc nào thì số người thích cả hai luôn bằng

p + q + r - N

; bài này cho

24 + 15 + 20 - 56 = 3

, và công thức ấy cũng cho biết dữ kiện chỉ hợp lí khi

p + q + r \geq N

Nguồn: SBT Toán 10 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-10-kn/bai-2-tap-hop-va-cac-phep-toan-tren-tap-hop.jsp · https://loigiaihay.com/giai-bai-19-trang-11-sach-bai-tap-toan-10-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song-a112535.html