Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định hướng. Dựng bờ bằng hai điểm dễ tính nhất, sau đó chỉ cần một lần thay toạ độ gốc O để biết nửa mặt phẳng nào được chọn.

Vậy miền nghiệm của $-3x+y<4$ là nửa mặt phẳng bờ $d:-3x+y=4$ chứa gốc $O$, không kể bờ (bờ vẽ nét đứt); thêm dấu bằng thì lấy cả bờ $d$, còn đổi chiều bất phương trình thì lấy nửa mặt phẳng bên kia.

Định hướng. Vì hệ số của $y$ bằng $1$ nên rút $y$ được ngay, khi đó điều kiện trở thành so sánh tung độ của điểm với tung độ của bờ tại cùng hoành độ.

Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng $y=3x+4$ (không lấy đường thẳng), còn $y\le 3x+4$ lấy thêm đường thẳng và $y\ge 3x+4$ là phần từ đường thẳng trở lên.

Định hướng. Cố định hoành độ rồi tìm tập tung độ thoả mãn; cho hoành độ chạy khắp trục số thì các tia thu được quét kín đúng miền nghiệm, cách này chứng tỏ miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứ không chỉ kiểm tra được nó.

Vậy miền nghiệm là hợp của các tia mở đi xuống xuất phát từ các điểm của $d$, tức nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $O$ và không kể bờ.

Nhận xét. Cách quét này giải thích vì sao chỉ cần một điểm thử: hai điểm cùng một phía của $d$ luôn nằm trên cùng một tia hoặc trên hai tia cùng chiều, nên không thể cho hai kết quả trái nhau.

Định hướng. Dồn hết ẩn về một vế cho hạng tử tự do triệt tiêu, rồi chọn điểm thử nằm trên trục hoành để phép thay số chỉ còn một hạng tử.

Vậy dạng tổng quát là $-3x+y\le 0$ và miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:-3x+y=0$ chứa điểm $M(1;0)$, kể cả bờ $d$.

Định hướng. Thu gọn xong thì rút $y$ về một vế, khi đó bất phương trình chỉ còn nói rằng tung độ của điểm không vượt quá tung độ của bờ tại cùng hoành độ.

Vậy bất phương trình tương đương $y\le 3x$, tức $-3x+y\le 0$, và miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm từ đường thẳng $y=3x$ trở xuống.

Định hướng. Đặt $f(x;y)=-3x+y$ thì $f$ tăng nhanh nhất theo hướng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-3;1)$ của bờ, nên nửa mặt phẳng ứng với $f\le 0$ là nửa nằm về phía ngược hướng $\overrightarrow{n}$.

Vậy miền nghiệm của $-3x+y\le 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d:-3x+y=0$ nằm về phía vectơ $-\overrightarrow{n}=(3;-1)$, tức phía chứa $M(1;0)$, kể cả bờ.

Nhận xét. Cách 3 khỏi phải đi tìm điểm thử hợp lệ nên rất tiện khi bờ đi qua gốc toạ độ; chỉ cần nhớ dấu của $f$ tăng theo chiều $\overrightarrow{n}=(a;b)$.

Định hướng. Hai giao điểm với hai trục cho ngay phương trình đoạn chắn, nhân cả hai vế với $4$ là được dạng $ax+by=c$; dấu của bất phương trình do một lần thay $O$ quyết định.

Vậy một bất phương trình thoả mãn yêu cầu là $x-2y\le 4$.

Định hướng. Tìm hệ số góc và tung độ gốc của bờ từ hai điểm đã cho, sau đó so tung độ của một điểm thuộc miền không bị gạch với tung độ của bờ.

Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của $y\ge \frac{1}{2}x-2$, nhân hai vế với $2$ rồi chuyển vế được đúng $x-2y\le 4$.

Định hướng. Từ hai điểm của bờ lấy được vectơ chỉ phương, quay đi một góc vuông thành vectơ pháp tuyến, từ đó viết bờ mà không cần chia cho toạ độ nào, cách này dùng được cả khi bờ đi qua gốc.

Vậy miền không bị gạch là tập điểm có $f(x;y)\le 0$, tức $x-2y\le 4$.

Nhận xét. Đáp án không duy nhất: nhân hai vế với $-1$ được $-x+2y\ge -4$, nhân với $2$ được $2x-4y\le 8$, tất cả đều mô tả cùng một nửa mặt phẳng; ngược lại $x-2y<4$ chỉ đúng nếu hình vẽ bờ $d$ bằng nét đứt.

Định hướng. Dựng miền nghiệm bằng quy tắc điểm thử, sau đó dùng ràng buộc $y$ nguyên âm để chặn $y$ lại thành hữu hạn trường hợp rồi liệt kê $x$ tương ứng.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:x+2y=-4$ chứa gốc $O$, kể cả bờ; miền nghiệm chứa đúng $2$ điểm có cả hai toạ độ nguyên âm, đó là $(-2;-1)$ và $(-1;-1)$.

Định hướng. Rút $y$ cho thấy miền nghiệm nằm từ bờ trở lên, khi đó với mỗi hoành độ nguyên âm $x$ ta chỉ việc đếm các tung độ nguyên âm nằm trên bờ.

Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm từ bờ $d$ trở lên và chỉ chứa hai điểm nguyên âm $(-1;-1)$, $(-2;-1)$.

Định hướng. Ghép ràng buộc nguyên âm với bất phương trình để kẹp $x+2y$ giữa hai số, khi đó chỉ còn vài giá trị nguyên phải xét và việc liệt kê trở nên chắc chắn không sót.

Vậy chỉ có hai điểm thoả mãn là $(-1;-1)$ và $(-2;-1)$, nên miền nghiệm chứa đúng $2$ điểm có cả hai toạ độ là số nguyên âm.

Nhận xét. Cách 3 biến bài đếm điểm nguyên thành bài giải phương trình nghiệm nguyên trên một khoảng hẹp, rất đáng dùng khi hệ số lớn làm việc liệt kê theo cột trở nên dài.

Định hướng. Viết giá của hỗn hợp theo tổng tiền chia tổng khối lượng, rồi nhân chéo với lượng dương $x+y$ để mất mẫu và thu về dạng bậc nhất hai ẩn.

Vậy bất phương trình cần tìm là $-3x+y\le 0$, tức $y\le 3x$; miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:y=3x$ chứa $B(3;6)$ kể cả bờ, và phần dùng được trong thực tế là phần nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Định hướng. Quy mọi giá về độ lệch so với mốc $170$: mỗi kilôgam loại thứ nhất làm hỗn hợp rẻ đi $30$ nghìn đồng, mỗi kilôgam loại thứ hai làm hỗn hợp đắt lên $10$ nghìn đồng, điều kiện đề bài chỉ là tổng độ lệch không dương.

Vậy điều kiện đề bài tương đương $-3x+y\le 0$, và miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:y=3x$ nằm phía dưới bờ, kể cả bờ.

Nhận xét. Kĩ thuật độ lệch này đúng với mọi bài trộn hai loại theo giá trung bình và cho ngay tỉ lệ pha trộn: một kilôgam loại đắt cần bù bởi $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$ kilôgam loại rẻ.

Định hướng. Vì giá trung bình chỉ phụ thuộc tỉ lệ giữa hai loại, đặt $y=tx$ với $x>0$ để bài toán hai ẩn thu về một bất phương trình một ẩn theo tỉ lệ $t$, tìm xong $t$ thì dịch lại thành miền nghiệm.

Vậy tỉ lệ khối lượng loại thứ hai so với loại thứ nhất phải không vượt quá $3$, tương đương $-3x+y\le 0$, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $y=3x$ nằm phía dưới bờ kể cả bờ, phần có nghĩa thực tế là phần thuộc góc phần tư thứ nhất.