Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang18–19 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★★Trang 18— Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đổi giữa dấu ngặt và dấu không ngặt

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- 3 x + y < 4

. a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng toạ độ. b) Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình

- 3 x + y \leq 4

và miền nghiệm của bất phương trình

- 3 x + y \geq 4

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của $a x + b y < c$ (hoặc $>$ , $\leq$ , $\geq$ ) với $a$ , $b$ không đồng thời bằng $0$ là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $a x + b y = c$ .
Quy tắc điểm thử: lấy $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ không thuộc bờ, nếu $a x_{0} + b y_{0} < c$ thì nửa mặt phẳng chứa $M_{0}$ là miền nghiệm.
Dấu ngặt $<$ , $>$ thì bờ vẽ nét đứt và không thuộc miền nghiệm; dấu $\leq$ , $\geq$ thì bờ vẽ nét liền và thuộc miền nghiệm.
Hai bất phương trình $a x + b y \leq c$ và $a x + b y \geq c$ có hợp là cả mặt phẳng, giao là đúng đường thẳng bờ.

🧠 Phân tích tư duy

Bất phương trình đã ở đúng dạng

a x + b y < c

với

a = - 3

b = 1

c = 4

, nên miền nghiệm chắc chắn là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng

- 3 x + y = 4

, việc duy nhất còn phải quyết là chọn nửa nào và bờ có được lấy hay không. Vì

b = 1 \neq = 0

nên rút

y

ra rất gọn, do đó ngoài quy tắc điểm thử ta còn đọc được ngay miền nghiệm là phần nằm phía dưới bờ. Bẫy của ý b) là tưởng phải vẽ lại từ đầu hai hình mới, trong khi ba bất phương trình chỉ khác nhau ở việc bờ được tô liền hay tô đứt và lấy nửa nào

1Cách 1. Vẽ bờ qua hai giao điểm với trục rồi lấy điểm thử O

Định hướng. Dựng bờ bằng hai điểm dễ tính nhất, sau đó chỉ cần một lần thay toạ độ gốc O để biết nửa mặt phẳng nào được chọn.

a) Bờ là đường thẳng

d : - 3 x + y = 4

x = 0

cho

y = 4

, nên

A (0; 4) \in d

y = - 2

cho

- 3 x = 4 + 2 = 6

, tức

x = - 2

, nên

B (- 2; - 2) \in d

Với

O (0; 0)

- 3 \cdot 0 + 0 = 0 + 0 = 0

0 < 4

, nên

O

thuộc miền nghiệm

Với

N (0; 6)

- 3 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6

và

6 > 4

, nên

N

bị loại

- 3 x + y \leq 4

có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa

O

kể cả bờ

d

- 3 x + y \geq 4

có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa

N

kể cả bờ

d

Vậy miền nghiệm của $- 3 x + y < 4$ là nửa mặt phẳng bờ $d : - 3 x + y = 4$ chứa gốc $O$ , không kể bờ (bờ vẽ nét đứt); thêm dấu bằng thì lấy cả bờ $d$ , còn đổi chiều bất phương trình thì lấy nửa mặt phẳng bên kia.

Hình minh hoạ lời giải

Hai hệ trục Oxy: miền nghiệm của bất phương trình −3x + y < 4 với bờ nét đứt, và hai miền khi thêm dấu bằng

2Cách 2. Rút y để so tung độ với đường thẳng y = 3x + 4

Định hướng. Vì hệ số của $y$ bằng $1$ nên rút $y$ được ngay, khi đó điều kiện trở thành so sánh tung độ của điểm với tung độ của bờ tại cùng hoành độ.

- 3 x + y < 4

y < 4 + 3 x

y < 3 x + 4

Điểm

M (x_{0}; y_{0})

thoả mãn khi

y_{0}

nhỏ hơn tung độ

3 x_{0} + 4

của bờ tại

x_{0}

- 3 x + y \leq 4

cho

y \leq 3 x + 4

, thêm đúng các điểm có

y_{0} = 3 x_{0} + 4

- 3 x + y \geq 4

cho

y \geq 3 x + 4

, là phần nằm từ bờ trở lên

Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng $y = 3 x + 4$ (không lấy đường thẳng), còn $y \leq 3 x + 4$ lấy thêm đường thẳng và $y \geq 3 x + 4$ là phần từ đường thẳng trở lên.

3Cách 3. Quét theo từng đường thẳng đứng để dựng miền nghiệm

Định hướng. Cố định hoành độ rồi tìm tập tung độ thoả mãn; cho hoành độ chạy khắp trục số thì các tia thu được quét kín đúng miền nghiệm, cách này chứng tỏ miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứ không chỉ kiểm tra được nó.

Cố định

x = x_{0}

, bất phương trình thành

y < 3 x_{0} + 4

Tập điểm thu được là tia mở đi xuống của đường thẳng

x = x_{0}

, gốc tại

(x_{0}; 3 x_{0} + 4) \in d

Cho

x_{0}

chạy trên

R

, các tia mở này quét kín nửa mặt phẳng bờ

d

phía dưới

Với

x_{0} = 0

y < 4

nên

O (0; 0)

được chọn và

N (0; 6)

bị loại

Đổi

<

thành

\leq

thì mỗi tia lấy thêm gốc, hợp các gốc đúng bằng

d

Vậy miền nghiệm là hợp của các tia mở đi xuống xuất phát từ các điểm của $d$ , tức nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $O$ và không kể bờ.

Nhận xét. Cách quét này giải thích vì sao chỉ cần một điểm thử: hai điểm cùng một phía của $d$ luôn nằm trên cùng một tia hoặc trên hai tia cùng chiều, nên không thể cho hai kết quả trái nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ mất hai dòng dựng bờ và một dòng thay

O (0; 0)

là xong, lại dùng được cả khi hệ số của

y

bằng

0

; Cách 2 nhanh nhưng hỏng ngay khi bất phương trình không có

y

Đáp số. a) Nửa mặt phẳng bờ

d : - 3 x + y = 4

chứa

O (0; 0)

, bờ nét đứt (không lấy bờ). b)

- 3 x + y \leq 4

: đúng nửa mặt phẳng ấy nhưng lấy cả bờ

d

;

- 3 x + y \geq 4

: nửa mặt phẳng còn lại, cũng lấy cả bờ

d

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp nhất là lấy luôn một điểm của bờ làm điểm thử, chẳng hạn lấy

A (0; 4)

thì được

- 3 \cdot 0 + 4 = 4

, không nhỏ hơn cũng không lớn hơn

4

, nên không kết luận được gì mà nhiều bạn vẫn suy ra sai rằng nửa mặt phẳng chứa

A

bị loại. Sai thứ hai là vẽ bờ nét liền cho dấu

<

, làm những điểm như

A (0; 4)

bị đếm nhầm vào miền nghiệm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

b > 0

thì

a x + b y < c

luôn cho nửa mặt phẳng phía dưới bờ và

a x + b y > c

cho nửa phía trên; nếu

b < 0

thì hai kết luận đổi chỗ, còn

b = 0

thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trái hay bên phải đường thẳng đứng

x = c / a

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 18— Chuyển vế thu gọn về dạng

a x + b y \leq c

rồi biểu diễn miền nghiệm

Cho bất phương trình

2 x + 3 y + 3 \leq 5 x + 2 y + 3

. Bằng cách chuyển vế, hãy đưa bất phương trình trên về dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó trên mặt phẳng toạ độ.

Kiến thức cần nhớ

Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình phải đổi dấu hạng tử đó, chiều bất phương trình giữ nguyên.
Dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $a x + b y \leq c$ , $a x + b y < c$ , $a x + b y \geq c$ hoặc $a x + b y > c$ với $a$ , $b$ không đồng thời bằng $0$ .
Đường thẳng $a x + b y = c$ đi qua gốc toạ độ khi và chỉ khi $c = 0$ ; lúc đó phải lấy điểm thử khác gốc $O$ .
Nhân hai vế của bất phương trình với một số dương thì giữ chiều, với một số âm thì đổi chiều.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế cùng chứa

x

y

và cùng có hạng tử tự do

3

, đó là dấu hiệu phải chuyển vế thu gọn trước chứ chưa vẽ được gì. Sau khi thu gọn, hạng tử tự do triệt tiêu nên bờ đi qua gốc toạ độ, và đây chính là chỗ phải cẩn thận: gốc

O

nằm trên bờ nên không còn dùng được làm điểm thử. Muốn chắc ăn thì chọn điểm thử trên một trục, ví dụ

M (1; 0)

, vì thay vào chỉ còn một phép nhân

1Cách 1. Chuyển vế thu gọn rồi thử điểm nằm trên trục hoành

Định hướng. Dồn hết ẩn về một vế cho hạng tử tự do triệt tiêu, rồi chọn điểm thử nằm trên trục hoành để phép thay số chỉ còn một hạng tử.

2 x + 3 y + 3 \leq 5 x + 2 y + 3

2 x + 3 y - 5 x - 2 y \leq 3 - 3

(2 - 5) x + (3 - 2) y \leq 0

- 3 x + y \leq 0

Bờ là đường thẳng

d : - 3 x + y = 0

, đi qua

O (0; 0)

P (1; 3)

và

Q (- 1; - 3)

Với

M (1; 0)

- 3 \cdot 1 + 0 = - 3 + 0 = - 3

và

- 3 < 0

, nên

M

thuộc miền nghiệm

Với

N (0; 2)

- 3 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2

và

2 > 0

, nên

N

bị loại

Vậy dạng tổng quát là $- 3 x + y \leq 0$ và miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d : - 3 x + y = 0$ chứa điểm $M (1; 0)$ , kể cả bờ $d$ .

Hình minh hoạ lời giải

Hệ trục Oxy, đường thẳng y = 3x nét liền, tô nửa mặt phẳng phía dưới chứa M(1;0)

2Cách 2. Rút y để đưa về so sánh với đường thẳng y = 3x

Định hướng. Thu gọn xong thì rút $y$ về một vế, khi đó bất phương trình chỉ còn nói rằng tung độ của điểm không vượt quá tung độ của bờ tại cùng hoành độ.

2 x + 3 y + 3 \leq 5 x + 2 y + 3

3 y - 2 y \leq 5 x - 2 x + 3 - 3

y \leq 3 x

Bờ là đường thẳng

d : y = 3 x

Với

x = 1

thì

y \leq 3

, nên

M (1; 0)

được chọn còn

P (1; 3)

nằm đúng trên bờ

Với

x = 0

thì

y \leq 0

, nên

N (0; 2)

bị loại

Vậy bất phương trình tương đương $y \leq 3 x$ , tức $- 3 x + y \leq 0$ , và miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm từ đường thẳng $y = 3 x$ trở xuống.

3Cách 3. Dùng vectơ pháp tuyến của bờ để chỉ ra nửa mặt phẳng

Định hướng. Đặt $f (x; y) = - 3 x + y$ thì $f$ tăng nhanh nhất theo hướng vectơ pháp tuyến $n = (- 3; 1)$ của bờ, nên nửa mặt phẳng ứng với $f \leq 0$ là nửa nằm về phía ngược hướng $n$ .

2 x + 3 y + 3 \leq 5 x + 2 y + 3

- 3 x + y \leq 0

f (x; y) = - 3 x + y

có bờ

f (x; y) = 0

với vectơ pháp tuyến

n = (- 3; 1)

Từ

O (0; 0)

đi theo

n

tới

(- 3; 1)

f (- 3; 1) = 9 + 1 = 10 > 0

Từ

O (0; 0)

đi theo

- n

tới

(3; - 1)

f (3; - 1) = - 9 - 1 = - 10 < 0

Suy ra nửa mặt phẳng chứa

(3; - 1)

là miền nghiệm của

f (x; y) \leq 0

Vậy miền nghiệm của $- 3 x + y \leq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d : - 3 x + y = 0$ nằm về phía vectơ $- n = (3; - 1)$ , tức phía chứa $M (1; 0)$ , kể cả bờ.

Nhận xét. Cách 3 khỏi phải đi tìm điểm thử hợp lệ nên rất tiện khi bờ đi qua gốc toạ độ; chỉ cần nhớ dấu của $f$ tăng theo chiều $n = (a; b)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 vì chỉ ba dòng là ra

y \leq 3 x

, nhìn thấy ngay miền nghiệm nằm phía dưới bờ mà không phải chọn điểm thử; chỉ khi đề bắt trả lời đúng dạng

a x + b y \leq c

thì viết thêm một dòng

- 3 x + y \leq 0

là đủ.

Đáp số. Dạng tổng quát:

- 3 x + y \leq 0

(tương đương

y \leq 3 x

hoặc

3 x - y \geq 0

). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d : y = 3 x

chứa điểm

M (1; 0)

, kể cả bờ

d

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quen tay lấy

O (0; 0)

làm điểm thử, được

- 3 \cdot 0 + 0 = 0

rồi kết luận bừa rằng nửa mặt phẳng chứa

O

là miền nghiệm, trong khi

O

nằm ngay trên bờ nên không tách được hai nửa. Lỗi thứ hai là khi chuyển

5 x

sang vế trái lại quên đổi dấu, viết thành

7 x + y \leq 0

, khi đó bờ

y = - 7 x

nghiêng sang phía đối diện và miền nghiệm sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, bất phương trình

m x + 3 y + 3 \leq 5 x + 2 y + 3

thu gọn thành

y \leq (5 - m) x

, nên bờ luôn qua gốc toạ độ và độ dốc

5 - m

đổi dấu khi

m

vượt qua

5

, lúc đó miền nghiệm lật từ phía dưới sang phía trên so với trục hoành.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★★Trang 18— Bài toán ngược: đọc hình để viết bất phương trình có miền nghiệm cho trước

Xác định một bất phương trình bậc nhất hai ẩn nhận nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

d

(miền không bị gạch) làm miền nghiệm, biết

d

đi qua hai điểm

E (4; 0)

F (0; - 2)

và miền không bị gạch là nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ

O

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng cắt trục hoành tại $(p; 0)$ và trục tung tại $(0; q)$ với $pq \neq = 0$ có phương trình đoạn chắn $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ .
Nhân hai vế của phương trình đường thẳng với một số khác $0$ thì được đường thẳng cũ, nên đáp án của bài toán ngược không duy nhất.
Nửa mặt phẳng có bờ $d$ và chứa điểm $M_{0}$ là miền nghiệm của $a x + b y \leq c$ khi và chỉ khi $a x_{0} + b y_{0} \leq c$ .
Nếu bờ được vẽ nét liền thì bất phương trình mang dấu $\leq$ hoặc $\geq$ ; nếu bờ nét đứt thì mang dấu $<$ hoặc $>$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★★Trang 19— Biểu diễn miền nghiệm rồi đếm điểm nguyên âm thuộc miền nghiệm

Cho bất phương trình

x + 2 y \geq - 4

. a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng toạ độ. b) Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điểm

(x; y)

với

x

y

là các số nguyên âm?

Kiến thức cần nhớ

Số nguyên âm là số nguyên nhỏ hơn $0$ , tức thuộc tập ${- 1; - 2; - 3; \dots}$ ; số $0$ không phải số nguyên âm.
Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều thì được bất đẳng thức cùng chiều: từ $x \leq - 1$ và $2 y \leq - 4$ suy ra $x + 2 y \leq - 5$ .
Nhân hai vế của một bất đẳng thức với số dương thì giữ chiều: từ $y \leq - 2$ suy ra $2 y \leq - 4$ .
Để đếm điểm nguyên trong một miền nghiệm, nên chặn khoảng giá trị của một ẩn trước rồi mới liệt kê, tránh đếm bằng mắt trên lưới.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 19— Lập bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho bài toán trộn hàng theo giá trung bình

Một cửa hàng bán lẻ bán hai loại hạt cà phê. Loại thứ nhất giá

140

nghìn đồng/kg và loại thứ hai giá

180

nghìn đồng/kg. Cửa hàng trộn

x

kg loại thứ nhất và

y

kg loại thứ hai sao cho hạt cà phê đã trộn có giá không quá

170

nghìn đồng/kg. a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

x

y

thoả mãn điều kiện đề bài. b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình tìm được ở câu a) trên mặt phẳng toạ độ.

Kiến thức cần nhớ

Giá trung bình mỗi kilôgam của hỗn hợp bằng tổng tiền chia cho tổng khối lượng: $\frac{140 x + 180 y}{x + y}$ (nghìn đồng/kg).
Nhân hai vế của bất phương trình với số dương $x + y$ thì chiều bất phương trình được giữ nguyên.
Chia hai vế của bất phương trình cho số dương $10$ thì chiều bất phương trình được giữ nguyên.
Trong bài toán thực tế về khối lượng, luôn có thêm điều kiện $x \geq 0$ , $y \geq 0$ và $x + y > 0$ .