Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang23 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.6★★Trang 23— Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, phân biệt biên nét liền với biên nét đứt

Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: a)

⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 1 y \geq 0 x + y \leq 4

⎩ ⎨ ⎧ x > 0 y > 0 x - y - 4 < 0

⎩ ⎨ ⎧ y \leq 3 x \leq 3 x \geq - 1 y \geq - 2

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.
Bất phương trình có dấu $\leq$ hoặc $\geq$ thì bờ thuộc miền nghiệm, vẽ nét liền; dấu $<$ hoặc $>$ thì bờ không thuộc miền nghiệm, vẽ nét đứt.
Đường thẳng $x = m$ song song hoặc trùng với trục $O y$ ; đường thẳng $y = n$ song song hoặc trùng với trục $O x$ .
Muốn biết nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm, lấy một điểm thử không nằm trên bờ rồi thay toạ độ vào bất phương trình.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba hệ chỉ gồm những bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên miền nghiệm của mỗi hệ là giao của các nửa mặt phẳng — dấu hiệu để vẽ từng bờ rồi lấy phần chung chứ không cần biến đổi gì thêm. Chỗ phải để ý nhất là dấu: hệ a) và hệ c) dùng

\geq

với

\leq

nên biên được tính vào miền và vẽ nét liền, còn hệ b) dùng toàn dấu ngặt nên cả ba bờ phải vẽ nét đứt. Bẫy tiếp theo là hai bờ

x = 0

và

y = 0

ở hệ b) trùng với hai trục toạ độ, rất dễ vẽ nét liền theo quán tính rồi kết luận sai rằng gốc

O

thuộc miền nghiệm.

1Cách 1. Vẽ từng bờ rồi lấy giao các nửa mặt phẳng bằng một điểm thử

Định hướng. Với mỗi hệ, vẽ lần lượt các đường thẳng bờ, chọn một điểm thử không nằm trên bờ nào rồi thay vào từng bất phương trình để biết giữ nửa mặt phẳng nào; phần chung của các nửa mặt phẳng ấy là miền nghiệm.

a) Ba bờ là

d_{1} : x = - 1

d_{2} : y = 0

d_{3} : x + y = 4

Điểm thử

I (0; 1)

cho

0 \geq - 1

1 \geq 0

0 + 1 = 1 \leq 4

, cả ba đều đúng

Giao ba nửa mặt phẳng chứa

I

là tam giác

A B C

với

A (- 1; 0)

B (4; 0)

C (- 1; 5)

b) Ba bờ là

d_{1} : x = 0

d_{2} : y = 0

d_{3} : x - y - 4 = 0

Điểm thử

I (1; 1)

cho

1 > 0

1 > 0

1 - 1 - 4 = - 4 < 0

, cả ba đều đúng

Cả ba dấu đều ngặt nên ba bờ vẽ nét đứt và không có điểm nào của bờ thuộc miền nghiệm

c) Bốn bờ là

y = 3

x = 3

x = - 1

y = - 2

Điểm thử

I (1; 1)

cho

1 \leq 3

1 \leq 3

1 \geq - 1

1 \geq - 2

, cả bốn đều đúng

Giao bốn nửa mặt phẳng chứa

I

là hình chữ nhật

M N P Q

với

M (- 1; - 2)

N (3; - 2)

P (3; 3)

Q (- 1; 3)

Vậy miền nghiệm của hệ a) là tam giác $A B C$ kể cả biên; của hệ b) là phần góc phần tư thứ nhất nằm về phía trên đường thẳng $x - y - 4 = 0$ , không kể ba biên; của hệ c) là hình chữ nhật $M N P Q$ kể cả biên.

Hình minh hoạ lời giải ý a)

Hình minh hoạ lời giải ý b)

Hình minh hoạ lời giải ý c)

2Cách 2. Gạch bỏ phần không thoả mãn, phần để trắng còn lại là miền nghiệm

Định hướng. Làm ngược lại Cách 1: với mỗi bất phương trình ta gạch bỏ nửa mặt phẳng không thoả mãn, gạch hết rồi thì phần mặt phẳng còn để trắng chính là miền nghiệm, nhờ vậy khỏi phải nhớ nửa nào được giữ.

a) Gạch bỏ nửa

x < - 1

, gạch bỏ nửa

y < 0

, gạch bỏ nửa

x + y > 4

x = - 1

cắt

y = 0

tại

A (- 1; 0)

x + y = 4

cắt

y = 0

tại

B (4; 0)

và cắt

x = - 1

tại

C (- 1; 5)

b) Gạch bỏ nửa

x \leq 0

, gạch bỏ nửa

y \leq 0

, gạch bỏ nửa

x - y - 4 \geq 0

Phần trắng không bị chặn, trải vô hạn lên trên và sang phải, chứa chẳng hạn

(1; 1)

và

(100; 200)

c) Gạch bỏ nửa

y > 3

, nửa

x > 3

, nửa

x < - 1

, nửa

y < - 2

Phần trắng là giao của dải

- 1 \leq x \leq 3

với dải

- 2 \leq y \leq 3

Dải thứ nhất rộng

3 - (- 1) = 4

, dải thứ hai rộng

3 - (- 2) = 5

Vậy ba miền nghiệm trùng khớp với Cách 1: tam giác $A B C$ kể cả biên, miền vô hạn phía trên bờ $x - y - 4 = 0$ trong góc phần tư thứ nhất không kể biên, và hình chữ nhật $M N P Q$ kích thước $4 \times 5$ kể cả biên.

3Cách 3. Giải từng cặp phương trình bờ để lấy trực tiếp toạ độ các đỉnh

Định hướng. Khi miền nghiệm là đa giác, chỉ cần giải từng cặp phương trình bờ để có giao điểm, giữ lại giao điểm nào thoả mãn toàn bộ hệ thì đó là đỉnh; nối các đỉnh là xong, không dùng điểm thử.

x = - 1

với

y = 0

cho

A (- 1; 0)

, kiểm lại

- 1 + 0 = - 1 \leq 4

nên

A

là đỉnh

y = 0

với

x + y = 4

cho

B (4; 0)

, kiểm lại

4 \geq - 1

nên

B

là đỉnh

x = - 1

với

x + y = 4

cho

C (- 1; 5)

, kiểm lại

5 \geq 0

nên

C

là đỉnh

x = 0

với

y = 0

cho

O (0; 0)

;

y = 0

với

x - y = 4

cho

D (4; 0)

Hai điểm này chỉ thoả mãn hệ ở dấu bằng, mà hệ b) toàn dấu ngặt, nên chúng là điểm góc nhưng bị loại

Bờ

x - y - 4 = 0

còn đi qua

E (8; 4)

vì

8 - 4 - 4 = 0

, dùng

E

để đặt thước cho chính xác

c) Bốn cặp bờ kề nhau cho

M (- 1; - 2)

N (3; - 2)

P (3; 3)

Q (- 1; 3)

Thay lần lượt bốn điểm vào cả bốn bất phương trình đều đúng nên chúng là bốn đỉnh

Vậy hệ a) có miền nghiệm là tam giác đỉnh $(- 1; 0)$ , $(4; 0)$ , $(- 1; 5)$ ; hệ b) có miền nghiệm không bị chặn với hai điểm góc $(0; 0)$ và $(4; 0)$ đều bị loại; hệ c) có miền nghiệm là hình chữ nhật đỉnh $(- 1; - 2)$ , $(3; - 2)$ , $(3; 3)$ , $(- 1; 3)$ .

Nhận xét. Cách 3 cho luôn toạ độ các đỉnh, đúng thứ mà những bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ngay sau đây bắt buộc phải có, nên tập vẽ theo lối này sẽ đỡ phải làm lại từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì một điểm thử duy nhất là xử lý gọn cả ba bờ cùng lúc; Cách 3 chỉ nên chọn khi đề hỏi thêm toạ độ đỉnh, còn Cách 2 tiện lúc vẽ tay trên giấy kẻ ô vì gạch bỏ khó nhầm hơn tô màu.

Đáp số. a) Tam giác

A B C

kể cả biên, với

A (- 1; 0)

B (4; 0)

C (- 1; 5)

. b) Phần góc phần tư thứ nhất nằm phía trên đường thẳng

x - y - 4 = 0

, không kể ba biên; hai điểm góc

O (0; 0)

và

D (4; 0)

đều bị loại. c) Hình chữ nhật

M N P Q

kể cả biên, với

M (- 1; - 2)

N (3; - 2)

P (3; 3)

Q (- 1; 3)

, kích thước

4 \times 5

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là vẽ nét liền cho ba bờ của hệ b): khi ấy gốc

O (0; 0)

bị coi là nghiệm, nhưng thay vào thì

0 > 0

sai, nên

O

phải bị loại. Lỗi thứ hai là hiểu

x - y - 4 < 0

thành nửa mặt phẳng phía dưới bờ; thử

I (1; 1)

được

1 - 1 - 4 = - 4 < 0

đúng, mà

I

lại nằm phía trên bờ, chứng tỏ phải giữ nửa phía trên. Lỗi thứ ba là ở hệ c) chỉ vẽ hai bờ

x = 3

và

y = 3

rồi bỏ quên hai bờ

x = - 1

y = - 2

, biến hình chữ nhật thành miền vô hạn.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hệ

x \geq - 1

y \geq 0

x + y \leq m

có miền nghiệm là tam giác khi

m > - 1

, thu về một điểm khi

m = - 1

và vô nghiệm khi

m < - 1

; hãy thử chứng minh diện tích tam giác đó bằng

\frac{( m + 1 ) ^{2}}{2}

, thay

m = 4

được đúng

\frac{25}{2}

như hệ a).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.7★★Trang 23— Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F = a x + b y

trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = 2 x + 3 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 6 x \geq 0 y \geq 0

Kiến thức cần nhớ

Trên miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn, biểu thức $F (x; y) = a x + b y$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
Muốn tìm đỉnh của miền nghiệm thì giải từng cặp phương trình bờ rồi giữ lại nghiệm thoả mãn cả hệ.
Tập hợp các điểm thoả mãn $a x + b y = m$ là một đường thẳng gọi là đường mức của $F$ ; các đường mức ứng với những giá trị $m$ khác nhau thì song song với nhau.
Nếu $p$ , $q$ là hai số không âm, $u \leq U$ và $v \leq V$ thì $p u + q v \leq p U + q V$ , dấu bằng xảy ra khi đồng thời $u = U$ và $v = V$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một biểu thức bậc nhất cùng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đúng dấu hiệu của bài toán tối ưu, nên việc đầu tiên là vẽ miền nghiệm chứ không phải thử từng cặp số. Miền nghiệm ở đây là tam giác, tức đa giác lồi bị chặn, nhờ đó

F

chắc chắn có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và cả hai đều rơi vào đỉnh. Bẫy của đề là hệ số của

y

lớn hơn hệ số của

x

, nên đỉnh cho giá trị lớn nhất là

B (0; 6)

chứ không phải

A (6; 0)

như phản xạ thường gặp.

1Cách 1. Tính F tại ba đỉnh của tam giác miền nghiệm

Định hướng. Miền nghiệm là tam giác nên chỉ việc xác định ba đỉnh rồi so sánh ba giá trị của $F$ .

x = 0

với

y = 0

cho

O (0; 0)

, kiểm lại

0 + 0 = 0 \leq 6

y = 0

với

x + y = 6

cho

A (6; 0)

, kiểm lại

6 \geq 0

x = 0

với

x + y = 6

cho

B (0; 6)

, kiểm lại

6 \geq 0

F (0; 0) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 + 0 = 0

F (6; 0) = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 0 = 12 + 0 = 12

F (0; 6) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 6 = 0 + 18 = 18

Vậy $F$ đạt giá trị lớn nhất bằng $18$ tại $(x; y) = (0; 6)$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $(x; y) = (0; 0)$ .

Hình minh hoạ lời giải

Hệ trục Oxy, tam giác OAB với O(0;0), A(6;0), B(0;6) tô màu, ba đường mức F=0,6,18 nét đứt

2Cách 2. Cho đường mức F = m trượt song song qua tam giác

Định hướng. Coi $F = m$ là một đường thẳng trượt song song với chính nó, hai giá trị $m$ cần tìm ứng với hai vị trí cuối cùng mà đường thẳng ấy còn chạm vào tam giác.

Đường mức của

F

là

2 x + 3 y = m

, có vectơ pháp tuyến

n = (2; 3)

không phụ thuộc

m

Các đường mức đôi một song song, và

m

càng lớn thì đường mức càng dịch về phía

n

m = 0

: đường mức

2 x + 3 y = 0

chạm tam giác tại đúng

O (0; 0)

m = 6

: đường mức

2 x + 3 y = 6

đi qua

(3; 0)

và

(0; 2)

, cắt hẳn vào trong tam giác

m = 12

: đường mức

2 x + 3 y = 12

đi qua

A (6; 0)

và

(0; 4)

, vẫn còn cắt tam giác

m = 18

: đường mức

2 x + 3 y = 18

đi qua

B (0; 6)

và

(9; 0)

, chạm tam giác tại đúng

B

m < 0

hoặc

m > 18

: đường mức không còn điểm chung nào với tam giác

Vậy $F$ nhận đúng các giá trị $0 \leq F \leq 18$ ; giá trị nhỏ nhất là $0$ tại $O (0; 0)$ , giá trị lớn nhất là $18$ tại $B (0; 6)$ .

3Cách 3. Chặn trực tiếp bằng bất đẳng thức, viết F theo tổng x + y

Định hướng. Tách $F$ thành một phần đã bị ràng buộc $x + y \leq 6$ chặn sẵn và một phần có dấu xác định, khi đó chặn trên với chặn dưới hiện ra ngay mà khỏi cần hình vẽ.

F (x; y) = 2 x + 3 y = 3 x + 3 y - x = 3 (x + y) - x

Từ

x + y \leq 6

suy ra

3 (x + y) \leq 18

; từ

x \geq 0

suy ra

- x \leq 0

F = 3 (x + y) - x \leq 18 + 0 = 18

Dấu bằng khi

x + y = 6

và

x = 0

, tức

(x; y) = (0; 6)

Mặt khác

x \geq 0

và

y \geq 0

nên

F = 2 x + 3 y \geq 0 + 0 = 0

Dấu bằng khi

x = 0

và

y = 0

, tức

(x; y) = (0; 0)

Vậy $0 \leq F (x; y) \leq 18$ , giá trị lớn nhất của $F$ bằng $18$ tại $(0; 6)$ và giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $(0; 0)$ .

Nhận xét. Chỗ tinh tế của Cách 3 là tách $2 x + 3 y = 3 (x + y) - x$ chứ không phải $2 (x + y) + y$ : cả hai đều đúng nhưng chỉ lối thứ nhất cho ngay chặn trên $18$ , vì $2 (x + y) + y \leq 12 + y$ vẫn còn dính ẩn $y$ nên chưa chặn được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: miền nghiệm là tam giác nên ba phép nhân là xong, lại đúng đường lối mà đáp án chấm điểm mong đợi; Cách 3 rất hay nhưng phải nghĩ ra phép tách

F

, còn Cách 2 dài vì phải vẽ thêm mấy đường mức.

Đáp số. Miền nghiệm là tam giác

O A B

với

O (0; 0)

A (6; 0)

B (0; 6)

; các giá trị tương ứng là

F (0; 0) = 0

F (6; 0) = 12

F (0; 6) = 18

. Giá trị lớn nhất của

F

bằng

18

, đạt tại

x = 0

y = 6

; giá trị nhỏ nhất bằng

0

, đạt tại

x = 0

y = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là tính

F

tại một hai đỉnh rồi kết luận: thấy

A (6; 0)

có hoành độ lớn nhất nên tưởng

F (6; 0) = 12

là giá trị lớn nhất, trong khi

F (0; 6) = 18

mới lớn nhất. Sai lầm thứ hai là đi tìm cực trị ở điểm bên trong miền, chẳng hạn lấy

(2; 2)

được

F = 10

rồi bảo đó là giá trị nhỏ nhất, quên rằng một biểu thức bậc nhất không bao giờ đạt cực trị tại điểm trong. Sai lầm thứ ba là bỏ mất hai ràng buộc

x \geq 0

và

y \geq 0

: lúc đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng vô hạn,

F

nhỏ tuỳ ý nên không còn giá trị nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Vẫn trên tam giác đó, biểu thức

F = a x + b y

với

a

b

dương đạt giá trị lớn nhất

6 a

tại

A (6; 0)

khi

a > b

, đạt

6 b

tại

B (0; 6)

khi

a < b

, và khi

a = b

thì

F = a (x + y)

không đổi trên cả cạnh

A B

nên mọi điểm của cạnh

A B

đều là điểm tối ưu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.8★★★Trang 23— Tối ưu biểu thức bậc nhất trên miền nghiệm cho bởi hai cặp bất phương trình kẹp, phải xét đủ bốn đỉnh

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = 4 x - 3 y

trên miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \geq - 4 x + y \leq 5 x - y \leq 5 x - y \geq - 4

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức bậc nhất $F (x; y)$ trên một đa giác lồi bị chặn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại đỉnh, nên phải xét đủ các đỉnh rồi so sánh.
Hai đường thẳng $x + y = c$ và $x - y = c^{'}$ luôn vuông góc với nhau vì hai vectơ pháp tuyến $(1; 1)$ và $(1; - 1)$ có tích vô hướng bằng $0$ .
Phép đặt $u = x + y$ , $v = x - y$ có phép ngược $x = \frac{u + v}{2}$ , $y = \frac{u - v}{2}$ , và biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng.
Nếu $p$ , $q$ không âm, $u \leq U$ và $v \leq V$ thì $p u + q v \leq p U + q V$ , dấu bằng khi $u = U$ và $v = V$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.9★★★★Trang 23— Bài toán tối ưu thực tế: lập hệ bất phương trình ràng buộc rồi tìm điểm thưởng lớn nhất

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa

12

g hương liệu,

9

lít nước và

315

g đường để pha chế hai loại nước uống. Để pha chế

1

lít nước loại I cần

45

g đường,

1

lít nước và

0, 5

g hương liệu; để pha chế

1

lít nước loại II cần

15

g đường,

1

lít nước và

2

g hương liệu. Mỗi lít nước loại I được

60

điểm thưởng, mỗi lít nước loại II được

80

điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để số điểm thưởng nhận được là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Dịch bài toán thực tế thành hệ bất phương trình: mỗi nguồn lực bị chặn trên cho một bất phương trình dạng $a x + b y \leq c$ , còn ẩn chỉ số lượng thì luôn kèm điều kiện không âm.
Chia hai vế của một bất phương trình cho cùng một số dương thì chiều bất phương trình không đổi, nên $45 x + 15 y \leq 315$ tương đương $3 x + y \leq 21$ .
Biểu thức bậc nhất trên miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn đạt giá trị lớn nhất tại một đỉnh, nên phải tính giá trị tại tất cả các đỉnh rồi so sánh.
Đường thẳng $a x + b y = c$ với $b \neq = 0$ có hệ số góc $- \frac{a}{b}$ ; hai đường thẳng song song khi hai hệ số góc bằng nhau.