Bài 1 · 2.6★★Trang 23— Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, phân biệt biên nét liền với biên nét đứt
Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: a) ⎩⎨⎧x≥−1y≥0x+y≤4 b) ⎩⎨⎧x>0y>0x−y−4<0 c) ⎩⎨⎧y≤3x≤3x≥−1y≥−2
Kiến thức cần nhớ
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.
Bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥ thì bờ thuộc miền nghiệm, vẽ nét liền; dấu < hoặc > thì bờ không thuộc miền nghiệm, vẽ nét đứt.
Đường thẳng x=m song song hoặc trùng với trục Oy; đường thẳng y=n song song hoặc trùng với trục Ox.
Muốn biết nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm, lấy một điểm thử không nằm trên bờ rồi thay toạ độ vào bất phương trình.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba hệ chỉ gồm những bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên miền nghiệm của mỗi hệ là giao của các nửa mặt phẳng — dấu hiệu để vẽ từng bờ rồi lấy phần chung chứ không cần biến đổi gì thêm. Chỗ phải để ý nhất là dấu: hệ a) và hệ c) dùng ≥ với ≤ nên biên được tính vào miền và vẽ nét liền, còn hệ b) dùng toàn dấu ngặt nên cả ba bờ phải vẽ nét đứt. Bẫy tiếp theo là hai bờ x=0 và y=0 ở hệ b) trùng với hai trục toạ độ, rất dễ vẽ nét liền theo quán tính rồi kết luận sai rằng gốc O thuộc miền nghiệm.
1Cách 1. Vẽ từng bờ rồi lấy giao các nửa mặt phẳng bằng một điểm thử
Định hướng. Với mỗi hệ, vẽ lần lượt các đường thẳng bờ, chọn một điểm thử không nằm trên bờ nào rồi thay vào từng bất phương trình để biết giữ nửa mặt phẳng nào; phần chung của các nửa mặt phẳng ấy là miền nghiệm.
a) Ba bờ là d1:x=−1, d2:y=0, d3:x+y=4
Điểm thử I(0;1) cho 0≥−1, 1≥0, 0+1=1≤4, cả ba đều đúng
Giao ba nửa mặt phẳng chứa I là tam giác ABC với A(−1;0), B(4;0), C(−1;5)
b) Ba bờ là d1:x=0, d2:y=0, d3:x−y−4=0
Điểm thử I(1;1) cho 1>0, 1>0, 1−1−4=−4<0, cả ba đều đúng
Cả ba dấu đều ngặt nên ba bờ vẽ nét đứt và không có điểm nào của bờ thuộc miền nghiệm
c) Bốn bờ là y=3, x=3, x=−1, y=−2
Điểm thử I(1;1) cho 1≤3, 1≤3, 1≥−1, 1≥−2, cả bốn đều đúng
Giao bốn nửa mặt phẳng chứa I là hình chữ nhật MNPQ với M(−1;−2), N(3;−2), P(3;3), Q(−1;3)
Vậy miền nghiệm của hệ a) là tam giác ABC kể cả biên; của hệ b) là phần góc phần tư thứ nhất nằm về phía trên đường thẳng x−y−4=0, không kể ba biên; của hệ c) là hình chữ nhật MNPQ kể cả biên.
2Cách 2. Gạch bỏ phần không thoả mãn, phần để trắng còn lại là miền nghiệm
Định hướng. Làm ngược lại Cách 1: với mỗi bất phương trình ta gạch bỏ nửa mặt phẳng không thoả mãn, gạch hết rồi thì phần mặt phẳng còn để trắng chính là miền nghiệm, nhờ vậy khỏi phải nhớ nửa nào được giữ.
Phần trắng không bị chặn, trải vô hạn lên trên và sang phải, chứa chẳng hạn (1;1) và (100;200)
c) Gạch bỏ nửa y>3, nửa x>3, nửa x<−1, nửa y<−2
Phần trắng là giao của dải −1≤x≤3 với dải −2≤y≤3
Dải thứ nhất rộng 3−(−1)=4, dải thứ hai rộng 3−(−2)=5
Vậy ba miền nghiệm trùng khớp với Cách 1: tam giác ABC kể cả biên, miền vô hạn phía trên bờ x−y−4=0 trong góc phần tư thứ nhất không kể biên, và hình chữ nhật MNPQ kích thước 4×5 kể cả biên.
3Cách 3. Giải từng cặp phương trình bờ để lấy trực tiếp toạ độ các đỉnh
Định hướng. Khi miền nghiệm là đa giác, chỉ cần giải từng cặp phương trình bờ để có giao điểm, giữ lại giao điểm nào thoả mãn toàn bộ hệ thì đó là đỉnh; nối các đỉnh là xong, không dùng điểm thử.
a) x=−1 với y=0 cho A(−1;0), kiểm lại −1+0=−1≤4 nên A là đỉnh
y=0 với x+y=4 cho B(4;0), kiểm lại 4≥−1 nên B là đỉnh
x=−1 với x+y=4 cho C(−1;5), kiểm lại 5≥0 nên C là đỉnh
b) x=0 với y=0 cho O(0;0); y=0 với x−y=4 cho D(4;0)
Hai điểm này chỉ thoả mãn hệ ở dấu bằng, mà hệ b) toàn dấu ngặt, nên chúng là điểm góc nhưng bị loại
Bờ x−y−4=0 còn đi qua E(8;4) vì 8−4−4=0, dùng E để đặt thước cho chính xác
c) Bốn cặp bờ kề nhau cho M(−1;−2), N(3;−2), P(3;3), Q(−1;3)
Thay lần lượt bốn điểm vào cả bốn bất phương trình đều đúng nên chúng là bốn đỉnh
Vậy hệ a) có miền nghiệm là tam giác đỉnh (−1;0), (4;0), (−1;5); hệ b) có miền nghiệm không bị chặn với hai điểm góc (0;0) và (4;0) đều bị loại; hệ c) có miền nghiệm là hình chữ nhật đỉnh (−1;−2), (3;−2), (3;3), (−1;3).
Nhận xét. Cách 3 cho luôn toạ độ các đỉnh, đúng thứ mà những bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ngay sau đây bắt buộc phải có, nên tập vẽ theo lối này sẽ đỡ phải làm lại từ đầu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1 vì một điểm thử duy nhất là xử lý gọn cả ba bờ cùng lúc; Cách 3 chỉ nên chọn khi đề hỏi thêm toạ độ đỉnh, còn Cách 2 tiện lúc vẽ tay trên giấy kẻ ô vì gạch bỏ khó nhầm hơn tô màu.
Đáp số.a) Tam giác ABC kể cả biên, với A(−1;0), B(4;0), C(−1;5). b) Phần góc phần tư thứ nhất nằm phía trên đường thẳng x−y−4=0, không kể ba biên; hai điểm góc O(0;0) và D(4;0) đều bị loại. c) Hình chữ nhật MNPQ kể cả biên, với M(−1;−2), N(3;−2), P(3;3), Q(−1;3), kích thước 4×5.
Sai lầm thường gặp.Lỗi nặng nhất là vẽ nét liền cho ba bờ của hệ b): khi ấy gốc O(0;0) bị coi là nghiệm, nhưng thay vào thì 0>0 sai, nên O phải bị loại. Lỗi thứ hai là hiểu x−y−4<0 thành nửa mặt phẳng phía dưới bờ; thử I(1;1) được 1−1−4=−4<0 đúng, mà I lại nằm phía trên bờ, chứng tỏ phải giữ nửa phía trên. Lỗi thứ ba là ở hệ c) chỉ vẽ hai bờ x=3 và y=3 rồi bỏ quên hai bờ x=−1, y=−2, biến hình chữ nhật thành miền vô hạn.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, hệ x≥−1, y≥0, x+y≤m có miền nghiệm là tam giác khi m>−1, thu về một điểm khi m=−1 và vô nghiệm khi m<−1; hãy thử chứng minh diện tích tam giác đó bằng 2(m+1)2, thay m=4 được đúng 225 như hệ a).
Bài 2 · 2.7★★Trang 23— Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=ax+by trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y)=2x+3y với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ⎩⎨⎧x+y≤6x≥0y≥0
Kiến thức cần nhớ
Trên miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn, biểu thức F(x;y)=ax+by đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
Muốn tìm đỉnh của miền nghiệm thì giải từng cặp phương trình bờ rồi giữ lại nghiệm thoả mãn cả hệ.
Tập hợp các điểm thoả mãn ax+by=m là một đường thẳng gọi là đường mức của F; các đường mức ứng với những giá trị m khác nhau thì song song với nhau.
Nếu p, q là hai số không âm, u≤U và v≤V thì pu+qv≤pU+qV, dấu bằng xảy ra khi đồng thời u=U và v=V.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một biểu thức bậc nhất cùng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đúng dấu hiệu của bài toán tối ưu, nên việc đầu tiên là vẽ miền nghiệm chứ không phải thử từng cặp số. Miền nghiệm ở đây là tam giác, tức đa giác lồi bị chặn, nhờ đó F chắc chắn có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và cả hai đều rơi vào đỉnh. Bẫy của đề là hệ số của y lớn hơn hệ số của x, nên đỉnh cho giá trị lớn nhất là B(0;6) chứ không phải A(6;0) như phản xạ thường gặp.
1Cách 1. Tính F tại ba đỉnh của tam giác miền nghiệm
Định hướng. Miền nghiệm là tam giác nên chỉ việc xác định ba đỉnh rồi so sánh ba giá trị của F.
x=0 với y=0 cho O(0;0), kiểm lại 0+0=0≤6
y=0 với x+y=6 cho A(6;0), kiểm lại 6≥0
x=0 với x+y=6 cho B(0;6), kiểm lại 6≥0
F(0;0)=2⋅0+3⋅0=0+0=0
F(6;0)=2⋅6+3⋅0=12+0=12
F(0;6)=2⋅0+3⋅6=0+18=18
VậyF đạt giá trị lớn nhất bằng 18 tại (x;y)=(0;6) và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại (x;y)=(0;0).
2Cách 2. Cho đường mức F = m trượt song song qua tam giác
Định hướng. Coi F=m là một đường thẳng trượt song song với chính nó, hai giá trị m cần tìm ứng với hai vị trí cuối cùng mà đường thẳng ấy còn chạm vào tam giác.
Đường mức của F là 2x+3y=m, có vectơ pháp tuyến n=(2;3) không phụ thuộc m
Các đường mức đôi một song song, và m càng lớn thì đường mức càng dịch về phía n
m=0: đường mức 2x+3y=0 chạm tam giác tại đúng O(0;0)
m=6: đường mức 2x+3y=6 đi qua (3;0) và (0;2), cắt hẳn vào trong tam giác
m=12: đường mức 2x+3y=12 đi qua A(6;0) và (0;4), vẫn còn cắt tam giác
m=18: đường mức 2x+3y=18 đi qua B(0;6) và (9;0), chạm tam giác tại đúng B
m<0 hoặc m>18: đường mức không còn điểm chung nào với tam giác
VậyF nhận đúng các giá trị 0≤F≤18; giá trị nhỏ nhất là 0 tại O(0;0), giá trị lớn nhất là 18 tại B(0;6).
3Cách 3. Chặn trực tiếp bằng bất đẳng thức, viết F theo tổng x + y
Định hướng. Tách F thành một phần đã bị ràng buộc x+y≤6 chặn sẵn và một phần có dấu xác định, khi đó chặn trên với chặn dưới hiện ra ngay mà khỏi cần hình vẽ.
F(x;y)=2x+3y=3x+3y−x=3(x+y)−x
Từ x+y≤6 suy ra 3(x+y)≤18; từ x≥0 suy ra −x≤0
F=3(x+y)−x≤18+0=18
Dấu bằng khi x+y=6 và x=0, tức (x;y)=(0;6)
Mặt khác x≥0 và y≥0 nên F=2x+3y≥0+0=0
Dấu bằng khi x=0 và y=0, tức (x;y)=(0;0)
Vậy0≤F(x;y)≤18, giá trị lớn nhất của F bằng 18 tại (0;6) và giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại (0;0).
Nhận xét. Chỗ tinh tế của Cách 3 là tách 2x+3y=3(x+y)−x chứ không phải 2(x+y)+y: cả hai đều đúng nhưng chỉ lối thứ nhất cho ngay chặn trên 18, vì 2(x+y)+y≤12+y vẫn còn dính ẩn y nên chưa chặn được.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: miền nghiệm là tam giác nên ba phép nhân là xong, lại đúng đường lối mà đáp án chấm điểm mong đợi; Cách 3 rất hay nhưng phải nghĩ ra phép tách F, còn Cách 2 dài vì phải vẽ thêm mấy đường mức.
Đáp số.Miền nghiệm là tam giác OAB với O(0;0), A(6;0), B(0;6); các giá trị tương ứng là F(0;0)=0, F(6;0)=12, F(0;6)=18. Giá trị lớn nhất của F bằng 18, đạt tại x=0, y=6; giá trị nhỏ nhất bằng 0, đạt tại x=0, y=0.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm phổ biến nhất là tính F tại một hai đỉnh rồi kết luận: thấy A(6;0) có hoành độ lớn nhất nên tưởng F(6;0)=12 là giá trị lớn nhất, trong khi F(0;6)=18 mới lớn nhất. Sai lầm thứ hai là đi tìm cực trị ở điểm bên trong miền, chẳng hạn lấy (2;2) được F=10 rồi bảo đó là giá trị nhỏ nhất, quên rằng một biểu thức bậc nhất không bao giờ đạt cực trị tại điểm trong. Sai lầm thứ ba là bỏ mất hai ràng buộc x≥0 và y≥0: lúc đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng vô hạn, F nhỏ tuỳ ý nên không còn giá trị nhỏ nhất.
🚀 Mở rộng.Vẫn trên tam giác đó, biểu thức F=ax+by với a, b dương đạt giá trị lớn nhất 6a tại A(6;0) khi a>b, đạt 6b tại B(0;6) khi a<b, và khi a=b thì F=a(x+y) không đổi trên cả cạnh AB nên mọi điểm của cạnh AB đều là điểm tối ưu.
Bài 3 · 2.8★★★Trang 23— Tối ưu biểu thức bậc nhất trên miền nghiệm cho bởi hai cặp bất phương trình kẹp, phải xét đủ bốn đỉnh
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y)=4x−3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình ⎩⎨⎧x+y≥−4x+y≤5x−y≤5x−y≥−4
Kiến thức cần nhớ
Biểu thức bậc nhất F(x;y) trên một đa giác lồi bị chặn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại đỉnh, nên phải xét đủ các đỉnh rồi so sánh.
Hai đường thẳng x+y=c và x−y=c′ luôn vuông góc với nhau vì hai vectơ pháp tuyến (1;1) và (1;−1) có tích vô hướng bằng 0.
Phép đặt u=x+y, v=x−y có phép ngược x=2u+v, y=2u−v, và biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng.
Nếu p, q không âm, u≤U và v≤V thì pu+qv≤pU+qV, dấu bằng khi u=U và v=V.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn bất phương trình của hệ chỉ dùng đúng hai biểu thức x+y và x−y, mỗi biểu thức lại bị kẹp giữa hai số, đó là dấu hiệu rất mạnh để nghĩ tới phép đặt ẩn phụ thay vì vẽ ngay. Nếu vẫn muốn vẽ thì phải nhớ mọi bờ dạng x+y=c đều vuông góc với mọi bờ dạng x−y=c, nên miền nghiệm là một hình vuông nghiêng 45∘ chứ không phải hình bình hành tuỳ ý. Bẫy của đề nằm ở dấu trừ trong F=4x−3y: đỉnh nào có tung độ càng nhỏ thì F càng lớn, nên không được máy móc chọn đỉnh cao nhất bên phải.
1Cách 1. Giải bốn cặp phương trình bờ rồi so sánh F tại bốn đỉnh
Định hướng. Hai bờ kề nhau của miền cắt nhau tại một đỉnh, nên giải lần lượt bốn cặp phương trình bờ rồi tính F tại bốn đỉnh thu được.
x+y=5 với x−y=5 cho 2x=10, x=5, y=0, tức A(5;0)
x+y=−4 với x−y=5 cho 2x=1, x=0,5, y=−4,5, tức B(0,5;−4,5)
x+y=−4 với x−y=−4 cho 2x=−8, x=−4, y=0, tức C(−4;0)
x+y=5 với x−y=−4 cho 2x=1, x=0,5, y=4,5, tức D(0,5;4,5)
F(5;0)=4⋅5−3⋅0=20−0=20
F(0,5;−4,5)=4⋅0,5−3⋅(−4,5)=2+13,5=15,5
F(−4;0)=4⋅(−4)−3⋅0=−16−0=−16
F(0,5;4,5)=4⋅0,5−3⋅4,5=2−13,5=−11,5
Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 20 tại A(5;0) và giá trị nhỏ nhất bằng −16 tại C(−4;0).
2Cách 2. Cho đường mức 4x - 3y = m trượt qua hình vuông
Định hướng. Mọi đường thẳng 4x−3y=m đều song song nên chỉ cần cho chúng trượt qua hình vuông và xem hai lần chạm cuối cùng xảy ra tại đỉnh nào.
Đường mức của F là 4x−3y=m với vectơ pháp tuyến n=(4;−3) không đổi
m tăng thì đường mức dịch theo hướng n, tức sang phải và xuống dưới
Bốn đỉnh của hình vuông là A(5;0), B(0,5;−4,5), C(−4;0), D(0,5;4,5)
Đỉnh xa nhất theo hướng n là đỉnh có 4x−3y lớn nhất; so 20 với 15,5, −16, −11,5 thì đó là A
Đỉnh xa nhất theo hướng −n là đỉnh có 4x−3y nhỏ nhất, tức C với F=−16
m=20: đường mức 4x−3y=20 chỉ chạm hình vuông tại đúng A
m=−16: đường mức 4x−3y=−16 chỉ chạm hình vuông tại đúng C
VậyF nhận mọi giá trị trong đoạn từ −16 đến 20; giá trị lớn nhất là 20 tại A(5;0), giá trị nhỏ nhất là −16 tại C(−4;0).
3Cách 3. Đặt u = x + y và v = x - y để hệ rời thành hai đoạn độc lập
Định hướng. Đặt u=x+y, v=x−y thì bốn ràng buộc rời thành hai đoạn độc lập, còn F viết được theo u, v với hai hệ số cùng dương nên cực trị lộ ra tức thì.
Đặt u=x+y, v=x−y, khi đó x=2u+v, y=2u−v
Hệ đã cho trở thành −4≤u≤5 và −4≤v≤5, hai đoạn không ràng buộc lẫn nhau
F=4⋅2u+v−3⋅2u−v=24u+4v−3u+3v=2u+7v
Từ u≤5 và 7v≤35 suy ra F≤25+35=240=20
Từ u≥−4 và 7v≥−28 suy ra F≥2−4−28=2−32=−16
F=20 khi u=v=5, tức x=25+5=5 và y=25−5=0
F=−16 khi u=v=−4, tức x=2−4−4=−4 và y=2−4+4=0
Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 20 tại (x;y)=(5;0) và giá trị nhỏ nhất bằng −16 tại (x;y)=(−4;0).
Nhận xét. Sau phép đặt, miền nghiệm thành hình vuông cạnh 9 trong mặt phẳng Ouv và F tách hẳn thành một phần theo u với một phần theo v, đó là lý do lời giải còn vài dòng và không cần vẽ hình nào.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 3 vì phép đặt u=x+y, v=x−y biến hệ bốn bất phương trình thành hai đoạn rời nhau, cực trị đọc ra ngay mà khỏi phải giải bốn hệ hai phương trình như Cách 1 nên gần như không thể sai số.
Đáp số.Miền nghiệm là hình vuông ABCD với A(5;0), B(0,5;−4,5), C(−4;0), D(0,5;4,5); các giá trị tương ứng là F(A)=20, F(B)=15,5, F(C)=−16, F(D)=−11,5. Giá trị lớn nhất của F bằng 20 tại x=5, y=0; giá trị nhỏ nhất bằng −16 tại x=−4, y=0.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm thứ nhất là xét thiếu đỉnh, chỉ tính F tại hai đỉnh trên trục hoành rồi kết luận: ở bài này tình cờ đúng, nhưng nếu đổi biểu thức thành 3x+4y thì giá trị lớn nhất lại là F(D)=19,5 ở D(0,5;4,5), hơn hẳn F(A)=15. Sai lầm thứ hai là ghép sai cặp bờ khi tìm đỉnh, chẳng hạn giải x+y=5 cùng x+y=−4 là hai bờ song song nên vô nghiệm, rồi kết luận miền chỉ có ba đỉnh. Sai lầm thứ ba là khi đặt ẩn phụ lại quên chia đôi, viết x=u+v thay cho x=2u+v, khiến toạ độ mọi đỉnh gấp đôi giá trị đúng.
🚀 Mở rộng.Tổng quát với hệ −p≤x+y≤q và −p≤x−y≤q thì miền nghiệm là hình vuông tâm (2q−p;0), và mọi biểu thức F=ax+by đạt cực trị tại hai đỉnh đối tâm: cặp đỉnh nằm trên trục hoành khi ∣a∣>∣b∣, cặp đỉnh còn lại khi ∣a∣<∣b∣ — hãy thử chứng minh bằng phép đặt ẩn phụ như Cách 3.
Bài 4 · 2.9★★★★Trang 23— Bài toán tối ưu thực tế: lập hệ bất phương trình ràng buộc rồi tìm điểm thưởng lớn nhất
Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước uống. Để pha chế 1 lít nước loại I cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước loại II cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước loại I được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước loại II được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để số điểm thưởng nhận được là lớn nhất?
Kiến thức cần nhớ
Dịch bài toán thực tế thành hệ bất phương trình: mỗi nguồn lực bị chặn trên cho một bất phương trình dạng ax+by≤c, còn ẩn chỉ số lượng thì luôn kèm điều kiện không âm.
Chia hai vế của một bất phương trình cho cùng một số dương thì chiều bất phương trình không đổi, nên 45x+15y≤315 tương đương 3x+y≤21.
Biểu thức bậc nhất trên miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn đạt giá trị lớn nhất tại một đỉnh, nên phải tính giá trị tại tất cả các đỉnh rồi so sánh.
Đường thẳng ax+by=c với b=0 có hệ số góc −ba; hai đường thẳng song song khi hai hệ số góc bằng nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba nguồn nguyên liệu đều bị chặn trên rồi hỏi điểm thưởng lớn nhất, dấu hiệu kinh điển của bài toán tối ưu, nên bước then chốt là đặt ẩn theo số lít mỗi loại rồi dịch từng câu dữ kiện thành một bất phương trình. Phải hết sức cẩn thận khi đọc bảng dữ kiện vì bộ ba 45 g đường, 1 lít nước, 0,5 g hương liệu thuộc loại I còn bộ ba 15, 1, 2 thuộc loại II, rất dễ đọc chéo cột thành ra ràng buộc sai. Một chỗ cần cảnh giác nữa là đừng bỏ quên hai điều kiện hiển nhiên x≥0 và y≥0, vì thiếu chúng thì miền nghiệm không bị chặn và bài toán mất luôn đỉnh cho kết quả.
1Cách 1. Lập hệ ràng buộc rồi tính điểm thưởng tại đủ năm đỉnh
Định hướng. Gọi số lít mỗi loại là ẩn, dịch ba giới hạn nguyên liệu thành ba bất phương trình, vẽ miền nghiệm rồi tính điểm thưởng tại từng đỉnh của miền đó.
Gọi x là số lít nước loại I, y là số lít nước loại II, x≥0, y≥0
Hương liệu: 0,5x+2y≤12, nhân hai vế với 2 được x+4y≤24
Nước: x+y≤9
Đường: 45x+15y≤315, chia hai vế cho 15 được 3x+y≤21
Điểm thưởng F(x;y)=60x+80y
3x+y=21 cắt y=0 tại A(7;0); 3x+y=21 cắt x+y=9 tại B(6;3)
x+y=9 cắt x+4y=24 tại C(4;5); x+4y=24 cắt x=0 tại D(0;6)
F(0;0)=0 và F(7;0)=60⋅7+80⋅0=420+0=420
F(6;3)=60⋅6+80⋅3=360+240=600
F(4;5)=60⋅4+80⋅5=240+400=640
F(0;6)=60⋅0+80⋅6=0+480=480
Vậy điểm thưởng lớn nhất là 640 điểm, đạt được khi pha 4 lít nước loại I và 5 lít nước loại II.
2Cách 2. So sánh hệ số góc của đường mức điểm thưởng với hệ số góc các bờ
Định hướng. Đường mức điểm thưởng có hệ số góc cố định; đỉnh cho điểm cao nhất là đỉnh mà tại đó hệ số góc của đường mức bị kẹp giữa hệ số góc của hai bờ đi qua nó, nên chỉ cần so ba con số là chỉ đúng đỉnh.
Ba ràng buộc là x+4y≤24, x+y≤9, 3x+y≤21 cùng x≥0, y≥0
Đường mức 60x+80y=m rút gọn thành 3x+4y=20m, hệ số góc −43
Bờ hương liệu x+4y=24 có hệ số góc −41; bờ nước x+y=9 có hệ số góc −1
Vì −1<−43<−41, đường mức thoải hơn bờ nước và dốc hơn bờ hương liệu
Đỉnh là giao của đúng hai bờ ấy nên là điểm tối ưu: x+y=9 với x+4y=24 cho 3y=15, y=5, x=4
Đường mức qua C(4;5) là 3x+4y=3⋅4+4⋅5=12+20=32, ứng với m=20⋅32=640
Kiểm lại tại C(4;5): hương liệu 0,5⋅4+2⋅5=2+10=12, nước 4+5=9, đường 45⋅4+15⋅5=180+75=255≤315
Vậy đường mức cao nhất còn chạm miền nghiệm là 3x+4y=32, chạm tại đúng đỉnh C(4;5), cho điểm thưởng lớn nhất 640 điểm.
3Cách 3. Ghép hai ràng buộc theo hệ số thích hợp để chặn trên điểm thưởng
Định hướng. Điểm thưởng là một tổ hợp hệ số không âm của hai ràng buộc nước và hương liệu; tìm đúng hai hệ số ấy thì chặn trên hiện ra ngay và lời giải không cần hình vẽ nào.
Ràng buộc nước là x+y≤9, ràng buộc hương liệu là x+4y≤24
Tìm p≥0, q≥0 sao cho p(x+y)+q(x+4y)=60x+80y
Đồng nhất hệ số cho p+q=60 và p+4q=80
Trừ theo vế được 3q=20, q=320, suy ra p=60−320=3160
Dấu bằng khi x+y=9 và x+4y=24, trừ theo vế được 3y=15, y=5, x=4
Cặp (4;5) thoả mãn nốt ràng buộc đường vì 45⋅4+15⋅5=255≤315, lại có 4≥0 và 5≥0
VậyF≤640 với mọi phương án hợp lệ và dấu bằng đạt được tại (4;5), nên điểm thưởng lớn nhất bằng 640 điểm khi pha 4 lít loại I và 5 lít loại II.
Nhận xét. Hai hệ số 3160 và 320 đều dương nên phép ghép là hợp lệ; nếu giải ra một hệ số âm thì đó là bằng chứng cặp ràng buộc chọn sai và phải thử cặp khác, chẳng hạn ghép ràng buộc nước với ràng buộc đường.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1 vì đây là đường lối chuẩn được chấm điểm: vẽ miền nghiệm một lần rồi tính 60x+80y tại năm đỉnh là chắc chắn ra 640; Cách 3 ngắn hơn nhiều nhưng phải đoán đúng cặp ràng buộc chặt nên chỉ dùng để kiểm tra lại đáp số.
Đáp số.Gọi x, y lần lượt là số lít nước loại I và loại II thì hệ ràng buộc là x≥0, y≥0, x+y≤9, x+4y≤24, 3x+y≤21 và điểm thưởng là F=60x+80y. Miền nghiệm là ngũ giác đỉnh O(0;0), A(7;0), B(6;3), C(4;5), D(0;6) cho F lần lượt bằng 0, 420, 600, 640, 480. Điểm thưởng lớn nhất là 640 điểm, khi pha 4 lít nước loại I và 5 lít nước loại II.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp nhất là chỉ so hai đỉnh nằm trên hai trục: thấy F(7;0)=420 bé hơn F(0;6)=480 rồi kết luận nên pha toàn loại II, trong khi đỉnh C(4;5) mới cho 640 điểm. Sai lầm thứ hai là nhân sai khi làm sạch mẫu: từ 0,5x+2y≤12 lại vẽ bờ đi qua (12;0) thay cho (24;0), làm lệch hẳn miền nghiệm. Sai lầm thứ ba là tưởng phương án tối ưu phải dùng hết cả ba nguyên liệu: tại (4;5) lượng đường chỉ dùng 255 g trong 315 g nên ràng buộc đường không chặt, nếu cố ép 45x+15y=315 cùng x+y=9 thì ra (6;3) và điểm thưởng tụt còn 600.
🚀 Mở rộng.Nếu ban tổ chức nâng điểm thưởng mỗi lít loại I lên m điểm thì phương án (4;5) còn tối ưu chừng nào hệ số góc đường mức còn kẹp giữa −1 và −41, tức 20≤m≤80; vượt 80 thì phương án tốt nhất nhảy sang B(6;3), và từ 240 trở lên thì nhảy tiếp sang A(7;0) — hãy tự kiểm bằng cách tính mx+80y tại năm đỉnh.
Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-10-kn/bai-4-he-bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an.jsp · https://sachbaitap.com/bai-26-27-28-29-trang-23-sbt-toan-10-tap-1-ket-noi-tri-thuc-c174a25527.html
