Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.7★★Trang 38— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc (g.c.g), tính

R

S

và các đường cao

Cho tam giác

A B C

có

A = 4 5^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

và

c = 12

.
a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Diện tích: $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B$ và $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ .
Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân côsin góc kề.
Đường cao: $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ , $h_{b} = \frac{2 S}{b}$ , $h_{c} = \frac{2 S}{c}$ ; ngoài ra $h_{a} = c sin B = b sin C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc và một cạnh nên góc thứ ba có ngay, và cặp

c

với

C

đối diện nhau là dấu hiệu dùng định lí sin: một phép chia cho ra luôn

2 R

, rồi mọi cạnh khác chỉ là

2 R

nhân với sin góc đối. Vì

A

và

C

đều nhọn nên chân đường cao

B H

rơi vào trong cạnh

A C

, chia tam giác thành hai tam giác vuông có góc đặc biệt — đường này cho đáp số đúng dạng căn. Bẫy nằm ở

sin 10 5^{\circ}

: không có trong bảng góc đặc biệt, nên hoặc dùng máy tính, hoặc phải đi đường hạ đường cao để ra giá trị chính xác.

1Cách 1. Định lí sin rồi công thức diện tích theo sin

Định hướng. Cặp $c = 12$ và $C = 3 0^{\circ}$ cho ngay $2 R$ ; từ $2 R$ suy ra hai cạnh còn lại, diện tích tính theo hai cạnh kẹp góc $B$ , đường cao lấy từ $2 S$ chia cạnh.

B = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

2 R = \frac{c}{sin C} = \frac{12}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24 \Rightarrow R = 12

a = 2 R sin A = 24 sin 4 5^{\circ} = 24 \cdot \frac{2}{2} = 122 \approx 16, 97

b = 2 R sin B = 24 sin 10 5^{\circ} \approx 24 \cdot 0, 9659 \approx 23, 18

S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} \cdot 122 \cdot 12 \cdot sin 10 5^{\circ} = 722 sin 10 5^{\circ} \approx 98, 35

h_{a} = \frac{2 S}{a} \approx \frac{2 \cdot 98 , 35}{16 , 97} \approx 11, 59

h_{b} = \frac{2 S}{b} \approx \frac{2 \cdot 98 , 35}{23 , 18} \approx 8, 49

h_{c} = \frac{2 S}{c} \approx \frac{2 \cdot 98 , 35}{12} \approx 16, 39

Vậy $a = 122 \approx 16, 97$ , $b \approx 23, 18$ , $R = 12$ , $S \approx 98, 35$ , $h_{a} \approx 11, 59$ , $h_{b} \approx 8, 49$ , $h_{c} \approx 16, 39$ .

2Cách 2. Hạ đường cao BH, giải hai tam giác vuông có góc đặc biệt

Định hướng. Hai góc $A$ , $C$ nhọn nên chân $H$ của đường cao từ $B$ nằm giữa $A$ và $C$ ; tam giác $A B H$ vuông cân, tam giác $C B H$ là nửa tam giác đều, nên mọi độ dài ra dạng căn chính xác mà không cần $sin 10 5^{\circ}$ .

B H = A B sin A = 12 sin 4 5^{\circ} = 62

A H = A B cos A = 12 cos 4 5^{\circ} = 62

a = B C = \frac{B H}{sin C} = \frac{6 2}{\frac{1}{2}} = 122

H C = B C cos C = 122 \cdot \frac{3}{2} = 66

b = A C = A H + H C = 62 + 66 \approx 23, 18

R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{12 2}{2 \cdot \frac{2}{2}} = 12

S = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} (62 + 66) \cdot 62 = 36 + 363 \approx 98, 35

h_{b} = B H = 62 \approx 8, 49

h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{72 + 72 3}{12 2} = \frac{6 + 6 3}{2} = 32 + 36 \approx 11, 59

h_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{72 + 72 3}{12} = 6 + 63 \approx 16, 39

Vậy $a = 122$ , $b = 62 + 66$ , $R = 12$ , $S = 36 + 363$ , $h_{a} = 32 + 36$ , $h_{b} = 62$ , $h_{c} = 6 + 63$ .

3Cách 3. Tính mọi đại lượng theo R và sin các góc

Định hướng. Khi đã có $R$ , mọi đại lượng của tam giác đều viết được bằng $R$ và sin các góc: cạnh $= 2 R sin$ , $S = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ , còn đường cao là cạnh kề nhân sin góc — không cần tính $S$ trước.

R = \frac{c}{2 sin C} = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12

a = 2 R sin A = 24 \cdot \frac{2}{2} = 122

b = 2 R sin B = 24 sin 10 5^{\circ} \approx 23, 18

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C = 2 \cdot 144 \cdot \frac{2}{2} \cdot sin 10 5^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = 722 sin 10 5^{\circ} \approx 98, 35

h_{a} = c sin B = 12 sin 10 5^{\circ} \approx 11, 59

h_{b} = c sin A = 12 \cdot \frac{2}{2} = 62 \approx 8, 49

h_{c} = b sin A \approx 23, 18 \cdot \frac{2}{2} \approx 16, 39

Vậy kết quả trùng với hai cách trên: $R = 12$ , $S \approx 98, 35$ , $h_{a} \approx 11, 59$ , $h_{b} \approx 8, 49$ , $h_{c} \approx 16, 39$ .

Nhận xét. So Cách 2 với Cách 1 ta được luôn $24 sin 10 5^{\circ} = 62 + 66$ , tức $sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ — một giá trị lượng giác không có trong bảng mà tìm ra chỉ bằng hạ đường cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: hai tam giác vuông có góc đặc biệt cho mọi đáp số ở dạng căn chính xác, không phụ thuộc máy tính; Cách 3 là lối kiểm tra nhanh các đường cao vì

h_{a} = c sin B

chỉ một phép nhân.

Đáp số. a)

a = 122 \approx 16, 97

;

b = 62 + 66 \approx 23, 18

. b)

R = 12

. c)

S = 36 + 363 \approx 98, 35

. d)

h_{a} = 32 + 36 \approx 11, 59

;

h_{b} = 62 \approx 8, 49

;

h_{c} = 6 + 63 \approx 16, 39

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là ghép nhầm cạnh với góc không đối diện, chẳng hạn viết

\frac{12}{sin 4 5 ^{\circ}} = 2 R

vì thấy

12

và

4 5^{\circ}

đứng cạnh nhau trong đề; khi đó

R = 62 \approx 8, 49

, sai. Cạnh

c

đối diện góc

C

, nên phải chia cho

sin 3 0^{\circ}

. Sai lầm thứ hai là tính

h_{a}

bằng

\frac{S}{a}

(quên nhân

2

), được

h_{a} \approx 5, 80

— chỉ bằng một nửa đáp số đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biết

c

và hai góc

A

C

thì

S = \frac{c ^{2} sin A sin B}{2 sin C}

với

B = 18 0^{\circ} - A - C

; thử áp dụng cho

A = 6 0^{\circ}

C = 4 5^{\circ}

c = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.8★★Trang 38— Tam giác biết ba cạnh (c.c.c): tính côsin góc, diện tích, đường cao, bán kính nội tiếp

Tam giác

A B C

có

a = 19

b = 6

và

c = 15

.
a) Tính

cos A

.
b) Tính diện tích tam giác.
c) Tính độ dài đường cao

h_{c}

.
d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả định lí côsin: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ với $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
$S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c h_{c} = p r$ .
$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ và $sin A > 0$ với mọi góc của tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Biết đủ ba cạnh là dấu hiệu của định lí côsin (cho góc) và công thức Heron (cho diện tích); từ

S

thì

h_{c} = \frac{2 S}{c}

và

r = \frac{S}{p}

chỉ còn là phép chia. Để ý

a^{2} = 361

lớn hơn

b^{2} + c^{2} = 261

nên góc

A

tù — đó là chỗ kiểm tra dấu của

cos A

. Bẫy là khi đi từ

S

ngược về góc:

sin A

luôn dương nên không tự cho biết

A

nhọn hay tù, phải so

a^{2}

với

b^{2} + c^{2}

để chọn dấu cho

cos A

1Cách 1. Định lí côsin, rồi diện tích theo sin

Định hướng. Đi đúng thứ tự đề hỏi: côsin trước, suy ra sin, diện tích từ hai cạnh kẹp góc $A$ , rồi đường cao và bán kính nội tiếp.

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{36 + 225 - 361}{2 \cdot 6 \cdot 15} = \frac{- 100}{180} = - \frac{5}{9}

sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - \frac{25}{81} = \frac{56}{81} = \frac{2 14}{9}

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 15 \cdot \frac{2 14}{9} = 1014 \approx 37, 42

h_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{20 14}{15} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 99

p = \frac{19 + 6 + 15}{2} = 20

r = \frac{S}{p} = \frac{10 14}{20} = \frac{14}{2} \approx 1, 87

Vậy $cos A = - \frac{5}{9}$ , $S = 1014$ , $h_{c} = \frac{4 14}{3}$ , $r = \frac{14}{2}$ .

2Cách 2. Heron trước, rồi quay ngược ra góc A

Định hướng. Ba cạnh là số nguyên và nửa chu vi $p = 20$ đẹp, nên Heron cho $S$ ngay; từ $S$ lấy $sin A$ , còn dấu của $cos A$ quyết định bằng cách so $a^{2}$ với $b^{2} + c^{2}$ .

S = p (p - a) (p - b) (p - c) = 20 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 5 = 1400 = 1014

sin A = \frac{2 S}{b c} = \frac{20 14}{90} = \frac{2 14}{9}

a^{2} = 361 > b^{2} + c^{2} = 261 \Rightarrow A

tù

\Rightarrow cos A < 0

cos A = - 1 - \frac{56}{81} = - \frac{25}{81} = - \frac{5}{9}

h_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{20 14}{15} = \frac{4 14}{3}

r = \frac{S}{p} = \frac{10 14}{20} = \frac{14}{2}

Vậy $cos A = - \frac{5}{9}$ , $S = 1014$ , $h_{c} = \frac{4 14}{3}$ , $r = \frac{14}{2}$ .

3Cách 3. Hạ đường cao CH và dùng định lí Pythagore hai lần

Định hướng. Góc $A$ tù nên chân $H$ của đường cao từ $C$ nằm trên tia đối của tia $A B$ ; đặt $A H = x$ , viết $C H^{2}$ theo hai tam giác vuông $C H A$ và $C H B$ rồi cho bằng nhau là ra $x$ , từ đó có cả $h_{c}$ lẫn $cos A$ .

C H^{2} = C A^{2} - A H^{2} = C B^{2} - B H^{2}

36 - x^{2} = 361 - (15 + x)^{2}

36 - x^{2} = 361 - 225 - 30 x - x^{2}

30 x = 100

x = \frac{10}{3}

h_{c} = C H = 36 - \frac{100}{9} = \frac{224}{9} = \frac{4 14}{3}

cos A = - cos C A H = - \frac{A H}{A C} = - \frac{10/3}{6} = - \frac{5}{9}

S = \frac{1}{2} c h_{c} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{4 14}{3} = 1014

r = \frac{S}{p} = \frac{10 14}{20} = \frac{14}{2}

Vậy $cos A = - \frac{5}{9}$ , $S = 1014 \approx 37, 42$ , $h_{c} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 99$ , $r = \frac{14}{2} \approx 1, 87$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng kiến thức lớp 8 mà vẫn ra đủ bốn đại lượng; dòng $cos A = - cos C A H$ chính là quan hệ hai góc bù nhau $C A B + C A H = 18 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) vì đề hỏi

cos A

trước, nhưng câu b) nên tính bằng Heron như Cách 2:

p = 20

làm biểu thức dưới căn thành

1400

, vừa nhanh vừa là phép kiểm tra chéo cho

sin A

Đáp số. a)

cos A = - \frac{5}{9}

. b)

S = 1014 \approx 37, 42

. c)

h_{c} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 99

. d)

r = \frac{14}{2} \approx 1, 87

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là viết nhầm tử số thành

a^{2} + b^{2} - c^{2}

(công thức của

cos C

), được

\frac{172}{228} = \frac{43}{57}

— dương, trái với việc

A

là góc tù. Sai lầm thứ hai là tính

h_{c} = \frac{2 S}{a}

(chia nhầm cạnh), ra

\frac{20 14}{19} \approx 3, 94

; đường cao

h_{c}

ứng với cạnh

c = 15

. Sai lầm thứ ba là dùng

r = \frac{S}{a + b + c}

(chia cả chu vi), được

\frac{14}{4}

— chỉ bằng một nửa.

🚀 Mở rộng. Cùng ba cạnh đó, bán kính ngoại tiếp là

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{1710}{40 14} = \frac{171 14}{56} \approx 11, 43

; hãy kiểm tra lại bằng

R = \frac{a}{2 sin A}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.9★★Trang 39— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c), tính diện tích và trung tuyến

Cho tam giác

A B C

có

a = 4

C = 6 0^{\circ}

b = 5

.
a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh

A

của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .
Hệ quả: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ .
Công thức trung tuyến: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ .
Trong tam giác, cạnh nhỏ nhất đối diện góc nhỏ nhất, và góc đó luôn nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

Hai cạnh

a

b

kẹp góc

C

là dấu hiệu định lí côsin để tìm cạnh

c

; diện tích thì dùng thẳng

\frac{1}{2} ab sin C

với góc

6 0^{\circ}

đẹp. Để tìm góc, dùng hệ quả định lí côsin an toàn hơn định lí sin vì côsin tự quyết định góc nhọn hay tù. Riêng trung tuyến

A M

M

là trung điểm

B C

nên tam giác

A C M

lại có hai cạnh

5

2

kẹp góc

6 0^{\circ}

— cùng dạng c.g.c, không cần công thức trung tuyến.

1Cách 1. Định lí côsin cho cạnh và cho góc, công thức trung tuyến

Định hướng. Định lí côsin cho $c$ ; hệ quả của nó cho $cos A$ ; góc $B$ lấy theo tổng ba góc; diện tích theo hai cạnh kẹp góc $C$ ; trung tuyến theo công thức.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 16 + 25 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 21 \Rightarrow c = 21 \approx 4, 58

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 21 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 21} = \frac{3}{21} \approx 0, 6547 \Rightarrow A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}

B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - A \approx 7 0^{\circ} 5 4^{'}

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 53 \approx 8, 66

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4} = \frac{50 + 42 - 16}{4} = 19 \Rightarrow m_{a} = 19 \approx 4, 36

Vậy $c = 21$ , $A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}$ , $B \approx 7 0^{\circ} 5 4^{'}$ , $S = 53$ , $m_{a} = 19$ .

2Cách 2. Định lí sin cho góc, định lí côsin trong tam giác ACM

Định hướng. Có $c$ rồi thì định lí sin cho $sin A$ ; $a = 4$ là cạnh nhỏ nhất nên $A$ nhọn, không lo hai nghiệm. Trung tuyến $A M$ là cạnh của tam giác $A C M$ có $C A = 5$ , $C M = 2$ kẹp góc $6 0^{\circ}$ .

c^{2} = 16 + 25 - 20 = 21 \Rightarrow c = 21

sin A = \frac{a sin C}{c} = \frac{4 \cdot \frac{3}{2}}{21} = \frac{2 3}{21} = \frac{2}{7} \approx 0, 7559

a < c < b \Rightarrow A

nhọn

\Rightarrow A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}

B \approx 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 4 9^{\circ} 6^{'} = 7 0^{\circ} 5 4^{'}

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 21 \cdot \frac{2}{7} = 53

A M^{2} = C A^{2} + C M^{2} - 2 \cdot C A \cdot C M cos C = 25 + 4 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 19 \Rightarrow A M = 19

Vậy $c = 21$ , $A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}$ , $B \approx 7 0^{\circ} 5 4^{'}$ , $S = 53$ , $m_{a} = 19$ .

3Cách 3. Gắn hệ trục toạ độ với C là gốc

Định hướng. Đặt $C$ ở gốc, $C B$ nằm trên trục hoành thì $A$ có toạ độ tính ngay từ góc $6 0^{\circ}$ ; khi đó cạnh $c$ , trung tuyến $A M$ là khoảng cách hai điểm, còn góc $B$ đọc từ tam giác vuông tạo bởi $A$ và hình chiếu $K$ của nó.

C (0; 0)

B (4; 0)

A (5 cos 6 0^{\circ}; 5 sin 6 0^{\circ}) = (\frac{5}{2}; \frac{5 3}{2})

M (2; 0)

K (\frac{5}{2}; 0)

c = A B = (4 - \frac{5}{2})^{2} + (\frac{5 3}{2})^{2} = \frac{9}{4} + \frac{75}{4} = 21

tan B = \frac{A K}{K B} = \frac{5 3 /2}{3/2} = \frac{5 3}{3} \approx 2, 887 \Rightarrow B \approx 7 0^{\circ} 5 4^{'}

A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - B \approx 4 9^{\circ} 6^{'}

S = \frac{1}{2} C B \cdot A K = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{5 3}{2} = 53

A M = (\frac{5}{2} - 2)^{2} + \frac{75}{4} = \frac{1}{4} + \frac{75}{4} = 19

Vậy $c = 21 \approx 4, 58$ , $A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}$ , $B \approx 7 0^{\circ} 5 4^{'}$ , $S = 53 \approx 8, 66$ , $m_{a} = 19 \approx 4, 36$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho $c^{2} = 21$ và $m_{a}^{2} = 19$ ; Cách 2 cho thấy trung tuyến từ $A$ tính được bằng định lí côsin trong tam giác nhỏ $A C M$ mà không phải nhớ công thức trung tuyến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tam giác

A C M

cho

m_{a}^{2} = 25 + 4 - 10 = 19

chỉ một dòng, còn định lí sin với lập luận '

a

nhỏ nhất nên

A

nhọn' tránh được bẫy hai nghiệm của

sin

Đáp số. a)

c = 21 \approx 4, 58

;

A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}

;

B \approx 7 0^{\circ} 5 4^{'}

. b)

S = 53 \approx 8, 66

. c)

m_{a} = 19 \approx 4, 36

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên hệ số

2

trong định lí côsin:

c^{2} = 16 + 25 - 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 31

, được

c \approx 5, 57

. Sai lầm thứ hai là dùng định lí sin cho góc

B

(góc lớn nhất):

sin B \approx 0, 945

cho hai khả năng

7 0^{\circ} 5 4^{'}

và

10 9^{\circ} 6^{'}

, nếu chọn bừa góc tù thì tổng ba góc đã vượt

18 0^{\circ}

khi cộng với góc

A

tính đúng. Sai lầm thứ ba là lấy trung tuyến từ

A

bằng công thức

m_{a}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

(đảo vai cạnh), ra

\frac{61}{4}

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho trung tuyến từ

A

khi biết

b

a

và góc

C

m_{a}^{2} = b^{2} + \frac{a ^{2}}{4} - ab cos C

; thử với

a = 6

b = 4

C = 12 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.10★★★Trang 39— Bài toán thực tế về hướng đi: dùng định lí côsin tìm khoảng cách, định lí sin tìm góc lệch

Một tàu cá xuất phát từ đảo

A

, chạy

50

km theo hướng

N 2 4^{\circ} E

đến đảo

B

để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng

N 3 6^{\circ} W

chạy tiếp

130

km đến ngư trường

C

.
a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát

A

đến

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị đo kilômét).
b) Tìm hướng từ

A

đến

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Kiến thức cần nhớ

Kí hiệu hướng $N α^{\circ} E$ : từ hướng Bắc quay về phía Đông một góc $α$ ; $N α^{\circ} W$ : quay về phía Tây.
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ .
Trong tam giác có một góc tù, hai góc còn lại đều nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

Hai chặng đường và hai hướng đi cho ta hai cạnh

A B

B C

; việc chính là đổi hai hướng thành góc

A B C

xen giữa, sau đó định lí côsin cho

A C

. Hướng

N 2 4^{\circ} E

nghĩa là lệch

2 4^{\circ}

từ hướng Bắc sang Đông, nên tại

B

tia

B A

lệch

2 4^{\circ}

so với hướng Nam, tia

B C

lệch

3 6^{\circ}

so với hướng Bắc, cùng về phía Tây. Câu b) cần góc

B A C

rồi trừ đi

2 4^{\circ}

; bẫy là làm tròn

B A C

quá sớm hoặc nhầm phía Đông với Tây.

1Cách 1. Định lí côsin tìm AC, định lí sin tìm góc BAC

Định hướng. Tại $B$ hai tia $B A$ , $B C$ cùng lệch về phía Tây so với đường Bắc – Nam nên $A B C = 18 0^{\circ} - 2 4^{\circ} - 3 6^{\circ}$ ; có góc xen giữa thì dùng định lí côsin, rồi định lí sin cho góc tại $A$ .

A B C = 18 0^{\circ} - 2 4^{\circ} - 3 6^{\circ} = 12 0^{\circ}

A C^{2} = 5 0^{2} + 13 0^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 130 \cdot cos 12 0^{\circ} = 2500 + 16900 + 6500 = 25900

A C = 10259 \approx 160, 93 \approx 161

(km)

sin B A C = \frac{B C sin A B C}{A C} = \frac{130 \cdot \frac{3}{2}}{10 259} \approx 0, 6996

A B C

tù

\Rightarrow B A C

nhọn

\Rightarrow B A C \approx 44, 3 9^{\circ}

44, 3 9^{\circ} - 2 4^{\circ} = 20, 3 9^{\circ} \approx 2 0^{\circ}

lệch về phía Tây so với hướng Bắc

Vậy $A C \approx 161$ km và hướng từ $A$ đến $C$ là $N 2 0^{\circ} W$ .

2Cách 2. Định lí côsin cả hai lần (tìm cạnh rồi tìm góc)

Định hướng. Đã có đủ ba cạnh thì hệ quả định lí côsin cho thẳng $cos B A C$ — dấu của côsin tự nói góc nhọn hay tù, không phải lập luận thêm như khi dùng sin.

A B C = 12 0^{\circ}

A C^{2} = 2500 + 16900 + 6500 = 25900

cos B A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{2500 + 25900 - 16900}{2 \cdot 50 \cdot 10 259} = \frac{23}{2 259} \approx 0, 7146

B A C \approx 44, 3 9^{\circ}

B A C - 2 4^{\circ} \approx 20, 3 9^{\circ} \approx 2 0^{\circ}

Vậy $A C \approx 161$ km, hướng từ $A$ đến $C$ là $N 2 0^{\circ} W$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá: trục hoành hướng Đông, trục tung hướng Bắc

Định hướng. Mỗi chặng đi $d$ km theo hướng lệch góc $α$ so với hướng Bắc cộng thêm $d sin α$ theo phương Đông – Tây và $d cos α$ theo phương Bắc; cộng hai chặng được toạ độ $C$ , từ đó ra cả khoảng cách lẫn góc lệch mà không cần tìm góc $A B C$ .

A (0; 0)

B (50 sin 2 4^{\circ}; 50 cos 2 4^{\circ}) \approx (20, 34; 45, 68)

C (50 sin 2 4^{\circ} - 130 sin 3 6^{\circ}; 50 cos 2 4^{\circ} + 130 cos 3 6^{\circ}) \approx (- 56, 08; 150, 85)

A C \approx 56, 0 8^{2} + 150, 8 5^{2} \approx 25900 \approx 160, 93

tan φ = \frac{56 , 08}{150 , 85} \approx 0, 3717 \Rightarrow φ \approx 20, 3 9^{\circ}

về phía Tây

Vậy $A C \approx 161$ km, hướng $N 2 0^{\circ} W$ .

Nhận xét. Hoành độ của $C$ âm nên $C$ nằm lệch về phía Tây so với $A$ — Cách 3 tự trả lời câu hỏi 'Đông hay Tây' mà hai cách đầu phải suy luận bằng hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi có

A C^{2} = 25900

, hệ quả định lí côsin cho

cos B A C = \frac{23}{2 259}

trực tiếp, không phải bàn chuyện góc nhọn hay tù; Cách 3 hợp khi hành trình có từ ba chặng trở lên.

Đáp số. a)

A C = 10259 \approx 161

km. b)

B A C \approx 44, 3 9^{\circ}

, hướng từ

A

đến

C

là

N 2 0^{\circ} W

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là lấy

A B C = 2 4^{\circ} + 3 6^{\circ} = 6 0^{\circ}

(tưởng góc giữa hai hướng đi là góc của tam giác), khi đó

A C^{2} = 2500 + 16900 - 6500 = 12900

và

A C \approx 114

km — sai. Sai lầm thứ hai là cộng thay vì trừ:

44, 3 9^{\circ} + 2 4^{\circ} \approx 6 8^{\circ}

rồi kết luận hướng

N 6 8^{\circ} E

— sai cả phía lẫn số đo. Tia

A B

đã lệch

2 4^{\circ}

về phía Đông, góc

B A C

lại quay từ tia

A B

về phía Tây, nên góc lệch của

A C

so với hướng Bắc là

44, 3 9^{\circ} - 2 4^{\circ}

về phía Tây.

🚀 Mở rộng. Nếu từ

B

tàu đi hướng

N 3 6^{\circ} E

(vẫn

130

km) thì

A B C = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} + 2 4^{\circ} = 16 8^{\circ}

; hãy tính lại

A C

và hướng từ

A

đến

C

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.11★★★Trang 39— Bài toán thực tế về hướng đi: đổi thời gian ra quãng đường, dùng định lí côsin tính khoảng cách

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng

N 8 0^{\circ} E

với vận tốc

20

km/h. Sau khi đi được

30

phút, tàu chuyển sang hướng

E 2 0^{\circ} S

giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp

36

phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét?

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian, thời gian đổi ra giờ.
Kí hiệu $E α^{\circ} S$ : từ hướng Đông quay về phía Nam một góc $α$ .
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B$ ; $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc và thời gian cho hai cạnh

A B = 10

km,

B C = 12

km; hai hướng đi cho góc

A B C

, nên đây là dạng c.g.c của định lí côsin. Hướng

N 8 0^{\circ} E

chỉ lệch

1 0^{\circ}

lên trên hướng Đông, còn

E 2 0^{\circ} S

lệch

2 0^{\circ}

xuống dưới hướng Đông, nên tại

B

góc giữa tia

B A

và tia

B C

là

18 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 2 0^{\circ}

. Bẫy là đổi phút sang giờ (

30

phút

= 0, 5

giờ,

36

phút

= 0, 6

giờ) và đọc đúng kí hiệu

E 2 0^{\circ} S

là quay từ Đông về Nam.

1Cách 1. Định lí côsin trong tam giác ABC

Định hướng. Có hai cạnh và góc xen giữa $A B C$ nên định lí côsin cho thẳng $A C$ .

A B = 20 \cdot 0, 5 = 10

(km),

B C = 20 \cdot 0, 6 = 12

(km)

A B C = 18 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

A C^{2} = 1 0^{2} + 1 2^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos 15 0^{\circ} = 244 + 240 \cdot \frac{3}{2} = 244 + 1203 \approx 451, 85

A C \approx 21, 26

(km)

Vậy tàu cách vị trí xuất phát khoảng $21, 26$ km.

2Cách 2. Hạ đường cao CH, dùng định lí Pythagore

Định hướng. Góc $A B C$ tù nên chân $H$ của đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $A B$ nằm trên tia đối của tia $B A$ , và $C B H = 3 0^{\circ}$ ; tam giác vuông $C B H$ là nửa tam giác đều.

C B H = 18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

C H = B C sin 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6

B H = B C cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63

A H = A B + B H = 10 + 63

A C^{2} = C H^{2} + A H^{2} = 36 + (10 + 63)^{2} = 36 + 100 + 1203 + 108 = 244 + 1203

A C \approx 21, 26

(km)

Vậy tàu cách Đồ Sơn khoảng $21, 26$ km.

3Cách 3. Toạ độ hoá theo hai phương Đông và Bắc

Định hướng. Đặt Đồ Sơn ở gốc, trục hoành hướng Đông, trục tung hướng Bắc; mỗi chặng cộng vào toạ độ theo góc phương vị của nó ( $8 0^{\circ}$ rồi $11 0^{\circ}$ tính từ hướng Bắc theo chiều kim đồng hồ).

B (10 sin 8 0^{\circ}; 10 cos 8 0^{\circ}) \approx (9, 848; 1, 736)

C (10 sin 8 0^{\circ} + 12 sin 11 0^{\circ}; 10 cos 8 0^{\circ} + 12 cos 11 0^{\circ}) \approx (21, 124; - 2, 368)

A C \approx 21, 12 4^{2} + 2, 36 8^{2} \approx 451, 85 \approx 21, 26

Vậy khoảng cách từ Cát Bà đến vị trí xuất phát xấp xỉ $21, 26$ km.

Nhận xét. Tung độ của $C$ âm cho biết Cát Bà nằm hơi lệch về phía Nam so với Đồ Sơn; hướng từ Đồ Sơn đến Cát Bà xấp xỉ $E 6^{\circ} S$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi quãng đường, tìm

A B C = 15 0^{\circ}

rồi một dòng định lí côsin là xong; Cách 2 hữu ích khi quên giá trị

cos 15 0^{\circ}

Đáp số.

A C = 244 + 1203 \approx 21, 26

km.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là để nguyên phút:

A B = 20 \cdot 30 = 600

km — vô lí với khoảng cách Đồ Sơn – Cát Bà. Sai lầm thứ hai là đọc

E 2 0^{\circ} S

thành lệch

2 0^{\circ}

so với hướng Nam, khi đó

A B C

bị tính thành

10 0^{\circ}

và

A C^{2} = 244 - 240 cos 10 0^{\circ} \approx 285, 68

A C \approx 16, 90

km. Sai lầm thứ ba là quên dấu âm của

cos 15 0^{\circ}

, được

A C^{2} = 244 - 1203 \approx 36, 15

, tức

A C \approx 6, 01

km — ngắn hơn cả chặng

B C

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hai chặng

d_{1}

d_{2}

với hai hướng tạo nhau góc

θ

(góc quay giữa hai hướng đi) thì khoảng cách là

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + 2 d_{1} d_{2} cos θ

; ở bài này

θ = 3 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.12★★★Trang 39— Bài toán thực tế đo chiều cao trên mặt dốc: định lí sin trong tam giác có hai góc và một cạnh

Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc

1 0^{\circ}

so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây

31

m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc

4 0^{\circ}

so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

Kiến thức cần nhớ

Góc nâng (góc nhìn lên) đo giữa tia nhìn và phương nằm ngang.
Tổng ba góc trong tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ .
Trong tam giác vuông, $tan$ của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.

🧠 Phân tích tư duy

Gọi

A

là điểm đứng,

B

là gốc cây,

C

là ngọn cây: đề cho cạnh

A B = 31

m, còn hai góc

1 0^{\circ}

4 0^{\circ}

đều đo so với phương ngang nên phải đổi về góc của tam giác. Góc giữa tia nhìn và mặt dốc là

4 0^{\circ} - 1 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

; cây thẳng đứng nên góc giữa thân cây và mặt dốc (phía chân dốc) là

9 0^{\circ} + 1 0^{\circ} = 10 0^{\circ}

. Có một cạnh và hai góc thì định lí sin là đường ngắn nhất; bẫy là tưởng tam giác

A B C

vuông tại

B

1Cách 1. Định lí sin trong tam giác ABC

Định hướng. Đổi hai góc đo so với phương ngang thành góc $A$ , $B$ của tam giác, suy ra góc $C$ , rồi dùng cặp cạnh – góc đối $A B$ và $C$ .

B A C = 4 0^{\circ} - 1 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

A B C = 9 0^{\circ} + 1 0^{\circ} = 10 0^{\circ}

A C B = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 10 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

B C = \frac{A B sin B A C}{sin A C B} = \frac{31 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ}} = \frac{15 , 5}{sin 5 0 ^{\circ}} \approx 20, 23

(m)

Vậy cây cao khoảng $20, 23$ m.

2Cách 2. Hạ đường vuông góc từ B xuống tia nhìn AC

Định hướng. Đường vuông góc $B H$ từ gốc cây xuống tia nhìn chia tam giác thành hai tam giác vuông: tam giác $A B H$ có góc $3 0^{\circ}$ cho ngay $B H$ , tam giác $C B H$ có góc $5 0^{\circ}$ cho $B C$ .

B A C = 3 0^{\circ}

A C B = 5 0^{\circ}

B H = A B sin 3 0^{\circ} = 31 \cdot \frac{1}{2} = 15, 5

(m)

B C = \frac{B H}{sin 5 0 ^{\circ}} = \frac{15 , 5}{sin 5 0 ^{\circ}} \approx 20, 23

(m)

Vậy chiều cao của cây xấp xỉ $20, 23$ m.

3Cách 3. Chiếu lên phương nằm ngang, hiệu hai độ cao

Định hướng. Kéo dài thân cây xuống gặp đường nằm ngang qua $A$ tại $K$ : độ cao của ngọn $C K$ và độ cao của gốc $B K$ đều tính được từ $A K$ bằng $tan$ , chiều cao cây là hiệu hai độ cao.

A K = 31 cos 1 0^{\circ} \approx 30, 529

(m),

B K = 31 sin 1 0^{\circ} \approx 5, 383

(m)

C K = A K tan 4 0^{\circ} \approx 30, 529 \cdot 0, 8391 \approx 25, 617

(m)

B C = C K - B K \approx 25, 617 - 5, 383 \approx 20, 23

(m)

Vậy cây cao khoảng $20, 23$ m.

Nhận xét. Cách 3 không cần tìm góc nào của tam giác $A B C$ ; nó cho thấy công thức gọn $B C = 31 (cos 1 0^{\circ} tan 4 0^{\circ} - sin 1 0^{\circ}) = \frac{31 sin 3 0 ^{\circ}}{cos 4 0 ^{\circ}}$ , đúng bằng kết quả định lí sin vì $sin 5 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần đổi đúng hai góc

3 0^{\circ}

và

10 0^{\circ}

, một dòng định lí sin cho đáp số; Cách 3 là phép kiểm tra độc lập vì không dùng góc nào của tam giác.

Đáp số. Chiều cao của cây

B C = \frac{31 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ}} \approx 20, 23

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là coi tam giác

A B C

vuông tại

B

rồi tính

B C = 31 tan 3 0^{\circ} \approx 17, 90

m; thật ra cây thẳng đứng chứ không vuông góc với mặt dốc nên

A B C = 10 0^{\circ}

. Sai lầm thứ hai là lấy thẳng

B A C = 4 0^{\circ}

(quên trừ độ dốc), khi đó

A C B = 4 0^{\circ}

và

B C = 31

m — sai hẳn. Sai lầm thứ ba là lấy

A B C = 9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} = 8 0^{\circ}

(nhầm phía), được

C = 7 0^{\circ}

và

B C \approx 16, 49

🚀 Mở rộng. Tổng quát: dốc nghiêng

β

, đứng cách gốc cây

d

mét (dọc theo dốc, ở phía dưới) và nhìn ngọn dưới góc nâng

α

thì chiều cao cây là

h = \frac{d sin ( α - β )}{cos α}

; thử lại với

β = 1 0^{\circ}

α = 4 0^{\circ}

d = 31

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.13★★★Trang 39— Chứng minh đẳng thức về

cot

các góc và tổng bình phương các trung tuyến

Cho tam giác

A B C

. Chứng minh rằng:
a)

cot A + cot B + cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}

;
b)

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Kiến thức cần nhớ

$cot α = \frac{cos α}{sin α}$ với $sin α \neq = 0$ .
$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ và $sin A = \frac{2 S}{b c}$ , nên $cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}$ .
$S = \frac{ab c}{4 R}$ và $sin A = \frac{a}{2 R}$ .
Công thức trung tuyến: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ (và tương tự cho $m_{b}$ , $m_{c}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải câu a) có

S

ở mẫu và tổng bình phương các cạnh ở tử — dấu hiệu phải viết mỗi

cot

thành 'côsin chia sin' rồi thay

cos

bằng định lí côsin,

sin

bằng diện tích; ba số hạng sẽ có chung mẫu

4 S

. Câu b) chỉ là cộng ba công thức trung tuyến, nhưng đáng chứng minh lại công thức đó bằng định lí côsin tại trung điểm. Bẫy của câu a) là tam giác có thể có góc tù: lập luận bằng hình phải xét vị trí chân đường cao, còn lập luận bằng công thức thì đúng cho mọi tam giác.

1Cách 1. Viết cot theo cạnh và diện tích; cộng ba công thức trung tuyến

Định hướng. Mỗi $cot$ đổi thành một phân thức có mẫu $4 S$ , cộng lại thì các số hạng $- a^{2}$ , $- b^{2}$ , $- c^{2}$ triệt tiêu một phần; câu b) cộng ba công thức trung tuyến cùng mẫu $4$ .

cot A = \frac{cos A}{sin A} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} \cdot \frac{b c}{2 S} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}

cot B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{4 S}

cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{4 S}

cot A + cot B + cot C = \frac{( b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} ) + ( a ^{2} + c ^{2} - b ^{2} ) + ( a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} )}{4 S} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4} + \frac{2 a ^{2} + 2 c ^{2} - b ^{2}}{4} + \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3 a ^{2} + 3 b ^{2} + 3 c ^{2}}{4} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Vậy cả hai đẳng thức đều đúng với mọi tam giác $A B C$ (đpcm).

2Cách 2. Đi qua bán kính R; chứng minh lại công thức trung tuyến bằng định lí côsin

Định hướng. Câu a) thay $sin A = \frac{a}{2 R}$ rồi dùng $\frac{R}{ab c} = \frac{1}{4 S}$ ; câu b) viết định lí côsin trong hai tam giác $A B M$ , $A C M$ có hai góc tại $M$ bù nhau, cộng lại thì số hạng chứa $cos$ mất đi.

cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} \cdot \frac{2 R}{a} = \frac{R ( b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} )}{ab c} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}

cot A + cot B + cot C = \frac{R}{ab c} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}

M

là trung điểm

B C

φ = A M B

A M C = 18 0^{\circ} - φ

c^{2} = m_{a}^{2} + \frac{a ^{2}}{4} - a m_{a} cos φ

b^{2} = m_{a}^{2} + \frac{a ^{2}}{4} + a m_{a} cos φ

b^{2} + c^{2} = 2 m_{a}^{2} + \frac{a ^{2}}{2} \Rightarrow m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3 a ^{2} + 3 b ^{2} + 3 c ^{2}}{4} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Vậy hai đẳng thức được chứng minh (đpcm).

3Cách 3. Đường cao chia cạnh (câu a) và toạ độ hoá (câu b)

Định hướng. Câu a): chân $H$ của đường cao $C H = h$ chia cạnh $A B$ thành hai đoạn $h cot A$ và $h cot B$ (có dấu), nên $cot A + cot B = \frac{c}{h} = \frac{c ^{2}}{2 S}$ ; viết vòng quanh ba cạnh rồi cộng. Câu b): đặt $B (0; 0)$ , $C (a; 0)$ , $A (p; q)$ , mọi độ dài bình phương đều là đa thức theo $a$ , $p$ , $q$ .

c = \overline{A H} + \overline{H B} = h cot A + h cot B \Rightarrow cot A + cot B = \frac{c}{h} = \frac{c ^{2}}{c h} = \frac{c ^{2}}{2 S}

cot B + cot C = \frac{a ^{2}}{2 S}

cot C + cot A = \frac{b ^{2}}{2 S}

2 (cot A + cot B + cot C) = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2 S} \Rightarrow cot A + cot B + cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = (p - \frac{a}{2})^{2} + q^{2} + (\frac{a + p}{2})^{2} + \frac{q ^{2}}{4} + (\frac{p}{2} - a)^{2} + \frac{q ^{2}}{4}

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{2} (a^{2} - a p + p^{2} + q^{2})

a^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + (p - a)^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} = 2 (a^{2} - a p + p^{2} + q^{2})

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Vậy cả hai đẳng thức đúng (đpcm).

Nhận xét. Ở câu a) Cách 3, khi $A$ tù thì $H$ nằm ngoài đoạn $A B$ và $cot A < 0$ , nên đoạn $A H = - h cot A$ và vẫn có $c = h cot A + h cot B$ — đó là lí do viết độ dài có dấu. Kết quả phụ $cot A + cot B = \frac{c ^{2}}{2 S}$ rất hay dùng, chẳng hạn ở Bài 3.14.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức

cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}

nhớ một lần dùng cho mọi bài về

cot

trong tam giác, và câu b) chỉ là cộng ba công thức; Cách 3 câu a) nên nhớ như một mẹo hình học.

Đáp số. a)

cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}

(tương tự cho

B

C

), cộng lại được

\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}

. b) Cộng ba công thức trung tuyến được

\frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là viết

sin A = \frac{S}{b c}

(quên hệ số

2

), khi đó

cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 S}

và vế phải thành

\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2 S}

— gấp đôi. Kiểm tra bằng tam giác đều cạnh

1

cot 6 0^{\circ} \cdot 3 = 3

, còn

\frac{3}{4 S} = \frac{3}{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3

khớp đúng. Sai lầm thứ hai ở câu b) là nhớ sai công thức thành

m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - a^{2}

, cộng lại ra tổng bằng

0

— vô lí vì mỗi trung tuyến đều dương.

🚀 Mở rộng. Từ câu b) và

G A = \frac{2}{3} m_{a}

suy ra

G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3}

với

G

là trọng tâm; và từ câu a) cùng bất đẳng thức

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 43 S

ta có

cot A + cot B + cot C \geq 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.14★★★★Trang 39— Chứng minh hệ thức khi hai trung tuyến vuông góc: trọng tâm, định lí Pythagore, công thức

cot

Cho tam giác

A B C

có hai trung tuyến kẻ từ

A

và

B

vuông góc. Chứng minh rằng:
a)

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

;
b)

cot C = 2 (cot A + cot B)

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm $G$ chia trung tuyến theo tỉ số $G A = \frac{2}{3} m_{a}$ , $GM = \frac{1}{3} m_{a}$ .
Công thức trung tuyến: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ .
$cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}$ (Bài 3.13).
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Hai trung tuyến

A M

B N

cắt nhau tại trọng tâm

G

và vuông góc, nên

G

là đỉnh góc vuông của ba tam giác vuông

A GB

B GM

A GN

; tính chất trọng tâm

G A = 2 GM

GB = 2 GN

biến mọi cạnh thành biểu thức của hai đoạn

GM

GN

. Câu b) dùng công thức

cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}

của bài 3.13: thay

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

vào thì cả hai vế đều quy về

\frac{c ^{2}}{S}

. Bẫy là quên hệ số

\frac{2}{3}

khi đổi trung tuyến sang đoạn

G A

1Cách 1. Công thức trung tuyến và tam giác vuông AGB

Định hướng. Tam giác $A GB$ vuông tại $G$ với hai cạnh góc vuông là $\frac{2}{3} m_{a}$ , $\frac{2}{3} m_{b}$ ; thay công thức trung tuyến vào đẳng thức Pythagore là ra câu a). Câu b) viết cả ba $cot$ theo cạnh và $S$ .

G A^{2} + G B^{2} = A B^{2} \Rightarrow \frac{4}{9} (m_{a}^{2} + m_{b}^{2}) = c^{2}

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4} + \frac{2 a ^{2} + 2 c ^{2} - b ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + 4 c ^{2}}{4}

\frac{4}{9} \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} + 4 c ^{2}}{4} = c^{2} \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 9 c^{2} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{4 S} = \frac{5 c ^{2} - c ^{2}}{4 S} = \frac{c ^{2}}{S}

cot A + cot B = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S} + \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{4 S} = \frac{2 c ^{2}}{4 S} = \frac{c ^{2}}{2 S}

cot C = \frac{c ^{2}}{S} = 2 \cdot \frac{c ^{2}}{2 S} = 2 (cot A + cot B)

Vậy $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ và $cot C = 2 (cot A + cot B)$ (đpcm).

2Cách 2. Đặt GM = x, GN = y và dùng Pythagore ba lần

Định hướng. Không cần công thức trung tuyến: đặt $GM = x$ , $GN = y$ thì $G A = 2 x$ , $GB = 2 y$ ; ba tam giác vuông tại $G$ cho $c^{2}$ , $\frac{a ^{2}}{4}$ , $\frac{b ^{2}}{4}$ theo $x$ , $y$ . Câu b) tính luôn ba $cot$ theo $x$ , $y$ với $S = 3 S_{A GB} = 6 x y$ .

c^{2} = G A^{2} + G B^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}

\frac{a ^{2}}{4} = B M^{2} = G B^{2} + G M^{2} = 4 y^{2} + x^{2}

\frac{b ^{2}}{4} = A N^{2} = G A^{2} + G N^{2} = 4 x^{2} + y^{2}

a^{2} + b^{2} = 4 (5 x^{2} + 5 y^{2}) = 20 (x^{2} + y^{2}) = 5 c^{2}

S = 3 S_{A GB} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot 2 y = 6 x y

cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S} = \frac{16 x ^{2} + 4 y ^{2} + 4 x ^{2} + 4 y ^{2} - 4 x ^{2} - 16 y ^{2}}{24 x y} = \frac{2 x ^{2} - y ^{2}}{3 x y}

cot B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{4 S} = \frac{2 y ^{2} - x ^{2}}{3 x y}

cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{4 S} = \frac{16 ( x ^{2} + y ^{2} )}{24 x y} = \frac{2 ( x ^{2} + y ^{2} )}{3 x y}

2 (cot A + cot B) = 2 \cdot \frac{x ^{2} + y ^{2}}{3 x y} = cot C

Vậy cả hai hệ thức đều đúng (đpcm).

3Cách 3. Toạ độ hoá với trọng tâm G là gốc (câu a) và đường cao từ C (câu b)

Định hướng. Hai trung tuyến vuông góc nên lấy chúng làm hai trục: $G (0; 0)$ , $A (2 x; 0)$ , $B (0; 2 y)$ ; vì $G$ là trọng tâm nên $C$ có toạ độ $(- 2 x; - 2 y)$ . Câu b) dùng kết quả $cot A + cot B = \frac{c}{h}$ (Bài 3.13, Cách 3) với $h = h_{c}$ .

C = (- 2 x; - 2 y)

M (- x; 0)

thuộc trục hoành,

N (0; - y)

thuộc trục tung

c^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}

a^{2} = B C^{2} = 4 x^{2} + 16 y^{2}

b^{2} = C A^{2} = 16 x^{2} + 4 y^{2}

a^{2} + b^{2} = 20 x^{2} + 20 y^{2} = 5 (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 5 c^{2}

cot A + cot B = \frac{c}{h _{c}}

S = \frac{1}{2} c h_{c}

cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{4 S} = \frac{4 c ^{2}}{2 c h _{c}} = \frac{2 c}{h _{c}} = 2 (cot A + cot B)

Vậy $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ và $cot C = 2 (cot A + cot B)$ (đpcm).

Nhận xét. Chiều ngược lại cũng đúng: nếu $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ thì $\frac{4}{9} (m_{a}^{2} + m_{b}^{2}) = c^{2}$ , tức $G A^{2} + G B^{2} = A B^{2}$ , nên hai trung tuyến từ $A$ , $B$ vuông góc — đây là một dấu hiệu nhận biết rất gọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a): chỉ cần tính chất trọng tâm và định lí Pythagore, không phải nhớ công thức trung tuyến; câu b) chốt bằng dòng cuối Cách 1 — thay

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

vào công thức

cot

là xong.

Đáp số. a)

\frac{4}{9} (m_{a}^{2} + m_{b}^{2}) = c^{2}

cho

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

. b)

cot C = \frac{c ^{2}}{S}

và

cot A + cot B = \frac{c ^{2}}{2 S}

, nên

cot C = 2 (cot A + cot B)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là viết

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} = c^{2}

(coi cả trung tuyến là cạnh góc vuông), dẫn tới

a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 4 c^{2}

, tức

a^{2} + b^{2} = 0

— vô lí. Góc vuông nằm ở

G

nên cạnh góc vuông là

G A = \frac{2}{3} m_{a}

và

GB = \frac{2}{3} m_{b}

. Sai lầm thứ hai là đặt

C

tuỳ ý trong Cách 3;

C

bị ràng buộc bởi

G

là trọng tâm, đặt sai thì

M

không còn nằm trên trục hoành.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hai trung tuyến

A M

B N

tạo với nhau góc

φ

tại

G

thì

c^{2} = \frac{4}{9} (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} - 2 m_{a} m_{b} cos φ)

; thử tìm hệ thức giữa

a

b

c

khi

φ = 6 0^{\circ}

và

m_{a} = m_{b}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.15★★★Trang 39— Tính góc tam giác từ tỉ số các sin: đổi sang tỉ số cạnh bằng định lí sin

Cho tam giác

A B C

có các góc thoả mãn

\frac{sin A}{1} = \frac{sin B}{2} = \frac{sin C}{3}

. Tính số đo các góc của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Định lí Pythagore đảo: $b^{2} = a^{2} + c^{2}$ thì tam giác vuông tại $B$ .
$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
Hai tam giác có ba cặp cạnh tỉ lệ thì đồng dạng (c.c.c), các góc tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Tỉ số các

sin

của ba góc là dấu hiệu dùng định lí sin:

sin A = \frac{a}{2 R}

nên tỉ số sin cũng là tỉ số cạnh,

a : b : c = 1 : 2 : 3

. Ba cạnh tỉ lệ

1

2

3

gợi ngay 'nửa tam giác đều' vì

1^{2} + (3)^{2} = 2^{2}

. Bẫy là giải thẳng từ

sin

: mỗi giá trị

sin

ứng với hai góc bù nhau, nên phải có thêm lập luận (định lí Pythagore đảo, hay côsin) để chọn đúng.

1Cách 1. Định lí sin rồi định lí Pythagore đảo

Định hướng. Đổi tỉ số sin thành tỉ số cạnh; thấy $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ nên tam giác vuông tại $B$ , rồi đọc góc $A$ từ $sin A = \frac{1}{2} sin B$ .

\frac{a}{2 R \cdot 1} = \frac{b}{2 R \cdot 2} = \frac{c}{2 R 3} \Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = t > 0

a = t

b = 2 t

c = t 3

a^{2} + c^{2} = t^{2} + 3 t^{2} = 4 t^{2} = b^{2} \Rightarrow B = 9 0^{\circ}

sin A = \frac{sin B}{2} = \frac{1}{2}

A < 9 0^{\circ} \Rightarrow A = 3 0^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 9 0^{\circ}$ , $C = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí sin rồi hệ quả định lí côsin

Định hướng. Có tỉ số ba cạnh thì hệ quả định lí côsin cho từng góc một cách duy nhất (côsin phân biệt được góc nhọn, tù), không cần nhận ra tam giác vuông.

a = t

b = 2 t

c = t 3

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{4 t ^{2} + 3 t ^{2} - t ^{2}}{2 \cdot 2 t \cdot t 3} = \frac{6}{4 3} = \frac{3}{2} \Rightarrow A = 3 0^{\circ}

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{t ^{2} + 4 t ^{2} - 3 t ^{2}}{2 \cdot t \cdot 2 t} = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 6 0^{\circ}

B = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

Vậy $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 9 0^{\circ}$ , $C = 6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. So với tam giác mẫu 30° – 90° – 60° và dùng đồng dạng

Định hướng. Đoán tam giác mẫu $A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A^{'} = 3 0^{\circ}$ , $B^{'} = 9 0^{\circ}$ , $C^{'} = 6 0^{\circ}$ : tỉ số sin của nó đúng là $1 : 2 : 3$ . Hai tam giác có cùng tỉ số cạnh thì đồng dạng, nên góc bằng nhau — không phải giải phương trình lượng giác nào.

sin 3 0^{\circ} : sin 9 0^{\circ} : sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} : 1 : \frac{3}{2} = 1 : 2 : 3

a^{'} : b^{'} : c^{'} = sin A^{'} : sin B^{'} : sin C^{'} = 1 : 2 : 3

a : b : c = sin A : sin B : sin C = 1 : 2 : 3

\frac{a}{a ^{'}} = \frac{b}{b ^{'}} = \frac{c}{c ^{'}} \Rightarrow △ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}

(c.c.c)

A = A^{'} = 3 0^{\circ}

B = B^{'} = 9 0^{\circ}

C = C^{'} = 6 0^{\circ}

Vậy tam giác $A B C$ có $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 9 0^{\circ}$ , $C = 6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy tỉ số các sin quyết định hoàn toàn hình dạng tam giác, nên chỉ cần tìm được một tam giác thoả mãn là đã có đáp số duy nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi sang tỉ số cạnh, nhận ra

1 + 3 = 4

là có ngay góc vuông, phần còn lại chỉ là góc đặc biệt; nếu tỉ số không 'đẹp' thì chuyển sang Cách 2.

Đáp số.

A = 3 0^{\circ}

B = 9 0^{\circ}

C = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là giải thẳng

sin C = \frac{3}{2} sin B

mà chưa biết

B

, hoặc từ

sin C = \frac{3}{2}

chọn

C = 12 0^{\circ}

— khi đó

A + C = 15 0^{\circ}

và

B = 3 0^{\circ}

, nhưng

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} \neq = 2 sin A = 1

, mâu thuẫn. Sai lầm thứ hai là đọc nhầm đề thành

\frac{sin C}{3}

: tỉ số cạnh

1 : 2 : 3

vi phạm bất đẳng thức tam giác (

1 + 2 = 3

) nên không có tam giác nào — dấu hiệu để kiểm tra lại đề.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

sin A : sin B : sin C = a : b : c

, nên mọi bài cho tỉ số sin đều quy về tam giác biết tỉ số ba cạnh; thử với

\frac{sin A}{2} = \frac{sin B}{2} = \frac{sin C}{3 + 1}

(đáp số

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

10 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.16★★★Trang 39— Nhận dạng tam giác vuông từ một hệ thức giữa diện tích, bán kính ngoại tiếp và sin các góc

Cho tam giác

A B C

có

S = 2 R^{2} sin A sin B

. Chứng minh rằng tam giác

A B C

là một tam giác vuông.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $a = 2 R sin A$ , $b = 2 R sin B$ , $c = 2 R sin C$ .
$S = \frac{ab c}{4 R} = \frac{1}{2} ab sin C$ .
Với góc $C$ của tam giác, $sin C = 1$ khi và chỉ khi $C = 9 0^{\circ}$ .
Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ cùng một điểm.

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải có

R^{2}

cùng hai thừa số

sin

— dấu hiệu so với công thức 'đầy đủ'

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C

(suy ra từ

S = \frac{ab c}{4 R}

và định lí sin). So hai biểu thức thì hệ thức đề cho chỉ thiếu thừa số

sin C

, nên nó tương đương

sin C = 1

. Bẫy là chia hai vế cho

sin A sin B

mà không nói vì sao khác

0

, hoặc từ

sin C = 1

lại kết luận vuông tại

A

1Cách 1. Dùng S = abc/(4R) và định lí sin

Định hướng. Viết $S$ theo $R$ và ba sin rồi so với giả thiết; hai vế chỉ khác nhau ở thừa số $sin C$ .

S = \frac{ab c}{4 R} = \frac{2 R sin A \cdot 2 R sin B \cdot 2 R sin C}{4 R} = 2 R^{2} sin A sin B sin C

2 R^{2} sin A sin B sin C = 2 R^{2} sin A sin B

sin A > 0

sin B > 0

\Rightarrow sin C = 1

C = 9 0^{\circ}

Vậy tam giác $A B C$ vuông tại $C$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng S = ½ab sin C

Định hướng. Giả thiết $2 R^{2} sin A sin B$ chính là $\frac{1}{2} ab$ vì $ab = 4 R^{2} sin A sin B$ ; so với $S = \frac{1}{2} ab sin C$ là thấy ngay $sin C = 1$ .

ab = 2 R sin A \cdot 2 R sin B = 4 R^{2} sin A sin B \Rightarrow 2 R^{2} sin A sin B = \frac{1}{2} ab

\frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} ab

sin C = 1 \Rightarrow C = 9 0^{\circ}

Vậy tam giác $A B C$ vuông tại $C$ (đpcm).

3Cách 3. Đường cao h_a so với cạnh b (đường vuông góc – đường xiên)

Định hướng. Giả thiết nói $S = \frac{1}{2} ab$ , mà $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ ; vậy đường cao $h_{a}$ từ $A$ bằng đúng cạnh $A C = b$ . Đường vuông góc $A H$ chỉ bằng đường xiên $A C$ khi hai đường trùng nhau, tức $A C ⊥ B C$ .

S = 2 R^{2} sin A sin B = \frac{1}{2} ab

và

S = \frac{1}{2} a h_{a}

\frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} ab \Rightarrow h_{a} = b

, tức

A H = A C

với

H

là chân đường cao từ

A

A H \leq A C

, dấu bằng khi và chỉ khi

H \equiv C

A C ⊥ B C \Rightarrow C = 9 0^{\circ}

Vậy tam giác $A B C$ vuông tại $C$ (đpcm).

Nhận xét. Cách 3 giải thích bằng hình vì sao hệ thức đúng: với hai cạnh $a$ , $b$ cố định, diện tích $\frac{1}{2} ab sin C$ lớn nhất khi $C = 9 0^{\circ}$ , và $2 R^{2} sin A sin B$ chính là giá trị lớn nhất đó; khi ấy $A B$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra

2 R^{2} sin A sin B = \frac{1}{2} ab

là bài toán xong trong hai dòng; Cách 1 an toàn khi chưa nhìn ra, vì công thức

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C

đáng thuộc lòng.

Đáp số. Từ giả thiết suy ra

sin C = 1

, tức

C = 9 0^{\circ}

: tam giác

A B C

vuông tại

C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là kết luận tam giác vuông tại

A

hay

B

vì thấy

sin A

sin B

xuất hiện trong giả thiết; thực ra thừa số bị thiếu là

sin C

nên góc vuông ở

C

. Thử với tam giác

3

4

5

vuông tại

C

(

a = 4

b = 3

R = \frac{5}{2}

2 R^{2} sin A sin B = 2 \cdot \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 6 = S

— đúng. Sai lầm thứ hai là viết

S = 2 R sin A sin B sin C

(thiếu bình phương của

R

), khi đó hai vế không cùng thứ nguyên độ dài bình phương.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm: tam giác có

S = R^{2} sin A sin B

thì

sin C = \frac{1}{2}

, tức

C = 3 0^{\circ}

hoặc

C = 15 0^{\circ}

— lúc này có hai loại tam giác, không còn duy nhất như khi hệ số là

2

Mở bài này trong app ↗