Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang38–39 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.7★★Trang 38— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc (g.c.g), tính

R

S

và các đường cao

Cho tam giác

A B C

có

A = 4 5^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

và

c = 12

.
a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Diện tích: $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B$ và $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ .
Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân côsin góc kề.
Đường cao: $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ , $h_{b} = \frac{2 S}{b}$ , $h_{c} = \frac{2 S}{c}$ ; ngoài ra $h_{a} = c sin B = b sin C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc và một cạnh nên góc thứ ba có ngay, và cặp

c

với

C

đối diện nhau là dấu hiệu dùng định lí sin: một phép chia cho ra luôn

2 R

, rồi mọi cạnh khác chỉ là

2 R

nhân với sin góc đối. Vì

A

và

C

đều nhọn nên chân đường cao

B H

rơi vào trong cạnh

A C

, chia tam giác thành hai tam giác vuông có góc đặc biệt — đường này cho đáp số đúng dạng căn. Bẫy nằm ở

sin 10 5^{\circ}

: không có trong bảng góc đặc biệt, nên hoặc dùng máy tính, hoặc phải đi đường hạ đường cao để ra giá trị chính xác.

1Cách 1. Định lí sin rồi công thức diện tích theo sin

Định hướng. Cặp $c = 12$ và $C = 3 0^{\circ}$ cho ngay $2 R$ ; từ $2 R$ suy ra hai cạnh còn lại, diện tích tính theo hai cạnh kẹp góc $B$ , đường cao lấy từ $2 S$ chia cạnh.

B = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

2 R = \frac{c}{sin C} = \frac{12}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24 \Rightarrow R = 12

a = 2 R sin A = 24 sin 4 5^{\circ} = 24 \cdot \frac{2}{2} = 122 \approx 16, 97

b = 2 R sin B = 24 sin 10 5^{\circ} \approx 24 \cdot 0, 9659 \approx 23, 18

S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} \cdot 122 \cdot 12 \cdot sin 10 5^{\circ} = 722 sin 10 5^{\circ} \approx 98, 35

h_{a} = \frac{2 S}{a} \approx \frac{2 \cdot 98 , 35}{16 , 97} \approx 11, 59

h_{b} = \frac{2 S}{b} \approx \frac{2 \cdot 98 , 35}{23 , 18} \approx 8, 49

h_{c} = \frac{2 S}{c} \approx \frac{2 \cdot 98 , 35}{12} \approx 16, 39

Hình minh hoạ lời giải

Tam giác ABC có góc A bằng 45°, góc C bằng 30°, cạnh c = 12 và đường cao BH nét đứt

Vậy $a = 122 \approx 16, 97$ , $b \approx 23, 18$ , $R = 12$ , $S \approx 98, 35$ , $h_{a} \approx 11, 59$ , $h_{b} \approx 8, 49$ , $h_{c} \approx 16, 39$ .

2Cách 2. Hạ đường cao BH, giải hai tam giác vuông có góc đặc biệt

Định hướng. Hai góc $A$ , $C$ nhọn nên chân $H$ của đường cao từ $B$ nằm giữa $A$ và $C$ ; tam giác $A B H$ vuông cân, tam giác $C B H$ là nửa tam giác đều, nên mọi độ dài ra dạng căn chính xác mà không cần $sin 10 5^{\circ}$ .

B H = A B sin A = 12 sin 4 5^{\circ} = 62

A H = A B cos A = 12 cos 4 5^{\circ} = 62

a = B C = \frac{B H}{sin C} = \frac{6 2}{\frac{1}{2}} = 122

H C = B C cos C = 122 \cdot \frac{3}{2} = 66

b = A C = A H + H C = 62 + 66 \approx 23, 18

R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{12 2}{2 \cdot \frac{2}{2}} = 12

S = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} (62 + 66) \cdot 62 = 36 + 363 \approx 98, 35

h_{b} = B H = 62 \approx 8, 49

h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{72 + 72 3}{12 2} = \frac{6 + 6 3}{2} = 32 + 36 \approx 11, 59

h_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{72 + 72 3}{12} = 6 + 63 \approx 16, 39

Vậy $a = 122$ , $b = 62 + 66$ , $R = 12$ , $S = 36 + 363$ , $h_{a} = 32 + 36$ , $h_{b} = 62$ , $h_{c} = 6 + 63$ .

3Cách 3. Tính mọi đại lượng theo R và sin các góc

Định hướng. Khi đã có $R$ , mọi đại lượng của tam giác đều viết được bằng $R$ và sin các góc: cạnh $= 2 R sin$ , $S = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ , còn đường cao là cạnh kề nhân sin góc — không cần tính $S$ trước.

R = \frac{c}{2 sin C} = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12

a = 2 R sin A = 24 \cdot \frac{2}{2} = 122

b = 2 R sin B = 24 sin 10 5^{\circ} \approx 23, 18

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C = 2 \cdot 144 \cdot \frac{2}{2} \cdot sin 10 5^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = 722 sin 10 5^{\circ} \approx 98, 35

h_{a} = c sin B = 12 sin 10 5^{\circ} \approx 11, 59

h_{b} = c sin A = 12 \cdot \frac{2}{2} = 62 \approx 8, 49

h_{c} = b sin A \approx 23, 18 \cdot \frac{2}{2} \approx 16, 39

Vậy kết quả trùng với hai cách trên: $R = 12$ , $S \approx 98, 35$ , $h_{a} \approx 11, 59$ , $h_{b} \approx 8, 49$ , $h_{c} \approx 16, 39$ .

Nhận xét. So Cách 2 với Cách 1 ta được luôn $24 sin 10 5^{\circ} = 62 + 66$ , tức $sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ — một giá trị lượng giác không có trong bảng mà tìm ra chỉ bằng hạ đường cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: hai tam giác vuông có góc đặc biệt cho mọi đáp số ở dạng căn chính xác, không phụ thuộc máy tính; Cách 3 là lối kiểm tra nhanh các đường cao vì

h_{a} = c sin B

chỉ một phép nhân.

Đáp số. a)

a = 122 \approx 16, 97

;

b = 62 + 66 \approx 23, 18

. b)

R = 12

. c)

S = 36 + 363 \approx 98, 35

. d)

h_{a} = 32 + 36 \approx 11, 59

;

h_{b} = 62 \approx 8, 49

;

h_{c} = 6 + 63 \approx 16, 39

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là ghép nhầm cạnh với góc không đối diện, chẳng hạn viết

\frac{12}{sin 4 5 ^{\circ}} = 2 R

vì thấy

12

và

4 5^{\circ}

đứng cạnh nhau trong đề; khi đó

R = 62 \approx 8, 49

, sai. Cạnh

c

đối diện góc

C

, nên phải chia cho

sin 3 0^{\circ}

. Sai lầm thứ hai là tính

h_{a}

bằng

\frac{S}{a}

(quên nhân

2

), được

h_{a} \approx 5, 80

— chỉ bằng một nửa đáp số đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biết

c

và hai góc

A

C

thì

S = \frac{c ^{2} sin A sin B}{2 sin C}

với

B = 18 0^{\circ} - A - C

; thử áp dụng cho

A = 6 0^{\circ}

C = 4 5^{\circ}

c = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.8★★Trang 38— Tam giác biết ba cạnh (c.c.c): tính côsin góc, diện tích, đường cao, bán kính nội tiếp

Tam giác

A B C

có

a = 19

b = 6

và

c = 15

.
a) Tính

cos A

.
b) Tính diện tích tam giác.
c) Tính độ dài đường cao

h_{c}

.
d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả định lí côsin: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ với $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
$S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c h_{c} = p r$ .
$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ và $sin A > 0$ với mọi góc của tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Biết đủ ba cạnh là dấu hiệu của định lí côsin (cho góc) và công thức Heron (cho diện tích); từ

S

thì

h_{c} = \frac{2 S}{c}

và

r = \frac{S}{p}

chỉ còn là phép chia. Để ý

a^{2} = 361

lớn hơn

b^{2} + c^{2} = 261

nên góc

A

tù — đó là chỗ kiểm tra dấu của

cos A

. Bẫy là khi đi từ

S

ngược về góc:

sin A

luôn dương nên không tự cho biết

A

nhọn hay tù, phải so

a^{2}

với

b^{2} + c^{2}

để chọn dấu cho

cos A

1Cách 1. Định lí côsin, rồi diện tích theo sin

Định hướng. Đi đúng thứ tự đề hỏi: côsin trước, suy ra sin, diện tích từ hai cạnh kẹp góc $A$ , rồi đường cao và bán kính nội tiếp.

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{36 + 225 - 361}{2 \cdot 6 \cdot 15} = \frac{- 100}{180} = - \frac{5}{9}

sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - \frac{25}{81} = \frac{56}{81} = \frac{2 14}{9}

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 15 \cdot \frac{2 14}{9} = 1014 \approx 37, 42

h_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{20 14}{15} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 99

p = \frac{19 + 6 + 15}{2} = 20

r = \frac{S}{p} = \frac{10 14}{20} = \frac{14}{2} \approx 1, 87

Vậy $cos A = - \frac{5}{9}$ , $S = 1014$ , $h_{c} = \frac{4 14}{3}$ , $r = \frac{14}{2}$ .

2Cách 2. Heron trước, rồi quay ngược ra góc A

Định hướng. Ba cạnh là số nguyên và nửa chu vi $p = 20$ đẹp, nên Heron cho $S$ ngay; từ $S$ lấy $sin A$ , còn dấu của $cos A$ quyết định bằng cách so $a^{2}$ với $b^{2} + c^{2}$ .

S = p (p - a) (p - b) (p - c) = 20 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 5 = 1400 = 1014

sin A = \frac{2 S}{b c} = \frac{20 14}{90} = \frac{2 14}{9}

a^{2} = 361 > b^{2} + c^{2} = 261 \Rightarrow A

tù

\Rightarrow cos A < 0

cos A = - 1 - \frac{56}{81} = - \frac{25}{81} = - \frac{5}{9}

h_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{20 14}{15} = \frac{4 14}{3}

r = \frac{S}{p} = \frac{10 14}{20} = \frac{14}{2}

Vậy $cos A = - \frac{5}{9}$ , $S = 1014$ , $h_{c} = \frac{4 14}{3}$ , $r = \frac{14}{2}$ .

3Cách 3. Hạ đường cao CH và dùng định lí Pythagore hai lần

Định hướng. Góc $A$ tù nên chân $H$ của đường cao từ $C$ nằm trên tia đối của tia $A B$ ; đặt $A H = x$ , viết $C H^{2}$ theo hai tam giác vuông $C H A$ và $C H B$ rồi cho bằng nhau là ra $x$ , từ đó có cả $h_{c}$ lẫn $cos A$ .

C H^{2} = C A^{2} - A H^{2} = C B^{2} - B H^{2}

36 - x^{2} = 361 - (15 + x)^{2}

36 - x^{2} = 361 - 225 - 30 x - x^{2}

30 x = 100

x = \frac{10}{3}

h_{c} = C H = 36 - \frac{100}{9} = \frac{224}{9} = \frac{4 14}{3}

cos A = - cos C A H = - \frac{A H}{A C} = - \frac{10/3}{6} = - \frac{5}{9}

S = \frac{1}{2} c h_{c} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{4 14}{3} = 1014

r = \frac{S}{p} = \frac{10 14}{20} = \frac{14}{2}

Vậy $cos A = - \frac{5}{9}$ , $S = 1014 \approx 37, 42$ , $h_{c} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 99$ , $r = \frac{14}{2} \approx 1, 87$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng kiến thức lớp 8 mà vẫn ra đủ bốn đại lượng; dòng $cos A = - cos C A H$ chính là quan hệ hai góc bù nhau $C A B + C A H = 18 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) vì đề hỏi

cos A

trước, nhưng câu b) nên tính bằng Heron như Cách 2:

p = 20

làm biểu thức dưới căn thành

1400

, vừa nhanh vừa là phép kiểm tra chéo cho

sin A

Đáp số. a)

cos A = - \frac{5}{9}

. b)

S = 1014 \approx 37, 42

. c)

h_{c} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 99

. d)

r = \frac{14}{2} \approx 1, 87

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là viết nhầm tử số thành

a^{2} + b^{2} - c^{2}

(công thức của

cos C

), được

\frac{172}{228} = \frac{43}{57}

— dương, trái với việc

A

là góc tù. Sai lầm thứ hai là tính

h_{c} = \frac{2 S}{a}

(chia nhầm cạnh), ra

\frac{20 14}{19} \approx 3, 94

; đường cao

h_{c}

ứng với cạnh

c = 15

. Sai lầm thứ ba là dùng

r = \frac{S}{a + b + c}

(chia cả chu vi), được

\frac{14}{4}

— chỉ bằng một nửa.

🚀 Mở rộng. Cùng ba cạnh đó, bán kính ngoại tiếp là

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{1710}{40 14} = \frac{171 14}{56} \approx 11, 43

; hãy kiểm tra lại bằng

R = \frac{a}{2 sin A}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.9★★Trang 39— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c), tính diện tích và trung tuyến

Cho tam giác

A B C

có

a = 4

C = 6 0^{\circ}

b = 5

.
a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh

A

của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .
Hệ quả: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ .
Công thức trung tuyến: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ .
Trong tam giác, cạnh nhỏ nhất đối diện góc nhỏ nhất, và góc đó luôn nhọn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.10★★★Trang 39— Bài toán thực tế về hướng đi: dùng định lí côsin tìm khoảng cách, định lí sin tìm góc lệch

Một tàu cá xuất phát từ đảo

A

, chạy

50

km theo hướng

N 2 4^{\circ} E

đến đảo

B

để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng

N 3 6^{\circ} W

chạy tiếp

130

km đến ngư trường

C

.
a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát

A

đến

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị đo kilômét).
b) Tìm hướng từ

A

đến

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Kiến thức cần nhớ

Kí hiệu hướng $N α^{\circ} E$ : từ hướng Bắc quay về phía Đông một góc $α$ ; $N α^{\circ} W$ : quay về phía Tây.
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ .
Trong tam giác có một góc tù, hai góc còn lại đều nhọn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.11★★★Trang 39— Bài toán thực tế về hướng đi: đổi thời gian ra quãng đường, dùng định lí côsin tính khoảng cách

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng

N 8 0^{\circ} E

với vận tốc

20

km/h. Sau khi đi được

30

phút, tàu chuyển sang hướng

E 2 0^{\circ} S

giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp

36

phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét?

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian, thời gian đổi ra giờ.
Kí hiệu $E α^{\circ} S$ : từ hướng Đông quay về phía Nam một góc $α$ .
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B$ ; $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.12★★★Trang 39— Bài toán thực tế đo chiều cao trên mặt dốc: định lí sin trong tam giác có hai góc và một cạnh

Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc

1 0^{\circ}

so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây

31

m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc

4 0^{\circ}

so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

Kiến thức cần nhớ

Góc nâng (góc nhìn lên) đo giữa tia nhìn và phương nằm ngang.
Tổng ba góc trong tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ .
Trong tam giác vuông, $tan$ của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.13★★★Trang 39— Chứng minh đẳng thức về

cot

các góc và tổng bình phương các trung tuyến

Cho tam giác

A B C

. Chứng minh rằng:
a)

cot A + cot B + cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}

;
b)

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Kiến thức cần nhớ

$cot α = \frac{cos α}{sin α}$ với $sin α \neq = 0$ .
$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ và $sin A = \frac{2 S}{b c}$ , nên $cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}$ .
$S = \frac{ab c}{4 R}$ và $sin A = \frac{a}{2 R}$ .
Công thức trung tuyến: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ (và tương tự cho $m_{b}$ , $m_{c}$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.14★★★★Trang 39— Chứng minh hệ thức khi hai trung tuyến vuông góc: trọng tâm, định lí Pythagore, công thức

cot

Cho tam giác

A B C

có hai trung tuyến kẻ từ

A

và

B

vuông góc. Chứng minh rằng:
a)

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

;
b)

cot C = 2 (cot A + cot B)

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm $G$ chia trung tuyến theo tỉ số $G A = \frac{2}{3} m_{a}$ , $GM = \frac{1}{3} m_{a}$ .
Công thức trung tuyến: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ .
$cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}$ (Bài 3.13).
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.15★★★Trang 39— Tính góc tam giác từ tỉ số các sin: đổi sang tỉ số cạnh bằng định lí sin

Cho tam giác

A B C

có các góc thoả mãn

\frac{sin A}{1} = \frac{sin B}{2} = \frac{sin C}{3}

. Tính số đo các góc của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Định lí Pythagore đảo: $b^{2} = a^{2} + c^{2}$ thì tam giác vuông tại $B$ .
$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
Hai tam giác có ba cặp cạnh tỉ lệ thì đồng dạng (c.c.c), các góc tương ứng bằng nhau.