Bài 7. Các khái niệm mở đầu

Định hướng. $G$ thuộc đoạn $AM$ và chia $AM$ theo tỉ lệ $2:1$.

Vậy các khẳng định đúng là a), c), d).

Định hướng. Đặt $M$ làm gốc, $BC$ nằm trên trục hoành: $B(-m;0)$, $C(m;0)$, $A(p;q)$ với $q\ne 0$.

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng, d) đúng.

Định hướng. Nhìn từ $G$: $A$ và $M$ ở hai phía; tính độ dài bằng cộng đoạn thẳng.

Vậy chọn a), c), d).

Nhận xét. Hơn nữa $|\overrightarrow{GA}|=2|\overrightarrow{GM}|$: vectơ $\overrightarrow{GA}$ ngược hướng và dài gấp đôi $\overrightarrow{GM}$.

Định hướng. Dùng trực tiếp quy ước về vectơ-không.

Vậy có, đó là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Định hướng. Giả sử có $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ cùng phương với cả $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Vậy có đúng một vectơ cùng phương với cả $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, là $\overrightarrow{0}$.

Định hướng. Lấy điểm $O$, dựng $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$; vì $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ không cùng phương nên $O$, $A$, $B$ không thẳng hàng.

Vậy vectơ cùng phương với cả $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ tồn tại và duy nhất: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

Nhận xét. Nếu đề đổi thành "không cùng hướng" thì câu trả lời vẫn là "có", nhưng dễ hơn nhiều: khi $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ngược hướng, chính $\overrightarrow{a}$ cũng cùng phương với cả hai.

Định hướng. Lấy $\overrightarrow{a}$ làm mốc, so $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}$.

Vậy trong mọi trường hợp đều có ít nhất hai vectơ cùng hướng (đpcm).

Định hướng. Trên phương chung chọn một hướng làm "hướng dương"; mỗi vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có đúng một trong hai hướng.

Vậy có ít nhất hai vectơ cùng hướng (đpcm).

Định hướng. Đặt trục số song song với giá chung; mỗi vectơ ứng với một số khác $0$: $\overrightarrow{a}\to x$, $\overrightarrow{b}\to y$, $\overrightarrow{c}\to z$.

Vậy có ít nhất một cặp vectơ cùng hướng (đpcm).

Nhận xét. Kết quả không còn đúng với vectơ không cùng phương, và cũng sai với hai vectơ: $\overrightarrow{a}$, $-\overrightarrow{a}$ là hai vectơ cùng phương nhưng không cùng hướng.

Định hướng. Tìm các đường thẳng song song hoặc trùng với $AD$, rồi các đoạn song song, bằng và cùng chiều với $AB$.

Vậy a) $10$ vectơ: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{DO}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{FE}$, $\overrightarrow{EF}$. b) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}$.

Định hướng. Chọn $O(0;0)$, cạnh bằng $2$: $A(-2;0)$, $B(-1;\sqrt{3})$, $C(1;\sqrt{3})$, $D(2;0)$, $E(1;-\sqrt{3})$, $F(-1;-\sqrt{3})$.

Vậy a) $10$ vectơ nằm ngang như trên; b) $\overrightarrow{FO}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{ED}$.

Định hướng. Dùng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD$ là hình bình hành, áp cho các tứ giác chứa cạnh $AB$.

Vậy b) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}$; a) gồm $10$ vectơ trên các đường thẳng $AD$, $BC$, $FE$.

Nhận xét. Trong đáp số b) không có $\overrightarrow{DE}$: $\overrightarrow{DE}$ cùng độ dài, cùng phương nhưng ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$.

Định hướng. Chứng minh hai cặp cạnh đối của $BHC{A}^{\prime }$ song song, rồi dùng trung điểm $M$ của đường chéo.

Vậy a) $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$ (đpcm); b) $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{OM}$ cùng phương, cùng hướng và $|\overrightarrow{AH}|=2|\overrightarrow{OM}|$.

Định hướng. Đặt $M$ làm gốc: $B(-m;0)$, $C(m;0)$, $O(0;k)$, $A(p;q)$ với $q\ne 0$ và $A\in (O)$: $p^2+(q-k{)}^2=m^2+k^2$, tức $p^2+q^2-2kq=m^2$.

Vậy a) đúng $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$; b) cùng phương, cùng hướng, $AH=2OM$.

Định hướng. Lấy $H^{\prime }$ đối xứng với $H$ qua $M$, chứng minh $H^{\prime }\equiv A^{\prime }$ — tránh phải chứng minh song song hai lần.

Vậy $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$; $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng, $AH=2OM$.

Nhận xét. Hệ quả đẹp: điểm đối xứng của trực tâm qua trung điểm một cạnh luôn nằm trên đường tròn ngoại tiếp; và $AH=2OM$ là mầm mống của đường thẳng Euler.

Định hướng. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có hướng $\mathrm{N}20^{\circ }\mathrm{E}$; vị trí của $A$ so với $B$ ứng với $\overrightarrow{BA}$.

Vậy $A$ cách $B$ $40$ km, về hướng $\mathrm{S}20^{\circ }\mathrm{W}$ (nam lệch tây $20^{\circ }$) so với $B$.

Định hướng. Kẻ tia chỉ hướng bắc tại $A$ và tia chỉ hướng nam tại $B$; hai tia nằm trên hai đường song song, ngược chiều.

Vậy $A$ cách $B$ $40$ km, theo hướng $\mathrm{S}20^{\circ }\mathrm{W}$ so với $B$.

Định hướng. Đặt $A$ làm gốc, trục hoành chỉ hướng đông, trục tung chỉ hướng bắc.

Vậy $A$ cách $B$ $40$ km, về hướng $\mathrm{S}20^{\circ }\mathrm{W}$ so với $B$.

Nhận xét. Quy tắc nhanh: hướng ngược của $\mathrm{N}{\alpha }^{\circ }\mathrm{E}$ là $\mathrm{S}{\alpha }^{\circ }\mathrm{W}$, của $\mathrm{N}{\alpha }^{\circ }\mathrm{W}$ là $\mathrm{S}{\alpha }^{\circ }\mathrm{E}$ — đổi cả hai chữ, giữ nguyên góc.