Bài 7. Các khái niệm mở đầu

Định hướng. Gọi $E$ là điểm tàu đổi hướng; tam giác $AEB$ vuông tại $E$.

Vậy tàu phải đi theo hướng đông nam, quãng đường $AB=10\sqrt{2}\approx 14,14$ km.

Định hướng. Lấy thêm điểm $F$ cách $A$ $10$ km về hướng nam thì $AEBF$ là hình vuông cạnh $10$ km.

Vậy hướng từ $A$ tới $B$ nằm chính giữa hướng đông ($AE$) và hướng nam ($AF$), tức hướng đông nam; $AB=10\sqrt{2}\approx 14,14$ km.

Định hướng. Trong tam giác vuông $AEB$, tang của góc $A$ cho ngay hướng, côsin cho ngay cạnh huyền.

Vậy hướng đông nam (lệch hướng đông $45^{\circ }$ về phía nam), quãng đường $10\sqrt{2}\approx 14,14$ km.

Nhận xét. Đi thẳng tiết kiệm được $20-10\sqrt{2}\approx 5,86$ km. Đoạn thẳng $AB$ kèm hướng "từ $A$ tới $B$" chính là vectơ $\overrightarrow{AB}$, có độ dài $|\overrightarrow{AB}|=10\sqrt{2}$.

Định hướng. Mỗi cạnh là một đoạn thẳng dài $a$, gắn hai chiều cho nó được hai vectơ.

Vậy có $6$ vectơ: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{AC}$.

Định hướng. Muốn độ dài bằng $a$ thì điểm đầu và điểm cuối phải là hai đỉnh khác nhau.

Vậy có đúng $6$ vectơ độ dài $a$ như trên.

Định hướng. Đếm mọi cặp (điểm đầu; điểm cuối), kể cả trùng nhau, rồi bỏ những vectơ có độ dài $0$.

Vậy $6$ vectơ cần tìm là $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{AC}$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng con số $6$ — cách đếm dùng để kiểm tra, còn khi trình bày vẫn phải liệt kê đủ tên các vectơ.

Định hướng. Đọc hình: vạch kẻ làn và chiều mũi tên trên từng xe.

Vậy a) và c) đúng, b) sai.

Định hướng. Gắn cho mỗi xe một vectơ vận tốc; giá của vectơ chính là làn đường của xe.

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng.

Định hướng. Chỉ có hai chiều nên xếp xe vào hai nhóm rồi xét cặp xe cùng nhóm, khác nhóm.

Vậy các nhận xét đúng là a) và c).

Nhận xét. Câu c) chính là hình ảnh của kết luận quan trọng: hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng, hoặc ngược hướng.

Định hướng. Tất cả vectơ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ nằm trên các đường song song; so chiều mũi tên với $\overrightarrow{a}$.

Vậy cùng hướng với $\overrightarrow{a}$: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{y}$; ngược hướng với $\overrightarrow{a}$: $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{z}$.

Định hướng. Ghi mỗi vectơ bằng cặp (số ô sang phải; số ô đi lên), rồi so tỉ lệ với cặp của $\overrightarrow{a}$.

Vậy hệ số dương: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{y}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$; hệ số âm: $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{z}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$.

Định hướng. Dựng tại $A$ các vectơ bằng từng vectơ đã cho; cùng hướng khi điểm cuối nằm trên cùng một tia gốc $A$.

Vậy $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{y}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{z}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$.

Nhận xét. Hai vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì cùng hướng với nhau, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{y}$ cũng cùng hướng; $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ còn bằng nhau vì cùng hướng, cùng độ dài.

Định hướng. Đọc độ dài từ tính chất hình thang cân, đọc phương từ vị trí tương đối của các giá.

Vậy không có cặp vectơ nào bằng nhau: cặp thứ nhất và thứ ba không cùng phương, cặp thứ hai ngược hướng và khác độ dài.

Định hướng. Đặt trục đối xứng của hình thang làm trục tung để các đỉnh có toạ độ gọn, với $0<b<c$, $h>0$.

Vậy $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BC}$: cùng độ dài, không cùng phương; $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$: cùng phương, ngược hướng, $|\overrightarrow{AB}|<|\overrightarrow{CD}|$; $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$: cùng độ dài, không cùng phương. Không có cặp nào bằng nhau.

Định hướng. Hình thang cân nhận đường trung trực $d$ chung của hai đáy làm trục đối xứng; đối xứng qua $d$ đổi chỗ $A\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$.

Vậy chỉ cặp $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ cùng phương (và ngược hướng); không cặp nào bằng nhau.

Nhận xét. Muốn có cặp bằng nhau phải đổi chiều: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng nhưng vẫn khác độ dài; chỉ khi $AB=CD$ (hình bình hành) mới có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Định hướng. Mỗi điều kiện kiểm tra hai chiều; chiều nào sai thì chỉ ra một vị trí $M$ cụ thể.

Vậy điều kiện cần và đủ là d).

Định hướng. Đặt đường thẳng $AB$ làm trục số với $A=0$, $B=1$; điểm $M$ trên trục có toạ độ $m$ (nếu $M$ không thuộc $AB$ thì cả bốn điều kiện đều sai).

Vậy chỉ điều kiện d) tương đương với "$0<m<1$".

Định hướng. Điều kiện đúng phải vừa đúng mọi khi $M$ nằm giữa, vừa buộc $M$ nằm giữa.

Vậy chọn d).

Nhận xét. Có thể viết lại: $M$ nằm giữa $A$, $B$ $\iff \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng và $AM<AB$ — điều kiện c) chỉ thiếu phần độ dài.

Định hướng. Tính độ lớn thực tế của từng vận tốc, chọn một đơn vị độ dài chung cho $1$ km/h.

Vậy cùng phương: $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_a})$, $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_b})$, $(\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b})$; ngược hướng: $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_b})$, $(\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b})$.

Định hướng. Lấy chiều dòng nước làm chiều dương, mỗi vận tốc là một số có dấu.

Vậy cả ba cặp cùng phương; hai cặp ngược hướng là $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_b})$ và $(\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b})$.

Định hướng. Hướng của vận tốc thực tế là hướng ca nô thật sự di chuyển so với bờ.

Vậy ba vectơ đôi một cùng phương; các cặp ngược hướng: $\overrightarrow{v}$ với $\overrightarrow{v_b}$, $\overrightarrow{v_a}$ với $\overrightarrow{v_b}$.

Nhận xét. Nếu vận tốc dòng nước lớn hơn vận tốc riêng của $B$ (chẳng hạn $20$ km/h) thì ca nô $B$ bị trôi lùi và $\overrightarrow{v_b}$ lại cùng hướng với $\overrightarrow{v}$ — điều kiện $15>3$ ở Cách 3 là cần thiết.

Định hướng. Kiểm từng khẳng định bằng định nghĩa về giá, phương, hướng.

Vậy các khẳng định đúng là a), c), d); khẳng định b) sai.

Định hướng. Ghi mỗi vectơ khác $\overrightarrow{0}$ bằng độ dịch $(p;q)$; cùng phương khi độ dịch tỉ lệ, cùng hướng khi hệ số tỉ lệ dương.

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng, d) đúng.

Định hướng. Lấy điểm $O$, dựng $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$; cùng phương là thẳng hàng với $O$, cùng hướng là cùng một tia gốc $O$.

Vậy các khẳng định đúng: a), c), d).

Nhận xét. Giả thiết $\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{0}$ là then chốt: nếu $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ thì mọi vectơ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ và khẳng định c) sai.

Định hướng. Từ Hình 4.12 đọc điểm đầu, điểm cuối của từng vectơ rồi tính độ dịch (ngang; dọc).

Vậy $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ cùng phương; các cặp ngược hướng: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$; cặp bằng nhau: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$.

Định hướng. Giá song song khi cùng hệ số góc; chiều đọc qua mũi tên đi lên hay đi xuống.

Vậy $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ cùng phương ($\overrightarrow{d}$ thì không); $\overrightarrow{a}$ ngược hướng $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ ngược hướng $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$ cùng hướng, cùng độ dài $2\sqrt{5}$ nên $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$.

Định hướng. Hai vectơ bằng nhau khi tịnh tiến được vectơ này thành vectơ kia; thử tịnh tiến $\overrightarrow{a}$.

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ cùng phương; cặp ngược hướng: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$, $(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$; cặp bằng nhau: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})$.

Nhận xét. $\overrightarrow{d}$ vuông góc với ba vectơ còn lại vì tích hệ số góc $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$.

Định hướng. Chiều thuận đọc tính chất hình bình hành; chiều đảo dùng dấu hiệu nhận biết.

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (đpcm).

Định hướng. Đường chéo $AC$ chia tứ giác thành hai tam giác; vectơ bằng nhau cho cặp góc so le trong.

Vậy $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Định hướng. Gắn hệ trục, đặt $A(x_A;y_A)$, …; vectơ bằng nhau là độ dịch bằng nhau.

Vậy $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (đpcm).

Nhận xét. Tương tự, $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Chú ý thứ tự chữ: viết $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$ là sai vì hai vectơ đó ngược hướng.

Định hướng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong năm điểm cho hai vectơ ngược hướng; có $10$ đoạn thẳng.

Vậy $S$ chia thành $12$ nhóm: $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\}$, $\{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}\}$, $\{\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\}$, $\{\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB}\}$, $\{\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OC}\}$, $\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{CO}\}$, $\{\overrightarrow{BO},\overrightarrow{OD}\}$, $\{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{DO}\}$, $\{\overrightarrow{AC}\}$, $\{\overrightarrow{CA}\}$, $\{\overrightarrow{BD}\}$, $\{\overrightarrow{DB}\}$.

Định hướng. Chọn $O(0;0)$, $A(-1;1)$, $B(1;1)$, $C(1;-1)$, $D(-1;-1)$; hai vectơ bằng nhau khi cùng độ dịch.

Vậy $S$ gồm $20$ vectơ, chia thành $12$ nhóm như trên ($8$ nhóm hai vectơ, $4$ nhóm một vectơ).

Định hướng. Mỗi nhóm vectơ bằng nhau phải nằm trong cùng một phương; xét lần lượt bốn phương.

Vậy $|S|=20$, chia thành $12$ nhóm vectơ bằng nhau.

Nhận xét. Phép đếm $5\cdot 4=20$ (chọn điểm đầu rồi điểm cuối khác điểm đầu) là cách kiểm tra nhanh để biết mình đã liệt kê đủ.

Định hướng. Tính độ dài hai vectơ, so phương qua hệ số góc giá, đọc hướng từ chiều đi lên.