Chương IV. Vectơ

Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang50–51 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.7★★★Trang 50— Bất đẳng thức về độ dài vectơ tổng

Bài 4.7 (trang 50). Cho hai vectơ

a

và

b

không cùng phương. Chứng minh rằng

∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Kiến thức cần nhớ

Bất đẳng thức tam giác: trong tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.
Quy tắc ba điểm: $A B + B C = A C$ .
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dài của vectơ tổng chỉ tính được khi vẽ hai vectơ nối đuôi:

a = A B

b = B C

, khi đó

a + b = A C

và ba độ dài

∣ a ∣

∣ b ∣

∣ a + b ∣

là ba cạnh của tam giác

A B C

. Giả thiết "không cùng phương" chính là điều kiện để

A

B

C

không thẳng hàng, nhờ đó các bất đẳng thức là ngặt. Bẫy: không có giả thiết này thì chỉ có dấu

\leq

1Cách 1. Bất đẳng thức tam giác

Định hướng. Dựng $A B = a$ , $B C = b$ ; vì $a$ , $b$ không cùng phương nên $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng.

a + b = A B + B C = A C

∣ a ∣ = A B

∣ b ∣ = B C

∣ a + b ∣ = A C

△ A B C

A B - B C < A C < A B + B C

\Rightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Định lí côsin

Định hướng. Trong tam giác $A B C$ ở trên, góc $B$ thoả mãn $0^{\circ} < B < 18 0^{\circ}$ nên $- 1 < cos B < 1$ .

∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos B

cos B < 1 \Rightarrow ∣ a + b ∣^{2} > ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ = (∣ a ∣ - ∣ b ∣)^{2}

cos B > - 1 \Rightarrow ∣ a + b ∣^{2} < ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + 2∣ a ∣∣ b ∣ = (∣ a ∣ + ∣ b ∣)^{2}

\Rightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣

Vậy $∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

3Cách 3. Khoảng cách từ một điểm tới các điểm của đường tròn

Định hướng. Giữ $A B = a$ cố định; điểm $C$ với $B C = b$ nằm trên đường tròn tâm $B$ bán kính $r = ∣ b ∣$ .

Đường thẳng

A B

cắt đường tròn tại

C_{1}

C_{2}

với

A C_{1} = A B - r

A C_{2} = A B + r

Mọi điểm

C

của đường tròn:

A B - r \leq A C \leq A B + r

, dấu bằng chỉ khi

C \equiv C_{1}

hoặc

C \equiv C_{2}

a

b

không cùng phương

\Rightarrow C \in / A B \Rightarrow C \neq = C_{1}

C \neq = C_{2}

\Rightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Vậy $∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Nhận xét. Cả ba cách thực ra chứng minh điều mạnh hơn: $∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣$ . Khi $a$ , $b$ cùng hướng thì $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ ; ngược hướng thì $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nối đuôi hai vectơ rồi áp bất đẳng thức tam giác, ba dòng là xong.

Đáp số. Với

a

b

không cùng phương:

∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Vẽ

a

b

chung gốc rồi áp bất đẳng thức tam giác cho tam giác

O A B

— khi đó cạnh thứ ba là

∣ a - b ∣

, không phải

∣ a + b ∣

. Hoặc quên nêu "không cùng phương nên

A

B

C

không thẳng hàng", làm mất lí do của dấu

<

ngặt.

🚀 Mở rộng. Chứng minh tương tự:

∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a - b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

, và tổng quát

∣ a + b + c ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.8★★★Trang 50— Trung điểm, trọng tâm và đẳng thức vectơ

Bài 4.8 (trang 50). Cho hình bình hành

A B C D

tâm

O

M

là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh

B C

, khác

B

và

C

M O

cắt cạnh

A D

tại

N

.
a) Chứng minh rằng

O

là trung điểm

M N

.
b) Gọi

G

là trọng tâm tam giác

B C D

. Chứng minh rằng

G

cũng là trọng tâm tam giác

M N C

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $X Y Z \Leftrightarrow GX + G Y + GZ = 0$ .
Trọng tâm nằm trên trung tuyến, cách đỉnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.
Tâm hình bình hành là trung điểm hai đường chéo; tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là hình học thuần:

O

là tâm đối xứng của hình bình hành, và

M N

là một đoạn đi qua tâm — dấu hiệu dùng tam giác bằng nhau hoặc phép đối xứng tâm. Câu b) dùng đặc trưng vectơ của trọng tâm

G A + GB + GC = 0

: chèn

M

N

vào tổng của tam giác

B C D

và nhờ câu a) để triệt tiêu phần thừa. Bẫy:

M

tuỳ ý nên không được dùng số đo cụ thể.

1Cách 1. Tam giác bằng nhau (a) và chèn điểm (b)

Định hướng. a) So hai tam giác $O B M$ , $O D N$ ; b) viết đẳng thức trọng tâm của $△ B C D$ rồi chèn $M$ , $N$ .

O B = O D

O B M = O D N

(so le trong,

B C ∥ A D

B O M = D O N

(đối đỉnh)

a) \Rightarrow △ O B M = △ O D N

(g.c.g)

\Rightarrow O M = O N

, mà

M

O

N

thẳng hàng

\Rightarrow O

là trung điểm

M N

O

là trung điểm

B D

và

M N \Rightarrow B M D N

là hình bình hành

\Rightarrow B M = N D \Rightarrow M B + N D = 0

b) GB + GC + G D = 0

b) \Rightarrow (GM + M B) + GC + (GN + N D) = 0

b) \Rightarrow GM + GN + GC + (M B + N D) = 0

b) \Rightarrow GM + GN + GC = 0

Vậy $O$ là trung điểm $M N$ và $G$ là trọng tâm tam giác $M N C$ .

2Cách 2. Đối xứng tâm (a) và trung tuyến chung (b)

Định hướng. a) Phép đối xứng tâm $O$ biến hình bình hành thành chính nó; b) $C O$ là trung tuyến chung của hai tam giác.

a) Đối xứng tâm

O

B \mapsto D

C \mapsto A \Rightarrow

cạnh

B C \mapsto

cạnh

D A

a)

M \in B C \Rightarrow M^{'} \in A D

;

M^{'}

cũng thuộc đường thẳng

M O

\Rightarrow M^{'} \equiv N \Rightarrow O

là trung điểm

M N

O

là trung điểm

B D \Rightarrow C O

là trung tuyến của

△ B C D

\Rightarrow G \in C O

C G = \frac{2}{3} C O

b)

O

là trung điểm

M N \Rightarrow C O

là trung tuyến của

△ M N C

b)

Trên trung tuyến

C O

của

△ M N C

, điểm

G

có

C G = \frac{2}{3} C O

\Rightarrow G

là trọng tâm

△ M N C

Vậy $O$ là trung điểm $M N$ ; $G$ là trọng tâm của cả hai tam giác $B C D$ và $M N C$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy bản chất: hai tam giác $B C D$ và $M N C$ có chung đỉnh $C$ và chung trung tuyến $C O$ , nên chung trọng tâm.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $O (0; 0)$ , $B (b_{1}; b_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ ; khi đó $D (- b_{1}; - b_{2})$ , $A (- c_{1}; - c_{2})$ , và $M (m_{1}; m_{2})$ thuộc cạnh $B C$ .

a) Điểm

N (- m_{1}; - m_{2})

đối xứng với

M

qua

O

thuộc đoạn

A D

(vì

A

D

đối xứng với

C

B

) và thuộc đường thẳng

M O

\Rightarrow

đó là

N

a) \Rightarrow

trung điểm

M N

(\frac{m _{1} - m _{1}}{2}; \frac{m _{2} - m _{2}}{2}) = (0; 0) = O

G (\frac{b _{1} + c _{1} - b _{1}}{3}; \frac{b _{2} + c _{2} - b _{2}}{3}) = (\frac{c _{1}}{3}; \frac{c _{2}}{3})

b)

Trọng tâm

△ M N C

(\frac{m _{1} - m _{1} + c _{1}}{3}; \frac{m _{2} - m _{2} + c _{2}}{3}) = (\frac{c _{1}}{3}; \frac{c _{2}}{3})

Vậy $O$ là trung điểm $M N$ và trọng tâm tam giác $M N C$ trùng $G$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) (chuẩn hình học lớp dưới) và Cách 2 cho câu b) — không cần tính vectơ, chỉ cần nhận ra trung tuyến chung

C O

Đáp số. a)

O

là trung điểm

M N

. b)

G

là trọng tâm tam giác

M N C

(và

G

không phụ thuộc vị trí của

M

trên cạnh

B C

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) viết

M B + N D = 0

mà không chứng minh

B M D N

là hình bình hành; hoặc chứng minh

B M D N

là hình bình hành rồi viết nhầm

M B = N D

(đúng phải là

B M = N D

, tức

M B

và

N D

đối nhau).

🚀 Mở rộng. Thay

M

trên cạnh

B C

bằng

M

tuỳ ý trên đường thẳng

B C

: kết luận còn đúng không? (Còn đúng, lời giải Cách 2 không dùng việc

M

nằm giữa

B

C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.9★Trang 50— Chứng minh đẳng thức vectơ trong tứ giác

Bài 4.9 (trang 50). Cho tứ giác

A B C D

.
a) Chứng minh rằng

A B + B C + C D + D A = 0

.
b) Chứng minh rằng

A B + C D = A D + C B

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $M N + N P = M P$ .
Quy tắc hiệu: $O N - O M = M N$ .
$B D + D B = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.10★★★Trang 51— Rút gọn biểu thức vectơ với các trung điểm; xác định điểm

Bài 4.10 (trang 51). Cho tam giác

A B C

. Gọi

D

E

F

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

B C

C A

A B

.
a) Xác định vectơ

A F - B D + C E

.
b) Xác định điểm

M

thoả mãn

A F - B D + C E = M A

.
c) Chứng minh rằng

M C = A B

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình: $E F ∥ B C$ , $E F = \frac{1}{2} B C$ ; từ đó $E F = D B = C D$ .
$E$ là trung điểm $C A \Rightarrow C E = E A$ .
$X Y = T Z \Leftrightarrow X Y Z T$ là hình bình hành.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.11★★Trang 51— Ba lực cân bằng — lực thứ ba đối với hợp lực hai lực kia

Bài 4.11 (trang 51). Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực

F_{1}

F_{2}

F_{3}

cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng

A

. Cho biết

∣ F_{1} ∣ = 30

∣ F_{2} ∣ = 40

N. Tính cường độ của lực

F_{3}

.
(Hình 4.7: hai lực $F_{1}$ , $F_{2}$ vuông góc với nhau tại $A$ , lực $F_{3}$ hướng thẳng xuống.)

Kiến thức cần nhớ

Vật cân bằng dưới tác dụng của các lực $\Leftrightarrow$ tổng các vectơ lực bằng $0$ .
Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật; đường chéo hình chữ nhật tính bằng định lí Pythagore.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.12★★Trang 51— Ba lực cân bằng — độ lớn hợp lực hai lực bằng nhau

Bài 4.12 (trang 51). Trên mặt phẳng, chất điểm

A

chịu tác động của ba lực

F_{1}

F_{2}

F_{3}

và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ

F_{1}

F_{2}

bằng

6 0^{\circ}

. Tính độ lớn của

F_{3}

, biết rằng

∣ F_{1} ∣ = ∣ F_{2} ∣ = 23

Kiến thức cần nhớ

Cân bằng: $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ .
Hình thoi: hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường và là phân giác các góc.
Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .