Chương IV. Vectơ

Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.7★★★Trang 50— Bất đẳng thức về độ dài vectơ tổng

Bài 4.7 (trang 50). Cho hai vectơ

a

và

b

không cùng phương. Chứng minh rằng

∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Kiến thức cần nhớ

Bất đẳng thức tam giác: trong tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.
Quy tắc ba điểm: $A B + B C = A C$ .
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dài của vectơ tổng chỉ tính được khi vẽ hai vectơ nối đuôi:

a = A B

b = B C

, khi đó

a + b = A C

và ba độ dài

∣ a ∣

∣ b ∣

∣ a + b ∣

là ba cạnh của tam giác

A B C

. Giả thiết "không cùng phương" chính là điều kiện để

A

B

C

không thẳng hàng, nhờ đó các bất đẳng thức là ngặt. Bẫy: không có giả thiết này thì chỉ có dấu

\leq

1Cách 1. Bất đẳng thức tam giác

Định hướng. Dựng $A B = a$ , $B C = b$ ; vì $a$ , $b$ không cùng phương nên $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng.

a + b = A B + B C = A C

∣ a ∣ = A B

∣ b ∣ = B C

∣ a + b ∣ = A C

△ A B C

A B - B C < A C < A B + B C

\Rightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Định lí côsin

Định hướng. Trong tam giác $A B C$ ở trên, góc $B$ thoả mãn $0^{\circ} < B < 18 0^{\circ}$ nên $- 1 < cos B < 1$ .

∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos B

cos B < 1 \Rightarrow ∣ a + b ∣^{2} > ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ = (∣ a ∣ - ∣ b ∣)^{2}

cos B > - 1 \Rightarrow ∣ a + b ∣^{2} < ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + 2∣ a ∣∣ b ∣ = (∣ a ∣ + ∣ b ∣)^{2}

\Rightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣

Vậy $∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

3Cách 3. Khoảng cách từ một điểm tới các điểm của đường tròn

Định hướng. Giữ $A B = a$ cố định; điểm $C$ với $B C = b$ nằm trên đường tròn tâm $B$ bán kính $r = ∣ b ∣$ .

Đường thẳng

A B

cắt đường tròn tại

C_{1}

C_{2}

với

A C_{1} = A B - r

A C_{2} = A B + r

Mọi điểm

C

của đường tròn:

A B - r \leq A C \leq A B + r

, dấu bằng chỉ khi

C \equiv C_{1}

hoặc

C \equiv C_{2}

a

b

không cùng phương

\Rightarrow C \in / A B \Rightarrow C \neq = C_{1}

C \neq = C_{2}

\Rightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Vậy $∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Nhận xét. Cả ba cách thực ra chứng minh điều mạnh hơn: $∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣$ . Khi $a$ , $b$ cùng hướng thì $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ ; ngược hướng thì $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nối đuôi hai vectơ rồi áp bất đẳng thức tam giác, ba dòng là xong.

Đáp số. Với

a

b

không cùng phương:

∣ a ∣ - ∣ b ∣ < ∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Vẽ

a

b

chung gốc rồi áp bất đẳng thức tam giác cho tam giác

O A B

— khi đó cạnh thứ ba là

∣ a - b ∣

, không phải

∣ a + b ∣

. Hoặc quên nêu "không cùng phương nên

A

B

C

không thẳng hàng", làm mất lí do của dấu

<

ngặt.

🚀 Mở rộng. Chứng minh tương tự:

∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a - b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

, và tổng quát

∣ a + b + c ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.8★★★Trang 50— Trung điểm, trọng tâm và đẳng thức vectơ

Bài 4.8 (trang 50). Cho hình bình hành

A B C D

tâm

O

M

là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh

B C

, khác

B

và

C

M O

cắt cạnh

A D

tại

N

.
a) Chứng minh rằng

O

là trung điểm

M N

.
b) Gọi

G

là trọng tâm tam giác

B C D

. Chứng minh rằng

G

cũng là trọng tâm tam giác

M N C

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $X Y Z \Leftrightarrow GX + G Y + GZ = 0$ .
Trọng tâm nằm trên trung tuyến, cách đỉnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.
Tâm hình bình hành là trung điểm hai đường chéo; tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là hình học thuần:

O

là tâm đối xứng của hình bình hành, và

M N

là một đoạn đi qua tâm — dấu hiệu dùng tam giác bằng nhau hoặc phép đối xứng tâm. Câu b) dùng đặc trưng vectơ của trọng tâm

G A + GB + GC = 0

: chèn

M

N

vào tổng của tam giác

B C D

và nhờ câu a) để triệt tiêu phần thừa. Bẫy:

M

tuỳ ý nên không được dùng số đo cụ thể.

1Cách 1. Tam giác bằng nhau (a) và chèn điểm (b)

Định hướng. a) So hai tam giác $O B M$ , $O D N$ ; b) viết đẳng thức trọng tâm của $△ B C D$ rồi chèn $M$ , $N$ .

O B = O D

O B M = O D N

(so le trong,

B C ∥ A D

B O M = D O N

(đối đỉnh)

a) \Rightarrow △ O B M = △ O D N

(g.c.g)

\Rightarrow O M = O N

, mà

M

O

N

thẳng hàng

\Rightarrow O

là trung điểm

M N

O

là trung điểm

B D

và

M N \Rightarrow B M D N

là hình bình hành

\Rightarrow B M = N D \Rightarrow M B + N D = 0

b) GB + GC + G D = 0

b) \Rightarrow (GM + M B) + GC + (GN + N D) = 0

b) \Rightarrow GM + GN + GC + (M B + N D) = 0

b) \Rightarrow GM + GN + GC = 0

Vậy $O$ là trung điểm $M N$ và $G$ là trọng tâm tam giác $M N C$ .

2Cách 2. Đối xứng tâm (a) và trung tuyến chung (b)

Định hướng. a) Phép đối xứng tâm $O$ biến hình bình hành thành chính nó; b) $C O$ là trung tuyến chung của hai tam giác.

a) Đối xứng tâm

O

B \mapsto D

C \mapsto A \Rightarrow

cạnh

B C \mapsto

cạnh

D A

a)

M \in B C \Rightarrow M^{'} \in A D

;

M^{'}

cũng thuộc đường thẳng

M O

\Rightarrow M^{'} \equiv N \Rightarrow O

là trung điểm

M N

O

là trung điểm

B D \Rightarrow C O

là trung tuyến của

△ B C D

\Rightarrow G \in C O

C G = \frac{2}{3} C O

b)

O

là trung điểm

M N \Rightarrow C O

là trung tuyến của

△ M N C

b)

Trên trung tuyến

C O

của

△ M N C

, điểm

G

có

C G = \frac{2}{3} C O

\Rightarrow G

là trọng tâm

△ M N C

Vậy $O$ là trung điểm $M N$ ; $G$ là trọng tâm của cả hai tam giác $B C D$ và $M N C$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy bản chất: hai tam giác $B C D$ và $M N C$ có chung đỉnh $C$ và chung trung tuyến $C O$ , nên chung trọng tâm.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $O (0; 0)$ , $B (b_{1}; b_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ ; khi đó $D (- b_{1}; - b_{2})$ , $A (- c_{1}; - c_{2})$ , và $M (m_{1}; m_{2})$ thuộc cạnh $B C$ .

a) Điểm

N (- m_{1}; - m_{2})

đối xứng với

M

qua

O

thuộc đoạn

A D

(vì

A

D

đối xứng với

C

B

) và thuộc đường thẳng

M O

\Rightarrow

đó là

N

a) \Rightarrow

trung điểm

M N

(\frac{m _{1} - m _{1}}{2}; \frac{m _{2} - m _{2}}{2}) = (0; 0) = O

G (\frac{b _{1} + c _{1} - b _{1}}{3}; \frac{b _{2} + c _{2} - b _{2}}{3}) = (\frac{c _{1}}{3}; \frac{c _{2}}{3})

b)

Trọng tâm

△ M N C

(\frac{m _{1} - m _{1} + c _{1}}{3}; \frac{m _{2} - m _{2} + c _{2}}{3}) = (\frac{c _{1}}{3}; \frac{c _{2}}{3})

Vậy $O$ là trung điểm $M N$ và trọng tâm tam giác $M N C$ trùng $G$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) (chuẩn hình học lớp dưới) và Cách 2 cho câu b) — không cần tính vectơ, chỉ cần nhận ra trung tuyến chung

C O

Đáp số. a)

O

là trung điểm

M N

. b)

G

là trọng tâm tam giác

M N C

(và

G

không phụ thuộc vị trí của

M

trên cạnh

B C

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) viết

M B + N D = 0

mà không chứng minh

B M D N

là hình bình hành; hoặc chứng minh

B M D N

là hình bình hành rồi viết nhầm

M B = N D

(đúng phải là

B M = N D

, tức

M B

và

N D

đối nhau).

🚀 Mở rộng. Thay

M

trên cạnh

B C

bằng

M

tuỳ ý trên đường thẳng

B C

: kết luận còn đúng không? (Còn đúng, lời giải Cách 2 không dùng việc

M

nằm giữa

B

C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.9★Trang 50— Chứng minh đẳng thức vectơ trong tứ giác

Bài 4.9 (trang 50). Cho tứ giác

A B C D

.
a) Chứng minh rằng

A B + B C + C D + D A = 0

.
b) Chứng minh rằng

A B + C D = A D + C B

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $M N + N P = M P$ .
Quy tắc hiệu: $O N - O M = M N$ .
$B D + D B = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là đường gấp khúc vectơ khép kín

A \to B \to C \to D \to A

nên quy tắc ba điểm gom lại thành

AA

. Câu b) hai vế có cùng "điểm đầu"

A

C

và cùng tập "điểm cuối"

B

D

— chỉ cần chèn điểm

D

vào

A B

và điểm

B

vào

C D

. Bẫy: dùng giả thiết hình bình hành (đề chỉ cho tứ giác bất kì).

1Cách 1. Quy tắc ba điểm, chèn điểm

Định hướng. a) Gom từ trái sang phải; b) chèn $D$ vào $A B$ , chèn $B$ vào $C D$ .

A B + B C + C D + D A = A C + C D + D A = A D + D A = AA = 0

A B + C D = (A D + D B) + (C B + B D)

b) A B + C D = A D + C B + (D B + B D)

b) A B + C D = A D + C B + 0

b) A B + C D = A D + C B

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Nhóm cặp (a) và chuyển vế (b)

Định hướng. a) Ghép hai cặp nối đuôi; b) đưa về đẳng thức hiển nhiên bằng quy tắc hiệu.

(A B + B C) + (C D + D A) = A C + C A = 0

A B + C D = A D + C B \Leftrightarrow A B - A D = C B - C D

b) \Leftrightarrow D B = D B

(luôn đúng)

Vậy hai đẳng thức đúng với mọi tứ giác $A B C D$ .

3Cách 3. Quy về một điểm gốc

O

Định hướng. Viết $X Y = O Y - O X$ cho mọi vectơ rồi rút gọn.

(O B - O A) + (O C - O B) + (O D - O C) + (O A - O D) = 0

b) Vế trái:

(O B - O A) + (O D - O C) = O B + O D - O A - O C

b)

Vế phải:

(O D - O A) + (O B - O C) = O B + O D - O A - O C

Vậy hai vế của b) bằng nhau; a) được chứng minh.

Nhận xét. Câu b) có thể đọc là: "đổi chỗ hai điểm cuối $B$ , $D$ của hai vectơ thì tổng không đổi" — đúng cho mọi bốn điểm, không cần là tứ giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: câu a) một dòng, câu b) chuyển vế về

D B = D B

— ngắn nhất.

Đáp số. a) và b) đúng với mọi tứ giác

A B C D

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) chuyển vế sai dấu: từ

A B + C D = A D + C B

viết thành

A B + A D = C B + C D

. Chuyển một vectơ sang vế kia phải đổi thành vectơ đối (dấu trừ), giống như với số.

🚀 Mở rộng. Chứng minh với năm điểm bất kì

A

B

C

D

E

A B + C D + E A = C B + E D

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.10★★★Trang 51— Rút gọn biểu thức vectơ với các trung điểm; xác định điểm

Bài 4.10 (trang 51). Cho tam giác

A B C

. Gọi

D

E

F

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

B C

C A

A B

.
a) Xác định vectơ

A F - B D + C E

.
b) Xác định điểm

M

thoả mãn

A F - B D + C E = M A

.
c) Chứng minh rằng

M C = A B

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình: $E F ∥ B C$ , $E F = \frac{1}{2} B C$ ; từ đó $E F = D B = C D$ .
$E$ là trung điểm $C A \Rightarrow C E = E A$ .
$X Y = T Z \Leftrightarrow X Y Z T$ là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Ba trung điểm tạo ra tam giác trung bình

D E F

, trong đó mỗi cạnh bằng (vectơ) nửa cạnh song song của

A B C

A F = E D

B D = F E

C E = D F

. Thay vào, biểu thức chỉ còn các vectơ trong tam giác

D E F

và rút gọn được. Câu b), c) là đọc hình bình hành từ vectơ bằng nhau. Bẫy:

C E = E A

chứ không bằng

A E

1Cách 1. Nhóm

C E + A F

qua điểm

A

Định hướng. Dùng $C E = E A$ để nối đuôi với $A F$ , rồi dùng đường trung bình $E F$ .

A F - B D + C E = E A + A F + D B

a) A F - B D + C E = E F + D B

a) A F - B D + C E = C D + D B

a) A F - B D + C E = C B

M A = C B \Rightarrow M A B C

là hình bình hành
c)

M A B C

là hình bình hành

\Rightarrow M C = A B

Vậy a) $A F - B D + C E = C B$ ; b) $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $M A B C$ ; c) $M C = A B$ .

2Cách 2. Tam giác trung bình

D E F

Định hướng. Thay cả ba vectơ bằng các cạnh của tam giác $D E F$ .

A F = E D

B D = F E

C E = D F

A F - B D + C E = E D - F E + D F

A F - B D + C E = E D + D F + E F

A F - B D + C E = E F + E F

A F - B D + C E = C D + D B

A F - B D + C E = C B

b), c)

M A = C B

;

M C = M A + A C = C B + A C = A C + C B = A B

Vậy biểu thức bằng $C B$ ; $M$ thoả mãn $M A = C B$ (hình bình hành $M A B C$ ) và $M C = A B$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $A (0; 0)$ , $B (2 b_{1}; 2 b_{2})$ , $C (2 c_{1}; 2 c_{2})$ để các trung điểm có toạ độ gọn.

F (b_{1}; b_{2})

D (b_{1} + c_{1}; b_{2} + c_{2})

E (c_{1}; c_{2})

A F = (b_{1}; b_{2})

B D = (c_{1} - b_{1}; c_{2} - b_{2})

C E = (- c_{1}; - c_{2})

A F - B D + C E = (b_{1} - c_{1} + b_{1} - c_{1}; b_{2} - c_{2} + b_{2} - c_{2}) = (2 b_{1} - 2 c_{1}; 2 b_{2} - 2 c_{2}) = C B

M A = (2 b_{1} - 2 c_{1}; 2 b_{2} - 2 c_{2}) \Rightarrow M (2 c_{1} - 2 b_{1}; 2 c_{2} - 2 b_{2})

M C = (2 c_{1} - (2 c_{1} - 2 b_{1}); 2 c_{2} - (2 c_{2} - 2 b_{2})) = (2 b_{1}; 2 b_{2}) = A B

Vậy a) bằng $C B$ ; b) $M (2 c_{1} - 2 b_{1}; 2 c_{2} - 2 b_{2})$ — đỉnh thứ tư của hình bình hành $M A B C$ ; c) $M C = A B$ .

Nhận xét. Hình bình hành $M A B C$ có hai đường chéo $A C$ , $M B$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của $A C$ , nên $M$ chính là điểm đối xứng với $B$ qua $E$ — kiểm lại bằng toạ độ: trung điểm $M B$ là $(c_{1}; c_{2}) = E$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một nhóm

E A + A F

, một đường trung bình, rồi quy tắc ba điểm.

Đáp số. a)

A F - B D + C E = C B

. b)

M

là điểm sao cho

M A B C

là hình bình hành. c)

M C = A B

Sai lầm thường gặp. Viết

- B D = B D

hoặc

C E = A E

(đảo nhầm hướng). Ở câu b) đặt

M

sao cho

A M B C

là hình bình hành: khi đó

A M = C B

, tức

M A = B C

— ngược hướng với yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Xác định vectơ

A F + B D + C E

(đáp số

0

— vì

E D + F E + D F

là đường gấp khúc khép kín).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.11★★Trang 51— Ba lực cân bằng — lực thứ ba đối với hợp lực hai lực kia

Bài 4.11 (trang 51). Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực

F_{1}

F_{2}

F_{3}

cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng

A

. Cho biết

∣ F_{1} ∣ = 30

∣ F_{2} ∣ = 40

N. Tính cường độ của lực

F_{3}

.
(Hình 4.7: hai lực $F_{1}$ , $F_{2}$ vuông góc với nhau tại $A$ , lực $F_{3}$ hướng thẳng xuống.)

Kiến thức cần nhớ

Vật cân bằng dưới tác dụng của các lực $\Leftrightarrow$ tổng các vectơ lực bằng $0$ .
Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật; đường chéo hình chữ nhật tính bằng định lí Pythagore.

🧠 Phân tích tư duy

Vật cân bằng nên

F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0

, tức

F_{3}

là vectơ đối của hợp lực

F_{1} + F_{2}

— chỉ cần tính độ lớn hợp lực. Hai lực vuông góc (ô vuông trên hình) nên hình bình hành lực là hình chữ nhật và độ dài đường chéo tính bằng Pythagore.

1Cách 1. Hình chữ nhật lực

Định hướng. Đặt $F_{1} = A B$ , $F_{2} = A C$ , dựng hình bình hành $A B E C$ (là hình chữ nhật vì $B A C = 9 0^{\circ}$ ).

F_{1} + F_{2} = A E

A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 2500

A E = 50

F_{3} = - (F_{1} + F_{2}) = - A E \Rightarrow ∣ F_{3} ∣ = A E = 50

Vậy cường độ lực $F_{3}$ là $50$ N.

2Cách 2. Tam giác lực khép kín

Định hướng. Ba vectơ có tổng $0$ đặt nối đuôi nhau tạo thành một tam giác; ở đây là tam giác vuông.

F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0

: nối đuôi

F_{1}

F_{2}

F_{3}

được tam giác

F_{1} ⊥ F_{2} \Rightarrow

tam giác vuông có hai cạnh góc vuông

30

và

40

∣ F_{3} ∣ = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 2500 = 50

Vậy $∣ F_{3} ∣ = 50$ N.

3Cách 3. Toạ độ theo phương hai lực

Định hướng. Chọn trục $O x$ theo $F_{2}$ , $O y$ theo $F_{1}$ (vuông góc nhau).

F_{1} = (0; 30)

F_{2} = (40; 0)

F_{3} = - (F_{1} + F_{2}) = (- 40; - 30)

∣ F_{3} ∣ = (- 40)^{2} + (- 30)^{2} = 1600 + 900 = 50

Vậy cường độ lực $F_{3}$ bằng $50$ N.

Nhận xét. Bộ ba $30$ – $40$ – $50$ là bộ Pythagore $3$ – $4$ – $5$ nhân $10$ . Nhờ hình vẽ, hướng của $F_{3}$ là thẳng đứng xuống, ngược hướng hợp lực.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tam giác lực vuông cho ngay

3 0^{2} + 4 0^{2} = 50

Đáp số.

∣ F_{3} ∣ = 50

Sai lầm thường gặp. Cộng độ lớn:

30 + 40 = 70

N — chỉ đúng khi hai lực cùng hướng. Ở đây hai lực vuông góc nên hợp lực chỉ là

50

N (nhỏ hơn

70

N, lớn hơn mỗi lực).

🚀 Mở rộng. Nếu góc giữa

F_{1}

và

F_{2}

là

6 0^{\circ}

(vẫn

30

40

N) thì

∣ F_{3} ∣ = 3 0^{2} + 4 0^{2} + 30 \cdot 40 = 1037

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.12★★Trang 51— Ba lực cân bằng — độ lớn hợp lực hai lực bằng nhau

Bài 4.12 (trang 51). Trên mặt phẳng, chất điểm

A

chịu tác động của ba lực

F_{1}

F_{2}

F_{3}

và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ

F_{1}

F_{2}

bằng

6 0^{\circ}

. Tính độ lớn của

F_{3}

, biết rằng

∣ F_{1} ∣ = ∣ F_{2} ∣ = 23

Kiến thức cần nhớ

Cân bằng: $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ .
Hình thoi: hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường và là phân giác các góc.
Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cân bằng cho

F_{3} = - (F_{1} + F_{2})

, nên chỉ cần độ lớn hợp lực. Hai lực bằng nhau về độ lớn nên hình bình hành lực là hình thoi: đường chéo là phân giác góc

6 0^{\circ}

, và bằng hai lần đoạn từ

A

tới tâm hình thoi. Bẫy: trong định lí côsin phải dùng góc

12 0^{\circ}

của hình thoi, không phải

6 0^{\circ}

1Cách 1. Hình thoi và tam giác vuông

Định hướng. Đặt $F_{1} = A B$ , $F_{2} = A C$ , dựng hình thoi $A B E C$ ; $H$ là giao hai đường chéo.

F_{1} + F_{2} = A E

A H ⊥ B C

B A H = \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

A H = A B cos 3 0^{\circ} = 23 \cdot \frac{3}{2} = 3

A E = 2 A H = 2 \cdot 3 = 6

∣ F_{3} ∣ = ∣ F_{1} + F_{2} ∣ = 6

Vậy $∣ F_{3} ∣ = 6$ N.

2Cách 2. Định lí côsin

Định hướng. Trong hình thoi $A B E C$ , $A B E = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , $B E = A C = 23$ .

A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} - 2 \cdot A B \cdot B E \cdot cos 12 0^{\circ}

A E^{2} = (23)^{2} + (23)^{2} - 2 \cdot 23 \cdot 23 \cdot (- \frac{1}{2})

A E^{2} = 12 + 12 + 12

A E^{2} = 36

A E = 6

Vậy $∣ F_{3} ∣ = A E = 6$ N.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Chọn trục $O y$ là phân giác góc giữa hai lực, mỗi lực lệch $O y$ một góc $3 0^{\circ}$ .

F_{1} = (- 23 sin 3 0^{\circ}; 23 cos 3 0^{\circ}) = (- 3; 3)

F_{2} = (23 sin 3 0^{\circ}; 23 cos 3 0^{\circ}) = (3; 3)

F_{1} + F_{2} = (0; 6) \Rightarrow F_{3} = (0; - 6)

∣ F_{3} ∣ = 6

Vậy độ lớn của $F_{3}$ là $6$ N.

Nhận xét. Tổng quát: hai lực cùng độ lớn $F$ hợp góc $α$ có hợp lực $2 F cos \frac{α}{2}$ ; ở đây $2 \cdot 23 \cdot cos 3 0^{\circ} = 6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hình thoi cho đường chéo

= 2 F cos 3 0^{\circ}

, một dòng tính.

Đáp số.

∣ F_{3} ∣ = 6

Sai lầm thường gặp. Dùng

cos 6 0^{\circ}

trong định lí côsin:

A E^{2} = 12 + 12 - 12 = 12

A E = 23

— đó là độ dài đường chéo ngắn

B C

(tức

∣ F_{1} - F_{2} ∣

), không phải hợp lực.

🚀 Mở rộng. Nếu góc giữa

F_{1}

F_{2}

là

12 0^{\circ}

thì

∣ F_{3} ∣ = 23

N — bằng độ lớn mỗi lực (ba lực đôi một hợp góc

12 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗