Chương IV. Vectơ

Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 51— Nhận biết hai vectơ bằng nhau (dẫn tới định nghĩa tổng hai vectơ)

HĐ1 (trang 51). Với hai vectơ

a

b

cho trước, lấy một điểm

A

và vẽ các vectơ

A B = a

B C = b

. Lấy điểm

A^{'}

khác

A

và cũng vẽ các vectơ

A^{'} B^{'} = a

B^{'} C^{'} = b

. Hỏi hai vectơ

A C

và

A^{'} C^{'}

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

$A B = D C \Leftrightarrow A B C D$ là hình bình hành (khi $A$ , $B$ , $C$ , $D$ không thẳng hàng).
Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Quan hệ "bằng nhau" của vectơ có tính bắc cầu: $u = v$ , $v = w$ thì $u = w$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai "đường gấp khúc"

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

được dựng bằng cùng hai vectơ

a

b

— trực giác cho thấy hình thứ hai chỉ là hình thứ nhất bị trượt đi. Công cụ sẵn có là: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác tạo bởi chúng là hình bình hành. Bẫy: chỉ so độ dài

A C = A^{'} C^{'}

là chưa đủ, phải so cả hướng.

1Cách 1. Chuỗi hình bình hành

Định hướng. Dời từng vectơ: đoạn $A A^{'}$ được "chuyển" lần lượt thành $B B^{'}$ rồi $C C^{'}$ .

A B = A^{'} B^{'} = a \Rightarrow A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A A^{'} = B B^{'}

B C = B^{'} C^{'} = b \Rightarrow B C C^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow B B^{'} = C C^{'}

\Rightarrow A A^{'} = C C^{'} \Rightarrow A C C^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A C = A^{'} C^{'}

Vậy $A C = A^{'} C^{'}$ : hai vectơ bằng nhau.

Nhận xét. Nếu $A^{'}$ nằm trên đường thẳng $A B$ thì các "hình bình hành" suy biến; khi đó vẫn đúng vì hai vectơ bằng nhau vẫn cùng hướng, cùng độ dài.

2Cách 2. Đếm ô trên lưới (như hình SGK)

Định hướng. Trên lưới ô vuông, mỗi vectơ được mô tả bằng số ô đi ngang và số ô đi dọc.

a

: sang phải

2

ô, lên

3

ô;

b

: sang phải

3

ô, xuống

4

A C

: sang phải

2 + 3 = 5

ô, lên

3 - 4 = - 1

ô (tức xuống

1

ô)

A^{'} C^{'}

: sang phải

2 + 3 = 5

ô, lên

3 - 4 = - 1

ô (tức xuống

1

ô)

Vậy hai vectơ $A C$ và $A^{'} C^{'}$ có cùng độ dịch nên cùng hướng, cùng độ dài: $A C = A^{'} C^{'}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến cả hình

Định hướng. Phép "trượt" theo vectơ $A A^{'}$ biến $A$ thành $A^{'}$ và giữ nguyên mọi vectơ.

Trượt theo

A A^{'}

A \mapsto A^{'}

B \mapsto B_{1}

với

A^{'} B_{1} = A B = a = A^{'} B^{'} \Rightarrow B_{1} \equiv B^{'}

C \mapsto C_{1}

với

B^{'} C_{1} = B C = b = B^{'} C^{'} \Rightarrow C_{1} \equiv C^{'}

Trượt giữ nguyên vectơ

\Rightarrow A^{'} C^{'} = A C

Vậy $A C = A^{'} C^{'}$ — vectơ này chỉ phụ thuộc $a$ , $b$ , không phụ thuộc điểm đầu $A$ .

Nhận xét. Chính vì kết quả không phụ thuộc cách chọn điểm $A$ nên SGK mới định nghĩa được $a + b = A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (tự luận) dùng Cách 1 vì chặt chẽ nhất; trên lưới ô vuông thì Cách 2 cho câu trả lời trong vài giây.

Đáp số.

A C = A^{'} C^{'}

(hai vectơ bằng nhau).

Sai lầm thường gặp. Kết luận "

A C = A^{'} C^{'}

" rồi dừng — đó mới là bằng nhau về độ dài; hai vectơ

A C

và

C A

cũng có độ dài bằng nhau mà không bằng nhau. Phải nêu cả cùng hướng.

🚀 Mở rộng. Dựng thêm

C D = c

và

C^{'} D^{'} = c

: chứng minh

A D = A^{'} D^{'}

— tổng của ba vectơ cũng không phụ thuộc điểm đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 51— Quy tắc hình bình hành

HĐ2 (trang 51). Cho hình bình hành

A B C D

. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ

A B + A D

và

A C

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $A B + B C = A C$ .
$A B C D$ là hình bình hành $\Rightarrow A D = B C$ , $A B = D C$ .
Quy tắc hình bình hành: $A B + A D = A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ

A B

A D

chung điểm đầu, chưa "nối đuôi" nên chưa cộng được bằng quy tắc ba điểm. Hình bình hành cho sẵn một vectơ bằng

A D

mà có điểm đầu là

B

: đó là

B C

. Bẫy: viết

A D = C B

là sai hướng.

1Cách 1. Thay

A D

bằng

B C

Định hướng. Đưa hai vectơ về dạng nối đuôi tại $B$ .

A B + A D = A B + B C

A B + A D = A C

Vậy $A B + A D = A C$ .

2Cách 2. Thay

A B

bằng

D C

Định hướng. Nối đuôi tại $D$ : đi $A \to D \to C$ .

A B + A D = A D + A B

A B + A D = A D + D C

A B + A D = A C

Vậy $A B + A D = A C$ .

3Cách 3. Độ dịch trên hệ trục

Định hướng. Đặt $A$ làm gốc, $A B$ có độ dịch $(p; q)$ , $A D$ có độ dịch $(r; s)$ .

A B C D

là hình bình hành

\Rightarrow C (p + r; q + s)

A B + A D

: độ dịch

(p + r; q + s)

A C

: độ dịch

(p + r - 0; q + s - 0) = (p + r; q + s)

Vậy $A B + A D = A C$ .

Nhận xét. Cách 3 là hình ảnh trước của Bài 10 (toạ độ vectơ): cộng vectơ là cộng từng toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một phép thay rồi quy tắc ba điểm; kết quả chính là quy tắc hình bình hành, về sau dùng thẳng.

Đáp số.

A B + A D = A C

(quy tắc hình bình hành).

Sai lầm thường gặp. Viết

A B + A D = B D

vì "nối hai đầu mút" —

B D

là

A D - A B

, không phải tổng. Tổng của hai vectơ chung gốc là đường chéo xuất phát từ gốc chung.

🚀 Mở rộng. Cho hình bình hành

A B C D

tâm

O

: tính

O A + O B + O C + O D

(đáp số

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ3★Trang 52— Tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng vectơ

HĐ3 (trang 52). a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ

a + b

và vectơ

b + a

.
b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ

(a + b) + c

và vectơ

a + (b + c)

.
(Hình 4.14a: hình bình hành $A B C D$ với $A B = D C = a$ , $B C = A D = b$ . Hình 4.14b: tứ giác $A B C D$ với $A B = a$ , $B C = b$ , $C D = c$ .)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $A B + B C = A C$ .
Giao hoán: $a + b = b + a$ ; kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi tổng phải được viết thành các vectơ nối đuôi trên hình rồi áp dụng quy tắc ba điểm. Câu a) có hai đường đi từ

A

tới

C

(qua

B

hoặc qua

D

); câu b) có hai cách ghép ngoặc, mỗi cách đi qua một đường chéo phụ. Cả hai câu đều cho đích là cùng một vectơ.

1Cách 1. Quy tắc ba điểm trên hình

Định hướng. Chọn đúng vectơ trên hình để nối đuôi được.

a + b = A B + B C = A C

a) b + a = A D + D C = A C

(a + b) + c = (A B + B C) + C D = A C + C D = A D

b) a + (b + c) = A B + (B C + C D) = A B + B D = A D

Vậy a) $a + b = b + a = A C$ ; b) $(a + b) + c = a + (b + c) = A D$ .

2Cách 2. Quy tắc hình bình hành cho câu a)

Định hướng. Ở Hình 4.14a, $a = A B$ và $b = A D$ chung gốc $A$ .

a + b = A B + A D = A C

a) b + a = A D + A B = A C

A C = a + b

B D = b + c

b) (a + b) + c = A C + C D = A D

b) a + (b + c) = A B + B D = A D

Vậy cả hai cặp tổng đều bằng nhau: $A C$ ở câu a), $A D$ ở câu b).

3Cách 3. Độ dịch (toạ độ)

Định hướng. Gọi độ dịch của $a$ , $b$ , $c$ là $(a_{1}; a_{2})$ , $(b_{1}; b_{2})$ , $(c_{1}; c_{2})$ ; cộng vectơ là cộng độ dịch.

a + b

(a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2})

;

b + a

(b_{1} + a_{1}; b_{2} + a_{2}) = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2})

(a + b) + c

((a_{1} + b_{1}) + c_{1}; (a_{2} + b_{2}) + c_{2})

b) a + (b + c)

(a_{1} + (b_{1} + c_{1}); a_{2} + (b_{2} + c_{2}))

— trùng nhau

Vậy giao hoán, kết hợp của phép cộng vectơ thừa hưởng từ giao hoán, kết hợp của phép cộng số: a) cả hai là $A C$ ; b) cả hai là $A D$ .

Nhận xét. Vì hai cách ghép ngoặc cho cùng một vectơ nên ta viết gọn $a + b + c$ — đó là vectơ "đi từ điểm đầu tiên tới điểm cuối cùng" $A D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc trực tiếp trên hình, mỗi tổng một dòng quy tắc ba điểm.

Đáp số. a)

a + b = b + a = A C

. b)

(a + b) + c = a + (b + c) = A D

Sai lầm thường gặp. Ở câu a) viết

b + a = B C + A B

rồi "cộng" thành

B B

hay

A C

tuỳ ý — hai vectơ này không nối đuôi (

C \neq = A

), phải đổi thứ tự hoặc dùng

A D + D C

mới áp dụng được quy tắc ba điểm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots + A_{n - 1} A_{n} = A_{1} A_{n}

(quy tắc nhiều điểm), ghép ngoặc kiểu nào cũng được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 52— Tính độ dài của vectơ tổng trong hình thoi

Luyện tập 1 (trang 52). Cho hình thoi

A B C D

với cạnh có độ dài bằng

1

và

B A D = 12 0^{\circ}

. Tính độ dài của các vectơ

C B + C D

D B + C D + B A

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành tại $C$ : $C B + C D = C A$ .
Hình thoi có hai góc kề một cạnh bù nhau; đường chéo là phân giác của góc.
Tam giác cân có một góc $6 0^{\circ}$ là tam giác đều.

🧠 Phân tích tư duy

Tổng thứ nhất là hai vectơ chung gốc

C

— dấu hiệu dùng quy tắc hình bình hành tại

C

. Tổng thứ hai chỉ cần đổi thứ tự để các vectơ nối đuôi:

C D + D B + B A

. Cả hai đều ra

C A

; mấu chốt còn lại là

B A D = 12 0^{\circ}

làm tam giác

A B C

đều.

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành + tam giác đều

Định hướng. Đưa cả hai tổng về $C A$ , rồi tính $A C$ .

C B + C D = C A

D B + C D + B A = C D + D B + B A = C B + B A = C A

A B C = 18 0^{\circ} - B A D = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

B A = B C = 1

\Rightarrow △ A B C

đều

\Rightarrow A C = 1

Vậy $∣ C B + C D ∣ = ∣ D B + C D + B A ∣ = C A = 1$ .

2Cách 2. Thay vectơ bằng vectơ bằng nó

Định hướng. Trong hình thoi, $C D = B A$ nên tổng thứ nhất nối đuôi được ngay.

C B + C D = C B + B A = C A

D B + C D + B A = D B + B A + C D = D A + C D = C D + D A = C A

C A D = \frac{B A D}{2} = \frac{12 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

D A = D C \Rightarrow △ A C D

đều

\Rightarrow C A = 1

Vậy cả hai vectơ đều bằng $C A$ và có độ dài $1$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $A (0; 0)$ , $D (1; 0)$ ; $B A D = 12 0^{\circ}$ , $A B = 1$ cho $B (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ , $C = B + (1; 0)$ .

C (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

C B + C D = (- 1; 0) + (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}) = (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

D B + C D + B A = (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2}) + (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}) + (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}) = (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

Độ dài:

(- \frac{1}{2})^{2} + (- \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 = 1

Vậy cả hai vectơ có độ dài bằng $1$ .

Nhận xét. Hai tổng ra cùng một vectơ $C A$ là do $D B + B A = D A = C B$ . Nếu đổi $12 0^{\circ}$ thành $6 0^{\circ}$ thì $A C = 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần quy tắc hình bình hành, một lần sắp lại thứ tự cho nối đuôi, rồi nhận ra tam giác đều.

Đáp số.

∣ C B + C D ∣ = 1

;

∣ D B + C D + B A ∣ = 1

Sai lầm thường gặp. Nhầm đường chéo:

C B + C D

là đường chéo xuất phát từ $C$ , tức

C A

, không phải

B D

(có độ dài

3

). Ai tính ra

3

là đã lấy nhầm đường chéo dài.

🚀 Mở rộng. Với hình thoi cạnh

a

, góc

B A D = α

∣ C B + C D ∣ = 2 a cos \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2}

; thử kiểm lại với

α = 12 0^{\circ}

a = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ4★Trang 52— Hai lực cân bằng và vectơ đối

HĐ4 (trang 52). Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

Kiến thức cần nhớ

Hai lực cân bằng: cùng tác dụng lên một vật, cùng giá, cùng độ lớn, ngược chiều.
Vectơ đối của $a$ là vectơ cùng độ dài, ngược hướng với $a$ , kí hiệu $- a$ .
Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi nối kiến thức Vật lí (hai lực cân bằng) với Toán (hai vectơ). Đặc điểm của lực gồm điểm đặt, phương, chiều, độ lớn — dịch sang vectơ là giá, hướng, độ dài. Trả lời xong sẽ dẫn đúng tới khái niệm vectơ đối của bài.

1Cách 1. Dịch từng đặc điểm của lực sang vectơ

Định hướng. Liệt kê đặc điểm hai lực cân bằng rồi đối chiếu với hướng, độ dài của vectơ.

Hai lực cân bằng

F_{1}

F_{2}

: cùng điểm đặt

O

, cùng giá, ngược chiều,

∣ F_{1} ∣ = ∣ F_{2} ∣

\Rightarrow

hai vectơ biểu diễn chúng có cùng độ dài và ngược hướng

\Rightarrow F_{2} = - F_{1}

Vậy hai lực cân bằng là hai lực cùng tác dụng lên một vật, cùng giá, cùng độ lớn, ngược chiều; hai vectơ biểu diễn chúng là hai vectơ đối nhau.

2Cách 2. Từ điều kiện cân bằng: hợp lực bằng không

Định hướng. Vật đứng yên dưới tác dụng của hai lực thì hợp lực bằng $0$ .

F_{1} + F_{2} = 0

Đặt

F_{1} = O A

F_{2} = O B

O A + O B = 0

\Rightarrow

O

là trung điểm

A B

\Rightarrow O A

O B

cùng độ dài, ngược hướng

Vậy $F_{2} = - F_{1}$ : hai vectơ biểu diễn hai lực cân bằng là hai vectơ đối nhau.

3Cách 3. Phản chứng với tổng khác không

Định hướng. Giả sử hai vectơ không đối nhau thì tổng của chúng khác $0$ .

F_{1} + F_{2} \neq = 0

\Rightarrow

hợp lực khác không

\Rightarrow

vật chuyển động có gia tốc

\Rightarrow

trái với giả thiết hai lực cân bằng

\Rightarrow F_{1} + F_{2} = 0 \Rightarrow F_{2} = - F_{1}

Vậy hai vectơ biểu diễn hai lực cân bằng phải là hai vectơ đối nhau.

Nhận xét. Trò kéo co "bất phân thắng bại" là ví dụ: dây đứng yên vì hai đội kéo hai lực cân bằng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trả lời nhanh dùng Cách 1 (đối chiếu từng đặc điểm); Cách 2 cho thấy ngay tính chất "tổng bằng vectơ-không" dùng cho các bài sau.

Đáp số. Hai lực cân bằng: cùng tác dụng lên một vật, cùng giá, cùng độ lớn, ngược chiều. Hai vectơ biểu diễn chúng là hai vectơ đối nhau:

F_{2} = - F_{1}

F_{1} + F_{2} = 0

Sai lầm thường gặp. Chỉ nói "hai lực bằng nhau về độ lớn" — thiếu điều kiện cùng giá và ngược chiều. Hai lực cùng độ lớn nhưng vuông góc nhau vẫn làm vật chuyển động; hai lực cùng độ lớn cùng chiều thì cộng lại gấp đôi.

🚀 Mở rộng. Ba lực

F_{1}

F_{2}

F_{3}

cân bằng thì

F_{3}

là vectơ đối của

F_{1} + F_{2}

— đây là mấu chốt của bài 4.11, 4.12 (SBT).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★★Trang 53— Chứng minh đẳng thức vectơ với trung điểm

Luyện tập 2 (trang 53). Cho tứ giác

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

C D

và

O

là trung điểm của

M N

. Chứng minh rằng

O A + O B + O C + O D = 0

Kiến thức cần nhớ

$I$ là trung điểm $A B \Leftrightarrow I A + I B = 0$ .
Quy tắc ba điểm (chèn điểm): $O A = O M + M A$ .
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Đề có ba trung điểm

M

N

O

— dấu hiệu dùng tính chất

I A + I B = 0

(Ví dụ 3). Chiến thuật: chèn

M

vào

O A

O B

và chèn

N

vào

O C

O D

để lộ ra các cặp vectơ đối nhau. Bẫy: ở bài này chưa học phép nhân vectơ với số nên viết

2 O M

phải hiểu là

O M + O M

1Cách 1. Chèn trung điểm

M

N

Định hướng. Tách mỗi vectơ qua trung điểm gần nó để các cặp đối nhau triệt tiêu.

O A + O B + O C + O D

= (O M + M A) + (O M + M B) + (O N + N C) + (O N + N D)

= (O M + O N) + (O M + O N) + (M A + M B) + (N C + N D)

= 0 + 0 + 0 + 0

= 0

Vậy $O A + O B + O C + O D = 0$ (đpcm).

2Cách 2. Dựng hình bình hành

Định hướng. Tổng hai vectơ chung gốc $O$ là đường chéo hình bình hành; đối xứng tâm $O$ cho hai đường chéo đối nhau.

Lấy

E

đối xứng với

O

qua

M

O A E B

có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

M

\Rightarrow

hình bình hành

\Rightarrow O A + O B = O E

Lấy

F

đối xứng với

O

qua

N

: tương tự

O C + O D = O F

O E = 2 O M = 2 O N = O F

và

E

F

nằm về hai phía của

O

trên đường thẳng

M N

\Rightarrow O E + O F = 0

\Rightarrow O A + O B + O C + O D = O E + O F = 0

Vậy đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x_{3}; y_{3})$ , $D (x_{4}; y_{4})$ ; trung điểm có toạ độ bằng trung bình cộng.

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

N (\frac{x _{3} + x _{4}}{2}; \frac{y _{3} + y _{4}}{2})

O (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4}}{4}; \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4}}{4})

Hoành độ của

O A + O B + O C + O D

(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) - 4 \cdot \frac{x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4}}{4} = 0

Tung độ: tương tự bằng

0

Vậy $O A + O B + O C + O D = 0$ .

Nhận xét. Điểm $O$ gọi là trọng tâm của tứ giác $A B C D$ . Chèn $P$ , $Q$ là trung điểm $B C$ , $D A$ cũng ra đúng điểm $O$ đó (trung điểm $P Q$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thuần quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm, không cần dựng thêm điểm.

Đáp số.

O A + O B + O C + O D = 0

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Viết

O A + O B = A B

("nối hai đầu") — sai;

O A + O B

là đường chéo

O E

của hình bình hành, còn

A B = O B - O A

. Một lỗi khác: quên

O M + O N = 0

cần giả thiết

O

là trung điểm

M N

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm: với mọi điểm

P

thì

P A + P B + P C + P D

bằng

4

lần

P O

(dùng Bài 9); từ đó

O

là điểm duy nhất thoả mãn đẳng thức của đề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng★★★Trang 54— Tổng hợp lực — ba lực cân bằng trên mặt phẳng nghiêng

Vận dụng (trang 54). Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng

22148

N (ứng với khối lượng xấp xỉ

2260

kg) lên một con dốc nghiêng

3 0^{\circ}

so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng

100

N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?
Chú ý. Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực

P

(có độ lớn

∣ P ∣ = 22148

N, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực

w

(có độ lớn

∣ w ∣ = ∣ P ∣ cos 3 0^{\circ}

, có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo

F

(theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

Kiến thức cần nhớ

Ba lực cân bằng: $P + w + F = 0$ .
Trong tam giác vuông: cạnh đối $=$ cạnh huyền $\times sin$ góc; định lí Pythagore.
Góc giữa phương thẳng đứng và pháp tuyến của dốc bằng góc nghiêng $3 0^{\circ}$ (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).

🧠 Phân tích tư duy

Lực kéo tối thiểu là lực vừa đủ giữ pháo cân bằng (kéo lên đều):

P + w + F = 0

. Ba vectơ nối đuôi khép kín thành một tam giác, trong đó

w ⊥ F

nên đó là tam giác vuông với cạnh huyền

∣ P ∣

— tính

∣ F ∣

bằng Pythagore hoặc sin. Bẫy: số người phải làm tròn lên, không làm tròn theo quy tắc thông thường.

1Cách 1. Tam giác lực vuông — định lí Pythagore

Định hướng. Nối đuôi $P$ , $w$ , $F$ được tam giác vuông (vì $w ⊥ F$ ), cạnh huyền $∣ P ∣$ .

∣ F ∣^{2} = ∣ P ∣^{2} - ∣ w ∣^{2}

∣ F ∣^{2} = ∣ P ∣^{2} - ∣ P ∣^{2} cos^{2} 3 0^{\circ}

∣ F ∣^{2} = ∣ P ∣^{2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{∣ P ∣ ^{2}}{4}

∣ F ∣ = \frac{∣ P ∣}{2} = \frac{22 148}{2} = 11074

(N)
Số người:

\frac{11 074}{100} = 110, 74 \Rightarrow

cần ít nhất

111

người

Vậy lực kéo cần thiết là $11074$ N, cần tối thiểu $111$ người.

2Cách 2. Phân tích trọng lực theo phương dốc

Định hướng. Tách $P$ làm hai phần: thành phần vuông góc mặt dốc (bị $w$ triệt tiêu) và thành phần dọc dốc (lực $F$ phải triệt tiêu).

P = P_{1} + P_{2}

với

P_{1} ⊥

mặt dốc,

P_{2}

song song mặt dốc
Góc giữa

P

và

P_{1}

bằng

3 0^{\circ} \Rightarrow ∣ P_{2} ∣ = ∣ P ∣ sin 3 0^{\circ}

P_{1} + w = 0

P_{2} + F = 0

∣ F ∣ = ∣ P_{2} ∣ = 22148 \cdot sin 3 0^{\circ} = 22148 \cdot \frac{1}{2} = 11074

(N)

\frac{11 074}{100} = 110, 74 \Rightarrow 111

người

Vậy lực kéo $11074$ N, tối thiểu $111$ người.

3Cách 3. Toạ độ theo phương dốc

Định hướng. Chọn trục $O x$ dọc mặt dốc hướng lên đỉnh, $O y$ vuông góc mặt dốc hướng lên; cân bằng thì tổng hoành độ bằng $0$ .

F = (F; 0)

w = (0; w)

P = (- 22148 sin 3 0^{\circ}; - 22148 cos 3 0^{\circ})

Hoành độ:

F - 22148 sin 3 0^{\circ} = 0 \Rightarrow F = 22148 \cdot \frac{1}{2} = 11074

Tung độ:

w - 22148 cos 3 0^{\circ} = 0 \Rightarrow w = ∣ P ∣ cos 3 0^{\circ}

(khớp giả thiết)

\frac{11 074}{100} = 110, 74 \Rightarrow 111

người

Vậy lực kéo $11074$ N, cần tối thiểu $111$ người.

Nhận xét. Tung độ tự cho lại đúng $∣ w ∣ = ∣ P ∣ cos 3 0^{\circ}$ như SGK — dấu hiệu lập hệ trục đúng. Dốc càng thoải (góc $α$ nhỏ) thì lực kéo $∣ P ∣ sin α$ càng nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra ngay "lực kéo bằng thành phần trọng lực dọc dốc

= P sin 3 0^{\circ}

", chỉ một phép nhân.

Đáp số. Lực kéo cần thiết

∣ F ∣ = 11074

N; cần tối thiểu

111

người.

Sai lầm thường gặp. (1) Làm tròn

110, 74

thành

110

người —

110

người chỉ kéo được

11000

N, thiếu

74

N nên không kéo nổi. (2) Dùng

cos 3 0^{\circ}

thay cho

sin 3 0^{\circ}

, ra

\approx 19181

N — đó là độ lớn phản lực, không phải lực kéo. (3) Lấy luôn

22148

N làm lực kéo (quên rằng mặt dốc đỡ bớt).

🚀 Mở rộng. Với dốc nghiêng

α

và mỗi người kéo

f

N, số người tối thiểu là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn

\frac{∣ P ∣ sin α}{f}

; thử với

α = 4 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.6★Trang 54— Chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu

Bài 4.6 (trang 54). Cho bốn điểm

A

B

C

D

. Chứng minh rằng:
a)

A B + B C + C D + D A = 0

;
b)

A C - A D = B C - B D

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $M N + N P = M P$ .
Quy tắc hiệu: $O N - O M = M N$ .
$AA = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là chuỗi vectơ nối đuôi khép kín (điểm cuối trùng điểm đầu) — quy tắc ba điểm cho ra ngay

AA

. Câu b) mỗi vế là hiệu hai vectơ chung gốc: quy tắc hiệu

O N - O M = M N

biến cả hai vế thành cùng một vectơ. Bẫy: quy tắc hiệu cho

D C

, không phải

C D

1Cách 1. Quy tắc ba điểm và quy tắc hiệu trực tiếp

Định hướng. Câu a) gom dần từ trái sang phải; câu b) biến đổi từng vế.

A B + B C + C D + D A = A C + C D + D A

a) A B + B C + C D + D A = A D + D A

a) A B + B C + C D + D A = AA = 0

A C - A D = D C

;

B C - B D = D C

\Rightarrow A C - A D = B C - B D

Vậy cả hai đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Nhóm cặp (a) và chuyển vế (b)

Định hướng. a) Ghép thành hai cặp đối nhau; b) đưa về một đẳng thức hiển nhiên.

(A B + B C) + (C D + D A) = A C + C A = 0

A C - A D = B C - B D \Leftrightarrow A C - B C = A D - B D

b) \Leftrightarrow A C + C B = A D + D B

b) \Leftrightarrow A B = A B

(luôn đúng)

Vậy hai đẳng thức đúng với mọi bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

3Cách 3. Quy về một điểm gốc

O

Định hướng. Viết mọi vectơ dạng $X Y = O Y - O X$ rồi rút gọn như đại số.

(O B - O A) + (O C - O B) + (O D - O C) + (O A - O D) = 0

A C - A D = (O C - O A) - (O D - O A) = O C - O D

b) B C - B D = (O C - O B) - (O D - O B) = O C - O D

Vậy hai vế của b) cùng bằng $O C - O D = D C$ ; a) được chứng minh.

Nhận xét. Cách 3 "vạn năng": mọi đẳng thức chỉ chứa tổng, hiệu vectơ đều kiểm được bằng cách đưa về một gốc chung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) hai dòng, câu b) một dòng quy tắc hiệu cho mỗi vế.

Đáp số. a) và b) đều đúng với mọi bốn điểm

A

B

C

D

; ở b) hai vế cùng bằng

D C

Sai lầm thường gặp. Viết

A C - A D = C D

(đảo nhầm thứ tự). Nhớ: hiệu hai vectơ chung gốc là vectơ đi từ điểm cuối của vectơ trừ tới điểm cuối của vectơ bị trừ:

A C - A D = D C

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu a): với

n

điểm

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

thì

A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots + A_{n} A_{1} = 0

(đường gấp khúc khép kín).

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.7★★Trang 54— Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Bài 4.7 (trang 54). Cho hình bình hành

A B C D

. Hãy tìm điểm

M

để

B M = A B + A D

. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ

C D

và

C M

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $A B + A D = A C$ .
$X Y = Z T \Leftrightarrow X Y T Z$ là hình bình hành (bốn điểm không thẳng hàng).
Hai vectơ đối nhau: cùng độ dài, ngược hướng.

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải là tổng hai vectơ chung gốc trong hình bình hành — quy tắc hình bình hành rút ngay về

A C

. Khi đó

B M = A C

là "vectơ bằng nhau" nên

M

được dựng bằng một hình bình hành. Để so

C D

với

C M

, chèn điểm

B

vào

C M

1Cách 1. Dựng hình bình hành

A C M B

Định hướng. Đưa về $B M = A C$ rồi đọc hình bình hành.

B M = A B + A D = A C \Rightarrow A C M B

là hình bình hành

\Rightarrow C M = A B

A B C D

là hình bình hành

\Rightarrow A B = D C

\Rightarrow C M = D C = - C D

Vậy $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $A C M B$ (cũng là điểm đối xứng với $D$ qua $C$ ); $C M = - C D$ : hai vectơ đối nhau.

2Cách 2. Chèn điểm vào

C M

Định hướng. Tính trực tiếp $C M$ qua $B$ mà không cần vẽ hình bình hành mới.

C M = C B + B M

C M = C B + A C

C M = A C + C B

C M = A B

C M = D C

C M = - C D

Vậy $C M = - C D$ ; $M$ nằm trên tia đối của tia $C D$ với $C M = C D$ .

3Cách 3. Lấy

A

làm gốc

Định hướng. Biểu diễn mọi vectơ qua hai vectơ gốc $A B$ , $A D$ .

A M = A B + B M = A B + A B + A D

C M = A M - A C = (A B + A B + A D) - (A B + A D) = A B

C D = A D - A C = A D - (A B + A D) = - A B

\Rightarrow C M = - C D

Vậy $C M$ và $C D$ là hai vectơ đối nhau; $C$ là trung điểm của $D M$ .

Nhận xét. Từ $C M + C D = 0$ suy ra $C$ là trung điểm $D M$ — cách mô tả vị trí $M$ gọn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chuỗi chèn điểm năm dòng, vừa xác định

M

vừa trả lời quan hệ.

Đáp số.

M

là điểm sao cho

A C M B

là hình bình hành, tức

M

đối xứng với

D

qua

C

;

C M = - C D

(hai vectơ đối nhau).

Sai lầm thường gặp. Kết luận "

C M = C D

" vì thấy

C M = C D

— mới đúng về độ dài; hai vectơ ngược hướng nên là vectơ đối, không bằng nhau. Cũng dễ đặt nhầm

M

sao cho

A B M C

là hình bình hành (khi đó

B M = C A

, ngược hướng).

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

N

sao cho

D N = A B + A D

và so sánh

C N

với

C B

(đáp số:

N

đối xứng với

B

qua

C

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.8★★Trang 54— Độ dài vectơ tổng, hiệu trong tam giác đều

Bài 4.8 (trang 54). Cho tam giác đều

A B C

có cạnh bằng

a

. Tính độ dài của các vectơ

A B - A C

A B + A C

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hiệu: $A B - A C = C B$ .
Quy tắc hình bình hành: $A B + A C = A E$ với $A B E C$ là hình bình hành.
Đường cao tam giác đều cạnh $a$ : $h = \frac{a 3}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu hai vectơ chung gốc dùng quy tắc hiệu, ra ngay một cạnh của tam giác. Tổng hai vectơ chung gốc dùng quy tắc hình bình hành: dựng

E

để

A B E C

là hình thoi, độ dài cần tìm là đường chéo

A E

— gấp đôi đường cao của tam giác đều. Bẫy:

∣ A B + A C ∣

không bằng

A B + A C = 2 a

1Cách 1. Hình thoi và đường cao

Định hướng. Dựng $E$ sao cho $A B E C$ là hình bình hành (hình thoi vì $A B = A C$ ); gọi $H$ là giao hai đường chéo.

∣ A B - A C ∣ = ∣ C B ∣ = C B = a

A B + A C = A E

H

là trung điểm

B C

và

A E

A H = \frac{a 3}{2}

(đường cao tam giác đều)

∣ A B + A C ∣ = A E = 2 A H = 2 \cdot \frac{a 3}{2} = a 3

Vậy $∣ A B - A C ∣ = a$ , $∣ A B + A C ∣ = a 3$ .

2Cách 2. Định lí côsin trong tam giác

A B E

Định hướng. Trong hình bình hành $A B E C$ , $B E = A C$ nên $A B E = 18 0^{\circ} - B A C = 12 0^{\circ}$ .

A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} - 2 \cdot A B \cdot B E \cdot cos 12 0^{\circ}

A E^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot (- \frac{1}{2})

A E^{2} = 3 a^{2}

A E = a 3

∣ A B - A C ∣ = ∣ C B ∣ = a

Vậy $∣ A B - A C ∣ = a$ , $∣ A B + A C ∣ = a 3$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $A (0; 0)$ , $B (a; 0)$ , $C (\frac{a}{2}; \frac{a 3}{2})$ .

A B - A C = (a; 0) - (\frac{a}{2}; \frac{a 3}{2}) = (\frac{a}{2}; - \frac{a 3}{2})

∣ A B - A C ∣ = \frac{a ^{2}}{4} + \frac{3 a ^{2}}{4} = a^{2} = a

A B + A C = (\frac{3 a}{2}; \frac{a 3}{2})

∣ A B + A C ∣ = \frac{9 a ^{2}}{4} + \frac{3 a ^{2}}{4} = 3 a^{2} = a 3

Vậy $∣ A B - A C ∣ = a$ , $∣ A B + A C ∣ = a 3$ .

Nhận xét. Tổng và hiệu của hai vectơ chung gốc là hai đường chéo của hình bình hành dựng trên chúng — ở đây là hai đường chéo $A E = a 3$ và $B C = a$ của hình thoi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy tắc hiệu cho ngay

a

, đường chéo hình thoi bằng hai lần đường cao cho ngay

a 3

Đáp số.

∣ A B - A C ∣ = a

;

∣ A B + A C ∣ = a 3

Sai lầm thường gặp. (1) Cộng độ dài:

∣ A B + A C ∣ = a + a = 2 a

— sai vì hai vectơ không cùng hướng; chỉ có

∣ u + v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣

. (2) Tính

∣ A B - A C ∣ = a - a = 0

— cũng sai, hiệu hai vectơ khác nhau không thể là

0

🚀 Mở rộng. Với tam giác

A B C

cân tại

A

A B = A C = a

B A C = α

∣ A B + A C ∣ = 2 a cos \frac{α}{2}

∣ A B - A C ∣ = 2 a sin \frac{α}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.9★★Trang 54— Độ lớn hợp lực của hai lực

Bài 4.9 (trang 54). Hình 4.19 biểu diễn hai lực

F_{1}

F_{2}

cùng tác động lên một vật, cho

∣ F_{1} ∣ = 3

∣ F_{2} ∣ = 2

N. Tính độ lớn của hợp lực

F_{1} + F_{2}

.
(Hình 4.19: góc giữa hai lực $F_{1}$ , $F_{2}$ bằng $12 0^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $O A + O B = O C$ với $O A C B$ là hình bình hành.
Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .
Hai góc kề một cạnh của hình bình hành bù nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hợp lực là đường chéo của hình bình hành dựng trên hai lực. Góc giữa hai lực là

12 0^{\circ}

nên trong tam giác chứa đường chéo, góc đối diện đường chéo là

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

— rồi dùng định lí côsin. Bẫy: dùng thẳng

12 0^{\circ}

trong định lí côsin sẽ ra

19

1Cách 1. Hình bình hành + định lí côsin

Định hướng. Đặt $F_{1} = O A$ , $F_{2} = O B$ , dựng hình bình hành $O A C B$ ; $O A C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ , $A C = O B = 2$ .

F_{1} + F_{2} = O C

O C^{2} = O A^{2} + A C^{2} - 2 \cdot O A \cdot A C \cdot cos 6 0^{\circ}

O C^{2} = 3^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}

O C^{2} = 9 + 4 - 6

O C^{2} = 7

O C = 7

Vậy độ lớn hợp lực $∣ F_{1} + F_{2} ∣ = 7 \approx 2, 65$ N.

2Cách 2. Chiếu lên phương của

F_{1}

và phương vuông góc

Định hướng. Thành phần của $F_{2}$ theo phương $F_{1}$ là $2 cos 12 0^{\circ}$ , theo phương vuông góc là $2 sin 12 0^{\circ}$ .

Thành phần dọc

F_{1}

của hợp lực:

3 + 2 cos 12 0^{\circ} = 3 - 1 = 2

Thành phần vuông góc:

0 + 2 sin 12 0^{\circ} = 3

∣ F_{1} + F_{2} ∣ = 2^{2} + (3)^{2} = 4 + 3 = 7

Vậy $∣ F_{1} + F_{2} ∣ = 7 \approx 2, 65$ N.

3Cách 3. Hạ đường cao trong tam giác

O A C

Định hướng. Hạ $C H ⊥ O A$ ; góc $C A H = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ hay $C A O = 6 0^{\circ}$ nên $H$ nằm trên đoạn $O A$ .

A H = A C cos 6 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

C H = A C sin 6 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3

O H = O A - A H = 3 - 1 = 2

O C^{2} = O H^{2} + C H^{2} = 2^{2} + (3)^{2} = 7

O C = 7

Vậy $∣ F_{1} + F_{2} ∣ = 7$ N.

Nhận xét. Hợp lực nhỏ hơn $∣ F_{1} ∣ = 3$ N vì hai lực "kéo ngược" nhau một phần (góc tù). Khi góc giữa hai lực là $α$ : $∣ F_{1} + F_{2} ∣^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một định lí côsin, chỉ cần nhớ đổi góc

12 0^{\circ}

thành góc

6 0^{\circ}

của hình bình hành.

Đáp số.

∣ F_{1} + F_{2} ∣ = 7 \approx 2, 65

Sai lầm thường gặp. Thay thẳng

cos 12 0^{\circ}

vào công thức

O C^{2} = O A^{2} + A C^{2} - 2 \cdot O A \cdot A C cos (\dots)

9 + 4 + 6 = 19

, ra

19

— sai vì góc trong tam giác

O A C

là

6 0^{\circ}

chứ không phải

12 0^{\circ}

. Hoặc cộng độ lớn

3 + 2 = 5

N (chỉ đúng khi hai lực cùng hướng).

🚀 Mở rộng. Tìm góc

α

giữa hai lực

3

N và

2

N để hợp lực bằng

4

N (đáp số:

cos α = \frac{1}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.10★★★Trang 54— Tổng hợp vận tốc — thời gian qua sông

Bài 4.10 (trang 54). Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Kiến thức cần nhớ

Tổng hợp vận tốc: $v = v_{r} + v_{n}$ .
Thời gian qua sông $=$ bề rộng sông $:$ tốc độ tiến theo phương vuông góc với bờ.
Ví dụ 4 (SGK): thời gian sang bờ bằng $\frac{A C}{A M}$ với $C$ là giao của giá vận tốc riêng với bờ kia.

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc thực

v = v_{r} + v_{n}

; dòng nước

v_{n}

chạy song song với bờ nên không giúp tàu tiến sang bờ kia. Vì vậy thời gian qua sông chỉ phụ thuộc phần "tiến ngang sông" của

v_{r}

— giống nhau ở hai tàu. Bẫy: nghĩ tàu xuôi dòng nhanh hơn nên tới trước; nó chỉ đi xa hơn dọc bờ chứ không sang bờ nhanh hơn.

1Cách 1. Thành phần vuông góc với bờ

Định hướng. Gọi $d$ là bề rộng sông, $v$ là độ lớn vận tốc riêng, $α$ là góc nhọn tạo với bờ.

v = v_{r} + v_{n}

v_{n}

song song với bờ
Tàu 1: tốc độ tiến vuông góc bờ

= v sin α

\Rightarrow t_{1} = \frac{d}{v sin α}

Tàu 2: tốc độ tiến vuông góc bờ

= v sin (18 0^{\circ} - α) = v sin α

\Rightarrow t_{2} = \frac{d}{v sin α}

\Rightarrow t_{1} = t_{2}

Vậy hai tàu sang tới bờ bên kia cùng một lúc.

2Cách 2. Lập luận như Ví dụ 4

Định hướng. Với mỗi tàu, lấy $A$ là điểm xuất phát, $v_{r} = A M$ , $C$ là giao của đường thẳng $A M$ với bờ kia.

Thời gian sang bờ

t = \frac{A C}{A M}

(Ví dụ 4)

A M = ∣ v_{r} ∣ = v

như nhau ở hai tàu

A C = \frac{d}{sin α}

(tam giác vuông có cạnh góc vuông

d

, góc đối

α

) như nhau ở hai tàu

\Rightarrow t = \frac{d}{v sin α}

như nhau

Vậy hai tàu sang bờ bên kia cùng lúc.

3Cách 3. Đổi sang hệ quy chiếu gắn với dòng nước

Định hướng. Trong hệ gắn với nước, mỗi tàu chỉ chuyển động với vận tốc riêng; hai bờ trôi song song với chính chúng nên khoảng cách giữa hai bờ vẫn là $d$ .

Hệ gắn với nước: tàu 1, tàu 2 đi thẳng với tốc độ

v

, lệch bờ góc

α

Quãng đường mỗi tàu cần đi để chạm bờ kia:

\frac{d}{sin α}

t_{1} = t_{2} = \frac{d}{v sin α}

Vậy hai tàu tới bờ bên kia cùng một lúc; chỉ khác nhau ở điểm cập bờ (tàu xuôi dòng cập bờ xa hơn về phía hạ lưu).

Nhận xét. Kết luận không phụ thuộc vận tốc dòng nước, miễn dòng nước song song với bờ. Muốn sang nhanh nhất thì $sin α = 1$ , tức $α = 9 0^{\circ}$ — đúng kết luận của Ví dụ 4.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách vận tốc thành phần song song và vuông góc bờ, hai dòng là xong.

Đáp số. Hai tàu sang bờ bên kia cùng một lúc.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng tàu hướng xuống hạ lưu tới trước vì được dòng nước "đẩy". Dòng nước đẩy tàu dọc bờ nên vận tốc thực của tàu xuôi dòng lớn hơn, nhưng phần lớn hơn ấy nằm dọc bờ, không rút ngắn thời gian qua sông. So độ lớn

∣ v ∣

của hai tàu để kết luận là sai hướng.

🚀 Mở rộng. Nếu hai tàu tạo với bờ hai góc khác nhau

α_{1} \neq = α_{2}

thì tàu nào tới trước? (Tàu có

sin α

lớn hơn, tức góc gần

9 0^{\circ}

hơn.)

Mở bài này trong app ↗