Bài 9. Tích của một vectơ với một số

Định hướng. Chèn $G$ để mỗi đoạn là một phần của trung tuyến.

Vậy $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{CA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$.

Định hướng. Viết hai trung tuyến theo $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AC}$ rồi giải ngược ra $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{CA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$.

Định hướng. Tính thẳng $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BE}$ bằng quy tắc ba điểm; mọi phần thừa gom về $\overrightarrow{AB}$.

Vậy ba vectơ được biểu thị như trên.

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: cộng ba kết quả được $\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{AD}+\left(-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}$ — đúng quy tắc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.

Định hướng. Mỗi vectơ tổng/hiệu là một đường chéo hoặc một cạnh nối hai đầu mút.

Vậy độ dài lần lượt là $a\sqrt{2}$, $a\sqrt{2}$, $a\sqrt{5}$, $a\sqrt{13}$.

Định hướng. Đặt $O(0;0)$, $A(a;0)$, $B(0;a)$; độ dài vectơ $(x;y)$ là $\sqrt{x^2+y^2}$.

Vậy $a\sqrt{2}$; $a\sqrt{2}$; $a\sqrt{5}$; $a\sqrt{13}$.

Định hướng. Chứng minh một lần $|x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}|=a\sqrt{x^2+y^2}$ rồi thay số.

Vậy bốn độ dài là $a\sqrt{2}$, $a\sqrt{2}$, $a\sqrt{5}$, $a\sqrt{13}$.

Nhận xét. Công thức ở Cách 3 cho thấy dấu của hệ số không ảnh hưởng tới độ dài — vì thế $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ dài bằng nhau.

Định hướng. $BHCD$ là hình bình hành nên $M$ là trung điểm $HD$; $OM$ là đường trung bình của tam giác $AHD$.

Vậy a) $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$; b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$; c) $G,H,O$ thẳng hàng (đpcm).

Định hướng. Tam giác $AHB$ và $MON$ ($N$ là trung điểm $CA$) có ba cặp cạnh song song nên đồng dạng, tỉ số $AB:MN=2$.

Vậy ba ý a, b, c được chứng minh.

Định hướng. Lấy điểm $H^{\prime }$ với $\overrightarrow{O{H}^{\prime }}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ và chứng minh $H^{\prime }$ là trực tâm — không phải dựng thêm đường tròn.

Vậy $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ và $G,H,O$ thẳng hàng.

Nhận xét. Cách 3 làm ý b trước, ý a là hệ quả — ngắn và không cần xét tam giác nhọn hay tù. Thêm nữa $\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$: $G$ nằm giữa $O$, $H$ và $GH=2GO$; đường thẳng qua $O,G,H$ gọi là đường thẳng Euler (khi tam giác không đều).

Định hướng. Gộp từng cặp đỉnh về trung điểm rồi gộp hai trung điểm về $I$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}$ (đpcm).

Định hướng. Tại $I$ tổng bốn vectơ triệt tiêu; chèn $I$ vào mỗi vectơ gốc $O$.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Định hướng. Gọi $P$, $Q$ là trung điểm $AC$, $BD$; $MPNQ$ là hình bình hành nên $I$ cũng là trung điểm $PQ$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}$.

Nhận xét. Cách 3 cho thêm một kết quả hình học: đoạn nối trung điểm hai cạnh đối và đoạn nối trung điểm hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn — điểm $I$ ấy là trọng tâm của tứ giác.

Định hướng. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MPR$ và chứng minh $G$ cũng là trọng tâm tam giác $NQS$.

Vậy $G$ cũng là trọng tâm tam giác $NQS$: hai tam giác có cùng trọng tâm (đpcm).

Định hướng. Viết trọng tâm mỗi tam giác theo sáu đỉnh của lục giác.

Vậy hai tam giác $MPR$ và $NQS$ có cùng trọng tâm.

Định hướng. Đỉnh $A,B,C,D,E,F$ có toạ độ $(x_1;y_1),\dots ,(x_6;y_6)$; so hoành độ, tung độ của hai trọng tâm.

Vậy hai trọng tâm trùng nhau.

Nhận xét. Cách 2 và 3 cho biết thêm: trọng tâm chung ấy chính là trọng tâm của hệ sáu đỉnh lục giác, không phụ thuộc cách chia cặp.

Định hướng. Qua $M$ kẻ đường song song $BC$ cắt $AB$, $AC$ tại $P_1$, $P_2$; song song $CA$ cắt $AB$, $BC$ tại $Q_1$, $Q_2$; song song $AB$ cắt $BC$, $CA$ tại $R_1$, $R_2$.

Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$ (đpcm).

Định hướng. Đặt $B(-1;0)$, $C(1;0)$, $A(0;\sqrt{3})$, $M(x;y)$; chân đường vuông góc tính bằng công thức hình chiếu lên đường thẳng.

Vậy hai vế có cùng toạ độ, đẳng thức đúng với mọi $M$.

Nhận xét. Toạ độ cho thấy kết quả vẫn đúng khi $M$ nằm ngoài tam giác (chân đường vuông góc rơi trên đường thẳng chứa cạnh). Cách 1 thuần hình học, chỉ cần tính chất tam giác đều và hình bình hành.

Định hướng. Biểu thị $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AN}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ rồi dựng.

Vậy a) $M$ là trung điểm $IC$ ($I$ là trung điểm $AB$); b) $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $A{B}_{1}N{C}_1$, với $\overrightarrow{A{B}_1}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A{C}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Định hướng. Ý a gộp $A$ với $B$; ý b tách $4\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NA}$ để ghép với $B$ và $C$.

Vậy a) $M$ là trung điểm $IC$; b) $N$ là điểm với $\overrightarrow{JN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$, $J$ thuộc cạnh $AC$, $AJ=\frac{1}{3}AC$.

Định hướng. Ý a gộp $A$ với $C$ và $B$ với $C$; ý b gộp $4\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}$ về một điểm $P$ trên $AC$.