Chương IV. Vectơ

Bài 9. Tích của một vectơ với một số

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang54–55 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.13★★★Trang 54— Phân tích vectơ theo hai trung tuyến

Bài 4.13 (trang 54). Cho tam giác

A B C

. Gọi

D

E

tương ứng là trung điểm của

B C

C A

. Hãy biểu thị các vectơ

A B

B C

C A

theo hai vectơ

A D

và

B E

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm: $A G = \frac{2}{3} A D$ , $B G = \frac{2}{3} B E$ , $G D = \frac{1}{3} A D$ .
$D$ là trung điểm $B C$ : $A D = \frac{1}{2} (A B + A C)$ .
$A B + B C + C A = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

A D

B E

là hai trung tuyến, không cùng phương, cắt nhau tại trọng tâm

G

— dấu hiệu dùng tỉ lệ

\frac{2}{3}

trên trung tuyến để đi từ đỉnh này tới đỉnh kia qua

G

. Cũng có thể coi

A D

B E

là "ẩn đã biết" và giải một hệ hai phương trình vectơ. Có

A B

B C

rồi thì

C A = - (A B + B C)

1Cách 1. Đi qua trọng tâm

G

Định hướng. Chèn $G$ để mỗi đoạn là một phần của trung tuyến.

A B = A G + GB = \frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E

B D = B G + G D = \frac{2}{3} B E + \frac{1}{3} A D

B C = 2 B D = \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E

C A = - (A B + B C) = - (\frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E + \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E) = - \frac{4}{3} A D - \frac{2}{3} B E

Vậy $A B = \frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E$ , $B C = \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E$ , $C A = - \frac{4}{3} A D - \frac{2}{3} B E$ .

2Cách 2. Lập hệ theo

A B

A C

Định hướng. Viết hai trung tuyến theo $x = A B$ , $y = A C$ rồi giải ngược ra $x$ , $y$ .

A D = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y

B E = A E - A B = \frac{1}{2} y - x

A D - B E = \frac{3}{2} x

\Rightarrow

x = \frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E

y = 2 A D - x = 2 A D - \frac{2}{3} A D + \frac{2}{3} B E = \frac{4}{3} A D + \frac{2}{3} B E

B C = y - x = \frac{4}{3} A D + \frac{2}{3} B E - \frac{2}{3} A D + \frac{2}{3} B E = \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E

C A = - y = - \frac{4}{3} A D - \frac{2}{3} B E

Vậy $A B = \frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E$ , $B C = \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E$ , $C A = - \frac{4}{3} A D - \frac{2}{3} B E$ .

3Cách 3. Hiệu hai trung tuyến qua đường trung bình

Định hướng. Tính thẳng $A D - B E$ bằng quy tắc ba điểm; mọi phần thừa gom về $A B$ .

A D - B E = A D + E B = (A E + E D) + (E D + D B) = (A E + D B) + 2 E D

A E + D B = \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} C B = \frac{1}{2} A B

2 E D = A B

A D - B E = \frac{3}{2} A B

\Rightarrow

A B = \frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E

A D = A B + \frac{1}{2} B C

\Rightarrow

B C = 2 A D - 2 A B = 2 A D - \frac{4}{3} A D + \frac{4}{3} B E = \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E

C A = - A B - B C = - \frac{4}{3} A D - \frac{2}{3} B E

Vậy ba vectơ được biểu thị như trên.

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: cộng ba kết quả được $(\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}) A D + (- \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{2}{3}) B E = 0$ — đúng quy tắc $A B + B C + C A = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trọng tâm cho sẵn các hệ số

\frac{2}{3}

\frac{1}{3}

, mỗi vectơ chỉ cần một dòng.

Đáp số.

A B = \frac{2}{3} A D - \frac{2}{3} B E

;

B C = \frac{2}{3} A D + \frac{4}{3} B E

;

C A = - \frac{4}{3} A D - \frac{2}{3} B E

Sai lầm thường gặp. Viết

GB = \frac{2}{3} B E

(sai chiều): đúng là

GB = - B G = - \frac{2}{3} B E

. Sai dấu ở đây làm

A B

thành

\frac{2}{3} A D + \frac{2}{3} B E

, cộng ba kết quả sẽ không ra

0

🚀 Mở rộng. Biểu thị thêm

C F

(với

F

là trung điểm

A B

) theo

A D

B E

; đáp số phải thoả

A D + B E + C F = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.14★★Trang 54— Độ dài của tổ hợp hai vectơ vuông góc

Bài 4.14 (trang 54). Cho tam giác

O A B

vuông cân, với

O A = O B = a

. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau:

O A + O B

O A - O B

O A + 2 O B

2 O A - 3 O B

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành, quy tắc hiệu: $O A - O B = B A$ .
$∣ k a ∣ = ∣ k ∣∣ a ∣$ .
Định lí Pythagore: đường chéo hình chữ nhật cạnh $m$ , $n$ bằng $m^{2} + n^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ

O A

O B

vuông góc, cùng độ dài

a

— mọi tổ hợp

x O A + y O B

đều là đường chéo của một hình chữ nhật có hai cạnh

∣ x ∣ a

và

∣ y ∣ a

. Vì vậy chỉ cần dựng đúng hình chữ nhật rồi dùng Pythagore. Bẫy:

2 O A - 3 O B

có hệ số âm, cạnh vẫn là

3 a

(độ dài không âm).

1Cách 1. Dựng hình và dùng Pythagore

Định hướng. Mỗi vectơ tổng/hiệu là một đường chéo hoặc một cạnh nối hai đầu mút.

O A + O B = O C

(

O A C B

là hình vuông)

\Rightarrow

∣ O A + O B ∣ = O C = a 2

O A - O B = B A

\Rightarrow

∣ O A - O B ∣ = A B = a^{2} + a^{2} = a 2

O D = 2 O B

O A + O D = O E

(

O A E D

là hình chữ nhật)

\Rightarrow

O E = a^{2} + (2 a)^{2} = a 5

O P = 2 O A

O Q = 3 O B

2 O A - 3 O B = O P - O Q = QP

\Rightarrow

QP = (2 a)^{2} + (3 a)^{2} = a 13

Vậy độ dài lần lượt là $a 2$ , $a 2$ , $a 5$ , $a 13$ .

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. Đặt $O (0; 0)$ , $A (a; 0)$ , $B (0; a)$ ; độ dài vectơ $(x; y)$ là $x^{2} + y^{2}$ .

O A + O B = (a; a)

\Rightarrow

a^{2} + a^{2} = a 2

O A - O B = (a; - a)

\Rightarrow

a^{2} + a^{2} = a 2

O A + 2 O B = (a; 2 a)

\Rightarrow

a^{2} + 4 a^{2} = a 5

2 O A - 3 O B = (2 a; - 3 a)

\Rightarrow

4 a^{2} + 9 a^{2} = a 13

Vậy $a 2$ ; $a 2$ ; $a 5$ ; $a 13$ .

3Cách 3. Công thức chung cho hai vectơ vuông góc cùng độ dài

Định hướng. Chứng minh một lần $∣ x O A + y O B ∣ = a x^{2} + y^{2}$ rồi thay số.

x O A

và

y O B

vuông góc, độ dài

∣ x ∣ a

và

∣ y ∣ a

\Rightarrow

∣ x O A + y O B ∣ = (∣ x ∣ a)^{2} + (∣ y ∣ a)^{2} = a x^{2} + y^{2}

(x; y) = (1; 1)

a 2

;

(1; - 1)

a 2

;

(1; 2)

a 5

;

(2; - 3)

a 13

Vậy bốn độ dài là $a 2$ , $a 2$ , $a 5$ , $a 13$ .

Nhận xét. Công thức ở Cách 3 cho thấy dấu của hệ số không ảnh hưởng tới độ dài — vì thế $O A + O B$ và $O A - O B$ dài bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (hoặc Cách 2): một công thức dùng cho cả bốn vectơ, không phải vẽ bốn hình.

Đáp số.

∣ O A + O B ∣ = a 2

;

∣ O A - O B ∣ = a 2

;

∣ O A + 2 O B ∣ = a 5

;

∣2 O A - 3 O B ∣ = a 13

Sai lầm thường gặp. Cộng trừ độ dài:

∣ O A + 2 O B ∣ = a + 2 a = 3 a

hay

∣2 O A - 3 O B ∣ = 2 a - 3 a

— sai, vì hai vectơ không cùng phương; độ dài không cộng trừ thẳng được (còn ra số âm là vô lí).

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác

O A B

đều cạnh

a

(thay vì vuông cân) thì

∣ O A + O B ∣ = a 3

; hãy tính tiếp

∣ O A + 2 O B ∣

bằng định lí côsin (

a 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.15★★★★Trang 54— Đường thẳng Euler bằng vectơ

Bài 4.15 (trang 54). Cho tam giác

A B C

có trực tâm

H

, trọng tâm

G

và tâm đường tròn ngoại tiếp

O

.
a) Gọi

M

là trung điểm của

B C

. Chứng minh rằng

A H = 2 O M

.
b) Chứng minh rằng

O A + O B + O C = O H

.
c) Chứng minh rằng ba điểm

G

H

O

cùng thuộc một đường thẳng.

Kiến thức cần nhớ

$O$ là tâm ngoại tiếp, $M$ là trung điểm $B C$ $\Rightarrow$ $O M ⊥ B C$ .
$O B + O C = 2 O M$ ; $O A + O B + O C = 3 O G$ ( $G$ trọng tâm).
Ba điểm $O, G, H$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $O H = k O G$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.16★★Trang 54— Chứng minh đẳng thức vectơ bằng công thức trung điểm

Bài 4.16 (trang 54). Cho tứ giác

A B C D

. Gọi

M

N

theo thứ tự là trung điểm các cạnh

A B

C D

và gọi

I

là trung điểm của

M N

. Chứng minh rằng với điểm

O

bất kì đều có

O A + O B + O C + O D = 4 O I

Kiến thức cần nhớ

$Z$ là trung điểm $X Y$ $\Leftrightarrow$ $O X + O Y = 2 O Z$ với mọi $O$ .
$Z X + Z Y = 0$ khi $Z$ là trung điểm $X Y$ .
Tứ giác nối trung điểm các cạnh (và đường chéo) của một tứ giác là hình bình hành.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.17★★★Trang 54— Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm

Bài 4.17 (trang 54). Cho lục giác

A B C D E F

. Gọi

M, N, P, Q, R, S

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

A B

B C

C D

D E

E F

F A

. Chứng minh rằng hai tam giác

M P R

và

N QS

có cùng trọng tâm.

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $X Y Z$ $\Leftrightarrow$ $GX + G Y + GZ = 0$ $\Leftrightarrow$ $O G = \frac{1}{3} (O X + O Y + O Z)$ .
Đường trung bình: $M$ , $N$ là trung điểm $A B$ , $B C$ $\Rightarrow$ $M N = \frac{1}{2} A C$ .
$A C + C E + E A = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.18★★★★Trang 54— Chứng minh đẳng thức vectơ trong tam giác đều

Bài 4.18 (trang 54). Cho tam giác

A B C

đều với trọng tâm

O

M

là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi

D

E

F

theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của

M

trên

B C

C A

A B

. Chứng minh rằng

M D + M E + M F = \frac{3}{2} M O

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác đều, chân đường cao là trung điểm cạnh đối diện.
Quy tắc hình bình hành và công thức trung điểm $M D = \frac{1}{2} (M X + M Y)$ .
$M A + M B + M C = 3 M O$ ( $O$ trọng tâm).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.19★★★Trang 54— Dựng điểm thoả mãn đẳng thức vectơ có hệ số

Bài 4.19 (trang 54). Cho tam giác

A B C

.
a) Tìm điểm

M

sao cho

M A + M B + 2 M C = 0

.
b) Xác định điểm

N

thoả mãn

4 N A - 2 N B + N C = 0

Kiến thức cần nhớ

$I$ là trung điểm $A B$ : $M A + M B = 2 M I$ .
Chèn điểm: $N B = N A + A B$ .
$m K X + n K Y = 0$ ( $m + n \neq = 0$ ) $\Leftrightarrow$ $X K = \frac{n}{m + n} X Y$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.20★★★★Trang 55— Tìm điểm và tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức độ dài vectơ

Bài 4.20 (trang 55). Cho tam giác

A B C

.
a) Tìm điểm

K

thoả mãn

K A + 2 K B + 3 K C = 0

.
b) Tìm tập hợp các điểm

M

thoả mãn

∣ M A + 2 M B + 3 M C ∣ = ∣ M B - M C ∣

Kiến thức cần nhớ

Trung điểm: $K A + K C = 2 K I$ , $K B + K C = 2 K H$ .
$M A + 2 M B + 3 M C = 6 M K + (K A + 2 K B + 3 K C)$ .
Tập hợp điểm $M$ với $M K = r$ ( $r > 0$ không đổi) là đường tròn tâm $K$ bán kính $r$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.21★★Trang 55— Vectơ lực trong cân bằng — ứng dụng Vật lí

Bài 4.21 (trang 55). Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực

P

của vật và lực đẩy Archimedes

F

mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Kiến thức cần nhớ

Cân bằng: $P + F = 0$ $\Leftrightarrow$ $F = - P$ .
Trọng lượng vật: $P = d \cdot V$ ( $d$ là trọng lượng riêng của vật).
Lực đẩy Archimedes: $F = d^{'} \cdot V_{c}$ ( $d^{'}$ là trọng lượng riêng chất lỏng, $V_{c}$ là thể tích phần chìm).