Chương IV. Vectơ

Bài 9. Tích của một vectơ với một số

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 55— Tổng của một vectơ với chính nó — dẫn tới định nghĩa

k a

HĐ1 (trang 55). Cho vectơ

A B = a

. Hãy xác định điểm

C

sao cho

B C = a

.
a) Tìm mối quan hệ giữa

A C

và

a + a

.
b) Vectơ

a + a

có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ

a

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $A B + B C = A C$ .
Hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng và cùng độ dài.
$B$ là trung điểm của $A C$ khi và chỉ khi $A B = B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai vectơ bằng nhau nối đuôi

A B = B C = a

— dấu hiệu dùng quy tắc ba điểm để gộp thành

A C

. Vì

A B

B C

cùng hướng nên

A

B

C

thẳng hàng và

B

nằm giữa, độ dài cộng thẳng được. Bẫy: chỉ khi hai vectơ cùng hướng mới được cộng độ dài; ở đây điều đó đúng nên

∣ a + a ∣ = 2∣ a ∣

1Cách 1. Quy tắc ba điểm

Định hướng. Dựng $C$ từ $B$ theo đúng hướng và độ dài của $a$ , rồi cộng nối đuôi.

B C = a = A B

\Rightarrow

B C

cùng hướng

A B

B C = A B

\Rightarrow

A, B, C

thẳng hàng,

B

nằm giữa

A

và

C

A C = A B + B C = a + a

∣ a + a ∣ = A C = A B + B C = ∣ a ∣ + ∣ a ∣ = 2∣ a ∣

Vậy a) $A C = a + a$ ; b) $a + a$ cùng hướng với $a$ và có độ dài $2∣ a ∣$ .

2Cách 2. Trung điểm đoạn thẳng

Định hướng. Hai vectơ $A B$ , $B C$ bằng nhau nói lên $B$ là trung điểm của $A C$ .

A B = B C

\Rightarrow

B A + B C = - A B + B C = 0

\Rightarrow

B

là trung điểm của

A C

\Rightarrow

A C

cùng hướng

A B

A C = 2 A B = 2∣ a ∣

a + a = A B + B C = A C

Vậy $a + a = A C$ , cùng hướng với $a$ và dài gấp đôi $a$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Gắn hệ trục có gốc $A$ ; khi đó toạ độ của vectơ cộng theo từng thành phần.

a = (a_{1}; a_{2})

A (0; 0)

\Rightarrow

B (a_{1}; a_{2})

C (2 a_{1}; 2 a_{2})

A C = (2 a_{1}; 2 a_{2})

a + a = (a_{1} + a_{1}; a_{2} + a_{2}) = (2 a_{1}; 2 a_{2})

∣ a + a ∣ = 4 a_{1}^{2} + 4 a_{2}^{2} = 2 a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 2∣ a ∣

Vậy $A C = a + a$ ; vectơ này cùng hướng $a$ (toạ độ tỉ lệ dương) và có độ dài $2∣ a ∣$ .

Nhận xét. Kết quả này chính là lí do SGK kí hiệu $a + a = 2 a$ : tích với số $2 > 0$ giữ hướng, nhân đôi độ dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng quy tắc ba điểm và một dòng cộng độ dài, không cần dựng gì thêm.

Đáp số. a)

A C = a + a

. b)

a + a

cùng hướng với

a

∣ a + a ∣ = 2∣ a ∣

Sai lầm thường gặp. Viết

∣ a + a ∣ = ∣ a ∣ + ∣ a ∣

cho MỌI cặp vectơ là sai: chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng. Phản ví dụ:

∣ a + (- a) ∣ = 0 \neq = 2∣ a ∣

khi

a \neq = 0

🚀 Mở rộng. Cộng

n

lần vectơ

a

ta được vectơ cùng hướng

a

, dài

n ∣ a ∣

— tức

n a

; hãy kiểm lại với

n = 3

bằng ba điểm

A, B, C, D

nối đuôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi trang 55★Trang 55— Nhận biết tích

1 a

theo định nghĩa

Câu hỏi (trang 55).

1 a

và

a

có bằng nhau hay không?

Kiến thức cần nhớ

Với $k > 0$ , $a \neq = 0$ : $k a$ cùng hướng $a$ và $∣ k a ∣ = k ∣ a ∣$ .
Quy ước $k 0 = 0$ .
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là câu hỏi kiểm tra định nghĩa với

k = 1 > 0

: chỉ cần so hướng và độ dài. Phải xét riêng trường hợp

a = 0

vì định nghĩa trong khung chỉ áp cho

a \neq = 0

1Cách 1. So hướng và độ dài theo định nghĩa

Định hướng. Áp định nghĩa tích với $k = 1$ , tách trường hợp $a = 0$ .

a \neq = 0

1 a

cùng hướng

a

∣1 a ∣ = 1 \cdot ∣ a ∣ = ∣ a ∣

\Rightarrow

1 a = a

a = 0

10 = 0 = a

Vậy $1 a = a$ với mọi vectơ $a$ .

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. Nhân số với vectơ là nhân số đó vào từng toạ độ.

a = (a_{1}; a_{2})

\Rightarrow

1 a = (1 \cdot a_{1}; 1 \cdot a_{2}) = (a_{1}; a_{2}) = a

Vậy $1 a$ và $a$ bằng nhau.

Nhận xét. Đẳng thức $1 a = a$ về sau được ghi thành một tính chất của phép nhân vectơ với số (trang 57).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng tinh thần định nghĩa, hai dòng là xong.

Đáp số. Có,

1 a = a

Sai lầm thường gặp. Quên trường hợp

a = 0

: định nghĩa trong khung chỉ nói về

a \neq = 0

, nên với

a = 0

phải dùng quy ước

k 0 = 0

mới kết luận được.

🚀 Mở rộng. Tương tự hãy chứng minh

k a = a

với

a \neq = 0

thì bắt buộc

k = 1

(so độ dài và hướng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★Trang 56— So sánh hướng, độ dài của vectơ trên trục số

HĐ2 (trang 56). Trên một trục số, gọi

O, A, M, N

tương ứng biểu diễn các số

0; 1; 2; - 2

. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ

O M

O N

với vectơ

a = O A

. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ

O M

và

O A

Kiến thức cần nhớ

Trên trục số, điểm biểu diễn số $x$ cách gốc $O$ một khoảng $∣ x ∣$ .
Với $k > 0$ : $k a$ cùng hướng $a$ , $∣ k a ∣ = k ∣ a ∣$ .
Hai vectơ cùng hướng, cùng độ dài thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Mọi điểm nằm trên cùng một trục nên các vectơ

O A

O M

O N

cùng phương; chỉ còn xem chúng cùng chiều dương hay ngược chiều. Độ dài đọc ngay bằng khoảng cách trên trục. Bẫy:

2 \approx 1, 41

nên

M

nằm bên phải

A

, còn

N

nằm bên trái

O

1Cách 1. Đọc hướng và độ dài trên trục

Định hướng. So vị trí của $M$ , $N$ với chiều dương, rồi so độ dài với $O A = 1$ .

O A = 1

O M = 2

O N = ∣ - 2 ∣ = 2

O M

cùng hướng

a

∣ O M ∣ = 2 = 2 \cdot ∣ a ∣

O N

ngược hướng

a

∣ O N ∣ = 2 = 2 \cdot ∣ a ∣

O M = 2 O A

Vậy $O M$ cùng hướng, $O N$ ngược hướng với $a$ , cả hai dài gấp $2$ lần $a$ ; $O M = 2 O A$ .

2Cách 2. Toạ độ của vectơ trên trục

Định hướng. Trên trục, vectơ $P Q$ có toạ độ $q - p$ ; hai vectơ có toạ độ tỉ lệ thì liên hệ bằng đúng tỉ số đó.

O A

1 - 0 = 1

;

O M

2 - 0 = 2

;

O N

- 2 - 0 = - 2

2 = 2 \cdot 1

\Rightarrow

O M = 2 O A

(hệ số dương: cùng hướng)

- 2 = (- 2) \cdot 1

\Rightarrow

O N = - 2 O A

(hệ số âm: ngược hướng)

Vậy $O M = 2 O A$ , còn $O N$ ngược hướng $O A$ , dài $2$ .

3Cách 3. Đối xứng qua gốc

O

Định hướng. Tìm quan hệ của $O M$ trước; $N$ đối xứng với $M$ qua $O$ nên $O N$ là vectơ đối của $O M$ .

O M

cùng hướng

O A

O M = 2 O A

\Rightarrow

O M = 2 O A

N

đối xứng

M

qua

O

\Rightarrow

O N = - O M

\Rightarrow

O N

ngược hướng

O M

, tức ngược hướng

a

;

∣ O N ∣ = ∣ O M ∣ = 2

Vậy $O M = 2 O A$ ; $O N$ ngược hướng $a$ , $∣ O N ∣ = 2 ∣ a ∣$ .

Nhận xét. Cách 2 cho ngay cả $O N = - 2 O A$ — đúng với định nghĩa tích với số âm ở khung kiến thức ngay sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: toạ độ trên trục biến việc so hướng thành việc xem dấu của hệ số.

Đáp số.

O M

cùng hướng

a

O N

ngược hướng

a

∣ O M ∣ = ∣ O N ∣ = 2 ∣ a ∣

;

O M = 2 O A

Sai lầm thường gặp. Viết

O N = 2 O A

vì "độ dài gấp

2

" — sai, vì

2 O A

cùng hướng

O A

còn

O N

ngược hướng; đúng phải là

O N = - 2 O A

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trên trục số, nếu

P

biểu diễn số

p

thì

O P = p O A

với mọi số thực

p

(dương, âm hay bằng

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu hỏi trang 56★Trang 56— Vectơ đối và tích với số

- 1

Câu hỏi (trang 56).

- a

và

(- 1) a

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

$- a$ là vectơ ngược hướng $a$ , cùng độ dài với $a$ (vectơ đối).
Với $k < 0$ , $a \neq = 0$ : $k a$ ngược hướng $a$ và $∣ k a ∣ = (- k) ∣ a ∣$ .
$(k + t) a = k a + t a$ ; $0 a = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế đều "đổi hướng, giữ độ dài" — một bên theo định nghĩa vectơ đối, một bên theo định nghĩa tích với số âm. So hướng và độ dài là đủ; nhớ xét riêng

a = 0

1Cách 1. So hướng và độ dài

Định hướng. Áp định nghĩa tích với $k = - 1 < 0$ rồi so với định nghĩa vectơ đối.

a \neq = 0

(- 1) a

ngược hướng

a

∣ (- 1) a ∣ = (- (- 1)) ∣ a ∣ = ∣ a ∣

- a

ngược hướng

a

∣ - a ∣ = ∣ a ∣

\Rightarrow

(- 1) a = - a

a = 0

(- 1) 0 = 0 = - 0

Vậy $(- 1) a = - a$ : hai vectơ bằng nhau.

2Cách 2. Tổng bằng vectơ-không

Định hướng. Vectơ đối của $a$ là vectơ duy nhất cộng với $a$ ra $0$ .

a + (- 1) a = 1 a + (- 1) a = (1 + (- 1)) a = 0 a = 0

\Rightarrow

(- 1) a

là vectơ đối của

a

\Rightarrow

(- 1) a = - a

Vậy $- a = (- 1) a$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Vectơ đối có toạ độ đổi dấu; nhân $- 1$ vào từng toạ độ cũng đổi dấu.

a = (a_{1}; a_{2})

\Rightarrow

- a = (- a_{1}; - a_{2})

(- 1) a = ((- 1) a_{1}; (- 1) a_{2}) = (- a_{1}; - a_{2})

Vậy $(- 1) a = - a$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng tính chất phân phối $(k + t) a = k a + t a$ ở trang 57; Cách 1 chỉ cần định nghĩa nên đúng thứ tự bài học hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng thứ tự bài học, chỉ so hướng và độ dài.

Đáp số.

- a = (- 1) a

(hai vectơ bằng nhau).

Sai lầm thường gặp. Nhầm "

- a

có độ dài âm": độ dài vectơ luôn không âm,

∣ - a ∣ = ∣ a ∣

; dấu trừ chỉ đổi HƯỚNG.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

(- k) a = - (k a) = k (- a)

với mọi số thực

k

— hãy tự chứng minh bằng cách so hướng và độ dài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 1★★Trang 56— Điều kiện thẳng hàng bằng vectơ — xét đúng/sai

Luyện tập 1 (trang 56). Cho đường thẳng

d

đi qua hai điểm phân biệt

A

và

B

(H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm

M

thuộc đường thẳng

d

khi và chỉ khi tồn tại số

t

để

A M = t A B

.
b) Với điểm

M

bất kì, ta luôn có

A M = \frac{A M}{A B} A B

.
c) Điểm

M

thuộc tia đối của tia

A B

khi và chỉ khi tồn tại số

t \leq 0

để

A M = t A B

Kiến thức cần nhớ

$a$ , $b$ ( $b \neq = 0$ ) cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k$ để $a = k b$ (Ví dụ 1).
$k b$ cùng hướng $b$ khi $k \geq 0$ , ngược hướng $b$ khi $k < 0$ .
$M$ thuộc đường thẳng $A B$ $\Leftrightarrow$ $A M$ , $A B$ cùng phương.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba ý đều quy về một câu hỏi:

A M

và

A B

cùng phương, cùng hướng hay ngược hướng. Ví dụ 1 (hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi

a = k b

) giải quyết ý a; dấu của

t

quyết định hướng, giải quyết ý c. Ý b là bẫy: hệ số

\frac{A M}{A B}

luôn không âm nên chỉ đúng khi

M

nằm trên tia

A B

1Cách 1. Cùng phương và dấu của hệ số

Định hướng. Ý a dùng Ví dụ 1; ý b, c xem hệ số dương hay âm quyết định hướng.

M \in d

\Leftrightarrow

A M

A B

cùng phương

\Leftrightarrow

\exists t

A M = t A B

— đúng
b)

\frac{A M}{A B} \geq 0

\Rightarrow

\frac{A M}{A B} A B

cùng hướng

A B

; lấy

M

trên tia đối tia

A B

M \neq = A

\Rightarrow

A M

ngược hướng

A B

— sai
c)

M

thuộc tia đối tia

A B

\Leftrightarrow

M = A

hoặc

A M

ngược hướng

A B

\Leftrightarrow

A M = t A B

t \leq 0

— đúng

Vậy khẳng định a và c đúng, khẳng định b sai.

2Cách 2. Toạ độ trên trục

d

Định hướng. Biến $d$ thành trục số gốc $A$ , đơn vị $A B$ : $A \leftrightarrow 0$ , $B \leftrightarrow 1$ , $M \leftrightarrow m$ .

A B

có toạ độ

1

A M

có toạ độ

m

\Rightarrow

A M = m A B

t = m

— a) đúng
b)

M \leftrightarrow - 2

A M = - 2 A B

, còn

\frac{A M}{A B} A B = \frac{2}{1} A B = 2 A B \neq = - 2 A B

— sai
c) tia đối tia

A B

gồm các điểm

m \leq 0

\Leftrightarrow

t = m \leq 0

— đúng

Vậy a đúng, b sai, c đúng.

3Cách 3. Sửa lại ý b cho đúng rồi so sánh

Định hướng. Viết công thức ĐÚNG cho $A M$ theo vị trí của $M$ , rồi đối chiếu với ba khẳng định.

M

thuộc tia

A B

A M = \frac{A M}{A B} A B

M

thuộc tia đối tia

A B

A M = - \frac{A M}{A B} A B

M \in / d

A M

không cùng phương

A B

, không có

t

nào

\Rightarrow

a) đúng; c) đúng với

t = - \frac{A M}{A B} \leq 0

; b) chỉ đúng khi

M

thuộc tia

A B

— sai

Vậy các khẳng định đúng là a) và c).

Nhận xét. Hệ số $t$ trong $A M = t A B$ là "toạ độ" của $M$ trên đường thẳng $A B$ ; công thức ở ý b bỏ mất dấu của toạ độ đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt

A = 0

B = 1

là thấy ngay

t

chính là toạ độ của

M

, ý b bị bác bằng một phản ví dụ.

Đáp số. Khẳng định a) và c) đúng; b) sai.

Sai lầm thường gặp. Chọn b) vì "độ dài hai vế bằng nhau":

∣ \frac{A M}{A B} A B ∣ = A M = ∣ A M ∣

đúng, nhưng hai vectơ cùng độ dài chưa chắc bằng nhau — còn phải cùng hướng. Ở ý b còn thiếu trường hợp

M \in / d

: khi đó

A M

không cùng phương

A B

🚀 Mở rộng. Mở rộng:

M

thuộc đoạn thẳng

A B

\Leftrightarrow

tồn tại

t \in [0; 1]

để

A M = t A B

; hãy chứng minh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 57— Tính chất kết hợp

k (t u) = (k t) u

— xét đúng/sai

HĐ3 (trang 57). Với

u \neq = 0

và hai số thực

k, t

, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vectơ

k (t u)

và

(k t) u

có cùng độ dài bằng

∣ k t ∣∣ u ∣

.
b) Nếu

k t \geq 0

thì cả hai vectơ

k (t u)

(k t) u

cùng hướng với

u

.
c) Nếu

k t < 0

thì cả hai vectơ

k (t u)

(k t) u

ngược hướng với

u

.
d) Hai vectơ

k (t u)

và

(k t) u

bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

$∣ k a ∣ = ∣ k ∣∣ a ∣$ ; $k a$ cùng hướng $a$ nếu $k \geq 0$ , ngược hướng nếu $k < 0$ (và $a \neq = 0$ ).
Vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
$∣ k ∣∣ t ∣ = ∣ k t ∣$ ; tích hai số cùng dấu là số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ bằng nhau khi cùng độ dài và cùng hướng, nên a–c là hai "nửa" của d. Độ dài xử lí bằng

∣ k ∣∣ t ∣ = ∣ k t ∣

; hướng xử lí bằng quy tắc dấu: mỗi lần nhân với số âm thì đổi hướng một lần. Bẫy: trường hợp

k t = 0

cho vectơ-không, vẫn được coi là cùng hướng với mọi vectơ.

1Cách 1. Xét dấu của

k

và

t

Định hướng. Tính độ dài chung một lần, rồi xét bốn trường hợp dấu để so hướng.

∣ k (t u) ∣ = ∣ k ∣∣ t u ∣ = ∣ k ∣∣ t ∣∣ u ∣ = ∣ k t ∣∣ u ∣

∣ (k t) u ∣ = ∣ k t ∣∣ u ∣

— a) đúng

k, t

cùng dấu dương:

t u

cùng hướng

u

k (t u)

cùng hướng

t u

;

k t > 0

(k t) u

cùng hướng

u

k, t

cùng âm:

t u

ngược hướng

u

k (t u)

ngược hướng

t u

\Rightarrow

cùng hướng

u

;

k t > 0

k, t

trái dấu: đúng một lần đổi hướng

\Rightarrow

k (t u)

ngược hướng

u

;

k t < 0

(k t) u

ngược hướng

u

k t = 0

: cả hai vectơ bằng

0

, cùng hướng với

u

\Rightarrow

b), c) đúng; cùng độ dài, cùng hướng

\Rightarrow

d) đúng

Vậy cả bốn khẳng định a, b, c, d đều đúng.

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. Nhân số với vectơ là nhân vào từng toạ độ, và phép nhân số thực có tính kết hợp.

u = (x; y)

\Rightarrow

t u = (t x; t y)

k (t u) = (k (t x); k (t y)) = ((k t) x; (k t) y) = (k t) u

— d) đúng

∣ (k t) u ∣ = (k t)^{2} (x^{2} + y^{2}) = ∣ k t ∣∣ u ∣

— a) đúng

(k t) u

có toạ độ tỉ lệ với

u

theo hệ số

k t

\Rightarrow

b), c) đúng

Vậy a, b, c, d đều đúng.

3Cách 3. Chứng minh d trước, suy ra a, b, c

Định hướng. Nếu hai vectơ bằng nhau thì mọi thứ về độ dài, hướng của chúng trùng nhau; chỉ còn khảo sát một vectơ $(k t) u$ .

k (t u)

và

(k t) u

cùng độ dài

∣ k t ∣∣ u ∣

và cùng hướng (quy tắc dấu)

\Rightarrow

k (t u) = (k t) u

(k t) u

: độ dài

∣ k t ∣∣ u ∣

— a) đúng

k t \geq 0

\Rightarrow

(k t) u

cùng hướng

u

— b) đúng

k t < 0

\Rightarrow

(k t) u

ngược hướng

u

— c) đúng

Vậy bốn khẳng định đều đúng; đây chính là tính chất $k (t a) = (k t) a$ .

Nhận xét. Quy tắc "đếm số lần nhân với số âm" giúp xác định hướng rất nhanh: chẵn lần thì cùng hướng, lẻ lần thì ngược hướng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: toạ độ biến tính chất vectơ thành tính kết hợp của phép nhân số thực, không phải xét trường hợp.

Đáp số. Cả bốn khẳng định a), b), c), d) đều đúng.

Sai lầm thường gặp. Cho b) sai khi

k t = 0

vì nghĩ rằng

0

chẳng có hướng nào. Theo quy ước, vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ, nên b) vẫn đúng.

🚀 Mở rộng. Chứng minh tiếp tính chất phân phối

(k + t) u = k u + t u

bằng toạ độ, rồi thử tìm phản ví dụ nếu bỏ giả thiết cùng hướng khi cộng độ dài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★Trang 57— Tính chất phân phối

k (a + b) = k a + k b

trên lưới

HĐ4 (trang 57). Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ

3 (u + v)

và

3 u + 3 v

. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa

3 (u + v)

và

3 u + 3 v

.
(Hình 4.26: lưới gồm $3 \times 3$ ô hình bình hành bằng nhau, gốc $O$ ở góc dưới bên trái; $u$ , $v$ là hai cạnh của một ô xuất phát từ $O$ ; $O A = 3 u$ , $O B = 3 v$ , $C$ là đỉnh đối diện $O$ của lưới, $M$ là đỉnh ô đầu tiên nằm trên $O C$ .)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $O A C B$ là hình bình hành thì $O A + O B = O C$ .
$k a$ cùng hướng $a$ ( $k > 0$ ), $∣ k a ∣ = k ∣ a ∣$ .
Ba điểm $O, M, C$ thẳng hàng, $O C = 3 O M$ và $C$ , $M$ cùng phía với $O$ thì $O C = 3 O M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình cho sẵn lưới đều, nên mọi vectơ đều "đếm ô" được.

u + v

là đường chéo một ô (quy tắc hình bình hành) và

3 (u + v)

là đường chéo của cả lưới; còn

3 u + 3 v

là tổng của hai cạnh lưới. Cả hai đều về

O C

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành hai lần

Định hướng. Tìm $u + v$ trên ô đầu tiên, nhân $3$ ; rồi cộng $3 u$ với $3 v$ trên cả lưới.

u + v = O M

(đường chéo ô đầu tiên)

3 (u + v) = 3 O M = O C

(

M

thuộc

O C

O C = 3 O M

)

3 u + 3 v = O A + O B = O C

(

O A C B

là hình bình hành)

Vậy $3 (u + v) = 3 u + 3 v = O C$ .

2Cách 2. Đếm ô nối đuôi

Định hướng. Đi từ $O$ tới $C$ theo hai đường khác nhau trên lưới.

O C = O A + A C = 3 u + 3 v

O C = O M + M M^{'} + M^{'} C

với

M^{'}

là đỉnh ô kế tiếp trên

O C

O C = (u + v) + (u + v) + (u + v) = 3 (u + v)

Vậy cả hai vectơ đều bằng $O C$ , do đó $3 (u + v) = 3 u + 3 v$ .

3Cách 3. Toạ độ theo lưới

Định hướng. Coi $u = (1; 0)$ , $v = (0; 1)$ trong hệ toạ độ xiên của lưới.

u + v = (1; 1)

\Rightarrow

3 (u + v) = (3; 3)

3 u = (3; 0)

3 v = (0; 3)

\Rightarrow

3 u + 3 v = (3; 3)

C

có toạ độ

(3; 3)

\Rightarrow

O C = (3; 3)

Vậy $3 (u + v) = 3 u + 3 v = O C$ .

Nhận xét. Đây chính là tính chất $k (a + b) = k a + k b$ trong khung kiến thức; về hình học, nó là định lí Ta-lét: đường chéo của ô đầu và của cả lưới cùng nằm trên $O C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra đường chéo ô đầu và đường chéo cả lưới cùng nằm trên

O C

Đáp số.

3 (u + v) = O C = 3 u + 3 v

; hai vectơ bằng nhau.

Sai lầm thường gặp. Chỉ ra

3 (u + v)

là vectơ

3 u

nối với

v

(tức

3 u + v

) — quên nhân

3

vào cả

v

. Trên hình,

3 u + v

không nằm trên đường chéo

O C

🚀 Mở rộng. Trên cùng lưới, hãy chỉ ra

2 (u + v)

và

3 u - 3 v

; tổng quát,

k (a - b) = k a - k b

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 2★★Trang 57— Chứng minh đẳng thức vectơ với trọng tâm tam giác

Luyện tập 2 (trang 57). Cho tam giác

A B C

có trọng tâm

G

. Chứng minh rằng với điểm

O

tuỳ ý, ta có

O A + O B + O C = 3 O G

Kiến thức cần nhớ

Chèn điểm: $O A = O G + G A$ .
$G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ $\Leftrightarrow$ $G A + GB + GC = 0$ .
$M$ là trung điểm $B C$ $\Rightarrow$ $O B + O C = 2 O M$ ; $A G = 2 GM$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái có ba vectơ cùng gốc

O

chạy tới ba đỉnh, vế phải có

O G

— dấu hiệu chèn điểm

G

vào từng vectơ để làm xuất hiện

G A + GB + GC = 0

. Cũng có thể đi qua trung điểm

M

của

B C

đúng như Ví dụ 2.

1Cách 1. Chèn điểm

G

Định hướng. Tách mỗi vectơ qua $G$ để gom được tổng $G A + GB + GC$ .

O A + O B + O C = (O G + G A) + (O G + GB) + (O G + GC)

= 3 O G + (G A + GB + GC)

= 3 O G + 0

= 3 O G

Vậy $O A + O B + O C = 3 O G$ (đpcm).

2Cách 2. Qua trung điểm

M

của

B C

Định hướng. Dùng Ví dụ 2 cho cặp $B, C$ rồi dùng tỉ lệ trọng tâm trên trung tuyến $A M$ .

O B + O C = 2 O M

O A + O B + O C = O A + 2 O M = (O G + G A) + 2 (O G + GM)

= 3 O G + (G A + 2 GM)

G A = - 2 GM

\Rightarrow

G A + 2 GM = 0

O A + O B + O C = 3 O G

Vậy đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Gắn hệ trục, đặt $O (0; 0)$ ; toạ độ trọng tâm là trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.

A (x_{1}; y_{1})

B (x_{2}; y_{2})

C (x_{3}; y_{3})

G (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}; \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})

O A + O B + O C = (x_{1} + x_{2} + x_{3}; y_{1} + y_{2} + y_{3})

3 O G = (3 \cdot \frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}; 3 \cdot \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}; y_{1} + y_{2} + y_{3})

Vậy hai vế có cùng toạ độ nên $O A + O B + O C = 3 O G$ .

Nhận xét. Chọn $O \equiv G$ thì được lại $G A + GB + GC = 0$ ; chọn $O \equiv A$ được $A B + A C = 3 A G$ — công thức rất hay dùng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng chèn điểm, một dòng dùng tính chất trọng tâm.

Đáp số.

O A + O B + O C = 3 O G

với mọi điểm

O

Sai lầm thường gặp. Chèn điểm sai chiều: viết

O A = G A + O G

vẫn đúng, nhưng viết

O A = O G + A G

là sai (phải là

G A

). Sai một chiều là mất tổng

G A + GB + GC

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với tứ giác

A B C D

và

I

là trung điểm đoạn nối trung điểm hai cạnh đối,

O A + O B + O C + O D = 4 O I

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 3★★Trang 57— Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương trên lưới

Luyện tập 3 (trang 57). Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ

u

v

theo hai vectơ

a

b

, tức là tìm các số

x, y, z, t

để

u = x a + y b

v = t a + z b

.
(Hình 4.27: lưới ô hình bình hành; $a$ là một cạnh ô nằm ngang, $b$ là một cạnh ô nằm xiên, chung gốc — xem hình vẽ lại bên dưới.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a$ , $b$ không cùng phương thì mọi vectơ $u$ phân tích được duy nhất: $u = x a + y b$ .
Quy tắc ba điểm: $P Q = P R + R Q$ .
Hai vectơ bằng nhau khi tịnh tiến được về nhau (cùng hướng, cùng độ dài).

🧠 Phân tích tư duy

Lưới được dựng từ đúng hai vectơ

a

(một ô ngang) và

b

(một ô xiên) nên mỗi đỉnh lưới là "

i

lần

a

cộng

j

lần

b

". Muốn phân tích một vectơ chỉ cần đếm, từ điểm đầu tới điểm cuối, phải đi bao nhiêu ô ngang và bao nhiêu ô xiên, kể cả dấu. Bẫy:

v

đi sang TRÁI nên hệ số của

a

âm.

1Cách 1. Đếm ô nối đuôi

Định hướng. Đi từ điểm đầu tới điểm cuối: trước theo phương $a$ , sau theo phương $b$ .

u

1

ô theo

a

(sang phải),

2

ô theo

b

(lên xiên)

u = 1 \cdot a + 2 \cdot b = a + 2 b

v

2

ô ngược

a

(sang trái),

3

ô theo

b

v = (- 2) a + 3 b = - 2 a + 3 b

Vậy $x = 1$ , $y = 2$ , $t = - 2$ , $z = 3$ .

2Cách 2. Dựng hình bình hành theo hai phương

Định hướng. Từ điểm cuối kẻ song song với $b$ cắt giá của $a$ , được hai thành phần.

u = O U

: kẻ

U U_{1} ∥ b

U_{1}

trên giá

a

\Rightarrow

O U_{1} = a

U_{1} U = 2 b

u = O U_{1} + U_{1} U = a + 2 b

v

tịnh tiến về gốc

O

v = O V

(vectơ nét đứt trong SGK)

V V_{1} ∥ b

V_{1}

trên giá

a

\Rightarrow

O V_{1} = - 2 a

V_{1} V = 3 b

v = O V_{1} + V_{1} V = - 2 a + 3 b

Vậy $u = a + 2 b$ , $v = - 2 a + 3 b$ .

3Cách 3. Toạ độ xiên của điểm đầu, điểm cuối

Định hướng. Đặt gốc chung của $a$ , $b$ là $O (0; 0)$ ; đỉnh lưới $i a + j b$ có toạ độ $(i; j)$ .

u

: từ

(0; 0)

tới

(1; 2)

\Rightarrow

u = (1 - 0) a + (2 - 0) b = a + 2 b

v

: từ

(- 2; 1)

tới

(- 4; 4)

\Rightarrow

v = (- 4 - (- 2)) a + (4 - 1) b = - 2 a + 3 b

Vậy $(x; y) = (1; 2)$ và $(t; z) = (- 2; 3)$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần tịnh tiến $v$ về gốc: hiệu toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu cho ngay hệ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: ghi toạ độ lưới của hai đầu mút rồi trừ — không lo nhầm dấu khi vectơ đi ngược chiều

a

Đáp số.

u = a + 2 b

(

x = 1

y = 2

);

v = - 2 a + 3 b

(

t = - 2

z = 3

Sai lầm thường gặp. Đếm ô theo hình vuông "ngang – đứng" thay vì theo đúng phương xiên của

b

, hoặc quên dấu trừ khi

v

đi sang trái, ra

v = 2 a + 3 b

— sai.

🚀 Mở rộng. Trên cùng lưới, hãy phân tích

u + v

và

2 u - v

theo

a

b

bằng hai cách: đếm ô trực tiếp và cộng các hệ số đã tìm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.11★★Trang 58— Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Bài 4.11 (trang 58). Cho hình bình hành

A B C D

. Gọi

M

là trung điểm của cạnh

B C

. Hãy biểu thị

A M

theo hai vectơ

A B

và

A D

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $A M = A B + B M$ .
Hình bình hành $A B C D$ : $B C = A D$ , $A C = A B + A D$ .
$M$ là trung điểm $B C$ : $B M = \frac{1}{2} B C$ ; $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ gốc

A B

A D

là hai cạnh hình bình hành, còn

M

nằm trên cạnh

B C

song song

A D

. Đi từ

A

tới

B

rồi từ

B

tới

M

là cách gọn nhất, vì

B M

là nửa

B C = A D

1Cách 1. Quy tắc ba điểm

Định hướng. Nối đuôi $A \to B \to M$ , rồi thay $B C$ bằng $A D$ .

A M = A B + B M

= A B + \frac{1}{2} B C

= A B + \frac{1}{2} A D

Vậy $A M = A B + \frac{1}{2} A D$ .

2Cách 2. Công thức trung điểm

Định hướng. $M$ là trung điểm $B C$ nên $A M$ là trung bình cộng của $A B$ và $A C$ .

A M = \frac{1}{2} (A B + A C)

= \frac{1}{2} (A B + A B + A D)

= \frac{1}{2} (2 A B + A D)

= A B + \frac{1}{2} A D

Vậy $A M = A B + \frac{1}{2} A D$ .

3Cách 3. Toạ độ xiên

Định hướng. Lấy $A$ làm gốc, $A B$ , $A D$ làm hai vectơ đơn vị (hệ toạ độ xiên).

A (0; 0)

B (1; 0)

D (0; 1)

C (1; 1)

M (\frac{1 + 1}{2}; \frac{0 + 1}{2}) = (1; \frac{1}{2})

A M = 1 \cdot A B + \frac{1}{2} A D

Vậy $A M = A B + \frac{1}{2} A D$ .

Nhận xét. Tương tự, với $N$ là trung điểm $C D$ ta có $A N = \frac{1}{2} A B + A D$ và $A M + A N = \frac{3}{2} A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng, chỉ dùng quy tắc ba điểm và tính chất hình bình hành.

Đáp số.

A M = A B + \frac{1}{2} A D

Sai lầm thường gặp. Viết

B M = \frac{1}{2} A D

rồi quên cộng

A B

, hoặc viết

A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A D

(đó là vectơ tới tâm hình bình hành, không phải tới

M

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

M

trên

B C

với

B M = k B C

thì

A M = A B + k A D

; thử

k = \frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.12★★★Trang 58— Chứng minh đẳng thức vectơ với trung điểm

Bài 4.12 (trang 58). Cho tứ giác

A B C D

. Gọi

M

N

tương ứng là trung điểm của các cạnh

A B

C D

. Chứng minh rằng

B C + A D = 2 M N = A C + B D

Kiến thức cần nhớ

Chèn điểm: $M N = M B + B C + C N$ .
$M$ là trung điểm $A B$ $\Leftrightarrow$ $M A + M B = 0$ .
Với $O$ bất kì và $M$ trung điểm $A B$ : $O A + O B = 2 O M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề có hai trung điểm

M

N

— dấu hiệu dùng

M A + M B = 0

N C + N D = 0

. Viết

M N

theo hai "đường" khác nhau từ

M

tới

N

rồi cộng lại, các vectơ ở trung điểm tự triệt tiêu. Hai đẳng thức đòi hai cặp đường khác nhau: qua

B, C

và

A, D

cho vế đầu; qua

A, C

và

B, D

cho vế sau.

1Cách 1. Viết

M N

theo hai đường rồi cộng

Định hướng. Mỗi lần đi từ $M$ tới $N$ qua hai đỉnh; cộng hai cách viết để triệt tiêu vectơ trung điểm.

M N = M B + B C + C N

M N = M A + A D + D N

2 M N = B C + A D + (M A + M B) + (C N + D N) = B C + A D + 0 + 0 = B C + A D

M N = M A + A C + C N

M N = M B + B D + D N

2 M N = A C + B D + (M A + M B) + (C N + D N) = A C + B D

Vậy $B C + A D = 2 M N = A C + B D$ (đpcm).

2Cách 2. Chọn một gốc

O

bất kì

Định hướng. Viết mọi vectơ thành hiệu hai vectơ gốc $O$ và dùng công thức trung điểm.

2 M N = 2 O N - 2 O M = (O C + O D) - (O A + O B)

= (O C - O B) + (O D - O A) = B C + A D

= (O C - O A) + (O D - O B) = A C + B D

Vậy ba vectơ $B C + A D$ , $2 M N$ , $A C + B D$ bằng nhau.

3Cách 3. Chứng minh đẳng thức hai đầu trước

Định hướng. Đẳng thức ngoài cùng không cần trung điểm; đẳng thức giữa lấy từ cách chèn điểm.

A C + B D = (A D + D C) + (B C + C D) = A D + B C + (D C + C D) = A D + B C

M N = M B + B C + C N

M N = M A + A D + D N

2 M N = B C + A D

Vậy $B C + A D = 2 M N = A C + B D$ .

Nhận xét. Cách 2 hay vì $O$ tuỳ ý: chọn $O \equiv M$ là ra ngay Cách 1. Hệ quả: nếu $A B C D$ là hình thang ( $A D ∥ B C$ ) thì $M N$ song song hai đáy và $M N = \frac{A D + B C}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một gốc

O

cho cả hai đẳng thức chỉ trong ba dòng, không phải nghĩ "đi đường nào".

Đáp số.

B C + A D = 2 M N = A C + B D

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Chuyển sang độ dài:

B C + A D = 2 M N

— SAI với tứ giác bất kì (chỉ đúng khi

A D ∥ B C

và cùng hướng). Đẳng thức vectơ không cho phép cộng độ dài.

🚀 Mở rộng. Với

I

là trung điểm

M N

, hãy chứng minh

I A + I B + I C + I D = 0

(điểm

I

là trọng tâm của tứ giác).

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.13★★Trang 58— Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ; chèn gốc tuỳ ý

Bài 4.13 (trang 58). Cho hai điểm phân biệt

A

và

B

.
a) Hãy xác định điểm

K

sao cho

K A + 2 K B = 0

.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm

O

, ta có

O K = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} O B

Kiến thức cần nhớ

$k a$ ngược hướng $a$ khi $k < 0$ , $∣ k a ∣ = ∣ k ∣∣ a ∣$ .
Chèn điểm: $K B = K A + A B$ ; $K A = O A - O K$ .
$M$ nằm trên đoạn $A B$ với $A M = t A B$ $\Leftrightarrow$ $A M = t A B$ , $0 \leq t \leq 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đẳng thức có dạng

K A = - 2 K B

nên

K A

K B

ngược hướng:

K

nằm giữa

A

B

và gần

B

hơn. Muốn "định vị"

K

cho chắc, chèn điểm

A

đã biết để có

A K

theo

A B

. Ý b là ý a sau khi chèn gốc

O

vào cả hai vectơ.

1Cách 1. So hướng và độ dài

Định hướng. Từ $K A = - 2 K B$ đọc được vị trí $K$ ; ý b chèn điểm $O$ .

K A + 2 K B = 0

\Leftrightarrow

K A = - 2 K B

\Rightarrow

K

nằm giữa

A

và

B

K A = 2 K B

\Rightarrow

A K = \frac{2}{3} A B

(O A - O K) + 2 (O B - O K) = 0

3 O K = O A + 2 O B

O K = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} O B

Vậy a) $K$ thuộc đoạn $A B$ với $A K = \frac{2}{3} A B$ ; b) đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Chèn điểm

A

đã biết

Định hướng. Biểu thị $A K$ theo $A B$ để dựng $K$ ; ý b chèn $A$ rồi chèn $O$ .

K A + 2 (K A + A B) = 0

3 K A + 2 A B = 0

A K = \frac{2}{3} A B

O K = O A + A K = O A + \frac{2}{3} A B = O A + \frac{2}{3} (O B - O A)

O K = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} O B

Vậy $K$ là điểm trên đoạn $A B$ với $A K = \frac{2}{3} A B$ và $O K = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} O B$ .

3Cách 3. Toạ độ trên trục

A B

Định hướng. Đặt trục gốc $A$ , đơn vị $A B$ : $A \leftrightarrow 0$ , $B \leftrightarrow 1$ , $K \leftrightarrow k$ .

(0 - k) + 2 (1 - k) = 0

- 3 k + 2 = 0

k = \frac{2}{3}

O (x_{0}; y_{0})

trong mặt phẳng,

K = \frac{1}{3} A + \frac{2}{3} B

theo toạ độ

\Rightarrow

O K = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} O B

Vậy $K$ ứng với số $\frac{2}{3}$ trên trục, tức $A K = \frac{2}{3} A B$ ; ý b đúng.

Nhận xét. Tổng quát: $m K A + n K B = 0$ ( $m + n \neq = 0$ ) thì $O K = \frac{m}{m + n} O A + \frac{n}{m + n} O B$ — "hệ số càng lớn, $K$ càng gần điểm đó".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chèn điểm

A

cho ngay

A K = \frac{2}{3} A B

để dựng hình, và cũng là mạch để làm ý b.

Đáp số. a)

K

thuộc đoạn

A B

A K = \frac{2}{3} A B

(tức

K A = 2 K B

). b)

O K = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} O B

Sai lầm thường gặp. Đặt

K

gần

A

vì "hệ số

2

đi với

K B

nên

K B

lớn" — ngược lại:

K A = 2 K B

nên

K B

nhỏ,

K

gần

B

. Phản ví dụ kiểm tra:

A B = 3

thì

K A = 2

K B = 1

🚀 Mở rộng. Xác định

K

sao cho

2 K A - 3 K B = 0

(hệ số trái dấu): khi đó

K

nằm NGOÀI đoạn

A B

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.14★★★Trang 58— Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ trong tam giác

Bài 4.14 (trang 58). Cho tam giác

A B C

.
a) Hãy xác định điểm

M

để

M A + M B + 2 M C = 0

.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm

O

, ta có

O A + O B + 2 O C = 4 O M

Kiến thức cần nhớ

$I$ là trung điểm $A B$ : $M A + M B = 2 M I$ với mọi $M$ .
$M I + M C = 0$ $\Leftrightarrow$ $M$ là trung điểm $I C$ .
Chèn điểm: $O A = O M + M A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ

M A

M B

có hệ số bằng nhau — dấu hiệu gộp bằng trung điểm

I

của

A B

, đưa về hai điểm

I

C

với hệ số bằng nhau. Cũng có thể gộp theo cặp khác (

A

với

C

B

với

C

) để thấy

M

trên đường trung bình. Ý b là ý a sau khi chèn gốc

O

1Cách 1. Gộp bằng trung điểm

I

của

A B

Định hướng. Gộp $M A + M B$ thành $2 M I$ rồi đọc ra vị trí $M$ ; ý b chèn $M$ vào các vectơ gốc $O$ .

M A + M B + 2 M C = 2 M I + 2 M C = 0

M I + M C = 0

\Rightarrow

M

là trung điểm

I C

O A + O B + 2 O C = (O M + M A) + (O M + M B) + 2 (O M + M C)

= 4 O M + (M A + M B + 2 M C) = 4 O M

Vậy a) $M$ là trung điểm của $I C$ ( $I$ là trung điểm $A B$ ); b) $O A + O B + 2 O C = 4 O M$ .

2Cách 2. Chèn điểm

A

Định hướng. Biểu thị $A M$ theo $A B$ , $A C$ rồi nhận ra trung điểm.

M A + (M A + A B) + 2 (M A + A C) = 0

4 M A + A B + 2 A C = 0

A M = \frac{1}{4} A B + \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} A B + A C) = \frac{1}{2} (A I + A C)

\Rightarrow

M

là trung điểm

I C

O M = O A + A M = O A + \frac{1}{4} (O B - O A) + \frac{1}{2} (O C - O A) = \frac{1}{4} (O A + O B + 2 O C)

Vậy $M$ là trung điểm $I C$ và $O A + O B + 2 O C = 4 O M$ .

3Cách 3. Gộp theo hai cặp có chung

C

Định hướng. Tách $2 M C = M C + M C$ để ghép với $A$ và với $B$ .

P

Q

là trung điểm

A C

B C

(M A + M C) + (M B + M C) = 2 M P + 2 M Q

2 M P + 2 M Q = 0

\Rightarrow

M

là trung điểm

P Q

P Q

là đường trung bình,

P Q ∥ A B

\Rightarrow

P Q

cắt

I C

tại trung điểm của

I C

O A + O B + 2 O C = 2 O P + 2 O Q = 2 \cdot 2 O M = 4 O M

Vậy $M$ là trung điểm của $P Q$ (cũng là trung điểm $I C$ ); ý b đúng.

Nhận xét. Hai cách gộp khác nhau cho hai cách dựng $M$ — đó là cách kiểm tra hình vẽ rất tốt. Trong Vật lí, $M$ là khối tâm của hệ ba vật đặt tại $A, B, C$ có khối lượng $1 : 1 : 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp trung điểm hai lần, ba dòng là xong cả a và b.

Đáp số. a)

M

là trung điểm của

I C

, với

I

là trung điểm của

A B

. b)

O A + O B + 2 O C = 4 O M

Sai lầm thường gặp. Viết

M A + M B = M I

(quên hệ số

2

) rồi được

M I + 2 M C = 0

, suy ra

M

chia

I C

theo tỉ số

1 : 2

— sai. Trung điểm luôn cho

M A + M B = 2 M I

🚀 Mở rộng. Xác định

M

để

M A + 2 M B + 3 M C = 0

bằng hai cách gộp khác nhau (xem SBT bài 4.20).

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.15★★★Trang 59— Cân bằng lực — tính độ lớn lực bằng vectơ

Bài 4.15 (trang 59). Chất điểm

A

chịu tác động của ba lực

F_{1}

F_{2}

F_{3}

như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là

F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0

). Tính độ lớn của các lực

F_{2}

F_{3}

, biết

F_{1}

có độ lớn là

20

N.
(Hình 4.30: $F_{1}$ hướng thẳng xuống, $F_{2}$ nằm ngang hướng sang phải, $F_{1} ⊥ F_{2}$ ; góc giữa $F_{2}$ và $F_{3}$ bằng $12 0^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

$F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ $\Leftrightarrow$ $F_{3} = - (F_{1} + F_{2})$ .
Tam giác vuông có một góc nhọn $6 0^{\circ}$ : cạnh đối $=$ cạnh kề $\cdot tan 6 0^{\circ}$ ; cạnh huyền $=$ cạnh đối $: sin 6 0^{\circ}$ .
Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài.

🧠 Phân tích tư duy

Cân bằng nghĩa là

F_{3} = - (F_{1} + F_{2})

: lực thứ ba là vectơ đối của hợp lực hai lực vuông góc. Hợp lực là đường chéo hình chữ nhật dựng trên

F_{1}

F_{2}

, và góc

12 0^{\circ}

cho biết đường chéo đó lệch

6 0^{\circ}

so với

F_{2}

— một tam giác vuông nửa đều. Bẫy: góc

12 0^{\circ}

là góc giữa

F_{2}

và

F_{3}

, không phải góc giữa

F_{2}

và hợp lực.

1Cách 1. Hợp lực là đường chéo hình chữ nhật

Định hướng. Dựng $A E = F_{1} + F_{2}$ (hình chữ nhật), khi đó $F_{3} = - A E$ và $(F_{2}, A E) = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

A E = F_{1} + F_{2}

F_{3} = - A E

\Rightarrow

∣ F_{3} ∣ = A E

Tam giác vuông tại đầu mút

F_{2}

: góc tại

A

bằng

6 0^{\circ}

, cạnh đối bằng

∣ F_{1} ∣ = 20

∣ F_{2} ∣ = \frac{20}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{20}{3} = \frac{20 3}{3}

∣ F_{3} ∣ = A E = \frac{20}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{20}{\frac{3}{2}} = \frac{40}{3} = \frac{40 3}{3}

Vậy $∣ F_{2} ∣ = \frac{20 3}{3} \approx 11, 55$ N, $∣ F_{3} ∣ = \frac{40 3}{3} \approx 23, 09$ N.

2Cách 2. Chiếu lên phương ngang và phương đứng

Định hướng. $F_{3}$ lệch $12 0^{\circ}$ so với $F_{2}$ nên thành phần ngang ngược $F_{2}$ , thành phần đứng ngược $F_{1}$ ; cân bằng từng phương.

Phương ngang:

∣ F_{2} ∣ = ∣ F_{3} ∣ cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} ∣ F_{3} ∣

Phương đứng:

∣ F_{1} ∣ = ∣ F_{3} ∣ sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} ∣ F_{3} ∣

20 = \frac{3}{2} ∣ F_{3} ∣

\Rightarrow

∣ F_{3} ∣ = \frac{40}{3} = \frac{40 3}{3}

∣ F_{2} ∣ = \frac{1}{2} \cdot \frac{40 3}{3} = \frac{20 3}{3}

Vậy $∣ F_{2} ∣ = \frac{20 3}{3}$ N, $∣ F_{3} ∣ = \frac{40 3}{3}$ N.

3Cách 3. Tam giác lực nối đuôi

Định hướng. Ba lực cân bằng nối đuôi nhau thành một tam giác khép kín; ở đây là tam giác nửa đều.

Nối đuôi

F_{1}

F_{2}

F_{3}

: tam giác vuông (vì

F_{1} ⊥ F_{2}

), góc giữa

F_{2}

và cạnh

F_{3}

bằng

6 0^{\circ}

Tam giác nửa đều: cạnh đối góc

3 0^{\circ}

bằng nửa cạnh huyền, tỉ số ba cạnh

1 : 3 : 2

∣ F_{2} ∣ : ∣ F_{1} ∣ : ∣ F_{3} ∣ = 1 : 3 : 2

∣ F_{2} ∣ = \frac{20}{3} = \frac{20 3}{3}

∣ F_{3} ∣ = 2∣ F_{2} ∣ = \frac{40 3}{3}

Vậy $∣ F_{2} ∣ = \frac{20 3}{3}$ N, $∣ F_{3} ∣ = \frac{40 3}{3}$ N.

Nhận xét. Kiểm tra: $∣ F_{2} ∣^{2} + ∣ F_{1} ∣^{2} = \frac{400}{3} + 400 = \frac{1600}{3} = ∣ F_{3} ∣^{2}$ — đúng định lí Pythagore.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra tam giác nửa đều

1 : 3 : 2

là có ngay đáp số, không cần lượng giác.

Đáp số.

∣ F_{2} ∣ = \frac{20 3}{3} \approx 11, 55

∣ F_{3} ∣ = \frac{40 3}{3} \approx 23, 09

Sai lầm thường gặp. Nhầm cạnh: viết

∣ F_{2} ∣ = 20 tan 6 0^{\circ} = 203

— sai, vì trong tam giác vuông, cạnh

20

N (ứng với

F_{1}

) ĐỐI DIỆN góc

6 0^{\circ}

, còn

∣ F_{2} ∣

là cạnh KỀ, nên

∣ F_{2} ∣ = 20 : tan 6 0^{\circ}

. Cũng hay nhầm

12 0^{\circ}

là góc giữa

F_{2}

và hợp lực

F_{1} + F_{2}

🚀 Mở rộng. Nếu góc giữa

F_{2}

và

F_{3}

là

13 5^{\circ}

thì

∣ F_{2} ∣ = 20

∣ F_{3} ∣ = 202

N — hãy kiểm lại bằng tam giác vuông cân.

Mở bài này trong app ↗