Chương I. Mệnh đề và tập hợp

Bài tập cuối chương I

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 26 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.16★Trang 12— Nhận biết mệnh đề trong các câu cho trước

Bài 1.16 (trang 12). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
A.

6 + x = 4 x^{2}

.
B.

a < 2

.
C.

123

là số nguyên tố phải không?
D. Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam.

Kiến thức cần nhớ

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.
Câu chứa biến chưa phải là mệnh đề vì tính đúng sai còn phụ thuộc giá trị của biến.
Câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án thuộc bốn kiểu câu khác nhau nên đây là bài kiểm tra định nghĩa mệnh đề chứ không phải bài tính toán. Hướng nhanh nhất là soi xem câu có khẳng định được đúng hay sai một cách dứt khoát hay không, khỏi cần biết nội dung đó có đúng thật hay không. Bẫy của đề nằm ở phương án D: nhiều bạn thấy nội dung sai liền loại, quên rằng mệnh đề sai vẫn là mệnh đề.

1Cách 1. Đối chiếu từng câu với định nghĩa mệnh đề

Định hướng. Với mỗi câu, tự hỏi một câu duy nhất: câu này đúng hay sai, trả lời dứt khoát được không.

6 + x = 4 x^{2}

còn chứa biến

x

nên chưa trả lời được đúng hay sai

a < 2

còn chứa biến

a

nên cũng chưa trả lời được đúng hay sai

C. Câu

123

là số nguyên tố phải không là câu nghi vấn, không khẳng định điều gì

D. Câu Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam khẳng định một điều sai, nhưng vẫn là một khẳng định dứt khoát

Vậy chỉ có câu D là mệnh đề, chọn D.

2Cách 2. Thử gán giá trị để lộ mặt mệnh đề chứa biến

Định hướng. Nếu thay số vào mà tính đúng sai thay đổi được thì câu đó chỉ là mệnh đề chứa biến.

A. với

x = 0

thì

6 + 0 = 0

là sai, với

x = 2

thì

6 + 2 = 16

cũng sai, còn với

x

là nghiệm của

4 x^{2} - x - 6 = 0

thì lại đúng

B. với

a = 1

thì

1 < 2

đúng, với

a = 5

thì

5 < 2

sai

C. câu nghi vấn không nhận giá trị đúng sai nên không thử được

D. không có biến nào để thay, tính sai của câu là cố định

Vậy hai câu A, B là mệnh đề chứa biến, câu C không phải mệnh đề, chọn D.

3Cách 3. Phân loại câu theo kiểu ngữ pháp

Định hướng. Xếp bốn câu vào ba ngăn: câu có biến, câu hỏi, câu khẳng định về đối tượng đã xác định.

Ngăn câu có biến chứa A và B

Ngăn câu hỏi chứa C vì tận cùng bằng cụm phải không

Ngăn câu khẳng định về đối tượng đã xác định chỉ còn D

Chỉ ngăn thứ ba cho ra mệnh đề

Vậy câu D là mệnh đề duy nhất, chọn D.

Nhận xét. Cách phân ngăn này dùng lại được cho mọi bài nhận biết mệnh đề, kể cả khi đề cho tới bảy tám câu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần liếc kiểu câu là loại xong ba phương án, không phải tính toán gì; Cách 2 tuy chắc chắn nhưng mất thời gian thử số.

Đáp số. Chọn D. Câu Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam là mệnh đề (mệnh đề sai).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là loại luôn D vì thấy nội dung sai, trong khi mệnh đề sai vẫn là mệnh đề; ngược lại nhiều bạn chọn A vì thấy có dấu bằng nên tưởng là khẳng định, quên rằng

6 + x = 4 x^{2}

còn chứa biến.

🚀 Mở rộng. Thử đổi câu C thành

123

là số nguyên tố thì câu đó lập tức thành mệnh đề (sai, vì

123 = 3 \cdot 41

), khi đó đề sẽ có hai mệnh đề và câu hỏi phải đổi cách hỏi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.17★★Trang 12— Quan hệ giữa tập rỗng và một tập một phần tử

Bài 1.17 (trang 12). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.

\emptyset = {0}

.
B.

\emptyset \subset {0}

.
C.

{0} \subset \emptyset

.
D.

0 \subset \emptyset

Kiến thức cần nhớ

Tập rỗng $\emptyset$ không chứa phần tử nào; tập ${0}$ chứa đúng một phần tử là số $0$ .
Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Ký hiệu $\in$ nối một phần tử với một tập hợp, ký hiệu $\subset$ nối hai tập hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương án đều xoay quanh tập rỗng và tập

{0}

, dấu hiệu của dạng bài phân biệt phần tử với tập hợp. Hướng an toàn nhất là đếm số phần tử của hai tập rồi đọc kĩ ký hiệu đứng giữa chúng là

\in

hay

\subset

. Bẫy lớn nhất là số

0

: nó là một phần tử chứ không phải một tập hợp, nên viết

0 \subset \emptyset

là sai ngay từ mặt ký hiệu.

1Cách 1. Đếm số phần tử của hai tập

Định hướng. Hai tập bằng nhau thì phải có cùng số phần tử, nên chỉ cần đếm là loại được ngay.

\emptyset

có

0

phần tử, còn

{0}

có

1

phần tử nên A sai

0 \in {0}

nhưng

0 \in / \emptyset

nên C sai

Vế trái của D là số

0

, không phải tập hợp, nên ký hiệu

\subset

dùng sai

Theo quy ước,

\emptyset \subset X

với mọi tập

X

nên

\emptyset \subset {0}

Vậy mệnh đề đúng là B, chọn B.

2Cách 2. Dùng thẳng định nghĩa tập con

Định hướng. Viết $X \subset Y$ thành mệnh đề kéo theo với mọi $x$ rồi xét tính đúng sai của nó.

\emptyset \subset {0}

nghĩa là nếu

x \in \emptyset

thì

x \in {0}

Giả thiết

x \in \emptyset

không bao giờ xảy ra nên mệnh đề kéo theo luôn đúng

{0} \subset \emptyset

nghĩa là nếu

x \in {0}

thì

x \in \emptyset

Lấy

x = 0

thì giả thiết đúng mà kết luận sai nên mệnh đề kéo theo này sai

Vậy B đúng và C sai, chọn B.

3Cách 3. Liệt kê toàn bộ tập con của hai tập

Định hướng. Viết ra hết các tập con rồi nhìn xem tập nào có mặt trong danh sách của tập nào.

Các tập con của

{0}

là

\emptyset

và

{0}

Tập con duy nhất của

\emptyset

là

\emptyset

\emptyset

có trong danh sách tập con của

{0}

nên B đúng

{0}

không có trong danh sách tập con của

\emptyset

nên C sai

Vậy chọn B.

Nhận xét. Danh sách tập con còn cho thấy một tập có $n$ phần tử thì có $2^{n}$ tập con, ở đây $2^{1} = 2$ và $2^{0} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ mất hai dòng đếm phần tử; Cách 3 hay ở chỗ giải thích được vì sao tập rỗng luôn nằm trong danh sách tập con.

Đáp số. Chọn B.

\emptyset \subset {0}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là coi

\emptyset

và

{0}

như nhau vì đều gắn với số

0

; thực ra

{0}

là cái túi có một viên bi, còn

\emptyset

là cái túi rỗng. Lỗi thứ hai là viết

0 \subset \emptyset

thay cho

0 \in / \emptyset

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu hỏi này, hãy thử với

\emptyset

và

{\emptyset}

: khi đó

\emptyset \in {\emptyset}

và

\emptyset \subset {\emptyset}

đều đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.18★Trang 12— Lập mệnh đề phủ định của một đẳng thức số

Bài 1.18 (trang 12). Phủ định của mệnh đề

5 + 8 = 13

là mệnh đề
A.

5 + 8 < 13

.
B.

5 + 8 \geq 13

.
C.

5 + 8 > 13

.
D.

5 + 8 \neq = 13

Kiến thức cần nhớ

Phủ định của mệnh đề $P$ là mệnh đề $\overline{P}$ sao cho $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.
Với hai số $a$ và $b$ luôn xảy ra đúng một trong hai khả năng $a = b$ hoặc $a \neq = b$ .
Phủ định của $=$ là $\neq =$ ; phủ định của $>$ mới là $\leq$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi phủ định của một đẳng thức, nên điểm mấu chốt là quan hệ nào đối lập hoàn toàn với dấu bằng. Hướng đúng là nhớ rằng phủ định phải phủ kín mọi khả năng còn lại chứ không được bỏ sót khả năng nào. Cạm bẫy là chọn

<

hoặc

>

vì thấy hai dấu ấy trái với dấu bằng, trong khi mỗi dấu chỉ chiếm một nửa phần còn lại.

1Cách 1. Dùng bảng đối lập của các quan hệ

Định hướng. Tra thẳng cặp quan hệ đối lập rồi viết ra mệnh đề phủ định.

Quan hệ trong mệnh đề đã cho là dấu

=

Quan hệ đối lập với

=

là

\neq =

Phủ định của

5 + 8 = 13

là

5 + 8 \neq = 13

Vậy chọn D.

2Cách 2. Kiểm tra bằng nguyên tắc phủ kín và không chồng lấn

Định hướng. Mệnh đề $P$ và phủ định của nó phải phủ kín mọi trường hợp mà không có trường hợp nào cùng thuộc cả hai.

Với

5 + 8 = 13

và

5 + 8 < 13

thì khả năng

5 + 8 > 13

bị bỏ sót nên A bị loại

Với

5 + 8 = 13

và

5 + 8 > 13

thì khả năng

5 + 8 < 13

bị bỏ sót nên C bị loại

Với

5 + 8 = 13

và

5 + 8 \geq 13

thì trường hợp bằng nhau thuộc cả hai nên B bị loại

Chỉ cặp

5 + 8 = 13

và

5 + 8 \neq = 13

vừa phủ kín vừa không chồng lấn

Vậy chọn D.

3Cách 3. Thử lại bằng một mệnh đề cùng dạng nhưng sai

Định hướng. Phủ định của một mệnh đề sai phải là mệnh đề đúng, đem quy tắc đi thử ở một ví dụ dễ kiểm.

Xét mệnh đề sai

5 + 8 = 14

Theo phương án B, phủ định của nó là

5 + 8 \geq 14

, tức

13 \geq 14

và đây là mệnh đề sai nên B không thể là quy tắc phủ định

Theo phương án D, phủ định của nó là

5 + 8 \neq = 14

, tức

13 \neq = 14

và đây là mệnh đề đúng

Quy tắc ở phương án D vượt qua phép thử

Vậy chọn D.

Nhận xét. Mẹo thử quy tắc trên một ví dụ dễ kiểm dùng được cho mọi bài hỏi về phủ định, kể cả phủ định có lượng từ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ một dòng là xong; Cách 2 nên nhớ để giải thích vì sao

<

và

>

đều không phải phủ định của dấu bằng.

Đáp số. Chọn D. Phủ định của

5 + 8 = 13

là

5 + 8 \neq = 13

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nghĩ phủ định của một mệnh đề đúng phải trông giống một bất đẳng thức chặt nên chọn A hoặc C; thực tế

5 + 8 = 13

là mệnh đề đúng nên phủ định

5 + 8 \neq = 13

phải là mệnh đề sai, đúng như yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Hãy phát biểu phủ định của

a^{2} \geq 0

với mọi số thực

a

để thấy phải đổi cả lượng từ lẫn quan hệ, thành tồn tại

a

sao cho

a^{2} < 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.19★★Trang 12— Xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo về các tập hợp số

Bài 1.19 (trang 12). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu

a

là số tự nhiên thì

a

là số hữu tỉ không âm.
B. Nếu

a

là số hữu tỉ không âm thì

a

là số tự nhiên.
C. Nếu

a

là số hữu tỉ dương thì

a

là số tự nhiên.
D. Nếu

a

không là số tự nhiên thì

a

không phải là số hữu tỉ không âm.

Kiến thức cần nhớ

Mệnh đề nếu $x \in X$ thì $x \in Y$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $X \subset Y$ .
Ta có $N \subset Z \subset Q$ và mọi số tự nhiên đều lớn hơn hoặc bằng $0$ .
Mệnh đề phản đảo của nếu $P$ thì $Q$ là nếu không $Q$ thì không $P$ , hai mệnh đề này luôn cùng đúng hoặc cùng sai.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều có dạng nếu thì giữa hai lớp số, đây là dấu hiệu của dạng bài dịch mệnh đề kéo theo thành quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp. Hướng ngắn nhất là vẽ nhanh sơ đồ

N \subset Z \subset Q

rồi xem chiều mũi tên của từng phương án có xuôi theo sơ đồ không. Bẫy nằm ở phương án D vì nó là mệnh đề phản đảo của B nên đúng sai giống hệt B, nhiều bạn không nhận ra mà đi kiểm lại từ đầu.

1Cách 1. Chứng minh phương án đúng rồi bác các phương án còn lại

Định hướng. Với A thì viết số tự nhiên dưới dạng phân số, với B và C thì tìm một phản ví dụ.

Nếu

a \in N

thì

a = \frac{a}{1}

là số hữu tỉ và

a \geq 0

nên A đúng

Lấy

a = \frac{1}{2}

thì

a

là số hữu tỉ không âm mà

a \in / N

nên B sai

Vẫn với

a = \frac{1}{2}

, đây là số hữu tỉ dương mà không tự nhiên nên C sai

Lấy

a = - \frac{1}{2}

thì

a \in / N

nhưng

a

vẫn là số hữu tỉ, chỉ có điều

a

âm; còn lấy

a = \frac{1}{2}

thì

a \in / N

mà

a

lại là số hữu tỉ không âm nên D sai

Vậy mệnh đề đúng là A, chọn A.

2Cách 2. Dịch sang quan hệ bao hàm giữa các tập hợp

Định hướng. Đặt $H$ là tập các số hữu tỉ không âm rồi so $H$ với $N$ theo hai chiều.

Mệnh đề A tương đương với

N \subset H

Mọi số tự nhiên đều hữu tỉ và không âm nên

N \subset H

đúng

Mệnh đề B tương đương với

H \subset N

Phần tử

\frac{1}{2} \in H

mà

\frac{1}{2} \in / N

nên

H \subset N

sai

Vậy chỉ chiều $N \subset H$ đúng, chọn A.

3Cách 3. Dùng quan hệ phản đảo để rút gọn việc xét

Định hướng. Nhận ra hai phương án có quan hệ phản đảo thì chỉ cần xét một trong hai.

Mệnh đề D là phản đảo của mệnh đề B nên D và B cùng đúng hoặc cùng sai

Mệnh đề C chỉ khác B ở chỗ thay không âm bằng dương nên phản ví dụ

a = \frac{1}{2}

vẫn dùng được

Phản ví dụ

a = \frac{1}{2}

bác B, kéo theo bác luôn C và D

Chỉ còn A chưa bị bác, mà

a = \frac{a}{1} \geq 0

với mọi

a \in N

Vậy chọn A.

Nhận xét. Chỉ với một phản ví dụ $a = \frac{1}{2}$ mà bác được ba phương án, đó là sức mạnh của quan hệ phản đảo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì một phản ví dụ duy nhất đánh đổ ba phương án, nhanh hơn hẳn việc xét lần lượt bốn câu như Cách 1.

Đáp số. Chọn A. Nếu

a

là số tự nhiên thì

a

là số hữu tỉ không âm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là xét D như một mệnh đề độc lập rồi kết luận nhầm là đúng vì thấy vế sau cũng phủ định; thực ra D chính là phản đảo của B nên B sai thì D cũng sai.

🚀 Mở rộng. Hãy thử sửa D thành nếu

a

không phải là số hữu tỉ không âm thì

a

không là số tự nhiên để có phản đảo của A, khi đó mệnh đề trở thành đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.20★★Trang 12— Phân biệt ký hiệu thuộc và ký hiệu tập con

Bài 1.20 (trang 12). Cho

x

là một phần tử của tập hợp

X

. Xét các mệnh đề sau:

(I)

x \in X

;

(I I)

{x} \in X

;

(I I I)

x \subset X

;

(I V)

{x} \subset X

.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A.

(I)

và

(I I)

.
B.

(I)

và

(I I I)

.
C.

(I)

và

(I V)

.
D.

(I I)

và

(I V)

Kiến thức cần nhớ

Ký hiệu $\in$ đặt giữa một phần tử và một tập hợp chứa nó.
Ký hiệu $\subset$ đặt giữa hai tập hợp.
Nếu $x \in X$ thì tập một phần tử ${x}$ là tập con của $X$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn mệnh đề chỉ khác nhau ở chỗ có cặp ngoặc nhọn hay không và dùng

\in

hay

\subset

, rõ ràng đây là bài kiểm tra cách đọc ký hiệu. Hướng an toàn là soi kiểu của hai vế: bên trái ký hiệu

\in

phải là phần tử, bên trái ký hiệu

\subset

phải là tập hợp. Chỗ dễ nhầm là coi

x

và

{x}

như nhau, trong khi

x

là viên bi còn

{x}

là cái túi đựng viên bi ấy.

1Cách 1. Soi kiểu của hai vế trong từng ký hiệu

Định hướng. Kiểm xem vế trái là phần tử hay tập hợp, rồi mới xét nội dung của mệnh đề.

(I)

vế trái là phần tử

x

, vế phải là tập

X

, dùng

\in

là đúng kiểu và đúng theo giả thiết

(I I)

vế trái là tập

{x}

mà lại nối bằng

\in

, chỉ đúng khi

X

chứa hẳn một phần tử là tập

{x}

, điều này không suy ra được từ giả thiết

(I I I)

vế trái là phần tử

x

mà lại nối bằng

\subset

nên sai kiểu

(I V)

hai vế đều là tập hợp, mọi phần tử của

{x}

là

x

và

x \in X

nên

{x} \subset X

Vậy hai mệnh đề đúng là $(I)$ và $(I V)$ , chọn C.

2Cách 2. Thử với một tập hợp cụ thể

Định hướng. Chọn một tập nhỏ và một phần tử cụ thể rồi viết lại bốn mệnh đề bằng số.

Lấy

X = {1; 2; 3}

và

x = 1

(I)

trở thành

1 \in {1; 2; 3}

và đây là mệnh đề đúng

(I I)

trở thành

{1} \in {1; 2; 3}

, mà ba phần tử của

X

là các số

1

2

3

chứ không có tập

{1}

nên sai

(I I I)

trở thành

1 \subset {1; 2; 3}

, sai vì số

1

không phải tập hợp

(I V)

trở thành

{1} \subset {1; 2; 3}

và đây là mệnh đề đúng

Vậy chọn C.

3Cách 3. Loại trừ theo cặp phương án

Định hướng. Nhận xét mệnh đề $(I)$ chắc chắn đúng theo giả thiết, từ đó loại ngay mọi phương án không chứa $(I)$ .

Giả thiết cho

x

là phần tử của

X

nên

(I)

đúng, phương án D bị loại vì không chứa

(I)

(I I I)

sai vì

x

không phải tập hợp, phương án B bị loại

(I I)

sai vì

{x}

là tập hợp nên không thể đứng trước

\in

với

X

trong trường hợp tổng quát, phương án A bị loại

Chỉ còn phương án C

Vậy chọn C.

Nhận xét. Với đề dạng ghép cặp $(I)$ đến $(I V)$ , tìm một mệnh đề chắc chắn đúng hoặc chắc chắn sai rồi loại phương án là chiến thuật nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần khẳng định

(I)

đúng và

(I I I)

sai là đủ khoanh đáp án, không phải xét đủ bốn mệnh đề như Cách 1.

Đáp số. Chọn C. Hai mệnh đề đúng là

(I)

x \in X

và

(I V)

{x} \subset X

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là viết

x \subset X

khi muốn nói

x

thuộc

X

; hãy nhớ dấu

\subset

chỉ dùng cho hai tập hợp, ví dụ

{x} \subset X

mới hợp lệ.

🚀 Mở rộng. Nếu cho thêm

X = {1; {1}}

thì lúc đó

(I I)

cũng thành mệnh đề đúng, cho thấy một tập hợp có thể chứa phần tử lại là tập hợp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.21★★Trang 12— Chuyển phương trình tích thành phép toán trên tập nghiệm

Bài 1.21 (trang 12). Cho ba tập hợp sau:

E = {x \in R ∣ f (x) = 0}

;

F = {x \in R ∣ g (x) = 0}

;

H = {x \in R ∣ f (x) \cdot g (x) = 0}

.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.

H = E \cap F

.
B.

H = E \cup F

.
C.

H = E ∖ F

.
D.

H = F ∖ E

Kiến thức cần nhớ

Tích $f (x) \cdot g (x) = 0$ khi và chỉ khi $f (x) = 0$ hoặc $g (x) = 0$ .
Liên từ hoặc trong mô tả tập hợp ứng với phép hợp, liên từ và ứng với phép giao.
Hai tập bằng nhau khi mỗi tập là tập con của tập kia.

🧠 Phân tích tư duy

Ba tập đều được mô tả bằng phương trình, trong đó tập

H

ứng với một tích bằng

0

, đó là dấu hiệu để nhớ ngay tính chất tích bằng không. Hướng làm là dịch chữ hoặc trong tính chất ấy sang phép hợp của hai tập nghiệm. Chỗ dễ sai là quen tay chọn phép giao vì thấy hai phương trình đứng cạnh nhau trong cùng một tích.

1Cách 1. Dịch tính chất tích bằng không sang ngôn ngữ tập hợp

Định hướng. Viết lại điều kiện xác định tập $H$ rồi đọc liên từ nối hai khả năng.

x \in H

khi và chỉ khi

f (x) \cdot g (x) = 0

f (x) \cdot g (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 0

hoặc

g (x) = 0

f (x) = 0

nghĩa là

x \in E

, còn

g (x) = 0

nghĩa là

x \in F

x \in H \Leftrightarrow x \in E

hoặc

x \in F \Leftrightarrow x \in E \cup F

Vậy $H = E \cup F$ , chọn B.

2Cách 2. Chứng minh bao hàm hai chiều

Định hướng. Chứng minh $H \subset E \cup F$ rồi chứng minh chiều ngược lại.

Lấy

x \in H

thì

f (x) \cdot g (x) = 0

nên

f (x) = 0

hoặc

g (x) = 0

, tức

x \in E

hoặc

x \in F

, do đó

H \subset E \cup F

Lấy

x \in E \cup F

thì

f (x) = 0

hoặc

g (x) = 0

Trong cả hai khả năng đều có

f (x) \cdot g (x) = 0

nên

x \in H

, do đó

E \cup F \subset H

Hai chiều bao hàm cho

H = E \cup F

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử với một cặp hàm cụ thể

Định hướng. Chọn hai hàm bậc nhất có nghiệm khác nhau rồi liệt kê ba tập bằng số.

Lấy

f (x) = x - 1

và

g (x) = x - 2

E = {1}

F = {2}

và

f (x) \cdot g (x) = (x - 1) (x - 2) = 0

cho

H = {1; 2}

E \cap F = \emptyset

E ∖ F = {1}

F ∖ E = {2}

nên A, C, D đều khác

H

E \cup F = {1; 2} = H

Vậy chọn B.

Nhận xét. Phép thử bằng hai hàm bậc nhất loại được ba phương án chỉ trong một dòng, rất hợp với bài trắc nghiệm có chữ tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì thay hai hàm cụ thể là thấy ngay ba phương án sai, nhanh hơn việc chứng minh bao hàm hai chiều như Cách 2.

Đáp số. Chọn B.

H = E \cup F

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chọn A vì nghĩ tích chứa cả hai hàm nên nghiệm phải thoả cả hai phương trình; thực ra chỉ cần một thừa số bằng

0

là tích đã bằng

0

, chẳng hạn

x = 1

làm

(x - 1) (x - 2) = 0

mà không làm

x - 2 = 0

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

H

thành tập nghiệm của hệ

f (x) = 0

và

g (x) = 0

thì đáp án chuyển thành

H = E \cap F

, đúng bằng phương án A.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.22★★Trang 12— So sánh hai tập bội số bằng tính chất chia hết

Bài 1.22 (trang 12). Cho hai tập hợp

X = {n \in N ∣ n

là bội của

2

và

3}

Y = {n \in N ∣ n

là bội của

6}

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

Y \subset X

.
B.

X \subset Y

.
C.

\exists n : n \in X

và

n \in / Y

.
D.

X = Y

Kiến thức cần nhớ

Nếu $n$ chia hết cho $a$ và chia hết cho $b$ với $a$ , $b$ nguyên tố cùng nhau thì $n$ chia hết cho $a \cdot b$ .
Hai số $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau nên bội chung nhỏ nhất của chúng là $6$ .
Hai tập bằng nhau thì mỗi tập là tập con của tập kia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cách mô tả cùng một tính chất chia hết, dấu hiệu quen thuộc của dạng bài chứng minh hai tập bằng nhau. Hướng gọn nhất là dùng tính chất về hai số nguyên tố cùng nhau để kết luận

X = Y

, từ đó ba mệnh đề A, B, D đúng và mệnh đề khẳng định có phần tử lệch phải sai. Bẫy của đề là câu hỏi tìm mệnh đề sai chứ không phải mệnh đề đúng.

1Cách 1. Dùng tính chất hai số nguyên tố cùng nhau

Định hướng. Biến điều kiện chia hết cho cả $2$ và $3$ thành điều kiện chia hết cho $6$ .

n \in X

khi và chỉ khi

n

chia hết cho

2

và

n

chia hết cho

3

Vì

2

và

3

nguyên tố cùng nhau nên

n

chia hết cho

2 \cdot 3 = 6

Ngược lại

n

chia hết cho

6

thì

n

chia hết cho cả

2

và

3

X = Y

nên A, B, D đều đúng, còn C khẳng định có

n \in X

mà

n \in / Y

Vậy mệnh đề sai là C, chọn C.

2Cách 2. Liệt kê các phần tử đầu tiên của hai tập

Định hướng. Viết ra vài phần tử đầu của mỗi tập để thấy hai danh sách trùng khít.

Bội của

2

trong

N

là

0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; \dots

Trong dãy đó, các số đồng thời là bội của

3

là

0; 6; 12; 18; 24; \dots

nên

X = {0; 6; 12; 18; 24; \dots}

Bội của

6

trong

N

là

0; 6; 12; 18; 24; \dots

nên

Y

trùng với

X

Không tìm được phần tử nào của

X

nằm ngoài

Y

Vậy mệnh đề C sai, chọn C.

3Cách 3. Đặt

n = 2 k

rồi lập luận trên thừa số

Định hướng. Viết $n$ theo dạng tổng quát của bội $2$ rồi khai thác điều kiện chia hết cho $3$ .

n

là bội của

2

nên

n = 2 k

với

k \in N

n

chia hết cho

3

nên

2 k

chia hết cho

3

Vì

2

không chia hết cho

3

nên

k

chia hết cho

3

, tức

k = 3 m

với

m \in N

n = 2 \cdot 3 m = 6 m

nên

n

là bội của

6

Vậy $X = Y$ và mệnh đề C sai, chọn C.

Nhận xét. Lập luận này còn dùng được khi thay $2$ và $3$ bằng hai số nguyên tố cùng nhau bất kì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì gọi tên đúng tính chất là kết luận được ngay; Cách 3 nên nhớ khi đề yêu cầu chứng minh chặt chẽ chứ không chỉ khoanh đáp án.

Đáp số. Chọn C. Vì

X = Y

nên không tồn tại

n

thuộc

X

mà không thuộc

Y

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc lướt cụm bội của

2

và

3

thành bội của

2

hoặc bội của

3

, khi đó

X

sẽ chứa

2

và

3

nên

X

khác

Y

và đáp án sẽ đổi hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Thử thay

2

và

3

bằng

4

và

6

: khi đó bội chung nhỏ nhất là

12

chứ không phải

24

, vì

4

và

6

không nguyên tố cùng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.23★★Trang 13— Nhận ra tập rỗng qua phương trình vô nghiệm

Bài 1.23 (trang 13). Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?
A.

M = {x \in N ∣ x^{2} - 16 = 0}

.
B.

N = {x \in R ∣ x^{2} + 2 x + 5 = 0}

.
C.

P = {x \in R ∣ x^{2} - 15 = 0}

.
D.

Q = {x \in R ∣ x^{2} + 3 x - 4 = 0}

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ với $a \neq = 0$ vô nghiệm thực khi $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ .
Tập hợp cho bởi một tính chất là rỗng khi không có phần tử nào thoả tính chất ấy.
Phải đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện loại số ghi trong mô tả tập hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tập đều cho bởi một phương trình bậc hai kèm điều kiện về loại số, nên bài này thực chất là bốn lần giải phương trình. Hướng nhanh nhất là tính biệt thức của từng phương trình, phương trình nào có biệt thức âm thì tập tương ứng rỗng. Bẫy nằm ở tập

M

vì phương trình có nghiệm

- 4

và

4

nhưng chỉ

4

mới là số tự nhiên, nhiều bạn vội kết luận

M

rỗng.

1Cách 1. Giải lần lượt bốn phương trình

Định hướng. Giải từng phương trình rồi đối chiếu nghiệm với điều kiện loại số kèm theo.

x^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow x = 4

hoặc

x = - 4

, chỉ

x = 4 \in N

nên

M = {4}

x^{2} + 2 x + 5 = 0

có

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 16 < 0

nên vô nghiệm và

N = \emptyset

x^{2} - 15 = 0 \Leftrightarrow x = 15

hoặc

x = - 15

nên

P = {- 15; 15}

x^{2} + 3 x - 4 = 0

có

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 25 > 0

nên

Q = {1; - 4}

Vậy chỉ $N$ là tập rỗng, chọn B.

2Cách 2. Đưa về tổng của một bình phương và một số dương

Định hướng. Nếu vế trái luôn dương thì phương trình không có nghiệm thực, khỏi tính biệt thức.

x^{2} + 2 x + 5 = x^{2} + 2 x + 1 + 4 = (x + 1)^{2} + 4

(x + 1)^{2} \geq 0

với mọi

x \in R

nên

(x + 1)^{2} + 4 \geq 4 > 0

Vế trái luôn dương nên không có

x

thực nào làm nó bằng

0

Các phương trình còn lại đều viết được thành tích:

x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)

x^{2} - 15 = (x - 15) (x + 15)

x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

Vậy $N = \emptyset$ , chọn B.

3Cách 3. So dấu của biệt thức cho cả bốn phương trình

Định hướng. Lập một bảng biệt thức rồi đọc kết quả trong một lượt.

x^{2} - 16 = 0

có

Δ = 0 + 64 = 64 > 0

x^{2} + 2 x + 5 = 0

có

Δ = 4 - 20 = - 16 < 0

x^{2} - 15 = 0

có

Δ = 0 + 60 = 60 > 0

x^{2} + 3 x - 4 = 0

có

Δ = 9 + 16 = 25 > 0

Vậy chỉ phương trình ở phương án B vô nghiệm nên $N = \emptyset$ , chọn B.

Nhận xét. Bảng biệt thức cho thấy chỉ cần dấu của $Δ$ là đủ kết luận, không cần tính ra nghiệm cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần bốn phép tính nhẩm dấu của

Δ

; Cách 2 hay ở chỗ chứng minh được vế trái luôn dương mà không cần công thức nghiệm.

Đáp số. Chọn B.

N = \emptyset

vì

x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4 > 0

với mọi

x \in R

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện

x \in N

ở phương án A rồi nghĩ

M

có hai phần tử

- 4

và

4

, hoặc ngược lại tưởng

M

rỗng vì thấy có nghiệm âm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi phương án D thành

Q = {x \in N ∣ x^{2} + 3 x + 4 = 0}

thì đề sẽ có hai tập rỗng, khi đó câu hỏi trắc nghiệm không còn hợp lệ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.24★★Trang 13— Đếm số phần tử của hợp hai tập hợp

Bài 1.24 (trang 13). Lớp 10A có

10

học sinh giỏi môn Toán,

15

học sinh giỏi môn Vật lí,

8

học sinh giỏi cả môn Toán và Vật lí. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán hoặc Vật lí) của lớp 10A là
A.

17

.
B.

25

.
C.

18

.
D.

23

Kiến thức cần nhớ

Số phần tử của hợp hai tập hữu hạn: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ .
Biểu đồ Ven chia hai tập giao nhau thành ba miền rời nhau: chỉ thuộc $A$ , thuộc cả hai, chỉ thuộc $B$ .
Số phần tử chỉ thuộc $A$ bằng $n (A) - n (A \cap B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số phần tử của hai nhóm và số phần tử của phần chung, đây đúng là dữ kiện của công thức đếm phần tử hợp hai tập. Hướng chắc chắn nhất là chia lớp thành ba miền rời nhau rồi cộng lại, vì như vậy không bạn nào bị đếm hai lần. Bẫy của đề là phương án

25

, chính là kết quả khi cộng thẳng

10

và

15

mà quên trừ phần chung.

1Cách 1. Chia thành ba miền rời nhau trên biểu đồ Ven

Định hướng. Tính số học sinh của từng miền rồi cộng lại, mỗi bạn chỉ nằm trong đúng một miền.

Số học sinh chỉ giỏi Toán là

10 - 8 = 2

(học sinh)

Số học sinh chỉ giỏi Vật lí là

15 - 8 = 7

(học sinh)

Số học sinh giỏi cả hai môn là

8

(học sinh)

Số học sinh giỏi ít nhất một môn là

2 + 8 + 7 = 17

(học sinh)

Vậy lớp 10A có $17$ học sinh giỏi ít nhất một môn, chọn A.

2Cách 2. Áp dụng công thức số phần tử của hợp

Định hướng. Gọi $T$ và $L$ là tập học sinh giỏi Toán và giỏi Vật lí rồi thay số vào công thức.

n (T) = 10

n (L) = 15

n (T \cap L) = 8

n (T \cup L) = n (T) + n (L) - n (T \cap L)

n (T \cup L) = 10 + 15 - 8

n (T \cup L) = 17

Vậy $n (T \cup L) = 17$ , chọn A.

3Cách 3. Dựng một danh sách cụ thể rồi đếm lại

Định hướng. Đánh số học sinh sao cho thoả đủ ba dữ kiện, rồi đếm xem có bao nhiêu số được dùng.

Cho các bạn số

1

đến

8

giỏi cả hai môn, khi đó

n (T \cap L) = 8

đúng dữ kiện

Thêm các bạn số

9

và

10

chỉ giỏi Toán, khi đó

n (T) = 8 + 2 = 10

đúng dữ kiện

Thêm các bạn số

11

đến

17

chỉ giỏi Vật lí, khi đó

n (L) = 8 + 7 = 15

đúng dữ kiện

Các số được dùng chạy từ

1

đến

17

Vậy có $17$ học sinh giỏi ít nhất một môn, chọn A.

Nhận xét. Dựng danh sách cụ thể là cách kiểm tra lại đáng tin nhất khi nghi ngờ mình đếm trùng hoặc đếm sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ một dòng thay số; Cách 1 nên vẽ ra nháp khi đề có thêm dữ kiện về số học sinh không giỏi môn nào.

Đáp số. Chọn A. Có

17

học sinh giỏi ít nhất một môn.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là cộng thẳng

10 + 15 = 25

rồi khoanh B, tức đếm hai lần

8

bạn giỏi cả hai môn; cũng có bạn trừ nhầm thành

25 - 8 - 8 = 9

vì trừ phần chung hai lượt.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho thêm lớp 10A có

40

học sinh thì hỏi tiếp được số học sinh không giỏi môn nào, bằng

40 - 17 = 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.25★★Trang 13— Tìm tham số để hai tập hợp bằng nhau

Bài 1.25 (trang 13). Cho hai tập hợp

M = {x \in Z ∣ x^{2} - 3 x - 4 = 0}

và

N = {a; - 1}

. Với giá trị nào của

a

thì

M = N

?
A.

a = 2

.
B.

a = 4

.
C.

a = 3

.
D.

a = - 1

hoặc

a = 4

Kiến thức cần nhớ

Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm với $Δ = b^{2} - 4 a c$ , hoặc bằng cách tách hạng tử để đưa về dạng tích.
Trong một tập hợp, các phần tử được liệt kê phải khác nhau đôi một.
Hai tập hợp bằng nhau khi chúng gồm đúng những phần tử như nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Tập

M

cho bởi một phương trình bậc hai còn tập

N

viết dưới dạng liệt kê có tham số, đây là dạng bài so khớp hai danh sách phần tử. Hướng làm là giải phương trình để liệt kê

M

rồi so từng phần tử với

N

. Bẫy nằm ở phương án D vì khi

a = - 1

thì

N

chỉ còn đúng một phần tử, không thể bằng tập

M

có hai phần tử.

1Cách 1. Giải phương trình bằng công thức nghiệm

Định hướng. Tính biệt thức để liệt kê $M$ , rồi so khớp với danh sách phần tử của $N$ .

x^{2} - 3 x - 4 = 0

có

Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25

Δ = 5

nên

x = \frac{3 + 5}{2} = 4

hoặc

x = \frac{3 - 5}{2} = - 1

Cả

4

và

- 1

đều là số nguyên nên

M = {- 1; 4}

N = {a; - 1}

trùng với

M

khi

a = 4

Vậy $a = 4$ , chọn B.

2Cách 2. Tách hạng tử đưa phương trình về dạng tích

Định hướng. Tìm hai số có tổng bằng $- 3$ và tích bằng $- 4$ để tách hạng tử giữa.

Hai số có tổng

- 3

và tích

- 4

là

1

và

- 4

x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} + x - 4 x - 4 = x (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x - 4)

(x + 1) (x - 4) = 0

nên

x + 1 = 0

hoặc

x - 4 = 0

, tức

x = - 1

hoặc

x = 4

M = {- 1; 4}

nên

N = {a; - 1}

bằng

M

khi

a = 4

Vậy $a = 4$ , chọn B.

3Cách 3. Thử lần lượt bốn phương án

Định hướng. Thay từng giá trị của $a$ vào $N$ rồi so trực tiếp với $M = {- 1; 4}$ .

a = 2

cho

N = {2; - 1}

, mà

2 \in / M

nên A sai

a = 4

cho

N = {4; - 1} = M

nên B đúng

a = 3

cho

N = {3; - 1}

, mà

3 \in / M

nên C sai

a = - 1

cho

N = {- 1}

chỉ có một phần tử, còn

M

có hai phần tử, nên D sai

Vậy chỉ $a = 4$ thoả mãn, chọn B.

Nhận xét. Phép thử ở phương án D cho thấy khi liệt kê mà hai phần tử trùng nhau thì tập bị rút gọn còn một phần tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì tách nhân tử cho nghiệm ngay mà không phải tính căn; Cách 3 nên dùng để kiểm lại phương án D, chỗ dễ mất điểm nhất của bài.

Đáp số. Chọn B.

M = {- 1; 4}

nên

a = 4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là chọn D vì thấy

a = - 1

cũng cho phần tử nằm trong

M

; nhưng khi

a = - 1

thì

N = {- 1}

chỉ có một phần tử nên

N \neq = M

🚀 Mở rộng. Thử đổi

N

thành

{a; b}

với

a < b

: khi đó điều kiện

M = N

buộc

a = - 1

và

b = 4

, bài chuyển thành tìm hai tham số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.26★★Trang 13— Phân biệt đoạn số thực với tập số nguyên liệt kê

Bài 1.26 (trang 13). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

N \subset [0; + \infty)

.
B.

{- 2; 3} \subset [- 2; 3]

.
C.

[3; 7] = {3; 4; 5; 6; 7}

.
D.

\emptyset \subset Q

Kiến thức cần nhớ

Đoạn $[a; b]$ là tập mọi số thực $x$ thoả $a \leq x \leq b$ , gồm vô số phần tử khi $a < b$ .
Tập ${3; 4; 5; 6; 7}$ chỉ có đúng năm phần tử.
Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, kể cả tập số hữu tỉ.

🧠 Phân tích tư duy

Ba phương án đầu so một tập số với một khoảng hoặc đoạn, dấu hiệu của dạng bài kiểm tra xem học sinh có hiểu đoạn là tập vô hạn hay không. Hướng nhanh nhất là chỉ ra một số thực không nguyên nằm trong đoạn để bác mệnh đề dấu bằng. Cạm bẫy là thói quen chỉ đọc các số nguyên khi nhìn thấy đoạn

[3; 7]

1Cách 1. Kiểm từng mệnh đề theo định nghĩa

Định hướng. Đọc kĩ hai vế của mỗi mệnh đề rồi đối chiếu với định nghĩa của khoảng, đoạn và tập con.

Mọi số tự nhiên đều thoả

x \geq 0

nên

N \subset [0; + \infty)

, A đúng

- 2

và

3

đều thuộc đoạn

[- 2; 3]

nên

{- 2; 3} \subset [- 2; 3]

, B đúng

[3; 7]

gồm mọi số thực từ

3

đến

7

chứ không chỉ năm số nguyên, C sai

Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp nên D đúng

Vậy mệnh đề sai là C, chọn C.

2Cách 2. Chỉ ra một phản ví dụ cho mệnh đề dấu bằng

Định hướng. Muốn bác một đẳng thức tập hợp, chỉ cần tìm một phần tử thuộc vế này mà không thuộc vế kia.

Xét số

\frac{7}{2} = 3, 5

3 \leq \frac{7}{2} \leq 7

nên

\frac{7}{2} \in [3; 7]

\frac{7}{2}

không phải là một trong năm số

3

4

5

6

7

nên

\frac{7}{2} \in / {3; 4; 5; 6; 7}

Hai tập không chứa cùng những phần tử như nhau

Vậy $[3; 7] \neq = {3; 4; 5; 6; 7}$ , chọn C.

3Cách 3. So số lượng phần tử của hai vế

Định hướng. Hai tập bằng nhau thì phải có cùng số phần tử, nên chỉ cần so số lượng là đủ kết luận.

Tập

{3; 4; 5; 6; 7}

có đúng

5

phần tử

Đoạn

[3; 7]

chứa mọi số dạng

3 + \frac{4}{n}

với

n

nguyên dương, tức chứa vô số phần tử

Một tập hữu hạn không thể bằng một tập vô hạn

Ba mệnh đề còn lại chỉ nói về quan hệ tập con nên không mắc mâu thuẫn này

Vậy mệnh đề C sai, chọn C.

Nhận xét. Đếm hoặc so số lượng phần tử là cách bác một đẳng thức tập hợp mà không cần tìm phần tử cụ thể nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ cần nêu số

\frac{7}{2}

là bác xong mệnh đề C; Cách 3 tiện khi muốn giải thích nhanh cho bạn cùng lớp.

Đáp số. Chọn C.

[3; 7] \neq = {3; 4; 5; 6; 7}

vì

\frac{7}{2} \in [3; 7]

mà

\frac{7}{2} \in / {3; 4; 5; 6; 7}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

[3; 7] = {3; 4; 5; 6; 7}

vì quen với tập số nguyên ở cấp dưới; chỉ khi ghi rõ

{x \in Z ∣ 3 \leq x \leq 7}

thì đẳng thức mới đúng.

🚀 Mở rộng. Thử viết lại C thành

[3; 7] \cap Z = {3; 4; 5; 6; 7}

để có một mệnh đề đúng, đó cũng là cách hợp thức hoá thói quen cũ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.27★★★Trang 13— Các phép toán giao, hợp, hiệu trên khoảng và nửa khoảng

Bài 1.27 (trang 13). Cho hai tập hợp

A = (- \infty; - 1]

và

B = (- 2; 4]

. Tìm mệnh đề sai.
A.

A \cap B = (- 2; - 1]

.
B.

A ∖ B = (- \infty; - 2)

.
C.

A \cup B = (- \infty; 4]

.
D.

B ∖ A = (- 1; 4]

Kiến thức cần nhớ

$A \cap B$ gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$ ; $A \cup B$ gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập.
$A ∖ B$ gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ .
Đầu mút viết bằng ngoặc vuông thì thuộc tập, viết bằng ngoặc tròn thì không thuộc tập.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai nửa khoảng và bốn kết quả phép toán, đây là dạng bài phải vẽ trục số mới chắc chắn. Hướng làm là biểu diễn

A

và

B

trên cùng một trục rồi đọc từng phép toán, đặc biệt chú ý đầu mút nào được lấy vào. Bẫy của đề nằm đúng ở đầu mút

- 2

: nó không thuộc

B

nên phải thuộc

A ∖ B

, do đó kết quả là nửa khoảng đóng chứ không phải khoảng mở.

1Cách 1. Biểu diễn hai tập trên cùng một trục số

Định hướng. Tô $A$ và $B$ trên một trục rồi đọc kết quả từng phép toán theo phần tô.

A

là phần tô kéo dài vô hạn về bên trái và dừng tại

- 1

, lấy cả điểm

- 1

B

là phần tô từ

- 2

đến

4

, không lấy

- 2

nhưng lấy

4

Phần tô chung của hai tập chạy từ

- 2

đến

- 1

, không lấy

- 2

và lấy

- 1

, nên

A \cap B = (- 2; - 1]

Phần thuộc

A

mà bỏ đi phần của

B

là mọi điểm

x \leq - 2

, nên

A ∖ B = (- \infty; - 2]

Vậy phương án B ghi $(- \infty; - 2)$ nên sai, chọn B.

2Cách 2. Viết điều kiện của phần tử rồi giải

Định hướng. Chuyển mỗi phép toán thành một điều kiện về $x$ và giải điều kiện ấy.

x \in A ∖ B

khi và chỉ khi

x \leq - 1

và không có

- 2 < x \leq 4

Điều kiện không có

- 2 < x \leq 4

nghĩa là

x \leq - 2

hoặc

x > 4

Kết hợp với

x \leq - 1

thì trường hợp

x > 4

bị loại, chỉ còn

x \leq - 2

A ∖ B = (- \infty; - 2]

Vậy phương án B sai, chọn B.

3Cách 3. Kiểm bằng một điểm biên duy nhất

Định hướng. Chọn đúng điểm nghi ngờ nhất rồi kiểm nó thuộc vế nào, khỏi tính lại toàn bộ.

Chọn

x = - 2

- 2 \leq - 1

nên

- 2 \in A

B = (- 2; 4]

không lấy đầu mút

- 2

nên

- 2 \in / B

, do đó

- 2 \in A ∖ B

Tập

(- \infty; - 2)

ở phương án B không chứa

- 2

Vậy phương án B sai, chọn B.

Nhận xét. Với bài về khoảng và đoạn, điểm đáng ngờ luôn là các đầu mút; kiểm đúng một điểm biên thường đủ để bác một phương án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần thử điểm

x = - 2

là bác được phương án B trong vài giây; Cách 1 nên vẽ ra nháp khi đề hỏi cả bốn phép toán.

Đáp số. Chọn B. Thực ra

A ∖ B = (- \infty; - 2]

, còn ba mệnh đề A, C, D đều đúng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là bỏ quên đầu mút: thấy

B

mở tại

- 2

liền viết

A ∖ B

cũng mở tại

- 2

; đúng ra vì

- 2 \in / B

nên

- 2

phải được giữ lại trong

A ∖ B

🚀 Mở rộng. Hãy tính thêm phần bù

C_{R} (A \cup B) = (4; + \infty)

để thấy hợp của bốn kết quả phép toán phủ kín trục số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.28★★Trang 13— Xét tính đúng sai của mệnh đề tương đương hình học

Bài 1.28 (trang 13). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tam giác

A B C

là tam giác đều

\Leftrightarrow

Tam giác

A B C

cân.
B. Tam giác

A B C

là tam giác đều

\Leftrightarrow

Tam giác

A B C

có ba góc bằng

6 0^{\circ}

.
C. Tam giác

A B C

là tam giác đều

\Leftrightarrow

Tam giác

A B C

có ba cạnh bằng nhau.
D. Tam giác

A B C

là tam giác đều

\Leftrightarrow

Tam giác

A B C

cân và có một góc

6 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng đúng.
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau, khi đó ba góc đều bằng $6 0^{\circ}$ .
Tam giác cân chỉ cần hai cạnh bằng nhau nên chưa chắc đã đều.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương án đều dùng ký hiệu tương đương nên phải kiểm cả hai chiều của mỗi mệnh đề. Hướng nhanh là để ý chiều thuận của cả bốn câu đều đúng, nên chỉ cần soi chiều ngược lại. Bẫy là ở chỗ tam giác đều thì cân, điều này đúng, làm nhiều bạn vội cho rằng phương án A đúng.

1Cách 1. Xét riêng hai chiều của từng mệnh đề

Định hướng. Với mỗi phương án, kiểm chiều thuận rồi kiểm chiều đảo.

Chiều thuận của cả bốn phương án đều đúng vì tam giác đều thì cân, có ba góc

6 0^{\circ}

và có ba cạnh bằng nhau

Chiều đảo của B: ba góc bằng

6 0^{\circ}

thì ba cạnh bằng nhau, đúng

Chiều đảo của C: ba cạnh bằng nhau chính là định nghĩa tam giác đều, đúng

Chiều đảo của D: tam giác cân có một góc

6 0^{\circ}

thì hai góc còn lại bằng

\frac{18 0 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

, đúng; riêng chiều đảo của A là tam giác cân thì đều, sai

Vậy mệnh đề sai là A, chọn A.

2Cách 2. Nêu một phản ví dụ cho chiều đảo

Định hướng. Muốn bác một mệnh đề tương đương, chỉ cần dựng một hình thoả vế này mà không thoả vế kia.

Lấy tam giác

A B C

có

A B = A C = 3

và

B C = 4

Tam giác này cân tại

A

vì

A B = A C

Tam giác này không đều vì

B C = 4 \neq = 3 = A B

Vậy có tam giác cân mà không đều

Vậy mệnh đề A sai, chọn A.

3Cách 3. So sánh các tập hợp tam giác

Định hướng. Gọi $D$ là tập tam giác đều và so $D$ với tập tam giác thoả vế phải của từng phương án.

Gọi

D

là tập các tam giác đều và

C

là tập các tam giác cân

Mỗi tam giác đều đều cân nên

D \subset C

, nhưng tam giác cạnh

3

3

4

thuộc

C

mà không thuộc

D

nên

D \neq = C

Tập tam giác có ba góc

6 0^{\circ}

và tập tam giác có ba cạnh bằng nhau đều trùng với

D

Tập tam giác cân có một góc

6 0^{\circ}

cũng trùng với

D

Vậy chỉ phương án A ứng với hai tập khác nhau nên A sai, chọn A.

Nhận xét. Đọc mệnh đề tương đương thành đẳng thức tập hợp giúp thấy ngay rằng đều là trường hợp riêng của cân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì một tam giác

3

3

4

là đủ bác phương án A; Cách 1 dùng khi muốn kiểm lại cả ba phương án còn lại cho chắc.

Đáp số. Chọn A. Tam giác cân chưa chắc là tam giác đều.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ kiểm chiều tam giác đều thì cân rồi kết luận A đúng; mệnh đề tương đương đòi hỏi cả chiều ngược lại phải đúng.

🚀 Mở rộng. Hãy sửa A thành tam giác

A B C

đều khi và chỉ khi tam giác

A B C

cân tại hai đỉnh khác nhau để có một mệnh đề tương đương đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.29★Trang 13— Phủ định mệnh đề ghép bằng liên từ và

Bài 1.29 (trang 13). Mệnh đề phủ định của mệnh đề Số

12

chia hết cho

4

và

3

là
A. Số

12

chia hết cho

4

hoặc chia hết cho

3

.
B. Số

12

không chia hết cho

4

và không chia hết cho

3

.
C. Số

12

không chia hết cho

4

hoặc không chia hết cho

3

.
D. Số

12

không chia hết cho

4

và chia hết cho

3

Kiến thức cần nhớ

Phủ định của mệnh đề $P$ và $Q$ là mệnh đề không $P$ hoặc không $Q$ .
Phủ định của mệnh đề $P$ hoặc $Q$ là mệnh đề không $P$ và không $Q$ .
Phủ định của quan hệ chia hết là quan hệ không chia hết.

🧠 Phân tích tư duy

Mệnh đề gốc là hai khẳng định nối bằng liên từ và, dấu hiệu để dùng quy tắc phủ định của mệnh đề ghép. Hướng làm là phủ định từng thành phần rồi đổi liên từ và thành hoặc. Bẫy của đề là phương án B vì nó phủ định đủ hai thành phần nhưng giữ nguyên liên từ và, nghe rất xuôi tai mà lại sai.

1Cách 1. Áp dụng quy tắc phủ định mệnh đề ghép

Định hướng. Phủ định từng thành phần rồi đổi liên từ theo đúng quy tắc.

Đặt

P

là mệnh đề số

12

chia hết cho

4

và

Q

là mệnh đề số

12

chia hết cho

3

Mệnh đề đã cho là

P

và

Q

Phủ định của

P

và

Q

là không

P

hoặc không

Q

Diễn đạt lại: số

12

không chia hết cho

4

hoặc không chia hết cho

3

Vậy chọn C.

2Cách 2. Lập bảng giá trị chân lí

Định hướng. Liệt kê đủ bốn khả năng đúng sai của $P$ và $Q$ rồi so cột kết quả.

Khi

P

đúng và

Q

đúng thì

P

và

Q

đúng, phủ định phải sai

Khi

P

đúng còn

Q

sai thì

P

và

Q

sai, phủ định phải đúng

Cột của mệnh đề không

P

và không

Q

chỉ đúng ở khả năng cả hai cùng sai nên không khớp với cột phủ định

Cột của mệnh đề không

P

hoặc không

Q

trùng khít với cột phủ định ở cả bốn khả năng

Vậy chọn C.

3Cách 3. Chuyển sang ngôn ngữ tập hợp

Định hướng. Coi mỗi điều kiện chia hết là một tập số rồi dùng quy tắc phần bù của giao.

Gọi

A

là tập các bội của

4

và

B

là tập các bội của

3

Mệnh đề đã cho nói

12 \in A \cap B

Phủ định của nó là

12 \in / A \cap B

, tức

12 \in C_{N} A \cup C_{N} B

Điều đó nghĩa là

12

không là bội của

4

hoặc không là bội của

3

Vậy chọn C.

Nhận xét. Quy tắc phần bù của giao bằng hợp hai phần bù chính là bản dịch của quy tắc phủ định mệnh đề ghép sang ngôn ngữ tập hợp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần nhớ đúng một câu đổi và thành hoặc; Cách 2 nên dùng để tự kiểm khi thấy hai phương án B và C đều có vẻ hợp lí.

Đáp số. Chọn C. Số

12

không chia hết cho

4

hoặc không chia hết cho

3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là giữ nguyên liên từ và rồi chọn B; cần nhớ phủ định của và là hoặc, còn phủ định của hoặc mới là và.

🚀 Mở rộng. Hãy phát biểu phủ định của mệnh đề số

n

chia hết cho

2

hoặc chia hết cho

5

để thấy kết quả đổi thành liên từ và.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.30★Trang 13— Đọc mệnh đề chứa ký hiệu tồn tại

Bài 1.30 (trang 13). Mệnh đề

\exists x \in R, x^{2} = 15

được phát biểu là
A. Bình phương của mỗi số thực bằng

15

.
B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng

15

.
C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng

15

.
D. Nếu

x

là một số thực thì

x^{2} = 15

Kiến thức cần nhớ

Ký hiệu $\forall$ đọc là với mọi, ký hiệu $\exists$ đọc là tồn tại hay có ít nhất một.
Ký hiệu $\exists$ chỉ khẳng định có, không nói có bao nhiêu.
Mệnh đề chứa $\exists$ đúng khi chỉ ra được một giá trị cụ thể thoả tính chất.

🧠 Phân tích tư duy

Mệnh đề cho bằng ký hiệu

\exists

nên bài này chỉ hỏi cách đọc ký hiệu lượng từ. Hướng làm là dịch

\exists

thành cụm tồn tại ít nhất một rồi đối chiếu với bốn cách phát biểu. Bẫy là phương án C vì cụm chỉ có một tương ứng với ký hiệu tồn tại duy nhất, mạnh hơn hẳn ký hiệu

\exists

của đề.

1Cách 1. Dịch thẳng ký hiệu sang lời

Định hướng. Đọc lần lượt từng ký hiệu trong mệnh đề theo đúng nghĩa của nó.

\exists x

đọc là tồn tại một số

x

x \in R

đọc là

x

là số thực

x^{2} = 15

đọc là bình phương của

x

bằng

15

Ghép lại: có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng

15

Vậy chọn B.

2Cách 2. Gắn mỗi phương án với một ký hiệu tương ứng

Định hướng. Viết ngược lại bốn cách phát biểu thành ký hiệu rồi so với đề.

Phương án A ứng với

\forall x \in R, x^{2} = 15

Phương án B ứng với

\exists x \in R, x^{2} = 15

Phương án C ứng với ký hiệu tồn tại duy nhất, mạnh hơn

\exists

Phương án D là một mệnh đề kéo theo, ứng với

\forall x \in R, x^{2} = 15

Vậy chỉ phương án B trùng khớp với đề, chọn B.

3Cách 3. Kiểm bằng nghiệm cụ thể của phương trình

Định hướng. Giải $x^{2} = 15$ rồi xem cách phát biểu nào mô tả đúng số lượng nghiệm.

x^{2} = 15 \Leftrightarrow x = 15

hoặc

x = - 15

Có hai số thực thoả mãn nên cách phát biểu chỉ có một số thực là sai

Số

1

là số thực mà

1^{2} = 1 \neq = 15

nên cách phát biểu mỗi số thực là sai

Có ít nhất một số thực thoả mãn, chẳng hạn

15

Vậy chọn B.

Nhận xét. Việc giải ra hai nghiệm cho thấy mệnh đề $\exists$ vẫn đúng ngay cả khi số giá trị thoả mãn nhiều hơn một.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì dịch ký hiệu là xong ngay; Cách 3 chỉ cần khi phân vân giữa hai phương án B và C.

Đáp số. Chọn B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng

15

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là hiểu

\exists

thành có đúng một rồi chọn C; ký hiệu

\exists

chỉ nói có, mà ở đây thực tế có tới hai số là

15

và

- 15

🚀 Mở rộng. Hãy viết phủ định của mệnh đề này thành

\forall x \in R, x^{2} \neq = 15

và giải thích vì sao phủ định ấy là mệnh đề sai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.31★★★Trang 14— Xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo có lượng từ

Bài 1.31 (trang 14). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Với mọi số thực

x

, nếu

x < - 2

thì

x^{2} > 4

.
B. Với mọi số thực

x

, nếu

x^{2} < 4

thì

x < - 2

.
C. Với mọi số thực

x

, nếu

x < - 2

thì

x^{2} < 4

.
D. Với mọi số thực

x

, nếu

x^{2} > 4

thì

x > - 2

Kiến thức cần nhớ

Mệnh đề với mọi $x$ , nếu $P (x)$ thì $Q (x)$ là sai khi tìm được một giá trị $x$ làm $P (x)$ đúng mà $Q (x)$ sai.
Với mọi số thực $x$ ta có $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , nên $∣ x ∣ > 2$ kéo theo $x^{2} > 4$ .
Tích hai số cùng âm là một số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án chỉ hoán vị hai điều kiện

x < - 2

và

x^{2} > 4

theo các chiều khác nhau, dấu hiệu của dạng bài kiểm tra chiều của phép kéo theo. Hướng nhanh là nhớ rằng bình phương làm mất dấu, nên từ

x^{2}

không suy ngược ra dấu của

x

được. Cạm bẫy là các số âm: chỉ cần thử

x = - 3

là ba phương án B, C, D lần lượt đổ.

1Cách 1. Chứng minh phương án A bằng biến đổi dấu

Định hướng. Từ giả thiết $x < - 2$ , xét dấu của hai thừa số $x + 2$ và $x - 2$ .

x < - 2

nên

x + 2 < 0

x < - 2 < 2

nên

x - 2 < 0

Tích hai số âm là số dương nên

(x - 2) (x + 2) > 0

, tức

x^{2} - 4 > 0

x^{2} > 4

Vậy mệnh đề A đúng, chọn A.

2Cách 2. Bác ba phương án còn lại bằng phản ví dụ

Định hướng. Chỉ cần mỗi phương án một giá trị cụ thể làm giả thiết đúng mà kết luận sai.

Với

x = 1

thì

x^{2} = 1 < 4

nhưng

1 > - 2

nên B sai

Với

x = - 3

thì

x < - 2

nhưng

x^{2} = 9 > 4

nên C sai

Với

x = - 3

thì

x^{2} = 9 > 4

nhưng

- 3 < - 2

nên D sai

Chỉ còn phương án A chưa bị bác

Vậy chọn A.

3Cách 3. Dùng giá trị tuyệt đối

Định hướng. Chuyển điều kiện về $∣ x ∣$ để bỏ hẳn chuyện dấu của $x$ .

x < - 2

nên

∣ x ∣ = - x > 2

Hai vế đều dương nên bình phương hai vế:

∣ x ∣^{2} > 2^{2}

∣ x ∣^{2} = x^{2}

và

2^{2} = 4

x^{2} > 4

Vậy mệnh đề A đúng, chọn A.

Nhận xét. Ngược lại, $x^{2} > 4$ chỉ cho $∣ x ∣ > 2$ , tức $x > 2$ hoặc $x < - 2$ , nên không thể suy ra dấu của $x$ ; đó là lí do B và D đều sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì hai giá trị

x = 1

và

x = - 3

đủ đánh đổ ba phương án; Cách 3 nên nhớ để hiểu bản chất vì sao không đảo chiều được.

Đáp số. Chọn A. Với mọi số thực

x

, nếu

x < - 2

thì

x^{2} > 4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là bình phương hai vế của

x < - 2

mà giữ nguyên chiều bất đẳng thức thành

x^{2} < 4

rồi chọn C; khi hai vế âm, bình phương làm đổi chiều bất đẳng thức.

🚀 Mở rộng. Hãy xét mệnh đề đảo của A là với mọi

x

, nếu

x^{2} > 4

thì

x < - 2

và tìm phản ví dụ

x = 3

để thấy mệnh đề đảo sai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.32★Trang 14— Phủ định mệnh đề chứa lượng từ với mọi

Bài 1.32 (trang 14). Mệnh đề phủ định của mệnh đề

x^{2} + 3 x + 1 > 0

, với mọi

x \in R

là
A. Tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 > 0

.
B. Tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 \leq 0

.
C. Tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 = 0

.
D. Tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 < 0

Kiến thức cần nhớ

Phủ định của mệnh đề với mọi $x$ , $P (x)$ là mệnh đề tồn tại $x$ , không $P (x)$ .
Phủ định của quan hệ $>$ là quan hệ $\leq$ , không phải quan hệ $<$ .
Hai mệnh đề phủ định nhau không bao giờ cùng đúng và cũng không bao giờ cùng sai.

🧠 Phân tích tư duy

Mệnh đề gốc có lượng từ với mọi và một bất đẳng thức chặt, nên phải đổi cả hai thứ khi lấy phủ định. Hướng làm là thay với mọi bằng tồn tại và thay dấu lớn hơn bằng dấu nhỏ hơn hoặc bằng. Bẫy nằm ở phương án D vì nhiều bạn chỉ đổi chiều bất đẳng thức mà quên phần dấu bằng.

1Cách 1. Áp dụng hai quy tắc phủ định

Định hướng. Đổi lượng từ trước, đổi quan hệ sau, giữ nguyên biểu thức.

Mệnh đề đã cho có dạng với mọi

x \in R

P (x)

với

P (x)

là

x^{2} + 3 x + 1 > 0

Phủ định của với mọi là tồn tại

Phủ định của

x^{2} + 3 x + 1 > 0

là

x^{2} + 3 x + 1 \leq 0

Ghép lại: tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 \leq 0

Vậy chọn B.

2Cách 2. Thử quy tắc trên vài mệnh đề mẫu dễ kiểm

Định hướng. Đem mỗi phương án coi như một quy tắc phủ định rồi thử với biểu thức khác, phương án nào cho kết quả vô lí thì loại.

Với mệnh đề đúng

x^{2} + 1 > 0

với mọi

x

, quy tắc A cho tồn tại

x

sao cho

x^{2} + 1 > 0

, mệnh đề này cũng đúng, trong khi phủ định phải sai, nên loại A

Với mệnh đề sai

x^{2} > 0

với mọi

x

, quy tắc D cho tồn tại

x

sao cho

x^{2} < 0

, mệnh đề này sai, trong khi phủ định phải đúng, nên loại D

Với mệnh đề sai

- 1 > 0

với mọi

x

, quy tắc C cho tồn tại

x

sao cho

- 1 = 0

, mệnh đề này sai, trong khi phủ định phải đúng, nên loại C

Chỉ quy tắc B vượt qua cả ba phép thử

Vậy chọn B.

3Cách 3. Chuyển sang ngôn ngữ tập hợp

Định hướng. Đặt tập các giá trị làm biểu thức dương rồi phát biểu mệnh đề gốc thành một đẳng thức tập hợp.

Đặt

S = {x \in R ∣ x^{2} + 3 x + 1 > 0}

Mệnh đề đã cho nói rằng

S = R

Phủ định của nó là

S \neq = R

, tức

C_{R} S \neq = \emptyset

C_{R} S = {x \in R ∣ x^{2} + 3 x + 1 \leq 0}

nên phủ định nói rằng tồn tại

x

với

x^{2} + 3 x + 1 \leq 0

Vậy chọn B.

Nhận xét. Tính thêm $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$ thì thấy mệnh đề gốc sai và phủ định của nó đúng, chẳng hạn $x = - 1$ cho $1 - 3 + 1 = - 1 \leq 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hai phép đổi là ra đáp án; Cách 2 nên nhớ như một công cụ tự kiểm khi không chắc mình đã đổi đúng dấu.

Đáp số. Chọn B. Tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 \leq 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chọn D vì chỉ đổi chiều bất đẳng thức; khi đó trường hợp biểu thức bằng

0

bị bỏ sót, chẳng hạn

x = \frac{- 3 + 5}{2}

làm biểu thức bằng

0

nhưng không thoả bất đẳng thức chặt.

🚀 Mở rộng. Hãy phủ định tiếp mệnh đề tồn tại

x \in R

sao cho

x^{2} + 3 x + 1 \leq 0

để quay về đúng mệnh đề ban đầu, đó là phép thử kín kẽ nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.33★Trang 14— Xét tính đúng sai của ba mệnh đề có lượng từ

Bài 1.33 (trang 14). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng

0

đều chia hết cho

10

;
b) Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn

0

;
c) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Kiến thức cần nhớ

Mệnh đề có lượng từ mọi chỉ cần một phản ví dụ là đủ để kết luận sai.
Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng $0$ luôn viết được dưới dạng $10 k$ với $k$ tự nhiên.
Theo quy ước, tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đều mở đầu bằng chữ mọi nên đây là dạng bài xét mệnh đề có lượng từ toàn thể. Hướng làm là chứng minh nếu tin mệnh đề đúng, còn nếu nghi ngờ thì đi tìm đúng một phản ví dụ. Bẫy nằm ở ý b vì học sinh hay quên mất số

0

, giá trị duy nhất phá vỡ khẳng định.

1Cách 1. Chứng minh hoặc bác bỏ trực tiếp từng ý

Định hướng. Với ý đúng thì nêu lí do tổng quát, với ý sai thì chỉ ra một giá trị cụ thể.

a) Số tự nhiên

n

có tận cùng bằng

0

thì

n = \overline{a_{k} \dots a_{1} 0} = 10 k

với

k \in N

, nên

n

chia hết cho

10

, mệnh đề a đúng

b) Lấy

x = 0

thì

x^{2} = 0

và

0

không lớn hơn

0

, mệnh đề b sai

c) Theo quy ước, tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, mệnh đề c đúng

Vậy mệnh đề a và c đúng, mệnh đề b sai.

2Cách 2. Viết lại ba mệnh đề bằng ký hiệu lượng từ

Định hướng. Chuyển sang ký hiệu để thấy rõ phải kiểm điều gì với mọi giá trị.

a) trở thành: với mọi

n \in N

, nếu

n

tận cùng bằng

0

thì

n

chia hết cho

10

b) trở thành: với mọi

x \in R

x^{2} > 0

c) trở thành: với mọi tập

X

\emptyset \subset X

Phủ định của b là tồn tại

x \in R

với

x^{2} \leq 0

, và

x = 0

làm phủ định đúng

Vậy b là mệnh đề sai, còn a và c là mệnh đề đúng.

3Cách 3. Dùng ngôn ngữ tập hợp cho cả ba ý

Định hướng. Viết mỗi mệnh đề thành một quan hệ bao hàm rồi kiểm quan hệ ấy.

a) Tập các số tận cùng bằng

0

là

{10 k ∣ k \in N}

, đúng bằng tập các bội của

10

, nên quan hệ bao hàm thoả mãn

b) Tập giá trị của

x^{2}

khi

x

chạy trên

R

là

[0; + \infty)

, tập này không nằm trong

(0; + \infty)

vì chứa số

0

c) Tập rỗng không có phần tử nào nên điều kiện tập con luôn được thoả

Chỉ ý b cho một quan hệ bao hàm không đúng

Vậy a đúng, b sai, c đúng.

Nhận xét. Ba ý này gom đủ ba kiểu lập luận hay dùng: viết dạng tổng quát, tìm phản ví dụ và dựa vào quy ước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì trình bày ngắn và đủ ý; Cách 2 nên dùng khi đề yêu cầu viết thêm mệnh đề phủ định.

Đáp số. a) Đúng. b) Sai vì

0^{2} = 0

không lớn hơn

0

. c) Đúng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở ý b là chỉ thử các số khác

0

rồi kết luận mệnh đề đúng; chỉ cần một giá trị

x = 0

là mệnh đề với lượng từ mọi đã sai. Ở ý c nhiều bạn nghi ngờ vì tập rỗng không có phần tử, trong khi đó chính là lí do nó là tập con của mọi tập.

🚀 Mở rộng. Nếu sửa ý b thành bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng

0

thì mệnh đề trở thành đúng, và đó là bất đẳng thức nền của rất nhiều bài chứng minh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 1.34★★Trang 14— Liệt kê tập hợp cho bởi điều kiện kép và xét bao hàm

Bài 1.34 (trang 14). Cho hai tập hợp sau:

A = {x \in N ∣ - 4 \leq x \leq - 1}

;

B = {x \in Z ∣ - 1 \leq x \leq 3}

.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Tập hợp

A

là tập rỗng;
b) Tập hợp

B

là tập con của

R

Kiến thức cần nhớ

Tập số tự nhiên $N$ gồm $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ nên mọi số tự nhiên đều lớn hơn hoặc bằng $0$ .
Tập số nguyên $Z$ gồm cả số âm, số $0$ và số dương.
Ta có chuỗi bao hàm $N \subset Z \subset Q \subset R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai tập được mô tả bằng bất đẳng thức kép nhưng khác nhau ở loại số, đó chính là chỗ đề muốn kiểm tra. Hướng làm là liệt kê phần tử của từng tập trước rồi mới trả lời hai câu hỏi. Bẫy nằm ở tập

A

vì điều kiện bắt

x

âm trong khi

x

lại phải là số tự nhiên, hai yêu cầu này không thể cùng thoả.

1Cách 1. Liệt kê phần tử của hai tập

Định hướng. Dò các số thoả điều kiện trong đúng loại số mà đề yêu cầu.

Các số thoả

- 4 \leq x \leq - 1

là

- 4

- 3

- 2

- 1

Không số nào trong bốn số ấy thuộc

N

nên

A = \emptyset

Các số nguyên thoả

- 1 \leq x \leq 3

là

- 1

0

1

2

3

nên

B = {- 1; 0; 1; 2; 3}

Năm phần tử của

B

đều là số thực nên

B \subset R

Vậy mệnh đề a đúng và mệnh đề b đúng.

2Cách 2. Dùng phép giao với tập số đã cho

Định hướng. Viết mỗi tập thành giao của một đoạn với một tập số rồi tính giao ấy.

A = [- 4; - 1] \cap N

N \subset [0; + \infty)

mà

[- 4; - 1] \cap [0; + \infty) = \emptyset

nên

A = \emptyset

B = [- 1; 3] \cap Z

, một tập gồm hữu hạn số nguyên

Z \subset R

nên

B \subset R

Vậy cả hai mệnh đề đều đúng.

3Cách 3. Lập luận phản chứng cho ý a và dùng chuỗi bao hàm cho ý b

Định hướng. Giả sử tập $A$ có phần tử rồi dẫn tới điều vô lí, còn ý b thì bắc cầu qua chuỗi bao hàm.

Giả sử tồn tại

x \in A

, khi đó

x \in N

nên

x \geq 0

Mặt khác điều kiện của

A

cho

x \leq - 1

, suy ra

0 \leq x \leq - 1

, vô lí

Không tồn tại phần tử nào của

A

nên

A = \emptyset

B \subset Z

và

Z \subset R

nên

B \subset R

Vậy a đúng và b đúng.

Nhận xét. Phép bắc cầu của quan hệ tập con là công cụ gọn nhất khi đề chỉ hỏi bao hàm chứ không hỏi phần tử cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì liệt kê xong là trả lời được cả hai ý; Cách 3 nên dùng khi đề yêu cầu chứng minh chứ không cho liệt kê.

Đáp số. a) Đúng vì

A = \emptyset

. b) Đúng vì

B = {- 1; 0; 1; 2; 3} \subset R

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là liệt kê

A = {- 4; - 3; - 2; - 1}

do bỏ qua điều kiện

x \in N

; cũng có bạn nghĩ

B

chỉ là tập con của

Z

nên không thể là tập con của

R

, quên rằng quan hệ tập con có tính bắc cầu.

🚀 Mở rộng. Đổi

A

thành

{x \in Z ∣ - 4 \leq x \leq - 1}

thì

A

có bốn phần tử và lúc ấy

A \cap B = {- 1}

, cho thêm một câu hỏi nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 1.35★Trang 14— Nhận biết số thuộc các tập hợp số quen thuộc

Bài 1.35 (trang 14). Điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai.
a)

3, 274 \in Q

☐
b)

N \subset Q

☐
c)

2 \in R

☐
d)

\frac{3}{4} \in Z

☐

Kiến thức cần nhớ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $a$ , $b \in Z$ và $b \neq = 0$ .
Tập số thực gồm cả số hữu tỉ lẫn số vô tỉ.
Chuỗi bao hàm quen dùng là $N \subset Z \subset Q \subset R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều hỏi một số hoặc một tập số có nằm trong tập số nào không, dấu hiệu của dạng bài tra chuỗi bao hàm các tập số. Hướng chắc chắn nhất là đưa mỗi số về dạng phân số hoặc dạng thập phân rồi đối chiếu định nghĩa. Bẫy nằm ở ý c vì

2

là số vô tỉ, nhiều bạn thấy chữ vô tỉ liền nghĩ nó nằm ngoài tập số thực.

1Cách 1. Đưa mỗi số về dạng phân số rồi đối chiếu định nghĩa

Định hướng. Viết số dưới dạng thương hai số nguyên là thấy ngay nó thuộc tập nào.

3, 274 = \frac{3274}{1000}

với

3274

và

1000

là số nguyên,

1000 \neq = 0

, nên

3, 274 \in Q

, điền Đ

b) Mỗi

n \in N

viết được thành

n = \frac{n}{1}

nên

n \in Q

, do đó

N \subset Q

, điền Đ

2

là số vô tỉ, mà số vô tỉ cũng là số thực, nên

2 \in R

, điền Đ

\frac{3}{4}

không viết được thành số nguyên nên

\frac{3}{4} \in / Z

, điền S

Vậy thứ tự cần điền là Đ, Đ, Đ, S.

2Cách 2. Dựa vào sơ đồ bao hàm các tập số

Định hướng. Đặt mỗi số vào đúng vòng trong sơ đồ rồi đọc quan hệ.

3, 274

là số thập phân hữu hạn nên nằm trong vòng

Q

Vòng

N

nằm trọn trong vòng

Q

nên

N \subset Q

2

nằm trong vòng

R

nhưng ngoài vòng

Q

\frac{3}{4}

nằm trong vòng

Q

nhưng ngoài vòng

Z

Vậy thứ tự cần điền là Đ, Đ, Đ, S.

3Cách 3. Xét dạng biểu diễn thập phân của từng số

Định hướng. Nhìn phần thập phân là phân loại được số hữu tỉ, số vô tỉ và số nguyên.

3, 274

có phần thập phân hữu hạn nên là số hữu tỉ

Mọi số tự nhiên có phần thập phân bằng

0

nên cũng là số hữu tỉ

2 = 1, 41421356 \dots

có phần thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ, và mọi số vô tỉ đều là số thực

\frac{3}{4} = 0, 75

có phần thập phân khác

0

nên không phải số nguyên

Vậy thứ tự cần điền là Đ, Đ, Đ, S.

Nhận xét. Nhìn phần thập phân là mẹo phân loại nhanh: hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn thì hữu tỉ, vô hạn không tuần hoàn thì vô tỉ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần liếc phần thập phân là điền xong bốn ô; Cách 1 nên viết ra khi bài yêu cầu giải thích.

Đáp số. a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở ý c là điền S vì nghĩ số vô tỉ không phải số thực; thực ra tập số thực gồm cả hữu tỉ lẫn vô tỉ. Ở ý d nhiều bạn điền Đ vì thấy tử và mẫu đều nguyên, quên rằng

\frac{3}{4}

mới là số phải xét chứ không phải

3

và

4

🚀 Mở rộng. Hãy xét thêm

4 \in N

để thấy dấu căn không tự động biến một số thành vô tỉ, vì

4 = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 1.36★★★Trang 14— Liệt kê tập nghiệm của phương trình tích và của hệ bất phương trình

Bài 1.36 (trang 14). Hãy viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.

A = {x \in Q ∣ (2 x + 1) (x^{2} + x - 1) (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0}

;

B = {x \in N ∣ x^{2} > 2

và

x < 4}

Kiến thức cần nhớ

Phương trình tích bằng $0$ khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$ .
Phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ giải được bằng công thức nghiệm với $Δ = b^{2} - 4 a c$ , hoặc bằng cách tách hạng tử đưa về dạng tích.
Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện loại số ghi trong mô tả tập hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Tập

A

cho bởi một phương trình tích ba thừa số còn tập

B

cho bởi hai điều kiện đồng thời, đây là hai kiểu mô tả tập hợp thường gặp nhất. Hướng làm với

A

là giải từng thừa số rồi giữ lại nghiệm hữu tỉ, còn với

B

là thu hẹp về vài số tự nhiên rồi thử. Bẫy của đề nằm ở thừa số

x^{2} + x - 1

vì nó có nghiệm thực nhưng cả hai nghiệm đều vô tỉ nên không được nhận.

1Cách 1. Giải ba thừa số bằng công thức nghiệm

Định hướng. Cho từng thừa số bằng $0$ , tính biệt thức rồi lọc nghiệm hữu tỉ; với $B$ thì thử các số tự nhiên nhỏ hơn $4$ .

2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}

và

- \frac{1}{2} \in Q

x^{2} + x - 1 = 0

có

Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

nên

x = \frac{- 1 + 5}{2}

hoặc

x = \frac{- 1 - 5}{2}

, cả hai đều vô tỉ nên bị loại

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

có

Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

nên

x = \frac{3 + 1}{4} = 1

hoặc

x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}

A = {- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1}

Với

B

: các số tự nhiên nhỏ hơn

4

là

0

1

2

3

và bình phương của chúng lần lượt là

0

1

4

9

, chỉ

4 > 2

và

9 > 2

Vậy $A = {- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1}$ và $B = {2; 3}$ .

2Cách 2. Tách hạng tử đưa về dạng tích và giải bất phương trình cho

B

Định hướng. Phân tích các thừa số bậc hai thành tích, còn $B$ thì giải trực tiếp bất phương trình $x^{2} > 2$ .

Hai số có tích

2 \cdot 1 = 2

và tổng

- 3

là

- 1

và

- 2

, nên

2 x^{2} - 3 x + 1 = 2 x^{2} - 2 x - x + 1 = 2 x (x - 1) - (x - 1) = (x - 1) (2 x - 1)

(2 x + 1) (x^{2} + x - 1) (x - 1) (2 x - 1) = 0

cho

x = - \frac{1}{2}

x = 1

x = \frac{1}{2}

hoặc

x^{2} + x - 1 = 0

Thừa số

x^{2} + x - 1

không tách được thành tích với hệ số hữu tỉ vì

Δ = 5

không phải số chính phương, nên nó không cho nghiệm hữu tỉ nào

x^{2} > 2 \Leftrightarrow x > 2

hoặc

x < - 2

, kết hợp

x \in N

và

x < 4

thì

2 < x < 4

Vậy $A = {- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1}$ và $B = {2; 3}$ .

3Cách 3. Dùng định lí Vi-ét để dò nghiệm hữu tỉ

Định hướng. Với mỗi thừa số bậc hai, tìm cặp số có tổng và tích cho trước rồi kiểm lại.

Với

x^{2} + x - 1 = 0

, hai nghiệm có tổng

- 1

và tích

- 1

; nếu có nghiệm hữu tỉ

\frac{p}{q}

tối giản thì

p

là ước của

1

và

q

là ước của

1

, tức

x = 1

hoặc

x = - 1

Thử lại:

1^{2} + 1 - 1 = 1 \neq = 0

và

(- 1)^{2} + (- 1) - 1 = - 1 \neq = 0

nên thừa số này không có nghiệm hữu tỉ

Với

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

, hai nghiệm có tổng

\frac{3}{2}

và tích

\frac{1}{2}

, cặp số thoả mãn là

1

và

\frac{1}{2}

Với

B

, lập bảng bình phương

0^{2} = 0

1^{2} = 1

2^{2} = 4

3^{2} = 9

rồi chọn các giá trị lớn hơn

2

Vậy $A = {- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1}$ và $B = {2; 3}$ .

Nhận xét. Cách dò nghiệm hữu tỉ rất mạnh khi đề yêu cầu lấy nghiệm trong $Q$ hoặc $Z$ , vì nó loại hẳn các nghiệm vô tỉ mà không cần tính căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì tách nhân tử cho nghiệm ngay và tránh tính căn; Cách 3 nên dùng khi muốn khẳng định chắc chắn một thừa số không có nghiệm hữu tỉ.

Đáp số.

A = {- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1}

;

B = {2; 3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là nhận luôn hai nghiệm

\frac{- 1 \pm 5}{2}

vào tập

A

vì thấy chúng là nghiệm thực, quên điều kiện

x \in Q

; ở tập

B

nhiều bạn để sót điều kiện

x^{2} > 2

rồi viết

B = {0; 1; 2; 3}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện của

A

thành

x \in R

thì

A

có năm phần tử, còn nếu đổi thành

x \in Z

thì

A

chỉ còn đúng một phần tử là

1

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 1.37★★★Trang 15— Viết tập hợp dạng đoạn, khoảng và thực hiện các phép toán

Bài 1.37 (trang 15). Cho hai tập hợp sau:

A = {x \in R ∣ ∣ x ∣ \leq 4}

;

B = {x \in R ∣ - 3 < x \leq 8}

.
a) Viết hai tập hợp trên dưới dạng khoảng, đoạn.
b) Xác định các tập hợp sau:

A \cap B

;

A ∖ B

;

B ∖ A

Kiến thức cần nhớ

Với $a > 0$ ta có $∣ x ∣ \leq a \Leftrightarrow - a \leq x \leq a$ .
$A \cap B$ gồm phần tử thuộc cả hai tập, $A ∖ B$ gồm phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ .
Phần bù $C_{R} B$ của $B = (- 3; 8]$ là $(- \infty; - 3] \cup (8; + \infty)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tập

A

cho bởi bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối còn

B

đã ở dạng bất đẳng thức kép, nên việc đầu tiên là đưa cả hai về dạng đoạn hoặc nửa khoảng. Hướng làm là bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ hai tập lên cùng một trục số để đọc ba phép toán. Bẫy nằm ở đầu mút

- 3

và

4

vì mỗi đầu mút thuộc tập này mà không thuộc tập kia.

1Cách 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi đọc kết quả trên trục số

Định hướng. Đưa $A$ về dạng đoạn, vẽ $A$ và $B$ lên một trục rồi đọc từng phép toán theo phần tô.

∣ x ∣ \leq 4 \Leftrightarrow - 4 \leq x \leq 4

nên

A = [- 4; 4]

- 3 < x \leq 8

nên

B = (- 3; 8]

Phần tô chung chạy từ

- 3

đến

4

, không lấy

- 3

và lấy

4

, nên

A \cap B = (- 3; 4]

Phần của

A

nằm ngoài

B

chạy từ

- 4

đến

- 3

, lấy cả hai đầu mút, nên

A ∖ B = [- 4; - 3]

Phần của

B

nằm ngoài

A

chạy từ

4

đến

8

, không lấy

4

và lấy

8

, nên

B ∖ A = (4; 8]

Vậy $A = [- 4; 4]$ , $B = (- 3; 8]$ , $A \cap B = (- 3; 4]$ , $A ∖ B = [- 4; - 3]$ và $B ∖ A = (4; 8]$ .

2Cách 2. Viết điều kiện của phần tử rồi giải hệ bất phương trình

Định hướng. Mỗi phép toán thành một hệ điều kiện về $x$ , giải hệ ấy là ra kết quả.

x \in A \cap B

khi và chỉ khi

- 4 \leq x \leq 4

và

- 3 < x \leq 8

Hệ này cho

- 3 < x \leq 4

nên

A \cap B = (- 3; 4]

x \in A ∖ B

khi và chỉ khi

- 4 \leq x \leq 4

và không có

- 3 < x \leq 8

, tức

x \leq - 3

hoặc

x > 8

Kết hợp lại được

- 4 \leq x \leq - 3

nên

A ∖ B = [- 4; - 3]

x \in B ∖ A

khi và chỉ khi

- 3 < x \leq 8

và

∣ x ∣ > 4

, cho

4 < x \leq 8

Vậy $A \cap B = (- 3; 4]$ , $A ∖ B = [- 4; - 3]$ và $B ∖ A = (4; 8]$ .

3Cách 3. Dùng phần bù để đổi phép hiệu thành phép giao

Định hướng. Áp dụng $X ∖ Y = X \cap C_{R} Y$ để chỉ phải làm phép giao.

C_{R} B = (- \infty; - 3] \cup (8; + \infty)

A ∖ B = [- 4; 4] \cap ((- \infty; - 3] \cup (8; + \infty)) = [- 4; - 3]

C_{R} A = (- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)

B ∖ A = (- 3; 8] \cap ((- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)) = (4; 8]

Vậy $A ∖ B = [- 4; - 3]$ và $B ∖ A = (4; 8]$ .

Nhận xét. Ba kết quả $A ∖ B$ , $A \cap B$ và $B ∖ A$ ghép lại vừa đúng $A \cup B = [- 4; 8]$ , đó là phép thử lại rất nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì vẽ một trục số là đọc được cả ba phép toán; Cách 3 nên nhớ khi đề hỏi phần bù hoặc khi hai tập không vẽ gọn trên một trục.

Đáp số. a)

A = [- 4; 4]

và

B = (- 3; 8]

. b)

A \cap B = (- 3; 4]

;

A ∖ B = [- 4; - 3]

;

B ∖ A = (4; 8]

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

A ∖ B = [- 4; - 3)

vì thấy

B

mở tại

- 3

; đúng ra

- 3 \in / B

nên

- 3

phải được giữ lại trong

A ∖ B

. Lỗi thứ hai là giải

∣ x ∣ \leq 4

thành

x \leq 4

, làm mất nửa trái của đoạn.

🚀 Mở rộng. Hãy tính thêm

A \cup B = [- 4; 8]

rồi kiểm rằng ba tập

A ∖ B

A \cap B

B ∖ A

đôi một rời nhau và hợp lại đúng bằng

A \cup B

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 1.38★★★Trang 15— Tìm điều kiện của tham số để hai đoạn rời nhau

Bài 1.38 (trang 15). Cho hai tập hợp

A = [a; 5]

và

B = [- 2; 3]

, với

a < 5

. Số

a

cần thoả mãn điều kiện gì để

A \cap B = \emptyset

Kiến thức cần nhớ

Giao của hai đoạn $[a; b]$ và $[c; d]$ là $[max (a; c); min (b; d)]$ , rỗng khi $max (a; c) > min (b; d)$ .
Hai đoạn trên trục số rời nhau khi đoạn này nằm hẳn về một phía của đoạn kia.
Điều kiện $a < 5$ của đề bảo đảm $A = [a; 5]$ là một đoạn thực sự.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai đoạn trong đó một đoạn có đầu trái là tham số, dấu hiệu quen thuộc của dạng bài biện luận vị trí hai đoạn trên trục số. Hướng làm là hình dung đoạn

A

trượt dọc trục và tìm thời điểm nó vừa rời khỏi đoạn

B

. Bẫy của đề là giá trị

a = 3

: khi ấy hai đoạn còn chung đúng một điểm nên giao chưa rỗng, vì thế điều kiện phải là bất đẳng thức chặt.

1Cách 1. Trượt đoạn

A

trên trục số

Định hướng. Vẽ $B$ cố định rồi cho đầu trái của $A$ chạy từ trái sang phải và quan sát phần chung.

Khi

a \leq 3

thì điểm

3

thuộc cả

A

và

B

nên

A \cap B \neq = \emptyset

Khi

a > 3

thì mọi điểm của

A

đều lớn hơn

3

, trong khi mọi điểm của

B

đều nhỏ hơn hoặc bằng

3

, nên hai đoạn rời nhau

Ràng buộc của đề cho

a < 5

Kết hợp hai điều kiện được

3 < a < 5

Vậy $3 < a < 5$ .

2Cách 2. Tính trực tiếp giao của hai đoạn

Định hướng. Dùng công thức giao hai đoạn rồi buộc kết quả là tập rỗng.

A \cap B = [a; 5] \cap [- 2; 3] = [max (a; - 2); min (5; 3)] = [max (a; - 2); 3]

Đoạn

[max (a; - 2); 3]

rỗng khi

max (a; - 2) > 3

Vì

- 2 < 3

nên điều kiện trên tương đương

a > 3

Kết hợp với giả thiết

a < 5

được

3 < a < 5

Vậy $3 < a < 5$ .

3Cách 3. Xét mệnh đề phủ định rồi lấy phần bù

Định hướng. Tìm điều kiện để giao khác rỗng trước, sau đó lấy phần còn lại của điều kiện.

A \cap B \neq = \emptyset

khi và chỉ khi tồn tại

x

thoả

a \leq x \leq 5

và

- 2 \leq x \leq 3

Một giá trị

x

như thế tồn tại khi và chỉ khi

a \leq 3

, chẳng hạn lấy

x = max (a; - 2)

Phủ định của

a \leq 3

là

a > 3

Ghép với ràng buộc

a < 5

của đề được

3 < a < 5

Vậy $3 < a < 5$ .

Nhận xét. Với $a = 3$ thì $A \cap B = {3}$ khác rỗng, đây chính là giá trị phân định nên bất đẳng thức phải chặt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì công thức giao hai đoạn cho kết quả trong hai dòng và không phụ thuộc hình vẽ; Cách 1 nên vẽ nháp để khỏi quên trường hợp hai đoạn chạm nhau.

Đáp số.

3 < a < 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là viết

a \geq 3

vì nghĩ chỉ cần

A

nằm bên phải

B

; khi

a = 3

thì

A \cap B = {3}

vẫn khác rỗng. Lỗi thứ hai là quên ràng buộc

a < 5

rồi kết luận

a > 3

🚀 Mở rộng. Thử đổi

A

thành nửa khoảng

(a; 5]

: khi đó

A \cap B = \emptyset

ứng với

a \geq 3

, cho thấy đầu mút đóng hay mở làm đổi hẳn dấu bất đẳng thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 1.39★★★Trang 15— Liệt kê ba tập hợp rồi xét quan hệ giữa chúng

Bài 1.39 (trang 15). Cho các tập hợp sau:

A = {x ∣ x

là số nguyên tố và

20 \leq x \leq 30}

;

B = {x ∣ x

là bội của

18

và

20 \leq x \leq 30}

;

C

là tập hợp các nghiệm nguyên dương của phương trình

x^{3} - 52 x^{2} + 667 x = 0

.
Hãy điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai.
a)

25 \in A

☐
b)

A \subset B

☐
c)

A = C

☐

Kiến thức cần nhớ

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước là $1$ và chính nó.
Đặt nhân tử chung đưa phương trình bậc ba $x^{3} - 52 x^{2} + 667 x = 0$ về $x (x^{2} - 52 x + 667) = 0$ .
Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, nhưng một tập khác rỗng không thể là tập con của tập rỗng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba tập được mô tả bằng ba kiểu khác nhau là số nguyên tố, bội số và nghiệm phương trình, nên việc bắt buộc là liệt kê xong cả ba rồi mới trả lời. Hướng làm với tập

C

là đặt nhân tử chung

x

để hạ bậc phương trình. Bẫy nằm ở tập

B

vì nó rỗng, mà tập rỗng lại là tập con của mọi tập chứ không phải ngược lại.

1Cách 1. Liệt kê ba tập, giải phương trình bằng công thức nghiệm

Định hướng. Dò số nguyên tố và bội số trong đoạn đã cho, còn phương trình thì hạ bậc rồi tính biệt thức.

Các số từ

20

đến

30

là số nguyên tố gồm

23

và

29

nên

A = {23; 29}

Bội của

18

gần đoạn này là

18

và

36

, không số nào nằm trong đoạn

[20; 30]

nên

B = \emptyset

x^{3} - 52 x^{2} + 667 x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 52 x + 667) = 0

x^{2} - 52 x + 667 = 0

có

Δ = (- 52)^{2} - 4 \cdot 667 = 2704 - 2668 = 36

nên

x = \frac{52 + 6}{2} = 29

hoặc

x = \frac{52 - 6}{2} = 23

Nghiệm

x = 0

bị loại vì không dương nên

C = {23; 29}

Vậy a) S vì $25 = 5^{2}$ không nguyên tố; b) S vì $A$ có hai phần tử còn $B$ rỗng; c) Đ vì $A = C = {23; 29}$ .

2Cách 2. Tách hạng tử để phân tích phương trình thành tích

Định hướng. Tìm hai số có tổng $52$ và tích $667$ để tách hạng tử giữa của thừa số bậc hai.

667 = 23 \cdot 29

và

23 + 29 = 52

x^{2} - 52 x + 667 = x^{2} - 23 x - 29 x + 667 = x (x - 23) - 29 (x - 23) = (x - 23) (x - 29)

x^{3} - 52 x^{2} + 667 x = x (x - 23) (x - 29)

x (x - 23) (x - 29) = 0

cho

x = 0

x = 23

hoặc

x = 29

, trong đó chỉ

23

và

29

là nghiệm nguyên dương

Vậy $C = {23; 29} = A$ nên a) S, b) S, c) Đ.

3Cách 3. Dùng định lí Vi-ét để đoán rồi thử lại

Định hướng. Từ tổng và tích của hai nghiệm, dò cặp số nguyên thoả mãn rồi kiểm lại bằng phép thay số.

Sau khi đặt nhân tử chung, hai nghiệm khác

0

có tổng

52

và tích

667

Phân tích

667 = 23 \cdot 29

, thử thấy

23 + 29 = 52

đúng bằng tổng cần tìm

Thay

x = 23

2 3^{3} - 52 \cdot 2 3^{2} + 667 \cdot 23 = 12167 - 27508 + 15341 = 0

Thay

x = 29

2 9^{3} - 52 \cdot 2 9^{2} + 667 \cdot 29 = 24389 - 43732 + 19343 = 0

Vậy $C = {23; 29}$ , do đó a) S, b) S, c) Đ.

Nhận xét. Hai nghiệm $23$ và $29$ đều là số nguyên tố, đó là lí do tập $C$ trùng khít với tập $A$ các số nguyên tố trong đoạn $[20; 30]$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì nhận ra

667 = 23 \cdot 29

là phân tích được ngay, khỏi tính

Δ

với số lớn; Cách 1 dùng khi không nhẩm ra cặp ước.

Đáp số. a) S. b) S. c) Đ. Cụ thể

A = {23; 29}

B = \emptyset

và

C = {23; 29}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở ý b là thấy

B = \emptyset

rồi điền Đ vì nhớ máy móc câu tập rỗng là tập con của mọi tập; ở đây chiều bao hàm ngược lại, phải là

B \subset A

mới đúng. Ở ý a nhiều bạn nhầm

25

là số nguyên tố vì thấy nó lẻ.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đoạn thành

18 \leq x \leq 36

thì

B = {18; 36}

khác rỗng, lúc đó cả ba mệnh đề của đề đều phải xét lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 1.40★★Trang 15— Bài toán đếm dùng biểu đồ Ven và phần bù

Bài 1.40 (trang 15). Lớp 10A có

40

học sinh, trong đó có

20

học sinh thích môn Ngữ văn,

18

học sinh thích môn Toán,

4

học sinh thích cả hai môn Ngữ văn và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ văn và Toán?

Kiến thức cần nhớ

Số phần tử của hợp hai tập hữu hạn: $n (V \cup T) = n (V) + n (T) - n (V \cap T)$ .
Số học sinh không thuộc nhóm nào bằng sĩ số trừ đi số học sinh thuộc hợp hai nhóm.
Biểu đồ Ven chia lớp thành bốn miền rời nhau: chỉ thích Văn, thích cả hai, chỉ thích Toán, không thích môn nào.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sĩ số cả lớp cùng số học sinh của hai nhóm và nhóm chung, nên bài này gồm hai nhịp: đếm nhóm thích ít nhất một môn rồi lấy phần bù. Hướng an toàn là chia lớp thành bốn miền rời nhau trên biểu đồ Ven, như vậy không bạn nào bị đếm thiếu hoặc đếm thừa. Cạm bẫy là cộng thẳng

20 + 18 = 38

rồi lấy

40 - 38 = 2

, tức quên trừ phần chung.

1Cách 1. Dùng công thức số phần tử của hợp rồi lấy phần bù

Định hướng. Đếm số học sinh thích ít nhất một môn trước, sau đó trừ khỏi sĩ số.

Gọi

V

và

T

là tập học sinh thích môn Ngữ văn và tập học sinh thích môn Toán

n (V \cup T) = n (V) + n (T) - n (V \cap T) = 20 + 18 - 4

n (V \cup T) = 34

(học sinh)

Số học sinh không thích môn nào là

40 - 34 = 6

(học sinh)

Vậy có $6$ học sinh không thích môn nào trong hai môn.

2Cách 2. Chia lớp thành bốn miền trên biểu đồ Ven

Định hướng. Tính số học sinh của ba miền trong hai vòng rồi suy ra miền còn lại.

Số học sinh chỉ thích Ngữ văn là

20 - 4 = 16

(học sinh)

Số học sinh chỉ thích Toán là

18 - 4 = 14

(học sinh)

Ba miền trong hai vòng có

16 + 4 + 14 = 34

(học sinh)

Miền ngoài hai vòng có

40 - 34 = 6

(học sinh)

Vậy có $6$ học sinh không thích môn nào.

3Cách 3. Lập bảng hai chiều theo sở thích

Định hướng. Kẻ bảng hai hàng hai cột theo thích hay không thích từng môn rồi điền dần các ô.

Ô thích cả hai môn ghi

4

Hàng thích Ngữ văn có tổng

20

nên ô thích Ngữ văn mà không thích Toán ghi

20 - 4 = 16

Cột thích Toán có tổng

18

nên ô thích Toán mà không thích Ngữ văn ghi

18 - 4 = 14

Tổng bốn ô bằng sĩ số nên ô không thích môn nào ghi

40 - 16 - 4 - 14 = 6

Vậy có $6$ học sinh không thích môn nào.

Nhận xét. Bảng hai chiều cho thấy bốn ô luôn cộng đúng bằng sĩ số, nên tự nó là một phép kiểm tra lại kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hai dòng tính là xong; Cách 3 đáng dùng khi đề cho dữ kiện lắt léo kiểu số học sinh không thích Ngữ văn, vì bảng lấp đầy dần rất khó sai.

Đáp số. Có

6

học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ văn và Toán.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là tính

40 - (20 + 18) = 2

do quên rằng

4

bạn thích cả hai môn đã bị đếm hai lần trong tổng

20 + 18

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi thành lớp có

6

học sinh không thích môn nào và hỏi số học sinh thích cả hai môn thì cách làm đảo lại, ta được

20 + 18 - (40 - 6) = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 1.41★★★Trang 15— Bài toán đếm ngược tìm số phần tử phần giao

Bài 1.41 (trang 15). Thống kê tại một trung tâm mua sắm gồm

46

cửa hàng, với

26

cửa hàng có bán quần áo,

16

cửa hàng có bán giày và

34

cửa hàng bán ít nhất một trong hai mặt hàng này. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cửa hàng bán cả quần áo và giày?
b) Có bao nhiêu cửa hàng chỉ bán một trong hai loại quần áo hoặc giày?
c) Có bao nhiêu cửa hàng không bán cả hai loại hàng hoá trên?

Kiến thức cần nhớ

Số phần tử của hợp hai tập hữu hạn: $n (Q \cup G) = n (Q) + n (G) - n (Q \cap G)$ .
Ba miền rời nhau của hai vòng Ven là chỉ thuộc $Q$ , thuộc cả hai, chỉ thuộc $G$ .
Số phần tử không thuộc tập nào bằng tổng số phần tử trừ đi số phần tử của hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Khác với bài đếm thông thường, ở đây số phần tử của hợp lại được cho sẵn còn phần giao mới là ẩn, đó là dấu hiệu của bài toán đếm ngược. Hướng làm là đặt ẩn cho số cửa hàng bán cả hai mặt hàng rồi lập một phương trình theo ba miền của biểu đồ Ven. Bẫy ở câu b là cụm chỉ bán một trong hai loại, nghĩa là phải trừ hẳn phần bán cả hai chứ không phải cộng hai số

26

và

16

1Cách 1. Đặt ẩn cho phần giao rồi lập phương trình theo ba miền

Định hướng. Gọi ẩn là số cửa hàng bán cả hai mặt hàng, biểu diễn ba miền theo ẩn ấy rồi cộng lại.

Gọi

x

là số cửa hàng bán cả quần áo và giày, với

x \in N

Số cửa hàng chỉ bán quần áo là

26 - x

, số cửa hàng chỉ bán giày là

16 - x

Ba miền cộng lại cho số cửa hàng bán ít nhất một mặt hàng:

(26 - x) + x + (16 - x) = 42 - x

42 - x = 34

nên

x = 42 - 34

x = 8

Vậy a) có $8$ cửa hàng bán cả hai mặt hàng; b) số cửa hàng chỉ bán một loại là $(26 - 8) + (16 - 8) = 18 + 8 = 26$ ; c) số cửa hàng không bán loại nào là $46 - 34 = 12$ .

2Cách 2. Dùng thẳng công thức số phần tử của hợp

Định hướng. Thay ba số đã biết vào công thức rồi rút ra số phần tử phần giao.

n (Q \cup G) = n (Q) + n (G) - n (Q \cap G)

34 = 26 + 16 - n (Q \cap G)

n (Q \cap G) = 26 + 16 - 34

n (Q \cap G) = 8

Số cửa hàng chỉ bán một loại là

n (Q \cup G) - n (Q \cap G) = 34 - 8 = 26

Số cửa hàng không bán loại nào là

46 - n (Q \cup G) = 46 - 34 = 12

Vậy a) $8$ cửa hàng; b) $26$ cửa hàng; c) $12$ cửa hàng.

3Cách 3. Đếm số lượt bán hàng rồi tìm phần dôi

Định hướng. So tổng số lượt được kể với số cửa hàng thực có để tìm phần bị kể hai lần.

Tổng số lượt được kể tên là

26 + 16 = 42

(lượt)

Thực tế chỉ có

34

cửa hàng bán ít nhất một mặt hàng

Phần dôi

42 - 34 = 8

(lượt) chính là số cửa hàng bị kể hai lần, tức bán cả hai mặt hàng

Số cửa hàng chỉ bán một loại là

34 - 8 = 26

và số cửa hàng không bán loại nào là

46 - 34 = 12

Vậy a) $8$ cửa hàng; b) $26$ cửa hàng; c) $12$ cửa hàng.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $18 + 8 + 8 + 12 = 46$ đúng bằng tổng số cửa hàng của trung tâm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì công thức hợp cho ngay số phần giao mà không cần đặt ẩn; Cách 3 rất hợp để nhẩm nhanh và để giải thích vì sao phải trừ đi phần chung.

Đáp số. a)

8

cửa hàng bán cả quần áo và giày. b)

26

cửa hàng chỉ bán một trong hai loại. c)

12

cửa hàng không bán cả hai loại.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b là lấy

26 + 16 = 42

rồi trả lời

42

cửa hàng, tức vẫn tính cả những cửa hàng bán hai mặt hàng; cũng có bạn ở câu c lấy

46 - 26 - 16 = 4

do trừ hai lần phần chung.

🚀 Mở rộng. Nếu trung tâm mở thêm

4

cửa hàng chỉ bán giày thì

n (G) = 20

, số cửa hàng bán ít nhất một mặt hàng thành

38

và số cửa hàng không bán loại nào giảm còn

50 - 38 = 12

Mở bài này trong app ↗