Bài 1 · 1.16★Trang 12— Nhận biết mệnh đề trong các câu cho trước
Bài 1.16 (trang 12). Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. 6+x=4x2. B. a<2. C. 123 là số nguyên tố phải không? D. Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.
Câu chứa biến chưa phải là mệnh đề vì tính đúng sai còn phụ thuộc giá trị của biến.
Câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn phương án thuộc bốn kiểu câu khác nhau nên đây là bài kiểm tra định nghĩa mệnh đề chứ không phải bài tính toán. Hướng nhanh nhất là soi xem câu có khẳng định được đúng hay sai một cách dứt khoát hay không, khỏi cần biết nội dung đó có đúng thật hay không. Bẫy của đề nằm ở phương án D: nhiều bạn thấy nội dung sai liền loại, quên rằng mệnh đề sai vẫn là mệnh đề.
1Cách 1. Đối chiếu từng câu với định nghĩa mệnh đề
Định hướng. Với mỗi câu, tự hỏi một câu duy nhất: câu này đúng hay sai, trả lời dứt khoát được không.
A. 6+x=4x2 còn chứa biến x nên chưa trả lời được đúng hay sai
B. a<2 còn chứa biến a nên cũng chưa trả lời được đúng hay sai
C. Câu 123 là số nguyên tố phải không là câu nghi vấn, không khẳng định điều gì
D. Câu Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam khẳng định một điều sai, nhưng vẫn là một khẳng định dứt khoát
Vậy chỉ có câu D là mệnh đề, chọn D.
2Cách 2. Thử gán giá trị để lộ mặt mệnh đề chứa biến
Định hướng. Nếu thay số vào mà tính đúng sai thay đổi được thì câu đó chỉ là mệnh đề chứa biến.
A. với x=0 thì 6+0=0 là sai, với x=2 thì 6+2=16 cũng sai, còn với x là nghiệm của 4x2−x−6=0 thì lại đúng
B. với a=1 thì 1<2 đúng, với a=5 thì 5<2 sai
C. câu nghi vấn không nhận giá trị đúng sai nên không thử được
D. không có biến nào để thay, tính sai của câu là cố định
Vậy hai câu A, B là mệnh đề chứa biến, câu C không phải mệnh đề, chọn D.
3Cách 3. Phân loại câu theo kiểu ngữ pháp
Định hướng. Xếp bốn câu vào ba ngăn: câu có biến, câu hỏi, câu khẳng định về đối tượng đã xác định.
Ngăn câu có biến chứa A và B
Ngăn câu hỏi chứa C vì tận cùng bằng cụm phải không
Ngăn câu khẳng định về đối tượng đã xác định chỉ còn D
Chỉ ngăn thứ ba cho ra mệnh đề
Vậy câu D là mệnh đề duy nhất, chọn D.
Nhận xét. Cách phân ngăn này dùng lại được cho mọi bài nhận biết mệnh đề, kể cả khi đề cho tới bảy tám câu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần liếc kiểu câu là loại xong ba phương án, không phải tính toán gì; Cách 2 tuy chắc chắn nhưng mất thời gian thử số.
Đáp số.Chọn D. Câu Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Nam Việt Nam là mệnh đề (mệnh đề sai).
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là loại luôn D vì thấy nội dung sai, trong khi mệnh đề sai vẫn là mệnh đề; ngược lại nhiều bạn chọn A vì thấy có dấu bằng nên tưởng là khẳng định, quên rằng 6+x=4x2 còn chứa biến.
🚀 Mở rộng.Thử đổi câu C thành 123 là số nguyên tố thì câu đó lập tức thành mệnh đề (sai, vì 123=3⋅41), khi đó đề sẽ có hai mệnh đề và câu hỏi phải đổi cách hỏi.
Bài 2 · 1.17★★Trang 12— Quan hệ giữa tập rỗng và một tập một phần tử
Bài 1.17 (trang 12). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∅={0}. B. ∅⊂{0}. C. {0}⊂∅. D. 0⊂∅.
Kiến thức cần nhớ
Tập rỗng ∅ không chứa phần tử nào; tập {0} chứa đúng một phần tử là số 0.
Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Ký hiệu ∈ nối một phần tử với một tập hợp, ký hiệu ⊂ nối hai tập hợp.
🧠 Phân tích tư duy
Cả bốn phương án đều xoay quanh tập rỗng và tập {0}, dấu hiệu của dạng bài phân biệt phần tử với tập hợp. Hướng an toàn nhất là đếm số phần tử của hai tập rồi đọc kĩ ký hiệu đứng giữa chúng là ∈ hay ⊂. Bẫy lớn nhất là số 0: nó là một phần tử chứ không phải một tập hợp, nên viết 0⊂∅ là sai ngay từ mặt ký hiệu.
1Cách 1. Đếm số phần tử của hai tập
Định hướng. Hai tập bằng nhau thì phải có cùng số phần tử, nên chỉ cần đếm là loại được ngay.
∅ có 0 phần tử, còn {0} có 1 phần tử nên A sai
0∈{0} nhưng 0∈/∅ nên C sai
Vế trái của D là số 0, không phải tập hợp, nên ký hiệu ⊂ dùng sai
Theo quy ước, ∅⊂X với mọi tập X nên ∅⊂{0}
Vậy mệnh đề đúng là B, chọn B.
2Cách 2. Dùng thẳng định nghĩa tập con
Định hướng. Viết X⊂Y thành mệnh đề kéo theo với mọi x rồi xét tính đúng sai của nó.
∅⊂{0} nghĩa là nếu x∈∅ thì x∈{0}
Giả thiết x∈∅ không bao giờ xảy ra nên mệnh đề kéo theo luôn đúng
{0}⊂∅ nghĩa là nếu x∈{0} thì x∈∅
Lấy x=0 thì giả thiết đúng mà kết luận sai nên mệnh đề kéo theo này sai
Vậy B đúng và C sai, chọn B.
3Cách 3. Liệt kê toàn bộ tập con của hai tập
Định hướng. Viết ra hết các tập con rồi nhìn xem tập nào có mặt trong danh sách của tập nào.
Các tập con của {0} là ∅ và {0}
Tập con duy nhất của ∅ là ∅
∅ có trong danh sách tập con của {0} nên B đúng
{0} không có trong danh sách tập con của ∅ nên C sai
Vậy chọn B.
Nhận xét. Danh sách tập con còn cho thấy một tập có n phần tử thì có 2n tập con, ở đây 21=2 và 20=1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ mất hai dòng đếm phần tử; Cách 3 hay ở chỗ giải thích được vì sao tập rỗng luôn nằm trong danh sách tập con.
Đáp số.Chọn B. ∅⊂{0}.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm phổ biến là coi ∅ và {0} như nhau vì đều gắn với số 0; thực ra {0} là cái túi có một viên bi, còn ∅ là cái túi rỗng. Lỗi thứ hai là viết 0⊂∅ thay cho 0∈/∅.
🚀 Mở rộng.Cùng kiểu hỏi này, hãy thử với ∅ và {∅}: khi đó ∅∈{∅} và ∅⊂{∅} đều đúng.
Bài 4 · 1.19★★Trang 12— Xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo về các tập hợp số
Bài 1.19 (trang 12). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ không âm. B. Nếu a là số hữu tỉ không âm thì a là số tự nhiên. C. Nếu a là số hữu tỉ dương thì a là số tự nhiên. D. Nếu a không là số tự nhiên thì a không phải là số hữu tỉ không âm.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề nếu x∈X thì x∈Y đúng với mọi x khi và chỉ khi X⊂Y.
Ta có N⊂Z⊂Q và mọi số tự nhiên đều lớn hơn hoặc bằng 0.
Mệnh đề phản đảo của nếu P thì Q là nếu không Q thì không P, hai mệnh đề này luôn cùng đúng hoặc cùng sai.
Bài 5 · 1.20★★Trang 12— Phân biệt ký hiệu thuộc và ký hiệu tập con
Bài 1.20 (trang 12). Cho x là một phần tử của tập hợp X. Xét các mệnh đề sau: (I)x∈X; (II){x}∈X; (III)x⊂X; (IV){x}⊂X. Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. (I) và (II). B. (I) và (III). C. (I) và (IV). D. (II) và (IV).
Kiến thức cần nhớ
Ký hiệu ∈ đặt giữa một phần tử và một tập hợp chứa nó.
Bài 6 · 1.21★★Trang 12— Chuyển phương trình tích thành phép toán trên tập nghiệm
Bài 1.21 (trang 12). Cho ba tập hợp sau: E={x∈R∣f(x)=0}; F={x∈R∣g(x)=0}; H={x∈R∣f(x)⋅g(x)=0}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. H=E∩F. B. H=E∪F. C. H=E∖F. D. H=F∖E.
Kiến thức cần nhớ
Tích f(x)⋅g(x)=0 khi và chỉ khi f(x)=0 hoặc g(x)=0.
Liên từ hoặc trong mô tả tập hợp ứng với phép hợp, liên từ và ứng với phép giao.
Hai tập bằng nhau khi mỗi tập là tập con của tập kia.
Bài 7 · 1.22★★Trang 12— So sánh hai tập bội số bằng tính chất chia hết
Bài 1.22 (trang 12). Cho hai tập hợp X={n∈N∣n là bội của 2 và 3}, Y={n∈N∣n là bội của 6}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Y⊂X. B. X⊂Y. C. ∃n:n∈X và n∈/Y. D. X=Y.
Kiến thức cần nhớ
Nếu n chia hết cho a và chia hết cho b với a, b nguyên tố cùng nhau thì n chia hết cho a⋅b.
Hai số 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên bội chung nhỏ nhất của chúng là 6.
Hai tập bằng nhau thì mỗi tập là tập con của tập kia.
Bài 8 · 1.23★★Trang 13— Nhận ra tập rỗng qua phương trình vô nghiệm
Bài 1.23 (trang 13). Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A. M={x∈N∣x2−16=0}. B. N={x∈R∣x2+2x+5=0}. C. P={x∈R∣x2−15=0}. D. Q={x∈R∣x2+3x−4=0}.
Kiến thức cần nhớ
Phương trình ax2+bx+c=0 với a=0 vô nghiệm thực khi Δ=b2−4ac<0.
Tập hợp cho bởi một tính chất là rỗng khi không có phần tử nào thoả tính chất ấy.
Phải đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện loại số ghi trong mô tả tập hợp.
Bài 9 · 1.24★★Trang 13— Đếm số phần tử của hợp hai tập hợp
Bài 1.24 (trang 13). Lớp 10A có 10 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Vật lí, 8 học sinh giỏi cả môn Toán và Vật lí. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán hoặc Vật lí) của lớp 10A là A. 17. B. 25. C. 18. D. 23.
Kiến thức cần nhớ
Số phần tử của hợp hai tập hữu hạn: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B).
Biểu đồ Ven chia hai tập giao nhau thành ba miền rời nhau: chỉ thuộc A, thuộc cả hai, chỉ thuộc B.
Bài 13 · 1.28★★Trang 13— Xét tính đúng sai của mệnh đề tương đương hình học
Bài 1.28 (trang 13). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân. B. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC có ba góc bằng 60∘. C. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau. D. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân và có một góc 60∘.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề P⇔Q đúng khi cả hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P cùng đúng.
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau, khi đó ba góc đều bằng 60∘.
Tam giác cân chỉ cần hai cạnh bằng nhau nên chưa chắc đã đều.
Bài 14 · 1.29★Trang 13— Phủ định mệnh đề ghép bằng liên từ và
Bài 1.29 (trang 13). Mệnh đề phủ định của mệnh đề Số 12 chia hết cho 4 và 3 là A. Số 12 chia hết cho 4 hoặc chia hết cho 3. B. Số 12 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 3. C. Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3. D. Số 12 không chia hết cho 4 và chia hết cho 3.
Kiến thức cần nhớ
Phủ định của mệnh đề P và Q là mệnh đề không P hoặc không Q.
Phủ định của mệnh đề P hoặc Q là mệnh đề không P và không Q.
Phủ định của quan hệ chia hết là quan hệ không chia hết.
Bài 15 · 1.30★Trang 13— Đọc mệnh đề chứa ký hiệu tồn tại
Bài 1.30 (trang 13). Mệnh đề ∃x∈R,x2=15 được phát biểu là A. Bình phương của mỗi số thực bằng 15. B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 15. C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 15. D. Nếu x là một số thực thì x2=15.
Kiến thức cần nhớ
Ký hiệu ∀ đọc là với mọi, ký hiệu ∃ đọc là tồn tại hay có ít nhất một.
Ký hiệu ∃ chỉ khẳng định có, không nói có bao nhiêu.
Mệnh đề chứa ∃ đúng khi chỉ ra được một giá trị cụ thể thoả tính chất.
Bài 16 · 1.31★★★Trang 14— Xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo có lượng từ
Bài 1.31 (trang 14). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi số thực x, nếu x<−2 thì x2>4. B. Với mọi số thực x, nếu x2<4 thì x<−2. C. Với mọi số thực x, nếu x<−2 thì x2<4. D. Với mọi số thực x, nếu x2>4 thì x>−2.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề với mọi x, nếu P(x) thì Q(x) là sai khi tìm được một giá trị x làm P(x) đúng mà Q(x) sai.
Với mọi số thực x ta có x2=∣x∣2, nên ∣x∣>2 kéo theo x2>4.
Bài 17 · 1.32★Trang 14— Phủ định mệnh đề chứa lượng từ với mọi
Bài 1.32 (trang 14). Mệnh đề phủ định của mệnh đề x2+3x+1>0, với mọi x∈R là A. Tồn tại x∈R sao cho x2+3x+1>0. B. Tồn tại x∈R sao cho x2+3x+1≤0. C. Tồn tại x∈R sao cho x2+3x+1=0. D. Tồn tại x∈R sao cho x2+3x+1<0.
Kiến thức cần nhớ
Phủ định của mệnh đề với mọi x, P(x) là mệnh đề tồn tại x, không P(x).
Phủ định của quan hệ > là quan hệ ≤, không phải quan hệ <.
Hai mệnh đề phủ định nhau không bao giờ cùng đúng và cũng không bao giờ cùng sai.
Bài 18 · 1.33★Trang 14— Xét tính đúng sai của ba mệnh đề có lượng từ
Bài 1.33 (trang 14). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Mọi số tự nhiên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10; b) Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn 0; c) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề có lượng từ mọi chỉ cần một phản ví dụ là đủ để kết luận sai.
Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 luôn viết được dưới dạng 10k với k tự nhiên.
Theo quy ước, tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Bài 19 · 1.34★★Trang 14— Liệt kê tập hợp cho bởi điều kiện kép và xét bao hàm
Bài 1.34 (trang 14). Cho hai tập hợp sau: A={x∈N∣−4≤x≤−1}; B={x∈Z∣−1≤x≤3}. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Tập hợp A là tập rỗng; b) Tập hợp B là tập con của R.
Kiến thức cần nhớ
Tập số tự nhiên N gồm 0, 1, 2, 3, … nên mọi số tự nhiên đều lớn hơn hoặc bằng 0.
Bài 22 · 1.37★★★Trang 15— Viết tập hợp dạng đoạn, khoảng và thực hiện các phép toán
Bài 1.37 (trang 15). Cho hai tập hợp sau: A={x∈R∣∣x∣≤4}; B={x∈R∣−3<x≤8}. a) Viết hai tập hợp trên dưới dạng khoảng, đoạn. b) Xác định các tập hợp sau: A∩B; A∖B; B∖A.
Kiến thức cần nhớ
Với a>0 ta có ∣x∣≤a⇔−a≤x≤a.
A∩B gồm phần tử thuộc cả hai tập, A∖B gồm phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Bài 24 · 1.39★★★Trang 15— Liệt kê ba tập hợp rồi xét quan hệ giữa chúng
Bài 1.39 (trang 15). Cho các tập hợp sau: A={x∣x là số nguyên tố và 20≤x≤30}; B={x∣x là bội của 18 và 20≤x≤30}; C là tập hợp các nghiệm nguyên dương của phương trình x3−52x2+667x=0. Hãy điền Đ vào ô trống nếu mệnh đề đúng, điền S vào ô trống nếu mệnh đề sai. a) 25∈A ☐ b) A⊂B ☐ c) A=C ☐
Kiến thức cần nhớ
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Đặt nhân tử chung đưa phương trình bậc ba x3−52x2+667x=0 về x(x2−52x+667)=0.
Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, nhưng một tập khác rỗng không thể là tập con của tập rỗng.
Bài 25 · 1.40★★Trang 15— Bài toán đếm dùng biểu đồ Ven và phần bù
Bài 1.40 (trang 15). Lớp 10A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích môn Ngữ văn, 18 học sinh thích môn Toán, 4 học sinh thích cả hai môn Ngữ văn và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn nào trong hai môn Ngữ văn và Toán?
Kiến thức cần nhớ
Số phần tử của hợp hai tập hữu hạn: n(V∪T)=n(V)+n(T)−n(V∩T).
Số học sinh không thuộc nhóm nào bằng sĩ số trừ đi số học sinh thuộc hợp hai nhóm.
Biểu đồ Ven chia lớp thành bốn miền rời nhau: chỉ thích Văn, thích cả hai, chỉ thích Toán, không thích môn nào.
Bài 26 · 1.41★★★Trang 15— Bài toán đếm ngược tìm số phần tử phần giao
Bài 1.41 (trang 15). Thống kê tại một trung tâm mua sắm gồm 46 cửa hàng, với 26 cửa hàng có bán quần áo, 16 cửa hàng có bán giày và 34 cửa hàng bán ít nhất một trong hai mặt hàng này. Hỏi: a) Có bao nhiêu cửa hàng bán cả quần áo và giày? b) Có bao nhiêu cửa hàng chỉ bán một trong hai loại quần áo hoặc giày? c) Có bao nhiêu cửa hàng không bán cả hai loại hàng hoá trên?
Kiến thức cần nhớ
Số phần tử của hợp hai tập hữu hạn: n(Q∪G)=n(Q)+n(G)−n(Q∩G).
Ba miền rời nhau của hai vòng Ven là chỉ thuộc Q, thuộc cả hai, chỉ thuộc G.
Số phần tử không thuộc tập nào bằng tổng số phần tử trừ đi số phần tử của hợp.
