Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương II

SBT (Sách bài tập) Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 20 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.10★Trang 24— Nhận dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A.

2 x^{2} + 3 y > 4

; B.

x y + x < 5

; C.

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6

; D.

x + y^{3} \leq 3

Kiến thức cần nhớ

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ , $y$ có dạng $a x + b y + c < 0$ (hoặc $a x + b y + c > 0$ , $a x + b y + c \leq 0$ , $a x + b y + c \geq 0$ ), trong đó $a$ , $b$ , $c$ là những số đã cho và $a$ , $b$ không đồng thời bằng $0$ .
Mọi hạng tử chứa ẩn phải có bậc đúng bằng $1$ : không được xuất hiện $x^{2}$ , $y^{2}$ , $y^{3}$ hay $x y$ .
Luỹ thừa của một SỐ như $3^{2} = 9$ , $4^{3} = 64$ chỉ là hệ số, không làm tăng bậc của ẩn.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án chỉ khác nhau ở chỗ hạng tử chứa ẩn có bậc bao nhiêu, đó là dấu hiệu của dạng bài kiểm tra định nghĩa chứ không phải dạng bài tính toán. Hướng nhanh nhất là soi bậc của từng hạng tử chứa ẩn rồi loại ngay phương án nào có bậc lớn hơn một, khỏi phải biến đổi gì. Cạm bẫy nằm ở phương án C với

3^{2}

và

4^{3}

trông rất giống số mũ của ẩn, nhiều bạn vội loại vì thấy có dấu luỹ thừa mà quên rằng số mũ ấy đặt trên hằng số.

1Cách 1. Đối chiếu từng phương án với dạng chuẩn

a x + b y + c \geq 0

Định hướng. Viết lại mỗi phương án về dạng chỉ còn hai ẩn ở bậc nhất rồi xem có khớp khuôn $a x + b y + c \geq 0$ với $a$ , $b$ là hằng số hay không.

2 x^{2} + 3 y > 4

có hạng tử

2 x^{2}

với ẩn

x

ở bậc

2

x y + x < 5

có hạng tử

x y

với tổng số mũ của

x

và

y

bằng

2

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6

có

3^{2} = 9

và

4^{3} = 64

nên

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6 \Leftrightarrow 9 x + 64 y \geq 6

9 x + 64 y - 6 \geq 0

khớp khuôn

a x + b y + c \geq 0

với

a = 9

b = 64

c = - 6

x + y^{3} \leq 3

có hạng tử

y^{3}

với ẩn

y

ở bậc

3

Vậy chỉ phương án C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng bậc của hạng tử chứa ẩn

Định hướng. Với mỗi phương án chỉ cần tìm MỘT hạng tử chứa ẩn có bậc khác $1$ là đủ để loại, không cần xét tiếp các hạng tử còn lại.

A. bậc của

2 x^{2}

bằng

2

, mà

2 \neq = 1

B. bậc của

x y

bằng

1 + 1 = 2

, mà

2 \neq = 1

D. bậc của

y^{3}

bằng

3

, mà

3 \neq = 1

C. bậc của

3^{2} x

bằng

1

và bậc của

4^{3} y

bằng

1

, vì số mũ

2

và

3

đặt trên hằng số

3

và

4

Vậy ba phương án A, B, D đều bị loại, chỉ còn C.

3Cách 3. Xét bờ của mỗi bất phương trình có phải đường thẳng hay không

Định hướng. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có bờ là một ĐƯỜNG THẲNG và miền nghiệm là một nửa mặt phẳng; chỉ cần thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng rồi nhận dạng đường thu được.

A. bờ

2 x^{2} + 3 y = 4

cho

y = \frac{4 - 2 x ^{2}}{3}

, là một parabol

B. bờ

x y + x = 5

cho

y = \frac{5 - x}{x}

với

x \neq = 0

, là một hypebol

D. bờ

x + y^{3} = 3

cho

x = 3 - y^{3}

, là một đường cong bậc ba

C. bờ

3^{2} x + 4^{3} y = 6

cho

9 x + 64 y = 6

y = \frac{6 - 9 x}{64}

, là một đường thẳng

Vậy chỉ C có bờ là đường thẳng nên chỉ C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ cần nhẩm bậc của một hạng tử là loại được ngay ba phương án, mất chừng mười giây. Cách 3 tuy sáng nhưng phải rút

y

theo

x

nên chậm hơn, để dành khi muốn kiểm lại.

Đáp số. Chọn C. Bất phương trình

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6

, tức

9 x + 64 y \geq 6

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

3^{2}

và

4^{3}

có dấu luỹ thừa là gạch bỏ phương án C rồi đi tìm phương án khác, cuối cùng chọn B vì

x y + x < 5

trông có vẻ bậc nhất. Thực ra

x y

có bậc

1 + 1 = 2

: thử

x = y = 3

được

x y = 9

chứ không phải

3 + 3 = 6

như một hạng tử bậc nhất, nên B sai còn C mới đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi bất phương trình dạng

m^{p} x + n^{q} y + c \geq 0

với

m

n

p

q

là hằng số và

m^{p}

n^{q}

không đồng thời bằng

0

đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, dù số mũ

p

q

lớn tới đâu.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.11★Trang 24— Nhận dạng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A.

{2 x + 3 y > 4 2^{3} x + 3 y^{2} < 1

; B.

{x + y > 4 2^{3} x + 3^{2} y < 1

; C.

⎩ ⎨ ⎧ x > 3 y < 2 x + y \geq y^{2}

; D.

⎩ ⎨ ⎧ x - y \leq 3 y < 1 x + y \geq x + x y

Kiến thức cần nhớ

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ , $y$ ; nghiệm của hệ là cặp số thoả mãn ĐỒNG THỜI mọi bất phương trình trong hệ.
Chỉ cần MỘT bất phương trình trong hệ không phải bậc nhất hai ẩn thì cả hệ không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trước khi kết luận phải rút gọn hai vế: một hạng tử bậc cao có thể bị triệt tiêu, cũng có thể còn lại sau khi rút gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn hệ mà mỗi hệ đều cố tình cài một hạng tử trông lạ mắt, đó là dấu hiệu của dạng bài kiểm tra định nghĩa theo kiểu quét từng dòng. Hướng an toàn là đọc lần lượt từng bất phương trình trong hệ, gặp dòng nào có ẩn ở bậc lớn hơn một thì gạch cả hệ ngay. Bẫy kép ở đây: phương án B có

2^{3}

và

3^{2}

chỉ là hệ số nên vẫn bậc nhất, còn phương án D phải rút gọn hai vế mới lộ ra hạng tử

x y

1Cách 1. Rút gọn hệ số luỹ thừa rồi soi từng bất phương trình trong hệ

Định hướng. Thay các luỹ thừa của số bằng giá trị cụ thể và rút gọn hai vế của từng dòng, sau đó mới xét bậc.

A. dòng thứ hai

2^{3} x + 3 y^{2} < 1 \Leftrightarrow 8 x + 3 y^{2} < 1

, còn hạng tử

3 y^{2}

bậc

2

B. dòng thứ hai

2^{3} x + 3^{2} y < 1 \Leftrightarrow 8 x + 9 y < 1

, cả hai hạng tử chứa ẩn đều bậc

1

B. dòng thứ nhất

x + y > 4

cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

C. dòng thứ ba

x + y \geq y^{2} \Leftrightarrow x + y - y^{2} \geq 0

, còn hạng tử

y^{2}

bậc

2

D. dòng thứ ba

x + y \geq x + x y \Leftrightarrow y - x y \geq 0

, còn hạng tử

x y

bậc

2

Vậy chỉ hệ ở phương án B gồm toàn bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn B.

2Cách 2. Loại trừ nhờ chỉ ra một dòng có bậc lớn hơn 1 trong mỗi hệ sai

Định hướng. Mỗi hệ chỉ cần tìm đúng một dòng vi phạm là gạch được cả hệ, nên quét tìm dòng chứa $x^{2}$ , $y^{2}$ hoặc $x y$ trước tiên.

A. dòng

2^{3} x + 3 y^{2} < 1

chứa

y^{2}

nên A bị loại

C. dòng

x + y \geq y^{2}

chứa

y^{2}

nên C bị loại

D. dòng

x + y \geq x + x y

sau khi bớt

x

ở hai vế còn

y \geq x y

, chứa

x y

nên D bị loại

Còn lại duy nhất hệ B

Vậy chọn B.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng bờ: mỗi dòng của hệ bậc nhất phải cho một đường thẳng

Định hướng. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là giao của các nửa mặt phẳng, nên mọi bờ đều phải là đường thẳng; thay từng dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng rồi nhận dạng.

A. bờ

8 x + 3 y^{2} = 1

cho

x = \frac{1 - 3 y ^{2}}{8}

, là một parabol

C. bờ

x + y = y^{2}

cho

x = y^{2} - y

, cũng là một parabol

D. bờ

y = x y

cho

y (1 - x) = 0

, là hợp của hai đường thẳng

y = 0

và

x = 1

chứ không phải một đường thẳng

B. hai bờ là

x + y = 4

và

8 x + 9 y = 1

, đều là đường thẳng

Vậy chỉ B có mọi bờ là đường thẳng, chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì quét tìm dấu hiệu

y^{2}

và

x y

nhanh hơn hẳn việc rút gọn đầy đủ từng dòng. Chỉ riêng phương án D phải bớt

x

ở hai vế mới thấy

x y

, nên đừng bỏ qua bước rút gọn ở dòng nào có ẩn xuất hiện ở cả hai vế.

Đáp số. Chọn B. Hệ

{x + y > 4 2^{3} x + 3^{2} y < 1

, tức

{x + y > 4 8 x + 9 y < 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là bỏ qua phương án D vì thấy hai dòng đầu

x - y \leq 3

và

y < 1

rất chuẩn, rồi kết luận D đúng. Dòng thứ ba

x + y \geq x + x y

bớt

x

ở hai vế thành

y \geq x y

: thử

x = 2

y = 3

được

3 \geq 6

là sai, còn

x = 0

y = 3

được

3 \geq 0

là đúng, chứng tỏ bờ

y = x y

không phải một đường thẳng nên D bị loại.

🚀 Mở rộng. Thử đổi dòng thứ ba của phương án D thành

x + y \geq x + 2 y

: khi đó rút gọn cho

- y \geq 0

, vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với

a = 0

b = - 1

, và cả hệ D lại trở thành hệ bậc nhất hai ẩn.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.12★Trang 24— Kiểm tra một điểm có thuộc miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình

2 x + 5 y \leq 10

? A.

(5; 2)

; B.

(- 1; 4)

; C.

(2; 1)

; D.

(- 5; 6)

Kiến thức cần nhớ

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là một nghiệm của bất phương trình $a x + b y + c \leq 0$ khi và chỉ khi $a x_{0} + b y_{0} + c \leq 0$ .
Miền nghiệm của $a x + b y + c \leq 0$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $a x + b y + c = 0$ , kể cả bờ.
Hai điểm nằm cùng một phía so với bờ thì cho $a x + b y + c$ cùng dấu; nằm khác phía thì cho hai dấu trái nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi điểm nào thoả một bất phương trình cụ thể, đây là dạng thay số kiểm tra nên chỉ cần tính giá trị của

2 x + 5 y

tại từng điểm. Hướng thay trực tiếp là ngắn nhất vì chỉ có bốn phép nhân cộng rất nhỏ, không cần vẽ hình. Chỗ dễ nhầm là dấu của hoành độ âm ở hai phương án B và D, chỉ cần lỡ bỏ dấu trừ là đáp số đổi hẳn.

1Cách 1. Thay trực tiếp toạ độ từng điểm vào bất phương trình

Định hướng. Tính giá trị $2 x + 5 y$ tại bốn điểm rồi so với $10$ .

2 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 10 + 10

= 20

, mà

20 > 10

2 \cdot (- 1) + 5 \cdot 4 = - 2 + 20

= 18

, mà

18 > 10

2 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 4 + 5

= 9

, mà

9 \leq 10

2 \cdot (- 5) + 5 \cdot 6 = - 10 + 30

= 20

, mà

20 > 10

Vậy chỉ điểm $(2; 1)$ thuộc miền nghiệm, chọn C.

2Cách 2. Xét dấu của biểu thức

g (x; y) = 2 x + 5 y - 10

so với gốc toạ độ

Định hướng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ vì $g (0; 0) < 0$ , nên điểm nào cho $g$ âm hoặc bằng $0$ thì cùng phía với gốc và thuộc miền nghiệm.

g (0; 0) = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 10 = - 10 < 0

, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ

g (5; 2) = 20 - 10 = 10 > 0

g (- 1; 4) = 18 - 10 = 8 > 0

g (2; 1) = 9 - 10 = - 1 < 0

g (- 5; 6) = 20 - 10 = 10 > 0

Vậy chỉ $(2; 1)$ cùng phía với gốc toạ độ nên chỉ điểm đó thuộc miền nghiệm, chọn C.

3Cách 3. Vẽ bờ rồi đọc vị trí bốn điểm trên hình

Định hướng. Dựng đường thẳng bờ qua hai điểm đặc biệt, tô nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ rồi chấm bốn điểm lên hình để nhìn thấy điểm nào rơi vào phần tô.

Bờ

2 x + 5 y = 10

đi qua

(5; 0)

vì

2 \cdot 5 + 5 \cdot 0 = 10

Bờ đi qua

(0; 2)

vì

2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10

Gốc toạ độ cho

0 \leq 10

nên phần tô là nửa mặt phẳng phía dưới bờ, kể cả bờ

Trên hình, ba điểm

(5; 2)

(- 1; 4)

(- 5; 6)

đều nằm phía trên bờ

Riêng

(2; 1)

nằm trong phần tô

Vậy chọn C.

Nhận xét. Hình vẽ còn cho thấy ba điểm bị loại đều lệch khá xa bờ, nên nếu chỉ nhẩm nhanh cũng khó chọn sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bốn phép tính đều là số nguyên nhỏ, làm nhẩm trong đầu khoảng mười lăm giây là xong. Cách 3 chỉ nên dùng khi đề yêu cầu vẽ miền nghiệm sẵn, vì mất thời gian dựng hình.

Đáp số. Chọn C. Điểm

(2; 1)

vì

2 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 9 \leq 10

Sai lầm thường gặp. Ở phương án B nhiều bạn tính

2 \cdot (- 1) + 5 \cdot 4

thành

2 + 20 = 22

do bỏ mất dấu trừ, hoặc thành

- 2 + 20 = 18

rồi lại kết luận

18 \leq 10

vì đọc nhầm chiều dấu. Giá trị đúng là

18

và

18 > 10

nên B không thuộc miền nghiệm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề thành

2 x + 5 y \geq 10

thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại, khi đó cả ba điểm

(5; 2)

(- 1; 4)

(- 5; 6)

đều là nghiệm còn

(2; 1)

bị loại.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.13★★Trang 24— Loại điểm không thuộc miền nghiệm khi bất phương trình có dấu ngặt

Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình

2 x - 3 y > 13

? A.

(1; - 5)

; B.

(2; - 4)

; C.

(3; - 3)

; D.

(8; 1)

Kiến thức cần nhớ

Với dấu ngặt $>$ , miền nghiệm của $a x + b y > c$ KHÔNG chứa bờ $a x + b y = c$ ; bờ được vẽ bằng nét đứt.
Điểm nằm đúng trên bờ cho $a x + b y = c$ nên không thoả dấu ngặt, tức không thuộc miền nghiệm.
Nhiều điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì có thể thay toàn bộ bằng một tham số, nhờ đó tính một lần cho cả nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi điểm KHÔNG thuộc miền nghiệm và dấu bất đẳng thức lại là dấu ngặt, hai chi tiết ấy báo rằng đáp án rất có thể là điểm nằm ngay trên bờ. Hướng tính giá trị

2 x - 3 y

tại bốn điểm rồi so với

13

là chắc chắn nhất vì phát hiện được cả trường hợp bằng đúng

13

. Bẫy lớn nhất là thói quen thấy

2 x - 3 y = 13

thì reo lên thoả mãn, trong khi dấu ngặt đòi phải lớn hơn thực sự.

1Cách 1. Tính giá trị

2 x - 3 y

tại bốn điểm rồi so với 13

Định hướng. Thay lần lượt bốn cặp số và chú ý tách riêng trường hợp giá trị bằng đúng $13$ .

2 \cdot 1 - 3 \cdot (- 5) = 2 + 15

= 17

, mà

17 > 13

2 \cdot 2 - 3 \cdot (- 4) = 4 + 12

= 16

, mà

16 > 13

2 \cdot 3 - 3 \cdot (- 3) = 6 + 9

= 15

, mà

15 > 13

2 \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 16 - 3

= 13

, mà

13 > 13

là sai

Vậy điểm $(8; 1)$ không thuộc miền nghiệm, chọn D.

2Cách 2. Dùng tính chất ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng

x - y = 6

Định hướng. Ba điểm đầu đều có hiệu hoành độ trừ tung độ bằng $6$ , nên thay $y = x - 6$ để tính một lần cho cả nhóm rồi chỉ còn xét riêng điểm cuối.

1 - (- 5) = 6

2 - (- 4) = 6

3 - (- 3) = 6

nên ba điểm A, B, C cùng thuộc đường thẳng

x - y = 6

Trên đường thẳng ấy,

y = x - 6

nên

2 x - 3 y = 2 x - 3 (x - 6)

= 2 x - 3 x + 18

= - x + 18

Với

x = 1

x = 2

x = 3

được

17

16

15

, đều lớn hơn

13

Điểm D có

8 - 1 = 7 \neq = 6

nên không thuộc đường thẳng đó, phải tính riêng:

2 \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 13

Vậy chỉ D không thoả $2 x - 3 y > 13$ , chọn D.

3Cách 3. Nhìn hình: điểm nằm ngay trên bờ nét đứt thì bị loại

Định hướng. Vẽ bờ $2 x - 3 y = 13$ bằng nét đứt vì dấu ngặt, tô nửa mặt phẳng không chứa gốc toạ độ rồi xem điểm nào rơi đúng lên nét đứt.

2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0

, mà

0 > 13

là sai nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc toạ độ

Bờ đi qua

(8; 1)

vì

2 \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 13

Bờ cũng đi qua

(- 1; - 5)

vì

2 \cdot (- 1) - 3 \cdot (- 5) = 13

Trên hình, ba điểm A, B, C nằm hẳn trong phần tô còn D nằm đúng trên nét đứt

Vậy D không thuộc miền nghiệm, chọn D.

Nhận xét. Nếu đề đổi dấu thành $2 x - 3 y \geq 13$ thì bờ thành nét liền, điểm D lại trở thành nghiệm và câu hỏi sẽ không còn đáp án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó bắt được ngay trường hợp giá trị bằng đúng

13

, đúng chỗ đề gài bẫy. Cách 2 rất đẹp để hiểu vì sao ba số

17

16

15

giảm đều một đơn vị, nhưng phải nhận ra đường thẳng chung nên chậm hơn.

Đáp số. Chọn D. Điểm

(8; 1)

cho

2 \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 13

, không lớn hơn

13

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là tính đúng

2 \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 13

rồi kết luận D thuộc miền nghiệm vì nghĩ bờ luôn thuộc miền nghiệm. Dấu ở đây là

>

chứ không phải

\geq

, nên bờ bị loại: điểm

(8; 1)

nằm trên bờ và không phải nghiệm, trong khi điểm

(9; 1)

ngay bên cạnh cho

18 - 3 = 15 > 13

lại là nghiệm.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, mọi điểm dạng

(t; t - 6)

cho

2 x - 3 y = - t + 18

, nên điểm này thuộc miền nghiệm khi và chỉ khi

- t + 18 > 13

, tức

t < 5

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.14★Trang 24— Xác định bờ và phía của miền nghiệm một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho bất phương trình

x + 2 y \leq 3

. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = 3

chứa gốc toạ độ; B. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = 3

không chứa gốc toạ độ; C. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = - 3

chứa gốc toạ độ; D. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = - 3

không chứa gốc toạ độ.

Kiến thức cần nhớ

Bờ của miền nghiệm của $a x + b y \leq c$ là đường thẳng $a x + b y = c$ , lấy đúng vế phải của bất phương trình chứ không đổi dấu.
Muốn biết miền nghiệm nằm phía nào, thay toạ độ một điểm không nằm trên bờ vào bất phương trình; gốc toạ độ là điểm thử gọn nhất khi bờ không đi qua gốc.
Dấu $\leq$ cho miền nghiệm kể cả bờ, bờ vẽ nét liền.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định chỉ khác nhau ở hai chi tiết là phương trình bờ và việc có chứa gốc toạ độ hay không, đó là dấu hiệu nên phân xử bằng hai câu hỏi độc lập thay vì đọc cả bốn câu. Hướng hợp lý là chốt bờ trước để loại một nửa số phương án, rồi mới thử gốc toạ độ để chọn trong hai phương án còn lại. Cạm bẫy là thói quen chuyển hết sang một vế thành

x + 2 y - 3 \leq 0

rồi ghi bờ là

x + 2 y = - 3

do lẫn dấu của hằng số.

1Cách 1. Đọc bờ ngay từ bất phương trình rồi thử gốc toạ độ

Định hướng. Thay dấu $\leq$ bằng dấu bằng để có bờ, sau đó thay gốc toạ độ để biết miền nghiệm nằm phía nào.

Thay

\leq

bằng dấu bằng, bờ là đường thẳng

x + 2 y = 3

Gốc toạ độ cho

0 + 2 \cdot 0 = 0

0 \leq 3

là đúng nên gốc toạ độ thuộc miền nghiệm

Gốc toạ độ không nằm trên bờ vì

0 \neq = 3

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x + 2 y = 3$ chứa gốc toạ độ, chọn A.

2Cách 2. Loại trừ: chỉ ra

(0; - 1, 5)

thuộc bờ của C, D nhưng không phải bờ thật

Định hướng. Nếu bờ đúng là $x + 2 y = - 3$ thì mọi điểm trên đường ấy phải làm hai vế của bất phương trình bằng nhau; chỉ cần một điểm phản chứng là loại được cả hai phương án C và D.

Lấy điểm

(0; - \frac{3}{2})

thuộc đường thẳng

x + 2 y = - 3

vì

0 + 2 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 3

Tại điểm đó

x + 2 y = - 3

, mà

- 3 < 3

nên điểm đó nằm hẳn trong miền nghiệm chứ không nằm trên bờ

Một đường thẳng gồm toàn điểm trong của miền nghiệm thì không thể là bờ, nên hai phương án C và D bị loại

Còn A và B chỉ khác nhau ở chỗ có chứa gốc toạ độ hay không, thay gốc được

0 \leq 3

là đúng

Vậy chọn A.

3Cách 3. Dựng hình miền nghiệm rồi đọc kết quả trên hình

Định hướng. Vẽ bờ qua hai điểm đặc biệt, tô phần mặt phẳng thoả bất phương trình rồi quan sát gốc toạ độ nằm trong hay ngoài phần tô.

Bờ

x + 2 y = 3

đi qua

(3; 0)

vì

3 + 2 \cdot 0 = 3

Bờ đi qua

(1; 1)

vì

1 + 2 \cdot 1 = 3

Điểm

(3; 1)

cho

3 + 2 = 5

, mà

5 \leq 3

là sai nên phần tô nằm về phía bên kia so với điểm này

Trên hình, gốc toạ độ nằm trong phần tô và bờ vẽ nét liền vì dấu là

\leq

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x + 2 y = 3$ chứa gốc toạ độ, chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ gồm hai động tác là đọc bờ và thay gốc toạ độ, gần như không thể sai. Cách 2 hữu ích khi đề cố tình đổi dấu hằng số ở vế phải để gài bẫy.

Đáp số. Chọn A. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

x + 2 y = 3

, chứa gốc toạ độ và kể cả bờ.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chuyển vế thành

x + 2 y - 3 \leq 0

rồi viết bờ là

x + 2 y = - 3

do lấy luôn hằng số

- 3

đang đứng ở vế trái. Bờ phải là

x + 2 y - 3 = 0

, tức

x + 2 y = 3

: kiểm lại bằng điểm

(3; 0)

thì

3 + 2 \cdot 0 - 3 = 0

đúng, còn thay vào

x + 2 y = - 3

lại được

3 \neq = - 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát: miền nghiệm của

a x + b y \leq c

chứa gốc toạ độ khi và chỉ khi

c \geq 0

, vì thay gốc toạ độ được

0 \leq c

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.15★★Trang 25— Kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y < 2 x - 2 y > 4 x > 0

? A.

(- 1; 2)

; B.

(- 2; - 4)

; C.

(0; 1)

; D.

(2; - 4)

Kiến thức cần nhớ

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của một hệ bất phương trình khi và chỉ khi nó thoả mãn ĐỒNG THỜI mọi bất phương trình của hệ.
Chỉ cần vi phạm MỘT bất phương trình là cặp số bị loại, nên nên kiểm điều kiện đơn giản nhất trước.
Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của từng bất phương trình; khi mọi dấu đều ngặt thì toàn bộ các bờ đều không thuộc miền nghiệm và được vẽ nét đứt.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ có ba điều kiện mà một trong đó là

x > 0

, điều kiện chỉ liên quan tới hoành độ nên kiểm cực nhanh, đó là dấu hiệu nên sàng bằng điều kiện ấy trước. Hướng sàng này lợi vì ba trong bốn phương án có hoành độ không dương nên bị loại đồng loạt, chỉ còn một phương án phải kiểm đủ ba dòng. Chỗ dễ sai là phương án C với hoành độ bằng

0

, nhiều bạn coi

0 > 0

là đúng vì quen với dấu

\geq

1Cách 1. Thay lần lượt từng cặp số vào cả ba bất phương trình

Định hướng. Với mỗi cặp số, tính ba đại lượng $x + y$ , $x - 2 y$ và $x$ rồi đối chiếu với ba điều kiện của hệ.

(- 1; 2)

có

x = - 1

, mà

- 1 > 0

là sai

(- 2; - 4)

có

x = - 2

, mà

- 2 > 0

là sai

(0; 1)

có

x = 0

, mà

0 > 0

là sai

(2; - 4)

có

x + y = 2 + (- 4) = - 2

, mà

- 2 < 2

là đúng

x - 2 y = 2 - 2 \cdot (- 4) = 2 + 8 = 10

, mà

10 > 4

là đúng

x = 2

, mà

2 > 0

là đúng

Vậy chỉ cặp $(2; - 4)$ là nghiệm của hệ, chọn D.

2Cách 2. Sàng nhanh bằng điều kiện

x > 0

rồi mới kiểm hai điều kiện còn lại

Định hướng. Điều kiện $x > 0$ chỉ cần đọc hoành độ, nên dùng nó làm cái sàng đầu tiên để bỏ bớt phương án.

Ba hoành độ của A, B, C lần lượt là

- 1

- 2

0

, đều không lớn hơn

0

Vậy A, B, C đều bị loại chỉ bằng một lần đọc

Chỉ còn D với

x = 2 > 0

Kiểm hai dòng còn lại:

2 + (- 4) = - 2 < 2

và

2 - 2 \cdot (- 4) = 10 > 4

Vậy chọn D.

3Cách 3. Dựng miền nghiệm của hệ rồi đối chiếu vị trí bốn điểm

Định hướng. Vẽ ba bờ bằng nét đứt vì mọi dấu đều ngặt, lấy giao ba nửa mặt phẳng rồi chấm bốn điểm để thấy điểm nào rơi vào phần giao.

Ba bờ là

x + y = 2

x - 2 y = 4

và

x = 0

Điểm thử

(1; - 2)

cho

1 + (- 2) = - 1 < 2

1 - 2 \cdot (- 2) = 5 > 4

và

1 > 0

, cả ba đều đúng

Vậy miền nghiệm là phần mặt phẳng chứa

(1; - 2)

, giới hạn bởi ba nét đứt, với hai đỉnh

(0; - 2)

và

(\frac{8}{3}; - \frac{2}{3})

Trên hình, ba điểm

(- 1; 2)

(- 2; - 4)

(0; 1)

đều nằm ngoài phần tô

Riêng

(2; - 4)

nằm trong phần tô

Vậy chọn D.

Nhận xét. Hai đỉnh của miền được vẽ vòng hở vì cả ba bờ đều là nét đứt, nên bản thân hai đỉnh ấy cũng không phải nghiệm của hệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ một lần quét hoành độ là gạch được ba phương án, tổng thời gian chưa tới hai mươi giây. Cách 3 dài nhưng nên biết vì nó cho thấy toàn cảnh miền nghiệm, hữu ích khi đề hỏi thêm về đỉnh hay tính giới nội.

Đáp số. Chọn D. Cặp số

(2; - 4)

vì

2 + (- 4) = - 2 < 2

2 - 2 \cdot (- 4) = 10 > 4

và

2 > 0

Sai lầm thường gặp. Cặp

(0; 1)

hay bị chọn vì hai dòng đầu nhìn qua thấy ổn, nhưng phải loại ngay ở dòng

x > 0

: hoành độ bằng

0

thì

0 > 0

là sai. Thêm nữa cặp này còn vi phạm dòng thứ hai vì

0 - 2 \cdot 1 = - 2

và

- 2 > 4

cũng sai.

🚀 Mở rộng. Nếu nới cả ba dấu ngặt thành dấu không ngặt, hệ trở thành

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 2 x - 2 y \geq 4 x \geq 0

và khi đó hai đỉnh

(0; - 2)

(\frac{8}{3}; - \frac{2}{3})

trở thành nghiệm của hệ.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.16★★Trang 25— Tìm điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ - x + y < 2 x - 2 y > 1 y \leq 0

? A.

(- 3; 2)

; B.

(0; 1)

; C.

(4; - 1)

; D.

(- 2; 2)

Kiến thức cần nhớ

Điểm thuộc miền nghiệm của hệ phải thoả mãn mọi bất phương trình của hệ, thiếu một dòng là không thuộc.
Điều kiện $y \leq 0$ nghĩa là điểm nằm trên trục hoành hoặc ở nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành.
Có thể rút $y$ về một phía để hệ trở thành các chặn trên hoặc chặn dưới của $y$ theo $x$ , nhờ đó thấy ngay hình dạng miền nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Trong ba dòng của hệ có dòng

y \leq 0

nói riêng về tung độ, còn ba trong bốn phương án lại có tung độ dương, đó là dấu hiệu đề muốn ta loại nhanh bằng dòng ấy. Hướng biến đổi hệ thành các chặn của

y

theo

x

cũng rất đáng làm vì nó cho luôn hình dạng miền nghiệm chứ không chỉ trả lời một câu trắc nghiệm. Chỗ cần cẩn thận là dòng

x - 2 y > 1

có hệ số âm trước

y

, khi chia hai vế cho

- 2

phải đổi chiều bất đẳng thức.

1Cách 1. Thay trực tiếp toạ độ bốn điểm vào ba bất phương trình

Định hướng. Với mỗi điểm, tính ba đại lượng $- x + y$ , $x - 2 y$ và $y$ rồi đối chiếu ba điều kiện.

(- 3; 2)

có

y = 2

, mà

2 \leq 0

là sai

(0; 1)

có

y = 1

, mà

1 \leq 0

là sai

(- 2; 2)

có

y = 2

, mà

2 \leq 0

là sai

(4; - 1)

có

- x + y = - 4 + (- 1) = - 5

, mà

- 5 < 2

là đúng

x - 2 y = 4 - 2 \cdot (- 1) = 4 + 2 = 6

, mà

6 > 1

là đúng

y = - 1

, mà

- 1 \leq 0

là đúng

Vậy điểm $(4; - 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ, chọn C.

2Cách 2. Biến đổi hệ thành các chặn của

y

theo

x

Định hướng. Rút $y$ ra khỏi từng dòng để hệ trở thành ba chặn trên của $y$ , khi đó chỉ việc so tung độ của mỗi điểm với các chặn.

- x + y < 2 \Leftrightarrow y < x + 2

x - 2 y > 1 \Leftrightarrow - 2 y > 1 - x \Leftrightarrow y < \frac{x - 1}{2}

Hệ tương đương

⎩ ⎨ ⎧ y < x + 2 y < \frac{x - 1}{2} y \leq 0

Với

(4; - 1)

thì

x + 2 = 6

và

\frac{x - 1}{2} = \frac{3}{2}

, ta có

- 1 < \frac{3}{2}

- 1 < 6

và

- 1 \leq 0

Với

(- 3; 2)

(0; 1)

(- 2; 2)

thì tung độ đều dương nên vi phạm ngay dòng

y \leq 0

Vậy chọn C.

3Cách 3. Dựng miền nghiệm rồi đọc vị trí bốn điểm trên hình

Định hướng. Vẽ hai bờ đầu bằng nét đứt và bờ $y = 0$ bằng nét liền, lấy giao ba nửa mặt phẳng rồi chấm bốn điểm lên hình.

Ba bờ là

- x + y = 2

x - 2 y = 1

và

y = 0

Điểm thử

(3; - 1)

cho

- 3 + (- 1) = - 4 < 2

3 - 2 \cdot (- 1) = 5 > 1

và

- 1 \leq 0

, cả ba đều đúng

Giao ba nửa mặt phẳng là phần nằm dưới trục hoành, bên phải hai nét đứt, có hai đỉnh

(1; 0)

và

(- 5; - 3)

Trên hình, ba điểm

(- 3; 2)

(0; 1)

(- 2; 2)

đều ở phía trên trục hoành nên nằm ngoài phần tô

Riêng

(4; - 1)

nằm trong phần tô

Vậy chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nhưng bắt đầu từ dòng

y \leq 0

: chỉ đọc tung độ là gạch được ba phương án, rồi kiểm nốt hai dòng cho phương án còn lại. Cách 2 nên dùng khi đề yêu cầu mô tả miền nghiệm chứ không chỉ chọn một điểm.

Đáp số. Chọn C. Điểm

(4; - 1)

vì

- 4 + (- 1) = - 5 < 2

4 - 2 \cdot (- 1) = 6 > 1

và

- 1 \leq 0

Sai lầm thường gặp. Khi biến đổi

x - 2 y > 1

nhiều bạn chia hai vế cho

- 2

mà giữ nguyên chiều, viết thành

y > \frac{x - 1}{2}

. Thử lại với

(4; - 1)

thì

\frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}

và

- 1 > \frac{3}{2}

là sai, trong khi điểm này rõ ràng thoả

4 - 2 \cdot (- 1) = 6 > 1

, chứng tỏ chiều phải đổi thành

y < \frac{x - 1}{2}

🚀 Mở rộng. Từ hai chặn

y < x + 2

và

y < \frac{x - 1}{2}

ta thấy chặn nào nhỏ hơn sẽ quyết định: giải

x + 2 = \frac{x - 1}{2}

được

x = - 5

, nên với

x < - 5

thì chặn chặt hơn là

y < x + 2

, còn với

x > - 5

thì chặn chặt hơn là

y < \frac{x - 1}{2}

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.17★★★Trang 25— Đọc hệ bất phương trình từ hình vẽ miền nghiệm là một miền tam giác

Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây là miền tam giác

A B C

(miền không bị gạch) trong hình bên, với

A (0; 1)

B (1; 0)

C (0; - 1)

? A.

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 x - y \geq 1 x \geq 0

; B.

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 x - y \leq 1 x \geq 0

; C.

⎩ ⎨ ⎧ x - y \geq - 1 x + y \geq - 1 x \geq 0

; D.

⎩ ⎨ ⎧ x - y \geq - 1 x + y \geq - 1 y \geq 0

Kiến thức cần nhớ

Mỗi cạnh của miền đa giác nghiệm nằm trên bờ của một bất phương trình trong hệ, nên số cạnh cho biết số bất phương trình cần thiết.
Muốn biết mỗi bất phương trình mang dấu nào, lấy một điểm nằm hẳn bên trong miền rồi thay vào: dấu phải làm cho bất phương trình đúng.
Mọi đỉnh của miền đa giác đều phải thoả mãn toàn bộ hệ, vì đỉnh thuộc hai cạnh nên làm hai bất phương trình trở thành đẳng thức.

🧠 Phân tích tư duy

Hình cho một tam giác có hai cạnh nghiêng và một cạnh nằm trên trục tung, đó là dấu hiệu hệ phải gồm đúng ba bất phương trình với ba bờ là hai đường nghiêng và đường

x = 0

. Hướng nhanh nhất là viết phương trình ba cạnh từ ba đỉnh đã biết rồi dùng một điểm bên trong tam giác để chốt chiều của từng dấu. Bẫy của đề là hai phương án C và D dùng bờ

x - y = - 1

và

x + y = - 1

, những đường không hề đi qua ba đỉnh

A

B

C

nên phải bị loại ngay từ bước viết bờ.

1Cách 1. Viết phương trình ba cạnh rồi chốt dấu bằng một điểm bên trong tam giác

Định hướng. Từ ba đỉnh lập phương trình ba cạnh, sau đó thay một điểm nằm hẳn trong tam giác để biết mỗi bất phương trình phải mang dấu nào.

Cạnh

A B

đi qua

A (0; 1)

và

B (1; 0)

nên có phương trình

x + y = 1

Cạnh

B C

đi qua

B (1; 0)

và

C (0; - 1)

nên có phương trình

x - y = 1

Cạnh

A C

đi qua

A (0; 1)

và

C (0; - 1)

nên có phương trình

x = 0

Lấy điểm

I (\frac{1}{4}; 0)

nằm hẳn trong tam giác, thay vào ba bờ được

\frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}

\frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}

và

\frac{1}{4}

So với ba vế phải:

\frac{1}{4} < 1

\frac{1}{4} < 1

và

\frac{1}{4} > 0

Vậy ba dấu lần lượt là

x + y \leq 1

x - y \leq 1

và

x \geq 0

Vậy hệ cần tìm là $⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 x - y \leq 1 x \geq 0$ , chọn B.

2Cách 2. Loại trừ bằng cách bắt ba đỉnh phải thoả mãn cả hệ

Định hướng. Ba đỉnh $A$ , $B$ , $C$ thuộc miền nghiệm nên phải thoả mọi bất phương trình của hệ đúng; chỉ cần một đỉnh vi phạm là gạch cả phương án.

A. thay

A (0; 1)

vào

x - y \geq 1

được

0 - 1 = - 1

, mà

- 1 \geq 1

là sai nên A bị loại

C. thay

C (0; - 1)

vào

x + y \geq - 1

được

0 + (- 1) = - 1

nên đúng, nhưng thay

B (1; 0)

vào

x - y \geq - 1

được

1

nên cũng đúng, phải xét thêm điểm ngoài tam giác

C. thay điểm

(3; 0)

nằm ngoài tam giác được

3 - 0 = 3 \geq - 1

3 + 0 = 3 \geq - 1

và

3 \geq 0

, cả ba đều đúng nên miền nghiệm của C chứa điểm ngoài tam giác, C bị loại

D. thay

C (0; - 1)

vào

y \geq 0

được

- 1 \geq 0

là sai nên D bị loại

B. thay

A (0; 1)

được

1 \leq 1

- 1 \leq 1

0 \geq 0

; thay

B (1; 0)

được

1 \leq 1

1 \leq 1

1 \geq 0

; thay

C (0; - 1)

được

- 1 \leq 1

1 \leq 1

0 \geq 0

Vậy chỉ hệ B nhận cả ba đỉnh, chọn B.

3Cách 3. So tính giới nội: chỉ hệ nào cho miền bị chặn mới có thể là tam giác

Định hướng. Tam giác là miền giới nội, nên hệ đúng phải chặn được cả $x$ và $y$ ; ta xét xem mỗi hệ có cho phép $x$ hoặc $y$ lớn vô hạn hay không.

C. cộng hai dòng đầu được

2 x \geq - 2

, tức

x \geq - 1

, không có chặn trên cho

x

: điểm

(t; 0)

thoả hệ với mọi

t \geq 0

nên miền không giới nội

D. tương tự, điểm

(t; t)

thoả

t - t = 0 \geq - 1

t + t = 2 t \geq - 1

và

t \geq 0

với mọi

t \geq 0

nên miền không giới nội

A. cộng hai dòng đầu được

2 x \geq 2

, tức

x \geq 1

; trừ chúng được

2 y \leq 0

, tức

y \leq 0

, nhưng dòng đầu cho

y \leq 1 - x \leq 0

và dòng hai cho

y \leq x - 1

, miền là góc mở nên không phải tam giác

B. cộng hai dòng đầu được

2 x \leq 2

, tức

x \leq 1

, lại có

x \geq 0

nên

0 \leq x \leq 1

Với

0 \leq x \leq 1

thì

x - 1 \leq y \leq 1 - x

nên

y

cũng bị chặn, miền giới nội

Vậy chỉ hệ B cho miền giới nội và đó chính là tam giác $A B C$ , chọn B.

Nhận xét. Cách này mạnh ở chỗ không cần nhìn hình vẫn loại được ba phương án, chỉ dựa vào việc miền nghiệm phải bị chặn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đọc ba đỉnh trên hình rồi viết ba bờ là xong hai phần ba công việc, việc còn lại chỉ là thay một điểm bên trong. Cách 3 dành cho lúc hình bị mờ hoặc đề không cho toạ độ đỉnh.

Đáp số. Chọn B. Hệ

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 x - y \leq 1 x \geq 0

có miền nghiệm đúng là tam giác

A B C

với

A (0; 1)

B (1; 0)

C (0; - 1)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết cạnh

B C

qua

B (1; 0)

và

C (0; - 1)

thành

x + y = 1

vì lấy nhầm khuôn của cạnh

A B

. Kiểm lại: thay

C (0; - 1)

vào

x + y

được

0 + (- 1) = - 1 \neq = 1

, còn thay vào

x - y

được

0 - (- 1) = 1

đúng, nên cạnh

B C

phải là

x - y = 1

; nhầm chỗ này sẽ chọn phương án A.

🚀 Mở rộng. Vẫn cách làm ấy, nếu ba đỉnh đổi thành

A (0; k)

B (k; 0)

C (0; - k)

với

k > 0

thì hệ trở thành

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq k x - y \leq k x \geq 0

và diện tích tam giác bằng

k^{2}

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.18★★Trang 25— Nhận dạng hình dạng miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 1 x + y \leq 0 y \geq 0

là: A. Một nửa mặt phẳng; B. Miền tam giác; C. Miền tứ giác; D. Miền ngũ giác.

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao của các nửa mặt phẳng, nên nếu giới nội thì đó là một miền đa giác lồi.
Số đỉnh của miền đa giác bằng số cạnh; muốn tìm đỉnh, giải từng cặp phương trình bờ rồi loại các giao điểm không thoả toàn bộ hệ.
Một bất phương trình có bờ không góp cạnh nào cho miền thì là ràng buộc dư, không làm tăng số đỉnh.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ gồm ba bất phương trình nên miền nghiệm nhiều nhất có ba cạnh, tức câu trả lời chỉ có thể là nửa mặt phẳng hoặc miền tam giác, hai phương án tứ giác và ngũ giác bị loại về nguyên tắc. Hướng gọn nhất là kết hợp hai dòng

x + y \leq 0

và

y \geq 0

để kẹp

x

, nhờ đó thấy ngay miền bị chặn cả hai chiều. Chỗ dễ hụt là quên rằng

y \geq 0

cộng với

x + y \leq 0

buộc

x \leq 0

, nếu bỏ qua suy luận này sẽ tưởng miền mở về phía phải và chọn nửa mặt phẳng.

1Cách 1. Vẽ ba bờ rồi lấy giao ba nửa mặt phẳng bằng một điểm thử

Định hướng. Dựng ba đường bờ, chọn một điểm thử thoả cả hệ rồi giữ lại phần chung của ba nửa mặt phẳng chứa điểm ấy.

Ba bờ là

x = - 1

x + y = 0

và

y = 0

Điểm thử

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{4})

cho

- \frac{1}{2} \geq - 1

- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} \leq 0

và

\frac{1}{4} \geq 0

, cả ba đều đúng

Phần chung của ba nửa mặt phẳng chứa điểm thử được giới hạn bởi đúng ba đoạn thẳng nằm trên ba bờ

Ba bờ đôi một cắt nhau tại

(- 1; 0)

(- 1; 1)

và

(0; 0)

, cả ba điểm này đều thoả hệ

Vậy miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh $(0; 0)$ , $(- 1; 0)$ , $(- 1; 1)$ , chọn B.

2Cách 2. Đếm đỉnh: giải từng cặp phương trình bờ rồi lọc lại bằng cả hệ

Định hướng. Ba bờ cho ba cặp, mỗi cặp một giao điểm; giữ lại giao điểm nào thoả toàn bộ hệ thì đó là đỉnh của miền.

x = - 1

và

y = 0

cắt nhau tại

(- 1; 0)

; kiểm

- 1 + 0 = - 1 \leq 0

nên đây là đỉnh

x = - 1

và

x + y = 0

cắt nhau tại

(- 1; 1)

; kiểm

1 \geq 0

nên đây là đỉnh

x + y = 0

và

y = 0

cắt nhau tại

(0; 0)

; kiểm

0 \geq - 1

nên đây là đỉnh

Miền nghiệm có đúng ba đỉnh nên có đúng ba cạnh

Vậy miền nghiệm là miền tam giác, chọn B.

3Cách 3. Biến đổi hệ thành khoảng biến thiên của

x

và

y

Định hướng. Kết hợp các dòng để kẹp $x$ vào một đoạn, rồi với mỗi $x$ trong đoạn ấy mô tả đoạn biến thiên của $y$ ; nhìn vào hai chặn của $y$ là biết ngay hình dạng miền.

Từ

x + y \leq 0

suy ra

y \leq - x

, kết hợp

y \geq 0

được

0 \leq y \leq - x

Muốn có

y

như thế thì cần

- x \geq 0

, tức

x \leq 0

Cùng với

x \geq - 1

ta được

- 1 \leq x \leq 0

Với mỗi

x

trong đoạn đó,

y

chạy từ

0

tới

- x

, nên độ dài đoạn biến thiên của

y

bằng

- x

Độ dài ấy giảm đều từ

1

tại

x = - 1

xuống

0

tại

x = 0

, nên miền có dạng một tam giác thu về một điểm ở

x = 0

Vậy miền nghiệm là miền tam giác, chọn B.

Nhận xét. Cách này còn cho luôn diện tích miền bằng $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ , điều mà hai cách trên chưa nói tới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ ba phép giải hệ hai phương trình rất nhỏ là ra đủ ba đỉnh, không cần vẽ chính xác. Cách 3 nên dùng khi đề hỏi thêm diện tích hoặc hỏi miền có giới nội hay không.

Đáp số. Chọn B. Miền nghiệm là miền tam giác với ba đỉnh

(0; 0)

(- 1; 0)

(- 1; 1)

Sai lầm thường gặp. Có bạn thấy hệ chỉ gồm ba bất phương trình rất đơn giản nên đoán miền nghiệm mở vô hạn và chọn phương án A. Thử điểm

(5; 0)

xem:

5 \geq - 1

đúng,

0 \geq 0

đúng, nhưng

5 + 0 = 5 \leq 0

sai, nên miền không thể chứa các điểm có hoành độ dương và do đó bị chặn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dòng đầu thành

x \geq - m

với

m > 0

thì miền vẫn là tam giác nhưng ba đỉnh thành

(0; 0)

(- m; 0)

(- m; m)

và diện tích bằng

\frac{m ^{2}}{2}

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.19★★★Trang 26— Đếm số cạnh của miền nghiệm khi một đường thẳng cắt ngang hình vuông

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 y \geq - 3 y \leq 3 x \geq - 3 x \leq 3

là: A. Miền lục giác; B. Miền tam giác; C. Miền tứ giác; D. Miền ngũ giác.

Kiến thức cần nhớ

Bốn bất phương trình $- 3 \leq x \leq 3$ và $- 3 \leq y \leq 3$ cho miền nghiệm là hình vuông có bốn đỉnh $(\pm 3; \pm 3)$ .
Thêm một bất phương trình mới: nếu bờ của nó cắt phần trong hình vuông thì nó cắt bớt một góc và thay góc đó bằng một cạnh mới.
Cắt một góc của đa giác lồi bằng một đường thẳng làm mất một đỉnh nhưng sinh ra hai đỉnh, nên số đỉnh tăng thêm một.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn bất phương trình cuối kẹp cả hai biến vào đoạn từ

- 3

đến

3

, đó là dấu hiệu nhận ra ngay một hình vuông, còn dòng đầu là đường thẳng cắt vào hình vuông ấy. Hướng thông minh là không vẽ lại toàn bộ mà chỉ xét đường thẳng

x + y = 1

đi qua hình vuông thế nào để biết nó cắt mất mấy đỉnh. Chỗ cần tỉnh táo là kiểm đủ bốn đỉnh của hình vuông, vì chỉ cần một đỉnh bị loại là số cạnh đã đổi khác.

1Cách 1. Cắt hình vuông bởi đường thẳng

x + y = 1

Định hướng. Dựng hình vuông từ bốn ràng buộc kẹp, rồi xét xem đường thẳng $x + y = 1$ loại đi đỉnh nào và sinh thêm mấy điểm cắt trên cạnh hình vuông.

Bốn ràng buộc

- 3 \leq x \leq 3

và

- 3 \leq y \leq 3

cho hình vuông có bốn đỉnh

(- 3; - 3)

(3; - 3)

(3; 3)

(- 3; 3)

Thay bốn đỉnh vào

x + y

được

- 6

0

6

0

So với

1

: chỉ đỉnh

(3; 3)

có

6 > 1

nên bị loại, ba đỉnh còn lại được giữ

Bờ

x + y = 1

cắt cạnh

x = 3

tại

(3; - 2)

và cắt cạnh

y = 3

tại

(- 2; 3)

Miền nghiệm gồm ba đỉnh cũ và hai điểm cắt mới, tổng cộng năm đỉnh

Vậy miền nghiệm là miền ngũ giác với các đỉnh $(- 3; - 3)$ , $(3; - 3)$ , $(3; - 2)$ , $(- 2; 3)$ , $(- 3; 3)$ , chọn D.

2Cách 2. Liệt kê đỉnh bằng cách giải từng cặp bờ rồi lọc bằng cả hệ

Định hướng. Đỉnh của miền là giao điểm của hai bờ và phải thoả toàn bộ hệ; ta chỉ xét các cặp bờ thực sự cắt nhau rồi kiểm từng giao điểm.

x = - 3

và

y = - 3

cho

(- 3; - 3)

, có

- 3 + (- 3) = - 6 \leq 1

nên nhận

x = 3

và

y = - 3

cho

(3; - 3)

, có

3 + (- 3) = 0 \leq 1

nên nhận

x = - 3

và

y = 3

cho

(- 3; 3)

, có

- 3 + 3 = 0 \leq 1

nên nhận

x = 3

và

y = 3

cho

(3; 3)

, có

3 + 3 = 6 \leq 1

là sai nên loại

x + y = 1

với

x = 3

cho

(3; - 2)

, có

- 3 \leq - 2 \leq 3

nên nhận; với

y = 3

cho

(- 2; 3)

, có

- 3 \leq - 2 \leq 3

nên nhận

x + y = 1

với

x = - 3

cho

(- 3; 4)

, có

4 \leq 3

là sai nên loại; với

y = - 3

cho

(4; - 3)

, có

4 \leq 3

là sai nên loại

Vậy miền có đúng năm đỉnh nên là miền ngũ giác, chọn D.

3Cách 3. Đếm cạnh theo số bất phương trình thực sự góp cạnh cho miền

Định hướng. Mỗi cạnh của miền ứng với một bất phương trình mà bờ của nó có giao với miền là một đoạn thẳng; ta kiểm từng bờ xem nó có góp cạnh hay là ràng buộc dư.

Bờ

x = - 3

giao miền là đoạn từ

(- 3; - 3)

tới

(- 3; 3)

nên góp một cạnh

Bờ

y = - 3

giao miền là đoạn từ

(- 3; - 3)

tới

(3; - 3)

nên góp một cạnh

Bờ

x = 3

giao miền là đoạn từ

(3; - 3)

tới

(3; - 2)

nên góp một cạnh

Bờ

y = 3

giao miền là đoạn từ

(- 3; 3)

tới

(- 2; 3)

nên góp một cạnh

Bờ

x + y = 1

giao miền là đoạn từ

(3; - 2)

tới

(- 2; 3)

nên góp một cạnh

Cả năm bất phương trình đều góp cạnh, không có ràng buộc dư

Vậy miền nghiệm có năm cạnh, là miền ngũ giác, chọn D.

Nhận xét. Cách đếm này giúp so ngay với bài tiếp theo, nơi bờ $x + y = 10$ không góp cạnh nào nên miền chỉ còn bốn cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần thay bốn đỉnh hình vuông vào

x + y

là thấy đúng một đỉnh bị cắt, suy ra số đỉnh tăng từ bốn lên năm. Cách 2 chắc chắn nhất nhưng phải xét tới tám giao điểm nên mất thời gian hơn.

Đáp số. Chọn D. Miền ngũ giác với các đỉnh

(- 3; - 3)

(3; - 3)

(3; - 2)

(- 2; 3)

(- 3; 3)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ nhìn thấy đường thẳng

x + y = 1

cắt hình vuông thành hai phần rồi kết luận miền là tứ giác, do quên rằng đường cắt qua hai cạnh khác nhau chứ không qua hai đỉnh đối. Nếu đường thẳng đi đúng qua hai đỉnh, chẳng hạn

x + y = 0

đi qua

(3; - 3)

và

(- 3; 3)

, thì miền mới là tam giác ba đỉnh

(- 3; - 3)

(3; - 3)

(- 3; 3)

🚀 Mở rộng. Tổng quát với hệ gồm hình vuông

- 3 \leq x \leq 3

- 3 \leq y \leq 3

và

x + y \leq m

: miền là tam giác khi

m = 0

, ngũ giác khi

0 < m < 6

, và chính hình vuông khi

m \geq 6

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.20★★Trang 26— Phát hiện ràng buộc dư trong hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 10 y \geq - 3 y \leq 3 x \geq - 3 x \leq 3

là: A. Miền lục giác; B. Miền tam giác; C. Miền tứ giác; D. Miền ngũ giác.

Kiến thức cần nhớ

Một bất phương trình được gọi là ràng buộc dư nếu bỏ nó đi mà miền nghiệm của hệ không thay đổi.
Với hàm bậc nhất $x + y$ , giá trị lớn nhất trên một miền đa giác luôn đạt tại một đỉnh, nên chỉ cần so giá trị tại các đỉnh.
Nếu mọi đỉnh của miền đều thoả một bất phương trình thì cả miền thoả bất phương trình ấy, do miền đa giác lồi là tập các điểm nằm giữa các đỉnh.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ này khác hệ vừa xét chỉ ở con số

10

thay cho

1

ở dòng đầu, một thay đổi nhỏ nhưng đủ để đường thẳng bờ bị đẩy ra xa khỏi hình vuông. Hướng nhanh nhất là tìm giá trị lớn nhất của

x + y

trên hình vuông rồi so với

10

, nếu nhỏ hơn thì dòng đầu là ràng buộc dư và đáp số chính là hình vuông. Cạm bẫy là thói quen đếm số bất phương trình rồi kết luận miền có năm cạnh, trong khi thực tế một trong năm ràng buộc chẳng cắt vào đâu cả.

1Cách 1. So giá trị lớn nhất của

x + y

trên hình vuông với 10

Định hướng. Tìm giá trị lớn nhất của $x + y$ trên hình vuông; nếu giá trị ấy đã nhỏ hơn $10$ thì dòng $x + y \leq 10$ không cắt gì cả.

Từ

x \leq 3

và

y \leq 3

suy ra

x + y \leq 3 + 3

x + y \leq 6

Dấu bằng xảy ra tại

(3; 3)

, nên giá trị lớn nhất của

x + y

trên hình vuông bằng

6

Mà

6 \leq 10

nên mọi điểm của hình vuông đều thoả

x + y \leq 10

Do đó miền nghiệm của hệ chính là hình vuông

- 3 \leq x \leq 3

- 3 \leq y \leq 3

Vậy miền nghiệm là miền tứ giác, chọn C.

2Cách 2. Xét vị trí đường thẳng

x + y = 10

so với hình vuông

Định hướng. Nếu đường thẳng bờ không có điểm nào nằm trong hình vuông thì nó không thể cắt hình vuông, khi ấy hình vuông nằm gọn về một phía của bờ.

Điểm của bờ có hoành độ lớn nhất trong khoảng cho phép là

x = 3

, khi đó

y = 10 - 3 = 7

Mà

7 > 3

nên điểm

(3; 7)

nằm ngoài hình vuông

Tương tự với

y = 3

thì

x = 10 - 3 = 7

và

7 > 3

, điểm

(7; 3)

cũng nằm ngoài hình vuông

Vậy bờ

x + y = 10

không cắt hình vuông, mà điểm

(0; 0)

của hình vuông cho

0 \leq 10

nên cả hình vuông nằm về phía miền nghiệm của dòng đầu

Vậy miền nghiệm của hệ là hình vuông, tức một miền tứ giác, chọn C.

3Cách 3. Kiểm bốn đỉnh hình vuông đều thoả dòng

x + y \leq 10

Định hướng. Miền đa giác lồi được sinh bởi các đỉnh, nên nếu bốn đỉnh đều thoả một bất phương trình bậc nhất thì cả hình thoả bất phương trình đó.

Tại

(- 3; - 3)

có

x + y = - 6

, mà

- 6 \leq 10

Tại

(3; - 3)

có

x + y = 0

, mà

0 \leq 10

Tại

(3; 3)

có

x + y = 6

, mà

6 \leq 10

Tại

(- 3; 3)

có

x + y = 0

, mà

0 \leq 10

Bốn đỉnh đều thoả nên toàn bộ hình vuông thoả, dòng đầu là ràng buộc dư

Vậy miền nghiệm là miền tứ giác, chọn C.

Nhận xét. So với bài trước, chỉ đổi $1$ thành $10$ mà miền từ ngũ giác thành tứ giác, cho thấy phải kiểm ràng buộc có thật sự cắt hay không chứ không đếm theo số dòng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ một phép cộng

3 + 3 = 6

rồi so với

10

là kết luận được ngay, nhanh nhất trong ba cách. Cách 3 dùng để kiểm lại cho chắc khi còn thời gian.

Đáp số. Chọn C. Miền nghiệm là hình vuông với bốn đỉnh

(- 3; - 3)

(3; - 3)

(3; 3)

(- 3; 3)

, tức một miền tứ giác.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy hệ có năm bất phương trình liền chọn phương án D theo quán tính từ câu trước. Phải kiểm xem bờ có cắt miền hay không: đường

x + y = 10

gần nhất cũng ở điểm

(3; 7)

, cách hình vuông tới bốn đơn vị theo trục tung, nên chẳng cắt gì và số cạnh vẫn là bốn.

🚀 Mở rộng. Cùng hệ ấy nhưng thay dòng đầu bằng

x + y \leq m

: miền là hình vuông khi

m \geq 6

, là ngũ giác khi

0 < m < 6

, là tam giác khi

m = 0

và trở thành rỗng khi

m < - 6

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.21★★★Trang 26— Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bậc nhất hai ẩn trên một miền đa giác

Giá trị lớn nhất của biểu thức

F (x; y) = 3 x + y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 1 x + y \leq 2 y \geq 0

là: A.

- 3

; B.

6

; C.

5

; D.

8

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức bậc nhất $F (x; y) = a x + b y$ trên một miền đa giác lồi giới nội luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại một ĐỈNH của miền.
Muốn tìm đỉnh, giải từng cặp phương trình bờ rồi giữ lại giao điểm thoả toàn bộ hệ.
Các đường mức $a x + b y = m$ là những đường thẳng song song; giá trị $m$ càng lớn thì đường mức càng dịch về phía vectơ pháp tuyến, đường mức cuối cùng còn chạm miền sẽ đi qua đỉnh cho giá trị lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc nhất trên miền nghiệm của một hệ bậc nhất, đó chính là dấu hiệu kinh điển của bài toán quy hoạch tuyến tính giải bằng cách thay các đỉnh. Hướng tìm đỉnh trước rồi thay vào là an toàn nhất vì miền chỉ có ba đỉnh, tính nhẩm cũng xong. Bẫy của đề nằm ở phương án

8

, con số này ứng với điểm

(2; 2)

trông có vẻ hợp lý nhưng không thuộc miền vì

2 + 2 = 4 > 2

1Cách 1. Tìm ba đỉnh của miền rồi thay vào biểu thức

Định hướng. Giải từng cặp phương trình bờ để có các đỉnh, kiểm lại bằng cả hệ rồi so ba giá trị của $F$ .

x = - 1

và

y = 0

cắt nhau tại

(- 1; 0)

, kiểm

- 1 + 0 = - 1 \leq 2

nên nhận

x + y = 2

và

y = 0

cắt nhau tại

(2; 0)

, kiểm

2 \geq - 1

nên nhận

x = - 1

và

x + y = 2

cắt nhau tại

(- 1; 3)

, kiểm

3 \geq 0

nên nhận

F (- 1; 0) = 3 \cdot (- 1) + 0 = - 3

F (2; 0) = 3 \cdot 2 + 0 = 6

F (- 1; 3) = 3 \cdot (- 1) + 3 = 0

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $6$ , đạt tại $(2; 0)$ , chọn B.

2Cách 2. Đánh giá trực tiếp bằng cách tách

F

theo các ràng buộc

Định hướng. Viết $F$ thành tổ hợp của những đại lượng đã có chặn sẵn trong hệ, khi đó chặn trên của $F$ hiện ra ngay mà không cần tìm đỉnh.

Từ

x + y \leq 2

và

y \geq 0

suy ra

x \leq x + y \leq 2

, tức

x \leq 2

F = 3 x + y = 2 x + (x + y)

F \leq 2 \cdot 2 + 2

F \leq 6

Dấu bằng đòi

x = 2

và

x + y = 2

, suy ra

y = 0

Điểm

(2; 0)

thoả cả hệ vì

2 \geq - 1

2 + 0 = 2 \leq 2

0 \geq 0

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $6$ , chọn B.

3Cách 3. Trượt đường mức

3 x + y = m

cho tới khi rời khỏi miền

Định hướng. Các đường mức của $F$ là những đường thẳng song song; đẩy chúng theo chiều $m$ tăng, vị trí cuối cùng còn chạm miền cho giá trị lớn nhất.

Đường mức

3 x + y = m

có dạng

y = - 3 x + m

, hệ số góc

- 3

nên mọi đường mức song song nhau

Đường mức đi qua

(- 1; 0)

ứng với

m = - 3

, đi qua

(- 1; 3)

ứng với

m = 0

, đi qua

(2; 0)

ứng với

m = 6

Khi

m

tăng, đường mức dịch dần sang phải và lên trên

Với

m = 6

đường mức chỉ còn chạm miền tại đúng một điểm là đỉnh

(2; 0)

Với

m > 6

, chẳng hạn

m = 8

, đường mức

3 x + y = 8

không còn điểm chung với miền vì điểm gần nhất

(2; 2)

cho

2 + 2 = 4 > 2

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $6$ , chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì miền chỉ có ba đỉnh, ba phép thay số là xong và gần như không thể sai. Cách 2 đáng học vì nó chứng minh được chặn

F \leq 6

mà không cần vẽ, rất tiện cho bài tự luận.

Đáp số. Chọn B. Giá trị lớn nhất của

F

bằng

6

, đạt tại điểm

(2; 0)

Sai lầm thường gặp. Phương án

8

hay bị chọn vì nhiều bạn lấy

x = 2

từ chặn

x \leq 2

rồi lại lấy

y = 2

từ chặn

x + y \leq 2

một cách rời rạc, được

3 \cdot 2 + 2 = 8

. Hai chặn ấy không đạt dấu bằng cùng lúc: điểm

(2; 2)

cho

x + y = 4 > 2

nên không thuộc miền, giá trị lớn nhất thật chỉ là

6

🚀 Mở rộng. Thử đổi biểu thức thành

F = x + 3 y

trên cùng miền: khi đó

F = 3 (x + y) - 2 x \leq 3 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1) = 8

, giá trị lớn nhất chuyển sang đỉnh

(- 1; 3)

và bằng

8

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.22★★Trang 26— Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất hai ẩn trên một hình chữ nhật

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = - x + 4 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 1 x \leq 2 y \geq 0 y \leq 3

là: A.

- 2

; B.

3

; C.

11

; D.

- 4

Kiến thức cần nhớ

Hệ gồm các ràng buộc dạng $m \leq x \leq n$ và $p \leq y \leq q$ có miền nghiệm là một hình chữ nhật với bốn đỉnh là các cặp đầu mút.
Khi hai biến bị chặn ĐỘC LẬP nhau, biểu thức $a x + b y$ đạt cực trị bằng cách cho riêng $a x$ và riêng $b y$ đạt cực trị.
Với hệ số âm, chẳng hạn $- x$ , giá trị nhỏ nhất của $- x$ đạt khi $x$ lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ràng buộc của hệ chỉ chứa một biến mỗi dòng, nghĩa là hai biến bị kẹp hoàn toàn độc lập với nhau, đó là dấu hiệu cho phép tách bài thành hai bài một biến. Hướng tách biến cho lời giải ngắn nhất vì không cần liệt kê đỉnh nào cả, chỉ cần chọn đầu mút phù hợp với dấu của từng hệ số. Chỗ dễ sai là hệ số âm trước

x

: muốn

- x

nhỏ nhất thì phải lấy

x

LỚN nhất, ngược với trực giác.

1Cách 1. Thay bốn đỉnh của hình chữ nhật vào biểu thức

Định hướng. Miền là hình chữ nhật nên chỉ có bốn đỉnh, lập bảng giá trị của $F$ tại bốn đỉnh rồi chọn số nhỏ nhất.

Bốn đỉnh của miền là

M (1; 0)

N (2; 0)

P (2; 3)

Q (1; 3)

F (1; 0) = - 1 + 4 \cdot 0 = - 1

F (2; 0) = - 2 + 4 \cdot 0 = - 2

F (2; 3) = - 2 + 4 \cdot 3 = 10

F (1; 3) = - 1 + 4 \cdot 3 = 11

Số nhỏ nhất trong bốn giá trị

- 1

- 2

10

11

là

- 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ bằng $- 2$ , đạt tại $N (2; 0)$ , chọn A.

2Cách 2. Tách hai biến độc lập rồi cho từng hạng tử đạt giá trị nhỏ nhất

Định hướng. Vì $x$ và $y$ bị chặn rời nhau nên có thể chọn $x$ và $y$ hoàn toàn tự do trong hai đoạn của mình; cho riêng $- x$ và riêng $4 y$ nhỏ nhất là được $F$ nhỏ nhất.

Từ

1 \leq x \leq 2

suy ra

- 2 \leq - x \leq - 1

, nên

- x \geq - 2

và dấu bằng khi

x = 2

Từ

0 \leq y \leq 3

suy ra

0 \leq 4 y \leq 12

, nên

4 y \geq 0

và dấu bằng khi

y = 0

F = - x + 4 y \geq - 2 + 0

F \geq - 2

Hai dấu bằng xảy ra đồng thời tại

(2; 0)

, điểm này thoả cả hệ

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ bằng $- 2$ , chọn A.

3Cách 3. Trượt đường mức

- x + 4 y = m

theo chiều

m

giảm

Định hướng. Vẽ họ đường mức song song rồi đẩy theo chiều $m$ giảm dần; vị trí cuối cùng còn chạm hình chữ nhật cho giá trị nhỏ nhất.

Đường mức

- x + 4 y = m

có dạng

y = \frac{x + m}{4}

, hệ số góc

\frac{1}{4}

nên các đường mức song song nhau

Bốn đỉnh ứng với

m

lần lượt bằng

- 1

- 2

10

11

Khi

m

giảm, đường mức dịch xuống dưới và sang phải

Với

m = - 2

đường mức

- x + 4 y = - 2

chỉ còn chạm hình chữ nhật tại đúng đỉnh

N (2; 0)

Với

m < - 2

đường mức nằm hẳn dưới và bên phải hình chữ nhật nên không còn điểm chung

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ bằng $- 2$ , chọn A.

Nhận xét. Cùng trên hình chữ nhật này, đẩy đường mức theo chiều ngược lại thì giá trị lớn nhất là $11$ tại đỉnh $Q (1; 3)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ hai dòng đánh giá là ra đáp số, nhanh hơn cả việc liệt kê bốn đỉnh. Tuy nhiên Cách 2 chỉ dùng được khi hai biến bị chặn độc lập; gặp ràng buộc kiểu

x + y \leq 2

thì phải quay lại Cách 1.

Đáp số. Chọn A. Giá trị nhỏ nhất của

F

bằng

- 2

, đạt tại điểm

(2; 0)

Sai lầm thường gặp. Phương án

- 4

sinh ra từ việc lấy

x = 2

và

y = 0

nhưng tính

F

thành

- 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0

hoặc gán sai hệ số, hay do lấy

- x

nhỏ nhất bằng

- 1

rồi nhân đôi. Phải nhớ

- x

nhỏ nhất khi

x

lớn nhất: với

x = 2

thì

- x = - 2

, cộng với

4 y = 0

được đúng

- 2

chứ không phải

- 4

🚀 Mở rộng. Cùng miền hình chữ nhật ấy, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

F

bằng

11 + (- 2) = 9

; thử tính lại tổng đó khi đổi biểu thức thành

F = - x - 4 y

để thấy nó phụ thuộc thế nào vào dấu các hệ số.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.23★★★Trang 26— Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất trên miền đa giác

Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = x + 5 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ - 2 \leq y \leq 2 x + y \leq 4 y - x \leq 4

là: A.

- 20

; B.

- 4

; C.

28

; D.

16

Kiến thức cần nhớ

Hai bất phương trình $x + y \leq 4$ và $y - x \leq 4$ tương đương với việc kẹp $x$ giữa $y - 4$ và $4 - y$ .
Biểu thức bậc nhất trên miền đa giác lồi giới nội đạt cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh, nên chỉ cần tính giá trị tại từng đỉnh.
Khi hệ số của $x$ trong biểu thức là số dương, muốn $F$ lớn nhất thì lấy $x$ ở chặn trên, muốn $F$ nhỏ nhất thì lấy $x$ ở chặn dưới.

🧠 Phân tích tư duy

Miền được cho bởi hai ràng buộc kẹp tung độ và hai ràng buộc đối xứng nhau qua trục tung, đó là dấu hiệu của một hình thang cân nằm ngang, rất dễ tìm bốn đỉnh. Hướng thay bốn đỉnh là chuẩn mực, còn hướng thế chặn của

x

theo

y

cho lời giải chỉ hai dòng vì

F

rút được về một biến. Bẫy của đề là chữ tổng: nhiều bạn tìm đúng hai cực trị rồi lại trừ hoặc chỉ ghi một trong hai giá trị.

1Cách 1. Tìm bốn đỉnh của miền rồi thay vào biểu thức

Định hướng. Bốn bờ đôi một cắt nhau cho các đỉnh; lọc lại bằng cả hệ rồi so bốn giá trị của $F$ .

y = - 2

và

x + y = 4

cắt nhau tại

(6; - 2)

y = - 2

và

y - x = 4

cắt nhau tại

(- 6; - 2)

y = 2

và

x + y = 4

cắt nhau tại

(2; 2)

y = 2

và

y - x = 4

cắt nhau tại

(- 2; 2)

F (- 6; - 2) = - 6 + 5 \cdot (- 2) = - 16

và

F (6; - 2) = 6 + 5 \cdot (- 2) = - 4

F (- 2; 2) = - 2 + 5 \cdot 2 = 8

và

F (2; 2) = 2 + 5 \cdot 2 = 12

Giá trị lớn nhất bằng

12

, giá trị nhỏ nhất bằng

- 16

, tổng bằng

12 + (- 16)

Vậy tổng cần tìm bằng $- 4$ , chọn B.

2Cách 2. Thế chặn của

x

theo

y

để đưa

F

về một biến

Định hướng. Hai ràng buộc nghiêng cho $y - 4 \leq x \leq 4 - y$ ; vì hệ số của $x$ trong $F$ dương nên thế chặn trên để được cực đại, thế chặn dưới để được cực tiểu.

x + y \leq 4 \Leftrightarrow x \leq 4 - y

và

y - x \leq 4 \Leftrightarrow x \geq y - 4

F = x + 5 y \leq (4 - y) + 5 y

F \leq 4 + 4 y

, mà

y \leq 2

nên

F \leq 4 + 4 \cdot 2 = 12

, dấu bằng tại

(2; 2)

F = x + 5 y \geq (y - 4) + 5 y

F \geq 6 y - 4

, mà

y \geq - 2

nên

F \geq 6 \cdot (- 2) - 4 = - 16

, dấu bằng tại

(- 6; - 2)

Tổng hai cực trị bằng

12 + (- 16)

Vậy tổng cần tìm bằng $- 4$ , chọn B.

3Cách 3. Trượt hai đường mức ngược chiều nhau

Định hướng. Họ đường mức $x + 5 y = m$ song song nhau; đẩy về hai phía đối nhau, hai vị trí cuối cùng còn chạm miền cho hai cực trị.

Đường mức

x + 5 y = m

có dạng

y = \frac{m - x}{5}

, hệ số góc

- \frac{1}{5}

nên rất thoải

Bốn đỉnh

(- 6; - 2)

(- 2; 2)

(2; 2)

(6; - 2)

ứng với

m

lần lượt bằng

- 16

8

12

- 4

Đẩy theo chiều

m

tăng, đường mức rời miền sau cùng tại đỉnh

(2; 2)

với

m = 12

Đẩy theo chiều

m

giảm, đường mức rời miền sau cùng tại đỉnh

(- 6; - 2)

với

m = - 16

Tổng hai giá trị ấy bằng

12 + (- 16)

Vậy tổng cần tìm bằng $- 4$ , chọn B.

Nhận xét. Vì đường mức rất thoải, hai cực trị rơi vào hai đỉnh nằm chéo nhau chứ không phải hai đỉnh cùng nằm trên cạnh $y = 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bốn đỉnh tìm rất nhanh nhờ tính đối xứng và phép thay số toàn là số nguyên. Cách 2 lợi thế khi miền có nhiều đỉnh hơn, vì nó rút

F

về một biến rồi chỉ cần dùng chặn của

y

Đáp số. Chọn B. Giá trị lớn nhất bằng

12

tại

(2; 2)

, giá trị nhỏ nhất bằng

- 16

tại

(- 6; - 2)

, tổng bằng

- 4

Sai lầm thường gặp. Phương án

28

ứng với hiệu

12 - (- 16)

chứ không phải tổng, còn phương án

- 20

ứng với việc lấy nhầm giá trị tại

(6; - 2)

là

- 4

rồi cộng với

- 16

. Đề hỏi TỔNG của hai cực trị nên phải cộng đúng

12 + (- 16) = - 4

🚀 Mở rộng. Trên cùng miền ấy, thử với

F = x + y

: khi đó

F \leq 4

tại cả hai đỉnh

(2; 2)

và

(6; - 2)

vì chúng cùng nằm trên bờ

x + y = 4

, còn giá trị nhỏ nhất là

- 8

tại

(- 6; - 2)

, nên tổng bằng

- 4

một cách trùng hợp.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.24★★★★Trang 27— Bài toán thực tế tìm chi phí nhỏ nhất bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một hợp tác xã chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia súc X và Y để tạo thành thức ăn hỗn hợp cho gia súc. Giá một bao loại X là

250

nghìn đồng, một bao loại Y là

200

nghìn đồng. Mỗi bao loại X chứa

2

đơn vị chất dinh dưỡng A,

2

đơn vị chất dinh dưỡng B và

2

đơn vị chất dinh dưỡng C; mỗi bao loại Y chứa

1

đơn vị chất dinh dưỡng A,

9

đơn vị chất dinh dưỡng B và

3

đơn vị chất dinh dưỡng C. Hỗn hợp phải chứa ít nhất

12

đơn vị chất A,

36

đơn vị chất B và

24

đơn vị chất C. Tìm chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc trên.

Kiến thức cần nhớ

Gọi ẩn là số lượng mỗi loại cần mua, mỗi yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu cho một bất phương trình dạng $a x + b y \geq c$ , kèm điều kiện không âm của ẩn.
Với miền nghiệm không giới nội nhưng bị chặn dưới theo hướng của biểu thức chi phí, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất vẫn đạt tại một đỉnh của miền.
Có thể chứng minh chặn dưới của chi phí bằng cách viết biểu thức chi phí thành tổ hợp với hệ số dương của các vế trái trong hệ ràng buộc.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho giá mỗi loại và ba yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu, mỗi yêu cầu là một điều kiện kiểu không nhỏ hơn, đó là dấu hiệu của bài quy hoạch tuyến tính dạng tìm chi phí nhỏ nhất. Hướng lập hệ rồi tìm các đỉnh của miền là chuẩn mực, vì miền tuy mở về phía trên phải nhưng chi phí lại tăng theo hướng ấy nên cực tiểu chắc chắn rơi vào một đỉnh. Cạm bẫy là quên điều kiện số bao không âm, khi đó miền lan sang phần âm và sinh ra những đỉnh vô nghĩa với chi phí nhỏ hơn.

1Cách 1. Lập hệ ràng buộc rồi thay các đỉnh của miền nghiệm

Định hướng. Gọi số bao mỗi loại là ẩn, dịch ba yêu cầu dinh dưỡng thành ba bất phương trình rồi tính chi phí tại các đỉnh của miền.

Gọi

x

là số bao loại X và

y

là số bao loại Y, với

x \geq 0

y \geq 0

Chất A cho

2 x + y \geq 12

; chất B cho

2 x + 9 y \geq 36

; chất C cho

2 x + 3 y \geq 24

Chi phí là

F (x; y) = 250 x + 200 y

nghìn đồng

Giải từng cặp bờ rồi lọc bằng cả hệ, bốn đỉnh của miền là

A (0; 12)

B (3; 6)

C (9; 2)

D (18; 0)

F (0; 12) = 250 \cdot 0 + 200 \cdot 12 = 2400

F (3; 6) = 250 \cdot 3 + 200 \cdot 6 = 750 + 1200 = 1950

F (9; 2) = 250 \cdot 9 + 200 \cdot 2 = 2250 + 400 = 2650

F (18; 0) = 250 \cdot 18 + 200 \cdot 0 = 4500

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng $1950$ nghìn đồng, tức $1, 95$ triệu đồng, khi mua $3$ bao loại X và $6$ bao loại Y.

2Cách 2. Trượt đường mức chi phí

250 x + 200 y = m

từ gốc ra

Định hướng. Các đường mức chi phí song song nhau; đẩy chúng từ gốc toạ độ ra xa, đường mức ĐẦU TIÊN chạm miền cho chi phí nhỏ nhất.

Đường mức

250 x + 200 y = m

có dạng

y = \frac{m - 250 x}{200}

, hệ số góc

- \frac{5}{4}

Hai cạnh của miền kề đỉnh

B (3; 6)

nằm trên

2 x + y = 12

có hệ số góc

- 2

và trên

2 x + 3 y = 24

có hệ số góc

- \frac{2}{3}

Vì

- 2 < - \frac{5}{4} < - \frac{2}{3}

nên đường mức thoải hơn cạnh này và dốc hơn cạnh kia, do đó nó chạm miền đúng tại một điểm là đỉnh

B

Chi phí tại điểm chạm là

250 \cdot 3 + 200 \cdot 6 = 1950

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng $1950$ nghìn đồng, đạt khi mua $3$ bao loại X và $6$ bao loại Y.

3Cách 3. Chứng minh chặn dưới bằng tổ hợp hai ràng buộc A và C

Định hướng. Nhân hai ràng buộc chất A và chất C với những hệ số dương thích hợp rồi cộng lại để thu đúng biểu thức chi phí, khi đó chặn dưới hiện ra mà không cần vẽ hình.

175 (2 x + y) + 75 (2 x + 3 y) = 350 x + 175 y + 150 x + 225 y

= 500 x + 400 y

= 2 (250 x + 200 y) = 2 F

Mà

2 x + y \geq 12

và

2 x + 3 y \geq 24

nên

2 F \geq 175 \cdot 12 + 75 \cdot 24

2 F \geq 2100 + 1800 = 3900

F \geq 1950

Dấu bằng đòi

2 x + y = 12

và

2 x + 3 y = 24

, giải ra

x = 3

y = 6

Điểm

(3; 6)

thoả cả ràng buộc chất B vì

2 \cdot 3 + 9 \cdot 6 = 60 \geq 36

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng $1950$ nghìn đồng, đạt khi mua $3$ bao loại X và $6$ bao loại Y.

Nhận xét. Cách này cho một chứng minh hoàn chỉnh không cần hình vẽ, đồng thời chỉ rõ ràng buộc chất B không hề tham gia quyết định phương án tối ưu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó vừa lập được mô hình vừa cho đáp số, đúng khuôn trình bày mà bài tự luận đòi hỏi. Cách 3 nên dành cho câu hỏi yêu cầu chứng minh chi phí không thể nhỏ hơn một mức nào đó.

Đáp số. Chi phí nhỏ nhất bằng

1950

nghìn đồng, tức

1, 95

triệu đồng, đạt được khi mua

3

bao thức ăn loại X và

6

bao thức ăn loại Y.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn bỏ qua điều kiện

x \geq 0

y \geq 0

rồi lấy giao của hai bờ

2 x + 9 y = 36

và

2 x + 3 y = 24

được điểm

(18; 0)

nhưng lại lấy thêm giao của

2 x + y = 12

với

2 x + 9 y = 36

là điểm

(4, 5; 3)

và tưởng đó là đỉnh. Kiểm lại:

2 \cdot 4, 5 + 3 \cdot 3 = 18 < 24

nên điểm ấy vi phạm ràng buộc chất C, không thuộc miền, và chi phí

250 \cdot 4, 5 + 200 \cdot 3 = 1725

là một đáp số sai.

🚀 Mở rộng. Thử đổi giá một bao loại Y từ

200

lên

400

nghìn đồng: khi đó đường mức có hệ số góc

- \frac{5}{8}

, thoải hơn cạnh

2 x + 3 y = 24

nhưng vẫn dốc hơn cạnh

2 x + 9 y = 36

, nên phương án tối ưu chuyển sang đỉnh

C (9; 2)

với chi phí

250 \cdot 9 + 400 \cdot 2 = 3050

nghìn đồng.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 2.25★Trang 27— Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: a)

x + y \geq - 4

; b)

2 x - y \leq 5

; c)

x + 2 y < 0

; d)

- x + 2 y > 0

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của $a x + b y \leq c$ là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $a x + b y = c$ ; dấu $\leq$ hoặc $\geq$ thì bờ thuộc miền nghiệm và vẽ nét liền, dấu $<$ hoặc $>$ thì bờ không thuộc miền nghiệm và vẽ nét đứt.
Muốn biết giữ nửa mặt phẳng nào, lấy một điểm thử KHÔNG nằm trên bờ rồi thay toạ độ vào bất phương trình.
Khi bờ đi qua gốc toạ độ thì không được lấy gốc làm điểm thử, phải chọn điểm khác, chẳng hạn $(0; 1)$ hoặc $(1; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn bất phương trình chia thành hai nhóm rõ rệt: hai ý đầu có vế phải khác

0

nên bờ không qua gốc, hai ý sau có vế phải bằng

0

nên bờ đi đúng qua gốc. Dấu hiệu ấy quyết định cách chọn điểm thử, và đó là toàn bộ phần tư duy của bài. Cạm bẫy lớn nhất là lấy gốc toạ độ làm điểm thử cho hai ý c và d, khi ấy hai vế bằng nhau nên không phân xử được phía nào.

1Cách 1. Vẽ bờ qua hai điểm đặc biệt rồi phân xử bằng một điểm thử

Định hướng. Với mỗi ý, tìm hai điểm của bờ cho toạ độ đẹp, vẽ đường thẳng qua chúng, rồi thay một điểm thử ngoài bờ để biết giữ nửa mặt phẳng nào.

a) bờ

x + y = - 4

đi qua

(0; - 4)

và

(- 4; 0)

; gốc toạ độ cho

0 \geq - 4

là đúng nên giữ nửa mặt phẳng chứa gốc, bờ nét liền

b) bờ

2 x - y = 5

đi qua

(0; - 5)

và

(3; 1)

; gốc toạ độ cho

0 \leq 5

là đúng nên giữ nửa mặt phẳng chứa gốc, bờ nét liền

c) bờ

x + 2 y = 0

đi qua

(0; 0)

và

(2; - 1)

; bờ qua gốc nên chọn điểm thử

(0; 1)

, được

0 + 2 = 2

và

2 < 0

là sai

c) vậy giữ nửa mặt phẳng KHÔNG chứa

(0; 1)

, bờ nét đứt vì dấu ngặt

d) bờ

- x + 2 y = 0

đi qua

(0; 0)

và

(2; 1)

; điểm thử

(0; 1)

cho

- 0 + 2 = 2

và

2 > 0

là đúng

d) vậy giữ nửa mặt phẳng chứa

(0; 1)

, bờ nét đứt vì dấu ngặt

Vậy bốn miền nghiệm là bốn nửa mặt phẳng được tô trên hình, trong đó hai ý a và b kể cả bờ, hai ý c và d không kể bờ.

2Cách 2. Rút

y

về một vế để đọc ngay miền trên hay miền dưới bờ

Định hướng. Đưa mỗi bất phương trình về dạng $y$ so sánh với một biểu thức của $x$ ; dấu lớn hơn cho miền phía trên bờ, dấu nhỏ hơn cho miền phía dưới bờ, khỏi cần điểm thử.

x + y \geq - 4 \Leftrightarrow y \geq - x - 4

nên miền nghiệm là phần phía TRÊN bờ, kể cả bờ

2 x - y \leq 5 \Leftrightarrow - y \leq 5 - 2 x \Leftrightarrow y \geq 2 x - 5

nên miền nghiệm là phần phía TRÊN bờ, kể cả bờ

x + 2 y < 0 \Leftrightarrow 2 y < - x \Leftrightarrow y < - \frac{x}{2}

nên miền nghiệm là phần phía DƯỚI bờ, không kể bờ

- x + 2 y > 0 \Leftrightarrow 2 y > x \Leftrightarrow y > \frac{x}{2}

nên miền nghiệm là phần phía TRÊN bờ, không kể bờ

Vậy ba ý a, b, d cho miền phía trên bờ còn ý c cho miền phía dưới bờ, khớp đúng với hình vẽ.

3Cách 3. Dùng vectơ pháp tuyến chỉ hướng miền nghiệm

Định hướng. Với bờ $a x + b y = c$ , vectơ $n = (a; b)$ chỉ về phía làm $a x + b y$ TĂNG; nhờ đó biết ngay miền $a x + b y \geq c$ nằm về phía nào của bờ.

n = (1; 1)

chỉ lên phía trên phải; miền

x + y \geq - 4

nằm về phía

n

so với bờ

b) viết lại

2 x - y \leq 5

thành

- 2 x + y \geq - 5

nên

n = (- 2; 1)

chỉ lên phía trên trái, miền nghiệm nằm về phía đó

c) viết lại

x + 2 y < 0

thành

- x - 2 y > 0

nên

n = (- 1; - 2)

chỉ xuống phía dưới trái, miền nghiệm nằm về phía đó

n = (- 1; 2)

chỉ lên phía trên trái, miền

- x + 2 y > 0

nằm về phía đó

Kiểm lại ý d bằng điểm

(0; 1)

- 0 + 2 \cdot 1 = 2 > 0

, đúng như vectơ pháp tuyến đã chỉ

Vậy bốn miền nghiệm xác định như trên và trùng khớp với kết quả của hai cách trước.

Nhận xét. Hai bờ ở ý c và ý d đều đi qua gốc toạ độ và có hệ số góc $- \frac{1}{2}$ và $\frac{1}{2}$ , nên hai miền nghiệm ấy đối xứng với nhau qua trục tung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đúng khuôn sách giáo khoa và ít sai sót nhất, chỉ cần cẩn thận đổi điểm thử ở hai ý có bờ qua gốc. Cách 2 nhanh hơn nhưng phải rất chắc tay khi chia hai vế cho số âm vì lúc ấy dấu bất đẳng thức đổi chiều.

Đáp số. a) Nửa mặt phẳng bờ

x + y = - 4

chứa gốc toạ độ, kể cả bờ; b) nửa mặt phẳng bờ

2 x - y = 5

chứa gốc toạ độ, kể cả bờ; c) nửa mặt phẳng bờ

x + 2 y = 0

không chứa điểm

(0; 1)

, không kể bờ; d) nửa mặt phẳng bờ

- x + 2 y = 0

chứa điểm

(0; 1)

, không kể bờ.

Sai lầm thường gặp. Ở ý c và ý d rất nhiều bạn vẫn lấy gốc toạ độ làm điểm thử, được

0 < 0

và

0 > 0

rồi kết luận bừa là miền nghiệm rỗng hoặc là cả mặt phẳng. Gốc toạ độ nằm ĐÚNG trên bờ nên không dùng được: phải đổi sang

(0; 1)

, khi đó ý c cho

2 < 0

là sai nên loại nửa mặt phẳng chứa điểm này, còn ý d cho

2 > 0

là đúng nên giữ nửa mặt phẳng chứa nó.

🚀 Mở rộng. Hai ý c và d ghép lại thành hệ

{x + 2 y < 0 - x + 2 y > 0

, tương đương

x < 2 y < - x

; điều này buộc

x < 0

, nên miền nghiệm là góc mở về phía trái, đối xứng qua tia đối của tia

O x

và giới hạn bởi hai nửa đường thẳng xuất phát từ gốc toạ độ.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 2.26★★Trang 27— Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, kể cả trường hợp hệ vô nghiệm

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: a)

⎩ ⎨ ⎧ 0 \leq x \leq 10 y > 0 x - y > 4

; b)

⎩ ⎨ ⎧ 0 \leq y \leq 1 x + y \leq 2 y - x \leq 2

; c)

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 4 x - 6 y < 0 2 x - 3 y \geq 1

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của hệ là GIAO các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.
Giao của các nửa mặt phẳng có thể là một miền đa giác, một miền không giới nội, hoặc tập rỗng khi các nửa mặt phẳng không có điểm chung.
Hai bất phương trình có cùng vế trái sau khi rút gọn nhưng đòi hai khoảng giá trị rời nhau thì hệ vô nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a và ý b đều có ràng buộc kẹp một biến vào đoạn nên miền nghiệm chắc chắn bị chặn theo hướng đó, còn ý c có hai dòng mà vế trái tỉ lệ với nhau, đó là dấu hiệu cần rút gọn trước khi vẽ. Hướng chung là vẽ từng bờ rồi lấy giao bằng một điểm thử, nhưng riêng ý c nên biến đổi đại số trước vì có thể hệ chẳng có nghiệm nào. Chỗ dễ mất điểm là ý a với hai dấu ngặt: bờ phải vẽ nét đứt và ba đỉnh của tam giác đều không thuộc miền nghiệm.

1Cách 1. Vẽ từng bờ rồi lấy giao các nửa mặt phẳng bằng một điểm thử

Định hướng. Với mỗi hệ, dựng lần lượt các bờ, chọn một điểm thử thoả cả hệ rồi giữ phần chung; dấu ngặt thì bờ vẽ nét đứt.

a) bốn bờ là

x = 0

x = 10

y = 0

và

x - y = 4

a) điểm thử

(9; 1)

cho

0 \leq 9 \leq 10

1 > 0

và

9 - 1 = 8 > 4

, cả ba đều đúng

a) giao các nửa mặt phẳng là tam giác đỉnh

(4; 0)

(10; 0)

(10; 6)

, trong đó hai bờ

y = 0

và

x - y = 4

vẽ nét đứt nên ba đỉnh đều không thuộc miền

b) bốn bờ là

y = 0

y = 1

x + y = 2

và

y - x = 2

b) điểm thử

(0; \frac{1}{2})

cho

0 \leq \frac{1}{2} \leq 1

0 + \frac{1}{2} \leq 2

và

\frac{1}{2} - 0 \leq 2

, cả ba đều đúng

b) giao bốn nửa mặt phẳng là hình thang cân đỉnh

(- 2; 0)

(2; 0)

(1; 1)

(- 1; 1)

, mọi bờ nét liền nên kể cả biên

c) hai bờ

4 x - 6 y = 0

và

2 x - 3 y = 1

song song với nhau vì cùng có hệ số góc

\frac{2}{3}

c) miền

4 x - 6 y < 0

nằm phía trên bờ thứ nhất, miền

2 x - 3 y \geq 1

nằm phía dưới bờ thứ hai, hai phần này không có điểm chung

Vậy miền nghiệm của ý a là miền tam giác không kể biên, của ý b là hình thang kể cả biên, còn ý c là hệ vô nghiệm nên không có miền nào được tô.

2Cách 2. Tìm đỉnh bằng cách giải từng cặp bờ rồi lọc lại bằng cả hệ

Định hướng. Giao điểm của hai bờ chỉ là đỉnh khi nó thoả toàn bộ hệ; danh sách đỉnh cho biết ngay hình dạng miền.

y = 0

và

x - y = 4

cắt nhau tại

(4; 0)

;

y = 0

và

x = 10

cắt nhau tại

(10; 0)

;

x = 10

và

x - y = 4

cắt nhau tại

(10; 6)

a) giao của

x = 0

với

x - y = 4

là

(0; - 4)

, có

- 4 > 0

là sai nên loại; vậy bờ

x = 0

là ràng buộc dư

y = 0

và

y - x = 2

cắt nhau tại

(- 2; 0)

;

y = 0

và

x + y = 2

cắt nhau tại

(2; 0)

y = 1

và

x + y = 2

cắt nhau tại

(1; 1)

;

y = 1

và

y - x = 2

cắt nhau tại

(- 1; 1)

b) bốn điểm trên đều thoả cả hệ nên miền có đúng bốn đỉnh

c) hai bờ

4 x - 6 y = 0

và

2 x - 3 y = 1

không cắt nhau vì

\frac{4}{2} = \frac{- 6}{- 3} = 2 \neq = \frac{0}{1}

, nên miền không có đỉnh nào

Vậy ý a có ba đỉnh nên miền là tam giác, ý b có bốn đỉnh nên miền là hình thang, ý c không có đỉnh và hệ vô nghiệm.

3Cách 3. Biến đổi hệ về khoảng biến thiên của một biến theo biến kia

Định hướng. Rút một biến ra để hệ thành các chặn; nhìn vào hai chặn là thấy miền có tồn tại hay không và rộng bao nhiêu.

x - y > 4 \Leftrightarrow y < x - 4

, kết hợp

y > 0

được

0 < y < x - 4

a) muốn có

y

như vậy cần

x - 4 > 0

, tức

x > 4

; cùng với

x \leq 10

được

4 < x \leq 10

x + y \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 2 - y

và

y - x \leq 2 \Leftrightarrow x \geq y - 2

, nên

y - 2 \leq x \leq 2 - y

với

0 \leq y \leq 1

b) bề rộng theo

x

bằng

(2 - y) - (y - 2) = 4 - 2 y

, giảm từ

4

xuống

2

khi

y

chạy từ

0

tới

1

4 x - 6 y < 0 \Leftrightarrow 2 (2 x - 3 y) < 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y < 0

c) hệ đòi đồng thời

2 x - 3 y < 0

và

2 x - 3 y \geq 1

, mà không số nào vừa nhỏ hơn

0

vừa không nhỏ hơn

1

Vậy ý a cho tam giác ứng với $4 < x \leq 10$ , ý b cho hình thang có bề rộng $4 - 2 y$ , còn ý c là hệ VÔ NGHIỆM.

Nhận xét. Chỉ riêng ý c, phép rút gọn $4 x - 6 y = 2 (2 x - 3 y)$ đã kết luận được ngay mà không cần vẽ một nét nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho hai ý a, b vì phải vẽ hình theo yêu cầu đề, nhưng riêng ý c hãy dùng Cách 3: chỉ một dòng rút gọn là kết luận được hệ vô nghiệm, khỏi mất công dựng hai đường song song.

Đáp số. a) Miền tam giác với ba đỉnh

(4; 0)

(10; 0)

(10; 6)

, không kể hai biên

y = 0

và

x - y = 4

; b) hình thang cân với bốn đỉnh

(- 2; 0)

(2; 0)

(1; 1)

(- 1; 1)

, kể cả biên; c) hệ vô nghiệm, miền nghiệm là tập rỗng.

Sai lầm thường gặp. Ở ý c nhiều bạn vẽ hai đường thẳng rồi tô nhầm cả dải nằm giữa chúng và ghi miền nghiệm là một dải song song. Rút gọn cho thấy điều vô lí: nếu có điểm nghiệm thì

2 x - 3 y

phải vừa nhỏ hơn

0

vừa lớn hơn hoặc bằng

1

, chẳng hạn thử

(2; 1)

được

2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 1

nên thoả dòng thứ ba nhưng

4 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 2

và

2 < 0

là sai, nên hệ vô nghiệm.

🚀 Mở rộng. Ở ý c, nếu đổi dòng thứ ba thành

2 x - 3 y \geq - 1

thì hệ trở thành

- 1 \leq 2 x - 3 y < 0

cùng với

x \geq 0

, miền nghiệm khi đó là một dải nằm giữa hai đường thẳng song song và không rỗng nữa.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 2.27★★★Trang 27— Tìm đồng thời giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất trên miền đa giác

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = 2 x + 3 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ y \geq - 1 y \leq 1 x + y \leq 4 y - x \leq 4

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức bậc nhất $F = a x + b y$ trên miền đa giác lồi giới nội đạt cả hai cực trị tại các đỉnh, nên chỉ cần lập bảng giá trị tại từng đỉnh.
Hai ràng buộc $x + y \leq 4$ và $y - x \leq 4$ tương đương với $y - 4 \leq x \leq 4 - y$ .
Khi hệ số của $x$ trong $F$ dương, thế chặn trên của $x$ cho cực đại và thế chặn dưới cho cực tiểu, sau đó chỉ còn tối ưu theo một biến $y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ kẹp tung độ vào đoạn từ

- 1

đến

1

và chặn hoành độ bởi hai đường nghiêng đối xứng nhau, nên miền là một hình thang cân nằm ngang với đúng bốn đỉnh. Vì đề đòi cả hai cực trị nên lập bảng giá trị tại bốn đỉnh là hướng gọn và đầy đủ nhất. Chỗ cần chú ý là hệ số

3

của

y

lớn hơn hệ số

2

của

x

nhưng miền lại rất dẹt theo chiều

y

, nên cực trị vẫn do hoành độ quyết định chứ không phải tung độ.

1Cách 1. Lập bảng giá trị của

F

tại bốn đỉnh của miền

Định hướng. Giải từng cặp bờ để có bốn đỉnh, kiểm lại bằng cả hệ rồi so bốn giá trị của $F$ .

y = - 1

và

y - x = 4

cắt nhau tại

(- 5; - 1)

y = 1

và

y - x = 4

cắt nhau tại

(- 3; 1)

y = 1

và

x + y = 4

cắt nhau tại

(3; 1)

y = - 1

và

x + y = 4

cắt nhau tại

(5; - 1)

F (- 5; - 1) = 2 \cdot (- 5) + 3 \cdot (- 1) = - 10 - 3 = - 13

F (- 3; 1) = 2 \cdot (- 3) + 3 \cdot 1 = - 6 + 3 = - 3

F (3; 1) = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 + 3 = 9

F (5; - 1) = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (- 1) = 10 - 3 = 7

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $9$ tại $(3; 1)$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 13$ tại $(- 5; - 1)$ .

2Cách 2. Thế chặn của

x

theo

y

để rút

F

về một biến

Định hướng. Hai ràng buộc nghiêng cho $y - 4 \leq x \leq 4 - y$ ; vì hệ số của $x$ dương nên thay chặn trên được chặn trên của $F$ , thay chặn dưới được chặn dưới của $F$ .

F = 2 x + 3 y \leq 2 (4 - y) + 3 y

F \leq 8 + y

, mà

y \leq 1

nên

F \leq 9

Dấu bằng đòi

x = 4 - y

và

y = 1

, cho điểm

(3; 1)

F = 2 x + 3 y \geq 2 (y - 4) + 3 y

F \geq 5 y - 8

, mà

y \geq - 1

nên

F \geq - 13

Dấu bằng đòi

x = y - 4

và

y = - 1

, cho điểm

(- 5; - 1)

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $9$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 13$ .

3Cách 3. Trượt đường mức

2 x + 3 y = m

về hai phía

Định hướng. Họ đường mức song song nhau; đẩy về hai phía đối nhau, hai vị trí cuối cùng còn chạm miền cho hai cực trị.

Đường mức

2 x + 3 y = m

có dạng

y = \frac{m - 2 x}{3}

, hệ số góc

- \frac{2}{3}

Hai cạnh nghiêng của miền nằm trên

x + y = 4

với hệ số góc

- 1

và trên

y - x = 4

với hệ số góc

1

Vì

- 1 < - \frac{2}{3} < 0 < 1

nên đường mức không song song cạnh nào, do đó mỗi cực trị rơi vào đúng một đỉnh

Bốn đỉnh ứng với

m

lần lượt bằng

- 13

- 3

9

7

Đẩy theo chiều

m

tăng, đường mức rời miền sau cùng tại

(3; 1)

với

m = 9

; đẩy theo chiều

m

giảm, rời miền sau cùng tại

(- 5; - 1)

với

m = - 13

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $9$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 13$ .

Nhận xét. Nếu đổi $F$ thành $2 x + 2 y$ thì đường mức có hệ số góc $- 1$ , song song đúng cạnh $x + y = 4$ , khi ấy giá trị lớn nhất đạt trên cả một cạnh chứ không chỉ ở một đỉnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bài tự luận cần thấy rõ danh sách đỉnh và bảng giá trị, lại cho cả hai cực trị trong một lần làm. Cách 2 dùng để kiểm lại rất nhanh vì chỉ hai dòng đánh giá cho mỗi cực trị.

Đáp số. Giá trị lớn nhất của

F

bằng

9

, đạt tại điểm

(3; 1)

; giá trị nhỏ nhất của

F

bằng

- 13

, đạt tại điểm

(- 5; - 1)

Sai lầm thường gặp. Vì hệ số của

y

bằng

3

lớn hơn hệ số của

x

bằng

2

, nhiều bạn vội cho rằng muốn

F

lớn nhất thì phải lấy

y

lớn nhất rồi kèm luôn

x

lớn nhất, được

(5; 1)

. Điểm ấy không thuộc miền vì

5 + 1 = 6 > 4

; giá trị

F

tại đó bằng

13

là đáp số sai, cực đại thật chỉ là

9

tại

(3; 1)

🚀 Mở rộng. Tổng quát, thay hai dòng đầu bằng

- a \leq y \leq a

với

0 < a < 4

thì

F = 2 x + 3 y

có giá trị lớn nhất bằng

8 + a

tại

(4 - a; a)

và giá trị nhỏ nhất bằng

- 5 a - 8

tại

(- a - 4; - a)

; với

a = 1

được lại đúng

9

và

- 13

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 2.28★★★★Trang 27— Bài toán thực tế tìm lợi nhuận lớn nhất bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một xưởng sản xuất có hai máy

M_{1}

và

M_{2}

cùng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Một tấn sản phẩm loại A lãi

2

triệu đồng, một tấn sản phẩm loại B lãi

1, 6

triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A phải dùng máy

M_{1}

trong

3

giờ và máy

M_{2}

trong

1

giờ; muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B phải dùng máy

M_{1}

trong

1

giờ và máy

M_{2}

trong

1

giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy

M_{1}

làm việc không quá

6

giờ một ngày, máy

M_{2}

làm việc không quá

4

giờ một ngày. Hãy tính số tấn sản phẩm mỗi loại mà xưởng cần sản xuất trong một ngày để tiền lãi lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Mỗi máy cho một ràng buộc dạng tổng thời gian sử dụng không vượt quá quỹ thời gian của máy đó, dẫn tới bất phương trình $a x + b y \leq c$ .
Số tấn sản phẩm không âm, nên luôn phải kèm hai điều kiện $x \geq 0$ và $y \geq 0$ ; nhờ đó miền nghiệm giới nội và tiền lãi đạt cực đại tại một đỉnh.
Có thể chứng minh chặn trên của tiền lãi bằng cách viết biểu thức lãi thành tổ hợp với hệ số dương của các vế trái trong hệ ràng buộc.

🧠 Phân tích tư duy

Hai máy với quỹ thời gian giới hạn cho hai ràng buộc dạng không vượt quá, còn tiền lãi là biểu thức bậc nhất cần làm lớn nhất, đó là dấu hiệu của bài quy hoạch tuyến tính dạng cực đại. Hướng lập hệ rồi thay bốn đỉnh là chuẩn mực và cho ngay phương án sản xuất cụ thể, điều mà đề đòi hỏi. Cạm bẫy là suy nghĩ rằng sản phẩm A lãi cao hơn nên dồn hết thời gian cho A, trong khi A lại ngốn máy

M_{1}

tới ba giờ mỗi tấn nên phương án ấy không tối ưu.

1Cách 1. Lập hệ ràng buộc theo quỹ thời gian hai máy rồi thay các đỉnh

Định hướng. Gọi số tấn mỗi loại là ẩn, viết ràng buộc thời gian cho từng máy rồi tính tiền lãi tại các đỉnh của miền nghiệm.

Gọi

x

là số tấn sản phẩm A và

y

là số tấn sản phẩm B trong một ngày, với

x \geq 0

y \geq 0

Máy

M_{1}

cho

3 x + y \leq 6

; máy

M_{2}

cho

x + y \leq 4

Tiền lãi là

F (x; y) = 2 x + 1, 6 y

triệu đồng

Bốn đỉnh của miền là

O (0; 0)

B (2; 0)

C (1; 3)

D (0; 4)

F (0; 0) = 0

và

F (2; 0) = 2 \cdot 2 + 1, 6 \cdot 0 = 4

F (1; 3) = 2 \cdot 1 + 1, 6 \cdot 3 = 2 + 4, 8 = 6, 8

F (0; 4) = 2 \cdot 0 + 1, 6 \cdot 4 = 6, 4

Vậy mỗi ngày xưởng nên sản xuất $1$ tấn sản phẩm loại A và $3$ tấn sản phẩm loại B, tiền lãi lớn nhất bằng $6, 8$ triệu đồng.

2Cách 2. Trượt đường mức tiền lãi

2 x + 1, 6 y = m

ra xa gốc

Định hướng. Các đường mức tiền lãi song song nhau; đẩy ra xa gốc toạ độ, đường mức CUỐI CÙNG còn chạm miền cho tiền lãi lớn nhất.

Đường mức

2 x + 1, 6 y = m

có dạng

y = \frac{m - 2 x}{1 , 6}

, hệ số góc

- \frac{5}{4}

Hai cạnh của miền kề đỉnh

C (1; 3)

nằm trên

3 x + y = 6

có hệ số góc

- 3

và trên

x + y = 4

có hệ số góc

- 1

Vì

- 3 < - \frac{5}{4} < - 1

nên đường mức nằm giữa hai cạnh về độ dốc, do đó nó chạm miền đúng tại một điểm là đỉnh

C

Tiền lãi tại điểm chạm là

2 \cdot 1 + 1, 6 \cdot 3 = 6, 8

Vậy tiền lãi lớn nhất bằng $6, 8$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $1$ tấn loại A và $3$ tấn loại B.

3Cách 3. Chứng minh chặn trên bằng tổ hợp hai ràng buộc thời gian

Định hướng. Nhân hai ràng buộc với hệ số dương thích hợp rồi cộng lại để thu đúng biểu thức tiền lãi, khi đó chặn trên hiện ra mà không cần hình vẽ.

(3 x + y) + 7 (x + y) = 3 x + y + 7 x + 7 y

= 10 x + 8 y

= 5 (2 x + 1, 6 y) = 5 F

Mà

3 x + y \leq 6

và

x + y \leq 4

nên

5 F \leq 6 + 7 \cdot 4

5 F \leq 34

F \leq 6, 8

Dấu bằng đòi

3 x + y = 6

và

x + y = 4

, giải ra

x = 1

y = 3

, thoả

x \geq 0

và

y \geq 0

Vậy tiền lãi lớn nhất bằng $6, 8$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $1$ tấn loại A và $3$ tấn loại B.

Nhận xét. Hai hệ số $1$ và $7$ không phải mò ra: chúng là nghiệm của hệ ${3 λ + μ = 10 λ + μ = 8$ lập từ việc so hệ số của $x$ và của $y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề hỏi số tấn mỗi loại nên bắt buộc phải nêu mô hình và phương án cụ thể, mà cách này cho cả hai. Cách 3 rất mạnh khi cần chứng minh tiền lãi không thể vượt một mức nào đó.

Đáp số. Mỗi ngày xưởng cần sản xuất

1

tấn sản phẩm loại A và

3

tấn sản phẩm loại B; khi đó tiền lãi lớn nhất bằng

6, 8

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Vì loại A lãi

2

triệu đồng cao hơn loại B lãi

1, 6

triệu đồng nên nhiều bạn dồn toàn bộ cho A, lấy

3 x \leq 6

được

x = 2

và

y = 0

, ra tiền lãi

4

triệu đồng. Phương án ấy để máy

M_{2}

nghỉ tới

2

giờ; chuyển sang

1

tấn A và

3

tấn B thì cả hai máy đều chạy hết giờ và tiền lãi lên

6, 8

triệu đồng, cao hơn hẳn.

🚀 Mở rộng. Thử tăng tiền lãi một tấn loại A lên

5

triệu đồng: khi đó đường mức có hệ số góc

- \frac{25}{8}

dốc hơn cả cạnh

3 x + y = 6

, nên phương án tối ưu chuyển về đỉnh

B (2; 0)

, tức chỉ sản xuất loại A.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 2.29★★★★Trang 28— Bài toán chế độ ăn kiêng tìm chi phí nhỏ nhất bằng quy hoạch tuyến tính

Một người đang thực hiện chế độ ăn kiêng, cần có ít nhất

300

calo,

36

đơn vị vitamin A và

90

đơn vị vitamin C mỗi ngày từ hai loại nước uống I và II. Mỗi cốc nước uống loại I cung cấp

60

calo,

12

đơn vị vitamin A,

10

đơn vị vitamin C và giá

12

nghìn đồng. Mỗi cốc nước uống loại II cung cấp

60

calo,

6

đơn vị vitamin A,

30

đơn vị vitamin C và giá

15

nghìn đồng. a) Gọi

x

y

lần lượt là số cốc nước uống loại I và loại II mà người đó cần uống mỗi ngày; hãy lập hệ bất phương trình mô tả các điều kiện trên và biểu diễn miền nghiệm của hệ. b) Viết biểu thức

F (x; y)

biểu thị số tiền phải trả mỗi ngày. c) Hỏi người đó nên uống mấy cốc mỗi loại để chi phí nhỏ nhất?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu cho một bất phương trình dạng $a x + b y \geq c$ ; nên chia hai vế cho ước chung để hệ gọn hơn trước khi vẽ.
Miền nghiệm của hệ gồm toàn ràng buộc kiểu không nhỏ hơn và hai điều kiện không âm là miền không giới nội, mở về phía trên phải.
Với biểu thức chi phí có hệ số dương, chi phí tăng khi đi về phía miền mở, nên giá trị nhỏ nhất vẫn đạt tại một đỉnh của miền.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu và giá mỗi cốc, đây là dạng bài chế độ ăn kiêng kinh điển với biểu thức chi phí cần làm nhỏ nhất. Hướng làm là chia gọn ba ràng buộc cho ước chung rồi tìm các đỉnh của miền, vì hệ số sau khi rút gọn rất nhỏ nên mọi phép giải đều là số nguyên. Chỗ dễ sai là bỏ sót một trong ba yêu cầu khi lập hệ, vì cả hai loại nước đều cung cấp cùng

60

calo nên ràng buộc calo trông như không có tác dụng phân biệt.

1Cách 1. Lập hệ rút gọn rồi thay các đỉnh của miền nghiệm

Định hướng. Dịch ba yêu cầu dinh dưỡng thành ba bất phương trình, chia gọn cho ước chung, rồi tính chi phí tại các đỉnh của miền.

a) Điều kiện số cốc:

x \geq 0

và

y \geq 0

a) Calo cho

60 x + 60 y \geq 300

, tức

x + y \geq 5

a) Vitamin A cho

12 x + 6 y \geq 36

, tức

2 x + y \geq 6

a) Vitamin C cho

10 x + 30 y \geq 90

, tức

x + 3 y \geq 9

a) Miền nghiệm không giới nội, có bốn đỉnh

A (0; 6)

B (1; 4)

C (3; 2)

D (9; 0)

b) Số tiền phải trả là

F (x; y) = 12 x + 15 y

nghìn đồng

F (0; 6) = 15 \cdot 6 = 90

và

F (1; 4) = 12 + 60 = 72

F (3; 2) = 36 + 30 = 66

và

F (9; 0) = 12 \cdot 9 = 108

Vậy người đó nên uống $3$ cốc nước loại I và $2$ cốc nước loại II mỗi ngày, chi phí nhỏ nhất bằng $66$ nghìn đồng.

2Cách 2. Trượt đường mức chi phí

12 x + 15 y = m

từ gốc ra

Định hướng. Các đường mức chi phí song song nhau; đẩy từ gốc toạ độ ra, đường mức ĐẦU TIÊN chạm miền cho chi phí nhỏ nhất.

Đường mức

12 x + 15 y = m

có dạng

y = \frac{m - 12 x}{15}

, hệ số góc

- \frac{4}{5}

Hai cạnh của miền kề đỉnh

C (3; 2)

nằm trên

x + y = 5

có hệ số góc

- 1

và trên

x + 3 y = 9

có hệ số góc

- \frac{1}{3}

Vì

- 1 < - \frac{4}{5} < - \frac{1}{3}

nên đường mức nằm giữa hai cạnh về độ dốc, do đó nó chạm miền đúng tại một điểm là đỉnh

C

Chi phí tại điểm chạm là

12 \cdot 3 + 15 \cdot 2 = 66

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng $66$ nghìn đồng, đạt khi uống $3$ cốc loại I và $2$ cốc loại II.

3Cách 3. Chứng minh chặn dưới bằng tổ hợp ràng buộc calo và vitamin C

Định hướng. Nhân ràng buộc calo và ràng buộc vitamin C với hệ số dương thích hợp rồi cộng lại để thu đúng biểu thức chi phí, khi đó chặn dưới hiện ra mà không cần hình vẽ.

21 (x + y) + 3 (x + 3 y) = 21 x + 21 y + 3 x + 9 y

= 24 x + 30 y

= 2 (12 x + 15 y) = 2 F

Mà

x + y \geq 5

và

x + 3 y \geq 9

nên

2 F \geq 21 \cdot 5 + 3 \cdot 9

2 F \geq 105 + 27 = 132

F \geq 66

Dấu bằng đòi

x + y = 5

và

x + 3 y = 9

, giải ra

x = 3

y = 2

Điểm

(3; 2)

thoả nốt ràng buộc vitamin A vì

2 \cdot 3 + 2 = 8 \geq 6

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng $66$ nghìn đồng, đạt khi uống $3$ cốc loại I và $2$ cốc loại II.

Nhận xét. Ràng buộc vitamin A không tham gia tổ hợp, chứng tỏ nó không quyết định phương án tối ưu; tại điểm tối ưu lượng vitamin A nhận được là $8$ đơn vị trên mức chuẩn $6$ nên vẫn còn dư.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề chia thành ba ý nhỏ đúng theo mạch lập hệ, viết biểu thức rồi tối ưu, mà cách này trả lời trọn cả ba ý. Cách 3 nên dành cho câu hỏi chứng minh chi phí không thể thấp hơn

66

nghìn đồng.

Đáp số. a) Hệ

⎩ ⎨ ⎧ x + y \geq 5 2 x + y \geq 6 x + 3 y \geq 9 x \geq 0 y \geq 0

với miền nghiệm không giới nội có bốn đỉnh

(0; 6)

(1; 4)

(3; 2)

(9; 0)

; b)

F (x; y) = 12 x + 15 y

nghìn đồng; c) uống

3

cốc loại I và

2

cốc loại II, chi phí nhỏ nhất

66

nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Ràng buộc calo rất hay bị bỏ qua vì hai loại nước cùng cho

60

calo nên trông như vô hại. Nếu bỏ nó, miền nghiệm rộng thêm và đỉnh

(\frac{9}{5}; \frac{12}{5})

giao của

2 x + y = 6

với

x + 3 y = 9

lại cho chi phí

12 \cdot \frac{9}{5} + 15 \cdot \frac{12}{5} = \frac{288}{5} = 57, 6

nghìn đồng, thấp hơn đáp số đúng nhưng khi đó lượng calo chỉ là

60 \cdot \frac{21}{5} = 252 < 300

nên không đạt yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Thử hạ giá một cốc loại II xuống

9

nghìn đồng: đường mức khi đó có hệ số góc

- \frac{4}{3}

, dốc hơn cạnh

x + y = 5

nhưng vẫn thoải hơn cạnh

2 x + y = 6

, nên phương án tối ưu chuyển sang đỉnh

(1; 4)

với chi phí

12 \cdot 1 + 9 \cdot 4 = 48

nghìn đồng.

Nguồn: SBT Toan 10 KNTT tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-10-kn/bai-tap-cuoi-chuong-2.jsp · https://loigiaihay.com/bai-tap-cuoi-chuong-ii-sbt-toan-10-kntt-e27311.html