Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 20 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang24–28 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.10★Trang 24— Nhận dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A.

2 x^{2} + 3 y > 4

; B.

x y + x < 5

; C.

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6

; D.

x + y^{3} \leq 3

Kiến thức cần nhớ

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ , $y$ có dạng $a x + b y + c < 0$ (hoặc $a x + b y + c > 0$ , $a x + b y + c \leq 0$ , $a x + b y + c \geq 0$ ), trong đó $a$ , $b$ , $c$ là những số đã cho và $a$ , $b$ không đồng thời bằng $0$ .
Mọi hạng tử chứa ẩn phải có bậc đúng bằng $1$ : không được xuất hiện $x^{2}$ , $y^{2}$ , $y^{3}$ hay $x y$ .
Luỹ thừa của một SỐ như $3^{2} = 9$ , $4^{3} = 64$ chỉ là hệ số, không làm tăng bậc của ẩn.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án chỉ khác nhau ở chỗ hạng tử chứa ẩn có bậc bao nhiêu, đó là dấu hiệu của dạng bài kiểm tra định nghĩa chứ không phải dạng bài tính toán. Hướng nhanh nhất là soi bậc của từng hạng tử chứa ẩn rồi loại ngay phương án nào có bậc lớn hơn một, khỏi phải biến đổi gì. Cạm bẫy nằm ở phương án C với

3^{2}

và

4^{3}

trông rất giống số mũ của ẩn, nhiều bạn vội loại vì thấy có dấu luỹ thừa mà quên rằng số mũ ấy đặt trên hằng số.

1Cách 1. Đối chiếu từng phương án với dạng chuẩn

a x + b y + c \geq 0

Định hướng. Viết lại mỗi phương án về dạng chỉ còn hai ẩn ở bậc nhất rồi xem có khớp khuôn $a x + b y + c \geq 0$ với $a$ , $b$ là hằng số hay không.

2 x^{2} + 3 y > 4

có hạng tử

2 x^{2}

với ẩn

x

ở bậc

2

x y + x < 5

có hạng tử

x y

với tổng số mũ của

x

và

y

bằng

2

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6

có

3^{2} = 9

và

4^{3} = 64

nên

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6 \Leftrightarrow 9 x + 64 y \geq 6

9 x + 64 y - 6 \geq 0

khớp khuôn

a x + b y + c \geq 0

với

a = 9

b = 64

c = - 6

x + y^{3} \leq 3

có hạng tử

y^{3}

với ẩn

y

ở bậc

3

Vậy chỉ phương án C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng bậc của hạng tử chứa ẩn

Định hướng. Với mỗi phương án chỉ cần tìm MỘT hạng tử chứa ẩn có bậc khác $1$ là đủ để loại, không cần xét tiếp các hạng tử còn lại.

A. bậc của

2 x^{2}

bằng

2

, mà

2 \neq = 1

B. bậc của

x y

bằng

1 + 1 = 2

, mà

2 \neq = 1

D. bậc của

y^{3}

bằng

3

, mà

3 \neq = 1

C. bậc của

3^{2} x

bằng

1

và bậc của

4^{3} y

bằng

1

, vì số mũ

2

và

3

đặt trên hằng số

3

và

4

Vậy ba phương án A, B, D đều bị loại, chỉ còn C.

3Cách 3. Xét bờ của mỗi bất phương trình có phải đường thẳng hay không

Định hướng. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có bờ là một ĐƯỜNG THẲNG và miền nghiệm là một nửa mặt phẳng; chỉ cần thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng rồi nhận dạng đường thu được.

A. bờ

2 x^{2} + 3 y = 4

cho

y = \frac{4 - 2 x ^{2}}{3}

, là một parabol

B. bờ

x y + x = 5

cho

y = \frac{5 - x}{x}

với

x \neq = 0

, là một hypebol

D. bờ

x + y^{3} = 3

cho

x = 3 - y^{3}

, là một đường cong bậc ba

C. bờ

3^{2} x + 4^{3} y = 6

cho

9 x + 64 y = 6

y = \frac{6 - 9 x}{64}

, là một đường thẳng

Vậy chỉ C có bờ là đường thẳng nên chỉ C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ cần nhẩm bậc của một hạng tử là loại được ngay ba phương án, mất chừng mười giây. Cách 3 tuy sáng nhưng phải rút

y

theo

x

nên chậm hơn, để dành khi muốn kiểm lại.

Đáp số. Chọn C. Bất phương trình

3^{2} x + 4^{3} y \geq 6

, tức

9 x + 64 y \geq 6

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

3^{2}

và

4^{3}

có dấu luỹ thừa là gạch bỏ phương án C rồi đi tìm phương án khác, cuối cùng chọn B vì

x y + x < 5

trông có vẻ bậc nhất. Thực ra

x y

có bậc

1 + 1 = 2

: thử

x = y = 3

được

x y = 9

chứ không phải

3 + 3 = 6

như một hạng tử bậc nhất, nên B sai còn C mới đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi bất phương trình dạng

m^{p} x + n^{q} y + c \geq 0

với

m

n

p

q

là hằng số và

m^{p}

n^{q}

không đồng thời bằng

0

đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, dù số mũ

p

q

lớn tới đâu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.11★Trang 24— Nhận dạng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A.

{2 x + 3 y > 4 2^{3} x + 3 y^{2} < 1

; B.

{x + y > 4 2^{3} x + 3^{2} y < 1

; C.

⎩ ⎨ ⎧ x > 3 y < 2 x + y \geq y^{2}

; D.

⎩ ⎨ ⎧ x - y \leq 3 y < 1 x + y \geq x + x y

Kiến thức cần nhớ

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ , $y$ ; nghiệm của hệ là cặp số thoả mãn ĐỒNG THỜI mọi bất phương trình trong hệ.
Chỉ cần MỘT bất phương trình trong hệ không phải bậc nhất hai ẩn thì cả hệ không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trước khi kết luận phải rút gọn hai vế: một hạng tử bậc cao có thể bị triệt tiêu, cũng có thể còn lại sau khi rút gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn hệ mà mỗi hệ đều cố tình cài một hạng tử trông lạ mắt, đó là dấu hiệu của dạng bài kiểm tra định nghĩa theo kiểu quét từng dòng. Hướng an toàn là đọc lần lượt từng bất phương trình trong hệ, gặp dòng nào có ẩn ở bậc lớn hơn một thì gạch cả hệ ngay. Bẫy kép ở đây: phương án B có

2^{3}

và

3^{2}

chỉ là hệ số nên vẫn bậc nhất, còn phương án D phải rút gọn hai vế mới lộ ra hạng tử

x y

1Cách 1. Rút gọn hệ số luỹ thừa rồi soi từng bất phương trình trong hệ

Định hướng. Thay các luỹ thừa của số bằng giá trị cụ thể và rút gọn hai vế của từng dòng, sau đó mới xét bậc.

A. dòng thứ hai

2^{3} x + 3 y^{2} < 1 \Leftrightarrow 8 x + 3 y^{2} < 1

, còn hạng tử

3 y^{2}

bậc

2

B. dòng thứ hai

2^{3} x + 3^{2} y < 1 \Leftrightarrow 8 x + 9 y < 1

, cả hai hạng tử chứa ẩn đều bậc

1

B. dòng thứ nhất

x + y > 4

cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

C. dòng thứ ba

x + y \geq y^{2} \Leftrightarrow x + y - y^{2} \geq 0

, còn hạng tử

y^{2}

bậc

2

D. dòng thứ ba

x + y \geq x + x y \Leftrightarrow y - x y \geq 0

, còn hạng tử

x y

bậc

2

Vậy chỉ hệ ở phương án B gồm toàn bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chọn B.

2Cách 2. Loại trừ nhờ chỉ ra một dòng có bậc lớn hơn 1 trong mỗi hệ sai

Định hướng. Mỗi hệ chỉ cần tìm đúng một dòng vi phạm là gạch được cả hệ, nên quét tìm dòng chứa $x^{2}$ , $y^{2}$ hoặc $x y$ trước tiên.

A. dòng

2^{3} x + 3 y^{2} < 1

chứa

y^{2}

nên A bị loại

C. dòng

x + y \geq y^{2}

chứa

y^{2}

nên C bị loại

D. dòng

x + y \geq x + x y

sau khi bớt

x

ở hai vế còn

y \geq x y

, chứa

x y

nên D bị loại

Còn lại duy nhất hệ B

Vậy chọn B.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng bờ: mỗi dòng của hệ bậc nhất phải cho một đường thẳng

Định hướng. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là giao của các nửa mặt phẳng, nên mọi bờ đều phải là đường thẳng; thay từng dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng rồi nhận dạng.

A. bờ

8 x + 3 y^{2} = 1

cho

x = \frac{1 - 3 y ^{2}}{8}

, là một parabol

C. bờ

x + y = y^{2}

cho

x = y^{2} - y

, cũng là một parabol

D. bờ

y = x y

cho

y (1 - x) = 0

, là hợp của hai đường thẳng

y = 0

và

x = 1

chứ không phải một đường thẳng

B. hai bờ là

x + y = 4

và

8 x + 9 y = 1

, đều là đường thẳng

Vậy chỉ B có mọi bờ là đường thẳng, chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì quét tìm dấu hiệu

y^{2}

và

x y

nhanh hơn hẳn việc rút gọn đầy đủ từng dòng. Chỉ riêng phương án D phải bớt

x

ở hai vế mới thấy

x y

, nên đừng bỏ qua bước rút gọn ở dòng nào có ẩn xuất hiện ở cả hai vế.

Đáp số. Chọn B. Hệ

{x + y > 4 2^{3} x + 3^{2} y < 1

, tức

{x + y > 4 8 x + 9 y < 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là bỏ qua phương án D vì thấy hai dòng đầu

x - y \leq 3

và

y < 1

rất chuẩn, rồi kết luận D đúng. Dòng thứ ba

x + y \geq x + x y

bớt

x

ở hai vế thành

y \geq x y

: thử

x = 2

y = 3

được

3 \geq 6

là sai, còn

x = 0

y = 3

được

3 \geq 0

là đúng, chứng tỏ bờ

y = x y

không phải một đường thẳng nên D bị loại.

🚀 Mở rộng. Thử đổi dòng thứ ba của phương án D thành

x + y \geq x + 2 y

: khi đó rút gọn cho

- y \geq 0

, vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với

a = 0

b = - 1

, và cả hệ D lại trở thành hệ bậc nhất hai ẩn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.12★Trang 24— Kiểm tra một điểm có thuộc miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình

2 x + 5 y \leq 10

? A.

(5; 2)

; B.

(- 1; 4)

; C.

(2; 1)

; D.

(- 5; 6)

Kiến thức cần nhớ

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là một nghiệm của bất phương trình $a x + b y + c \leq 0$ khi và chỉ khi $a x_{0} + b y_{0} + c \leq 0$ .
Miền nghiệm của $a x + b y + c \leq 0$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $a x + b y + c = 0$ , kể cả bờ.
Hai điểm nằm cùng một phía so với bờ thì cho $a x + b y + c$ cùng dấu; nằm khác phía thì cho hai dấu trái nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.13★★Trang 24— Loại điểm không thuộc miền nghiệm khi bất phương trình có dấu ngặt

Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình

2 x - 3 y > 13

? A.

(1; - 5)

; B.

(2; - 4)

; C.

(3; - 3)

; D.

(8; 1)

Kiến thức cần nhớ

Với dấu ngặt $>$ , miền nghiệm của $a x + b y > c$ KHÔNG chứa bờ $a x + b y = c$ ; bờ được vẽ bằng nét đứt.
Điểm nằm đúng trên bờ cho $a x + b y = c$ nên không thoả dấu ngặt, tức không thuộc miền nghiệm.
Nhiều điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì có thể thay toàn bộ bằng một tham số, nhờ đó tính một lần cho cả nhóm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.14★Trang 24— Xác định bờ và phía của miền nghiệm một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho bất phương trình

x + 2 y \leq 3

. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = 3

chứa gốc toạ độ; B. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = 3

không chứa gốc toạ độ; C. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = - 3

chứa gốc toạ độ; D. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ

d : x + 2 y = - 3

không chứa gốc toạ độ.

Kiến thức cần nhớ

Bờ của miền nghiệm của $a x + b y \leq c$ là đường thẳng $a x + b y = c$ , lấy đúng vế phải của bất phương trình chứ không đổi dấu.
Muốn biết miền nghiệm nằm phía nào, thay toạ độ một điểm không nằm trên bờ vào bất phương trình; gốc toạ độ là điểm thử gọn nhất khi bờ không đi qua gốc.
Dấu $\leq$ cho miền nghiệm kể cả bờ, bờ vẽ nét liền.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.15★★Trang 25— Kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 2 x - 2 y \geq 4 x > 0

? A.

(- 1; 2)

; B.

(- 2; - 4)

; C.

(0; 1)

; D.

(2; - 4)

Kiến thức cần nhớ

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của một hệ bất phương trình khi và chỉ khi nó thoả mãn ĐỒNG THỜI mọi bất phương trình của hệ.
Chỉ cần vi phạm MỘT bất phương trình là cặp số bị loại, nên nên kiểm điều kiện đơn giản nhất trước.
Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của từng bất phương trình; bờ ứng với dấu không ngặt ( $\leq$ , $\geq$ ) thuộc miền nghiệm và vẽ nét liền, bờ ứng với dấu ngặt ( $<$ , $>$ ) không thuộc miền nghiệm và vẽ nét đứt.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.16★★Trang 25— Tìm điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ - x + y \leq 2 x - 2 y \geq 1 y \leq 0

? A.

(- 3; 2)

; B.

(0; 1)

; C.

(4; - 1)

; D.

(- 2; 2)

Kiến thức cần nhớ

Điểm thuộc miền nghiệm của hệ phải thoả mãn mọi bất phương trình của hệ, thiếu một dòng là không thuộc.
Điều kiện $y \leq 0$ nghĩa là điểm nằm trên trục hoành hoặc ở nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành.
Có thể rút $y$ về một phía để hệ trở thành các chặn trên hoặc chặn dưới của $y$ theo $x$ , nhờ đó thấy ngay hình dạng miền nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.17★★★Trang 25— Đọc hệ bất phương trình từ hình vẽ miền nghiệm là một miền tam giác

Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây là miền tam giác

A B C

(miền không bị gạch) trong hình bên, với

A (0; 1)

B (1; 0)

C (0; - 1)

? A.

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 x - y \geq 1 x \geq 0

; B.

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 x - y \leq 1 x \geq 0

; C.

⎩ ⎨ ⎧ x - y \geq - 1 x + y \geq - 1 x \geq 0

; D.

⎩ ⎨ ⎧ x - y \geq - 1 x + y \geq - 1 y \geq 0

Kiến thức cần nhớ

Mỗi cạnh của miền đa giác nghiệm nằm trên bờ của một bất phương trình trong hệ, nên số cạnh cho biết số bất phương trình cần thiết.
Muốn biết mỗi bất phương trình mang dấu nào, lấy một điểm nằm hẳn bên trong miền rồi thay vào: dấu phải làm cho bất phương trình đúng.
Mọi đỉnh của miền đa giác đều phải thoả mãn toàn bộ hệ, vì đỉnh thuộc hai cạnh nên làm hai bất phương trình trở thành đẳng thức.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.18★★Trang 25— Nhận dạng hình dạng miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 1 x + y \leq 0 y \geq 0

là: A. Một nửa mặt phẳng; B. Miền tam giác; C. Miền tứ giác; D. Miền ngũ giác.

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao của các nửa mặt phẳng, nên nếu giới nội thì đó là một miền đa giác lồi.
Số đỉnh của miền đa giác bằng số cạnh; muốn tìm đỉnh, giải từng cặp phương trình bờ rồi loại các giao điểm không thoả toàn bộ hệ.
Một bất phương trình có bờ không góp cạnh nào cho miền thì là ràng buộc dư, không làm tăng số đỉnh.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.19★★★Trang 26— Đếm số cạnh của miền nghiệm khi một đường thẳng cắt ngang hình vuông

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 1 y \geq - 3 y \leq 3 x \geq - 3 x \leq 3

là: A. Miền lục giác; B. Miền tam giác; C. Miền tứ giác; D. Miền ngũ giác.

Kiến thức cần nhớ

Bốn bất phương trình $- 3 \leq x \leq 3$ và $- 3 \leq y \leq 3$ cho miền nghiệm là hình vuông có bốn đỉnh $(\pm 3; \pm 3)$ .
Thêm một bất phương trình mới: nếu bờ của nó cắt phần trong hình vuông thì nó cắt bớt một góc và thay góc đó bằng một cạnh mới.
Cắt một góc của đa giác lồi bằng một đường thẳng làm mất một đỉnh nhưng sinh ra hai đỉnh, nên số đỉnh tăng thêm một.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.20★★Trang 26— Phát hiện ràng buộc dư trong hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x + y \leq 10 y \geq - 3 y \leq 3 x \geq - 3 x \leq 3

là: A. Miền lục giác; B. Miền tam giác; C. Miền tứ giác; D. Miền ngũ giác.

Kiến thức cần nhớ

Một bất phương trình được gọi là ràng buộc dư nếu bỏ nó đi mà miền nghiệm của hệ không thay đổi.
Với hàm bậc nhất $x + y$ , giá trị lớn nhất trên một miền đa giác luôn đạt tại một đỉnh, nên chỉ cần so giá trị tại các đỉnh.
Nếu mọi đỉnh của miền đều thoả một bất phương trình thì cả miền thoả bất phương trình ấy, do miền đa giác lồi là tập các điểm nằm giữa các đỉnh.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.21★★★Trang 26— Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bậc nhất hai ẩn trên một miền đa giác

Giá trị lớn nhất của biểu thức

F (x; y) = 3 x + y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 1 x + y \leq 2 y \geq 0

là: A.

- 3

; B.

6

; C.

5

; D.

8

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức bậc nhất $F (x; y) = a x + b y$ trên một miền đa giác lồi giới nội luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại một ĐỈNH của miền.
Muốn tìm đỉnh, giải từng cặp phương trình bờ rồi giữ lại giao điểm thoả toàn bộ hệ.
Các đường mức $a x + b y = m$ là những đường thẳng song song; giá trị $m$ càng lớn thì đường mức càng dịch về phía vectơ pháp tuyến, đường mức cuối cùng còn chạm miền sẽ đi qua đỉnh cho giá trị lớn nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.22★★Trang 26— Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất hai ẩn trên một hình chữ nhật

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = - x + 4 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 1 x \leq 2 y \geq 0 y \leq 3

là: A.

- 2

; B.

3

; C.

11

; D.

- 4

Kiến thức cần nhớ

Hệ gồm các ràng buộc dạng $m \leq x \leq n$ và $p \leq y \leq q$ có miền nghiệm là một hình chữ nhật với bốn đỉnh là các cặp đầu mút.
Khi hai biến bị chặn ĐỘC LẬP nhau, biểu thức $a x + b y$ đạt cực trị bằng cách cho riêng $a x$ và riêng $b y$ đạt cực trị.
Với hệ số âm, chẳng hạn $- x$ , giá trị nhỏ nhất của $- x$ đạt khi $x$ lớn nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.23★★★Trang 26— Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất trên miền đa giác

Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = x + 5 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ - 2 \leq y \leq 2 x + y \leq 4 y - x \leq 4

là: A.

- 20

; B.

- 4

; C.

28

; D.

16

Kiến thức cần nhớ

Hai bất phương trình $x + y \leq 4$ và $y - x \leq 4$ tương đương với việc kẹp $x$ giữa $y - 4$ và $4 - y$ .
Biểu thức bậc nhất trên miền đa giác lồi giới nội đạt cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh, nên chỉ cần tính giá trị tại từng đỉnh.
Khi hệ số của $x$ trong biểu thức là số dương, muốn $F$ lớn nhất thì lấy $x$ ở chặn trên, muốn $F$ nhỏ nhất thì lấy $x$ ở chặn dưới.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.24★★★★Trang 27— Bài toán thực tế tìm chi phí nhỏ nhất bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một hợp tác xã chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia súc X và Y để tạo thành thức ăn hỗn hợp cho gia súc. Giá một bao loại X là

250

nghìn đồng, một bao loại Y là

200

nghìn đồng. Mỗi bao loại X chứa

2

đơn vị chất dinh dưỡng A,

2

đơn vị chất dinh dưỡng B và

2

đơn vị chất dinh dưỡng C; mỗi bao loại Y chứa

1

đơn vị chất dinh dưỡng A,

9

đơn vị chất dinh dưỡng B và

3

đơn vị chất dinh dưỡng C. Hỗn hợp phải chứa ít nhất

12

đơn vị chất A,

36

đơn vị chất B và

24

đơn vị chất C. Tìm chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc trên.

Kiến thức cần nhớ

Gọi ẩn là số lượng mỗi loại cần mua, mỗi yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu cho một bất phương trình dạng $a x + b y \geq c$ , kèm điều kiện không âm của ẩn.
Với miền nghiệm không giới nội nhưng bị chặn dưới theo hướng của biểu thức chi phí, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất vẫn đạt tại một đỉnh của miền.
Có thể chứng minh chặn dưới của chi phí bằng cách viết biểu thức chi phí thành tổ hợp với hệ số dương của các vế trái trong hệ ràng buộc.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 2.25★Trang 27— Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: a)

x + y \geq - 4

; b)

2 x - y \leq 5

; c)

x + 2 y < 0

; d)

- x + 2 y > 0

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của $a x + b y \leq c$ là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $a x + b y = c$ ; dấu $\leq$ hoặc $\geq$ thì bờ thuộc miền nghiệm và vẽ nét liền, dấu $<$ hoặc $>$ thì bờ không thuộc miền nghiệm và vẽ nét đứt.
Muốn biết giữ nửa mặt phẳng nào, lấy một điểm thử KHÔNG nằm trên bờ rồi thay toạ độ vào bất phương trình.
Khi bờ đi qua gốc toạ độ thì không được lấy gốc làm điểm thử, phải chọn điểm khác, chẳng hạn $(0; 1)$ hoặc $(1; 0)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 2.26★★Trang 27— Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, kể cả trường hợp hệ vô nghiệm

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: a)

⎩ ⎨ ⎧ 0 \leq x \leq 10 y > 0 x - y > 4

; b)

⎩ ⎨ ⎧ 0 \leq y \leq 1 x + y \leq 2 y - x \leq 2

; c)

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 4 x - 6 y < 0 2 x - 3 y \geq 1

Kiến thức cần nhớ

Miền nghiệm của hệ là GIAO các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.
Giao của các nửa mặt phẳng có thể là một miền đa giác, một miền không giới nội, hoặc tập rỗng khi các nửa mặt phẳng không có điểm chung.
Hai bất phương trình có cùng vế trái sau khi rút gọn nhưng đòi hai khoảng giá trị rời nhau thì hệ vô nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 2.27★★★Trang 27— Tìm đồng thời giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất trên miền đa giác

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F (x; y) = 2 x + 3 y

với

(x; y)

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

⎩ ⎨ ⎧ y \geq - 1 y \leq 1 x + y \leq 4 y - x \leq 4

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức bậc nhất $F = a x + b y$ trên miền đa giác lồi giới nội đạt cả hai cực trị tại các đỉnh, nên chỉ cần lập bảng giá trị tại từng đỉnh.
Hai ràng buộc $x + y \leq 4$ và $y - x \leq 4$ tương đương với $y - 4 \leq x \leq 4 - y$ .
Khi hệ số của $x$ trong $F$ dương, thế chặn trên của $x$ cho cực đại và thế chặn dưới cho cực tiểu, sau đó chỉ còn tối ưu theo một biến $y$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 2.28★★★★Trang 27— Bài toán thực tế tìm lợi nhuận lớn nhất bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một xưởng sản xuất có hai máy

M_{1}

và

M_{2}

cùng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Một tấn sản phẩm loại A lãi

2

triệu đồng, một tấn sản phẩm loại B lãi

1, 6

triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A phải dùng máy

M_{1}

trong

3

giờ và máy

M_{2}

trong

1

giờ; muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B phải dùng máy

M_{1}

trong

1

giờ và máy

M_{2}

trong

1

giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy

M_{1}

làm việc không quá

6

giờ một ngày, máy

M_{2}

làm việc không quá

4

giờ một ngày. Hãy tính số tấn sản phẩm mỗi loại mà xưởng cần sản xuất trong một ngày để tiền lãi lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Mỗi máy cho một ràng buộc dạng tổng thời gian sử dụng không vượt quá quỹ thời gian của máy đó, dẫn tới bất phương trình $a x + b y \leq c$ .
Số tấn sản phẩm không âm, nên luôn phải kèm hai điều kiện $x \geq 0$ và $y \geq 0$ ; nhờ đó miền nghiệm giới nội và tiền lãi đạt cực đại tại một đỉnh.
Có thể chứng minh chặn trên của tiền lãi bằng cách viết biểu thức lãi thành tổ hợp với hệ số dương của các vế trái trong hệ ràng buộc.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 2.29★★★★Trang 28— Bài toán chế độ ăn kiêng tìm chi phí nhỏ nhất bằng quy hoạch tuyến tính

Một người đang thực hiện chế độ ăn kiêng, cần có ít nhất

300

calo,

36

đơn vị vitamin A và

90

đơn vị vitamin C mỗi ngày từ hai loại nước uống I và II. Mỗi cốc nước uống loại I cung cấp

60

calo,

12

đơn vị vitamin A,

10

đơn vị vitamin C và giá

12

nghìn đồng. Mỗi cốc nước uống loại II cung cấp

60

calo,

6

đơn vị vitamin A,

30

đơn vị vitamin C và giá

15

nghìn đồng. a) Gọi

x

y

lần lượt là số cốc nước uống loại I và loại II mà người đó cần uống mỗi ngày; hãy lập hệ bất phương trình mô tả các điều kiện trên và biểu diễn miền nghiệm của hệ. b) Viết biểu thức

F (x; y)

biểu thị số tiền phải trả mỗi ngày. c) Hỏi người đó nên uống mấy cốc mỗi loại để chi phí nhỏ nhất?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu cho một bất phương trình dạng $a x + b y \geq c$ ; nên chia hai vế cho ước chung để hệ gọn hơn trước khi vẽ.
Miền nghiệm của hệ gồm toàn ràng buộc kiểu không nhỏ hơn và hai điều kiện không âm là miền không giới nội, mở về phía trên phải.
Với biểu thức chi phí có hệ số dương, chi phí tăng khi đi về phía miền mở, nên giá trị nhỏ nhất vẫn đạt tại một đỉnh của miền.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗