Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 31 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.17★Trang 40— Tính giá trị lượng giác của góc còn lại trong tam giác

Tam giác

A B C

có

A = 1 5^{\circ}

B = 4 5^{\circ}

. Giá trị của

tan C

bằng
A.

- 3

;
B.

3

;
C.

\frac{1}{3}

;
D.

- \frac{1}{3}

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong tam giác: $A + B + C = 18 0^{\circ}$ .
Hai góc bù nhau: $tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α$ với $α \neq = 9 0^{\circ}$ .
$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ ; $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc của tam giác nên góc thứ ba tính ngay được từ tổng ba góc; câu hỏi thực chất là giá trị lượng giác của một góc tù. Hướng nhanh nhất là đưa về góc bù quen thuộc

6 0^{\circ}

. Bẫy nằm ở dấu: góc tù có tang âm, ai quên dấu sẽ khoanh nhầm phương án B.

1Cách 1. Tính góc C rồi dùng góc bù

Định hướng. Góc $C$ là góc tù nên đưa về góc bù nhọn $6 0^{\circ}$ để đọc giá trị trong bảng.

C = 18 0^{\circ} - A - B = 18 0^{\circ} - 1 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 12 0^{\circ}

tan C = tan 12 0^{\circ} = tan (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - tan 6 0^{\circ} = - 3

Vậy $tan C = - 3$ , chọn A.

2Cách 2. Tính qua sin và côsin của góc C

Định hướng. Không nhớ công thức góc bù cho tang thì đi qua $sin$ và $cos$ của $12 0^{\circ}$ rồi chia.

C = 18 0^{\circ} - (1 5^{\circ} + 4 5^{\circ}) = 12 0^{\circ}

sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

tan C = \frac{sin 12 0 ^{\circ}}{cos 12 0 ^{\circ}} = \frac{3}{2} : (- \frac{1}{2}) = - 3

Vậy chọn A.

3Cách 3. Loại trừ bằng dấu và độ lớn

Định hướng. Chỉ cần biết $C$ tù hay nhọn và $∣ tan C ∣$ bằng tang của góc bù là đủ phân loại bốn phương án.

A + B = 6 0^{\circ} < 9 0^{\circ} \Rightarrow C > 9 0^{\circ} \Rightarrow tan C < 0

tan C < 0 \Rightarrow

loại B và C

∣ tan C ∣ = tan (18 0^{\circ} - C) = tan (A + B) = tan 6 0^{\circ} = 3

∣ tan C ∣ = 3 \neq = \frac{1}{3} \Rightarrow

loại D

Vậy chỉ còn A.

Nhận xét. $18 0^{\circ} - C = A + B$ nên $tan C = - tan (A + B)$ trong mọi tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm

A + B = 6 0^{\circ}

là biết ngay

tan C = - tan 6 0^{\circ}

, không cần viết gì thêm.

Đáp số.

C = 12 0^{\circ}

tan C = - 3

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết

tan 12 0^{\circ} = tan 6 0^{\circ} = 3

vì nhớ nhầm "góc bù có cùng tang" (chỉ sin mới bằng nhau). Phản ví dụ:

tan 13 5^{\circ} = - 1

trong khi

tan 4 5^{\circ} = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong mọi tam giác không có góc vuông,

tan C = - tan (A + B)

; thử tính

tan C

khi

A = 2 0^{\circ}

B = 2 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.18★Trang 40— Toạ độ điểm trên nửa đường tròn đơn vị theo góc

α

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, lấy điểm

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho

x O M = 13 5^{\circ}

. Tích hoành độ và tung độ của điểm

M

bằng
A.

\frac{1}{2 2}

;
B.

\frac{1}{2}

;
C.

- \frac{1}{2}

;
D.

- \frac{1}{2 2}

Kiến thức cần nhớ

$M$ thuộc nửa đường tròn đơn vị, $x O M = α$ thì $M (cos α; sin α)$ .
$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

M

trên nửa đường tròn đơn vị với

x O M = α

luôn có toạ độ

(cos α; sin α)

— đó là định nghĩa giá trị lượng giác, nên bài chỉ còn là tính

cos 13 5^{\circ} \cdot sin 13 5^{\circ}

. Góc

13 5^{\circ}

là góc bù của

4 5^{\circ}

nên đưa về giá trị quen thuộc. Bẫy: quên hoành độ âm vì

M

ở bên trái trục tung.

1Cách 1. Toạ độ theo định nghĩa giá trị lượng giác

Định hướng. Viết thẳng toạ độ của $M$ rồi nhân.

x_{M} = cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

y_{M} = sin 13 5^{\circ} = \frac{2}{2}

x_{M} \cdot y_{M} = - \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

Vậy tích bằng $- \frac{1}{2}$ , chọn C.

2Cách 2. Đưa về góc bù 45°

Định hướng. Dùng công thức góc bù để khỏi phải nhớ giá trị của $13 5^{\circ}$ .

x_{M} \cdot y_{M} = cos 13 5^{\circ} \cdot sin 13 5^{\circ}

x_{M} \cdot y_{M} = (- cos 4 5^{\circ}) \cdot sin 4 5^{\circ}

x_{M} \cdot y_{M} = - (\frac{2}{2})^{2} = - \frac{1}{2}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Hình học: M nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ II

Định hướng. Góc $13 5^{\circ}$ chia đôi góc vuông $y O x^{'}$ nên $M$ nằm trên đường $y = - x$ ; kết hợp với $x^{2} + y^{2} = 1$ là ra ngay tích $x y$ .

y_{M} = - x_{M}

x_{M}^{2} + y_{M}^{2} = 1

2 x_{M}^{2} = 1 \Rightarrow x_{M}^{2} = \frac{1}{2}

x_{M} \cdot y_{M} = - x_{M}^{2} = - \frac{1}{2}

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 không cần biết $x_{M}$ bằng bao nhiêu, chỉ cần $x_{M}^{2}$ — rất gọn khi đề hỏi tích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (hoặc Cách 1 nếu thuộc bảng):

M

trên đường

y = - x

nên

x_{M} y_{M} = - x_{M}^{2} = - \frac{1}{2}

, tính nhẩm được.

Đáp số.

x_{M} \cdot y_{M} = - \frac{1}{2}

— chọn C.

Sai lầm thường gặp. Nhầm

M (sin 13 5^{\circ}; cos 13 5^{\circ})

(đảo thứ tự) vẫn ra tích

- \frac{1}{2}

nên không bị phát hiện ở bài này, nhưng hỏi riêng hoành độ sẽ sai: hoành độ đúng là

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

, không phải

\frac{2}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

M

trên nửa đường tròn đơn vị,

x_{M} y_{M} = sin α cos α

đạt giá trị nhỏ nhất

- \frac{1}{2}

đúng tại

α = 13 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.19★★Trang 40— Đối xứng qua trục tung trên nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, lấy điểm

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho

x O M = 15 0^{\circ}

N

là điểm đối xứng với

M

qua trục tung. Giá trị của

tan x O N

bằng
A.

\frac{1}{3}

;
B.

- \frac{1}{3}

;
C.

3

;
D.

- 3

Kiến thức cần nhớ

$M (cos α; sin α)$ với $α = x O M$ .
Đối xứng qua $O y$ : $(x; y) \mapsto (- x; y)$ .
$tan α = \frac{y}{x}$ với $x \neq = 0$ ; $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phép đối xứng qua trục tung giữ tung độ, đổi dấu hoành độ, nên

N

vẫn nằm trên nửa đường tròn đơn vị và góc

x O N

là góc bù của

15 0^{\circ}

. Hướng nhanh nhất là nhận ra

x O N = 3 0^{\circ}

. Bẫy: tưởng

x O N

vẫn là

15 0^{\circ}

rồi khoanh

- \frac{1}{3}

1Cách 1. Tính toạ độ của N

Định hướng. Có toạ độ $M$ thì có toạ độ $N$ , tang của góc $x O N$ là tỉ số tung độ trên hoành độ của $N$ .

M (cos 15 0^{\circ}; sin 15 0^{\circ}) = (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

N (\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

tan x O N = \frac{y _{N}}{x _{N}} = \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = \frac{1}{3}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Tính trực tiếp góc xON

Định hướng. Hai tia $O M$ , $O N$ đối xứng qua $O y$ nên $x O N = x^{'} O M$ , là góc bù của $x O M$ .

x O N = x^{'} O M = 18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

tan x O N = tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Loại trừ theo vị trí của N

Định hướng. Chỉ cần biết $N$ ở góc phần tư nào và góc $x O N$ lớn hay nhỏ hơn $4 5^{\circ}$ .

x_{N} = - x_{M} > 0

y_{N} = y_{M} > 0 \Rightarrow tan x O N > 0 \Rightarrow

loại B, D

y_{N} = \frac{1}{2} < x_{N} \Rightarrow x O N < 4 5^{\circ} \Rightarrow tan x O N < 1 \Rightarrow

loại C

Vậy chọn A.

Nhận xét. Hai điểm đối xứng qua trục tung ứng với hai góc bù nhau, nên $tan x O N = - tan x O M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn hình là thấy

x O N = 3 0^{\circ}

, một dòng xong.

Đáp số.

tan x O N = \frac{1}{3}

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm: giữ nguyên góc

15 0^{\circ}

cho điểm

N

và ra

tan 15 0^{\circ} = - \frac{1}{3}

(phương án B). Thực ra

N

đã sang góc phần tư thứ nhất nên tang phải dương.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

N

đối xứng với

M

qua

O y

thì

x O N = 18 0^{\circ} - x O M

, do đó

sin

giữ nguyên còn

cos

tan

cot

đổi dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.20★Trang 40— Biết

tan α

, tính biểu thức của

sin α

và

cos α

Cho góc nhọn

α

có

tan α = \frac{3}{4}

. Giá trị của tích

sin α \cdot cos α

bằng
A.

\frac{4}{3}

;
B.

\frac{12}{25}

;
C.

\frac{25}{12}

;
D.

\frac{3}{4}

Kiến thức cần nhớ

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ ).
$sin α = tan α \cdot cos α$ ; góc nhọn thì $sin α > 0$ , $cos α > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết tang của góc nhọn thì tính được

cos α

nhờ

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

, rồi

sin α = tan α \cdot cos α

. Có thể đi tắt: tích

sin α cos α

viết được hoàn toàn theo

tan α

. Bẫy: nhầm

sin α cos α

với

tan α

rồi khoanh

\frac{3}{4}

1Cách 1. Tính

cos α

rồi

sin α

Định hướng. Từ $tan α$ tính $cos^{2} α$ , lấy căn dương vì $α$ nhọn.

\frac{1}{cos ^{2} α} = 1 + tan^{2} α = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}

cos^{2} α = \frac{16}{25} \Rightarrow cos α = \frac{4}{5}

sin α = tan α \cdot cos α = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}

sin α \cdot cos α = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Dựng tam giác vuông 3 – 4 – 5

Định hướng. Góc nhọn $α$ có $tan α = \frac{3}{4}$ là góc của tam giác vuông có cạnh đối $3$ , cạnh kề $4$ .

cạnh đối

= 3

, cạnh kề

= 4

, cạnh huyền

= 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

sin α = \frac{3}{5}

cos α = \frac{4}{5}

sin α \cdot cos α = \frac{12}{25}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Viết tích theo

tan α

Định hướng. Nhân rồi chia cho $cos^{2} α$ để tích chỉ còn chứa $tan α$ .

sin α cos α = \frac{sin α}{cos α} \cdot cos^{2} α = tan α \cdot \frac{1}{1 + tan ^{2} α}

s i n α c o s α = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{25} = \frac{12}{25}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Công thức $sin α cos α = \frac{tan α}{1 + tan ^{2} α}$ đúng cho mọi $α \neq = 9 0^{\circ}$ , không cần biết dấu của $sin$ , $cos$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bộ ba

3 - 4 - 5

cho ngay

sin

cos

, nhẩm trong vài giây.

Đáp số.

sin α cos α = \frac{12}{25}

— chọn B.

Sai lầm thường gặp. Lấy

cos α = \frac{16}{25}

(quên khai căn) sẽ ra

sin α = \frac{12}{25}

và tích

\frac{192}{625}

, không có trong phương án — dấu hiệu đã quên lấy căn của

cos^{2} α

🚀 Mở rộng. Nếu

α

tù mà

tan α = - \frac{3}{4}

thì

sin α cos α = - \frac{12}{25}

— công thức ở Cách 3 cho ngay kết quả này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.21★★Trang 40— Tìm góc từ một hệ thức giữa

sin α

và

cos α

Cho góc

α

(

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

) thoả mãn

sin α + cos α = 1

. Giá trị của

cot α

là
A.

0

;
B.

1

;
C.

- 1

;
D. Không tồn tại.

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Với $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ thì $sin α > 0$ .
$cot α = \frac{cos α}{sin α}$ , $cot 9 0^{\circ} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tổng

sin α + cos α

đã biết thì bình phương lên sẽ lộ ra tích

sin α cos α

. Điều kiện

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

bảo đảm

sin α > 0

, từ đó loại được một nhánh. Bẫy: thấy

α = 0^{\circ}

cũng thoả

sin α + cos α = 1

rồi kết luận

cot α

không tồn tại, trong khi

0^{\circ}

đã bị loại bởi điều kiện.

1Cách 1. Bình phương hai vế

Định hướng. Bình phương để dùng $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , rút ra $sin α cos α$ .

(sin α + cos α)^{2} = 1

1 + 2 sin α cos α = 1

sin α cos α = 0

sin α > 0 \Rightarrow cos α = 0

cot α = \frac{cos α}{sin α} = 0

Vậy $cot α = 0$ , chọn A.

2Cách 2. Nửa đường tròn đơn vị

Định hướng. Điểm $M (cos α; sin α)$ vừa nằm trên nửa đường tròn đơn vị vừa nằm trên đường thẳng $x + y = 1$ .

x + y = 1

x^{2} + y^{2} = 1

y > 0

x^{2} + (1 - x)^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x (x - 1) = 0

x = 1 \Rightarrow y = 0

(loại vì

y > 0

);

x = 0 \Rightarrow y = 1

M (0; 1) \Rightarrow α = 9 0^{\circ} \Rightarrow cot α = cot 9 0^{\circ} = 0

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử từng phương án

Định hướng. Mỗi giá trị của $cot α$ trong khoảng $(0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ ứng với đúng một góc, thử lại vào điều kiện là biết.

cot α = 0 \Rightarrow α = 9 0^{\circ}

sin 9 0^{\circ} + cos 9 0^{\circ} = 1 + 0 = 1

(đúng)

cot α = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}

\frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 1

cot α = - 1 \Rightarrow α = 13 5^{\circ}

\frac{2}{2} - \frac{2}{2} = 0 \neq = 1

Vậy chọn A (D sai vì $cot 9 0^{\circ}$ tồn tại).

Nhận xét. Trên cả đoạn $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ còn nghiệm $α = 0^{\circ}$ ; chính điều kiện $0^{\circ} < α$ loại nó, nên $cot α$ luôn tồn tại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bình phương một dòng ra

sin α cos α = 0

, kết hợp

sin α > 0

là xong.

Đáp số.

α = 9 0^{\circ}

cot α = 0

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Từ

sin α cos α = 0

mà kết luận vội "

sin α = 0

nên

cot α

không tồn tại" (phương án D) là sai:

sin α = 0

ứng với

α = 0^{\circ}

hoặc

18 0^{\circ}

, cả hai đều nằm ngoài khoảng

(0^{\circ}; 18 0^{\circ})

🚀 Mở rộng. Thử lại với

sin α - cos α = 1

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

: cũng ra

sin α cos α = 0

nhưng lần này

α = 9 0^{\circ}

và

cot α = 0

— hai đề chỉ khác dấu mà cùng đáp số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.22★★Trang 40— Tính biểu thức đối xứng của

sin α

cos α

khi biết tổng

Cho góc

α

thoả mãn

sin α + cos α = 2

. Giá trị của

tan α + cot α

là
A.

1

;
B.

- 2

;
C.

0

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

$tan α + cot α = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{1}{sin α cos α}$ .
$(a + b)^{2} \leq 2 (a^{2} + b^{2})$ , dấu bằng khi $a = b$ .

🧠 Phân tích tư duy

tan α + cot α

viết gọn thành

\frac{1}{sin α cos α}

, nên chỉ cần tích

sin α cos α

— mà tích này lộ ra khi bình phương tổng đã cho. Tổng bằng

2

lại là giá trị lớn nhất của

sin α + cos α

, gợi ý

α = 4 5^{\circ}

. Bẫy: tính được

sin α cos α = \frac{1}{2}

rồi khoanh luôn

\frac{1}{2}

hay

1

1Cách 1. Bình phương để có tích

sin α cos α

Định hướng. Biểu thức cần tính chỉ phụ thuộc $sin α cos α$ .

(sin α + cos α)^{2} = 2 \Rightarrow 1 + 2 sin α cos α = 2 \Rightarrow sin α cos α = \frac{1}{2}

tan α + cot α = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{1}{sin α cos α} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Vậy chọn D.

2Cách 2. Bất đẳng thức tìm đúng góc

Định hướng. Tổng $sin α + cos α$ không vượt quá $2$ ; đề cho đúng bằng $2$ nên xảy ra dấu bằng.

(sin α + cos α)^{2} \leq 2 (sin^{2} α + cos^{2} α) = 2

sin α + cos α = 2 \Rightarrow

dấu bằng xảy ra

\Rightarrow sin α = cos α = \frac{2}{2}

α = 4 5^{\circ} \Rightarrow tan α + cot α = 1 + 1 = 2

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đường thẳng tiếp xúc nửa đường tròn đơn vị

Định hướng. Điểm $M (cos α; sin α)$ phải nằm trên đường thẳng $x + y = 2$ ; đường này chỉ chạm nửa đường tròn đơn vị tại đúng một điểm.

d (O; x + y - 2 = 0) = \frac{∣0 + 0 - 2 ∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{2} = 1

đường thẳng tiếp xúc đường tròn đơn vị tại

M (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})

α = 4 5^{\circ} \Rightarrow tan α + cot α = 2

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cả ba cách cho thấy đề thực chất "giấu" góc $4 5^{\circ}$ ; Cách 1 thì không cần biết góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bình phương ra

sin α cos α = \frac{1}{2}

, lấy nghịch đảo là xong.

Đáp số.

tan α + cot α = 2

— chọn D.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhầm

tan α + cot α = \frac{sin α + cos α}{sin α cos α}

(cộng tử với tử), ra

\frac{2}{\frac{1}{2}} = 22

— không có trong phương án. Đúng phải là

\frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

sin α + cos α = m

(

1 < m \leq 2

) thì

tan α + cot α = \frac{2}{m ^{2} - 1}

; thử với

m = \frac{7}{5}

\frac{25}{12}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.23★★Trang 40— Diện tích tam giác có đỉnh trên nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

lấy

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị, sao cho

cos x O M = - \frac{3}{5}

(H.3.4). Diện tích của tam giác

A O M

bằng
A.

\frac{4}{5}

;
B.

\frac{2}{5}

;
C.

\frac{3}{5}

;
D.

\frac{3}{10}

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , với $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ thì $sin α \geq 0$ .
$M (cos α; sin α)$ trên nửa đường tròn đơn vị.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác

A O M

có hai cạnh

O A = O M = 1

và góc xen giữa là

x O M

, nên diện tích chỉ phụ thuộc

sin x O M

. Hình H.3.4 còn gợi ý cách nhìn đáy

O A

nằm trên trục hoành, chiều cao chính là tung độ của

M

. Bẫy: dùng nhầm

cos

(có sẵn trong đề) thay cho

sin

, ra

\frac{3}{10}

1Cách 1. Hai cạnh và góc xen giữa

Định hướng. $O A = O M = 1$ , góc xen giữa $A O M = x O M$ ; tính $sin$ từ $cos$ .

sin x O M = 1 - (- \frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}

S_{A O M} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O M \cdot sin A O M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đáy OA, chiều cao là tung độ của M

Định hướng. Đáy $O A$ nằm trên $O x$ nên chiều cao hạ từ $M$ bằng $y_{M}$ .

M (cos α; sin α) = (- \frac{3}{5}; \frac{4}{5})

S_{A O M} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot y_{M} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tam giác cân OAM, hạ đường cao từ O

Định hướng. Tam giác $O A M$ cân tại $O$ ; tính đáy $A M$ bằng toạ độ rồi hạ đường cao từ $O$ xuống trung điểm của $A M$ .

A M^{2} = (1 + \frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = \frac{64}{25} + \frac{16}{25} = \frac{80}{25} \Rightarrow A M = \frac{4}{5}

O K = O A^{2} - (\frac{A M}{2})^{2} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

(

K

là trung điểm của

A M

)

S_{A O M} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot O K = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng không dùng lượng giác — dùng để kiểm tra lại kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tung độ của

M

là

\frac{4}{5}

, nhân với nửa đáy

\frac{1}{2}

là ra.

Đáp số.

S_{A O M} = \frac{2}{5}

— chọn B.

Sai lầm thường gặp. Lấy chiều cao bằng

∣ x_{M} ∣ = \frac{3}{5}

(nhầm hoành độ với tung độ) sẽ ra

\frac{3}{10}

— phương án D chính là cái bẫy này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

M

trên nửa đường tròn đơn vị,

S_{A O M} = \frac{1}{2} sin x O M

, lớn nhất bằng

\frac{1}{2}

khi

x O M = 9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.24★★Trang 41— Diện tích tam giác có đỉnh trên nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

lấy điểm

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị, sao cho

x O M = 15 0^{\circ}

(H.3.5). Lấy

N

đối xứng với

M

qua trục tung. Diện tích của tam giác

M A N

bằng
A.

\frac{3}{4}

;
B.

\frac{3}{2}

;
C.

3

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

$M (cos α; sin α)$ trên nửa đường tròn đơn vị.
Hai tam giác cùng đáy, cùng chiều cao thì có diện tích bằng nhau.
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

và

N

đối xứng qua trục tung nên có cùng tung độ: đoạn

M N

song song với trục hoành, đó là đáy thuận lợi nhất. Chiều cao từ

A

xuống

M N

bằng đúng tung độ của

M

vì

A

nằm trên trục hoành. Bẫy: nhìn hình tưởng

A

là đỉnh xa nhất rồi lấy chiều cao bằng

1

1Cách 1. Toạ độ ba đỉnh, đáy MN nằm ngang

Định hướng. $M N$ song song với $O x$ nên chiều cao hạ từ $A$ bằng tung độ chung của $M$ , $N$ .

M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

N (\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

A (1; 0)

M N = \frac{3}{2} - (- \frac{3}{2}) = 3

d (A; M N) = \frac{1}{2}

S_{M A N} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đổi đỉnh A thành O

Định hướng. $A$ và $O$ cùng nằm trên $O x$ , mà $O x ∥ M N$ , nên $S_{M A N} = S_{M O N}$ ; tam giác $M O N$ có hai cạnh bằng $1$ và góc xen giữa $12 0^{\circ}$ .

M O N = 15 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

S_{M A N} = S_{M O N} = \frac{1}{2} \cdot O M \cdot O N \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Bù trừ diện tích qua hình thang OANM

Định hướng. Tứ giác $O A N M$ là hình thang ( $M N ∥ O A$ ); bỏ đi tam giác $M O A$ thì còn tam giác $M A N$ .

S_{O A N M} = \frac{( M N + O A ) \cdot y _{M}}{2} = \frac{( 3 + 1 ) \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{3 + 1}{4}

S_{M O A} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot y_{M} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

S_{M A N} = \frac{3 + 1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy vị trí của $A$ trên trục hoành không ảnh hưởng: mọi điểm trên $O x$ đều cho cùng diện tích $\frac{3}{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đáy

3

, cao

\frac{1}{2}

— nhẩm ra ngay.

Đáp số.

S_{M A N} = \frac{3}{4}

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Lấy chiều cao bằng

O A = 1

(vì thấy

A

ở xa) ra

\frac{3}{2}

— phương án B. Chiều cao phải đo vuông góc với đáy

M N

, tức là

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

x O M = α

(

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

) thì

S_{M A N} = - sin α cos α

, lớn nhất bằng

\frac{1}{2}

khi

α = 13 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.25★★Trang 41— Tính giá trị biểu thức lượng giác khi biết

cos α

Cho

cos α = \frac{1}{4}

. Giá trị của

P = \frac{tan α + 2 cot α}{2 tan α + 3 cot α}

là
A.

- \frac{17}{33}

;
B.

\frac{17}{33}

;
C.

\frac{1}{2}

;
D.

\frac{16}{33}

Kiến thức cần nhớ

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ .
$tan α \cdot cot α = 1$ ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ , $α \neq = 0^{\circ}$ , $α \neq = 18 0^{\circ}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Tử và mẫu của

P

đều là tổ hợp bậc nhất của

tan α

và

cot α

, nên nhân cả tử và mẫu với

tan α

sẽ đưa

P

về chỉ còn

tan^{2} α

— mà

tan^{2} α

tính thẳng từ

cos α

. Hướng này tránh được việc xét dấu của

tan α

. Bẫy: tính

tan α

rồi thế số với căn

15

dễ sai khi rút gọn.

1Cách 1. Nhân tử và mẫu với

tan α

Định hướng. Đưa $P$ về biểu thức của $tan^{2} α$ .

tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} - 1 = 16 - 1 = 15

P = \frac{tan α ( tan α + 2 cot α )}{tan α ( 2 tan α + 3 cot α )} = \frac{tan ^{2} α + 2}{2 tan ^{2} α + 3} = \frac{15 + 2}{30 + 3} = \frac{17}{33}

Vậy $P = \frac{17}{33}$ , chọn B.

2Cách 2. Đổi hết sang sin và cos

Định hướng. Nhân tử và mẫu với $sin α cos α$ để $P$ chỉ còn $sin^{2} α$ và $cos^{2} α$ .

P = \frac{sin ^{2} α + 2 cos ^{2} α}{2 sin ^{2} α + 3 cos ^{2} α}

cos^{2} α = \frac{1}{16}

sin^{2} α = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

P = \frac{\frac{15}{16} + \frac{2}{16}}{\frac{30}{16} + \frac{3}{16}} = \frac{17}{33}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tính tan, cot rồi thế số

Định hướng. $cos α > 0$ nên $α$ nhọn, $sin α > 0$ ; tính cụ thể $tan α$ , $cot α$ .

sin α = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{4}

tan α = 15

cot α = \frac{1}{15}

P = \frac{15 + \frac{2}{15}}{2 15 + \frac{3}{15}} = \frac{\frac{15 + 2}{15}}{\frac{30 + 3}{15}} = \frac{17}{33}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho thấy $P$ chỉ phụ thuộc $cos^{2} α$ , nên dù $cos α = - \frac{1}{4}$ thì $P$ vẫn bằng $\frac{17}{33}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

tan^{2} α = 15

nhẩm ngay, rồi

\frac{17}{33}

ra trong một dòng.

Đáp số.

P = \frac{17}{33}

— chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chia tử và mẫu cho

cot α

nhưng viết nhầm thành

\frac{tan ^{2} α + 2}{2 tan ^{2} α + 3 cot ^{2} α}

(quên

cot α \cdot tan α = 1

) sẽ ra số lẻ không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{a tan α + b cot α}{c tan α + d cot α} = \frac{a tan ^{2} α + b}{c tan ^{2} α + d}

— mọi biểu thức "đẳng cấp" kiểu này đều chỉ cần

tan^{2} α

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.26★★Trang 41— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp khi biết ba cạnh

Tam giác

A B C

có

a = 2

b = 3

c = 4

. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác

A B C

là
A.

R = \frac{15}{2}

;
B.

R = \frac{7}{15}

;
C.

R = \frac{15}{6}

;
D.

R = \frac{8}{15}

Kiến thức cần nhớ

Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
$S = \frac{ab c}{4 R}$ ; định lí sin: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ .
Định lí côsin: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết ba cạnh mà hỏi

R

thì có hai con đường: qua diện tích (

R = \frac{ab c}{4 S}

S

theo Heron) hoặc qua một góc (

R = \frac{a}{2 sin A}

, góc tính bằng định lí côsin). Chọn góc đối diện cạnh lớn nhất cho con số gọn. Bẫy: quên hệ số

2

trong

\frac{a}{sin A} = 2 R

, ra đáp số gấp đôi.

1Cách 1. Heron rồi

R = \frac{ab c}{4 S}

Định hướng. Có ba cạnh thì Heron cho ngay $S$ , rồi rút $R$ từ $S = \frac{ab c}{4 R}$ .

p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2}

S = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{135}{16} = \frac{3 15}{4}

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot \frac{3 15}{4}} = \frac{24}{3 15} = \frac{8}{15}

Vậy $R = \frac{8}{15}$ , chọn D.

2Cách 2. Định lí côsin cho góc C, rồi định lí sin

Định hướng. Góc đối diện cạnh lớn nhất $c = 4$ có côsin gọn nhất.

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{4 + 9 - 16}{2 \cdot 2 \cdot 3} = - \frac{1}{4}

sin C = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{4}

R = \frac{c}{2 sin C} = \frac{4}{2 \cdot \frac{15}{4}} = \frac{8}{15}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đánh giá: đường kính không nhỏ hơn dây lớn nhất

Định hướng. Cạnh $c = 4$ là một dây của đường tròn ngoại tiếp, mà mọi dây đều không dài hơn đường kính, nên $R \geq 2$ ; chỉ một phương án thoả.

2 R \geq c = 4 \Rightarrow R \geq 2

\frac{15}{2} \approx 1, 94

;

\frac{7}{15} \approx 1, 81

;

\frac{15}{6} \approx 0, 65

;

\frac{8}{15} \approx 2, 07

chỉ có

\frac{8}{15} \geq 2

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cách 3 là mẹo trắc nghiệm, không thay được lời giải tự luận; nhưng nó còn cho biết tam giác tù vì $R$ chỉ nhỉnh hơn $\frac{c}{2}$ một chút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép côsin, một phép sin, ra ngay

R

; Cách 3 để kiểm tra nhanh.

Đáp số.

R = \frac{8}{15} = \frac{8 15}{15}

— chọn D.

Sai lầm thường gặp. Viết

R = \frac{c}{sin C}

(thiếu hệ số

2

) sẽ ra

\frac{16}{15}

; còn lấy

sin C = \frac{1}{4}

(nhầm với

∣ cos C ∣

) sẽ ra

R = 8

— cả hai đều vô lí vì quá lớn so với cạnh.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

R = \frac{ab c}{( a + b + c ) ( - a + b + c ) ( a - b + c ) ( a + b - c )}

; thử với tam giác

3, 4, 5

để thấy

R = \frac{5}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 3.27★★Trang 41— Tính đường cao khi biết ba cạnh

Tam giác

A B C

có

a = 4

b = 5

c = 6

. Độ dài đường cao

h_{b}

bằng
A.

\frac{3 7}{2}

;
B.

\frac{3}{2 7}

;
C.

\frac{3 7}{4}

;
D.

\frac{3}{4 7}

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{1}{2} b h_{b} \Rightarrow h_{b} = \frac{2 S}{b}$ .
Công thức Heron.
Trong tam giác vuông $A B H$ : $B H = A B sin A$ khi $A$ nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

h_{b}

là đường cao hạ từ

B

xuống cạnh

A C = b

, nên

h_{b} = \frac{2 S}{b}

; biết ba cạnh thì

S

tính bằng Heron. Cũng có thể nhìn trong tam giác vuông

A B H

h_{b} = c sin A

. Bẫy: nhầm

h_{b}

là đường cao xuống cạnh

b

với đường cao "từ đỉnh

b

", hoặc chia cho

a

thay vì

b

1Cách 1. Heron rồi chia

Định hướng. Diện tích tính một lần, đường cao nào cũng rút ra được.

p = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2}

S = \frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1575}{16} = \frac{15 7}{4}

h_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot \frac{15 7}{4}}{5} = \frac{3 7}{2}

Vậy $h_{b} = \frac{3 7}{2}$ , chọn A.

2Cách 2. Góc A và tam giác vuông ABH

Định hướng. Chân đường cao $H$ nằm trên $A C$ ; trong tam giác vuông $A B H$ có $B H = A B sin A$ .

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}

sin A = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{4}

h_{b} = c sin A = 6 \cdot \frac{7}{4} = \frac{3 7}{2}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Pythagore hai lần

Định hướng. Đặt $A H = x$ thì $H C = 5 - x$ ; hai tam giác vuông $A B H$ , $C B H$ có chung cạnh $B H$ .

B H^{2} = 6^{2} - x^{2} = 4^{2} - (5 - x)^{2}

36 - x^{2} = 16 - 25 + 10 x - x^{2} \Rightarrow 10 x = 45 \Rightarrow x = \frac{9}{2}

B H^{2} = 36 - \frac{81}{4} = \frac{63}{4} \Rightarrow B H = \frac{3 7}{2}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 không dùng lượng giác; $x = \frac{9}{2} < 5$ còn xác nhận chân đường cao nằm trong đoạn $A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2:

cos A = \frac{3}{4}

rất gọn, một dòng ra

h_{b}

Đáp số.

h_{b} = \frac{3 7}{2}

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Chia

2 S

cho

a = 4

thay vì

b = 5

sẽ ra

\frac{15 7}{8}

— đó là

h_{a}

, không phải

h_{b}

. Nhớ: chỉ số của đường cao là tên cạnh mà nó vuông góc.

🚀 Mở rộng. Với tam giác

4, 5, 6

còn có hệ thức đẹp

C = 2 A

(vì

cos C = \frac{1}{8} = 2 cos^{2} A - 1

) — thử kiểm tra lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 3.28★★Trang 41— Dùng công thức đường trung tuyến để tìm cạnh còn lại rồi tính diện tích

Cho tam giác

A B C

có

a = 20

b = 16

và

m_{a} = 10

. Diện tích của tam giác bằng
A.

92

;
B.

100

;
C.

96

;
D.

88

Kiến thức cần nhớ

$m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .
Trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy $\Leftrightarrow$ tam giác vuông tại đỉnh xuất phát trung tuyến.
Công thức Heron; tam giác vuông: $S = \frac{1}{2}$ tích hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Biết hai cạnh và trung tuyến

m_{a}

thì công thức trung tuyến cho ngay cạnh thứ ba, sau đó Heron cho diện tích. Nhưng đáng chú ý hơn:

m_{a} = 10 = \frac{a}{2}

— trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng là dấu hiệu tam giác vuông tại

A

. Bẫy: nhầm công thức trung tuyến (viết

m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{4}

1Cách 1. Công thức trung tuyến rồi Heron

Định hướng. Rút $c$ từ công thức $m_{a}^{2}$ , có đủ ba cạnh thì dùng Heron.

m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4} \Rightarrow 100 = \frac{256 + c ^{2}}{2} - 100

256 + c^{2} = 400 \Rightarrow c^{2} = 144 \Rightarrow c = 12

p = \frac{20 + 16 + 12}{2} = 24

S = 24 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 12 = 9216 = 96

Vậy $S = 96$ , chọn C.

2Cách 2. Nhận ra bộ ba Pythagore

Định hướng. Tính $c$ như trên rồi thấy $12, 16, 20$ gấp $4$ lần bộ $3, 4, 5$ .

c = 12

(từ công thức trung tuyến)

b^{2} + c^{2} = 256 + 144 = 400 = a^{2} \Rightarrow A = 9 0^{\circ}

S = \frac{1}{2} b c = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96

Vậy chọn C.

3Cách 3. Trung tuyến bằng nửa cạnh — đọc ngay góc vuông

Định hướng. $M A = M B = M C = 10$ nên $A$ nằm trên đường tròn đường kính $B C$ ; không cần công thức trung tuyến.

M A = m_{a} = 10 = \frac{a}{2} = M B = M C

A

thuộc đường tròn đường kính

B C \Rightarrow B A C = 9 0^{\circ}

c = a^{2} - b^{2} = 400 - 256 = 12

S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 dùng hình học thuần tuý và là cách nhanh nhất; nó giải thích vì sao đề chọn $m_{a} = 10$ đúng bằng $\frac{20}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thấy

m_{a} = \frac{a}{2}

là biết tam giác vuông tại

A

, Pythagore ra

c = 12

, diện tích nhẩm được.

Đáp số.

c = 12

, tam giác vuông tại

A

S = 96

— chọn C.

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{4}

sẽ ra

c^{2} = - 256

vô lí; còn viết

m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4}

(thiếu hệ số

2

) sẽ ra

c^{2} = 544

c \approx 23, 3

— cạnh lớn hơn cả

a

, sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

m_{a} < \frac{a}{2} \Leftrightarrow A

tù,

m_{a} > \frac{a}{2} \Leftrightarrow A

nhọn — suy ra từ

m_{a}^{2} - \frac{a ^{2}}{4} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 3.29★★★Trang 41— Tính đường cao khi biết hai cạnh và một trung tuyến

Tam giác

A B C

có

a = 14

b = 9

và

m_{a} = 8

. Độ dài đường cao

h_{a}

bằng
A.

\frac{24 5}{7}

;
B.

\frac{12 5}{7}

;
C.

125

;
D.

245

Kiến thức cần nhớ

$m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .
$16 S^{2} = 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 c^{2} a^{2} - a^{4} - b^{4} - c^{4}$ (Heron viết theo bình phương cạnh).
$h_{a} = \frac{2 S}{a}$ ; hai tam giác chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một đường thẳng thì có chung đường cao.

🧠 Phân tích tư duy

Đường cao

h_{a}

và trung tuyến

m_{a}

cùng xuất phát từ

A

xuống cạnh

B C

— nên tam giác

A M C

(với

M

là trung điểm

B C

) có cùng đường cao

h_{a}

với tam giác

A B C

. Tam giác

A M C

đã biết đủ ba cạnh

7, 8, 9

, không cần tìm cạnh

c

. Bẫy: sau khi ra

c = 145

mà dùng Heron trực tiếp với căn thì tính rất nặng, dễ sai.

1Cách 1. Tìm c rồi Heron dạng bình phương

Định hướng. Rút $c^{2}$ từ công thức trung tuyến; vì $c$ là căn nên dùng Heron dạng chỉ chứa bình phương cạnh.

64 = \frac{81 + c ^{2}}{2} - \frac{196}{4} \Rightarrow \frac{81 + c ^{2}}{2} = 113 \Rightarrow c^{2} = 145

16 S^{2} = 2 \cdot 196 \cdot 81 + 2 \cdot 81 \cdot 145 + 2 \cdot 145 \cdot 196 - 19 6^{2} - 8 1^{2} - 14 5^{2}

16 S^{2} = 31752 + 23490 + 56840 - 38416 - 6561 - 21025 = 46080

S^{2} = 2880 \Rightarrow S = 245

h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{48 5}{14} = \frac{24 5}{7}

Vậy $h_{a} = \frac{24 5}{7}$ , chọn A.

2Cách 2. Côsin góc C rồi

h_{a} = b sin C

Định hướng. Có đủ ba cạnh thì tính góc $C$ (góc nhọn), đường cao $A H = A C sin C$ .

c^{2} = 145

(như Cách 1)

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{196 + 81 - 145}{2 \cdot 14 \cdot 9} = \frac{132}{252} = \frac{11}{21}

sin C = 1 - \frac{121}{441} = \frac{320}{21} = \frac{8 5}{21}

h_{a} = b sin C = 9 \cdot \frac{8 5}{21} = \frac{24 5}{7}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Tam giác AMC có ba cạnh 7, 8, 9

Định hướng. $M$ là trung điểm $B C$ nên $M C = 7$ ; tam giác $A M C$ có đường cao từ $A$ chính là $h_{a}$ .

A M = 8

M C = \frac{14}{2} = 7

A C = 9

p_{A M C} = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12

S_{A M C} = 12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 720 = 125

h_{a} = \frac{2 S _{A M C}}{M C} = \frac{24 5}{7}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 không cần tìm $c$ và không đụng tới căn $145$ ; ngoài ra còn thấy ngay $S_{A B C} = 2 S_{A M C} = 245$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tam giác

7 - 8 - 9

tính Heron nhẩm được, khỏi tìm cạnh

c

Đáp số.

h_{a} = \frac{24 5}{7}

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính đúng

S = 245

rồi viết

h_{a} = \frac{S}{a}

(quên nhân

2

) ra

\frac{12 5}{7}

— chính là phương án B. Còn khoanh

245

là nhầm diện tích với đường cao.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau, nên mọi bài "biết hai cạnh và trung tuyến" đều quy về tam giác nhỏ có ba cạnh

\frac{a}{2}

m_{a}

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 3.30★★Trang 42— Tính đường cao khi biết một cạnh và hai góc

Tam giác

A B C

có

A = 4 5^{\circ}

c = 6

B = 7 5^{\circ}

. Độ dài đường cao

h_{b}

bằng
A.

32

;
B.

\frac{3}{2}

;
C.

62

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

Tam giác vuông: cạnh góc vuông $=$ cạnh huyền $\times$ sin góc đối.
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
$h_{b} = \frac{2 S}{b}$ , $S = \frac{1}{2} b c sin A$ .

🧠 Phân tích tư duy

h_{b}

là khoảng cách từ

B

đến đường thẳng

A C

; trong tam giác vuông

A B H

đã biết cạnh huyền

A B = c = 6

và góc

A = 4 5^{\circ}

. Góc

B = 7 5^{\circ}

chỉ để biết

C

nhọn (chân đường cao nằm trong cạnh). Bẫy: dùng góc

B

cho

h_{b}

(viết

h_{b} = c sin B

1Cách 1. Tam giác vuông ABH

Định hướng. Hạ $B H ⊥ A C$ , tam giác $A B H$ vuông tại $H$ có cạnh huyền $A B$ .

h_{b} = B H = A B sin A = 6 sin 4 5^{\circ} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 32

Vậy $h_{b} = 32$ , chọn A.

2Cách 2. Định lí sin tìm a, rồi

h_{b} = a sin C

Định hướng. Tính cạnh $B C$ rồi nhìn đường cao $B H$ trong tam giác vuông $B H C$ .

C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 7 5^{\circ} = 6 0^{\circ}

a = \frac{c sin A}{sin C} = \frac{6 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{6 2}{3} = 26

h_{b} = a sin C = 26 \cdot \frac{3}{2} = 18 = 32

Vậy chọn A.

3Cách 3. Tính b và diện tích rồi chia

Định hướng. Dùng công thức tổng quát $h_{b} = \frac{2 S}{b}$ với $b$ tính theo định lí sin.

2 R = \frac{c}{sin C} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 43

b = 2 R sin B = 43 \cdot \frac{6 + 2}{4} = 32 + 6

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} (32 + 6) \cdot 6 \cdot \frac{2}{2} = 9 + 33

h_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{18 + 6 3}{3 2 + 6} = \frac{6 3 ( 3 + 1 )}{6 ( 3 + 1 )} = \frac{6 3}{6} = 32

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 dài vì phải dùng $sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ , nhưng cho thấy mọi con đường đều gặp nhau ở $h_{b} = c sin A$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

h_{b} = c sin A

— một dòng, không cần tính góc

C

Đáp số.

h_{b} = 32

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Viết

h_{b} = c sin B = 6 sin 7 5^{\circ} \approx 5, 80

là sai:

c sin B

là khoảng cách từ

A

đến

B C

, tức

h_{a}

. Góc dùng phải là góc có cạnh

c

và cạnh

b

làm hai cạnh, tức góc

A

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

h_{b} = c sin A = a sin C

h_{a} = b sin C = c sin B

h_{c} = a sin B = b sin A

— mỗi đường cao có đúng hai cách viết như vậy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 3.31★Trang 42— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp khi biết một cạnh và góc đối diện

Tam giác

A B C

có

A = 4 5^{\circ}

c = 6

B = 7 5^{\circ}

. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng
A.

83

;
B.

23

;
C.

63

;
D.

43

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Góc ở tâm chắn cùng cung gấp đôi góc nội tiếp.
$S = \frac{ab c}{4 R}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Định lí sin nối cạnh với sin góc đối diện qua

2 R

; đề cho cạnh

c

nên cần góc

C

, mà góc

C

tính từ tổng ba góc. Bẫy: quên chia

2

rồi khoanh

43

(đó là

2 R

1Cách 1. Định lí sin với cặp c, C

Định hướng. Tính góc $C$ rồi áp dụng thẳng định lí sin.

C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 7 5^{\circ} = 6 0^{\circ}

2 R = \frac{c}{sin C} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \frac{12}{3} = 43

R = 23

Vậy $R = 23$ , chọn B.

2Cách 2. Góc ở tâm và tam giác cân OAB

Định hướng. Góc ở tâm $A O B = 2 C = 12 0^{\circ}$ ; tam giác $O A B$ cân tại $O$ , hạ $O K ⊥ A B$ thì $K$ là trung điểm $A B$ .

A O B = 2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} \Rightarrow A O K = 6 0^{\circ}

A K = \frac{A B}{2} = 3

R = O A = \frac{A K}{sin A O K} = \frac{3}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 23

Vậy chọn B.

3Cách 3. Qua diện tích:

R = \frac{ab c}{4 S}

Định hướng. Tính đủ ba cạnh và diện tích rồi dùng $S = \frac{ab c}{4 R}$ .

a = \frac{c sin A}{sin C} = 26

b = \frac{c sin B}{sin C} = 32 + 6

S = \frac{1}{2} b c sin A = 9 + 33 = 33 (3 + 1)

ab c = 26 (32 + 6) \cdot 6 = 72 (3 + 1)

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{72 ( 3 + 1 )}{12 3 ( 3 + 1 )} = \frac{6}{3} = 23

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 chỉ để kiểm tra chéo; bản chất định lí sin chính là Cách 2 viết gọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

R = \frac{c}{2 sin C}

, nhẩm ra

23

Đáp số.

R = 23

— chọn B.

Sai lầm thường gặp. Dừng ở

\frac{c}{sin C} = 43

rồi khoanh D là nhầm

2 R

với

R

. Còn lấy

\frac{c}{sin B}

(sai cặp cạnh – góc) thì ra một số lẻ không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: chỉ cần một cạnh và góc đối diện là biết

R

, dù hai góc còn lại bằng bao nhiêu — tất cả tam giác có

c = 6

C = 6 0^{\circ}

đều nội tiếp đường tròn bán kính

23

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 3.32★★Trang 42— Nhận dạng tam giác từ một hệ thức giữa diện tích, bán kính và góc

Tam giác

A B C

có diện tích

S = 2 R^{2} sin B sin C

, với

R

là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Số đo góc

A

bằng
A.

6 0^{\circ}

;
B.

9 0^{\circ}

;
C.

3 0^{\circ}

;
D.

7 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $a = 2 R sin A$ , $b = 2 R sin B$ , $c = 2 R sin C$ .
$S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{ab c}{4 R}$ .
$sin A = 1 \Leftrightarrow A = 9 0^{\circ}$ (với $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Hệ thức chỉ chứa

R

và sin của các góc, nên viết mọi cạnh theo định lí sin (

a = 2 R sin A

, …) rồi so với công thức diện tích. Khi đó diện tích luôn bằng

2 R^{2} sin A sin B sin C

, so với đề là ra điều kiện cho

sin A

. Bẫy: rút gọn cả hai vế mà quên

sin B

sin C

luôn dương nên được phép chia.

1Cách 1.

S = \frac{1}{2} b c sin A

và định lí sin

Định hướng. Thay $b$ , $c$ theo $R$ vào công thức diện tích quen thuộc.

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 R sin B \cdot 2 R sin C \cdot sin A = 2 R^{2} sin A sin B sin C

2 R^{2} sin A sin B sin C = 2 R^{2} sin B sin C

sin B > 0

sin C > 0 \Rightarrow sin A = 1 \Rightarrow A = 9 0^{\circ}

Vậy $A = 9 0^{\circ}$ , chọn B.

2Cách 2.

S = \frac{ab c}{4 R}

Định hướng. Dùng công thức diện tích có sẵn $R$ , rồi viết ba cạnh theo định lí sin.

S = \frac{ab c}{4 R} = \frac{2 R sin A \cdot 2 R sin B \cdot 2 R sin C}{4 R} = 2 R^{2} sin A sin B sin C

2 R^{2} sin A sin B sin C = 2 R^{2} sin B sin C \Rightarrow sin A = 1

A = 9 0^{\circ}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử bằng tam giác cụ thể

Định hướng. Lấy $R = 1$ và thử tam giác có $A$ bằng từng phương án để loại trừ.

A = 9 0^{\circ}

B = C = 4 5^{\circ}

a = 2

b = c = 2

S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 1

;

2 R^{2} sin B sin C = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

(khớp)

A = B = C = 6 0^{\circ}

a = 3

S = \frac{3 3}{4} \approx 1, 30

;

2 R^{2} sin B sin C = \frac{3}{2}

(không khớp)

Vậy loại A, chọn B.

Nhận xét. Cách 3 chỉ loại trừ được phương án sai; để khẳng định $A = 9 0^{\circ}$ với MỌI tam giác thoả đề phải dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ sẵn

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C

là so ra

sin A = 1

ngay.

Đáp số.

A = 9 0^{\circ}

— chọn B.

Sai lầm thường gặp. Có bạn thay

b = R sin B

(quên hệ số

2

) rồi được

S = \frac{1}{2} R^{2} sin A sin B sin C

, dẫn tới

sin A = 4

vô lí và bỏ bài. Định lí sin là

b = 2 R sin B

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C

cho mọi tam giác; từ đó

S \leq \frac{3 3}{4} R^{2}

, dấu bằng khi tam giác đều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 3.33★★Trang 42— Tìm cạnh khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

Tam giác

A B C

có

A B = 5

A C = 2

và

C = 4 5^{\circ}

. Độ dài cạnh

B C

bằng
A.

3

;
B.

2

;
C.

3

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $A B^{2} = C A^{2} + C B^{2} - 2 C A \cdot C B cos C$ (cạnh $A B$ đối diện góc $C$ ).
Tam giác vuông có một góc $4 5^{\circ}$ là tam giác vuông cân.
Phương trình bậc hai $x^{2} + b x + c = 0$ : tách $b x$ thành hai hạng tử có tích bằng $c$ để đưa về dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Góc

C

không xen giữa hai cạnh đã biết, nên định lí côsin viết cho góc

C

sẽ cho một phương trình bậc hai với ẩn

B C

. Phải loại nghiệm âm và kiểm tra lại. Bẫy: viết sai định lí côsin (đặt nhầm cạnh đối diện góc

C

) — đó là cách ra phương án

2

sai.

1Cách 1. Định lí côsin cho góc C, giải phương trình bậc hai

Định hướng. Đặt $B C = x > 0$ ; cạnh đối diện góc $C$ là $A B$ .

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos 4 5^{\circ}

5 = 2 + x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \frac{2}{2}

x^{2} - 2 x - 3 = 0

x^{2} + x - 3 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 0

(Δ^{'} = 1 + 3 = 4, x = 1 \pm 2)

x = 3

(nhận) hoặc

x = - 1

(loại vì

x > 0

)

Vậy $B C = 3$ , chọn A.

2Cách 2. Hạ đường cao AH, tam giác vuông cân AHC

Định hướng. Góc $C = 4 5^{\circ}$ nhọn nên $H$ nằm trên tia $C B$ ; tam giác $A H C$ vuông cân tại $H$ .

A H = H C = \frac{A C}{2} = \frac{2}{2} = 1

B H = A B^{2} - A H^{2} = 5 - 1 = 2

B

thuộc tia

C B

, cách

H

một đoạn

2 > H C = 1 \Rightarrow H

nằm giữa

C

và

B

B C = C H + H B = 1 + 2 = 3

Vậy chọn A.

3Cách 3. Đặt hệ trục toạ độ

Định hướng. Đặt $C$ ở gốc, tia $C B$ là tia $O x$ ; khi đó $A$ có toạ độ xác định nhờ $A C$ và góc $4 5^{\circ}$ .

C (0; 0)

B (x; 0)

với

x > 0

A (2 cos 4 5^{\circ}; 2 sin 4 5^{\circ}) = (1; 1)

A B^{2} = (x - 1)^{2} + 1^{2} = 5 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 4

x - 1 = 2

hoặc

x - 1 = - 2 \Rightarrow x = 3

hoặc

x = - 1

(loại)

Vậy chọn A.

Nhận xét. Thử lại phương án B ( $B C = 2$ ): $A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 + 4 - 4 = 2 \neq = 5 = A B^{2}$ , nên $B C = 2$ bị loại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tam giác vuông cân cho

A H = H C = 1

, Pythagore cho

B H = 2

, cộng lại — không cần giải phương trình.

Đáp số.

B C = 3

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm định lí côsin thành

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - A C \cdot B C cos C

(thiếu hệ số

2

) sẽ ra

x^{2} - x - 3 = 0

, nghiệm lẻ; còn lỗi lập phương trình như một số tài liệu dẫn tới

B C = 2

. Luôn thử lại: với

B C = 3

ta có

2 + 9 - 6 = 5 = A B^{2}

(đúng).

🚀 Mở rộng. Trường hợp "hai cạnh và góc không xen giữa" có thể có

0

1

hoặc

2

tam giác; thử đổi

A B = \frac{3}{2}

(giữ

A C = 2

C = 4 5^{\circ}

) để thấy có hai giá trị của

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 3.34★★Trang 42— Tính diện tích khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

Tam giác

A B C

có

C = 6 0^{\circ}

A C = 2

và

A B = 7

. Diện tích của tam giác

A B C

bằng
A.

\frac{3}{2}

;
B.

33

;
C.

\frac{3 3}{2}

;
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $A B^{2} = C A^{2} + C B^{2} - 2 C A \cdot C B cos C$ .
$S = \frac{1}{2} C A \cdot C B \cdot sin C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Diện tích

\frac{1}{2} ab sin C

cần hai cạnh kẹp góc

C

, tức

C A

và

C B

;

C B

chưa biết nên dùng định lí côsin cho góc

C

để tìm. Bẫy: ghép nhầm

A B

và

A C

với góc

C

trong công thức diện tích (góc

C

không nằm giữa hai cạnh này).

1Cách 1. Định lí côsin tìm BC, rồi

S = \frac{1}{2} ab sin C

Định hướng. Đặt $B C = x > 0$ .

7 = 4 + x^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0

x^{2} + x - 3 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 0

(Δ^{'} = 1 + 3 = 4, x = 1 \pm 2) \Rightarrow x = 3

(loại

x = - 1

)

S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A C \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2}

Vậy $S = \frac{3 3}{2}$ , chọn C.

2Cách 2. Hạ đường cao AH

Định hướng. Tam giác $A H C$ là nửa tam giác đều cạnh $2$ ; từ đó có $A H$ , $H C$ và $H B$ .

H C = A C cos 6 0^{\circ} = 1

A H = A C sin 6 0^{\circ} = 3

H B = A B^{2} - A H^{2} = 7 - 3 = 2 \Rightarrow B C = C H + H B = 3

S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{3 3}{2}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $C$ ở gốc, tia $C B$ trùng $O x$ .

C (0; 0)

A (2 cos 6 0^{\circ}; 2 sin 6 0^{\circ}) = (1; 3)

B (x; 0)

x > 0

(x - 1)^{2} + 3 = 7 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 4 \Rightarrow x = 3

S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y_{A} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{3 3}{2}

Vậy chọn C.

Nhận xét. Bài này cùng khuôn với bài 3.33 (hai cạnh, góc không xen giữa); cả hai đều ra phương trình $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nửa tam giác đều cho ngay

A H = 3

H C = 1

; nhẩm

H B = 2

là xong.

Đáp số.

B C = 3

S = \frac{3 3}{2}

— chọn C.

Sai lầm thường gặp. Viết

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin C = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2}

là sai: góc trong công thức phải là góc NẰM GIỮA hai cạnh được nhân.

🚀 Mở rộng. Có

B C = 3

rồi, thử tính tiếp bán kính đường tròn ngoại tiếp:

R = \frac{A B}{2 sin C} = \frac{7}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 3.35★★★Trang 42— Tính bán kính đường tròn nội tiếp

Tam giác

A B C

có

A = 6 0^{\circ}

A B = 3

và

B C = 33

. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác

A B C

là
A.

\frac{3 ( 3 - 1 )}{2}

;
B.

\frac{3 ( 3 + 1 )}{2}

;
C.

\frac{3 - 1}{2}

;
D.

3 - 1

Kiến thức cần nhớ

$r = \frac{S}{p}$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $x$ , $y$ và cạnh huyền $z$ thì $r = \frac{x + y - z}{2}$ .
$r = (p - a) tan \frac{A}{2}$ (khoảng cách từ $A$ tới tiếp điểm bằng $p - a$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Bán kính nội tiếp tính qua

r = \frac{S}{p}

, nên cần đủ ba cạnh; cạnh

A C

tìm bằng định lí côsin với góc

A

. Nhìn kĩ hơn:

\frac{B C}{sin A} = \frac{3 3}{\frac{3}{2}} = 6

và

\frac{A B}{sin C} = 6

cho

sin C = \frac{1}{2}

— tam giác là nửa tam giác đều, vuông tại

B

. Bẫy: khi trục căn thức ở mẫu dễ sai dấu, ra

\frac{3 ( 3 + 1 )}{2}

1Cách 1. Định lí côsin tìm AC, rồi

r = \frac{S}{p}

Định hướng. Đặt $A C = x > 0$ , cạnh đối diện góc $A$ là $B C$ .

27 = 9 + x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow x^{2} - 3 x - 18 = 0

x^{2} + 3 x - 6 x - 18 = 0 \Leftrightarrow (x + 3) (x - 6) = 0

(Δ = 9 + 72 = 81, x = \frac{3 \pm 9}{2}) \Rightarrow x = 6

(loại

x = - 3

)

S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{9 3}{2}

p = \frac{3 + 6 + 3 3}{2} = \frac{9 + 3 3}{2}

r = \frac{S}{p} = \frac{9 3}{9 + 3 3} = \frac{3 3}{3 + 3} = \frac{3 3 ( 3 - 3 )}{9 - 3} = \frac{9 3 - 9}{6} = \frac{3 ( 3 - 1 )}{2}

Vậy $r = \frac{3 ( 3 - 1 )}{2}$ , chọn A.

2Cách 2. Nhận ra tam giác vuông tại B

Định hướng. Định lí sin cho góc $C$ ; $A B < B C$ nên $C < A$ , góc $C$ nhọn.

sin C = \frac{A B sin A}{B C} = \frac{3 \cdot \frac{3}{2}}{3 3} = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 3 0^{\circ} \Rightarrow B = 9 0^{\circ}

A C = \frac{A B}{sin 3 0 ^{\circ}} = 6

r = \frac{A B + B C - A C}{2} = \frac{3 + 3 3 - 6}{2} = \frac{3 ( 3 - 1 )}{2}

Vậy chọn A.

3Cách 3.

r = (p - a) tan \frac{A}{2}

Định hướng. Hai tiếp tuyến kẻ từ $A$ tới đường tròn nội tiếp bằng $p - a$ , và tâm $I$ nằm trên phân giác góc $A$ .

A C = 6

(như Cách 1),

p - a = \frac{9 + 3 3}{2} - 33 = \frac{9 - 3 3}{2}

r = (p - a) tan 3 0^{\circ} = \frac{9 - 3 3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 3 - 9}{6} = \frac{3 ( 3 - 1 )}{2}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Ba cách cùng cho $r \approx 1, 098$ ; kiểm tra nhanh: $r$ phải nhỏ hơn nửa cạnh ngắn nhất $\frac{A B}{2} = 1, 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: phát hiện tam giác vuông tại

B

thì

r = \frac{A B + B C - A C}{2}

, không phải trục căn.

Đáp số.

A C = 6

, tam giác vuông tại

B

r = \frac{3 ( 3 - 1 )}{2} \approx 1, 10

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Trục căn

\frac{3 3}{3 + 3}

mà nhân với

3 + 3

(thay vì liên hợp

3 - 3

) sẽ ra

\frac{3 ( 3 + 1 )}{2}

— phương án B. Kiểm tra nhanh:

r

phải nhỏ hơn nửa cạnh nhỏ nhất

\frac{3}{2}

, mà

\frac{3 ( 3 + 1 )}{2} \approx 4, 1

quá lớn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tam giác vuông cạnh góc vuông

x

y

, cạnh huyền

z

luôn có

r = \frac{x + y - z}{2}

và

R = \frac{z}{2}

; với tam giác này

R = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 3.36★★Trang 43— Bài toán thực tế về khoảng cách giữa hai tàu: định lí côsin

Một ca nô xuất phát từ cảng

A

, chạy theo hướng đông với vận tốc

60

km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá xuất phát từ

A

, chạy theo hướng

N 3 0^{\circ} E

với vận tốc

50

km/h. Sau

2

giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?
A.

110

km;
B.

112

km;
C.

111, 4

km;
D.

110, 5

km.

Kiến thức cần nhớ

Hướng $N α^{\circ} E$ : từ hướng Bắc quay về phía Đông một góc $α$ .
Định lí côsin: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C cos A$ .
Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian.

🧠 Phân tích tư duy

2

giờ, hai tàu cách

A

lần lượt

120

km và

100

km — đó là hai cạnh của tam giác; góc xen giữa là góc giữa hướng Đông và hướng

N 3 0^{\circ} E

. Hướng

N 3 0^{\circ} E

lệch

3 0^{\circ}

khỏi hướng Bắc nên cách hướng Đông

6 0^{\circ}

. Bẫy: lấy góc xen giữa bằng

3 0^{\circ}

1Cách 1. Định lí côsin

Định hướng. Gọi $B$ , $C$ là vị trí ca nô và tàu cá sau $2$ giờ.

A B = 60 \cdot 2 = 120

(km),

A C = 50 \cdot 2 = 100

(km),

B A C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

B C^{2} = 12 0^{2} + 10 0^{2} - 2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot cos 6 0^{\circ} = 14400 + 10000 - 12000 = 12400

B C = 12400 = 2031 \approx 111, 4

(km)

Vậy hai tàu cách nhau khoảng $111, 4$ km, chọn C.

2Cách 2. Hệ trục Đông – Bắc

Định hướng. Chọn $A$ làm gốc, trục $O x$ hướng Đông, trục $O y$ hướng Bắc.

B (120; 0)

C (100 sin 3 0^{\circ}; 100 cos 3 0^{\circ}) = (50; 503)

B C^{2} = (120 - 50)^{2} + (503)^{2} = 4900 + 7500 = 12400

B C \approx 111, 4

(km)

Vậy chọn C.

3Cách 3. Tính sau 1 giờ rồi nhân đôi

Định hướng. Hai tàu chạy thẳng đều từ cùng một điểm nên tam giác vị trí sau $2$ giờ đồng dạng tỉ số $2$ với tam giác sau $1$ giờ.

d_{1}^{2} = 6 0^{2} + 5 0^{2} - 2 \cdot 60 \cdot 50 \cdot cos 6 0^{\circ} = 3600 + 2500 - 3000 = 3100

d_{1} = 3100 = 1031

d_{2} = 2 d_{1} = 2031 \approx 111, 4

(km)

Vậy chọn C.

Nhận xét. Khoảng cách giữa hai tàu tăng đều khoảng $55, 7$ km mỗi giờ — Cách 3 cho biết điều này mà không cần làm lại phép tính cho mỗi thời điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi hướng ra góc

6 0^{\circ}

rồi định lí côsin,

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

nên tính nhẩm được.

Đáp số.

B C = 2031 \approx 111, 4

km — chọn C.

Sai lầm thường gặp. Lấy góc xen giữa bằng

3 0^{\circ}

sẽ ra

B C^{2} = 24400 - 24000 \cdot \frac{3}{2} \approx 3615

B C \approx 60, 1

km — không có trong phương án. Hướng

N 3 0^{\circ} E

lệch

3 0^{\circ}

so với hướng Bắc, không phải hướng Đông.

🚀 Mở rộng. Thử lại khi tàu cá chạy hướng

N 3 0^{\circ} W

: góc xen giữa thành

12 0^{\circ}

và khoảng cách sau

2

giờ là

36400 \approx 190, 8

km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 3.37★★Trang 43— Bài toán thực tế về góc nhìn xuống: tam giác vuông và định lí sin

Một người đứng trên đài quan sát đặt ở cuối một đường đua thẳng. Ở độ cao

6

m so với mặt đường đua, tại một thời điểm người đó nhìn hai vận động viên

A

và

B

dưới các góc tương ứng là

6 0^{\circ}

và

3 0^{\circ}

so với phương nằm ngang (H.3.6). Khoảng cách giữa hai vận động viên

A

và

B

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét) tại thời điểm đó là
A.

8

m;
B.

7

m;
C.

6

m;
D.

9

Kiến thức cần nhớ

Tam giác vuông: cạnh góc vuông kề $=$ cạnh góc vuông đối $\times cot$ góc.
Hai đường thẳng song song tạo với cát tuyến các góc so le trong bằng nhau.
Định lí côsin, định lí sin.

🧠 Phân tích tư duy

Góc nhìn xuống so với phương nằm ngang bằng góc tạo bởi tia nhìn với mặt đường (so le trong), nên có ngay hai tam giác vuông

M H A

M H B

chung cạnh

M H = 6

m. Tam giác

M A B

còn cân tại

A

vì

A M B = A B M = 3 0^{\circ}

. Bẫy: nhầm góc

6 0^{\circ}

là góc tại

M

giữa tia nhìn và phương thẳng đứng.

1Cách 1. Hai tam giác vuông chung chiều cao

Định hướng. Gọi $H$ là chân đài; $M A H = 6 0^{\circ}$ , $M B H = 3 0^{\circ}$ (so le trong với góc nhìn).

H A = \frac{M H}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{3} = 23

H B = \frac{M H}{tan 3 0 ^{\circ}} = 63

A B = H B - H A = 63 - 23 = 43 \approx 6, 93 \approx 7

(m)

Vậy $A B \approx 7$ m, chọn B.

2Cách 2. Tam giác MAB cân tại A

Định hướng. Tính các góc của tam giác $M A B$ rồi dùng tam giác vuông $M H A$ .

A M B = 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

M B A = 3 0^{\circ} \Rightarrow

tam giác

M A B

cân tại

A

A B = A M = \frac{M H}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 43 \approx 7

(m)

Vậy chọn B.

3Cách 3. Định lí côsin trong tam giác MAB

Định hướng. Tính hai tia nhìn $M A$ , $M B$ rồi dùng góc $A M B = 3 0^{\circ}$ xen giữa.

M A = \frac{6}{sin 6 0 ^{\circ}} = 43

M B = \frac{6}{sin 3 0 ^{\circ}} = 12

A B^{2} = 48 + 144 - 2 \cdot 43 \cdot 12 \cdot cos 3 0^{\circ} = 192 - 144 = 48

A B = 43 \approx 7

(m)

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cả ba cách cho cùng $43$ ; Cách 2 cho thấy khoảng cách hai vận động viên đúng bằng độ dài tia nhìn tới $A$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

A B = 6 (cot 3 0^{\circ} - cot 6 0^{\circ}) = 6 (3 - \frac{1}{3}) = 43

Đáp số.

A B = 43 \approx 7

m — chọn B.

Sai lầm thường gặp. Dùng

tan

thay cho

cot

H A = 6 tan 6 0^{\circ} = 63

H B = 6 tan 3 0^{\circ} = 23

vẫn ra hiệu

43

nhưng đảo vị trí

A

B

— sai bản chất; góc nhìn càng lớn thì vận động viên càng GẦN chân đài.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với độ cao

h

và hai góc nhìn xuống

α > β

, khoảng cách hai điểm là

h (cot β - cot α)

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 3.38★★Trang 43— Tính giá trị lượng giác của góc tù và giá trị biểu thức

Cho góc tù

α

có

sin α = \frac{1}{3}

.
a) Tính

cos α

tan α

cot α

.
b) Tính giá trị của các biểu thức:

A = sin α \cdot cot (18 0^{\circ} - α) + cos (18 0^{\circ} - α) \cdot cot (9 0^{\circ} - α)

;

B = \frac{3 ( sin α + 2 cos α ) - 2}{sin α - 2 cos α}

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ; $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ} \Rightarrow cos α < 0$ , $tan α < 0$ , $cot α < 0$ .
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , $cot (18 0^{\circ} - α) = - cot α$ , $cot (9 0^{\circ} - α) = tan α$ .
$1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

sin

của một góc tù thì

cos

phải lấy dấu âm — đây là điểm mấu chốt của câu a). Ở câu b), biểu thức

A

chứa góc bù và góc phụ nên rút gọn về

sin α

cos α

trước khi thế số sẽ gọn hơn; biểu thức

B

lặp lại cụm

2 cos α

nên tính cụm này một lần. Bẫy: lấy

cos α = \frac{2 2}{3}

(quên dấu) làm sai toàn bộ bài.

1Cách 1. Hệ thức

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

, rút gọn A trước khi thế số

Định hướng. Tính $cos α$ với dấu âm; đưa $A$ về $sin α$ , $cos α$ bằng công thức góc bù, góc phụ.

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

α

tù

\Rightarrow cos α = - \frac{2 2}{3}

tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{1}{3} : (- \frac{2 2}{3}) = - \frac{1}{2 2} = - \frac{2}{4}

cot α = \frac{1}{tan α} = - 22

A = sin α \cdot (- cot α) + (- cos α) \cdot tan α = - cos α - sin α

A = \frac{2 2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 2 - 1}{3}

2 cos α = 2 \cdot (- \frac{2 2}{3}) = - \frac{4}{3}

B = \frac{3 ( \frac{1}{3} - \frac{4}{3} ) - 2}{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} = \frac{- 3 - 2}{\frac{5}{3}} = - 3

Vậy $cos α = - \frac{2 2}{3}$ , $tan α = - \frac{2}{4}$ , $cot α = - 22$ ; $A = \frac{2 2 - 1}{3}$ , $B = - 3$ .

2Cách 2. Đi từ

cot α

, thế số trực tiếp vào A, chia tử và mẫu của B cho

sin α

Định hướng. $1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ cho $cot α$ trước; $B$ chia cả tử và mẫu cho $sin α \neq = 0$ để chỉ còn $cot α$ .

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α} = 9 \Rightarrow cot^{2} α = 8

α

tù

\Rightarrow cot α = - 22

tan α = \frac{1}{cot α} = - \frac{2}{4}

cos α = cot α \cdot sin α = - \frac{2 2}{3}

cot (18 0^{\circ} - α) = 22

cos (18 0^{\circ} - α) = \frac{2 2}{3}

cot (9 0^{\circ} - α) = tan α = - \frac{2}{4}

A = \frac{1}{3} \cdot 22 + \frac{2 2}{3} \cdot (- \frac{2}{4}) = \frac{2 2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 2 - 1}{3}

B = \frac{3 ( 1 + 2 cot α ) - \frac{2}{sin α}}{1 - 2 cot α} = \frac{3 ( 1 - 4 ) - 6}{1 + 4} = \frac{- 15}{5} = - 3

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Nửa đường tròn đơn vị và đặt cụm lặp

Định hướng. Góc tù $α$ ứng với điểm $M (x; y)$ trên nửa đường tròn đơn vị có $x < 0$ ; ở $B$ đặt $u = sin α$ , $v = 2 cos α$ .

M (x; y)

y = \frac{1}{3}

x^{2} + y^{2} = 1

x < 0 \Rightarrow x = - \frac{8}{9} = - \frac{2 2}{3}

cos α = x = - \frac{2 2}{3}

tan α = \frac{y}{x} = - \frac{2}{4}

cot α = \frac{x}{y} = - 22

A = - sin α \cdot \frac{cos α}{sin α} - cos α \cdot \frac{sin α}{cos α} = - (x + y) = \frac{2 2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 2 - 1}{3}

u = \frac{1}{3}

v = - \frac{4}{3} \Rightarrow u + v = - 1

u - v = \frac{5}{3}

B = \frac{3 ( u + v ) - 2}{u - v} = \frac{- 3 - 2}{\frac{5}{3}} = - 3

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Biểu thức $A$ luôn bằng $- (sin α + cos α)$ với mọi góc $α$ khác $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ — rút gọn trước giúp thế số chỉ một lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài tự luận nên theo Cách 1: rút gọn

A

về

- (sin α + cos α)

rồi mới thế số, và tính cụm

2 cos α = - \frac{4}{3}

một lần cho

B

Đáp số. a)

cos α = - \frac{2 2}{3}

tan α = - \frac{2}{4}

cot α = - 22

. b)

A = \frac{2 2 - 1}{3}

B = - 3

Sai lầm thường gặp. Quên dấu âm: lấy

cos α = \frac{2 2}{3}

thì

A = - \frac{2 2 + 1}{3}

và

B = \frac{3 ( \frac{1}{3} + \frac{4}{3} ) - 2}{\frac{1}{3} - \frac{4}{3}} = - 3

—

B

tình cờ vẫn đúng dấu nhưng

A

sai hẳn. Một lỗi nữa: viết

cot (9 0^{\circ} - α) = cot α

thay vì

tan α

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với góc tù có

sin α = s

thì

cos α = - 1 - s^{2}

; thử làm lại bài khi

sin α = \frac{3}{5}

(

cos α = - \frac{4}{5}

A = \frac{1}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 3.39★★Trang 43— Quy các góc về góc

1 5^{\circ}

bằng công thức góc bù, góc phụ

Cho

sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}

.
a) Tính

sin 7 5^{\circ}

cos 10 5^{\circ}

tan 16 5^{\circ}

.
b) Tính giá trị của biểu thức

A = sin 7 5^{\circ} \cdot cos 16 5^{\circ} + cos 10 5^{\circ} \cdot sin 16 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ , $cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ .
$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , $tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α$ .
$8 + 43 = (6 + 2)^{2}$ , $8 - 43 = (6 - 2)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các góc

7 5^{\circ}

10 5^{\circ}

16 5^{\circ}

đều liên hệ với

1 5^{\circ}

7 5^{\circ} = 9 0^{\circ} - 1 5^{\circ}

10 5^{\circ} = 9 0^{\circ} + 1 5^{\circ}

16 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - 1 5^{\circ}

. Vì vậy chỉ cần thêm

cos 1 5^{\circ}

và

tan 1 5^{\circ}

. Ở câu b), sau khi quy về góc

1 5^{\circ}

biểu thức thành

- (cos^{2} 1 5^{\circ} + sin^{2} 1 5^{\circ})

— không cần thế căn. Bẫy: khai căn

8 + 43

lúng túng, hoặc quên dấu âm của

cos 10 5^{\circ}

tan 16 5^{\circ}

1Cách 1. Hệ thức cơ bản rồi quy về góc 15°

Định hướng. Tính $cos 1 5^{\circ}$ , $tan 1 5^{\circ}$ ; câu b) rút gọn thành $sin^{2} + cos^{2}$ trước khi thế số.

cos^{2} 1 5^{\circ} = 1 - \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{16} = 1 - \frac{8 - 4 3}{16} = \frac{8 + 4 3}{16} = \frac{( 6 + 2 ) ^{2}}{16}

cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

tan 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{6 + 2} = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3

sin 7 5^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 7 5^{\circ}) = - cos 7 5^{\circ} = - sin 1 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

tan 16 5^{\circ} = tan (18 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = - tan 1 5^{\circ} = 3 - 2

A = cos 1 5^{\circ} \cdot (- cos 1 5^{\circ}) + (- sin 1 5^{\circ}) \cdot sin 1 5^{\circ} = - (cos^{2} 1 5^{\circ} + sin^{2} 1 5^{\circ}) = - 1

Vậy $sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ , $cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$ , $tan 16 5^{\circ} = 3 - 2$ ; $A = - 1$ .

2Cách 2. Thế số trực tiếp

Định hướng. Có đủ giá trị các góc $7 5^{\circ}$ , $10 5^{\circ}$ , $16 5^{\circ}$ thì thế thẳng vào $A$ ; $tan 16 5^{\circ}$ tính bằng thương $sin : cos$ .

sin 16 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}

cos 16 5^{\circ} = - cos 1 5^{\circ} = - \frac{6 + 2}{4}

tan 16 5^{\circ} = \frac{sin 16 5 ^{\circ}}{cos 16 5 ^{\circ}} = - \frac{6 - 2}{6 + 2} = - \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{4} = - \frac{8 - 4 3}{4} = 3 - 2

sin 7 5^{\circ} = cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} = - sin 1 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

A = \frac{6 + 2}{4} \cdot (- \frac{6 + 2}{4}) + \frac{2 - 6}{4} \cdot \frac{6 - 2}{4}

A = - \frac{8 + 4 3}{16} - \frac{8 - 4 3}{16} = - \frac{16}{16} = - 1

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Dựng tam giác có góc 15°

Định hướng. Tam giác vuông $A B C$ (vuông tại $C$ , $A = 3 0^{\circ}$ , $B C = 1$ , $A B = 2$ , $A C = 3$ ); kéo dài $C A$ một đoạn $A D = A B = 2$ thì tam giác $A B D$ cân tại $A$ , góc ngoài $3 0^{\circ}$ nên $D = 1 5^{\circ}$ .

C D = 3 + 2

B D = 1 + (2 + 3)^{2} = 8 + 43 = 6 + 2

sin 1 5^{\circ} = \frac{B C}{B D} = \frac{1}{6 + 2} = \frac{6 - 2}{4}

(khớp đề)

cos 1 5^{\circ} = \frac{C D}{B D} = \frac{2 + 3}{6 + 2} = \frac{6 + 2}{4}

tan 1 5^{\circ} = \frac{B C}{C D} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

sin 7 5^{\circ} = cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} = - sin 1 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

tan 16 5^{\circ} = - tan 1 5^{\circ} = 3 - 2

A = - cos^{2} 1 5^{\circ} - sin^{2} 1 5^{\circ} = - 1

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Hình dựng cho $tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ mà không phải trục căn; cũng từ hình, $D B C = 7 5^{\circ}$ nên $sin 7 5^{\circ} = \frac{C D}{B D}$ đọc được ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 1: câu b) viết thành

- (cos^{2} 1 5^{\circ} + sin^{2} 1 5^{\circ}) = - 1

là xong, không cần nhân căn như Cách 2.

Đáp số. a)

sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

tan 16 5^{\circ} = 3 - 2

. b)

A = - 1

Sai lầm thường gặp. Viết

cos 10 5^{\circ} = cos 7 5^{\circ}

(quên đổi dấu khi lấy góc bù) sẽ ra

cos 10 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4} > 0

— vô lí vì

10 5^{\circ}

là góc tù. Tương tự

tan 16 5^{\circ}

phải âm.

🚀 Mở rộng. Cách làm ở câu b) cho thấy

sin (9 0^{\circ} - x) cos (18 0^{\circ} - x) + cos (9 0^{\circ} + x) sin (18 0^{\circ} - x) = - 1

với mọi góc nhọn

x

, không riêng

x = 1 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 3.40★★Trang 43— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Cho tam giác

A B C

có

A B = 1

B C = 2

và

A B C = 6 0^{\circ}

. Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$ .
Định lí Pythagore đảo: $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow A = 9 0^{\circ}$ .
Trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác vuông tại đỉnh đó.

🧠 Phân tích tư duy

Hai cạnh và góc xen giữa là trường hợp mẫu mực của định lí côsin: cạnh thứ ba ra ngay. Để ý

B C = 2 A B

và

B = 6 0^{\circ}

— đúng hình dạng nửa tam giác đều, nên đoán trước

A = 9 0^{\circ}

. Bẫy: dùng định lí sin tìm góc lớn

A

thì

sin A = 1

vẫn đúng, nhưng với góc tù phải cẩn thận hai nghiệm.

1Cách 1. Định lí côsin hai lần

Định hướng. Côsin cho góc $B$ ra cạnh $A C$ , rồi côsin cho góc $A$ .

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos 6 0^{\circ} = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow A C = 3

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{1 + 3 - 4}{2 3} = 0 \Rightarrow A = 9 0^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

Vậy $A C = 3$ , $A = 9 0^{\circ}$ , $C = 3 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Côsin rồi Pythagore đảo

Định hướng. Có ba cạnh $1$ , $3$ , $2$ thì thử ngay tổng bình phương hai cạnh nhỏ.

A C^{2} = 1 + 4 - 2 = 3 \Rightarrow A C = 3

A B^{2} + A C^{2} = 1 + 3 = 4 = B C^{2} \Rightarrow A = 9 0^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - B = 3 0^{\circ}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Trung điểm M của BC và tam giác đều ABM

Định hướng. Lấy $M$ là trung điểm $B C$ : $B M = 1 = B A$ và $B = 6 0^{\circ}$ nên tam giác $A B M$ đều.

B M = \frac{B C}{2} = 1 = A B

A B M = 6 0^{\circ} \Rightarrow

tam giác

A B M

đều

\Rightarrow A M = 1

M A = M B = M C = 1 \Rightarrow A

thuộc đường tròn đường kính

B C \Rightarrow B A C = 9 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

A C = B C sin B = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 không dùng định lí côsin; nó giải thích vì sao "cạnh gấp đôi, góc xen giữa $6 0^{\circ}$ " luôn cho tam giác vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 2: côsin một dòng ra

A C = 3

, Pythagore đảo ra góc vuông, góc còn lại nhẩm.

Đáp số.

A C = 3

A = 9 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu trong định lí côsin:

A C^{2} = 1 + 4 + 2 = 7

sẽ ra

A C = 7

— đó là cạnh ứng với góc

12 0^{\circ}

, không phải

6 0^{\circ}

(xem bài 3.41).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tam giác có

B C = 2 A B

và

B = 6 0^{\circ}

luôn vuông tại

A

; còn nếu

B = 6 0^{\circ}

và

B C = A B

thì tam giác đều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 3.41★★Trang 44— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa; diện tích và đường cao

Cho tam giác

A B C

có

c = 1

a = 2

và

B = 12 0^{\circ}

.
a) Tính

b

A

C

.
b) Tính diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ

B

của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$ ; $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ .
$S = \frac{1}{2} a c sin B$ , $h_{b} = \frac{2 S}{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai cạnh

a

c

kẹp góc

B

: định lí côsin cho

b

, công thức

\frac{1}{2} a c sin B

cho diện tích, còn đường cao từ

B

là

\frac{2 S}{b}

. Góc

B

tù nên

A

C

đều nhọn — dùng định lí sin tìm góc không lo hai nghiệm. Bẫy: quên

cos 12 0^{\circ}

âm, dấu trừ thành dấu cộng trong định lí côsin.

1Cách 1. Côsin – sin – diện tích

Định hướng. Định lí côsin cho $b$ , định lí sin cho góc $A$ (nhọn).

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (- \frac{1}{2}) = 7 \Rightarrow b = 7

sin A = \frac{a sin B}{b} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{7} = \frac{21}{7} \approx 0, 6547 \Rightarrow A \approx 40, 8 9^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - A \approx 19, 1 1^{\circ}

S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

h_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{3}{7} = \frac{21}{7} \approx 0, 65

Vậy $b = 7$ , $A \approx 40, 8 9^{\circ}$ , $C \approx 19, 1 1^{\circ}$ ; $S = \frac{3}{2}$ ; $h_{b} = \frac{21}{7}$ .

2Cách 2. Côsin cho cả ba góc, đường cao trong tam giác vuông ABK

Định hướng. Có đủ ba cạnh thì mỗi góc tính bằng côsin (không cần xét góc nhọn hay tù); $h_{b} = B K = A B sin A$ .

b = 7

(như Cách 1)

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{7 + 1 - 4}{2 7} = \frac{2}{7} \Rightarrow A \approx 40, 8 9^{\circ}

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{4 + 7 - 1}{4 7} = \frac{5}{2 7} \Rightarrow C \approx 19, 1 1^{\circ}

sin A = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{2}

h_{b} = c sin A = \frac{3}{7} = \frac{21}{7}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $B$ ở gốc, $C$ trên tia $O x$ ; điểm $A$ xác định nhờ $B A = 1$ và góc $12 0^{\circ}$ .

B (0; 0)

C (2; 0)

A (cos 12 0^{\circ}; sin 12 0^{\circ}) = (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

b^{2} = A C^{2} = (\frac{5}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{25}{4} + \frac{3}{4} = 7 \Rightarrow b = 7

tan C = \frac{y _{A}}{x _{C} - x _{A}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{3}{5} \Rightarrow C \approx 19, 1 1^{\circ}

A = 6 0^{\circ} - C \approx 40, 8 9^{\circ}

S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot y_{A} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

h_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{21}{7}

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $A + C = 6 0^{\circ}$ đúng bằng góc ngoài tại $B$ , một cách kiểm tra nhanh các góc vừa tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 1: côsin, sin, diện tích nối tiếp nhau, mỗi câu một dòng.

Đáp số. a)

b = 7

A \approx 40, 8 9^{\circ}

(

\approx 4 0^{\circ} 5 4^{'}

C \approx 19, 1 1^{\circ}

(

\approx 1 9^{\circ} 6^{'}

). b)

S = \frac{3}{2}

. c)

h_{b} = \frac{21}{7} \approx 0, 65

Sai lầm thường gặp. Viết

b^{2} = 4 + 1 - 2 = 3

(quên

cos 12 0^{\circ} < 0

) sẽ ra

b = 3

— thực ra đó là cạnh của tam giác có góc

B = 6 0^{\circ}

ở bài 3.40. Kiểm tra: góc

B

tù thì

b

phải là cạnh lớn nhất, mà

3 < 2 = a

, vô lí.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

B = 12 0^{\circ}

thì

b^{2} = a^{2} + c^{2} + a c

; thử với

a = c

để thấy

b = a 3

và tam giác cân có hai góc

3 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 3.42★★Trang 44— Giải tam giác khi biết ba cạnh; bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

Cho tam giác

A B C

có

a = 3

b = 5

và

c = 7

.
a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .
$r = \frac{S}{p}$ , $R = \frac{c}{2 sin C} = \frac{ab c}{4 S}$ .
$r = (p - c) tan \frac{C}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết ba cạnh thì mọi góc tính bằng định lí côsin; nên bắt đầu từ góc lớn nhất (đối diện

c = 7

) vì nó có thể tù, và ở đây ra đúng

12 0^{\circ}

— một góc đặc biệt. Có góc đặc biệt thì diện tích,

R

r

đều ra giá trị đúng, không cần làm tròn. Bẫy: làm tròn góc

A

trước rồi lấy

18 0^{\circ}

trừ đi, sai số dồn sang góc

B

1Cách 1. Côsin cho góc lớn nhất, diện tích theo góc C

Định hướng. Góc $C$ đặc biệt nên dùng $S = \frac{1}{2} ab sin C$ và $R = \frac{c}{2 sin C}$ .

cos C = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2} \Rightarrow C = 12 0^{\circ}

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 49 - 9}{70} = \frac{13}{14} \Rightarrow A \approx 21, 7 9^{\circ} \approx 2 2^{\circ}

B = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - A \approx 38, 2 1^{\circ} \approx 3 8^{\circ}

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4}

p = \frac{3 + 5 + 7}{2} = \frac{15}{2}

r = \frac{S}{p} = \frac{15 3}{4} : \frac{15}{2} = \frac{3}{2}

R = \frac{c}{2 sin C} = \frac{7}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}

Vậy $A \approx 2 2^{\circ}$ , $B \approx 3 8^{\circ}$ , $C = 12 0^{\circ}$ ; $r = \frac{3}{2}$ , $R = \frac{7 3}{3}$ .

2Cách 2. Định lí sin cho góc A, Heron cho diện tích

Định hướng. Sau khi có $C$ , định lí sin cho góc nhỏ $A$ (chắc chắn nhọn vì đối diện cạnh nhỏ nhất); diện tích tính độc lập bằng Heron.

C = 12 0^{\circ}

sin A = \frac{a sin C}{c} = \frac{3 3}{14} \Rightarrow A \approx 21, 7 9^{\circ}

cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{9 + 49 - 25}{42} = \frac{11}{14} \Rightarrow B \approx 38, 2 1^{\circ}

S = \frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{675}{16} = \frac{15 3}{4}

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{105}{15 3} = \frac{7 3}{3}

r = \frac{S}{p} = \frac{3}{2}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Tiếp tuyến:

r = (p - c) tan \frac{C}{2}

Định hướng. Từ đỉnh $C$ hai đoạn tiếp tuyến tới đường tròn nội tiếp bằng $p - c$ , tâm $I$ nằm trên phân giác góc $C$ ; bán kính ngoại tiếp tính theo cặp $a$ , $A$ .

C = 12 0^{\circ}

A \approx 2 2^{\circ}

B \approx 3 8^{\circ}

(như Cách 1)
b)

p - c = \frac{15}{2} - 7 = \frac{1}{2}

r = (p - c) tan 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

sin A = \frac{3 3}{14} \Rightarrow R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{3}{\frac{3 3}{7}} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 tính $r$ không cần diện tích; kiểm tra: $A + B = 6 0^{\circ}$ và $2 2^{\circ} + 3 8^{\circ} = 6 0^{\circ}$ (khớp).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 1: bắt đầu từ góc lớn nhất ra ngay

12 0^{\circ}

, sau đó

S

r

R

đều là số đúng.

Đáp số. a)

A \approx 2 2^{\circ}

B \approx 3 8^{\circ}

C = 12 0^{\circ}

. b)

r = \frac{3}{2}

R = \frac{7 3}{3}

Sai lầm thường gặp. Dùng định lí sin tìm góc lớn nhất

C

sin C = \frac{3}{2}

cho hai khả năng

6 0^{\circ}

hoặc

12 0^{\circ}

; chọn

6 0^{\circ}

là sai (khi đó

A + B = 12 0^{\circ}

không khớp các cạnh). Góc lớn nhất luôn phải dùng côsin.

🚀 Mở rộng. Bộ ba

3, 5, 7

nằm trong họ các tam giác có góc

12 0^{\circ}

với ba cạnh nguyên:

a^{2} + ab + b^{2} = c^{2}

; thử tìm thêm bộ

(5; 16; 19)

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 3.43★★★Trang 44— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc; tính đường cao

Cho tam giác

A B C

có

B = 4 5^{\circ}

C = 1 5^{\circ}

và

b = 2

. Tính

a

h_{a}

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = 2 R$ .
$h_{a} = b sin C = c sin B$ .
$sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$ , $tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết một cạnh và hai góc thì định lí sin cho các cạnh còn lại, cặp

b

–

B

cho ngay

2 R = 2

. Đường cao

h_{a}

hạ từ

A

xuống

B C

nằm trong tam giác vuông

A H C

với cạnh huyền

A C = b

, nên

h_{a} = b sin C

. Bẫy: lấy nhầm

h_{a} = b sin B

hoặc không biết

sin 1 5^{\circ}

(đã có ở bài 3.39).

1Cách 1. Định lí sin và tam giác vuông AHC

Định hướng. Tính $A$ , rồi $a$ theo định lí sin; $h_{a} = A H = A C sin C$ .

A = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 1 5^{\circ} = 12 0^{\circ}

2 R = \frac{b}{sin B} = \frac{2}{\frac{2}{2}} = 2

a = 2 R sin A = 2 sin 12 0^{\circ} = 3

h_{a} = b sin C = 2 \cdot \frac{6 - 2}{4} = \frac{12 - 2}{4} = \frac{2 3 - 2}{4} = \frac{3 - 1}{2}

Vậy $a = 3$ , $h_{a} = \frac{3 - 1}{2}$ .

2Cách 2. Hạ AH, tách BC thành BH + HC

Định hướng. $B$ , $C$ nhọn nên $H$ nằm giữa $B$ và $C$ ; tam giác $A B H$ vuông cân, tam giác $A H C$ có góc $1 5^{\circ}$ .

a = 2 R sin A = 3

(như Cách 1); đặt

A H = h

B H = h cot 4 5^{\circ} = h

H C = h cot 1 5^{\circ} = \frac{h}{2 - 3} = h (2 + 3)

B H + H C = B C \Rightarrow h (3 + 3) = 3

h = \frac{3}{3 + 3} = \frac{3 ( 3 - 3 )}{9 - 3} = \frac{3 3 - 3}{6} = \frac{3 - 1}{2}

Vậy $h_{a} = \frac{3 - 1}{2}$ .

3Cách 3. Tính c, côsin cho a, diện tích cho

h_{a}

Định hướng. Tính đủ các cạnh rồi dùng hai công thức diện tích.

c = 2 R sin C = 2 \cdot \frac{6 - 2}{4} = \frac{6 - 2}{2}

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos 12 0^{\circ} = 2 + (2 - 3) + (3 - 1) = 3 \Rightarrow a = 3

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{6 - 2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 - 3}{4}

h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{3 - 3}{2 3} = \frac{3 3 - 3}{6} = \frac{3 - 1}{2}

Vậy $a = 3$ , $h_{a} = \frac{3 - 1}{2}$ .

Nhận xét. Ở Cách 3, $c^{2} = \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3$ và $b c = 3 - 1$ nên $- 2 b c cos 12 0^{\circ} = b c = 3 - 1$ ; ba cách gặp nhau ở $h_{a} \approx 0, 366$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 1:

2 R = 2

ra ngay,

a = 3

, còn

h_{a} = b sin C

chỉ một dòng.

Đáp số.

a = 3

h_{a} = \frac{3 - 1}{2} \approx 0, 37

Sai lầm thường gặp. Viết

h_{a} = b sin B = 2 \cdot \frac{2}{2} = 1

là nhầm:

b sin B

không phải khoảng cách nào trong hình. Đường cao từ

A

nằm trong tam giác vuông có cạnh huyền

A C = b

và góc nhọn tại

C

, nên phải là

b sin C

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

h_{a} = \frac{a sin B sin C}{sin A}

; thử kiểm tra với số liệu bài này:

\frac{3 \cdot \frac{2}{2} \cdot sin 1 5 ^{\circ}}{\frac{3}{2}} = 2 sin 1 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · 3.44★★Trang 44— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa; đường cao, trung tuyến

Cho tam giác

A B C

có

c = 5

a = 8

và

B = 6 0^{\circ}

.
a) Tính

b

và số đo các góc

A

C

(số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ

B

.
c) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ

A

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin; $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$h_{b} = \frac{2 S}{b}$ , $S = \frac{1}{2} a c sin B$ .
$m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai cạnh kẹp góc

6 0^{\circ}

là tình huống của định lí côsin; ở đây

b

ra số nguyên

7

nên mọi phép tính sau đều gọn. Đường cao từ

B

là

\frac{2 S}{b}

với

S = \frac{1}{2} a c sin B

, trung tuyến từ

A

có công thức riêng. Bẫy: nhầm trung tuyến từ

A

với trung tuyến xuống cạnh

b

1Cách 1. Côsin – diện tích – công thức trung tuyến

Định hướng. Mỗi câu dùng đúng công thức chuẩn.

b^{2} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49 \Rightarrow b = 7

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{1}{7} \Rightarrow A \approx 81, 7 9^{\circ} \approx 8 2^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - A \approx 38, 2 1^{\circ} \approx 3 8^{\circ}

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 103

h_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{20 3}{7} \approx 4, 95

m_{a}^{2} = \frac{49 + 25}{2} - \frac{64}{4} = 37 - 16 = 21 \Rightarrow m_{a} = 21 \approx 4, 58

Vậy $b = 7$ , $A \approx 8 2^{\circ}$ , $C \approx 3 8^{\circ}$ ; $h_{b} = \frac{20 3}{7}$ ; $m_{a} = 21$ .

2Cách 2. Định lí sin cho góc nhỏ, đường cao trong tam giác vuông, côsin trong tam giác ABM

Định hướng. Góc $C$ đối diện cạnh nhỏ nhất nên nhọn, dùng định lí sin an toàn; $B K = B C sin C$ ; trung tuyến $A M$ là cạnh của tam giác $A B M$ có $B M = 4$ và góc $B = 6 0^{\circ}$ .

b = 7

;

sin C = \frac{c sin B}{b} = \frac{5 3}{14} \Rightarrow C \approx 38, 2 1^{\circ}

A \approx 81, 7 9^{\circ}

h_{b} = B K = a sin C = 8 \cdot \frac{5 3}{14} = \frac{20 3}{7}

A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} - 2 \cdot A B \cdot B M \cdot cos 6 0^{\circ} = 25 + 16 - 20 = 21 \Rightarrow A M = 21

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Đặt $B$ ở gốc, $C$ trên tia $O x$ ; mọi độ dài đọc từ toạ độ.

B (0; 0)

C (8; 0)

A (5 cos 6 0^{\circ}; 5 sin 6 0^{\circ}) = (\frac{5}{2}; \frac{5 3}{2})

M (4; 0)

b^{2} = (\frac{11}{2})^{2} + \frac{75}{4} = \frac{196}{4} = 49 \Rightarrow b = 7

;

tan C = \frac{5 3 /2}{11/2} = \frac{5 3}{11} \Rightarrow C \approx 3 8^{\circ}

A \approx 8 2^{\circ}

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{5 3}{2} = 103 \Rightarrow h_{b} = \frac{20 3}{7}

A M^{2} = (\frac{3}{2})^{2} + \frac{75}{4} = \frac{84}{4} = 21 \Rightarrow A M = 21

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy công thức trung tuyến thực chất là định lí côsin trong tam giác nửa $A B M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 1 cho câu a), b) và Cách 2 cho câu c): tam giác

A B M

có

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

nên tính nhẩm.

Đáp số. a)

b = 7

A \approx 8 2^{\circ}

C \approx 3 8^{\circ}

. b)

h_{b} = \frac{20 3}{7} \approx 4, 95

. c)

m_{a} = 21 \approx 4, 58

Sai lầm thường gặp. Dùng định lí sin tìm góc

A

sin A = \frac{8 \cdot \frac{3}{2}}{7} \approx 0, 99

cho hai khả năng

\approx 8 2^{\circ}

hoặc

\approx 9 8^{\circ}

; phải dùng côsin (hoặc tính góc nhỏ

C

trước) mới chắc chắn. Nhầm

m_{a}

với

m_{b}

m_{b}^{2} = \frac{64 + 25}{2} - \frac{49}{4} = \frac{129}{4}

, khác hẳn.

🚀 Mở rộng. Tam giác

5, 7, 8

có góc

6 0^{\circ}

và ba cạnh nguyên, cùng họ với

3, 7, 8

— thử kiểm tra tam giác

3, 7, 8

cũng có một góc

6 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · 3.45★★★Trang 44— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc; độ dài đường phân giác

Cho tam giác

A B C

có

B = 1 5^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

và

c = 2

.
a) Tính số đo góc

A

và độ dài các cạnh

a

b

.
b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Lấy điểm

D

thuộc cạnh

A B

sao cho

B C D = D C A

(tức

C D

là phân giác của góc

B C A

). Tính độ dài

C D

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
$sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$ , $cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ .
$S_{A B C} = S_{A C D} + S_{B C D}$ khi $D$ thuộc cạnh $A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cặp

c = 2

–

C = 3 0^{\circ}

cho ngay

2 R = 4

, từ đó mọi cạnh là

4 sin

của góc đối diện. Câu c) có điểm đẹp: phân giác chia

C

thành hai góc

1 5^{\circ}

bằng đúng

B

, nên tam giác

B C D

cân tại

D

. Bẫy: nhầm

C D

là phân giác nên chia đôi cạnh

A B

(đó là trung tuyến).

1Cách 1. Định lí sin; tam giác cân BCD

Định hướng. $2 R = \frac{c}{sin C}$ ; ở câu c) tam giác $B C D$ cân tại $D$ nên $D I ⊥ B C$ với $I$ là trung điểm $B C$ .

A = 18 0^{\circ} - 1 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 13 5^{\circ}

2 R = \frac{2}{sin 3 0 ^{\circ}} = 4

a = 4 sin 13 5^{\circ} = 22

b = 4 sin 1 5^{\circ} = 6 - 2

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot (6 - 2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{12 - 2}{2} = 3 - 1

R = 2

D C B = 1 5^{\circ} = B \Rightarrow D B = D C

C I = \frac{a}{2} = 2

C D = \frac{C I}{cos 1 5 ^{\circ}} = \frac{4 2}{6 + 2} = \frac{4 2 ( 6 - 2 )}{6 - 2} = 12 - 2 = 23 - 2

Vậy $A = 13 5^{\circ}$ , $a = 22$ , $b = 6 - 2$ ; $S = 3 - 1$ , $R = 2$ ; $C D = 23 - 2$ .

2Cách 2.

S = \frac{1}{2} a c sin B

R = \frac{ab c}{4 S}

, định lí sin trong tam giác ACD

Định hướng. Diện tích theo cặp cạnh khác, $R$ theo diện tích; tam giác $A C D$ đã biết $A C$ và đủ ba góc.

A = 13 5^{\circ}

a = 22

b = 6 - 2

(như Cách 1)
b)

S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 2 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 3 - 1

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{2 2 ( 6 - 2 ) \cdot 2}{4 ( 3 - 1 )} = \frac{8 ( 3 - 1 )}{4 ( 3 - 1 )} = 2

c) Tam giác

A C D

A C D = 1 5^{\circ}

C A D = 13 5^{\circ} \Rightarrow A D C = 3 0^{\circ}

C D = \frac{A C sin 13 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 2 b = 2 (6 - 2) = 23 - 2

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Hạ BK vuông góc với đường thẳng AC; cộng diện tích

Định hướng. Góc $A$ tù nên chân $K$ nằm trên tia đối của tia $A C$ ; tam giác $A B K$ vuông cân ( $B A K = 4 5^{\circ}$ ), tam giác $B K C$ là nửa tam giác đều. Câu c) dùng $S_{A B C} = S_{A C D} + S_{B C D}$ .

A = 13 5^{\circ}

B K = A K = \frac{A B}{2} = 2

a = B C = 2 B K = 22

C K = B K 3 = 6 \Rightarrow b = C K - A K = 6 - 2

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B K = \frac{1}{2} (6 - 2) 2 = 3 - 1

R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{2 2}{2} = 2

\frac{1}{2} ab sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} b \cdot C D sin 1 5^{\circ} + \frac{1}{2} a \cdot C D sin 1 5^{\circ}

C D = \frac{ab sin 3 0 ^{\circ}}{( a + b ) sin 1 5 ^{\circ}} = \frac{( 4 3 - 4 ) \cdot \frac{1}{2}}{( 6 + 2 ) \cdot \frac{6 - 2}{4}} = \frac{2 3 - 2}{1} = 23 - 2

Vậy kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 câu a) không dùng giá trị $sin 1 5^{\circ}$ ; câu c) cho công thức phân giác tổng quát $C D = \frac{2 ab cos \frac{C}{2}}{a + b}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 2 cho câu c): tam giác

A C D

có góc

3 0^{\circ}

, định lí sin cho ngay

C D = 2 b

— không cần

cos 1 5^{\circ}

Đáp số. a)

A = 13 5^{\circ}

a = 22

b = 6 - 2

. b)

S = 3 - 1

R = 2

. c)

C D = 23 - 2 \approx 1, 46

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), tính

\frac{2}{cos 1 5 ^{\circ}}

mà trục căn sai rất dễ ra

23 - 1

; thử lại bằng số:

\frac{1 , 4142}{0 , 9659} \approx 1, 464 = 23 - 2

, còn

23 - 1 \approx 2, 464

lớn hơn cả

C A + A D

là vô lí.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: độ dài phân giác trong từ

C

là

ℓ_{c} = \frac{2 ab cos \frac{C}{2}}{a + b}

; với bài này

\frac{2 \cdot 2 2 ( 6 - 2 ) cos 1 5 ^{\circ}}{6 + 2} = 23 - 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · 3.46★★★Trang 44— Bài toán thực tế về hướng đi: định lí côsin và định lí sin

Trên biển, một tàu cá xuất phát từ cảng

A

, chạy về phương đông

15

km tới

B

, rồi chuyển sang hướng

E 3 0^{\circ} S

chạy tiếp

20

km nữa tới đảo

C

.
a) Tính khoảng cách từ

A

tới

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị kilômét).
b) Xác định hướng từ

A

tới

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Kiến thức cần nhớ

Hướng $E α^{\circ} S$ : từ hướng Đông quay về phía Nam một góc $α$ .
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ ; trong tam giác có góc tù, hai góc còn lại nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

Hai chặng

A B

B C

và góc đổi hướng tại

B

cho tam giác

A B C

biết hai cạnh; hướng

E 3 0^{\circ} S

lệch

3 0^{\circ}

từ hướng Đông về phía Nam, nên góc trong tại

B

là

18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

. Câu b) cần góc

B A C

: vì

A B

chính là hướng Đông, hướng từ

A

tới

C

là

E B A C S

. Bẫy: lấy góc

B

bằng

3 0^{\circ}

1Cách 1. Côsin tìm AC, sin tìm góc A

Định hướng. Góc trong tại $B$ là góc bù của góc đổi hướng.

A B C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

A C^{2} = 1 5^{2} + 2 0^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot cos 15 0^{\circ} = 625 + 3003 \approx 1144, 6

A C \approx 33, 83 \approx 34

(km)
b)

sin B A C = \frac{B C sin 15 0 ^{\circ}}{A C} \approx \frac{20 \cdot 0 , 5}{33 , 83} \approx 0, 2956

B

tù

\Rightarrow B A C

nhọn

\Rightarrow B A C \approx 17, 1 9^{\circ} \approx 1 7^{\circ}

Vậy $A C \approx 34$ km; hướng từ $A$ tới $C$ là $E 1 7^{\circ} S$ .

2Cách 2. Hệ trục Đông – Bắc

Định hướng. Đặt $A$ ở gốc, trục hoành hướng Đông, trục tung hướng Bắc; hướng $E 3 0^{\circ} S$ ứng với vectơ lệch $3 0^{\circ}$ xuống dưới trục hoành.

B (15; 0)

C (15 + 20 cos 3 0^{\circ}; - 20 sin 3 0^{\circ}) = (15 + 103; - 10)

A C^{2} = (15 + 103)^{2} + 1 0^{2} = 225 + 3003 + 300 + 100 = 625 + 3003

A C \approx 34

(km)
b)

tan B A C = \frac{10}{15 + 10 3} \approx 0, 3094 \Rightarrow B A C \approx 1 7^{\circ}

Vậy $A C \approx 34$ km, hướng $E 1 7^{\circ} S$ .

3Cách 3. Côsin hai lần

Định hướng. Có đủ ba cạnh thì góc $A$ tính thẳng bằng côsin, không lo hai nghiệm như định lí sin.

A C = 625 + 3003 \approx 33, 83

(km)
b)

cos B A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{225 + 625 + 300 3 - 400}{30 \cdot A C} = \frac{15 + 10 3}{A C} \approx 0, 9553

B A C \approx 17, 1 9^{\circ} \approx 1 7^{\circ}

Vậy $A C \approx 34$ km, hướng $E 1 7^{\circ} S$ .

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 gặp nhau ở $cos B A C = \frac{15 + 10 3}{A C}$ — đó chính là hoành độ của $C$ chia cho $A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 2: toạ độ của

C

cho luôn cả khoảng cách lẫn góc lệch, không phải chọn nghiệm của sin.

Đáp số. a)

A C = 625 + 3003 \approx 34

km. b) Hướng từ

A

tới

C

là

E 1 7^{\circ} S

Sai lầm thường gặp. Lấy

A B C = 3 0^{\circ}

sẽ ra

A C^{2} = 625 - 3003 \approx 105, 4

A C \approx 10

km — khi đó tàu gần như quay ngược lại, trái với việc chỉ lệch

3 0^{\circ}

khỏi hướng Đông. Ở câu b) ghi hướng "

S 1 7^{\circ} E

" là nhầm mốc:

1 7^{\circ}

được đo từ hướng Đông chứ không phải từ hướng Nam.

🚀 Mở rộng. Thử lại khi tàu chuyển sang hướng

E 3 0^{\circ} N

: đối xứng qua trục Đông – Tây nên

A C

vẫn

\approx 34

km, hướng thành

E 1 7^{\circ} N

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · 3.47★★★Trang 44— Bài toán thực tế đo chiều cao trên sườn dốc: định lí sin và hình chiếu

Trên sườn đồi, với độ dốc

12%

(độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây

30

m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc

4 5^{\circ}

so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây đó (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét).

Kiến thức cần nhớ

Độ dốc $p %$ : $tan α = \frac{p}{100}$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin B A C} = \frac{A B}{sin A C B}$ .
$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dốc

12%

nghĩa là

tan α = 0, 12

với

α

là góc giữa sườn đồi và phương ngang; khoảng

30

m đo dọc theo sườn đồi, không phải theo phương ngang. Trong tam giác

A B C

(

A

là chỗ đứng,

B

gốc cây,

C

ngọn cây) biết cạnh

A B

và hai góc

B A C = 4 5^{\circ} - α

A C B = 4 5^{\circ}

nên định lí sin cho

B C

. Bẫy: coi

30

m là khoảng cách ngang rồi lấy chiều cao

= 30 tan 4 5^{\circ} = 30

1Cách 1. Định lí sin trong tam giác ABC

Định hướng. Cây thẳng đứng, tia nhìn tạo $4 5^{\circ}$ với phương ngang nên tạo $4 5^{\circ}$ với phương thẳng đứng: $A C B = 4 5^{\circ}$ .

tan α = 0, 12 \Rightarrow α \approx 6, 8 4^{\circ}

B A C = 4 5^{\circ} - α \approx 38, 1 6^{\circ}

A C B = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

B C = \frac{A B sin B A C}{sin A C B} \approx \frac{30 \cdot 0 , 6178}{0 , 7071} \approx 26, 21

(m)

Vậy cây cao khoảng $26$ m.

2Cách 2. Hình chiếu lên phương ngang

Định hướng. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $B C$ với phương ngang qua $A$ ; tam giác $A K C$ vuông cân tại $K$ .

α \approx 6, 8 4^{\circ}

cos α \approx 0, 9929

sin α \approx 0, 1191

A K = 30 cos α \approx 29, 79

B K = 30 sin α \approx 3, 57

K C = A K tan 4 5^{\circ} = A K \approx 29, 79

B C = K C - B K \approx 29, 79 - 3, 57 = 26, 22 \approx 26

(m)

Vậy cây cao khoảng $26$ m.

3Cách 3. Dùng thẳng độ dốc, không tính góc

Định hướng. Đặt $A K = x$ thì $B K = 0, 12 x$ (định nghĩa độ dốc) và $K C = x$ (góc $4 5^{\circ}$ ); Pythagore cho $x$ .

A B^{2} = x^{2} + (0, 12 x)^{2} = 1, 0144 x^{2} = 900 \Rightarrow x = \frac{30}{1 , 0144} \approx 29, 786

B C = K C - B K = x - 0, 12 x = 0, 88 x \approx 0, 88 \cdot 29, 786 \approx 26, 21

(m)

Vậy cây cao khoảng $26$ m.

Nhận xét. Cách 3 cho công thức gọn $h = \frac{30 ( 1 - 0 , 12 )}{1 + 0 , 1 2 ^{2}}$ , không phải làm tròn góc giữa chừng nên chính xác nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài theo Cách 3: không cần tính góc

α

, chỉ một phép khai căn là ra

h \approx 26

Đáp số. Chiều cao của cây khoảng

26

Sai lầm thường gặp. Coi

30

m là khoảng cách theo phương ngang sẽ ra

h = 30 - 30 \cdot 0, 12 = 26, 4

m — vẫn làm tròn thành

26

m nhưng sai bản chất; với số liệu khác (ví dụ độ dốc

40%

) sai lệch sẽ lộ rõ. Còn quên hẳn sườn dốc thì ra

30

m, sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với độ dốc

tan α = k

, khoảng cách dọc sườn

d

và góc nhìn

4 5^{\circ}

, chiều cao cây là

h = \frac{d ( 1 - k )}{1 + k ^{2}}

Mở bài này trong app ↗