Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 31 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang40–44 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.17★Trang 40— Tính giá trị lượng giác của góc còn lại trong tam giác

Tam giác

A B C

có

A = 1 5^{\circ}

B = 4 5^{\circ}

. Giá trị của

tan C

bằng
A.

- 3

;
B.

3

;
C.

\frac{1}{3}

;
D.

- \frac{1}{3}

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong tam giác: $A + B + C = 18 0^{\circ}$ .
Hai góc bù nhau: $tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α$ với $α \neq = 9 0^{\circ}$ .
$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ ; $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc của tam giác nên góc thứ ba tính ngay được từ tổng ba góc; câu hỏi thực chất là giá trị lượng giác của một góc tù. Hướng nhanh nhất là đưa về góc bù quen thuộc

6 0^{\circ}

. Bẫy nằm ở dấu: góc tù có tang âm, ai quên dấu sẽ khoanh nhầm phương án B.

1Cách 1. Tính góc C rồi dùng góc bù

Định hướng. Góc $C$ là góc tù nên đưa về góc bù nhọn $6 0^{\circ}$ để đọc giá trị trong bảng.

C = 18 0^{\circ} - A - B = 18 0^{\circ} - 1 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 12 0^{\circ}

tan C = tan 12 0^{\circ} = tan (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - tan 6 0^{\circ} = - 3

Hình minh hoạ lời giải

Tam giác ABC với góc A bằng 15°, góc B bằng 45° và góc C tù bằng 120°

Vậy $tan C = - 3$ , chọn A.

2Cách 2. Tính qua sin và côsin của góc C

Định hướng. Không nhớ công thức góc bù cho tang thì đi qua $sin$ và $cos$ của $12 0^{\circ}$ rồi chia.

C = 18 0^{\circ} - (1 5^{\circ} + 4 5^{\circ}) = 12 0^{\circ}

sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

tan C = \frac{sin 12 0 ^{\circ}}{cos 12 0 ^{\circ}} = \frac{3}{2} : (- \frac{1}{2}) = - 3

Vậy chọn A.

3Cách 3. Loại trừ bằng dấu và độ lớn

Định hướng. Chỉ cần biết $C$ tù hay nhọn và $∣ tan C ∣$ bằng tang của góc bù là đủ phân loại bốn phương án.

A + B = 6 0^{\circ} < 9 0^{\circ} \Rightarrow C > 9 0^{\circ} \Rightarrow tan C < 0

tan C < 0 \Rightarrow

loại B và C

∣ tan C ∣ = tan (18 0^{\circ} - C) = tan (A + B) = tan 6 0^{\circ} = 3

∣ tan C ∣ = 3 \neq = \frac{1}{3} \Rightarrow

loại D

Vậy chỉ còn A.

Nhận xét. $18 0^{\circ} - C = A + B$ nên $tan C = - tan (A + B)$ trong mọi tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm

A + B = 6 0^{\circ}

là biết ngay

tan C = - tan 6 0^{\circ}

, không cần viết gì thêm.

Đáp số.

C = 12 0^{\circ}

tan C = - 3

— chọn A.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết

tan 12 0^{\circ} = tan 6 0^{\circ} = 3

vì nhớ nhầm "góc bù có cùng tang" (chỉ sin mới bằng nhau). Phản ví dụ:

tan 13 5^{\circ} = - 1

trong khi

tan 4 5^{\circ} = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong mọi tam giác không có góc vuông,

tan C = - tan (A + B)

; thử tính

tan C

khi

A = 2 0^{\circ}

B = 2 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.18★Trang 40— Toạ độ điểm trên nửa đường tròn đơn vị theo góc

α

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, lấy điểm

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho

x O M = 13 5^{\circ}

. Tích hoành độ và tung độ của điểm

M

bằng
A.

\frac{1}{2 2}

;
B.

\frac{1}{2}

;
C.

- \frac{1}{2}

;
D.

- \frac{1}{2 2}

Kiến thức cần nhớ

$M$ thuộc nửa đường tròn đơn vị, $x O M = α$ thì $M (cos α; sin α)$ .
$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

M

trên nửa đường tròn đơn vị với

x O M = α

luôn có toạ độ

(cos α; sin α)

— đó là định nghĩa giá trị lượng giác, nên bài chỉ còn là tính

cos 13 5^{\circ} \cdot sin 13 5^{\circ}

. Góc

13 5^{\circ}

là góc bù của

4 5^{\circ}

nên đưa về giá trị quen thuộc. Bẫy: quên hoành độ âm vì

M

ở bên trái trục tung.

1Cách 1. Toạ độ theo định nghĩa giá trị lượng giác

Định hướng. Viết thẳng toạ độ của $M$ rồi nhân.

x_{M} = cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

y_{M} = sin 13 5^{\circ} = \frac{2}{2}

x_{M} \cdot y_{M} = - \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

Vậy tích bằng $- \frac{1}{2}$ , chọn C.

2Cách 2. Đưa về góc bù 45°

Định hướng. Dùng công thức góc bù để khỏi phải nhớ giá trị của $13 5^{\circ}$ .

x_{M} \cdot y_{M} = cos 13 5^{\circ} \cdot sin 13 5^{\circ}

x_{M} \cdot y_{M} = (- cos 4 5^{\circ}) \cdot sin 4 5^{\circ}

x_{M} \cdot y_{M} = - (\frac{2}{2})^{2} = - \frac{1}{2}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Hình học: M nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ II

Định hướng. Góc $13 5^{\circ}$ chia đôi góc vuông $y O x^{'}$ nên $M$ nằm trên đường $y = - x$ ; kết hợp với $x^{2} + y^{2} = 1$ là ra ngay tích $x y$ .

y_{M} = - x_{M}

x_{M}^{2} + y_{M}^{2} = 1

2 x_{M}^{2} = 1 \Rightarrow x_{M}^{2} = \frac{1}{2}

x_{M} \cdot y_{M} = - x_{M}^{2} = - \frac{1}{2}

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 không cần biết $x_{M}$ bằng bao nhiêu, chỉ cần $x_{M}^{2}$ — rất gọn khi đề hỏi tích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (hoặc Cách 1 nếu thuộc bảng):

M

trên đường

y = - x

nên

x_{M} y_{M} = - x_{M}^{2} = - \frac{1}{2}

, tính nhẩm được.

Đáp số.

x_{M} \cdot y_{M} = - \frac{1}{2}

— chọn C.

Sai lầm thường gặp. Nhầm

M (sin 13 5^{\circ}; cos 13 5^{\circ})

(đảo thứ tự) vẫn ra tích

- \frac{1}{2}

nên không bị phát hiện ở bài này, nhưng hỏi riêng hoành độ sẽ sai: hoành độ đúng là

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

, không phải

\frac{2}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

M

trên nửa đường tròn đơn vị,

x_{M} y_{M} = sin α cos α

đạt giá trị nhỏ nhất

- \frac{1}{2}

đúng tại

α = 13 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.19★★Trang 40— Đối xứng qua trục tung trên nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, lấy điểm

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho

x O M = 15 0^{\circ}

N

là điểm đối xứng với

M

qua trục tung. Giá trị của

tan x O N

bằng
A.

\frac{1}{3}

;
B.

- \frac{1}{3}

;
C.

3

;
D.

- 3

Kiến thức cần nhớ

$M (cos α; sin α)$ với $α = x O M$ .
Đối xứng qua $O y$ : $(x; y) \mapsto (- x; y)$ .
$tan α = \frac{y}{x}$ với $x \neq = 0$ ; $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.20★Trang 40— Biết

tan α

, tính biểu thức của

sin α

và

cos α

Cho góc nhọn

α

có

tan α = \frac{3}{4}

. Giá trị của tích

sin α \cdot cos α

bằng
A.

\frac{4}{3}

;
B.

\frac{12}{25}

;
C.

\frac{25}{12}

;
D.

\frac{3}{4}

Kiến thức cần nhớ

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ ).
$sin α = tan α \cdot cos α$ ; góc nhọn thì $sin α > 0$ , $cos α > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.21★★Trang 40— Tìm góc từ một hệ thức giữa

sin α

và

cos α

Cho góc

α

(

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

) thoả mãn

sin α + cos α = 1

. Giá trị của

cot α

là
A.

0

;
B.

1

;
C.

- 1

;
D. Không tồn tại.

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Với $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ thì $sin α > 0$ .
$cot α = \frac{cos α}{sin α}$ , $cot 9 0^{\circ} = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.22★★Trang 40— Tính biểu thức đối xứng của

sin α

cos α

khi biết tổng

Cho góc

α

thoả mãn

sin α + cos α = 2

. Giá trị của

tan α + cot α

là
A.

1

;
B.

- 2

;
C.

0

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

$tan α + cot α = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{1}{sin α cos α}$ .
$(a + b)^{2} \leq 2 (a^{2} + b^{2})$ , dấu bằng khi $a = b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.23★★Trang 40— Diện tích tam giác có đỉnh trên nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

lấy

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị, sao cho

cos x O M = - \frac{3}{5}

(H.3.4). Diện tích của tam giác

A O M

bằng
A.

\frac{4}{5}

;
B.

\frac{2}{5}

;
C.

\frac{3}{5}

;
D.

\frac{3}{10}

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , với $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ thì $sin α \geq 0$ .
$M (cos α; sin α)$ trên nửa đường tròn đơn vị.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.24★★Trang 41— Diện tích tam giác có đỉnh trên nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

lấy điểm

M

thuộc nửa đường tròn đơn vị, sao cho

x O M = 15 0^{\circ}

(H.3.5). Lấy

N

đối xứng với

M

qua trục tung. Diện tích của tam giác

M A N

bằng
A.

\frac{3}{4}

;
B.

\frac{3}{2}

;
C.

3

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

$M (cos α; sin α)$ trên nửa đường tròn đơn vị.
Hai tam giác cùng đáy, cùng chiều cao thì có diện tích bằng nhau.
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.25★★Trang 41— Tính giá trị biểu thức lượng giác khi biết

cos α

Cho

cos α = \frac{1}{4}

. Giá trị của

P = \frac{tan α + 2 cot α}{2 tan α + 3 cot α}

là
A.

- \frac{17}{33}

;
B.

\frac{17}{33}

;
C.

\frac{1}{2}

;
D.

\frac{16}{33}

Kiến thức cần nhớ

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ .
$tan α \cdot cot α = 1$ ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ , $α \neq = 0^{\circ}$ , $α \neq = 18 0^{\circ}$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.26★★Trang 41— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp khi biết ba cạnh

Tam giác

A B C

có

a = 2

b = 3

c = 4

. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác

A B C

là
A.

R = \frac{15}{2}

;
B.

R = \frac{7}{15}

;
C.

R = \frac{15}{6}

;
D.

R = \frac{8}{15}

Kiến thức cần nhớ

Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
$S = \frac{ab c}{4 R}$ ; định lí sin: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ .
Định lí côsin: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 3.27★★Trang 41— Tính đường cao khi biết ba cạnh

Tam giác

A B C

có

a = 4

b = 5

c = 6

. Độ dài đường cao

h_{b}

bằng
A.

\frac{3 7}{2}

;
B.

\frac{3}{2 7}

;
C.

\frac{3 7}{4}

;
D.

\frac{3}{4 7}

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{1}{2} b h_{b} \Rightarrow h_{b} = \frac{2 S}{b}$ .
Công thức Heron.
Trong tam giác vuông $A B H$ : $B H = A B sin A$ khi $A$ nhọn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 3.28★★Trang 41— Dùng công thức đường trung tuyến để tìm cạnh còn lại rồi tính diện tích

Cho tam giác

A B C

có

a = 20

b = 16

và

m_{a} = 10

. Diện tích của tam giác bằng
A.

92

;
B.

100

;
C.

96

;
D.

88

Kiến thức cần nhớ

$m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .
Trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy $\Leftrightarrow$ tam giác vuông tại đỉnh xuất phát trung tuyến.
Công thức Heron; tam giác vuông: $S = \frac{1}{2}$ tích hai cạnh góc vuông.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 3.29★★★Trang 41— Tính đường cao khi biết hai cạnh và một trung tuyến

Tam giác

A B C

có

a = 14

b = 9

và

m_{a} = 8

. Độ dài đường cao

h_{a}

bằng
A.

\frac{24 5}{7}

;
B.

\frac{12 5}{7}

;
C.

125

;
D.

245

Kiến thức cần nhớ

$m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .
$16 S^{2} = 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 c^{2} a^{2} - a^{4} - b^{4} - c^{4}$ (Heron viết theo bình phương cạnh).
$h_{a} = \frac{2 S}{a}$ ; hai tam giác chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một đường thẳng thì có chung đường cao.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 3.30★★Trang 42— Tính đường cao khi biết một cạnh và hai góc

Tam giác

A B C

có

A = 4 5^{\circ}

c = 6

B = 7 5^{\circ}

. Độ dài đường cao

h_{b}

bằng
A.

32

;
B.

\frac{3}{2}

;
C.

62

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

Tam giác vuông: cạnh góc vuông $=$ cạnh huyền $\times$ sin góc đối.
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
$h_{b} = \frac{2 S}{b}$ , $S = \frac{1}{2} b c sin A$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 3.31★Trang 42— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp khi biết một cạnh và góc đối diện

Tam giác

A B C

có

A = 4 5^{\circ}

c = 6

B = 7 5^{\circ}

. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng
A.

83

;
B.

23

;
C.

63

;
D.

43

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Góc ở tâm chắn cùng cung gấp đôi góc nội tiếp.
$S = \frac{ab c}{4 R}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 3.32★★Trang 42— Nhận dạng tam giác từ một hệ thức giữa diện tích, bán kính và góc

Tam giác

A B C

có diện tích

S = 2 R^{2} sin B sin C

, với

R

là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Số đo góc

A

bằng
A.

6 0^{\circ}

;
B.

9 0^{\circ}

;
C.

3 0^{\circ}

;
D.

7 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $a = 2 R sin A$ , $b = 2 R sin B$ , $c = 2 R sin C$ .
$S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{ab c}{4 R}$ .
$sin A = 1 \Leftrightarrow A = 9 0^{\circ}$ (với $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 3.33★★Trang 42— Tìm cạnh khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

Tam giác

A B C

có

A B = 5

A C = 2

và

C = 4 5^{\circ}

. Độ dài cạnh

B C

bằng
A.

3

;
B.

2

;
C.

3

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $A B^{2} = C A^{2} + C B^{2} - 2 C A \cdot C B cos C$ (cạnh $A B$ đối diện góc $C$ ).
Tam giác vuông có một góc $4 5^{\circ}$ là tam giác vuông cân.
Phương trình bậc hai $x^{2} + b x + c = 0$ : tách $b x$ thành hai hạng tử có tích bằng $c$ để đưa về dạng tích.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 3.34★★Trang 42— Tính diện tích khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

Tam giác

A B C

có

C = 6 0^{\circ}

A C = 2

và

A B = 7

. Diện tích của tam giác

A B C

bằng
A.

\frac{3}{2}

;
B.

33

;
C.

\frac{3 3}{2}

;
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $A B^{2} = C A^{2} + C B^{2} - 2 C A \cdot C B cos C$ .
$S = \frac{1}{2} C A \cdot C B \cdot sin C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 3.35★★★Trang 42— Tính bán kính đường tròn nội tiếp

Tam giác

A B C

có

A = 6 0^{\circ}

A B = 3

và

B C = 33

. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác

A B C

là
A.

\frac{3 ( 3 - 1 )}{2}

;
B.

\frac{3 ( 3 + 1 )}{2}

;
C.

\frac{3 - 1}{2}

;
D.

3 - 1

Kiến thức cần nhớ

$r = \frac{S}{p}$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $x$ , $y$ và cạnh huyền $z$ thì $r = \frac{x + y - z}{2}$ .
$r = (p - a) tan \frac{A}{2}$ (khoảng cách từ $A$ tới tiếp điểm bằng $p - a$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 3.36★★Trang 43— Bài toán thực tế về khoảng cách giữa hai tàu: định lí côsin

Một ca nô xuất phát từ cảng

A

, chạy theo hướng đông với vận tốc

60

km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá xuất phát từ

A

, chạy theo hướng

N 3 0^{\circ} E

với vận tốc

50

km/h. Sau

2

giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?
A.

110

km;
B.

112

km;
C.

111, 4

km;
D.

110, 5

km.

Kiến thức cần nhớ

Hướng $N α^{\circ} E$ : từ hướng Bắc quay về phía Đông một góc $α$ .
Định lí côsin: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C cos A$ .
Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 3.37★★Trang 43— Bài toán thực tế về góc nhìn xuống: tam giác vuông và định lí sin

Một người đứng trên đài quan sát đặt ở cuối một đường đua thẳng. Ở độ cao

6

m so với mặt đường đua, tại một thời điểm người đó nhìn hai vận động viên

A

và

B

dưới các góc tương ứng là

6 0^{\circ}

và

3 0^{\circ}

so với phương nằm ngang (H.3.6). Khoảng cách giữa hai vận động viên

A

và

B

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét) tại thời điểm đó là
A.

8

m;
B.

7

m;
C.

6

m;
D.

9

Kiến thức cần nhớ

Tam giác vuông: cạnh góc vuông kề $=$ cạnh góc vuông đối $\times cot$ góc.
Hai đường thẳng song song tạo với cát tuyến các góc so le trong bằng nhau.
Định lí côsin, định lí sin.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 3.38★★Trang 43— Tính giá trị lượng giác của góc tù và giá trị biểu thức

Cho góc tù

α

có

sin α = \frac{1}{3}

.
a) Tính

cos α

tan α

cot α

.
b) Tính giá trị của các biểu thức:

A = sin α \cdot cot (18 0^{\circ} - α) + cos (18 0^{\circ} - α) \cdot cot (9 0^{\circ} - α)

;

B = \frac{3 ( sin α + 2 cos α ) - 2}{sin α - 2 cos α}

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ; $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ} \Rightarrow cos α < 0$ , $tan α < 0$ , $cot α < 0$ .
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , $cot (18 0^{\circ} - α) = - cot α$ , $cot (9 0^{\circ} - α) = tan α$ .
$1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 3.39★★Trang 43— Quy các góc về góc

1 5^{\circ}

bằng công thức góc bù, góc phụ

Cho

sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}

.
a) Tính

sin 7 5^{\circ}

cos 10 5^{\circ}

tan 16 5^{\circ}

.
b) Tính giá trị của biểu thức

A = sin 7 5^{\circ} \cdot cos 16 5^{\circ} + cos 10 5^{\circ} \cdot sin 16 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ , $cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ .
$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , $tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α$ .
$8 + 43 = (6 + 2)^{2}$ , $8 - 43 = (6 - 2)^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 3.40★★Trang 43— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Cho tam giác

A B C

có

A B = 1

B C = 2

và

A B C = 6 0^{\circ}

. Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$ .
Định lí Pythagore đảo: $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow A = 9 0^{\circ}$ .
Trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác vuông tại đỉnh đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 3.41★★Trang 44— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa; diện tích và đường cao

Cho tam giác

A B C

có

c = 1

a = 2

và

B = 12 0^{\circ}

.
a) Tính

b

A

C

.
b) Tính diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ

B

của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$ ; $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ .
$S = \frac{1}{2} a c sin B$ , $h_{b} = \frac{2 S}{b}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 3.42★★Trang 44— Giải tam giác khi biết ba cạnh; bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

Cho tam giác

A B C

có

a = 3

b = 5

và

c = 7

.
a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .
$r = \frac{S}{p}$ , $R = \frac{c}{2 sin C} = \frac{ab c}{4 S}$ .
$r = (p - c) tan \frac{C}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 3.43★★★Trang 44— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc; tính đường cao

Cho tam giác

A B C

có

B = 4 5^{\circ}

C = 1 5^{\circ}

và

b = 2

. Tính

a

h_{a}

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = 2 R$ .
$h_{a} = b sin C = c sin B$ .
$sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$ , $tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · 3.44★★Trang 44— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa; đường cao, trung tuyến

Cho tam giác

A B C

có

c = 5

a = 8

và

B = 6 0^{\circ}

.
a) Tính

b

và số đo các góc

A

C

(số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ

B

.
c) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ

A

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin; $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$h_{b} = \frac{2 S}{b}$ , $S = \frac{1}{2} a c sin B$ .
$m_{a}^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · 3.45★★★Trang 44— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc; độ dài đường phân giác

Cho tam giác

A B C

có

B = 1 5^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

và

c = 2

.
a) Tính số đo góc

A

và độ dài các cạnh

a

b

.
b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Lấy điểm

D

thuộc cạnh

A B

sao cho

B C D = D C A

(tức

C D

là phân giác của góc

B C A

). Tính độ dài

C D

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
$sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$ , $cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ .
$S_{A B C} = S_{A C D} + S_{B C D}$ khi $D$ thuộc cạnh $A B$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · 3.46★★★Trang 44— Bài toán thực tế về hướng đi: định lí côsin và định lí sin

Trên biển, một tàu cá xuất phát từ cảng

A

, chạy về phương đông

15

km tới

B

, rồi chuyển sang hướng

E 3 0^{\circ} S

chạy tiếp

20

km nữa tới đảo

C

.
a) Tính khoảng cách từ

A

tới

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị kilômét).
b) Xác định hướng từ

A

tới

C

(làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Kiến thức cần nhớ

Hướng $E α^{\circ} S$ : từ hướng Đông quay về phía Nam một góc $α$ .
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ ; trong tam giác có góc tù, hai góc còn lại nhọn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · 3.47★★★Trang 44— Bài toán thực tế đo chiều cao trên sườn dốc: định lí sin và hình chiếu

Trên sườn đồi, với độ dốc

12%

(độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây