Chương IV. Vectơ

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 32 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.39★Trang 66— Trắc nghiệm — đếm vectơ cùng phương

Bài 4.39 (trang 66). Cho hình bình hành

A B C D

tâm

O

. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm

A

B

C

D

và

O

. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với

A C

là:
A.

6

;
B.

3

;
C.

4

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Từ $n$ điểm phân biệt lập được $n (n - 1)$ vectơ khác $0$ (có kể thứ tự đầu – cuối).

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ cùng phương với

A C

có giá song song hoặc trùng với đường thẳng

A C

. Trong năm điểm, chỉ

A

O

C

nằm trên

A C

và không có cặp điểm nào tạo đường song song với

A C

. Bẫy: vectơ có hướng,

A O

và

O A

là hai vectơ khác nhau.

1Cách 1. Liệt kê

Định hướng. Liệt kê mọi vectơ có giá là đường thẳng $A C$ .

Các điểm trên đường thẳng

A C

A

O

C

A C

C A

A O

O A

O C

C O

B

D

không thuộc

A C

và

B D

cắt

A C

nên không có vectơ nào khác

Vậy có $6$ vectơ, chọn A.

2Cách 2. Đếm tổ hợp

Định hướng. Chỉ cần chọn có thứ tự hai điểm trong ba điểm thẳng hàng $A$ , $O$ , $C$ .

Số cách chọn điểm đầu:

3

; điểm cuối:

2

Số vectơ:

3 \cdot 2 = 6

Vậy chọn A.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Đếm riêng số vectơ có giá $A C$ không kể chiều rồi nhân đôi.

Số đoạn thẳng có hai đầu thuộc

{A; O; C}

A O

O C

A C

— có

3

đoạn
Mỗi đoạn cho

2

vectơ ngược hướng nhau

\Rightarrow

3 \cdot 2 = 6

Các phương án

3

2

ứng với việc quên chiều hoặc quên điểm

O

Vậy chọn A.

Nhận xét. Hai phương án nhiễu B, D chính là hai lỗi hay gặp: đếm đoạn thẳng thay vì vectơ, và bỏ quên tâm $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2:

3 \cdot 2 = 6

, nhẩm trong vài giây.

Đáp số. A.

6

vectơ.

Sai lầm thường gặp. Chỉ đếm

A C

C A

A O

... theo một chiều rồi chọn

3

— vectơ

A O

và

O A

ngược hướng nhưng vẫn là hai vectơ cùng phương khác nhau.

🚀 Mở rộng. Với cùng năm điểm, có

4

vectơ khác

0

cùng phương với

A B

A B

B A

D C

C D

(vì

A B ∥ C D

, còn

O

không nằm trên hai đường đó).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.40★Trang 66— Trắc nghiệm — cùng hướng, ngược hướng

Bài 4.40 (trang 66). Cho đoạn thẳng

A C

và

B

là một điểm nằm giữa

A

C

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?
A. Hai vectơ

A B

và

C B

cùng hướng;
B. Hai vectơ

C A

và

B C

cùng hướng;
C. Hai vectơ

A B

và

A C

cùng hướng;
D. Hai vectơ

A C

và

B A

cùng hướng.

Kiến thức cần nhớ

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng, hoặc ngược hướng.
$B$ nằm giữa $A$ , $C$ $\Leftrightarrow$ $A B = k A C$ với $0 < k < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm thẳng hàng theo thứ tự

A

B

C

: mọi vectơ đi "từ trái sang phải" (theo thứ tự

A \to B \to C

) cùng hướng với nhau, đi ngược lại thì ngược hướng. Chỉ cần xác định chiều của mỗi vectơ.

1Cách 1. Xét chiều trên đường thẳng

Định hướng. Gọi chiều từ $A$ đến $C$ là chiều dương.

A B

: dương;

C B

: âm

\Rightarrow

A sai

C A

: âm;

B C

: dương

\Rightarrow

B sai

A B

: dương;

A C

: dương

\Rightarrow

C đúng

A C

: dương;

B A

: âm

\Rightarrow

D sai

Vậy chọn C.

2Cách 2. Trục số

Định hướng. Đặt $A$ , $B$ , $C$ lên trục số tại $0$ , $b$ , $c$ với $0 < b < c$ ; dấu của hiệu cho chiều.

A B \leftrightarrow b > 0

C B \leftrightarrow b - c < 0

C A \leftrightarrow - c < 0

B C \leftrightarrow c - b > 0

A C \leftrightarrow c > 0

B A \leftrightarrow - b < 0

Cùng dấu chỉ có cặp

A B

(

b

) và

A C

(

c

)

Vậy chọn C.

3Cách 3. Hệ số

k

Định hướng. Cùng hướng $\Leftrightarrow$ $u = k v$ với $k > 0$ .

A B = \frac{A B}{A C} A C

với

\frac{A B}{A C} > 0

\Rightarrow

cùng hướng

C B = - \frac{C B}{A B} A B

\Rightarrow

ngược hướng; tương tự B, D có

k < 0

Vậy chọn C.

Nhận xét. Hai vectơ chung điểm đầu, điểm cuối nằm cùng phía so với điểm đầu thì cùng hướng — đó là cặp $A B$ , $A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: vẽ nhanh ba điểm trên một đường thẳng, đọc chiều mũi tên.

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì thấy cùng chữ

A

và

C

— cần nhìn điểm đầu:

B A

đi từ

B

về

A

, ngược chiều

A C

🚀 Mở rộng. Nếu

B

nằm ngoài đoạn

A C

(về phía

C

) thì

A B

A C

vẫn cùng hướng, còn nếu

B

nằm về phía

A

thì chúng ngược hướng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.41★★Trang 67— Trắc nghiệm — đếm vectơ bằng nhau

Bài 4.41 (trang 67). Cho hình bình hành

A B C D

tâm

O

. Gọi

K

L

M

N

tương ứng là trung điểm các cạnh

A B

B C

C D

D A

. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm

A

B

C

D

K

L

M

O

, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ

A K

?
A.

2

;
B.

6

;
C.

4

;
D.

8

Kiến thức cần nhớ

Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
$O$ là trung điểm $N L$ và $N L ∥ A B$ , $N L = A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ bằng

A K

phải cùng hướng và dài

\frac{1}{2} A B

. Các ứng viên nằm trên ba đường song song với

A B

A B

N L

(qua

O

) và

D C

. Bẫy: danh sách điểm KHÔNG có

N

nên vectơ

N O

không được tính, và không tính chính

A K

1Cách 1. Duyệt từng đường thẳng song song với

A B

Định hướng. Trên mỗi đường, tìm các cặp điểm cách nhau $\frac{1}{2} A B$ theo đúng chiều $A \to B$ .

Đường

A B

(điểm

A

K

B

K B

Đường

N L

(chỉ có

O

L

trong danh sách):

O L

Đường

D C

(điểm

D

M

C

D M

M C

Vậy có $4$ vectơ $K B$ , $O L$ , $D M$ , $M C$ , chọn C.

2Cách 2. Toạ độ xiên

Định hướng. Lấy gốc $A$ , cơ sở $u = A K$ , $v = A N$ ; mỗi điểm có "toạ độ" nguyên.

A (0; 0)

K (1; 0)

B (2; 0)

O (1; 1)

L (2; 1)

D (0; 2)

M (1; 2)

C (2; 2)

Vectơ bằng

A K

\Leftrightarrow

điểm cuối

=

điểm đầu

+ (1; 0)

Các cặp:

K \to B

O \to L

D \to M

M \to C

(và

A \to K

)

Vậy ngoài $A K$ có $4$ vectơ, chọn C.

3Cách 3. Phép tịnh tiến

Định hướng. Tịnh tiến điểm $X$ theo $A K$ , đếm những $X$ có ảnh vẫn nằm trong danh sách.

A \mapsto K

K \mapsto B

D \mapsto M

M \mapsto C

O \mapsto L

B

C

L

có ảnh nằm ngoài hình, không thuộc danh sách

Vậy bỏ $A K$ còn $4$ vectơ, chọn C.

Nhận xét. Nếu thêm $N$ vào danh sách thì có thêm $N O$ , khi đó đáp số là $5$ — đề cố ý bỏ $N$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: duyệt ba đường song song, không sót và không thừa.

Đáp số. C.

4

vectơ:

K B

O L

D M

M C

Sai lầm thường gặp. Đếm cả

N O

(dù

N

không có trong danh sách) hoặc đếm cả

M D

C M

(cùng độ dài nhưng ngược hướng).

🚀 Mở rộng. Cùng danh sách điểm, số vectơ bằng

A O

là

1

(

O C

), vì

O

là trung điểm

A C

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.42★★Trang 67— Trắc nghiệm — độ dài vectơ trong hình thoi

Bài 4.42 (trang 67). Cho hình thoi

A B C D

có độ dài các cạnh bằng

1

và

D A B = 12 0^{\circ}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

A B = C D

;
B.

B D = A C

;
C.

∣ B D ∣ = 1

;
D.

∣ A C ∣ = 1

Kiến thức cần nhớ

Hình thoi: hai góc kề một cạnh bù nhau; hai đường chéo vuông góc.
Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc

A = 12 0^{\circ}

thì góc

B = 6 0^{\circ}

, tam giác

A B C

cân có góc

6 0^{\circ}

nên đều: đường chéo ngắn

A C

bằng cạnh. A sai vì

A B

C D

ngược hướng; B sai vì hai đường chéo không cùng phương.

1Cách 1. Tam giác đều

Định hướng. Xét tam giác $A B C$ .

A B C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

B A = B C = 1

\Rightarrow

tam giác

A B C

đều

∣ A C ∣ = A C = 1

A B = D C = - C D

\Rightarrow

sai; B:

B D ⊥ A C

\Rightarrow

sai

Vậy chọn D.

2Cách 2. Định lí côsin

Định hướng. Tính cả hai đường chéo.

A C^{2} = 1 + 1 - 2 cos 6 0^{\circ} = 1

\Rightarrow

A C = 1

B D^{2} = 1 + 1 - 2 cos 12 0^{\circ} = 3

\Rightarrow

B D = 3

\Rightarrow

C sai

Vậy chọn D.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (1; 0)$ , $D (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ , $C = B + A D = (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

∣ A C ∣ = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

∣ B D ∣ = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3

Vậy chọn D.

Nhận xét. Hình thoi góc $12 0^{\circ}$ ghép từ hai tam giác đều chung cạnh $A C$ — hình ảnh rất hay dùng trong các bài vectơ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra tam giác đều là có ngay

A C = 1

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm đường chéo ngắn với đường chéo dài: đường chéo đối diện góc tù (

12 0^{\circ}

) là

B D = 3

, còn

A C

nối hai đỉnh góc tù mới là đường chéo ngắn.

🚀 Mở rộng. Với hình thoi cạnh

a

, góc

α

: hai đường chéo là

2 a sin \frac{α}{2}

và

2 a cos \frac{α}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.43★Trang 67— Trắc nghiệm — độ dài vectơ, trọng tâm

Bài 4.43 (trang 67). Cho tam giác

A B C

đều, trọng tâm

G

, có độ dài các cạnh bằng

3

. Độ dài của vectơ

A G

bằng
A.

3

;
B.

\frac{3 3}{2}

;
C.

\frac{3}{2}

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều cạnh $a$ : đường cao $\frac{a 3}{2}$ ; $A G = \frac{2}{3} \cdot \frac{a 3}{2} = \frac{a 3}{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

∣ A G ∣ = A G

; trong tam giác đều, trọng tâm cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp, nên

A G = \frac{2}{3}

đường cao

= R = \frac{a}{3}

. Bẫy: phương án B là cả đường cao — quên nhân

\frac{2}{3}

1Cách 1. Hai phần ba trung tuyến

Định hướng. Gọi $M$ là trung điểm $B C$ .

A M = \frac{3 3}{2}

A G = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 3}{2} = 3

Vậy chọn A.

2Cách 2. Bán kính đường tròn ngoại tiếp

Định hướng. Tam giác đều: $G$ là tâm ngoại tiếp, $A G = R$ .

R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{3}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{3}{3} = 3

Vậy chọn A.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (\frac{3}{2}; \frac{3 3}{2})$ .

G (\frac{3}{2}; \frac{3}{2})

A G = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3

Vậy chọn A.

Nhận xét. Nhớ nhanh: tam giác đều cạnh $a$ có $A G = \frac{a}{3}$ ; với $a = 3$ ra $3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (hoặc nhớ

A G = \frac{a}{3}

): một phép tính.

Đáp số. A.

∣ A G ∣ = 3

Sai lầm thường gặp. Lấy

A G = A M = \frac{3 3}{2}

(chọn B) hoặc

A G = \frac{1}{3} A M

(chọn C) — trọng tâm cách đỉnh

\frac{2}{3}

trung tuyến, cách trung điểm cạnh đối

\frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Độ dài

∣ G A + GB ∣

bằng

∣ - GC ∣ = GC = 3

— dùng

G A + GB + GC = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.44★★Trang 67— Trắc nghiệm — độ dài tổng hai vectơ

Bài 4.44 (trang 67). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

và

A B = 3

A C = 4

. Độ dài của vectơ

C B + A B

bằng
A.

13

;
B.

213

;
C.

4

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

$C B = A B - A C$ .
$A B \cdot A C = 0$ khi $A B ⊥ A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ không nối đuôi nhau nên chưa cộng được ngay. Có thể dựng điểm

E

với

B E = A B

để nối đuôi, hoặc phân tích theo

A B

A C

(vuông góc) rồi bình phương vô hướng. Góc vuông tại

A

là chìa khoá.

1Cách 1. Bình phương vô hướng

Định hướng. Phân tích theo $A B$ , $A C$ .

C B + A B = 2 A B - A C

∣2 A B - A C ∣^{2} = 4 A B^{2} - 4 A B \cdot A C + A C^{2} = 36 - 0 + 16 = 52

∣ C B + A B ∣ = 52 = 213

Vậy chọn B.

2Cách 2. Dựng hình nối đuôi

Định hướng. Lấy $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$ , khi đó $B E = A B$ .

C B + A B = C B + B E = C E

Tam giác

A C E

vuông tại

A

A E = 6

A C = 4

C E = 36 + 16 = 213

Vậy chọn B.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (0; 4)$ .

C B = (3; - 4)

A B = (3; 0)

C B + A B = (6; - 4)

\Rightarrow

độ dài

36 + 16 = 213

Vậy chọn B.

Nhận xét. Tam giác vuông có sẵn hệ trục tự nhiên — với câu trắc nghiệm, gắn toạ độ thường nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: ba toạ độ nguyên, cộng và tính độ dài trong một dòng.

Đáp số. B.

213

Sai lầm thường gặp. Cộng độ dài:

C B + A B = 5 + 3 = 8

— không có trong phương án, nhưng cho thấy lỗi "độ dài của tổng bằng tổng độ dài". Hoặc viết

C B + A B = C A

(ghép sai quy tắc ba điểm) rồi chọn C.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tam giác vuông tại

A

có

A B = c

A C = b

thì

∣ C B + A B ∣ = 4 c^{2} + b^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.45★★Trang 67— Trắc nghiệm — độ dài hiệu hai vectơ

Bài 4.45 (trang 67). Cho tam giác

A B C

có

A B = 2

B C = 4

và

A B C = 6 0^{\circ}

. Độ dài của vectơ

A C - B A

bằng
A.

2

;
B.

19

;
C.

4

;
D.

\frac{19}{2}

Kiến thức cần nhớ

$- B A = A B$ .
$M$ là trung điểm $B C$ $\Rightarrow$ $A B + A C = 2 A M$ .
Định lí côsin.

🧠 Phân tích tư duy

A C - B A = A C + A B = 2 A M

với

M

là trung điểm

B C

. Dữ kiện

B M = 2 = A B

, góc

B = 6 0^{\circ}

cho tam giác

A B M

đều. Thực ra tam giác

A B C

vuông tại

A

(

A C^{2} = 12

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

1Cách 1. Trung tuyến

Định hướng. Đưa về $2 A M$ .

A C - B A = A C + A B = 2 A M

B M = 2 = B A

A B M = 6 0^{\circ}

\Rightarrow

tam giác

A B M

đều

\Rightarrow

A M = 2

∣ A C - B A ∣ = 2 A M = 4

Vậy chọn C.

2Cách 2. Bình phương vô hướng

Định hướng. Tính $A C$ và $A B \cdot A C$ .

A C^{2} = 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 cos 6 0^{\circ} = 12

A B \cdot A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2} = \frac{4 + 12 - 16}{2} = 0

∣ A B + A C ∣^{2} = 4 + 12 + 0 = 16

\Rightarrow

độ dài

4

Vậy chọn C.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $B (0; 0)$ , $C (4; 0)$ , $A (1; 3)$ .

A C = (3; - 3)

B A = (1; 3)

A C - B A = (2; - 23)

\Rightarrow

độ dài

4 + 12 = 4

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 2 phát hiện $A B \cdot A C = 0$ : tam giác vuông tại $A$ , nên $A M = \frac{B C}{2} = 2$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi dấu thành tổng, nhận ra trung tuyến và tam giác đều.

Đáp số. C. Độ dài bằng

4

Sai lầm thường gặp. Hiểu

A C - B A

theo quy tắc hiệu thành một vectơ nối hai điểm — quy tắc hiệu chỉ áp dụng cho hai vectơ CHUNG ĐIỂM ĐẦU; ở đây phải đổi

- B A = A B

trước.

🚀 Mở rộng. Cùng tam giác,

∣ A C + B A ∣ = ∣ B C ∣ = 4

— trùng đáp số, vì tam giác vuông tại

A

nên hai đường chéo của hình chữ nhật dựng trên

A B

A C

bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.46★★Trang 67— Trắc nghiệm — phân tích vectơ theo hai vectơ

Bài 4.46 (trang 67). Cho tam giác

A B C

và điểm

I

sao cho

I B + 2 I C = 0

. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?
A.

A I = 2 A C - A B

;
B.

A I = A B - 2 A C

;
C.

A I = \frac{A B - 2 A C}{- 3}

;
D.

A I = \frac{A B + 2 A C}{3}

Kiến thức cần nhớ

$I B = A B - A I$ .
$I$ thuộc đường thẳng $B C$ $\Leftrightarrow$ $A I = x A B + y A C$ với $x + y = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ thức

I B + 2 I C = 0

cho

I

nằm trên đoạn

B C

I B = 2 I C

. Chèn điểm

A

vào hai vectơ là cách máy móc và chắc chắn nhất. Hệ số của

A B

A C

phải dương, tổng bằng

1

(vì

I

thuộc

B C

) — loại ngay A, B, C.

1Cách 1. Chèn điểm

A

Định hướng. Viết mọi vectơ theo gốc $A$ .

(A B - A I) + 2 (A C - A I) = 0

3 A I = A B + 2 A C

A I = \frac{A B + 2 A C}{3}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Vị trí điểm

I

Định hướng. $I B = - 2 I C$ : $I$ nằm giữa $B$ , $C$ và $B I = \frac{2}{3} B C$ .

A I = A B + \frac{2}{3} B C = A B + \frac{2}{3} (A C - A B)

= \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ bằng tổng hệ số

Định hướng. $I$ thuộc $B C$ nên tổng hai hệ số phải bằng $1$ .

2 + (- 1) = 1

nhưng hệ số âm

\Rightarrow

I

nằm ngoài đoạn

B C

, lại cho

I B = - 2 B C \neq = - 2 I C

1 - 2 = - 1 \neq = 1

\Rightarrow

loại
C:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \neq = 1

\Rightarrow

loại
D:

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1

, hai hệ số dương

Vậy chọn D.

Nhận xét. Quy tắc nhanh: $m I B + n I C = 0$ ( $m + n \neq = 0$ ) thì $A I = \frac{m A B + n A C}{m + n}$ với mọi điểm $A$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng, không cần hình.

Đáp số. D.

A I = \frac{A B + 2 A C}{3}

Sai lầm thường gặp. Viết

I B = A I - A B

(sai chiều quy tắc hiệu) sẽ ra phương án C. Quy tắc:

I B = A B - A I

(điểm cuối trừ điểm đầu, cùng gốc

A

🚀 Mở rộng. Với

I B - 2 I C = 0

(điểm

I

ngoài đoạn

B C

) thì

A I = 2 A C - A B

— chính là phương án A.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.47★Trang 68— Trắc nghiệm — hệ thức vectơ của trọng tâm

Bài 4.47 (trang 68). Gọi

G

là trọng tâm của tam giác

A B C

và

M

là trung điểm cạnh

B C

. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?
A.

G A = 2 GM

;
B.

A B + A C = 3 A G

;
C.

A M = 3 M G

;
D.

3 G A = 2 A M

Kiến thức cần nhớ

$A G = \frac{2}{3} A M$ , $G A = - 2 GM$ .
$A B + A C = 2 A M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trên trung tuyến

A M

, ba điểm theo thứ tự

A

G

M

với

A G = 2 GM

. Mỗi phương án cần kiểm cả tỉ số độ dài lẫn hướng — các phương án A, C, D đều đúng độ dài nhưng sai hướng.

1Cách 1. Quy tắc trung điểm

Định hướng. Kiểm tra phương án B trực tiếp.

A B + A C = 2 A M = 2 \cdot \frac{3}{2} A G = 3 A G

Vậy B đúng, chọn B.

2Cách 2. Soát hướng từng phương án

Định hướng. Vẽ $A$ , $G$ , $M$ trên một đường thẳng, $A G = 2 GM$ .

G A

GM

ngược hướng

\Rightarrow

đúng là

G A = - 2 GM

A M

M G

ngược hướng

\Rightarrow

đúng là

A M = - 3 M G

G A

A M

ngược hướng

\Rightarrow

đúng là

3 G A = - 2 A M

Vậy chỉ còn B.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 3)$ , $B (- 1; 0)$ , $C (1; 0)$ : $M (0; 0)$ , $G (0; 1)$ .

A B + A C = (- 1; - 3) + (1; - 3) = (0; - 6)

3 A G = 3 (0; - 2) = (0; - 6)

G A = (0; 2)

2 GM = (0; - 2)

\Rightarrow

A sai

Vậy chọn B.

Nhận xét. Tổng quát: $M A + M B + M C = 3 M G$ với mọi điểm $M$ ; phương án B là trường hợp $M \equiv A$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai hệ thức quen thuộc nối lại là ra.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nhớ "

G A = 2 GM

" mà quên hướng: độ dài đúng nhưng

G A

và

GM

ngược nhau.

🚀 Mở rộng. Thử kiểm tra:

GB + GC = 2 GM = - G A

, tức lại được

G A + GB + GC = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.48★Trang 68— Trắc nghiệm — toạ độ trọng tâm

Bài 4.48 (trang 68). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (- 3; 1)

B (2; - 1)

C (4; 6)

. Trọng tâm

G

của tam giác

A B C

có toạ độ là
A.

(1; 2)

;
B.

(2; 1)

;
C.

(1; - 2)

;
D.

(- 2; 1)

Kiến thức cần nhớ

$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Áp dụng thẳng công thức trung bình cộng toạ độ ba đỉnh. Các phương án nhiễu đổi chỗ hoành – tung hoặc đổi dấu, nên cần cẩn thận thứ tự.

1Cách 1. Công thức trọng tâm

Định hướng. Cộng toạ độ rồi chia $3$ .

x_{G} = \frac{- 3 + 2 + 4}{3} = 1

y_{G} = \frac{1 - 1 + 6}{3} = 2

Vậy $G (1; 2)$ , chọn A.

2Cách 2. Qua trung điểm

Định hướng. $G$ nằm trên trung tuyến $A M$ với $A G = \frac{2}{3} A M$ .

M (3; \frac{5}{2})

A M = (6; \frac{3}{2})

A G = (4; 1)

\Rightarrow

G (- 3 + 4; 1 + 1) = (1; 2)

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử lại bằng hệ thức

Định hướng. Kiểm tra $G A + GB + GC = 0$ với $G (1; 2)$ .

(- 4; - 1) + (1; - 3) + (3; 4) = (0; 0)

Vậy $G (1; 2)$ , chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng ba hoành độ, ba tung độ rồi chia

3

— nhẩm được; Cách 3 để kiểm lại khi còn thời gian.

Đáp số. A.

G (1; 2)

Sai lầm thường gặp. Đổi chỗ hoành độ và tung độ (chọn B), hoặc sai dấu khi cộng

- 3 + 2 + 4

🚀 Mở rộng. Nếu biết

G

và hai đỉnh thì đỉnh thứ ba là

C = 3 G - A - B

(theo toạ độ) — xem Bài 4.49.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.49★Trang 68— Trắc nghiệm — tìm đỉnh khi biết trọng tâm

Bài 4.49 (trang 68). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (- 3; 3)

B (5; - 2)

và

G (2; 2)

. Toạ độ của điểm

C

sao cho

G

là trọng tâm tam giác

A B C

là
A.

(5; 4)

;
B.

(4; 5)

;
C.

(4; 3)

;
D.

(3; 5)

Kiến thức cần nhớ

$x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B}$ , $y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B}$ .
$I$ là trung điểm $A B$ $\Rightarrow$ $I C = 3 I G$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài toán ngược của công thức trọng tâm:

x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B}

. Cũng có thể dùng trung điểm

I

của

A B

C

nằm trên tia

I G

và

I C = 3 I G

1Cách 1. Công thức ngược

Định hướng. Giải từ công thức trọng tâm.

x_{C} = 3 \cdot 2 - (- 3) - 5 = 4

y_{C} = 3 \cdot 2 - 3 - (- 2) = 5

Vậy $C (4; 5)$ , chọn B.

2Cách 2. Trung điểm cạnh đối

Định hướng. $I C = 3 I G$ với $I$ là trung điểm $A B$ .

I (1; \frac{1}{2})

I G = (1; \frac{3}{2})

I C = (3; \frac{9}{2})

\Rightarrow

C (1 + 3; \frac{1}{2} + \frac{9}{2}) = (4; 5)

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử phương án

Định hướng. Tính trọng tâm với từng $C$ cho sẵn.

C (4; 5)

(\frac{- 3 + 5 + 4}{3}; \frac{3 - 2 + 5}{3}) = (2; 2)

— khớp

C (5; 4)

(2; \frac{5}{3})

— không khớp

Vậy chọn B.

Nhận xét. Phương án A là $C (5; 4)$ — đảo hoành, tung của đáp án đúng, lỗi hay gặp khi làm vội.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức

x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B}

cho đáp số ngay, không phải thử bốn phương án.

Đáp số. B.

C (4; 5)

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm

x_{C} = x_{G} - x_{A} - x_{B}

(quên nhân

3

) ra

C (0; 1)

, hoặc đổi chỗ hai toạ độ.

🚀 Mở rộng. Tìm

D

để

A B C D

là hình bình hành với

C (4; 5)

vừa tìm:

D = A + C - B = (- 4; 10)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.50★Trang 68— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong hình vuông

Bài 4.50 (trang 68). Cho hình vuông

A B C D

với độ dài cạnh bằng

a

. Tích vô hướng

A B \cdot A C

bằng:
A.

a^{2} 2

;
B.

\frac{a ^{2}}{2}

;
C.

a^{2}

;
D.

\frac{a ^{2}}{2}

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos (u, v)$ .
Hình chiếu: $A B \cdot A C = A B \cdot A C^{'}$ với $C^{'}$ là hình chiếu của $C$ lên $A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ đã chung gốc

A

, góc

B A C = 4 5^{\circ}

A C = a 2

. Cũng có thể dùng hình chiếu: chiếu

C

xuống

A B

được

B

1Cách 1. Định nghĩa

Định hướng. Dùng độ dài và góc.

A B \cdot A C = a \cdot a 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = a \cdot a 2 \cdot \frac{2}{2} = a^{2}

Vậy chọn C.

2Cách 2. Hình chiếu

Định hướng. Hình chiếu của $C$ lên đường thẳng $A B$ là $B$ .

A B \cdot A C = A B \cdot A B = a^{2}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Phân tích vectơ

Định hướng. $A C = A B + A D$ , $A B ⊥ A D$ .

A B \cdot A C = A B^{2} + A B \cdot A D = a^{2} + 0 = a^{2}

Vậy chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chiếu

C

xuống

A B

được

B

, tích vô hướng bằng

A B^{2} = a^{2}

— không cần nhớ góc hay độ dài đường chéo.

Đáp số. C.

a^{2}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

cos 4 5^{\circ}

(chọn A) hoặc lấy

A C = a

thay vì

a 2

(chọn B hoặc D).

🚀 Mở rộng. Tương tự

A C \cdot B D = 0

(hai đường chéo vuông góc) và

A C \cdot C A = - 2 a^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.51★★Trang 68— Trắc nghiệm — dấu bằng của tích vô hướng

Bài 4.51 (trang 68). Cho hai vectơ

a

b

cùng khác

0

. Khi đó

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣

tương đương với
A.

a

và

b

cùng phương;
B.

a

và

b

ngược hướng;
C.

a

và

b

cùng hướng;
D.

a ⊥ b

Kiến thức cần nhớ

$cos (a, b) = 1$ $\Leftrightarrow$ $(a, b) = 0^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $a$ , $b$ cùng hướng.

🧠 Phân tích tư duy

So với định nghĩa

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos (a, b)

, đẳng thức nghĩa là

cos = 1

, tức góc

0^{\circ}

. Bẫy: "cùng phương" rộng hơn — gồm cả ngược hướng (khi đó tích bằng

- ∣ a ∣∣ b ∣

1Cách 1. Định nghĩa

Định hướng. Chia hai vế cho $∣ a ∣∣ b ∣ > 0$ .

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣

\Leftrightarrow

cos (a, b) = 1

\Leftrightarrow

(a, b) = 0^{\circ}

Vậy $a$ , $b$ cùng hướng, chọn C.

2Cách 2. Phản ví dụ loại trừ

Định hướng. Thử vectơ cụ thể.

a = (1; 0)

b = (- 1; 0)

(cùng phương, ngược hướng):

a \cdot b = - 1 \neq = 1

\Rightarrow

loại A, B

a = (1; 0)

b = (0; 1)

a \cdot b = 0 \neq = 1

\Rightarrow

loại D

Vậy chọn C.

3Cách 3. Hình chiếu

Định hướng. $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot \overline{b^{'}}$ , $\overline{b^{'}}$ là độ dài đại số hình chiếu của $b$ lên giá $a$ (chiều dương theo $a$ ).

\overline{b^{'}} \leq ∣ b ∣

, dấu bằng khi hình chiếu trùng

b

và cùng chiều

a

tức

b

nằm trên giá của

a

và cùng hướng với

a

Vậy chọn C.

Nhận xét. Vì $∣ cos ∣ \leq 1$ nên luôn có $- ∣ a ∣∣ b ∣ \leq a \cdot b \leq ∣ a ∣∣ b ∣$ ; hai đầu mút ứng với ngược hướng và cùng hướng (xem Bài 4.52).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia hai vế cho

∣ a ∣∣ b ∣

được

cos = 1

, đọc ngay góc

0^{\circ}

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn A "cùng phương" — thiếu, vì cùng phương gồm cả ngược hướng, khi đó

a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣

🚀 Mở rộng. Hệ quả:

∣ a \cdot b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣

\Leftrightarrow

a

b

cùng phương — lúc này đáp án mới là "cùng phương".

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.52★★Trang 68— Trắc nghiệm — dấu bằng của tích vô hướng

Bài 4.52 (trang 68). Cho hai vectơ

a

b

cùng khác

0

. Khi đó

a \cdot b = - ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣

tương đương với
A.

a

và

b

cùng phương;
B.

a

và

b

ngược hướng;
C.

a

và

b

cùng hướng;
D.

a ⊥ b

Kiến thức cần nhớ

$cos (a, b) = - 1$ $\Leftrightarrow$ $(a, b) = 18 0^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ ngược hướng.

🧠 Phân tích tư duy

Đẳng thức nghĩa là

cos (a, b) = - 1

, góc

18 0^{\circ}

— hai vectơ ngược hướng. Đây là "cặp đôi" của Bài 4.51.

1Cách 1. Định nghĩa

Định hướng. Chia hai vế cho $∣ a ∣∣ b ∣ > 0$ .

a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣

\Leftrightarrow

cos (a, b) = - 1

\Leftrightarrow

(a, b) = 18 0^{\circ}

Vậy $a$ , $b$ ngược hướng, chọn B.

2Cách 2. Phản ví dụ loại trừ

Định hướng. Thử vectơ cụ thể.

a = b = (1; 0)

(cùng phương, cùng hướng):

a \cdot b = 1 \neq = - 1

\Rightarrow

loại A, C

a = (1; 0)

b = (0; 1)

a \cdot b = 0 \neq = - 1

\Rightarrow

loại D

Vậy chọn B.

3Cách 3. Đổi về Bài 4.51

Định hướng. Đặt $c = - b$ .

a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣

\Leftrightarrow

a \cdot c = ∣ a ∣∣ c ∣

\Leftrightarrow

a

c

cùng hướng

\Leftrightarrow

a

b

ngược hướng

Vậy chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đẳng thức tương đương

cos (a, b) = - 1

, tức góc

18 0^{\circ}

— ngược hướng.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A "cùng phương" — thiếu, vì cùng phương gồm cả cùng hướng, khi đó tích bằng

+ ∣ a ∣∣ b ∣

🚀 Mở rộng. Ứng dụng: nếu

a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣

với

∣ a ∣ = 2

∣ b ∣ = 3

thì

∣ a + b ∣ = ∣2 - 3∣ = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.53★★Trang 68— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong tam giác

Bài 4.53 (trang 68). Cho tam giác

A B C

có

A B = 1

B C = 2

và

A B C = 6 0^{\circ}

. Tích vô hướng

B C \cdot C A

bằng
A.

3

;
B.

- 3

;
C.

3

;
D.

- 3

Kiến thức cần nhớ

$(B C, C A) = 18 0^{\circ} - A C B$ .
$C B \cdot C A = \frac{C B ^{2} + C A ^{2} - A B ^{2}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

B C

và

C A

nối đuôi tại

C

nên góc giữa chúng là

18 0^{\circ} - C

— dấu âm. Tính

A C

bằng định lí côsin thì thấy

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

: tam giác vuông tại

A

C = 3 0^{\circ}

1Cách 1. Định nghĩa với góc

C

Định hướng. Tìm $A C$ và góc $C$ .

A C^{2} = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2 cos 6 0^{\circ} = 3

\Rightarrow

A C = 3

A B^{2} + A C^{2} = 4 = B C^{2}

\Rightarrow

A = 9 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

B C \cdot C A = 2 \cdot 3 \cdot cos 15 0^{\circ} = 23 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 3

Vậy chọn D.

2Cách 2. Công thức ba cạnh

Định hướng. $B C \cdot C A = - C B \cdot C A$ .

C B \cdot C A = \frac{C B ^{2} + C A ^{2} - A B ^{2}}{2} = \frac{4 + 3 - 1}{2} = 3

B C \cdot C A = - 3

Vậy chọn D.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $B (0; 0)$ , $C (2; 0)$ , $A (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

B C = (2; 0)

C A = (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})

B C \cdot C A = - 3 + 0 = - 3

Vậy chọn D.

Nhận xét. Vì góc $A$ vuông nên hình chiếu của $C B$ lên $C A$ là $C A$ : $C B \cdot C A = C A^{2} = 3$ — cách nhẩm nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: toạ độ đẹp, một phép nhân.

Đáp số. D.

- 3

Sai lầm thường gặp. Dùng góc

A C B = 3 0^{\circ}

làm góc giữa

B C

và

C A

(quên hai vectơ nối đuôi) ra

+ 3

— chọn C.

🚀 Mở rộng. Với cùng tam giác:

A B \cdot B C = - 1

và

C A \cdot A B = 0

; tổng ba tích bằng

- \frac{A B ^{2} + B C ^{2} + C A ^{2}}{2} = - 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 4.54★★Trang 69— Trắc nghiệm — điều kiện vuông góc có tham số

Bài 4.54 (trang 69). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (2; - 1)

B (- 1; 5)

và

C (3 m; 2 m - 1)

. Tất cả các giá trị của tham số

m

sao cho

A B ⊥ O C

là
A.

m = - 2

;
B.

m = 2

;
C.

m = \pm 2

;
D.

m = 3

Kiến thức cần nhớ

$A B ⊥ O C$ $\Leftrightarrow$ $A B \cdot O C = 0$ (hai vectơ khác $0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

A B ⊥ O C

\Leftrightarrow

A B \cdot O C = 0

— phương trình bậc nhất theo

m

nên chỉ có một nghiệm, loại ngay C. Cần lưu ý

O C \neq = 0

tại nghiệm tìm được.

1Cách 1. Tích vô hướng

Định hướng. Lập phương trình theo $m$ .

A B = (- 3; 6)

O C = (3 m; 2 m - 1)

- 9 m + 6 (2 m - 1) = 0

\Leftrightarrow

3 m - 6 = 0

\Leftrightarrow

m = 2

m = 2

O C = (6; 3) \neq = 0

Vậy chọn B.

2Cách 2. Vectơ chỉ phương vuông góc

Định hướng. Vectơ vuông góc với $A B = (- 3; 6)$ có dạng $k (2; 1)$ .

(3 m; 2 m - 1) = k (2; 1)

\Rightarrow

3 m = 2 (2 m - 1)

\Rightarrow

m = 2

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử phương án

Định hướng. Thay từng giá trị $m$ .

m = - 2

O C = (- 6; - 5)

A B \cdot O C = 18 - 30 = - 12

m = 2

O C = (6; 3)

A B \cdot O C = - 18 + 18 = 0

m = 3

O C = (9; 5)

A B \cdot O C = - 27 + 30 = 3

Vậy chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phương trình bậc nhất, hai dòng.

Đáp số. B.

m = 2

Sai lầm thường gặp. Viết

A B = (3; - 6)

vẫn đúng nghiệm (chỉ đổi dấu cả vectơ), nhưng khai triển sai

6 (2 m - 1) = 12 m - 1

sẽ ra

m = \frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

A

B

C

thẳng hàng:

A C = (3 m - 2; 2 m)

cùng phương

(- 3; 6)

\Leftrightarrow

6 (3 m - 2) + 6 m = 0

\Leftrightarrow

m = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 4.55★★★Trang 69— Trắc nghiệm — tích vô hướng, phân tích vectơ

Bài 4.55 (trang 69). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

với

A B = 1

A C = 2

. Lấy

M

N

P

tương ứng thuộc các cạnh

B C

C A

A B

sao cho

2 B M = M C

C N = 2 N A

A P = 2 P B

. Giá trị của tích vô hướng

A M \cdot N P

bằng
A.

\frac{2}{3}

;
B.

- \frac{1}{2}

;
C.

0

;
D.

1

Kiến thức cần nhớ

$M$ thuộc $B C$ , $B M = \frac{1}{3} B C$ $\Rightarrow$ $A M = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ .
$A B \cdot A C = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc vuông tại

A

gợi ý ngay hai lựa chọn: gắn toạ độ gốc

A

, hoặc phân tích theo

A B

A C

(tích vô hướng của chúng bằng

0

). Cần đọc đúng vị trí ba điểm:

B M = \frac{1}{3} B C

A N = \frac{1}{3} A C

A P = \frac{2}{3} A B

1Cách 1. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (1; 0)$ , $C (0; 2)$ .

M = B + \frac{1}{3} B C = (\frac{2}{3}; \frac{2}{3})

N (0; \frac{2}{3})

P (\frac{2}{3}; 0)

A M = (\frac{2}{3}; \frac{2}{3})

N P = (\frac{2}{3}; - \frac{2}{3})

A M \cdot N P = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0

Vậy chọn C.

2Cách 2. Phân tích theo

A B

A C

Định hướng. Biểu diễn hai vectơ rồi nhân.

A M = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C

N P = A P - A N = \frac{2}{3} A B - \frac{1}{3} A C

A M \cdot N P = \frac{4}{9} A B^{2} - \frac{1}{9} A C^{2} = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0

Vậy chọn C.

3Cách 3. Nhận xét hình học

Định hướng. Hai vectơ vừa tìm có dạng $(k; k)$ và $(k; - k)$ .

A M

cùng phương

(1; 1)

N P

cùng phương

(1; - 1)

(1; 1) \cdot (1; - 1) = 0

\Rightarrow

A M ⊥ N P

Thật vậy

A N = A P = \frac{2}{3}

: tam giác

A P N

vuông cân, và

A M

là phân giác góc

A

(

M

cách đều hai cạnh góc

A

)

Vậy $A M \cdot N P = 0$ , chọn C.

Nhận xét. Phân giác góc ở đỉnh của tam giác vuông cân $A P N$ vuông góc với cạnh đáy $N P$ — giải thích vì sao tích bằng $0$ mà không cần tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: toạ độ nhỏ, không phải nhớ công thức chia đoạn.

Đáp số. C.

0

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm

2 B M = M C

thành

B M = 2 M C

(ra

M (\frac{1}{3}; \frac{4}{3})

và tích bằng

- \frac{2}{3}

), hoặc lấy

N

gần

C

thay vì gần

A

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên các tỉ số nhưng cho

A B = c

A C = b

tuỳ ý:

A M \cdot N P = \frac{4 c ^{2} - b ^{2}}{9}

, bằng

0

đúng khi

b = 2 c

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 4.56★★★Trang 69— Trắc nghiệm — điều kiện vuông góc, tìm tỉ số

Bài 4.56 (trang 69). Cho tam giác

A B C

đều các cạnh có độ dài bằng

1

. Lấy

M

N

P

lần lượt thuộc các cạnh

B C

C A

A B

sao cho

B M = 2 M C

C N = 2 N A

và

A M ⊥ N P

. Tỉ số

\frac{A P}{A B}

bằng
A.

\frac{5}{12}

;
B.

\frac{7}{12}

;
C.

\frac{5}{7}

;
D.

\frac{7}{5}

Kiến thức cần nhớ

$B M = 2 M C$ $\Rightarrow$ $A M = \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ .
Tam giác đều cạnh $1$ : $A B \cdot A C = \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ẩn là vị trí

P

: đặt

A P = k A B

, cần tìm

k

. Điều kiện

A M ⊥ N P

thành

A M \cdot N P = 0

— phương trình bậc nhất theo

k

. Cơ sở

A B

A C

có

A B \cdot A C = \frac{1}{2}

. Phương án D lớn hơn

1

nên loại ngay (

P

thuộc cạnh

A B

1Cách 1. Phân tích theo

A B

A C

Định hướng. Đặt $A P = k A B$ .

A N = \frac{1}{3} A C

N P = k A B - \frac{1}{3} A C

A M \cdot N P = \frac{k}{3} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2 k}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{9} = \frac{2 k}{3} - \frac{5}{18}

\frac{2 k}{3} - \frac{5}{18} = 0

\Leftrightarrow

k = \frac{5}{12}

Vậy $\frac{A P}{A B} = \frac{5}{12}$ , chọn A.

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (1; 0)$ , $C (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ , $P (k; 0)$ .

M = B + \frac{2}{3} B C = (\frac{2}{3}; \frac{3}{3})

N = \frac{1}{3} C = (\frac{1}{6}; \frac{3}{6})

N P = (k - \frac{1}{6}; - \frac{3}{6})

\frac{2}{3} (k - \frac{1}{6}) - \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{6} = 0

\Leftrightarrow

\frac{2 k}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{6} = 0

\Leftrightarrow

k = \frac{5}{12}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử phương án

Định hướng. Chỉ A, B, C cho $P$ thuộc cạnh $A B$ ; thay vào biểu thức $\frac{2 k}{3} - \frac{5}{18}$ .

k = \frac{5}{12}

\frac{5}{18} - \frac{5}{18} = 0

k = \frac{7}{12}

\frac{7}{18} - \frac{5}{18} \neq = 0

;

k = \frac{5}{7}

\frac{10}{21} - \frac{5}{18} \neq = 0

Vậy chọn A.

Nhận xét. Phương án B ( $\frac{7}{12}$ ) là $\frac{P B}{A B}$ — đọc nhầm tỉ số sẽ rơi vào đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: toạ độ tam giác đều quen thuộc, phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp số. A.

\frac{A P}{A B} = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Viết

A M = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C

(đảo hệ số): điểm

M

với

B M = 2 M C

gần

C

nên hệ số của

A C

lớn hơn. Sai chỗ này ra

k = \frac{4}{15}

— không có trong phương án, dấu hiệu phải xem lại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với tam giác đều,

B M = 2 M C

C N = 2 N A

, điều kiện

A M ⊥ N P

luôn cho

A P = \frac{5}{12} A B

, không phụ thuộc độ dài cạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 4.57★★Trang 69— Trắc nghiệm — tích vô hướng qua hình chiếu

Bài 4.57 (trang 69). Cho tam giác

A B C

đều có độ dài các cạnh bằng

3 a

. Lấy điểm

M

thuộc cạnh

B C

sao cho

M B = 2 M C

. Tích vô hướng của hai vectơ

M A

và

M C

bằng
A.

\frac{a ^{2}}{2}

;
B.

- \frac{a ^{2}}{2}

;
C.

a^{2}

;
D.

- a^{2}

Kiến thức cần nhớ

$M A \cdot M C = M H \cdot M C$ với $H$ là hình chiếu của $A$ lên $B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

M C = a

M B = 2 a

. Hình chiếu của

A

lên

B C

là trung điểm

H

của

B C

, cách

B

một khoảng

1, 5 a

— tức

H

nằm giữa

B

và

M

. Vậy hình chiếu của

M A

lên

B C

là

M H

, ngược hướng

M C

: tích âm.

1Cách 1. Hình chiếu

Định hướng. $H$ là trung điểm $B C$ , $M H = 2 a - 1, 5 a = \frac{a}{2}$ .

M A \cdot M C = M H \cdot M C = - M H \cdot M C = - \frac{a}{2} \cdot a = - \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Phân tích vectơ

Định hướng. $M A = M C + C A$ .

M A \cdot M C = M C^{2} + C A \cdot M C

C A \cdot M C = - C A \cdot C M = - 3 a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ} = - \frac{3 a ^{2}}{2}

M A \cdot M C = a^{2} - \frac{3 a ^{2}}{2} = - \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $B (0; 0)$ , $C (3 a; 0)$ , $A (\frac{3 a}{2}; \frac{3 3 a}{2})$ , $M (2 a; 0)$ .

M A = (- \frac{a}{2}; \frac{3 3 a}{2})

M C = (a; 0)

M A \cdot M C = - \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra

H

nằm giữa

B

và

M

là có ngay kết quả.

Đáp số. B.

- \frac{a ^{2}}{2}

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì lấy

M H \cdot M C

mà quên dấu:

M H

hướng về

B

M C

hướng về

C

, ngược nhau nên tích âm.

🚀 Mở rộng. Nếu

M C = 2 M B

(tức

M

gần

B

) thì

H

nằm giữa

M

và

C

, khi đó

M A \cdot M C = M H \cdot M C = \frac{a}{2} \cdot 2 a = a^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 4.58★★★Trang 69— Trắc nghiệm — tập hợp điểm thoả đẳng thức độ dài vectơ

Bài 4.58 (trang 69). Cho tam giác

A B C

. Tập hợp các điểm

M

thoả mãn

∣ M C - M B ∣ = ∣ M C - A C ∣

là
A. đường tròn tâm

A

bán kính

B C

.
B. đường thẳng đi qua

A

và song song với

B C

.
C. đường tròn đường kính

B C

.
D. đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với

B C

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hiệu: $M C - M B = B C$ .
Tập hợp điểm $M$ với $M A = R$ ( $R > 0$ không đổi) là đường tròn tâm $A$ bán kính $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là hiệu hai vectơ chung gốc

M

nên rút gọn thành

B C

(không phụ thuộc

M

). Vế phải hai vectơ KHÔNG chung gốc:

M C - A C = M C + C A = M A

. Đẳng thức thành

M A = B C

— khoảng cách tới điểm cố định bằng hằng số.

1Cách 1. Rút gọn hai vế

Định hướng. Dùng quy tắc hiệu và quy tắc ba điểm.

M C - M B = B C

M C - A C = M C + C A = M A

Đẳng thức

\Leftrightarrow

M A = B C

Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $A$ bán kính $B C$ , chọn A.

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. Gọi $M (x; y)$ , $A (x_{A}; y_{A})$ .

∣ M C - M B ∣^{2} = B C^{2}

(hằng số)

M C - A C = (x_{C} - x - x_{C} + x_{A}; y_{C} - y - y_{C} + y_{A}) = (x_{A} - x; y_{A} - y)

Đẳng thức

\Leftrightarrow

(x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2} = B C^{2}

Vậy đường tròn tâm $A$ bán kính $B C$ , chọn A.

3Cách 3. Thử điểm đặc biệt

Định hướng. Dùng điểm cụ thể để loại các phương án sai.

M = A

: vế trái

B C > 0

, vế phải

0

\Rightarrow

A

không thuộc tập hợp

\Rightarrow

loại B, D (đều đi qua

A

)

M = B

: vế phải

∣ B C - A C ∣ = ∣ B A ∣ = A B

; nói chung

A B \neq = B C

\Rightarrow

B

không thuộc tập hợp

\Rightarrow

loại C

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng được cho trắc nghiệm; muốn chứng minh phải rút gọn như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng rút gọn là ra.

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Áp dụng quy tắc hiệu cho

M C - A C

như thể chung gốc, viết thành

A M

hoặc

C M

— quy tắc hiệu chỉ dùng cho hai vectơ CHUNG ĐIỂM ĐẦU; hai vectơ ở đây chung điểm CUỐI

C

🚀 Mở rộng. Tập hợp điểm

M

thoả

∣ M B + M C ∣ = B C

là đường tròn đường kính

B C

(vì vế trái bằng

2 M I

I

là trung điểm

B C

) — chính là phương án C.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 4.59★★★Trang 69— Vectơ bằng nhau, cùng hướng; trọng tâm chia đoạn

Bài 4.59 (trang 69). Cho hình bình hành

A B C D

tâm

O

. Gọi

M

N

theo thứ tự là trung điểm của

B C

A D

. Gọi

I

J

lần lượt là giao điểm của

B D

với

A M

C N

. Xét các vectơ khác

0

có đầu mút lấy từ các điểm

A

B

C

D

M

N

I

J

O

.
a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ

A B

; những vectơ cùng hướng với

A B

.
b) Chứng minh rằng

B I = I J = J D

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm cách đỉnh $\frac{2}{3}$ trung tuyến.
$O$ là trung điểm $B D$ và $A C$ .
Đường trung bình của tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a: tìm các cặp điểm trên những đường thẳng song song với

A B

— có ba đường:

A B

N M

(qua

O

D C

. Ý b:

A M

và

B O

là hai trung tuyến của tam giác

A B C

nên

I

là trọng tâm; tương tự

J

là trọng tâm tam giác

A C D

— tỉ số

\frac{2}{3}

của trọng tâm cho ngay kết quả.

1Cách 1. Trọng tâm

Định hướng. Ý a duyệt các đường song song với $A B$ ; ý b dùng trọng tâm.

N M ∥ A B

N M = A B

O

là trung điểm

N M

(vì

A B M N

và

N M C D

là hình bình hành)
Bằng

A B

A B

N M

D C

Cùng hướng với

A B

A B

N M

D C

N O

O M

b) Tam giác

A B C

A M

B O

là hai trung tuyến

\Rightarrow

I

là trọng tâm

\Rightarrow

B I = \frac{2}{3} B O = \frac{1}{3} B D

Tam giác

A C D

C N

D O

là hai trung tuyến

\Rightarrow

J

là trọng tâm

\Rightarrow

D J = \frac{2}{3} D O = \frac{1}{3} B D

I J = B D - B I - D J = \frac{1}{3} B D

Vậy $B I = I J = J D = \frac{1}{3} B D$ .

2Cách 2. Đường trung bình

Định hướng. $A M C N$ là hình bình hành ( $A N ∥ M C$ , $A N = M C$ ) nên $A M ∥ C N$ .

Tam giác

B C J

M

là trung điểm

B C

M I ∥ C J

\Rightarrow

I

là trung điểm

B J

\Rightarrow

B I = I J

Tam giác

D A I

N

là trung điểm

A D

N J ∥ A I

\Rightarrow

J

là trung điểm

D I

\Rightarrow

I J = J D

Vậy $B I = I J = J D$ .

3Cách 3. Vectơ — hai cách biểu diễn

B I

Định hướng. Đặt $B I = t B D$ , dùng điều kiện $A$ , $I$ , $M$ thẳng hàng.

B I = t B D = t (B A + B C)

B I = x B A + (1 - x) B M = x B A + \frac{1 - x}{2} B C

(

I

thuộc

A M

)

t = x

t = \frac{1 - x}{2}

\Rightarrow

t = \frac{1}{3}

\Rightarrow

B I = \frac{1}{3} B D

tương tự (đối xứng tâm

O

)

D J = \frac{1}{3} B D

\Rightarrow

I J = \frac{1}{3} B D

Vậy $B I = I J = J D$ .

Nhận xét. Hai đường $A M$ , $C N$ chia đường chéo $B D$ thành ba phần bằng nhau — kết quả hay dùng trong các bài chia đoạn thẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra hai trọng tâm là xong ý b trong ba dòng.

Đáp số. a) Bằng

A B

A B

N M

D C

. Cùng hướng với

A B

A B

N M

D C

N O

O M

. b)

B I = I J = J D = \frac{1}{3} B D

Sai lầm thường gặp. Ở ý a quên

N O

O M

(cùng hướng nhưng chỉ dài bằng nửa

A B

) hoặc liệt kê cả

C D

M N

(ngược hướng).

🚀 Mở rộng. Đường thẳng qua

A

và trung điểm

K

của

C D

cắt

B D

tại điểm chia

B D

theo tỉ số nào? (Đáp số: tại

J

— vì

J

cũng là trọng tâm tam giác

A C D

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 4.60★★Trang 70— Trọng tâm tam giác — phân tích vectơ

Bài 4.60 (trang 70). Trên cạnh

B C

của tam giác

A B C

lấy các điểm

M

N

không trùng với

B

và

C

sao cho

B M = M N = N C

.
a) Chứng minh rằng hai tam giác

A B C

và

A M N

có cùng trọng tâm.
b) Gọi

G

là trọng tâm của tam giác

A B C

. Đặt

GB = u

và

GC = v

. Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ

u

và

v

G A

GM

GN

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ $\Leftrightarrow$ $G A + GB + GC = 0$ .
$Q$ là trung điểm $B C$ $\Rightarrow$ $GB + GC = 2 GQ$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

N

đối xứng nhau qua trung điểm

Q

của

B C

, nên

GM + GN = GB + GC

. Từ đó

G A + GM + GN = 0

, tức

G

cũng là trọng tâm tam giác

A M N

. Ý b dùng

G A + GB + GC = 0

và

B M = \frac{1}{3} B C

1Cách 1. Hệ thức trọng tâm

Định hướng. Chứng minh $G A + GM + GN = 0$ .

B M = \frac{1}{3} B C

C N = \frac{1}{3} C B

\Rightarrow

B M + C N = 0

GM + GN = GB + B M + GC + C N = GB + GC

G A + GM + GN = G A + GB + GC = 0

\Rightarrow

G

là trọng tâm tam giác

A M N

G A = - GB - GC = - u - v

GM = GB + \frac{1}{3} B C = u + \frac{1}{3} (v - u) = \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} v

GN = GC + \frac{1}{3} C B = v + \frac{1}{3} (u - v) = \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v

Vậy a) hai tam giác cùng trọng tâm $G$ ; b) $G A = - u - v$ , $GM = \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} v$ , $GN = \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v$ .

2Cách 2. Chung trung tuyến

Định hướng. Gọi $Q$ là trung điểm $B C$ ; $Q$ cũng là trung điểm $M N$ .

QM = QB - B M = \frac{1}{2} B C - \frac{1}{3} B C = \frac{1}{6} B C = QN

\Rightarrow

Q

là trung điểm

M N

Trọng tâm tam giác

A B C

là điểm

G

trên

A Q

với

A G = \frac{2}{3} A Q

Trọng tâm tam giác

A M N

là điểm trên trung tuyến

A Q

với cùng tỉ số

\frac{2}{3}

\Rightarrow

trùng

G

Vậy hai tam giác có cùng trọng tâm.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x_{3}; y_{3})$ .

M = \frac{2 B + C}{3}

N = \frac{B + 2 C}{3}

(theo toạ độ)

\frac{A + M + N}{3} = \frac{A + \frac{3 B + 3 C}{3}}{3} = \frac{A + B + C}{3}

b) kiểm tra:

GM = \frac{2 GB + GC}{3} = \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} v

Vậy cùng trọng tâm; các biểu thức ở ý b như Cách 1.

Nhận xét. Tổng quát: chia $B C$ thành $n$ phần bằng nhau, mọi tam giác $A M_{k} M_{n - k}$ (hai điểm đối xứng qua trung điểm $B C$ ) đều có cùng trọng tâm với tam giác $A B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một hệ thức vectơ giải quyết cả hai ý.

Đáp số. a)

G A + GM + GN = 0

nên

G

cũng là trọng tâm tam giác

A M N

. b)

G A = - u - v

;

GM = \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} v

;

GN = \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v

Sai lầm thường gặp. Viết

GM = \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v

(đảo hệ số):

M

gần

B

hơn nên hệ số của

u = GB

phải lớn hơn.

🚀 Mở rộng. Với

M

N

bất kì trên

B C

thoả

B M = C N

(không nhất thiết chia ba) thì tam giác

A M N

vẫn có cùng trọng tâm với tam giác

A B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 4.61★★★Trang 70— Tích vô hướng — điều kiện vuông góc có tham số

Bài 4.61 (trang 70). Cho tam giác

A B C

có

A B = 4

A C = 5

và

C A B = 6 0^{\circ}

.
a) Tính tích vô hướng

A B \cdot A C

A B \cdot B C

.
b) Lấy các điểm

M

N

thoả mãn

2 A M + 3 M C = 0

và

N B + x N C = 0

(

x \neq = - 1

). Xác định

x

sao cho

A N

vuông góc với

B M

Kiến thức cần nhớ

$A B \cdot A C = A B \cdot A C cos A$ .
$N B + x N C = 0$ $\Rightarrow$ $A N = \frac{A B + x A C}{1 + x}$ .
$A N ⊥ B M$ $\Leftrightarrow$ $A N \cdot B M = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cơ sở

A B

A C

đã biết độ dài và tích vô hướng (

10

), nên mọi vectơ khác đều phân tích theo chúng. Từ hệ thức của

M

rút ra

A M = 3 A C

(

M

nằm ngoài đoạn

A C

); từ hệ thức của

N

rút ra

A N

theo

x

. Điều kiện

A N \cdot B M = 0

là phương trình bậc nhất theo

x

1Cách 1. Phân tích theo

A B

A C

Định hướng. Tính các tích cơ sở rồi lập phương trình.

A B \cdot A C = 4 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 10

A B \cdot B C = A B \cdot (A C - A B) = 10 - 16 = - 6

2 A M + 3 (A C - A M) = 0

\Rightarrow

A M = 3 A C

\Rightarrow

B M = 3 A C - A B

(A B - A N) + x (A C - A N) = 0

\Rightarrow

A N = \frac{A B + x A C}{1 + x}

(A B + x A C) \cdot (3 A C - A B) = 3 \cdot 10 - 16 + x (3 \cdot 25 - 10) = 14 + 65 x

A N ⊥ B M

\Leftrightarrow

14 + 65 x = 0

\Leftrightarrow

x = - \frac{14}{65}

Vậy a) $A B \cdot A C = 10$ , $A B \cdot B C = - 6$ ; b) $x = - \frac{14}{65}$ .

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (\frac{5}{2}; \frac{5 3}{2})$ .

A B \cdot A C = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10

;

B C = (- \frac{3}{2}; \frac{5 3}{2})

A B \cdot B C = - 6

M = 3 C = (\frac{15}{2}; \frac{15 3}{2})

B M = (\frac{7}{2}; \frac{15 3}{2})

A N

cùng phương

B + x C = (4 + \frac{5 x}{2}; \frac{5 3 x}{2})

\frac{7}{2} (4 + \frac{5 x}{2}) + \frac{15 3}{2} \cdot \frac{5 3 x}{2} = 14 + \frac{35 x}{4} + \frac{225 x}{4} = 14 + 65 x = 0

\Leftrightarrow

x = - \frac{14}{65}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Định lí côsin và tham số hoá

N

trên

B C

Định hướng. Ý a qua ba cạnh; ý b đặt $A N = (1 - s) A B + s A C$ rồi đổi $s$ về $x$ .

B C^{2} = 16 + 25 - 20 = 21

;

A B \cdot B C = - B A \cdot B C = - \frac{B A ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2} = - \frac{16 + 21 - 25}{2} = - 6

A N \cdot B M = 14 (1 - s) + 65 s = 14 + 51 s = 0

\Rightarrow

s = - \frac{14}{51}

s = \frac{x}{1 + x}

\Rightarrow

51 x = - 14 (1 + x)

\Rightarrow

x = - \frac{14}{65}

Vậy $x = - \frac{14}{65}$ .

Nhận xét. $s < 0$ nghĩa là $N$ nằm trên đường thẳng $B C$ , ngoài đoạn $B C$ , về phía $B$ ; $x < 0$ khớp với việc $N B$ , $N C$ cùng hướng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: không phải khai căn, chỉ ba tích cơ sở

16

25

10

Đáp số. a)

A B \cdot A C = 10

;

A B \cdot B C = - 6

. b)

x = - \frac{14}{65}

Sai lầm thường gặp. Từ

2 A M + 3 M C = 0

nhiều bạn kết luận ngay "

M

chia

A C

theo tỉ số

3 : 2

" và lấy

A M = \frac{3}{5} A C

— sai, vì hệ thức có

A M

và

M C

(không phải

M A

M C

); phải chèn điểm để tính:

A M = 3 A C

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành

2 M A + 3 M C = 0

thì

A M = \frac{3}{5} A C

và điều kiện

A N ⊥ B M

trở thành

- 10 + 5 x = 0

, tức

x = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 4.62★★★Trang 70— Phân tích vectơ — điều kiện ba điểm thẳng hàng

Bài 4.62 (trang 70). Cho hình bình hành

A B C D

. Gọi

M

N

theo thứ tự là trung điểm các cạnh

A B

C D

. Lấy

P

thuộc đoạn

D M

và

Q

thuộc đoạn

B N

sao cho

D P = 2 P M

B Q = x QN

. Đặt

A B = u

và

A D = v

.
a) Hãy biểu thị các vectơ

A P

A Q

qua hai vectơ

u

và

v

.
b) Tìm

x

để

A

P

Q

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$P$ thuộc đoạn $D M$ , $D P = 2 P M$ $\Rightarrow$ $A P = \frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} A M$ .
$B Q = x QN$ $\Rightarrow$ $A Q = \frac{A B + x A N}{1 + x}$ .
$A$ , $P$ , $Q$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $A Q = k A P$ .

🧠 Phân tích tư duy

P

Q

là điểm chia đoạn thẳng nên

A P

A Q

là tổ hợp có trọng số của các vectơ đến hai đầu mút. Ba điểm

A

P

Q

thẳng hàng khi

A Q

cùng phương

A P = \frac{1}{3} (u + v)

— tức hai hệ số của

A Q

bằng nhau. Nhìn hình:

P

là trọng tâm tam giác

A B D

, nằm trên

A C

1Cách 1. Phân tích vectơ

Định hướng. Tính $A P$ , $A Q$ rồi so hệ số.

A M = \frac{1}{2} u

A N = A D + D N = v + \frac{1}{2} u

A P = \frac{1}{3} v + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} u = \frac{1}{3} u + \frac{1}{3} v

A Q = \frac{u + x ( \frac{1}{2} u + v )}{1 + x} = \frac{2 + x}{2 ( 1 + x )} u + \frac{x}{1 + x} v

A Q

cùng phương

u + v

\Leftrightarrow

\frac{2 + x}{2 ( 1 + x )} = \frac{x}{1 + x}

\Leftrightarrow

2 + x = 2 x

\Leftrightarrow

x = 2

Vậy a) $A P = \frac{1}{3} u + \frac{1}{3} v$ , $A Q = \frac{2 + x}{2 ( 1 + x )} u + \frac{x}{1 + x} v$ ; b) $x = 2$ .

2Cách 2. Trọng tâm

Định hướng. $P$ và $Q$ đều là trọng tâm của các tam giác "nửa hình bình hành".

Tam giác

A B D

D M

là trung tuyến,

D P = \frac{2}{3} D M

\Rightarrow

P

là trọng tâm

\Rightarrow

P

thuộc trung tuyến

A O

, tức thuộc

A C

A

P

Q

thẳng hàng

\Leftrightarrow

Q

thuộc

A C

\Leftrightarrow

Q = A C \cap B N

Tam giác

B C D

B N

C O

là hai trung tuyến

\Rightarrow

Q

là trọng tâm

\Rightarrow

B Q = 2 QN

Vậy $x = 2$ .

3Cách 3. Toạ độ theo cơ sở

u

v

Định hướng. Hệ toạ độ xiên: $A (0; 0)$ , $B (1; 0)$ , $D (0; 1)$ , $C (1; 1)$ .

M (\frac{1}{2}; 0)

N (\frac{1}{2}; 1)

P = D + \frac{2}{3} D M = (\frac{1}{3}; \frac{1}{3})

Q = \frac{B + x N}{1 + x} = \frac{1 + \frac{x}{2}}{1 + x}; \frac{x}{1 + x}

A

P

Q

thẳng hàng

\Leftrightarrow

Q

thuộc đường

y = x

(qua

A

P

)

\Leftrightarrow

1 + \frac{x}{2} = x

\Leftrightarrow

x = 2

Vậy $x = 2$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy $A C$ bị hai trọng tâm $P$ , $Q$ chia thành ba đoạn bằng nhau — cùng hình ảnh với Bài 4.59.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a (đề yêu cầu biểu thức), ý b nếu nhận ra trọng tâm thì Cách 2 nhanh nhất.

Đáp số. a)

A P = \frac{1}{3} u + \frac{1}{3} v

;

A Q = \frac{x + 2}{2 ( x + 1 )} u + \frac{x}{x + 1} v

. b)

x = 2

Sai lầm thường gặp. Viết

A Q = \frac{x A B + A N}{1 + x}

(đảo trọng số): điểm

Q

với

B Q = x QN

gần

N

khi

x

lớn, nên hệ số

x

đi với

A N

🚀 Mở rộng. Với

x = 2

, chứng minh thêm

A P = P Q = QC

(hai trọng tâm chia ba đường chéo

A C

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 4.63★★★Trang 70— Chứng minh song song bằng vectơ — trọng tâm hai tam giác

Bài 4.63 (trang 70). Cho tam giác

A B C

với trọng tâm

G

. Lấy điểm

A^{'}

B^{'}

sao cho

A A^{'} = 2 B C

B B^{'} = 2 C A

. Gọi

G^{'}

là trọng tâm của tam giác

A^{'} B^{'} C

. Chứng minh rằng

G G^{'}

song song với

A B

Kiến thức cần nhớ

$G$ , $G^{'}$ là trọng tâm tam giác $A B C$ , $A^{'} B^{'} C^{'}$ $\Rightarrow$ $3 G G^{'} = A A^{'} + B B^{'} + C C^{'}$ .
$M N = k A B$ ( $k \neq = 0$ ) và $M$ không thuộc $A B$ $\Rightarrow$ $M N ∥ A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai trọng tâm liên hệ qua công thức

3 G G^{'} = A A^{'} + B B^{'} + C C^{'}

(ở đây

C^{'} \equiv C

). Thay giả thiết vào được

G G^{'}

là bội của

B A

. Để kết luận "song song" (không trùng) còn cần

G

không nằm trên đường thẳng

A B

1Cách 1. Công thức hai trọng tâm

Định hướng. Chứng minh công thức rồi áp dụng.

A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = (A G + G G^{'} + G^{'} A^{'}) + (B G + G G^{'} + G^{'} B^{'}) + (C G + G G^{'} + G^{'} C^{'}) = 3 G G^{'}

Với

C^{'} \equiv C

3 G G^{'} = 2 B C + 2 C A + 0 = 2 B A

G G^{'} = \frac{2}{3} B A

G

nằm trong tam giác nên không thuộc đường thẳng

A B

Vậy $G G^{'} ∥ A B$ .

2Cách 2. Chèn điểm

G

Định hướng. Tính $G A^{'} + G B^{'} + GC$ , tổng này bằng $3 G G^{'}$ .

G A^{'} = G A + 2 B C

G B^{'} = GB + 2 C A

3 G G^{'} = G A^{'} + G B^{'} + GC = (G A + GB + GC) + 2 (B C + C A) = 0 + 2 B A

G G^{'} = \frac{2}{3} B A

Vậy $G G^{'} ∥ A B$ (vì $G$ không thuộc $A B$ ).

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x_{3}; y_{3})$ .

A^{'} = A + 2 (C - B)

B^{'} = B + 2 (A - C)

(theo toạ độ)

G^{'} = \frac{A ^{'} + B ^{'} + C}{3} = \frac{3 A - B + C}{3}

G = \frac{A + B + C}{3}

G G^{'} = \frac{2 A - 2 B}{3} = \frac{2}{3} B A

Vậy $G G^{'} ∥ A B$ .

Nhận xét. Còn biết thêm $G G^{'} = \frac{2}{3} A B$ và $G G^{'}$ ngược hướng $A B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tận dụng ngay

G A + GB + GC = 0

, ba dòng.

Đáp số.

G G^{'} = \frac{2}{3} B A

, và

G

không thuộc đường thẳng

A B

, nên

G G^{'} ∥ A B

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

G G^{'}

cùng phương

A B

rồi kết luận song song — còn thiếu ý "

G

không nằm trên

A B

" (nếu nằm trên thì hai đường thẳng trùng nhau).

🚀 Mở rộng. Nếu lấy thêm

C^{'}

với

C C^{'} = 2 A B

thì trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

trùng

G

(vì tổng ba vectơ dịch chuyển bằng

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 4.64★★★Trang 70— Chứng minh hình bình hành, thẳng hàng bằng vectơ

Bài 4.64 (trang 70). Cho tứ giác lồi

A B C D

không có hai cạnh nào song song. Gọi

E

F

theo thứ tự là trung điểm

A B

C D

. Gọi

K

L

M

N

lần lượt là trung điểm của

A F

C E

B F

D E

.
a) Chứng minh rằng tứ giác

K L M N

là một hình bình hành.
b) Gọi

I

là giao điểm của

K M

L N

. Chứng minh rằng

E

I

F

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$I$ là trung điểm $P Q$ $\Leftrightarrow$ $O I = \frac{1}{2} (O P + O Q)$ với mọi $O$ .
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Đường trung bình của tam giác cắt trung tuyến tại trung điểm của trung tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Tứ giác là hình bình hành khi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Trung điểm

K M

và trung điểm

L N

tính được bằng trung bình toạ độ — cả hai đều ra trung điểm

E F

, giải quyết luôn ý b. Giả thiết "không có hai cạnh song song" đảm bảo

K M ∥ A B

và

L N ∥ C D

không cùng phương, tức hình bình hành không suy biến.

1Cách 1. Vectơ với gốc

O

tuỳ ý

Định hướng. Kí hiệu $a = O A$ , … và tính vectơ tới trung điểm các đường chéo.

e = \frac{a + b}{2}

f = \frac{c + d}{2}

Trung điểm

K M

\frac{1}{2} (\frac{a + f}{2} + \frac{b + f}{2}) = \frac{a + b + 2 f}{4} = \frac{e + f}{2}

Trung điểm

L N

\frac{1}{2} (\frac{c + e}{2} + \frac{d + e}{2}) = \frac{c + d + 2 e}{4} = \frac{e + f}{2}

K M

L N

có chung trung điểm là trung điểm của

E F

;

K M ∥ A B

L N ∥ C D

không cùng phương

Vậy a) $K L M N$ là hình bình hành; b) $I$ là trung điểm $E F$ nên $E$ , $I$ , $F$ thẳng hàng.

2Cách 2. Đường trung bình

Định hướng. Xét hai tam giác $A B F$ và $C D E$ .

Tam giác

A B F

K

M

là trung điểm

F A

F B

\Rightarrow

K M

là đường trung bình,

K M ∥ A B

K M

cắt trung tuyến

F E

tại trung điểm

I_{1}

của

F E

và

I_{1}

là trung điểm

K M

Tam giác

C D E

L

N

là trung điểm

E C

E D

\Rightarrow

L N ∥ C D

L N

cắt

E F

tại trung điểm

I_{1}

của

E F

I_{1}

là trung điểm

L N

K M

L N

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (

I \equiv I_{1}

)

Vậy $K L M N$ là hình bình hành và $I$ là trung điểm $E F$ nên $E$ , $I$ , $F$ thẳng hàng.

3Cách 3. Chứng minh

K L = N M

Định hướng. So sánh trực tiếp hai cạnh đối.

K L = \frac{c + e - a - f}{2} = \frac{c - a}{2} + \frac{a + b - c - d}{4} = \frac{b + c - a - d}{4}

N M = \frac{b + f - d - e}{2} = \frac{b - d}{2} + \frac{c + d - a - b}{4} = \frac{b + c - a - d}{4}

K L = N M

, bốn điểm không thẳng hàng

\Rightarrow

K L M N

là hình bình hành
b)

E I = \frac{E K + E M}{2} = \frac{E A + E B + 2 E F}{4} = \frac{1}{2} E F

Vậy $K L M N$ là hình bình hành và $E I = \frac{1}{2} E F$ , nên $E$ , $I$ , $F$ thẳng hàng.

Nhận xét. Điểm $I$ (trung điểm $E F$ ) chính là trọng tâm của hệ bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : $I A + I B + I C + I D = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai đường trung bình, không tính toán, cho cả hai ý cùng lúc.

Đáp số. a)

K M

và

L N

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên

K L M N

là hình bình hành. b) Giao điểm

I

là trung điểm của

E F

, do đó

E

I

F

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

K L = N M

rồi kết luận ngay hình bình hành mà quên kiểm tra bốn điểm không thẳng hàng — ở đây giả thiết "không có hai cạnh nào song song" dùng đúng vào chỗ đó.

🚀 Mở rộng. Hệ quả: đoạn nối trung điểm hai đường chéo

A C

B D

cũng nhận

I

làm trung điểm, vì

I

là trọng tâm của bốn điểm

A

B

C

D

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 4.65★★★Trang 70— Phân tích vectơ — thẳng hàng, độ dài

Bài 4.65 (trang 70). Cho hình thang vuông

A B C D

có

D A B = A B C = 9 0^{\circ}

B C = 1

A B = 2

và

A D = 3

. Gọi

M

là trung điểm của

A B

.
a) Hãy biểu thị các vectơ

C M

C D

theo hai vectơ

A B

và

A D

.
b) Gọi

N

là trung điểm của

C D

G

là trọng tâm tam giác

M C D

, và

I

là điểm thuộc cạnh

C D

sao cho

9 I C = 5 I D

. Chứng minh rằng

A

G

I

thẳng hàng.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng

A I

và

B I

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $M C D$ $\Rightarrow$ $A G = \frac{1}{3} (A M + A C + A D)$ .
$I$ thuộc $C D$ , $9 I C = 5 I D$ $\Rightarrow$ $C I = \frac{5}{14} C D$ .
$A B \cdot A D = 0$ , $A B^{2} = 4$ , $A D^{2} = 9$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc vuông tại

A

B

cho cơ sở vuông góc

A B

A D

và

B C = \frac{1}{3} A D

(vì

B C ∥ A D

B C = 1

A D = 3

). Ý b: biểu thị

A G

A I

theo cơ sở, chứng minh tỉ lệ. Ý c: bình phương vô hướng, dùng

A B \cdot A D = 0

— hoặc gắn toạ độ luôn từ đầu.

1Cách 1. Phân tích theo

A B

A D

Định hướng. Mọi vectơ quy về cơ sở vuông góc.

C M = C B + B M = - \frac{1}{3} A D - \frac{1}{2} A B

C D = A D - A C = A D - A B - \frac{1}{3} A D = - A B + \frac{2}{3} A D

A G = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} A B + A B + \frac{1}{3} A D + A D) = \frac{1}{2} A B + \frac{4}{9} A D

A I = A C + \frac{5}{14} C D = A B + \frac{1}{3} A D - \frac{5}{14} A B + \frac{5}{21} A D = \frac{9}{14} A B + \frac{4}{7} A D

A I = \frac{9}{7} A G

\Rightarrow

A

G

I

thẳng hàng
c)

A I^{2} = \frac{81}{196} \cdot 4 + \frac{16}{49} \cdot 9 = \frac{81 + 144}{49} = \frac{225}{49}

\Rightarrow

A I = \frac{15}{7}

B I = A I - A B = - \frac{5}{14} A B + \frac{4}{7} A D

B I^{2} = \frac{25}{196} \cdot 4 + \frac{16}{49} \cdot 9 = \frac{169}{49}

\Rightarrow

B I = \frac{13}{7}

Vậy a) $C M = - \frac{1}{2} A B - \frac{1}{3} A D$ , $C D = - A B + \frac{2}{3} A D$ ; b) $A I = \frac{9}{7} A G$ ; c) $A I = \frac{15}{7}$ , $B I = \frac{13}{7}$ .

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (2; 0)$ , $D (0; 3)$ , $C (2; 1)$ , $M (1; 0)$ .

C M = (- 1; - 1)

; với

A B = (2; 0)

A D = (0; 3)

(- 1; - 1) = - \frac{1}{2} (2; 0) - \frac{1}{3} (0; 3)

C D = (- 2; 2) = - (2; 0) + \frac{2}{3} (0; 3)

G (1; \frac{4}{3})

I = C + \frac{5}{14} C D = (\frac{9}{7}; \frac{12}{7})

A G = (1; \frac{4}{3})

A I = (\frac{9}{7}; \frac{12}{7}) = \frac{9}{7} A G

\Rightarrow

thẳng hàng
c)

A I = \frac{81 + 144}{7} = \frac{15}{7}

B I = (- \frac{5}{7}; \frac{12}{7})

B I = \frac{25 + 144}{7} = \frac{13}{7}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Tìm giao điểm của

A G

với

C D

Định hướng. Chứng minh đường thẳng $A G$ cắt $C D$ đúng tại điểm chia $C D$ theo tỉ số $5 : 9$ .

Điểm thuộc

A G

A X = t (\frac{1}{2} A B + \frac{4}{9} A D)

; điểm thuộc

C D

A X = (1 - s) A B + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} s) A D

\frac{t}{2} = 1 - s

\frac{4 t}{9} = \frac{1}{3} + \frac{2 s}{3}

\Rightarrow

t = \frac{9}{7}

s = \frac{5}{14}

Giao điểm

X

có

C X = \frac{5}{14} C D

\Rightarrow

\frac{X C}{X D} = \frac{5}{9}

\Rightarrow

X \equiv I

Vậy $I$ nằm trên đường thẳng $A G$ , tức $A$ , $G$ , $I$ thẳng hàng.

Nhận xét. Cách 3 giải thích con số lạ $9 I C = 5 I D$ : đó chính là tỉ số mà đường thẳng $A G$ chia cạnh $C D$ . Hai độ dài $A I$ , $B I$ đều hữu tỉ vì $(9; 12; 15)$ và $(5; 12; 13)$ là các bộ ba Pythagore.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hình thang vuông có sẵn hệ trục, cả ba ý đều là phép tính toạ độ nhẹ; nhưng ý a vẫn phải viết dạng vectơ theo yêu cầu.

Đáp số. a)

C M = - \frac{1}{2} A B - \frac{1}{3} A D

;

C D = - A B + \frac{2}{3} A D

. b)

A I = \frac{9}{7} A G

nên

A

G

I

thẳng hàng. c)

A I = \frac{15}{7}

;

B I = \frac{13}{7}

Sai lầm thường gặp. Viết

B C = A D

(quên

B C = 1

còn

A D = 3

): hình thang không phải hình bình hành, đúng là

B C = \frac{1}{3} A D

. Ở ý b hay lấy nhầm

C I = \frac{5}{9} C D

— tỉ số

9 I C = 5 I D

cho

I C : I D = 5 : 9

nên

C I = \frac{5}{14} C D

🚀 Mở rộng. Điểm

N

(trung điểm

C D

) không cần cho lời giải; thử chứng minh thêm

G

thuộc

M N

với

M G = \frac{2}{3} M N

và tính

A N = \frac{1}{2} A B + \frac{2}{3} A D

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · 4.66★★★Trang 71— Chứng minh đẳng thức tích vô hướng

Bài 4.66 (trang 71). Cho bốn điểm

A

B

C

D

trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

A B \cdot C D + B C \cdot A D + C A \cdot B D = 0

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hiệu: $X Y = A Y - A X$ .
Tích vô hướng có tính giao hoán và phân phối.

🧠 Phân tích tư duy

Đẳng thức đúng với mọi bốn điểm nên chỉ cần đưa tất cả về cùng một gốc rồi khai triển — các số hạng tự triệt tiêu. Chọn gốc là một trong bốn điểm (ví dụ

A

) để bớt một vectơ. Đây là đẳng thức Euler, hệ quả nổi tiếng là ba đường cao của tam giác đồng quy.

1Cách 1. Chèn điểm

A

Định hướng. Đặt $b = A B$ , $c = A C$ , $d = A D$ .

A B \cdot C D = b \cdot (d - c) = b \cdot d - b \cdot c

B C \cdot A D = (c - b) \cdot d = c \cdot d - b \cdot d

C A \cdot B D = - c \cdot (d - b) = - c \cdot d + b \cdot c

Cộng lại:

(b \cdot d - b \cdot d) + (b \cdot c - b \cdot c) + (c \cdot d - c \cdot d) = 0

Vậy đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Gom nhóm

Định hướng. Tách $A D = A C + C D$ để gom hai số hạng đầu.

A B \cdot C D + B C \cdot (A C + C D) = (A B + B C) \cdot C D + B C \cdot A C

= A C \cdot C D + A C \cdot B C = A C \cdot (B C + C D) = A C \cdot B D

Vế trái

= A C \cdot B D + C A \cdot B D = (A C + C A) \cdot B D = 0

Vậy đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Chọn hệ trục gốc $A$ : $A (0; 0)$ , $B (b_{1}; b_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ , $D (d_{1}; d_{2})$ .

A B \cdot C D = b_{1} (d_{1} - c_{1}) + b_{2} (d_{2} - c_{2})

B C \cdot A D = (c_{1} - b_{1}) d_{1} + (c_{2} - b_{2}) d_{2}

C A \cdot B D = - c_{1} (d_{1} - b_{1}) - c_{2} (d_{2} - b_{2})

Tổng các hệ số của

b_{1} d_{1}

b_{1} c_{1}

c_{1} d_{1}

(và tương tự với chỉ số

2

) đều bằng

1 - 1 = 0

Vậy vế trái bằng $0$ .

Nhận xét. Ứng dụng: với tam giác $A B C$ và $D$ là giao điểm hai đường cao từ $A$ , $B$ thì $B C \cdot A D = 0$ , $C A \cdot B D = 0$ , suy ra $A B \cdot C D = 0$ — đường cao thứ ba cũng đi qua $D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: máy móc, không cần nghĩ cách gom, sáu số hạng triệt tiêu từng cặp.

Đáp số. Đưa về gốc

A

, sáu số hạng triệt tiêu từng cặp nên tổng bằng

0

Sai lầm thường gặp. Viết

C A \cdot B D = c \cdot (d - b)

(quên

C A = - c

) — khi đó các số hạng không triệt tiêu và dễ nghĩ nhầm đề sai.

🚀 Mở rộng. Dùng đẳng thức này chứng minh: nếu

A B ⊥ C D

và

A C ⊥ B D

thì

A D ⊥ B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · 4.67★★Trang 71— Tích vô hướng và góc theo toạ độ

Bài 4.67 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba vectơ

a = (1; 2)

b = (3; - 4)

c = (- 5; 3)

.
a) Tính các tích vô hướng

a \cdot b

b \cdot c

c \cdot a

.
b) Tìm góc giữa hai vectơ

a

và

b + c

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ ; $cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣}$ .
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là công thức

x x^{'} + y y^{'}

. Ý b có hai đường: tính

b + c

rồi dùng công thức cosin, hoặc tận dụng ý a qua tính chất phân phối

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

. Tích âm báo trước góc tù.

1Cách 1. Công thức cosin

Định hướng. Tính tổng rồi áp dụng công thức.

a \cdot b = 3 - 8 = - 5

;

b \cdot c = - 15 - 12 = - 27

;

c \cdot a = - 5 + 6 = 1

b + c = (- 2; - 1)

a \cdot (b + c) = - 2 - 2 = - 4

∣ a ∣ = 5

∣ b + c ∣ = 5

\Rightarrow

cos (a, b + c) = - \frac{4}{5}

(a, b + c) \approx 14 3^{\circ} 7^{'} 4 8^{''}

Vậy a) $- 5$ ; $- 27$ ; $1$ ; b) góc có $cos = - \frac{4}{5}$ , khoảng $143, 1 3^{\circ}$ .

2Cách 2. Tận dụng ý a

Định hướng. Tính tích vô hướng bằng phân phối, không cần cộng vectơ.

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c = - 5 + 1 = - 4

∣ b + c ∣^{2} = b^{2} + 2 b \cdot c + c^{2} = 25 - 54 + 34 = 5

cos (a, b + c) = \frac{- 4}{5 \cdot 5} = - \frac{4}{5}

Vậy góc xấp xỉ $143, 1 3^{\circ}$ .

3Cách 3. Góc với trục hoành

Định hướng. Đo góc của mỗi vectơ với tia $O x$ rồi lấy hiệu.

a = (1; 2)

: góc

α

với

tan α = 2

α \approx 63, 4 3^{\circ}

b + c = (- 2; - 1)

ở góc phần tư III: góc

β = 18 0^{\circ} + arctan \frac{1}{2} \approx 206, 5 7^{\circ}

β - α \approx 143, 1 3^{\circ}

(bé hơn

18 0^{\circ}

nên đó là góc giữa hai vectơ)

Vậy góc xấp xỉ $143, 1 3^{\circ}$ .

Nhận xét. Để ý $b + c = (- 2; - 1)$ và $a = (1; 2)$ là hai vectơ "đối xứng qua đường phân giác" nên cùng độ dài $5$ — mẫu số gọn đẹp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng vectơ trước cho số nhỏ, tính cosin nhanh.

Đáp số. a)

a \cdot b = - 5

;

b \cdot c = - 27

;

c \cdot a = 1

. b)

cos (a, b + c) = - \frac{4}{5}

, góc

\approx 14 3^{\circ} 7^{'} 4 8^{''}

(khoảng

143, 1 3^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lấy

cos = \frac{4}{5}

(bỏ dấu âm) rồi ra

36, 8 7^{\circ}

— đó là góc giữa hai đường thẳng, không phải góc giữa hai vectơ.

🚀 Mở rộng. Tìm số thực

t

để

a ⊥ (b + t c)

a \cdot b + t a \cdot c = - 5 + t = 0

\Leftrightarrow

t = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · 4.68★★★Trang 71— Toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

Bài 4.68 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (- 2; 1)

B (1; 4)

và

C (5; - 2)

.
a) Chứng minh rằng

A

B

C

là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác

A B C

.
b) Tìm toạ độ trực tâm

H

và tâm đường tròn ngoại tiếp

I

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Trực tâm $H$ : $A H \cdot B C = 0$ , $B H \cdot A C = 0$ .
Tâm ngoại tiếp $I$ : $I A^{2} = I B^{2} = I C^{2}$ .
Hệ thức Euler: $I H = 3 I G$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba đỉnh tạo tam giác khi

A B

A C

không cùng phương. Trực tâm: hai điều kiện vuông góc

A H \cdot B C = 0

B H \cdot A C = 0

. Tâm ngoại tiếp:

I A = I B = I C

. Có thể chỉ giải một hệ rồi suy ra điểm kia nhờ hệ thức Euler

I H = I A + I B + I C

(tức

H = A + B + C - 2 I

theo toạ độ).

1Cách 1. Giải hai hệ phương trình

Định hướng. Lập hệ cho $H$ và cho $I$ .

A B = (3; 3)

A C = (7; - 3)

3 \cdot (- 3) - 3 \cdot 7 = - 30 \neq = 0

\Rightarrow

không cùng phương

\Rightarrow

A

B

C

là ba đỉnh một tam giác

G (\frac{- 2 + 1 + 5}{3}; \frac{1 + 4 - 2}{3}) = (\frac{4}{3}; 1)

H (x; y)

{4 (x + 2) - 6 (y - 1) = 0 7 (x - 1) - 3 (y - 4) = 0

\Leftrightarrow

{2 x - 3 y = - 7 7 x - 3 y = - 5

\Leftrightarrow

⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{2}{5} y = \frac{13}{5}

I (x; y)

I A^{2} = I B^{2}

\Leftrightarrow

x + y = 2

;

I A^{2} = I C^{2}

\Leftrightarrow

7 x - 3 y = 12

\Rightarrow

x = \frac{9}{5}

y = \frac{1}{5}

Vậy a) $G (\frac{4}{3}; 1)$ ; b) $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})$ , $I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})$ .

2Cách 2. Tìm

I

rồi dùng hệ thức Euler

Định hướng. $I H = I A + I B + I C$ .

I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})

(như Cách 1)

x_{H} = x_{A} + x_{B} + x_{C} - 2 x_{I} = 4 - \frac{18}{5} = \frac{2}{5}

y_{H} = y_{A} + y_{B} + y_{C} - 2 y_{I} = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}

kiểm tra:

A H = (\frac{12}{5}; \frac{8}{5})

B C = (4; - 6)

, tích vô hướng

\frac{48}{5} - \frac{48}{5} = 0

Vậy $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})$ .

3Cách 3. Tìm

H

rồi suy ra

I

Định hướng. $I$ , $G$ , $H$ thẳng hàng với $G H = - 2 G I$ .

H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})

(như Cách 1)

G I = - \frac{1}{2} G H = - \frac{1}{2} (- \frac{14}{15}; \frac{8}{5}) = (\frac{7}{15}; - \frac{4}{5})

I = G + G I = (\frac{4}{3} + \frac{7}{15}; 1 - \frac{4}{5}) = (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})

kiểm tra:

I A^{2} = \frac{361 + 16}{25} = \frac{377}{25}

I B^{2} = \frac{16 + 361}{25} = \frac{377}{25}

I C^{2} = \frac{256 + 121}{25} = \frac{377}{25}

Vậy $I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})$ .

Nhận xét. Ba điểm $H$ , $G$ , $I$ thẳng hàng trên đường thẳng Euler với $H G = 2 G I$ — dùng để kiểm tra chéo đáp số rất nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: giải hệ cho

I

(phương trình đẹp), còn

H

chỉ là một phép cộng trừ toạ độ.

Đáp số. a)

A B = (3; 3)

A C = (7; - 3)

không cùng phương;

G (\frac{4}{3}; 1)

. b)

H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})

;

I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5})

Sai lầm thường gặp. Dùng hệ thức Euler dưới dạng

O H = O A + O B + O C

với

O

là gốc toạ độ (chỉ đúng khi

O

là tâm ngoại tiếp) — ra

H (4; 3)

sai. Phải dùng tâm ngoại tiếp

I

I H = I A + I B + I C

🚀 Mở rộng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

R = I A = \frac{377}{5}

; kiểm lại bằng

R = \frac{ab c}{4 S}

với

S = \frac{1}{2} ∣3 \cdot (- 3) - 3 \cdot 7∣ = 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · 4.69★★★Trang 71— Toạ độ — thẳng hàng, cực trị tổng khoảng cách, cực trị độ dài vectơ

Bài 4.69 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (2; - 1)

B (5; 3)

và

C (- 2; 9)

.
a) Tìm điểm

D

thuộc trục hoành sao cho

B

C

D

thẳng hàng.
b) Tìm điểm

E

thuộc trục hoành sao cho

E A + E B

nhỏ nhất.
c) Tìm điểm

F

thuộc trục tung sao cho vectơ

F A + F B + F C

có độ dài ngắn nhất.

Kiến thức cần nhớ

$B$ , $C$ , $D$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $B D$ cùng phương $B C$ .
Bất đẳng thức tam giác: $E A + E B \geq A B$ , dấu bằng khi $E$ thuộc đoạn $A B$ .
$F A + F B + F C = 3 F G$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a: điều kiện cùng phương. Ý b:

A

(

y = - 1

) và

B

(

y = 3

) nằm khác phía trục hoành, nên

E A + E B \geq A B

và dấu bằng khi

E

là giao của đoạn

A B

với

O x

— không cần lấy đối xứng. Ý c:

F A + F B + F C = 3 F G

, ngắn nhất khi

F

là hình chiếu của trọng tâm

G

lên trục tung.

1Cách 1. Cùng phương và bất đẳng thức tam giác

Định hướng. Làm lần lượt ba ý.

D (d; 0)

B C = (- 7; 6)

B D = (d - 5; - 3)

;

6 (d - 5) - (- 3) (- 7) = 0

\Leftrightarrow

d = \frac{17}{2}

y_{A} \cdot y_{B} = - 3 < 0

\Rightarrow

A

B

khác phía

O x

;

E A + E B \geq A B = 5

, dấu bằng khi

E = A B \cap O x

E = A + t A B = (2 + 3 t; - 1 + 4 t)

- 1 + 4 t = 0

\Rightarrow

t = \frac{1}{4}

\Rightarrow

E (\frac{11}{4}; 0)

G (\frac{5}{3}; \frac{11}{3})

∣ F A + F B + F C ∣ = 3 F G \geq 3 d (G, O y)

, dấu bằng khi

F (0; \frac{11}{3})

Vậy a) $D (\frac{17}{2}; 0)$ ; b) $E (\frac{11}{4}; 0)$ , khi đó $E A + E B = 5$ ; c) $F (0; \frac{11}{3})$ .

2Cách 2. Hàm số một biến

Định hướng. Đưa ý c về cực trị của tam thức bậc hai; ý b dùng tỉ số khoảng cách.

F (0; f)

F A + F B + F C = (5; 11 - 3 f)

độ dài bình phương

25 + (11 - 3 f)^{2} \geq 25

, nhỏ nhất bằng

25

khi

f = \frac{11}{3}

E

thuộc đoạn

A B

\frac{E A}{E B} = \frac{∣ y _{A} ∣}{∣ y _{B} ∣} = \frac{1}{3}

\Rightarrow

A E = \frac{1}{4} A B

\Rightarrow

E (2 + \frac{3}{4}; 0) = (\frac{11}{4}; 0)

Vậy $E (\frac{11}{4}; 0)$ , $F (0; \frac{11}{3})$ ; độ dài nhỏ nhất của vectơ tổng là $5$ .

3Cách 3. Phương trình đường thẳng qua hai điểm

Định hướng. Viết điều kiện "thuộc đường thẳng" dưới dạng tỉ lệ toạ độ.

D (d; 0)

thuộc đường

B C

\frac{d - 5}{- 7} = \frac{0 - 3}{6}

\Rightarrow

d - 5 = \frac{7}{2}

\Rightarrow

d = \frac{17}{2}

E (e; 0)

thuộc đường

A B

\frac{e - 2}{3} = \frac{0 + 1}{4}

\Rightarrow

e = \frac{11}{4}

kiểm tra:

E A = \frac{9}{16} + 1 = \frac{5}{4}

E B = \frac{81}{16} + 9 = \frac{15}{4}

E A + E B = 5 = A B

Vậy $D (\frac{17}{2}; 0)$ , $E (\frac{11}{4}; 0)$ .

Nhận xét. Nếu $A$ , $B$ cùng phía với $O x$ thì phải lấy $A^{'}$ đối xứng với $A$ qua $O x$ rồi tìm giao của $A^{'} B$ với $O x$ — ở đây không cần vì hai điểm đã khác phía.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho a, b và Cách 2 cho c (tam thức bậc hai, không cần lập luận hình chiếu).

Đáp số. a)

D (\frac{17}{2}; 0)

. b)

E (\frac{11}{4}; 0)

(khi đó

E A + E B = A B = 5

). c)

F (0; \frac{11}{3})

(độ dài nhỏ nhất bằng

5

Sai lầm thường gặp. Ở ý b máy móc lấy điểm đối xứng

A^{'} (2; 1)

rồi tìm giao

A^{'} B

với

O x

— sai, vì

A

B

đã khác phía; cách đó chỉ dùng khi hai điểm cùng phía. Ở ý c hay quên hệ số

3

nhưng may mắn vẫn ra đúng

F

; tuy nhiên độ dài nhỏ nhất là

3 \cdot \frac{5}{3} = 5

, không phải

\frac{5}{3}

🚀 Mở rộng. Tìm

K

trên trục hoành sao cho

∣ K A - K B ∣

lớn nhất: vì

A

B

khác phía nên lấy

A^{'} (2; 1)

K = A^{'} B \cap O x = (\frac{1}{2}; 0)

, giá trị lớn nhất

A^{'} B = 13

Mở bài này trong app ↗

Bài 32 · 4.70★★★Trang 71— Ứng dụng tích vô hướng — công của lực

Bài 4.70 (trang 71). Một ô tô có khối lượng

2, 5

tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài

50

m và nghiêng

1 5^{\circ}

so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng

10

m/s²).

Kiến thức cần nhớ

Công của lực không đổi: $A = F \cdot d = ∣ F ∣∣ d ∣ cos (F, d)$ .
Trọng lực $P = m g$ , hướng thẳng đứng xuống dưới.

🧠 Phân tích tư duy

Công của lực không đổi

A = P \cdot d

với

d

là vectơ độ dời. Trọng lực hướng thẳng xuống, độ dời hướng lên dốc nghiêng

1 5^{\circ}

, nên góc giữa chúng là

9 0^{\circ} + 1 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

— công âm (trọng lực cản xe). Bẫy: đổi tấn ra kg, và không lấy nhầm góc

1 5^{\circ}

hay

7 5^{\circ}

1Cách 1. Định nghĩa tích vô hướng

Định hướng. $P = 2500 \cdot 10 = 25000$ (N), $∣ d ∣ = 50$ m, góc $10 5^{\circ}$ .

A = 25000 \cdot 50 \cdot cos 10 5^{\circ} = 1250000 cos 10 5^{\circ}

cos 10 5^{\circ} = - sin 1 5^{\circ} \approx - 0, 2588

A \approx - 323524

(J)

Vậy công của trọng lực xấp xỉ $- 323524$ J (khoảng $- 3, 24 \cdot 1 0^{5}$ J).

2Cách 2. Độ cao

Định hướng. Công của trọng lực chỉ phụ thuộc độ chênh cao: $A = - m g h$ khi đi lên.

h = 50 sin 1 5^{\circ} \approx 12, 94

(m)

A = - m g h = - 25000 \cdot 50 sin 1 5^{\circ} \approx - 323524

(J)

Vậy $A \approx - 323524$ J.

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Trục $O x$ nằm ngang theo chiều xe đi, $O y$ hướng lên.

d = (50 cos 1 5^{\circ}; 50 sin 1 5^{\circ})

P = (0; - 25000)

A = P \cdot d = 0 - 25000 \cdot 50 sin 1 5^{\circ} \approx - 323524

(J)

Vậy $A \approx - 323524$ J.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về $- m g \cdot 50 sin 1 5^{\circ}$ : thành phần của độ dời theo phương thẳng đứng mới sinh công của trọng lực; thành phần nằm ngang vuông góc với trọng lực nên không sinh công.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: toạ độ làm rõ ngay dấu âm và chỉ còn một phép nhân.

Đáp số.

A = - 1250000 sin 1 5^{\circ} \approx - 323524

Sai lầm thường gặp. Lấy góc giữa trọng lực và độ dời bằng

1 5^{\circ}

(ra

+ 1207407

J) hoặc

7 5^{\circ}

(ra

+ 323524

J, sai dấu). Một lỗi khác là giữ

m = 2, 5

(tấn) nên kết quả nhỏ đi

1000

lần.

🚀 Mở rộng. Khi xe xuống dốc, công của trọng lực là

+ 323524

J; đi lên rồi quay xuống chân dốc thì tổng công của trọng lực bằng

0

(trọng lực là lực thế).

Mở bài này trong app ↗