Bài 1 · 4.39★Trang 66— Trắc nghiệm — đếm vectơ cùng phương
Bài 4.39 (trang 66). Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với AC là: A. 6; B. 3; C. 4; D. 2.
Kiến thức cần nhớ
Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Từ n điểm phân biệt lập được n(n−1) vectơ khác 0 (có kể thứ tự đầu – cuối).
🧠 Phân tích tư duy
Vectơ cùng phương với AC có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AC. Trong năm điểm, chỉ A, O, C nằm trên AC và không có cặp điểm nào tạo đường song song với AC. Bẫy: vectơ có hướng, AO và OA là hai vectơ khác nhau.
1Cách 1. Liệt kê
Định hướng. Liệt kê mọi vectơ có giá là đường thẳng AC.
Các điểm trên đường thẳng AC: A, O, C AC, CA, AO, OA, OC, CO B, D không thuộc AC và BD cắt AC nên không có vectơ nào khác
Vậy có 6 vectơ, chọn A.
2Cách 2. Đếm tổ hợp
Định hướng. Chỉ cần chọn có thứ tự hai điểm trong ba điểm thẳng hàng A, O, C.
Số cách chọn điểm đầu: 3; điểm cuối: 2 Số vectơ: 3⋅2=6
Vậy chọn A.
3Cách 3. Loại trừ
Định hướng. Đếm riêng số vectơ có giá AC không kể chiều rồi nhân đôi.
Số đoạn thẳng có hai đầu thuộc {A;O;C}: AO, OC, AC — có 3 đoạn Mỗi đoạn cho 2 vectơ ngược hướng nhau ⇒3⋅2=6 Các phương án 3, 2 ứng với việc quên chiều hoặc quên điểm O
Vậy chọn A.
Nhận xét. Hai phương án nhiễu B, D chính là hai lỗi hay gặp: đếm đoạn thẳng thay vì vectơ, và bỏ quên tâm O.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: 3⋅2=6, nhẩm trong vài giây.
Đáp số.A. 6 vectơ.
Sai lầm thường gặp.Chỉ đếm AC, CA, AO... theo một chiều rồi chọn 3 — vectơ AO và OA ngược hướng nhưng vẫn là hai vectơ cùng phương khác nhau.
🚀 Mở rộng.Với cùng năm điểm, có 4 vectơ khác 0 cùng phương với AB: AB, BA, DC, CD (vì AB∥CD, còn O không nằm trên hai đường đó).
Bài 4.40 (trang 66). Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng? A. Hai vectơ AB và CB cùng hướng; B. Hai vectơ CA và BC cùng hướng; C. Hai vectơ AB và AC cùng hướng; D. Hai vectơ AC và BA cùng hướng.
Kiến thức cần nhớ
Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng, hoặc ngược hướng.
B nằm giữa A, C⇔AB=kAC với 0<k<1.
🧠 Phân tích tư duy
Ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C: mọi vectơ đi "từ trái sang phải" (theo thứ tự A→B→C) cùng hướng với nhau, đi ngược lại thì ngược hướng. Chỉ cần xác định chiều của mỗi vectơ.
1Cách 1. Xét chiều trên đường thẳng
Định hướng. Gọi chiều từ A đến C là chiều dương.
AB: dương; CB: âm ⇒ A sai CA: âm; BC: dương ⇒ B sai AB: dương; AC: dương ⇒ C đúng AC: dương; BA: âm ⇒ D sai
Vậy chọn C.
2Cách 2. Trục số
Định hướng. Đặt A, B, C lên trục số tại 0, b, c với 0<b<c; dấu của hiệu cho chiều.
AB↔b>0, CB↔b−c<0, CA↔−c<0 BC↔c−b>0, AC↔c>0, BA↔−b<0 Cùng dấu chỉ có cặp AB (b) và AC (c)
Vậy chọn C.
3Cách 3. Hệ số k
Định hướng. Cùng hướng ⇔u=kv với k>0.
AB=ACABAC với ACAB>0⇒ cùng hướng CB=−ABCBAB⇒ ngược hướng; tương tự B, D có k<0
Vậy chọn C.
Nhận xét. Hai vectơ chung điểm đầu, điểm cuối nằm cùng phía so với điểm đầu thì cùng hướng — đó là cặp AB, AC.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: vẽ nhanh ba điểm trên một đường thẳng, đọc chiều mũi tên.
Đáp số.C.
Sai lầm thường gặp.Chọn D vì thấy cùng chữ A và C — cần nhìn điểm đầu: BA đi từ B về A, ngược chiều AC.
🚀 Mở rộng.Nếu B nằm ngoài đoạn AC (về phía C) thì AB, AC vẫn cùng hướng, còn nếu B nằm về phía A thì chúng ngược hướng.
Bài 4.41 (trang 67). Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AK? A. 2; B. 6; C. 4; D. 8.
Kiến thức cần nhớ
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Bài 4 · 4.42★★Trang 67— Trắc nghiệm — độ dài vectơ trong hình thoi
Bài 4.42 (trang 67). Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và DAB=120∘. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AB=CD; B. BD=AC; C. ∣BD∣=1; D. ∣AC∣=1.
Kiến thức cần nhớ
Hình thoi: hai góc kề một cạnh bù nhau; hai đường chéo vuông góc.
Bài 8 · 4.46★★Trang 67— Trắc nghiệm — phân tích vectơ theo hai vectơ
Bài 4.46 (trang 67). Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IB+2IC=0. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng? A. AI=2AC−AB; B. AI=AB−2AC; C. AI=−3AB−2AC; D. AI=3AB+2AC.
Bài 9 · 4.47★Trang 68— Trắc nghiệm — hệ thức vectơ của trọng tâm
Bài 4.47 (trang 68). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng? A. GA=2GM; B. AB+AC=3AG; C. AM=3MG; D. 3GA=2AM.
Bài 10 · 4.48★Trang 68— Trắc nghiệm — toạ độ trọng tâm
Bài 4.48 (trang 68). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(−3;1), B(2;−1), C(4;6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là A. (1;2); B. (2;1); C. (1;−2); D. (−2;1).
Bài 11 · 4.49★Trang 68— Trắc nghiệm — tìm đỉnh khi biết trọng tâm
Bài 4.49 (trang 68). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(−3;3), B(5;−2) và G(2;2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là A. (5;4); B. (4;5); C. (4;3); D. (3;5).
Bài 13 · 4.51★★Trang 68— Trắc nghiệm — dấu bằng của tích vô hướng
Bài 4.51 (trang 68). Cho hai vectơ a, b cùng khác 0. Khi đó a⋅b=∣a∣⋅∣b∣ tương đương với A. a và b cùng phương; B. a và b ngược hướng; C. a và b cùng hướng; D. a⊥b.
Bài 14 · 4.52★★Trang 68— Trắc nghiệm — dấu bằng của tích vô hướng
Bài 4.52 (trang 68). Cho hai vectơ a, b cùng khác 0. Khi đó a⋅b=−∣a∣⋅∣b∣ tương đương với A. a và b cùng phương; B. a và b ngược hướng; C. a và b cùng hướng; D. a⊥b.
Bài 16 · 4.54★★Trang 69— Trắc nghiệm — điều kiện vuông góc có tham số
Bài 4.54 (trang 69). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;−1), B(−1;5) và C(3m;2m−1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB⊥OC là A. m=−2; B. m=2; C. m=±2; D. m=3.
Bài 17 · 4.55★★★Trang 69— Trắc nghiệm — tích vô hướng, phân tích vectơ
Bài 4.55 (trang 69). Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=1, AC=2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM=MC, CN=2NA, AP=2PB. Giá trị của tích vô hướng AM⋅NP bằng A. 32; B. −21; C. 0; D. 1.
Bài 18 · 4.56★★★Trang 69— Trắc nghiệm — điều kiện vuông góc, tìm tỉ số
Bài 4.56 (trang 69). Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=2MC, CN=2NA và AM⊥NP. Tỉ số ABAP bằng A. 125; B. 127; C. 75; D. 57.
Bài 19 · 4.57★★Trang 69— Trắc nghiệm — tích vô hướng qua hình chiếu
Bài 4.57 (trang 69). Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB=2MC. Tích vô hướng của hai vectơ MA và MC bằng A. 2a2; B. −2a2; C. a2; D. −a2.
Bài 20 · 4.58★★★Trang 69— Trắc nghiệm — tập hợp điểm thoả đẳng thức độ dài vectơ
Bài 4.58 (trang 69). Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thoả mãn ∣MC−MB∣=∣MC−AC∣ là A. đường tròn tâm A bán kính BC. B. đường thẳng đi qua A và song song với BC. C. đường tròn đường kính BC. D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Kiến thức cần nhớ
Quy tắc hiệu: MC−MB=BC.
Tập hợp điểm M với MA=R (R>0 không đổi) là đường tròn tâm A bán kính R.
Bài 21 · 4.59★★★Trang 69— Vectơ bằng nhau, cùng hướng; trọng tâm chia đoạn
Bài 4.59 (trang 69). Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O. a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ AB; những vectơ cùng hướng với AB. b) Chứng minh rằng BI=IJ=JD.
Bài 22 · 4.60★★Trang 70— Trọng tâm tam giác — phân tích vectơ
Bài 4.60 (trang 70). Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM=MN=NC. a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt GB=u và GC=v. Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ u và v: GA, GM, GN.
Bài 23 · 4.61★★★Trang 70— Tích vô hướng — điều kiện vuông góc có tham số
Bài 4.61 (trang 70). Cho tam giác ABC có AB=4, AC=5 và CAB=60∘. a) Tính tích vô hướng AB⋅AC, AB⋅BC. b) Lấy các điểm M, N thoả mãn 2AM+3MC=0 và NB+xNC=0 (x=−1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.
Bài 24 · 4.62★★★Trang 70— Phân tích vectơ — điều kiện ba điểm thẳng hàng
Bài 4.62 (trang 70). Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP=2PM, BQ=xQN. Đặt AB=u và AD=v. a) Hãy biểu thị các vectơ AP, AQ qua hai vectơ u và v. b) Tìm x để A, P, Q thẳng hàng.
Bài 25 · 4.63★★★Trang 70— Chứng minh song song bằng vectơ — trọng tâm hai tam giác
Bài 4.63 (trang 70). Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A′, B′ sao cho AA′=2BC, BB′=2CA. Gọi G′ là trọng tâm của tam giác A′B′C. Chứng minh rằng GG′ song song với AB.
Kiến thức cần nhớ
G, G′ là trọng tâm tam giác ABC, A′B′C′⇒3GG′=AA′+BB′+CC′.
Bài 26 · 4.64★★★Trang 70— Chứng minh hình bình hành, thẳng hàng bằng vectơ
Bài 4.64 (trang 70). Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành. b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.
Kiến thức cần nhớ
I là trung điểm PQ⇔OI=21(OP+OQ) với mọi O.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Đường trung bình của tam giác cắt trung tuyến tại trung điểm của trung tuyến.
Bài 27 · 4.65★★★Trang 70— Phân tích vectơ — thẳng hàng, độ dài
Bài 4.65 (trang 70). Cho hình thang vuông ABCD có DAB=ABC=90∘, BC=1, AB=2 và AD=3. Gọi M là trung điểm của AB. a) Hãy biểu thị các vectơ CM, CD theo hai vectơ AB và AD. b) Gọi N là trung điểm của CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC=5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng. c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.
Bài 29 · 4.67★★Trang 71— Tích vô hướng và góc theo toạ độ
Bài 4.67 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ a=(1;2), b=(3;−4), c=(−5;3). a) Tính các tích vô hướng a⋅b, b⋅c, c⋅a. b) Tìm góc giữa hai vectơ a và b+c.
Bài 30 · 4.68★★★Trang 71— Toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp
Bài 4.68 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(−2;1), B(1;4) và C(5;−2). a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Bài 31 · 4.69★★★Trang 71— Toạ độ — thẳng hàng, cực trị tổng khoảng cách, cực trị độ dài vectơ
Bài 4.69 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;−1), B(5;3) và C(−2;9). a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng. b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA+EB nhỏ nhất. c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất.
Kiến thức cần nhớ
B, C, D thẳng hàng ⇔BD cùng phương BC.
Bất đẳng thức tam giác: EA+EB≥AB, dấu bằng khi E thuộc đoạn AB.
Bài 32 · 4.70★★★Trang 71— Ứng dụng tích vô hướng — công của lực
Bài 4.70 (trang 71). Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15∘ so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).
