Chương IV. Vectơ

Bài tập cuối chương IV

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 4.27★Trang 71— Trắc nghiệm — điều kiện cùng phương theo toạ độ

Bài 4.27 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A.

u = (2; 3)

và

v = (\frac{1}{2}; 6)

.
B.

a = (2; 6)

và

b = (1; 32)

.
C.

i = (0; 1)

và

j = (1; 0)

.
D.

c = (1; 3)

và

d = (2; - 6)

Kiến thức cần nhớ

$a = (x; y)$ , $b = (x^{'}; y^{'}) \neq = 0$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $x y^{'} - x^{'} y = 0$ $\Leftrightarrow$ tồn tại $k$ với $a = k b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ

(x; y)

(x^{'}; y^{'})

cùng phương khi toạ độ tỉ lệ, tức

x y^{'} - x^{'} y = 0

. Chỉ cần thử bốn cặp, cặp nào cho định thức bằng

0

là đáp án. Bẫy ở D: tỉ số hoành độ là

2

nhưng tỉ số tung độ là

- 2

— khác dấu nên không cùng phương.

1Cách 1. Xét biểu thức

x y^{'} - x^{'} y

Định hướng. Tính định thức của từng cặp.

2 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 = 12 - \frac{3}{2} = \frac{21}{2} \neq = 0

2 \cdot 32 - 1 \cdot 6 = 6 - 6 = 0

0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = - 1 \neq = 0

1 \cdot (- 6) - 2 \cdot 3 = - 12 \neq = 0

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tìm hệ số tỉ lệ

k

Định hướng. Cùng phương khi có số $k$ để $a = k b$ .

a = (2; 6) = 2 (1; 32) = 2 b

vì

2 \cdot 32 = 6

d = 2 (1; - 3) \neq = 2 c

vì

2 \cdot 3 = 6 \neq = - 6

\frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}

còn

\frac{6}{3} = 2

, không cùng tỉ số

Vậy chỉ cặp B có hệ số tỉ lệ $k = 2$ , chọn B.

3Cách 3. Loại trừ bằng hình ảnh

Định hướng. Nhìn hướng của các vectơ trên hệ trục.

i

j

nằm trên hai trục vuông góc

\Rightarrow

không cùng phương
D:

c

hướng lên (góc phần tư I),

d

hướng xuống (góc phần tư IV)

\Rightarrow

không cùng phương
A: hệ số góc giá của

u

là

\frac{3}{2}

, của

v

là

12

\Rightarrow

khác nhau
B: hệ số góc giá của

a

là

\frac{6}{2} = 32

, của

b

là

32

\Rightarrow

bằng nhau

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hai vectơ không nằm trên trục tung cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng có cùng hệ số góc $\frac{y}{x}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tính cho mỗi cặp, không phải chia nên không vướng mẫu bằng

0

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì thấy

2 = 2 \cdot 1

ở hoành độ mà không kiểm tung độ:

- 6 \neq = 2 \cdot 3

. Cùng phương đòi hỏi cả hai toạ độ cùng một hệ số

k

(kể cả dấu).

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

a = (m; 2)

và

b = (8; m)

cùng phương:

m^{2} - 16 = 0

\Leftrightarrow

m = \pm 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.28★Trang 71— Trắc nghiệm — điều kiện vuông góc theo toạ độ

Bài 4.28 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A.

u = (2; 3)

và

v = (4; 6)

.
B.

a = (1; - 1)

và

b = (- 1; 1)

.
C.

z = (a; b)

và

t = (- b; a)

.
D.

n = (1; 1)

và

k = (2; 0)

Kiến thức cần nhớ

$u ⊥ v$ $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} = 0$ .
Vectơ $(- b; a)$ là ảnh của $(a; b)$ qua phép quay $9 0^{\circ}$ quanh gốc.

🧠 Phân tích tư duy

Vuông góc

\Leftrightarrow

tích vô hướng

x x^{'} + y y^{'} = 0

. Phương án C chứa chữ

a

b

nên phải chứng minh đúng với mọi

a

b

— đây là "phép quay

9 0^{\circ}

" quen thuộc. Các phương án A, B còn loại được ngay vì hai vectơ cùng phương.

1Cách 1. Tính tích vô hướng

Định hướng. Thử từng cặp.

2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 26 \neq = 0

1 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 1 = - 2 \neq = 0

a \cdot (- b) + b \cdot a = 0

với mọi

a

b

1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2 \neq = 0

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng tính cùng phương

Định hướng. Hai vectơ khác $0$ cùng phương thì không thể vuông góc.

v = 2 u

\Rightarrow

cùng phương, loại
B:

b = - a

\Rightarrow

cùng phương, loại
D:

k

nằm trên

O x

n

tạo với

O x

góc

4 5^{\circ}

\Rightarrow

không vuông góc, loại

Vậy còn lại C.

3Cách 3. Hình học — phép quay

9 0^{\circ}

Định hướng. Đặt $z = O M$ với $M (a; b)$ , $t = O N$ với $N (- b; a)$ .

O M = O N = a^{2} + b^{2}

M N^{2} = (a + b)^{2} + (b - a)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) = O M^{2} + O N^{2}

\Rightarrow

tam giác

O M N

vuông tại

O

(định lí Pythagore đảo)

Vậy $z ⊥ t$ , chọn C.

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao đổi chỗ hai toạ độ rồi đổi dấu một toạ độ luôn cho vectơ vuông góc — mẹo dùng rất nhiều khi viết phương trình đường thẳng ở Chương VII.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn phép nhân ngắn, riêng C là một đẳng thức hiển nhiên.

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì thấy hai vectơ "ngược nhau" — ngược hướng là cùng phương (góc

18 0^{\circ}

), không phải vuông góc (góc

9 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Với

z = (a; b)

, cả

(- b; a)

và

(b; - a)

đều vuông góc với

z

và có cùng độ dài với

z

; ngoài ra mọi vectơ vuông góc với

z \neq = 0

đều có dạng

k (- b; a)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.29★Trang 71— Trắc nghiệm — độ dài vectơ theo toạ độ

Bài 4.29 (trang 71). Trong mặt phẳng toạ độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng

1

?
A.

a = (1; 1)

.
B.

b = (1; - 1)

.
C.

c = (2; \frac{1}{2})

.
D.

d = (\frac{1}{2}; \frac{- 1}{2})

Kiến thức cần nhớ

$a = (x; y)$ $\Rightarrow$ $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ .
$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dài

x^{2} + y^{2}

; độ dài bằng

1

tương đương

x^{2} + y^{2} = 1

nên chỉ cần tính tổng bình phương, khỏi khai căn. Để ý

d = \frac{1}{2} b

— đó chính là vectơ đơn vị cùng hướng với

b

1Cách 1. Tính tổng bình phương toạ độ

Định hướng. $∣ v ∣ = 1$ $\Leftrightarrow$ $x^{2} + y^{2} = 1$ .

A, B:

1 + 1 = 2

\Rightarrow

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 2

4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}

\Rightarrow

∣ c ∣ = \frac{17}{2}

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\Rightarrow

∣ d ∣ = 1

Vậy chọn D.

2Cách 2. Dùng

∣ k v ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ v ∣

Định hướng. Nhận ra $d$ là bội của $b$ .

d = \frac{1}{2} (1; - 1) = \frac{1}{2} b

∣ d ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ b ∣ = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ bằng ước lượng

Định hướng. Vectơ có một toạ độ có giá trị tuyệt đối vượt $1$ thì dài hơn $1$ .

∣ x ∣ = 2 > 1

\Rightarrow

∣ c ∣ > 1

, loại
A, B: hai toạ độ đều có giá trị tuyệt đối

1

\Rightarrow

độ dài

> 1

, loại
D: điểm

(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}) = (cos 4 5^{\circ}; - sin 4 5^{\circ})

nằm trên đường tròn đơn vị

Vậy chọn D.

Nhận xét. Mọi vectơ $(cos α; sin α)$ đều có độ dài $1$ — đó là cách nhanh nhất để nhận ra vectơ đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

x^{2} + y^{2}

nhẩm được ngay, không cần khai căn.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương dấu trừ, tính

(\frac{- 1}{2})^{2} = - \frac{1}{2}

rồi ra

∣ d ∣ = 0

— bình phương luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Vectơ đơn vị cùng hướng với

v = (x; y) \neq = 0

là

\frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} (x; y)

(xem Bài 4.37).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.30★★Trang 71— Trắc nghiệm — góc giữa hai vectơ theo toạ độ

Bài 4.30 (trang 71). Góc giữa vectơ

a = (1; - 1)

và vectơ

b = (- 2; 0)

có số đo bằng:
A.

9 0^{\circ}

. B.

0^{\circ}

. C.

13 5^{\circ}

. D.

4 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{x x ^{'} + y y ^{'}}{x ^{2} + y ^{2} x ^{'2} + y ^{'2}}$ .
$a \cdot b < 0$ $\Leftrightarrow$ góc tù.

🧠 Phân tích tư duy

Có toạ độ của cả hai vectơ nên dùng công thức

cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

. Tích vô hướng âm báo trước góc tù, loại ngay A, B, D. Có thể kiểm lại bằng hình:

b

hướng theo chiều âm trục hoành.

1Cách 1. Công thức cosin

Định hướng. Tính tích vô hướng và hai độ dài.

a \cdot b = 1 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot 0 = - 2

∣ a ∣ = 2

∣ b ∣ = 2

cos (a, b) = \frac{- 2}{2 2} = - \frac{2}{2}

\Rightarrow

(a, b) = 13 5^{\circ}

Vậy chọn C.

2Cách 2. Góc với trục hoành

Định hướng. Đo góc của mỗi vectơ với tia $O x$ rồi lấy hiệu.

a = (1; - 1)

nằm ở góc phần tư IV, tạo với tia

O x

góc

4 5^{\circ}

(phía dưới)

b = (- 2; 0)

cùng hướng với tia đối của

O x

, tạo với tia

O x

góc

18 0^{\circ}

(a, b) = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Loại trừ bằng dấu tích vô hướng

Định hướng. Dấu của $a \cdot b$ cho biết góc nhọn, vuông hay tù.

a \cdot b = - 2 < 0

\Rightarrow

góc tù
trong bốn phương án chỉ

13 5^{\circ}

là góc tù

Vậy chọn C.

Nhận xét. Với câu trắc nghiệm, chỉ dấu tích vô hướng đã đủ loại ba phương án; muốn chắc chắn thì mới tính cosin như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 để khoanh ngay, nếu còn thời gian thì kiểm bằng Cách 1.

Đáp số. C.

(a, b) = 13 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lấy

cos = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

(bỏ dấu) rồi ra

4 5^{\circ}

— đó là góc giữa hai đường thẳng, không phải góc giữa hai vectơ.

🚀 Mở rộng. Góc giữa

a = (1; - 1)

và

c = (m; 0)

bằng

4 5^{\circ}

khi

m > 0

và bằng

13 5^{\circ}

khi

m < 0

— chỉ phụ thuộc hướng, không phụ thuộc độ dài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.31★★Trang 71— Trắc nghiệm — tính chất của tích vô hướng

Bài 4.31 (trang 71). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

(a \cdot b) c = a (b \cdot c)

.
B.

(a \cdot b)^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

.
C.

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ sin (a, b)

.
D.

a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ (là một số thực).
Tính chất phân phối: $a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án thử bốn "thói quen đại số" có thể sai với vectơ: kết hợp (A), bình phương tích (B), công thức định nghĩa (C), phân phối (D). Tích vô hướng là một số, nên A so sánh một vectơ cùng phương với

c

với một vectơ cùng phương với

a

— sai. Chỉ phân phối là tính chất đã học.

1Cách 1. Đối chiếu tính chất đã học

Định hướng. Dò từng phương án theo định nghĩa và tính chất.

C: định nghĩa dùng

cos

, không phải

sin

\Rightarrow

sai
B:

(a \cdot b)^{2} = a^{2} b^{2} cos^{2} (a, b)

, chỉ bằng

a^{2} b^{2}

khi hai vectơ cùng phương

\Rightarrow

sai
A: vế trái cùng phương với

c

, vế phải cùng phương với

a

\Rightarrow

nói chung khác nhau
D: đúng tính chất phân phối

Vậy chọn D.

2Cách 2. Phản ví dụ bằng toạ độ

Định hướng. Lấy vectơ cụ thể để bác bỏ A, B, C.

a = (1; 0)

b = (0; 1)

c = (1; 0)

a \cdot b = 0

b \cdot c = 0

(a \cdot b)^{2} = 0

nhưng

a^{2} b^{2} = 1

\Rightarrow

B sai
C: với

b = a = (1; 0)

có

a \cdot b = 1

nhưng

∣ a ∣∣ b ∣ sin 0^{\circ} = 0

\Rightarrow

C sai
A:

a = (1; 0)

b = (1; 1)

c = (0; 1)

(a \cdot b) c = (0; 1)

a (b \cdot c) = (1; 0)

\Rightarrow

A sai

Vậy chọn D.

3Cách 3. Chứng minh D bằng toạ độ

Định hướng. Kiểm tra trực tiếp phương án D.

a = (a_{1}; a_{2})

b = (b_{1}; b_{2})

c = (c_{1}; c_{2})

a \cdot (b - c) = a_{1} (b_{1} - c_{1}) + a_{2} (b_{2} - c_{2})

= (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2}) = a \cdot b - a \cdot c

Vậy D đúng, chọn D.

Nhận xét. Tích vô hướng giao hoán và phân phối như phép nhân số, nhưng KHÔNG có tính kết hợp với ba vectơ — vì $a \cdot b$ đã là số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ đúng định nghĩa và bốn tính chất là khoanh được trong vài giây.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì quen

(ab)^{2} = a^{2} b^{2}

với số. Với vectơ chỉ có

(a \cdot b)^{2} \leq a^{2} \cdot b^{2}

(bất đẳng thức Cauchy – Schwarz), dấu bằng khi

a

b

cùng phương.

🚀 Mở rộng. Hệ quả của phân phối:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}

và

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

— hai hằng đẳng thức dùng nhiều nhất của chương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.32★★Trang 71— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong hình vuông

Bài 4.32 (trang 71). Cho hình vuông

A B C D

có cạnh

a

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

(A B, B D) = 4 5^{\circ}

.
B.

A C \cdot B C = a^{2}

.
C.

A C \cdot B D = a^{2} 2

.
D.

B A \cdot B D = - a^{2}

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ cos (u, v)$ .
Hình vuông cạnh $a$ : đường chéo $a 2$ , $A C ⊥ B D$ , đường chéo tạo với cạnh góc $4 5^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vuông cho sẵn độ dài đường chéo

a 2

, góc

4 5^{\circ}

giữa cạnh và đường chéo, hai đường chéo vuông góc. Trước khi đọc góc phải đưa hai vectơ về chung gốc — bẫy của phương án A:

A B

và

B D

nối đuôi nhau tại

B

1Cách 1. Định nghĩa, đưa về chung gốc

Định hướng. Xét từng phương án.

(A B, B D) = 18 0^{\circ} - (B A, B D) = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

\Rightarrow

sai
B:

(A C, B C) = (C A, C B) = 4 5^{\circ}

\Rightarrow

A C \cdot B C = a 2 \cdot a \cdot cos 4 5^{\circ} = a^{2}

\Rightarrow

đúng
C:

A C ⊥ B D

\Rightarrow

A C \cdot B D = 0

\Rightarrow

sai
D:

B A \cdot B D = a \cdot a 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = a^{2}

\Rightarrow

sai

Vậy chọn B.

2Cách 2. Gắn hệ toạ độ

Định hướng. $A (0; 0)$ , $B (a; 0)$ , $C (a; a)$ , $D (0; a)$ .

A C = (a; a)

B C = (0; a)

\Rightarrow

A C \cdot B C = a^{2}

B D = (- a; a)

\Rightarrow

A C \cdot B D = - a^{2} + a^{2} = 0

B A = (- a; 0)

\Rightarrow

B A \cdot B D = a^{2}

cos (A B, B D) = \frac{( a ; 0 ) \cdot ( - a ; a )}{a \cdot a 2} = - \frac{2}{2}

\Rightarrow

góc

13 5^{\circ}

Vậy chỉ B đúng, chọn B.

3Cách 3. Hình chiếu vuông góc

Định hướng. $u \cdot B C$ chỉ phụ thuộc hình chiếu của $u$ lên đường thẳng $B C$ .

Hình chiếu của

A C

lên đường thẳng

B C

là

B C

(vì

A B ⊥ B C

)

A C \cdot B C = B C \cdot B C = B C^{2} = a^{2}

Vậy B đúng, chọn B.

Nhận xét. Cách 3 tính B trong một dòng; tương tự, hình chiếu của $B D$ lên $B A$ là $B A$ nên D phải bằng $+ a^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (hình chiếu): nhẩm được, không cần nhớ góc.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Ở A đọc góc

A B D = 4 5^{\circ}

mà quên hai vectơ

A B

B D

nối đuôi — góc giữa hai vectơ phải đo khi chúng chung điểm đầu, ra

13 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Với hình chữ nhật

A B C D

có

A B = a

A D = b

A C \cdot B D = b^{2} - a^{2}

— bằng

0

đúng khi hình chữ nhật là hình vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.33★★Trang 71— Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Bài 4.33 (trang 71). Trên cạnh

B C

của tam giác

A B C

lấy điểm

M

sao cho

M B = 3 M C

.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ

M B

và

M C

.
b) Biểu thị vectơ

A M

theo hai vectơ

A B

và

A C

Kiến thức cần nhớ

$M$ thuộc đoạn $B C$ $\Rightarrow$ $M B$ , $M C$ ngược hướng.
Quy tắc ba điểm: $A M = A B + B M$ ; $M B = A B - A M$ .
$M$ thuộc đoạn $B C$ , $\frac{B M}{B C} = k$ $\Rightarrow$ $A M = (1 - k) A B + k A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

nằm giữa

B

và

C

nên

M B

M C

ngược hướng; tỉ số độ dài

3

cho ngay hệ thức ở ý a. Ý b là dạng "điểm chia đoạn thẳng":

B M = \frac{3}{4} B C

nên chèn điểm

B

vào

A M

, hoặc dùng luôn hệ thức ý a sau khi chèn điểm

A

1Cách 1. Chèn điểm

B

Định hướng. Ý a đọc từ hướng và độ dài; ý b đi từ $A$ tới $B$ rồi dọc $B C$ .

M

nằm giữa

B

C

và

M B = 3 M C

\Rightarrow

M B = - 3 M C

B M = \frac{3}{4} B C

và

B M

B C

cùng hướng

\Rightarrow

B M = \frac{3}{4} B C

A M = A B + \frac{3}{4} B C = A B + \frac{3}{4} (A C - A B) = \frac{1}{4} A B + \frac{3}{4} A C

Vậy a) $M B = - 3 M C$ ; b) $A M = \frac{1}{4} A B + \frac{3}{4} A C$ .

2Cách 2. Chèn điểm

A

vào hệ thức ý a

Định hướng. Viết $M B$ , $M C$ theo gốc $A$ rồi giải ra $A M$ .

M B + 3 M C = 0

(A B - A M) + 3 (A C - A M) = 0

4 A M = A B + 3 A C

A M = \frac{1}{4} A B + \frac{3}{4} A C

Vậy $A M = \frac{1}{4} A B + \frac{3}{4} A C$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. Gắn $A$ làm gốc, đặt $B (b_{1}; b_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ ; toạ độ $M$ là trung bình có trọng số.

M B = - 3 M C

\Rightarrow

b_{1} - x_{M} = - 3 (c_{1} - x_{M})

\Rightarrow

x_{M} = \frac{b _{1} + 3 c _{1}}{4}

tương tự

y_{M} = \frac{b _{2} + 3 c _{2}}{4}

A M = (\frac{b _{1} + 3 c _{1}}{4}; \frac{b _{2} + 3 c _{2}}{4}) = \frac{1}{4} (b_{1}; b_{2}) + \frac{3}{4} (c_{1}; c_{2})

Vậy $A M = \frac{1}{4} A B + \frac{3}{4} A C$ .

Nhận xét. Hệ số đi kèm $A B$ tỉ lệ với $M C$ , hệ số đi kèm $A C$ tỉ lệ với $M B$ — điểm gần $C$ hơn nên $A C$ "nặng" hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dùng lại luôn kết quả ý a, bốn dòng là xong và không phải nghĩ về hướng.

Đáp số. a)

M B = - 3 M C

. b)

A M = \frac{1}{4} A B + \frac{3}{4} A C

Sai lầm thường gặp. Viết

M B = 3 M C

(quên dấu trừ) — khi đó

M

nằm ngoài đoạn

B C

và ra

A M = - \frac{1}{2} A B + \frac{3}{2} A C

. Một lỗi khác là đổi chỗ hai hệ số thành

\frac{3}{4} A B + \frac{1}{4} A C

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

M

thuộc đoạn

B C

với

M B = k \cdot M C

thì

A M = \frac{1}{k + 1} A B + \frac{k}{k + 1} A C

;

k = 1

cho công thức trung điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.34★★Trang 72— Chứng minh đẳng thức vectơ

Bài 4.34 (trang 72). Cho hình bình hành

A B C D

. Chứng minh rằng với mọi điểm

M

, ta có:

M A + M C = M B + M D

Kiến thức cần nhớ

$A B C D$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $A B = D C$ .
$O$ là trung điểm $A C$ $\Rightarrow$ $M A + M C = 2 M O$ với mọi $M$ .
Quy tắc hiệu: $M A - M B = B A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình bình hành cho hai hệ thức mạnh:

A B = D C

và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

O

mỗi đường. Đẳng thức cần chứng minh "với mọi

M

" nên chuyển vế cho

M

biến mất, hoặc dùng trung điểm để mỗi vế thành

2 M O

1Cách 1. Chuyển vế — quy tắc hiệu

Định hướng. Đưa về hiệu để khử $M$ .

M A + M C = M B + M D

\Leftrightarrow

M A - M B = M D - M C

\Leftrightarrow

B A = C D

Điều này đúng vì

A B C D

là hình bình hành (

A B = D C

)

Vậy đẳng thức đúng với mọi điểm $M$ .

2Cách 2. Tâm hình bình hành

Định hướng. Hai vế cùng bằng $2 M O$ với $O$ là giao điểm hai đường chéo.

O

là trung điểm của

A C

\Rightarrow

M A + M C = 2 M O

O

là trung điểm của

B D

\Rightarrow

M B + M D = 2 M O

\Rightarrow

M A + M C = M B + M D

Vậy đẳng thức đúng với mọi $M$ .

3Cách 3. Chèn điểm

A

Định hướng. Biến đổi vế phải bằng cách chèn $A$ vào mỗi vectơ.

M B + M D = (M A + A B) + (M C + C D)

= M A + M C + (A B + C D)

= M A + M C + 0

(vì

C D = - A B

)

Vậy $M A + M C = M B + M D$ .

Nhận xét. Điều ngược lại cũng đúng: nếu đẳng thức đúng với một điểm $M$ thì $B A = C D$ , tức $A B C D$ là hình bình hành (có thể suy biến).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai dòng, dễ nhớ, và cho luôn ý nghĩa hình học (cả hai vế cùng bằng

2 M O

Đáp số. Đẳng thức đúng với mọi

M

vì tương đương

B A = C D

(hoặc vì hai vế cùng bằng

2 M O

O

là tâm hình bình hành).

Sai lầm thường gặp. Viết

M A - M B = A B

— sai chiều; quy tắc hiệu cho

M A - M B = B A

(điểm cuối của vectơ bị trừ đứng đầu).

🚀 Mở rộng. Hệ quả: với hình bình hành

A B C D

tâm

O

M A + M B + M C + M D = 4 M O

với mọi

M

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.35★★Trang 72— Toạ độ vectơ — tam giác vuông, trọng tâm, hình bình hành

Bài 4.35 (trang 72). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho

A (2; 1)

B (- 2; 5)

và

C (- 5; 2)

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

B A

và

B C

.
b) Chứng minh rằng

A

B

C

là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác

A B C

.
d) Tìm toạ độ của điểm

D

sao cho tứ giác

B C A D

là một hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

$M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M})$ , $M N = (x_{N} - x_{M})^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2}$ .
$u ⊥ v$ $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = 0$ .
Trọng tâm: $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .
Tứ giác $B C A D$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $B C = D A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a gợi ý chính ý b: đã có

B A

B C

cùng gốc

B

thì kiểm tích vô hướng bằng

0

để có góc vuông tại

B

. Ý d cần đọc đúng thứ tự đỉnh

B

C

A

D

: cạnh

B C

song song và bằng cạnh

D A

nên

B C = D A

— đây là chỗ hay sai nhất.

1Cách 1. Tích vô hướng và quy tắc hình bình hành

Định hướng. Làm lần lượt bốn ý bằng công thức toạ độ.

B A = (4; - 4)

B C = (- 3; - 3)

B A

B C

không cùng phương (

4 \cdot (- 3) - (- 3) \cdot (- 4) = - 24 \neq = 0

) và

B A \cdot B C = - 12 + 12 = 0

\Rightarrow

tam giác

A B C

vuông tại

B

B A = 42

B C = 32

A C = (- 7)^{2} + 1^{2} = 52

S = \frac{1}{2} B A \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 32 = 12

, chu vi

= 42 + 32 + 52 = 122

G (\frac{2 - 2 - 5}{3}; \frac{1 + 5 + 2}{3}) = (- \frac{5}{3}; \frac{8}{3})

B C = D A

\Leftrightarrow

(- 3; - 3) = (2 - x_{D}; 1 - y_{D})

\Leftrightarrow

x_{D} = 5

y_{D} = 4

Vậy a) $B A = (4; - 4)$ , $B C = (- 3; - 3)$ ; b) vuông tại $B$ , $S = 12$ , chu vi $122$ ; c) $G (- \frac{5}{3}; \frac{8}{3})$ ; d) $D (5; 4)$ .

2Cách 2. Định lí Pythagore đảo và trung điểm đường chéo

Định hướng. Ý b so sánh bình phương ba cạnh; ý d dùng hai đường chéo $B A$ và $C D$ có chung trung điểm.

A B^{2} = 32

B C^{2} = 18

A C^{2} = 50

\Rightarrow

A B^{2} + B C^{2} = 50 = A C^{2}

\Rightarrow

tam giác vuông tại

B

d) Hình bình hành

B C A D

có hai đường chéo

B A

và

C D

, trung điểm của

B A

là

I (0; 3)

I

là trung điểm

C D

\Rightarrow

x_{D} = 2 \cdot 0 - (- 5) = 5

y_{D} = 2 \cdot 3 - 2 = 4

Vậy tam giác vuông tại $B$ ; $D (5; 4)$ .

3Cách 3. Diện tích bằng công thức toạ độ, kiểm lại

D

Định hướng. Dùng $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ với $B A = (x_{1}; y_{1})$ , $B C = (x_{2}; y_{2})$ .

S = \frac{1}{2} ∣4 \cdot (- 3) - (- 3) \cdot (- 4) ∣ = \frac{1}{2} ∣ - 12 - 12∣ = 12

A D = (3; 3)

C B = (3; 3)

\Rightarrow

A D = C B

(khớp với

B C = D A

)

D

không thuộc đường thẳng

B C

vì

B D = (7; - 1)

không cùng phương

B C

Vậy $S = 12$ và $D (5; 4)$ .

Nhận xét. Công thức $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ đúng với mọi tam giác, không cần biết tam giác vuông; hình bình hành $B C A D$ lúc này là hình chữ nhật vì góc $B$ vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ý a đã cho sẵn hai vectơ chung gốc, tích vô hướng bằng

0

là xong ý b trong một dòng.

Đáp số. a)

B A = (4; - 4)

B C = (- 3; - 3)

. b) Tam giác vuông tại

B

;

S = 12

; chu vi

122

. c)

G (- \frac{5}{3}; \frac{8}{3})

. d)

D (5; 4)

Sai lầm thường gặp. Ở ý d viết

B C = A D

(đọc nhầm thứ tự đỉnh) sẽ ra

D (- 1; - 2)

— khi đó tứ giác đúng là

B C D A

, không phải

B C A D

. Luôn đi theo thứ tự đỉnh:

B \to C

song song cùng chiều với

D \to A

🚀 Mở rộng. Tìm thêm

D^{'}

để

A

B

C

D^{'}

là bốn đỉnh của một hình bình hành (không quy định thứ tự): có ba điểm

D^{'} (5; 4)

D^{'} (- 1; - 2)

D^{'} (- 9; 6)

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.36★★Trang 72— Toạ độ vectơ — cùng phương, phân tích vectơ

Bài 4.36 (trang 72). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho

A (1; 2)

B (3; 4)

C (- 1; - 2)

và

D (6; 5)

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

A B

và

C D

.
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ

A B

và

C D

cùng phương.
c) Giả sử

E

là điểm có toạ độ

(a; 1)

. Tìm

a

để các vectơ

A C

và

B E

cùng phương.
d) Với

a

tìm được, hãy biểu thị vectơ

A E

theo các vectơ

A B

và

A C

Kiến thức cần nhớ

$u = (x; y)$ , $v = (x^{'}; y^{'})$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $x y^{'} - x^{'} y = 0$ .
Hai vectơ không cùng phương $u$ , $v$ : mọi $w$ biểu thị duy nhất $w = x u + y v$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đầu xoay quanh một điều kiện: hai vectơ cùng phương khi toạ độ tỉ lệ. Ý c đặt ẩn

a

vào toạ độ

B E

rồi cho định thức bằng

0

. Ý d là giải hệ hai phương trình bậc nhất tìm hai hệ số

x

y

trong

A E = x A B + y A C

1Cách 1. Định thức và hệ phương trình

Định hướng. Tính toạ độ, dùng điều kiện cùng phương, rồi giải hệ.

A B = (2; 2)

C D = (7; 7)

2 \cdot 7 - 7 \cdot 2 = 0

\Rightarrow

cùng phương (

C D = \frac{7}{2} A B

)
c)

A C = (- 2; - 4)

B E = (a - 3; - 3)

(- 2) \cdot (- 3) - (a - 3) \cdot (- 4) = 0

\Leftrightarrow

6 + 4 a - 12 = 0

\Leftrightarrow

a = \frac{3}{2}

A E = (\frac{1}{2}; - 1) = x (2; 2) + y (- 2; - 4)

\Leftrightarrow

⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 2 y = \frac{1}{2} 2 x - 4 y = - 1

\Leftrightarrow

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = \frac{3}{4}

Vậy a) $A B = (2; 2)$ , $C D = (7; 7)$ ; c) $a = \frac{3}{2}$ ; d) $A E = A B + \frac{3}{4} A C$ .

2Cách 2. Tìm hệ số tỉ lệ

k

Định hướng. Cùng phương khi $B E = k A C$ .

C D = (7; 7) = \frac{7}{2} (2; 2) = \frac{7}{2} A B

(a - 3; - 3) = k (- 2; - 4)

\Rightarrow

k = \frac{3}{4}

(từ tung độ),

a - 3 = - \frac{3}{2}

\Rightarrow

a = \frac{3}{2}

A E = A B + B E = A B + \frac{3}{4} A C

Vậy $a = \frac{3}{2}$ ; $A E = A B + \frac{3}{4} A C$ .

Nhận xét. Cách 2 cho ý d gần như miễn phí: hệ số $k = \frac{3}{4}$ tìm ở ý c chính là hệ số của $A C$ .

3Cách 3. Hình học — đường thẳng song song

Định hướng. $B E$ cùng phương $A C$ nghĩa là $E$ nằm trên đường thẳng qua $B$ song song $A C$ .

A C = (- 2; - 4)

cùng phương

(1; 2)

: đường thẳng qua

B (3; 4)

song song

A C

gồm các điểm

(3 + t; 4 + 2 t)

4 + 2 t = 1

\Rightarrow

t = - \frac{3}{2}

\Rightarrow

E (\frac{3}{2}; 1)

a = \frac{3}{2}

kiểm tra ý d:

A B + \frac{3}{4} A C = (2; 2) + (- \frac{3}{2}; - 3) = (\frac{1}{2}; - 1) = A E

Vậy $a = \frac{3}{2}$ và $A E = A B + \frac{3}{4} A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tìm

k

ở ý c rồi dùng quy tắc ba điểm, ý d chỉ còn một dòng.

Đáp số. a)

A B = (2; 2)

C D = (7; 7)

. b)

C D = \frac{7}{2} A B

. c)

a = \frac{3}{2}

. d)

A E = A B + \frac{3}{4} A C

Sai lầm thường gặp. Ở ý c lấy

B E = (3 - a; 3)

(đầu trừ cuối) — kết quả

a

tình cờ vẫn đúng vì chỉ đổi dấu cả vectơ, nhưng sang ý d sẽ sai hệ số. Ở ý b nhiều bạn kết luận "hai vectơ bằng nhau" — chỉ cùng phương (cùng hướng), độ dài khác nhau.

🚀 Mở rộng. Ở ý b, bốn điểm

A

B

C

D

có thẳng hàng không?

A C = (- 2; - 4)

không cùng phương

A B

nên không — vậy

A B ∥ C D

và

A B D C

là hình thang.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.37★★Trang 72— Chứng minh — vectơ đơn vị cùng hướng

Bài 4.37 (trang 72). Cho vectơ

a \neq = 0

. Chứng minh rằng

\frac{1}{∣ a ∣} a

(hay còn được viết là

\frac{a}{∣ a ∣}

) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ

a

Kiến thức cần nhớ

$k a$ có độ dài $∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ ; cùng hướng với $a$ nếu $k > 0$ , ngược hướng nếu $k < 0$ .
Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cần chứng minh hai điều: độ dài bằng

1

và cùng hướng với

a

. Cả hai đọc thẳng từ định nghĩa tích của một số với một vectơ:

k a

có độ dài

∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣

, cùng hướng với

a

khi

k > 0

. Chỉ cần lưu ý

k = \frac{1}{∣ a ∣}

xác định và dương vì

a \neq = 0

1Cách 1. Định nghĩa tích với một số

Định hướng. Áp dụng trực tiếp định nghĩa với $k = \frac{1}{∣ a ∣}$ .

a \neq = 0

\Rightarrow

∣ a ∣ > 0

\Rightarrow

k = \frac{1}{∣ a ∣} > 0

\frac{1}{∣ a ∣} a = \frac{1}{∣ a ∣} \cdot ∣ a ∣ = 1

k > 0

\Rightarrow

\frac{1}{∣ a ∣} a

cùng hướng với

a

Vậy $\frac{a}{∣ a ∣}$ là vectơ đơn vị cùng hướng với $a$ .

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. Đặt $a = (x; y)$ , $x^{2} + y^{2} > 0$ .

\frac{a}{∣ a ∣} = (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}; \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}})

\frac{a}{∣ a ∣}^{2} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = 1

a \cdot \frac{a}{∣ a ∣} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = ∣ a ∣ = ∣ a ∣ \cdot 1

\Rightarrow

cos (a, \frac{a}{∣ a ∣}) = 1

Vậy độ dài bằng $1$ và góc với $a$ bằng $0^{\circ}$ , tức cùng hướng.

3Cách 3. Dựng hình

Định hướng. Đặt $a = O A$ , lấy $E$ trên tia $O A$ với $O E = 1$ .

E

thuộc tia

O A

\Rightarrow

O E

cùng hướng

O A

và

\frac{O E}{O A} = \frac{1}{∣ a ∣}

\Rightarrow

O E = \frac{1}{∣ a ∣} O A = \frac{a}{∣ a ∣}

∣ O E ∣ = O E = 1

Vậy $\frac{a}{∣ a ∣} = O E$ là vectơ đơn vị cùng hướng với $a$ .

Nhận xét. "Chia vectơ cho độ dài của nó" là phép chuẩn hoá: giữ nguyên hướng, đưa độ dài về $1$ . Ví dụ $a = (3; 4)$ cho vectơ đơn vị $(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng bám sát định nghĩa, đủ chặt chẽ.

Đáp số.

\frac{a}{∣ a ∣} = 1

và hệ số

\frac{1}{∣ a ∣} > 0

nên

\frac{a}{∣ a ∣}

là vectơ đơn vị cùng hướng với

a

Sai lầm thường gặp. Quên nêu điều kiện

a \neq = 0

: khi

a = 0

thì

∣ a ∣ = 0

, biểu thức

\frac{1}{∣ a ∣}

không xác định. Cũng không được viết "chia vectơ cho vectơ"

\frac{a}{a} = 1

— không có phép chia hai vectơ.

🚀 Mở rộng. Hệ quả: vectơ cùng hướng với

a \neq = 0

và có độ dài

m

là

\frac{m}{∣ a ∣} a

; ví dụ vectơ độ dài

10

cùng hướng với

(3; 4)

là

(6; 8)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.38★★★Trang 72— Chứng minh — toạ độ vectơ bằng tích vô hướng

Bài 4.38 (trang 72). Cho ba vectơ

a

b

u

với

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1

và

a ⊥ b

. Xét một hệ trục

O x y

với các vectơ đơn vị

i = a

j = b

. Chứng minh rằng:
a) Vectơ

u

có toạ độ là

(u \cdot a; u \cdot b)

.
b)

u = (u \cdot a) a + (u \cdot b) b

Kiến thức cần nhớ

$u = (x; y)$ trong hệ $O x y$ $\Leftrightarrow$ $u = x i + y j$ .
$i^{2} = j^{2} = 1$ , $i \cdot j = 0$ .
Theo toạ độ: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ

(x; y)

của

u

trong hệ

O x y

được định nghĩa qua

u = x i + y j

. Để "lấy riêng"

x

ra, nhân vô hướng hai vế với

i

: vì

i^{2} = 1

i \cdot j = 0

nên chỉ còn

x

. Ý b chỉ là viết lại định nghĩa toạ độ sau khi có ý a.

1Cách 1. Nhân vô hướng hai vế

Định hướng. Viết $u = x a + y b$ rồi nhân lần lượt với $a$ , $b$ .

u = x i + y j = x a + y b

u \cdot a = x a^{2} + y b \cdot a = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x

u \cdot b = x a \cdot b + y b^{2} = x \cdot 0 + y \cdot 1 = y

u = (u \cdot a; u \cdot b)

u = x a + y b = (u \cdot a) a + (u \cdot b) b

Vậy cả hai đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Công thức toạ độ của tích vô hướng

Định hướng. Trong hệ $O x y$ này, $a = i = (1; 0)$ , $b = j = (0; 1)$ .

Gọi

u = (x; y)

u \cdot a = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x

u \cdot b = x \cdot 0 + y \cdot 1 = y

\Rightarrow

u = (u \cdot a; u \cdot b)

(u \cdot a) a + (u \cdot b) b = x (1; 0) + y (0; 1) = (x; y) = u

Vậy a) và b) đều đúng.

3Cách 3. Hình chiếu vuông góc

Định hướng. Đặt $u = O M$ ; hạ $M H ⊥ O x$ , $M K ⊥ O y$ .

O M = O H + O K

(hình chữ nhật

O H M K

)

O H

là hình chiếu của

u

lên trục

O x

\Rightarrow

u \cdot a = O H \cdot a

= độ dài đại số

\overline{O H}

= hoành độ

x

tương tự

u \cdot b = \overline{O K} = y

\Rightarrow

u = \overline{O H} a + \overline{O K} b = (u \cdot a) a + (u \cdot b) b

Vậy toạ độ của $u$ là $(u \cdot a; u \cdot b)$ .

Nhận xét. Ý nghĩa: tích vô hướng với một vectơ đơn vị cho độ dài đại số hình chiếu. Vì thế trong vật lí, thành phần của lực theo một phương bằng tích vô hướng của lực với vectơ đơn vị của phương đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: không phụ thuộc hệ trục, chỉ dùng tính chất

a^{2} = 1

a \cdot b = 0

— lập luận gọn và chặt.

Đáp số. Nhân vô hướng

u = x a + y b

với

a

b

được

x = u \cdot a

y = u \cdot b

; suy ra a) và b).

Sai lầm thường gặp. Viết

u \cdot a = x a

(còn vectơ ở vế phải) — tích vô hướng là số. Một lỗi khác là quên dùng giả thiết

∣ a ∣ = 1

: nếu

∣ a ∣ \neq = 1

thì

u \cdot a = x ∣ a ∣^{2}

, công thức không còn đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

a ⊥ b

nhưng độ dài tuỳ ý (khác

0

) thì

u = \frac{u \cdot a}{a ^{2}} a + \frac{u \cdot b}{b ^{2}} b

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.39★★★Trang 72— Ứng dụng vectơ — tổng hợp vận tốc

Bài 4.39 (trang 72). Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng

20

km/h. Tính độ lớn của vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng

3

km/h.

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc thực = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước: $v = u + w$ .
$∣ v - w ∣^{2} = v^{2} - 2 v \cdot w + w^{2}$ .
Hướng S $α$ E: từ hướng nam quay về phía đông một góc $α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc thực

v

(so với bờ) là tổng của vận tốc riêng

u

(so với nước) và vận tốc dòng nước

w

v = u + w

. Đề cho

v

và

w

, cần

∣ u ∣ = ∣ v - w ∣

. Hướng S15°E nghĩa là lệch từ hướng nam về phía đông

1 5^{\circ}

, nên góc giữa

v

và hướng đông là

7 5^{\circ}

— bẫy chính của bài.

1Cách 1. Bình phương vô hướng

Định hướng. $u = v - w$ với $(v, w) = 9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .

∣ u ∣^{2} = ∣ v ∣^{2} - 2∣ v ∣∣ w ∣ cos 7 5^{\circ} + ∣ w ∣^{2}

= 2 0^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 3 cos 7 5^{\circ} + 3^{2} = 409 - 120 cos 7 5^{\circ} \approx 409 - 31, 06 = 377, 94

∣ u ∣ \approx 377, 94 \approx 19, 44

(km/h)

Vậy độ lớn vận tốc riêng của ca nô xấp xỉ $19, 44$ km/h.

2Cách 2. Toạ độ

Định hướng. Chọn trục $O x$ hướng đông, $O y$ hướng bắc.

v = (20 sin 1 5^{\circ}; - 20 cos 1 5^{\circ})

w = (3; 0)

u = v - w = (20 sin 1 5^{\circ} - 3; - 20 cos 1 5^{\circ}) \approx (2, 176; - 19, 319)

∣ u ∣ \approx 2, 17 6^{2} + 19, 31 9^{2} \approx 377, 94 \approx 19, 44

(km/h)

Vậy $∣ u ∣ \approx 19, 44$ km/h.

3Cách 3. Định lí côsin trong tam giác vận tốc

Định hướng. Vẽ $O V = v$ , $U V = w$ ; khi đó $O U = u$ và tam giác $O U V$ có $O V U = 7 5^{\circ}$ .

V U = - w

hướng tây; góc giữa hướng S15°E (tia

V O

ngược lại là N15°W) và hướng tây bằng

7 5^{\circ}

O U^{2} = O V^{2} + V U^{2} - 2 \cdot O V \cdot V U cos 7 5^{\circ} = 400 + 9 - 120 cos 7 5^{\circ}

O U \approx 19, 44

(km/h)

Vậy $∣ u ∣ \approx 19, 44$ km/h.

Nhận xét. Vận tốc riêng nhỏ hơn vận tốc thực một chút vì dòng nước "đẩy giúp" một phần theo hướng đông; nếu nước chảy về hướng tây thì $∣ u ∣^{2} = 409 + 120 cos 7 5^{\circ}$ , $∣ u ∣ \approx 20, 98$ km/h.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần xác định đúng góc

7 5^{\circ}

rồi thay vào một công thức.

Đáp số.

∣ u ∣ = 409 - 120 cos 7 5^{\circ} \approx 19, 44

km/h.

Sai lầm thường gặp. Lấy góc giữa

v

và

w

bằng

1 5^{\circ}

(đọc nhầm hướng S15°E là lệch

1 5^{\circ}

so với hướng đông) sẽ ra

∣ u ∣ \approx 17, 12

km/h. Một lỗi khác là cộng

v + w

thay vì trừ, ra khoảng

20, 98

km/h.

🚀 Mở rộng. Ca nô phải hướng mũi theo hướng nào (vận tốc riêng) để đi đúng S15°E? Góc giữa

u

và hướng nam là

arctan \frac{20 sin 1 5 ^{\circ} - 3}{20 cos 1 5 ^{\circ}} \approx 6, 4^{\circ}

, tức khoảng S6,4°E.

Mở bài này trong app ↗