Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài tập cuối chương V

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.19★★Trang 81— Trắc nghiệm — quy tròn số gần đúng theo độ chính xác

Bài 5.19 (trang 81). Số quy tròn của số gần đúng

167, 23 \pm 0, 07

là
A.

167, 23

;
B.

167, 2

;
C.

167, 3

;
D.

167

Kiến thức cần nhớ

Nếu độ chính xác $d$ đến hàng nào (hàng của chữ số khác $0$ đầu tiên bên trái của $d$ ) thì quy tròn số gần đúng đến hàng liền trước hàng đó.
Làm tròn: chữ số bỏ đi nhỏ hơn $5$ thì giữ nguyên chữ số hàng làm tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số gần đúng kèm độ chính xác

d = 0, 07

, hỏi "số quy tròn" — dạng quy tròn theo độ chính xác.

d

thuộc hàng phần trăm nên ta quy tròn đến hàng liền trước, hàng phần mười. Bẫy: chọn

167, 3

vì "làm tròn lên" hoặc giữ nguyên

167, 23

1Cách 1. Quy tắc hàng của độ chính xác

Định hướng. Xác định hàng của $d$ rồi quy tròn đến hàng liền trước.

d = 0, 07

: chữ số khác

0

đầu tiên ở hàng phần trăm

\Rightarrow

quy tròn đến hàng phần mười

167, 23 \approx 167, 2

(chữ số bỏ đi là

3 < 5

)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Khoảng chứa giá trị đúng

Định hướng. Viết số đúng dưới dạng khoảng rồi chọn số có ít chữ số thập phân nhất mà vẫn đại diện tốt cho khoảng.

167, 23 - 0, 07 \leq \overline{a} \leq 167, 23 + 0, 07

, tức

167, 16 \leq \overline{a} \leq 167, 30

Chữ số hàng phần trăm của

\overline{a}

có thể là

6; 7; 8; 9

hoặc

0

\Rightarrow

không đáng tin, bỏ đi
Mọi điểm của khoảng cách

167, 2

không quá

0, 1

; cách

167

tới

0, 3

Vậy số quy tròn là $167, 2$ , chọn B.

3Cách 3. Loại trừ phương án

Định hướng. Kiểm từng phương án theo hai tiêu chí: đúng hàng và đúng quy tắc làm tròn.

167, 23

giữ cả hàng phần trăm không đáng tin

\Rightarrow

loại
C:

167, 23 \to 167, 3

sai quy tắc làm tròn (

3 < 5

)

\Rightarrow

loại
D:

167

bỏ cả hàng phần mười vẫn đáng tin

\Rightarrow

thừa độ thô, loại
B:

∣167, 2 - 167, 23∣ + 0, 07 = 0, 1

\Rightarrow

sai số mới vừa đúng một đơn vị hàng phần mười

Vậy chọn B.

Nhận xét. Quy tròn luôn làm sai số tăng lên một chút; ở đây sai số mới không vượt quá $0, 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hàng của

d

là biết ngay cần quy tròn đến hàng nào.

Đáp số. B.

167, 2

Sai lầm thường gặp. Quy tròn đến chính hàng của

d

(hàng phần trăm) và giữ

167, 23

. Phải quy tròn đến hàng LIỀN TRƯỚC hàng của

d

🚀 Mở rộng. Với

a = 2, 718 \pm 0, 003

thì

d

thuộc hàng phần nghìn, số quy tròn là

2, 72

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.20★Trang 81— Trắc nghiệm — đọc cách viết số gần đúng

Bài 5.20 (trang 81). Biết độ ẩm không khí tại Hà Nội là

51% \pm 2%

. Khi đó
A. Sai số tuyệt đối

δ = 2%

;
B. Sai số tuyệt đối

δ = 1%

;
C. Độ chính xác

d = 2%

;
D. Độ chính xác

d = 1%

Kiến thức cần nhớ

Viết $\overline{a} = a \pm d$ nghĩa là $a - d \leq \overline{a} \leq a + d$ ; $d$ là độ chính xác.
Sai số tuyệt đối $Δ_{a} = ∣ \overline{a} - a ∣ \leq d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cách viết

a \pm d

là quy ước chuẩn:

a

là số gần đúng,

d

là độ chính xác. Sai số tuyệt đối

Δ_{a} = ∣ \overline{a} - a ∣

thường không biết vì không biết giá trị đúng, ta chỉ biết nó không vượt quá

d

1Cách 1. Đọc theo quy ước

Định hướng. Đối chiếu $51% \pm 2%$ với dạng $a \pm d$ .

a = 51%

d = 2%

Vậy độ chính xác $d = 2%$ , chọn C.

2Cách 2. Loại trừ theo bản chất sai số tuyệt đối

Định hướng. Sai số tuyệt đối phụ thuộc giá trị đúng — mà đề không cho.

Δ_{a} = ∣ \overline{a} - 51%∣

với

\overline{a}

chưa biết
Chỉ biết

Δ_{a} \leq 2%

\Rightarrow

không khẳng định được

Δ_{a} = 2%

hay

1%

: loại A, B

d = 2% \neq = 1%

: loại D

Vậy chọn C.

3Cách 3. Khoảng chứa giá trị đúng

Định hướng. Viết lại dưới dạng khoảng và đo nửa độ dài.

49% \leq \overline{a} \leq 53%

Nửa độ dài khoảng:

\frac{53% - 49%}{2} = 2%

Vậy độ chính xác là $2%$ , chọn C.

Nhận xét. Độ chính xác chính là "bán kính" của khoảng chứa giá trị đúng, tâm là số gần đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thuộc dạng

a \pm d

là chọn được ngay.

Đáp số. C. Độ chính xác

d = 2%

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì đồng nhất sai số tuyệt đối với độ chính xác. Sai số tuyệt đối là

∣ \overline{a} - a ∣

, chỉ biết nó

\leq 2%

; nó có thể là

0, 5%

nếu độ ẩm thật là

51, 5%

🚀 Mở rộng. Tính sai số tương đối lớn nhất của phép đo này:

δ_{a} \leq \frac{2%}{51%} \approx 3, 9%

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.21★Trang 81— Trắc nghiệm — tính sai số tương đối

Bài 5.21 (trang 81). Một học sinh thực hành đo chiều cao của một toà tháp cho kết quả là

200

m. Biết chiều cao thực của toà tháp là

201

m, sai số tương đối là
A.

0, 5%

;
B.

1%

;
C.

2%

;
D.

4%

Kiến thức cần nhớ

Sai số tuyệt đối $Δ_{a} = ∣ \overline{a} - a ∣$ .
Sai số tương đối $δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣}$ , thường viết dưới dạng phần trăm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho cả giá trị đo và giá trị thật nên tính được sai số tuyệt đối

Δ_{a} = 1

m, rồi chia cho độ lớn số gần đúng. Các phương án cách nhau xa nên chia cho

200

hay

201

đều ra cùng đáp án.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Tính $Δ_{a}$ rồi chia cho $∣ a ∣$ với $a = 200$ là số đo được.

Δ_{a} = ∣201 - 200∣ = 1

(m)

δ_{a} = \frac{1}{200} = 0, 005 = 0, 5%

Vậy chọn A.

2Cách 2. Chia cho giá trị thật

Định hướng. Kiểm tra lại khi lấy mẫu số là chiều cao thật.

\frac{1}{201} \approx 0, 004975 \approx 0, 5%

Vậy vẫn xấp xỉ $0, 5%$ , chọn A.

3Cách 3. Ước lượng loại trừ

Định hướng. Đổi các phương án thành số mét rồi so với sai lệch $1$ m.

1%

của

200

m là

2

> 1

\Rightarrow

loại B, C, D

0, 5%

của

200

m là

1

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách đổi phần trăm ra đơn vị đo giúp kiểm tra nhanh mọi bài sai số tương đối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm "

1%

của

200

là

2

" là loại được ba phương án.

Đáp số. A.

0, 5%

Sai lầm thường gặp. Lấy sai số tuyệt đối

1

m viết thành

1%

(chọn B) — quên chia cho độ lớn của phép đo.

🚀 Mở rộng. Nếu đo một chiếc bàn dài

2

m sai

1

cm thì sai số tương đối cũng là

0, 5%

: hai phép đo "chính xác như nhau" dù sai số tuyệt đối khác xa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.22★Trang 81— Trắc nghiệm — tìm mốt

Bài 5.22 (trang 81). Điểm thi học kì môn Toán của một nhóm bạn như sau:

89710757 8.

Mốt của mẫu số liệu trên là
A.

5

;
B.

7

;
C.

8

;
D.

9

Kiến thức cần nhớ

Mốt $M_{o}$ là giá trị có tần số lớn nhất trong mẫu số liệu.

🧠 Phân tích tư duy

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất. Mẫu chỉ có

8

giá trị nên đếm tần số từng giá trị là nhanh nhất.

1Cách 1. Lập bảng tần số

Định hướng. Đếm số lần xuất hiện của mỗi điểm.

Điểm

5

1

lần; điểm

7

3

lần; điểm

8

2

lần; điểm

9

1

lần; điểm

10

1

lần

Vậy $M_{o} = 7$ , chọn B.

2Cách 2. Sắp xếp rồi gom nhóm

Định hướng. Sắp xếp để các giá trị bằng nhau đứng liền nhau.

5; \underline{7; 7; 7}; 8; 8; 9; 10

Vậy nhóm dài nhất là ba số $7$ , chọn B.

3Cách 3. Loại trừ theo phương án

Định hướng. Chỉ đếm tần số của bốn giá trị trong phương án.

5

1

;

7

3

;

8

2

;

9

1

Vậy $7$ có tần số lớn nhất, chọn B.

Nhận xét. Mốt không cần tính toán, nhưng phải đếm đủ; mẫu có hai giá trị cùng tần số lớn nhất thì có hai mốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi sắp xếp, dãy này dùng lại luôn cho bài 5.23 và 5.24.

Đáp số. B.

7

Sai lầm thường gặp. Nhầm mốt với giá trị lớn nhất (

10

) hoặc với số trung bình (

7, 625

). Mốt là giá trị xuất hiện NHIỀU LẦN nhất.

🚀 Mở rộng. Thêm một bạn được

8

điểm và một bạn nữa cũng

8

điểm thì mốt đổi thành

8

(tần số

4 > 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.23★Trang 82— Trắc nghiệm — trung vị khi số giá trị chẵn

Bài 5.23 (trang 82). Trung vị của mẫu số liệu trong Bài 5.22 là
A.

6

;
B.

7

;
C.

7, 5

;
D.

8

Kiến thức cần nhớ

Sắp xếp tăng dần; $n$ chẵn thì $M_{e} = \frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu có

n = 8

giá trị (chẵn) nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ

4

và thứ

5

sau khi sắp xếp. Bẫy: quên sắp xếp và lấy hai số giữa của dãy gốc.

1Cách 1. Sắp xếp và lấy hai số giữa

Định hướng. Sắp xếp dãy, lấy trung bình của $x_{4}$ và $x_{5}$ .

5; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 10

M_{e} = \frac{x _{4} + x _{5}}{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5

Vậy chọn C.

2Cách 2. Tần số tích luỹ

Định hướng. Dùng bảng tần số tích luỹ để tìm vị trí $4$ và $5$ .

Giá trị

5; 7; 8; 9; 10

— tần số tích luỹ

1; 4; 6; 7; 8

Vị trí

4

thuộc giá trị

7

; vị trí

5

thuộc giá trị

8

M_{e} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5

Vậy chọn C.

3Cách 3. Đếm hai phía

Định hướng. Trung vị chia mẫu thành hai nửa bằng nhau.

Số giá trị

\leq 7

4 = \frac{8}{2}

; số giá trị

\geq 8

4

\Rightarrow

trung vị nằm giữa

7

và

8

, bằng

\frac{7 + 8}{2}

Vậy $M_{e} = 7, 5$ , chọn C.

Nhận xét. Trung vị không nhất thiết là một giá trị có trong mẫu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: sắp xếp

8

số mất vài giây và không thể sai.

Đáp số. C.

7, 5

Sai lầm thường gặp. Lấy hai số giữa của dãy CHƯA sắp xếp (

10

và

7

) được

8, 5

, hoặc chọn B vì

7

là mốt.

🚀 Mở rộng. Bỏ bạn được

5

điểm thì mẫu còn

7

giá trị

7; 7; 7; 8; 8; 9; 10

, trung vị là

8

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.24★Trang 82— Trắc nghiệm — trung vị khi bổ sung giá trị

Bài 5.24 (trang 82). Bổ sung thêm số

9

vào mẫu số liệu trong Bài 5.22 thì trung vị của mẫu số liệu mới là
A.

6

;
B.

7

;
C.

7, 5

;
D.

8

Kiến thức cần nhớ

$n$ lẻ thì $M_{e} = x_{(n + 1) /2}$ của dãy đã sắp xếp.

🧠 Phân tích tư duy

Thêm một giá trị thì

n = 9

(lẻ), trung vị là giá trị đứng thứ

5

. Số thêm vào

9

lớn hơn trung vị cũ

7, 5

nên trung vị dịch lên phía trên.

1Cách 1. Sắp xếp lại

Định hướng. Chèn $9$ vào dãy đã sắp xếp rồi lấy số thứ $5$ .

5; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10

M_{e} = x_{5} = 8

Vậy chọn D.

2Cách 2. Dịch vị trí từ bài 5.23

Định hướng. Số mới lớn hơn trung vị cũ nên nửa trên có thêm một phần tử.

x_{4} = 7

x_{5} = 8

Thêm

9 > 8

\Rightarrow

các số từ vị trí

5

trở xuống giữ nguyên

M_{e} = x_{5} = 8

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đếm hai phía

Định hướng. Kiểm tra giá trị nào có đúng $4$ số đứng mỗi bên.

Với

8

ở vị trí

5

: bên trái

5; 7; 7; 7

(

4

số), bên phải

8; 9; 9; 10

(

4

số)

Vậy $M_{e} = 8$ , chọn D.

Nhận xét. Thêm một số lớn hơn trung vị cũ luôn làm trung vị không giảm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dãy đã sắp xếp sẵn từ bài 5.23, chỉ chèn thêm một số.

Đáp số. D.

8

Sai lầm thường gặp. Vẫn lấy trung bình của số thứ

4

và thứ

5

như khi

n = 8

\frac{7 + 8}{2} = 7, 5

(chọn C). Với

n = 9

lẻ, trung vị là đúng số thứ

5

🚀 Mở rộng. Nếu bổ sung số

5

thay vì

9

thì trung vị mới là

7

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.25★★Trang 82— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của việc bổ sung giá trị

Bài 5.25 (trang 82). Cho mẫu số liệu sau:

156158160162 164.

Nếu bổ sung hai giá trị

154

167

vào mẫu số liệu này thì so với mẫu số liệu ban đầu:
A. Trung vị và số trung bình đều không thay đổi;
B. Trung vị thay đổi, số trung bình không thay đổi;
C. Trung vị không thay đổi, số trung bình thay đổi;
D. Trung vị và số trung bình đều thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Thêm vào mẫu một số nhỏ hơn và một số lớn hơn trung vị thì trung vị không đổi.
Trung bình không đổi khi và chỉ khi tổng độ lệch của các giá trị thêm vào so với trung bình cũ bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu gốc là dãy cách đều, đối xứng quanh

160

nên trung bình và trung vị đều bằng

160

. Thêm một số nhỏ hơn và một số lớn hơn

160

thì trung vị giữ nguyên; trung bình chỉ giữ nguyên khi hai số thêm vào đối xứng qua

160

— ở đây

154

cách

6

167

cách

7

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Tính trung vị, trung bình trước và sau.

M_{e} = 160

;

\overline{x} = \frac{800}{5} = 160

154; 156; 158; 160; 162; 164; 167

M_{e} = x_{4} = 160

;

\overline{x} = \frac{800 + 154 + 167}{7} = \frac{1121}{7} \approx 160, 14

Vậy trung vị không đổi, trung bình thay đổi, chọn C.

2Cách 2. Tổng độ lệch so với 160

Định hướng. Dùng độ lệch để khỏi cộng số lớn.

Độ lệch mẫu gốc:

- 4; - 2; 0; 2; 4

— tổng

0

Độ lệch hai số thêm:

- 6

và

+ 7

— tổng

1

\overline{x}^{'} = 160 + \frac{1}{7} \neq = 160

Thêm một số dưới và một số trên

160

\Rightarrow

160

vẫn đứng giữa

Vậy chọn C.

3Cách 3. Tính đối xứng

Định hướng. Mẫu mới đối xứng qua $160$ khi và chỉ khi hai số thêm đối xứng qua $160$ .

Số đối xứng của

154

qua

160

là

166 \neq = 167

\Rightarrow

mẫu mới lệch nhẹ về phía phải: trung bình tăng
Số giá trị hai bên

160

3

và

3

\Rightarrow

trung vị vẫn là

160

Vậy chọn C.

Nhận xét. Nếu bổ sung $154$ và $166$ thì cả trung vị lẫn trung bình đều giữ nguyên (phương án A).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tổng độ lệch

- 6 + 7 = 1 \neq = 0

là thấy ngay trung bình đổi.

Đáp số. C. Trung vị không thay đổi, số trung bình thay đổi.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy "một số nhỏ hơn, một số lớn hơn" nên nghĩ trung bình cũng giữ nguyên. Trung bình phụ thuộc cả độ lớn:

154

và

167

cách

160

không đều nhau.

🚀 Mở rộng. Tìm

x

để bổ sung hai giá trị

154

và

x

mà trung bình vẫn là

160

x = 166

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.26★Trang 82— Trắc nghiệm — tìm tứ phân vị thứ nhất

Bài 5.26 (trang 82). Cho mẫu số liệu sau:

156158160162 164.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là
A.

156

;
B.

157

;
C.

158

;
D.

159

Kiến thức cần nhớ

$n$ lẻ: $Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ , không tính $Q_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

n = 5

lẻ: trung vị là

160

; nửa dưới (không tính trung vị) gồm

156; 158

, trung vị của nửa này là

Q_{1}

. Bẫy: tính cả

160

vào nửa dưới thì được

158

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Tìm $Q_{2}$ , tách nửa dưới rồi lấy trung vị.

Q_{2} = 160

Nửa dưới:

156; 158

Q_{1} = \frac{156 + 158}{2} = 157

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức vị trí

Định hướng. Với $n = 5$ : nửa dưới có $2$ phần tử là $x_{1}, x_{2}$ .

Q_{1} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{156 + 158}{2} = 157

Vậy chọn B.

3Cách 3. Đối xứng

Định hướng. Mẫu đối xứng qua $160$ nên $Q_{1}$ và $Q_{3}$ đối xứng qua $160$ .

Nửa trên

162; 164

\Rightarrow

Q_{3} = 163

Q_{1} = 2 \cdot 160 - Q_{3} = 320 - 163 = 157

Vậy chọn B.

Nhận xét. Từ đó $Δ_{Q} = 163 - 157 = 6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng, không thể nhầm nếu nhớ bỏ

Q_{2}

ra khỏi nửa dưới.

Đáp số. B.

157

Sai lầm thường gặp. Tính nửa dưới là

156; 158; 160

rồi lấy

Q_{1} = 158

(chọn C). Theo SGK, khi

n

lẻ không đưa

Q_{2}

vào hai nửa.

🚀 Mở rộng. Thêm giá trị

166

vào mẫu (

n = 6

chẵn) thì nửa dưới là

156; 158; 160

và

Q_{1} = 158

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.27★Trang 82— Trắc nghiệm — khoảng biến thiên

Bài 5.27 (trang 82). Mẫu số liệu trong Bài 5.26 có khoảng biến thiên là
A.

2

;
B.

4

;
C.

6

;
D.

8

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R = x_{ma x} - x_{min}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng biến thiên chỉ cần giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Các phương án A, C là "bẫy" khoảng cách giữa hai số liền nhau (

2

) và khoảng tứ phân vị (

6

1Cách 1. Định nghĩa

Định hướng. Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.

R = 164 - 156 = 8

Vậy chọn D.

2Cách 2. Dãy cách đều

Định hướng. Mẫu là dãy cách đều với bước $2$ , gồm $5$ số, tức $4$ bước.

R = 4 \cdot 2 = 8

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phân biệt với khoảng tứ phân vị

Định hướng. Tính $Δ_{Q}$ để thấy vì sao phương án C là bẫy.

Q_{1} = 157

Q_{3} = 163

\Rightarrow

Δ_{Q} = 6

R = 164 - 156 = 8 > Δ_{Q}

Vậy khoảng biến thiên là $8$ , chọn D.

Nhận xét. Luôn có $R \geq Δ_{Q}$ vì đoạn $[Q_{1}; Q_{3}]$ nằm trong đoạn $[x_{min}; x_{ma x}]$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép trừ.

Đáp số. D.

8

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nhầm khoảng biến thiên với khoảng tứ phân vị

Δ_{Q} = 6

🚀 Mở rộng. Sau khi bổ sung

154

và

167

(bài 5.25), khoảng biến thiên mới là

167 - 154 = 13

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.28★Trang 82— Trắc nghiệm — phương sai của mẫu hằng

Bài 5.28 (trang 82). Mẫu số liệu mà tất cả các số trong mẫu này bằng nhau có phương sai là
A.

- 1

;
B.

0

;
C.

1

;
D.

2

Kiến thức cần nhớ

$s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} \geq 0$ ; $s^{2} = 0$ khi và chỉ khi mọi $x_{i} = \overline{x}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi giá trị bằng nhau thì trung bình cũng bằng giá trị đó, mọi độ lệch bằng

0

. Có thể loại A ngay vì phương sai là trung bình của các bình phương nên không âm.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Cho $x_{1} = \dots = x_{n} = c$ và thay vào công thức.

\overline{x} = \frac{n c}{n} = c

x_{i} - \overline{x} = 0

với mọi

i

s^{2} = \frac{0 + \dots + 0}{n} = 0

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức rút gọn

Định hướng. Dùng $s^{2} = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$ .

\overline{x^{2}} = \frac{n c ^{2}}{n} = c^{2}

;

\overline{x}^{2} = c^{2}

s^{2} = c^{2} - c^{2} = 0

Vậy chọn B.

3Cách 3. Ví dụ và loại trừ

Định hướng. Thử một mẫu cụ thể, đồng thời loại phương án vô lí.

s^{2} \geq 0

\Rightarrow

loại A
Mẫu

5; 5; 5

\overline{x} = 5

s^{2} = \frac{0 + 0 + 0}{3} = 0

\Rightarrow

loại C, D

Vậy chọn B.

Nhận xét. Phương sai bằng $0$ nói lên mẫu "không phân tán chút nào".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mọi độ lệch bằng

0

thì phương sai bằng

0

, không cần viết gì thêm.

Đáp số. B.

0

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nghĩ "mọi số bằng nhau" thì tỉ số bằng

1

. Phương sai đo độ lệch khỏi trung bình, không phải tỉ số giữa các giá trị.

🚀 Mở rộng. Chiều ngược lại cũng đúng: mẫu có phương sai bằng

0

thì mọi giá trị bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.29★Trang 82— Trắc nghiệm — ý nghĩa của tứ phân vị dưới

Bài 5.29 (trang 82). Số giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn tứ phân vị dưới

Q_{1}

chiếm khoảng
A.

25%

số giá trị của dãy;
B.

50%

số giá trị của dãy;
C.

75%

số giá trị của dãy;
D.

100%

số giá trị của dãy.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng $25%$ số giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ , khoảng $50%$ nhỏ hơn $Q_{2}$ , khoảng $75%$ nhỏ hơn $Q_{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Q_{1}

là trung vị của nửa dưới: nửa dưới chiếm

50%

, dưới

Q_{1}

là một nửa của nửa đó. Chữ "khoảng" trong đề vì với mẫu cụ thể tỉ lệ có thể lệch chút ít so với

25%

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Ba tứ phân vị chia mẫu thành bốn phần gần bằng nhau.

Dưới

Q_{1}

là phần thứ nhất trong bốn phần

\frac{1}{4} = 25%

Vậy chọn A.

2Cách 2. Nửa của nửa

Định hướng. $Q_{2}$ chia đôi mẫu, $Q_{1}$ chia đôi nửa dưới.

Dưới

Q_{2}

: khoảng

50%

Dưới

Q_{1}

: khoảng

\frac{1}{2} \cdot 50% = 25%

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử mẫu cụ thể

Định hướng. Lấy mẫu $1; 2; \dots; 8$ .

Q_{1} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5

Giá trị nhỏ hơn

2, 5

1; 2

\Rightarrow

\frac{2}{8} = 25%

Vậy chọn A.

Nhận xét. Với $n = 5$ , chỉ $1$ trong $5$ giá trị ( $20%$ ) nhỏ hơn $Q_{1}$ — vì thế đề nói "khoảng".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhớ "

Q_{1}

là trung vị của nửa dưới".

Đáp số. A. Khoảng

25%

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nghĩ tới

75%

số giá trị LỚN HƠN

Q_{1}

. Đề hỏi số giá trị NHỎ HƠN

Q_{1}

🚀 Mở rộng. Số giá trị nằm giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

chiếm khoảng

50%

— đó là lí do

Δ_{Q}

đo độ phân tán của "nửa giữa" mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.30★Trang 83— Trắc nghiệm — định nghĩa khoảng tứ phân vị

Bài 5.30 (trang 83). Khoảng tứ phân vị

Δ_{Q}

là
A.

Q_{2} - Q_{1}

;
B.

Q_{3} - Q_{1}

;
C.

Q_{3} - Q_{2}

;
D.

(Q_{1} + Q_{3}) : 2

Kiến thức cần nhớ

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng tứ phân vị là độ dài của đoạn chứa

50%

số liệu ở giữa, từ

Q_{1}

đến

Q_{3}

. Các phương án A, C chỉ là một nửa đoạn đó; D là trung điểm, một số đo vị trí chứ không phải độ dài.

1Cách 1. Định nghĩa

Định hướng. Nhắc lại định nghĩa trong SGK.

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Loại trừ theo ý nghĩa

Định hướng. $Δ_{Q}$ phải là độ dài đoạn chứa khoảng $50%$ số liệu ở giữa.

Q_{2} - Q_{1}

Q_{3} - Q_{2}

: đoạn chỉ chứa khoảng

25%

\Rightarrow

loại A, C

(Q_{1} + Q_{3}) : 2

: là một vị trí, không phải độ dài

\Rightarrow

loại D

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử trên mẫu cụ thể

Định hướng. Dùng mẫu $156; 158; 160; 162; 164$ có $Q_{1} = 157$ , $Q_{2} = 160$ , $Q_{3} = 163$ .

3

;

6

;

3

;

160

Đoạn

[157; 163]

chứa

158; 160; 162

— "nửa giữa" của mẫu, dài

6

Vậy chọn B.

Nhận xét. Phương án D cho ra đúng $Q_{2}$ vì mẫu đối xứng — càng chứng tỏ D là số đo vị trí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thuộc định nghĩa.

Đáp số. B.

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

Sai lầm thường gặp. Chọn A hoặc C vì nhầm

Δ_{Q}

với khoảng cách giữa hai tứ phân vị liền nhau.

🚀 Mở rộng. Ngưỡng phát hiện giá trị bất thường dùng chính

Δ_{Q}

x < Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}

hoặc

x > Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.31★★Trang 83— Sai số tương đối trong thực tế

Bài 5.31 (trang 83). Một nhân viên kiểm tra định kì một cột đo xăng dầu, kết quả đo (trong một thời gian nhất định) là

50

lít. Đồng hồ của cột đo xăng dầu báo là

50, 3

lít. Theo quy định, sai số lớn nhất đối với kiểm tra định kì là

0, 5%

(Theo Văn bản kĩ thuật đo lường Việt Nam, ĐLVN 10 : 2017). Giá trị trên đồng hồ của cột đo xăng dầu có nằm trong giới hạn cho phép không?

Kiến thức cần nhớ

Sai số tuyệt đối $Δ = ∣ \overline{a} - a ∣$ ; sai số tương đối $δ = \frac{Δ}{∣ a ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Quy định cho dưới dạng phần trăm nên phải so sánh SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI của đồng hồ với

0, 5%

. Giá trị

50

lít đo bởi nhân viên kiểm tra coi là giá trị chuẩn. Có thể so ở dạng phần trăm hoặc đổi

0, 5%

ra số lít.

1Cách 1. So sai số tương đối

Định hướng. Tính sai số tương đối của đồng hồ so với giá trị chuẩn $50$ lít.

Δ = ∣50, 3 - 50∣ = 0, 3

(lít)

δ = \frac{0 , 3}{50} = 0, 006 = 0, 6%

0, 6% > 0, 5%

Vậy giá trị trên đồng hồ KHÔNG nằm trong giới hạn cho phép.

2Cách 2. Đổi giới hạn ra số lít

Định hướng. Tìm khoảng số lít đồng hồ được phép báo.

0, 5% \cdot 50 = 0, 25

(lít)
Được phép:

50 - 0, 25 \leq x \leq 50 + 0, 25

, tức

49, 75 \leq x \leq 50, 25

50, 3 > 50, 25

Vậy đồng hồ báo vượt giới hạn cho phép.

3Cách 3. Chia theo số đồng hồ báo

Định hướng. Kiểm tra kết luận khi lấy mẫu số là $50, 3$ .

\frac{0 , 3}{50 , 3} \approx 0, 596% > 0, 5%

Vậy dù chia cho $50$ hay $50, 3$ thì sai số vẫn vượt $0, 5%$ : cột đo không đạt yêu cầu.

Nhận xét. Đồng hồ báo nhiều hơn lượng xăng thực bơm, người mua bị thiệt khoảng $0, 3$ lít mỗi $50$ lít.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi

0, 5%

0, 25

lít rồi so trực tiếp, trực quan và khó nhầm.

Đáp số. Không. Sai số tương đối

\frac{0 , 3}{50} = 0, 6% > 0, 5%

(đồng hồ được phép báo từ

49, 75

đến

50, 25

lít).

Sai lầm thường gặp. So sai số tuyệt đối

0, 3

với

0, 5

và kết luận "đạt" — nhầm

0, 5%

thành

0, 5

lít.

🚀 Mở rộng. Với bồn

20

lít, đồng hồ được phép báo sai tối đa

0, 1

lít; nếu báo

20, 12

lít thì cũng không đạt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.32★★Trang 83— Trung bình có trọng số và làm tròn

Bài 5.32 (trang 83). Điểm tổng kết học kì các môn học của An được cho như sau:

Toán	Vật lí	Hoá học	Ngữ văn	Lịch sử	Địa lí	Tin học	Tiếng Anh
7,6	8,5	7,4	7,2	8,6	8,3	8,0	9,2

a) Biết rằng điểm môn Toán và môn Ngữ văn tính hệ số

2

, các môn khác tính hệ số

1

. Điểm trung bình học kì của An là bao nhiêu?
b) Thực hiện làm tròn điểm trung bình tính được ở câu a đến hàng phần mười.

Kiến thức cần nhớ

Trung bình có trọng số: $\overline{x} = \frac{k _{1} x _{1} + \dots + k _{n} x _{n}}{k _{1} + \dots + k _{n}}$ .
Làm tròn đến hàng phần mười: chữ số hàng phần trăm $\geq 5$ thì tăng chữ số hàng phần mười thêm $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có hệ số nên đây là trung bình có trọng số: tổng (điểm

\times

hệ số) chia tổng hệ số

= 2 + 2 + 6 = 10

. Chọn gốc

8

để các độ lệch nhỏ, nhẩm nhanh. Câu b chú ý:

7, 96

làm tròn đến hàng phần mười phải viết

8, 0

(giữ chữ số

0

ở hàng phần mười).

1Cách 1. Công thức trung bình có trọng số

Định hướng. Nhân điểm với hệ số, cộng lại, chia tổng hệ số.

\overline{x} = \frac{2 \cdot 7 , 6 + 8 , 5 + 7 , 4 + 2 \cdot 7 , 2 + 8 , 6 + 8 , 3 + 8 , 0 + 9 , 2}{2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1}

= \frac{15 , 2 + 8 , 5 + 7 , 4 + 14 , 4 + 8 , 6 + 8 , 3 + 8 , 0 + 9 , 2}{10} = \frac{79 , 6}{10} = 7, 96

7, 96 \approx 8, 0

Vậy a) $7, 96$ ; b) $8, 0$ .

2Cách 2. Gốc 8 và độ lệch

Định hướng. Viết mỗi điểm thành $8 + d$ , chỉ cộng các độ lệch có trọng số.

d

: Toán

- 0, 4

(hệ số

2

); Lí

0, 5

; Hoá

- 0, 6

; Văn

- 0, 8

(hệ số

2

); Sử

0, 6

; Địa

0, 3

; Tin

0

; Anh

1, 2

\sum k d = - 0, 8 + 0, 5 - 0, 6 - 1, 6 + 0, 6 + 0, 3 + 0 + 1, 2 = - 0, 4

\overline{x} = 8 + \frac{- 0 , 4}{10} = 8 - 0, 04 = 7, 96

Vậy a) $7, 96$ ; b) làm tròn $8, 0$ .

3Cách 3. Tách tổng thường và phần cộng thêm

Định hướng. Hệ số $2$ tương đương cộng thêm điểm Toán và Văn một lần nữa.

Tổng

8

môn:

7, 6 + 8, 5 + 7, 4 + 7, 2 + 8, 6 + 8, 3 + 8, 0 + 9, 2 = 64, 8

Cộng thêm Toán, Văn:

64, 8 + 7, 6 + 7, 2 = 79, 6

\overline{x} = \frac{79 , 6}{8 + 2} = 7, 96

Vậy a) $7, 96$ ; b) $8, 0$ .

Nhận xét. Nếu không nhân hệ số, trung bình là $\frac{64 , 8}{8} = 8, 1$ — cao hơn, vì Toán và Văn là hai môn điểm thấp của An.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: các độ lệch so với

8

đều nhỏ, cộng nhẩm được.

Đáp số. a)

\overline{x} = 7, 96

. b)

7, 96 \approx 8, 0

Sai lầm thường gặp. Chia cho

8

(số môn) thay vì

10

(tổng hệ số) ra

9, 95

; hoặc làm tròn

7, 96

thành

8

mà bỏ mất chữ số hàng phần mười.

🚀 Mở rộng. An cần điểm Toán ít nhất bao nhiêu để trung bình đạt

8, 0

? Cần tổng tăng

0, 4

, tức Toán tăng

0, 2

: ít nhất

7, 8

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 5.33★★Trang 83— Ứng dụng độ lệch chuẩn — chỉ số Z

Bài 5.33 (trang 83). Z-score là chỉ số được tổ chức y tế thế giới WHO sử dụng để đánh giá tình trạng dinh dưỡng của người thông qua các thông số chiều cao, cân nặng và độ tuổi.

Z = \frac{H - h}{s},

trong đó

\overline{h}

là chiều cao trung bình của lứa tuổi,

s

là độ lệch chuẩn,

H

là chiều cao người đang xét. Nếu

Z < - 3

thì người đó suy dinh dưỡng thể thấp còi, mức độ nặng; nếu

- 3 \leq Z < - 2

thì người đó suy dinh dưỡng thể thấp còi, mức độ vừa.
Hỏi một người 17 tuổi, cao

155

cm có bị suy dinh dưỡng thể thấp còi không? Nếu bị thì ở mức độ nào? Biết rằng chiều cao trung bình của nam 17 tuổi là

175, 16

cm và độ lệch chuẩn là

7, 64

cm (Theo WHO).

Kiến thức cần nhớ

$Z = \frac{H - h}{s}$ cho biết $H$ cách trung bình bao nhiêu lần độ lệch chuẩn.
$Z < - 2 \Leftrightarrow H < \overline{h} - 2 s$ ; $Z < - 3 \Leftrightarrow H < \overline{h} - 3 s$ (vì $s > 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức, chỉ cần thay số và so với hai ngưỡng

- 3

- 2

. Có thể làm ngược: đổi hai ngưỡng Z ra hai ngưỡng chiều cao rồi so với

155

cm. Chỉ số Z đo "cách trung bình bao nhiêu lần độ lệch chuẩn".

1Cách 1. Thay số tính Z

Định hướng. Tính $Z$ rồi xác định khoảng chứa $Z$ .

Z = \frac{155 - 175 , 16}{7 , 64} = \frac{- 20 , 16}{7 , 64} \approx - 2, 64

- 3 \leq - 2, 64 < - 2

Vậy người đó bị suy dinh dưỡng thể thấp còi, mức độ vừa.

2Cách 2. Đổi ngưỡng ra chiều cao

Định hướng. Tìm chiều cao ứng với $Z = - 2$ và $Z = - 3$ .

Z = - 2

H = 175, 16 - 2 \cdot 7, 64 = 159, 88

(cm)

Z = - 3

H = 175, 16 - 3 \cdot 7, 64 = 152, 24

(cm)

152, 24 \leq 155 < 159, 88

Vậy người cao $155$ cm thuộc mức thấp còi vừa.

3Cách 3. So độ chênh với bội của s

Định hướng. So khoảng cách tới trung bình với $2 s$ và $3 s$ .

∣155 - 175, 16∣ = 20, 16

(cm), thấp hơn trung bình

2 s = 15, 28 < 20, 16 \leq 22, 92 = 3 s

Vậy người đó thấp hơn trung bình từ hơn $2$ đến không quá $3$ lần độ lệch chuẩn: suy dinh dưỡng thể thấp còi, mức độ vừa.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn "bảng tra": nam 17 tuổi cao dưới $159, 88$ cm là thấp còi, dưới $152, 24$ cm là thấp còi nặng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề cho sẵn công thức, một phép chia là xong.

Đáp số. Có.

Z \approx - 2, 64

, thuộc

[- 3; - 2)

: suy dinh dưỡng thể thấp còi, mức độ vừa.

Sai lầm thường gặp. Tính

Z = \frac{175 , 16 - 155}{7 , 64} \approx 2, 64

(đảo thứ tự hiệu) rồi kết luận "không bị" vì

Z

dương.

🚀 Mở rộng. Một bạn nam 17 tuổi cao

150

cm có

Z = \frac{150 - 175 , 16}{7 , 64} \approx - 3, 29 < - 3

: thấp còi mức độ nặng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 5.34★★Trang 83— Số đặc trưng đo xu thế trung tâm và chọn đại diện

Bài 5.34 (trang 83). Thời gian chờ của

10

bệnh nhân (đơn vị: phút) tại một phòng khám được ghi lại như sau:

51722981121655 5.

a) Tính số trung bình, trung vị và mốt của dãy số liệu trên.
b) Nên dùng đại lượng nào để biểu diễn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám này?

Kiến thức cần nhớ

$n$ chẵn: $M_{e} = \frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ .
Giá trị $x > Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}$ là giá trị bất thường; khi có giá trị bất thường nên dùng trung vị làm đại diện.

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị

55

phút lớn gấp hơn hai lần giá trị lớn thứ hai (

22

) — dấu hiệu giá trị bất thường, sẽ kéo trung bình lên. Câu b cần kiểm tra bằng ngưỡng

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

rồi mới kết luận chọn trung vị.

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Sắp xếp, cộng và đếm.

2; 5; 5; 8; 9; 11; 16; 17; 22; 55

\overline{x} = \frac{150}{10} = 15

M_{e} = \frac{9 + 11}{2} = 10

M_{o} = 5

(xuất hiện

2

lần)
b)

8

trong

10

bệnh nhân chờ ít hơn

15

phút

Vậy a) $\overline{x} = 15$ , $M_{e} = 10$ , $M_{o} = 5$ ; b) trung bình không đại diện được cho đa số, nên dùng trung vị $10$ phút.

2Cách 2. Gốc 10 và ngưỡng bất thường

Định hướng. Tính trung bình qua độ lệch so với $10$ , rồi kiểm tra giá trị $55$ .

d = x - 10

- 5; 7; 12; - 1; - 2; 1; - 8; 6; 45; - 5

\Rightarrow

\sum d = 50

\overline{x} = 10 + \frac{50}{10} = 15

Q_{1} = 5

Q_{3} = 17

\Rightarrow

Δ_{Q} = 12

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 17 + 18 = 35 < 55

Vậy $55$ là giá trị bất thường, riêng nó đóng góp $45$ trong tổng độ lệch $50$ nên kéo trung bình lên $15$ : dùng trung vị $10$ phút.

3Cách 3. Bỏ giá trị bất thường

Định hướng. Tính lại khi bỏ $55$ để thấy trung bình "nhạy" thế nào.

Còn

2; 5; 5; 8; 9; 11; 16; 17; 22

\overline{x}^{'} = \frac{95}{9} \approx 10, 56

(giảm

4, 44

)

M_{e}^{'} = 9

(chỉ giảm

1

)

Vậy trung vị ổn định hơn nhiều, nên dùng trung vị để biểu diễn thời gian chờ.

Nhận xét. Mốt $5$ phút quá thấp, chỉ có $2$ bệnh nhân, cũng không đại diện được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a, dẫn ngưỡng

35 < 55

của Cách 2 cho câu b.

Đáp số. a)

\overline{x} = 15

phút;

M_{e} = 10

phút;

M_{o} = 5

phút. b) Nên dùng trung vị (

10

phút) vì mẫu có giá trị bất thường

55

Sai lầm thường gặp. Chọn số trung bình vì "dùng mọi số liệu". Chính vì dùng cả giá trị

55

nên trung bình

15

lớn hơn thời gian chờ của

8/10

bệnh nhân.

🚀 Mở rộng. Tính độ lệch chuẩn khi có và không có

55

s \approx 14, 57

và

s \approx 6, 20

— một giá trị làm

s

tăng hơn gấp đôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 5.35★★★Trang 84— Phát hiện giá trị bất thường trong phép đo

Bài 5.35 (trang 84). Một học sinh dùng một dụng cụ đo đường kính

d

của một viên bi (đơn vị: mm) thu được kết quả sau:

Lần đo	1	2	3	4	5	6	7	8
$d$	6,50	6,51	6,50	6,52	6,49	6,50	6,78	6,49

a) Bạn Minh cho rằng kết quả đo ở lần 7 không chính xác. Hãy kiểm tra khẳng định này của Minh.
b) Tìm giá trị xấp xỉ cho đường kính của viên bi.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị $x$ là bất thường nếu $x > Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}$ hoặc $x < Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}$ .
Giá trị gần đúng của đại lượng đo nhiều lần: trung bình các lần đo hợp lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Bảy lần đo dồn quanh

6, 50

mm, riêng lần 7 là

6, 78

— cần một tiêu chí khách quan: ngưỡng

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

. Khi đã xác định lần 7 là giá trị bất thường (do đo sai), câu b phải loại nó ra rồi mới lấy trung bình (hoặc dùng trung vị, vốn không bị ảnh hưởng).

1Cách 1. Ngưỡng tứ phân vị

Định hướng. Sắp xếp, tính $Q_{1}, Q_{3}$ và hai ngưỡng.

6, 49; 6, 49; 6, 50; 6, 50; 6, 50; 6, 51; 6, 52; 6, 78

Q_{1} = \frac{6 , 49 + 6 , 50}{2} = 6, 495; Q_{3} = \frac{6 , 51 + 6 , 52}{2} = 6, 515; Δ_{Q} = 0, 02

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 6, 515 + 0, 03 = 6, 545 < 6, 78

b) Bỏ lần 7:

\overline{d} = \frac{6 , 49 \cdot 2 + 6 , 50 \cdot 3 + 6 , 51 + 6 , 52}{7} = \frac{45 , 51}{7} \approx 6, 50

Vậy a) $6, 78$ là giá trị bất thường, Minh nói đúng; b) đường kính viên bi xấp xỉ $6, 50$ mm.

2Cách 2. So với độ phân tán của các lần còn lại

Định hướng. Đo độ lệch chuẩn của $7$ lần hợp lệ rồi xem lần 7 lệch bao nhiêu lần $s$ .

7

lần còn lại, độ lệch so với

6, 50

0; 0, 01; 0; 0, 02; - 0, 01; 0; - 0, 01

\overline{d} = 6, 50 + \frac{0 , 01}{7} \approx 6, 5014

s^{2} = \frac{0 , 0007}{7} - (\frac{0 , 01}{7})^{2} \approx 0, 000098 \Rightarrow s \approx 0, 0099

6, 78 - 6, 5014 \approx 0, 28 \approx 28 s

Vậy lần 7 lệch gần $28$ lần độ lệch chuẩn của các lần đo khác — chắc chắn đo sai; đường kính xấp xỉ $6, 50$ mm.

3Cách 3. Trung vị bền vững

Định hướng. Dùng trung vị làm giá trị đại diện vì nó không bị lần 7 kéo lệch, rồi so với trung bình.

M_{e} = \frac{6 , 50 + 6 , 50}{2} = 6, 50

Trung bình cả

8

lần:

\frac{52 , 29}{8} \approx 6, 536

Mọi lần đo trừ lần 7 cách

M_{e}

không quá

0, 02

; lần 7 cách

0, 28

Vậy lần 7 không chính xác; đường kính xấp xỉ $M_{e} = 6, 50$ mm (nếu giữ lần 7, trung bình $6, 536$ bị kéo lệch).

Nhận xét. Hai cách b (trung bình sau khi loại, trung vị) cùng cho $6, 50$ mm — kết quả đáng tin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ngưỡng

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

là tiêu chí chuẩn của SGK, khách quan và gọn.

Đáp số. a)

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 6, 545 < 6, 78

nên lần đo 7 là giá trị bất thường, khẳng định của Minh đúng. b) Đường kính viên bi xấp xỉ

6, 50

mm.

Sai lầm thường gặp. Lấy trung bình cả

8

lần được

6, 54

mm làm đường kính — giá trị bị lần đo sai kéo lệch, lớn hơn cả

7

lần đo đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu lần 7 đo được

6, 54

thì

6, 54 < 6, 545

, không bị coi là bất thường; hãy tính đường kính xấp xỉ trong trường hợp đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 5.36★★Trang 84— Số trung bình và ý nghĩa tứ phân vị dưới

Bài 5.36 (trang 84). Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của các công nhân trong một công ty nhỏ được cho như sau:

5,5	6,0	8,0	7,0	7,5	8,0	7,0	9,5
12,0	10,0	4,5	11,0	13,0	9,5	8,5	4,0

a) Tính thu nhập trung bình theo tháng của công nhân công ty này.
b) Trong đại dịch Covid-19 công ty có chính sách hỗ trợ

25%

công nhân có thu nhập thấp nhất. Số nào trong các tứ phân vị giúp xác định các công nhân trong diện được hỗ trợ? Tính giá trị tứ phân vị đó.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng $25%$ số giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ .
$n$ chẵn: nửa dưới gồm $\frac{n}{2}$ giá trị đầu; $Q_{1}$ là trung vị của nửa này.

🧠 Phân tích tư duy

25%

thấp nhất" chính là phần nằm dưới tứ phân vị thứ nhất

Q_{1}

. Mẫu có

n = 16

chẵn nên nửa dưới gồm

8

số đầu,

Q_{1}

là trung bình của số thứ

4

và thứ

5

. Tính trung bình nhanh bằng gốc

8

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Cộng $16$ số rồi chia; sắp xếp để tìm $Q_{1}$ .

\overline{x} = \frac{131}{16} = 8, 1875 \approx 8, 19

Sắp xếp:

4, 0; 4, 5; 5, 5; 6, 0; 7, 0; 7, 0; 7, 5; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 5; 9, 5; 10, 0; 11, 0; 12, 0; 13, 0

Nửa dưới:

4, 0; 4, 5; 5, 5; 6, 0; 7, 0; 7, 0; 7, 5; 8, 0

Q_{1} = \frac{6 , 0 + 7 , 0}{2} = 6, 5

Vậy a) thu nhập trung bình khoảng $8, 19$ triệu đồng; b) dùng $Q_{1} = 6, 5$ triệu đồng: công nhân có thu nhập dưới $6, 5$ triệu được hỗ trợ.

2Cách 2. Gốc 8 và đếm phần tư

Định hướng. Trung bình qua độ lệch so với $8$ ; $Q_{1}$ tìm bằng cách đếm $25%$ của $16$ .

d = x - 8

- 2, 5; - 2; 0; - 1; - 0, 5; 0; - 1; 1, 5; 4; 2; - 3, 5; 3; 5; 1, 5; 0, 5; - 4

\sum d = 3 \Rightarrow \overline{x} = 8 + \frac{3}{16} = 8, 1875

25% \cdot 16 = 4

\Rightarrow

Q_{1}

nằm giữa giá trị thứ

4

(

6, 0

) và thứ

5

(

7, 0

)

Q_{1} = \frac{6 , 0 + 7 , 0}{2} = 6, 5

Vậy $\overline{x} \approx 8, 19$ triệu đồng; tứ phân vị cần dùng là $Q_{1} = 6, 5$ triệu đồng.

3Cách 3. Trung vị trước, tứ phân vị sau

Định hướng. Tìm $Q_{2}$ chia đôi mẫu, rồi chia đôi nửa dưới; kiểm tra lại số người được hỗ trợ.

Q_{2} = \frac{x _{8} + x _{9}}{2} = \frac{8 , 0 + 8 , 0}{2} = 8, 0

Nửa dưới

Q_{2}

8

người

\Rightarrow

Q_{1} = \frac{x _{4} + x _{5}}{2} = 6, 5

Thu nhập dưới

6, 5

4, 0; 4, 5; 5, 5; 6, 0

— đúng

4 = 25% \cdot 16

người

Vậy $Q_{1} = 6, 5$ triệu đồng xác định đúng nhóm $25%$ công nhân thu nhập thấp nhất; thu nhập trung bình $8, 19$ triệu đồng.

Nhận xét. Thu nhập trung bình $8, 19$ lớn hơn trung vị $8, 0$ một chút do vài mức lương cao ( $12$ , $13$ triệu).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: độ lệch so với

8

cộng nhẩm được, và lập luận "

25%

của

16

là

4

người" giải thích rõ vì sao chọn

Q_{1}

Đáp số. a)

\overline{x} = \frac{131}{16} = 8, 1875 \approx 8, 19

triệu đồng. b) Tứ phân vị thứ nhất

Q_{1} = 6, 5

triệu đồng (công nhân có thu nhập dưới

6, 5

triệu được hỗ trợ).

Sai lầm thường gặp. Chọn

Q_{3}

vì nhầm "

25%

" là phần trên cùng; hoặc tìm

Q_{1}

từ dãy chưa sắp xếp (

Q_{1} = \frac{7 , 0 + 7 , 5}{2}

🚀 Mở rộng. Nếu công ty hỗ trợ

75%

công nhân (trừ nhóm thu nhập cao nhất) thì dùng

Q_{3} = \frac{9 , 5 + 10 , 0}{2} = 9, 75

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗