Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài tập cuối chương V

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 5.17★Trang 89— Trắc nghiệm — độ chính xác của phép đo theo thang chia

Bài 5.17 (trang 89). Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia

0, 2

kg thì độ chính xác

d

là
A.

0, 1

kg.
B.

0, 2

kg.
C.

0, 3

kg.
D.

0, 4

kg.

Kiến thức cần nhớ

Khi đo bằng dụng cụ có vạch chia nhỏ nhất $h$ , kết quả được đọc về vạch gần nhất nên sai số tuyệt đối không vượt quá $d = \frac{h}{2}$ .
Số gần đúng $a$ với độ chính xác $d$ : $Δ_{a} = ∣ \overline{a} - a ∣ \leq d$ , viết $\overline{a} = a \pm d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho "thang chia" của dụng cụ đo và hỏi độ chính xác

d

— dấu hiệu dùng quy ước: độ chính xác bằng một nửa đơn vị của vạch chia nhỏ nhất. Bẫy là chọn luôn

0, 2

kg vì nhầm "độ chính xác" với "độ chia".

1Cách 1. Quy ước nửa vạch chia

Định hướng. Áp dụng trực tiếp quy ước $d = \frac{h}{2}$ .

h = 0, 2

d = \frac{h}{2} = \frac{0 , 2}{2} = 0, 1

(kg)

Vậy $d = 0, 1$ kg, chọn A.

2Cách 2. Lập luận trên hai vạch liên tiếp

Định hướng. Khối lượng thật nằm giữa hai vạch $m$ và $m + 0, 2$ ; người đo đọc về vạch gần hơn.

m \leq \overline{a} \leq m + 0, 2

Trung điểm hai vạch:

m + 0, 1

\overline{a} \leq m + 0, 1 \Rightarrow a = m, Δ_{a} = \overline{a} - m \leq 0, 1

\overline{a} \geq m + 0, 1 \Rightarrow a = m + 0, 2, Δ_{a} = m + 0, 2 - \overline{a} \leq 0, 1

Vậy sai số tuyệt đối luôn $\leq 0, 1$ kg, chọn A.

3Cách 3. Thử một trường hợp xấu nhất

Định hướng. Tìm tình huống làm sai số lớn nhất: kim chỉ đúng giữa hai vạch.

Hai vạch

5, 0

kg và

5, 2

kg, bao gạo nặng thật

5, 1

kg
Đọc

5, 0

Δ = 0, 1

; đọc

5, 2

Δ = 0, 1

Bao nặng

5, 13

\Rightarrow

đọc

5, 2

Δ = 0, 07 < 0, 1

Vậy sai số lớn nhất có thể là $0, 1$ kg, chọn A.

Nhận xét. Các phương án C, D còn lớn hơn cả độ chia $0, 2$ kg nên loại ngay mà không cần tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ quy ước "độ chính xác bằng nửa vạch chia" là có đáp án trong một dòng.

Đáp số. A.

d = 0, 1

kg.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì đồng nhất độ chính xác với độ chia

0, 2

kg. Thực ra khi đọc về vạch gần nhất thì sai lệch chỉ tối đa nửa khoảng giữa hai vạch, tức

0, 1

kg.

🚀 Mở rộng. Thước kẻ có vạch chia

1

mm thì phép đo độ dài bằng thước đó có độ chính xác

0, 5

mm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.18★Trang 89— Trắc nghiệm — quan hệ giữa phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 5.18 (trang 89). Trong hai mẫu số liệu, mẫu nào có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, đúng hay sai?
A. Đúng.
B. Sai.

Kiến thức cần nhớ

Độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ , trong đó $s^{2} \geq 0$ là phương sai.
Với $a, b \geq 0$ : $a > b \Leftrightarrow a > b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai,

s = s^{2}

, và cả hai đều không âm. Câu hỏi thực chất là: hàm căn bậc hai trên

[0; + \infty)

có bảo toàn thứ tự không.

1Cách 1. Tính đồng biến của căn bậc hai

Định hướng. Dùng tính chất: căn bậc hai số học đồng biến trên $[0; + \infty)$ .

s_{1}^{2} > s_{2}^{2} \geq 0

\Rightarrow s_{1}^{2} > s_{2}^{2}

\Rightarrow s_{1} > s_{2}

Vậy khẳng định đúng, chọn A.

2Cách 2. Phản chứng

Định hướng. Giả sử độ lệch chuẩn không lớn hơn rồi bình phương hai vế.

Giả sử

s_{1}^{2} > s_{2}^{2}

nhưng

s_{1} \leq s_{2}

0 \leq s_{1} \leq s_{2} \Rightarrow s_{1}^{2} \leq s_{2}^{2}

Mâu thuẫn với

s_{1}^{2} > s_{2}^{2}

Vậy $s_{1} > s_{2}$ , chọn A.

3Cách 3. Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. So sánh dấu của $s_{1} - s_{2}$ và $s_{1}^{2} - s_{2}^{2}$ .

s_{1}^{2} - s_{2}^{2} = (s_{1} - s_{2}) (s_{1} + s_{2})

s_{1}^{2} > s_{2}^{2} \geq 0 \Rightarrow s_{1} > 0 \Rightarrow s_{1} + s_{2} > 0

\Rightarrow s_{1} - s_{2} = \frac{s _{1}^{2} - s _{2}^{2}}{s _{1} + s _{2}} > 0

Vậy mẫu có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, chọn A.

Nhận xét. Vì vậy khi so sánh độ phân tán của hai mẫu, so phương sai hay so độ lệch chuẩn đều cho cùng một kết luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ

s = s^{2}

và căn bậc hai đồng biến.

Đáp số. A. Đúng.

Sai lầm thường gặp. Nghĩ rằng phương sai có thể âm nên "bình phương lớn hơn chưa chắc gốc lớn hơn" (như

(- 3)^{2} > 2^{2}

mà

- 3 < 2

). Phản ví dụ đó không áp dụng được vì độ lệch chuẩn luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Khẳng định tương tự vẫn đúng khi so hai mẫu khác đơn vị đo? Không: phải đổi về cùng đơn vị, vì đổi cm sang m làm

s

giảm

100

lần còn

s^{2}

giảm

10000

lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.19★Trang 89— Trắc nghiệm — ý nghĩa của tứ phân vị

Bài 5.19 (trang 89). Có

25%

giá trị của mẫu số liệu nằm giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

, đúng hay sai?
A. Đúng.
B. Sai.

Kiến thức cần nhớ

$Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25%$ số giá trị.
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ là độ dài của đoạn chứa khoảng $50%$ số liệu ở giữa.

🧠 Phân tích tư duy

Ba tứ phân vị

Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}

chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng

25%

số giá trị. Giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

có hai phần như thế. Bẫy: đọc thấy "tứ phân vị" là liên tưởng ngay tới con số

25%

1Cách 1. Đếm số phần

Định hướng. Đếm xem đoạn từ $Q_{1}$ đến $Q_{3}$ chứa mấy phần tư của mẫu.

Từ

Q_{1}

đến

Q_{2}

: khoảng

25%

Từ

Q_{2}

đến

Q_{3}

: khoảng

25%

Từ

Q_{1}

đến

Q_{3}

: khoảng

25% + 25% = 50%

Vậy khẳng định sai, chọn B.

2Cách 2. Lấy phần bù

Định hướng. Trừ đi phần nằm dưới $Q_{1}$ và phần nằm trên $Q_{3}$ .

Dưới

Q_{1}

: khoảng

25%

; trên

Q_{3}

: khoảng

25%

Giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

: khoảng

100% - 25% - 25% = 50%

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử trên mẫu cụ thể

Định hướng. Lấy mẫu $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8$ rồi đếm trực tiếp.

Q_{2} = \frac{4 + 5}{2} = 4, 5

Q_{1} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5; Q_{3} = \frac{6 + 7}{2} = 6, 5

Giá trị nằm giữa

2, 5

và

6, 5

3; 4; 5; 6

— có

4

giá trị

\frac{4}{8} = 50% \neq = 25%

Vậy khẳng định sai, chọn B.

Nhận xét. Một phản ví dụ là đủ để bác bỏ khẳng định "đúng với mọi mẫu".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhớ "dưới

Q_{1}

một phần tư, trên

Q_{3}

một phần tư" là suy ra ngay phần giữa chiếm một nửa.

Đáp số. B. Sai — giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

có khoảng

50%

giá trị.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nghĩ "tứ phân vị" nghĩa là

25%

. Thật ra

25%

là phần nằm giữa hai tứ phân vị LIÊN TIẾP (ví dụ

Q_{1}

và

Q_{2}

), còn

Q_{1}

và

Q_{3}

cách nhau hai phần.

🚀 Mở rộng. Cũng từ đó: khoảng

75%

giá trị nhỏ hơn

Q_{3}

và khoảng

75%

giá trị lớn hơn

Q_{1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.20★Trang 89— Trắc nghiệm — phân loại các số đặc trưng

Bài 5.20 (trang 89). Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?
A. Số trung bình.
B. Mốt.
C. Trung vị.
D. Độ lệch chuẩn.

Kiến thức cần nhớ

Số đo xu thế trung tâm: số trung bình, trung vị, mốt.
Số đo độ phân tán: khoảng biến thiên $R$ , khoảng tứ phân vị $Δ_{Q}$ , phương sai $s^{2}$ , độ lệch chuẩn $s$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các số đặc trưng chia làm hai nhóm: đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị) và đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn). Chỉ cần xếp bốn phương án vào hai nhóm.

1Cách 1. Xếp nhóm theo định nghĩa

Định hướng. Đọc tên nhóm của từng số đặc trưng.

Số trung bình, mốt, trung vị: đo xu thế trung tâm
Độ lệch chuẩn

s = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}

: đo độ phân tán

Vậy chọn D.

2Cách 2. Phản ví dụ hai mẫu

Định hướng. Tìm hai mẫu có cùng trung bình, trung vị, mốt nhưng rõ ràng phân tán khác nhau.

Mẫu I:

5; 5; 5; 5

Mẫu II:

0; 5; 5; 10

Cả hai:

\overline{x} = 5

, trung vị

5

, mốt

5

s_{I} = 0

;

s_{I I} = \frac{25 + 0 + 0 + 25}{4} = 12, 5 \approx 3, 54

Vậy A, B, C không phân biệt được hai mẫu, chỉ độ lệch chuẩn phản ánh độ phân tán, chọn D.

3Cách 3. Phép tịnh tiến mẫu số liệu

Định hướng. Cộng cùng một số $c$ vào mọi giá trị: mẫu chỉ dời chỗ, không co giãn.

y_{i} = x_{i} + c \Rightarrow \overline{y} = \overline{x} + c

Trung vị, mốt của

y

cũng tăng thêm

c

y_{i} - \overline{y} = x_{i} - \overline{x} \Rightarrow s_{y} = s_{x}

Vậy A, B, C đổi theo vị trí của mẫu (đo "trung tâm"), còn độ lệch chuẩn không đổi (đo "độ rộng"), chọn D.

Nhận xét. Đây cũng chính là lí do bài 5.21 có đáp án là độ lệch chuẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 3 giúp hiểu vì sao độ lệch chuẩn không phụ thuộc vị trí mà chỉ phụ thuộc độ rộng.

Đáp số. D. Độ lệch chuẩn.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì trung vị liên quan tới tứ phân vị, mà khoảng tứ phân vị đo độ phân tán. Nhưng trung vị là MỘT giá trị vị trí (đo trung tâm); phải là hiệu

Q_{3} - Q_{1}

mới đo độ phân tán.

🚀 Mở rộng. Tìm thêm hai số đo độ phân tán khác: khoảng biến thiên

R = x_{ma x} - x_{min}

và khoảng tứ phân vị

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.21★★Trang 89— Trắc nghiệm — số đặc trưng khi tịnh tiến mẫu số liệu

Bài 5.21 (trang 89). Điểm trung bình môn học kì I một số môn học của bạn An là

8; 9; 7; 6; 5; 7; 3

. Nếu An được cộng thêm mỗi môn

0, 5

điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?
A. Số trung bình.
B. Trung vị.
C. Độ lệch chuẩn.
D. Tứ phân vị.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $y_{i} = x_{i} + c$ thì $\overline{y} = \overline{x} + c$ , trung vị và các tứ phân vị cũng tăng $c$ .
Nếu $y_{i} = x_{i} + c$ thì $y_{i} - \overline{y} = x_{i} - \overline{x}$ , nên phương sai, độ lệch chuẩn, $R$ , $Δ_{Q}$ không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Cộng cùng

0, 5

vào mọi giá trị là phép tịnh tiến mẫu. Các số đo vị trí (trung bình, trung vị, tứ phân vị) dời theo

0, 5

; các số đo độ phân tán chỉ phụ thuộc hiệu giữa các giá trị nên giữ nguyên.

1Cách 1. Tính trực tiếp trước và sau

Định hướng. Sắp xếp, tính các số đặc trưng của hai mẫu rồi so sánh.

3; 5; 6; 7; 7; 8; 9

\overline{x} = \frac{45}{7} \approx 6, 43; M_{e} = 7; Q_{1} = 5; Q_{3} = 8

s_{x}^{2} = \frac{313}{7} - (\frac{45}{7})^{2} = \frac{166}{49} \Rightarrow s_{x} \approx 1, 84

3, 5; 5, 5; 6, 5; 7, 5; 7, 5; 8, 5; 9, 5

\overline{y} = \frac{48 , 5}{7} \approx 6, 93; M_{e} = 7, 5; Q_{1} = 5, 5; Q_{3} = 8, 5

Độ lệch so với trung bình không đổi

\Rightarrow s_{y} = s_{x} \approx 1, 84

Vậy chỉ độ lệch chuẩn không đổi, chọn C.

2Cách 2. Chứng minh tổng quát

Định hướng. Đặt $y_{i} = x_{i} + 0, 5$ và biến đổi công thức.

\overline{y} = \frac{( x _{1} + 0 , 5 ) + \dots + ( x _{7} + 0 , 5 )}{7} = \overline{x} + 0, 5

y_{i} - \overline{y} = (x_{i} + 0, 5) - (\overline{x} + 0, 5) = x_{i} - \overline{x}

s_{y}^{2} = \frac{\sum ( y _{i} - y ) ^{2}}{7} = \frac{\sum ( x _{i} - x ) ^{2}}{7} = s_{x}^{2}

Vậy $s_{y} = s_{x}$ còn trung bình, trung vị, tứ phân vị đều tăng $0, 5$ , chọn C.

3Cách 3. Hình ảnh trên trục số

Định hướng. Tịnh tiến cả mẫu sang phải $0, 5$ đơn vị trên trục số.

Mọi điểm dời

0, 5

\Rightarrow

các "điểm mốc" (

\overline{x}

M_{e}

Q_{1}

Q_{3}

) dời

0, 5

Khoảng cách giữa hai điểm bất kì giữ nguyên

\Rightarrow

độ "loe" của mẫu giữ nguyên

Vậy số đặc trưng không đổi là độ lệch chuẩn, chọn C.

Nhận xét. Phép tịnh tiến giữ khoảng cách; phép nhân với $k$ thì khác: nhân mọi điểm với $k > 0$ làm độ lệch chuẩn nhân lên $k$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (hoặc Cách 2): nhận ra phép tịnh tiến là trả lời ngay, không phải tính gì.

Đáp số. C. Độ lệch chuẩn.

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì nghĩ tứ phân vị đo độ phân tán. Tứ phân vị

Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}

là các giá trị vị trí nên cũng tăng

0, 5

; chỉ HIỆU

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

mới giữ nguyên.

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi điểm được nhân với

1, 1

(tăng

10%

) thì độ lệch chuẩn thay đổi thế nào? Đáp: tăng

10%

, còn phương sai nhân với

1, 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.22★★Trang 89— Chọn số đặc trưng phù hợp khi mẫu có giá trị tách biệt

Bài 5.22 (trang 89). Lương khởi điểm của

5

sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị triệu đồng) là:

3, 59, 29, 29, 510, 5.

a) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này.
b) Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình chịu ảnh hưởng mạnh bởi giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ; trung vị ít bị ảnh hưởng.
Khoảng biến thiên $R = x_{ma x} - x_{min}$ phụ thuộc hoàn toàn vào hai giá trị đầu mút; khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ít bị ảnh hưởng hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn mẫu thấy ngay

3, 5

nằm tách hẳn khỏi bốn giá trị còn lại (đều từ

9, 2

trở lên). Số trung bình và khoảng biến thiên dùng trực tiếp giá trị nhỏ nhất nên bị kéo mạnh; trung vị và tứ phân vị dựa vào vị trí nên ít bị ảnh hưởng. Cần chứng minh điều đó bằng số chứ không chỉ nói.

1Cách 1. Tính và so sánh

Định hướng. Tính trung bình, trung vị, $R$ , $Δ_{Q}$ rồi đối chiếu với "hình dạng" của mẫu.

\overline{x} = \frac{3 , 5 + 9 , 2 + 9 , 2 + 9 , 5 + 10 , 5}{5} = \frac{41 , 9}{5} = 8, 38

M_{e} = 9, 2

4

trong

5

sinh viên có lương

\geq 9, 2 > 8, 38

R = 10, 5 - 3, 5 = 7

Q_{1} = \frac{3 , 5 + 9 , 2}{2} = 6, 35; Q_{3} = \frac{9 , 5 + 10 , 5}{2} = 10; Δ_{Q} = 3, 65

Vậy a) trung vị $9, 2$ phản ánh đúng mức lương của đa số, còn trung bình $8, 38$ bị giá trị $3, 5$ kéo xuống; b) nên dùng khoảng tứ phân vị, vì $R = 7$ phình to chỉ do một giá trị $3, 5$ .

2Cách 2. Thử bỏ giá trị tách biệt

Định hướng. Bỏ riêng giá trị $3, 5$ để đo mức "nhạy" của từng số đặc trưng.

Còn

9, 2; 9, 2; 9, 5; 10, 5

\overline{x}^{'} = \frac{38 , 4}{4} = 9, 6

: trung bình đổi

9, 6 - 8, 38 = 1, 22

M_{e}^{'} = \frac{9 , 2 + 9 , 5}{2} = 9, 35

: trung vị chỉ đổi

0, 15

R^{'} = 10, 5 - 9, 2 = 1, 3

R

giảm từ

7

xuống

1, 3

Vậy chỉ một giá trị đã làm trung bình lệch $1, 22$ triệu và làm $R$ tăng gấp hơn $5$ lần, nên dùng trung vị (câu a) và khoảng tứ phân vị (câu b).

3Cách 3. Đo độ nhạy theo tham số

Định hướng. Thay $3, 5$ bằng số $a \leq 9, 2$ bất kì và xem mỗi đại lượng phụ thuộc $a$ thế nào.

M_{e} = 9, 2

với mọi

a \leq 9, 2

\overline{x} = \frac{38 , 4 + a}{5}

: đổi theo

a

R = 10, 5 - a

a

giảm

1

thì

R

tăng

1

Δ_{Q} = 10 - \frac{a + 9 , 2}{2}

a

giảm

1

thì

Δ_{Q}

chỉ tăng

0, 5

Vậy trung vị hoàn toàn không phụ thuộc $a$ , $Δ_{Q}$ chỉ chịu một nửa ảnh hưởng so với $R$ : nên dùng trung vị và khoảng tứ phân vị.

Nhận xét. Mẫu chỉ có $5$ giá trị nên $Q_{1}$ vẫn "dính" một phần vào $3, 5$ ; với mẫu lớn hơn, khoảng tứ phân vị gần như miễn nhiễm với giá trị tách biệt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày Cách 1 cho đủ số liệu, thêm một dòng của Cách 2 ("bỏ

3, 5

thì trung bình nhảy lên

9, 6

") để lập luận thuyết phục.

Đáp số. a)

\overline{x} = 8, 38

M_{e} = 9, 2

; giá trị

3, 5

kéo trung bình xuống thấp hơn mức lương của

4/5

số sinh viên nên dùng trung vị. b) Nên dùng khoảng tứ phân vị (

Δ_{Q} = 3, 65

) vì khoảng biến thiên

R = 7

bị giá trị

3, 5

chi phối.

Sai lầm thường gặp. Chỉ nói "vì có giá trị bất thường" mà không chỉ ra giá trị nào và nó ảnh hưởng ra sao. Lưu ý: theo ngưỡng

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q} = 0, 875

thì

3, 5

chưa bị xếp là giá trị bất thường, nên phải lập luận bằng việc nó nằm tách xa phần còn lại và làm lệch trung bình.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm

5

sinh viên nữa có lương

9; 9, 5; 10; 9, 8; 9, 3

thì

Q_{1}

không còn phụ thuộc vào

3, 5

— hãy kiểm tra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.23★★★Trang 89— So sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu

Bài 5.23 (trang 89). Điểm Toán và điểm Tiếng Anh của

11

học sinh lớp 10 được cho trong bảng sau:

Học sinh	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
Toán	62	91	43	31	57	63	80	37	43	5	78
Tiếng Anh	65	57	55	37	62	70	73	49	65	41	64

Hãy so sánh mức độ "học đều" của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R = x_{ma x} - x_{min}$ ; khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .
Với $n = 11$ (lẻ) đã sắp xếp: $Q_{2} = x_{6}$ , $Q_{1} = x_{3}$ , $Q_{3} = x_{9}$ .
$s^{2} = \overline{d^{2}} - \overline{d}^{2}$ với $d_{i} = x_{i} - c$ ( $c$ là hằng số tuỳ chọn); $s = s^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Học đều" nghĩa là điểm các bạn ít chênh lệch, tức độ phân tán nhỏ. Đề chỉ định rõ ba số đo:

R

Δ_{Q}

s

; môn nào có cả ba số nhỏ hơn thì học đều hơn. Để tính độ lệch chuẩn gọn, chọn một gốc gần trung bình (

60

cho Toán,

58

cho Tiếng Anh) để độ lệch là số nguyên nhỏ.

1Cách 1. Sắp xếp và tính theo định nghĩa

Định hướng. Sắp xếp từng dãy, đọc $R$ , $Δ_{Q}$ , rồi tính $s$ theo công thức.

Toán:

5; 31; 37; 43; 43; 57; 62; 63; 78; 80; 91

R_{T} = 91 - 5 = 86; Q_{1} = 37, Q_{3} = 78 \Rightarrow Δ_{Q, T} = 41

\overline{x}_{T} = \frac{590}{11} \approx 53, 64; s_{T}^{2} \approx 566, 78 \Rightarrow s_{T} \approx 23, 81

Tiếng Anh:

37; 41; 49; 55; 57; 62; 64; 65; 65; 70; 73

R_{A} = 73 - 37 = 36; Q_{1} = 49, Q_{3} = 65 \Rightarrow Δ_{Q, A} = 16

\overline{x}_{A} = \frac{638}{11} = 58; s_{A}^{2} = \frac{1340}{11} \approx 121, 82 \Rightarrow s_{A} \approx 11, 04

Vậy $R_{A} < R_{T}$ , $Δ_{Q, A} < Δ_{Q, T}$ , $s_{A} < s_{T}$ : học sinh học môn Tiếng Anh đều hơn môn Toán.

2Cách 2. Độ lệch chuẩn qua gốc tịnh tiến

Định hướng. Trừ mỗi điểm cho một số tròn gần trung bình để có độ lệch nguyên nhỏ, rồi dùng $s^{2} = \overline{d^{2}} - \overline{d}^{2}$ .

Toán,

d = x - 60

2; 31; - 17; - 29; - 3; 3; 20; - 23; - 17; - 55; 18

\sum d = - 70; \sum d^{2} = 6680

s_{T}^{2} = \frac{6680}{11} - (\frac{70}{11})^{2} \approx 607, 27 - 40, 50 = 566, 78 \Rightarrow s_{T} \approx 23, 81

Tiếng Anh,

d = x - 58

7; - 1; - 3; - 21; 4; 12; 15; - 9; 7; - 17; 6

\sum d = 0; \sum d^{2} = 1340

s_{A}^{2} = \frac{1340}{11} - 0 \approx 121, 82 \Rightarrow s_{A} \approx 11, 04

Vậy $s_{T} \approx 23, 81$ gấp hơn hai lần $s_{A} \approx 11, 04$ ; cùng với $R$ ( $86$ so với $36$ ) và $Δ_{Q}$ ( $41$ so với $16$ ), môn Tiếng Anh học đều hơn.

3Cách 3. Đọc biểu đồ hộp

Định hướng. Vẽ hai biểu đồ hộp trên cùng một trục: hộp dài là $Δ_{Q}$ , cả râu là $R$ .

Toán: râu từ

5

đến

91

, hộp từ

37

đến

78

Tiếng Anh: râu từ

37

đến

73

, hộp từ

49

đến

65

Hộp Tiếng Anh ngắn hơn (

16

so với

41

), râu ngắn hơn (

36

so với

86

)
Ngưỡng bất thường của Toán:

37 - 1, 5 \cdot 41 = - 24, 5

\Rightarrow

điểm

5

không phải giá trị bất thường

Vậy điểm Toán trải rộng thật sự (không do một giá trị lạc), nên môn Tiếng Anh học đều hơn.

Nhận xét. Cả ba số đo cùng một chiều nên kết luận chắc chắn; nếu chúng mâu thuẫn nhau, cần xem lại có giá trị bất thường hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho

R

Δ_{Q}

và Cách 2 cho độ lệch chuẩn: độ lệch so với

60

và

58

là số nguyên nhỏ, tính nhẩm được.

Đáp số. Toán:

R = 86

Δ_{Q} = 41

s \approx 23, 81

. Tiếng Anh:

R = 36

Δ_{Q} = 16

s \approx 11, 04

. Cả ba số đo của Tiếng Anh đều nhỏ hơn nên học sinh học môn Tiếng Anh đều hơn môn Toán.

Sai lầm thường gặp. Tính tứ phân vị khi chưa sắp xếp dãy (lấy

Q_{1}

là số thứ ba của bảng:

43

thay vì

37

). Hoặc so trung bình (

53, 64

và

58

) để kết luận "học đều" — trung bình đo mức điểm, không đo độ đều.

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ riêng bạn J (Toán

5

điểm) thì

R_{T} = 60

, nhưng vẫn lớn hơn

R_{A}

; hãy tính lại

s_{T}

để thấy Toán vẫn kém đều hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.24★★Trang 90— Số trung bình, trung vị và giá trị bất thường

Bài 5.24 (trang 90). Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị triệu người).

Tỉnh/thành phố	Dân số
Hà Nội	7,52
Vĩnh Phúc⁽¹⁾	1,09
Bắc Ninh	1,25
Quảng Ninh	1,27
Hải Dương⁽²⁾	1,81
Hải Phòng	2,01
Hưng Yên	1,19
Thái Bình⁽³⁾	1,79
Hà Nam⁽⁴⁾	0,81
Nam Định⁽⁵⁾	1,85
Ninh Bình	0,97

(Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)
a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.
c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?
⁽¹⁾ Nay thuộc tỉnh Phú Thọ; ⁽²⁾ Nay thuộc thành phố Hải Phòng; ⁽³⁾ Nay thuộc tỉnh Hưng Yên; ⁽⁴⁾⁽⁵⁾ Nay thuộc tỉnh Ninh Bình.

Kiến thức cần nhớ

$n$ lẻ: trung vị là giá trị đứng giữa dãy đã sắp xếp.
Giá trị $x$ là bất thường nếu $x > Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}$ hoặc $x < Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}$ .
Mẫu có giá trị bất thường thì nên dùng trung vị làm đại diện.

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn bảng thấy Hà Nội

7, 52

triệu, gấp khoảng

4

lần tỉnh đông thứ hai (

2, 01

). Một giá trị lớn vượt trội như vậy kéo số trung bình lên trong khi trung vị (giá trị đứng giữa) gần như không đổi. Cần kiểm tra bằng ngưỡng

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

để khẳng định đó là giá trị bất thường.

1Cách 1. Tính trực tiếp và đánh giá

Định hướng. Cộng dồn để lấy trung bình, sắp xếp để lấy trung vị, rồi so với từng tỉnh.

\overline{x} = \frac{7 , 52 + 1 , 09 + 1 , 25 + 1 , 27 + 1 , 81 + 2 , 01 + 1 , 19 + 1 , 79 + 0 , 81 + 1 , 85 + 0 , 97}{11} = \frac{21 , 56}{11} = 1, 96

Sắp xếp:

0, 81; 0, 97; 1, 09; 1, 19; 1, 25; 1, 27; 1, 79; 1, 81; 1, 85; 2, 01; 7, 52

M_{e} = x_{6} = 1, 27

10

trong

11

tỉnh có dân số

\leq 2, 01

; riêng Hà Nội

7, 52

9

trong

11

tỉnh có dân số dưới

1, 96

triệu: trung bình cao hơn gần như mọi tỉnh

Vậy a) $\overline{x} = 1, 96$ , $M_{e} = 1, 27$ ; b) dân số Hà Nội quá lớn kéo trung bình lên; c) nên dùng trung vị $1, 27$ triệu người.

2Cách 2. Kiểm tra giá trị bất thường

Định hướng. Tính tứ phân vị và ngưỡng trên để chứng minh $7, 52$ là giá trị bất thường.

Q_{1} = x_{3} = 1, 09; Q_{3} = x_{9} = 1, 85

Δ_{Q} = 1, 85 - 1, 09 = 0, 76

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 1, 85 + 1, 14 = 2, 99

7, 52 > 2, 99

\Rightarrow

7, 52

là giá trị bất thường

Vậy mẫu có giá trị bất thường $7, 52$ (Hà Nội) nên trung bình $1, 96$ lệch xa trung vị $1, 27$ ; dùng trung vị để đại diện.

3Cách 3. Bỏ Hà Nội để đo độ nhạy

Định hướng. Tính lại hai số đặc trưng khi không có Hà Nội.

Không có Hà Nội:

\overline{x}^{'} = \frac{21 , 56 - 7 , 52}{10} = \frac{14 , 04}{10} = 1, 404

M_{e}^{'} = \frac{1 , 25 + 1 , 27}{2} = 1, 26

Trung bình đổi

1, 96 - 1, 404 = 0, 556

; trung vị đổi

1, 27 - 1, 26 = 0, 01

Vậy một mình Hà Nội làm trung bình tăng hơn $0, 55$ triệu mà trung vị gần như không đổi: trung vị đại diện tốt hơn.

Nhận xét. Phần Hà Nội đẩy trung bình lên là $\frac{7 , 52 - 1 , 404}{11} \approx 0, 556$ triệu, chiếm phần lớn khoảng chênh $1, 96 - 1, 27 = 0, 69$ giữa trung bình và trung vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a và Cách 2 cho câu b: chỉ ra

7, 52 > 2, 99

là lập luận chặt chẽ nhất cho "sai khác nhiều".

Đáp số. a)

\overline{x} = 1, 96

triệu người;

M_{e} = 1, 27

triệu người. b) Dân số Hà Nội

7, 52

là giá trị bất thường (lớn hơn

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 2, 99

) kéo số trung bình lên. c) Nên dùng trung vị.

Sai lầm thường gặp. Lấy trung vị là

1, 81

(số đứng thứ sáu trong BẢNG chưa sắp xếp). Phải sắp xếp tăng dần trước, số thứ sáu mới là

1, 27

🚀 Mở rộng. Làm tương tự với dân số các tỉnh Đông Nam Bộ (có Thành phố Hồ Chí Minh): trung bình và trung vị chênh nhau càng lớn khi thành phố lớn càng vượt trội.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.25★★★Trang 90— Tính đủ các số đặc trưng và giải thích ảnh hưởng của giá trị bất thường

Bài 5.25 (trang 90). Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:
Đồng bằng sông Hồng:

187343546545737392357 27.

Đồng bằng sông Cửu Long:

333433292439422423192415 26.

(Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)
a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.
b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?
c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

Kiến thức cần nhớ

$n$ lẻ: $Q_{2}$ là giá trị giữa; $Q_{1}$ , $Q_{3}$ là trung vị của nửa dưới, nửa trên (không tính $Q_{2}$ ).
$s^{2} = \overline{d^{2}} - \overline{d}^{2}$ với $d_{i} = x_{i} - c$ ; $s = s^{2}$ .
Số trung bình, khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị bất thường; trung vị, khoảng tứ phân vị thì không.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu Đồng bằng sông Hồng có số

187

(Hà Nội) lớn gấp hơn

3

lần giá trị lớn thứ hai — ứng viên giá trị bất thường. Câu b, c thực chất hỏi: số đặc trưng nào "nhạy" với giá trị bất thường (trung bình,

R

s

) và số nào "bền" (trung vị,

Δ_{Q}

). Mẫu sông Hồng có

n = 11

lẻ, mẫu Cửu Long có

n = 13

lẻ nên khi tìm

Q_{1}, Q_{3}

phải bỏ trung vị ra khỏi hai nửa.

1Cách 1. Tính trực tiếp đủ bảy số đặc trưng

Định hướng. Sắp xếp từng mẫu, đọc các số vị trí, rồi tính trung bình và độ lệch chuẩn.

Sông Hồng (

n = 11

23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187

\overline{x} = \frac{596}{11} \approx 54, 18; M_{e} = Q_{2} = 39; Q_{1} = 34; Q_{3} = 57; M_{o} = 57

R = 187 - 23 = 164; Δ_{Q} = 57 - 34 = 23; s^{2} \approx 1885, 06 \Rightarrow s \approx 43, 42

Cửu Long (

n = 13

15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 42

\overline{x} = \frac{365}{13} \approx 28, 08; M_{e} = Q_{2} = 26; Q_{1} = \frac{23 + 24}{2} = 23, 5; Q_{3} = \frac{33 + 34}{2} = 33, 5; M_{o} = 24

R = 42 - 15 = 27; Δ_{Q} = 33, 5 - 23, 5 = 10; s^{2} \approx 56, 22 \Rightarrow s \approx 7, 50

Vậy đủ các số đặc trưng như trên; trung bình ( $54, 18$ và $28, 08$ ), $R$ ( $164$ và $27$ ), $s$ ( $43, 42$ và $7, 50$ ) chênh nhau rất nhiều, còn trung vị ( $39$ và $26$ ), $Δ_{Q}$ ( $23$ và $10$ ) chênh ít hơn hẳn.

2Cách 2. Độ lệch chuẩn qua gốc tịnh tiến và ngưỡng bất thường

Định hướng. Tính $s$ gọn bằng độ lệch so với một số tròn, rồi chỉ ra $187$ là giá trị bất thường.

Sông Hồng,

d = x - 40

147; - 6; - 5; 6; 14; 17; - 3; - 1; - 17; 17; - 13

\sum d = 156; \sum d^{2} = 22948 \Rightarrow s^{2} = \frac{22 948}{11} - (\frac{156}{11})^{2} \approx 2086, 18 - 201, 12 = 1885, 06

Cửu Long,

d = x - 28

5; 6; 5; 1; - 4; 11; 14; - 4; - 5; - 9; - 4; - 13; - 2

\sum d = 1; \sum d^{2} = 731 \Rightarrow s^{2} = \frac{731}{13} - (\frac{1}{13})^{2} \approx 56, 22

Ngưỡng sông Hồng:

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 57 + 34, 5 = 91, 5 < 187

Riêng

14 7^{2} = 21609

đã chiếm khoảng

94%

của

\sum d^{2}

Vậy b) và c): $187$ là giá trị bất thường; trung bình, $R$ , $s$ đều dùng trực tiếp giá trị này nên bị đẩy lên rất mạnh, còn trung vị và $Δ_{Q}$ chỉ phụ thuộc vị trí nên gần như không bị ảnh hưởng.

3Cách 3. Bỏ giá trị bất thường để đối chứng

Định hướng. Tính lại các số đặc trưng của mẫu sông Hồng khi bỏ $187$ và so với mẫu Cửu Long.

Còn

10

giá trị:

23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57

\overline{x} = \frac{409}{10} = 40, 9

(trước là

54, 18

);

M_{e} = \frac{37 + 39}{2} = 38

(trước là

39

)

R = 57 - 23 = 34

(trước là

164

);

s \approx 11, 54

(trước là

43, 42

)

Q_{1} = 34, Q_{3} = 54 \Rightarrow Δ_{Q} = 20

(trước là

23

)

Vậy khi bỏ $187$ , trung bình, $R$ , $s$ tụt mạnh về gần mẫu Cửu Long, còn trung vị và $Δ_{Q}$ hầu như giữ nguyên — sự khác biệt lớn ở câu b, c là do một giá trị bất thường.

Nhận xét. Trong thực tế, $187$ là số trường THPT của Hà Nội, một đơn vị có dân số vượt xa các tỉnh khác trong vùng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a (đủ bảy số) và dẫn ngưỡng

91, 5 < 187

của Cách 2 để trả lời gọn câu b, c.

Đáp số. a) Sông Hồng:

\overline{x} \approx 54, 18

;

M_{e} = 39

;

Q_{1} = 34

Q_{2} = 39

Q_{3} = 57

; mốt

57

;

R = 164

;

Δ_{Q} = 23

;

s \approx 43, 42

. Cửu Long:

\overline{x} \approx 28, 08

;

M_{e} = 26

;

Q_{1} = 23, 5

Q_{2} = 26

Q_{3} = 33, 5

; mốt

24

;

R = 27

;

Δ_{Q} = 10

;

s \approx 7, 50

. b), c) Mẫu sông Hồng có giá trị bất thường

187

: trung bình,

R

s

bị ảnh hưởng mạnh, trung vị và

Δ_{Q}

thì không.

Sai lầm thường gặp. Với

n = 13

lẻ, tìm

Q_{1}

bằng trung vị của

7

số đầu (có cả

Q_{2} = 26

) ra

Q_{1} = 24

: sai quy ước SGK. Nửa dưới chỉ gồm

6

số

15; 19; 23; 24; 24; 24

nên

Q_{1} = 23, 5

🚀 Mở rộng. Tính tỉ số

\frac{s}{x}

của hai mẫu (sau khi bỏ

187

) để so sánh độ phân tán khi hai mẫu có mức trung bình khác nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.26★★Trang 90— Tính số đặc trưng và sai số của phép làm tròn

Bài 5.26 (trang 90). Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của

10

tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:

5, 513, 810, 212, 211, 07, 411, 413, 112, 513, 4.

(Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)
a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$n$ chẵn: trung vị là trung bình cộng hai giá trị đứng giữa dãy đã sắp xếp.
$s^{2} = \overline{d^{2}} - \overline{d}^{2}$ với $d_{i} = x_{i} - c$ .
Làm tròn đến hàng nào thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là tính toán thuần:

n = 10

chẵn nên trung vị là trung bình hai số giữa. Để tính độ lệch chuẩn gọn, lấy gốc

11

(gần trung bình) cho độ lệch có một chữ số thập phân. Câu b nối sang Bài 12: làm tròn đến hàng nào thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng đó.

1Cách 1. Tính theo định nghĩa

Định hướng. Sắp xếp dãy, tính trung bình, trung vị, $R$ và $s$ ; câu b dùng quy tắc nửa đơn vị.

Sắp xếp:

5, 5; 7, 4; 10, 2; 11, 0; 11, 4; 12, 2; 12, 5; 13, 1; 13, 4; 13, 8

\overline{x} = \frac{110 , 5}{10} = 11, 05; M_{e} = \frac{11 , 4 + 12 , 2}{2} = 11, 8

R = 13, 8 - 5, 5 = 8, 3

s^{2} = \frac{\sum x _{i}^{2}}{10} - \overline{x}^{2} = \frac{1286 , 71}{10} - 11, 0 5^{2} = 128, 671 - 122, 1025 = 6, 5685

s \approx 2, 56

b) Làm tròn đến hàng đơn vị

\Rightarrow

sai số tuyệt đối

\leq \frac{1}{2} = 0, 5

Vậy a) $\overline{x} = 11, 05$ ; $M_{e} = 11, 8$ ; $R = 8, 3$ ; $s \approx 2, 56$ . b) Sai số tuyệt đối không vượt quá $0, 5$ .

2Cách 2. Gốc tịnh tiến và bảng sai số từng giá trị

Định hướng. Tính $s$ qua độ lệch so với $11$ ; câu b lập bảng sai số của từng lần làm tròn.

d = x - 11

- 5, 5; 2, 8; - 0, 8; 1, 2; 0; - 3, 6; 0, 4; 2, 1; 1, 5; 2, 4

\sum d = 0, 5 \Rightarrow \overline{x} = 11 + 0, 05 = 11, 05

\sum d^{2} = 65, 71 \Rightarrow s^{2} = 6, 571 - 0, 0 5^{2} = 6, 5685 \Rightarrow s \approx 2, 56

b) Làm tròn:

6; 14; 10; 12; 11; 7; 11; 13; 13; 13

Sai số:

0, 5; 0, 2; 0, 2; 0, 2; 0; 0, 4; 0, 4; 0, 1; 0, 5; 0, 4

Vậy $s \approx 2, 56$ ; sai số lớn nhất đạt đúng $0, 5$ (tại $5, 5$ và $12, 5$ ), nên sai số tuyệt đối không vượt quá $0, 5$ .

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng dãy đã làm tròn

Định hướng. Tính lại trung bình, trung vị từ dãy đã làm tròn và so với kết quả chính xác.

Dãy làm tròn đã sắp xếp:

6; 7; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 14

\overline{x}^{'} = \frac{110}{10} = 11, 0

: lệch

∣11, 05 - 11∣ = 0, 05 \leq 0, 5

M_{e}^{'} = \frac{11 + 12}{2} = 11, 5

: lệch

0, 3 \leq 0, 5

R^{'} = 14 - 6 = 8

: lệch

0, 3

Vậy các kết quả câu a khớp với dãy làm tròn trong phạm vi sai số $0, 5$ ; sai số tuyệt đối của phép làm tròn không vượt quá $0, 5$ .

Nhận xét. Sai số của số trung bình sau khi làm tròn cũng không vượt quá $0, 5$ vì nó là trung bình của các sai số, mỗi sai số không quá $0, 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: độ lệch so với

11

nhỏ, tính

\sum d^{2}

nhẩm được, tránh bình phương các số hai chữ số.

Đáp số. a)

\overline{x} = 11, 05

;

M_{e} = 11, 8

;

R = 8, 3

;

s = 6, 5685 \approx 2, 56

. b) Sai số tuyệt đối không vượt quá

0, 5

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

12, 5

thành

12

(quy tắc "làm tròn về số chẵn" của một số máy tính). Theo quy tắc làm tròn ở SGK, chữ số bỏ đi là

5

thì tăng chữ số hàng đơn vị lên:

12, 5 \approx 13

🚀 Mở rộng. Nếu làm tròn đến hàng phần mười một mẫu có hai chữ số thập phân thì sai số tuyệt đối không vượt quá

0, 05

Mở bài này trong app ↗