Bài 1 · 6.33★Trang 22— Hàm số cho bằng bảng: tập xác định, tập giá trị, giá trị tại một điểm
Bài 6.33 (trang 22). Thu nhập bình quân theo đầu người (GDP) của Việt Nam (tính theo USD) trong vòng 10 năm, từ năm 2009 đến năm 2018 được cho bởi bảng sau (dựa theo số liệu của Tổng cục Thống kê):
Năm
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
GDP
1055
1273
1517
1749
1908
2052
2109
2215
2385
2587
Bảng này xác định một hàm số chỉ sự phụ thuộc của GDP (kí hiệu là y) vào thời gian x (tính bằng năm). Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Giá trị của hàm số tại x=2018 là 2587; B. Tập xác định của hàm số có 10 phần tử; C. Tập giá trị của hàm số có 10 phần tử; D. Giá trị của hàm số tại x=2587 là 2018.
Kiến thức cần nhớ
Hàm số cho bằng bảng: tập xác định là tập các giá trị x ở dòng trên; tập giá trị là tập các giá trị y tương ứng (mỗi giá trị chỉ đếm một lần).
Giá trị của hàm số tại x0 chỉ có nghĩa khi x0 thuộc tập xác định.
🧠 Phân tích tư duy
Hàm số cho bằng bảng: dòng trên là biến x (năm), dòng dưới là giá trị y (GDP). Tập xác định là các năm có trong bảng, tập giá trị là các GDP khác nhau. Bẫy của phương án D là đảo vai trò biến và giá trị.
1Cách 1. Kiểm tra từng khẳng định theo định nghĩa.
Định hướng. Đọc bảng theo đúng vai trò: x là năm, y là GDP.
A: cột năm 2018 ứng với GDP 2587, nên y(2018)=2587 (đúng) B: D={2009;2010;…;2018} có 10 phần tử (đúng) C: mười giá trị GDP đôi một khác nhau nên T có 10 phần tử (đúng) D: 2587∈/D nên hàm số không xác định tại x=2587 (sai)
Vậy khẳng định sai là D.
2Cách 2. Nhìn vào tập xác định trước.
Định hướng. Chỉ cần biết x nhận giá trị trong khoảng năm 2009–2018; mọi khẳng định nói về x nằm ngoài đó đều sai.
D={2009;2010;…;2018}⊂[2009;2018] 2587∈/[2009;2018] nên "giá trị tại x=2587" không tồn tại A, B, C chỉ nói về x trong D và các giá trị đọc đúng từ bảng
Vậy chọn D.
3Cách 3. Hiểu D là "hàm ngược".
Định hướng. Phương án D thực chất nói 2018 là năm ứng với GDP 2587 — đó là đọc bảng theo chiều ngược, tức là coi y là biến.
Bảng cho y(2018)=2587 D viết y(2587)=2018: đổi chỗ biến và giá trị Với hàm số y=f(x), f(a)=b không suy ra f(b)=a
Vậy khẳng định sai là D.
Nhận xét. Mọi khẳng định A, B, C đều đúng nên đây là câu "tìm khẳng định sai" có đúng một phương án.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: thấy 2587 không phải là một năm trong bảng là chọn ngay.
Đáp số.D.
Sai lầm thường gặp.Chọn C vì nghĩ tập giá trị phải "ít hơn" tập xác định; thực ra mười giá trị GDP khác nhau đôi một nên tập giá trị có đúng 10 phần tử.
🚀 Mở rộng.Nếu trong bảng có hai năm cùng GDP thì tập giá trị có mấy phần tử? Hàm số khi đó còn là hàm số không?
Bài 2 · 6.34★Trang 22— Nhận biết đường cong là đồ thị của hàm số
Bài 6.34 (trang 22). Các đường dưới đây, đường nào không là đồ thị của hàm số? A. Hình A. B. Hình B. C. Hình C. D. Hình D.
Kiến thức cần nhớ
Mỗi giá trị x thuộc tập xác định cho đúng một giá trị y.
Đường cong là đồ thị hàm số khi và chỉ khi mọi đường thẳng song song với Oy cắt nó tại nhiều nhất một điểm.
🧠 Phân tích tư duy
Một đường là đồ thị hàm số khi mỗi x ứng với nhiều nhất một điểm của đường. Kiểm tra bằng "đường thẳng đứng": nếu có đường thẳng x=x0 cắt đường cong tại hai điểm thì không phải đồ thị hàm số. Bẫy: đường gãy khúc hình A trông "lạ" nhưng vẫn là đồ thị hàm số.
1Cách 1. Dùng đường thẳng đứng.
Định hướng. Kẻ các đường thẳng song song với trục tung và đếm số giao điểm.
A, C, D: mỗi đường thẳng đứng cắt đường cong tại nhiều nhất một điểm B: đường thẳng x=0 cắt đường tròn tại (0;1) và (0;−1), hai điểm
Vậy đường ở hình B không là đồ thị của hàm số.
2Cách 2. Viết phương trình đường tròn.
Định hướng. Đường tròn tâm O bán kính 1 có phương trình x2+y2=1; thử giải y theo x.
x2+y2=1⇔y=1−x2 hoặc y=−1−x2 Với x=0: y=1 hoặc y=−1, hai giá trị Hình C là đồ thị y=x (qua (4;2)), hình D là đồ thị y=2
Vậy chọn B.
3Cách 3. Loại trừ bằng các hàm số quen thuộc.
Định hướng. Nhận ra hình C, D là đồ thị của hàm số đã biết, hình A mỗi x cho một y, nên chỉ còn B.
C: y=x, x≥0 (điểm (4;2) thoả mãn 2=4) D: hàm hằng y=2 A: ghép các đoạn thẳng và một cung parabol nối tiếp nhau theo chiều x tăng
Vậy đường không là đồ thị hàm số là hình B.
Nhận xét. Hàm hằng (hình D) vẫn là hàm số: mọi x đều cho cùng một y=2, điều đó không vi phạm định nghĩa.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: phép thử đường thẳng đứng chỉ mất một giây.
Đáp số.B.
Sai lầm thường gặp.Chọn D vì nghĩ "hàm số phải thay đổi"; hàm hằng vẫn là hàm số. Hoặc chọn A vì đồ thị gãy khúc; tính "gãy" không liên quan tới định nghĩa hàm số.
🚀 Mở rộng.Đường elip, đường hypebol (hai nhánh mở sang hai bên) có là đồ thị hàm số y=f(x) không? Thử bằng đường thẳng đứng.
Bài 4 · 6.36★Trang 23— Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y=x1
Bài 6.36 (trang 23). Hàm số y=x1 có A. Tập xác định là R∖{0} và tập giá trị là R; B. Tập xác định và tập giá trị cùng là R∖{0}; C. Tập xác định là R và tập giá trị là R∖{0}; D. Tập xác định và tập giá trị cùng là R.
Kiến thức cần nhớ
Tập giá trị T={f(x)∣x∈D}: k∈T⇔ phương trình f(x)=k có nghiệm x∈D.
🧠 Phân tích tư duy
Tập xác định: mẫu khác 0. Tập giá trị: hỏi phương trình x1=k có nghiệm khi nào. Bẫy: nghĩ y nhận mọi giá trị thực, quên rằng x1 không bao giờ bằng 0.
1Cách 1. Giải phương trình x1=k.
Định hướng. Tìm D từ điều kiện mẫu, rồi tìm T bằng cách xét nghiệm của phương trình theo k.
D: x=0, D=R∖{0} x1=k: nếu k=0 thì 1=0 vô lí, vô nghiệm nếu k=0 thì x=k1∈D T=R∖{0}
Vậy chọn B.
2Cách 2. Loại trừ.
Định hướng. Chỉ cần hai sự thật: x=0 không thuộc D và y=0 không thuộc T.
x=0 làm mẫu bằng 0: loại C, D x1=0 với mọi x=0 nên 0∈/T: loại A
Vậy chọn B.
3Cách 3. Tính đối xứng của hàm y=x1.
Định hướng. Quan hệ y=x1⇔xy=1⇔x=y1 đối xứng giữa x và y, nên D và T phải giống nhau.
xy=1 đòi hỏi x=0 và y=0 Đổi vai x, y ta được cùng một hệ thức D=T=R∖{0}
Vậy chọn B.
Nhận xét. Đồ thị hypebol y=x1 đối xứng qua đường thẳng y=x, không cắt trục tung lẫn trục hoành.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: loại C, D vì mẫu, loại A vì x1 không bằng 0.
Đáp số.B.
Sai lầm thường gặp.Chọn A vì nghĩ tập giá trị của phân thức là R; thực ra x1=0 vô nghiệm nên 0 không thuộc tập giá trị.
🚀 Mở rộng.Tìm tập giá trị của y=x−12x+1 — lúc này giá trị bị loại là y=2.
Bài 5 · 6.37★Trang 23— Tìm tham số để hàm số bậc nhất đồng biến
Bài 6.37 (trang 23). Với những giá trị nào của m thì hàm số f(x)=(m+1)x+2 đồng biến trên R? A. m>−1; B. m=1; C. m<0; D. m=0.
Kiến thức cần nhớ
y=ax+b đồng biến trên R khi a>0, nghịch biến khi a<0, là hàm hằng khi a=0.
🧠 Phân tích tư duy
Hàm số dạng ax+b đồng biến trên R khi a>0, ở đây a=m+1. Câu hỏi "những giá trị nào" nên đáp án phải là cả tập m>−1, không phải một giá trị đơn lẻ. Bẫy: B, D đều là giá trị làm hàm đồng biến nhưng không phải điều kiện đầy đủ.
1Cách 1. Điều kiện hệ số góc dương.
Định hướng. Giải bất phương trình m+1>0.
f(x)=(m+1)x+2 đồng biến trên R⇔m+1>0⇔m>−1
Vậy chọn A.
2Cách 2. Định nghĩa đồng biến.
Định hướng. Xét hiệu f(x1)−f(x2) với x1<x2.
x1<x2: f(x2)−f(x1)=(m+1)(x2−x1) x2−x1>0 nên f(x2)>f(x1)⇔m+1>0⇔m>−1
Vậy chọn A.
3Cách 3. Loại trừ theo nghĩa "những giá trị nào".
Định hướng. Phương án đúng phải chứa MỌI giá trị m thoả mãn và không chứa giá trị sai.
m=−0,5: f(x)=0,5x+2 đồng biến nhưng −0,5 không thuộc B, C, D m=−2 (thuộc C): f(x)=−x+2 nghịch biến, loại C Chỉ A chứa đúng tập các m thoả mãn
Vậy chọn A.
Nhận xét. B, D chỉ là các trường hợp riêng của A.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một bất phương trình bậc nhất.
Đáp số.A.
Sai lầm thường gặp.Chọn C vì nhầm điều kiện đồng biến thành m<0, hoặc chọn B/D vì thử một giá trị thấy đúng; câu hỏi yêu cầu toàn bộ tập giá trị m.
🚀 Mở rộng.Tìm m để f(x)=(m2−4)x+2 nghịch biến trên R.
Bài 6 · 6.38★Trang 23— Nhận dạng hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ đồ thị
Bài 6.38 (trang 23). Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? A. y=21x; B. y=∣3−x∣; C. y=∣x∣; D. y=∣2x∣.
Kiến thức cần nhớ
Đồ thị y=∣ax∣ gồm hai tia đối xứng qua Oy, đỉnh tại O, đi qua (1;∣a∣).
Điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị y=f(x) khi y0=f(x0).
🧠 Phân tích tư duy
Đồ thị hình chữ V có đỉnh tại O và đi qua (−2;1), (2;1). Chỉ cần thay hai điểm này vào từng phương án. Bẫy: y=∣x∣ cũng có đỉnh O nhưng đi qua (2;2), dốc gấp đôi.
1Cách 1. Thay điểm thuộc đồ thị.
Định hướng. Thay x=2 vào từng hàm, xem hàm nào cho y=1.
A: 21⋅2=1 (đúng) B: ∣3−2∣=1 nhưng tại x=0: ∣3−0∣=3=0, loại C: ∣2∣=2=1, loại D: ∣4∣=4=1, loại
Vậy chọn A.
2Cách 2. Hệ số góc của nhánh phải.
Định hướng. Nhánh bên phải là tia từ O đi qua (2;1), có hệ số góc 21.
Với x≥0: y=kx qua (2;1) nên k=21 Đồ thị đối xứng qua Oy: y=21∣x∣=21x
Vậy chọn A.
3Cách 3. Đỉnh và tính đối xứng.
Định hướng. Đỉnh chữ V ở O loại ngay hàm có đỉnh chỗ khác; so độ dốc để chọn giữa các hàm còn lại.
y=∣3−x∣ có đỉnh tại (3;0), loại B A, C, D đều có đỉnh O; tại x=2 lần lượt cho 1, 2, 4 Đồ thị cho y(2)=1
Vậy chọn A.
Nhận xét. Đồ thị y=∣kx∣ càng "hẹp" khi ∣k∣ càng lớn.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: thay một điểm (2;1) là đủ.
Đáp số.A.
Sai lầm thường gặp.Chọn C vì chỉ nhìn đỉnh O và hình chữ V mà không kiểm tra điểm (2;1).
🚀 Mở rộng.Viết công thức hàm số có đồ thị chữ V đỉnh (1;0), đi qua (3;1).
Bài 7 · 6.39★Trang 23— Tìm trục đối xứng của parabol
Bài 6.39 (trang 23). Trục đối xứng của parabol (P): y=2x2+6x+3 là A. y=−3; B. y=−23; C. x=−3; D. x=−23.
Kiến thức cần nhớ
Parabol y=ax2+bx+c có trục đối xứng x=−2ab.
🧠 Phân tích tư duy
Trục đối xứng của parabol y=ax2+bx+c là đường thẳng đứng x=−2ab; hai phương án dạng y=… là đường nằm ngang nên loại ngay. Bẫy: quên hệ số 2 ở mẫu, ra x=−3.
1Cách 1. Công thức trục đối xứng.
Định hướng. Thay a=2, b=6.
x=−2ab=−2⋅26=−23
Vậy trục đối xứng là x=−23, chọn D.
2Cách 2. Hoàn thành bình phương.
Định hướng. Đưa về dạng a(x−h)2+k, trục đối xứng là x=h.
y=2(x2+3x)+3=2(x+23)2−29+3=2(x+23)2−23
Vậy trục đối xứng x=−23, chọn D.
3Cách 3. Hai điểm cùng tung độ.
Định hướng. Hai điểm của parabol có cùng tung độ thì đối xứng qua trục; trung điểm của chúng nằm trên trục đối xứng.
y=3⇔2x2+6x=0⇔x=0 hoặc x=−3 Trục đối xứng: x=20+(−3)=−23
Vậy chọn D.
Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao phương án C (x=−3) là bẫy: đó là điểm đối xứng với x=0.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: thay a=2, b=6 vào x=−2ab là ra ngay −23, đồng thời loại A, B vì trục đối xứng không thể có dạng y=….
Đáp số.D.
Sai lầm thường gặp.Chọn B vì lấy tung độ đỉnh −23 và viết thành đường y=−23; trục đối xứng luôn là đường thẳng đứng x=….
🚀 Mở rộng.Tìm b để parabol y=2x2+bx+3 nhận x=1 làm trục đối xứng.
Định hướng. Hàm không có hệ số tự do nên dễ phân tích nhân tử để tìm giao điểm với trục hoành.
−2x2−4x=−2x(x+2)=0⇔x=0 hoặc x=−2 xI=20+(−2)=−1, yI=−2+4=2
Vậy chọn B.
Nhận xét. Thử lại nhanh phương án A: y(−1)=2=1 nên (−1;1) không nằm trên parabol.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: phân tích −2x(x+2) nhẩm được ngay.
Đáp số.B.
Sai lầm thường gặp.Đọc a=−4, b=−2 theo thứ tự viết nên tính xI=−41, không trùng phương án nào; hoặc tính đúng xI=−1 nhưng thay sai ra yI=1 rồi chọn A.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: parabol y=ax2+bx luôn đi qua O và có đỉnh (−2ab;−4ab2).
Bài 9 · 6.41★Trang 23— Xét chiều biến thiên của hàm số bậc hai
Bài 6.41 (trang 23). Cho hàm số y=x2−2x+3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−∞;2); B. Hàm số nghịch biến trên (−∞;2); C. Hàm số đồng biến trên (−∞;1); D. Hàm số nghịch biến trên (−∞;1).
Kiến thức cần nhớ
a>0: nghịch biến trên (−∞;−2ab), đồng biến trên (−2ab;+∞).
🧠 Phân tích tư duy
a=1>0 nên hàm nghịch biến trên (−∞;xI) và đồng biến trên (xI;+∞) với xI=1. Bẫy: các khoảng (−∞;2) chứa đỉnh bên trong nên hàm không đơn điệu trên đó.
1Cách 1. Hoành độ đỉnh.
Định hướng. Tìm xI và dấu a.
a=1>0, xI=−2−2=1 Nghịch biến trên (−∞;1), đồng biến trên (1;+∞)
Vậy chọn D.
2Cách 2. Dạng bình phương.
Định hướng.y=(x−1)2+2: khi x<1 tăng dần về 1 thì (x−1)2 giảm.
Bài 10 · 6.42★Trang 24— Nhận dạng hàm số bậc hai từ đồ thị
Bài 6.42 (trang 24). Đường parabol trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào? A. y=x2+2x−3; B. y=−x2−2x+3; C. y=−x2+2x−3; D. y=x2−2x−3.
Kiến thức cần nhớ
a>0: bề lõm quay lên; a<0: bề lõm quay xuống.
Đỉnh xI=−2ab; đồ thị cắt Oy tại (0;c).
🧠 Phân tích tư duy
Đồ thị quay bề lõm lên nên a>0 (loại B, C); đỉnh có hoành độ −1 nên chọn giữa A và D. Có thể kiểm tra thêm giao điểm với trục hoành −3, 1 và trục tung −3.
1Cách 1. Dấu a và đỉnh.
Định hướng. Loại theo bề lõm rồi theo đỉnh.
Bề lõm quay lên: a>0, loại B, C A: xI=−22=−1, yI=1−2−3=−4, khớp đỉnh (−1;−4) D: xI=1, loại
Vậy chọn A.
2Cách 2. Dạng phân tích theo giao điểm với trục hoành.
Định hướng. Đồ thị cắt Ox tại −3 và 1, cắt Oy tại −3.
y=a(x+3)(x−1) Qua (0;−3): a⋅3⋅(−1)=−3⇒a=1 y=(x+3)(x−1)=x2+2x−3
Vậy chọn A.
3Cách 3. Dạng đỉnh.
Định hướng. Đỉnh (−1;−4) và điểm (0;−3) xác định parabol.
y=a(x+1)2−4 Qua (0;−3): a−4=−3⇒a=1 y=(x+1)2−4=x2+2x−3
Vậy chọn A.
Nhận xét. Hai cách dựng lại công thức cho cùng kết quả, xác nhận việc đọc hình là đúng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhìn bề lõm và hoành độ đỉnh là đủ.
Đáp số.A.
Sai lầm thường gặp.Chọn D vì đọc nhầm đỉnh ở x=1 (lẫn với giao điểm với trục hoành bên phải).
🚀 Mở rộng.Viết công thức parabol có đỉnh (2;−1) và cắt trục tung tại (0;3).
Bài 11 · 6.43★★Trang 24— Xác định dấu các hệ số a, b, c từ đồ thị parabol
Bài 6.43 (trang 24). Cho hàm số bậc hai y=ax2+bx+c có đồ thị là đường parabol dưới đây. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. a<0, b<0, c<0; B. a<0, b<0, c>0; C. a<0, b>0, c<0; D. a<0, b>0, c>0.
Kiến thức cần nhớ
c=y(0): tung độ giao điểm với trục tung.
xI=−2ab; với a<0: xI>0⇔b>0.
🧠 Phân tích tư duy
Ba thông tin trên hình cho ba dấu: bề lõm cho dấu a, giao điểm với trục tung cho dấu c, vị trí đỉnh so với trục tung cho dấu của −2ab, từ đó suy ra dấu b. Bẫy: đỉnh ở bên phải Oy không có nghĩa b<0 — phải tính cùng dấu a.
1Cách 1. Đọc ba dấu hiệu.
Định hướng. Bề lõm, giao điểm với Oy, vị trí đỉnh.
Bề lõm quay xuống: a<0 Cắt trục tung phía trên O: c=y(0)>0 Đỉnh bên phải trục tung: −2ab>0, mà a<0 nên b>0
Vậya<0, b>0, c>0, chọn D.
2Cách 2. Dùng tổng và tích hai nghiệm.
Định hướng. Đồ thị cắt trục hoành tại x1<0<x2 với ∣x2∣>∣x1∣ (nghiệm dương xa O hơn).
x1x2=ac<0, a<0⇒c>0 x1+x2=−ab>0, a<0⇒b>0
Vậy chọn D.
3Cách 3. Hàm minh hoạ có cùng hình dạng.
Định hướng. Chọn một parabol có đúng các đặc điểm của hình để kiểm tra, chẳng hạn y=−x2+2x+2 (đỉnh (1;3), cắt Oy tại 2).
a=−1<0, b=2>0, c=2>0 Đỉnh xI=1>0, y(0)=2>0: đúng hình dạng đã cho
Vậy bộ dấu (−;+;+), chọn D.
Nhận xét. Mọi parabol có cùng ba đặc điểm (quay xuống, cắt Oy phía trên, đỉnh bên phải) đều cho cùng bộ dấu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: ba dấu hiệu bề lõm, giao điểm với Oy, vị trí đỉnh đọc thẳng trên hình trong vài giây.
Đáp số.D.
Sai lầm thường gặp.Chọn B vì thấy đỉnh bên phải nên kết luận −b>0 tức b<0, quên chia cho 2a âm; đúng phải là −2ab>0 với a<0 thì b>0.
🚀 Mở rộng.Làm tương tự với parabol quay lên, đỉnh bên trái trục tung, cắt trục tung phía dưới O.
Bài 12 · 6.44★★Trang 24— Tìm tham số để parabol cắt trục hoành tại hai điểm nằm hai phía trục tung
Bài 6.44 (trang 24). Điều kiện cần và đủ của tham số m để parabol (P): y=x2−2x+m−1 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung là A. m<1; B. m<2; C. m>2; D. m>1.
Kiến thức cần nhớ
Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu ⇔ac<0.
🧠 Phân tích tư duy
Hai giao điểm nằm hai phía trục tung nghĩa là phương trình x2−2x+m−1=0 có hai nghiệm trái dấu, điều kiện gọn nhất là ac<0 (tự động kéo theo Δ>0). Bẫy: chỉ đặt điều kiện Δ>0 ra m<2.
1Cách 1. Hai nghiệm trái dấu.
Định hướng. Dùng điều kiện ac<0.
a=1, c=m−1 ac<0⇔m−1<0⇔m<1
Vậy chọn A.
2Cách 2. Định lí Viète đầy đủ.
Định hướng. Đặt điều kiện có hai nghiệm phân biệt và tích âm.
Δ′=1−(m−1)=2−m>0⇔m<2 x1x2=m−1<0⇔m<1 Kết hợp: m<1
Vậy chọn A.
3Cách 3. Vị trí giao điểm với trục tung.
Định hướng. Parabol quay lên cắt Ox ở hai phía trục tung khi và chỉ khi nó cắt trục tung tại điểm nằm dưới trục hoành.
a=1>0; hai nghiệm x1<0<x2⇔f(0)<0 f(0)=m−1<0⇔m<1
Vậy chọn A.
Nhận xét. Cách 3 là ý nghĩa hình học của điều kiện af(0)<0.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một bất phương trình m−1<0.
Đáp số.A.
Sai lầm thường gặp.Chọn B vì chỉ giải Δ′>0; điều kiện đó mới bảo đảm hai giao điểm, chưa bảo đảm chúng nằm hai phía trục tung.
🚀 Mở rộng.Tìm m để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung.
Bài 13 · 6.45★Trang 24— Nhận dạng tam thức bậc hai từ bảng xét dấu
Bài 6.45 (trang 24). Bảng xét dấu dưới đây là của tam thức bậc hai nào?
x
−∞
−2
3
+∞
f(x)
−
0
+
0
−
A. f(x)=−x2+x+6; B. f(x)=x2−x−6; C. f(x)=−x2+5x−6; D. f(x)=x2−5x+6.
Kiến thức cần nhớ
Tam thức có hai nghiệm x1<x2: ngoài khoảng nghiệm cùng dấu a, trong khoảng nghiệm trái dấu a.
f(x)=a(x−x1)(x−x2).
🧠 Phân tích tư duy
Bảng cho hai nghiệm −2, 3 và dấu "ngoài âm, trong dương" nên a<0. Chỉ cần tìm phương án có a<0 và nhận −2, 3 làm nghiệm. Bẫy: B có đúng hai nghiệm nhưng sai dấu a.
1Cách 1. Dấu a và nghiệm.
Định hướng. Loại theo dấu a, rồi kiểm tra nghiệm.
Ngoài khoảng nghiệm f(x)<0 nên a<0: loại B, D A: −(−2)2+(−2)+6=0, −9+3+6=0 (đúng) C: −x2+5x−6=0⇔x=2 hoặc x=3, loại
Vậy chọn A.
2Cách 2. Dựng tam thức từ nghiệm.
Định hướng. Viết f(x)=a(x+2)(x−3) với a<0.
f(x)=a(x+2)(x−3)=a(x2−x−6) a=−1: f(x)=−x2+x+6
Vậy chọn A.
3Cách 3. Tổng và tích nghiệm.
Định hướng. Nghiệm −2, 3 có tổng 1, tích −6; so với −ab và ac của từng phương án.
A: −ab=−−11=1, ac=−16=−6 (khớp), a<0 B: tổng 1, tích −6 nhưng a=1>0, sai dấu C, D: tổng 5, loại
Vậy chọn A.
Nhận xét. A và B chỉ khác nhau một dấu trừ, cũng chính là khác nhau về dấu ở mọi khoảng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: dựng a(x+2)(x−3) với a<0 rồi khai triển là thấy ngay phương án A.
Đáp số.A.
Sai lầm thường gặp.Chọn B vì chỉ kiểm tra nghiệm; x2−x−6 có đúng hai nghiệm −2, 3 nhưng dương ở ngoài khoảng nghiệm, ngược với bảng.
🚀 Mở rộng.Lập bảng xét dấu của f(x)=−2x2+2x+12 và so với bảng trong đề.
Bài 17 · 6.49★★Trang 25— Tìm tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
Bài 6.49 (trang 25). Phương trình (m+2)x2−3x+2m−3=0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi A. m<−2 hoặc m>23; B. m>23; C. −2<m<23; D. m<2.
Kiến thức cần nhớ
ax2+bx+c=0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ac<0.
🧠 Phân tích tư duy
Hai nghiệm trái dấu ⇔ac<0, điều kiện này đã bao hàm a=0 và Δ>0. Bất phương trình (m+2)(2m−3)<0 là bất phương trình bậc hai theo m. Bẫy: giải ra "ngoài khoảng" (A) do nhầm quy tắc dấu.
1Cách 1. Điều kiện ac<0.
Định hướng. Lập và giải bất phương trình theo m.
ac=(m+2)(2m−3)<0 Nghiệm của tam thức theo m: −2 và 23, hệ số 2>0 (m+2)(2m−3)<0⇔−2<m<23
Vậy chọn C.
2Cách 2. Tích hai nghiệm theo Viète.
Định hướng. Với m=−2: x1x2=m+22m−3<0.
m+22m−3<0⇔ tử và mẫu trái dấu m+2>0 và 2m−3<0⇔−2<m<23 m+2<0 và 2m−3>0: vô nghiệm
Vậy chọn C.
3Cách 3. Thử giá trị.
Định hướng. Thử m=0 và m=2 để phân biệt các phương án.
m=0: 2x2−3x−3=0 có ac=−6<0, hai nghiệm trái dấu; 0 không thuộc A, B nên loại A, B m=1,8 (thuộc D): 3,8x2−3x+0,6=0 có ac>0, loại D
Vậy chọn C.
Nhận xét. Không cần xét riêng m=−2: khi đó ac=0 nên điều kiện ac<0 đã tự loại.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: điều kiện ac<0 gói trọn cả a=0 lẫn Δ>0, không cần xét riêng m=−2.
Đáp số.C.
Sai lầm thường gặp.Chọn A vì giải (m+2)(2m−3)<0 theo quy tắc "ngoài khoảng"; tích âm khi m nằm giữa hai nghiệm.
🚀 Mở rộng.Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (cần Δ>0, S>0, P>0).
Bài 18 · 6.50★★★Trang 25— Tìm tham số để bất phương trình bậc hai vô nghiệm
Bài 6.50 (trang 25). Bất phương trình mx2−(2m−1)x+m+1<0 vô nghiệm khi và chỉ khi A. m≤81; B. m>81; C. m<81; D. m≥81.
Kiến thức cần nhớ
f(x)≥0,∀x⇔a>0 và Δ≤0 (với a=0).
Bất phương trình f(x)<0 vô nghiệm ⇔f(x)≥0 với mọi x.
🧠 Phân tích tư duy
"f(x)<0 vô nghiệm" nghĩa là f(x)≥0 với mọi x. Hệ số a=m chứa tham số nên phải xét riêng m=0. Với m=0 cần m>0 và Δ≤0 (được lấy dấu bằng!). Bẫy: dùng Δ<0 sẽ ra B.
1Cách 1. Xét m=0 và m=0.
Định hướng. Tách trường hợp bậc nhất rồi dùng định lí dấu tam thức.
m=0: x+1<0⇔x<−1, có nghiệm, loại m=0: cần {m>0Δ=(2m−1)2−4m(m+1)≤0 Δ=4m2−4m+1−4m2−4m=1−8m≤0⇔m≥81 Kết hợp m>0: m≥81
Vậy chọn D.
2Cách 2. Thử giá trị biên m=81.
Định hướng. Giá trị biên quyết định giữa B và D.
m=81: 81x2+43x+89=81(x2+6x+9)=81(x+3)2≥0 Bất phương trình 81(x+3)2<0 vô nghiệm nên m=81 thoả mãn, loại B, C m=0 thuộc A: có nghiệm x<−1, loại A
Vậy chọn D.
3Cách 3. Giá trị nhỏ nhất của tam thức.
Định hướng. Với m>0, tam thức đạt giá trị nhỏ nhất −4aΔ; cần giá trị nhỏ nhất không âm.
m≤0: m<0 thì f(x)→−∞ khi ∣x∣ lớn nên có nghiệm; m=0 có nghiệm m>0: minf=−4mΔ=4m8m−1≥0⇔8m−1≥0⇔m≥81
Vậy chọn D.
Nhận xét. Dấu bằng m=81 được nhận vì khi đó f(x)=81(x+3)2 chỉ bằng 0 chứ không âm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1, nhưng nhớ thử m=81 (Cách 2) nếu phân vân giữa B và D.
Đáp số.D.
Sai lầm thường gặp.Chọn B vì dùng điều kiện Δ<0 như bài "luôn dương"; ở đây chỉ cần f(x)≥0 nên được lấy Δ=0. Sai thứ hai là quên xét m=0.
🚀 Mở rộng.Tìm m để mx2−(2m−1)x+m+1≥0 có nghiệm đúng với mọi x — đáp số giống bài này; còn ">0 với mọi x" thì ra m>81.
Bài 19 · 6.51★★Trang 25— Phương trình dạng f(x)=g(x)
Bài 6.51 (trang 25). Số nghiệm của phương trình x2+4x−2=x−3 là A. 0; B. 1; C. 2; D. 3.
Kiến thức cần nhớ
f(x)=g(x)⇔{g(x)≥0f(x)=g2(x).
🧠 Phân tích tư duy
Bình phương hai vế thì x2 triệt tiêu, còn phương trình bậc nhất. Nghiệm duy nhất phải thoả mãn điều kiện x≥3. Bẫy: thấy ra một nghiệm là chọn B mà không đối chiếu điều kiện.
1Cách 1. Biến đổi tương đương.
Định hướng. Đặt điều kiện rồi bình phương.
⇔{x≥3x2+4x−2=x2−6x+9⇔{x≥310x=11⇔⎩⎨⎧x≥3x=1011 1011<3: hệ vô nghiệm
Vậy phương trình có 0 nghiệm, chọn A.
2Cách 2. Bình phương rồi thử lại.
Định hướng. Thay nghiệm của phương trình hệ quả vào phương trình ban đầu.
x2+4x−2=(x−3)2⇒x=1011 Vế trái 1,21+4,4−2=3,61=1,9; vế phải 1,1−3=−1,9 1,9=−1,9
Vậy phương trình vô nghiệm, chọn A.
3Cách 3. So sánh hai vế trên miền x≥3.
Định hướng. Trên miền x≥3 chứng minh vế trái luôn lớn hơn vế phải.
Bài 20 · 6.52★★Trang 25— Phương trình dạng f(x)=g(x)
Bài 6.52 (trang 25). Tập nghiệm của phương trình 2x2−9x−9=3−x là A. S={6}; B. S=∅; C. S={−3}; D. S={−3;6}.
Kiến thức cần nhớ
f(x)=g(x)⇔{g(x)≥0f(x)=g2(x).
🧠 Phân tích tư duy
Bình phương được phương trình bậc hai có hai nghiệm −3 và 6; điều kiện 3−x≥0 loại 6. Bốn phương án bẫy đúng lỗi quên điều kiện (D) và nhầm chiều điều kiện (A).
1Cách 1. Biến đổi tương đương.
Định hướng. Điều kiện x≤3 rồi bình phương.
⇔{x≤32x2−9x−9=9−6x+x2⇔{x≤3x2−3x−18=0 x2−3x−18=0⇔x=6 hoặc x=−3; đối chiếu x≤3 được x=−3
VậyS={−3}, chọn C.
2Cách 2. Thử từng phần tử của phương án.
Định hướng. Chỉ có hai "ứng viên" −3 và 6; thay vào phương trình.
x=−3: 18+27−9=36=6=3−(−3) (đúng) x=6: 72−54−9=3 nhưng 3−6=−3 (sai)
Vậy chọn C.
3Cách 3. Phân tích nhân tử sau khi bình phương.
Định hướng. Viết phương trình hệ quả thành tích để thấy ngay hai nghiệm.
2x2−9x−9−(3−x)2=x2−3x−18=(x+3)(x−6) x=6 làm 3−x=−3<0 (loại); x=−3 làm 3−x=6>0 (nhận)
VậyS={−3}, chọn C.
Nhận xét. Tại x=6 hai vế có cùng trị tuyệt đối 3 nhưng khác dấu — đặc trưng của nghiệm ngoại lai khi bình phương.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: thay hai số vào là xong.
Đáp số.C.
Sai lầm thường gặp.Chọn D vì quên điều kiện 3−x≥0; chọn A vì viết nhầm điều kiện thành x≥3.
🚀 Mở rộng.Giải 2x2−9x−9=x−3 — nghiệm còn lại khi đó là x=6.
Bài 21 · 6.53★★Trang 25— Phương trình dạng f(x)=g(x)
Bài 6.53 (trang 25). Tập nghiệm của phương trình 2x2−5x+1=x2+2x−9 là A. S={2}; B. S={5}; C. S=∅; D. S={2;5}.
Kiến thức cần nhớ
f(x)=g(x)⇔{g(x)≥0f(x)=g(x).
🧠 Phân tích tư duy
Hai căn bằng nhau: bình phương ngay được f(x)=g(x), chỉ cần thêm một điều kiện g(x)≥0. Bẫy: x=2 thoả mãn phương trình bình phương nhưng làm hai biểu thức dưới căn cùng bằng −1.
1Cách 1. Biến đổi tương đương.
Định hướng. Đặt điều kiện cho biểu thức x2+2x−9.
⇔{x2+2x−9≥02x2−5x+1=x2+2x−9⇔{x2+2x−9≥0x2−7x+10=0 x2−7x+10=0⇔x=2 hoặc x=5 x=2: 4+4−9=−1<0 (loại); x=5: 25+10−9=26≥0 (nhận)
VậyS={5}, chọn B.
2Cách 2. Thử lại trực tiếp.
Định hướng. Thay x=2 và x=5 vào phương trình ban đầu.
x=2: 8−10+1=−1 vô nghĩa x=5: 50−25+1=26 và 25+10−9=26 (đúng)
Vậy chọn B.
3Cách 3. Khoanh miền xác định trước.
Định hướng. Tìm miền để x2+2x−9≥0, rồi xem nghiệm nào rơi vào.
x2+2x−9≥0⇔x≤−1−10 hoặc x≥−1+10≈2,16 2<2,16 nằm ngoài miền; 5 nằm trong miền
VậyS={5}, chọn B.
Nhận xét. Chỉ cần một điều kiện vì khi f(x)=g(x) thì hai biểu thức dưới căn bằng nhau, cùng dấu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ có hai ứng viên 2 và 5, thay vào căn thấy x=2 làm biểu thức dưới căn âm.
Đáp số.B.
Sai lầm thường gặp.Chọn D vì chỉ giải f(x)=g(x); tại x=2 hai vế "bằng nhau" là −1, vô nghĩa.
🚀 Mở rộng.Giải 2x2−5x+1=x2+2x−7 và so sánh số nghiệm.
Bài 22 · 6.54★★Trang 25— Tìm tập xác định của hàm số chứa căn tam thức bậc hai
Bài 6.54 (trang 25). Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y=−x2+3x−2; b) y=x2−1x−1.
Kiến thức cần nhớ
A xác định khi A≥0; A1 xác định khi A>0.
Định lí về dấu tam thức bậc hai.
🧠 Phân tích tư duy
Điều kiện xác định dẫn đến bất phương trình bậc hai: ý a) −x2+3x−2≥0, ý b) căn ở mẫu nên x2−1>0. Bẫy ý b): rút gọn x2−1x−1 trước rồi mới lấy điều kiện sẽ làm sai tập xác định.
1Cách 1. Giải bất phương trình bậc hai.
Định hướng. Lập điều kiện rồi xét dấu tam thức.
a) −x2+3x−2≥0; nghiệm 1, 2; a=−1<0 nên ≥0 trong đoạn nghiệm: 1≤x≤2 b) x2−1>0; nghiệm ±1; a>0 nên >0 ngoài khoảng nghiệm: x<−1 hoặc x>1
Vậy a) D=[1;2]; b) D=(−∞;−1)∪(1;+∞).
2Cách 2. Phân tích nhân tử.
Định hướng. Viết tam thức thành tích và xét dấu các thừa số.
a) −x2+3x−2=(x−1)(2−x)≥0⇔1≤x≤2 b) x2−1=(x−1)(x+1)>0⇔ hai thừa số cùng dấu ⇔x<−1 hoặc x>1
Vậy a) D=[1;2]; b) D=(−∞;−1)∪(1;+∞).
3Cách 3. Dạng bình phương và giá trị tuyệt đối.
Định hướng. Đưa về bất phương trình chứa ∣x−h∣.
a) −x2+3x−2=41−(x−23)2≥0⇔x−23≤21⇔1≤x≤2 b) x2>1⇔∣x∣>1⇔x<−1 hoặc x>1
Vậy a) D=[1;2]; b) D=(−∞;−1)∪(1;+∞).
Nhận xét. Ở ý b), x=1 bị loại dù tử số bằng 0: mẫu 0=0.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: hai tam thức đều phân tích nhân tử nhẩm được.
Đáp số.a) D=[1;2]; b) D=(−∞;−1)∪(1;+∞).
Sai lầm thường gặp.Ý b) viết x2−1≥0 (quên căn ở mẫu) nên giữ nhầm x=±1. Ý a) giải ra "ngoài đoạn [1;2]" do không để ý a=−1<0.
🚀 Mở rộng.Tìm tập xác định của y=−x2+3x−2+x2−11 — đó là giao của hai tập trên.
Bài 23 · 6.55★★★Trang 26— Hàm số cho bởi nhiều công thức: tập xác định, đồ thị, chiều biến thiên, tập giá trị
Bài 6.55 (trang 26). Cho hàm số y=⎩⎨⎧2x+321x+23−21x+29khi −2≤x<−1khi −1≤x<1khi 1≤x≤3. a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Vẽ đồ thị hàm số. c) Từ đồ thị vẽ ở ý b) hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. d) Tìm tập giá trị của hàm số.
Kiến thức cần nhớ
Tập xác định của hàm cho bởi nhiều công thức là hợp các khoảng ứng với từng công thức.
y=ax+b đồng biến khi a>0, nghịch biến khi a<0.
Tập giá trị là hình chiếu của đồ thị lên trục tung.
🧠 Phân tích tư duy
Hàm ghép ba đoạn thẳng trên ba khoảng nối tiếp nhau; tập xác định là hợp ba khoảng. Mỗi đoạn là hàm bậc nhất nên chỉ cần tính giá trị ở hai đầu mút, chú ý đầu mút nào có, đầu mút nào không. Bẫy: tại x=1 đồ thị "nhảy" từ 2 lên 4 nên tập giá trị bị đứt, không phải [−1;4].
1Cách 1. Tính giá trị đầu mút từng đoạn.
Định hướng. Mỗi đoạn là một đoạn thẳng xác định bởi hai đầu mút.
a) D=[−2;−1)∪[−1;1)∪[1;3]=[−2;3] b) Đoạn 1: y(−2)=−1, y→1 khi x→−1; đoạn nối (−2;−1) và (−1;1) Đoạn 2: y(−1)=1, y→2 khi x→1; đoạn nối (−1;1) với (1;2), bỏ điểm (1;2) Đoạn 3: y(1)=4, y(3)=3; đoạn nối (1;4) và (3;3) c) Hệ số 2>0, 21>0 nên đồng biến trên (−2;1); hệ số −21<0 nên nghịch biến trên (1;3) d) Đoạn 1 cho [−1;1), đoạn 2 cho [1;2), đoạn 3 cho [3;4] T=[−1;1)∪[1;2)∪[3;4]=[−1;2)∪[3;4]
Vậy a) D=[−2;3]; c) đồng biến trên (−2;1), nghịch biến trên (1;3); d) T=[−1;2)∪[3;4].
2Cách 2. Đọc trên đồ thị.
Định hướng. Vẽ ba đoạn thẳng rồi đọc trực tiếp.
Đồ thị đi lên liên tục từ (−2;−1) qua (−1;1) tới gần (1;2) (điểm rỗng) Tại x=1 đồ thị bắt đầu từ (1;4) đi xuống tới (3;3) Hình chiếu lên Oy: đoạn [−1;2) và đoạn [3;4]
Vậy đồng biến trên (−2;1), nghịch biến trên (1;3), T=[−1;2)∪[3;4].
3Cách 3. Giải phương trình y=k để tìm tập giá trị.
Định hướng.k∈T khi có ít nhất một đoạn cho nghiệm x nằm trong khoảng tương ứng.
Nhận xét. Không có x nào cho y∈[2;3): đó là "khe hở" do bước nhảy tại x=1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 kèm hình vẽ (Cách 2) để trình bày ý b), c).
Đáp số.a) D=[−2;3]; b) đồ thị gồm ba đoạn thẳng như hình; c) đồng biến trên (−2;1), nghịch biến trên (1;3); d) T=[−1;2)∪[3;4].
Sai lầm thường gặp.Viết T=[−1;4] vì chỉ lấy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, bỏ qua bước nhảy tại x=1; các giá trị y∈[2;3) không đạt được. Sai thứ hai là tô kín điểm (1;2) trên đồ thị.
🚀 Mở rộng.Sửa công thức đoạn thứ ba thành −21x+25 — đồ thị liền và tập giá trị thay đổi thế nào?
Bài 24 · 6.56★★★Trang 26— Hàm chứa giá trị tuyệt đối và hàm cho bởi hai công thức: đồ thị, tập giá trị, chiều biến thiên
Bài 6.56 (trang 26). Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của chúng. a) y=∣x−1∣+∣x+1∣; b) y={x+1x2−1khi x<−1khi x≥−1.
Kiến thức cần nhớ
∣A∣=A khi A≥0, ∣A∣=−A khi A<0.
Parabol y=x2−1 có đỉnh (0;−1), nghịch biến trên (−∞;0), đồng biến trên (0;+∞).
🧠 Phân tích tư duy
Ý a) phá dấu giá trị tuyệt đối theo hai mốc −1 và 1, được hàm ghép ba đoạn. Ý b) gồm một tia và một cung parabol, nối nhau tại (−1;0). Bẫy ý b): cung parabol có đỉnh (0;−1) nằm trong miền x≥−1 nên hàm giảm trên (−1;0) rồi mới tăng.
Định hướng. Viết lại mỗi hàm thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
a) y=⎩⎨⎧−2x22xkhi x<−1khi −1≤x≤1khi x>1 D=R; −2x>2 khi x<−1, 2x>2 khi x>1 nên T=[2;+∞) Nghịch biến trên (−∞;−1), không đổi trên (−1;1), đồng biến trên (1;+∞) b) D=R x<−1: y=x+1<0, nhận mọi giá trị âm; x≥−1: y=x2−1≥−1, nhận mọi giá trị ≥−1 T=(−∞;0)∪[−1;+∞)=R Đồng biến trên (−∞;−1) và (0;+∞), nghịch biến trên (−1;0)
Vậy a) D=R, T=[2;+∞), nghịch biến trên (−∞;−1), đồng biến trên (1;+∞) (hàm hằng trên [−1;1]); b) D=R, T=R, đồng biến trên (−∞;−1) và (0;+∞), nghịch biến trên (−1;0).
2Cách 2. Bất đẳng thức và đọc đồ thị.
Định hướng. Ý a) dùng bất đẳng thức tam giác cho giá trị nhỏ nhất; ý b) đọc từ đồ thị gồm tia và cung parabol.
a) ∣x−1∣+∣x+1∣=∣1−x∣+∣x+1∣≥∣(1−x)+(x+1)∣=2, dấu bằng khi −1≤x≤1 Với k≥2: x=2k cho y=k, nên T=[2;+∞) b) Tia y=x+1 đi lên tới (−1;0); cung y=x2−1 đi xuống từ (−1;0) tới đỉnh (0;−1) rồi đi lên mãi Hình chiếu lên Oy: tia (−∞;0) hợp với [−1;+∞) là R
Vậy kết quả trùng Cách 1.
3Cách 3. Ý nghĩa khoảng cách trên trục số.
Định hướng.∣x−1∣+∣x+1∣ là tổng khoảng cách từ điểm x tới hai điểm −1 và 1 trên trục số.
a) x nằm giữa −1 và 1: tổng khoảng cách bằng độ dài đoạn [−1;1], tức 2 x ra ngoài đoạn: tổng tăng dần khi x càng xa, y=2∣x∣ b) Hàm tăng trên (−∞;−1) (hệ số 1>0); trên [−1;+∞) hàm x2−1 đổi chiều tại x=0
Vậy a) T=[2;+∞), hằng trên [−1;1], giảm trên (−∞;−1), tăng trên (1;+∞); b) T=R, tăng trên (−∞;−1) và (0;+∞), giảm trên (−1;0).
Nhận xét. Hàm ý a) là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: phá dấu giá trị tuyệt đối là cách chuẩn để vẽ đồ thị.
Đáp số.a) D=R, T=[2;+∞), nghịch biến trên (−∞;−1), đồng biến trên (1;+∞), không đổi trên (−1;1). b) D=R, T=R, đồng biến trên (−∞;−1) và (0;+∞), nghịch biến trên (−1;0).
Sai lầm thường gặp.Ý b) viết "đồng biến trên (−1;+∞)" vì nghĩ phần parabol luôn đi lên; thực ra đỉnh (0;−1) nằm trong miền nên hàm giảm trên (−1;0). Ý a) viết T=[0;+∞) vì nghĩ tổng hai giá trị tuyệt đối có thể bằng 0.
🚀 Mở rộng.Vẽ đồ thị y=∣x−1∣−∣x+1∣ và tìm tập giá trị của nó.
Bài 25 · 6.57★★Trang 26— Xác định dấu các hệ số a, b, c từ đồ thị parabol
Bài 6.57 (trang 26). Dựa vào đồ thị của hàm số y=ax2+bx+c, hãy xác định dấu của các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp dưới đây.
Kiến thức cần nhớ
c=y(0); xI=−2ab nên b cùng dấu a khi đỉnh bên trái Oy, trái dấu a khi đỉnh bên phải Oy.
🧠 Phân tích tư duy
Mỗi hình cho ba thông tin: bề lõm (dấu a), giao điểm với trục tung (dấu c), đỉnh bên trái hay bên phải trục tung (dấu của −2ab). Bẫy: hình c) đi qua gốc toạ độ nên c=0, hình d) đỉnh nằm trên trục hoành nhưng giao với trục tung ở dưới nên c<0.
1Cách 1. Đọc ba dấu hiệu trên từng hình.
Định hướng. Bề lõm, giao điểm với Oy, vị trí đỉnh.
a) Quay xuống: a<0; cắt Oy phía trên: c>0; đỉnh bên trái: −2ab<0⇒b<0 b) Quay lên: a>0; cắt Oy phía trên: c>0; đỉnh bên phải: −2ab>0⇒b<0 c) Quay lên: a>0; qua O: c=0; đỉnh bên trái: b>0 d) Quay xuống: a<0; cắt Oy phía dưới: c<0; đỉnh bên phải: b>0
Vậy a) a<0, b<0, c>0; b) a>0, b<0, c>0; c) a>0, b>0, c=0; d) a<0, b>0, c<0.
2Cách 2. Tổng, tích nghiệm (khi đồ thị cắt trục hoành).
Định hướng. Dùng x1+x2=−ab, x1x2=ac.
a) Hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm xa O hơn: ac<0, −ab<0; với a<0: c>0, b<0 c) Nghiệm 0 và một nghiệm âm: ac=0, −ab<0; với a>0: c=0, b>0 d) Nghiệm kép dương: −ab>0, ac>0; với a<0: b>0, c<0 b) Không cắt Ox nên dùng Cách 1: b<0, c>0
Vậy kết quả trùng Cách 1.
3Cách 3. Kiểm tra bằng hàm minh hoạ.
Định hướng. Chọn một parabol cụ thể có đúng hình dạng từng hình để kiểm tra bộ dấu.
a) y=−x2−2x+2: đỉnh (−1;3), cắt Oy tại 2; dấu (−;−;+) b) y=x2−2x+2: đỉnh (1;1), cắt Oy tại 2; dấu (+;−;+) c) y=x2+2x: đỉnh (−1;−1), qua O; dấu (+;+;0) d) y=−x2+2x−1: đỉnh (1;0), cắt Oy tại −1; dấu (−;+;−)
Vậy bốn bộ dấu như Cách 1.
Nhận xét. Hàm minh hoạ chỉ để kiểm tra; lập luận chính là ba dấu hiệu của Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: mỗi hình đọc ba dấu hiệu (bề lõm, giao với Oy, vị trí đỉnh) là đủ cả bộ dấu a, b, c.
Đáp số.a) a<0, b<0, c>0; b) a>0, b<0, c>0; c) a>0, b>0, c=0; d) a<0, b>0, c<0.
Sai lầm thường gặp.Hình b) kết luận b>0 vì "đỉnh bên phải thì b dương"; dấu của b còn phụ thuộc a: −2ab>0 với a>0 cho b<0. Hình c) ghi c>0 trong khi đồ thị đi qua O.
🚀 Mở rộng.Parabol có a>0, b=0, c<0 trông như thế nào?
Bài 26 · 6.58★★Trang 26— Tìm giao điểm của đường thẳng và parabol
Bài 6.58 (trang 26). Trong mỗi trường hợp dưới đây, hãy vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ rồi xác định toạ độ giao điểm của chúng: a) y=−x+3 và y=−x2−4x+1; b) y=2x−5 và y=x2−4x−1.
Kiến thức cần nhớ
Hoành độ giao điểm của y=f(x) và y=g(x) là nghiệm của f(x)=g(x).
🧠 Phân tích tư duy
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (cho hai vế bằng nhau), sau đó thay vào phương trình đường thẳng để lấy tung độ. Đồ thị giúp kiểm tra số giao điểm. Bẫy ý b): nghiệm vô tỉ 3±5 nên không đọc chính xác được trên hình, phải tính.
1Cách 1. Phương trình hoành độ giao điểm.
Định hướng. Cho hai vế bằng nhau, giải phương trình bậc hai.
a) −x+3=−x2−4x+1⇔x2+3x+2=0⇔x=−1 hoặc x=−2 x=−1: y=4; x=−2: y=5 b) 2x−5=x2−4x−1⇔x2−6x+4=0⇔x=3±5 x=3+5: y=1+25; x=3−5: y=1−25
Vậy a) (−1;4) và (−2;5); b) (3+5;1+25) và (3−5;1−25).
2Cách 2. Vẽ đồ thị rồi kiểm tra.
Định hướng. Vẽ parabol (đỉnh, trục đối xứng) và đường thẳng (hai điểm), đọc giao điểm rồi thử lại.
a) Parabol đỉnh (−2;5) quay xuống; đường thẳng qua (0;3), (3;0) Đọc được giao điểm (−2;5) (chính là đỉnh) và (−1;4); thử lại: −(−1)+3=4, −1+4+1=4 b) Parabol đỉnh (2;−5) quay lên; đường thẳng qua (0;−5), (2,5;0) Hai giao điểm gần (0,76;−3,47) và (5,24;5,47), khớp 3±5
Vậy kết quả trùng Cách 1.
3Cách 3. Định lí Viète.
Định hướng. Không cần giải cụ thể mà vẫn kiểm tra được hai hoành độ.
a) x2+3x+2=0: x1+x2=−3, x1x2=2, nhẩm được −1 và −2 b) x2−6x+4=0: x1+x2=6, x1x2=4 (3+5)+(3−5)=6, (3+5)(3−5)=9−5=4 (đúng)
Vậy hai cặp giao điểm như Cách 1.
Nhận xét. Ở ý a) giao điểm (−2;5) trùng với đỉnh parabol.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1; hình vẽ (Cách 2) để trình bày yêu cầu vẽ đồ thị.
Đáp số.a) (−1;4), (−2;5); b) (3+5;1+25), (3−5;1−25).
Sai lầm thường gặp.Tính tung độ giao điểm bằng cách thay vào phương trình hoành độ giao điểm x2+3x+2 (được 0) thay vì thay vào một trong hai hàm số ban đầu.
🚀 Mở rộng.Tìm m để đường thẳng y=−x+m tiếp xúc với parabol y=−x2−4x+1 (phương trình hoành độ có nghiệm kép).
Bài 27 · 6.59★★Trang 26— Giải bất phương trình bậc hai bằng đồ thị
Bài 6.59 (trang 26). Vẽ đồ thị mỗi hàm số sau, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình tương ứng: a) y=x2−3x+2 và bất phương trình x2−3x+2≥0; b) y=x2−x−6 và bất phương trình x2−x−6<0.
Kiến thức cần nhớ
f(x)>0 khi đồ thị y=f(x) nằm phía trên trục hoành; f(x)=0 tại giao điểm với trục hoành.
🧠 Phân tích tư duy
Tập nghiệm của f(x)≥0 là các hoành độ mà parabol nằm phía trên hoặc chạm trục hoành; f(x)<0 là phần nằm dưới trục hoành. Cần vẽ đúng giao điểm với Ox. Bẫy: dấu ≥ phải lấy cả hai nghiệm, dấu < thì không.
1Cách 1. Đọc trên đồ thị.
Định hướng. Vẽ parabol, đánh dấu phần trên hoặc dưới trục hoành.
a) Đỉnh (23;−41), cắt Ox tại 1, 2, cắt Oy tại 2 Parabol ở trên hoặc chạm Ox khi x≤1 hoặc x≥2 b) Đỉnh (21;−425), cắt Ox tại −2, 3, cắt Oy tại −6 Parabol nằm dưới Ox khi −2<x<3
Vậy a) S=(−∞;1]∪[2;+∞); b) S=(−2;3).
2Cách 2. Định lí về dấu tam thức.
Định hướng. Tìm nghiệm và dùng quy tắc "trong trái, ngoài cùng".
a) Nghiệm 1, 2; a=1>0: f(x)≥0⇔x≤1 hoặc x≥2 b) Nghiệm −2, 3; a=1>0: f(x)<0⇔−2<x<3
Vậy a) S=(−∞;1]∪[2;+∞); b) S=(−2;3).
3Cách 3. Phân tích nhân tử.
Định hướng. Xét dấu tích hai thừa số bậc nhất.
a) (x−1)(x−2)≥0⇔ hai thừa số cùng dấu hoặc một thừa số bằng 0⇔x≤1 hoặc x≥2 b) (x+2)(x−3)<0⇔x+2>0 và x−3<0⇔−2<x<3
Vậy a) S=(−∞;1]∪[2;+∞); b) S=(−2;3).
Nhận xét. Ba cách là ba cách nhìn cùng một sự thật: dấu tam thức chỉ đổi tại nghiệm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đề yêu cầu dùng đồ thị nên trình bày theo Cách 1; Cách 2 để kiểm tra nhanh.
Đáp số.a) S=(−∞;1]∪[2;+∞); b) S=(−2;3).
Sai lầm thường gặp.Ý a) viết S=(−∞;1)∪(2;+∞), quên dấu bằng tại hai nghiệm. Ý b) đọc phần nằm trên trục hoành thay cho phần nằm dưới.
🚀 Mở rộng.Dùng đồ thị ý b) giải luôn x2−x−6≥−4 (so parabol với đường thẳng y=−4).
Bài 28 · 6.60★★★Trang 26— Bài toán tham số liên quan đến dấu tam thức bậc hai
Bài 6.60 (trang 26). Tìm các giá trị của tham số m để: a) Hàm số y=mx2−2mx+51 có tập xác định R; b) Tam thức bậc hai y=−x2+mx−1 có dấu không phụ thuộc vào x; c) Hàm số y=−2x2+mx−m−6 có tập xác định chỉ gồm một phần tử.
Kiến thức cần nhớ
ax2+bx+c>0,∀x⇔a>0,Δ<0 (với a=0).
a<0: tập nghiệm của ax2+bx+c≥0 là đoạn [x1;x2] khi Δ>0, là {x0} khi Δ=0, là ∅ khi Δ<0.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba ý đều quy về dấu của một tam thức bậc hai. Ý a) cần mx2−2mx+5>0 với mọi x, và vì hệ số a=m chứa tham số nên phải xét riêng m=0. Ý b) "dấu không phụ thuộc x" nghĩa là tam thức luôn cùng một dấu, tức Δ<0. Ý c) tam thức có a=−2<0 chỉ không âm tại đúng một điểm khi Δ=0.
1Cách 1. Điều kiện theo Δ.
Định hướng. Lập điều kiện dấu tam thức cho từng ý.
a) m=0: 51 xác định với mọi x (thoả mãn) m=0: cần {m>0Δ′=m2−5m<0⇔0<m<5 Hợp lại: 0≤m<5 b) a=−1=0; dấu không đổi ⇔Δ=m2−4<0⇔−2<m<2 c) a=−2<0; −2x2+mx−m−6≥0 có đúng một nghiệm ⇔Δ=m2−8(m+6)=0 m2−8m−48=0⇔m=12 hoặc m=−4
Vậy a) 0≤m<5; b) −2<m<2; c) m=−4 hoặc m=12.
2Cách 2. Hoàn thành bình phương.
Định hướng. Đưa tam thức về dạng a(x−h)2+k và biện luận theo k.
a) mx2−2mx+5=m(x−1)2+5−m m≥0: nhỏ nhất bằng 5−m tại x=1, cần 5−m>0, được 0≤m<5 m<0: biểu thức âm khi ∣x−1∣ đủ lớn, loại b) −x2+mx−1=−(x−2m)2+4m2−1 luôn âm ⇔4m2−1<0⇔−2<m<2 c) −2x2+mx−m−6=−2(x−4m)2+8m2−m−6 ≥0 tại đúng một điểm ⇔8m2−m−6=0⇔m2−8m−48=0⇔m∈{−4;12}
Vậy a) 0≤m<5; b) −2<m<2; c) m∈{−4;12}.
3Cách 3. Thử lại các giá trị biên.
Định hướng. Kiểm tra các đầu mút để khẳng định lấy hay bỏ.
a) m=5: 5(x−1)2 bằng 0 tại x=1, mẫu bằng 0, loại m=5; m=0: y=51, nhận b) m=2: −(x−1)2 bằng 0 tại x=1, dấu không còn "âm với mọi x", loại m=±2 c) m=12: −2(x−3)2≥0⇔x=3, D={3} m=−4: −2x2−4x−2=−2(x+1)2≥0⇔x=−1, D={−1}
Vậy a) 0≤m<5; b) −2<m<2; c) m=−4 hoặc m=12.
Nhận xét. Ở ý b), với m=±2 tam thức vẫn "không dương", nhưng có điểm bằng 0 nên dấu (âm hay bằng không) phụ thuộc vào x.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1; nhớ xét riêng m=0 ở ý a).
Đáp số.a) 0≤m<5; b) −2<m<2; c) m=−4 hoặc m=12.
Sai lầm thường gặp.Ý a) quên trường hợp m=0 nên ra 0<m<5; hoặc dùng Δ′≤0 nên nhận nhầm m=5 làm mẫu bằng 0 tại x=1. Ý c) giải Δ<0 — khi đó tập xác định là rỗng chứ không phải một điểm.
🚀 Mở rộng.Tìm m để hàm số y=−2x2+mx−m−6 có tập xác định là một đoạn có độ dài bằng 1.
Bài 29 · 6.61★★★Trang 27— Bài toán hình học dẫn đến phương trình bậc hai
Bài 6.61 (trang 27). Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6 cm, AD=13 cm. Tìm vị trí điểm M trên cạnh AD sao cho BM=2MD.
Kiến thức cần nhớ
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.
Với a,b≥0: a=b⇔a2=b2.
🧠 Phân tích tư duy
Đặt ẩn là một đoạn trên cạnh AD; tam giác ABM vuông tại A cho BM theo Pythagore. Điều kiện BM=2MD bình phương lên thành phương trình bậc hai. Bẫy: nhận cả nghiệm âm hoặc nghiệm vượt quá 13.
1Cách 1. Đặt MD=x.
Định hướng.AM=13−x, BM2=AB2+AM2.
0≤x≤13, AM=13−x, BM=36+(13−x)2 BM=2MD⇔36+(13−x)2=4x2 ⇔36+169−26x+x2=4x2⇔3x2+26x−205=0 Δ′=169+615=784=282, x=3−13+28=5 hoặc x=3−13−28=−341 (loại)
VậyM nằm trên AD với MD=5 cm, tức AM=8 cm.
2Cách 2. Đặt AM=y.
Định hướng. Ẩn là khoảng cách từ A, khi đó BM=36+y2 gọn hơn.
0≤y≤13, MD=13−y 36+y2=4(13−y)2=676−104y+4y2⇔3y2−104y+640=0 Δ′=2704−1920=784, y=352−28=8 hoặc y=352+28=380>13 (loại)
VậyAM=8 cm, MD=5 cm.
3Cách 3. Toạ độ hoá và kiểm tra bằng bộ ba Pythagore.
Định hướng. Chọn hệ trục A(0;0), D(13;0), B(0;6); M(t;0). Nhận ra bộ ba 6, 8, 10 để kiểm tra.
BM2=t2+36, MD=13−t t2+36=4(13−t)2 cho t=8 (như Cách 2) Kiểm tra: BM=64+36=10, MD=13−8=5, 10=2⋅5 (đúng)
VậyM thuộc AD sao cho AM=8 cm (MD=5 cm).
Nhận xét. Tam giác ABM có ba cạnh 6, 8, 10 — gấp đôi bộ ba 3, 4, 5.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: BM viết gọn theo AM và nghiệm 8 nhẩm được.
Đáp số.M trên cạnh AD với AM=8 cm (tức MD=5 cm).
Sai lầm thường gặp.Giữ nghiệm y=380 quên điều kiện M nằm trên cạnh AD (0≤AM≤13); hoặc viết nhầm BM2=AB2+MD2 (lấy nhầm cạnh góc vuông).
🚀 Mở rộng.Tìm M trên cạnh AD sao cho BM=MD (khi đó M nằm trên đường trung trực của BD).
Bài 30 · 6.62★★★★Trang 27— Ứng dụng hàm số bậc hai: quỹ đạo ném xiên
Bài 6.62 (trang 27). Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v0, góc ném hợp với phương ngang Ox một góc α, nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác động của trọng lực với gia tốc trọng trường g≈9,8 m/s², thì độ cao y (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang x (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức y=2v02cos2α−gx2+xtanα. Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường parabol. Hãy xác định a) Các hệ số a, b và c của hàm số bậc hai này; b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được; c) Giả sử vận tốc ban đầu v0 không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném α để độ cao lớn nhất của vật đạt giá trị lớn nhất. d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu v0=20 m/s và góc đá so với phương ngang là α=45∘. Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Kiến thức cần nhớ
Hàm y=ax2+bx+c, a<0 có giá trị lớn nhất −4aΔ tại x=−2ab.
tanα=cosαsinα; 0≤sin2α≤1.
🧠 Phân tích tư duy
Công thức đã cho là hàm bậc hai theo x với a<0 nên độ cao lớn nhất là tung độ đỉnh. Ý c) biến đổi ymax về dạng chỉ chứa sin2α. Ý d) thay số rồi giải bất phương trình bậc hai y>5. Bẫy: nhầm tan2αcos2α thành tan2α và làm tròn quá sớm.
1Cách 1. Công thức đỉnh.
Định hướng. Đọc hệ số, tính −4aΔ, rồi thay số ở ý d).
a) a=−2v02cos2αg, b=tanα, c=0 b) Δ=tan2α, ymax=−4aΔ=4gtan2α⋅2v02cos2α=2gv02sin2α, đạt tại x=gv02sinαcosα c) sin2α≤1 nên ymax≤2gv02, dấu bằng khi sinα=1, tức α=90∘ d) cos245∘=21, tan45∘=1: a=−2⋅400⋅219,8=−0,0245, y=−0,0245x2+x y>5⇔0,0245x2−x+5<0 Δ=1−4⋅0,0245⋅5=0,51, x1,2=0,0491∓0,51, x1≈5,83, x2≈34,98 5,83<x<34,98
Vậy a) a=−2v02cos2αg, b=tanα, c=0; b) ymax=2gv02sin2α; c) α=90∘; d) khoảng từ 5,83 m đến 34,98 m.
2Cách 2. Đỉnh là trung điểm hai giao điểm với mặt đất.
Định hướng. Vật rời mặt đất tại x=0 và chạm đất tại nghiệm thứ hai của y=0; đỉnh nằm chính giữa.
b) y=x(ax+tanα)=0⇔x=0 hoặc x=−atanα=g2v02sinαcosα xI=gv02sinαcosα yI=xI(axI+tanα)=xI⋅2tanα=gv02sinαcosα⋅2cosαsinα=2gv02sin2α d) xI=0,0491≈20,41; hai nghiệm của y=5 đối xứng qua xI với nửa khoảng cách 0,0490,51≈14,57 x∈(20,41−14,57;20,41+14,57)=(5,83;34,98) (tính từ giá trị chưa làm tròn)
Vậy kết quả như Cách 1.
3Cách 3. Hoàn thành bình phương.
Định hướng. Viết y=a(x−h)2+k để có ngay đỉnh, rồi giải ý d) dưới dạng ∣x−h∣<d.
b) y=a(x2+atanαx)=a(x+2atanα)2−4atan2α k=−4atan2α=2gv02sin2α d) y=−0,0245(x−0,0491)2+0,0981 y>5⇔(x−0,0491)2<0,02450,0981−5=0,04920,51 ∣x−20,408∣<14,574⇔5,83<x<34,98
Vậy độ cao lớn nhất 2gv02sin2α; ở ý d) khoảng cách nằm trong (5,83;34,98) m.
Nhận xét. Ý c): α=90∘ là ném thẳng đứng, khi đó cosα=0 nên công thức quỹ đạo không còn dùng được, nhưng giới hạn của ymax vẫn là 2gv02. Ở ý d), độ cao lớn nhất của quả bóng là 19,6400⋅21≈10,2 m.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 cho a), b), c) và Cách 3 cho d) vì dạng ∣x−h∣<d ít sai dấu.
Đáp số.a) a=−2v02cos2αg, b=tanα, c=0. b) ymax=2gv02sin2α. c) α=90∘ (ném thẳng đứng). d) 5,83<x<34,98 (m).
Sai lầm thường gặp.Ý b) viết ymax=2gv02tan2α vì quên nhân cos2α ở hệ số a. Ý d) làm tròn 0,51≈0,7 quá sớm nên ra 6,12 và 34,69, sai ở hàng phần trăm.
🚀 Mở rộng.Với v0 cố định, góc nào cho tầm xa gv02sin2α lớn nhất? (Đáp số 45∘.)
Bài 31 · 6.63★★★Trang 27— Bài toán doanh thu: hàm số bậc hai, giá trị lớn nhất và bất phương trình bậc hai
Bài 6.63 (trang 27). Một công ty kinh doanh máy tính cầm tay thấy rằng khi bán máy ở mức giá x (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng máy bán được n cho bởi phương trình n=1200000−1200x. a) Tìm công thức biểu diễn doanh thu R như là hàm số của đơn giá x. Tìm miền xác định của hàm số R=R(x). b) Máy tính được bán ở đơn giá nào sẽ cho doanh thu lớn nhất? Tính doanh thu lớn nhất và số máy tính bán được trong trường hợp đó. c) Với đơn giá nào thì công ty sẽ đạt được doanh thu trên 200 tỉ đồng (làm tròn đến nghìn đồng)?
Kiến thức cần nhớ
Doanh thu R= đơn giá × số lượng bán.
a<0: maxR=R(−2ab).
1 tỉ đồng =1000000 nghìn đồng.
🧠 Phân tích tư duy
Doanh thu = giá × số lượng nên R(x)=x⋅n là hàm bậc hai với a<0, đạt lớn nhất tại đỉnh. Miền xác định lấy từ ý nghĩa thực tế: giá và số lượng đều không âm. Bẫy lớn nhất là đơn vị: x tính bằng nghìn đồng nên R cũng tính bằng nghìn đồng, 200 tỉ đồng =200000000 nghìn đồng.
1Cách 1. Công thức đỉnh và dấu tam thức.
Định hướng. Lập R(x), dùng đỉnh cho ý b) và định lí dấu tam thức cho ý c).
a) R(x)=x(1200000−1200x)=−1200x2+1200000x (nghìn đồng) x≥0, n≥0⇔1200000−1200x≥0⇔x≤1000; D=[0;1000] b) xI=−2⋅(−1200)1200000=500 R(500)=500⋅600000=300000000 nghìn đồng =300 tỉ đồng; n=600000 chiếc c) R(x)>200000000⇔−1200x2+1200000x−200000000>0 ⇔3x2−3000x+500000<0 Δ′=2250000−1500000=750000, x1,2=31500∓750000=500∓35003 x1≈211,325, x2≈788,675; x1<x<x2
Vậy a) R(x)=−1200x2+1200000x, D=[0;1000]; b) giá 500 nghìn đồng, doanh thu lớn nhất 300 tỉ đồng, bán được 600000 chiếc; c) đơn giá trong khoảng từ 212 nghìn đồng đến 788 nghìn đồng.
2Cách 2. Hoàn thành bình phương.
Định hướng. Đưa R(x) về dạng a(x−h)2+k: ý b) đọc thẳng, ý c) thành bất phương trình chứa (x−500)2.
R(x)=−1200(x2−1000x)=−1200(x−500)2+300000000 b) R(x)≤300000000, dấu bằng khi x=500 c) −1200(x−500)2+300000000>200000000⇔(x−500)2<3250000 ∣x−500∣<3500≈288,675⇔211,325<x<788,675
Vậy giá 500 nghìn đồng cho doanh thu lớn nhất 300 tỉ đồng; doanh thu trên 200 tỉ đồng khi giá từ khoảng 212 nghìn đến 788 nghìn đồng.
3Cách 3. Tính đối xứng của parabol doanh thu.
Định hướng.R(x)=1200x(1000−x) bằng 0 tại x=0 và x=1000; đỉnh ở chính giữa, các mức doanh thu bằng nhau đối xứng qua x=500.
b) xI=20+1000=500, R(500)=1200⋅500⋅500=300000000 c) 1200x(1000−x)>200000000⇔x(1000−x)>3500000 Đặt x=500+t: (500+t)(500−t)=250000−t2>3500000⇔t2<3250000 ∣t∣<288,675: 211,325<x<788,675
Vậy kết quả như Cách 1.
Nhận xét. Làm tròn đến nghìn đồng mà vẫn giữ "doanh thu trên 200 tỉ", đơn giá nằm trong khoảng 212 nghìn đến 788 nghìn đồng; ở hai đầu 211 và 789 nghìn đồng doanh thu đã dưới 200 tỉ.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: một lần biến đổi giải được cả b) và c).
Đáp số.a) R(x)=−1200x2+1200000x (nghìn đồng), D=[0;1000]. b) Giá 500 nghìn đồng; doanh thu lớn nhất 300 tỉ đồng; bán được 600000 chiếc. c) 211,325<x<788,675, tức đơn giá khoảng từ 212 nghìn đồng đến 788 nghìn đồng.
Sai lầm thường gặp.Ý c) so sánh R(x) với 200 hoặc với 200000000000 vì lẫn đơn vị; đúng phải là 200000000 nghìn đồng. Ý a) lấy miền xác định là R, quên giá và số lượng máy không âm.
🚀 Mở rộng.Nếu mỗi máy có giá vốn 100 nghìn đồng, hãy tìm đơn giá cho lợi nhuận L(x)=(x−100)n lớn nhất.
