Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài tập cuối chương VI

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 6.24★Trang 28— Tìm tập xác định của hàm số chứa căn ở mẫu

Bài 6.24 (trang 28). Chọn phương án đúng. Tập xác định của hàm số

y = \frac{1}{x - 2}

là
A.

D = [2; + \infty)

. B.

D = (2; + \infty)

. C.

D = R ∖ {2}

. D.

D = R

Kiến thức cần nhớ

$A$ có nghĩa khi $A \geq 0$ ; $\frac{1}{B}$ có nghĩa khi $B \neq = 0$ .
$\frac{1}{A}$ có nghĩa khi và chỉ khi $A > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có căn bậc hai nằm dưới mẫu: căn cần biểu thức dưới căn không âm, mẫu cần khác

0

, gộp lại thành điều kiện dương ngặt. Bẫy là chỉ nhớ điều kiện của căn mà chọn nhầm nửa khoảng đóng

[2; + \infty)

1Cách 1. Lập điều kiện xác định.

Định hướng. Gộp điều kiện của căn và của mẫu thành một bất phương trình.

Hàm số xác định

\Leftrightarrow {x - 2 \geq 0 x - 2 \neq = 0 \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2

D = (2; + \infty)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Thử giá trị để loại trừ phương án.

Định hướng. Mỗi phương án sai đều chứa một giá trị làm biểu thức vô nghĩa; chỉ cần chỉ ra giá trị đó.

x = 2

2 - 2 = 0

nằm ở mẫu, vô nghĩa, loại A, D

x = 0

0 - 2 = - 2

vô nghĩa, loại C
Còn lại phương án B

Vậy chọn B.

3Cách 3. Nhìn theo đồ thị hàm căn.

Định hướng. Hàm $u = x - 2$ có đồ thị xuất phát tại $(2; 0)$ và dương khi $x > 2$ ; lấy nghịch đảo chỉ được khi $u > 0$ .

u = x - 2

xác định trên

[2; + \infty)

u (2) = 0

u (x) > 0

với

x > 2

y = \frac{1}{u}

xác định khi

u \neq = 0

nên bỏ

x = 2

D = [2; + \infty) ∖ {2} = (2; + \infty)

Vậy chọn B.

Nhận xét. Điểm đầu mút $x = 2$ thuộc tập xác định của căn nhưng bị loại bởi mẫu — đó chính là khác biệt giữa A và B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng điều kiện

x - 2 > 0

là xong, không cần thử.

Đáp số. B.

D = (2; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì chỉ viết điều kiện

x - 2 \geq 0

của căn, quên rằng căn nằm ở mẫu; tại

x = 2

mẫu bằng

0

nên

x = 2

phải bị loại.

🚀 Mở rộng. Thử tìm tập xác định của

y = \frac{1}{x - 2} + 5 - x

— lúc này phải giao

(2; + \infty)

với

(- \infty; 5]

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.25★Trang 28— Tìm toạ độ đỉnh của parabol

Bài 6.25 (trang 28). Parabol

y = - x^{2} + 2 x + 3

có đỉnh là
A.

I (- 1; 0)

. B.

I (3; 0)

. C.

I (0; 3)

. D.

I (1; 4)

Kiến thức cần nhớ

Đỉnh parabol $y = a x^{2} + b x + c$ là $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ .
Dạng $y = a (x - h)^{2} + k$ có đỉnh $I (h; k)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi đỉnh parabol

y = a x^{2} + b x + c

nên chỉ cần

x_{I} = - \frac{b}{2 a}

rồi thay vào tìm

y_{I}

. Bẫy:

(- 1; 0)

và

(3; 0)

là hai giao điểm với trục hoành,

(0; 3)

là giao điểm với trục tung — đều nằm trên parabol nhưng không phải đỉnh.

1Cách 1. Công thức toạ độ đỉnh.

Định hướng. Tính hoành độ đỉnh theo $a$ , $b$ , rồi thay vào hàm số.

a = - 1

b = 2

c = 3

x_{I} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1

y_{I} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4

Vậy đỉnh $I (1; 4)$ , chọn D.

2Cách 2. Hoàn thành bình phương.

Định hướng. Đưa về dạng $a (x - h)^{2} + k$ để đọc thẳng đỉnh.

y = - (x^{2} - 2 x) + 3 = - (x^{2} - 2 x + 1) + 1 + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

Vậy đỉnh $I (1; 4)$ , chọn D.

3Cách 3. Trung điểm hai giao điểm với trục hoành.

Định hướng. Hai giao điểm với $O x$ đối xứng qua trục đối xứng, nên hoành độ đỉnh là trung bình cộng hai nghiệm.

- x^{2} + 2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 3

x_{I} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1

y_{I} = - 1 + 2 + 3 = 4

Vậy đỉnh $I (1; 4)$ , chọn D.

Nhận xét. Cách này cũng giải thích vì sao A và B là "bẫy": đó chính là hai nghiệm của phương trình $y = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai phép tính nhẩm

x_{I} = 1

y_{I} = 4

Đáp số. D.

I (1; 4)

Sai lầm thường gặp. Viết

x_{I} = \frac{b}{2 a} = - 1

(quên dấu trừ) rồi chọn A; hoặc nhầm đỉnh với giao điểm với trục tung

(0; 3)

mà chọn C.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: parabol

y = - x^{2} + 2 k x + c

luôn có đỉnh

I (k; k^{2} + c)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.26★★Trang 28— Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai

Bài 6.26 (trang 28). Hàm số

y = x^{2} - 5 x + 4

A. Đồng biến trên khoảng

(1; + \infty)

. B. Đồng biến trên khoảng

(- \infty; 4)

.
C. Nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 1)

. D. Nghịch biến trên khoảng

(1; 4)

Kiến thức cần nhớ

$a > 0$ : hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , đồng biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ .
Hàm số nghịch biến trên một khoảng thì cũng nghịch biến trên mọi khoảng con của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc hai có

a = 1 > 0

nên nghịch biến bên trái đỉnh, đồng biến bên phải đỉnh; chỉ cần biết hoành độ đỉnh

\frac{5}{2}

. Phương án đúng là khoảng nằm trọn trong một phía của đỉnh. Bẫy:

1

và

4

là hai nghiệm của tam thức, không phải chỗ đổi chiều biến thiên.

1Cách 1. Dựa vào hoành độ đỉnh.

Định hướng. Tìm khoảng nghịch biến, đồng biến lớn nhất rồi so với từng phương án.

a = 1 > 0

x_{I} = \frac{5}{2}

Nghịch biến trên

(- \infty; \frac{5}{2})

, đồng biến trên

(\frac{5}{2}; + \infty)

(- \infty; 1) \subset (- \infty; \frac{5}{2})

nên C đúng

(1; + \infty)

(- \infty; 4)

(1; 4)

đều chứa

\frac{5}{2}

ở bên trong nên A, B, D sai

Vậy chọn C.

2Cách 2. Thử giá trị để bác bỏ.

Định hướng. Một khẳng định đơn điệu trên khoảng bị bác bỏ ngay khi tìm được hai điểm trong khoảng cho kết quả ngược chiều.

y (2) = - 2

y (3) = - 2

: với

2 < 3

mà

y (2) = y (3)

, nên hàm không đơn điệu trên bất kì khoảng nào chứa

[2; 3]

Các khoảng

(1; + \infty)

(- \infty; 4)

(1; 4)

đều chứa

[2; 3]

, loại A, B, D
Với

x_{1} < x_{2} < 1

y (x_{1}) - y (x_{2}) = (x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2} - 5) > 0

Vậy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ , chọn C.

3Cách 3. Hoàn thành bình phương.

Định hướng. Viết $y = (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{9}{4}$ : khi $x$ còn ở bên trái $\frac{5}{2}$ và tăng, khoảng cách tới $\frac{5}{2}$ giảm nên $y$ giảm.

y = x^{2} - 5 x + 4 = (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{9}{4}

x_{1} < x_{2} < 1 \Rightarrow \frac{5}{2} - x_{1} > \frac{5}{2} - x_{2} > 0 \Rightarrow (x_{1} - \frac{5}{2})^{2} > (x_{2} - \frac{5}{2})^{2} \Rightarrow y (x_{1}) > y (x_{2})

Vậy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ , chọn C.

Nhận xét. Phương án C chỉ là một phần của khoảng nghịch biến lớn nhất $(- \infty; \frac{5}{2})$ — đề vẫn coi là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tìm

x_{I} = \frac{5}{2}

rồi xem khoảng nào không chứa

\frac{5}{2}

bên trong.

Đáp số. C. Nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 1)

Sai lầm thường gặp. Lấy hai nghiệm

1

và

4

làm mốc đổi chiều biến thiên nên chọn D; mốc đúng là hoành độ đỉnh

\frac{5}{2}

, và trên

(1; 4)

hàm số vừa giảm vừa tăng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hàm

y = x^{2} + b x + c

nghịch biến trên

(- \infty; k)

khi và chỉ khi

k \leq - \frac{b}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.27★★Trang 28— Tìm tham số để tam thức bậc hai luôn dương

Bài 6.27 (trang 28). Bất phương trình

x^{2} - 2 m x + 4 > 0

nghiệm đúng với mọi

x \in R

khi
A.

m = - 1

. B.

m = - 2

. C.

m = 2

. D.

m > 2

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c > 0, \forall x \in R \Leftrightarrow a > 0$ và $Δ < 0$ .
Với $b = 2 b^{'}$ : $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ cùng dấu với $Δ$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Nghiệm đúng với mọi

x

" là dấu hiệu của điều kiện tam thức luôn dương:

a > 0

và

Δ < 0

. Hệ số

a = 1

đã dương, chỉ còn điều kiện

Δ^{'} < 0

. Bẫy là lấy cả

Δ^{'} = 0

(tức

m = \pm 2

), khi đó tam thức bằng

0

tại một điểm.

1Cách 1. Điều kiện

Δ^{'} < 0

Định hướng. Tìm toàn bộ tập giá trị $m$ thoả mãn rồi đối chiếu phương án.

a = 1 > 0

Δ^{'} = m^{2} - 4

Δ^{'} < 0 \Leftrightarrow m^{2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2

Trong bốn phương án chỉ có

m = - 1

thuộc

(- 2; 2)

Vậy chọn A.

2Cách 2. Thử từng phương án.

Định hướng. Thay giá trị $m$ vào, xem tam thức có lúc nào không dương.

m = - 2

x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}

bằng

0

tại

x = - 2

, loại B

m = 2

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

bằng

0

tại

x = 2

, loại C

m = 3

(thuộc D):

x^{2} - 6 x + 4

tại

x = 3

bằng

- 5 < 0

, loại D

m = - 1

x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} + 3 > 0

với mọi

x

Vậy chọn A.

3Cách 3. Giá trị nhỏ nhất của tam thức.

Định hướng. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi giá trị nhỏ nhất của nó (tung độ đỉnh) dương.

x^{2} - 2 m x + 4 = (x - m)^{2} + 4 - m^{2} \geq 4 - m^{2}

, dấu bằng khi

x = m

Luôn dương

\Leftrightarrow 4 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ vì sao $m = \pm 2$ bị loại: khi đó giá trị nhỏ nhất bằng đúng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

Δ^{'} = m^{2} - 4 < 0

trong một dòng.

Đáp số. A.

m = - 1

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì giải

Δ^{'} \leq 0

; với

m = 2

tam thức là

(x - 2)^{2}

bằng

0

tại

x = 2

nên bất phương trình

> 0

không đúng với mọi

x

🚀 Mở rộng. Thử tìm

m

để

x^{2} - 2 m x + 4 \geq 0

với mọi

x

— lúc này đáp số là

- 2 \leq m \leq 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.28★★Trang 28— Phương trình dạng

f (x) = g (x)

Bài 6.28 (trang 28). Tập nghiệm của phương trình

2 x^{2} - 3 = x - 1

là
A.

{- 1 - 5; - 1 + 5}

. B.

{- 1 - 5}

. C.

{- 1 + 5}

. D.

\emptyset

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
Bình phương hai vế chỉ cho phương trình hệ quả, có thể sinh nghiệm ngoại lai.

🧠 Phân tích tư duy

Căn bằng một biểu thức bậc nhất: bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai, nhưng phải giữ điều kiện vế phải không âm. Bốn phương án được dựng đúng để bắt lỗi quên điều kiện: bình phương xong ai không thử lại sẽ chọn A.

1Cách 1. Biến đổi tương đương.

Định hướng. Đặt điều kiện $x - 1 \geq 0$ rồi bình phương.

2 x^{2} - 3 = x - 1 \Leftrightarrow {x \geq 1 2 x^{2} - 3 = x^{2} - 2 x + 1 \Leftrightarrow {x \geq 1 x^{2} + 2 x - 4 = 0

x^{2} + 2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 - 5

hoặc

x = - 1 + 5

- 1 - 5 < 1

(loại);

- 1 + 5 \approx 1, 236 \geq 1

(nhận)

Vậy $S = {- 1 + 5}$ , chọn C.

2Cách 2. Bình phương rồi thử lại.

Định hướng. Giải phương trình hệ quả, sau đó thay từng nghiệm vào phương trình ban đầu.

2 x^{2} - 3 = (x - 1)^{2} \Rightarrow x^{2} + 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = - 1 \pm 5

x = - 1 + 5

2 x^{2} - 3 = 2 (6 - 25) - 3 = 9 - 45 = (5 - 2)^{2}

2 x^{2} - 3 = 5 - 2 = x - 1

(thoả mãn)

x = - 1 - 5

: vế phải

x - 1 = - 2 - 5 < 0

(loại)

Vậy $S = {- 1 + 5}$ , chọn C.

3Cách 3. Loại trừ nhanh bằng dấu hai vế.

Định hướng. Vế trái không âm nên mọi nghiệm phải có $x \geq 1$ ; phương án nào chứa số nhỏ hơn $1$ bị loại ngay.

- 1 - 5 \approx - 3, 24 < 1

nên loại A, B

x = - 1 + 5 \approx 1, 236

2 \cdot 1, 528 - 3 = 0, 056 \approx 0, 236 = x - 1

nên phương trình có nghiệm, loại D

Vậy chọn C.

Nhận xét. Kết hợp cả điều kiện và thử lại số, phương án C được xác nhận mà không cần giải trọn phương trình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhìn dấu vế phải loại ngay A, B, thử một số là xong; Cách 1 dành cho bài tự luận.

Đáp số. C.

{- 1 + 5}

Sai lầm thường gặp. Bình phương xong lấy cả hai nghiệm

- 1 \pm 5

và chọn A; với

x = - 1 - 5

vế phải âm trong khi căn luôn không âm nên nghiệm này là ngoại lai.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng: giải

2 x^{2} - 3 = 1 - x

— lúc này điều kiện đổi thành

x \leq 1

và nghiệm giữ lại là

- 1 - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.29★Trang 28— Tìm tập xác định của hàm số chứa căn thức

Bài 6.29 (trang 28). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

y = 2 x - 1 + 5 - x

; b)

y = \frac{1}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

$A$ có nghĩa khi $A \geq 0$ ; $\frac{1}{B}$ có nghĩa khi $B \neq = 0$ .
Tập xác định của tổng, hiệu, thương là giao các tập xác định thành phần (trừ đi các điểm làm mẫu bằng $0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi căn đòi biểu thức dưới căn không âm, mỗi mẫu đòi khác

0

; tập xác định là giao của các điều kiện. Ở ý b) căn nằm ở mẫu nhưng lại bị trừ đi

1

, nên phải loại thêm giá trị làm

x = 1

. Bẫy ý b) là viết điều kiện

x > 0

như thể căn đứng một mình ở mẫu.

1Cách 1. Lập hệ điều kiện.

Định hướng. Viết đủ điều kiện của từng căn, từng mẫu rồi giải hệ.

{2 x - 1 \geq 0 5 - x \geq 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq \frac{1}{2} x \leq 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq x \leq 5

{x \geq 0 x - 1 \neq = 0 \Leftrightarrow {x \geq 0 x \neq = 1

Vậy a) $D = [\frac{1}{2}; 5]$ ; b) $D = [0; + \infty) ∖ {1}$ .

2Cách 2. Giao hai tập trên trục số.

Định hướng. Viết từng điều kiện dưới dạng một khoảng, rồi lấy phần chung.

D_{1} = [\frac{1}{2}; + \infty)

D_{2} = (- \infty; 5]

D = D_{1} \cap D_{2} = [\frac{1}{2}; 5]

b) Căn:

[0; + \infty)

; mẫu bằng

0

khi

x = 1 \Leftrightarrow x = 1

D = [0; + \infty) ∖ {1} = [0; 1) \cup (1; + \infty)

Vậy a) $D = [\frac{1}{2}; 5]$ ; b) $D = [0; 1) \cup (1; + \infty)$ .

3Cách 3. Đổi biến

t = x

ở ý b), kiểm tra đầu mút ở ý a).

Định hướng. Với ý b), đặt $t = x \geq 0$ biến hàm về $\frac{1}{t - 1}$ quen thuộc; với ý a) thử trực tiếp hai đầu mút và một điểm ngoài để khẳng định đoạn đóng.

x = \frac{1}{2}

y = 0 + \frac{9}{2}

xác định;

x = 5

y = 3 + 0

xác định

x = 0

- 1

vô nghĩa;

x = 6

- 1

vô nghĩa, nên

D = [\frac{1}{2}; 5]

t = x

t \geq 0

;

y = \frac{1}{t - 1}

cần

t \neq = 1

t \in [0; 1) \cup (1; + \infty) \Leftrightarrow x \in [0; 1) \cup (1; + \infty)

Vậy a) $D = [\frac{1}{2}; 5]$ ; b) $D = [0; + \infty) ∖ {1}$ .

Nhận xét. Ở ý b) $x = 0$ vẫn thuộc tập xác định vì $y (0) = \frac{1}{0 - 1} = - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết hệ điều kiện là lời giải chuẩn, không bỏ sót điều kiện của mẫu.

Đáp số. a)

D = [\frac{1}{2}; 5]

; b)

D = [0; + \infty) ∖ {1}

Sai lầm thường gặp. Ý b) viết

D = (0; + \infty)

vì nhầm với hàm

\frac{1}{x}

; thực ra

x = 0

vẫn làm mẫu bằng

- 1 \neq = 0

, chỉ có

x = 1

bị loại.

🚀 Mở rộng. Thử với

y = \frac{1}{x - a}

(

a > 0

): tập xác định là

[0; + \infty) ∖ {a^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.30★★Trang 28— Vẽ đồ thị, tìm tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số bậc hai

Bài 6.30 (trang 28). Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:
a)

y = - x^{2} + 6 x - 9

; b)

y = - x^{2} - 4 x + 1

;
c)

y = x^{2} + 4 x

; d)

y = 2 x^{2} + 2 x + 1

Kiến thức cần nhớ

Đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ , trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ .
$a > 0$ : tập giá trị $[- \frac{Δ}{4 a}; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , đồng biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ .
$a < 0$ : tập giá trị $(- \infty; - \frac{Δ}{4 a}]$ , đồng biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , nghịch biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi yêu cầu đều xoay quanh đỉnh

I

và dấu của

a

: đỉnh cho tập giá trị,

a

cho chiều bề lõm và chiều biến thiên. Vẽ đồ thị chỉ cần đỉnh, trục đối xứng, giao với trục tung và điểm đối xứng của nó. Bẫy là viết tập giá trị theo hoành độ đỉnh, hoặc viết khoảng biến thiên theo tung độ.

1Cách 1. Công thức đỉnh và bảng giá trị.

Định hướng. Tính đỉnh, lập vài điểm đối xứng qua trục đối xứng để vẽ, rồi đọc tập giá trị và chiều biến thiên theo dấu $a$ .

a = - 1

x_{I} = 3

y_{I} = - 9 + 18 - 9 = 0

, đỉnh

I (3; 0)

Điểm:

(1; - 4)

(2; - 1)

(3; 0)

(4; - 1)

(5; - 4)

T = (- \infty; 0]

; đồng biến trên

(- \infty; 3)

, nghịch biến trên

(3; + \infty)

a = - 1

x_{I} = - 2

y_{I} = - 4 + 8 + 1 = 5

, đỉnh

I (- 2; 5)

Điểm:

(- 4; 1)

(- 3; 4)

(- 2; 5)

(- 1; 4)

(0; 1)

T = (- \infty; 5]

; đồng biến trên

(- \infty; - 2)

, nghịch biến trên

(- 2; + \infty)

a = 1

x_{I} = - 2

y_{I} = 4 - 8 = - 4

, đỉnh

I (- 2; - 4)

Điểm:

(- 4; 0)

(- 3; - 3)

(- 2; - 4)

(- 1; - 3)

(0; 0)

T = [- 4; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; - 2)

, đồng biến trên

(- 2; + \infty)

a = 2

x_{I} = - \frac{1}{2}

y_{I} = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2}

, đỉnh

I (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

Điểm:

(- 1; 1)

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

(0; 1)

T = [\frac{1}{2}; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; - \frac{1}{2})

, đồng biến trên

(- \frac{1}{2}; + \infty)

Vậy bốn đồ thị là bốn parabol như hình; tập giá trị và khoảng biến thiên như trên.

2Cách 2. Đưa về dạng

a (x - h)^{2} + k

Định hướng. Dạng đỉnh cho luôn $I (h; k)$ và chứng minh được tập giá trị bằng bất đẳng thức $(x - h)^{2} \geq 0$ .

y = - (x^{2} - 6 x + 9) = - (x - 3)^{2} \leq 0

, dấu bằng khi

x = 3

y = - (x^{2} + 4 x + 4) + 5 = - (x + 2)^{2} + 5 \leq 5

, dấu bằng khi

x = - 2

y = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 = (x + 2)^{2} - 4 \geq - 4

, dấu bằng khi

x = - 2

y = 2 (x^{2} + x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = 2 (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}

, dấu bằng khi

x = - \frac{1}{2}

Vậy a) $T = (- \infty; 0]$ ; b) $T = (- \infty; 5]$ ; c) $T = [- 4; + \infty)$ ; d) $T = [\frac{1}{2}; + \infty)$ , cùng các khoảng biến thiên như Cách 1.

3Cách 3. Tịnh tiến đồ thị

y = a x^{2}

Định hướng. Mỗi đồ thị là parabol $y = a x^{2}$ tịnh tiến sao cho đỉnh $O$ về đỉnh $I (h; k)$ ; chiều biến thiên và tập giá trị giữ nguyên dạng, chỉ dời mốc từ $0$ sang $h$ , $k$ .

y = - x^{2}

dời sang phải

3

đơn vị: đỉnh

(0; 0) \to (3; 0)

y = - x^{2}

dời sang trái

2

, lên

5

: đỉnh

(0; 0) \to (- 2; 5)

y = x^{2}

dời sang trái

2

, xuống

4

: đỉnh

(0; 0) \to (- 2; - 4)

y = 2 x^{2}

dời sang trái

\frac{1}{2}

, lên

\frac{1}{2}

: đỉnh

(0; 0) \to (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

y = - x^{2}

có

T = (- \infty; 0]

, đồng biến trên

(- \infty; 0)

;

y = a x^{2}

(

a > 0

) có

T = [0; + \infty)

, nghịch biến trên

(- \infty; 0)

Vậy các kết quả trùng Cách 1 sau khi dời mốc $0$ thành hoành độ, tung độ đỉnh.

Nhận xét. Ý a) đồ thị tiếp xúc trục hoành tại đỉnh vì $Δ = 0$ ; ý d) đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì $Δ = - 4 < 0$ và $a > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức đỉnh vừa cho bảng giá trị để vẽ, vừa đọc ngay tập giá trị và chiều biến thiên.

Đáp số. a)

T = (- \infty; 0]

, đồng biến trên

(- \infty; 3)

, nghịch biến trên

(3; + \infty)

. b)

T = (- \infty; 5]

, đồng biến trên

(- \infty; - 2)

, nghịch biến trên

(- 2; + \infty)

. c)

T = [- 4; + \infty)

, nghịch biến trên

(- \infty; - 2)

, đồng biến trên

(- 2; + \infty)

. d)

T = [\frac{1}{2}; + \infty)

, nghịch biến trên

(- \infty; - \frac{1}{2})

, đồng biến trên

(- \frac{1}{2}; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ý c) viết tập giá trị

[- 2; + \infty)

vì lấy hoành độ đỉnh thay cho tung độ

- 4

. Ý b) viết "đồng biến trên

(- \infty; 5)

" vì lấy tung độ đỉnh làm mốc khoảng biến thiên; mốc đúng là

x = - 2

🚀 Mở rộng. Tìm giá trị lớn nhất của

y = - x^{2} - 4 x + 1

trên đoạn

[0; 3]

— đỉnh

x = - 2

nằm ngoài đoạn nên đáp số không còn là

5

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.31★★Trang 28— Xác định hàm số bậc hai khi biết các điều kiện về điểm, trục đối xứng, đỉnh

Bài 6.31 (trang 28). Xác định parabol

(P)

y = a x^{2} + b x + 3

trong mỗi trường hợp sau:
a)

(P)

đi qua hai điểm

A (1; 1)

và

B (- 1; 0)

;
b)

(P)

đi qua điểm

M (1; 2)

và nhận đường thẳng

x = 1

làm trục đối xứng;
c)

(P)

có đỉnh là

I (1; 4)

Kiến thức cần nhớ

Điểm $M (x_{0}; y_{0}) \in (P) \Leftrightarrow y_{0} = a x_{0}^{2} + b x_{0} + c$ .
Trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ ; đỉnh $I (x_{I}; y_{I})$ thì $x_{I} = - \frac{b}{2 a}$ và $I \in (P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có hai ẩn

a

b

nên cần đúng hai phương trình: mỗi điểm thuộc

(P)

cho một phương trình, trục đối xứng

x = 1

cho

b = - 2 a

, đỉnh cho cả hai. Ý b) và c) đều có

x_{I} = 1

nên chỉ khác nhau ở tung độ điểm đã biết. Bẫy: quên kiểm tra

a \neq = 0

để

(P)

thật sự là parabol.

1Cách 1. Lập hệ phương trình theo

a

b

Định hướng. Chuyển mỗi dữ kiện thành một phương trình bậc nhất theo $a$ , $b$ .

{a + b + 3 = 1 a - b + 3 = 0 \Leftrightarrow {a + b = - 2 a - b = - 3 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = - \frac{5}{2} b = \frac{1}{2}

⎩ ⎨ ⎧ a + b + 3 = 2 - \frac{b}{2 a} = 1 \Leftrightarrow {a + b = - 1 b = - 2 a \Leftrightarrow {a = 1 b = - 2

⎩ ⎨ ⎧ - \frac{b}{2 a} = 1 a + b + 3 = 4 \Leftrightarrow {b = - 2 a a + b = 1 \Leftrightarrow {a = - 1 b = 2

Vậy a) $y = - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3$ ; b) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ; c) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ .

2Cách 2. Dùng dạng đỉnh

y = a (x - h)^{2} + k

cho ý b), c).

Định hướng. Biết trục đối xứng hoặc đỉnh thì viết thẳng dạng đỉnh, rồi dùng hệ số tự do bằng $3$ để tìm $a$ . Ý a) cộng, trừ hai phương trình để khử ẩn.

(a + b + 3) - (a - b + 3) = 1 - 0 \Rightarrow 2 b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}

a = - 2 - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}

y = a (x - 1)^{2} + k

, qua

M (1; 2)

nên

k = 2

y = a (x - 1)^{2} + 2 = a x^{2} - 2 a x + a + 2

a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1

y = x^{2} - 2 x + 3

y = a (x - 1)^{2} + 4 = a x^{2} - 2 a x + a + 4

a + 4 = 3 \Rightarrow a = - 1

y = - x^{2} + 2 x + 3

Vậy kết quả trùng Cách 1.

3Cách 3. Dùng tính đối xứng của parabol.

Định hướng. $(P)$ luôn đi qua $C (0; 3)$ . Nếu trục đối xứng là $x = 1$ thì điểm đối xứng của $C$ là $C^{'} (2; 3)$ cũng thuộc $(P)$ , đưa bài về "đi qua ba điểm".

b), c)

C (0; 3) \in (P) \Rightarrow C^{'} (2; 3) \in (P)

4 a + 2 b + 3 = 3 \Rightarrow b = - 2 a

M (1; 2)

a - 2 a + 3 = 2 \Rightarrow a = 1

b = - 2

I (1; 4)

a - 2 a + 3 = 4 \Rightarrow a = - 1

b = 2

a) Thử lại:

- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} + 3 = 1

và

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} + 3 = 0

(đúng)

Vậy a) $y = - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3$ ; b) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ; c) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ .

Nhận xét. Ba ý đều có $a \neq = 0$ nên $(P)$ đúng là parabol. Parabol ý c) chính là parabol của bài 6.25.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a) và Cách 2 cho ý b), c): dạng đỉnh chỉ còn một ẩn

a

Đáp số. a)

y = - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3

; b)

y = x^{2} - 2 x + 3

; c)

y = - x^{2} + 2 x + 3

Sai lầm thường gặp. Viết điều kiện trục đối xứng là

\frac{b}{2 a} = 1

(thiếu dấu trừ) nên ra

b = 2 a

và kết quả sai dấu. Ở ý c) chỉ dùng

I \in (P)

mà quên điều kiện

x_{I} = 1

thì chỉ có một phương trình cho hai ẩn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: parabol

y = a x^{2} + b x + c

có đỉnh

I (h; k)

và đi qua

(0; c)

thì

a = \frac{c - k}{h ^{2}}

(với

h \neq = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.32★★Trang 28— Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 6.32 (trang 28). Giải các bất phương trình sau:
a)

2 x^{2} - 3 x + 1 > 0

;
b)

x^{2} + 5 x + 4 < 0

;
c)

- 3 x^{2} + 12 x - 12 \geq 0

;
d)

2 x^{2} + 2 x + 1 < 0

Kiến thức cần nhớ

Định lí về dấu tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c$ : $Δ < 0$ thì $f (x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x$ ; $Δ = 0$ thì $f (x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x \neq = - \frac{b}{2 a}$ ; $Δ > 0$ thì "trong trái, ngoài cùng".
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ khi có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý là bốn tình huống của định lí về dấu tam thức: hai nghiệm phân biệt (a, b), nghiệm kép (c), vô nghiệm (d). Chỉ cần tính nghiệm và dấu của

a

là đọc được tập nghiệm. Bẫy ở c) và d): tam thức không đổi dấu, tập nghiệm chỉ là một điểm hoặc rỗng.

1Cách 1. Xét dấu tam thức.

Định hướng. Tìm nghiệm, xác định dấu $a$ , dùng quy tắc "trong trái, ngoài cùng".

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

hoặc

x = 1

;

a = 2 > 0

f (x) > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}

hoặc

x > 1

x^{2} + 5 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4

hoặc

x = - 1

;

a = 1 > 0

f (x) < 0 \Leftrightarrow - 4 < x < - 1

Δ^{'} = 36 - 36 = 0

, nghiệm kép

x = 2

;

a = - 3 < 0

f (x) < 0

với mọi

x \neq = 2

f (2) = 0

Δ^{'} = 1 - 2 = - 1 < 0

a = 2 > 0

nên

f (x) > 0

với mọi

x

Vậy a) $S = (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$ ; b) $S = (- 4; - 1)$ ; c) $S = {2}$ ; d) $S = \emptyset$ .

2Cách 2. Phân tích nhân tử, hằng đẳng thức.

Định hướng. Đưa tam thức về tích hoặc bình phương rồi xét dấu từng thừa số.

2 x^{2} - 3 x + 1 = (2 x - 1) (x - 1) > 0 \Leftrightarrow

hai thừa số cùng dấu

\Leftrightarrow x < \frac{1}{2}

hoặc

x > 1

x^{2} + 5 x + 4 = (x + 1) (x + 4) < 0 \Leftrightarrow

hai thừa số trái dấu

\Leftrightarrow - 4 < x < - 1

- 3 x^{2} + 12 x - 12 = - 3 (x - 2)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = 2

2 x^{2} + 2 x + 1 = x^{2} + (x + 1)^{2} > 0

với mọi

x

(hai bình phương không đồng thời bằng

0

)

Vậy a) $S = (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$ ; b) $S = (- 4; - 1)$ ; c) $S = {2}$ ; d) $S = \emptyset$ .

3Cách 3. Đọc trên đồ thị parabol.

Định hướng. Tập nghiệm của $f (x) > 0$ là các hoành độ mà parabol nằm phía trên trục hoành.

a) Parabol quay lên, cắt

O x

tại

\frac{1}{2}

và

1

: phía trên

O x

khi

x < \frac{1}{2}

hoặc

x > 1

b) Parabol quay lên, cắt

O x

tại

- 4

và

- 1

: phía dưới

O x

khi

- 4 < x < - 1

c) Parabol quay xuống, đỉnh

(2; 0)

nằm trên

O x

: chỉ chạm trục hoành tại

x = 2

, còn lại ở dưới
d) Parabol quay lên, đỉnh

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

ở trên

O x

: không có điểm nào phía dưới

Vậy a) $S = (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$ ; b) $S = (- 4; - 1)$ ; c) $S = {2}$ ; d) $S = \emptyset$ .

Nhận xét. Parabol ở ý d) chính là đồ thị của bài 6.30d.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; riêng ý c) dùng Cách 2 vì nhận ra ngay

- 3 (x - 2)^{2}

Đáp số. a)

S = (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)

; b)

S = (- 4; - 1)

; c)

S = {2}

; d)

S = \emptyset

Sai lầm thường gặp. Ý c) kết luận vô nghiệm vì thấy

a < 0

và

Δ = 0

mà quên dấu "

\geq

" cho phép bằng

0

tại

x = 2

. Ý d) viết

S = R

vì nhầm chiều bất phương trình: tam thức luôn dương nên

< 0

là vô nghiệm.

🚀 Mở rộng. Thử giải

- 3 x^{2} + 12 x - 12 > 0

và

- 3 x^{2} + 12 x - 12 \leq 0

để thấy tập nghiệm đổi ra sao khi chỉ đổi dấu bất phương trình.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.33★★★Trang 29— Phương trình dạng

f (x) = g (x)

và

f (x) = g (x)

Bài 6.33 (trang 29). Giải các phương trình sau:
a)

2 x^{2} - 14 = x - 1

;
b)

- x^{2} - 5 x + 2 = x^{2} - 2 x - 3

Kiến thức cần nhớ

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g^{2} (x)$ .
$f (x) = g (x) \Leftrightarrow {g (x) \geq 0 f (x) = g (x)$ (chọn biểu thức đơn giản hơn để đặt điều kiện).

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là căn bằng biểu thức bậc nhất nên cần

x - 1 \geq 0

trước khi bình phương; ý b) là hai căn bằng nhau nên bình phương được ngay, chỉ cần một biểu thức dưới căn không âm. Bẫy của ý b): nghiệm

x = 1

của phương trình bình phương làm hai biểu thức dưới căn cùng bằng

- 4

, phải loại.

1Cách 1. Biến đổi tương đương.

Định hướng. Viết điều kiện đi kèm ngay trong hệ tương đương.

2 x^{2} - 14 = x - 1 \Leftrightarrow {x \geq 1 2 x^{2} - 14 = x^{2} - 2 x + 1 \Leftrightarrow {x \geq 1 x^{2} + 2 x - 15 = 0

x^{2} + 2 x - 15 = 0 \Leftrightarrow x = 3

hoặc

x = - 5

; đối chiếu

x \geq 1

được

x = 3

- x^{2} - 5 x + 2 = x^{2} - 2 x - 3 \Leftrightarrow {x^{2} - 2 x - 3 \geq 0 - x^{2} - 5 x + 2 = x^{2} - 2 x - 3

\Leftrightarrow {x^{2} - 2 x - 3 \geq 0 2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = - \frac{5}{2}

x = 1

1 - 2 - 3 = - 4 < 0

(loại);

x = - \frac{5}{2}

\frac{25}{4} + 5 - 3 = \frac{33}{4} \geq 0

(nhận)

Vậy a) $S = {3}$ ; b) $S = {- \frac{5}{2}}$ .

2Cách 2. Bình phương rồi thử lại.

Định hướng. Giải phương trình hệ quả, rồi thay từng nghiệm vào phương trình ban đầu.

2 x^{2} - 14 = (x - 1)^{2} \Rightarrow x^{2} + 2 x - 15 = 0 \Rightarrow x = 3

hoặc

x = - 5

x = 3

18 - 14 = 2 = 3 - 1

(đúng)

x = - 5

50 - 14 = 6 \neq = - 6

(loại)
b)

- x^{2} - 5 x + 2 = x^{2} - 2 x - 3 \Rightarrow 2 x^{2} + 3 x - 5 = 0 \Rightarrow x = 1

hoặc

x = - \frac{5}{2}

x = 1

- 1 - 5 + 2 = - 4

vô nghĩa (loại)

x = - \frac{5}{2}

- \frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 2 = \frac{33}{4} = \frac{25}{4} + 5 - 3

(đúng)

Vậy a) $x = 3$ ; b) $x = - \frac{5}{2}$ .

3Cách 3. Khoanh miền điều kiện trước rồi mới giải.

Định hướng. Tìm miền để hai vế có nghĩa (và vế phải không âm), sau đó chỉ giữ nghiệm rơi vào miền đó.

a) Cần

2 x^{2} - 14 \geq 0

và

x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7

x^{2} + 2 x - 15 = (x - 3) (x + 5) = 0

; trong miền

x \geq 7 \approx 2, 65

chỉ có

x = 3

b) Cần

x^{2} - 2 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1

hoặc

x \geq 3

, và

- x^{2} - 5 x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{- 5 - 33}{2} \leq x \leq \frac{- 5 + 33}{2}

Miền chung:

\frac{- 5 - 33}{2} \leq x \leq - 1

(khoảng

- 5, 37 \leq x \leq - 1

)

2 x^{2} + 3 x - 5 = (x - 1) (2 x + 5) = 0

; trong miền chỉ có

x = - \frac{5}{2}

Vậy a) $S = {3}$ ; b) $S = {- \frac{5}{2}}$ .

Nhận xét. Ở ý b) thực ra chỉ cần một điều kiện: khi hai vế bằng nhau, một biểu thức không âm thì biểu thức kia cũng không âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; ở ý b) nên đặt điều kiện cho biểu thức

x^{2} - 2 x - 3

vì dễ xét dấu hơn.

Đáp số. a)

x = 3

; b)

x = - \frac{5}{2}

Sai lầm thường gặp. Ý b) giữ cả

x = 1

vì chỉ thử "hai vế bằng nhau" sau khi bình phương; thực ra tại

x = 1

cả hai căn đều là

- 4

, không có nghĩa. Ý a) giữ

x = - 5

vì quên điều kiện vế phải không âm.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng: giải

2 x^{2} - 14 = 1 - x

— điều kiện đổi thành

x \leq 1

và nghiệm giữ lại là

x = - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 6.34★★★Trang 29— Bài toán thực tế: lập hàm số bậc hai từ đỉnh và một điểm, giải bất phương trình bậc hai

Bài 6.34 (trang 29). Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là

3, 2

nghìn và

4

nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng

10

năm kể từ năm 2018, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được mô tả bởi một hàm số bậc hai.
Giả sử

t

là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm

(0; 3, 2)

và

(1; 4)

. Giả sử điểm

(0; 3, 2)

là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.
a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.
b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm 2024.
c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức

52

nghìn chiếc?

Kiến thức cần nhớ

Parabol có đỉnh $I (h; k)$ : $y = a (t - h)^{2} + k$ .
$t$ tính từ năm 2018 nên năm $N$ ứng với $t = N - 2018$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết đỉnh

(0; 3, 2)

nên dùng dạng đỉnh

y = a t^{2} + 3, 2

(vì

h = 0

), điểm

(1; 4)

cho

a

. Năm 2024 ứng với

t = 6

; "vượt

52

nghìn" là bất phương trình

y > 52

với

t

nguyên dương. Bẫy: nhầm

t

với năm (thay

t = 2024

), hoặc làm tròn

61

xuống thành

7

1Cách 1. Dạng đỉnh và bất phương trình.

Định hướng. Viết $y = a t^{2} + 3, 2$ , tìm $a$ , rồi thay số và giải bất phương trình.

a) Đỉnh

(0; 3, 2)

y = a (t - 0)^{2} + 3, 2 = a t^{2} + 3, 2

(1; 4)

thuộc đồ thị:

a + 3, 2 = 4 \Rightarrow a = 0, 8

y = 0, 8 t^{2} + 3, 2

b) Năm 2024:

t = 6

y = 0, 8 \cdot 36 + 3, 2 = 28, 8 + 3, 2 = 32

0, 8 t^{2} + 3, 2 > 52 \Leftrightarrow 0, 8 t^{2} > 48, 8 \Leftrightarrow t^{2} > 61 \Leftrightarrow t > 61 \approx 7, 81

(vì

t \geq 0

)

t

nguyên nhỏ nhất là

8

, ứng với năm

2018 + 8 = 2026

Vậy a) $y = 0, 8 t^{2} + 3, 2$ (nghìn chiếc); b) năm 2024 bán được $32$ nghìn chiếc; c) đến năm 2026 số máy bán được vượt $52$ nghìn chiếc.

2Cách 2. Dạng tổng quát

y = a t^{2} + b t + c

Định hướng. Không dùng dạng đỉnh: ba ẩn $a$ , $b$ , $c$ lấy từ điểm $(0; 3, 2)$ , điểm $(1; 4)$ và điều kiện hoành độ đỉnh bằng $0$ .

(0; 3, 2)

c = 3, 2

; hoành độ đỉnh

- \frac{b}{2 a} = 0 \Rightarrow b = 0

(1; 4)

a + 0 + 3, 2 = 4 \Rightarrow a = 0, 8

y = 0, 8 t^{2} + 3, 2

y (6) = 32

c) Hàm đồng biến trên

[0; 10]

(

a > 0

, đỉnh

t = 0

), lập bảng:

y (7) = 0, 8 \cdot 49 + 3, 2 = 42, 4 < 52

y (8) = 0, 8 \cdot 64 + 3, 2 = 54, 4 > 52

Vậy năm đầu tiên vượt $52$ nghìn chiếc là $t = 8$ , tức năm 2026.

3Cách 3. Đổi biến theo năm

N

Định hướng. Viết hàm trực tiếp theo năm $N$ với $t = N - 2018$ , rồi giải bất phương trình theo $N$ .

y = 0, 8 (N - 2018)^{2} + 3, 2

N = 2024

y = 0, 8 \cdot 6^{2} + 3, 2 = 32

0, 8 (N - 2018)^{2} + 3, 2 > 52 \Leftrightarrow (N - 2018)^{2} > 61

N \geq 2018

nên

N - 2018 > 61 \approx 7, 81 \Rightarrow N > 2025, 81

N

nguyên nhỏ nhất là

2026

(vẫn trong khoảng

10

năm dự báo)

Vậy a) $y = 0, 8 t^{2} + 3, 2$ ; b) $32$ nghìn chiếc; c) năm 2026.

Nhận xét. Kết quả $t = 8 \leq 10$ nằm trong khoảng $10$ năm mà mô hình còn giá trị, nên dự báo có nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dạng đỉnh chỉ còn một ẩn

a

; ý c) giải bất phương trình rồi lấy số nguyên nhỏ nhất.

Đáp số. a)

y = 0, 8 t^{2} + 3, 2

; b)

32

nghìn chiếc; c) năm 2026.

Sai lầm thường gặp. Ý c) lấy

t = 7

vì làm tròn

61 \approx 7, 81

xuống; thực tế

y (7) = 42, 4

chưa vượt

52

. Ý b) thay

t = 2024

vào công thức là nhầm biến:

t

là số năm kể từ 2018.

🚀 Mở rộng. Với cùng mô hình, đến năm nào số máy bán được gấp

10

lần năm 2018? (Giải

0, 8 t^{2} + 3, 2 \geq 32

Mở bài này trong app ↗