Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang7–8 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.1★Trang 7— Đổi số đo góc lượng giác giữa độ và radian

Hoàn thành bảng đổi đơn vị sau, biết mỗi cột ghi hai số đo của cùng một góc lượng giác (hàng trên theo độ, hàng dưới theo radian): cột 1 cho

2 0^{\circ}

; cột 2 cho

\frac{11 π}{2}

; cột 3 cho

15 0^{\circ}

; cột 4 cho

50 0^{\circ}

; cột 5 cho

- \frac{5 π}{6}

; cột 6 cho

\frac{7 π}{15}

Kiến thức cần nhớ

Đổi độ sang radian: $a^{\circ} = \frac{aπ}{180}$ rad.
Đổi radian sang độ: $α$ rad $= (\frac{180 α}{π})^{\circ}$ .
Hai số đo của cùng một góc luôn tỉ lệ theo $\frac{a}{180} = \frac{α}{π}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng cho xen kẽ ba ô theo độ và ba ô theo radian, dấu hiệu của dạng đổi đơn vị hai chiều chứ không phải dạng tính giá trị lượng giác. Chọn hướng thay trực tiếp vào công thức vì cả sáu số đều rút gọn được với

180

, không cần số thập phân. Bẫy nằm ở chỗ mỗi chiều dùng một hệ số nghịch đảo nhau, quen tay nhân mãi

\frac{π}{180}

là sai ngay ba ô cuối.

1Cách 1. Thay trực tiếp vào hai công thức đổi đơn vị

Định hướng. Ba ô theo độ dùng công thức nhân $\frac{π}{180}$ , ba ô theo radian dùng công thức nhân $\frac{180}{π}$ .

2 0^{\circ} = \frac{20 π}{180} = \frac{π}{9}

15 0^{\circ} = \frac{150 π}{180} = \frac{5 π}{6}

50 0^{\circ} = \frac{500 π}{180} = \frac{25 π}{9}

\frac{11 π}{2} = (\frac{180}{π} \cdot \frac{11 π}{2})^{\circ} = (\frac{1980}{2})^{\circ} = 99 0^{\circ}

- \frac{5 π}{6} = (\frac{180}{π} \cdot (- \frac{5 π}{6}))^{\circ} = (- \frac{900}{6})^{\circ} = - 15 0^{\circ}

\frac{7 π}{15} = (\frac{180}{π} \cdot \frac{7 π}{15})^{\circ} = (\frac{1260}{15})^{\circ} = 8 4^{\circ}

Vậy bảng được điền là $2 0^{\circ}$ với $\frac{π}{9}$ ; $99 0^{\circ}$ với $\frac{11 π}{2}$ ; $15 0^{\circ}$ với $\frac{5 π}{6}$ ; $50 0^{\circ}$ với $\frac{25 π}{9}$ ; $- 15 0^{\circ}$ với $- \frac{5 π}{6}$ ; $8 4^{\circ}$ với $\frac{7 π}{15}$ .

2Cách 2. Lấy mốc

18 0^{\circ} = π

rồi nhân chia theo bội và ước

Định hướng. Coi $π$ là một cái tên khác của $18 0^{\circ}$ , mỗi số đo chỉ còn là một phân số nhân với mốc đó.

2 0^{\circ} = \frac{1}{9} \cdot 18 0^{\circ} = \frac{1}{9} \cdot π = \frac{π}{9}

15 0^{\circ} = \frac{5}{6} \cdot 18 0^{\circ} = \frac{5}{6} \cdot π = \frac{5 π}{6}

50 0^{\circ} = \frac{25}{9} \cdot 18 0^{\circ} = \frac{25}{9} \cdot π = \frac{25 π}{9}

\frac{11 π}{2} = \frac{11}{2} \cdot π = \frac{11}{2} \cdot 18 0^{\circ} = 99 0^{\circ}

- \frac{5 π}{6} = - \frac{5}{6} \cdot π = - \frac{5}{6} \cdot 18 0^{\circ} = - 15 0^{\circ}

\frac{7 π}{15} = \frac{7}{15} \cdot π = \frac{7}{15} \cdot 18 0^{\circ} = 8 4^{\circ}

Vậy sáu ô lần lượt là $\frac{π}{9}$ , $99 0^{\circ}$ , $\frac{5 π}{6}$ , $\frac{25 π}{9}$ , $- 15 0^{\circ}$ , $8 4^{\circ}$ .

3Cách 3. Lập tỉ lệ thức rồi nhân chéo, soát lại bằng số gần đúng

Định hướng. Hai số đo của cùng một góc tỉ lệ với $180$ và $π$ , nên chỉ cần một tỉ lệ thức duy nhất cho cả hai chiều.

\frac{a}{180} = \frac{α}{π}

\frac{20}{180} = \frac{α}{π} \Rightarrow α = \frac{20 π}{180} = \frac{π}{9}

\frac{150}{180} = \frac{α}{π} \Rightarrow α = \frac{5 π}{6}

\frac{500}{180} = \frac{α}{π} \Rightarrow α = \frac{25 π}{9}

\frac{a}{180} = \frac{11 π /2}{π} = \frac{11}{2} \Rightarrow a = 990

\frac{a}{180} = \frac{- 5 π /6}{π} = - \frac{5}{6} \Rightarrow a = - 150

\frac{a}{180} = \frac{7 π /15}{π} = \frac{7}{15} \Rightarrow a = 84

\frac{π}{9} \approx 0, 34907 rad \approx 0, 34907 \cdot 57, 2957 8^{\circ} \approx 20, 0^{\circ}

Vậy kết quả trùng khít hai cách trên, bảng đầy đủ là $\frac{π}{9}$ , $99 0^{\circ}$ , $\frac{5 π}{6}$ , $\frac{25 π}{9}$ , $- 15 0^{\circ}$ , $8 4^{\circ}$ .

Nhận xét. Dòng cuối là mẹo soát bài: đổi kết quả radian sang số thập phân rồi nhân với $57, 29578$ , ra đúng số độ ban đầu thì chắc chắn không nhầm chiều nhân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ phải nhìn ra phân số giữa số đo đã cho và

180

, không phải rút gọn phân số có tử tới bốn chữ số như Cách 1. Cách 3 giữ lại để soát nhanh khi còn thời gian.

Đáp số.

2 0^{\circ} = \frac{π}{9}

;

\frac{11 π}{2} = 99 0^{\circ}

;

15 0^{\circ} = \frac{5 π}{6}

;

50 0^{\circ} = \frac{25 π}{9}

;

- \frac{5 π}{6} = - 15 0^{\circ}

;

\frac{7 π}{15} = 8 4^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là nhân sai chiều: thấy

\frac{11 π}{2}

liền nhân thêm

\frac{π}{180}

và ghi

\frac{11 π ^{2}}{360}

. Kết quả này vô nghĩa vì còn

π^{2}

, trong khi số đo độ phải là một số không chứa

π

; đáp số đúng là

99 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: ô theo độ và ô theo radian của cùng một cột luôn thoả

\frac{a}{α} = \frac{180}{π}

, nên chỉ cần biết một ô là suy ra ô kia, kể cả với số đo âm hoặc lớn hơn

36 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.2★★Trang 7— Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm

Q

biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau: a)

\frac{π}{6}

; b)

- \frac{5 π}{7}

; c)

27 0^{\circ}

; d)

- 41 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn lượng giác có tâm $O$ , bán kính $1$ , điểm gốc $A (1; 0)$ và chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Điểm $Q$ biểu diễn góc $α$ là điểm cuối của cung có số đo $α$ xuất phát từ $A$ .
Hai góc hơn kém nhau một số nguyên lần $36 0^{\circ}$ (tức $2 π$ ) thì có cùng một điểm biểu diễn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn số đo trộn cả radian và độ, cả dương và âm, trong đó

- 41 5^{\circ}

vượt quá một vòng tròn, đó là dấu hiệu phải quy về số đo đại diện trong một vòng trước khi vẽ. Chọn hướng lấy phần dư theo

36 0^{\circ}

hoặc theo

2 π

vì mọi góc sai khác một số nguyên lần vòng đều cho đúng một điểm. Cạm bẫy là đổi dấu tuỳ tiện: góc âm phải quay theo chiều kim đồng hồ, không được bỏ dấu trừ rồi quay ngược lại.

1Cách 1. Đổi hết về độ rồi lấy số đo đại diện trong một vòng

Định hướng. Đưa cả bốn số đo về đơn vị độ để so sánh trực tiếp với các mốc $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ , $27 0^{\circ}$ .

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

, điểm

Q

thuộc góc phần tư thứ I

- \frac{5 π}{7} = (- \frac{5}{7} \cdot 180)^{\circ} = - \frac{90 0 ^{\circ}}{7} \approx - 12 8^{\circ} 3 4^{'}

- 18 0^{\circ} < - \frac{90 0 ^{\circ}}{7} < - 9 0^{\circ}

, điểm

Q

thuộc góc phần tư thứ III

27 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 9 0^{\circ}

, điểm

Q

trùng điểm

B^{'} (0; - 1)

- 41 5^{\circ} = - 36 0^{\circ} - 5 5^{\circ}

- 41 5^{\circ}

và

- 5 5^{\circ}

có cùng điểm biểu diễn, điểm

Q

thuộc góc phần tư thứ IV

Vậy bốn điểm $Q$ lần lượt nằm ở góc phần tư thứ I, thứ III, tại $B^{'} (0; - 1)$ và ở góc phần tư thứ IV.

2Cách 2. Tách số đo theo bội của

2 π

, giữ nguyên đơn vị radian

Định hướng. Giữ radian và chỉ cần đưa số đo về nửa khoảng từ $0$ đến $2 π$ bằng cách cộng thêm bội của $2 π$ .

\frac{π}{6} \in (0; \frac{π}{2})

, điểm

Q

ở góc phần tư thứ I

- \frac{5 π}{7} + 2 π = \frac{- 5 π + 14 π}{7} = \frac{9 π}{7}

π < \frac{9 π}{7} < \frac{3 π}{2}

, điểm

Q

ở góc phần tư thứ III

27 0^{\circ} = \frac{3 π}{2}

, điểm

Q

trùng

B^{'} (0; - 1)

- 41 5^{\circ} = - \frac{415 π}{180} = - \frac{83 π}{36}

- \frac{83 π}{36} + 2 π = \frac{- 83 π + 72 π}{36} = - \frac{11 π}{36}

- \frac{π}{2} < - \frac{11 π}{36} < 0

, điểm

Q

ở góc phần tư thứ IV

Vậy cùng bốn vị trí như Cách 1, trong đó $- 41 5^{\circ}$ có điểm biểu diễn ứng với $- \frac{11 π}{36} = - 5 5^{\circ}$ .

3Cách 3. Tính toạ độ điểm cuối

Q (cos α; sin α)

để định vị chính xác

Định hướng. Điểm biểu diễn có toạ độ đúng bằng cặp cosin và sin của góc, nên dấu của hai toạ độ cho ngay góc phần tư.

Q_{1} (cos \frac{π}{6}; sin \frac{π}{6}) = Q_{1} (\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

Q_{2} (cos (- \frac{5 π}{7}); sin (- \frac{5 π}{7})) \approx Q_{2} (- 0, 62; - 0, 78)

Q_{3} (cos 27 0^{\circ}; sin 27 0^{\circ}) = Q_{3} (0; - 1)

Q_{4} (cos (- 41 5^{\circ}); sin (- 41 5^{\circ})) = Q_{4} (cos (- 5 5^{\circ}); sin (- 5 5^{\circ})) \approx Q_{4} (0, 57; - 0, 82)

Vậy dấu của toạ độ cho biết $Q_{1}$ ở góc phần tư thứ I, $Q_{2}$ ở thứ III, $Q_{3}$ tại $B^{'}$ , $Q_{4}$ ở thứ IV.

Nhận xét. Cách này còn dùng được khi phải chấm nhiều điểm cùng lúc hoặc khi cần so sánh hai điểm rất gần nhau, vì mỗi điểm được xác định bằng hai số cụ thể thay vì bằng mắt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mọi mốc góc phần tư đều nhớ theo độ, chỉ một phép chia cho

360

là ra vị trí. Cách 3 dành cho lúc cần vẽ chính xác hoặc kiểm tra lại hình đã chấm.

Đáp số. a) Góc phần tư thứ I; b) góc phần tư thứ III; c) điểm

B^{'} (0; - 1)

; d) góc phần tư thứ IV, trùng điểm biểu diễn của

- 5 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Rất nhiều bạn thấy

- 41 5^{\circ}

liền cộng

36 0^{\circ}

hai lần và ghi

30 5^{\circ}

, đặt điểm ở góc phần tư thứ IV phía trên. Thực ra

- 41 5^{\circ} + 36 0^{\circ} = - 5 5^{\circ}

đã nằm trong một vòng, cộng thêm

36 0^{\circ}

nữa thành

30 5^{\circ}

vẫn đúng điểm, nhưng nếu cộng sai thành

- 77 5^{\circ}

hoặc bỏ dấu trừ thành

41 5^{\circ} = 5 5^{\circ}

thì điểm bị lật sang góc phần tư thứ I.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: điểm biểu diễn của

α + \frac{k \cdot 2 π}{n}

với

k

chạy từ

0

đến

n - 1

là

n

đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác, đây là dạng thường gặp khi giải phương trình lượng giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.3★Trang 7— Tính độ dài cung tròn theo số đo radian và số đo độ

Một đường tròn có bán kính

20

m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là: a)

\frac{2 π}{7}

; b)

3 6^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Cung có số đo $α$ radian trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài $l = R α$ .
Muốn dùng công thức trên với số đo độ thì phải đổi $a^{\circ} = \frac{aπ}{180}$ rad trước.
Cả đường tròn ứng với số đo $2 π$ và có độ dài $2 π R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.4★★Trang 7— Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị và góc phần tư

Cho

cos x = - \frac{5}{13}

với

9 0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}

. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc

x

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức cơ bản: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ .
Liên hệ: $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ , $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ và $tan x cot x = 1$ .
Với $9 0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}$ thì $sin x > 0$ , còn $cos x$ , $tan x$ , $cot x$ đều âm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.5★★★Trang 7— Tính biểu thức đối xứng của sin và cosin theo tổng đã cho

Cho

sin a + cos a = m

. Hãy tính theo

m

: a)

sin a cos a

; b)

sin^{3} a + cos^{3} a

; c)

sin^{4} a + cos^{4} a

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức cơ bản $sin^{2} a + cos^{2} a = 1$ biến mọi biểu thức đối xứng thành biểu thức của tổng và tích.
Hằng đẳng thức $(u + v)^{2} = u^{2} + 2 uv + v^{2}$ và $u^{3} + v^{3} = (u + v)^{3} - 3 uv (u + v)$ .
Với hai số có tổng $p$ và tích $q$ , các tổng luỹ thừa thoả $S_{n} = p S_{n - 1} - q S_{n - 2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.6★★Trang 7— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng hệ thức cơ bản

Chứng minh các đẳng thức sau: a)

cos^{4} x - sin^{4} x = 2 cos^{2} x - 1

; b)

tan^{2} x - sin^{2} x = tan^{2} x sin^{2} x

; c)

(sin x + cos x)^{2} + (sin x - cos x)^{2} = 2

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức cơ bản $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ dùng được theo cả hai chiều thay thế.
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ với điều kiện $cos x \neq = 0$ .
Hằng đẳng thức $u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ và $(u \pm v)^{2} = u^{2} \pm 2 uv + v^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.7★★★Trang 8— Rút gọn biểu thức lượng giác bậc bốn

Rút gọn biểu thức

A = 2 cos^{4} x - sin^{4} x + sin^{2} x cos^{2} x + 3 sin^{2} x

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , dùng được cả chiều thay $1$ bởi $sin^{2} x + cos^{2} x$ .
Hiệu hai bình phương $u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ .
Một biểu thức lượng giác rút gọn thành hằng số thì nhận cùng một giá trị tại mọi góc.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.8★★★Trang 8— Bài toán thực tế về số đo góc quay và độ dài cung

Bánh xe của người đi xe đạp quay được

12

vòng trong

6

giây. a) Tính góc (theo độ và theo radian) mà bánh xe quay được trong

1

giây. b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong

1

phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là

860

mm.

Kiến thức cần nhớ

Một vòng quay ứng với số đo $36 0^{\circ}$ , tức $2 π$ radian.
Độ dài cung ứng với góc quay $α$ radian trên bánh xe bán kính $R$ là $l = R α$ .
Bánh xe lăn không trượt thì quãng đường đi bằng đúng độ dài cung mà vành bánh đã lăn qua.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.9★★★★Trang 8— Bài toán thực tế về hai kim đồng hồ và độ dài cung

Kim giờ dài

6

cm và kim phút dài

11

cm của đồng hồ chỉ

4

giờ. Hỏi thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Trong $1$ giờ kim phút quay $36 0^{\circ}$ , kim giờ quay $3 0^{\circ}$ , nên kim phút quay nhanh hơn kim giờ $33 0^{\circ}$ mỗi giờ.
Lúc $4$ giờ đúng, góc giữa kim giờ và kim phút bằng $4 \cdot 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ .
Đầu mút một kim dài $R$ quay góc $α$ radian thì vạch một cung dài $l = R α$ .