Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Định hướng. Ba ô theo độ dùng công thức nhân $\frac{\pi }{180}$, ba ô theo radian dùng công thức nhân $\frac{180}{\pi }$.

Vậy bảng được điền là $20^{\circ }$ với $\frac{\pi }{9}$; $990^{\circ }$ với $\frac{11\pi }{2}$; $150^{\circ }$ với $\frac{5\pi }{6}$; $500^{\circ }$ với $\frac{25\pi }{9}$; $-150^{\circ }$ với $-\frac{5\pi }{6}$; $84^{\circ }$ với $\frac{7\pi }{15}$.

Định hướng. Coi $\pi$ là một cái tên khác của $180^{\circ }$, mỗi số đo chỉ còn là một phân số nhân với mốc đó.

Vậy sáu ô lần lượt là $\frac{\pi }{9}$, $990^{\circ }$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{25\pi }{9}$, $-150^{\circ }$, $84^{\circ }$.

Định hướng. Hai số đo của cùng một góc tỉ lệ với $180$ và $\pi$, nên chỉ cần một tỉ lệ thức duy nhất cho cả hai chiều.

Vậy kết quả trùng khít hai cách trên, bảng đầy đủ là $\frac{\pi }{9}$, $990^{\circ }$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{25\pi }{9}$, $-150^{\circ }$, $84^{\circ }$.

Nhận xét. Dòng cuối là mẹo soát bài: đổi kết quả radian sang số thập phân rồi nhân với $57,29578$, ra đúng số độ ban đầu thì chắc chắn không nhầm chiều nhân.

Định hướng. Đưa cả bốn số đo về đơn vị độ để so sánh trực tiếp với các mốc $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$.

Vậy bốn điểm $Q$ lần lượt nằm ở góc phần tư thứ I, thứ III, tại $B^{\prime }(0;-1)$ và ở góc phần tư thứ IV.

Định hướng. Giữ radian và chỉ cần đưa số đo về nửa khoảng từ $0$ đến $2\pi$ bằng cách cộng thêm bội của $2\pi$.

Vậy cùng bốn vị trí như Cách 1, trong đó $-415^{\circ }$ có điểm biểu diễn ứng với $-\frac{11\pi }{36}=-55^{\circ }$.

Định hướng. Điểm biểu diễn có toạ độ đúng bằng cặp cosin và sin của góc, nên dấu của hai toạ độ cho ngay góc phần tư.

Vậy dấu của toạ độ cho biết $Q_1$ ở góc phần tư thứ I, $Q_2$ ở thứ III, $Q_3$ tại $B^{\prime }$, $Q_4$ ở thứ IV.

Nhận xét. Cách này còn dùng được khi phải chấm nhiều điểm cùng lúc hoặc khi cần so sánh hai điểm rất gần nhau, vì mỗi điểm được xác định bằng hai số cụ thể thay vì bằng mắt.

Định hướng. Đưa mọi số đo về radian rồi nhân với bán kính, mỗi ý chỉ còn một phép nhân phân số.

Vậy cung $\frac{2\pi }{7}$ dài $\frac{40\pi }{7}$ m và cung $36^{\circ }$ dài $4\pi$ m.

Định hướng. Một cung chiếm đúng bấy nhiêu phần của cả vòng thì độ dài của nó cũng chiếm bấy nhiêu phần của chu vi.

Vậy hai độ dài cần tìm là $\frac{40\pi }{7}$ m và $4\pi$ m.

Định hướng. Ghép luôn phép đổi đơn vị vào công thức để có một biểu thức tính trực tiếp từ số đo độ.

Vậy độ dài hai cung là $\frac{40\pi }{7}\approx 17,95$ m và $4\pi \approx 12,57$ m.

Nhận xét. Công thức $l=\frac{\pi Ra}{180}$ rất tiện cho bài toán thực tế vì số liệu đo đạc ngoài đời thường cho theo độ; hai dòng số thập phân cuối là để soát lại thứ nguyên, cung phải ngắn hơn chu vi $40\pi \approx 125,66$ m.

Định hướng. Bình phương giá trị đã cho để rút ${\sin }^{2}x$, dấu của $\sin x$ do khoảng chứa góc quyết định.

Vậy $\sin x=\frac{12}{13}$, $\tan x=-\frac{12}{5}$, $\cot x=-\frac{5}{12}$.

Định hướng. Từ $\cos x$ có ngay $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, nên $\tan x$ xuất hiện trước và $\sin x$ chỉ còn là một phép nhân.

Vậy ba giá trị còn lại là $\tan x=-\frac{12}{5}$, $\cot x=-\frac{5}{12}$, $\sin x=\frac{12}{13}$.

Định hướng. Điểm $M$ biểu diễn góc $x$ có hoành độ $\cos x$ và tung độ $\sin x$, hình chiếu của nó tạo một tam giác vuông có cạnh huyền $1$.

Vậy $\sin x=\frac{12}{13}$, $\tan x=-\frac{12}{5}$, $\cot x=-\frac{5}{12}$, ứng với điểm $M\left(-\frac{5}{13};\frac{12}{13}\right)$.

Nhận xét. Nhìn hình là thấy ngay dấu của bốn giá trị lượng giác mà không phải nhớ bảng dấu, vì dấu của $\cos x$ và $\sin x$ chính là dấu hoành độ và tung độ của $M$.

Định hướng. Bình phương hai vế để lấy tích $\sin a\cos a$, sau đó hai ý còn lại chỉ là hằng đẳng thức của tổng và tích.

Vậy $\sin a\cos a=\frac{m^2-1}{2}$, ${\sin }^{3}a+{\cos }^{3}a=\frac{3m-m^3}{2}$ và ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{(m^2-1{)}^2}{2}$.

Định hướng. Đặt $p=\sin a+\cos a$, $q=\sin a\cos a$ và gọi $S_n={\sin }^{n}a+{\cos }^{n}a$, khi đó mỗi $S_n$ sinh ra từ hai số hạng trước.

Vậy $q=\frac{m^2-1}{2}$, $S_3=\frac{3m-m^3}{2}$ và $S_4=\frac{-m^4+2m^2+1}{2}=1-\frac{(m^2-1{)}^2}{2}$.

Định hướng. Hai số có tổng $m$ và tích $q$ là hai nghiệm của $t^2-mt+q=0$, nên định lí Viète thay thế mọi phép biến đổi.

Vậy $\sin a\cos a=\frac{m^2-1}{2}$, ${\sin }^{3}a+{\cos }^{3}a=\frac{3m-m^3}{2}$, ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{(m^2-1{)}^2}{2}$, và các kết quả chỉ có nghĩa khi $-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}$.

Nhận xét. Dòng cuối là phần thưởng riêng của Cách 3: điều kiện tồn tại của $m$ hiện ra từ $\Delta \ge 0$, điều mà hai cách kia không nhìn thấy.

Định hướng. Mỗi vế trái đều tách được thành nhân tử, sau đó thay ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ để rút gọn.

Vậy cả ba đẳng thức đều được chứng minh, trong đó ý b) đúng với mọi $x$ thoả $\cos x\ne 0$.

Định hướng. Đặt $t={\sin }^{2}x$ thì ${\cos }^{2}x=1-t$ với $0\le t\le 1$, mọi đẳng thức thành đồng nhất thức của đa thức theo $t$.

Vậy hai vế của mỗi ý cùng rút về một biểu thức theo $t$, nên các đẳng thức đúng với mọi $x$ (ý b) thêm điều kiện $\cos x\ne 0$).

Định hướng. Gọi $D$ là hiệu vế trái trừ vế phải, chỉ cần rút gọn $D$ về $0$ là đẳng thức được chứng minh.

Vậy hiệu hai vế của cả ba ý đều bằng $0$, tức ba đẳng thức đã được chứng minh.

Nhận xét. Cách xét hiệu rất an toàn khi hai vế đều rối, vì ta được phép biến đổi tự do cả hai vế cùng lúc mà không sợ mắc lỗi lập luận kiểu công nhận điều phải chứng minh.

Định hướng. Tách $2{\cos }^{4}x$ thành hai phần, một phần ghép với $-{\sin }^{4}x$ thành hiệu hai bình phương, phần kia ghép với ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$.

Vậy $A=2$ với mọi số thực $x$.

Định hướng. Đặt $t={\sin }^{2}x$ thì ${\cos }^{2}x=1-t$, biểu thức thành một đa thức theo $t$ và các hạng tử tự triệt tiêu.

Vậy $A=2$, không phụ thuộc $t$ nên cũng không phụ thuộc $x$.

Định hướng. Hạng tử $3{\sin }^{2}x$ đang lệch bậc so với ba hạng tử còn lại, nhân nó với ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ (vốn bằng $1$) để cả biểu thức cùng bậc bốn.

Vậy $A=2$, và cách viết $2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2$ cho thấy rõ vì sao đáp số là hằng số.

Nhận xét. Kĩ thuật đồng bậc hoá này là cách ngắn nhất: chỉ sáu dòng, không phải tách hạng tử cũng không phải đặt ẩn phụ, và dùng lại được cho mọi biểu thức lệch bậc chẵn.

Định hướng. Mỗi vòng quay đưa xe đi đúng một chu vi bánh, nên chỉ cần biết số vòng trong một phút.

Vậy trong $1$ giây bánh xe quay được $720^{\circ }$ tức $4\pi$ rad, và trong $1$ phút xe đi được $103,2\pi \approx 324,21$ m.

Định hướng. Coi quãng đường là độ dài cung mà vành bánh lăn qua, ứng với tổng góc quay trong một phút.

Vậy góc quay mỗi giây là $4\pi$ rad tức $720^{\circ }$, quãng đường một phút là $103,2\pi \approx 324,21$ m.

Định hướng. Điểm trên vành bánh có tốc độ dài bằng bán kính nhân tốc độ góc, nhân thêm thời gian là ra quãng đường.

Vậy tốc độ của xe là $1,72\pi \approx 5,40$ m mỗi giây và quãng đường trong $1$ phút là $103,2\pi \approx 324,21$ m.

Nhận xét. Dòng đổi sang kilômét mỗi giờ là bước kiểm tra thực tế đáng giá: khoảng $19,5$ km mỗi giờ đúng là tốc độ hợp lí của người đạp xe, nếu ra $195$ km mỗi giờ thì chắc chắn đã sai đơn vị.