Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang55–56 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.1★★Trang 55— Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài 4.1 (trang 55). Cho hình chóp

S . A B C D

. Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Gọi

M

là một điểm bất kì thuộc cạnh

S C

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(A M O)

và

(S C D)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(B M O)

và

(S C D)

Kiến thức cần nhớ

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung phân biệt.
Nếu $O \in A C$ thì đường thẳng $A O$ chính là đường thẳng $A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm chung

M

có sẵn (vì

M \in S C \subset (S C D)

). Điểm chung thứ hai ẩn trong chữ "

O

là giao điểm của

A C

và

B D

A

O

C

thẳng hàng nên

C

thuộc

(A M O)

;

B

O

D

thẳng hàng nên

D

thuộc

(B M O)

. Bẫy: cố tìm giao điểm của

A O

với

C D

hay

B O

với

C D

— không cần.

1Cách 1. Tìm hai điểm chung

Định hướng. Điểm chung thứ nhất là $M$ ; điểm chung thứ hai là $C$ (câu a) và $D$ (câu b).

M \in (A M O)

M \in S C \subset (S C D)

C \in A O \subset (A M O)

(vì

A

O

C

thẳng hàng),

C \in (S C D)

M \neq = C

nên

(A M O) \cap (S C D) = M C \equiv S C

.
b)

M \in (B M O)

M \in (S C D)

D \in B O \subset (B M O)

(vì

B

O

D

thẳng hàng),

D \in (S C D)

M \neq = D

nên

(B M O) \cap (S C D) = D M

Vậy a) giao tuyến là $S C$ ; b) giao tuyến là $D M$ .

2Cách 2. Đổi tên mặt phẳng

Định hướng. Viết lại mỗi mặt phẳng qua ba đỉnh quen thuộc của hình chóp.

C \in A O

S \in M C

nên

(A M O) \equiv (S A C)

(S A C) \cap (S C D) = S C

.
b)

D \in B O

nên

(B M O) \equiv (B M D)

(B M D) \cap (S C D)

chứa

M

và

D

(B M O) \cap (S C D) = D M

Vậy a) $S C$ ; b) $D M$ .

3Cách 3. Chỉ ra đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng

Định hướng. Một đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng phân biệt chính là giao tuyến.

M, C \in (A M O)

nên

S C \equiv M C \subset (A M O)

;

S C \subset (S C D)

A \in / (S C D)

nên

(A M O) \neq = (S C D)

(A M O) \cap (S C D) = S C

.
b)

D, M \in (B M O)

nên

D M \subset (B M O)

;

D, M \in (S C D)

nên

D M \subset (S C D)

B \in / (S C D)

nên

(B M O) \neq = (S C D)

(B M O) \cap (S C D) = D M

Vậy a) $S C$ ; b) $D M$ .

Nhận xét. Đề chỉ đúng khi $M \neq = C$ (nếu $M \equiv C$ thì $A$ , $M$ , $O$ thẳng hàng, không có mặt phẳng $(A M O)$ ); khi $M \equiv S$ , câu b cho giao tuyến $S D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất: nhận ra

(A M O) \equiv (S A C)

là thấy ngay giao tuyến

S C

mà không phải tìm điểm nào.

Đáp số. a)

(A M O) \cap (S C D) = S C

(cũng là

M C

). b)

(B M O) \cap (S C D) = D M

Sai lầm thường gặp. Ở câu a gọi giao điểm

A O \cap C D

— hai đường này cắt nhau đúng tại

C

nên không sai, nhưng nhiều bạn vẽ lệch thành một điểm lạ ngoài hình; ở câu b nhầm giao tuyến là

O M

(

O \in / (S C D)

🚀 Mở rộng. Tương tự:

(A M O) \cap (S B D)

là đường thẳng

S O

vì

(A M O) \equiv (S A C)

và

(S A C) \cap (S B D) = S O

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.2★★Trang 55— Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng có chung đỉnh

Bài 4.2 (trang 55). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

C D

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A M)

và

(S C D)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S B N)

và

(S A D)

.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A M)

và

(S B N)

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng chung điểm $S$ và có hai đường thẳng đáy cắt nhau tại $P$ thì giao tuyến là $S P$ .
Hình bình hành: $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ , $A B = C D$ , $A D = B C$ .
Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba cặp mặt phẳng đều chung đỉnh

S

, nên chỉ cần thêm một điểm chung nằm trong mặt đáy: giao điểm của hai đường thẳng đáy của chúng (

A M

với

C D

B N

với

A D

A M

với

B N

). Đáy là hình bình hành còn cho phép định vị chính xác các giao điểm đó bằng tam giác bằng nhau.

1Cách 1. Hai điểm chung

Định hướng. Trong mặt đáy gọi $P = A M \cap C D$ , $Q = B N \cap A D$ , $R = A M \cap B N$ .

a) Trong

(A B C D)

A M

không song song

C D

(vì

A M

cắt

A B ∥ C D

tại

A

), gọi

P = A M \cap C D

P \in A M \subset (S A M)

P \in C D \subset (S C D)

;

S

chung.

(S A M) \cap (S C D) = S P

.
b) Gọi

Q = B N \cap A D

Q \in B N \subset (S B N)

Q \in A D \subset (S A D)

(S B N) \cap (S A D) = S Q

.
c) Gọi

R = A M \cap B N

R \in (S A M)

R \in (S B N)

(S A M) \cap (S B N) = S R

Vậy a) $S P$ với $P = A M \cap C D$ ; b) $S Q$ với $Q = B N \cap A D$ ; c) $S R$ với $R = A M \cap B N$ .

2Cách 2. Định vị

P

Q

bằng tam giác bằng nhau

Định hướng. Hai tam giác đối đỉnh tại trung điểm $M$ (và $N$ ) bằng nhau cho biết $P$ , $Q$ nằm ở đâu để vẽ hình đúng.

△ M A B = △ M P C

(g.c.g):

M B = M C

A M B = P M C

M B A = M C P

(so le trong,

A B ∥ C P

C P = A B = C D

C

là trung điểm của

D P

△ N B C = △ N Q D

(g.c.g):

N C = N D

B N C = QN D

N C B = N D Q

D Q = B C = A D

D

là trung điểm của

A Q

(S A M) \cap (S C D) = S P

(S B N) \cap (S A D) = S Q

Vậy $P$ là điểm đối xứng của $D$ qua $C$ , $Q$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D$ ; giao tuyến là $S P$ , $S Q$ .

3Cách 3. Vectơ trong mặt đáy

Định hướng. Đặt $A B = b$ , $A D = d$ rồi giải giao điểm như trong hình học phẳng.

A M = b + \frac{1}{2} d

A N = d + \frac{1}{2} b

R \in A M

A R = t b + \frac{t}{2} d

;

R \in B N

A R = b + u (d - \frac{1}{2} b)

t = 1 - \frac{u}{2}

và

\frac{t}{2} = u

t = \frac{4}{5}

u = \frac{2}{5}

A R = \frac{4}{5} A M

B R = \frac{2}{5} B N

(S A M) \cap (S B N) = S R

Vậy giao tuyến của $(S A M)$ và $(S B N)$ là $S R$ , với $R$ trên $A M$ sao cho $A R = \frac{4}{5} A M$ .

Nhận xét. Tương tự, $P$ ứng với $t = 2$ trên $A M$ ( $A P = 2 A M$ ) và $Q$ ứng với $u = 2$ trên $B N$ ( $B Q = 2 B N$ ), khớp với Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đủ để trình bày; Cách 2 nên dùng khi vẽ hình để đặt đúng vị trí

P

Q

(thường nằm khá xa đáy).

Đáp số. a)

(S A M) \cap (S C D) = S P

P = A M \cap C D

(

C

là trung điểm

D P

). b)

(S B N) \cap (S A D) = S Q

Q = B N \cap A D

(

D

là trung điểm

A Q

). c)

(S A M) \cap (S B N) = S R

R = A M \cap B N

(

A R = \frac{4}{5} A M

Sai lầm thường gặp. Gọi

P = A M \cap C D

mà không kéo dài

C D

—

P

nằm ngoài đoạn

C D

; hoặc nối

S M

S N

làm giao tuyến (

M \in / (S C D)

N \in / (S A D)

🚀 Mở rộng. Nếu

M

N

không phải trung điểm mà

\frac{B M}{B C} = \frac{C N}{C D} = k

thì giao điểm

A M \cap B N

chia

A M

theo tỉ số phụ thuộc

k

— thử tính bằng Cách 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.3★★★Trang 55— Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài 4.3 (trang 55). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

A C

. Gọi

P

là điểm thuộc cạnh

A D

sao cho

A P = 2 D P

. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(M N P)

và

(B C D)

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung phân biệt thì giao tuyến đi qua hai điểm đó.
Định lí Menelaus trong tam giác $A B D$ với cát tuyến $M$ , $P$ , $E$ : $\frac{M A}{M B} \cdot \frac{E B}{E D} \cdot \frac{P D}{P A} = 1$ .
Định lí Ta-lét đảo.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.4★★★Trang 55— Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 4.4 (trang 55). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

C D

. Gọi

P

là một điểm thuộc cạnh

B C

sao cho

P C = 2 P B

.
a) Xác định giao điểm của đường thẳng

B D

và mặt phẳng

(M N P)

.
b) Xác định giao điểm của đường thẳng

A C

và mặt phẳng

(M N P)

.
c) Xác định giao điểm của đường thẳng

A D

và mặt phẳng

(M N P)

Kiến thức cần nhớ

Giao điểm của $d$ với $(P)$ là giao điểm của $d$ với một đường thẳng nằm trong $(P)$ đồng phẳng với $d$ .
Định lí Menelaus trong tam giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.5★★★Trang 55— Giao tuyến của hai mặt phẳng; giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 4.5 (trang 55). Cho hình chóp

S . A B C D

. Gọi

O

là một điểm nằm trong tam giác

S C D

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S B O)

và

(S A C)

.
b) Xác định giao điểm của đường thẳng

B O

và mặt phẳng

(S A C)

Kiến thức cần nhớ

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua hai điểm chung phân biệt.
Giao điểm của đường thẳng $d$ với $(P)$ : chọn mặt phẳng $(Q) \supset d$ , tìm $Δ = (P) \cap (Q)$ , rồi lấy $d \cap Δ$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.6★★★★Trang 55— Giao tuyến của hai mặt phẳng; giao điểm (nếu có) của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 4.6 (trang 55). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

E

F

là các điểm lần lượt thuộc cạnh

A B

A C

sao cho

A E = \frac{1}{2} B E

và

A F = 2 C F

. Gọi

O

là một điểm nằm trong tam giác

B C D

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(O E F)

và

(A B D)

.
b) Xác định giao điểm (nếu có) của đường thẳng

A D

và mặt phẳng

(O E F)

Kiến thức cần nhớ

Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai điểm chung phân biệt.
Định lí Menelaus; định lí Ta-lét đảo trong tam giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.7★★★Trang 56— Chuỗi giao tuyến – giao điểm trong tứ diện

Bài 4.7 (trang 56). Cho tứ diện

A B C D

và các điểm

M

N

P

lần lượt thuộc các cạnh

A B

A C

A D

. Gọi

O

là một điểm nằm trong tam giác

B C D

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(A B O)

và

(A C D)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(A B O)

và

(M N P)

.
c) Xác định giao điểm của đường thẳng

A O

và mặt phẳng

(M N P)

Kiến thức cần nhớ

Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai điểm chung phân biệt.
Giao điểm của $d$ với $(P)$ = giao điểm của $d$ với giao tuyến của $(P)$ và một mặt phẳng chứa $d$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.8★★★Trang 56— Chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian

Bài 4.8 (trang 56). Cho hình tứ diện

S A B C

và các điểm

A^{'}

B^{'}

C^{'}

lần lượt thuộc các cạnh

S A

S B

S C

. Giả sử hai đường thẳng

B^{'} C^{'}

và

B C

cắt nhau tại

D

, hai đường thẳng

C^{'} A^{'}

và

C A

cắt nhau tại

E

và hai đường thẳng

A^{'} B^{'}

và

A B

cắt nhau tại

F

. Chứng minh rằng ba điểm

D

E

F

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba điểm cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng (cùng nằm trên giao tuyến).
Định lí Menelaus và định lí Menelaus đảo trong tam giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.9★★★Trang 56— Chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian

Bài 4.9 (trang 56). Cho hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

cắt nhau theo giao tuyến

d

và một điểm

O

nằm ngoài cả hai mặt phẳng đó. Gọi

A

B

là hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng

(P)

sao cho

A B

cắt

d

tại

C

. Gọi

D

E

lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng

O A

O B

và mặt phẳng

(Q)

. Chứng minh rằng ba điểm

C

D

E

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba điểm cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai điểm chung phân biệt.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.10★★Trang 56— Vận dụng: giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài 4.10 (trang 56). Đánh dấu một điểm trên mép của tờ giấy A4 và dùng kéo cắt một đường bất kì đi qua điểm đó (trong khi cắt không xoay kéo). Hãy giải thích vì sao đường cắt nhận được trên tờ giấy luôn là đường thẳng.

Kiến thức cần nhớ

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì phần chung của chúng là một đường thẳng.
Đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì nằm trong mặt phẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.11★★Trang 56— Vận dụng: giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài 4.11 (trang 56). Bạn Huy đổ nước màu vào một chiếc bể cá có các mặt đều làm bằng kính phẳng. Sau một vài hôm nước bay hơi một phần và để lại trên thành bể cá các vệt màu như trong Hình 4.5. Huy quan sát thấy rằng, dù bể cá có hình như thế nào, miễn là các mặt đều phẳng thì vệt màu trên mỗi thành bể đều là các đường thẳng. Hãy giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì phần chung là một đường thẳng (giao tuyến).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.12★★Trang 56— Vận dụng: mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau

Bài 4.12 (trang 56). Một số chiếc bàn có thiết kế khung sắt là hai hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục, mặt bàn là một tấm gỗ phẳng được đặt lên phần khung như trong Hình 4.6. Tính chất hình học nào giải thích việc mặt bàn có thể được giữ cố định bởi khung sắt? (Giả sử khung sắt chắc chắn và được đặt cân đối).

Kiến thức cần nhớ