Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Định hướng. Điểm chung thứ nhất là $M$; điểm chung thứ hai là $C$ (câu a) và $D$ (câu b).

Vậy a) giao tuyến là $SC$; b) giao tuyến là $DM$.

Định hướng. Viết lại mỗi mặt phẳng qua ba đỉnh quen thuộc của hình chóp.

Vậy a) $SC$; b) $DM$.

Định hướng. Một đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng phân biệt chính là giao tuyến.

Vậy a) $SC$; b) $DM$.

Nhận xét. Đề chỉ đúng khi $M\ne C$ (nếu $M\equiv C$ thì $A$, $M$, $O$ thẳng hàng, không có mặt phẳng $(AMO)$); khi $M\equiv S$, câu b cho giao tuyến $SD$.

Định hướng. Trong mặt đáy gọi $P=AM\cap CD$, $Q=BN\cap AD$, $R=AM\cap BN$.

Vậy a) $SP$ với $P=AM\cap CD$; b) $SQ$ với $Q=BN\cap AD$; c) $SR$ với $R=AM\cap BN$.

Định hướng. Hai tam giác đối đỉnh tại trung điểm $M$ (và $N$) bằng nhau cho biết $P$, $Q$ nằm ở đâu để vẽ hình đúng.

Vậy $P$ là điểm đối xứng của $D$ qua $C$, $Q$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D$; giao tuyến là $SP$, $SQ$.

Định hướng. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$ rồi giải giao điểm như trong hình học phẳng.

Vậy giao tuyến của $(SAM)$ và $(SBN)$ là $SR$, với $R$ trên $AM$ sao cho $AR=\frac{4}{5}AM$.

Nhận xét. Tương tự, $P$ ứng với $t=2$ trên $AM$ ($AP=2AM$) và $Q$ ứng với $u=2$ trên $BN$ ($BQ=2BN$), khớp với Cách 2.

Định hướng. Trong $(ABD)$ kéo dài $MP$ cắt $BD$; trong $(ACD)$ kéo dài $NP$ cắt $CD$.

Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là $EF$ với $E=MP\cap BD$, $F=NP\cap CD$.

Định hướng. Tính vị trí của $E$, $F$ để vẽ đúng và thấy thêm tính chất của giao tuyến.

Vậy giao tuyến là $EF$, với $D$ là trung điểm chung của $BE$ và $CF$.

Định hướng. Biểu diễn các điểm theo $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DC}$ và tìm giao điểm bằng hệ số.

Vậy giao tuyến là $EF$, và $EF\parallel BC$, $EF=BC$.

Nhận xét. Vì $MN\parallel BC$ (đường trung bình) nên giao tuyến $EF$ cũng song song với $MN$ — điều này sẽ được giải thích bằng định lí giao tuyến ở Bài 11.

Định hướng. Mỗi câu dùng một mặt của tứ diện chứa đường thẳng cần tìm.

Vậy a) $E=NP\cap BD$; b) $F=MP\cap AC$; c) $G=NF\cap AD$.

Định hướng. Dùng giao điểm $E$ của câu a: $(MNP)\cap (ABD)$ có hai điểm chung $M$, $E$.

Vậy giao điểm của $AD$ và $(MNP)$ là $G=ME\cap AD=NF\cap AD$.

Định hướng. Tính tỉ số để biết $E$, $F$, $G$ nằm ở đâu và kiểm tra Cách 1, Cách 2 cho cùng một điểm.

Vậy $E$ đối xứng với $D$ qua $B$, $F$ đối xứng với $C$ qua $A$, và $G$ thuộc cạnh $AD$ với $AG=\frac{1}{3}AD$.

Nhận xét. Thiết diện của tứ diện cắt bởi $(MNP)$ là tứ giác $MPNG$.

Định hướng. Gọi $M=SO\cap CD$, $N=BM\cap AC$; $N$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng.

Vậy a) giao tuyến là $SN$; b) giao điểm là $P=BO\cap SN$.

Định hướng. Nhìn phẳng trong tam giác $SBM$: $BO$ và $SN$ là hai đường nối đỉnh với cạnh đối diện nên cắt nhau bên trong.

Vậy $BO$ cắt $(SAC)$ tại $P=BO\cap SN$, $P$ nằm giữa $B$ và $O$.

Định hướng. Làm câu b trước bằng mặt phẳng phụ $(SBM)$ chứa $BO$; điểm $P$ tìm được cùng $S$ cho luôn giao tuyến câu a.

Vậy giao tuyến là $SN$ (cũng là $SP$) và giao điểm là $P$.

Nhận xét. Mấu chốt của cả bài là điểm $M=SO\cap CD$ — "hình chiếu" của $O$ xuống đáy qua tâm chiếu $S$.

Định hướng. Gọi $G=EF\cap BC$, $H=OG\cap BD$; $H$ thuộc $(OEF)$ vì nằm trên $OG$.

Vậy a) giao tuyến là $EH$; b) giao điểm là $I=EH\cap AD$ (khi $EH$ không song song với $AD$).

Định hướng. Tìm giao tuyến của $(OEF)$ với mặt $(ACD)$ chứa $AD$: điểm chung $F$ và $J=GH\cap CD$.

Vậy giao điểm là $I=FJ\cap AD=EH\cap AD$.

Định hướng. Menelaus trong tam giác $ABC$ định vị $G$; Menelaus trong tam giác $ABD$ cho biết khi nào $EH\parallel AD$.

Vậy $AD$ cắt $(OEF)$ tại $I=EH\cap AD$ khi $BH\ne \frac{2}{3}BD$; khi $BH=\frac{2}{3}BD$ thì không có giao điểm.

Nhận xét. Ví dụ như hình vẽ, $BH=\frac{4}{5}BD$ cho $\frac{ID}{IA}=\frac{1}{2}$: $D$ là trung điểm của $AI$.

Định hướng. Gọi $E=BO\cap CD$, $F=NP\cap AE$, $G=AO\cap MF$.

Vậy a) $AE$; b) $MF$; c) $G=AO\cap MF$.

Định hướng. Chọn mặt phẳng khác chứa $AO$: $(ACO)$ cắt $BD$ tại $E^{\prime }=CO\cap BD$.

Vậy giao điểm của $AO$ và $(MNP)$ là $G=AO\cap N{F}^{\prime }$, trùng với điểm tìm ở Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra các giao điểm thật sự tồn tại: mọi đường cần cắt đều là đoạn nối đỉnh với cạnh đối diện của một tam giác.

Vậy các điểm $E$, $F$, $G$ luôn tồn tại và $G=AO\cap MF$ là giao điểm cần tìm.

Nhận xét. Dạng bài này là "chuỗi": kết quả câu trước là công cụ cho câu sau, nên đừng bỏ câu a dù thấy dễ.

Định hướng. Chứng minh $D$, $E$, $F$ cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt $(ABC)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Vậy ba điểm $D$, $E$, $F$ thẳng hàng.

Định hướng. Áp dụng Menelaus cho ba tam giác $SBC$, $SCA$, $SAB$ rồi nhân lại, dùng Menelaus đảo trong tam giác $ABC$.

Vậy $D$, $E$, $F$ thẳng hàng.

Nhận xét. Đây là định lí Desargues: hai tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ đồng quy tại $S$ thì giao điểm các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng.

Định hướng. Chứng minh $(OAB)$ là một mặt phẳng, khác $(Q)$, và chứa $C$, $D$, $E$.

Vậy ba điểm $C$, $D$, $E$ thẳng hàng.

Định hướng. Tìm giao tuyến $(OAB)\cap (Q)=DE$ trước, rồi chỉ ra $C$ thuộc giao tuyến đó.

Vậy $C$ nằm trên đường thẳng $DE$, tức $C$, $D$, $E$ thẳng hàng.

Nhận xét. Hình ảnh thực tế: $O$ là nguồn sáng, $(Q)$ là màn chiếu; bóng của đường thẳng $AB$ trên màn là đường thẳng $DE$, và nó phải đi qua điểm $C$ mà $AB$ chạm màn.

Định hướng. Chỉ ra hai mặt phẳng và điểm chung của chúng.

Vậy đường cắt luôn là đường thẳng đi qua điểm đánh dấu.

Định hướng. Lấy thêm một điểm $B$ bất kì của đường cắt rồi xét đường thẳng $AB$.

Vậy đường cắt nằm trên đường thẳng $AB$.

Định hướng. Giả sử đường cắt cong rồi chỉ ra hai mặt phẳng trùng nhau.

Vậy đường cắt không thể cong, nó là đường thẳng.

Nhận xét. Nếu trong khi cắt ta xoay kéo thì mặt phẳng lưỡi kéo đổi, mỗi đoạn cắt là một đoạn thẳng khác phương — đường cắt thành đường gấp khúc hoặc cong.

Định hướng. Xét một thành bể bất kì và mặt nước tại thời điểm để lại vệt.

Vậy vệt màu trên mỗi thành bể là một đường thẳng.

Định hướng. Lấy hai điểm của vệt màu ở hai mép của một thành bể.

Vậy vệt màu là đoạn thẳng $AB$.

Định hướng. Hình dạng bể chỉ quyết định số thành bể và góc giữa chúng, còn mỗi thành vẫn là một mặt phẳng.

Vậy vệt màu trên mỗi thành bể luôn là đường thẳng, và toàn bộ vệt màu tạo thành một đa giác phẳng.

Nhận xét. Nếu thành bể cong (bể tròn) thì vệt màu là một đường cong — điều kiện "các mặt đều phẳng" là then chốt.