Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 11. Hai đường thẳng song song

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang59–60 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.13★★★Trang 59— Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 4.13 (trang 59). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

P

lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

A B

B C

C D

. Xác định giao điểm của đường thẳng

A D

và mặt phẳng

(M N P)

trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng

N P

song song với đường thẳng

B D

;
b) Đường thẳng

N P

cắt đường thẳng

B D

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(P)$ : chọn mặt phẳng phụ $(Q) \supset d$ , tìm giao tuyến $Δ = (P) \cap (Q)$ ; giao điểm cần tìm là $d \cap Δ$ .
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh chia hai cạnh kia thành các đoạn tương ứng tỉ lệ, và ngược lại.

🧠 Phân tích tư duy

Chọn mặt phẳng phụ chứa

A D

và đã có sẵn một điểm của

(M N P)

: đó là

(A B D)

chứa

M

. Việc còn lại là tìm giao tuyến của

(M N P)

với

(A B D)

: nếu

N P ∥ B D

thì giao tuyến qua

M

song song

B D

; nếu

N P

cắt

B D

tại

R

thì giao tuyến là

M R

. Bẫy: lấy giao của

M N

với

A D

— hai đường này chéo nhau.

1Cách 1. Mặt phẳng phụ

(A B D)

Định hướng. Giao điểm cần tìm là giao của $A D$ với giao tuyến $(M N P) \cap (A B D)$ .

M \in (M N P) \cap (A B D)

;

N P \subset (M N P)

B D \subset (A B D)

N P ∥ B D

\Rightarrow (M N P) \cap (A B D) = M x

với

M x ∥ B D

.
Trong

(A B D)

M x \cap A D = Q

\Rightarrow Q = A D \cap (M N P)

.
b) Trong

(B C D)

R = N P \cap B D

\Rightarrow R \in (M N P) \cap (A B D)

\Rightarrow (M N P) \cap (A B D) = M R

.
Trong

(A B D)

Q = M R \cap A D

\Rightarrow Q = A D \cap (M N P)

Hình minh hoạ lời giải

Tứ diện ABCD, NP cắt BD tại R, MR cắt AD tại Q là giao điểm của AD với (MNP)

Vậy a) $Q$ là giao điểm của $A D$ với đường thẳng qua $M$ song song với $B D$ ; b) $Q = M R \cap A D$ với $R = N P \cap B D$ .

2Cách 2. Định lí ba giao tuyến cho câu a, mặt phẳng phụ

(A C D)

cho câu b

Định hướng. Câu a) chứng minh giao tuyến $M Q$ song song $B D$ bằng ba giao tuyến; câu b) thử con đường khác qua cạnh $A C$ .

a) Ba mặt phẳng

(M N P)

(A B D)

(B C D)

: giao tuyến

M Q

B D

N P

;

N P ∥ B D

\Rightarrow M Q ∥ B D

.
b) Trong

(A B C)

: nếu

M N

cắt

A C

tại

I

thì

I \in (M N P) \cap (A C D)

\Rightarrow (M N P) \cap (A C D) = I P

; trong

(A C D)

Q = I P \cap A D

.
Nếu

M N ∥ A C

thì

(M N P) \cap (A C D)

là đường qua

P

song song

A C

, cắt

A D

tại

Q

Vậy giao điểm $Q$ của $A D$ và $(M N P)$ dựng được như trên; cả hai mặt phẳng phụ cho cùng một điểm $Q$ .

3Cách 3. Tính vị trí của

Q

bằng tỉ số

Định hướng. Dùng định lí Thalès (câu a) và định lí Menelaus (câu b) để biết $Q$ chia $A D$ theo tỉ số nào.

△ A B D

M Q ∥ B D

\Rightarrow \frac{A Q}{A D} = \frac{A M}{A B}

.
b)

△ B C D

, cát tuyến

N, P, R

\frac{B N}{N C} \cdot \frac{C P}{P D} \cdot \frac{D R}{R B} = 1

△ A B D

, cát tuyến

M, Q, R

\frac{A M}{M B} \cdot \frac{B R}{R D} \cdot \frac{D Q}{Q A} = 1

\Rightarrow \frac{D Q}{Q A} = \frac{M B}{A M} \cdot \frac{R D}{B R} = \frac{M B}{A M} \cdot \frac{B N}{N C} \cdot \frac{C P}{P D}

Vậy a) $Q \in A D$ với $\frac{A Q}{A D} = \frac{A M}{A B}$ ; b) $Q \in A D$ với $\frac{D Q}{Q A} = \frac{M B}{M A} \cdot \frac{N B}{N C} \cdot \frac{P C}{P D}$ .

Nhận xét. Ví dụ $\frac{A M}{A B} = \frac{9}{20}$ , $\frac{B N}{B C} = \frac{3}{5}$ , $\frac{C P}{C D} = \frac{2}{3}$ cho $\frac{A Q}{A D} = \frac{27}{38}$ (đã kiểm bằng sympy).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách đi thi: một mặt phẳng phụ

(A B D)

xử lí được cả hai trường hợp, lời giải ngắn và chặt.

Đáp số. a)

Q = A D \cap M x

, với

M x

là đường thẳng qua

M

song song

B D

(trong

(A B D)

). b) Gọi

R = N P \cap B D

; giao điểm là

Q = M R \cap A D

Sai lầm thường gặp. Lấy

Q = M N \cap A D

hoặc

Q = M P \cap A D

— các cặp này chéo nhau, không có giao điểm; ở câu a) kéo dài

N P

và

B D

tìm giao điểm — hai đường song song không cắt nhau.

🚀 Mở rộng. Khi

M

N

P

là trung điểm ba cạnh thì

N P ∥ B D

và

Q

là trung điểm

A D

: thiết diện

M N P Q

là hình bình hành.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.14★★★Trang 59— Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp

Bài 4.14 (trang 59). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

M

là một điểm bất kì thuộc cạnh

S C

.
a) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng

(M A B)

với các mặt của hình chóp.
b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng

(M A D)

với các mặt của hình chóp.

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh chia hai cạnh kia thành các đoạn tương ứng tỉ lệ, và ngược lại.
Hình bình hành có $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt phẳng

(M A B)

đã có sẵn giao tuyến với đáy (

A B

) và với

(S B C)

(

B M

). Mặt

(S C D)

chứa

C D ∥ A B

và có điểm chung

M

— giao tuyến qua

M

song song

C D

, cắt

S D

tại

N

; từ đó có giao tuyến với

(S A D)

là

A N

. Câu b) làm tương tự với cặp

A D ∥ B C

1Cách 1. Hệ quả định lí ba giao tuyến

Định hướng. Dùng cặp song song của đáy cho mặt bên đối diện.

(M A B) \cap (A B C D) = A B

(M A B) \cap (S B C) = B M

M \in (M A B) \cap (S C D)

A B ∥ C D

\Rightarrow (M A B) \cap (S C D) = M N

N \in S D

M N ∥ C D

(M A B) \cap (S A D) = A N

.
b)

(M A D) \cap (A B C D) = A D

(M A D) \cap (S C D) = D M

M \in (M A D) \cap (S B C)

A D ∥ B C

\Rightarrow (M A D) \cap (S B C) = M P

P \in S B

M P ∥ B C

(M A D) \cap (S A B) = A P

Hình minh hoạ lời giải

Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, (MAB) cắt SD tại N, (MAD) cắt SB tại P

Vậy a) $A B$ , $B M$ , $M N$ , $N A$ với $N \in S D$ , $M N ∥ C D$ ; b) $A D$ , $D M$ , $M P$ , $P A$ với $P \in S B$ , $M P ∥ B C$ .

2Cách 2. Định lí ba giao tuyến với mặt đáy

Định hướng. Xét bộ ba mặt phẳng gồm mặt cắt, mặt bên và mặt đáy.

(M A B)

(S C D)

(A B C D)

: giao tuyến

M N

C D

A B

;

A B ∥ C D

\Rightarrow M N ∥ C D

N = M N \cap S D

(trong

(S C D)

)

\Rightarrow

các giao tuyến

A B

B M

M N

N A

.
b)

(M A D)

(S B C)

(A B C D)

: giao tuyến

M P

B C

A D

;

A D ∥ B C

\Rightarrow M P ∥ B C

P = M P \cap S B

\Rightarrow

các giao tuyến

A D

D M

M P

P A

Vậy như Cách 1.

3Cách 3. Dựng điểm theo tỉ số rồi kiểm tra

Định hướng. Lấy $N \in S D$ , $P \in S B$ sao cho $\frac{S N}{S D} = \frac{S P}{S B} = \frac{S M}{S C}$ ; chứng minh $N \in (M A B)$ , $P \in (M A D)$ .

△ S C D

\frac{S N}{S D} = \frac{S M}{S C}

\Rightarrow M N ∥ C D

(Thalès đảo).

M N ∥ C D ∥ A B

\Rightarrow M, N, A, B

đồng phẳng

\Rightarrow N \in (M A B)

△ S B C

\frac{S P}{S B} = \frac{S M}{S C}

\Rightarrow M P ∥ B C ∥ A D

\Rightarrow P \in (M A D)

Vậy $(M A B)$ cắt các mặt theo $A B$ , $B M$ , $M N$ , $N A$ ; $(M A D)$ cắt các mặt theo $A D$ , $D M$ , $M P$ , $P A$ .

Nhận xét. Thiết diện $A B M N$ và $A D M P$ đều là hình thang; khi $M$ là trung điểm $S C$ thì $N$ , $P$ là trung điểm $S D$ , $S B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách đi thi: nhận ra cặp song song của đáy là xong phần khó nhất.

Đáp số. a)

(M A B)

cắt

(A B C D)

(S B C)

(S C D)

(S A D)

lần lượt theo

A B

B M

M N

N A

, với

N \in S D

M N ∥ C D

. b)

(M A D)

cắt

(A B C D)

(S C D)

(S B C)

(S A B)

lần lượt theo

A D

D M

M P

P A

, với

P \in S B

M P ∥ B C

Sai lầm thường gặp. Tìm giao tuyến của

(M A B)

và

(S C D)

bằng cách kéo dài

A B

và

C D

cho cắt nhau — đáy hình bình hành nên hai đường này song song; hoặc nối

M

với

D

(sai vì

D \in / (M A B)

🚀 Mở rộng. Nếu đáy chỉ là hình thang

A B ∥ C D

thì câu a) vẫn giữ nguyên, còn câu b) giao tuyến với

(S B C)

đi qua

M

và giao điểm của

A D

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.15★★★Trang 59— Giao tuyến qua điểm chung và song song

Bài 4.15 (trang 59). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang

(A B ∥ C D)

. Gọi

M

N

lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

S A

S D

.
a) Xác định giao tuyến

d

của hai mặt phẳng

(M C D)

và

(N A B)

.
b) Chứng minh rằng

d ∥ A B

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Điểm chung của hai mặt phẳng nằm trên giao tuyến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.16★★★Trang 59— Giao tuyến và chứng minh các giao tuyến song song

Bài 4.16 (trang 59). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

P

Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

B C

C D

D A

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(A N P)

và

(C M Q)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(A N P)

và

(A B D)

.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(C M Q)

và

(B C D)

.
d) Chứng minh rằng các giao tuyến tìm được ở trên đôi một song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hai trung tuyến của tam giác cắt nhau tại trọng tâm $G$ , $A G = \frac{2}{3} A N$ .
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.17★★Trang 59— Chứng minh ba đường thẳng đôi một song song

Bài 4.17 (trang 59). Cho hai hình bình hành

A B C D

và

A B E F

không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi

G

H

lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng

G H

C E

D F

đôi một song song.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.18★★★Trang 59— Trọng tâm, đường trung bình hình thang và giao tuyến

Bài 4.18 (trang 59). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang

(A B ∥ C D)

. Gọi

E

F

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

S A D

S B C

.
a) Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A D

B C

. Chứng minh rằng

E F ∥ M N

, từ đó suy ra

E F ∥ A B

.
b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng

(A E F)

với các mặt của hình chóp.
c) Trong các giao tuyến tìm được ở câu b, giao tuyến nào song song với đường thẳng

E F

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $2 : 1$ tính từ đỉnh.
Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh chia hai cạnh kia thành các đoạn tương ứng tỉ lệ, và ngược lại.
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.19★★★Trang 60— Vận dụng định lí ba giao tuyến

Bài 4.19 (trang 60). Cho tứ diện

A B C D

. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh

A B

B C

C D

D A

lần lượt tại các điểm

M

N

P

Q

.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng

M N

P Q

A C

đôi một song song hoặc đồng quy.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng

M Q

N P

B D

đôi một song song hoặc đồng quy.

Kiến thức cần nhớ

Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí Menelaus trong tam giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.20★★Trang 60— Vận dụng định lí ba giao tuyến vào thực tế

Bài 4.20 (trang 60). Một chiếc thang được đặt sao cho hai đầu của chân thang dựa vào tường, hai đầu còn lại nằm trên sàn nhà (H.4.12). Biết rằng chiếc thang có dạng hình chữ nhật, hãy giải thích vì sao hai đầu của chân thang nằm trên sàn nhà lại cách đều đường chân tường.

Kiến thức cần nhớ

Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Trong một mặt phẳng, mọi điểm của đường thẳng song song với $c$ đều cách $c$ một khoảng bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.21★★Trang 60— Vận dụng hệ quả định lí ba giao tuyến vào thực tế

Bài 4.21 (trang 60). Bạn Hà lấy một tờ giấy hình chữ nhật và gấp tờ giấy sao cho hai mép của tờ giấy song song với nhau (H.4.13). Hà thấy rằng dù gấp thế nào thì đường nếp gấp vẫn luôn song song với hai mép của tờ giấy. Hãy giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí ba giao tuyến: ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗