Bài 11. Hai đường thẳng song song

Định hướng. Giao điểm cần tìm là giao của $AD$ với giao tuyến $(MNP)\cap (ABD)$.

Vậy a) $Q$ là giao điểm của $AD$ với đường thẳng qua $M$ song song với $BD$; b) $Q=MR\cap AD$ với $R=NP\cap BD$.

Định hướng. Câu a) chứng minh giao tuyến $MQ$ song song $BD$ bằng ba giao tuyến; câu b) thử con đường khác qua cạnh $AC$.

Vậy giao điểm $Q$ của $AD$ và $(MNP)$ dựng được như trên; cả hai mặt phẳng phụ cho cùng một điểm $Q$.

Định hướng. Dùng định lí Thalès (câu a) và định lí Menelaus (câu b) để biết $Q$ chia $AD$ theo tỉ số nào.

Vậy a) $Q\in AD$ với $\frac{AQ}{AD}=\frac{AM}{AB}$; b) $Q\in AD$ với $\frac{DQ}{QA}=\frac{MB}{MA}\cdot \frac{NB}{NC}\cdot \frac{PC}{PD}$.

Nhận xét. Ví dụ $\frac{AM}{AB}=\frac{9}{20}$, $\frac{BN}{BC}=\frac{3}{5}$, $\frac{CP}{CD}=\frac{2}{3}$ cho $\frac{AQ}{AD}=\frac{27}{38}$ (đã kiểm bằng sympy).

Định hướng. Dùng cặp song song của đáy cho mặt bên đối diện.

Vậy a) $AB$, $BM$, $MN$, $NA$ với $N\in SD$, $MN\parallel CD$; b) $AD$, $DM$, $MP$, $PA$ với $P\in SB$, $MP\parallel BC$.

Định hướng. Xét bộ ba mặt phẳng gồm mặt cắt, mặt bên và mặt đáy.

Vậy như Cách 1.

Định hướng. Lấy $N\in SD$, $P\in SB$ sao cho $\frac{SN}{SD}=\frac{SP}{SB}=\frac{SM}{SC}$; chứng minh $N\in (MAB)$, $P\in (MAD)$.

Vậy $(MAB)$ cắt các mặt theo $AB$, $BM$, $MN$, $NA$; $(MAD)$ cắt các mặt theo $AD$, $DM$, $MP$, $PA$.

Nhận xét. Thiết diện $ABMN$ và $ADMP$ đều là hình thang; khi $M$ là trung điểm $SC$ thì $N$, $P$ là trung điểm $SD$, $SB$.

Định hướng. Điểm chung tìm trong $(SAD)$; phương của giao tuyến lấy từ $AB\parallel CD$.

Vậy $d$ là đường thẳng đi qua $I=AN\cap DM$ và song song với $AB$; do đó $d\parallel AB$.

Định hướng. Xét ba mặt phẳng $(MCD)$, $(NAB)$, $(ABCD)$.

Vậy $d$ qua $I$ và $d\parallel AB$.

Định hướng. Giả sử $d$ cắt $AB$ rồi chỉ ra $AB$ cắt $CD$.

Vậy $d\parallel AB$.

Nhận xét. Nếu $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}$ thì $MN\parallel AD$ và điểm $I$ nằm trên trung tuyến từ $S$ của tam giác $SAD$.

Định hướng. Tìm hai điểm chung cho câu a; câu b, c dùng một điểm chung và cặp song song với $BD$.

Vậy a) $EF$; b) $Ax$ qua $A$, $Ax\parallel BD$; c) $Cy$ qua $C$, $Cy\parallel BD$; d) $EF$, $Ax$, $Cy$ đôi một song song.

Định hướng. Chứng minh $EF\parallel NP$ trực tiếp trong tam giác $ANP$.

Vậy ba giao tuyến $EF$, $Ax$, $Cy$ đôi một song song (cùng song song với $BD$).

Nhận xét. Cách này cho thêm độ dài: $EF=\frac{2}{3}NP=\frac{1}{3}BD$.

Định hướng. Mỗi giao tuyến được so với $BD$ qua một bộ ba mặt phẳng có hai giao tuyến đã song song.

Vậy $EF\parallel Ax\parallel Cy\parallel BD$.

Định hướng. Chọn hai tam giác nhận $GH$ làm đường trung bình.

Vậy $GH$, $CE$, $DF$ đôi một song song.

Định hướng. Biểu diễn $\overrightarrow{GH}$, $\overrightarrow{CE}$, $\overrightarrow{DF}$ qua các cạnh.

Vậy ba đường thẳng $GH$, $CE$, $DF$ đôi một song song.

Định hướng. Dùng kết quả Luyện tập 3 (SGK): $CDFE$ là hình bình hành nên $CE\parallel DF$; chỉ còn cần $GH\parallel CE$.

Vậy $GH$, $CE$, $DF$ đôi một song song.

Nhận xét. Ba đường thẳng này là ba "cạnh bên" song song của lăng trụ tam giác $ADF.BCE$ cùng với đường nối tâm $GH$.

Định hướng. Hai trọng tâm cùng chia trung tuyến theo tỉ số $\frac{2}{3}$ tính từ $S$.

Vậy a) $EF\parallel MN\parallel AB$; b) các giao tuyến $AB$, $AP$, $PQ$, $QB$ ($P$, $Q$ là trung điểm $SD$, $SC$); c) $AB$ và $PQ$ song song với $EF$.

Định hướng. Biểu diễn mọi điểm qua $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}$.

Vậy $EF\parallel MN\parallel AB$; $(AEF)$ cắt hình chóp theo $AB$, $AP$, $PQ$, $QB$; hai giao tuyến song song với $EF$ là $AB$, $PQ$.

Định hướng. Tìm giao tuyến với $(SCD)$ nhờ cặp $AB\parallel CD$, không cần biết trước $P$, $Q$ là trung điểm.

Vậy giao tuyến song song với $EF$ là $AB$ và $PQ$.

Nhận xét. Thiết diện $ABQP$ là hình thang với $PQ=\frac{1}{2}CD$.

Định hướng. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đã cho; chọn hai mặt của tứ diện chứa cạnh $AC$ (hoặc $BD$).

Vậy các bộ ba đường thẳng $MN,PQ,AC$ và $MQ,NP,BD$ đều đôi một song song hoặc đồng quy.

Định hướng. Hai đường $MN$, $AC$ đồng phẳng trong $(ABC)$ nên cắt nhau hoặc song song; mỗi trường hợp kéo theo vị trí của $PQ$.

Vậy mỗi bộ ba đường thẳng hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Định hướng. Cho biết cụ thể khi nào ba đường song song, khi nào đồng quy.

Vậy ba đường $MN$, $PQ$, $AC$ đồng quy (tại $I$) hoặc cùng song song (khi $MN\parallel AC$); tương tự cho $MQ$, $NP$, $BD$.

Nhận xét. Đẳng thức $\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CP}{PD}\cdot \frac{DQ}{QA}=1$ là định lí Menelaus cho tứ diện; ví dụ số trong hình ($\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$, $\frac{BN}{BC}=\frac{7}{10}$, $\frac{CP}{CD}=\frac{1}{2}$) đã kiểm bằng sympy.

Định hướng. Ba mặt phẳng: mặt thang $(ABCD)$, mặt tường $(T)$, mặt sàn $(S^{\prime })$.

Vậy hai chân thang $C$, $D$ trên sàn cách đều đường chân tường.

Định hướng. Tường chứa $AB$, sàn chứa $CD$, $AB\parallel CD$ — giao tuyến của tường và sàn song song với chúng.

Vậy $C$, $D$ cách đều chân tường.

Định hướng. Nếu $CD$ không song song với chân tường thì trong mặt sàn chúng cắt nhau; chỉ ra điều vô lí.

Vậy hai đầu thang trên sàn cách đều đường chân tường.

Nhận xét. Vì vậy khi dựng thang chữ nhật, chỉ cần hai đầu trên tựa vào tường là hai chân tự động "thẳng hàng" song song với chân tường — thang không bị vặn.

Định hướng. Gọi $(P)$, $(Q)$ là hai nửa tờ giấy, $a\subset (P)$, $b\subset (Q)$ là hai mép, $g$ là nếp gấp.

Vậy nếp gấp luôn song song với hai mép giấy.

Định hướng. Mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng $(R)$ chứa hai mép song song $a$, $b$.

Vậy đường nếp gấp song song với hai mép giấy.

Định hướng. Giả sử nếp gấp cắt một mép rồi suy ra hai mép cắt nhau.

Vậy nếp gấp song song với hai mép giấy.

Nhận xét. Đây cũng là lí do khi gấp đôi tờ giấy để hai mép trùng nhau, nếp gấp chính là "đường trung bình" song song với hai mép.