Bài 11. Hai đường thẳng song song

Định hướng. Tuyến xanh dương, đỏ và cam cùng thuộc mạng đường bên dưới tuyến xanh lá (đường sắt trên cao). Hai tuyến cùng mặt và cắt ngang nhau thì giao nhau.

Vậy a) cam và xanh dương, cam và đỏ; b) xanh lá và xanh dương, xanh lá và đỏ, xanh lá và cam, xanh dương và đỏ; c) xanh dương và đỏ, xanh lá và cam.

Định hướng. Hai đường thẳng không có điểm chung thì hoặc song song (đồng phẳng) hoặc chéo nhau (không đồng phẳng); chỉ cặp đồng phẳng mới là song song.

Vậy hai tuyến giao nhau: cam–xanh dương, cam–đỏ; không giao nhau: xanh lá–xanh dương, xanh lá–đỏ, xanh lá–cam, xanh dương–đỏ; song song: xanh dương–đỏ, xanh lá–cam.

Định hướng. Dùng một cặp song song đã chắc chắn để suy ra cặp khác, tránh đọc sai ảnh.

Vậy kết quả khớp Cách 2: giao nhau là cam–xanh dương, cam–đỏ; song song là xanh dương–đỏ, xanh lá–cam.

Nhận xét. Hai cặp "không giao nhau mà cũng không song song" chính là hình ảnh của hai đường thẳng chéo nhau — khái niệm mới của bài.

Định hướng. Tìm những vật có hai cạnh thẳng cùng hướng trên một mặt phẳng, và những cặp cạnh khác hướng ở hai mặt khác nhau.

Vậy hai thanh ray là hình ảnh hai đường thẳng song song; cột cờ và mép bậc thềm không qua chân cột là hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau.

Định hướng. Mỗi cạnh của căn phòng là một đường thẳng; chọn hai cạnh cùng một mặt tường (song song) hoặc hai cạnh ở hai mặt đối diện, khác hướng (chéo nhau).

Vậy trong căn phòng luôn tìm được cả hai loại: cặp cạnh song song và cặp cạnh chéo nhau.

Định hướng. Với mỗi cặp vừa kể, trả lời hai câu: có điểm chung không, có cùng nằm trên một mặt phẳng không.

Vậy các ví dụ trên đúng là hình ảnh hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau.

Nhận xét. Muốn khẳng định chéo nhau, hãy chỉ ra một đường nằm trong một mặt phẳng, đường kia xuyên qua mặt phẳng đó tại điểm không nằm trên đường thứ nhất.

Định hướng. Đáy là hình bình hành cho cặp song song; điểm chung chỉ ra cặp cắt nhau; câu b) quy về một mặt phẳng $(SAB)$.

Vậy a) $AB\parallel CD$; $AB$ cắt $AC$ tại $A$, $AC$ cắt $CD$ tại $C$. b) Không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Định hướng. Hai đường song song khi vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung; câu b) chỉ ra từng cặp đều có điểm chung hoặc cùng phương.

Vậy a) $AB\parallel CD$; các cặp cắt nhau: $AB$ và $AC$, $AC$ và $CD$. b) Không có cặp nào chéo nhau.

Định hướng. Giả sử có một cặp chéo nhau rồi chỉ ra nó đồng phẳng.

Vậy trong ba đường thẳng $SA$, $MN$, $AB$ không có hai đường thẳng nào chéo nhau; câu a) như Cách 1.

Nhận xét. Muốn tìm cặp chéo nhau trong hình chóp phải chọn hai đường KHÔNG cùng nằm trên một mặt nào, ví dụ $MN$ và $CD$ khi $MN$ không song song $AB$.

Định hướng. Giả sử hai đường đồng phẳng thì bốn đỉnh của hình chóp đồng phẳng — mâu thuẫn.

Vậy a) $SA$ chéo với $BC$, $CD$; b) $BC$ chéo với $SA$, $SD$.

Định hướng. Liệt kê $8$ cạnh của hình chóp, bỏ những cạnh có điểm chung với đường đã cho; phần còn lại kiểm tra không đồng phẳng.

Vậy a) $BC$, $CD$; b) $SA$, $SD$.

Định hướng. Một đường nằm trong mặt đáy, đường kia cắt mặt đáy tại điểm nằm ngoài đường thứ nhất thì hai đường chéo nhau.

Vậy a) Các đường chéo với $SA$ là $BC$, $CD$; b) các đường chéo với $BC$ là $SA$, $SD$.

Nhận xét. Nếu kể thêm đường chéo đáy thì $SA$ còn chéo với $BD$, còn $BC$ không chéo với $AC$ hay $BD$ vì chúng cắt nhau.

Định hướng. Gọi $(P)$ là mặt tường, $m\subset (P)$ là một mép tường, $A\in (P)$ là đầu gậy tựa tường, $B$ là đầu gậy trên sàn, $B\notin (P)$.

Vậy không thể đặt chiếc gậy song song với bất kì mép tường nào.

Định hướng. Mép tường gồm mép dọc (thẳng đứng), mép chân tường (tường giao sàn) và mép trần; xét riêng từng loại.

Vậy với gậy dựa nghiêng, không có mép tường nào song song với gậy.

Định hướng. Gậy cắt mặt tường tại đúng một điểm $A$; mép tường nào không đi qua $A$ thì chéo với gậy, mép đi qua $A$ thì cắt gậy.

Vậy chiếc gậy dựa nghiêng vào tường không thể song song với mép tường nào; nó luôn chéo nhau hoặc cắt mép tường.

Nhận xét. Chỉ khi dựng đứng gậy áp sát vào mặt tường (không còn là "dựa") thì gậy mới song song với mép dọc của tường.

Định hướng. Làm câu a) trong mặt phẳng $(P)$; câu b) dùng việc mặt phẳng chứa $d$ và $M$ là duy nhất.

Vậy a) Có đúng một đường thẳng; b) đường thẳng đó thuộc $(P)$.

Định hướng. Giả sử đường song song không nằm trong $(P)$ rồi chỉ ra có hai mặt phẳng khác nhau cùng chứa $d$ và $M$.

Vậy đường thẳng qua $M$ song song với $d$ phải nằm trong $(P)$; kết hợp tiên đề Euclid, trong không gian cũng chỉ có đúng một đường như vậy.

Định hướng. Coi mặt bàn là $(P)$, một mép bàn là $d$, điểm $M$ trên mặt bàn.

Vậy có đúng một đường thẳng qua $M$ song song với $d$ và nó nằm trong $(P)$.

Nhận xét. Đây là cơ sở của tính chất: trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Định hướng. Chọn hai đường nằm ở hai chỗ khác nhau trong lớp, cùng hướng với mép trên của bảng.

Vậy hai đường đó song song với nhau.

Định hướng. Chọn hai đường cùng song song với mép trên bảng rồi kiểm tra hai điều kiện: đồng phẳng và không có điểm chung.

Vậy hai đường thẳng cùng song song với mép trên của bảng thì song song với nhau.

Định hướng. Coi phòng học là hình hộp chữ nhật; các cạnh cùng hướng với mép trên bảng là bốn cạnh song song của hình hộp.

Vậy các đường cùng song song với mép trên bảng đôi một song song.

Nhận xét. Đây là tính chất: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định hướng. Đi qua cạnh chung $AB$ của hai hình bình hành.

Vậy $C$, $D$, $E$, $F$ đồng phẳng và $CDFE$ là hình bình hành.

Định hướng. Hai hình bình hành cho hai đẳng thức vectơ cùng bằng $\overrightarrow{AB}$.

Vậy tứ giác $CDFE$ là hình bình hành, do đó $C$, $D$, $E$, $F$ đồng phẳng.

Định hướng. Chứng minh $CF$ và $DE$ có chung trung điểm; hai đoạn cắt nhau thì đồng phẳng và tứ giác là hình bình hành.

Vậy hai đoạn $CF$, $DE$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn nên $C,D,E,F$ đồng phẳng và $CDFE$ là hình bình hành.

Nhận xét. Hình $ADF.BCE$ tạo thành một hình lăng trụ tam giác — dạng hình sẽ gặp lại ở các bài sau.

Định hướng. Chỉ ra $M$ thuộc cả $(R)$ và $(Q)$; câu b) dùng phản chứng dựa vào câu a).

Vậy a) $b$ đi qua $M$; b) $b\parallel c$.

Định hướng. Câu a) giả sử $b$ không qua $M$; câu b) chỉ ra $b$ và $c$ không có điểm chung.

Vậy a) Có, $b$ đi qua $M$; b) có, $b\parallel c$.

Nhận xét. Gộp hai câu ta được định lí ba giao tuyến: ba giao tuyến hoặc đồng quy (câu a) hoặc đôi một song song (câu b).

Định hướng. Hai mặt phẳng có điểm chung $S$ và chứa hai đường thẳng song song $AD$, $BC$.

Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $n$ đi qua $S$ và song song với $AD$, $BC$.

Định hướng. Ba mặt phẳng $(SAD)$, $(SBC)$, $(ABCD)$ đôi một cắt nhau; hai giao tuyến với đáy đã song song.

Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $S$, song song với $AD$ (và $BC$).

Định hướng. Gọi $n$ là giao tuyến (qua $S$); chứng minh $n$ không thể cắt $AD$.

Vậy $(SAD)\cap (SBC)$ là đường thẳng $n$ qua $S$ và $n\parallel AD\parallel BC$.

Nhận xét. Cùng cách làm, Ví dụ 4 cho $(SAB)\cap (SCD)=m$ qua $S$, $m\parallel AB$; như vậy $m$ và $n$ là hai đường thẳng qua $S$ lần lượt song song với hai cạnh của đáy.

Định hướng. Xét ba mặt phẳng: mặt nước $(\alpha )$, mặt đáy $(\beta )$ và mặt bên $(\gamma )$ chứa $A,B,C,D$. Gọi $\ell$ là cạnh đáy mà mặt nước chạm vào, $\ell$ đối diện $CD$.

Vậy đường mép nước $AB$ song song với cạnh $CD$.

Định hướng. Hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\gamma )$ lần lượt chứa hai đường song song $\ell$ và $CD$.

Vậy $AB\parallel CD$.

Định hướng. Bể nghiêng quanh cạnh đáy $\ell$ đang tì trên mặt bàn nên $\ell$ nằm ngang; mặt nước luôn nằm ngang.

Vậy $AB$ luôn song song với $CD$.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc lượng nước: dù mặt nước chạm đáy hay không, $AB$ vẫn song song với các cạnh nằm ngang của mặt bên.

Định hướng. a) và d) sai vì trong không gian còn trường hợp chéo nhau; b) là định nghĩa; c) là tính chất bắc cầu.

Vậy các mệnh đề đúng là b) và c).

Định hướng. Chọn các cạnh cụ thể để thử từng mệnh đề.

Vậy a), d) sai; b), c) đúng.

Định hướng. Tứ diện cho sẵn các cặp chéo nhau $AB$–$CD$, $AC$–$BD$, $AD$–$BC$ (Ví dụ 2).

Vậy mệnh đề đúng: b) và c).

Nhận xét. Ở c) nếu cho phép $a\equiv b$ thì kết luận "song song" không còn chính xác; sách hiểu $a$, $b$ là hai đường thẳng phân biệt.

Định hướng. Hai cặp đầu nằm trong đáy; cặp c) giả sử đồng phẳng rồi suy ra $S$ thuộc đáy.

Vậy a) song song; b) cắt nhau; c) chéo nhau.

Định hướng. Với cặp c), $CD$ nằm trong đáy còn $SB$ cắt đáy tại điểm không thuộc $CD$.

Vậy $AB\parallel CD$; $AC$ cắt $BD$; $SB$ chéo $CD$.

Định hướng. Với mỗi cặp, lần lượt hỏi: có điểm chung không? có chung mặt phẳng không?

Vậy a) song song, b) cắt nhau, c) chéo nhau.

Nhận xét. Lập luận "$SB$ không song song $CD$ vì $CD\parallel AB$ mà $SB$ cắt $AB$" dùng đúng tính chất: qua $B$ chỉ có một đường song song với $CD$ là $AB$.

Định hướng. Dùng đường trung bình trong hai tam giác $SAB$ và $SCD$.

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Định hướng. Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{QP}$ qua các cạnh đáy.

Vậy $MNPQ$ là hình bình hành.

Định hướng. Chứng minh trung điểm của $MP$ trùng trung điểm của $NQ$.

Vậy hai đường chéo $MP$, $NQ$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên $MNPQ$ là hình bình hành.

Nhận xét. Giao điểm $I$ của hai đường chéo chính là trung điểm của $SO$ ($O$ là tâm đáy).

Định hướng. Đi từ $MN\parallel AB$ và $AB\parallel CD$.

Vậy tứ giác $MNCD$ là hình thang (đáy $MN$ và $CD$).

Định hướng. Đáy hình thang cho $\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ với $k>0$.

Vậy $MNCD$ là hình thang.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm tỉ số hai đáy $\frac{MN}{CD}=\frac{1}{2k}=\frac{AB}{2CD}$; $MNCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $AB=2CD$.

Định hướng. Điểm chung $M$ và cặp song song $AB\parallel CD$ xác định giao tuyến; $N$ là giao của giao tuyến với $SC$.

Vậy a) giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ (và $AB$); b) $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$.

Định hướng. Ba mặt phẳng $(MAB)$, $(SCD)$, $(ABCD)$ đôi một cắt nhau.

Vậy giao tuyến là $MN$ với $MN\parallel CD$, và $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của $△SCD$.

Định hướng. Gọi $N^{\prime }$ là trung điểm $SC$; chứng minh $N^{\prime }\in (MAB)$, khi đó $N^{\prime }\equiv N$.

Vậy giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là $MN$ ($MN\parallel CD$), và $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$.

Nhận xét. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(MAB)$ là hình thang $ABNM$ với $MN=\frac{1}{2}CD$.

Định hướng. Hai điểm chung tìm trong hai mặt $(ABC)$ và $(ACD)$; song song suy từ $MN\parallel BD$.

Vậy giao tuyến là $EF$ với $E=AM\cap BP$, $F=AN\cap DP$, và $EF\parallel BD$.

Định hướng. Ba mặt phẳng $(AMN)$, $(BPD)$, $(BCD)$ đôi một cắt nhau theo $EF$, $BD$, $MN$.

Vậy $(AMN)\cap (BPD)=EF$ và $EF\parallel BD$.

Định hướng. Chứng minh $\frac{AE}{EM}=\frac{AF}{FN}$, suy ra $EF\parallel MN$ theo định lí Thalès đảo trong tam giác $AMN$.

Vậy giao tuyến $EF$ song song với $BD$.

Nhận xét. Cách 3 còn cho vị trí cụ thể: $\frac{AE}{AM}=\frac{2PA}{2PA+PC}$; khi $P$ là trung điểm $AC$ thì $E$, $F$ là trọng tâm các tam giác $ABC$, $ACD$.

Định hướng. Gọi $h_1$, $h_2$ là hai bản lề (hai cạnh đứng đối diện của khung cửa), $a$, $b$ là hai mép ngoài của hai cánh.

Vậy với cửa chữ nhật, hai mép ngoài luôn song song (khi đóng kín thì trùng nhau).

Định hướng. Đặt trục $Oz$ thẳng đứng, khung cửa trong mặt phẳng $Oxz$. Mép ngoài hợp với phương thẳng đứng góc $\alpha$ ($\alpha =0$: cửa chữ nhật). Cánh trái quay góc $t_1$, cánh phải quay góc $t_2$ (cùng chiều mở ra ngoài).

Vậy cửa chữ nhật: hai mép ngoài luôn song song; cửa hình thang: hai mép ngoài song song khi hai cánh cùng mở hết cỡ áp sát mặt tường, còn ở các vị trí mở dở dang thì không.

Định hướng. Cửa hình thang: khi đóng, hai mép ngoài trùng nhau trên đường xiên $e$ của khung, $e$ hợp với phương thẳng đứng một góc $\alpha \ne 0$. Theo dõi đầu trên của mỗi mép ngả về phía nào của mặt tường.

Vậy cửa hình thang chỉ có hai mép ngoài song song ở vị trí cả hai cánh mở hết sát tường (hoặc trùng nhau khi đóng).

Nhận xét. Nếu cửa mở được cả hai phía thì mọi vị trí "một cánh ra ngoài góc $t$, cánh kia vào trong góc $t$" đều cho hai mép ngoài song song.