Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Định hướng. Mỗi ý chọn một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với đường cần xét.

Vậy $CD\parallel (ABEF)$, $EF\parallel (ABCD)$, $CE\parallel (ADF)$.

Định hướng. Mỗi đường thẳng cần xét nằm trong một mặt phẳng cắt mặt phẳng kia theo giao tuyến song song với nó.

Vậy ba đường thẳng $CD$, $EF$, $CE$ lần lượt không có điểm chung với $(ABEF)$, $(ABCD)$, $(ADF)$, tức là song song.

Định hướng. $AB$, $DC$, $FE$ đôi một song song và bằng nhau nên $ADF.BCE$ là hình lăng trụ tam giác với ba cạnh bên $AB$, $DC$, $FE$.

Vậy ba quan hệ song song được chứng minh.

Nhận xét. Hai hình bình hành chung cạnh, không đồng phẳng luôn "dựng" nên một hình lăng trụ tam giác — nhìn ra điều này, mọi quan hệ song song hiện ra ngay.

Định hướng. Chọn tam giác phù hợp để $KL$ song song với một cạnh nằm trong mặt phẳng cần xét.

Vậy $KL\parallel (ADF)$ và $KL\parallel (BCE)$.

Định hướng. Bài 4.22 cho $CDFE$ là hình bình hành nên $CE\parallel DF$; chỉ cần một đường trung bình.

Vậy $KL\parallel (ADF)$, $KL\parallel (BCE)$.

Định hướng. $KL$ nằm trong $(BDF)$, và $(BDF)\cap (ADF)=DF$; điểm chung của $KL$ với $(ADF)$ phải nằm trên $DF$.

Vậy $KL$ không có điểm chung với $(ADF)$ và $(BCE)$, tức $KL\parallel (ADF)$, $KL\parallel (BCE)$.

Nhận xét. Thực ra $KL=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}CE$: $KL$ là "đường trung bình" của hình lăng trụ $ADF.BCE$.

Định hướng. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, $CD$.

Vậy $GH\parallel (BCD)$.

Định hướng. $MN$ là đường trung bình tam giác $BCD$ nên $MN\parallel BD$; bắc cầu cho $GH\parallel BD$.

Vậy $GH\parallel (BCD)$, đồng thời $GH=\frac{1}{3}BD$.

Định hướng. $GH$ nằm trong mặt phẳng $(AMN)$, mà $(AMN)\cap (BCD)=MN$.

Vậy $GH\parallel (BCD)$.

Nhận xét. Kết quả vẫn đúng nếu thay $\frac{2}{3}$ bằng bất kì tỉ số $k$ nào miễn là $\frac{AG}{AM}=\frac{AH}{AN}=k$ ($0<k<1$).

Định hướng. Mỗi mặt chứa một đường thẳng song song với $(P)$ thì giao tuyến song song với đường đó.

Vậy $EM\parallel SB$, $EN\parallel SD$; $(P)\cap (SBC)$ là đường thẳng qua $I$ song song với $SB$, $(P)\cap (SCD)$ là đường thẳng qua $J$ song song với $SD$.

Định hướng. Ba mặt phẳng $(P)$, $(SBC)$, $(SCD)$ đôi một cắt nhau theo $d_1$, $d_2$ và $SC$; chúng đồng quy tại $K$.

Vậy giao tuyến cần tìm là $IK$ và $JK$, trong đó $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $I$ song song với $SB$ với đường thẳng $SC$.

Định hướng. Đặt $\frac{AE}{AS}=t$ ($0<t<1$); các đường song song chia các cạnh xuất phát từ $A$ theo cùng tỉ số.

Vậy hai giao tuyến $IK$, $JK$ nằm ngoài các mặt bên $SBC$, $SCD$ của hình chóp: $(P)$ chỉ cắt hình chóp theo tam giác $EMN$.

Nhận xét. Kiểm tra bằng toạ độ: $K=S+\lambda \overrightarrow{SC}$ với $\lambda <0$ khi đáy $ABCD$ là tứ giác lồi — $K$ luôn ở ngoài đoạn $SC$.

Định hướng. Mỗi bước: một điểm chung đã có + một đường thẳng song song với $(P)$ nằm trong mặt đang xét.

Vậy a) $(P)\cap (SAC)=EF$ ($EF\parallel SC$, $F\in AC$), điểm chung với đáy là $F$; b) $(P)\cap (ABCD)=GH$ qua $F$, $GH\parallel AB$; c) $(P)\cap (SAB)=EK$, $(P)\cap (SBC)=KH$, $(P)\cap (SAD)=EG$, $(P)$ không cắt $(SCD)$. Thiết diện là tứ giác $EKHG$.

Định hướng. Đặt $\frac{AE}{AS}=t$; các đường song song mang tỉ số $t$ đi khắp hình.

Vậy $F$, $G$, $H$, $K$ chia $AC$, $AD$, $BC$, $SB$ theo các tỉ số trên; các giao tuyến $EF\parallel SC$, $GH\parallel AB$, $EK\parallel AB$, $KH\parallel SC$, $EG\parallel SD$.

Định hướng. $(P)$ song song với $SC$ và với $CD$ (vì $CD\parallel AB$) — hai đường cắt nhau của $(SCD)$; mọi giao tuyến của $(P)$ với các mặt khác đều song song với giao tuyến của $(SCD)$ với mặt đó.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi $(P)$ là tứ giác $EKHG$ có $EK\parallel GH$ ($\parallel AB$), $KH\parallel SC$, $EG\parallel SD$; $(P)$ không cắt $(SCD)$.

Nhận xét. Đã verify bằng sympy với toạ độ tổng quát: pháp tuyến của $(P)$ cùng phương với pháp tuyến của $(SCD)$, $S\notin (P)$; tứ giác $EKHG$ là hình thang ($EK\parallel GH$).

Định hướng. Gọi $AB$ là mép trên (tựa tường), $CD$ là mép dưới (trên mặt đất).

Vậy mép trên song song với mặt đất, mép dưới song song với mặt tường.

Định hướng. Mặt tường và mặt đất cắt nhau theo đường chân tường $c$; dùng tính chất giao tuyến.

Vậy $AB$ không có điểm chung với mặt đất, $CD$ không có điểm chung với mặt tường: hai quan hệ song song được chứng minh.

Định hướng. Chứng minh cả hai mép cùng song song với đường chân tường $c$.

Vậy mép trên, mép dưới và đường chân tường đôi một song song; mép trên song song với mặt đất, mép dưới song song với mặt tường.

Nhận xét. Thực tế: nhờ vậy tấm bảng đặt nghiêng vẫn "cân", mép trên nằm ngang, không bị lệch sang một bên.

Định hướng. Gọi $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ là hai thanh sắt ($A$, $B$ trên mặt đất), dây phơi là $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Vậy dây phơi song song với mặt đất.

Định hướng. Dây căng thẳng nối hai điểm cùng độ cao $h$ (chiều dài thanh sắt).

Vậy dây phơi song song với mặt đất.

Định hướng. Giả sử đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ cắt mặt đất tại $X$; $X$ nằm trên giao tuyến của $\mathrm{mp}(A{A}^{\prime },B{B}^{\prime })$ với mặt đất.

Vậy dây phơi song song với mặt đất.

Nhận xét. Nếu hai thanh sắt dài khác nhau thì $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ chỉ là hình thang, $A^{\prime }{B}^{\prime }$ cắt đường thẳng $AB$ nên dây phơi không song song với mặt đất.