Bài 1 · 4.22★★Trang 63— Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Bài 4.22 (trang 63). Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) .
a) ;
b) ;
c) .
Kiến thức cần nhớ
- Điều kiện song song: nếu và song song với một đường thẳng thì .
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành; hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba ý đều có dạng "đường thẳng song song mặt phẳng": tìm trong mặt phẳng một đường thẳng song song với đường cần xét. Cạnh chung là "cầu nối" cho a), b); ý c) cần thêm nhận xét là hình bình hành để có . Đừng quên chứng minh đường thẳng không nằm trong mặt phẳng — dựa vào giả thiết hai hình bình hành không đồng phẳng.
1Cách 1. Dấu hiệu song song qua cạnh chung và hình bình hành
Định hướng. Mỗi ý chọn một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với đường cần xét.
a) , ; (nếu không thì , đồng phẳng) .
b) , ; .
c) là hình bình hành , .
(nếu không thì , nên , vô lí) .
b) , ; .
c) là hình bình hành , .
(nếu không thì , nên , vô lí) .
Vậy , , .
2Cách 2. Phản chứng qua giao tuyến
Định hướng. Mỗi đường thẳng cần xét nằm trong một mặt phẳng cắt mặt phẳng kia theo giao tuyến song song với nó.
a) , .
b) , .
c) , .
b) , .
c) , .
Vậy ba đường thẳng , , lần lượt không có điểm chung với , , , tức là song song.
3Cách 3. Nhìn hình là lăng trụ
Định hướng. , , đôi một song song và bằng nhau nên là hình lăng trụ tam giác với ba cạnh bên , , .
Cạnh bên của lăng trụ song song với mọi mặt bên không chứa nó.
a) Cạnh bên song song với mặt bên .
b) Cạnh bên song song với mặt bên .
c) là cạnh của đáy , song song với cạnh tương ứng của đáy .
a) Cạnh bên song song với mặt bên .
b) Cạnh bên song song với mặt bên .
c) là cạnh của đáy , song song với cạnh tương ứng của đáy .
Vậy ba quan hệ song song được chứng minh.
Nhận xét. Hai hình bình hành chung cạnh, không đồng phẳng luôn "dựng" nên một hình lăng trụ tam giác — nhìn ra điều này, mọi quan hệ song song hiện ra ngay.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đúng khuôn dấu hiệu song song, mỗi ý hai dòng; ý c) chỉ cần thêm nhận xét là hình bình hành.
Đáp số. a) ; b) ; c) là hình bình hành nên ; mỗi đường thẳng đều không nằm trong mặt phẳng tương ứng.
Sai lầm thường gặp. Ở ý c) chọn hoặc làm đường song song với — sai: không song song với hai cạnh đó; phải dùng .
🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm và — từ đó mặt "song song" với mặt .
