Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Định hướng. Xác định mỗi thanh (kéo dài thành đường thẳng) gặp mặt sân ở bao nhiêu điểm.

Vậy xà ngang song song với mặt đất; cột dọc và thanh chống cắt mặt đất; thanh bên nằm trên mặt đất.

Định hướng. Một đường thẳng không cắt mặt đất khi mọi điểm của nó cách đều mặt đất; nếu hai đầu ở hai độ cao khác nhau thì kéo dài sẽ chạm đất.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Định hướng. Xà ngang song song với đường vạch vôi nối hai chân cột (nằm trên mặt đất) vì khung cột dọc – xà ngang – vạch vôi là hình chữ nhật.

Vậy xà ngang song song với mặt đất, cột dọc và thanh chống cắt mặt đất, thanh bên nằm trên mặt đất.

Nhận xét. Chỉ riêng xà ngang minh hoạ khái niệm mới của bài: đường thẳng song song với mặt phẳng.

Định hướng. Chọn thanh dầm dọc của cầu và mặt nước sông.

Vậy đường thẳng chứa thanh dầm dọc của cầu song song với mặt phẳng mặt nước sông.

Định hướng. Tìm trên mặt nước một đường thẳng song song với thanh dầm.

Vậy thanh dầm dọc của cầu song song với mặt nước.

Định hướng. Các thanh ngang trên cùng của dàn thép cũng nằm ngang và song song với mặt cầu (sàn đường ray).

Vậy thanh ngang trên cùng của dàn thép song song với mặt sàn cầu (cũng là một hình ảnh đúng).

Nhận xét. Mọi thanh nằm ngang phía trên mặt nước đều cho một hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng.

Định hướng. Đếm số đỉnh trong $\{A;C\}$ thuộc mỗi mặt.

Vậy $AC$ cắt $(ABD)$ tại $A$, cắt $(BCD)$ tại $C$; $AC$ nằm trong $(ABC)$ và $(ACD)$.

Định hướng. Ví dụ 1 đã giải cho cạnh $AB$; đổi vai trò $B\leftrightarrow C$ thì cạnh $AB$ thành $AC$.

Vậy $AC$ cắt $(ABD)$ và $(BCD)$; nằm trong $(ABC)$ và $(ACD)$.

Định hướng. Mỗi mặt của tứ diện chứa ít nhất một trong hai điểm $A$, $C$ nên $AC$ không song song với mặt nào.

Vậy $AC$ cắt hai mặt $(ABD)$, $(BCD)$ và nằm trong hai mặt $(ABC)$, $(ACD)$.

Nhận xét. Mỗi cạnh của tứ diện luôn nằm trong đúng hai mặt và cắt đúng hai mặt còn lại.

Định hướng. Giả sử $a\cap (P)=\{M\}$, chứng minh $M\in b$ rồi dẫn tới mâu thuẫn $a\parallel b$.

Vậy $M$ thuộc $(Q)$ và $M$ thuộc $b$ — mâu thuẫn; do đó $a$ không cắt $(P)$. Mà $a\not\subset (P)$ nên $a\parallel (P)$.

Định hướng. Đường thẳng và mặt phẳng chỉ có ba vị trí; loại lần lượt hai vị trí không thoả mãn.

Vậy $a\parallel (P)$.

Định hướng. Mọi điểm chung của $a$ với $(P)$ đều nằm trong $(Q)$ nên chỉ cần xét trong mặt phẳng $(Q)$.

Vậy $a$ và $(P)$ không có điểm chung, tức $a\parallel (P)$.

Nhận xét. Đây chính là điều kiện song song trong khung kiến thức: muốn chứng minh $a\parallel (P)$ chỉ cần tìm một đường thẳng trong $(P)$ song song với $a$.

Định hướng. Lấy $a$, $b$ là hai đường thẳng song song cùng nằm trong $(P)$.

Vậy phát biểu không còn đúng khi bỏ điều kiện "$a\not\subset (P)$".

Định hướng. Dùng hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và mặt đáy $(ABCD)$.

Vậy phát biểu sai nếu bỏ điều kiện; kết luận đúng chỉ là "$a\parallel (P)$ hoặc $a\subset (P)$".

Định hướng. Trong HĐ2, điều kiện $a\not\subset (P)$ dùng để khẳng định $(P)\ne (Q)$.

Vậy phát biểu không còn đúng; khi bỏ điều kiện chỉ kết luận được $a\parallel (P)$ hoặc $a\subset (P)$.

Nhận xét. Mỗi giả thiết của định lí đều có vai trò; thiếu một điều kiện, kết luận có thể sai.

Định hướng. Tìm trong mỗi mặt phẳng một đường thẳng song song với đường cần chứng minh.

Vậy $c\parallel \mathrm{mp}(a,b)$ và $b\parallel \mathrm{mp}(a,c)$.

Định hướng. Ví dụ 2 chứng minh $a\parallel \mathrm{mp}(b,c)$; giả thiết đối xứng đối với $a$, $b$, $c$.

Vậy $c\parallel \mathrm{mp}(a,b)$, $b\parallel \mathrm{mp}(a,c)$.

Định hướng. Giả sử $c$ có điểm chung $M$ với $\mathrm{mp}(a,b)$ rồi chỉ ra $c$ nằm luôn trong mặt phẳng đó.

Vậy $c$ và $\mathrm{mp}(a,b)$ không có điểm chung, $b$ và $\mathrm{mp}(a,c)$ không có điểm chung: hai quan hệ song song được chứng minh.

Nhận xét. Cách 3 dùng tiên đề Euclid (qua một điểm có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước) thay cho dấu hiệu.

Định hướng. $AB$ nằm trong mặt đáy, còn $SD$ đâm qua mặt đáy tại $D$.

Vậy $SD$ và $AB$ chéo nhau; mặt phẳng $(SCD)$ chứa $SD$ và song song với $AB$.

Định hướng. Giả sử $SD$ và $AB$ cùng nằm trong một mặt phẳng rồi suy ra $S$ thuộc mặt đáy.

Vậy $SD$, $AB$ chéo nhau và $(SCD)$ là mặt phẳng cần tìm.

Định hướng. Ví dụ 3: qua một điểm $M$ của $SD$ kẻ $b^{\prime }\parallel AB$, mặt phẳng cần tìm là $\mathrm{mp}(SD,b^{\prime })$. Chọn $M\equiv D$.

Vậy mặt phẳng chứa $SD$ và song song với $AB$ là $(SCD)$ (duy nhất, theo Chú ý trang 86).

Nhận xét. Chọn điểm $M$ trùng với $D$ giúp đường $b^{\prime }$ trùng luôn với cạnh có sẵn $DC$, khỏi phải dựng thêm.

Định hướng. Gọi $A$, $B$ là hai điểm buộc dây trên mép hai viên gạch dẫn, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ là hình chiếu thẳng đứng của chúng xuống mặt đất.

Vậy dây nhợ căng song song với mặt đất.

Định hướng. Dây căng thẳng giữa hai điểm có cùng độ cao $h$ thì mọi điểm của dây cũng có độ cao $h$.

Vậy dây song song với mặt đất.

Định hướng. Mép trên của mỗi hàng gạch dẫn song song với mép dưới (nằm trên mặt đất); dây căng dọc theo mép trên.

Vậy dây song song với mặt đất. Tác dụng: dây là chuẩn để các viên gạch trong cùng một hàng có cùng độ cao, hàng gạch thẳng và song song với mặt đất, tường không bị nghiêng lệch, không lượn sóng.

Nhận xét. Nhờ dây nhợ, người thợ chỉ cần đặt mép gạch sát dây là đảm bảo hàng gạch song song với mặt đất, không phải đo từng viên.

Định hướng. a) dùng định nghĩa chéo nhau; b) dùng phản chứng với $a\parallel (P)$.

Vậy a) không; b) không. Do đó $a\parallel b$.

Định hướng. Hai đường thẳng $a$, $b$ trong không gian: trùng nhau, cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Vậy $a$, $b$ không chéo nhau, không cắt nhau; $a\parallel b$.

Định hướng. So sánh điểm chung của $a$ với $b$ và với $(P)$.

Vậy a) không thể chéo nhau; b) không thể cắt nhau; $a\parallel b$.

Nhận xét. Tính chất này là công cụ chính để dựng giao tuyến: giao tuyến của $(Q)$ với $(P)$ là đường thẳng đi qua một điểm chung và song song với $a$.

Định hướng. Bắt đầu từ các mặt đi qua $E$: $(ABC)$ và $(ACD)$.

Vậy $(Q)$ cắt $(ABC)$, $(ACD)$, $(BCD)$ theo các giao tuyến $EF$, $EH$, $FH$ ($EF\parallel AB$, $EH\parallel AD$); $(Q)$ không cắt $(ABD)$. Mặt cắt là tam giác $EFH$.

Định hướng. Đặt $\frac{CE}{CA}=k$ ($0<k<1$); các đường song song chia các cạnh xuất phát từ $C$ cùng tỉ số $k$.

Vậy giao tuyến với $(ABC)$, $(ACD)$, $(BCD)$ lần lượt là $EF$, $EH$, $FH$ với $F$, $H$ chia $CB$, $CD$ theo tỉ số $\frac{CF}{CB}=\frac{CH}{CD}=\frac{CE}{CA}$; tam giác $EFH$ có ba cạnh song song với ba cạnh tam giác $ABD$.

Định hướng. Ví dụ 4 cho $(P)\parallel AB,CD$ nên $(P)$ cắt cả bốn mặt; ở đây $(Q)\parallel AB,AD$ — hai cạnh cùng nằm trong mặt $(ABD)$.

Vậy $(Q)$ cắt ba mặt $(ABC)$, $(BCD)$, $(ACD)$ theo $EF$, $FH$, $HE$; $(Q)$ không cắt mặt $(ABD)$.

Nhận xét. Mặt phẳng song song với hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh thì "cắt ngang" tứ diện, song song với mặt chứa hai cạnh đó (Bài 13).

Định hướng. Xét từng mệnh đề.

Vậy chỉ mệnh đề a) đúng.

Định hướng. Tìm điều kiện còn thiếu của mỗi mệnh đề sai; thiếu điều kiện chứng tỏ mệnh đề gốc sai.

Vậy mệnh đề đúng: a); các mệnh đề b), c), d) sai.

Định hướng. Lấy $(P)$ là mặt đáy $(ABCD)$ của hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Vậy các phản ví dụ khẳng định b), c), d) sai; a) đúng.

Nhận xét. Hình hộp là "phòng thí nghiệm" nhanh nhất để thử mệnh đề hình học không gian.

Định hướng. a) tìm điểm chung của $AM$ với $(BCD)$; b) tìm đường thẳng trong $(BCD)$ song song với $MN$.

Vậy a) $AM$ không song song với $(BCD)$ (cắt tại $C$); b) $MN\parallel (BCD)$.

Định hướng. b) Giả sử $MN$ có điểm chung $I$ với $(BCD)$; $I$ thuộc giao tuyến của $(ACD)$ và $(BCD)$.

Vậy a) không; b) có, $MN\parallel (BCD)$.

Định hướng. So sánh khoảng cách từ các điểm tới mặt phẳng $(BCD)$: đường thẳng song song khi mọi điểm cách đều mặt phẳng.

Vậy $AM$ cắt $(BCD)$; $MN\parallel (BCD)$.

Nhận xét. Cách 3 dùng trực giác "độ cao" — sẽ được chính xác hoá khi học khoảng cách ở Chương VII.

Định hướng. Tìm trong $(AMN)$ đường thẳng song song với $BD$: đó là $MN$.

Vậy $BD\parallel (AMN)$.

Định hướng. $BD$ nằm trong $(BCD)$, và $(BCD)\cap (AMN)=MN$; điểm chung của $BD$ với $(AMN)$ phải nằm trên $MN$.

Vậy $BD$ và $(AMN)$ không có điểm chung, tức $BD\parallel (AMN)$.

Định hướng. Chứng minh $MN\parallel BD$ bằng định lí Thalès đảo trong tam giác $CBD$.

Vậy $BD\parallel (AMN)$.

Nhận xét. Cách 3 vẫn đúng khi $M$, $N$ không là trung điểm mà chỉ cần $\frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CD}$.

Định hướng. Đi vòng quanh các mặt bên, mỗi mặt dựng qua điểm chung đã có.

Vậy giao tuyến của $(P)$ với $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SAD)$ lần lượt là $EF$, $FG$, $GH$, $HE$; tứ giác $EFGH$ là hình thang ($EF\parallel GH$).

Định hướng. Đặt $\frac{SE}{SA}=k$; mọi giao điểm trên các cạnh bên chia cạnh theo cùng tỉ số $k$.

Vậy $EFGH$ là hình thang với hai đáy $EF\parallel HG$, $\frac{EF}{HG}=\frac{AB}{CD}$; $F$, $G$, $H$ chia $SB$, $SC$, $SD$ theo cùng tỉ số $\frac{SE}{SA}$.

Định hướng. Các cạnh của $EFGH$ lần lượt song song với các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ của đáy.

Vậy $EFGH$ là hình thang có các cạnh song song và tỉ lệ $k$ với các cạnh tương ứng của đáy.

Nhận xét. Mặt phẳng song song với hai cạnh cắt nhau của đáy thì song song với đáy (Bài 13); thiết diện là hình "đồng dạng" với đáy.

Định hướng. Gọi $AB$ là mép trên, $CD$ là mép dưới của cánh cửa hình chữ nhật $ABCD$.

Vậy mặt phẳng cố định là mặt sàn (mặt đất): mép trên của cửa luôn song song với mặt sàn.

Định hướng. Khi cửa quay quanh bản lề thẳng đứng, mỗi điểm của cửa chuyển động trên một đường tròn nằm ngang, độ cao không đổi.

Vậy mép trên luôn song song với mặt sàn.

Định hướng. Mép trên cửa và mép trên của khung cửa (dạ cửa) cùng độ cao; mặt phẳng nằm ngang qua dạ cửa (hoặc trần nhà) cũng là một mặt phẳng cố định thích hợp.

Vậy mặt phẳng cố định là mặt sàn; mép trên cũng song song với mặt trần nhà.

Nhận xét. Mọi mặt phẳng nằm ngang không chứa mép trên đều thoả mãn; câu trả lời tự nhiên nhất là mặt sàn.