Bài 13. Hai mặt phẳng song song

Định hướng. a), b) dùng hệ quả; c) dùng giao tuyến với hai mặt phẳng song song.

Vậy a) $\mathrm{mp}(a,b)\parallel \mathrm{mp}(c,d)$; b) $\mathrm{mp}(a,d)\parallel \mathrm{mp}(b,c)$; c) $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Định hướng. Chứng minh $a$ và $AB$ cùng song song với $\mathrm{mp}(c,d)$.

Vậy các kết luận a), b), c) được chứng minh.

Định hướng. Giả sử $\mathrm{mp}(a,b)$ cắt $\mathrm{mp}(c,d)$ theo $\Delta$.

Vậy hai mặt phẳng trong a), b) song song và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành.

Nhận xét. Hệ quả thú vị: khi $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$ cùng phía với $(ABCD)$ thì $A{A}^{\prime }+C{C}^{\prime }=B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }$ (tâm của $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và tâm của $ABCD$ nằm trên một đường thẳng song song với $a$).

Định hướng. Mỗi mặt của tứ diện cắt $(ABD)$ theo một cạnh; giao tuyến với $(P)$ song song với cạnh ấy.

Vậy a) giao tuyến là $MN$ qua $O$, song song với $BD$; b) $(P)$ cắt $(ABC)$ theo $MP\parallel AB$, cắt $(ACD)$ theo $NP\parallel AD$, không cắt $(ABD)$; thiết diện là tam giác $MNP$.

Định hướng. Đặt $k=\frac{CM}{CB}$; mọi giao điểm chia các cạnh xuất phát từ $C$ cùng tỉ số $k$.

Vậy các giao tuyến là $MN$, $MP$, $NP$ với $M$, $N$, $P$ chia $CB$, $CD$, $CA$ cùng tỉ số; tam giác $MNP$ có ba cạnh song song với ba cạnh tam giác $ABD$.

Định hướng. $BD$, $AB$, $AD$ nằm trong $(ABD)$ nên đều song song với $(P)$; dùng tính chất Bài 12.

Vậy giao tuyến như Cách 1.

Nhận xét. Mặt phẳng song song với một mặt của tứ diện cắt tứ diện theo một tam giác đồng dạng với mặt đó.