Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 13. Hai mặt phẳng song song

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.29★★★Trang 67— Chứng minh hai mặt phẳng song song, mặt cắt là hình bình hành

Bài 4.29 (trang 67). Cho hình bình hành

A B C D

. Qua

A

B

C

D

lần lượt vẽ bốn đường thẳng

a

b

c

d

đôi một song song và không nằm trong mặt phẳng

(A B C D)

.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng

mp (a, b)

và

mp (c, d)

song song với nhau.
b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng

mp (a, d)

và

mp (b, c)

song song với nhau.
c) Một mặt phẳng cắt bốn đường thẳng

a

b

c

d

lần lượt tại

A^{'}

B^{'}

C^{'}

D^{'}

. Chứng minh rằng tứ giác

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

mp (a, b)

chứa hai đường cắt nhau tại

A

là

a

và

A B

;

mp (c, d)

chứa

d

và

D C

— hai cặp tương ứng song song. Câu c) là hệ quả của a), b): một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song. Bẫy ở c):

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

không nhất thiết song song với

A B C D

, nên không thể lập luận qua hai đáy song song.

1Cách 1. Hai cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song

Định hướng. a), b) dùng hệ quả; c) dùng giao tuyến với hai mặt phẳng song song.

a \cap A B = A

a, A B \subset mp (a, b)

;

d \cap D C = D

d, D C \subset mp (c, d)

a ∥ d

A B ∥ D C

\Rightarrow mp (a, b) ∥ mp (c, d)

.
b)

a ∥ b

A D ∥ B C

\Rightarrow mp (a, d) ∥ mp (b, c)

.
c)

(A^{'} B^{'} C^{'}) \cap mp (a, b) = A^{'} B^{'}

(A^{'} B^{'} C^{'}) \cap mp (c, d) = D^{'} C^{'}

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ D^{'} C^{'}

(A^{'} B^{'} C^{'}) \cap mp (a, d) = A^{'} D^{'}

(A^{'} B^{'} C^{'}) \cap mp (b, c) = B^{'} C^{'}

\Rightarrow A^{'} D^{'} ∥ B^{'} C^{'}

Vậy a) $mp (a, b) ∥ mp (c, d)$ ; b) $mp (a, d) ∥ mp (b, c)$ ; c) $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

2Cách 2. Dùng điều kiện qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chứng minh $a$ và $A B$ cùng song song với $mp (c, d)$ .

a ∥ d \subset mp (c, d)

a \neq \subset mp (c, d)

\Rightarrow a ∥ mp (c, d)

A B ∥ D C \subset mp (c, d)

\Rightarrow A B ∥ mp (c, d)

;

a \cap A B = A

\Rightarrow mp (a, b) ∥ mp (c, d)

.
b)

a ∥ b

A D ∥ B C

\Rightarrow a ∥ mp (b, c)

A D ∥ mp (b, c)

\Rightarrow mp (a, d) ∥ mp (b, c)

.
c)

A^{'} B^{'}

D^{'} C^{'}

đồng phẳng, nằm trong hai mặt phẳng không có điểm chung

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ D^{'} C^{'}

; tương tự

A^{'} D^{'} ∥ B^{'} C^{'}

Vậy các kết luận a), b), c) được chứng minh.

3Cách 3. Phản chứng cho a), b)

Định hướng. Giả sử $mp (a, b)$ cắt $mp (c, d)$ theo $Δ$ .

a ∥ d

\Rightarrow Δ ∥ a

(hệ quả Bài 11;

Δ \neq = a

vì

a

không cắt

d

A B ∥ D C

\Rightarrow Δ ∥ A B

\Rightarrow a ∥ A B

— vô lí vì

a

cắt

A B

tại

A

.
Tương tự cho b); câu c) như Cách 1.

Vậy hai mặt phẳng trong a), b) song song và $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình bình hành.

Nhận xét. Hệ quả thú vị: khi $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ cùng phía với $(A B C D)$ thì $A A^{'} + C C^{'} = B B^{'} + D D^{'}$ (tâm của $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và tâm của $A B C D$ nằm trên một đường thẳng song song với $a$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai cặp tương ứng song song cho ngay a), b), còn c) chỉ là hai lần áp dụng tính chất giao tuyến.

Đáp số. a)

mp (a, b) ∥ mp (c, d)

. b)

mp (a, d) ∥ mp (b, c)

. c)

A^{'} B^{'} ∥ D^{'} C^{'}

A^{'} D^{'} ∥ B^{'} C^{'}

nên

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) viết "

A^{'} B^{'} ∥ A B

vì

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) ∥ (A B C D)

" — sai: mặt phẳng cắt tuỳ ý, không nhất thiết song song với

(A B C D)

🚀 Mở rộng. Nếu

A B C D

chỉ là hình thang (

A B ∥ C D

) thì

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình gì? (Hình thang

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.30★★★Trang 67— Xác định giao tuyến của mặt phẳng song song với một mặt của tứ diện

Bài 4.30 (trang 67). Cho tứ diện

A B C D

và một điểm

O

nằm trong tam giác

B C D

. Gọi

(P)

là mặt phẳng qua

O

và song song với mặt phẳng

(A B D)

.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng

(P)

và mặt phẳng

(B C D)

.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng

(P)

và các mặt còn lại của tứ diện.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

(P) ∥ (A B D)

: mặt nào cắt

(A B D)

theo một cạnh thì cắt

(P)

theo đường song song với cạnh đó.

(B C D) \cap (A B D) = B D

nên giao tuyến qua

O

song song với

B D

; tiếp tục từ các giao điểm vừa tìm được. Bẫy: quên rằng

(P)

không cắt mặt

(A B D)

1Cách 1. Dựng lần lượt từng giao tuyến

Định hướng. Mỗi mặt của tứ diện cắt $(A B D)$ theo một cạnh; giao tuyến với $(P)$ song song với cạnh ấy.

(B C D) \cap (A B D) = B D

O \in (P) \cap (B C D)

\Rightarrow (P) \cap (B C D) = M N

qua

O

M N ∥ B D

(

M \in B C

N \in C D

).
b)

(A B C) \cap (A B D) = A B

M \in (P) \cap (A B C)

\Rightarrow (P) \cap (A B C) = M P

M P ∥ A B

(

P \in A C

(A C D) \cap (A B D) = A D

\Rightarrow (P) \cap (A C D) = N P

N P ∥ A D

(P) ∥ (A B D)

\Rightarrow (P) \cap (A B D) = \emptyset

Vậy a) giao tuyến là $M N$ qua $O$ , song song với $B D$ ; b) $(P)$ cắt $(A B C)$ theo $M P ∥ A B$ , cắt $(A C D)$ theo $N P ∥ A D$ , không cắt $(A B D)$ ; thiết diện là tam giác $M N P$ .

2Cách 2. Dựng bằng tỉ số (Thalès)

Định hướng. Đặt $k = \frac{C M}{C B}$ ; mọi giao điểm chia các cạnh xuất phát từ $C$ cùng tỉ số $k$ .

M N ∥ B D

trong tam giác

C B D

\frac{C M}{C B} = \frac{C N}{C D} = k

M P ∥ A B

trong tam giác

C B A

\frac{C P}{C A} = \frac{C M}{C B} = k

\frac{C N}{C D} = \frac{C P}{C A} = k

\Rightarrow N P ∥ A D

(Thalès đảo).

M N = k \cdot B D

M P = k \cdot A B

N P = k \cdot A D

Vậy các giao tuyến là $M N$ , $M P$ , $N P$ với $M$ , $N$ , $P$ chia $C B$ , $C D$ , $C A$ cùng tỉ số; tam giác $M N P$ có ba cạnh song song với ba cạnh tam giác $A B D$ .

3Cách 3. Qua các đường thẳng song song với

(P)

Định hướng. $B D$ , $A B$ , $A D$ nằm trong $(A B D)$ nên đều song song với $(P)$ ; dùng tính chất Bài 12.

B D ∥ (P)

B D \subset (B C D)

O \in (B C D) \cap (P)

\Rightarrow (B C D) \cap (P) = M N ∥ B D

A B ∥ (P)

A B \subset (A B C)

\Rightarrow (A B C) \cap (P) = M P ∥ A B

A D ∥ (P)

A D \subset (A C D)

\Rightarrow (A C D) \cap (P) = N P ∥ A D

Vậy giao tuyến như Cách 1.

Nhận xét. Mặt phẳng song song với một mặt của tứ diện cắt tứ diện theo một tam giác đồng dạng với mặt đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất khi đi thi: mỗi giao tuyến một dòng "qua điểm chung, song song với cạnh"; Cách 2 cho thêm vị trí chính xác của các điểm.

Đáp số. a)

(P) \cap (B C D) = M N

với

M N

qua

O

M N ∥ B D

M \in B C

N \in C D

. b)

(P) \cap (A B C) = M P

với

M P ∥ A B

P \in A C

;

(P) \cap (A C D) = N P

(

N P ∥ A D

);

(P)

không cắt

(A B D)

Sai lầm thường gặp. Vẽ giao tuyến của

(P)

với

(B C D)

đi qua

O

nhưng song song với

C D

(nhầm cạnh) — mặt

(B C D)

cắt

(A B D)

theo

B D

, nên giao tuyến phải song song với

B D

🚀 Mở rộng. Khi

O

là trọng tâm tam giác

B C D

thì tỉ số

\frac{C M}{C B}

bằng bao nhiêu? (

\frac{2}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.31★★★Trang 67— Thiết diện song song với đáy của hình chóp

Bài 4.31 (trang 67). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

E

là một điểm bất kì thuộc cạnh

S A

và

(P)

là mặt phẳng qua

E

song song với mặt phẳng

(A B C D)

.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng

(P)

và các mặt bên của hình chóp.
b) Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì? Giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

(P) ∥ (A B C D)

nên mỗi mặt bên cắt

(P)

theo đường song song với cạnh đáy của mặt bên đó. Đi vòng từ

E

S A B \to S B C \to S C D \to S D A

. Câu b): hai cặp cạnh đối lần lượt song song với hai cặp cạnh đối của hình bình hành đáy.

1Cách 1. Giao tuyến song song với cạnh đáy

Định hướng. Mỗi mặt bên cắt hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(A B C D)$ .

(S A B)

E \in (P)

(S A B) \cap (A B C D) = A B

\Rightarrow (S A B) \cap (P) = E F

E F ∥ A B

F \in S B

(S B C)

(S B C) \cap (P) = F G

F G ∥ B C

G \in S C

(S C D)

(S C D) \cap (P) = G H

G H ∥ C D

H \in S D

(S D A)

(S D A) \cap (P) = H E

H E ∥ D A

.
b)

E F ∥ A B ∥ C D ∥ G H

F G ∥ B C ∥ A D ∥ H E

\Rightarrow E F G H

là hình bình hành.

Vậy a) giao tuyến với các mặt bên là $E F$ , $F G$ , $G H$ , $H E$ ; b) $E F G H$ là hình bình hành.

2Cách 2. Thalès trong các mặt bên

Định hướng. Đặt $k = \frac{S E}{S A}$ ; các điểm $F$ , $G$ , $H$ chia $S B$ , $S C$ , $S D$ cùng tỉ số $k$ .

E F ∥ A B

\frac{S F}{S B} = \frac{S E}{S A} = k

E F = k \cdot A B

.
Tương tự

\frac{S G}{S C} = \frac{S H}{S D} = k

G H = k \cdot C D

A B = C D

\Rightarrow E F = G H

;

E F ∥ A B ∥ C D ∥ G H

E F G H

có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Vậy $E F G H$ là hình bình hành (đồng dạng với đáy theo tỉ số $k$ ).

3Cách 3. Dùng giao tuyến của hai mặt bên đối diện

Định hướng. Hai mặt $(S A B)$ , $(S C D)$ chứa hai đường song song $A B$ , $C D$ nên cắt nhau theo $S x ∥ A B$ .

(S A B) \cap (S C D) = S x

S x ∥ A B ∥ C D

(P)

cắt

(S A B)

(S C D)

theo

E F

H G

;

E F ∥ A B

H G ∥ C D

\Rightarrow E F ∥ H G

.
Tương tự

(S A D) \cap (S B C) = S y ∥ A D

\Rightarrow E H ∥ F G

E F G H

có hai cặp cạnh đối song song.

Vậy $E F G H$ là hình bình hành.

Nhận xét. Thiết diện song song với đáy của hình chóp luôn là đa giác đồng dạng với đáy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: làm liền câu a) rồi câu b) chỉ cần đọc lại các quan hệ song song vừa có.

Đáp số. a)

(P)

cắt

(S A B)

(S B C)

(S C D)

(S D A)

lần lượt theo

E F ∥ A B

F G ∥ B C

G H ∥ C D

H E ∥ D A

(

F

G

H

thuộc

S B

S C

S D

). b)

E F G H

là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Kết luận

E F G H

là hình bình hành chỉ từ

E F ∥ G H

— thiếu: cần thêm

E F = G H

hoặc

F G ∥ E H

🚀 Mở rộng. Nếu

E

là trung điểm

S A

thì diện tích

E F G H

bằng bao nhiêu lần diện tích

A B C D

? (

\frac{1}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.32★★Trang 67— Chứng minh tính chất đáy của hình lăng trụ

Bài 4.32 (trang 67). Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy

A B C D

là hình thang. Chứng minh rằng đáy

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thang.

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Giả sử

A B ∥ C D

; cần

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

. Mặt bên là hình bình hành nên

A^{'} B^{'} ∥ A B

C^{'} D^{'} ∥ C D

— bắc cầu là xong. Bẫy: quên rằng hình thang cần đúng một cặp cạnh song song, không được thành hình bình hành.

1Cách 1. Qua mặt bên hình bình hành

Định hướng. Mỗi mặt bên cho một cặp cạnh đáy song song và bằng nhau.

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ A B

A^{'} B^{'} = A B

C D D^{'} C^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow C^{'} D^{'} ∥ C D

C^{'} D^{'} = C D

A B ∥ C D

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

A B \neq = C D

(hình thang không phải hình bình hành)

\Rightarrow A^{'} B^{'} \neq = C^{'} D^{'}

Vậy $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình thang với hai đáy $A^{'} B^{'}$ , $C^{'} D^{'}$ .

2Cách 2. Mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song

Định hướng. Hai mặt bên $(A B B^{'} A^{'})$ , $(C D D^{'} C^{'})$ cắt hai đáy song song.

(A B B^{'} A^{'}) \cap (A B C D) = A B

(A B B^{'} A^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = A^{'} B^{'}

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ A B

(C D D^{'} C^{'}) \cap (A B C D) = C D

(C D D^{'} C^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = C^{'} D^{'}

\Rightarrow C^{'} D^{'} ∥ C D

A B ∥ C D

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

Vậy $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình thang.

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. $A^{'} B^{'}$ , $C^{'} D^{'}$ cùng nằm trong $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ ; nếu chúng cắt nhau thì sao?

Giả sử

A^{'} B^{'} \cap C^{'} D^{'} = I

A^{'} B^{'} ∥ A B

C^{'} D^{'} ∥ C D

A B ∥ C D

\Rightarrow

qua

I

có hai đường thẳng

A^{'} B^{'}

C^{'} D^{'}

cùng song song với

A B

.
Tiên đề Euclid

\Rightarrow A^{'} B^{'} \equiv C^{'} D^{'}

— vô lí vì

A^{'}

B^{'}

C^{'}

D^{'}

là bốn đỉnh của một tứ giác.

Vậy $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ , tức $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình thang.

Nhận xét. Tổng quát: hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: dùng tính chất mặt bên là hình bình hành, vừa có song song vừa có bằng nhau.

Đáp số.

A^{'} B^{'} ∥ A B

C^{'} D^{'} ∥ C D

và

A B ∥ C D

nên

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

;

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thang (hai đáy

A^{'} B^{'}

C^{'} D^{'}

Sai lầm thường gặp. Chỉ nói "hai đáy của lăng trụ giống nhau nên cũng là hình thang" — đó là kết luận, chưa có lập luận.

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm: nếu

A B C D

là hình thang cân thì

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cũng là hình thang cân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.33★★★Trang 68— Chứng minh sáu điểm là đỉnh của hình lăng trụ

Bài 4.33 (trang 68). Cho hai hình bình hành

A B C D

và

A B E F

không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng sáu điểm

A

B

C

D

E

F

là sáu đỉnh của một hình lăng trụ tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Hai hình bình hành chung cạnh

A B

; các đoạn

A B

D C

F E

song song và bằng nhau — ứng viên cho ba cạnh bên. Khi đó hai đáy là tam giác

A D F

và

B C E

; cần chứng minh

(A D F) ∥ (B C E)

. Bẫy: chọn nhầm đáy là

A B C D

(tứ giác) rồi tìm lăng trụ tứ giác.

1Cách 1. Lăng trụ

A D F . B C E

Định hướng. Cạnh bên $A B$ , $D C$ , $F E$ ; đáy $A D F$ , $B C E$ .

A B C D

là hình bình hành

\Rightarrow D C ∥ A B

D C = A B

A D ∥ B C

A B E F

là hình bình hành

\Rightarrow F E ∥ A B

F E = A B

A F ∥ B E

A D ∥ B C

A F ∥ B E

(

A D

cắt

A F

)

\Rightarrow (A D F) ∥ (B C E)

A B

D C

F E

đôi một song song, nối các đỉnh tương ứng của hai đáy.

Vậy $A D F . B C E$ là hình lăng trụ tam giác có sáu đỉnh $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ .

2Cách 2. Chứng minh ba mặt bên là hình bình hành

Định hướng. Mặt $D C E F$ là mặt còn lại cần kiểm tra.

D C ∥ A B ∥ F E

D C = A B = F E

\Rightarrow D C E F

là hình bình hành.
Ba mặt

A B C D

A B E F

D C E F

là hình bình hành

\Rightarrow A B

D C

F E

song song và bằng nhau.
Hai tam giác

A D F

B C E

có

A D ∥ B C

D F ∥ C E

F A ∥ E B

và nằm trên hai mặt phẳng song song.

Vậy sáu điểm là đỉnh của hình lăng trụ $A D F . B C E$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa: dựng từ đáy

A D F

Định hướng. Qua $A$ , $D$ , $F$ kẻ các đường song song với $A B$ , cắt mặt phẳng qua $B$ song song với $(A D F)$ .

Mặt phẳng

(B C E)

qua

B

và song song với

(A D F)

(như Cách 1).
Đường qua

D

song song với

A B

là

D C

(vì

D C ∥ A B

), cắt

(B C E)

tại

C

.
Đường qua

F

song song với

A B

là

F E

, cắt

(B C E)

tại

E

.
Đường qua

A

song song với

A B

là

A B

, cắt

(B C E)

tại

B

Vậy $A D F . B C E$ là hình lăng trụ tam giác.

Nhận xét. Hai hình bình hành chung một cạnh, không đồng phẳng, luôn là hai mặt bên của một hình lăng trụ tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ cần hai cặp cạnh song song cho hai đáy và ba cạnh bên song song.

Đáp số. Hình lăng trụ tam giác

A D F . B C E

(các cạnh bên

A B

D C

F E

Sai lầm thường gặp. Gọi hình là

A B C . D E F

— sai thứ tự đỉnh:

A

phải tương ứng với

B

D

với

C

F

với

E

🚀 Mở rộng. Nếu thêm điều kiện

A B C D

A B E F

là hình chữ nhật có

(A B C D)

vuông góc với

(A B E F)

thì lăng trụ đó có đặc điểm gì? (Là lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông tại

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.34★★Trang 68— Thiết diện của hình hộp là hình bình hành

Bài 4.34 (trang 68). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Một mặt phẳng

(P)

cắt các cạnh

A D

B C

B^{'} C^{'}

A^{'} D^{'}

lần lượt tại

E

F

G

H

. Chứng minh rằng tứ giác

E F G H

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn cạnh của

E F G H

nằm trên bốn mặt của hình hộp, chia thành hai cặp mặt đối diện song song:

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

chứa

E F

H G

;

(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})

chứa

E H

F G

. Mỗi cặp cho hai giao tuyến song song. Bẫy: không cần

(P)

song song với mặt nào.

1Cách 1. Hai cặp mặt đối diện song song

Định hướng. $(P)$ cắt mỗi cặp mặt đối diện theo hai giao tuyến song song.

(P) \cap (A B C D) = E F

(P) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = H G

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

\Rightarrow E F ∥ H G

(P) \cap (A D D^{'} A^{'}) = E H

(P) \cap (B C C^{'} B^{'}) = F G

(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow E H ∥ F G

Vậy $E F G H$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

2Cách 2. Loại trừ vị trí tương đối

Định hướng. $E F$ và $H G$ đồng phẳng (cùng nằm trong $(P)$ ), nằm trên hai mặt đáy không có điểm chung.

E F, H G \subset (P)

\Rightarrow

E F

H G

không chéo nhau.

E F \subset (A B C D)

H G \subset (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

(A B C D) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = \emptyset

\Rightarrow E F \cap H G = \emptyset

\Rightarrow E F ∥ H G

.
Tương tự với

(A D D^{'} A^{'})

(B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow E H ∥ F G

Vậy $E F G H$ là hình bình hành.

3Cách 3. Qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. $E F$ nằm trong đáy dưới nên song song với đáy trên; $(P)$ chứa $E F$ cắt đáy trên theo $H G$ .

E F \subset (A B C D)

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

\Rightarrow E F ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

(P) \supset E F

(P) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = H G

\Rightarrow H G ∥ E F

E H \subset (A D D^{'} A^{'})

(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow E H ∥ (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow F G ∥ E H

Vậy $E F G H$ là hình bình hành.

Nhận xét. Mọi thiết diện của hình hộp cắt đúng hai cặp mặt đối diện đều là hình bình hành.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai dòng, dùng đúng tính chất hai mặt đối diện của hình hộp song song.

Đáp số.

E F ∥ H G

(giao tuyến của

(P)

với hai đáy song song) và

E H ∥ F G

(giao tuyến với hai mặt bên song song) nên

E F G H

là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

E F ∥ A B

rồi

H G ∥ A^{'} B^{'}

— sai:

(P)

bất kì,

E F

không nhất thiết song song với

A B

🚀 Mở rộng. Nếu

(P)

cắt thêm mặt

(A B B^{'} A^{'})

thì thiết diện là ngũ giác hoặc lục giác; khi đó các cạnh nằm trên hai mặt đối diện vẫn song song từng đôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.35★★★Trang 68— Giao tuyến của hai mặt chéo trong hình hộp

Bài 4.35 (trang 68). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

.
a) Xác định giao tuyến

d

của hai mặt phẳng

(A D C^{'} B^{'})

và

(A^{'} D^{'} C B)

.
b) Chứng minh rằng

d ∥ A D

.
c) Chứng minh rằng

d

đi qua trung điểm của các đường chéo của hình hộp.

Kiến thức cần nhớ

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hệ quả (Bài 11): hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường).
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.
Đường trung bình của hình bình hành (nối trung điểm hai cạnh đối) song song với hai cạnh còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mặt phẳng cùng cắt mặt

(A B B^{'} A^{'})

theo hai đường chéo

A B^{'}

A^{'} B

và cắt

(D C C^{'} D^{'})

theo

D C^{'}

D^{'} C

: giao điểm của mỗi cặp đường chéo là điểm chung. Câu c): tâm

O

của hình hộp là giao điểm các đường chéo của

A D C^{'} B^{'}

và của

A^{'} D^{'} C B

(đều là hình bình hành). Bẫy:

(A D C^{'} B^{'})

là mặt phẳng chéo, không phải mặt của hình hộp.

1Cách 1. Tìm hai điểm chung

Định hướng. Gọi $I = A B^{'} \cap A^{'} B$ (tâm mặt $A B B^{'} A^{'}$ ), $J = D C^{'} \cap D^{'} C$ (tâm mặt $D C C^{'} D^{'}$ ).

I \in A B^{'} \subset (A D C^{'} B^{'})

I \in A^{'} B \subset (A^{'} D^{'} C B)

; tương tự

J

\Rightarrow d = I J

.
b)

A D ∥ B^{'} C^{'}

A D = B^{'} C^{'}

\Rightarrow A D C^{'} B^{'}

là hình bình hành.

I

J

là trung điểm

A B^{'}

D C^{'}

\Rightarrow I J ∥ A D

.
c)

O

là trung điểm của

A C^{'}

và

D B^{'}

(hai đường chéo của hình bình hành

A D C^{'} B^{'}

), cũng là trung điểm của

A^{'} C

D^{'} B

O \in (A D C^{'} B^{'})

O \in (A^{'} D^{'} C B)

\Rightarrow O \in d

Vậy $d = I J$ , $d ∥ A D$ và $d$ đi qua tâm $O$ — trung điểm chung của bốn đường chéo $A C^{'}$ , $B D^{'}$ , $C A^{'}$ , $D B^{'}$ .

2Cách 2. Dùng hệ quả hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Định hướng. $(A D C^{'} B^{'}) \supset A D$ , $(A^{'} D^{'} C B) \supset B C$ và $A D ∥ B C$ .

I

J

là hai điểm chung như Cách 1

\Rightarrow d = I J

.
b)

A D ∥ B C

A D \subset (A D C^{'} B^{'})

B C \subset (A^{'} D^{'} C B)

\Rightarrow d ∥ A D

(hoặc trùng;

d

không trùng

A D

vì

A \in / (A^{'} D^{'} C B)

).
c) Hình bình hành

A^{'} D^{'} C B

có tâm

O

là trung điểm

A^{'} C

D^{'} B

; hình bình hành

A D C^{'} B^{'}

có tâm là trung điểm

A C^{'}

D B^{'}

— chính là

O

(tâm hình hộp)

\Rightarrow O \in d

Vậy $d = I J ∥ A D$ và $d$ đi qua trung điểm các đường chéo.

3Cách 3. Chứng minh

O

là trung điểm

I J

Định hướng. Tính trực tiếp: $O$ vừa thuộc cả hai mặt phẳng vừa nằm giữa $I$ , $J$ .

Tam giác

A B^{'} C^{'}

I

trung điểm

A B^{'}

O

trung điểm

A C^{'}

\Rightarrow I O ∥ B^{'} C^{'}

I O = \frac{B ^{'} C ^{'}}{2}

.
Tam giác

C^{'} D A

J

trung điểm

C^{'} D

O

trung điểm

C^{'} A

\Rightarrow J O ∥ D A

J O = \frac{D A}{2}

B^{'} C^{'} ∥ D A

\Rightarrow I

O

J

thẳng hàng,

O

là trung điểm

I J

\Rightarrow d = I J

đi qua

O

và

d ∥ A D

Vậy a) $d = I J$ ; b) $d ∥ A D$ ; c) $d$ đi qua tâm $O$ của hình hộp.

Nhận xét. Mọi mặt phẳng chéo của hình hộp đều đi qua tâm $O$ ; giao tuyến của hai mặt chéo luôn đi qua $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất cho câu b): một dòng hệ quả, không cần đường trung bình; Cách 1 là cách trọn vẹn nhất cho cả bài.

Đáp số. a)

d = I J

với

I = A B^{'} \cap A^{'} B

J = D C^{'} \cap D^{'} C

. b)

d ∥ A D

. c)

d

đi qua tâm

O

, là trung điểm chung của các đường chéo

A C^{'}

B D^{'}

C A^{'}

D B^{'}

Sai lầm thường gặp. Chọn điểm chung là giao điểm của

A B^{'}

với

B C

— hai đường này chéo nhau, không có giao điểm.

🚀 Mở rộng. Xác định giao tuyến của

(A B C^{'} D^{'})

và

(A^{'} B^{'} C D)

; chứng minh nó song song với

A B

và cũng đi qua

O

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.36★★★Trang 68— Chứng minh hai mặt phẳng song song trong hình hộp

Bài 4.36 (trang 68). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Chứng minh rằng:
a)

A B^{'} ∥ C^{'} D

;
b) Hai mặt phẳng

(A B^{'} D^{'})

và

(C^{'} B D)

song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a):

A B^{'}

và

D C^{'}

là hai cạnh đối của tứ giác

A D C^{'} B^{'}

— hình bình hành vì

A D

B^{'} C^{'}

song song và bằng nhau. Câu b):

(A B^{'} D^{'})

có hai đường cắt nhau

A B^{'}

B^{'} D^{'}

lần lượt song song với

C^{'} D

B D

của

(C^{'} B D)

. Bẫy: nói

A B^{'} ∥ C^{'} D

"vì hai mặt

(A B B^{'} A^{'})

(D C C^{'} D^{'})

song song" — chưa đủ, hai đường nằm trên hai mặt song song có thể chéo nhau.

1Cách 1. Hình bình hành và hệ quả

Định hướng. a) qua hình bình hành $A D C^{'} B^{'}$ ; b) qua hình bình hành $B D D^{'} B^{'}$ .

A D ∥ B C ∥ B^{'} C^{'}

A D = B C = B^{'} C^{'}

\Rightarrow A D C^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A B^{'} ∥ D C^{'}

.
b)

B B^{'} ∥ D D^{'}

B B^{'} = D D^{'}

\Rightarrow B D D^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow B^{'} D^{'} ∥ B D

A B^{'} ∥ D C^{'}

B^{'} D^{'} ∥ B D

;

A B^{'} \cap B^{'} D^{'} = B^{'}

D C^{'} \cap B D = D

\Rightarrow (A B^{'} D^{'}) ∥ (C^{'} B D)

Vậy $A B^{'} ∥ C^{'} D$ và $(A B^{'} D^{'}) ∥ (C^{'} B D)$ .

2Cách 2. Dùng điều kiện qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chứng minh $A B^{'}$ và $B^{'} D^{'}$ cùng song song với $(C^{'} B D)$ .

a) như Cách 1:

A B^{'} ∥ D C^{'}

A B^{'} ∥ D C^{'} \subset (C^{'} B D)

A B^{'} \neq \subset (C^{'} B D)

\Rightarrow A B^{'} ∥ (C^{'} B D)

B^{'} D^{'} ∥ B D \subset (C^{'} B D)

\Rightarrow B^{'} D^{'} ∥ (C^{'} B D)

A B^{'}

B^{'} D^{'}

cắt nhau tại

B^{'}

, cùng nằm trong

(A B^{'} D^{'})

Vậy $(A B^{'} D^{'}) ∥ (C^{'} B D)$ .

3Cách 3. Giao tuyến với hai mặt đối diện song song

Định hướng. a) Mặt phẳng $(A D C^{'} B^{'})$ cắt hai mặt đối diện song song $(A B B^{'} A^{'})$ và $(D C C^{'} D^{'})$ .

(A D C^{'} B^{'}) \cap (A B B^{'} A^{'}) = A B^{'}

(A D C^{'} B^{'}) \cap (D C C^{'} D^{'}) = D C^{'}

(A B B^{'} A^{'}) ∥ (D C C^{'} D^{'})

\Rightarrow A B^{'} ∥ D C^{'}

.
b)

(B D D^{'} B^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = B^{'} D^{'}

(B D D^{'} B^{'}) \cap (A B C D) = B D

\Rightarrow B^{'} D^{'} ∥ B D

.
Hai cặp đường cắt nhau tương ứng song song

\Rightarrow (A B^{'} D^{'}) ∥ (C^{'} B D)

Vậy a) và b) được chứng minh.

Nhận xét. Đường chéo $A^{'} C$ cắt hai mặt phẳng này tại các trọng tâm của hai tam giác và bị chia thành ba đoạn bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai hình bình hành cho ngay hai cặp song song, câu b) chỉ còn một dòng.

Đáp số. a)

A D C^{'} B^{'}

là hình bình hành nên

A B^{'} ∥ C^{'} D

. b)

A B^{'} ∥ C^{'} D

và

B^{'} D^{'} ∥ B D

nên

(A B^{'} D^{'}) ∥ (C^{'} B D)

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

A B^{'} ∥ (C^{'} B D)

rồi kết luận

(A B^{'} D^{'}) ∥ (C^{'} B D)

— thiếu: cần thêm một đường thẳng thứ hai của

(A B^{'} D^{'})

cắt

A B^{'}

(như

B^{'} D^{'}

) cũng song song với

(C^{'} B D)

🚀 Mở rộng. Chứng minh đường chéo

A^{'} C

đi qua trọng tâm

G

của tam giác

A B^{'} D^{'}

và

A^{'} G = \frac{1}{3} A^{'} C

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.37★★Trang 68— Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lí Thalès trong không gian

Bài 4.37 (trang 68). Cho ba mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

đôi một song song. Hai đường thẳng

d

d^{'}

cắt ba mặt phẳng lần lượt tại

A

B

C

và

A^{'}

B^{'}

C^{'}

. Biết rằng

A B = 2

cm,

B C = 6

cm và

A^{'} B^{'} = 3

cm, tính

B^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Ba mặt phẳng song song cắt hai cát tuyến: áp dụng thẳng định lí Thalès trong không gian. Chọn tỉ lệ thức chứa đúng ba số đã biết và ẩn

B^{'} C^{'}

. Bẫy: ghép nhầm cặp tương ứng.

1Cách 1. Tỉ số hai đoạn trên cùng cát tuyến

Định hướng. $\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}$ .

\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{2}{6} = \frac{3}{B ^{'} C ^{'}}

B^{'} C^{'} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9

(cm).

Vậy $B^{'} C^{'} = 9$ cm.

2Cách 2. Qua cả đoạn

A C

Định hướng. $\frac{A B}{A C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}$ .

A C = 2 + 6 = 8

(cm).

\frac{2}{8} = \frac{3}{A ^{'} C ^{'}} \Rightarrow A^{'} C^{'} = 12

(cm).

B^{'} C^{'} = 12 - 3 = 9

(cm).

Vậy $B^{'} C^{'} = 9$ cm.

3Cách 3. Hệ số tỉ lệ

Định hướng. Mọi đoạn trên $d^{'}$ bằng đoạn tương ứng trên $d$ nhân với cùng hệ số $k$ .

k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{3}{2}

B^{'} C^{'} = k \cdot B C = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9

(cm).

Vậy $B^{'} C^{'} = 9$ cm.

Nhận xét. Kiểm tra: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất khi đi thi: một hệ số, một phép nhân.

Đáp số.

B^{'} C^{'} = 9

cm.

Sai lầm thường gặp. Lập

\frac{A B}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B C}

B^{'} C^{'} = 4

cm — ghép sai cặp tương ứng.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm mặt phẳng

(S)

song song với ba mặt trên, cắt

d

tại

D

với

C D = 3

cm thì

C^{'} D^{'}

bằng bao nhiêu? (

4, 5

cm.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.38★★★Trang 68— Mặt phẳng qua tâm song song với đáy của hình hộp

Bài 4.38 (trang 68). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

O

là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Mặt phẳng qua

O

và song song với mặt phẳng

(A B C D)

cắt các cạnh

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

D D^{'}

lần lượt tại

M

N

P

Q

.
a) Chứng minh rằng

M

N

P

Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

D D^{'}

.
b) Chứng minh rằng

A B C D . M N P Q

là hình hộp.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

🧠 Phân tích tư duy

Ba mặt phẳng song song

(A B C D)

(M N P Q)

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

cắt đường chéo

A C^{'}

tại

A

O

C^{'}

với

O

là trung điểm — Thalès trong không gian chuyển tỉ số

1 : 1

sang cạnh bên. Câu b) là Ví dụ 5 cho lăng trụ đáy hình bình hành. Bẫy:

O

nằm trên

A C^{'}

chứ không nằm trên

A A^{'}

, cần chọn đúng hai cát tuyến.

1Cách 1. Định lí Thalès với cát tuyến

A A^{'}

và

A C^{'}

Định hướng. Ba mặt $(A B C D)$ , $(M N P Q)$ , $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ đôi một song song.

a) Cát tuyến

A C^{'}

và

A A^{'}

\frac{A M}{M A ^{'}} = \frac{A O}{O C ^{'}} = 1

\Rightarrow M

là trung điểm

A A^{'}

.
Cát tuyến

B D^{'}

và

B B^{'}

\frac{B N}{N B ^{'}} = \frac{B O}{O D ^{'}} = 1

\Rightarrow N

là trung điểm

B B^{'}

.
Tương tự với

C A^{'}

C C^{'}

và

D B^{'}

D D^{'}

\Rightarrow P

Q

là trung điểm

C C^{'}

D D^{'}

.
b)

A M

B N

C P

D Q

nằm trên các cạnh bên nên đôi một song song;

(A B C D) ∥ (M N P Q)

; đáy

A B C D

là hình bình hành.

Vậy $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là trung điểm các cạnh bên và $A B C D . M N P Q$ là hình hộp.

2Cách 2. Đường trung bình trong mặt chéo

A C C^{'} A^{'}

Định hướng. $O$ là tâm của hình bình hành $A C C^{'} A^{'}$ ; mặt phẳng qua $O$ song song với đáy cắt $(A C C^{'} A^{'})$ theo đường song song với $A C$ .

(A C C^{'} A^{'}) \cap (A B C D) = A C

(A C C^{'} A^{'}) \cap (M N P Q) = M P

\Rightarrow M P ∥ A C

O \in M P

.
Trong hình bình hành

A C C^{'} A^{'}

: đường thẳng qua tâm

O

song song với

A C

cắt

A A^{'}

C C^{'}

tại trung điểm.

\Rightarrow M

P

là trung điểm

A A^{'}

C C^{'}

; tương tự trong

B D D^{'} B^{'}

N

Q

là trung điểm

B B^{'}

D D^{'}

.
b) như Cách 1.

Vậy a), b) được chứng minh.

3Cách 3. Dùng tính duy nhất

Định hướng. Lấy trung điểm $M_{1}$ , $N_{1}$ , $P_{1}$ , $Q_{1}$ của bốn cạnh bên; chứng minh mặt phẳng qua chúng đi qua $O$ và song song với đáy.

A M_{1} N_{1} B

là hình bình hành

\Rightarrow M_{1} N_{1} ∥ A B

; tương tự

N_{1} P_{1} ∥ B C

\Rightarrow (M_{1} N_{1} P_{1}) ∥ (A B C D)

M_{1}

P_{1}

là trung điểm hai cạnh đối

A A^{'}

C C^{'}

của hình bình hành

A C C^{'} A^{'}

\Rightarrow M_{1} P_{1}

đi qua tâm của nó, tức trung điểm

O

của

A C^{'}

.
Qua

O

chỉ có một mặt phẳng song song với

(A B C D)

\Rightarrow (M N P Q) \equiv (M_{1} N_{1} P_{1} Q_{1})

\Rightarrow M \equiv M_{1}

, …
b)

A B C D . M N P Q

là hình lăng trụ có đáy hình bình hành.

Vậy $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là trung điểm và $A B C D . M N P Q$ là hình hộp.

Nhận xét. Mặt phẳng qua tâm, song song với một mặt, chia hình hộp thành hai hình hộp bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: một lần Thalès cho mỗi điểm, đúng kiến thức trọng tâm của bài.

Đáp số. a)

\frac{A M}{M A ^{'}} = \frac{A O}{O C ^{'}} = 1

nên

M

là trung điểm

A A^{'}

; tương tự cho

N

P

Q

. b)

A B C D . M N P Q

là hình lăng trụ có đáy

A B C D

là hình bình hành nên là hình hộp.

Sai lầm thường gặp. Áp dụng Thalès cho cát tuyến

A A^{'}

và

B B^{'}

rồi suy ra

\frac{A M}{M A ^{'}} = \frac{B N}{N B ^{'}}

— đúng nhưng không cho biết tỉ số bằng

1

; phải dùng cát tuyến đi qua

O

🚀 Mở rộng. Nếu mặt phẳng qua điểm

I

trên

A C^{'}

với

\frac{A I}{A C ^{'}} = \frac{1}{3}

và song song với đáy thì

\frac{A M}{A A ^{'}}

bằng bao nhiêu? (

\frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.39★★Trang 68— Vận dụng tính chất giao tuyến với hai mặt phẳng song song

Bài 4.39 (trang 68). Khi cắt một chiếc bánh ga-tô hình hộp, Thuý nhận thấy vết cắt ở mặt trên và mặt dưới của bánh gợi nên hình ảnh về hai đường thẳng song song với nhau. Hỏi nhận xét của Thuý có đúng không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt trên và mặt dưới của bánh hình hộp là hai mặt đối diện, song song với nhau; nhát dao (thẳng) là một mặt phẳng cắt cả hai. Hai vết cắt là hai giao tuyến của một mặt phẳng với hai mặt phẳng song song. Bẫy: nghĩ rằng phải cắt thẳng đứng mới được — cắt nghiêng vẫn cho hai vết song song.

1Cách 1. Mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song

Định hướng. Nhát cắt là mặt phẳng $(α)$ ; mặt trên và mặt dưới là $(P) ∥ (Q)$ .

(P) ∥ (Q)

(hai mặt đối diện của hình hộp).

(α) \cap (P) = M N

(α) \cap (Q) = P Q

\Rightarrow M N ∥ P Q

Vậy nhận xét của Thuý đúng.

2Cách 2. Loại trừ

Định hướng. Hai vết cắt cùng nằm trong mặt phẳng nhát cắt, nằm trên hai mặt bánh không có điểm chung.

M N, P Q \subset (α)

\Rightarrow

không chéo nhau.

M N \subset (P)

P Q \subset (Q)

(P) \cap (Q) = \emptyset

\Rightarrow M N \cap P Q = \emptyset

\Rightarrow M N ∥ P Q

Vậy hai vết cắt song song — Thuý nhận xét đúng.

3Cách 3. Qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Vết cắt trên mặt trên song song với mặt dưới.

M N \subset (P)

(P) ∥ (Q)

\Rightarrow M N ∥ (Q)

(α) \supset M N

(α) \cap (Q) = P Q

\Rightarrow P Q ∥ M N

Vậy nhận xét của Thuý đúng.

Nhận xét. Nhận xét đúng với nhát cắt phẳng bất kì (đứng hay nghiêng) cắt cả mặt trên và mặt dưới của bánh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đúng một tính chất vừa học, giải thích trong một dòng.

Đáp số. Đúng. Mặt trên và mặt dưới của bánh hình hộp song song; nhát cắt là một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song nên hai vết cắt (hai giao tuyến) song song với nhau.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng nhận xét chỉ đúng khi cắt thẳng đứng — sai: tính chất giao tuyến đúng với mọi mặt phẳng cắt cả hai mặt song song.

🚀 Mở rộng. Nếu nhát cắt chỉ cắt mặt trên và một mặt bên (không chạm mặt dưới) thì hai vết cắt có song song không? (Không, chúng cắt nhau trên cạnh chung.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.40★★★Trang 68— Vận dụng định lí Thalès trong không gian

Bài 4.40 (trang 68). Một chiếc bình nước hình trụ được đặt trên bàn, lượng nước trong bình bằng đúng một nửa dung tích của bình. Hoàng đặt một chiếc ống hút vào trong bình sao cho một đầu của ống hút chạm vào đáy bình còn một đầu chạm vào miệng bình. Hoàng nói rằng độ dài của phần ống hút bị ướt bằng

\frac{1}{3}

độ dài của toàn bộ ống hút. Hỏi Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).
Thể tích hình trụ: $V = S \cdot h$ (diện tích đáy nhân chiều cao), nên với cùng đáy, thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

Đáy bình, mặt nước, miệng bình là ba mặt phẳng song song; ống hút là một cát tuyến, một đường sinh của bình là cát tuyến thứ hai. Nước bằng nửa dung tích của hình trụ nên mực nước bằng nửa chiều cao. Bẫy: nhầm tỉ lệ thể tích với tỉ lệ độ dài theo kiểu hình nón — với hình trụ, thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao.

1Cách 1. Định lí Thalès với đường sinh của bình

Định hướng. Hai cát tuyến là ống hút $M N$ ( $N$ ở đáy, $M$ ở miệng) và đường sinh $A A^{'}$ ( $A$ ở đáy, $A^{'}$ ở miệng).

Nước bằng nửa dung tích

\Rightarrow S \cdot h_{1} = \frac{1}{2} S \cdot h \Rightarrow h_{1} = \frac{h}{2}

.
Mặt nước cắt

M N

tại

K

, cắt

A A^{'}

tại

A_{1}

với

A A_{1} = h_{1}

.
Đáy

∥

mặt nước

∥

miệng bình

\Rightarrow \frac{N K}{N M} = \frac{A A _{1}}{A A ^{'}} = \frac{h _{1}}{h} = \frac{1}{2}

Vậy phần ống hút bị ướt dài bằng $\frac{1}{2}$ ống hút; Hoàng nói sai.

2Cách 2. Thalès trong tam giác

Định hướng. Kẻ qua $N$ đường thẳng đứng cắt mặt nước tại $K^{'}$ , cắt mặt phẳng miệng bình tại $H$ .

N K^{'} = h_{1} = \frac{h}{2}

N H = h

.
Mặt phẳng

(N M H)

cắt mặt nước và mặt phẳng miệng bình theo

K K^{'} ∥ M H

.
Tam giác

N M H

\frac{N K}{N M} = \frac{N K ^{'}}{N H} = \frac{1}{2}

Vậy $N K = \frac{1}{2} N M \neq = \frac{1}{3} N M$ — Hoàng nói sai.

3Cách 3. Kiểm tra bằng số

Định hướng. Thử bình cao $20$ cm, ống hút đặt xiên dài $25$ cm.

Mực nước

= \frac{20}{2} = 10

(cm).
Theo Thalès:

N K = 25 \cdot \frac{10}{20} = 12, 5

(cm).
Nếu Hoàng đúng thì

N K = \frac{25}{3} \approx 8, 33

(cm), khi đó điểm

K

chỉ cao

8, 33 \cdot \frac{20}{25} \approx 6, 67

(cm) — thấp hơn mực nước

10

cm, vô lí.

Vậy Hoàng nói sai; phần ướt bằng $\frac{1}{2}$ ống hút.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc độ nghiêng của ống hút, chỉ phụ thuộc tỉ lệ mực nước trên chiều cao bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: một tỉ lệ thức Thalès, đồng thời giải thích vì sao mực nước bằng nửa chiều cao.

Đáp số. Hoàng nói sai. Đáy bình, mặt nước, miệng bình là ba mặt phẳng song song và mực nước bằng nửa chiều cao bình, nên theo định lí Thalès phần ống hút bị ướt dài bằng

\frac{1}{2}

ống hút.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng "nước một nửa thì ống ướt một nửa" mà không giải thích — cần chỉ ra mực nước bằng nửa chiều cao (do hình trụ) và dùng định lí Thalès.

🚀 Mở rộng. Nếu bình có dạng hình nón cụt thì "nửa dung tích" còn ứng với "nửa chiều cao" không? (Không, khi đó kết luận thay đổi.)

Mở bài này trong app ↗