Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 13. Hai mặt phẳng song song

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 27 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 88— Nhận biết hình ảnh hai mặt phẳng song song trong thực tế

HĐ1 (trang 88). Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.
(Hình 4.40: ảnh cầu thang có các bậc là những tấm phẳng nằm ngang, tầng trên nằm ngay phía trên tầng dưới.)

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu $(α) ∥ (β)$ .
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu cần tìm: hai mặt phẳng không bao giờ gặp nhau dù kéo dài bao xa. Cách nhận nhanh là tìm hai mặt luôn cách nhau một khoảng không đổi (như hai mặt đối diện của một khối hộp) — độ dày không đổi thì không thể gặp nhau. Bẫy: hai mặt "trông giống song song" nhưng thật ra nghiêng nhau (sàn các tầng của tháp nghiêng Pisa so với mặt đất).

1Cách 1. Tìm trong lớp học và ngôi nhà

Định hướng. Chọn các cặp mặt nằm ngang chồng lên nhau, không chạm vào nhau.

Mặt sàn và mặt trần của phòng học.
Mặt bàn và mặt sàn (khi bàn đặt cân).
Các tầng của một giá sách, một tủ nhiều ngăn.
Mặt sàn của các tầng trong một toà nhà.

Vậy các cặp mặt trên đều gợi hình ảnh hai mặt phẳng không có điểm chung.

2Cách 2. Tìm các cặp mặt đối diện của vật hình hộp

Định hướng. Vật có dạng hình hộp thì hai mặt đối diện luôn cách đều nhau, kéo dài cũng không gặp nhau.

Hai trang bìa của một quyển sách đang gập.
Hai mặt đối diện của một hộp phấn, viên gạch, bao diêm.
Hai bức tường đối diện của phòng học.
Hai mặt kính của một bể cá hình hộp.

Vậy hai mặt đối diện của các vật hình hộp gợi hình ảnh hai mặt phẳng song song.

3Cách 3. Tìm các lớp mỏng xếp chồng

Định hướng. Những vật được tạo thành từ nhiều lớp mỏng đều nhau cho rất nhiều mặt phẳng đôi một không có điểm chung.

Các tờ giấy trong một ram giấy.
Các mặt ruộng bậc thang (mặt các bậc gần như nằm ngang).
Các lát bánh mì cắt đều từ một ổ bánh.
Mặt nước và đáy của một bể nước đặt ngang.

Vậy mỗi hai lớp liền nhau gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Nhận xét. Sàn các tầng của tháp nghiêng Pisa không song song với mặt đất: kéo dài ra chúng sẽ cắt mặt đất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: "hai mặt đối diện của hình hộp" là mô hình chuẩn mà cả bài học sẽ dùng lại (hình lăng trụ, hình hộp).

Đáp số. Ví dụ: mặt sàn và mặt trần phòng học; hai mặt đối diện của hộp phấn; các tầng của giá sách; các tờ giấy trong ram giấy.

Sai lầm thường gặp. Đưa ví dụ "hai bức tường kề nhau" — sai: hai bức tường kề nhau có chung đường chân góc tường nên cắt nhau.

🚀 Mở rộng. Tìm ví dụ ba mặt phẳng đôi một song song trong phòng học (mặt sàn, mặt bàn, mặt trần) — đó là hình ảnh dùng cho định lí Thalès ở mục 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi 1 (trang 88)★Trang 88— Nhận biết hai mặt phẳng song song qua tình huống thực tế

Câu hỏi (trang 88). Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có tạo thành các mặt phẳng song song hay không?
(Hình ảnh mở đầu: các đầu bếp chuyên nghiệp dùng dao thái thức ăn như rau, củ, thịt, cá,… thành các miếng đều nhau và đẹp mắt.)

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu $(α) ∥ (β)$ .
Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi nhát cắt tạo ra một mặt cắt phẳng; câu hỏi là hai mặt cắt liên tiếp có điểm chung hay không. Miếng thái "đều nhau" nghĩa là độ dày không đổi ở mọi chỗ — đó chính là dấu hiệu hai mặt cắt không bao giờ gặp nhau. Bẫy là chỉ nhìn một nhát cắt riêng lẻ; phải so hai nhát liên tiếp với nhau.

1Cách 1. Từ độ dày đều của miếng thái

Định hướng. Miếng thái có độ dày như nhau ở mọi chỗ thì hai mặt cắt của nó không thể gặp nhau.

Miếng thái đều

\Rightarrow

khoảng cách giữa hai mặt cắt không đổi.
Khoảng cách không đổi

\Rightarrow

hai mặt cắt không có điểm chung.
Hai mặt phẳng không có điểm chung

\Rightarrow

hai mặt cắt song song.

Vậy các nhát cắt tạo thành các mặt phẳng song song với nhau.

2Cách 2. Phản chứng

Định hướng. Giả sử có hai nhát cắt liên tiếp tạo thành hai mặt phẳng cắt nhau, xem miếng thái có hình dạng thế nào.

Hai mặt cắt giao nhau theo giao tuyến

Δ

.
Càng gần

Δ

, miếng thái càng mỏng; càng xa

Δ

, miếng thái càng dày.
Miếng thái có dạng hình nêm

\Rightarrow

không đều, trái với yêu cầu.

Vậy để các miếng đều nhau thì các mặt cắt phải song song.

3Cách 3. Dùng dấu hiệu hai đường thẳng cắt nhau

Định hướng. Người đầu bếp giữ lưỡi dao cùng một hướng và ấn dao theo cùng một phương sau mỗi nhát.

Nhát cắt thứ nhất chứa mép dao

a

và phương ấn dao

b

(

a

cắt

b

).
Nhát cắt thứ hai chứa mép dao

a^{'} ∥ a

và phương ấn dao

b^{'} ∥ b

(

a^{'}

cắt

b^{'}

).
Hai cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song

\Rightarrow

hai mặt cắt song song.

Vậy các nhát cắt tạo thành các mặt phẳng song song.

Nhận xét. Nguyên tắc của đầu bếp: giữ dao cùng hướng và các nhát cách đều nhau — mặt cắt song song, khoảng cách bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất khi trả lời nhanh: "miếng đều" tương đương "hai mặt cắt không có điểm chung"; Cách 3 cho thấy cách người đầu bếp làm được điều đó.

Đáp số. Có. Để các miếng đều nhau, các nhát cắt phải tạo thành các mặt phẳng đôi một song song (và cách đều nhau).

Sai lầm thường gặp. Cho rằng "chỉ cần mỗi nhát cắt thẳng là đủ" — sai: hai nhát cắt thẳng nhưng nghiêng nhau vẫn cho miếng hình nêm, dày mỏng không đều.

🚀 Mở rộng. Muốn thái củ cà rốt thành các khối lập phương nhỏ bằng nhau thì cần mấy họ nhát cắt song song, các họ đó có quan hệ thế nào với nhau?

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★Trang 89— Chứng minh điều kiện để hai mặt phẳng song song

HĐ2 (trang 89). Cho mặt phẳng

(α)

chứa hai đường thẳng cắt nhau

a

b

và

a

b

cùng song song với mặt phẳng

(β)

(H.4.41).
Nếu

(α)

và

(β)

cắt nhau theo giao tuyến

c

thì hai đường thẳng

a

và

c

có song song với nhau hay không, hai đường thẳng

b

và

c

có song song với nhau hay không?
Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giả thiết "

(α)

cắt

(β)

theo

c

" là giả thiết phản chứng: ta sẽ đi tới mâu thuẫn. Chỗ then chốt là

a \subset (α)

a ∥ (β)

và

(α) \cap (β) = c

— đúng hình mẫu của tính chất đã học ở Bài 12. Bẫy: quên rằng

a

b

cắt nhau — đây là điều kiện tạo ra mâu thuẫn.

1Cách 1. Dùng tính chất của Bài 12

Định hướng. Mỗi đường $a$ , $b$ song song với $(β)$ và nằm trong $(α)$ cắt $(β)$ theo $c$ .

a ∥ (β)

a \subset (α)

(α) \cap (β) = c

\Rightarrow a ∥ c

b ∥ (β)

b \subset (α)

(α) \cap (β) = c

\Rightarrow b ∥ c

a ∥ c

b ∥ c

\Rightarrow a ∥ b

hoặc

a \equiv b

— mâu thuẫn với

a

cắt

b

Vậy $a ∥ c$ , $b ∥ c$ ; do đó $(α)$ không thể cắt $(β)$ , tức $(α) ∥ (β)$ .

2Cách 2. Hai đường thẳng đồng phẳng không có điểm chung

Định hướng. $a$ và $c$ cùng nằm trong $(α)$ ; chỉ cần chứng tỏ chúng không có điểm chung.

c \subset (β)

a \cap (β) = \emptyset

\Rightarrow a \cap c = \emptyset

a, c \subset (α)

a \cap c = \emptyset

\Rightarrow a ∥ c

.
Tương tự

b \cap c = \emptyset

b, c \subset (α)

\Rightarrow b ∥ c

Vậy $a ∥ c$ và $b ∥ c$ , dẫn tới $a ∥ b$ — vô lí, nên $(α) ∥ (β)$ .

3Cách 3. Tiên đề Euclid tại giao điểm của

a

và

b

Định hướng. Gọi $O = a \cap b$ ; nhìn trong mặt phẳng $(α)$ , qua $O$ sẽ có hai đường thẳng cùng song song với $c$ .

O \in a

a \cap (β) = \emptyset

\Rightarrow O \in / (β) \Rightarrow O \in / c

.
Trong

(α)

: qua

O

có

a ∥ c

và

b ∥ c

.
Tiên đề Euclid

\Rightarrow a \equiv b

— trái giả thiết

a

cắt

b

Vậy giả thiết $(α)$ cắt $(β)$ là sai; $(α) ∥ (β)$ .

Nhận xét. Kết luận rút ra chính là điều kiện để hai mặt phẳng song song: $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai dòng dùng thẳng tính chất Bài 12 rồi chỉ ra mâu thuẫn, rất gọn khi trình bày.

Đáp số.

a ∥ c

và

b ∥ c

. Khi đó

a ∥ b

, mâu thuẫn với

a

cắt

b

. Kết luận: nếu

(α)

chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với

(β)

thì

(α) ∥ (β)

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

a ∥ c

b ∥ c

rồi dừng — thiếu bước quan trọng nhất là chỉ ra mâu thuẫn với giả thiết

a

cắt

b

để kết luận

(α) ∥ (β)

🚀 Mở rộng. Nếu

a ∥ b

(không cắt nhau) thì lập luận trên hỏng ở đâu? (Không còn mâu thuẫn — xem Câu hỏi ngay sau HĐ2.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu hỏi 2 (trang 89)★★Trang 89— Tìm phản ví dụ cho điều kiện song song của hai mặt phẳng

Câu hỏi (trang 89). Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không?
(Khẳng định: Nếu mặt phẳng $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng $(β)$ thì $(α)$ và $(β)$ song song với nhau.)

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Điều kiện (Bài 12): nếu $a \neq \subset (P)$ và $a$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a ∥ (P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Muốn bác bỏ một khẳng định chỉ cần một phản ví dụ. Bỏ "cắt nhau" thì hai đường thẳng có thể song song với nhau — khi đó chúng cùng song song với giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau. Bẫy là cố chứng minh khẳng định vẫn đúng.

1Cách 1. Phản ví dụ trong hình hộp

Định hướng. Lấy $(α)$ là một mặt bên, $(β)$ là mặt đáy; trong mặt bên có nhiều đường song song với cạnh đáy.

Hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

;

(α) = (A B B^{'} A^{'})

(β) = (A B C D)

;

M

N

là trung điểm

A A^{'}

B B^{'}

A^{'} B^{'} ∥ A B \subset (A B C D)

\Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ (A B C D)

M N ∥ A B \subset (A B C D)

\Rightarrow M N ∥ (A B C D)

A^{'} B^{'}, M N \subset (A B B^{'} A^{'})

nhưng

(A B B^{'} A^{'}) \cap (A B C D) = A B

Vậy khẳng định không còn đúng: $(α)$ chứa hai đường thẳng song song với $(β)$ mà $(α)$ vẫn cắt $(β)$ .

2Cách 2. Dựng phản ví dụ tổng quát

Định hướng. Bắt đầu từ hai mặt phẳng cắt nhau rồi dựng hai đường thẳng song song với giao tuyến.

(α) \cap (β) = c

; trong

(α)

vẽ

a ∥ c

b ∥ c

(

a

b

c

phân biệt).

a \neq \subset (β)

a ∥ c \subset (β)

\Rightarrow a ∥ (β)

.
Tương tự

b ∥ (β)

a, b \subset (α)

a ∥ (β)

b ∥ (β)

nhưng

(α)

cắt

(β)

Vậy khẳng định sai khi $a$ , $b$ không cắt nhau.

3Cách 3. Phản ví dụ thực tế

Định hướng. Cánh cửa đang mở: mép trên và mép dưới của cánh cửa là hai đường song song với nhau.

Mép trên và mép dưới cánh cửa đều song song với mặt sàn.
Hai mép này nằm trong mặt phẳng cánh cửa và song song với nhau.
Mặt phẳng cánh cửa đứng thẳng, cắt mặt sàn theo một đường thẳng.

Vậy chứa hai đường thẳng song song với mặt sàn chưa đủ để mặt phẳng song song với mặt sàn.

Nhận xét. Điều kiện "cắt nhau" là cốt lõi: nó tạo ra mâu thuẫn trong chứng minh HĐ2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: chỉ ra cơ chế chung của mọi phản ví dụ (hai đường song song với giao tuyến).

Đáp số. Không còn đúng. Phản ví dụ:

(α)

cắt

(β)

theo

c

; trong

(α)

lấy hai đường thẳng

a ∥ b ∥ c

thì

a

b

cùng song song với

(β)

nhưng

(α)

không song song với

(β)

Sai lầm thường gặp. Chọn phản ví dụ với

a \equiv c

(đường thẳng nằm trong

(β)

) — sai: khi đó

a

nằm trong

(β)

chứ không song song với

(β)

🚀 Mở rộng. Nếu

(α)

chứa ba đường thẳng đôi một song song, cùng song song với

(β)

, thì kết luận có đúng không? (Vẫn không, cùng phản ví dụ.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 1★★Trang 89— Chứng minh hai mặt phẳng song song

Luyện tập 1 (trang 89). Trong không gian, cho bốn điểm

A

B

C

D

không đồng phẳng. Qua điểm

A

vẽ hai đường thẳng

m

n

lần lượt song song với hai đường thẳng

B C

B D

. Chứng minh rằng

mp (m, n)

song song với mặt phẳng

(B C D)

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện (Bài 12): nếu $a \neq \subset (P)$ và $a$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a ∥ (P)$ .
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt phẳng

mp (m, n)

được cho bằng hai đường thẳng cắt nhau tại

A

— đúng dạng của điều kiện song song. Chỉ cần chứng minh

m ∥ (B C D)

và

n ∥ (B C D)

, mỗi cái dùng dấu hiệu của Bài 12. Bẫy: quên kiểm tra

m \neq \subset (B C D)

— nhờ

A \in / (B C D)

vì bốn điểm không đồng phẳng.

1Cách 1. Dùng điều kiện song song

Định hướng. Chứng minh từng đường $m$ , $n$ song song với $(B C D)$ .

A \in / (B C D)

\Rightarrow m \neq \subset (B C D)

n \neq \subset (B C D)

m ∥ B C \subset (B C D)

\Rightarrow m ∥ (B C D)

n ∥ B D \subset (B C D)

\Rightarrow n ∥ (B C D)

m \cap n = A

m, n \subset mp (m, n)

\Rightarrow mp (m, n) ∥ (B C D)

Vậy $mp (m, n) ∥ (B C D)$ .

2Cách 2. Dùng hệ quả hai cặp đường thẳng cắt nhau

Định hướng. Cặp $(m, n)$ cắt nhau tại $A$ và cặp $(B C, B D)$ cắt nhau tại $B$ tương ứng song song.

m ∥ B C

n ∥ B D

m \cap n = A

B C \cap B D = B

mp (m, n) \neq = (B C D)

vì

A \in / (B C D)

\Rightarrow mp (m, n) ∥ (B C D)

Vậy $mp (m, n) ∥ (B C D)$ .

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử hai mặt phẳng cắt nhau theo $Δ$ ; giao tuyến ấy buộc phải song song với cả $m$ lẫn $n$ .

Giả sử

mp (m, n) \cap (B C D) = Δ

m ∥ B C

mp (m, n) \supset m

(B C D) \supset B C

\Rightarrow Δ ∥ m

(hoặc trùng).

n ∥ B D

: tương tự

\Rightarrow Δ ∥ n

(hoặc trùng).

A \in / (B C D) \Rightarrow A \in / Δ

\Rightarrow

m

n

không trùng

Δ

\Rightarrow m ∥ Δ

n ∥ Δ

\Rightarrow m ∥ n

— vô lí.

Vậy $mp (m, n) ∥ (B C D)$ .

Nhận xét. $mp (m, n)$ chính là mặt phẳng duy nhất qua $A$ song song với $(B C D)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất khi đi thi: hai dòng song song tương ứng là đủ; Cách 1 là cách trình bày chuẩn sách giáo khoa.

Đáp số.

m ∥ B C

n ∥ B D

nên

m ∥ (B C D)

n ∥ (B C D)

;

m

cắt

n

tại

A

nên

mp (m, n) ∥ (B C D)

Sai lầm thường gặp. Chỉ viết

m ∥ B C \Rightarrow m ∥ (B C D)

mà không nêu

m \neq \subset (B C D)

— thiếu điều kiện: nếu

A

nằm trong

(B C D)

thì

m

nằm trong

(B C D)

🚀 Mở rộng. Qua

A

vẽ thêm đường

p ∥ C D

. Chứng minh

p

nằm trong

mp (m, n)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng 1★★Trang 89— Vận dụng điều kiện hai mặt phẳng song song vào thực tế

Vận dụng 1 (trang 89). Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.
(Hình 4.43: hai khung chữ nhật cắt chéo nhau theo trục đứng ở giữa; cạnh dưới của mỗi khung nằm trên mặt đất, cạnh trên của hai khung cắt nhau và đỡ mặt bàn.)

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện (Bài 12): nếu $a \neq \subset (P)$ và $a$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a ∥ (P)$ .
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt bàn tựa lên hai cạnh trên của hai khung — hai đường thẳng cắt nhau (tại điểm trên trục). Mỗi khung là hình chữ nhật nên cạnh trên song song với cạnh dưới nằm trên mặt đất. Bẫy: nói "vì hai khung cao bằng nhau" mà không chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau trong mặt bàn.

1Cách 1. Dùng điều kiện song song

Định hướng. Hai cạnh trên của hai khung nằm trên mặt bàn, cắt nhau, và mỗi cạnh song song với mặt đất.

Khung 1: cạnh trên

a

, cạnh dưới

a^{'}

\subset

mặt đất; khung là hình chữ nhật

\Rightarrow a ∥ a^{'}

\Rightarrow a ∥

mặt đất.
Khung 2: cạnh trên

b

, cạnh dưới

b^{'}

\subset

mặt đất

\Rightarrow b ∥ b^{'}

\Rightarrow b ∥

mặt đất.

a

b

nằm trên mặt bàn và cắt nhau tại một điểm trên trục.

Vậy mặt bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt đất nên mặt bàn song song với mặt đất.

2Cách 2. Dùng hệ quả hai cặp đường thẳng cắt nhau

Định hướng. Cạnh trên và cạnh dưới của hai khung tạo thành hai cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song.

a ∥ a^{'}

b ∥ b^{'}

a \cap b

là một điểm trên trục (mặt bàn),

a^{'} \cap b^{'}

là một điểm trên trục (mặt đất).
Mặt bàn

\supset a, b

; mặt đất

\supset a^{'}, b^{'}

Vậy mặt bàn song song với mặt đất, dù hai khung được xoay một góc bất kì quanh trục.

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử mặt bàn cắt mặt đất theo một đường thẳng $Δ$ rồi đi tới mâu thuẫn.

a ∥

mặt đất,

a \subset

mặt bàn

\Rightarrow a ∥ Δ

b ∥

mặt đất,

b \subset

mặt bàn

\Rightarrow b ∥ Δ

a ∥ Δ

b ∥ Δ

\Rightarrow a ∥ b

— trái với

a

cắt

b

Vậy mặt bàn không thể cắt mặt đất, tức mặt bàn song song với mặt đất.

Nhận xét. Góc xoay giữa hai khung thay đổi nhưng hai cạnh trên vẫn cắt nhau, nên mặt bàn luôn song song với mặt đất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đúng khuôn "hai đường thẳng cắt nhau cùng song song", giải thích được cả chữ "luôn" trong đề.

Đáp số. Mỗi khung là hình chữ nhật nên cạnh trên song song với cạnh dưới nằm trên mặt đất, tức cạnh trên song song với mặt đất; hai cạnh trên cắt nhau và cùng nằm trên mặt bàn nên mặt bàn song song với mặt đất.

Sai lầm thường gặp. Chỉ nói "mặt bàn nằm ngang nên song song với mặt đất" — đó là nhắc lại kết luận, chưa giải thích.

🚀 Mở rộng. Nếu chân bàn chỉ có một khung chữ nhật thì mặt bàn có nhất thiết song song với mặt đất không? (Không — mặt bàn có thể nghiêng quanh cạnh trên của khung.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ3★★Trang 89— Tính duy nhất của mặt phẳng song song qua một điểm

HĐ3 (trang 89). Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?

Kiến thức cần nhớ

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Tiên đề Euclid trong mặt phẳng.
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tấm bìa đặt lên góc bàn nên mặt bìa và mặt bàn có ít nhất một điểm chung (góc bàn). Cả hai mặt cùng song song với mặt đất — câu hỏi thực chất là: qua một điểm có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt đất? Bẫy: nghĩ tấm bìa có thể "nằm chéo" mà vẫn song song với đất.

1Cách 1. Trực quan

Định hướng. Tấm bìa tựa lên góc bàn và nằm ngang thì áp sát mặt bàn.

Mặt bìa đi qua góc bàn

M

và nằm ngang.
Mặt bàn đi qua

M

và nằm ngang.
Nếu mặt bìa nghiêng khác mặt bàn thì một phía của bìa sẽ chúc xuống, không còn song song với mặt đất.

Vậy mặt bìa trùng với mặt bàn.

2Cách 2. Chứng minh bằng tiên đề Euclid

Định hướng. Lấy hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ trên mặt đất; so sánh giao tuyến của mặt bìa và mặt bàn với các mặt phẳng $(M, a)$ , $(M, b)$ .

(M, a)

cắt mặt bìa theo

a_{1} ∋ M

, cắt mặt bàn theo

a_{2} ∋ M

.
Mặt bìa

∥

mặt đất

\Rightarrow a_{1} ∥ a

; mặt bàn

∥

mặt đất

\Rightarrow a_{2} ∥ a

.
Trong

(M, a)

, qua

M

có

a_{1} ∥ a

a_{2} ∥ a

\Rightarrow a_{1} \equiv a_{2}

.
Tương tự

b_{1} \equiv b_{2}

(

b_{1}

cắt

a_{1}

tại

M

).
Mặt bìa và mặt bàn cùng chứa hai đường thẳng cắt nhau

a_{1}

b_{1}

Vậy mặt bìa trùng với mặt bàn.

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử mặt bìa khác mặt bàn; chúng có điểm chung $M$ nên cắt nhau theo đường thẳng $Δ ∋ M$ .

Lấy mặt phẳng

(R)

qua

M

, không chứa

Δ

, cắt mặt đất theo

c

(R) \cap

mặt bìa

= p ∋ M

p ∥ c

;

(R) \cap

mặt bàn

= q ∋ M

q ∥ c

.
Tiên đề Euclid trong

(R)

\Rightarrow p \equiv q

\Rightarrow p \subset

mặt bìa

\cap

mặt bàn, tức

p \equiv Δ

p \subset (R) \Rightarrow Δ \subset (R)

— trái với cách chọn

(R)

Vậy mặt bìa trùng với mặt bàn.

Nhận xét. Kết quả tổng quát: qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: chứng minh chặt chẽ và là cách chứng minh tính duy nhất trong sách.

Đáp số. Có. Mặt bìa và mặt bàn cùng đi qua góc bàn và cùng song song với mặt đất nên trùng nhau (qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho).

Sai lầm thường gặp. Trả lời "không trùng vì tấm bìa nhỏ hơn mặt bàn" — nhầm giữa tấm bìa (hình phẳng giới hạn) và mặt phẳng chứa nó.

🚀 Mở rộng. Qua điểm

M

nằm ngoài

(P)

có bao nhiêu đường thẳng song song với

(P)

? (Vô số, tất cả nằm trong mặt phẳng duy nhất qua

M

song song với

(P)

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Câu hỏi 3 (trang 89)★★Trang 89— Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba

Câu hỏi (trang 89). Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mặt phẳng phân biệt chỉ có thể cắt nhau hoặc song song; ta loại trường hợp cắt nhau. Nếu chúng có một điểm chung thì qua điểm đó có hai mặt phẳng song song với mặt thứ ba — trái với tính duy nhất vừa học. Bẫy: quên giả thiết "phân biệt" (hai mặt trùng nhau thì không gọi là song song).

1Cách 1. Dùng tính duy nhất

Định hướng. Giả sử $(P)$ , $(Q)$ cùng song song với $(R)$ và có điểm chung $M$ .

(P) ∥ (R)

(Q) ∥ (R)

M \in (P) \cap (Q)

\Rightarrow M \in / (R)

.
Qua

M

có hai mặt phẳng

(P)

(Q)

cùng song song với

(R)

.
Tính duy nhất

\Rightarrow (P) \equiv (Q)

— trái giả thiết phân biệt.

Vậy $(P)$ và $(Q)$ không có điểm chung, tức $(P) ∥ (Q)$ .

2Cách 2. Dùng giao tuyến với một mặt phẳng phụ

Định hướng. Giả sử $(P) \cap (Q) = Δ$ ; lấy mặt phẳng $(S)$ cắt $Δ$ tại $M$ và cắt $(R)$ theo $r$ .

(S) \cap (P) = p ∋ M

;

(P) ∥ (R)

\Rightarrow p ∥ r

(S) \cap (Q) = q ∋ M

;

(Q) ∥ (R)

\Rightarrow q ∥ r

.
Tiên đề Euclid trong

(S)

\Rightarrow p \equiv q

.
Làm như vậy với hai mặt phẳng

(S)

(S^{'})

khác nhau qua

M

\Rightarrow (P)

(Q)

chung hai đường thẳng cắt nhau tại

M

\Rightarrow (P) \equiv (Q)

— vô lí.

Vậy $(P) ∥ (Q)$ .

3Cách 3. Mô hình thực tế

Định hướng. Mặt sàn các tầng của một toà nhà đều song song với mặt đất.

Sàn tầng 2

∥

mặt đất, sàn tầng 3

∥

mặt đất.
Hai sàn này không bao giờ gặp nhau.
Trong hình hộp:

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

và mặt cắt giữa

(M N P Q) ∥ (A B C D)

thì

(M N P Q) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

Vậy hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Nhận xét. Tính chất này có tính "bắc cầu" giống như hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ ba dòng, dựa thẳng vào tính duy nhất vừa phát biểu trong khung kiến thức.

Đáp số. Có. Nếu chúng có điểm chung

M

thì qua

M

có hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba, trái với tính duy nhất; vậy hai mặt phẳng đó song song.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "song song" mà bỏ qua chữ "phân biệt": nếu hai mặt trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung, không song song.

🚀 Mở rộng. Mệnh đề tương tự cho đường thẳng: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì có song song với nhau không? (Không nhất thiết — có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 2★★★Trang 90— Chứng minh bốn điểm đồng phẳng nhờ mặt phẳng song song

Luyện tập 2 (trang 90). Cho hình chóp

S . A B C D

. Gọi

M

N

P

Q

lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

S A

S B

S C

S D

sao cho

\frac{M A}{M S} = \frac{N B}{N S} = \frac{P C}{P S} = \frac{Q D}{QS} = \frac{1}{2}

. Chứng minh rằng bốn điểm

M

N

P

Q

đồng phẳng.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tỉ số bằng nhau cho ngay các đoạn

M N ∥ A B

N P ∥ B C

, … theo định lí Thalès đảo trong các mặt bên. Làm như Ví dụ 2: chứng minh

(M N P)

và

(N P Q)

cùng song song với

(A B C D)

, chung điểm

N

nên trùng nhau. Bẫy:

A B C D

chỉ là tứ giác bất kì, không được dùng tính chất hình bình hành.

1Cách 1. Hai mặt phẳng cùng song song với đáy

Định hướng. Ví dụ 2 với tỉ số $\frac{S M}{S A} = \frac{2}{3}$ thay cho trung điểm.

\frac{M A}{M S} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{2}{3}

; tương tự

\frac{S N}{S B} = \frac{S P}{S C} = \frac{S Q}{S D} = \frac{2}{3}

\frac{S M}{S A} = \frac{S N}{S B} \Rightarrow M N ∥ A B \Rightarrow M N ∥ (A B C D)

\frac{S N}{S B} = \frac{S P}{S C} \Rightarrow N P ∥ B C \Rightarrow N P ∥ (A B C D)

M N \cap N P = N \Rightarrow (M N P) ∥ (A B C D)

.
Tương tự

N P ∥ B C

P Q ∥ C D

\Rightarrow (N P Q) ∥ (A B C D)

(M N P)

(N P Q)

cùng qua

N

, cùng song song với

(A B C D)

\Rightarrow (M N P) \equiv (N P Q)

Vậy $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ đồng phẳng.

2Cách 2. Giao điểm của

(M N P)

với

S D

chính là

Q

Định hướng. Đã có $(M N P) ∥ (A B C D)$ ; tìm giao điểm $Q^{'}$ của $(M N P)$ với $S D$ rồi chứng minh $Q^{'} \equiv Q$ .

(S A D) \cap (A B C D) = A D

(S A D) \cap (M N P) = M Q^{'}

(

Q^{'} \in S D

(M N P) ∥ (A B C D) \Rightarrow M Q^{'} ∥ A D

M Q^{'} ∥ A D

trong tam giác

S A D

\Rightarrow \frac{S Q ^{'}}{S D} = \frac{S M}{S A} = \frac{2}{3} = \frac{S Q}{S D}

\Rightarrow Q^{'} \equiv Q \Rightarrow Q \in (M N P)

Vậy bốn điểm $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ đồng phẳng.

3Cách 3. Định lí Thalès trong không gian

Định hướng. Dựng mặt phẳng $(γ)$ qua $S$ song song với $(A B C D)$ ; ba mặt $(γ)$ , $(M N P)$ , $(A B C D)$ đôi một song song.

(M N P) ∥ (A B C D)

(như Cách 1);

(M N P)

cắt

S D

tại

Q^{'}

.
Cát tuyến

S A

và

S D

\frac{S Q ^{'}}{Q ^{'} D} = \frac{S M}{M A} = 2

\frac{S Q}{Q D} = 2 \Rightarrow \frac{S Q ^{'}}{Q ^{'} D} = \frac{S Q}{Q D} \Rightarrow Q^{'} \equiv Q

Vậy $Q \in (M N P)$ , bốn điểm $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ đồng phẳng.

Nhận xét. Tổng quát: nếu $\frac{S M}{S A} = \frac{S N}{S B} = \frac{S P}{S C} = \frac{S Q}{S D} = k$ thì $M N P Q$ là một thiết diện song song với đáy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: chỉ cần một mặt phẳng song song với đáy rồi xác định giao điểm, không phải lập luận hai lần.

Đáp số.

(M N P) ∥ (A B C D)

và

(N P Q) ∥ (A B C D)

, hai mặt phẳng cùng qua

N

nên trùng nhau; do đó

M

N

P

Q

đồng phẳng.

Sai lầm thường gặp. Viết

\frac{S M}{S A} = \frac{1}{2}

— sai:

\frac{M A}{M S} = \frac{1}{2}

nghĩa là

M S = 2 M A

, nên

\frac{S M}{S A} = \frac{2}{3}

🚀 Mở rộng. Nếu các tỉ số

\frac{M A}{M S}

\frac{N B}{N S}

\frac{P C}{P S}

bằng

\frac{1}{2}

còn

\frac{Q D}{QS} = 1

thì

Q

có thuộc

(M N P)

không? (Không, vì

Q^{'} \neq = Q

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ4★★Trang 90— Tính chất giao tuyến của một mặt phẳng với hai mặt phẳng song song

HĐ4 (trang 90). Cho hai mặt phẳng song song

(P)

và

(Q)

. Giả sử mặt phẳng

(R)

cắt mặt phẳng

(P)

theo giao tuyến

a

(H.4.46).
a) Chứng minh rằng mặt phẳng

(R)

cắt mặt phẳng

(Q)

.
b) Gọi

b

là giao tuyến của hai mặt phẳng

(R)

và

(Q)

. Hai đường thẳng

a

và

b

có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) loại trừ:

(R)

không trùng và không song song với

(Q)

, nên phải cắt. Câu b) hai giao tuyến cùng nằm trong

(R)

(nên không chéo nhau) và nằm trong hai mặt phẳng rời nhau (nên không cắt nhau). Bẫy: quên rằng hai đường đồng phẳng thì không thể chéo nhau.

1Cách 1. Loại trừ các vị trí tương đối

Định hướng. a) phản chứng bằng tính bắc cầu; b) xét hai đường thẳng trong cùng mặt phẳng $(R)$ .

(R) \neq = (Q)

vì

(R) \cap (P) = a \neq = \emptyset

còn

(Q) \cap (P) = \emptyset

.
Nếu

(R) ∥ (Q)

thì

(R)

(P)

cùng song song

(Q)

\Rightarrow (R) ∥ (P)

hoặc

(R) \equiv (P)

— trái với

(R) \cap (P) = a

\Rightarrow (R)

cắt

(Q)

.
b)

a, b \subset (R)

\Rightarrow a

b

không chéo nhau.

a \subset (P)

b \subset (Q)

(P) \cap (Q) = \emptyset

\Rightarrow a \cap b = \emptyset

Vậy $(R)$ cắt $(Q)$ ; $a$ và $b$ không chéo nhau, không cắt nhau, tức $a ∥ b$ .

2Cách 2. Dùng tính duy nhất cho câu a)

Định hướng. Lấy điểm $A \in a$ ; qua $A$ chỉ có một mặt phẳng song song với $(Q)$ là $(P)$ .

A \in a \subset (P) \Rightarrow A \in / (Q)

.
Qua

A

chỉ có

(P)

song song với

(Q)

;

(R) ∋ A

(R) \neq = (P)

\Rightarrow (R) \neq ∥ (Q)

A \in (R)

A \in / (Q)

\Rightarrow (R) \neq = (Q)

\Rightarrow (R)

cắt

(Q)

theo

b

.
b)

a

b

đồng phẳng, không có điểm chung

\Rightarrow a ∥ b

Vậy $(R)$ cắt $(Q)$ và $a ∥ b$ .

3Cách 3. Dùng tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều song song với $(Q)$ ; áp dụng tính chất Bài 12 cho $a$ .

a \subset (P)

(P) ∥ (Q)

\Rightarrow a ∥ (Q)

(R) \supset a

(R) \cap (Q) = b

\Rightarrow b ∥ a

.
Trong

(R)

, lấy đường

c

cắt

a

;

c \neq \subset (P)

nên

c

cắt

(P)

, do đó

c \neq ∥ (Q)

— vì vậy

(R)

không thể song song với

(Q)

Vậy $(R)$ cắt $(Q)$ theo giao tuyến $b ∥ a$ ; $a$ , $b$ không chéo nhau và cũng không cắt nhau.

Nhận xét. Kết quả: một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: trả lời trọn cả hai câu bằng loại trừ, đúng tinh thần câu hỏi "có thể chéo nhau, cắt nhau không".

Đáp số. a)

(R)

cắt

(Q)

. b)

a

và

b

không thể chéo nhau (cùng nằm trong

(R)

) và không thể cắt nhau (nằm trong hai mặt phẳng không có điểm chung); do đó

a ∥ b

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

a

và

b

có thể chéo nhau vì nằm trong hai mặt phẳng khác nhau — quên rằng cả hai cùng nằm trong

(R)

🚀 Mở rộng. Nếu ba mặt phẳng

(P)

(Q)

(S)

đôi một song song và cùng bị

(R)

cắt thì ba giao tuyến có quan hệ gì? (Đôi một song song.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 3★★★Trang 91— Xác định giao tuyến nhờ hai mặt phẳng song song

Luyện tập 3 (trang 91). Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng

(E M Q)

và mặt phẳng

(A B C D)

.
(Ví dụ 3: hình chóp $S . A B C D$ , $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ lần lượt là trung điểm của $S A$ , $S B$ , $S C$ , $S D$ ; $E$ , $F$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $A B$ , $C D$ ; đã có $(M N P Q) ∥ (A B C D)$ .)

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hệ quả (Bài 11): hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường).

🧠 Phân tích tư duy

E

là một điểm chung đã biết của

(E M Q)

và

(A B C D)

; cần thêm phương của giao tuyến.

(E M Q)

cắt mặt phẳng

(M N P Q)

theo

M Q

, mà

(M N P Q) ∥ (A B C D)

nên giao tuyến cần tìm song song với

M Q

, tức song song với

A D

. Bẫy: đi tìm thêm một điểm chung thứ hai bằng cách kéo dài các đường không đồng phẳng.

1Cách 1. Dùng hai mặt phẳng song song

Định hướng. $(E M Q)$ cắt hai mặt phẳng song song $(M N P Q)$ và $(A B C D)$ theo hai giao tuyến song song.

M, Q \in (E M Q) \cap (M N P Q) \Rightarrow (E M Q) \cap (M N P Q) = M Q

(M N P Q) ∥ (A B C D)

E \in (E M Q) \cap (A B C D)

\Rightarrow (E M Q) \cap (A B C D) = Δ ∋ E

Δ ∥ M Q

M Q

là đường trung bình của tam giác

S A D

\Rightarrow M Q ∥ A D \Rightarrow Δ ∥ A D

Δ

cắt

C D

tại

H

\Rightarrow Δ = E H

Vậy giao tuyến của $(E M Q)$ và $(A B C D)$ là đường thẳng $E H$ qua $E$ song song với $A D$ ( $H \in C D$ ).

2Cách 2. Dùng đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. $M Q$ song song với $A D$ nằm trong đáy, nên $M Q ∥ (A B C D)$ ; $(E M Q)$ chứa $M Q$ .

M Q ∥ A D \subset (A B C D)

M Q \neq \subset (A B C D)

\Rightarrow M Q ∥ (A B C D)

(E M Q) \supset M Q

E \in (E M Q) \cap (A B C D)

\Rightarrow (E M Q) \cap (A B C D) = Δ ∋ E

Δ ∥ M Q

Δ ∥ A D

Δ \cap C D = H

Vậy giao tuyến là $E H$ với $E H ∥ A D$ , $H \in C D$ .

3Cách 3. Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Định hướng. $(E M Q)$ chứa $M Q$ , $(A B C D)$ chứa $A D$ , mà $M Q ∥ A D$ : giao tuyến song song với cả hai.

M Q \subset (E M Q)

A D \subset (A B C D)

M Q ∥ A D

E

là điểm chung của

(E M Q)

và

(A B C D)

\Rightarrow (E M Q) \cap (A B C D) = Δ

qua

E

Δ ∥ M Q ∥ A D

Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $E$ song song với $A D$ , cắt $C D$ tại $H$ .

Nhận xét. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(E M Q)$ là hình thang $E M Q H$ ( $M Q ∥ E H$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất vì đúng tinh thần bài học (mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song) và dùng lại ngay kết quả Ví dụ 2; Cách 3 ngắn nhất.

Đáp số. Giao tuyến là đường thẳng

E H

đi qua

E

và song song với

A D

(

H

là giao điểm của đường thẳng đó với

C D

Sai lầm thường gặp. Lấy giao tuyến qua

E

song song với

E F

hoặc với

M G

như Ví dụ 3 — sai: ở đây mặt phẳng là

(E M Q)

, giao tuyến với

(M N P Q)

là

M Q

chứ không phải

M G

🚀 Mở rộng. Xác định giao tuyến của

(E N P)

và

(A B C D)

. (Đường thẳng qua

E

song song với

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ5★★★Trang 91— Chứng minh định lí Thalès trong không gian

HĐ5 (trang 91). Cho ba mặt phẳng

(P)

(Q)

và

(R)

đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt

d

và

d^{'}

cắt ba mặt phẳng lần lượt tại

A

B

C

và

A^{'}

B^{'}

C^{'}

(

C

khác

C^{'}

). Gọi

D

là giao điểm của

A C^{'}

và

(Q)

(H.4.48).
a) Các cặp đường thẳng

B D

và

C C^{'}

B^{'} D

và

A A^{'}

có song song với nhau không?
b) Các tỉ số

\frac{A B}{B C}

\frac{A D}{D C ^{'}}

và

\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

có bằng nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).
Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

D

trên đường chéo

A C^{'}

là cầu nối: tam giác

A C C^{'}

nối

d

với

A C^{'}

, tam giác

C^{'} A A^{'}

nối

A C^{'}

với

d^{'}

. Mỗi tam giác nằm trong một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song, cho các cặp giao tuyến song song rồi áp dụng Thalès phẳng. Bẫy:

d

và

d^{'}

có thể chéo nhau nên không được áp dụng Thalès trực tiếp trong một mặt phẳng chứa cả hai.

1Cách 1. Qua đường chéo

A C^{'}

Định hướng. Mặt phẳng $(A C C^{'})$ và $(A A^{'} C^{'})$ lần lượt cắt các mặt phẳng song song.

(A C C^{'}) \cap (Q) = B D

(A C C^{'}) \cap (R) = C C^{'}

(Q) ∥ (R)

\Rightarrow B D ∥ C C^{'}

(A A^{'} C^{'}) \cap (P) = A A^{'}

(A A^{'} C^{'}) \cap (Q) = D B^{'}

(P) ∥ (Q)

\Rightarrow B^{'} D ∥ A A^{'}

.
b) Tam giác

A C C^{'}

B D ∥ C C^{'}

\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C ^{'}}

.
Tam giác

C^{'} A A^{'}

D B^{'} ∥ A A^{'}

\Rightarrow \frac{A D}{D C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

Vậy $B D ∥ C C^{'}$ , $B^{'} D ∥ A A^{'}$ và $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}$ .

2Cách 2. Kẻ qua

A

đường thẳng song song với

d^{'}

Định hướng. Đưa $d^{'}$ về đi qua $A$ để hai cát tuyến cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Như Cách 1:

B D ∥ C C^{'}

B^{'} D ∥ A A^{'}

.
b) Qua

A

kẻ

d_{1} ∥ d^{'}

, cắt

(Q)

(R)

tại

B_{1}

C_{1}

A A^{'} B^{'} B_{1}

B_{1} B^{'} C^{'} C_{1}

là hình bình hành

\Rightarrow A B_{1} = A^{'} B^{'}

B_{1} C_{1} = B^{'} C^{'}

.
Mặt phẳng

(d, d_{1})

cắt

(Q)

(R)

theo

B B_{1} ∥ C C_{1}

\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A B _{1}}{B _{1} C _{1}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

Vậy các tỉ số $\frac{A B}{B C}$ , $\frac{A D}{D C ^{'}}$ , $\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}$ bằng nhau.

3Cách 3. Kẻ qua

B

đường thẳng song song với

d^{'}

Định hướng. Đường thẳng qua $B$ song song với $d^{'}$ cắt $(P)$ , $(R)$ tại $A_{1}$ , $C_{1}$ ; hai tam giác đối đỉnh tại $B$ đồng dạng.

A_{1} A^{'} B^{'} B

B B^{'} C^{'} C_{1}

là hình bình hành

\Rightarrow A_{1} B = A^{'} B^{'}

B C_{1} = B^{'} C^{'}

.
Mặt phẳng

(A A_{1} C C_{1})

cắt

(P)

(R)

theo

A A_{1} ∥ C C_{1}

△ B A A_{1} ∽ △ B C C_{1}

\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A _{1} B}{B C _{1}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

Vậy $\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}$ , và theo Cách 1 cũng bằng $\frac{A D}{D C ^{'}}$ .

Nhận xét. Kết quả chính là định lí Thalès trong không gian: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đúng gợi ý của đề (điểm

D

), mỗi tỉ số chỉ cần một lần Thalès trong tam giác.

Đáp số. a)

B D ∥ C C^{'}

và

B^{'} D ∥ A A^{'}

. b)

\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

Sai lầm thường gặp. Nối

B B^{'}

rồi cho rằng

B B^{'} ∥ C C^{'}

— sai:

B B^{'}

và

C C^{'}

nằm trong hai mặt phẳng song song nhưng có thể chéo nhau khi

d

d^{'}

chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm:

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}}

và suy ra nếu

B

là trung điểm của

A C

thì

B^{'}

là trung điểm của

A^{'} C^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Luyện tập 4★★Trang 91— Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lí Thalès trong không gian

Luyện tập 4 (trang 91). Trong HĐ5, cho

A B = 2

cm,

B C = 4

cm và

A^{'} B^{'} = 3

cm. Tính độ dài của đoạn thẳng

B^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Ba mặt phẳng song song chắn trên

d

và

d^{'}

các đoạn tương ứng tỉ lệ: đây là phép tính tỉ lệ thức. Chọn cặp tỉ số chứa ba số đã biết và một ẩn

B^{'} C^{'}

. Bẫy: ghép nhầm cặp tương ứng (ví dụ

A B

với

B^{'} C^{'}

1Cách 1. Tỉ số hai đoạn trên cùng cát tuyến

Định hướng. Dùng $\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}$ (kết quả HĐ5).

\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{2}{4} = \frac{3}{B ^{'} C ^{'}}

B^{'} C^{'} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6

(cm).

Vậy $B^{'} C^{'} = 6$ cm.

2Cách 2. Qua đoạn

A^{'} C^{'}

Định hướng. Dùng $\frac{A B}{A C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}$ rồi trừ đi.

A C = A B + B C = 2 + 4 = 6

(cm).

\frac{A B}{A C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{3}{A ^{'} C ^{'}} \Rightarrow A^{'} C^{'} = 9

(cm).

B^{'} C^{'} = A^{'} C^{'} - A^{'} B^{'} = 9 - 3 = 6

(cm).

Vậy $B^{'} C^{'} = 6$ cm.

3Cách 3. Hệ số tỉ lệ giữa hai cát tuyến

Định hướng. Mọi đoạn trên $d^{'}$ bằng đoạn tương ứng trên $d$ nhân cùng một hệ số $k$ .

k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{3}{2}

B^{'} C^{'} = k \cdot B C = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6

(cm).

Vậy $B^{'} C^{'} = 6$ cm.

Nhận xét. Hệ số $k$ không phụ thuộc đoạn được chọn: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất khi đi thi: tính một hệ số rồi nhân, không phải lập tỉ lệ thức.

Đáp số.

B^{'} C^{'} = 6

cm.

Sai lầm thường gặp. Lập

\frac{A B}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B C}

B^{'} C^{'} = \frac{8}{3}

cm — sai cặp tương ứng.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm

A A^{'} = 5

cm thì có tính được

C C^{'}

không? (Không:

A A^{'}

và

C C^{'}

nằm trong hai mặt phẳng song song nhưng không nhất thiết song song với nhau.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · HĐ6★Trang 91— Nhận biết hình lăng trụ qua hình ảnh thực tế

HĐ6 (trang 91). Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?
(Bốn ảnh: thanh sô-cô-la Toblerone, cục tẩy, chiếc đồng hồ để bàn có mặt hình ngũ giác, các chiếc bút chì màu.)

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Nhớ lại hình lăng trụ đứng tam giác ở lớp 7: hai đáy là hai tam giác bằng nhau nằm trên hai mặt song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, mặt bên là hình chữ nhật. So từng đặc điểm với mỗi vật: đáy (tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác), mặt bên, cạnh bên. Bẫy: chỉ chú ý hình dạng đáy mà bỏ qua quan hệ song song, bằng nhau.

1Cách 1. So sánh hai mặt đáy

Định hướng. Tìm ở mỗi vật hai mặt đối diện giống hệt nhau.

Toblerone: hai đáy là hai tam giác bằng nhau.
Cục tẩy: hai đáy là hai hình chữ nhật (tứ giác) bằng nhau.
Đồng hồ: hai đáy là hai ngũ giác bằng nhau.
Bút chì: hai đầu là hai lục giác bằng nhau.

Vậy mỗi vật đều có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song.

2Cách 2. So sánh các cạnh bên

Định hướng. Xét các cạnh nối hai đáy.

Các cạnh dọc thân mỗi vật song song với nhau.
Các cạnh đó có độ dài bằng nhau (bằng chiều dài của vật).

Vậy mỗi vật có các cạnh bên song song và bằng nhau, giống hình lăng trụ đứng tam giác.

3Cách 3. So sánh các mặt bên

Định hướng. Xét các mặt bao quanh thân mỗi vật.

Toblerone: 3 mặt bên; cục tẩy: 4 mặt bên; đồng hồ: 5 mặt bên; bút chì: 6 mặt bên.
Mỗi mặt bên là hình chữ nhật (hình bình hành).

Vậy các vật có mặt bên là hình bình hành, số mặt bên bằng số cạnh của đáy.

Nhận xét. Các vật trên gợi nên hình ảnh hình lăng trụ, chỉ khác nhau ở đa giác đáy — đó là cơ sở định nghĩa hình lăng trụ tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: nhìn đáy là gọi được tên hình lăng trụ (tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác).

Đáp số. Mỗi vật đều có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành (hình chữ nhật) — giống hình lăng trụ đứng tam giác, chỉ khác số cạnh của đáy.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng bút chì không giống hình lăng trụ vì có đầu vót nhọn — phần thân bút (bỏ đầu vót) mới là hình lăng trụ lục giác.

🚀 Mở rộng. Hãy kể thêm một vật có dạng hình lăng trụ mà mặt bên không phải hình chữ nhật (ví dụ chồng sách bị xô nghiêng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Câu hỏi 4 (trang 92)★★Trang 92— Chứng minh mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành

Câu hỏi (trang 92). Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.
(Hình lăng trụ $A_{1} A_{2} \dots A_{n} . A_{1}^{'} A_{2}^{'} \dots A_{n}^{'}$ : hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song $(α)$ , $(α^{'})$ ; qua các đỉnh $A_{1}$ , …, $A_{n}$ vẽ các đường thẳng đôi một song song cắt $(α^{'})$ tại $A_{1}^{'}$ , …, $A_{n}^{'}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng còn lại.
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Mặt bên

A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}

đã có sẵn một cặp cạnh song song:

A_{1} A_{1}^{'} ∥ A_{2} A_{2}^{'}

(theo cách dựng). Cặp còn lại

A_{1} A_{2}

A_{1}^{'} A_{2}^{'}

là hai giao tuyến của mặt bên với hai mặt phẳng đáy song song. Bẫy: nói "mặt bên là hình chữ nhật" — chỉ đúng với lăng trụ đứng.

1Cách 1. Hai giao tuyến với hai mặt phẳng song song

Định hướng. Mặt phẳng chứa mặt bên cắt $(α)$ và $(α^{'})$ theo hai cạnh đáy.

A_{1} A_{1}^{'} ∥ A_{2} A_{2}^{'}

\Rightarrow A_{1}

A_{1}^{'}

A_{2}^{'}

A_{2}

đồng phẳng.

(A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}) \cap (α) = A_{1} A_{2}

(A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}) \cap (α^{'}) = A_{1}^{'} A_{2}^{'}

(α) ∥ (α^{'}) \Rightarrow A_{1} A_{2} ∥ A_{1}^{'} A_{2}^{'}

A_{1} A_{1}^{'} ∥ A_{2} A_{2}^{'}

A_{1} A_{2} ∥ A_{1}^{'} A_{2}^{'}

\Rightarrow A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}

là hình bình hành.

Vậy mọi mặt bên là hình bình hành, suy ra $A_{1} A_{1}^{'} = A_{2} A_{2}^{'} = \dots = A_{n} A_{n}^{'}$ và các cạnh bên đôi một song song.

2Cách 2. Hai đường thẳng đồng phẳng không có điểm chung

Định hướng. $A_{1} A_{2}$ và $A_{1}^{'} A_{2}^{'}$ cùng nằm trong một mặt phẳng nhưng thuộc hai mặt phẳng rời nhau.

A_{1} A_{2} \subset (α)

A_{1}^{'} A_{2}^{'} \subset (α^{'})

(α) \cap (α^{'}) = \emptyset

\Rightarrow A_{1} A_{2} \cap A_{1}^{'} A_{2}^{'} = \emptyset

A_{1} A_{2}

A_{1}^{'} A_{2}^{'}

cùng nằm trong

(A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2})

\Rightarrow A_{1} A_{2} ∥ A_{1}^{'} A_{2}^{'}

.
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song

\Rightarrow

hình bình hành

\Rightarrow A_{1} A_{1}^{'} = A_{2} A_{2}^{'}

Vậy các mặt bên là hình bình hành; các cạnh bên song song và bằng nhau.

3Cách 3. Dùng đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. $A_{1} A_{2}$ nằm trong $(α)$ nên song song với $(α^{'})$ ; mặt bên chứa $A_{1} A_{2}$ cắt $(α^{'})$ theo $A_{1}^{'} A_{2}^{'}$ .

A_{1} A_{2} \subset (α)

(α) ∥ (α^{'})

\Rightarrow A_{1} A_{2} ∥ (α^{'})

(A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}) \supset A_{1} A_{2}

(A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}) \cap (α^{'}) = A_{1}^{'} A_{2}^{'}

\Rightarrow A_{1}^{'} A_{2}^{'} ∥ A_{1} A_{2}

.
Kết hợp

A_{1} A_{1}^{'} ∥ A_{2} A_{2}^{'}

\Rightarrow

hình bình hành.

Vậy mặt bên là hình bình hành và $A_{1} A_{1}^{'} = A_{2} A_{2}^{'} = \dots = A_{n} A_{n}^{'}$ .

Nhận xét. Hệ quả: hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: dùng đúng tính chất "một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song" vừa học.

Đáp số. Mặt bên

A_{1} A_{1}^{'} A_{2}^{'} A_{2}

có

A_{1} A_{1}^{'} ∥ A_{2} A_{2}^{'}

và

A_{1} A_{2} ∥ A_{1}^{'} A_{2}^{'}

(giao tuyến với hai mặt phẳng song song) nên là hình bình hành; do đó các cạnh bên đôi một song song và bằng nhau.

Sai lầm thường gặp. Kết luận

A_{1} A_{1}^{'} = A_{2} A_{2}^{'}

chỉ từ

A_{1} A_{1}^{'} ∥ A_{2} A_{2}^{'}

— thiếu: hai đoạn song song chưa chắc bằng nhau, phải có thêm

A_{1} A_{2} ∥ A_{1}^{'} A_{2}^{'}

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm: hai đáy

A_{1} A_{2} \dots A_{n}

và

A_{1}^{'} A_{2}^{'} \dots A_{n}^{'}

có các cạnh tương ứng bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Luyện tập 5★★★Trang 92— Chứng minh một hình là hình lăng trụ

Luyện tập 5 (trang 92). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

và

M^{'}

lần lượt là trung điểm của

B C

và

B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng

A M C . A^{'} M^{'} C^{'}

là hình lăng trụ.

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Hình bình hành có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Theo định nghĩa cần hai điều: hai đáy

A M C

A^{'} M^{'} C^{'}

nằm trên hai mặt phẳng song song, và

A A^{'}

M M^{'}

C C^{'}

đôi một song song. Hai đáy nằm trong

(A B C)

và

(A^{'} B^{'} C^{'})

— đã song song; phần cần chứng minh chỉ còn

M M^{'} ∥ A A^{'}

. Bẫy: quên chỉ ra

M^{'}

đúng là giao điểm của đường thẳng qua

M

song song với

A A^{'}

với mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

1Cách 1. Hình bình hành

B M M^{'} B^{'}

Định hướng. $B M$ và $B^{'} M^{'}$ là hai nửa của hai cạnh đối của hình bình hành $B C C^{'} B^{'}$ .

B C C^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow B C ∥ B^{'} C^{'}

B C = B^{'} C^{'}

B M = \frac{B C}{2} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{2} = B^{'} M^{'}

B M ∥ B^{'} M^{'}

\Rightarrow B M M^{'} B^{'}

là hình bình hành.

\Rightarrow M M^{'} ∥ B B^{'}

M M^{'} = B B^{'}

\Rightarrow A A^{'}

M M^{'}

C C^{'}

đôi một song song.

(A M C) \equiv (A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'}) \equiv (A^{'} M^{'} C^{'})

Vậy $A M C . A^{'} M^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ.

2Cách 2. Các mặt bên là hình bình hành

Định hướng. Chứng minh trực tiếp ba mặt bên $A M M^{'} A^{'}$ , $M C C^{'} M^{'}$ , $C A A^{'} C^{'}$ là hình bình hành.

M C C^{'} M^{'}

M C ∥ M^{'} C^{'}

M C = \frac{B C}{2} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{2} = M^{'} C^{'}

\Rightarrow

hình bình hành

\Rightarrow M M^{'} ∥ C C^{'}

M M^{'} = C C^{'}

M M^{'} ∥ C C^{'} ∥ A A^{'}

M M^{'} = A A^{'}

\Rightarrow A M M^{'} A^{'}

là hình bình hành.

C A A^{'} C^{'}

là mặt bên của lăng trụ ban đầu.
Hai đáy

A M C \subset (A B C)

A^{'} M^{'} C^{'} \subset (A^{'} B^{'} C^{'})

(A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})

Vậy $A M C . A^{'} M^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ.

3Cách 3. Dựng đường thẳng qua

M

song song với cạnh bên

Định hướng. Theo định nghĩa: qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $A A^{'}$ , chứng minh nó cắt $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đúng tại $M^{'}$ .

Qua

M

kẻ

Δ ∥ B B^{'}

;

Δ \subset (B C C^{'} B^{'})

Δ \cap B^{'} C^{'} = M^{''}

B M M^{''} B^{'}

M C C^{'} M^{''}

là hình bình hành

\Rightarrow B^{'} M^{''} = B M = M C = M^{''} C^{'}

\Rightarrow M^{''}

là trung điểm của

B^{'} C^{'}

\Rightarrow M^{''} \equiv M^{'}

.
Qua

A

M

C

các đường thẳng

A A^{'}

M M^{'}

C C^{'}

song song cắt

(A^{'} B^{'} C^{'})

tại

A^{'}

M^{'}

C^{'}

Vậy $A M C . A^{'} M^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ.

Nhận xét. Mặt phẳng $(A M M^{'} A^{'})$ chia hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ thành hai hình lăng trụ tam giác $A B M . A^{'} B^{'} M^{'}$ và $A M C . A^{'} M^{'} C^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ cần một hình bình hành

B M M^{'} B^{'}

là có

M M^{'} ∥ A A^{'}

; Cách 3 bám sát định nghĩa nhất.

Đáp số.

M M^{'} ∥ B B^{'} ∥ A A^{'} ∥ C C^{'}

(do

B M M^{'} B^{'}

là hình bình hành) và

(A M C) ∥ (A^{'} M^{'} C^{'})

nên

A M C . A^{'} M^{'} C^{'}

là hình lăng trụ.

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

(A M C) ∥ (A^{'} M^{'} C^{'})

mà không chứng minh

M M^{'} ∥ A A^{'}

— chưa đủ: hai đáy song song nhưng cạnh bên chưa chắc song song.

🚀 Mở rộng. Nếu

M

M^{'}

là các điểm chia

B C

B^{'} C^{'}

theo cùng tỉ số

k

thì

A M C . A^{'} M^{'} C^{'}

còn là hình lăng trụ không? (Vẫn là.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · HĐ7★Trang 92— Nhận biết hình hộp qua hình ảnh thực tế

HĐ7 (trang 92). Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành chính là hình hộp; chỉ cần tìm vật có mặt đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. Đếm số cạnh của đáy mỗi vật là loại trừ được ngay. Bẫy: nhầm mặt đáy với mặt bên (mặt bên của mọi lăng trụ đều là hình bình hành).

1Cách 1. Xét đa giác đáy

Định hướng. Chọn vật có đáy là tứ giác, rồi kiểm tra tứ giác đó là hình bình hành.

Toblerone: đáy tam giác; đồng hồ: đáy ngũ giác; bút chì: đáy lục giác.
Cục tẩy: đáy là hình chữ nhật — một hình bình hành.

Vậy cục tẩy gợi nên hình ảnh hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

2Cách 2. Đếm số mặt

Định hướng. Lăng trụ đáy tứ giác có $4 + 2 = 6$ mặt.

Toblerone:

5

mặt; đồng hồ:

7

mặt; bút chì:

8

mặt.
Cục tẩy:

6

mặt, mỗi mặt là hình chữ nhật.

Vậy chỉ cục tẩy có dạng hình lăng trụ đáy hình bình hành.

3Cách 3. Xét các cặp mặt đối diện

Định hướng. Ở hình lăng trụ đáy hình bình hành, mọi mặt đều có một mặt đối diện song song với nó.

Toblerone: mặt bên nào cũng không có mặt đối diện song song.
Cục tẩy: ba cặp mặt đối diện song song.

Vậy cục tẩy là hình ảnh cần tìm.

Nhận xét. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp; cục tẩy, hộp phấn, viên gạch đều gợi nên hình hộp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: nhìn đáy là trả lời được ngay.

Đáp số. Cục tẩy.

Sai lầm thường gặp. Chọn Toblerone vì "mặt bên là hình bình hành" — mọi hình lăng trụ đều có mặt bên là hình bình hành; điều cần xét là đáy.

🚀 Mở rộng. Trong phòng học, hãy tìm ba vật có dạng hình hộp và chỉ ra ba cặp mặt đối diện song song của mỗi vật.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Luyện tập 6★★Trang 93— Chứng minh hai mặt đối diện của hình hộp song song

Luyện tập 6 (trang 93). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Chứng minh rằng hai mặt phẳng

(A D D^{'} A^{'})

và

(B C C^{'} B^{'})

song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Mặt

(A D D^{'} A^{'})

có sẵn hai đường thẳng cắt nhau tại

A

là

A D

và

A A^{'}

. Mỗi đường có "bạn song song" ở mặt đối diện:

A D ∥ B C

(đáy là hình bình hành),

A A^{'} ∥ B B^{'}

(cạnh bên). Bẫy: dùng "hai mặt đối diện của hình hộp song song" — đó chính là điều phải chứng minh.

1Cách 1. Dùng điều kiện song song

Định hướng. Chứng minh $A D$ và $A A^{'}$ cùng song song với $(B C C^{'} B^{'})$ .

A B C D

là hình bình hành

\Rightarrow A D ∥ B C \subset (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow A D ∥ (B C C^{'} B^{'})

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A A^{'} ∥ B B^{'} \subset (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow A A^{'} ∥ (B C C^{'} B^{'})

A D \cap A A^{'} = A

A D, A A^{'} \subset (A D D^{'} A^{'})

Vậy $(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})$ .

2Cách 2. Hai cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song

Định hướng. So sánh cặp $(A D, A A^{'})$ với cặp $(B C, B B^{'})$ .

A D ∥ B C

A A^{'} ∥ B B^{'}

A D \cap A A^{'} = A

B C \cap B B^{'} = B

A \in / (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow

hai mặt phẳng phân biệt.

Vậy $(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})$ .

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử hai mặt phẳng cắt nhau theo $Δ$ ; mỗi cặp đường song song ép $Δ$ theo một phương.

(A D D^{'} A^{'}) \supset A D

(B C C^{'} B^{'}) \supset B C

A D ∥ B C

\Rightarrow Δ ∥ A D

(A D D^{'} A^{'}) \supset A A^{'}

(B C C^{'} B^{'}) \supset B B^{'}

A A^{'} ∥ B B^{'}

\Rightarrow Δ ∥ A A^{'}

\Rightarrow A D ∥ A A^{'}

— vô lí vì

A D

cắt

A A^{'}

Vậy $(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})$ .

Nhận xét. Tương tự $(A B B^{'} A^{'}) ∥ (D C C^{'} D^{'})$ : các mặt đối diện của hình hộp song song, mỗi cặp có thể coi là hai đáy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất khi đi thi: hai dòng song song tương ứng, không cần xét từng đường với mặt phẳng.

Đáp số.

A D ∥ B C

và

A A^{'} ∥ B B^{'}

, trong đó

A D

A A^{'}

cắt nhau nằm trong

(A D D^{'} A^{'})

, còn

B C

B B^{'}

nằm trong

(B C C^{'} B^{'})

; do đó

(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})

Sai lầm thường gặp. Chọn hai đường

A D

và

A^{'} D^{'}

trong

(A D D^{'} A^{'})

— sai:

A D ∥ A^{'} D^{'}

không cắt nhau nên không dùng được điều kiện song song.

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm: hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cũng là hình lăng trụ

A B B^{'} A^{'} . D C C^{'} D^{'}

(lấy hai mặt bên làm đáy).

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Vận dụng 2★★★Trang 93— Vận dụng định lí Thalès trong không gian

Vận dụng 2 (trang 93). Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Nắp bể, mặt nước, đáy bể là ba mặt phẳng song song; thanh gỗ và một cạnh bên của bể là hai cát tuyến. Trên cạnh bên, phần ngập bằng mực nước, cả cạnh bằng chiều cao bể — đúng hai đại lượng cần so sánh. Bẫy: thanh gỗ đặt xiên nên không thể coi độ dài phần ướt bằng mực nước.

1Cách 1. Định lí Thalès với cạnh bên của bể

Định hướng. Hai cát tuyến là thanh gỗ $M N$ và cạnh bên $A A^{'}$ .

Thanh gỗ

M N

M

trên mép nắp,

N

trên đáy,

K = M N \cap

mặt nước.
Cạnh bên

A A^{'}

A

trên đáy,

A^{'}

trên nắp,

A_{1} = A A^{'} \cap

mặt nước.
Đáy

∥

mặt nước

∥

nắp

\Rightarrow \frac{N K}{N M} = \frac{A A _{1}}{A A ^{'}}

A A_{1}

là mực nước,

A A^{'}

là chiều cao bể.

Vậy tỉ số $\frac{N K}{N M}$ (phần ngập trên cả thanh gỗ) bằng tỉ số $\frac{A A _{1}}{A A ^{'}}$ (mực nước trên chiều cao bể).

2Cách 2. Thalès trong tam giác

Định hướng. Kẻ qua $N$ đường thẳng đứng cắt mặt nước tại $K^{'}$ , cắt mặt nắp tại $H$ ; xét tam giác $N M H$ .

N K^{'} =

mực nước,

N H =

chiều cao bể (

N H ∥ A A^{'}

).
Mặt phẳng

(N M H)

cắt mặt nước và mặt nắp theo

K K^{'} ∥ M H

.
Tam giác

N M H

K K^{'} ∥ M H \Rightarrow \frac{N K}{N M} = \frac{N K ^{'}}{N H}

Vậy tỉ lệ phần ngập trên cả thanh gỗ bằng tỉ lệ mực nước trên chiều cao bể.

3Cách 3. Kiểm tra bằng số cụ thể

Định hướng. Thử với bể cao $80$ cm, mực nước $60$ cm, thanh gỗ dài $100$ cm đặt xiên từ đáy lên mép nắp.

Theo Thalès:

\frac{N K}{100} = \frac{60}{80} \Rightarrow N K = 75

(cm).
Kiểm tra: thanh gỗ lên cao

80

cm trên chiều dài

100

cm, tức mỗi

1

cm thanh gỗ lên cao

0, 8

cm.
Phần ngập lên cao

75 \cdot 0, 8 = 60

(cm) — đúng bằng mực nước.

Vậy tỉ lệ $\frac{75}{100} = \frac{60}{80} = 0, 75$ , khớp với kết luận.

Nhận xét. Cách đo này không phụ thuộc thanh gỗ đặt nghiêng bao nhiêu, miễn là một đầu ở đáy, một đầu ở mép nắp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: dùng thẳng định lí Thalès trong không gian với cạnh bên của bể, một dòng tỉ lệ thức là xong.

Đáp số. Nắp bể, mặt nước, đáy bể là ba mặt phẳng song song; theo định lí Thalès trong không gian, chúng chắn trên thanh gỗ và trên cạnh bên của bể những đoạn tỉ lệ, nên (phần ngập) : (cả thanh) = (mực nước) : (chiều cao bể).

Sai lầm thường gặp. Cho rằng phần thanh gỗ bị ướt bằng mực nước — sai vì thanh gỗ đặt xiên, phần ướt luôn dài hơn mực nước.

🚀 Mở rộng. Nếu thanh gỗ dài

1, 2

m, phần ướt dài

0, 45

m và bể cao

0, 8

m thì mực nước cao bao nhiêu? (

0, 3

m.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 4.21★★Trang 93— Xét tính đúng sai của mệnh đề về hai mặt phẳng song song

Bài 4.21 (trang 93). Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt

(P)

(Q)

(R)

. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu

(P)

chứa một đường thẳng song song với

(Q)

thì

(P)

song song với

(Q)

.
b) Nếu

(P)

chứa hai đường thẳng song song với

(Q)

thì

(P)

song song với

(Q)

.
c) Nếu

(P)

và

(Q)

song song với

(R)

thì

(P)

song song với

(Q)

.
d) Nếu

(P)

và

(Q)

cắt

(R)

thì

(P)

và

(Q)

song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi mệnh đề so với đúng một kiến thức: a), b) là điều kiện song song bị bỏ bớt giả thiết "hai đường cắt nhau"; c) là tính chất bắc cầu; d) không có kiến thức nào hỗ trợ. Mệnh đề sai chỉ cần một phản ví dụ, nên dùng một hình hộp làm mô hình cho nhanh. Bẫy ở b): "hai đường thẳng" nghe giống điều kiện song song nhưng thiếu chữ "cắt nhau".

1Cách 1. Phản ví dụ trên hình hộp

Định hướng. Hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cho sẵn đủ loại quan hệ song song và cắt nhau.

(P) = (A B B^{'} A^{'})

(Q) = (A B C D)

A^{'} B^{'} \subset (P)

A^{'} B^{'} ∥ (Q)

nhưng

(P) \cap (Q) = A B

\Rightarrow

sai.
b) cùng hình:

A^{'} B^{'}

và

M N

(

M

N

là trung điểm

A A^{'}

B B^{'}

) song song với

(Q)

nhưng

(P)

cắt

(Q)

\Rightarrow

sai.
c) đúng (hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba).
d)

(P) = (A B B^{'} A^{'})

(Q) = (A D D^{'} A^{'})

(R) = (A B C D)

: cả hai cắt

(R)

nhưng

(P) \cap (Q) = A A^{'}

\Rightarrow

sai.

Vậy chỉ mệnh đề c) đúng.

2Cách 2. Đối chiếu với lí thuyết

Định hướng. So từng mệnh đề với điều kiện song song và tính chất bắc cầu.

a) Điều kiện cần hai đường thẳng cắt nhau; một đường không đủ

\Rightarrow

sai.
b) Hai đường song song với nhau thì có thể cùng song song với giao tuyến của

(P)

(Q)

\Rightarrow

sai.
c) Qua một điểm chỉ có một mặt phẳng song song với

(R)

\Rightarrow

(P)

(Q)

không có điểm chung

\Rightarrow

đúng.
d) "Cùng cắt

(R)

" không ràng buộc

(P)

(Q)

với nhau

\Rightarrow

sai.

Vậy mệnh đề đúng là c).

3Cách 3. Mô hình phòng học

Định hướng. Dùng sàn, trần, các bức tường của phòng học làm các mặt phẳng.

a) Bức tường chứa mép trần (song song với sàn) nhưng tường cắt sàn

\Rightarrow

sai.
b) Bức tường chứa mép trần và mép bảng (cùng song song với sàn) nhưng tường vẫn cắt sàn

\Rightarrow

sai.
c) Sàn tầng 2 và sàn tầng 3 cùng song song với mặt đất nên song song với nhau

\Rightarrow

đúng.
d) Hai bức tường kề nhau cùng cắt sàn nhưng cắt nhau theo góc tường

\Rightarrow

sai.

Vậy chỉ c) đúng.

Nhận xét. Muốn a), b) đúng phải sửa thành " $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$ ".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất khi đi thi trắc nghiệm: một hình hộp cho phản ví dụ cho cả a), b), d) trong vài giây.

Đáp số. Chỉ mệnh đề c) đúng; a), b), d) sai.

Sai lầm thường gặp. Chọn b) đúng vì nhầm với điều kiện song song — thiếu điều kiện hai đường thẳng đó cắt nhau.

🚀 Mở rộng. Sửa d) để được mệnh đề đúng: "Nếu

(R)

cắt

(P)

và

(Q)

theo hai giao tuyến cắt nhau thì

(P)

và

(Q)

cắt nhau" — hãy giải thích.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 4.22★★Trang 94— Chứng minh hai mặt phẳng song song trong hình lăng trụ

Bài 4.22 (trang 94). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

. Chứng minh rằng mặt phẳng

(M N P)

song song với mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

🧠 Phân tích tư duy

Mặt bên

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành,

M

N

là trung điểm hai cạnh đối

A A^{'}

B B^{'}

nên

M N ∥ A B

. Tương tự

M P ∥ A C

: được hai đường thẳng cắt nhau tại

M

song song với hai đường thẳng cắt nhau của

(A B C)

. Bẫy: dùng đường trung bình tam giác cho

M N

—

M N

không phải đường trung bình của tam giác nào ở đây.

1Cách 1. Hai cặp đường thẳng tương ứng song song

Định hướng. Chứng minh $M N ∥ A B$ và $M P ∥ A C$ nhờ hai hình bình hành.

A A^{'} ∥ B B^{'}

A A^{'} = B B^{'}

\Rightarrow A M ∥ B N

A M = \frac{A A ^{'}}{2} = \frac{B B ^{'}}{2} = B N

\Rightarrow A B N M

là hình bình hành

\Rightarrow M N ∥ A B

.
Tương tự

A C P M

là hình bình hành

\Rightarrow M P ∥ A C

M N \cap M P = M

A B \cap A C = A

\Rightarrow (M N P) ∥ (A B C)

Vậy $(M N P) ∥ (A B C)$ .

2Cách 2. Tính duy nhất của mặt phẳng song song

Định hướng. Dựng mặt phẳng qua $M$ song song với $(A B C)$ và chứng minh nó đi qua $N$ , $P$ .

Gọi

(γ)

qua

M

(γ) ∥ (A B C)

;

(γ)

cắt

B B^{'}

C C^{'}

tại

N_{1}

P_{1}

(A B B^{'} A^{'})

cắt

(A B C)

(γ)

theo

A B ∥ M N_{1}

\Rightarrow A B N_{1} M

là hình bình hành

\Rightarrow B N_{1} = A M = \frac{B B ^{'}}{2}

\Rightarrow N_{1} \equiv N

; tương tự

P_{1} \equiv P

Vậy $(M N P) \equiv (γ) ∥ (A B C)$ .

3Cách 3. Qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chứng minh $M N$ và $M P$ cùng song song với $(A B C)$ , rồi dùng điều kiện hai đường thẳng cắt nhau.

M \in / (A B C)

\Rightarrow M N \neq \subset (A B C)

M P \neq \subset (A B C)

M N ∥ A B \subset (A B C)

\Rightarrow M N ∥ (A B C)

M P ∥ A C \subset (A B C)

\Rightarrow M P ∥ (A B C)

M N \cap M P = M

M N, M P \subset (M N P)

Vậy $(M N P) ∥ (A B C)$ .

Nhận xét. Tam giác $M N P$ bằng tam giác $A B C$ và $A B C . M N P$ cũng là một hình lăng trụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai hình bình hành cho ngay hai cặp đường song song, trình bày ba dòng.

Đáp số.

M N ∥ A B

M P ∥ A C

(do

A B N M

A C P M

là hình bình hành) nên

(M N P) ∥ (A B C)

Sai lầm thường gặp. Viết "

M N

là đường trung bình nên

M N ∥ A B

" — sai tên:

M

N

là trung điểm hai cạnh đối của hình bình hành

A B B^{'} A^{'}

, không phải của hai cạnh một tam giác.

🚀 Mở rộng. Thay trung điểm bằng các điểm

M

N

P

sao cho

\frac{A M}{A A ^{'}} = \frac{B N}{B B ^{'}} = \frac{C P}{C C ^{'}} = k

; kết luận còn đúng không? (Còn đúng.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · Bài 4.23★★★Trang 94— Chứng minh hai mặt phẳng song song

Bài 4.23 (trang 94). Cho hình thang

A B C D

có hai đáy

A B

và

C D

. Qua các điểm

A

D

lần lượt vẽ các đường thẳng

m

n

song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng

(A B C D)

. Chứng minh rằng

mp (B, m)

và

mp (C, n)

song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Điều kiện song song: nếu $(α)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ , $b$ và $a$ , $b$ cùng song song với $(β)$ thì $(α) ∥ (β)$ .
Điều kiện (Bài 12): nếu $a \neq \subset (P)$ và $a$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a ∥ (P)$ .
Hệ quả (Bài 11): hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường).

🧠 Phân tích tư duy

mp (B, m)

chứa hai đường thẳng cắt nhau tại

A

là

A B

và

m

;

mp (C, n)

chứa

D C

và

n

. Hai cặp tương ứng song song:

A B ∥ D C

(hai đáy hình thang),

m ∥ n

(giả thiết). Bẫy: cần chỉ ra hai mặt phẳng phân biệt (nếu không thì không gọi là song song).

1Cách 1. Hai cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song

Định hướng. So cặp $(A B, m)$ với cặp $(D C, n)$ .

A B

m

cắt nhau tại

A

, cùng nằm trong

mp (B, m)

D C

n

cắt nhau tại

D

, cùng nằm trong

mp (C, n)

A B ∥ D C

m ∥ n

A \in / mp (C, n)

(nếu không,

mp (C, n) \supset A, D, C

tức

\equiv (A B C D)

, mâu thuẫn

n \neq \subset (A B C D)

Vậy $mp (B, m) ∥ mp (C, n)$ .

2Cách 2. Dùng điều kiện song song

Định hướng. Chứng minh $A B$ và $m$ cùng song song với $mp (C, n)$ .

A B ∥ D C \subset mp (C, n)

A B \neq \subset mp (C, n)

\Rightarrow A B ∥ mp (C, n)

m ∥ n \subset mp (C, n)

m \neq \subset mp (C, n)

\Rightarrow m ∥ mp (C, n)

A B \cap m = A

A B, m \subset mp (B, m)

Vậy $mp (B, m) ∥ mp (C, n)$ .

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử hai mặt phẳng cắt nhau theo $Δ$ ; mỗi cặp đường song song ép $Δ$ theo một phương.

A B ∥ D C

\Rightarrow Δ ∥ A B

(hệ quả Bài 11).

m ∥ n

\Rightarrow Δ ∥ m

\Rightarrow A B ∥ m

— vô lí vì

A B

cắt

m

tại

A

Vậy $mp (B, m) ∥ mp (C, n)$ .

Nhận xét. Kẻ thêm qua $B$ , $C$ các đường thẳng song song với $m$ , ta được hình lăng trụ đáy hình thang; hai mặt phẳng trên chính là hai mặt bên đối diện chứa hai đáy $A B$ , $C D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: gọn nhất khi đã có đủ hai cặp đường tương ứng song song.

Đáp số.

mp (B, m)

chứa

A B

m

cắt nhau;

mp (C, n)

chứa

D C

n

cắt nhau;

A B ∥ D C

m ∥ n

nên

mp (B, m) ∥ mp (C, n)

Sai lầm thường gặp. Chọn cặp

(A D, m)

trong

mp (B, m)

— sai:

D

không thuộc

mp (B, m)

nên

A D

không nằm trong mặt phẳng này; phải dùng cặp

A B

m

và cặp tương ứng

D C

n

🚀 Mở rộng. Nếu

A B C D

là tứ giác bất kì (không có

A B ∥ C D

) thì hai mặt phẳng trên có song song không? (Không, chúng cắt nhau theo đường thẳng song song với

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · Bài 4.24★★★Trang 94— Định lí Thalès trong không gian

Bài 4.24 (trang 94). Cho hình tứ diện

S A B C

. Trên cạnh

S A

lấy các điểm

A_{1}

A_{2}

sao cho

A A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} S

. Gọi

(P)

và

(Q)

là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng

(A B C)

và lần lượt đi qua

A_{1}

A_{2}

. Mặt phẳng

(P)

cắt các cạnh

S B

S C

lần lượt tại

B_{1}

C_{1}

. Mặt phẳng

(Q)

cắt các cạnh

S B

S C

lần lượt tại

B_{2}

C_{2}

. Chứng minh

B B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} S

và

C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại thì định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (và ngược lại).

🧠 Phân tích tư duy

Có ba mặt phẳng song song

(A B C)

(P)

(Q)

chia cạnh

S A

thành ba đoạn bằng nhau — dạng của Ví dụ 4. Cần thêm mặt phẳng thứ tư qua

S

song song với

(A B C)

để đoạn

B_{2} S

cũng được "chắn". Bẫy: áp dụng Thalès cho ba mặt phẳng mà quên đoạn cuối

B_{2} S

1Cách 1. Định lí Thalès với bốn mặt phẳng song song

Định hướng. Dựng $(R)$ qua $S$ song song với $(A B C)$ ; bốn mặt $(A B C)$ , $(P)$ , $(Q)$ , $(R)$ đôi một song song.

Cát tuyến

S A

và

S B

\frac{A A _{1}}{B B _{1}} = \frac{A _{1} A _{2}}{B _{1} B _{2}} = \frac{A _{2} S}{B _{2} S}

A A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} S

\Rightarrow B B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} S

.
Cát tuyến

S A

và

S C

\frac{A A _{1}}{C C _{1}} = \frac{A _{1} A _{2}}{C _{1} C _{2}} = \frac{A _{2} S}{C _{2} S}

\Rightarrow C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S

Vậy $B B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} S$ và $C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S$ .

2Cách 2. Thalès trong tam giác

S A B

S A C

Định hướng. Mặt phẳng $(S A B)$ cắt ba mặt phẳng song song theo ba giao tuyến song song $A B$ , $A_{1} B_{1}$ , $A_{2} B_{2}$ .

(S A B) \cap (A B C) = A B

(S A B) \cap (P) = A_{1} B_{1}

(S A B) \cap (Q) = A_{2} B_{2}

\Rightarrow A_{2} B_{2} ∥ A_{1} B_{1} ∥ A B

.
Tam giác

S A B

\frac{S B _{2}}{S B} = \frac{S A _{2}}{S A} = \frac{1}{3}

\frac{S B _{1}}{S B} = \frac{S A _{1}}{S A} = \frac{2}{3}

B_{2} S = \frac{S B}{3}

B_{1} B_{2} = \frac{2 S B}{3} - \frac{S B}{3} = \frac{S B}{3}

B B_{1} = S B - \frac{2 S B}{3} = \frac{S B}{3}

.
Tương tự trong tam giác

S A C

C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S = \frac{S C}{3}

Vậy $B B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} S$ và $C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S$ .

3Cách 3. Kết hợp Ví dụ 4 và đường trung bình

Định hướng. Ba mặt $(A B C)$ , $(P)$ , $(Q)$ cho $B_{2} B_{1} = B_{1} B$ ; đoạn còn lại dùng đường trung bình.

Thalès với

(Q)

(P)

(A B C)

và cát tuyến

S A

S B

\frac{A _{2} A _{1}}{A _{1} A} = \frac{B _{2} B _{1}}{B _{1} B} = 1

\Rightarrow B_{2} B_{1} = B_{1} B

.
Tam giác

S A_{1} B_{1}

A_{2}

là trung điểm

S A_{1}

A_{2} B_{2} ∥ A_{1} B_{1}

\Rightarrow B_{2}

là trung điểm

S B_{1}

\Rightarrow B_{2} S = B_{2} B_{1}

.
Tương tự với cạnh

S C

Vậy $B B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} S$ và $C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S$ .

Nhận xét. Các mặt phẳng song song với đáy chia các cạnh bên theo cùng một tỉ lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất khi đi thi: chỉ cần Thalès trong tam giác, không phải dựng thêm mặt phẳng qua

S

Đáp số.

B B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} S = \frac{S B}{3}

và

C C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} S = \frac{S C}{3}

Sai lầm thường gặp. Chỉ dùng ba mặt phẳng

(A B C)

(P)

(Q)

rồi kết luận luôn

B_{2} S = B_{1} B_{2}

— thiếu: đoạn

B_{2} S

chưa nằm giữa hai mặt phẳng song song nào.

🚀 Mở rộng. Nếu chia

S A

thành

n

phần bằng nhau bởi

n - 1

mặt phẳng song song với đáy thì

S B

S C

cũng được chia thành

n

phần bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · Bài 4.25★★Trang 94— Nhận dạng hình lăng trụ tạo bởi mặt cắt song song với đáy

Bài 4.25 (trang 94). Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại

A^{''}

B^{''}

C^{''}

D^{''}

. Hỏi hình tạo bởi các điểm

A

B

C

D

A^{''}

B^{''}

C^{''}

D^{''}

là hình gì?

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là Ví dụ 5 cho lăng trụ tứ giác: mặt cắt song song với đáy tách ra một hình lăng trụ nhỏ hơn. Cần kiểm tra hai điều của định nghĩa: hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên

A A^{''}

B B^{''}

C C^{''}

D D^{''}

đôi một song song. Bẫy: gọi là hình hộp — chỉ đúng khi đáy

A B C D

là hình bình hành.

1Cách 1. Theo định nghĩa hình lăng trụ

Định hướng. Hai đáy và các cạnh bên.

(A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

\Rightarrow (A B C D) ∥ (A^{''} B^{''} C^{''} D^{''})

A A^{''} \subset A A^{'}

B B^{''} \subset B B^{'}

C C^{''} \subset C C^{'}

D D^{''} \subset D D^{'}

và

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

D D^{'}

đôi một song song.

\Rightarrow A A^{''}

B B^{''}

C C^{''}

D D^{''}

đôi một song song.

Vậy $A B C D . A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}$ là hình lăng trụ tứ giác.

2Cách 2. Chứng minh các mặt bên là hình bình hành

Định hướng. Mặt phẳng $(A B B^{'} A^{'})$ cắt hai mặt phẳng song song $(A B C D)$ , $(A^{''} B^{''} C^{''} D^{''})$ .

(A B B^{'} A^{'}) \cap (A B C D) = A B

(A B B^{'} A^{'}) \cap (A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}) = A^{''} B^{''}

\Rightarrow A B ∥ A^{''} B^{''}

A A^{''} ∥ B B^{''}

\Rightarrow A B B^{''} A^{''}

là hình bình hành.
Tương tự

B C C^{''} B^{''}

C D D^{''} C^{''}

D A A^{''} D^{''}

là hình bình hành.
Hai đáy

A B C D

A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}

có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song.

Vậy $A B C D . A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}$ là hình lăng trụ.

Nhận xét. Hình lăng trụ ban đầu bị mặt cắt chia thành hai hình lăng trụ $A B C D . A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}$ và $A^{''} B^{''} C^{''} D^{''} . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai dòng theo đúng định nghĩa, tương tự lời giải Ví dụ 5 trong sách.

Đáp số. Hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{''} B^{''} C^{''} D^{''}

Sai lầm thường gặp. Trả lời "hình hộp" — chỉ đúng khi

A B C D

là hình bình hành; đề chỉ cho lăng trụ tứ giác bất kì.

🚀 Mở rộng. Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên nhưng không song song với đáy thì hình tạo bởi tám điểm còn là hình lăng trụ không? (Không, vì hai "đáy" không nằm trên hai mặt phẳng song song.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · Bài 4.26★★★Trang 94— Chứng minh hình bình hành, hình lăng trụ trong hình lăng trụ

Bài 4.26 (trang 94). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

G

và

G^{'}

lần lượt là trọng tâm của hai tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

.
a) Chứng minh rằng tứ giác

A G G^{'} A^{'}

là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng

A GC . A^{'} G^{'} C^{'}

là hình lăng trụ.

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
Trọng tâm tam giác nằm trên trung tuyến, cách đỉnh $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Trọng tâm nằm trên trung tuyến: gọi

M

M^{'}

là trung điểm

B C

B^{'} C^{'}

thì

G \in A M

G^{'} \in A^{'} M^{'}

với

A G = \frac{2}{3} A M

. Luyện tập 5 đã cho

A M M^{'} A^{'}

là hình bình hành, từ đó suy ra

A G

và

A^{'} G^{'}

song song và bằng nhau. Bẫy: dùng "trọng tâm" mà không đưa về trung tuyến.

1Cách 1. Qua hình bình hành

A M M^{'} A^{'}

Định hướng. Dùng kết quả Luyện tập 5 rồi lấy $\frac{2}{3}$ trung tuyến.

M

M^{'}

là trung điểm

B C

B^{'} C^{'}

\Rightarrow A M M^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A M ∥ A^{'} M^{'}

A M = A^{'} M^{'}

A G = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} A^{'} M^{'} = A^{'} G^{'}

A G ∥ A^{'} G^{'}

.
a)

\Rightarrow A G G^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow G G^{'} ∥ A A^{'}

G G^{'} = A A^{'}

.
b)

A A^{'}

G G^{'}

C C^{'}

đôi một song song;

(A GC) \equiv (A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'}) \equiv (A^{'} G^{'} C^{'})

Vậy $A G G^{'} A^{'}$ là hình bình hành và $A GC . A^{'} G^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ.

2Cách 2. Mặt phẳng

(A M M^{'} A^{'})

cắt hai mặt đáy

Định hướng. Chứng minh $G G^{'} ∥ A A^{'}$ trước, rồi suy ra hình bình hành.

(A M M^{'} A^{'})

cắt

(A B C)

(A^{'} B^{'} C^{'})

theo

A M ∥ A^{'} M^{'}

.
Trong hình bình hành

A M M^{'} A^{'}

\frac{A G}{A M} = \frac{A ^{'} G ^{'}}{A ^{'} M ^{'}} = \frac{2}{3}

\Rightarrow A G = A^{'} G^{'}

và

A G ∥ A^{'} G^{'}

.
a)

\Rightarrow A G G^{'} A^{'}

là hình bình hành.
b)

G G^{'} ∥ A A^{'} ∥ C C^{'}

và hai đáy

A GC

A^{'} G^{'} C^{'}

nằm trên hai mặt phẳng song song.

Vậy a) và b) được chứng minh.

3Cách 3. Hình bình hành

GM M^{'} G^{'}

Định hướng. Đi từ trung điểm $M$ thay vì từ đỉnh $A$ .

GM = \frac{1}{3} A M = \frac{1}{3} A^{'} M^{'} = G^{'} M^{'}

GM ∥ G^{'} M^{'}

\Rightarrow GM M^{'} G^{'}

là hình bình hành.

\Rightarrow G G^{'} ∥ M M^{'} ∥ A A^{'}

G G^{'} = M M^{'} = A A^{'}

.
a)

A A^{'} ∥ G G^{'}

A A^{'} = G G^{'}

\Rightarrow A G G^{'} A^{'}

là hình bình hành.
b)

A A^{'}

G G^{'}

C C^{'}

song song và

(A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})

\Rightarrow A GC . A^{'} G^{'} C^{'}

là hình lăng trụ.

Vậy $A G G^{'} A^{'}$ là hình bình hành, $A GC . A^{'} G^{'} C^{'}$ là hình lăng trụ.

Nhận xét. Ba đường $A A^{'}$ , $G G^{'}$ , $M M^{'}$ cùng nằm trong mặt phẳng $(A M M^{'} A^{'})$ và đôi một song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: dựa ngay vào Luyện tập 5, câu b) chỉ còn một dòng.

Đáp số. a)

A G ∥ A^{'} G^{'}

và

A G = A^{'} G^{'}

nên

A G G^{'} A^{'}

là hình bình hành. b)

G G^{'} ∥ A A^{'} ∥ C C^{'}

và

(A GC) ∥ (A^{'} G^{'} C^{'})

nên

A GC . A^{'} G^{'} C^{'}

là hình lăng trụ.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

A G ∥ A^{'} G^{'}

"vì hai đáy song song" — chưa đủ: hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song vẫn có thể chéo nhau; phải chỉ ra chúng cùng nằm trong

(A M M^{'} A^{'})

🚀 Mở rộng. Gọi

I

là trung điểm của

G G^{'}

. Chứng minh

I

cũng là trung điểm của

A G^{'}

và

A^{'} G

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · Bài 4.27★★★Trang 94— Chứng minh một hình là hình hộp

Bài 4.27 (trang 94). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Một mặt phẳng song song với mặt bên

(A B B^{'} A^{'})

của hình hộp và cắt các cạnh

A D

B C

A^{'} D^{'}

B^{'} C^{'}

lần lượt tại

M

N

M^{'}

N^{'}

(H.4.54). Chứng minh rằng

A B N M . A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}

là hình hộp.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: sáu mặt đều là hình bình hành, các mặt đối diện song song, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hình lăng trụ: hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành: cần đáy

A B N M

là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt song song và các cạnh bên song song. Mặt phẳng cắt

(P) ∥ (A B B^{'} A^{'})

cắt các mặt của hộp theo các giao tuyến song song với cạnh tương ứng của

A B B^{'} A^{'}

. Bẫy: quên chứng minh

M M^{'} ∥ A A^{'}

(cạnh bên thứ tư).

1Cách 1. Lăng trụ với hai đáy

A B N M

và

A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}

Định hướng. Gọi $(P)$ là mặt phẳng cắt; dùng giao tuyến với các mặt của hộp.

(A B C D) \cap (A B B^{'} A^{'}) = A B

(A B C D) \cap (P) = M N

\Rightarrow M N ∥ A B

A M ∥ B N

(

A D ∥ B C

)

\Rightarrow A B N M

là hình bình hành.

(A D D^{'} A^{'}) \cap (A B B^{'} A^{'}) = A A^{'}

(A D D^{'} A^{'}) \cap (P) = M M^{'}

\Rightarrow M M^{'} ∥ A A^{'}

; tương tự

N N^{'} ∥ B B^{'}

A A^{'}

B B^{'}

N N^{'}

M M^{'}

đôi một song song,

(A B N M) \subset (A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \supset (A^{'} B^{'} N^{'} M^{'})

Vậy $A B N M . A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}$ là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, tức là hình hộp.

2Cách 2. Coi

A B B^{'} A^{'}

và

M N N^{'} M^{'}

là hai đáy

Định hướng. Hai đáy nằm trên $(A B B^{'} A^{'}) ∥ (P)$ ; các cạnh nối là $A M$ , $B N$ , $B^{'} N^{'}$ , $A^{'} M^{'}$ .

(A B B^{'} A^{'}) ∥ (P)

(giả thiết).

A M \subset A D

B N \subset B C

B^{'} N^{'} \subset B^{'} C^{'}

A^{'} M^{'} \subset A^{'} D^{'}

và

A D ∥ B C ∥ B^{'} C^{'} ∥ A^{'} D^{'}

\Rightarrow A B B^{'} A^{'} . M N N^{'} M^{'}

là hình lăng trụ với đáy

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow

hình hộp.

Vậy $A B N M . A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}$ là hình hộp (cùng một khối, chỉ khác cách chọn đáy).

3Cách 3. Chứng minh sáu mặt là hình bình hành

Định hướng. Kiểm tra lần lượt từng mặt bằng giao tuyến với các mặt phẳng song song.

A B N M

M N ∥ A B

A M ∥ B N

;

A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}

M^{'} N^{'} ∥ A^{'} B^{'}

A^{'} M^{'} ∥ B^{'} N^{'}

A M M^{'} A^{'}

M M^{'} ∥ A A^{'}

A M ∥ A^{'} M^{'}

;

B N N^{'} B^{'}

N N^{'} ∥ B B^{'}

B N ∥ B^{'} N^{'}

A B B^{'} A^{'}

là mặt của hộp ban đầu;

M N N^{'} M^{'}

M N ∥ M^{'} N^{'}

(cùng song song

A B

M M^{'} ∥ N N^{'}

.
Hai đáy nằm trên

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

Vậy $A B N M . A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}$ là hình hộp.

Nhận xét. Mặt phẳng song song với một mặt bên chia hình hộp thành hai hình hộp nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: chọn đáy là

A B B^{'} A^{'}

thì "hai đáy song song" có ngay từ giả thiết, chỉ còn kiểm tra cạnh bên.

Đáp số. Các giao tuyến cho

M N ∥ A B

M M^{'} ∥ A A^{'}

N N^{'} ∥ B B^{'}

M^{'} N^{'} ∥ A^{'} B^{'}

; đáy

A B N M

là hình bình hành, cạnh bên song song, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song nên

A B N M . A^{'} B^{'} N^{'} M^{'}

là hình hộp.

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

A B N M

là hình bình hành rồi kết luận hình hộp — thiếu điều kiện các cạnh bên

A A^{'}

B B^{'}

N N^{'}

M M^{'}

song song.

🚀 Mở rộng. Nếu mặt phẳng cắt song song với

(A D D^{'} A^{'})

thì tạo ra hình hộp nào? (Hình hộp có một đáy là

A M N D

với

M \in A B

N \in D C

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · Bài 4.28★★Trang 94— Vận dụng tính chất giao tuyến với hai mặt phẳng song song

Bài 4.28 (trang 94). Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.
(Hình 4.55: ảnh cầu thang có các bậc gỗ nằm ngang gắn vào tường, mép tiếp xúc giữa hai bậc và mặt tường được tô đậm.)

Kiến thức cần nhớ

Cho hai mặt phẳng song song: nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng còn lại.
Tính chất (Bài 12): nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt trên các bậc thang nằm ngang nên là các mặt phẳng song song; mặt tường là một mặt phẳng cắt tất cả các bậc. Mép bậc nằm trên tường chính là giao tuyến của mặt tường với mặt bậc — đúng dạng HĐ4. Bẫy: nói "vì các bậc bằng nhau" — kích thước bậc không liên quan.

1Cách 1. Mặt tường cắt hai mặt phẳng song song

Định hướng. Mặt tường cắt mặt các bậc thang theo các mép bậc.

Mặt bậc thứ nhất

(P_{1})

, mặt bậc thứ hai

(P_{2})

đều nằm ngang

\Rightarrow (P_{1}) ∥ (P_{2})

.
Mặt tường

(T)

(T) \cap (P_{1}) = a_{1}

(T) \cap (P_{2}) = a_{2}

(P_{1}) ∥ (P_{2}) \Rightarrow a_{1} ∥ a_{2}

Vậy các mép bậc thang nằm trên tường song song với nhau.

2Cách 2. Loại trừ

Định hướng. Hai mép bậc cùng nằm trong mặt tường, lại nằm trên hai mặt bậc không có điểm chung.

a_{1}, a_{2} \subset (T)

\Rightarrow a_{1}

a_{2}

không chéo nhau.

a_{1} \subset (P_{1})

a_{2} \subset (P_{2})

(P_{1}) \cap (P_{2}) = \emptyset

\Rightarrow a_{1} \cap a_{2} = \emptyset

\Rightarrow a_{1} ∥ a_{2}

Vậy các mép bậc thang song song với nhau.

3Cách 3. Dùng đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Mép bậc dưới nằm trong mặt bậc dưới nên song song với mặt bậc trên.

a_{1} \subset (P_{1})

(P_{1}) ∥ (P_{2})

\Rightarrow a_{1} ∥ (P_{2})

(T) \supset a_{1}

(T) \cap (P_{2}) = a_{2}

\Rightarrow a_{2} ∥ a_{1}

Vậy các mép bậc thang nằm trên tường song song với nhau.

Nhận xét. Vì vậy khi thi công, chỉ cần các bậc nằm ngang là các đường gắn bậc trên tường tự động song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đúng một tính chất vừa học, giải thích trọn trong một dòng.

Đáp số. Các mặt bậc thang nằm ngang nên song song với nhau; mặt tường cắt các mặt bậc theo các mép bậc, nên các mép đó là giao tuyến của một mặt phẳng với các mặt phẳng song song, do đó song song với nhau.

Sai lầm thường gặp. Giải thích "vì các bậc thang cách đều nhau" — khoảng cách đều không phải lí do; dù các bậc cách nhau không đều, mép bậc vẫn song song.

🚀 Mở rộng. Mép ngoài (phía không gắn tường) của các bậc có song song với nhau không? (Có, nếu các bậc có mép ngoài cùng nằm trên một mặt phẳng đứng.)

Mở bài này trong app ↗