Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 14. Phép chiếu song song

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.41★★Trang 71— Xác định hình chiếu của một điểm và tỉ số

Bài 4.41 (trang 71). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

là điểm thuộc cạnh

B C

sao cho

M B = 2 M C

.
a) Xác định hình chiếu

M^{'}

của

M

qua phép chiếu song song lên mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

theo phương

A A^{'}

.
b) Chứng minh rằng

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

Phương chiếu

A A^{'}

song song với các cạnh bên

B B^{'}

C C^{'}

, nên đường qua

M

song song

A A^{'}

nằm trong mặt bên

(B C C^{'} B^{'})

và cắt

B^{'} C^{'}

. Câu b là tính chất giữ tỉ số, hoặc thấy ngay qua hai hình bình hành. Bẫy: tìm

M^{'}

trên

A^{'} B^{'}

hay

A^{'} C^{'}

1Cách 1. Hai hình bình hành

Định hướng. Dựng $M M^{'} ∥ B B^{'}$ trong mặt bên $(B C C^{'} B^{'})$ .

Trong

(B C C^{'} B^{'})

kẻ

M M^{'} ∥ B B^{'}

M^{'} \in B^{'} C^{'}

⇒

M M^{'} ∥ A A^{'}

M^{'} \in (A^{'} B^{'} C^{'})

.
⇒

M^{'}

là hình chiếu của

M

B M M^{'} B^{'}

là hình bình hành ⇒

M^{'} B^{'} = M B

;

M C C^{'} M^{'}

là hình bình hành ⇒

M^{'} C^{'} = M C

M B = 2 M C

⇒

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

Vậy $M^{'}$ là điểm trên $B^{'} C^{'}$ với $M M^{'} ∥ A A^{'}$ , và $M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}$ .

2Cách 2. Tính chất giữ tỉ số

Định hướng. Phép chiếu biến $B \mapsto B^{'}$ , $C \mapsto C^{'}$ (vì $B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ A A^{'}$ ).

B, M, C

thẳng hàng theo thứ tự đó ⇒

B^{'}, M^{'}, C^{'}

thẳng hàng theo thứ tự đó.

\frac{M ^{'} B ^{'}}{M ^{'} C ^{'}} = \frac{M B}{M C} = 2

Vậy $M^{'} \in B^{'} C^{'}$ và $M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}$ .

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Hình chiếu giữ đẳng thức vectơ.

M B = - 2 M C

⇒

M^{'} B^{'} = - 2 M^{'} C^{'}

.
⇒

M^{'}

nằm giữa

B^{'}

C^{'}

và

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

.
Đồng thời

M M^{'} = B B^{'} + B^{'} M^{'} - B M = B B^{'}

⇒

M M^{'} ∥ A A^{'}

Vậy $M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}$ .

Nhận xét. Đã kiểm bằng sympy với phương chiếu tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ cần hai hình bình hành, không cần nhớ tính chất phép chiếu.

Đáp số. a)

M^{'}

là giao điểm của

B^{'} C^{'}

với đường thẳng qua

M

song song

B B^{'}

(trong mặt phẳng

(B C C^{'} B^{'})

). b)

M^{'} B^{'} = M B

M^{'} C^{'} = M C

nên

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

Sai lầm thường gặp. Kẻ qua

M

đường song song

A A^{'}

rồi cho cắt

A^{'} B^{'}

— sai: đường này nằm trong

(B C C^{'} B^{'})

, chỉ có thể cắt

B^{'} C^{'}

🚀 Mở rộng. Nếu

M

chia

B C

theo tỉ số

\frac{M B}{M C} = k

thì

\frac{M ^{'} B ^{'}}{M ^{'} C ^{'}} = k

với mọi phương chiếu cắt

(A^{'} B^{'} C^{'})

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.42★★Trang 71— Phép chiếu giữ quan hệ liên thuộc

Bài 4.42 (trang 71). Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Gọi

O^{'}

là hình chiếu của

O

qua phép chiếu song song lên mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

theo phương

A A^{'}

. Chứng minh rằng

O^{'}

là giao điểm của

A^{'} C^{'}

và

B^{'} D^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

O

thuộc cả

A C

và

B D

; phép chiếu theo phương cạnh bên biến

A C \mapsto A^{'} C^{'}

B D \mapsto B^{'} D^{'}

. Điểm nằm trên hai đường thẳng thì hình chiếu nằm trên hai hình chiếu. Bẫy: quên chỉ ra

A^{'} C^{'}

và

B^{'} D^{'}

cắt nhau tại đúng một điểm.

1Cách 1. Giữ thẳng hàng

Định hướng. Chiếu hai đường chéo của đáy dưới.

A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ D D^{'}

⇒ hình chiếu của

A, B, C, D

là

A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}

O \in A C

⇒

O^{'} \in A^{'} C^{'}

;

O \in B D

⇒

O^{'} \in B^{'} D^{'}

A^{'} C^{'}

B^{'} D^{'}

là hai đường chéo của tứ giác

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

nên cắt nhau tại một điểm duy nhất ⇒

O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}

Vậy $O^{'}$ là giao điểm của $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} D^{'}$ .

2Cách 2. Giao tuyến của hai mặt chéo

Định hướng. $O O^{'}$ nằm trong cả hai mặt chéo $(A C C^{'} A^{'})$ và $(B D D^{'} B^{'})$ .

O O^{'} ∥ A A^{'}

O \in A C

⇒

O O^{'} \subset (A C C^{'} A^{'})

⇒

O^{'} \in (A C C^{'} A^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = A^{'} C^{'}

O O^{'} ∥ B B^{'}

O \in B D

⇒

O O^{'} \subset (B D D^{'} B^{'})

⇒

O^{'} \in (B D D^{'} B^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = B^{'} D^{'}

Vậy $O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến theo vectơ cạnh bên

Định hướng. Phép chiếu theo phương $A A^{'}$ lên đáy trên chính là tịnh tiến theo $A A^{'}$ đối với các điểm của đáy dưới.

Với

X

thuộc

(A B C D)

X X^{'} = A A^{'}

(vì

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

).
Phép tịnh tiến biến

A C \mapsto A^{'} C^{'}

B D \mapsto B^{'} D^{'}

, giao điểm

\mapsto

giao điểm.
⇒

O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}

Vậy $O^{'}$ là giao điểm của $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} D^{'}$ .

Nhận xét. Trường hợp đáy là hình bình hành, $O$ và $O^{'}$ lần lượt là tâm hai đáy và $O O^{'}$ song song, bằng cạnh bên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai dòng dùng thẳng tính chất giữ thẳng hàng.

Đáp số. Vì

O

thuộc

A C

và

B D

nên hình chiếu

O^{'}

thuộc hình chiếu

A^{'} C^{'}

của

A C

và hình chiếu

B^{'} D^{'}

của

B D

; hai đường chéo này cắt nhau tại một điểm nên

O^{'}

là giao điểm của

A^{'} C^{'}

và

B^{'} D^{'}

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

O^{'} \in A^{'} C^{'}

rồi dừng — mới được một nửa, phải chứng minh cả

O^{'} \in B^{'} D^{'}

🚀 Mở rộng. Gọi

G

là trọng tâm tam giác

A B D

; chứng minh tương tự hình chiếu của

G

là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} D^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.43★★★Trang 71— Giao tuyến và hình chiếu song song của một điểm

Bài 4.43 (trang 71). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

không là hình thang.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S C D)

.
b) Xác định hình chiếu của điểm

A

qua phép chiếu song song lên mặt phẳng

(S C D)

theo phương

S B

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung thì giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm đó.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ cắt $(Q)$ thì giao điểm nằm trên giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đáy không là hình thang nên

A B

cắt

C D

tại

E

, cho điểm chung thứ hai của

(S A B)

và

(S C D)

. Câu b: đường qua

A

song song

S B

nằm trong

(S A B)

, nên nó gặp

(S C D)

tại một điểm của giao tuyến

S E

. Bẫy: tìm giao của đường đó với

S C

hay

S D

— không có.

1Cách 1. Giao tuyến rồi giao điểm trong một mặt phẳng

Định hướng. Mọi thứ diễn ra trong mặt phẳng $(S A B)$ .

A B C D

không là hình thang ⇒

A B \cap C D = E

S

E

là hai điểm chung ⇒

(S A B) \cap (S C D) = S E

.
Trong

(S A B)

, kẻ qua

A

đường thẳng

d ∥ S B

;

d

cắt

S E

tại

A^{'}

(vì

S E

cắt

S B

tại

S

nên

S E \neq ∥ d

A^{'} \in S E \subset (S C D)

A A^{'} ∥ S B

⇒

A^{'}

là hình chiếu của

A

Vậy a) giao tuyến là $S E$ với $E = A B \cap C D$ ; b) hình chiếu của $A$ là giao điểm $A^{'}$ của $S E$ với đường thẳng qua $A$ song song $S B$ .

2Cách 2. Định lí Thalès định vị

A^{'}

Định hướng. Trong tam giác $E S B$ , đường thẳng qua $A$ song song $S B$ chia $E S$ theo tỉ số $\frac{E A}{E B}$ .

A \in E B

A A^{'} ∥ B S

A^{'} \in E S

⇒

\frac{E A ^{'}}{E S} = \frac{E A}{E B}

.
⇒

A^{'}

là điểm trên tia

E S

với

E A^{'} = \frac{E A}{E B} \cdot E S

Vậy $A^{'}$ nằm trên $S E$ , $E A^{'} = \frac{E A}{E B} \cdot E S$ (nếu $E$ nằm ngoài đoạn $A B$ về phía $A$ thì $A^{'}$ nằm giữa $E$ và $S$ ).

3Cách 3. Chiếu cả mặt phẳng

(S A B)

Định hướng. Phép chiếu theo phương $S B$ biến mặt phẳng $(S A B)$ (chứa phương chiếu) thành đường thẳng $(S A B) \cap (S C D)$ .

(S A B)

chứa phương

S B

⇒ mọi điểm của

(S A B)

có hình chiếu trên

(S A B) \cap (S C D) = S E

B \mapsto S

(vì

B S

là phương chiếu),

E \mapsto E

.
Giữ tỉ số trên đường

E B

A \mapsto A^{'}

trên

E S

với

\frac{E A ^{'}}{E S} = \frac{E A}{E B}

Vậy hình chiếu của $A$ là điểm $A^{'}$ trên $S E$ như trên.

Nhận xét. Hình vẽ cho trường hợp $E$ nằm phía $A$ : $A^{'}$ nằm trên đoạn $S E$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: dựng hình trực tiếp, đúng thứ tự mà đề hỏi (giao tuyến rồi hình chiếu).

Đáp số. a) Gọi

E = A B \cap C D

thì

(S A B) \cap (S C D) = S E

. b) Trong

(S A B)

kẻ qua

A

đường thẳng song song

S B

, cắt

S E

tại

A^{'}

;

A^{'}

là hình chiếu của

A

lên

(S C D)

theo phương

S B

Sai lầm thường gặp. Kẻ qua

A

đường song song

S B

rồi tìm giao với

S C

hoặc

S D

— hai đường đó không đồng phẳng với nó nên nói chung không cắt.

🚀 Mở rộng. Nếu đáy

A B C D

là hình thang có

A B ∥ C D

thì giao tuyến là đường qua

S

song song

A B

, và hình chiếu của

A

là giao điểm của giao tuyến ấy với đường qua

A

song song

S B

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.44★★★★Trang 71— Tính chất phép chiếu song song trong tứ diện

Bài 4.44 (trang 71). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

C D

và

(P)

là mặt phẳng cố định không song song với

M N

. Gọi

A^{'}

B^{'}

C^{'}

D^{'}

M^{'}

N^{'}

lần lượt là hình chiếu của

A

B

C

D

M

N

qua phép chiếu lên mặt phẳng

(P)

theo phương

M N

.
a) Chứng minh rằng hai điểm

M^{'}

và

N^{'}

trùng nhau.
b) Chứng minh rằng bốn điểm

A^{'}

B^{'}

C^{'}

D^{'}

là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng song song với phương chiếu có hình chiếu là một điểm.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Phương chiếu chính là

M N

, nên đường thẳng

M N

bị "ép" thành một điểm — câu a gần như hiển nhiên. Câu b:

M^{'}

là trung điểm

A^{'} B^{'}

N^{'}

là trung điểm

C^{'} D^{'}

, hai trung điểm trùng nhau ⇒ tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Bẫy: gọi tên tứ giác là

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

— thật ra hai đường chéo là

A^{'} B^{'}

và

C^{'} D^{'}

, nên hình bình hành là

A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}

; còn phải loại trường hợp bốn điểm thẳng hàng.

1Cách 1. Trung điểm chung của hai đường chéo

Định hướng. Chứng minh $A^{'} B^{'}$ , $C^{'} D^{'}$ có chung trung điểm $I = M^{'} = N^{'}$ .

M N

song song phương chiếu ⇒ hình chiếu của đường thẳng

M N

là một điểm ⇒

M^{'} = N^{'}

, gọi là

I

M

trung điểm

A B

⇒

I = M^{'}

trung điểm

A^{'} B^{'}

;

N

trung điểm

C D

⇒

I = N^{'}

trung điểm

C^{'} D^{'}

A^{'} B^{'}

và

C^{'} D^{'}

không cùng nằm trên một đường thẳng: nếu có thì mặt phẳng qua

A B

song song

M N

và mặt phẳng qua

C D

song song

M N

trùng nhau (đều chứa đường thẳng

M N

) ⇒

A, B, C, D

đồng phẳng, vô lí.
⇒ tứ giác

A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}

có hai đường chéo

A^{'} B^{'}

C^{'} D^{'}

cắt nhau tại trung điểm

I

của mỗi đường.

Vậy a) $M^{'} = N^{'}$ ; b) $A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ là hình bình hành, tức $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

2Cách 2. Biến đổi vectơ

Định hướng. Dùng $M N = \frac{1}{2} (A C + B D)$ rồi chiếu.

Hình chiếu của

M N

theo phương

M N

là

0

⇒

M^{'} N^{'} = 0

⇒

M^{'} = N^{'}

M N = \frac{1}{2} (A C + B D)

⇒

0 = \frac{1}{2} (A^{'} C^{'} + B^{'} D^{'})

.
⇒

A^{'} C^{'} = D^{'} B^{'}

⇒

A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}

là hình bình hành (bốn điểm không thẳng hàng như Cách 1).

Vậy $M^{'} = N^{'}$ và $A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ là hình bình hành.

3Cách 3. Hình bình hành trung điểm

Định hướng. Gọi $K$ , $L$ là trung điểm $A C$ , $B D$ ; tứ giác $M K N L$ là hình bình hành có tâm là trung điểm $M N$ .

M K ∥ B C ∥ L N

M K = \frac{1}{2} B C = L N

⇒

M K N L

là hình bình hành ⇒

K L

và

M N

cắt nhau tại trung điểm

J

của mỗi đường.
Chiếu:

M, J, N \mapsto I

⇒

J^{'} = I

là trung điểm của

K^{'} L^{'}

K^{'}

L^{'}

là trung điểm

A^{'} C^{'}

B^{'} D^{'}

;

I = M^{'} = N^{'}

là trung điểm

A^{'} B^{'}

và

C^{'} D^{'}

⇒ hai đường chéo

A^{'} B^{'}

C^{'} D^{'}

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vậy $M^{'} = N^{'}$ và $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ là bốn đỉnh của hình bình hành $A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}$ .

Nhận xét. Đã kiểm bằng sympy: với tứ diện và mặt phẳng tổng quát, trung điểm $A^{'} B^{'}$ luôn trùng trung điểm $C^{'} D^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: "phương chiếu ép

M N

thành một điểm" rồi dùng dấu hiệu hai đường chéo — ngắn và làm rõ vì sao đúng.

Đáp số. a) Vì

M N

song song với phương chiếu nên hình chiếu của

M

và

N

trùng nhau:

M^{'} = N^{'} = I

. b)

I

là trung điểm của cả

A^{'} B^{'}

và

C^{'} D^{'}

, hai đoạn này không cùng nằm trên một đường thẳng, nên tứ giác

A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}

có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường — đó là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình bình hành" theo đúng thứ tự tên — sai thứ tự đỉnh:

A^{'} B^{'}

và

C^{'} D^{'}

là hai đường chéo, hình bình hành là

A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}

(hoặc

A^{'} D^{'} B^{'} C^{'}

🚀 Mở rộng. Bài toán cho một cách khác chứng minh ba đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.45★★Trang 71— Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

Bài 4.45 (trang 71). Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông.

Kiến thức cần nhớ

Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang là hình thang cùng tỉ số hai đáy.
Quy ước: cạnh nhìn thấy vẽ nét liền, cạnh bị che khuất vẽ nét đứt.

🧠 Phân tích tư duy

Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành; góc vuông và cạnh bằng nhau không cần giữ. Vẽ đáy thành hình bình hành nằm nghiêng, đỉnh

S

phía trên (thường đặt trên đường thẳng đứng qua tâm

O

khi là chóp đều), rồi xác định cạnh khuất. Bẫy: cố vẽ đáy là hình vuông nhìn chính diện, khiến hình mất cảm giác không gian.

1Cách 1. Vẽ đáy là hình bình hành

Định hướng. Hình bình hành là hình biểu diễn của hình vuông.

Vẽ hình bình hành

A B C D

A B

nằm ngang phía trước,

A D

xiên ra sau,

A D

ngắn hơn

A B

.
Lấy

S

phía trên đáy, nối

S A

S B

S C

S D

.
Đỉnh

D

khuất ⇒

A D

C D

S D

vẽ nét đứt.

Vậy được hình biểu diễn như hình vẽ.

2Cách 2. Dựng từ tâm

O

Định hướng. Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm; hình biểu diễn chỉ giữ "cắt nhau tại trung điểm".

Vẽ hai đoạn

A C

B D

cắt nhau tại trung điểm chung

O

⇒

A B C D

là hình bình hành.
Vẽ

S O

thẳng đứng (nét đứt vì nằm trong khối), lấy

S

trên đó.
Nối các cạnh bên; xác định đỉnh khuất để vẽ nét đứt.

Vậy hình chóp $S . A B C D$ có đáy biểu diễn bởi hình bình hành tâm $O$ .

3Cách 3. Dựng trong một hình lập phương

Định hướng. Hình vuông $A B C D$ là đáy của một hình lập phương; vẽ hình lập phương rồi giữ lại đáy.

Vẽ hình lập phương như HĐ3 (SGK), đáy dưới là hình bình hành

A B C D

.
Lấy

S

là tâm mặt trên (giao hai đường chéo mặt trên) để được chóp đều.
Xoá các cạnh của hình lập phương, giữ đáy và các cạnh bên.

Vậy hình biểu diễn của chóp tứ giác đều nội tiếp hình lập phương.

Nhận xét. Cách này bảo đảm $S$ nằm đúng trên đường thẳng đứng qua tâm đáy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: dựng từ tâm

O

cho đáy đúng là hình bình hành và có sẵn đường cao

S O

khi chóp đều.

Đáp số. Vẽ đáy

A B C D

là một hình bình hành (hình biểu diễn của hình vuông), đỉnh

S

phía trên, nối các cạnh bên; các cạnh xuất phát từ đỉnh khuất

D

(

A D

C D

S D

) vẽ nét đứt (như hình vẽ).

Sai lầm thường gặp. Vẽ đáy thành hình thoi hoặc hình vuông vì "đáy là hình vuông" — không sai hẳn nhưng không cần; vẽ đáy thành hình thang thì sai vì mất tính song song.

🚀 Mở rộng. Hình biểu diễn của hình chóp có đáy là hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành đều có thể giống hệt hình này — dữ kiện phải ghi bằng lời, không đọc từ hình.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.46★★Trang 71— Nhận biết hình biểu diễn của hình lăng trụ

Bài 4.46 (trang 71). Trong các hình sau, hình nào là hình biểu diễn của hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình thang?
(Hình 4.31 gồm ba hình a), b), c) vẽ các khối tứ giác; theo đối chiếu hai nguồn: ở hình a) và b) có mặt bên không phải hình bình hành (các cạnh bên không song song hoặc không bằng nhau); ở hình c) hai đáy là hình thang, các cạnh bên song song và bằng nhau.)

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang là hình thang cùng tỉ số hai đáy.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hình biểu diễn của lăng trụ đáy hình thang phải có: hai đáy là hai hình thang "bằng nhau" (tịnh tiến của nhau), các cạnh bên song song và bằng nhau, nên mọi mặt bên là hình bình hành. Dò từng hình theo ba tiêu chí này. Bẫy: chỉ nhìn đáy là hình thang mà bỏ qua các cạnh bên.

1Cách 1. Kiểm tra các mặt bên

Định hướng. Mặt bên của lăng trụ là hình bình hành và vẫn là hình bình hành trên hình biểu diễn.

Hình a): có mặt bên không là hình bình hành ⇒ loại.
Hình b): có mặt bên không là hình bình hành ⇒ loại.
Hình c): các mặt bên là hình bình hành, hai đáy là hình thang ⇒ đúng.

Vậy hình c) là hình biểu diễn của lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình thang.

2Cách 2. Kiểm tra các cạnh bên

Định hướng. Bốn cạnh bên của lăng trụ song song và bằng nhau.

Hình biểu diễn giữ song song và giữ tỉ số của các đoạn song song ⇒ bốn cạnh bên vẫn song song, bằng nhau.
Hình a), b) có cạnh bên không song song hoặc không bằng nhau ⇒ loại; hình c) thoả.

Vậy chọn hình c).

3Cách 3. Kiểm tra hai đáy

Định hướng. Hai đáy là hai hình thang, đáy trên là tịnh tiến của đáy dưới.

Đáy dưới

A B C D

(

A B ∥ C D

) ⇒ đáy trên

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

và

\frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}} = \frac{A B}{C D}

, các cạnh tương ứng song song, bằng nhau.
Chỉ hình c) có hai đáy là hai hình thang bằng nhau, đặt song song cùng hướng.

Vậy hình c) là hình cần tìm.

Nhận xét. Hình minh hoạ bên dưới vẽ lại hình biểu diễn đúng của lăng trụ đáy hình thang để đối chiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: "mặt bên lăng trụ là hình bình hành" là dấu hiệu nhìn thấy ngay trên hình.

Đáp số. Hình c) (Hình 4.31c) là hình biểu diễn của hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình thang, vì chỉ ở hình này các mặt bên là hình bình hành và hai đáy là hình thang.

Sai lầm thường gặp. Chọn hình có đáy là hình thang nhưng các cạnh bên chụm lại — đó là hình chóp cụt, không phải lăng trụ.

🚀 Mở rộng. Hình chóp cụt đáy hình thang có hình biểu diễn như thế nào? (Các cạnh bên kéo dài đồng quy, hai đáy là hai hình thang đồng dạng.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.47★★Trang 71— Giải thích hiện tượng thực tế bằng phép chiếu song song

Bài 4.47 (trang 71). Ba chiếc gậy thẳng được đặt dựa vào tường và đôi một song song với nhau (H.4.32). Giải thích vì sao nếu ba đầu gậy trên tường thẳng hàng thì ba đầu gậy trên mặt sàn cũng thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba chiếc gậy song song cho sẵn một phương chiếu; đầu dưới mỗi gậy là hình chiếu của đầu trên lên mặt sàn theo phương đó. Vậy chỉ cần tính chất giữ thẳng hàng. Bẫy: giải thích bằng "ba gậy bằng nhau" — đề không cho điều đó.

1Cách 1. Tính chất giữ thẳng hàng

Định hướng. Coi đầu dưới là hình chiếu của đầu trên.

Gọi

A

B

C

là ba đầu trên,

A^{'}

B^{'}

C^{'}

là ba đầu dưới;

d

là phương của các gậy,

(P)

là mặt sàn.

A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ d

A^{'}, B^{'}, C^{'} \in (P)

⇒

A^{'}

B^{'}

C^{'}

là hình chiếu của

A

B

C

lên

(P)

theo phương

d

A

B

C

thẳng hàng ⇒

A^{'}

B^{'}

C^{'}

thẳng hàng.

Vậy ba đầu gậy trên sàn thẳng hàng.

2Cách 2. Giao tuyến của hai mặt phẳng

Định hướng. Ba gậy song song cùng nằm trong một mặt phẳng.

A A^{'} ∥ B B^{'}

⇒

A, A^{'}, B, B^{'}

thuộc mặt phẳng

(Q)

C \in A B \subset (Q)

và

C C^{'} ∥ A A^{'}

⇒

C C^{'} \subset (Q)

⇒

C^{'} \in (Q)

A^{'}, B^{'}, C^{'}

cùng thuộc

(Q) \cap (P)

là một đường thẳng ⇒ thẳng hàng.

Vậy $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ thẳng hàng.

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Biểu diễn $C$ qua $A$ , $B$ rồi chiếu.

A

B

C

thẳng hàng ⇒

A C = t A B

.
Phép chiếu giữ đẳng thức vectơ ⇒

A^{'} C^{'} = t A^{'} B^{'}

.
⇒

A^{'}

B^{'}

C^{'}

thẳng hàng (và

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A B}

Vậy ba đầu gậy trên sàn thẳng hàng.

Nhận xét. Thêm nữa, nếu đầu $B$ nằm giữa $A$ và $C$ thì đầu $B^{'}$ cũng nằm giữa $A^{'}$ và $C^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: chỉ cần kiến thức mặt phẳng và giao tuyến, giải thích được cả cho người chưa học phép chiếu song song.

Đáp số. Gọi

d

là phương của các gậy và

(P)

là mặt sàn: ba đầu gậy trên sàn là hình chiếu song song của ba đầu gậy trên tường lên

(P)

theo phương

d

. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng nên ba đầu gậy trên sàn thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Lập luận "vì các gậy dài bằng nhau" — đề không cho, và dù các gậy dài khác nhau kết luận vẫn đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu ba đầu trên tường cách đều nhau (

A B = B C

) thì ba đầu dưới có cách đều nhau không? (Có, vì phép chiếu giữ tỉ số.)

Mở bài này trong app ↗