Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 14. Phép chiếu song song

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang71 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.41★★Trang 71— Xác định hình chiếu của một điểm và tỉ số

Bài 4.41 (trang 71). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

là điểm thuộc cạnh

B C

sao cho

M B = 2 M C

.
a) Xác định hình chiếu

M^{'}

của

M

qua phép chiếu song song lên mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

theo phương

A A^{'}

.
b) Chứng minh rằng

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

Phương chiếu

A A^{'}

song song với các cạnh bên

B B^{'}

C C^{'}

, nên đường qua

M

song song

A A^{'}

nằm trong mặt bên

(B C C^{'} B^{'})

và cắt

B^{'} C^{'}

. Câu b là tính chất giữ tỉ số, hoặc thấy ngay qua hai hình bình hành. Bẫy: tìm

M^{'}

trên

A^{'} B^{'}

hay

A^{'} C^{'}

1Cách 1. Hai hình bình hành

Định hướng. Dựng $M M^{'} ∥ B B^{'}$ trong mặt bên $(B C C^{'} B^{'})$ .

Trong

(B C C^{'} B^{'})

kẻ

M M^{'} ∥ B B^{'}

M^{'} \in B^{'} C^{'}

⇒

M M^{'} ∥ A A^{'}

M^{'} \in (A^{'} B^{'} C^{'})

.
⇒

M^{'}

là hình chiếu của

M

B M M^{'} B^{'}

là hình bình hành ⇒

M^{'} B^{'} = M B

;

M C C^{'} M^{'}

là hình bình hành ⇒

M^{'} C^{'} = M C

M B = 2 M C

⇒

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

Vậy $M^{'}$ là điểm trên $B^{'} C^{'}$ với $M M^{'} ∥ A A^{'}$ , và $M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}$ .

2Cách 2. Tính chất giữ tỉ số

Định hướng. Phép chiếu biến $B \mapsto B^{'}$ , $C \mapsto C^{'}$ (vì $B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ A A^{'}$ ).

B, M, C

thẳng hàng theo thứ tự đó ⇒

B^{'}, M^{'}, C^{'}

thẳng hàng theo thứ tự đó.

\frac{M ^{'} B ^{'}}{M ^{'} C ^{'}} = \frac{M B}{M C} = 2

Vậy $M^{'} \in B^{'} C^{'}$ và $M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}$ .

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Hình chiếu giữ đẳng thức vectơ.

M B = - 2 M C

⇒

M^{'} B^{'} = - 2 M^{'} C^{'}

.
⇒

M^{'}

nằm giữa

B^{'}

C^{'}

và

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

.
Đồng thời

M M^{'} = B B^{'} + B^{'} M^{'} - B M = B B^{'}

⇒

M M^{'} ∥ A A^{'}

Vậy $M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}$ .

Nhận xét. Đã kiểm bằng sympy với phương chiếu tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ cần hai hình bình hành, không cần nhớ tính chất phép chiếu.

Đáp số. a)

M^{'}

là giao điểm của

B^{'} C^{'}

với đường thẳng qua

M

song song

B B^{'}

(trong mặt phẳng

(B C C^{'} B^{'})

). b)

M^{'} B^{'} = M B

M^{'} C^{'} = M C

nên

M^{'} B^{'} = 2 M^{'} C^{'}

Sai lầm thường gặp. Kẻ qua

M

đường song song

A A^{'}

rồi cho cắt

A^{'} B^{'}

— sai: đường này nằm trong

(B C C^{'} B^{'})

, chỉ có thể cắt

B^{'} C^{'}

🚀 Mở rộng. Nếu

M

chia

B C

theo tỉ số

\frac{M B}{M C} = k

thì

\frac{M ^{'} B ^{'}}{M ^{'} C ^{'}} = k

với mọi phương chiếu cắt

(A^{'} B^{'} C^{'})

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.42★★Trang 71— Phép chiếu giữ quan hệ liên thuộc

Bài 4.42 (trang 71). Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Gọi

O^{'}

là hình chiếu của

O

qua phép chiếu song song lên mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

theo phương

A A^{'}

. Chứng minh rằng

O^{'}

là giao điểm của

A^{'} C^{'}

và

B^{'} D^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

O

thuộc cả

A C

và

B D

; phép chiếu theo phương cạnh bên biến

A C \mapsto A^{'} C^{'}

B D \mapsto B^{'} D^{'}

. Điểm nằm trên hai đường thẳng thì hình chiếu nằm trên hai hình chiếu. Bẫy: quên chỉ ra

A^{'} C^{'}

và

B^{'} D^{'}

cắt nhau tại đúng một điểm.

1Cách 1. Giữ thẳng hàng

Định hướng. Chiếu hai đường chéo của đáy dưới.

A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ D D^{'}

⇒ hình chiếu của

A, B, C, D

là

A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}

O \in A C

⇒

O^{'} \in A^{'} C^{'}

;

O \in B D

⇒

O^{'} \in B^{'} D^{'}

A^{'} C^{'}

B^{'} D^{'}

là hai đường chéo của tứ giác

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

nên cắt nhau tại một điểm duy nhất ⇒

O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}

Vậy $O^{'}$ là giao điểm của $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} D^{'}$ .

2Cách 2. Giao tuyến của hai mặt chéo

Định hướng. $O O^{'}$ nằm trong cả hai mặt chéo $(A C C^{'} A^{'})$ và $(B D D^{'} B^{'})$ .

O O^{'} ∥ A A^{'}

O \in A C

⇒

O O^{'} \subset (A C C^{'} A^{'})

⇒

O^{'} \in (A C C^{'} A^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = A^{'} C^{'}

O O^{'} ∥ B B^{'}

O \in B D

⇒

O O^{'} \subset (B D D^{'} B^{'})

⇒

O^{'} \in (B D D^{'} B^{'}) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = B^{'} D^{'}

Vậy $O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến theo vectơ cạnh bên

Định hướng. Phép chiếu theo phương $A A^{'}$ lên đáy trên chính là tịnh tiến theo $A A^{'}$ đối với các điểm của đáy dưới.

Với

X

thuộc

(A B C D)

X X^{'} = A A^{'}

(vì

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

).
Phép tịnh tiến biến

A C \mapsto A^{'} C^{'}

B D \mapsto B^{'} D^{'}

, giao điểm

\mapsto

giao điểm.
⇒

O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}

Vậy $O^{'}$ là giao điểm của $A^{'} C^{'}$ và $B^{'} D^{'}$ .

Nhận xét. Trường hợp đáy là hình bình hành, $O$ và $O^{'}$ lần lượt là tâm hai đáy và $O O^{'}$ song song, bằng cạnh bên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: hai dòng dùng thẳng tính chất giữ thẳng hàng.

Đáp số. Vì

O

thuộc

A C

và

B D

nên hình chiếu

O^{'}

thuộc hình chiếu

A^{'} C^{'}

của

A C

và hình chiếu

B^{'} D^{'}

của

B D

; hai đường chéo này cắt nhau tại một điểm nên

O^{'}

là giao điểm của

A^{'} C^{'}

và

B^{'} D^{'}

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

O^{'} \in A^{'} C^{'}

rồi dừng — mới được một nửa, phải chứng minh cả

O^{'} \in B^{'} D^{'}

🚀 Mở rộng. Gọi

G

là trọng tâm tam giác

A B D

; chứng minh tương tự hình chiếu của

G

là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} D^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.43★★★Trang 71— Giao tuyến và hình chiếu song song của một điểm

Bài 4.43 (trang 71). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

không là hình thang.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S C D)

.
b) Xác định hình chiếu của điểm

A

qua phép chiếu song song lên mặt phẳng

(S C D)

theo phương

S B

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung thì giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm đó.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ cắt $(Q)$ thì giao điểm nằm trên giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.44★★★★Trang 71— Tính chất phép chiếu song song trong tứ diện

Bài 4.44 (trang 71). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

C D

và

(P)

là mặt phẳng cố định không song song với

M N

. Gọi

A^{'}

B^{'}

C^{'}

D^{'}

M^{'}

N^{'}

lần lượt là hình chiếu của

A

B

C

D

M

N

qua phép chiếu lên mặt phẳng

(P)

theo phương

M N

.
a) Chứng minh rằng hai điểm

M^{'}

và

N^{'}

trùng nhau.
b) Chứng minh rằng bốn điểm

A^{'}

B^{'}

C^{'}

D^{'}

là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng song song với phương chiếu có hình chiếu là một điểm.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.45★★Trang 71— Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

Bài 4.45 (trang 71). Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông.

Kiến thức cần nhớ

Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang là hình thang cùng tỉ số hai đáy.
Quy ước: cạnh nhìn thấy vẽ nét liền, cạnh bị che khuất vẽ nét đứt.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.46★★Trang 71— Nhận biết hình biểu diễn của hình lăng trụ

Bài 4.46 (trang 71). Trong các hình sau, hình nào là hình biểu diễn của hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình thang?
(Hình 4.31 gồm ba hình a), b), c) vẽ các khối tứ giác; theo đối chiếu hai nguồn: ở hình a) và b) có mặt bên không phải hình bình hành (các cạnh bên không song song hoặc không bằng nhau); ở hình c) hai đáy là hình thang, các cạnh bên song song và bằng nhau.)

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang là hình thang cùng tỉ số hai đáy.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.47★★Trang 71— Giải thích hiện tượng thực tế bằng phép chiếu song song

Bài 4.47 (trang 71). Ba chiếc gậy thẳng được đặt dựa vào tường và đôi một song song với nhau (H.4.32). Giải thích vì sao nếu ba đầu gậy trên tường thẳng hàng thì ba đầu gậy trên mặt sàn cũng thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên $(α)$ theo phương $Δ$ : hình chiếu $M^{'}$ của $M$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $Δ$ .
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.