Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài 14. Phép chiếu song song

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 95— Nhận biết phép chiếu song song qua bóng nắng

HĐ1 (trang 95). Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông

A B C D

, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại

O

. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và các chấn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:
a) Các đường thẳng nối mỗi điểm

A

B

C

với bóng

A^{'}

B^{'}

C^{'}

có đôi một song song hay không?
b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(α)$ theo phương $Δ$ (cắt $(α)$ ): mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M^{'}$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
Đường thẳng song song với phương chiếu có hình chiếu là một điểm; ta chỉ xét phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu: nguồn sáng là Mặt Trời ở rất xa nên các tia nắng tới khung cửa coi như song song. Mỗi đường

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

chính là một tia nắng, nên câu a quy về tính chất của tia nắng; câu b chỉ cần "đi theo tia nắng" từ điểm đó tới sàn. Bẫy: nhầm với bóng đèn (nguồn sáng gần) — khi đó các tia đồng quy, không song song.

1Cách 1. Dùng tính chất tia nắng

Định hướng. Mỗi đoạn nối một điểm với bóng của nó là một phần của một tia nắng.

Mặt Trời rất xa ⇒ các tia nắng tới khung cửa song song với nhau.

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

lần lượt nằm trên các tia nắng qua

A

B

C

.
⇒

A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'}

.
Với điểm

M

trên khung: vẽ qua

M

đường thẳng song song với

A A^{'}

(phương tia nắng), cắt sàn tại

M^{'}

⇒

M^{'}

là bóng của

M

Vậy a) Có, $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ đôi một song song; b) bóng của $M$ là giao điểm của sàn với đường thẳng qua $M$ song song với $A A^{'}$ .

2Cách 2. Lập luận bằng mặt phẳng

Định hướng. Hai tia nắng song song xác định một mặt phẳng; dùng giao tuyến của mặt phẳng đó với sàn.

A A^{'} ∥ C C^{'}

⇒

A

C

A^{'}

C^{'}

cùng thuộc mặt phẳng

(A C C^{'} A^{'})

M \in A C

⇒ đường thẳng qua

M

song song

A A^{'}

nằm trong

(A C C^{'} A^{'})

(A C C^{'} A^{'}) \cap

(sàn)

= A^{'} C^{'}

⇒ bóng

M^{'}

của

M

nằm trên đường thẳng

A^{'} C^{'}

Vậy các tia $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ song song; bóng của một điểm là giao của tia nắng qua điểm đó với sàn (với điểm trên $A C$ thì bóng nằm trên $A^{'} C^{'}$ ).

3Cách 3. Mô hình hoá bằng phép chiếu song song

Định hướng. Gọi sàn là mặt phẳng $(α)$ , phương tia nắng là đường thẳng $Δ$ — đây đúng là định nghĩa phép chiếu song song.

Bóng của

M

=

giao của

(α)

với đường qua

M

song song

Δ

M = A

A A^{'} ∥ Δ

;

M = B

B B^{'} ∥ Δ

;

M = C

C C^{'} ∥ Δ

.
⇒

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

đôi một song song (cùng song song

Δ

Vậy câu a: có; câu b: bóng của mỗi điểm là hình chiếu song song của điểm đó lên sàn theo phương tia nắng.

Nhận xét. Đây chính là hình ảnh mở đầu cho định nghĩa phép chiếu song song ở trang 96.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất: gọi tên đúng mô hình (mặt phẳng chiếu = sàn, phương chiếu = tia nắng) thì cả hai câu trả lời ngay và dùng lại được cho toàn bài.

Đáp số. a) Có,

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

đôi một song song (cùng song song với phương tia nắng). b) Qua điểm

M

trên khung, kẻ đường thẳng song song với tia nắng (chẳng hạn song song

A A^{'}

); giao điểm của nó với sàn là bóng

M^{'}

Sai lầm thường gặp. Nối

M

với điểm "ngay bên dưới" trên sàn (theo phương thẳng đứng) — sai, vì tia nắng chiếu xiên; bóng nằm theo phương tia nắng chứ không theo phương dây dọi.

🚀 Mở rộng. Nếu thay Mặt Trời bằng một bóng đèn đặt gần cửa sổ thì các đường

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

đồng quy tại bóng đèn — đó là phép chiếu xuyên tâm (mục Em có biết).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi 1 (trang 96)★★Trang 96— Xác định hình chiếu song song của một đoạn thẳng

Câu hỏi (trang 96). Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa

C D

trên sàn nhà?

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(α)$ theo phương $Δ$ (cắt $(α)$ ): mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M^{'}$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Song cửa

C D

là một đoạn thẳng gồm vô số điểm, không thể dựng bóng từng điểm. Hướng tốt: tìm tập hợp các bóng — các tia nắng qua mọi điểm của

C D

lấp đầy một mặt phẳng, nên bóng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó với sàn. Bẫy: quên rằng bóng chỉ là đoạn giữa

C^{'}

và

D^{'}

chứ không phải cả đường thẳng.

1Cách 1. Dựng bóng hai đầu mút rồi nối

Định hướng. Bóng của đoạn thẳng là đoạn thẳng nối bóng của hai đầu mút.

Qua

C

kẻ tia nắng cắt sàn tại

C^{'}

; qua

D

kẻ tia nắng cắt sàn tại

D^{'}

.
Nối

C^{'} D^{'}

⇒ bóng của song cửa

C D

là đoạn

C^{'} D^{'}

Vậy bóng của song cửa $C D$ là đoạn thẳng $C^{'} D^{'}$ .

2Cách 2. Dùng mặt phẳng chứa các tia nắng

Định hướng. Mọi tia nắng qua các điểm của $C D$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

C C^{'} ∥ D D^{'}

⇒

C

D

C^{'}

D^{'}

đồng phẳng, gọi mặt phẳng đó là

(Q)

M \in C D

⇒ tia nắng qua

M

song song

C C^{'}

nên nằm trong

(Q)

.
⇒ bóng

M^{'} \in (Q) \cap

(sàn)

= C^{'} D^{'}

M

chạy từ

C

tới

D

⇒

M^{'}

chạy từ

C^{'}

tới

D^{'}

(trong hình thang

C D D^{'} C^{'}

M M^{'} ∥ C C^{'}

Vậy bóng của $C D$ là đoạn $C^{'} D^{'}$ — giao của mặt phẳng tia nắng qua $C D$ với sàn.

3Cách 3. Dựng bóng hai điểm bất kì và giới hạn bởi hai đầu mút

Định hướng. Chỉ cần bóng của hai điểm phân biệt để có đường thẳng chứa bóng, rồi chặn bởi bóng của $C$ , $D$ .

Lấy

O \in C D

(giao điểm hai đường chéo) và

D

: bóng là

O^{'}

D^{'}

.
Bóng của cả đường thẳng

C D

là đường thẳng

O^{'} D^{'}

.
Chặn bởi

C^{'}

(bóng của

C

) và

D^{'}

⇒ bóng của song cửa là đoạn

C^{'} D^{'}

(qua

O^{'}

Vậy bóng của song cửa $C D$ là đoạn $C^{'} D^{'}$ và đi qua bóng $O^{'}$ của tâm $O$ .

Nhận xét. Nhờ vậy khi vẽ hình biểu diễn, ta chỉ cần xác định hình chiếu của các đỉnh rồi nối lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ cần hai tia nắng; Cách 2 là lời giải thích vì sao Cách 1 đúng.

Đáp số. Xác định bóng

C^{'}

D^{'}

của hai đầu mút

C

D

(giao của tia nắng qua

C

D

với sàn) rồi nối lại: bóng của song cửa

C D

là đoạn thẳng

C^{'} D^{'}

Sai lầm thường gặp. Cho rằng bóng của

C D

phải dài bằng

C D

— sai: phép chiếu song song không giữ độ dài (bóng buổi chiều dài hơn bóng buổi trưa).

🚀 Mở rộng. Bóng của đường tròn khung cửa có còn là đường tròn không? Dựng bóng của nhiều điểm trên khung sẽ thấy đó là một elip.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 97— Xác định hình chiếu song song của một điểm

Luyện tập 1 (trang 97). Cho hình hộp

A B C D . E F G H

(H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm

A

trên mặt phẳng

(C D H G)

theo phương

B C

và theo phương

B G

.
(Hình 4.58: mặt trên $A B C D$ , mặt dưới $E F G H$ với $E$ , $F$ , $G$ , $H$ lần lượt nằm dưới $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(α)$ theo phương $Δ$ (cắt $(α)$ ): mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M^{'}$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
Hình hộp: sáu mặt là hình bình hành, các cạnh song song cùng chiều thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hình chiếu của

A

theo phương

d

là giao điểm của mặt phẳng chiếu với đường thẳng qua

A

song song

d

. Trong hình hộp, các cạnh và đường chéo mặt song song có sẵn, nên chỉ cần tìm đường qua

A

song song

B C

(hoặc

B G

) có đầu mút nằm trên

(C D H G)

. Bẫy: lấy nhầm

C

hay

G

vì "cùng tên với phương chiếu".

1Cách 1. Tìm đường song song có sẵn trong hình hộp

Định hướng. Tìm cạnh / đường chéo mặt đi qua $A$ và song song với phương chiếu.

A B C D

là hình bình hành ⇒

A D ∥ B C

D \in (C D H G)

.
⇒ hình chiếu của

A

theo phương

B C

là

D

A B G H

là hình bình hành (

A B ∥ H G

A B = H G

) ⇒

A H ∥ B G

H \in (C D H G)

.
⇒ hình chiếu của

A

theo phương

B G

là

H

Vậy theo phương $B C$ hình chiếu của $A$ là $D$ ; theo phương $B G$ là $H$ .

2Cách 2. Tịnh tiến bằng vectơ

Định hướng. Hình chiếu $A^{'}$ thoả $A A^{'}$ cùng phương với vectơ chỉ phương và $A^{'} \in (C D H G)$ .

A D = B C

⇒

A D ∥ B C

D \in (C D H G)

⇒

A^{'} = D

A H = A D + D H = B C + C G = B G

⇒

A H ∥ B G

H \in (C D H G)

⇒

A^{''} = H

Vậy hình chiếu cần tìm lần lượt là $D$ và $H$ .

3Cách 3. Dùng mặt phẳng song song

Định hướng. Mặt $(A B F E) ∥ (D C G H)$ ; phép chiếu theo phương $B C$ (hay $B G$ ) biến mặt này thành mặt kia, đỉnh ứng với đỉnh.

Theo phương

B C

B \mapsto C

A \mapsto D

F \mapsto G

E \mapsto H

(các cạnh

A D

B C

F G

E H

song song).
Theo phương

B G

B \mapsto G

A \mapsto H

(vì

A H ∥ B G

E

và

F

ứng với điểm ngoài hình hộp.

Vậy hình chiếu của $A$ là $D$ (phương $B C$ ) và $H$ (phương $B G$ ).

Nhận xét. Phương $B G$ là đường chéo mặt $(B C GF)$ nên cặp song song với nó là đường chéo $A H$ của mặt đối diện $(A D H E)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: một đẳng thức vectơ chứng minh ngay

A H ∥ B G

, không phải nhìn hình đoán.

Đáp số. Theo phương

B C

: hình chiếu của

A

là

D

. Theo phương

B G

: hình chiếu của

A

là

H

Sai lầm thường gặp. Trả lời "hình chiếu theo phương

B G

là

G

" — sai:

A G

là đường chéo của hình hộp, không song song với

B G

(hai đường này cắt nhau tại

G

🚀 Mở rộng. Hình chiếu của cả mặt

(A B F E)

lên

(C D H G)

theo phương

B G

là hình gì? (Một hình bình hành có hai đỉnh là

G

H

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng 1★★Trang 97— Ứng dụng phép chiếu song song vào thực tế

Vận dụng 1 (trang 97). Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?
(Hình ảnh mở đầu: công nghệ Goal-line xác định bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa; ảnh một bàn thắng được ghi, quả bóng ở trong khung thành.)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(α)$ theo phương $Δ$ (cắt $(α)$ ): mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M^{'}$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
Hình chiếu vuông góc của một quả cầu xuống mặt phẳng là một hình tròn có bán kính bằng bán kính quả cầu, tâm là hình chiếu của tâm quả cầu.

🧠 Phân tích tư duy

Luật bóng đá: bàn thắng được công nhận khi toàn bộ quả bóng vượt qua vạch vôi. Chiếu thẳng đứng quả bóng xuống mặt sân (phép chiếu song song theo phương thẳng đứng), ta được một hình tròn — bóng hoàn toàn vượt vạch nghĩa là hình tròn đó hoàn toàn nằm bên kia vạch. Bẫy: chỉ xét điểm tiếp đất của quả bóng — điểm đó qua vạch chưa đủ.

1Cách 1. Chiếu từng điểm của quả bóng

Định hướng. Bàn thắng ⇔ mọi điểm của quả bóng đã ở phía trong khung thành so với mặt phẳng đứng chứa mép trong vạch vôi.

Mặt phẳng đứng chứa mép trong vạch vôi song song phương chiếu thẳng đứng.
Điểm

M

của quả bóng ở phía trong khung thành ⇔ hình chiếu

M^{'}

ở phía trong khung thành so với vạch vôi.
Mọi điểm

M

đều ở trong ⇒ mọi

M^{'}

đều ở trong.

Vậy hình chiếu của quả bóng nằm hoàn toàn phía trong khung thành, không có điểm chung với vạch vôi.

2Cách 2. Chiếu tâm quả bóng

Định hướng. Hình chiếu của quả bóng là hình tròn tâm $O^{'}$ (chiếu của tâm $O$ ), bán kính $R$ .

Hình tròn

(O^{'}; R)

không chạm vạch vôi và nằm trong khung ⇔ khoảng cách từ

O^{'}

tới mép trong vạch vôi lớn hơn

R

và

O^{'}

ở phía trong.
⇔ tâm quả bóng đã vượt qua mép trong vạch vôi hơn một bán kính.

Vậy hình chiếu (hình tròn) của quả bóng nằm hẳn phía trong khung thành, không giao vạch vôi.

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử hình chiếu còn có điểm chung với vạch vôi.

Gọi

M^{'}

là điểm chung ⇒

M^{'}

là hình chiếu của một điểm

M

trên quả bóng.

M M^{'}

thẳng đứng ⇒

M

nằm ngay trên vạch vôi ⇒ quả bóng chưa hoàn toàn vượt qua vạch.
Mâu thuẫn với việc bàn thắng được ghi.

Vậy hình chiếu của quả bóng hoàn toàn nằm trong phần sân phía trong khung thành, tách rời vạch vôi.

Nhận xét. Công nghệ Goal-line thực chất kiểm tra điều kiện hình học này bằng camera.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: quy cả quả bóng về một điểm (tâm) và một con số (bán kính), rất tiện khi đo bằng camera.

Đáp số. Hình chiếu của quả bóng (một hình tròn) nằm hoàn toàn phía trong khung thành, không có điểm chung với vạch vôi (đã vượt hẳn qua vạch vôi).

Sai lầm thường gặp. Kết luận "hình chiếu chạm vạch vôi là bàn thắng" — sai: chỉ cần còn một điểm của hình chiếu nằm trên vạch vôi là bóng chưa vượt hẳn.

🚀 Mở rộng. Nếu camera chiếu xiên (không thẳng đứng) thì kết luận còn đúng không? Chỉ đúng khi phương chiếu song song với mặt phẳng đứng chứa vạch vôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ2★★Trang 97— Khám phá tính chất của phép chiếu song song

HĐ2 (trang 97). Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu

O^{'}

của điểm

O

có nằm trên đoạn

A^{'} C^{'}

hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa

A B

và

C D

như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu

O^{'}

của điểm

O

có phải là trung điểm của đoạn

A^{'} C^{'}

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu hỏi là ba tính chất của phép chiếu song song: giữ thẳng hàng, giữ song song, giữ tỉ số. Công cụ chung: hai tia nắng song song tạo một mặt phẳng, trong đó dùng hình thang và định lí Thalès. Bẫy: nghĩ rằng bóng giữ nguyên độ dài, dẫn tới câu c trả lời theo cảm tính.

1Cách 1. Hình thang và đường trung bình

Định hướng. Xét mặt phẳng chứa hai tia nắng song song $A A^{'}$ , $C C^{'}$ .

A A^{'} ∥ O O^{'} ∥ C C^{'}

⇒

O

O^{'}

thuộc mặt phẳng

(A C C^{'} A^{'})

⇒

O^{'} \in A^{'} C^{'}

O

nằm giữa

A

C

⇒

O^{'}

nằm giữa

A^{'}

C^{'}

⇒

O^{'}

thuộc đoạn

A^{'} C^{'}

A B ∥ C D

: mặt phẳng tia nắng qua

A B

và qua

C D

song song ⇒

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

A C C^{'} A^{'}

là hình thang,

O O^{'} ∥ A A^{'}

O A = O C

⇒

O O^{'}

là đường trung bình ⇒

O^{'} A^{'} = O^{'} C^{'}

Vậy a) có; b) $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ ; c) có, $O^{'}$ là trung điểm của $A^{'} C^{'}$ .

2Cách 2. Định lí Thalès

Định hướng. Ba đường song song $A A^{'}$ , $O O^{'}$ , $C C^{'}$ chắn trên $A C$ và $A^{'} C^{'}$ các đoạn tỉ lệ.

O^{'}, A^{'}, C^{'}

cùng thuộc giao tuyến của

(A C C^{'} A^{'})

với sàn ⇒ thẳng hàng.

\frac{O ^{'} A ^{'}}{O ^{'} C ^{'}} = \frac{O A}{O C} = 1

⇒

O^{'}

là trung điểm của

A^{'} C^{'}

(nằm trên đoạn

A^{'} C^{'}

A B ∥ C D

và

A A^{'} ∥ C C^{'}

⇒

(A B B^{'} A^{'}) ∥ (C D D^{'} C^{'})

⇒ giao tuyến với sàn:

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

Vậy $O^{'} \in A^{'} C^{'}$ , $O^{'}$ là trung điểm $A^{'} C^{'}$ và $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ .

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Phép chiếu song song "tôn trọng" phép cộng vectơ và nhân số.

O A + O C = 0

⇒

O^{'} A^{'} + O^{'} C^{'} = 0

.
⇒

O^{'}

là trung điểm

A^{'} C^{'}

(nên nằm trên đoạn

A^{'} C^{'}

A B = - C D

⇒

A^{'} B^{'} = - C^{'} D^{'}

⇒

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

và

A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'}

Vậy cả ba câu: $O^{'}$ nằm trên $A^{'} C^{'}$ , là trung điểm của nó, và $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ .

Nhận xét. Kiểm chứng bằng sympy: hình chiếu của trung điểm luôn là trung điểm của hình chiếu, với mọi phương chiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: một định lí Thalès cho luôn cả thẳng hàng, thứ tự lẫn tỉ số — đúng ba tính chất sẽ học.

Đáp số. a) Có,

O^{'}

nằm trên đoạn

A^{'} C^{'}

. b) Hình chiếu của

A B

và

C D

song song với nhau:

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

. c) Có,

O^{'}

là trung điểm của

A^{'} C^{'}

Sai lầm thường gặp. Suy luận "

O^{'}

là trung điểm vì bóng giữ nguyên độ dài" — sai:

A^{'} C^{'} \neq = A C

nói chung; điều được giữ là tỉ số

\frac{O ^{'} A ^{'}}{O ^{'} C ^{'}} = \frac{O A}{O C}

🚀 Mở rộng. Tương tự, bóng

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

của hình vuông là hình gì? (Hình bình hành, vì hai cặp cạnh đối vẫn song song.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu hỏi 2 (trang 97)★★Trang 97— Tính chất của phép chiếu song song với hai đường thẳng cắt nhau

Câu hỏi (trang 97). Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Đường thẳng song song với phương chiếu có hình chiếu là một điểm; ta chỉ xét phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường thẳng cắt nhau tại

I

thì hình chiếu của chúng cùng đi qua

I^{'}

, nên chỉ có hai khả năng: cắt nhau tại

I^{'}

hoặc trùng nhau. Cần tìm khi nào xảy ra trùng nhau: khi mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song (hoặc chứa) phương chiếu. Bẫy: trả lời "luôn cắt nhau" mà quên trường hợp đặc biệt.

1Cách 1. Theo điểm chung

Định hướng. Điểm chung $I$ có hình chiếu $I^{'}$ thuộc cả hai hình chiếu.

a \cap b = I

⇒

I^{'} \in a^{'}

và

I^{'} \in b^{'}

.
⇒

a^{'}

b^{'}

có điểm chung

I^{'}

⇒ cắt nhau tại

I^{'}

hoặc trùng nhau.

a^{'}

trùng

b^{'}

⇔

a

b

cùng nằm trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu

Δ

Vậy không phải lúc nào cũng cắt nhau: hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.

2Cách 2. Theo mặt phẳng chiếu

Định hướng. Hình chiếu của $a$ là giao tuyến của mặt phẳng chiếu với mặt phẳng qua $a$ song song $Δ$ .

Gọi

(Q)

là mặt phẳng chứa

a

b

.
Nếu

(Q)

không song song và không chứa

Δ

: các mặt phẳng qua

a

, qua

b

song song

Δ

khác nhau ⇒

a^{'} \neq = b^{'}

⇒

a^{'}

b^{'}

cắt nhau tại

I^{'}

.
Nếu

(Q) ∥ Δ

hoặc

(Q) \supset Δ

: hai mặt phẳng đó cùng là

(Q)

⇒

a^{'} = b^{'} = (Q) \cap (α)

Vậy hình chiếu là hai đường thẳng cắt nhau khi mặt phẳng $(a, b)$ không song song (không chứa) phương chiếu; ngược lại hai hình chiếu trùng nhau.

3Cách 3. Phản ví dụ cụ thể

Định hướng. Chỉ cần một trường hợp hình chiếu không cắt nhau.

Trong hình hộp

A B C D . E F G H

của Luyện tập 1, chiếu lên

(C D H G)

theo phương

B C

A B

và

A D

cắt nhau tại

A

; mặt phẳng

(A B C D)

chứa phương

B C

.
Hình chiếu của

A B

là

D C

, hình chiếu của

A D

là điểm

D

(vì

A D ∥ B C

) — không phải hai đường thẳng cắt nhau.
Chiếu theo phương

A E

thì

A B

A D

có hình chiếu

E F

E H

cắt nhau tại

E

Vậy câu trả lời là không nhất thiết.

Nhận xét. Nếu chỉ xét hai đường thẳng không song song với phương chiếu và mặt phẳng chứa chúng không song song phương chiếu thì hình chiếu luôn cắt nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ dựa vào điểm chung

I^{'}

, gọn và chỉ rõ đủ hai khả năng.

Đáp số. Không nhất thiết. Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau (tại hình chiếu của giao điểm) hoặc là hai đường thẳng trùng nhau (khi mặt phẳng chứa chúng song song hoặc chứa phương chiếu).

Sai lầm thường gặp. Trả lời "có thể song song" — sai: hai hình chiếu luôn có điểm chung

I^{'}

nên không thể song song.

🚀 Mở rộng. Hình chiếu của hai đường thẳng chéo nhau có thể là những hình nào? (Hai đường cắt nhau, hai đường song song, hoặc một đường và một điểm.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 2★★★Trang 98— Chứng minh tính chất hình biểu diễn

Luyện tập 2 (trang 98). Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Ta chỉ xét phép chiếu mà mặt phẳng $(A B C D)$ không song song (không chứa) phương chiếu, khi đó hình chiếu là một tứ giác.

🧠 Phân tích tư duy

Hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

) có đúng một cặp cạnh song song và hai đáy khác nhau. Phép chiếu giữ song song nên

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

; điều còn phải chứng minh là

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

không là hình bình hành — dùng tỉ số hai đáy được giữ nguyên. Bẫy: chỉ chứng minh một cặp cạnh song song rồi kết luận ngay.

1Cách 1. Giữ song song và giữ tỉ số

Định hướng. Chứng minh $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ và $A^{'} B^{'} \neq = C^{'} D^{'}$ .

A B ∥ C D

⇒

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

(không trùng vì

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là tứ giác).

\frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}} = \frac{A B}{C D} \neq = 1

⇒

A^{'} B^{'} \neq = C^{'} D^{'}

.
⇒

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có một cặp cạnh song song nhưng không bằng nhau ⇒ không là hình bình hành.

Vậy $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình thang với hai đáy $A^{'} B^{'}$ , $C^{'} D^{'}$ .

2Cách 2. Phản chứng

Định hướng. Nếu $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình bình hành thì tỉ số hai đáy phải bằng $1$ .

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

(giữ song song).
Giả sử

A^{'} D^{'} ∥ B^{'} C^{'}

⇒

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình bình hành ⇒

A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'}

.
⇒

\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}} = 1

⇒

A B = C D

⇒

A B C D

là hình bình hành — mâu thuẫn.

Vậy $A^{'} D^{'}$ không song song $B^{'} C^{'}$ , nên $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình thang.

3Cách 3. Dùng giao điểm hai cạnh bên

Định hướng. Hai cạnh bên $A D$ , $B C$ của hình thang cắt nhau tại $E$ ; hình chiếu của chúng cắt nhau tại $E^{'}$ .

A D \cap B C = E

⇒

E^{'} \in A^{'} D^{'}

và

E^{'} \in B^{'} C^{'}

A^{'} D^{'}

B^{'} C^{'}

phân biệt (vì

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là tứ giác) ⇒

A^{'} D^{'}

cắt

B^{'} C^{'}

tại

E^{'}

⇒ không song song.

A B ∥ C D

⇒

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

Vậy $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đúng một cặp cạnh đối song song, là hình thang.

Nhận xét. Kiểm chứng bằng sympy: với mọi phương chiếu, $A^{'} B^{'} = k D^{'} C^{'}$ khi $A B = k D C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất: không cần đến tỉ số, chỉ dùng "giao điểm biến thành giao điểm" nên áp dụng được cho mọi tứ giác.

Đáp số. Hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

) có hình chiếu

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

với

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

và

\frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}} = \frac{A B}{C D} \neq = 1

, nên

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thang.

Sai lầm thường gặp. Dừng ở

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

rồi kết luận hình thang — thiếu: hình bình hành cũng có cặp cạnh song song, phải loại trừ trường hợp này.

🚀 Mở rộng. Chứng minh tương tự: hình chiếu song song của một hình bình hành là hình bình hành (Ví dụ 2), của hình thang cân thì có còn là hình thang cân không? (Nói chung không.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 98— Chứng minh bằng tính chất giữ tỉ số

Luyện tập 3 (trang 98). Một phép chiếu song song biến tam giác

A B C

thành tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác

A B C

thành đường trung bình của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh; nó song song và bằng nửa cạnh thứ ba.

🧠 Phân tích tư duy

Đường trung bình được xác định bởi hai trung điểm; "trung điểm" là một tỉ số

1 : 1

trên một đường thẳng, nên được phép chiếu giữ nguyên. Làm giống hệt Ví dụ 3 cho hai cạnh là xong. Bẫy: chỉ chứng minh

M^{'} N^{'} ∥ B^{'} C^{'}

— chưa đủ để là đường trung bình.

1Cách 1. Trung điểm biến thành trung điểm

Định hướng. Gọi $M N$ là đường trung bình ( $M$ , $N$ là trung điểm $A B$ , $A C$ ).

A, M, B

thẳng hàng theo thứ tự đó,

\frac{A M}{M B} = 1

⇒

A^{'}, M^{'}, B^{'}

thẳng hàng theo thứ tự đó,

\frac{A ^{'} M ^{'}}{M ^{'} B ^{'}} = 1

.
⇒

M^{'}

là trung điểm

A^{'} B^{'}

.
Tương tự

N^{'}

là trung điểm

A^{'} C^{'}

Vậy $M^{'} N^{'}$ là đường trung bình của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

2Cách 2. Hình thang và đường trung bình của hình thang

Định hướng. Xét mặt phẳng chứa $A A^{'}$ , $B B^{'}$ (song song phương chiếu).

A A^{'} ∥ M M^{'} ∥ B B^{'}

⇒

A B B^{'} A^{'}

là hình thang (hoặc hình bình hành).

M

là trung điểm

A B

M M^{'} ∥ A A^{'}

⇒

M M^{'}

là đường trung bình ⇒

M^{'}

là trung điểm

A^{'} B^{'}

.
Tương tự trong

A C C^{'} A^{'}

N^{'}

là trung điểm

A^{'} C^{'}

Vậy $M^{'} N^{'}$ là đường trung bình của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Phép chiếu song song biến tổ hợp vectơ thành tổ hợp vectơ cùng hệ số.

M N = \frac{1}{2} B C

⇒

M^{'} N^{'} = \frac{1}{2} B^{'} C^{'}

A M = \frac{1}{2} A B

⇒

A^{'} M^{'} = \frac{1}{2} A^{'} B^{'}

⇒

M^{'}

là trung điểm

A^{'} B^{'}

.
Tương tự

N^{'}

là trung điểm

A^{'} C^{'}

Vậy phép chiếu biến đường trung bình $M N$ thành đường trung bình $M^{'} N^{'}$ ( $M^{'} N^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ , $M^{'} N^{'} = \frac{1}{2} B^{'} C^{'}$ ).

Nhận xét. Đã kiểm bằng sympy với phương chiếu tổng quát $(p; q; 1)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: dùng thẳng tính chất giữ tỉ số, lặp lại đúng lời giải Ví dụ 3.

Đáp số. Nếu

M N

là đường trung bình của tam giác

A B C

(

M

N

là trung điểm

A B

A C

) thì

M^{'}

N^{'}

là trung điểm

A^{'} B^{'}

A^{'} C^{'}

, nên

M^{'} N^{'}

là đường trung bình của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

M^{'} N^{'} ∥ B^{'} C^{'}

rồi kết luận — một đoạn song song với

B^{'} C^{'}

chưa chắc nối hai trung điểm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: phép chiếu song song biến điểm chia đoạn

A B

theo tỉ số

k

thành điểm chia đoạn

A^{'} B^{'}

theo cùng tỉ số

k

(dùng ở Bài 4.31 cho trọng tâm).

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · HĐ3★Trang 98— Nhận biết hình biểu diễn đúng

HĐ3 (trang 98). Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?
(Hình 4.63: a) mặt trước là hình vuông, mặt trên và mặt bên là hình bình hành, các cạnh song song được vẽ song song, ba cạnh khuất nét đứt; b) mặt trên vẽ thành tứ giác có các cạnh đối không song song; c) mặt sau vẽ nhỏ hơn mặt trước, các cạnh bên chụm lại như nhìn theo luật xa gần.)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Hình biểu diễn của một hình không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương nào đó, hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

🧠 Phân tích tư duy

Hình lập phương có các cạnh đôi một song song theo ba nhóm, mỗi nhóm bốn cạnh bằng nhau. Phép chiếu song song giữ song song và giữ tỉ số, nên hình vẽ đúng phải có mỗi nhóm bốn đoạn song song, bằng nhau. Bẫy: chọn hình c vì "nhìn giống thật" — đó là phép chiếu xuyên tâm, không phải phép chiếu song song.

1Cách 1. Kiểm tra tính song song

Định hướng. Loại các hình có cạnh song song bị vẽ thành không song song.

Hình b: hai cạnh đối của mặt trên không song song ⇒ loại.
Hình c: bốn cạnh bên không song song (chụm lại) ⇒ loại.
Hình a: ba nhóm cạnh, mỗi nhóm song song với nhau ⇒ giữ lại.

Vậy hình a) thể hiện hình lập phương chính xác hơn.

2Cách 2. Kiểm tra tỉ số độ dài

Định hướng. Các cạnh song song của hình lập phương bằng nhau nên trên hình biểu diễn cũng phải bằng nhau.

Hình c: cạnh mặt sau ngắn hơn cạnh song song ở mặt trước ⇒ tỉ số khác

1

⇒ loại.
Hình b: hai cạnh đối của mặt trên có độ dài khác nhau ⇒ loại.
Hình a: các cạnh song song có độ dài bằng nhau ⇒ phù hợp.

Vậy chọn hình a).

3Cách 3. Kiểm tra từng mặt

Định hướng. Mỗi mặt là hình vuông nên phải được biểu diễn bởi hình bình hành.

Hình a: sáu mặt đều là hình bình hành.
Hình b: mặt trên không là hình bình hành.
Hình c: mặt trên, mặt bên là hình thang (không là hình bình hành).

Vậy hình a) là hình biểu diễn đúng của hình lập phương.

Nhận xét. Hình c là cách vẽ phối cảnh (phép chiếu xuyên tâm) — đẹp như ảnh chụp nhưng không phải hình biểu diễn dùng trong hình học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất: nhớ một câu "hình vuông biểu diễn thành hình bình hành" là loại được ngay hình sai.

Đáp số. Hình a) thể hiện hình lập phương chính xác hơn (các cạnh song song được vẽ song song và bằng nhau, cạnh khuất nét đứt).

Sai lầm thường gặp. Chọn hình c) vì "giống ảnh chụp" — sai: hình c không giữ tính song song của các cạnh bên, không phải hình chiếu song song.

🚀 Mở rộng. Vẽ hình biểu diễn của hình lập phương mà mặt trước không vẽ thành hình vuông (cả sáu mặt đều là hình bình hành không vuông) — vẫn đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Câu hỏi 3 (trang 98)★Trang 98— Nhận biết hình biểu diễn của hình phẳng

Câu hỏi (trang 98). Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a và cho biết hình biểu diễn của hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?

Kiến thức cần nhớ

Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ) là hình thang $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}}$ ; của hình tròn là hình elip.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bóng trên sàn chính là hình chiếu song song; chỉ cần đọc hình: tam giác

A B C

có bóng

A^{'} B^{'} C^{'}

, hình vuông

A B C D

có bóng

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, khung tròn có bóng là đường cong khép kín dẹt. Bẫy: nghĩ bóng hình vuông vẫn là hình vuông, bóng hình tròn vẫn là hình tròn.

1Cách 1. Quan sát bóng trong Hình 4.56a

Định hướng. Đọc trực tiếp bóng của từng hình trên sàn.

Tam giác

A B C

\mapsto

tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

.
Hình vuông

A B C D

\mapsto

tứ giác

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có các cạnh đối song song — hình bình hành.
Đường tròn khung cửa

\mapsto

một đường cong dẹt bao quanh

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

— hình elip.

Vậy hình biểu diễn của tam giác là tam giác, của hình vuông là hình bình hành, của hình tròn là hình elip.

2Cách 2. Suy từ tính chất phép chiếu

Định hướng. Dùng tính chất giữ thẳng hàng và giữ song song.

Ba đỉnh không thẳng hàng, mặt phẳng tam giác không song song phương chiếu ⇒ ảnh là ba điểm không thẳng hàng ⇒ tam giác.

A B ∥ C D

A D ∥ B C

⇒

A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}

A^{'} D^{'} ∥ B^{'} C^{'}

⇒ hình bình hành.
Đường tròn nhận

O

làm tâm đối xứng ⇒ ảnh nhận

O^{'}

làm tâm đối xứng, là đường cong lồi khép kín — hình elip.

Vậy tam giác ↦ tam giác, hình vuông ↦ hình bình hành, hình tròn ↦ hình elip.

3Cách 3. Kiểm bằng đặc điểm bị mất

Định hướng. Xem phép chiếu làm mất tính chất nào.

Độ dài và góc không được giữ ⇒ tam giác đều, vuông, cân chỉ còn là tam giác bất kì.
Góc vuông và cạnh bằng nhau của hình vuông mất đi, chỉ còn song song ⇒ hình bình hành.
Mọi bán kính bằng nhau của hình tròn không còn, nhưng các đường kính vẫn nhận

O^{'}

làm trung điểm ⇒ hình elip.

Vậy các hình biểu diễn lần lượt là tam giác, hình bình hành, hình elip.

Nhận xét. Trong Hình 4.56a, bóng $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ nội tiếp elip đúng như hình vuông nội tiếp đường tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: suy ra từ tính chất, nên áp dụng cho mọi hình phẳng, không cần hình minh hoạ.

Đáp số. Hình biểu diễn của hình tam giác là một tam giác, của hình vuông là một hình bình hành, của hình tròn là một hình elip.

Sai lầm thường gặp. Nói "hình biểu diễn của hình vuông là hình thoi" — sai: cạnh bằng nhau không được giữ, chỉ còn là hình bình hành.

🚀 Mở rộng. Hình biểu diễn của một hình thang cân là hình gì? (Một hình thang có cùng tỉ số hai đáy, không nhất thiết cân.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 4★★Trang 99— Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

Luyện tập 4 (trang 99). Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ) là hình thang $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}}$ ; của hình tròn là hình elip.
Quy ước: cạnh nhìn thấy vẽ nét liền, cạnh bị che khuất vẽ nét đứt.

🧠 Phân tích tư duy

Hình biểu diễn của hình bình hành là hình bình hành, các mặt bên tam giác vẫn là tam giác. Chỉ cần vẽ đáy là một hình bình hành "nằm nghiêng", chọn đỉnh

S

phía trên, rồi xác định cạnh khuất để vẽ nét đứt. Bẫy: vẽ đáy thành hình chữ nhật nhìn chính diện, khi đó các cạnh bên chồng lên nhau, khó đọc.

1Cách 1. Vẽ đáy trước rồi đến đỉnh

Định hướng. Vẽ hình bình hành nằm ngang, đỉnh khuất là $D$ .

Vẽ hình bình hành

A B C D

với

A B

nằm ngang phía trước,

A D

xiên về phía sau.
Lấy điểm

S

phía trên đáy, nối

S A

S B

S C

S D

D

bị các mặt

(S A B)

(S B C)

che ⇒

A D

C D

S D

vẽ nét đứt; các cạnh còn lại nét liền.

Vậy được hình biểu diễn như hình vẽ (đáy là hình bình hành, ba cạnh $A D$ , $D C$ , $S D$ khuất).

2Cách 2. Dựng từ ba điểm của đáy

Định hướng. Hình bình hành được xác định bởi ba đỉnh $A$ , $B$ , $D$ .

Chọn

A

B

D

không thẳng hàng; lấy

C

sao cho

B C = A D

.
Vẽ giao điểm

O

của

A C

và

B D

; lấy

S

ở phía trên, gần phương thẳng đứng qua

O

.
Nối các cạnh bên, cạnh xuất phát từ đỉnh khuất

D

vẽ nét đứt.

Vậy hình chóp $S . A B C D$ được biểu diễn với đáy hình bình hành tâm $O$ .

3Cách 3. Chiếu một mô hình cụ thể

Định hướng. Hình biểu diễn là hình chiếu song song của một hình chóp thật.

Lấy mô hình một hình chóp có đáy hình bình hành, chiếu song song lên mặt phẳng giấy theo phương xiên.
Đáy

A B C D

\mapsto

hình bình hành (giữ song song); mặt bên

S A B

, ...

\mapsto

tam giác.
Đỉnh nằm trong bao lồi của hình chiếu là đỉnh khuất (

D

) ⇒ các cạnh qua

D

vẽ nét đứt.

Vậy hình biểu diễn nhận được là hình chóp có đáy hình bình hành.

Nhận xét. Không nên chọn $S$ ở ngay phía trên $A$ , $B$ , $C$ hay $D$ vì cạnh bên sẽ chồng lên cạnh đáy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: đảm bảo đáy đúng là hình bình hành nhờ

B C = A D

và có sẵn tâm

O

để dùng cho các bài sau.

Đáp số. Vẽ đáy

A B C D

là một hình bình hành, đỉnh

S

phía trên; nối các cạnh bên; các cạnh

A D

C D

S D

khuất vẽ nét đứt (như hình vẽ).

Sai lầm thường gặp. Vẽ tất cả các cạnh bằng nét liền, hoặc vẽ nét đứt cho

S B

— sai quy ước: chỉ các cạnh bị mặt khác che mới vẽ nét đứt, ở đây là các cạnh qua

D

🚀 Mở rộng. Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông — cả ba đều vẽ đáy là hình bình hành (Bài 4.45 SBT).

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Vận dụng 2★★Trang 99— Vẽ hình biểu diễn trong thực tế

Vận dụng 2 (trang 99). Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như L, N, T, ...
(Hình trong sách: chữ E vẽ trên giấy kẻ ô vuông, sau đó mỗi đỉnh được kéo thêm một đoạn xiên cùng hướng, cùng độ dài để tạo chữ E nổi.)

Kiến thức cần nhớ

Hình lăng trụ: các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ nổi là một khối lăng trụ có đáy là hình chữ phẳng; hình biểu diễn của lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau. Vì vậy chỉ cần tịnh tiến hình chữ theo một vectơ xiên cố định rồi nối các đỉnh tương ứng; giấy kẻ ô giúp vectơ đó đúng tuyệt đối (chẳng hạn theo đường chéo một ô). Bẫy: kéo mỗi đỉnh theo một hướng khác nhau, chữ sẽ bị méo.

1Cách 1. Tịnh tiến theo đường chéo ô vuông lên trên bên phải

Định hướng. Chọn vectơ đẩy $v$ là đường chéo của một ô vuông, hướng lên trên bên phải.

Vẽ chữ L, N, T trên giấy kẻ ô (mặt trước).
Từ mỗi đỉnh vẽ đoạn song song, bằng

v

(đi chéo một ô).
Nối các đầu mút theo đúng thứ tự các đỉnh của chữ (mặt sau).
Xoá phần mặt sau bị mặt trước che; tô màu các mặt bên nhìn thấy.

Vậy được chữ L, N, T nổi như hình vẽ.

2Cách 2. Đẩy về phía trên bên trái

Định hướng. Đổi hướng $v$ để các mặt bên phía trái hiện ra.

Chọn

v

là đường chéo ô hướng lên trên bên trái (như chữ E thứ ba trong sách).
Tịnh tiến mọi đỉnh theo

v

và nối các đỉnh tương ứng.
Mặt bên nhìn thấy lúc này là các mặt có pháp tuyến hướng sang trái và lên trên.

Vậy được một dạng nổi khác của cùng chữ cái, các nét bên trái có độ dày.

3Cách 3. Xem chữ nổi là hình lăng trụ

Định hướng. Hình biểu diễn của lăng trụ: hai đáy bằng nhau, các cạnh bên song song và bằng nhau.

Chữ L: đáy là lục giác chữ L ⇒ lăng trụ lục giác,

6

cạnh bên.
Chữ T: đáy là bát giác ⇒

8

cạnh bên; chữ N: đáy là thập giác ⇒

10

cạnh bên.
Vẽ đủ cạnh bên song song, bằng nhau rồi chỉ giữ lại các cạnh nhìn thấy.

Vậy dạng nổi của chữ chính là hình biểu diễn của một hình lăng trụ có đáy là chữ đó.

Nhận xét. Muốn chữ "dày" hơn chỉ cần lấy $v$ dài hơn (hai đường chéo ô), hướng thì giữ nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đường chéo ô vuông cho vectơ đẩy chính xác, không cần thước đo góc, học sinh vẽ nhanh mà vẫn đúng tính chất phép chiếu.

Đáp số. Vẽ chữ trên giấy kẻ ô, tịnh tiến mọi đỉnh theo cùng một vectơ xiên (đường chéo một ô), nối các đỉnh tương ứng và xoá phần bị che; được chữ L, N, T nổi như hình vẽ.

Sai lầm thường gặp. Kéo các đỉnh theo những đoạn xiên không song song hoặc không bằng nhau — hình không còn là hình biểu diễn của lăng trụ, chữ bị méo.

🚀 Mở rộng. Thử vẽ dạng nổi của chữ O: đáy có đường cong nên cạnh bên chỉ vẽ ở hai điểm tiếp xúc (đường sinh bao ngoài) giống hình trụ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 4.29★★Trang 100— Nhận biết tính chất của phép chiếu song song

Bài 4.29 (trang 100). Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.
d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ) là hình thang $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}}$ ; của hình tròn là hình elip.

🧠 Phân tích tư duy

Đối chiếu từng mệnh đề với ba tính chất: giữ thẳng hàng (đoạn thành đoạn), giữ song song, giữ tỉ số trên các đường song song. Mệnh đề nói về độ dài, góc (đều, cân) là không được giữ nên phải tìm phản ví dụ. Quy ước bài học: đoạn thẳng, hình không song song với phương chiếu.

1Cách 1. Đối chiếu tính chất

Định hướng. Mệnh đề nào là hệ quả trực tiếp của tính chất thì đúng.

a) Đúng: tính chất 1 (đoạn thẳng ↦ đoạn thẳng).
b) Sai: hai đường song song ↦ song song hoặc trùng, không thể cắt nhau.
c) Sai: độ dài không được giữ nên ảnh chỉ là tam giác bất kì.
d) Đúng: hai cặp cạnh đối song song ↦ hai cặp song song ⇒ hình bình hành.

Vậy các mệnh đề đúng là a) và d).

2Cách 2. Phản ví dụ bằng toạ độ

Định hướng. Dựng cụ thể phép chiếu lên mặt phẳng $z = 0$ theo phương $u = (1; 0; 1)$ : $(x; y; z) \mapsto (x - z; y; 0)$ .

Tam giác đều

A (0; 0; 0)

B (2; 0; 0)

C (1; \frac{6}{2}; \frac{6}{2})

, cạnh

2

.
Ảnh:

A^{'} (0; 0)

B^{'} (2; 0)

C^{'} (1 - \frac{6}{2}; \frac{6}{2})

A^{'} B^{'2} = 4

B^{'} C^{'2} = 4 + 6

C^{'} A^{'2} = 4 - 6

⇒ ba cạnh đôi một khác nhau ⇒ c) sai.
Hai đường song song có hình chiếu cùng phương (vectơ chỉ phương biến thành vectơ cùng phương) ⇒ b) sai.

Vậy a) và d) đúng; b), c) sai.

3Cách 3. Dùng hình biểu diễn quen thuộc

Định hướng. Nhớ lại cách vẽ các hình trong không gian.

Hình lập phương vẽ các mặt vuông thành hình bình hành ⇒ d) đúng.
Hình chóp tam giác đều thường vẽ đáy là tam giác không cân ⇒ c) sai.
Các cạnh song song của hình hộp luôn vẽ song song ⇒ b) sai; mọi cạnh là đoạn thẳng vẽ thành đoạn thẳng ⇒ a) đúng.

Vậy mệnh đề đúng: a), d).

Nhận xét. Mệnh đề c) sẽ đúng nếu đổi thành "biến tam giác đều thành tam giác".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ cần đọc lại khung tính chất trang 97; Cách 2 dùng khi cần chứng minh chặt mệnh đề sai.

Đáp số. Các mệnh đề đúng là a) và d); b) và c) sai.

Sai lầm thường gặp. Chọn c) vì "tam giác đều có tính đối xứng nên ảnh phải cân" — sai, phản ví dụ ở Cách 2 cho ảnh có ba cạnh

2

4 + 6

4 - 6

🚀 Mở rộng. Phép chiếu song song có biến hình thoi thành hình thoi không? (Không nhất thiết, chỉ chắc chắn là hình bình hành.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 4.30★★★Trang 100— Tính chất đảo của phép chiếu song song

Bài 4.30 (trang 100). Nếu tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

là hình chiếu của tam giác

A B C

qua một phép chiếu song song thì tam giác

A B C

có phải là hình chiếu của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(α)$ theo phương $Δ$ (cắt $(α)$ ): mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M^{'}$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
Đường thẳng song song với phương chiếu có hình chiếu là một điểm; ta chỉ xét phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

🧠 Phân tích tư duy

Các đường

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

cùng song song (hoặc trùng) với phương chiếu

Δ

— quan hệ này đối xứng giữa hai tam giác. Chỉ cần chọn mặt phẳng chiếu mới là

(A B C)

và giữ nguyên phương

Δ

, kiểm tra

Δ

cắt

(A B C)

. Bẫy: quên kiểm tra

Δ

không song song với

(A B C)

1Cách 1. Đổi vai mặt phẳng chiếu, giữ phương chiếu

Định hướng. Chiếu tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ lên $(A B C)$ theo chính phương $Δ$ .

A^{'} B^{'} C^{'}

là tam giác ⇒

(A B C)

không song song và không chứa

Δ

(nếu không ảnh là một đoạn thẳng) ⇒

Δ

cắt

(A B C)

A^{'} A ∥ Δ

(hoặc

A^{'} = A

A \in (A B C)

⇒

A

là hình chiếu của

A^{'}

lên

(A B C)

theo phương

Δ

.
Tương tự

B

C

là hình chiếu của

B^{'}

C^{'}

Vậy có: tam giác $A B C$ là hình chiếu của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ theo cùng phương chiếu $Δ$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa hình chiếu của một hình

Định hướng. Kiểm tra mọi điểm của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ chứ không chỉ ba đỉnh.

Mỗi

M^{'} \in

tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

là hình chiếu của đúng một

M \in

tam giác

A B C

M M^{'} ∥ Δ

.
Chiếu

M^{'}

lên

(A B C)

theo

Δ

: đường qua

M^{'}

song song

Δ

chính là

M^{'} M

, cắt

(A B C)

tại

M

.
⇒ tập hình chiếu của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

đúng bằng tam giác

A B C

Vậy tam giác $A B C$ là hình chiếu của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

3Cách 3. Trường hợp riêng làm rõ

Định hướng. Xét hai trường hợp vị trí của hai mặt phẳng.

Nếu

(A B C) \equiv (P)

thì

A^{'} = A

, ... ⇒ hiển nhiên đúng với mọi phương chiếu.
Nếu

(A B C) \neq = (P)

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

song song, cùng phương

Δ

; mặt phẳng

(A B C)

cắt

Δ

.
⇒ phép chiếu lên

(A B C)

theo phương

Δ

biến

A^{'} \mapsto A

B^{'} \mapsto B

C^{'} \mapsto C

Vậy câu trả lời là có.

Nhận xét. Tính "hai chiều" này cho phép coi một tam giác bất kì là hình biểu diễn của tam giác đều, vuông, cân tuỳ ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ một ý quan trọng là phương

Δ

cắt

(A B C)

, phần còn lại là định nghĩa.

Đáp số. Có. Phép chiếu lên mặt phẳng

(A B C)

theo đúng phương chiếu ban đầu

Δ

biến tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

thành tam giác

A B C

(vì

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

song song hoặc trùng

Δ

, và

Δ

cắt

(A B C)

do hình chiếu

A^{'} B^{'} C^{'}

là tam giác).

Sai lầm thường gặp. Chiếu ngược lên

(A B C)

theo một phương khác

Δ

— khi đó ảnh của

A^{'}

nói chung không phải

A

🚀 Mở rộng. Hình chiếu của đoạn thẳng

A B

là đoạn

A^{'} B^{'}

thì

A B

có là hình chiếu của

A^{'} B^{'}

không? (Có, lên bất kì mặt phẳng chứa

A B

cắt

Δ

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 4.31★★★Trang 100— Chứng minh bằng tính chất giữ tỉ số

Bài 4.31 (trang 100). Phép chiếu song song biến tam giác

A B C

thành tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác

A B C

thành trọng tâm của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ : $G$ thuộc trung tuyến $A M$ với $\frac{A G}{A M} = \frac{2}{3}$ ; $G A + GB + GC = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trọng tâm được xác định bằng trung điểm và tỉ số

\frac{A G}{A M} = \frac{2}{3}

trên một đường thẳng — đều là thứ phép chiếu giữ nguyên. Theo Ví dụ 3, trung tuyến biến thành trung tuyến; còn lại là tỉ số trên trung tuyến. Bẫy: chỉ nói "

G^{'}

nằm trên trung tuyến" mà không chỉ ra vị trí.

1Cách 1. Trung tuyến và tỉ số trên trung tuyến

Định hướng. Gọi $M$ là trung điểm $B C$ , $G$ là trọng tâm.

M

trung điểm

B C

⇒

M^{'}

trung điểm

B^{'} C^{'}

⇒

A^{'} M^{'}

là trung tuyến của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

A, G, M

thẳng hàng theo thứ tự đó,

\frac{A G}{A M} = \frac{2}{3}

⇒

A^{'}, G^{'}, M^{'}

thẳng hàng theo thứ tự đó,

\frac{A ^{'} G ^{'}}{A ^{'} M ^{'}} = \frac{2}{3}

.
⇒

G^{'}

là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Vậy phép chiếu biến trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ thành trọng tâm $G^{'}$ của tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

2Cách 2. Giao của hai trung tuyến

Định hướng. Trọng tâm là giao điểm của hai trung tuyến; phép chiếu giữ giao điểm.

Trung tuyến

A M

↦ trung tuyến

A^{'} M^{'}

; trung tuyến

B N

↦ trung tuyến

B^{'} N^{'}

(

N

trung điểm

A C

G = A M \cap B N

⇒

G^{'} \in A^{'} M^{'}

và

G^{'} \in B^{'} N^{'}

A^{'} M^{'}

B^{'} N^{'}

là hai trung tuyến phân biệt của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

⇒

G^{'} = A^{'} M^{'} \cap B^{'} N^{'}

là trọng tâm.

Vậy $G^{'}$ là trọng tâm tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Phép chiếu song song giữ đẳng thức vectơ tuyến tính.

G A + GB + GC = 0

.
⇒

G^{'} A^{'} + G^{'} B^{'} + G^{'} C^{'} = 0

.
⇒

G^{'}

là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Vậy phép chiếu biến trọng tâm thành trọng tâm.

Nhận xét. Đã kiểm bằng sympy: $G^{'}$ trùng $\frac{A ^{'} + B ^{'} + C ^{'}}{3}$ với mọi phương chiếu $(p; q; 1)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất: chỉ dùng "trung điểm ↦ trung điểm" và "giao điểm ↦ giao điểm", không cần tỉ số

\frac{2}{3}

Đáp số. Gọi

M

N

là trung điểm

B C

A C

: hình chiếu

A^{'} M^{'}

B^{'} N^{'}

là hai trung tuyến của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

và

G = A M \cap B N

biến thành

G^{'} = A^{'} M^{'} \cap B^{'} N^{'}

, nên

G^{'}

là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Sai lầm thường gặp. Nghĩ rằng trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp cũng được giữ tương tự — sai, vì chúng định nghĩa qua góc vuông, độ dài, những thứ phép chiếu không giữ.

🚀 Mở rộng. Phép chiếu song song có biến trọng tâm tứ diện thành điểm nào? Chiếu lên một mặt phẳng, trọng tâm tứ diện ↦ trọng tâm của hệ bốn điểm hình chiếu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 4.32★★★Trang 100— Nhận biết hình biểu diễn của đa giác đều

Bài 4.32 (trang 100). Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?
(Hình 4.65: lục giác $A B C D E F$ có $A B$ , $F C$ , $E D$ nằm ngang; ba đường chéo $A D$ , $B E$ , $C F$ cắt nhau tại một điểm, các kí hiệu cho biết điểm đó là trung điểm của mỗi đường chéo; đường chéo $F C$ dài khoảng gấp bốn lần cạnh $A B$ .)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$ : $O A B C$ , $O C D E$ , $O E F A$ là các hình thoi; $A B ∥ F C ∥ E D$ và $F C = 2 A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lục giác đều

A B C D E F

tâm

O

có nhiều quan hệ song song và tỉ số:

O

là trung điểm ba đường chéo chính,

A B ∥ F C

và

F C = 2 A B

(

A B C O

là hình thoi). Hình biểu diễn phải giữ mọi quan hệ này; hình 4.65 thoả điều kiện trung điểm nhưng cần kiểm tra thêm tỉ số

\frac{F C}{A B}

. Bẫy: thấy ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm liền kết luận "có".

1Cách 1. Giữ tỉ số trên hai đường song song

Định hướng. Kiểm tra tỉ số $\frac{F C}{A B}$ trên hình.

Lục giác đều:

A B ∥ F C

\frac{F C}{A B} = 2

.
Hình biểu diễn phải có

A^{'} B^{'} ∥ F^{'} C^{'}

và

\frac{F ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}} = 2

.
Hình 4.65:

\frac{F C}{A B} \approx 4 \neq = 2

Vậy Hình 4.65 không thể là hình biểu diễn của một lục giác đều.

2Cách 2. Hình bình hành

O A B C

Định hướng. Trong lục giác đều, $O A B C$ là hình thoi nên hình biểu diễn của nó phải là hình bình hành.

Gọi

O

là giao điểm ba đường chéo (

O

là trung điểm

F C

).
Cần:

O A B C

là hình bình hành ⇔

A B = O C

⇔

A B = O C = \frac{F C}{2}

.
Hình 4.65:

O C = \frac{F C}{2} \approx 2 A B \neq = A B

⇒

O A B C

không là hình bình hành.

Vậy hình đã cho không là hình biểu diễn của lục giác đều.

3Cách 3. Dựng thử hình biểu diễn đúng rồi so sánh

Định hướng. Hình biểu diễn của lục giác đều được xác định hoàn toàn bởi $O$ , $A$ , $B$ .

Giữ

O

A

B

như hình 4.65;

C

phải thoả

O C = A B

D

E

F

là các điểm đối xứng của

A

B

C

qua

O

.
Khi đó đỉnh đúng phải là trung điểm của đoạn

O C

đã vẽ trên Hình 4.65, không trùng đỉnh

C

Vậy Hình 4.65 không phải hình biểu diễn của lục giác đều.

Nhận xét. Đo trên hình (toạ độ theo pixel): $A B = 135$ , $F C = 540$ , sympy xác nhận $F C = 4 A B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: chỉ so sánh hai đoạn song song

A B

và

F C

, nhìn hình là thấy

F C

quá dài.

Đáp số. Không. Trong lục giác đều

A B C D E F

có

A B ∥ F C

và

F C = 2 A B

(tức

O A B C

là hình thoi), nên hình biểu diễn phải có

F C = 2 A B

(hay

O A B C

là hình bình hành); Hình 4.65 có

F C

gần gấp bốn

A B

O A B C

không là hình bình hành. Điều kiện ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là chưa đủ.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "có" chỉ vì các đường chéo

A D

B E

C F

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường — đó là điều kiện cần, không đủ (một lục giác có tâm đối xứng bất kì đều thoả).

🚀 Mở rộng. Vẽ hình biểu diễn đúng của lục giác đều: vẽ hình bình hành

O A B C

tuỳ ý, lấy

D

E

F

đối xứng với

A

B

C

qua

O

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 4.33★★Trang 100— Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

Bài 4.33 (trang 100). Vẽ hình biểu diễn của hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang,

A B

song song với

C D

và

A B = 2

cm,

C D = 6

cm.

Kiến thức cần nhớ

Hình biểu diễn của tam giác là tam giác; của hình vuông, chữ nhật, thoi, bình hành là hình bình hành; của hình thang $A B C D$ ( $A B ∥ C D$ ) là hình thang $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}}$ ; của hình tròn là hình elip.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Quy ước: cạnh nhìn thấy vẽ nét liền, cạnh bị che vẽ nét đứt.

🧠 Phân tích tư duy

Hình biểu diễn của hình thang là hình thang cùng tỉ số hai đáy:

\frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

. Không cần giữ độ dài

2

cm,

6

cm mà chỉ cần giữ tỉ số

1 : 3

và

A B ∥ C D

. Bẫy: vẽ hai đáy với tỉ lệ bất kì.

1Cách 1. Vẽ đáy lớn

C D

Định hướng. Đáy lớn đặt phía sau, đáy nhỏ phía trước để hình thoáng.

Vẽ đoạn

C D

nằm ngang (chẳng hạn

6

ô), chia ba bằng nhau.
Vẽ

A B ∥ C D

phía trước,

A B

dài

2

= \frac{1}{3} C D

.
Lấy

S

phía trên, nối

S A

S B

S C

S D

; cạnh đáy

C D

bị mặt bên che ⇒ nét đứt.

Vậy được hình biểu diễn với $A B ∥ C D$ , $C D = 3 A B$ (như hình vẽ).

2Cách 2. Dựng bằng vectơ

Định hướng. Chọn $A$ , $D$ , $C$ rồi dựng $B$ theo $A B = \frac{1}{3} D C$ .

Chọn ba điểm

A

D

C

không thẳng hàng.
Lấy

B

sao cho

A B = \frac{1}{3} D C

⇒

A B ∥ C D

\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}

.
Lấy

S

ở ngoài mặt phẳng hình vẽ đáy, nối các cạnh bên, xác định cạnh khuất vẽ nét đứt.

Vậy hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang với tỉ số hai đáy $1 : 3$ .

3Cách 3. Dùng giao điểm hai cạnh bên

Định hướng. Hình thang $A B C D$ là phần còn lại của tam giác $E D C$ khi cắt bởi $A B ∥ C D$ .

A B = \frac{1}{3} C D

⇒

A D

B C

cắt nhau tại

E

với

\frac{E A}{E D} = \frac{E B}{E C} = \frac{1}{3}

.
Vẽ tam giác

E D C

tuỳ ý, lấy

A

trên

E D

B

trên

E C

với

E A = \frac{1}{3} E D

E B = \frac{1}{3} E C

.
Xoá phần tam giác

E A B

, dựng đỉnh

S

và các cạnh bên.

Vậy được đáy hình thang đúng tỉ số, vẽ tiếp thành hình chóp $S . A B C D$ .

Nhận xét. Cách này tiện khi bài toán cần giao tuyến $(S A D) \cap (S B C) = S E$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: trên giấy ô li chỉ cần đếm

2

ô và

6

ô là tỉ số đúng ngay.

Đáp số. Vẽ đáy

A B C D

là hình thang có

A B ∥ C D

và

C D = 3 A B

(giữ tỉ số

\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}

), đỉnh

S

phía trên, nối các cạnh bên, cạnh khuất

C D

vẽ nét đứt (như hình vẽ).

Sai lầm thường gặp. Vẽ

A B

và

C D

bằng nhau hoặc không song song — khi đó hình vẽ là hình chóp đáy hình bình hành / tứ giác bất kì, sai dữ kiện.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm điều kiện

A D = B C

(hình thang cân) thì hình biểu diễn có cần vẽ cân không? (Không bắt buộc, vì độ dài hai cạnh bên không song song không được giữ.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 4.34★★Trang 100— Giải thích hiện tượng thực tế bằng phép chiếu song song

Bài 4.34 (trang 100). Trong hình bên,

A B

và

C D

là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao

A B

song song với

C D

.
(Hình: chiếc thang dựng nghiêng cạnh bức tường, bóng của hai thanh chắn in trên tường là hai đoạn $A B$ , $C D$ .)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(α)$ theo phương $Δ$ (cắt $(α)$ ): mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M^{'}$ là giao điểm của $(α)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bóng nắng là hình chiếu song song (Mặt Trời rất xa, tia nắng song song) lên mặt phẳng hứng bóng. Các thanh chắn của thang song song với nhau, nên chỉ cần tính chất giữ song song. Bẫy: quên giải thích vì sao các thanh chắn song song, hoặc vì sao bóng là phép chiếu song song.

1Cách 1. Tính chất giữ song song

Định hướng. Mô hình: mặt phẳng chiếu là mặt hứng bóng, phương chiếu là tia nắng.

Hai thanh chắn

M N

P Q

của thang song song với nhau.
Tia nắng song song ⇒ bóng là hình chiếu song song lên mặt hứng bóng.

M N ∥ P Q

⇒

A B ∥ C D

(hai bóng không trùng nhau).

Vậy $A B ∥ C D$ .

2Cách 2. Hai mặt phẳng song song

Định hướng. Bóng $A B$ là giao tuyến của mặt hứng bóng với mặt phẳng chứa thanh chắn và các tia nắng qua nó.

(M N B A)

chứa

M N

và tia nắng

M A

;

(P Q D C)

chứa

P Q

và tia nắng

P C

M N ∥ P Q

M A ∥ P C

⇒

(M N B A) ∥ (P Q D C)

.
Mặt hứng bóng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song ⇒

A B ∥ C D

Vậy hai bóng $A B$ và $C D$ song song.

3Cách 3. Biến đổi vectơ

Định hướng. Phép chiếu song song biến hai vectơ cùng phương thành hai vectơ cùng phương.

M N ∥ P Q

và

M A ∥ N B

⇒

A B

là hình chiếu của

M N

P Q = k M N

⇒

C D = k A B

.
⇒

A B ∥ C D

(và nếu hai thanh dài bằng nhau thì

A B = C D

Vậy $A B ∥ C D$ .

Nhận xét. Bóng của các thanh chắn cách đều trên thang cũng cách đều nhau theo phương của bóng thanh dọc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: một câu áp dụng tính chất thứ hai của phép chiếu song song.

Đáp số. Các tia nắng song song nên bóng là hình chiếu song song của thanh chắn lên mặt phẳng hứng bóng; hai thanh chắn của thang song song nên hình chiếu của chúng

A B

C D

song song với nhau.

Sai lầm thường gặp. Giải thích "vì

A B

và

C D

dài bằng nhau" — độ dài bằng nhau không suy ra song song; lí do đúng là các thanh chắn song song và phép chiếu song song giữ song song.

🚀 Mở rộng. Dưới ánh đèn đường (nguồn sáng gần) bóng của hai thanh chắn còn song song không? (Nói chung không, vì đó là phép chiếu xuyên tâm.)

Mở bài này trong app ↗