Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 15. Giới hạn của dãy số

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.1★★Trang 77— Giới hạn dãy số dạng phân thức

Bài 5.1 (trang 77). Tính các giới hạn sau:
a)

n \to + \infty lim \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2}

;
b)

n \to + \infty lim \frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}}

Kiến thức cần nhớ

Chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ (hoặc cơ số lớn nhất của luỹ thừa mũ $n$ ).
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ ; $n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{k}} = 0$ .
Nếu $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: tử và mẫu cùng bậc

2

, giới hạn là tỉ số hệ số cao nhất

\frac{1}{2}

. Câu b: "luỹ thừa cao nhất" là

3^{n}

vì

3^{n}

lớn nhanh hơn

2^{n}

, nên chia cả tử và mẫu cho

3^{n}

để xuất hiện các

q^{n}

với

∣ q ∣ < 1

. Bẫy câu b: chia cho

2^{n}

sẽ ra mẫu

(\frac{3}{2})^{n} \to + \infty

, vẫn làm được nhưng dễ rối.

1Cách 1. Chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất

Định hướng. Câu a chia cho $n^{2}$ , câu b chia cho $3^{n}$ .

n \to + \infty lim \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2} = n \to + \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}}} = \frac{1 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}

n \to + \infty lim \frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}} = n \to + \infty lim \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3 ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{( \frac{1}{3} ) ^{n} + 1} = \frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 1} = 0

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $0$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa (a) và kẹp (b)

Định hướng. Câu a chứng minh $u_{n} - \frac{1}{2} \to 0$ ; câu b chặn phân thức dương bởi một dãy $c (\frac{2}{3})^{n}$ .

\frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2} - \frac{1}{2} = \frac{2 n ^{2} + 2 - 2 n ^{2} - n - 2}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )} = \frac{- n}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )}

\frac{- n}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )} < \frac{n}{4 n ^{2}} = \frac{1}{4 n} \to 0

0 < \frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}} < \frac{2 ^{n} + 3 \cdot 2 ^{n}}{3 ^{n}} = 4 (\frac{2}{3})^{n}

n \to + \infty lim 4 (\frac{2}{3})^{n} = 0

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $0$ .

3Cách 3. Tách phân thức thành các phần đơn giản

Định hướng. Câu a viết tử theo mẫu để lộ $\frac{1}{2}$ cộng phần dư; câu b tách thành hai phân số, mỗi phân số dần về $0$ .

n^{2} + 1 = \frac{1}{2} (2 n^{2} + n + 2) - \frac{n}{2}

\frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2} = \frac{1}{2} - \frac{n}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{n}}{2 ( 2 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}} )} \to \frac{1}{2} - 0

\frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}} = \frac{2 ^{n}}{1 + 3 ^{n}} + \frac{3}{1 + 3 ^{n}}

0 < \frac{2 ^{n}}{1 + 3 ^{n}} < (\frac{2}{3})^{n} \to 0

;

0 < \frac{3}{1 + 3 ^{n}} < 3 (\frac{1}{3})^{n} \to 0

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $0$ .

Nhận xét. Câu b minh hoạ quy luật "cơ số lớn thắng": khi $n$ lớn, $3^{n}$ áp đảo $2^{n}$ nên phân thức dần về $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia cho

n^{2}

và cho

3^{n}

là hai thao tác chuẩn, mỗi câu một dòng.

Đáp số. a)

\frac{1}{2}

. b)

0

Sai lầm thường gặp. Câu b chia tử và mẫu cho

2^{n}

rồi viết mẫu

\frac{1}{2 ^{n}} + (\frac{3}{2})^{n} \to \frac{3}{2}

— sai,

(\frac{3}{2})^{n} \to + \infty

vì

\frac{3}{2} > 1

. Câu a hay nhầm thành

1

do chỉ nhìn hệ số

1

của

n^{2}

ở tử.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim \frac{a ^{n} + c}{b ^{n} + d} = 0

khi

0 < a < b

và

b > 1

; thử

n \to + \infty lim \frac{4 ^{n} - 5 ^{n}}{5 ^{n} + 1} = - 1

khi cơ số lớn nhất có mặt ở cả tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.2★★★Trang 78— Giới hạn dãy số chứa căn: dạng vô định và giới hạn vô cực

Bài 5.2 (trang 78). Tính các giới hạn sau:
a)

n \to + \infty lim (n^{2} + 2 n - n - 2)

;
b)

n \to + \infty lim (2 + n^{2} - n^{4} + 1)

;
c)

n \to + \infty lim (n^{2} - n + 2 + n)

;
d)

n \to + \infty lim (3 n - 4 n^{2} + 1)

Kiến thức cần nhớ

Liên hợp: $A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}$ .
Nếu $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ và $n \to + \infty lim v_{n} = a > 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} v_{n} = + \infty$ .
Nếu $u_{n} \geq w_{n}$ và $n \to + \infty lim w_{n} = + \infty$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b có dạng "

\infty - \infty

" với hai luỹ thừa cao nhất cân bằng (

n^{2} = n

n^{4} = n^{2}

) nên phải nhân liên hợp, kết quả hữu hạn. Câu c là tổng hai dãy dương cùng tới

+ \infty

, không phải dạng vô định. Câu d có

3 n

lớn hơn

4 n^{2} = 2 n

, nên chỉ cần đặt

n

ra ngoài. Nhìn hệ số trước khi chọn cách là bước quyết định.

1Cách 1. Nhân liên hợp (a, b) và đặt

n

làm nhân tử chung (c, d)

Định hướng. Hai câu đầu là dạng vô định có căn nên nhân liên hợp; hai câu sau không vô định khi đặt $n$ ra ngoài.

n^{2} + 2 n - (n + 2) = \frac{n ^{2} + 2 n - ( n + 2 ) ^{2}}{n ^{2} + 2 n + n + 2} = \frac{- 2 n - 4}{n ^{2} + 2 n + n + 2}

= \frac{- 2 - \frac{4}{n}}{1 + \frac{2}{n} + 1 + \frac{2}{n}} \to \frac{- 2}{1 + 1} = - 1

(n^{2} + 2) - n^{4} + 1 = \frac{( n ^{2} + 2 ) ^{2} - ( n ^{4} + 1 )}{n ^{2} + 2 + n ^{4} + 1} = \frac{4 n ^{2} + 3}{n ^{2} + 2 + n ^{4} + 1}

= \frac{4 + \frac{3}{n ^{2}}}{1 + \frac{2}{n ^{2}} + 1 + \frac{1}{n ^{4}}} \to \frac{4}{2} = 2

n^{2} - n + 2 + n = n (1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 1)

;

n \to + \infty lim n = + \infty

n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 1) = 2 > 0

n \to + \infty lim (n^{2} - n + 2 + n) = + \infty

3 n - 4 n^{2} + 1 = n (3 - 4 + \frac{1}{n ^{2}})

;

n \to + \infty lim (3 - 4 + \frac{1}{n ^{2}}) = 3 - 2 = 1 > 0

n \to + \infty lim (3 n - 4 n^{2} + 1) = + \infty

Vậy a) $- 1$ ; b) $2$ ; c) $+ \infty$ ; d) $+ \infty$ .

2Cách 2. Kẹp và chặn dưới bằng bất đẳng thức

Định hướng. Chặn căn giữa hai biểu thức đơn giản: $n + 1 - \frac{1}{n} \leq n^{2} + 2 n < n + 1$ , $n^{2} < n^{4} + 1 \leq n^{2} + \frac{1}{2 n ^{2}}$ , $4 n^{2} + 1 < 2 n + 1$ .

(n + 1 - \frac{1}{n})^{2} = n^{2} + 2 n - 1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n ^{2}} \leq n^{2} + 2 n < (n + 1)^{2}

- 1 - \frac{1}{n} \leq n^{2} + 2 n - n - 2 < - 1

;

n \to + \infty lim (- 1 - \frac{1}{n}) = - 1

n^{4} < n^{4} + 1 \leq n^{4} + 1 + \frac{1}{4 n ^{4}} = (n^{2} + \frac{1}{2 n ^{2}})^{2}

2 - \frac{1}{2 n ^{2}} \leq 2 + n^{2} - n^{4} + 1 < 2

;

n \to + \infty lim (2 - \frac{1}{2 n ^{2}}) = 2

n^{2} - n + 2 + n \geq n

;

n \to + \infty lim n = + \infty

4 n^{2} + 1 < (2 n + 1)^{2} \Rightarrow 3 n - 4 n^{2} + 1 > 3 n - (2 n + 1) = n - 1

;

n \to + \infty lim (n - 1) = + \infty

Vậy a) $- 1$ ; b) $2$ ; c) $+ \infty$ ; d) $+ \infty$ .

3Cách 3. Tách thành các giới hạn đã biết

Định hướng. Tách bớt số hạng hằng để đưa về các dạng cơ bản $n^{2} + an - n \to \frac{a}{2}$ , $n^{2} - n^{4} + 1 \to 0$ ; câu c, d xét nghịch đảo hoặc liên hợp.

n^{2} + 2 n - n = \frac{2 n}{n ^{2} + 2 n + n} = \frac{2}{1 + \frac{2}{n} + 1} \to 1

n \to + \infty lim [(n^{2} + 2 n - n) - 2] = 1 - 2 = - 1

n^{2} - n^{4} + 1 = \frac{- 1}{n ^{2} + n ^{4} + 1} \to 0

n \to + \infty lim [2 + (n^{2} - n^{4} + 1)] = 2 + 0 = 2

w_{n} = \frac{1}{n ^{2} - n + 2 + n}

;

0 < w_{n} \leq \frac{1}{n} \to 0

n \to + \infty lim \frac{1}{w _{n}} = + \infty

(vì

n \to + \infty lim 1 = 1 > 0

w_{n} \to 0

w_{n} > 0

)

3 n - 4 n^{2} + 1 = \frac{9 n ^{2} - 4 n ^{2} - 1}{3 n + 4 n ^{2} + 1} = \frac{5 n - \frac{1}{n}}{3 + 4 + \frac{1}{n ^{2}}}

n \to + \infty lim (5 n - \frac{1}{n}) = + \infty

;

n \to + \infty lim (3 + 4 + \frac{1}{n ^{2}}) = 5 > 0

Vậy a) $- 1$ ; b) $2$ ; c) $+ \infty$ ; d) $+ \infty$ .

Nhận xét. Quy tắc nhìn nhanh: với $a n^{2} + \dots$ đứng cạnh $bn$ , nếu $a = ∣ b ∣$ và hai số hạng trái dấu thì phải liên hợp (giới hạn hữu hạn); nếu $a \neq = ∣ b ∣$ thì đặt $n$ ra ngoài là đủ (giới hạn vô cực).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liên hợp cho câu a, b và đặt

n

ra ngoài cho câu c, d — đúng công cụ cho đúng dạng, không cần ước lượng.

Đáp số. a)

- 1

. b)

2

. c)

+ \infty

. d)

+ \infty

Sai lầm thường gặp. Câu a quên bình phương cả

n + 2

khi liên hợp, viết tử thành

n^{2} + 2 n - n^{2} - 2

. Câu d nhân liên hợp rồi chia cho

n^{2}

\frac{5}{0}

và kết luận sai là không có giới hạn; đúng là tử bậc

2

, mẫu bậc

1

nên ra

+ \infty

. Câu c nhầm thành dạng vô định và cố nhân liên hợp

n^{2} - n + 2 - n

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim (n^{2} + an + b - n - c) = \frac{a}{2} - c

; thử

n \to + \infty lim (n^{2} + 6 n - n + 1) = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.3★★★Trang 78— Giới hạn liên quan tổng cấp số nhân

Bài 5.3 (trang 78). Cho

u_{n} = \frac{1 + a + a ^{2} + \dots + a ^{n}}{1 + b + b ^{2} + \dots + b ^{n}}

với

a

b

là các số thực thoả mãn

∣ a ∣ < 1

∣ b ∣ < 1

. Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ).
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $1 + q + q^{2} + \dots = \frac{1}{1 - q}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tử và mẫu đều là tổng

n + 1

số hạng đầu của cấp số nhân, công bội

a

và

b

có trị tuyệt đối nhỏ hơn

1

. Rút gọn bằng công thức tổng rồi dùng

a^{n + 1} \to 0

b^{n + 1} \to 0

. Bẫy: số số hạng là

n + 1

chứ không phải

n

; và nếu

a = 0

hay

b = 0

công thức vẫn đúng.

1Cách 1. Rút gọn bằng công thức tổng rồi lấy giới hạn

Định hướng. Thu gọn tử và mẫu, biểu thức còn lại một hằng số nhân với phân thức dần về $1$ .

u_{n} = \frac{\frac{1 - a ^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b ^{n + 1}}{1 - b}} = \frac{1 - b}{1 - a} \cdot \frac{1 - a ^{n + 1}}{1 - b ^{n + 1}}

∣ a ∣ < 1

∣ b ∣ < 1 \Rightarrow n \to + \infty lim a^{n + 1} = n \to + \infty lim b^{n + 1} = 0

n \to + \infty lim u_{n} = \frac{1 - b}{1 - a} \cdot \frac{1 - 0}{1 - 0} = \frac{1 - b}{1 - a}

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = \frac{1 - b}{1 - a}$ .

2Cách 2. Giới hạn của tử và mẫu là hai tổng vô hạn

Định hướng. Tử là tổng riêng của cấp số nhân lùi vô hạn nên dần tới tổng $\frac{1}{1 - a}$ ; tương tự với mẫu, rồi dùng quy tắc thương.

n \to + \infty lim (1 + a + \dots + a^{n}) = \frac{1}{1 - a}

n \to + \infty lim (1 + b + \dots + b^{n}) = \frac{1}{1 - b} \neq = 0

n \to + \infty lim u_{n} = \frac{\frac{1}{1 - a}}{\frac{1}{1 - b}} = \frac{1 - b}{1 - a}

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = \frac{1 - b}{1 - a}$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa: xét hiệu

u_{n} - \frac{1 - b}{1 - a}

Định hướng. Tính hiệu với giá trị dự đoán, chứng minh hiệu dần về $0$ .

u_{n} - \frac{1 - b}{1 - a} = \frac{1 - b}{1 - a} (\frac{1 - a ^{n + 1}}{1 - b ^{n + 1}} - 1) = \frac{1 - b}{1 - a} \cdot \frac{b ^{n + 1} - a ^{n + 1}}{1 - b ^{n + 1}}

∣ b^{n + 1} ∣ < 1 \Rightarrow 1 - b^{n + 1} > 0

;

n \to + \infty lim (b^{n + 1} - a^{n + 1}) = 0

;

n \to + \infty lim (1 - b^{n + 1}) = 1

n \to + \infty lim (u_{n} - \frac{1 - b}{1 - a}) = \frac{1 - b}{1 - a} \cdot \frac{0}{1} = 0

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = \frac{1 - b}{1 - a}$ .

Nhận xét. Kiểm tra với $a = b$ : $u_{n} = 1$ và công thức cho $\frac{1 - a}{1 - a} = 1$ . Với $a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{1}{2}$ giới hạn là $\frac{3}{4}$ (sympy xác nhận).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra tử và mẫu dần tới hai tổng cấp số nhân lùi vô hạn là ra kết quả ngay, không cần rút gọn dài.

Đáp số.

n \to + \infty lim u_{n} = \frac{1 - b}{1 - a}

Sai lầm thường gặp. Viết tử bằng

\frac{1 - a ^{n}}{1 - a}

(đếm thiếu một số hạng) — giới hạn vẫn đúng nhưng biến đổi sai. Lỗi nặng hơn: đảo ngược thành

\frac{1 - a}{1 - b}

do nhầm tổng vô hạn là

1 - q

thay vì

\frac{1}{1 - q}

🚀 Mở rộng. Nếu

∣ a ∣ < 1

nhưng

b > 1

thì mẫu tới

+ \infty

và

n \to + \infty lim u_{n} = 0

; thử với

a = \frac{1}{2}

b = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.4★★Trang 78— Giới hạn dãy số có tử là tổng cấp số cộng

Bài 5.4 (trang 78). Tính

n \to + \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + \dots + ( 2 n - 1 )}{n ^{2} + 2 n}

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số cộng: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
$1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .
Phân thức cùng bậc: giới hạn bằng tỉ số hệ số cao nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Tử là tổng

n

số lẻ đầu tiên — một cấp số cộng công sai

2

, tổng bằng

n^{2}

. Thu gọn xong bài thành phân thức cùng bậc

2

, giới hạn là

1

. Bẫy: không được lấy giới hạn từng số hạng của tử rồi cộng vì số số hạng tăng theo

n

1Cách 1. Công thức tổng cấp số cộng rồi chia cho

n^{2}

Định hướng. Thu gọn tử bằng công thức tổng cấp số cộng, sau đó chia tử và mẫu cho $n^{2}$ .

1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = \frac{n ( 1 + 2 n - 1 )}{2} = n^{2}

n \to + \infty lim \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 2 n} = n \to + \infty lim \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{1 + 0} = 1

Vậy giới hạn bằng $1$ .

2Cách 2. Tổng triệt tiêu và tách phân thức

Định hướng. Viết mỗi số lẻ thành hiệu hai bình phương liên tiếp để tổng tự thu gọn; rồi tách $\frac{n}{n + 2} = 1 - \frac{2}{n + 2}$ .

2 k - 1 = k^{2} - (k - 1)^{2}

\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = (1^{2} - 0^{2}) + (2^{2} - 1^{2}) + \dots + (n^{2} - (n - 1)^{2}) = n^{2}

\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 2 n} = \frac{n}{n + 2} = 1 - \frac{2}{n + 2}

n \to + \infty lim (1 - \frac{2}{n + 2}) = 1 - 0 = 1

Vậy giới hạn bằng $1$ .

3Cách 3. Ghép cặp kiểu Gauss và dùng định nghĩa

Định hướng. Cộng hai lần tổng theo chiều ngược nhau để có $n$ cặp cùng bằng $2 n$ ; kết luận bằng cách chứng minh hiệu với $1$ dần về $0$ .

2 S = [1 + (2 n - 1)] + [3 + (2 n - 3)] + \dots + [(2 n - 1) + 1] = n \cdot 2 n

S = n^{2}

\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 2 n} - 1 = \frac{- 2 n}{n ^{2} + 2 n} = - \frac{2}{n + 2}

- \frac{2}{n + 2} < \frac{2}{n} \to 0

Vậy giới hạn bằng $1$ .

Nhận xét. Hình ảnh: $n^{2}$ ô vuông xếp thành hình vuông cạnh $n$ được ghép từ các "góc chữ L" gồm $1, 3, 5, \dots$ ô — đó là lí do tổng các số lẻ là số chính phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thu gọn tử bằng công thức tổng cấp số cộng rồi chia

n^{2}

, hai dòng là xong.

Đáp số.

1

Sai lầm thường gặp. Tính tổng tử sai thành

\frac{n ( 2 n - 1 )}{2}

(quên cộng số hạng đầu): giới hạn vẫn ra

1

vì

\frac{n ( 2 n - 1 )}{2 ( n ^{2} + 2 n )} \to 1

, nên lỗi bị che nhưng biến đổi sai vẫn mất điểm. Lỗi nặng hơn là lấy giới hạn từng số hạng

\frac{1}{n ^{2} + 2 n} \to 0

\frac{3}{n ^{2} + 2 n} \to 0

, … rồi kết luận giới hạn

0

🚀 Mở rộng. Tương tự:

n \to + \infty lim \frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{1}{2}

và

n \to + \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}} = \frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.5★Trang 78— Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Bài 5.5 (trang 78). Tính tổng

S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5 ^{2}} + \dots + (- 1)^{n} \frac{1}{5 ^{n - 1}} + \dots

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ và $S = n \to + \infty lim S_{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số hạng tổng quát

(- 1)^{n} \frac{1}{5 ^{n - 1}}

: tỉ số hai số hạng liên tiếp bằng

- \frac{1}{5}

, nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn

u_{1} = - 1

q = - \frac{1}{5}

. Bẫy là dấu:

u_{1}

âm và

q

âm,

1 - q = \frac{6}{5}

chứ không phải

\frac{4}{5}

1Cách 1. Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Định hướng. Xác định $u_{1}$ , $q$ từ số hạng tổng quát rồi thay công thức.

u_{1} = (- 1)^{1} \cdot \frac{1}{5 ^{0}} = - 1

;

q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{1/5}{- 1} = - \frac{1}{5}

;

∣ q ∣ < 1

S = \frac{- 1}{1 - ( - \frac{1}{5} )} = \frac{- 1}{\frac{6}{5}} = - \frac{5}{6}

Vậy $S = - \frac{5}{6}$ .

2Cách 2. Tính tổng riêng

S_{n}

rồi lấy giới hạn

Định hướng. Theo định nghĩa tổng vô hạn là giới hạn của tổng $n$ số hạng đầu.

S_{n} = \frac{- 1 \cdot [ 1 - ( - \frac{1}{5} ) ^{n} ]}{1 + \frac{1}{5}} = - \frac{5}{6} [1 - (- \frac{1}{5})^{n}]

n \to + \infty lim (- \frac{1}{5})^{n} = 0 \Rightarrow S = n \to + \infty lim S_{n} = - \frac{5}{6}

Vậy $S = - \frac{5}{6}$ .

3Cách 3. Tự đồng dạng:

S = - 1 - \frac{S}{5}

Định hướng. Tách số hạng đầu, phần còn lại bằng $- \frac{1}{5}$ lần chính tổng $S$ (tổng tồn tại vì $∣ q ∣ < 1$ ).

S = - 1 + (- \frac{1}{5}) (- 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5 ^{2}} + \dots) = - 1 - \frac{S}{5}

5 S = - 5 - S

6 S = - 5

S = - \frac{5}{6}

Vậy $S = - \frac{5}{6}$ .

Nhận xét. Tổng riêng đan dấu: $S_{1} = - 1$ ; $S_{2} = - 0, 8$ ; $S_{3} = - 0, 84$ ; $S_{4} = - 0, 832$ ; … dao động quanh và dồn về $- 0, 8333 \dots = - \frac{5}{6}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định đúng

u_{1} = - 1

q = - \frac{1}{5}

rồi thay công thức, hai dòng.

Đáp số.

S = - \frac{5}{6}

Sai lầm thường gặp. Lấy

q = \frac{1}{5}

(bỏ dấu) được

S = - \frac{5}{4}

. Lấy

u_{1} = 1

(bỏ dấu của số hạng đầu) được

S = \frac{5}{6}

— cần đọc kĩ

(- 1)^{n}

với

n = 1

cho số âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\sum_{n \geq 1} (- 1)^{n} \frac{1}{m ^{n - 1}} = - \frac{m}{m + 1}

với

m > 1

; thử

m = 2

được

- \frac{2}{3}

(đúng là số đối của Ví dụ 4 trong SGK).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.6★★Trang 78— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

Bài 5.6 (trang 78). Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a)

1, (03)

;
b)

3, (23)

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .
$0, (ab) = \frac{ab}{99}$ .
$99 = 9 \cdot 11$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai số có chu kì hai chữ số (

03

và

23

), nên phần thập phân là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

\frac{1}{100}

. Chú ý chu kì

03

có chữ số

0

đứng đầu: số hạng đầu là

\frac{3}{100}

chứ không phải

\frac{3}{10}

1Cách 1. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định hướng. Tách phần nguyên; phần thập phân là tổng các khối chu kì với công bội $\frac{1}{100}$ .

1, (03) = 1 + \frac{3}{100} + \frac{3}{10 0 ^{2}} + \dots = 1 + \frac{\frac{3}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = 1 + \frac{3}{99} = 1 + \frac{1}{33} = \frac{34}{33}

3, (23) = 3 + \frac{23}{100} + \frac{23}{10 0 ^{2}} + \dots = 3 + \frac{\frac{23}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = 3 + \frac{23}{99} = \frac{320}{99}

Vậy a) $\frac{34}{33}$ ; b) $\frac{320}{99}$ .

2Cách 2. Nhân với

100

rồi trừ

Định hướng. Nhân với $100$ thì phần đuôi tuần hoàn trùng khớp, trừ đi là mất.

x = 1, 0303 \dots

;

100 x = 103, 0303 \dots

100 x - x = 103 - 1

99 x = 102

x = \frac{102}{99} = \frac{34}{33}

y = 3, 2323 \dots

;

100 y = 323, 2323 \dots

100 y - y = 323 - 3

99 y = 320

y = \frac{320}{99}

Vậy a) $\frac{34}{33}$ ; b) $\frac{320}{99}$ .

3Cách 3. Quy tắc chu kì trên

99

và thử lại bằng phép chia

Định hướng. Dùng quy tắc rút ra từ Cách 1: phần tuần hoàn thuần có chu kì hai chữ số bằng chu kì chia $99$ ; sau đó chia lại để kiểm tra.

1, (03) = 1 + \frac{3}{99} = \frac{34}{33}

;

34 : 33 = 1, 0303 \dots

3, (23) = 3 + \frac{23}{99} = \frac{320}{99}

;

320 : 99 = 3, 2323 \dots

Vậy a) $\frac{34}{33}$ ; b) $\frac{320}{99}$ .

Nhận xét. Phân số $\frac{320}{99}$ đã tối giản vì $320 = 2^{6} \cdot 5$ không có ước $3$ hay $11$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Tự luận nên trình bày Cách 1 (đúng kiến thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn); trắc nghiệm dùng Cách 3 cho nhanh.

Đáp số. a)

1, (03) = \frac{34}{33}

. b)

3, (23) = \frac{320}{99}

Sai lầm thường gặp. Câu a đọc chu kì thành

3

(bỏ số

0

) nên viết

1 + \frac{3}{9} = \frac{4}{3} = 1, 333 \dots

— sai hẳn. Lỗi khác: dùng công bội

\frac{1}{10}

cho chu kì hai chữ số.

🚀 Mở rộng. Thử với chu kì ba chữ số:

2, (015) = 2 + \frac{15}{999} = \frac{671}{333}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.7★★Trang 78— Giới hạn 0 bằng cách chặn trị tuyệt đối

Bài 5.7 (trang 78). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{cos n}{n ^{2}}

. Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$∣ cos x ∣ \leq 1$ với mọi $x$ .
Nếu $∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}$ với mọi $n \geq 1$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
Định lí kẹp: $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ và $n \to + \infty lim a_{n} = n \to + \infty lim b_{n} = L$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = L$ .

🧠 Phân tích tư duy

cos n

không có giới hạn nhưng luôn bị chặn trong

[- 1; 1]

, còn mẫu

n^{2} \to + \infty

. Dùng kết quả "nếu

∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}

và

v_{n} \to 0

thì

u_{n} \to 0

". Bẫy: không được tách

lim cos n \cdot lim \frac{1}{n ^{2}}

1Cách 1. Chặn trị tuyệt đối bởi

\frac{1}{n ^{2}}

Định hướng. Bỏ phần dao động bằng bất đẳng thức $∣ cos n ∣ \leq 1$ .

∣ u_{n} ∣ = \frac{∣ cos n ∣}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0

Vậy $n \to + \infty lim \frac{cos n}{n ^{2}} = 0$ .

2Cách 2. Kiểm trực tiếp bằng định nghĩa

Định hướng. Với mọi $ε > 0$ chỉ ra chỉ số mà từ đó $∣ u_{n} ∣ < ε$ .

∣ u_{n} ∣ \leq \frac{1}{n ^{2}} < ε \Leftarrow n > \frac{1}{ε}

ε = 1 0^{- 4} \Rightarrow n > 100

: mọi số hạng từ

u_{101}

có

∣ u_{n} ∣ < 0, 0001

Vậy $∣ u_{n} ∣$ nhỏ hơn số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó, tức $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

3Cách 3. Kẹp hai phía

Định hướng. Viết $- 1 \leq cos n \leq 1$ rồi chia cho $n^{2} > 0$ để kẹp $u_{n}$ giữa hai dãy đối nhau.

- \frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{cos n}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

n \to + \infty lim (- \frac{1}{n ^{2}}) = n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

Nhận xét. Kết quả tổng quát: dãy bị chặn nhân với dãy dần về $0$ thì dần về $0$ — dùng được cho $\frac{sin n}{n}$ , $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ , …

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một bất đẳng thức

∣ u_{n} ∣ \leq \frac{1}{n ^{2}}

là đủ, đúng kết quả nêu trong SGK.

Đáp số.

n \to + \infty lim u_{n} = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim cos n \cdot n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = cos (+ \infty) \cdot 0

— vô nghĩa vì dãy

cos n

không có giới hạn. Lỗi khác: cho rằng

cos n \geq 0

nên chỉ chặn một phía

0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{n ^{2}}

🚀 Mở rộng. Tính

n \to + \infty lim \frac{n sin n + 2 n ^{2}}{n ^{2} + 1}

: tách thành

\frac{n sin n}{n ^{2} + 1} \to 0

và

\frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 1} \to 2

, đáp số

2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.8★★Trang 78— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn trong hình học

Bài 5.8 (trang 78). Cho tam giác

A_{1} B_{1} C_{1}

có diện tích là

3

(đơn vị diện tích). Dựng tam giác

A_{2} B_{2} C_{2}

bằng cách nối các trung điểm của các cạnh

B_{1} C_{1}

C_{1} A_{1}

A_{1} B_{1}

. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác

A_{3} B_{3} C_{3}

, …,

A_{n} B_{n} C_{n}

, … Kí hiệu

s_{n}

là diện tích của tam giác

A_{n} B_{n} C_{n}

.
a) Tính

s_{n}

.
b) Tính tổng

s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n} + \dots

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Hai tam giác đồng dạng tỉ số $k$ thì tỉ số diện tích là $k^{2}$ .
$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác nối trung điểm (tam giác trung bình) có các cạnh bằng nửa cạnh tam giác cũ, nên diện tích bằng

\frac{1}{4}

. Vậy

(s_{n})

là cấp số nhân

s_{1} = 3

q = \frac{1}{4}

và câu b là tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Có thể kiểm chứng bằng cách chia tam giác thành bốn tam giác bằng nhau.

1Cách 1. Tỉ số đồng dạng và công thức cấp số nhân

Định hướng. Tam giác trung bình đồng dạng với tam giác ban đầu tỉ số $\frac{1}{2}$ , suy ra diện tích nhân $\frac{1}{4}$ sau mỗi bước.

B_{2} C_{2} = \frac{1}{2} B_{1} C_{1}

;

C_{2} A_{2} = \frac{1}{2} C_{1} A_{1}

;

A_{2} B_{2} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1}

△ A_{2} B_{2} C_{2} ∽ △ A_{1} B_{1} C_{1}

tỉ số

\frac{1}{2} \Rightarrow s_{2} = (\frac{1}{2})^{2} s_{1} = \frac{1}{4} s_{1}

s_{n + 1} = \frac{1}{4} s_{n} \Rightarrow s_{n} = 3 (\frac{1}{4})^{n - 1}

s_{1} + s_{2} + \dots = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 4

Vậy a) $s_{n} = 3 (\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{3}{4 ^{n - 1}}$ ; b) tổng bằng $4$ .

2Cách 2. Bốn tam giác bằng nhau; tổng riêng rồi lấy giới hạn

Định hướng. Ba đường trung bình chia tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ thành bốn tam giác bằng nhau (cạnh – cạnh – cạnh), trong đó có $A_{2} B_{2} C_{2}$ .

△ A_{1} C_{2} B_{2} = △ C_{2} B_{1} A_{2} = △ B_{2} A_{2} C_{1} = △ A_{2} B_{2} C_{2}

(cạnh – cạnh – cạnh)

4 s_{2} = s_{1} \Rightarrow s_{2} = \frac{3}{4}

;

s_{n} = \frac{3}{4 ^{n - 1}}

s_{1} + \dots + s_{n} = \frac{3 ( 1 - \frac{1}{4 ^{n}} )}{1 - \frac{1}{4}} = 4 (1 - \frac{1}{4 ^{n}})

n \to + \infty lim 4 (1 - \frac{1}{4 ^{n}}) = 4

Vậy a) $s_{n} = \frac{3}{4 ^{n - 1}}$ ; b) $4$ .

3Cách 3. Tự đồng dạng cho tổng vô hạn

Định hướng. Bỏ tam giác đầu tiên, dãy $s_{2}, s_{3}, \dots$ chính là dãy ban đầu thu nhỏ $\frac{1}{4}$ , nên tổng $T$ thoả phương trình.

T = s_{1} + (s_{2} + s_{3} + \dots) = 3 + \frac{1}{4} T

\frac{3}{4} T = 3

T = 4

Vậy $s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n} + \dots = 4$ .

Nhận xét. Tổng bằng $\frac{4}{3}$ diện tích tam giác đầu: mỗi lần chia, phần tam giác giữa chiếm $\frac{1}{4}$ nên chuỗi $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{4}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một câu về tỉ số đồng dạng

\frac{1}{2}

cho ngay công bội

\frac{1}{4}

, rồi dùng

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

Đáp số. a)

s_{n} = 3 (\frac{1}{4})^{n - 1}

. b)

s_{1} + s_{2} + \dots = 4

Sai lầm thường gặp. Lấy công bội

\frac{1}{2}

(nhầm tỉ số cạnh với tỉ số diện tích) nên được

s_{n} = \frac{3}{2 ^{n - 1}}

và tổng

6

. Lỗi khác: viết

s_{n} = 3 (\frac{1}{4})^{n}

, khiến

s_{1} = \frac{3}{4}

mâu thuẫn đề.

🚀 Mở rộng. Nếu tính tổng chu vi các tam giác khi tam giác đầu có chu vi

p

thì công bội là

\frac{1}{2}

và tổng bằng

2 p

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.9★★★Trang 78— Dãy truy hồi, tổng triệt tiêu và giới hạn

Bài 5.9 (trang 78). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{1} = 2

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{2}{3 ^{n}}

n \geq 1

. Đặt

v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}

.
a) Tính

v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}

theo

n

.
b) Tính

u_{n}

theo

n

.
c) Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số nhân: $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ .
Tổng triệt tiêu: $(u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{1}$ .
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Theo hệ thức truy hồi,

v_{n} = \frac{2}{3 ^{n}}

là cấp số nhân công bội

\frac{1}{3}

với số hạng đầu

\frac{2}{3}

(không phải

2

). Tổng

v_{1} + \dots + v_{n}

triệt tiêu thành

u_{n + 1} - u_{1}

, từ đó có

u_{n}

. Bẫy lớn: công thức tổng với

n

số hạng bắt đầu từ

\frac{2}{3}

cho

1 - \frac{1}{3 ^{n}}

; nhầm số hạng đầu sẽ ra giới hạn sai là

5

(cả vietjack và loigiaihay đều mắc lỗi này).

1Cách 1. Tổng cấp số nhân của

v_{k}

và tổng triệt tiêu

Định hướng. Tính tổng các $v_{k}$ bằng công thức cấp số nhân, rồi so với dạng triệt tiêu để rút $u_{n}$ .

v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2}{3 ^{n}}

;

v_{1} = \frac{2}{3}

;

q = \frac{1}{3}

v_{1} + \dots + v_{n} = \frac{\frac{2}{3} ( 1 - \frac{1}{3 ^{n}} )}{1 - \frac{1}{3}} = 1 - \frac{1}{3 ^{n}}

v_{1} + \dots + v_{n} = (u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - 2

u_{n + 1} = 3 - \frac{1}{3 ^{n}} \Rightarrow u_{n} = 3 - \frac{1}{3 ^{n - 1}}

(

n \geq 1

;

u_{1} = 3 - 1 = 2

)

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim (3 - \frac{1}{3 ^{n - 1}}) = 3 - 0 = 3

Vậy a) $1 - \frac{1}{3 ^{n}}$ ; b) $u_{n} = 3 - \frac{1}{3 ^{n - 1}}$ ; c) $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

2Cách 2. Dự đoán công thức rồi chứng minh quy nạp

Định hướng. Tính vài số hạng đầu để đoán $u_{n}$ , chứng minh bằng quy nạp, sau đó mới suy ra câu a.

u_{1} = 2 = 3 - 1

;

u_{2} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 3 - \frac{1}{3}

;

u_{3} = \frac{8}{3} + \frac{2}{9} = \frac{26}{9} = 3 - \frac{1}{9}

Giả sử

u_{k} = 3 - \frac{1}{3 ^{k - 1}}

u_{k + 1} = 3 - \frac{3}{3 ^{k}} + \frac{2}{3 ^{k}} = 3 - \frac{1}{3 ^{k}}

v_{1} + \dots + v_{n} = u_{n + 1} - u_{1} = 3 - \frac{1}{3 ^{n}} - 2 = 1 - \frac{1}{3 ^{n}}

n \to + \infty lim u_{n} = 3

Vậy a) $1 - \frac{1}{3 ^{n}}$ ; b) $u_{n} = 3 - \frac{1}{3 ^{n - 1}}$ ; c) $3$ .

3Cách 3. Giới hạn bằng tổng cấp số nhân lùi vô hạn (kiểm tra câu c)

Định hướng. $u_{n + 1} = u_{1} + v_{1} + \dots + v_{n}$ , nên khi $n \to + \infty$ giới hạn của $u_{n}$ bằng $u_{1}$ cộng tổng vô hạn của các $v_{k}$ .

n \to + \infty lim u_{n + 1} = u_{1} + (\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} + \dots)

= 2 + \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 + 1 = 3

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

Nhận xét. Kiểm tra số: $u_{5} = 3 - \frac{1}{81} \approx 2, 988$ đã rất sát $3$ , không thể tới $5$ . Hai trang tham khảo ra đáp số $5$ vì dùng nhầm tổng $1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3 ^{n}}$ thay cho $\frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3 ^{n}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng mạch câu a → b → c mà đề dẫn dắt; Cách 3 là phép thử một dòng để chắc chắn giới hạn bằng

3

Đáp số. a)

v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n} = 1 - \frac{1}{3 ^{n}}

. b)

u_{n} = 3 - \frac{1}{3 ^{n - 1}}

. c)

n \to + \infty lim u_{n} = 3

Sai lầm thường gặp. Lấy số hạng đầu của cấp số nhân

v_{n}

là

2

(hoặc cộng thừa số hạng

1

trong ngoặc) nên được tổng

3 (1 - \frac{1}{3 ^{n + 1}})

và giới hạn

5

— thử

n = 1

v_{1} = \frac{2}{3}

trong khi công thức sai cho

\frac{8}{3}

. Lỗi khác: từ

u_{n + 1} = 3 - \frac{1}{3 ^{n}}

viết thẳng

u_{n} = 3 - \frac{1}{3 ^{n}}

mà không lùi chỉ số.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

u_{1} = a

u_{n + 1} = u_{n} + c q^{n}

(

∣ q ∣ < 1

) thì

n \to + \infty lim u_{n} = a + \frac{c q}{1 - q}

; thử

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{2 ^{n}}

được giới hạn

2

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.10★★Trang 78— Tìm giới hạn nhờ bất đẳng thức chặn

Bài 5.10 (trang 78). Cho dãy số

(u_{n})

có tính chất

u_{n} - \frac{n}{n + 1} \leq \frac{1}{n ^{2}}

. Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $∣ w_{n} ∣ \leq v_{n}$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim w_{n} = 0$ .
$n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n}$ khi hai giới hạn hữu hạn.
$∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho công thức

u_{n}

mà cho khoảng cách từ

u_{n}

đến

\frac{n}{n + 1}

bị chặn bởi

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

. Vậy

u_{n}

"bám" theo

\frac{n}{n + 1}

, mà

\frac{n}{n + 1} \to 1

. Viết

u_{n}

bằng tổng của dãy dần về

0

và dãy dần về

1

1Cách 1. Đặt

w_{n} = u_{n} - \frac{n}{n + 1}

rồi dùng quy tắc tổng

Định hướng. Tách $u_{n}$ thành tổng của dãy $w_{n} \to 0$ và dãy $\frac{n}{n + 1} \to 1$ .

∣ w_{n} ∣ \leq \frac{1}{n ^{2}}

n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim w_{n} = 0

n \to + \infty lim \frac{n}{n + 1} = n \to + \infty lim \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim (w_{n} + \frac{n}{n + 1}) = 0 + 1 = 1

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ .

2Cách 2. Kẹp hai phía

Định hướng. Mở trị tuyệt đối thành hai bất đẳng thức, $u_{n}$ bị kẹp giữa hai dãy cùng dần về $1$ .

\frac{n}{n + 1} - \frac{1}{n ^{2}} \leq u_{n} \leq \frac{n}{n + 1} + \frac{1}{n ^{2}}

n \to + \infty lim (\frac{n}{n + 1} - \frac{1}{n ^{2}}) = 1 - 0 = 1

;

n \to + \infty lim (\frac{n}{n + 1} + \frac{1}{n ^{2}}) = 1 + 0 = 1

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa: chặn

∣ u_{n} - 1∣

Định hướng. Dùng bất đẳng thức tam giác để đánh giá khoảng cách từ $u_{n}$ đến $1$ .

∣ u_{n} - 1∣ \leq u_{n} - \frac{n}{n + 1} + \frac{n}{n + 1} - 1 \leq \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{n + 1}

\leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}

n \to + \infty lim \frac{2}{n} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim (u_{n} - 1) = 0

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ .

Nhận xét. Cách 3 còn cho tốc độ: muốn $∣ u_{n} - 1∣ < 0, 01$ chỉ cần $n > 200$ , bất kể $u_{n}$ cụ thể là dãy nào thoả điều kiện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt dãy phụ

w_{n}

rồi áp quy tắc tổng — gọn và đúng tinh thần định nghĩa giới hạn hữu hạn.

Đáp số.

n \to + \infty lim u_{n} = 1

Sai lầm thường gặp. Kết luận

n \to + \infty lim u_{n} = 0

vì thấy vế phải

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

— đó là giới hạn của khoảng cách

u_{n} - \frac{n}{n + 1}

, không phải của

u_{n}

. Lỗi khác: cho rằng phải tìm ra công thức cụ thể của

u_{n}

mới tính được giới hạn.

🚀 Mở rộng. Tương tự: nếu

u_{n} - \frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 3} \leq \frac{1}{n}

thì

n \to + \infty lim u_{n} = 2

Mở bài này trong app ↗