Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 15. Giới hạn của dãy số

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang77–78 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.1★★Trang 77— Giới hạn dãy số dạng phân thức

Bài 5.1 (trang 77). Tính các giới hạn sau:
a)

n \to + \infty lim \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2}

;
b)

n \to + \infty lim \frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}}

Kiến thức cần nhớ

Chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ (hoặc cơ số lớn nhất của luỹ thừa mũ $n$ ).
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ ; $n \to + \infty lim \frac{1}{n ^{k}} = 0$ .
Nếu $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: tử và mẫu cùng bậc

2

, giới hạn là tỉ số hệ số cao nhất

\frac{1}{2}

. Câu b: "luỹ thừa cao nhất" là

3^{n}

vì

3^{n}

lớn nhanh hơn

2^{n}

, nên chia cả tử và mẫu cho

3^{n}

để xuất hiện các

q^{n}

với

∣ q ∣ < 1

. Bẫy câu b: chia cho

2^{n}

sẽ ra mẫu

(\frac{3}{2})^{n} \to + \infty

, vẫn làm được nhưng dễ rối.

1Cách 1. Chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất

Định hướng. Câu a chia cho $n^{2}$ , câu b chia cho $3^{n}$ .

n \to + \infty lim \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2} = n \to + \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}}} = \frac{1 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}

n \to + \infty lim \frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}} = n \to + \infty lim \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3 ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{( \frac{1}{3} ) ^{n} + 1} = \frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 1} = 0

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $0$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa (a) và kẹp (b)

Định hướng. Câu a chứng minh $u_{n} - \frac{1}{2} \to 0$ ; câu b chặn phân thức dương bởi một dãy $c (\frac{2}{3})^{n}$ .

\frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2} - \frac{1}{2} = \frac{2 n ^{2} + 2 - 2 n ^{2} - n - 2}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )} = \frac{- n}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )}

\frac{- n}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )} < \frac{n}{4 n ^{2}} = \frac{1}{4 n} \to 0

0 < \frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}} < \frac{2 ^{n} + 3 \cdot 2 ^{n}}{3 ^{n}} = 4 (\frac{2}{3})^{n}

n \to + \infty lim 4 (\frac{2}{3})^{n} = 0

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $0$ .

3Cách 3. Tách phân thức thành các phần đơn giản

Định hướng. Câu a viết tử theo mẫu để lộ $\frac{1}{2}$ cộng phần dư; câu b tách thành hai phân số, mỗi phân số dần về $0$ .

n^{2} + 1 = \frac{1}{2} (2 n^{2} + n + 2) - \frac{n}{2}

\frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + n + 2} = \frac{1}{2} - \frac{n}{2 ( 2 n ^{2} + n + 2 )} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{n}}{2 ( 2 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}} )} \to \frac{1}{2} - 0

\frac{2 ^{n} + 3}{1 + 3 ^{n}} = \frac{2 ^{n}}{1 + 3 ^{n}} + \frac{3}{1 + 3 ^{n}}

0 < \frac{2 ^{n}}{1 + 3 ^{n}} < (\frac{2}{3})^{n} \to 0

;

0 < \frac{3}{1 + 3 ^{n}} < 3 (\frac{1}{3})^{n} \to 0

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $0$ .

Nhận xét. Câu b minh hoạ quy luật "cơ số lớn thắng": khi $n$ lớn, $3^{n}$ áp đảo $2^{n}$ nên phân thức dần về $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia cho

n^{2}

và cho

3^{n}

là hai thao tác chuẩn, mỗi câu một dòng.

Đáp số. a)

\frac{1}{2}

. b)

0

Sai lầm thường gặp. Câu b chia tử và mẫu cho

2^{n}

rồi viết mẫu

\frac{1}{2 ^{n}} + (\frac{3}{2})^{n} \to \frac{3}{2}

— sai,

(\frac{3}{2})^{n} \to + \infty

vì

\frac{3}{2} > 1

. Câu a hay nhầm thành

1

do chỉ nhìn hệ số

1

của

n^{2}

ở tử.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim \frac{a ^{n} + c}{b ^{n} + d} = 0

khi

0 < a < b

và

b > 1

; thử

n \to + \infty lim \frac{4 ^{n} - 5 ^{n}}{5 ^{n} + 1} = - 1

khi cơ số lớn nhất có mặt ở cả tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.2★★★Trang 78— Giới hạn dãy số chứa căn: dạng vô định và giới hạn vô cực

Bài 5.2 (trang 78). Tính các giới hạn sau:
a)

n \to + \infty lim (n^{2} + 2 n - n - 2)

;
b)

n \to + \infty lim (2 + n^{2} - n^{4} + 1)

;
c)

n \to + \infty lim (n^{2} - n + 2 + n)

;
d)

n \to + \infty lim (3 n - 4 n^{2} + 1)

Kiến thức cần nhớ

Liên hợp: $A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}$ .
Nếu $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ và $n \to + \infty lim v_{n} = a > 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} v_{n} = + \infty$ .
Nếu $u_{n} \geq w_{n}$ và $n \to + \infty lim w_{n} = + \infty$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b có dạng "

\infty - \infty

" với hai luỹ thừa cao nhất cân bằng (

n^{2} = n

n^{4} = n^{2}

) nên phải nhân liên hợp, kết quả hữu hạn. Câu c là tổng hai dãy dương cùng tới

+ \infty

, không phải dạng vô định. Câu d có

3 n

lớn hơn

4 n^{2} = 2 n

, nên chỉ cần đặt

n

ra ngoài. Nhìn hệ số trước khi chọn cách là bước quyết định.

1Cách 1. Nhân liên hợp (a, b) và đặt

n

làm nhân tử chung (c, d)

Định hướng. Hai câu đầu là dạng vô định có căn nên nhân liên hợp; hai câu sau không vô định khi đặt $n$ ra ngoài.

n^{2} + 2 n - (n + 2) = \frac{n ^{2} + 2 n - ( n + 2 ) ^{2}}{n ^{2} + 2 n + n + 2} = \frac{- 2 n - 4}{n ^{2} + 2 n + n + 2}

= \frac{- 2 - \frac{4}{n}}{1 + \frac{2}{n} + 1 + \frac{2}{n}} \to \frac{- 2}{1 + 1} = - 1

(n^{2} + 2) - n^{4} + 1 = \frac{( n ^{2} + 2 ) ^{2} - ( n ^{4} + 1 )}{n ^{2} + 2 + n ^{4} + 1} = \frac{4 n ^{2} + 3}{n ^{2} + 2 + n ^{4} + 1}

= \frac{4 + \frac{3}{n ^{2}}}{1 + \frac{2}{n ^{2}} + 1 + \frac{1}{n ^{4}}} \to \frac{4}{2} = 2

n^{2} - n + 2 + n = n (1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 1)

;

n \to + \infty lim n = + \infty

n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 1) = 2 > 0

n \to + \infty lim (n^{2} - n + 2 + n) = + \infty

3 n - 4 n^{2} + 1 = n (3 - 4 + \frac{1}{n ^{2}})

;

n \to + \infty lim (3 - 4 + \frac{1}{n ^{2}}) = 3 - 2 = 1 > 0

n \to + \infty lim (3 n - 4 n^{2} + 1) = + \infty

Vậy a) $- 1$ ; b) $2$ ; c) $+ \infty$ ; d) $+ \infty$ .

2Cách 2. Kẹp và chặn dưới bằng bất đẳng thức

Định hướng. Chặn căn giữa hai biểu thức đơn giản: $n + 1 - \frac{1}{n} \leq n^{2} + 2 n < n + 1$ , $n^{2} < n^{4} + 1 \leq n^{2} + \frac{1}{2 n ^{2}}$ , $4 n^{2} + 1 < 2 n + 1$ .

(n + 1 - \frac{1}{n})^{2} = n^{2} + 2 n - 1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n ^{2}} \leq n^{2} + 2 n < (n + 1)^{2}

- 1 - \frac{1}{n} \leq n^{2} + 2 n - n - 2 < - 1

;

n \to + \infty lim (- 1 - \frac{1}{n}) = - 1

n^{4} < n^{4} + 1 \leq n^{4} + 1 + \frac{1}{4 n ^{4}} = (n^{2} + \frac{1}{2 n ^{2}})^{2}

2 - \frac{1}{2 n ^{2}} \leq 2 + n^{2} - n^{4} + 1 < 2

;

n \to + \infty lim (2 - \frac{1}{2 n ^{2}}) = 2

n^{2} - n + 2 + n \geq n

;

n \to + \infty lim n = + \infty

4 n^{2} + 1 < (2 n + 1)^{2} \Rightarrow 3 n - 4 n^{2} + 1 > 3 n - (2 n + 1) = n - 1

;

n \to + \infty lim (n - 1) = + \infty

Vậy a) $- 1$ ; b) $2$ ; c) $+ \infty$ ; d) $+ \infty$ .

3Cách 3. Tách thành các giới hạn đã biết

Định hướng. Tách bớt số hạng hằng để đưa về các dạng cơ bản $n^{2} + an - n \to \frac{a}{2}$ , $n^{2} - n^{4} + 1 \to 0$ ; câu c, d xét nghịch đảo hoặc liên hợp.

n^{2} + 2 n - n = \frac{2 n}{n ^{2} + 2 n + n} = \frac{2}{1 + \frac{2}{n} + 1} \to 1

n \to + \infty lim [(n^{2} + 2 n - n) - 2] = 1 - 2 = - 1

n^{2} - n^{4} + 1 = \frac{- 1}{n ^{2} + n ^{4} + 1} \to 0

n \to + \infty lim [2 + (n^{2} - n^{4} + 1)] = 2 + 0 = 2

w_{n} = \frac{1}{n ^{2} - n + 2 + n}

;

0 < w_{n} \leq \frac{1}{n} \to 0

n \to + \infty lim \frac{1}{w _{n}} = + \infty

(vì

n \to + \infty lim 1 = 1 > 0

w_{n} \to 0

w_{n} > 0

)

3 n - 4 n^{2} + 1 = \frac{9 n ^{2} - 4 n ^{2} - 1}{3 n + 4 n ^{2} + 1} = \frac{5 n - \frac{1}{n}}{3 + 4 + \frac{1}{n ^{2}}}

n \to + \infty lim (5 n - \frac{1}{n}) = + \infty

;

n \to + \infty lim (3 + 4 + \frac{1}{n ^{2}}) = 5 > 0

Vậy a) $- 1$ ; b) $2$ ; c) $+ \infty$ ; d) $+ \infty$ .

Nhận xét. Quy tắc nhìn nhanh: với $a n^{2} + \dots$ đứng cạnh $bn$ , nếu $a = ∣ b ∣$ và hai số hạng trái dấu thì phải liên hợp (giới hạn hữu hạn); nếu $a \neq = ∣ b ∣$ thì đặt $n$ ra ngoài là đủ (giới hạn vô cực).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liên hợp cho câu a, b và đặt

n

ra ngoài cho câu c, d — đúng công cụ cho đúng dạng, không cần ước lượng.

Đáp số. a)

- 1

. b)

2

. c)

+ \infty

. d)

+ \infty

Sai lầm thường gặp. Câu a quên bình phương cả

n + 2

khi liên hợp, viết tử thành

n^{2} + 2 n - n^{2} - 2

. Câu d nhân liên hợp rồi chia cho

n^{2}

\frac{5}{0}

và kết luận sai là không có giới hạn; đúng là tử bậc

2

, mẫu bậc

1

nên ra

+ \infty

. Câu c nhầm thành dạng vô định và cố nhân liên hợp

n^{2} - n + 2 - n

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim (n^{2} + an + b - n - c) = \frac{a}{2} - c

; thử

n \to + \infty lim (n^{2} + 6 n - n + 1) = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.3★★★Trang 78— Giới hạn liên quan tổng cấp số nhân

Bài 5.3 (trang 78). Cho

u_{n} = \frac{1 + a + a ^{2} + \dots + a ^{n}}{1 + b + b ^{2} + \dots + b ^{n}}

với

a

b

là các số thực thoả mãn

∣ a ∣ < 1

∣ b ∣ < 1

. Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ).
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $1 + q + q^{2} + \dots = \frac{1}{1 - q}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.4★★Trang 78— Giới hạn dãy số có tử là tổng cấp số cộng

Bài 5.4 (trang 78). Tính

n \to + \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + \dots + ( 2 n - 1 )}{n ^{2} + 2 n}

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số cộng: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
$1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .
Phân thức cùng bậc: giới hạn bằng tỉ số hệ số cao nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.5★Trang 78— Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Bài 5.5 (trang 78). Tính tổng

S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5 ^{2}} + \dots + (- 1)^{n} \frac{1}{5 ^{n - 1}} + \dots

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ và $S = n \to + \infty lim S_{n}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.6★★Trang 78— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

Bài 5.6 (trang 78). Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a)

1, (03)

;
b)

3, (23)

Kiến thức cần nhớ

$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .
$0, (ab) = \frac{ab}{99}$ .
$99 = 9 \cdot 11$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.7★★Trang 78— Giới hạn 0 bằng cách chặn trị tuyệt đối

Bài 5.7 (trang 78). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{cos n}{n ^{2}}

. Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$∣ cos x ∣ \leq 1$ với mọi $x$ .
Nếu $∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}$ với mọi $n \geq 1$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
Định lí kẹp: $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ và $n \to + \infty lim a_{n} = n \to + \infty lim b_{n} = L$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = L$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.8★★Trang 78— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn trong hình học

Bài 5.8 (trang 78). Cho tam giác

A_{1} B_{1} C_{1}

có diện tích là

3

(đơn vị diện tích). Dựng tam giác

A_{2} B_{2} C_{2}

bằng cách nối các trung điểm của các cạnh

B_{1} C_{1}

C_{1} A_{1}

A_{1} B_{1}

. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác

A_{3} B_{3} C_{3}

, …,

A_{n} B_{n} C_{n}

, … Kí hiệu

s_{n}

là diện tích của tam giác

A_{n} B_{n} C_{n}

.
a) Tính

s_{n}

.
b) Tính tổng

s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n} + \dots

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Hai tam giác đồng dạng tỉ số $k$ thì tỉ số diện tích là $k^{2}$ .
$S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.9★★★Trang 78— Dãy truy hồi, tổng triệt tiêu và giới hạn

Bài 5.9 (trang 78). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{1} = 2

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{2}{3 ^{n}}

n \geq 1

. Đặt

v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}

.
a) Tính

v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}

theo

n

.
b) Tính

u_{n}

theo

n

.
c) Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số nhân: $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ .
Tổng triệt tiêu: $(u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{1}$ .
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.10★★Trang 78— Tìm giới hạn nhờ bất đẳng thức chặn

Bài 5.10 (trang 78). Cho dãy số

(u_{n})

có tính chất

u_{n} - \frac{n}{n + 1} \leq \frac{1}{n ^{2}}

. Tính

n \to + \infty lim u_{n}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $∣ w_{n} ∣ \leq v_{n}$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim w_{n} = 0$ .
$n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n}$ khi hai giới hạn hữu hạn.
$∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .