Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 15. Giới hạn của dãy số

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 105— Nhận biết dãy số có giới hạn 0

HĐ1 (trang 105). Nhận biết dãy số có giới hạn là 0.
Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

.
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ

u_{n}

đến

0

nhỏ hơn

0, 01

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách giữa hai điểm $a$ , $b$ trên trục số là $∣ a - b ∣$ ; khoảng cách từ $u_{n}$ đến $0$ là $∣ u_{n} ∣$ .
$∣ (- 1)^{n} ∣ = 1$ nên $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{1}{n}$ .
$n \to + \infty lim u_{n} = 0$ khi $∣ u_{n} ∣$ nhỏ hơn số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng cách từ

u_{n}

đến

0

chính là

∣ u_{n} ∣

, nên câu b quy về giải bất phương trình

∣ u_{n} ∣ < 0, 01

với ẩn nguyên dương

n

. Dấu

(- 1)^{n}

chỉ làm các điểm nhảy qua lại hai phía của

0

, còn độ lớn

\frac{1}{n}

mới quyết định điểm gần

0

đến đâu. Bẫy:

n = 100

cho

∣ u_{n} ∣ = 0, 01

đúng bằng chứ không nhỏ hơn, nên phải bắt đầu từ

n = 101

1Cách 1. Tính số hạng rồi giải bất phương trình

∣ u_{n} ∣ < 0, 01

Định hướng. Tính năm số hạng đầu để chấm lên trục số; khoảng cách đến $0$ là $∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{n}$ nên giải thẳng bất phương trình theo $n$ .

u_{1} = \frac{( - 1 ) ^{1}}{1} = - 1

;

u_{2} = \frac{( - 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

;

u_{3} = - \frac{1}{3}

;

u_{4} = \frac{1}{4}

;

u_{5} = - \frac{1}{5}

∣ u_{n} - 0∣ = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{1}{n}

∣ u_{n} ∣ < 0, 01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{100} \Leftrightarrow n > 100

Vậy a) năm điểm $- 1; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{5}$ như hình; b) kể từ số hạng thứ $101$ ( $u_{101}$ ) thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến $0$ nhỏ hơn $0, 01$ .

2Cách 2. Dùng tính giảm của

∣ u_{n} ∣

và xét số hạng ranh giới

Định hướng. Dãy $∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{n}$ giảm, nên chỉ cần tìm số hạng đầu tiên lọt dưới $0, 01$ ; mọi số hạng sau nó còn nhỏ hơn nữa.

∣ u_{n + 1} ∣ = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} = ∣ u_{n} ∣

∣ u_{100} ∣ = \frac{1}{100} = 0, 01

∣ u_{101} ∣ = \frac{1}{101} \approx 0, 0099 < 0, 01

n \geq 101 \Rightarrow ∣ u_{n} ∣ \leq ∣ u_{101} ∣ < 0, 01

Vậy bắt đầu từ số hạng $u_{101}$ .

3Cách 3. Tổng quát theo số dương

ε

bé tuỳ ý

Định hướng. Giải bài toán cho mọi $ε > 0$ rồi thay $ε = 0, 01$ ; cách này đồng thời chứng minh $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

∣ u_{n} ∣ < ε \Leftrightarrow \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε}

ε = 0, 01 \Rightarrow n > \frac{1}{0 , 01} = 100 \Rightarrow n \geq 101

Vậy kể từ $u_{101}$ trở đi khoảng cách đến $0$ nhỏ hơn $0, 01$ ; hơn nữa với mọi $ε > 0$ đều có chỉ số như vậy nên $n \to + \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = 0$ .

Nhận xét. Trên trục số các điểm $u_{n}$ nhảy luân phiên hai phía của $0$ nhưng khép dần vào $0$ — hình ảnh trực quan của giới hạn $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải gọn nhất để đi thi: một bất phương trình

\frac{1}{n} < \frac{1}{100}

là xong; Cách 3 đáng nhớ vì nó chính là định nghĩa giới hạn

0

Đáp số. a)

u_{1} = - 1

u_{2} = \frac{1}{2}

u_{3} = - \frac{1}{3}

u_{4} = \frac{1}{4}

u_{5} = - \frac{1}{5}

. b) Từ số hạng thứ

101

Sai lầm thường gặp. Trả lời "từ số hạng thứ

100

" vì giải

\frac{1}{n} \leq 0, 01

— đề hỏi nhỏ hơn hẳn, mà

∣ u_{100} ∣ = 0, 01

không nhỏ hơn

0, 01

. Lỗi thứ hai là giải

u_{n} < 0, 01

(quên trị tuyệt đối): khi đó mọi

n

lẻ đều thoả vì

u_{n}

âm, dẫn tới kết luận vô nghĩa "từ

u_{1}

🚀 Mở rộng. Với dãy

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

, số hạng đầu tiên cách

0

dưới

0, 0001

là số hạng thứ mấy? (Đáp số: thứ

101

, vì cần

n^{2} > 10000

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 105— Chứng minh dãy số có giới hạn 0

Luyện tập 1 (trang 105). Chứng minh rằng

n \to + \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 0

Kiến thức cần nhớ

$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ nếu $∣ q ∣ < 1$ .
Nếu $∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}$ với mọi $n \geq 1$ và $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
$3^{n} \geq n + 1 > n$ với mọi $n \geq 1$ (bất đẳng thức Bernoulli).

🧠 Phân tích tư duy

Tử số chỉ là

\pm 1

, mẫu số

3^{n}

tăng rất nhanh, nên độ lớn

∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{3 ^{n}}

về

0

. Có sẵn hai kết quả trong phần Chú ý:

lim q^{n} = 0

khi

∣ q ∣ < 1

và "nếu

∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}

v_{n} \to 0

thì

u_{n} \to 0

" — đưa bài về một trong hai là xong. Bẫy: đừng đi tìm giới hạn riêng của

(- 1)^{n - 1}

vì dãy đó không có giới hạn.

1Cách 1. Chặn trị tuyệt đối bởi dãy

(\frac{1}{3})^{n}

Định hướng. Bỏ dấu bằng trị tuyệt đối, phần còn lại là $q^{n}$ với $q = \frac{1}{3}$ .

∣ u_{n} ∣ = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n}} = (\frac{1}{3})^{n}

\frac{1}{3} < 1 \Rightarrow n \to + \infty lim (\frac{1}{3})^{n} = 0

∣ u_{n} ∣ \leq (\frac{1}{3})^{n}

và

n \to + \infty lim (\frac{1}{3})^{n} = 0

Vậy $n \to + \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 0$ .

2Cách 2. Viết gọn thành

- q^{n}

với

q = - \frac{1}{3}

Định hướng. Gộp dấu và mẫu vào cùng một luỹ thừa để dùng thẳng kết quả $lim q^{n} = 0$ , không cần trị tuyệt đối.

\frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = - \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 ^{n}} = - (- \frac{1}{3})^{n}

- \frac{1}{3} = \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow n \to + \infty lim (- \frac{1}{3})^{n} = 0

n \to + \infty lim u_{n} = - n \to + \infty lim (- \frac{1}{3})^{n} = - 0 = 0

Vậy $n \to + \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 0$ .

3Cách 3. So sánh với

\frac{1}{n}

bằng bất đẳng thức Bernoulli

Định hướng. Không dùng kết quả về $q^{n}$ : chặn $∣ u_{n} ∣$ bởi dãy $\frac{1}{n}$ quen thuộc, nhờ $3^{n} = (1 + 2)^{n} \geq 1 + 2 n$ .

3^{n} = (1 + 2)^{n} \geq 1 + 2 n > n

∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{3 ^{n}} < \frac{1}{n}

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim u_{n} = 0

Vậy $n \to + \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 0$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm thông tin định lượng: muốn $∣ u_{n} ∣ < 0, 001$ chỉ cần $n > 1000$ (thực tế $n \geq 7$ đã đủ vì $3^{7} = 2187$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng biến đổi đưa về

- (- \frac{1}{3})^{n}

là áp được ngay

lim q^{n} = 0

; Cách 1 an toàn khi dấu phức tạp hơn.

Đáp số.

n \to + \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

lim (- 1)^{n - 1} \cdot lim \frac{1}{3 ^{n}}

rồi áp quy tắc giới hạn của tích — sai vì dãy

(- 1)^{n - 1}

(luân phiên

1, - 1, 1, \dots

) không có giới hạn, quy tắc tích chỉ dùng khi cả hai dãy có giới hạn hữu hạn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

(a_{n})

bị chặn, tức

∣ a_{n} ∣ \leq M

, và

∣ q ∣ < 1

thì

n \to + \infty lim a_{n} q^{n} = 0

— thử với

u_{n} = \frac{sin n}{2 ^{n}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★Trang 105— Tính giới hạn của dãy hiệu

u_{n} - a

HĐ2 (trang 105). Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.
Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{n + ( - 1 ) ^{n}}{n}

. Xét dãy số

(v_{n})

xác định bởi

v_{n} = u_{n} - 1

. Tính

n \to + \infty lim v_{n}

Kiến thức cần nhớ

$n \to + \infty lim u_{n} = a \Leftrightarrow n \to + \infty lim (u_{n} - a) = 0$ .
$n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0$ ; nếu $∣ v_{n} ∣ \leq \frac{1}{n}$ thì $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Rút gọn

v_{n} = u_{n} - 1

trước: phần

n

trên tử triệt tiêu với

1

, còn lại đúng dãy

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

của HĐ1. Hoạt động này dẫn tới định nghĩa

lim u_{n} = a \Leftrightarrow lim (u_{n} - a) = 0

, nên kết quả

lim v_{n} = 0

cho ngay

lim u_{n} = 1

1Cách 1. Rút gọn

v_{n}

rồi chặn trị tuyệt đối

Định hướng. Rút gọn $u_{n} - 1$ để thấy $v_{n}$ chỉ còn dấu chia cho $n$ .

v_{n} = \frac{n + ( - 1 ) ^{n}}{n} - 1 = \frac{n + ( - 1 ) ^{n} - n}{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

∣ v_{n} ∣ = \frac{1}{n}

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim v_{n} = 0

Vậy $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ (và do đó $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ ).

2Cách 2. Kẹp

v_{n}

giữa hai dãy

- \frac{1}{n}

và

\frac{1}{n}

Định hướng. Tử số $(- 1)^{n}$ chỉ nhận $\pm 1$ nên $v_{n}$ luôn nằm giữa hai dãy đối nhau cùng dần về $0$ .

v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

- 1 \leq (- 1)^{n} \leq 1 \Rightarrow - \frac{1}{n} \leq v_{n} \leq \frac{1}{n}

n \to + \infty lim (- \frac{1}{n}) = n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0

Vậy $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ .

3Cách 3. Kiểm trực tiếp bằng định nghĩa với

ε

bất kì

Định hướng. Chỉ ra với mọi $ε > 0$ luôn có chỉ số mà từ đó $∣ v_{n} ∣ < ε$ .

∣ v_{n} ∣ = \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow n > \frac{1}{ε}

ε = 0, 001 \Rightarrow n \geq 1001

;

ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow n \geq 1 0^{6} + 1

Vậy $∣ v_{n} ∣$ nhỏ hơn mọi số dương kể từ một số hạng nào đó, tức $n \to + \infty lim v_{n} = 0$ .

Nhận xét. Vì $v_{n} = u_{n} - 1 \to 0$ nên theo định nghĩa ở khung kiến thức, $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ : các số hạng $u_{n}$ dồn về $1$ từ hai phía.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn nhất: rút gọn một dòng là thấy

v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

, dãy đã biết giới hạn

0

ở HĐ1.

Đáp số.

n \to + \infty lim v_{n} = 0

Sai lầm thường gặp. Tính

lim \frac{n + ( - 1 ) ^{n}}{n}

bằng cách "thay

n = + \infty

" rồi viết

\frac{\infty}{\infty} = 1

— đó không phải phép tính hợp lệ. Lỗi khác: rút gọn sai thành

v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{n}

do trừ

1

chỉ ở tử.

🚀 Mở rộng. Với

u_{n} = \frac{2 n + ( - 1 ) ^{n}}{n + 1}

, hãy tìm

a

để

n \to + \infty lim (u_{n} - a) = 0

(đáp số

a = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 106— Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn

Luyện tập 2 (trang 106). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{3 \cdot 2 ^{n} - 1}{2 ^{n}}

. Chứng minh rằng

n \to + \infty lim u_{n} = 3

Kiến thức cần nhớ

$n \to + \infty lim u_{n} = a \Leftrightarrow n \to + \infty lim (u_{n} - a) = 0$ .
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ ; $n \to + \infty lim c = c$ .
Quy tắc: $lim (u_{n} - v_{n}) = lim u_{n} - lim v_{n}$ khi hai giới hạn hữu hạn.

🧠 Phân tích tư duy

Tử có

3 \cdot 2^{n}

cùng dạng với mẫu

2^{n}

, nên tách phân thức sẽ lộ ra

3

và một phần dư dần về

0

. Theo định nghĩa chỉ cần chứng minh

u_{n} - 3 \to 0

; còn nếu dùng quy tắc thì phải biết

(\frac{1}{2})^{n} \to 0

1Cách 1. Theo định nghĩa: xét hiệu

u_{n} - 3

Định hướng. Tính $u_{n} - 3$ và chỉ ra hiệu đó dần về $0$ .

u_{n} - 3 = \frac{3 \cdot 2 ^{n} - 1}{2 ^{n}} - 3 = \frac{3 \cdot 2 ^{n} - 1 - 3 \cdot 2 ^{n}}{2 ^{n}} = - \frac{1}{2 ^{n}} = - (\frac{1}{2})^{n}

n \to + \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim (u_{n} - 3) = 0

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

2Cách 2. Tách phân thức rồi dùng quy tắc tính giới hạn

Định hướng. Chia từng hạng tử của tử cho $2^{n}$ , biểu thức thành hiệu của hằng số và $q^{n}$ .

u_{n} = \frac{3 \cdot 2 ^{n}}{2 ^{n}} - \frac{1}{2 ^{n}} = 3 - (\frac{1}{2})^{n}

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim 3 - n \to + \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 3 - 0 = 3

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

3Cách 3. Kẹp giữa

3 - \frac{1}{n}

và

3

Định hướng. Dùng $2^{n} > n$ để so sánh phần dư với $\frac{1}{n}$ , tránh phải dùng kết quả về $q^{n}$ .

2^{n} = (1 + 1)^{n} \geq 1 + n > n \Rightarrow 0 < \frac{1}{2 ^{n}} < \frac{1}{n}

3 - \frac{1}{n} < u_{n} = 3 - \frac{1}{2 ^{n}} < 3

∣ u_{n} - 3∣ < \frac{1}{n}

và

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

Nhận xét. Các số hạng $u_{n}$ luôn nằm dưới $3$ và tiến sát $3$ : $u_{1} = 2, 5$ ; $u_{2} = 2, 75$ ; $u_{3} = 2, 875$ ; … khoảng cách tới $3$ giảm một nửa sau mỗi bước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách phân thức một dòng rồi áp quy tắc hiệu, gọn và đúng tinh thần mục 2 của bài.

Đáp số.

n \to + \infty lim u_{n} = 3

Sai lầm thường gặp. Chia tử và mẫu cho

2^{n}

nhưng quên chia hạng tử

- 1

, viết thành

\frac{3 - 1}{1} = 2

. Lỗi khác: coi

\frac{1}{2 ^{n}}

là

\frac{1}{2 n}

— kết quả giới hạn vẫn đúng nhưng biến đổi sai, mất điểm trình bày.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

a > 1

n \to + \infty lim \frac{c \cdot a ^{n} + d}{a ^{n}} = c

; thử

u_{n} = \frac{5 \cdot 3 ^{n} + 7}{3 ^{n}}

(đáp số

5

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng 1★★Trang 106— Giới hạn 0 của cấp số nhân trong bài toán thực tế

Vận dụng 1 (trang 106). Một quả bóng cao su được thả từ độ cao

5

m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng

\frac{2}{3}

độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử

u_{n}

là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ

n

. Chứng minh rằng dãy số

(u_{n})

có giới hạn là

0

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân: $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .
Bất đẳng thức Bernoulli: $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ với $x > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Mỗi lần bằng

\frac{2}{3}

lần trước" là dấu hiệu cấp số nhân với công bội

q = \frac{2}{3}

. Viết được công thức

u_{n}

thì bài quy về

lim q^{n} = 0

. Bẫy:

u_{1}

là độ cao sau lần nảy thứ nhất, bằng

5 \cdot \frac{2}{3}

chứ không phải

5

1Cách 1. Lập công thức cấp số nhân rồi dùng

lim q^{n} = 0

Định hướng. Độ cao sau mỗi lần nảy lập thành cấp số nhân, nên viết $u_{n}$ dưới dạng $c \cdot q^{n}$ .

u_{1} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}

;

u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n}

u_{n} = \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{n - 1} = 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n}

n \to + \infty lim u_{n} = 5 \cdot n \to + \infty lim (\frac{2}{3})^{n} = 5 \cdot 0 = 0

Vậy dãy độ cao $(u_{n})$ có giới hạn $0$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa:

u_{n}

nhỏ hơn số dương bé tuỳ ý

Định hướng. Chỉ ra với mọi độ cao $ε > 0$ , kể từ một lần nảy nào đó bóng luôn nảy thấp hơn $ε$ .

u_{n} = 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n}

giảm vì

u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} < u_{n}

ε = 0, 01

u_{15} = 5 \cdot (\frac{2}{3})^{15} \approx 0, 011

;

u_{16} \approx 0, 0076 < 0, 01

n \geq 16 \Rightarrow u_{n} \leq u_{16} < 0, 01

(\frac{2}{3})^{n} \to 0 \Rightarrow

với mọi

ε > 0

có

N

để

u_{n} < ε

khi

n \geq N

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ ; chẳng hạn từ lần nảy thứ $16$ bóng nảy chưa tới $1$ cm.

3Cách 3. Chặn trên bằng

\frac{10}{n + 2}

nhờ bất đẳng thức Bernoulli

Định hướng. Không dùng kết quả về $q^{n}$ : so sánh $(\frac{3}{2})^{n}$ với một hàm bậc nhất của $n$ .

(\frac{3}{2})^{n} = (1 + \frac{1}{2})^{n} \geq 1 + \frac{n}{2} = \frac{n + 2}{2}

0 < u_{n} = \frac{5}{( \frac{3}{2} ) ^{n}} \leq \frac{5 \cdot 2}{n + 2} = \frac{10}{n + 2}

n \to + \infty lim \frac{10}{n + 2} = n \to + \infty lim \frac{\frac{10}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = 0

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

Nhận xét. Cách 3 cho một chặn cụ thể (thô): $u_{n} < 0, 01$ chắc chắn khi $n > 998$ , trong khi thực tế chỉ cần $n \geq 16$ — chặn Bernoulli dễ chứng minh nhưng rất rộng tay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn khi đi thi: nhận ra cấp số nhân, viết

u_{n} = 5 (\frac{2}{3})^{n}

và dùng ngay

lim q^{n} = 0

Đáp số.

u_{n} = 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n}

và

n \to + \infty lim u_{n} = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy

u_{1} = 5

rồi viết

u_{n} = 5 (\frac{2}{3})^{n - 1}

— sai chỉ số vì

5

m là độ cao ban đầu, chưa nảy lần nào (giới hạn vẫn là

0

nhưng công thức sai). Lỗi khác: lập luận "bóng nảy vô hạn lần nên độ cao không thể bằng 0" — giới hạn

0

không có nghĩa là có lúc

u_{n} = 0

🚀 Mở rộng. Tính thêm tổng quãng đường bóng đi được:

5 + 2 \cdot (\frac{10}{3} + \frac{20}{9} + \dots) = 5 + 2 \cdot \frac{10/3}{1 - 2/3} = 25

m — dùng tổng cấp số nhân lùi vô hạn ở mục 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★Trang 106— Giới hạn của tổng hai dãy số

HĐ3 (trang 106). Hình thành quy tắc tính giới hạn.
Cho hai dãy số

(u_{n})

và

(v_{n})

với

u_{n} = 2 + \frac{1}{n}

v_{n} = 3 - \frac{2}{n}

.
Tính và so sánh:

n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n})

và

n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n}

Kiến thức cần nhớ

$n \to + \infty lim u_{n} = a \Leftrightarrow n \to + \infty lim (u_{n} - a) = 0$ .
$n \to + \infty lim \frac{c}{n} = 0$ với $c$ là hằng số.
$∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi dãy đều có dạng "hằng số cộng một phần dần về

0

", nên giới hạn đọc ngay được. Hoạt động nhằm phát hiện quy tắc

lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n}

; muốn thấy vì sao quy tắc đúng thì xét độ lệch với tổng hai giới hạn.

1Cách 1. Tính riêng từng vế rồi so sánh

Định hướng. Cộng hai dãy trước rồi tìm giới hạn; song song tìm từng giới hạn rồi cộng.

u_{n} + v_{n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}

n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = 5 - 0 = 5

n \to + \infty lim u_{n} = 2 + 0 = 2

;

n \to + \infty lim v_{n} = 3 - 0 = 3

n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n} = 2 + 3 = 5

Vậy $n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n} = 5$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa: xét hiệu

(u_{n} + v_{n}) - 5

Định hướng. Chứng minh trực tiếp tổng dần về $5$ bằng cách chỉ ra hiệu với $5$ dần về $0$ .

(u_{n} + v_{n}) - 5 = (2 + \frac{1}{n}) + (3 - \frac{2}{n}) - 5 = - \frac{1}{n}

n \to + \infty lim (- \frac{1}{n}) = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = 5

u_{n} - 2 = \frac{1}{n} \to 0

;

v_{n} - 3 = - \frac{2}{n} \to 0

Vậy hai vế cùng bằng $5$ .

3Cách 3. Chứng minh quy tắc tổng bằng bất đẳng thức tam giác

Định hướng. Gộp độ lệch của tổng thành tổng hai độ lệch, mỗi độ lệch dần về $0$ — đây là lí do quy tắc đúng với mọi cặp dãy.

∣ (u_{n} + v_{n}) - (2 + 3) ∣ = ∣ (u_{n} - 2) + (v_{n} - 3) ∣

\leq ∣ u_{n} - 2∣ + ∣ v_{n} - 3∣ = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} = \frac{3}{n}

n \to + \infty lim \frac{3}{n} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = 2 + 3 = n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n}

Vậy $n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n} = 5$ .

Nhận xét. Thay $\frac{1}{n}$ , $\frac{2}{n}$ bằng hai dãy bất kì dần về $0$ thì lập luận vẫn nguyên — đó chính là chứng minh quy tắc a) trong khung kiến thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đủ cho yêu cầu "tính và so sánh" của đề; Cách 3 nên đọc để hiểu vì sao quy tắc tổng luôn đúng.

Đáp số.

n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = 5 = n \to + \infty lim u_{n} + n \to + \infty lim v_{n}

Sai lầm thường gặp. Cộng sai thành

u_{n} + v_{n} = 5 + \frac{3}{n}

(quên dấu trừ của

\frac{2}{n}

) — giới hạn vẫn ra

5

nên lỗi bị che, nhưng biến đổi sai. Lỗi quan niệm: áp quy tắc tổng khi một dãy không có giới hạn hữu hạn, ví dụ

u_{n} = n

v_{n} = - n

🚀 Mở rộng. Kiểm tra tương tự với tích:

n \to + \infty lim (u_{n} v_{n}) = n \to + \infty lim (6 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n ^{2}}) = 6 = 2 \cdot 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 107— Giới hạn dãy số dạng phân thức chứa căn

Luyện tập 3 (trang 107). Tìm

n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1}

Kiến thức cần nhớ

Chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ rồi dùng quy tắc tính giới hạn.
Nếu $u_{n} \geq 0$ và $n \to + \infty lim u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $n \to + \infty lim u_{n} = a$ .
Với $n > 0$ : $\frac{A}{n} = \frac{A}{n ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bậc của tử:

2 n^{2} + 1

"cỡ"

n

, bằng bậc của mẫu

n + 1

, nên giới hạn là tỉ số hệ số:

2

. Chia tử và mẫu cho

n

và đưa

n

vào trong căn dưới dạng

n^{2}

. Bẫy:

\frac{2 n ^{2} + 1}{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2}}

chỉ đúng vì

n > 0

1Cách 1. Chia tử và mẫu cho

n

Định hướng. Luỹ thừa cao nhất (sau khi tính cả căn) là $n$ , nên chia cả tử và mẫu cho $n$ .

n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1} = n \to + \infty lim \frac{\frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2}}}{\frac{n + 1}{n}} = n \to + \infty lim \frac{2 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n}}

= \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2

Vậy $n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1} = 2$ .

2Cách 2. Bình phương rồi dùng quy tắc giới hạn của căn

Định hướng. Dãy dương, bình phương lên thành phân thức hữu tỉ quen thuộc, tính giới hạn rồi lấy căn.

u_{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1} > 0

;

u_{n}^{2} = \frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2} + 2 n + 1}

n \to + \infty lim u_{n}^{2} = n \to + \infty lim \frac{2 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n ^{2}}} = 2

n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim u_{n}^{2} = 2

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 2$ .

3Cách 3. Kẹp giữa hai dãy cùng dần về

2

Định hướng. Chặn căn bởi hai biểu thức bậc nhất: $2 n \leq 2 n^{2} + 1 \leq 2 n + 1$ .

2 n^{2} \leq 2 n^{2} + 1 \leq 2 n^{2} + 22 n + 1 = (2 n + 1)^{2}

\frac{2 n}{n + 1} \leq u_{n} \leq \frac{2 n + 1}{n + 1}

n \to + \infty lim \frac{2 n}{n + 1} = n \to + \infty lim \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} = 2

;

n \to + \infty lim \frac{2 n + 1}{n + 1} = n \to + \infty lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 2

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 2$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích trực quan: với $n$ lớn, $2 n^{2} + 1 \approx 2 n$ và $n + 1 \approx n$ , nên tỉ số xấp xỉ $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia cho

n

và đưa vào căn là chuẩn mực cho mọi phân thức chứa căn bậc hai.

Đáp số.

n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1} = 2

Sai lầm thường gặp. Đưa

n

vào căn thành

\frac{2 n ^{2} + 1}{n}

(chia cho

n

thay vì

n^{2}

) rồi kết luận giới hạn là

+ \infty

. Lỗi khác: chia tử và mẫu cho

n^{2}

, mẫu dần về

0

, rồi viết

\frac{0}{0}

và bế tắc.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim \frac{a n ^{2} + bn + c}{p n + q} = \frac{a}{p}

với

a > 0

p > 0

; thử

n \to + \infty lim \frac{9 n ^{2} - n}{2 n + 5} = \frac{3}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 107— Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn qua hình vẽ

HĐ4 (trang 107). Làm quen với việc tính tổng vô hạn.
Cho hình vuông cạnh

1

(đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi

u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}, \dots

lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng

S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}

.
b) Tìm

S = n \to + \infty lim S_{n}

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân: $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ với $q \neq = 1$ .
$n \to + \infty lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .
$\frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2 ^{k - 1}} - \frac{1}{2 ^{k}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi lần chia bốn thì cạnh giảm một nửa, nên

(u_{n})

là cấp số nhân

u_{1} = \frac{1}{2}

q = \frac{1}{2}

. Câu a dùng công thức tổng

n

số hạng của cấp số nhân, câu b cho

n \to + \infty

với chú ý

(\frac{1}{2})^{n} \to 0

. Nhìn hình còn thấy ngay: các cạnh tô màu nối tiếp nhau phủ gần kín cạnh hình vuông lớn.

1Cách 1. Công thức tổng

n

số hạng của cấp số nhân

Định hướng. Cạnh hình vuông sau bằng nửa cạnh hình vuông trước: cấp số nhân với $u_{1} = q = \frac{1}{2}$ .

u_{1} = \frac{1}{2}

;

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

S_{n} = \frac{\frac{1}{2} ( 1 - \frac{1}{2 ^{n}} )}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}

S = n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) = 1 - 0 = 1

Vậy a) $S_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$ ; b) $S = 1$ .

2Cách 2. Tổng triệt tiêu (sai phân)

Định hướng. Viết mỗi số hạng thành hiệu hai số liên tiếp để các số hạng giữa tự triệt tiêu.

u_{k} = \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2 ^{k - 1}} - \frac{1}{2 ^{k}}

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2 ^{n - 1}} - \frac{1}{2 ^{n}}) = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}

S = n \to + \infty lim S_{n} = 1

Vậy a) $S_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$ ; b) $S = 1$ .

3Cách 3. Đọc thẳng trên hình vẽ

Định hướng. Chiếu các hình vuông tô màu xuống cạnh đáy: chúng nằm liền nhau và phần còn thiếu chính là cạnh của hình vuông chưa chia.

u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + c_{n} = 1

, với

c_{n}

là cạnh hình vuông góc trên bên phải còn lại sau

n

lần chia

c_{1} = \frac{1}{2}

;

c_{n} = \frac{1}{2} c_{n - 1} \Rightarrow c_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

S_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} \to 1

Vậy a) $S_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$ ; b) $S = 1$ .

Nhận xét. Hình vẽ cho thấy một tổng có vô hạn số hạng dương vẫn có thể bằng một số hữu hạn — đây là mở đầu cho khái niệm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u _{1}}{1 - q} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn và dùng lại được cho mọi cấp số nhân; Cách 3 đẹp nhất để nhớ vì nhìn hình là thấy tổng bằng cạnh hình vuông lớn.

Đáp số. a)

S_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}

. b)

S = 1

Sai lầm thường gặp. Lấy

u_{1} = 1

(nhầm với cạnh hình vuông ban đầu) nên ra

S = 2

. Lỗi thứ hai: dùng

S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n - 1} )}{1 - q}

(lệch số mũ) cho kết quả

1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi lần chia hình vuông thành

9

ô bằng nhau và tô ô góc dưới trái, lặp với ô góc trên phải, thì tổng các cạnh tô màu là

\frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★Trang 108— Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Luyện tập 4 (trang 108). Tính tổng

S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + \dots + \frac{2}{7 ^{n - 1}} + \dots

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân lùi vô hạn: $∣ q ∣ < 1$ , $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ và $S = n \to + \infty lim S_{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tỉ số hai số hạng liên tiếp luôn bằng

\frac{1}{7}

nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn (

∣ q ∣ < 1

) với

u_{1} = 2

. Chỉ cần thay vào

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

; bẫy là lấy nhầm

u_{1} = \frac{2}{7}

1Cách 1. Công thức

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

Định hướng. Xác định $u_{1}$ , $q$ rồi thay vào công thức tổng.

u_{1} = 2

;

q = \frac{2/7}{2} = \frac{1}{7}

;

\frac{1}{7} < 1

S = \frac{2}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{2}{\frac{6}{7}} = \frac{7}{3}

Vậy $S = \frac{7}{3}$ .

2Cách 2. Tính

S_{n}

rồi lấy giới hạn

Định hướng. Đi đúng định nghĩa: tổng vô hạn là giới hạn của tổng $n$ số hạng đầu.

S_{n} = \frac{2 ( 1 - \frac{1}{7 ^{n}} )}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{7}{3} (1 - \frac{1}{7 ^{n}})

S = n \to + \infty lim S_{n} = \frac{7}{3} (1 - 0) = \frac{7}{3}

Vậy $S = \frac{7}{3}$ .

3Cách 3. Tính tự đồng dạng:

S = 2 + \frac{S}{7}

Định hướng. Bỏ số hạng đầu, phần còn lại đúng bằng $\frac{1}{7}$ của cả tổng (tổng đã hội tụ theo Cách 1).

S = 2 + \frac{1}{7} (2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + \dots) = 2 + \frac{S}{7}

7 S = 14 + S

6 S = 14

S = \frac{7}{3}

Vậy $S = \frac{7}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ hợp lệ khi đã biết tổng tồn tại (vì $∣ q ∣ < 1$ ); với $1 + 2 + 4 + \dots$ cùng lập luận sẽ ra $S = - 1$ vô lí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận dạng

u_{1}

q

và thay công thức, chỉ hai dòng.

Đáp số.

S = \frac{7}{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy

q = 7

vì thấy mẫu nhân

7

— thực ra số hạng sau bằng số hạng trước chia

7

, nên

q = \frac{1}{7}

. Lỗi khác: quên số hạng đầu

2

, lấy

u_{1} = \frac{2}{7}

và ra

S = \frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

a + \frac{a}{m} + \frac{a}{m ^{2}} + \dots = \frac{am}{m - 1}

với

m > 1

; thử

3 + 1 + \frac{1}{3} + \dots = \frac{9}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng 2★★★Trang 108— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn trong bài toán chuyển động

Vận dụng 2 (trang 108). (Giải thích nghịch lí Zeno)
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc

100

km/h, vận tốc của rùa là

1

km/h và khoảng cách ban đầu

a = 100

(km).
a) Tính thời gian

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}, \dots

tương ứng để Achilles đi từ

A_{1}

đến

A_{2}

, từ

A_{2}

đến

A_{3}

, …, từ

A_{n}

đến

A_{n + 1}

, …
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường

A_{1} A_{2}

A_{2} A_{3}

, …,

A_{n} A_{n + 1}

, …, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .
Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian.
Hai vật chuyển động cùng chiều, vận tốc $v_{1} > v_{2}$ : thời gian đuổi kịp bằng khoảng cách ban đầu chia cho $v_{1} - v_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trong thời gian Achilles chạy một chặng, rùa đi được quãng bằng

\frac{1}{100}

chặng đó, nên các chặng (và thời gian) lập cấp số nhân công bội

\frac{1}{100}

. Tổng vô hạn thời gian là hữu hạn — đó là chìa khoá bác bỏ Zeno. Có thể kiểm chứng bằng bài toán chuyển động đuổi nhau quen thuộc ở lớp dưới.

1Cách 1. Lập cấp số nhân thời gian rồi tính tổng

Định hướng. Chặng $A_{n} A_{n + 1}$ bằng quãng rùa đi trong thời gian $t_{n - 1}$ ; thời gian sau bằng $\frac{1}{100}$ thời gian trước.

A_{1} A_{2} = 100

\Rightarrow t_{1} = \frac{100}{100} = 1

(h)

A_{2} A_{3} = 1 \cdot t_{1} = 1

\Rightarrow t_{2} = \frac{1}{100}

(h)

A_{n + 1} A_{n + 2} = 1 \cdot t_{n} \Rightarrow t_{n + 1} = \frac{t _{n}}{100}

t_{n} = (\frac{1}{100})^{n - 1}

(h)

T = t_{1} + t_{2} + \dots + t_{n} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{100}{99}

(h)

Vậy a) $t_{n} = \frac{1}{10 0 ^{n - 1}}$ giờ; b) Achilles đuổi kịp rùa sau $\frac{100}{99}$ giờ (khoảng $1$ giờ $0$ phút $36$ giây); c) Zeno ngầm cho rằng tổng của vô hạn khoảng thời gian dương phải là vô hạn, nhưng tổng đó là tổng cấp số nhân lùi vô hạn, bằng số hữu hạn $\frac{100}{99}$ giờ.

2Cách 2. Vận tốc tương đối (kiểm chứng câu b)

Định hướng. Mỗi giờ Achilles rút ngắn khoảng cách thêm $100 - 1 = 99$ km, nên thời gian đuổi kịp tính thẳng.

v = 100 - 1 = 99

(km/h)

T = \frac{100}{99}

(h)

Vậy thời gian đuổi kịp là $\frac{100}{99}$ giờ, trùng với tổng vô hạn ở Cách 1.

3Cách 3. Lập phương trình vị trí của hai nhân vật

Định hướng. Chọn gốc tại $A_{1}$ , viết toạ độ của Achilles và rùa theo thời gian $t$ rồi cho bằng nhau.

x_{A} = 100 t

;

x_{R} = 100 + t

x_{A} = x_{R} \Leftrightarrow 100 t = 100 + t \Leftrightarrow 99 t = 100 \Leftrightarrow t = \frac{100}{99}

x_{A} = 100 \cdot \frac{100}{99} = \frac{10 000}{99} \approx 101, 01

(km)

Vậy Achilles đuổi kịp rùa lúc $t = \frac{100}{99}$ giờ, tại vị trí cách $A_{1}$ khoảng $101, 01$ km.

Nhận xét. Quãng đường Achilles chạy cũng là tổng vô hạn $100 + 1 + \frac{1}{100} + \dots = \frac{100}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{10 000}{99}$ km — khớp với Cách 3. Vô hạn chặng không có nghĩa là vô hạn thời gian.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu a, b phải dùng Cách 1 vì đề yêu cầu các

t_{n}

và tổng của chúng; Cách 2 là phép thử nhanh nhất để chắc chắn đáp số

\frac{100}{99}

giờ.

Đáp số. a)

t_{n} = (\frac{1}{100})^{n - 1}

(giờ). b)

\frac{100}{99}

giờ. c) Tổng vô hạn các khoảng thời gian

t_{n}

là một số hữu hạn nên Achilles vẫn đuổi kịp rùa.

Sai lầm thường gặp. Tính

t_{2} = \frac{1}{100}

giờ nhưng lại cho chặng

A_{2} A_{3} = \frac{1}{100}

km (lẫn thời gian với quãng đường); đúng ra

A_{2} A_{3} = 1

km. Lỗi khác: dùng vận tốc tương đối

100 + 1 = 101

km/h (coi như ngược chiều) được

\frac{100}{101}

giờ.

🚀 Mở rộng. Với vận tốc Achilles

v

, rùa

w

(

v > w

), khoảng cách

a

t_{n} = \frac{a}{v} (\frac{w}{v})^{n - 1}

và tổng

\frac{a}{v - w}

— đúng công thức chuyển động đuổi nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · HĐ5★★Trang 108— Nhận biết dãy số có giới hạn vô cực

HĐ5 (trang 108). Nhận biết giới hạn vô cực.
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là

50

. Sau mỗi chu kì

4

giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn

u_{n}

sau chu kì thứ

n

.
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân: $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$ khi đánh số từ số hạng ban đầu $u_{0}$ .
Dãy $2^{n}$ tăng: $2^{7} = 128$ , $2^{8} = 256$ .
$n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$ với $q > 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Tăng gấp đôi sau mỗi chu kì" là cấp số nhân công bội

2

, nên

u_{n} = 50 \cdot 2^{n}

. Câu b là bất phương trình mũ với ẩn nguyên dương, giải bằng cách so sánh với các luỹ thừa của

2

. Bẫy: đề hỏi "sau bao lâu" nên đáp số phải đổi số chu kì ra giờ.

1Cách 1. Lập công thức rồi so sánh với luỹ thừa của 2

Định hướng. Nhân đôi liên tiếp từ $50$ để dự đoán công thức, rồi quy câu b về $2^{n} > 200$ .

u_{1} = 50 \cdot 2

;

u_{2} = 50 \cdot 2^{2}

;

u_{3} = 50 \cdot 2^{3}

; …

u_{n} = 50 \cdot 2^{n}

50 \cdot 2^{n} > 10000 \Leftrightarrow 2^{n} > 200

2^{7} = 128 < 200 < 256 = 2^{8}

n \geq 8

;

8 \cdot 4 = 32

(giờ)

Vậy a) $u_{n} = 50 \cdot 2^{n}$ ; b) sau $8$ chu kì, tức sau $32$ giờ, số vi khuẩn vượt 10 000 (khi đó có $12800$ con).

2Cách 2. Lập bảng theo chu kì

Định hướng. Nhân đôi từng bước cho tới khi vượt 10 000; cách này vừa kiểm tra công thức vừa trả lời câu b.

u_{1} = 100

;

u_{2} = 200

;

u_{3} = 400

;

u_{4} = 800

u_{5} = 1600

;

u_{6} = 3200

;

u_{7} = 6400 < 10000

u_{8} = 12800 > 10000

Vậy lần đầu vượt 10 000 là sau chu kì thứ $8$ , tức sau $32$ giờ.

3Cách 3. Dùng logarit (tham khảo Chương VI)

Định hướng. Lấy logarit cơ số $2$ hai vế để giải bất phương trình mũ mà không cần dò bảng.

2^{n} > 200 \Leftrightarrow n > lo g_{2} 200 \approx 7, 64

n \in N^{*} \Rightarrow n \geq 8

Vậy sau $8 \cdot 4 = 32$ giờ.

Nhận xét. Vì $u_{n} = 50 \cdot 2^{n}$ lớn hơn mọi số dương cho trước kể từ một chu kì nào đó, dãy có giới hạn $+ \infty$ : $n \to + \infty lim 50 \cdot 2^{n} = + \infty$ — đúng nội dung định nghĩa ngay sau hoạt động.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức cấp số nhân cộng so sánh

128 < 200 < 256

là đủ chặt chẽ và ngắn.

Đáp số. a)

u_{n} = 50 \cdot 2^{n}

. b) Sau

8

chu kì, tức

32

giờ.

Sai lầm thường gặp. Viết

u_{n} = 50 \cdot 2^{n - 1}

(coi

50

là số lượng sau chu kì thứ nhất) nên ra

9

chu kì,

36

giờ. Lỗi khác: trả lời "sau 8 giờ" vì quên nhân với độ dài

4

giờ của một chu kì.

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi chu kì số vi khuẩn tăng thêm

50%

thì

u_{n} = 50 \cdot 1, 5^{n}

và cần

n \geq 14

chu kì (

1, 5^{13} \approx 194, 6 < 200 < 1, 5^{14} \approx 291, 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 5★★Trang 109— Giới hạn vô cực của dãy số

Luyện tập 5 (trang 109). Tính

n \to + \infty lim (n - n)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ và $n \to + \infty lim v_{n} = a > 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} v_{n} = + \infty$ .
$n \to + \infty lim n^{k} = + \infty$ ( $k$ nguyên dương); $n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0$ .
Nếu $u_{n} \geq v_{n}$ với mọi $n$ và $n \to + \infty lim v_{n} = + \infty$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu

n - n

có dạng "

\infty - \infty

", không trừ trực tiếp được. Đặt nhân tử chung là luỹ thừa cao nhất (

n

hoặc

n

) để đưa về tích của một dãy dần tới

+ \infty

và một dãy có giới hạn dương, rồi dùng quy tắc giới hạn vô cực như Ví dụ 6.

1Cách 1. Đặt

n

làm nhân tử chung

Định hướng. Tách $n$ ra ngoài để còn lại thừa số dần về $1$ .

n - n = n (1 - \frac{1}{n})

n \to + \infty lim n = + \infty

;

n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n}) = 1 > 0

Vậy $n \to + \infty lim (n - n) = + \infty$ .

2Cách 2. Đặt

n

làm nhân tử chung

Định hướng. Viết $n = n \cdot n$ , hiệu thành tích hai thừa số cùng dần tới $+ \infty$ .

n - n = n (n - 1)

n \to + \infty lim n = + \infty

;

n \to + \infty lim (n - 1) = + \infty

n \geq 4 \Rightarrow n - 1 \geq 1 \Rightarrow n - n \geq n

Vậy $n \to + \infty lim (n - n) = + \infty$ .

3Cách 3. So sánh với dãy

\frac{n}{2}

Định hướng. Chặn dưới hiệu bởi một dãy đơn giản đã biết tiến tới $+ \infty$ .

n \geq 4 \Rightarrow n \geq 2 \Rightarrow n \leq \frac{n \cdot n}{2} = \frac{n}{2}

n - n \geq n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2}

n \to + \infty lim \frac{n}{2} = + \infty

Vậy $n \to + \infty lim (n - n) = + \infty$ .

Nhận xét. Cách 3 còn cho ước lượng cụ thể: muốn $n - n > 1000$ chỉ cần $n > 2000$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt luỹ thừa cao nhất

n

ra ngoài là thao tác chuẩn cho mọi dạng "

\infty - \infty

" của đa thức, căn.

Đáp số.

n \to + \infty lim (n - n) = + \infty

Sai lầm thường gặp. Viết

lim n - lim n = + \infty - (+ \infty) = 0

— sai vì quy tắc hiệu chỉ áp dụng cho giới hạn hữu hạn, "

\infty - \infty

" là dạng vô định. Lỗi khác: nhân liên hợp

\frac{n ^{2} - n}{n + n}

rồi bỏ dở, thực ra cũng dẫn tới

+ \infty

nhưng dài hơn nhiều.

🚀 Mở rộng. Với

a > 0

n \to + \infty lim (an - n) = + \infty

, còn

n \to + \infty lim (n - n) = - \infty

; thử thêm

n \to + \infty lim (n - n^{2} + n) = - \frac{1}{2}

để thấy khi hai luỹ thừa cao nhất cân bằng thì kết quả hữu hạn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.1★★Trang 109— Giới hạn dãy phân thức và dạng vô định có căn

Bài 5.1 (trang 109). Tìm các giới hạn sau:
a)

n \to + \infty lim \frac{n ^{2} + n + 1}{2 n ^{2} + 1}

;
b)

n \to + \infty lim (n^{2} + 2 n - n)

Kiến thức cần nhớ

Phân thức: chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$ .
Liên hợp: $A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}$ .
$(n + 1)^{2} - 1 = n^{2} + 2 n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là phân thức cùng bậc

2

ở tử và mẫu, giới hạn bằng tỉ số hệ số cao nhất

\frac{1}{2}

. Câu b là dạng "

\infty - \infty

" với căn bậc hai, mẹo chuẩn là nhân liên hợp để đưa về phân thức. Bẫy câu b: đặt

n

ra ngoài được

n (1 + \frac{2}{n} - 1)

lại thành dạng "

\infty \cdot 0

", vẫn phải liên hợp.

1Cách 1. Chia cho luỹ thừa cao nhất và nhân liên hợp

Định hướng. Câu a chia tử và mẫu cho $n^{2}$ ; câu b nhân và chia với biểu thức liên hợp để khử dạng $\infty - \infty$ .

n \to + \infty lim \frac{n ^{2} + n + 1}{2 n ^{2} + 1} = n \to + \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{2 + \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}

n^{2} + 2 n - n = \frac{( n ^{2} + 2 n ) - n ^{2}}{n ^{2} + 2 n + n} = \frac{2 n}{n ^{2} + 2 n + n} = \frac{2}{1 + \frac{2}{n} + 1}

n \to + \infty lim (n^{2} + 2 n - n) = \frac{2}{1 + 0 + 1} = 1

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $1$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên (a) và kẹp giữa hai dãy (b)

Định hướng. Câu a tách phân thức thành $\frac{1}{2}$ cộng phần dư; câu b chặn căn giữa $n + 1 - \frac{1}{n}$ và $n + 1$ .

n^{2} + n + 1 = \frac{1}{2} (2 n^{2} + 1) + n + \frac{1}{2}

\frac{n ^{2} + n + 1}{2 n ^{2} + 1} = \frac{1}{2} + \frac{n + \frac{1}{2}}{2 n ^{2} + 1} = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}}}{2 + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}

(n + 1 - \frac{1}{n})^{2} = n^{2} + 2 n - 1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n ^{2}} \leq n^{2} + 2 n < (n + 1)^{2}

n + 1 - \frac{1}{n} \leq n^{2} + 2 n < n + 1

1 - \frac{1}{n} \leq n^{2} + 2 n - n < 1

;

n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n}) = 1

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $1$ .

3Cách 3. Định nghĩa (a) và đặt ẩn phụ

x_{n}

(b)

Định hướng. Câu a chứng minh $u_{n} - \frac{1}{2} \to 0$ ; câu b đặt $n^{2} + 2 n = n + x_{n}$ và tìm giới hạn của $x_{n}$ từ đẳng thức bình phương.

\frac{n ^{2} + n + 1}{2 n ^{2} + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2 n + 1}{2 ( 2 n ^{2} + 1 )}

0 < \frac{2 n + 1}{2 ( 2 n ^{2} + 1 )} \leq \frac{3 n}{4 n ^{2}} = \frac{3}{4 n} \to 0

n^{2} + 2 n = n + x_{n}

0 < x_{n} < 1

(vì

n^{2} < n^{2} + 2 n < (n + 1)^{2}

)

n^{2} + 2 n = n^{2} + 2 n x_{n} + x_{n}^{2} \Rightarrow x_{n} = \frac{2 n}{2 n + x _{n}}

\frac{2 n}{2 n + 1} < x_{n} < 1

;

n \to + \infty lim \frac{2 n}{2 n + 1} = 1

Vậy a) $\frac{1}{2}$ ; b) $n \to + \infty lim (n^{2} + 2 n - n) = n \to + \infty lim x_{n} = 1$ .

Nhận xét. Ở câu b, $n^{2} + 2 n = (n + 1)^{2} - 1$ sát $n + 1$ nên hiệu với $n$ gần $1$ ; cả ba cách đều khai thác đúng ý này dưới ba góc nhìn: đại số (liên hợp), kẹp và đặt ẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia cho

n^{2}

ở câu a và nhân liên hợp ở câu b là hai kĩ thuật chuẩn, ít bước, không cần ước lượng.

Đáp số. a)

\frac{1}{2}

. b)

1

Sai lầm thường gặp. Câu b viết

lim n^{2} + 2 n - lim n = \infty - \infty = 0

— sai vì

\infty - \infty

là dạng vô định (thực ra kết quả là

1

). Câu a hay nhầm thành

1

khi chỉ nhìn hệ số của

n^{2}

ở tử mà quên hệ số

2

ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim (n^{2} + an + b - n) = \frac{a}{2}

; thử

n \to + \infty lim (n^{2} - 6 n + 1 - n) = - 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.2★Trang 109— Áp dụng quy tắc tính giới hạn hữu hạn

Bài 5.2 (trang 109). Cho hai dãy số không âm

(u_{n})

và

(v_{n})

với

n \to + \infty lim u_{n} = 2

và

n \to + \infty lim v_{n} = 3

. Tìm các giới hạn sau:
a)

n \to + \infty lim \frac{u _{n}^{2}}{v _{n} - u _{n}}

;
b)

n \to + \infty lim u_{n} + 2 v_{n}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $lim u_{n} = a$ , $lim v_{n} = b$ thì $lim (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$ , $lim u_{n} v_{n} = ab$ , $lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{a}{b}$ ( $b \neq = 0$ ).
Nếu $u_{n} \geq 0$ và $lim u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim u_{n} = a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ biết giới hạn chứ không biết công thức của

u_{n}

v_{n}

, nên con đường duy nhất là dùng các quy tắc tổng, hiệu, tích, thương, căn. Điều kiện cần kiểm: mẫu có giới hạn

3 - 2 = 1 \neq = 0

; dãy dưới căn không âm vì

u_{n}, v_{n} \geq 0

1Cách 1. Áp dụng liên tiếp các quy tắc tính giới hạn

Định hướng. Tính giới hạn của từng bộ phận (bình phương, hiệu, tổng) rồi ghép lại bằng quy tắc thương và căn.

n \to + \infty lim u_{n}^{2} = n \to + \infty lim u_{n} \cdot n \to + \infty lim u_{n} = 2 \cdot 2 = 4

n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 3 - 2 = 1 \neq = 0

n \to + \infty lim \frac{u _{n}^{2}}{v _{n} - u _{n}} = \frac{4}{1} = 4

u_{n} + 2 v_{n} \geq 0

;

n \to + \infty lim (u_{n} + 2 v_{n}) = 2 + 2 \cdot 3 = 8

n \to + \infty lim u_{n} + 2 v_{n} = 8 = 22

Vậy a) $4$ ; b) $22$ .

2Cách 2. Đặt

u_{n} = 2 + α_{n}

v_{n} = 3 + β_{n}

với

α_{n}, β_{n} \to 0

Định hướng. Theo định nghĩa, $α_{n} = u_{n} - 2$ và $β_{n} = v_{n} - 3$ dần về $0$ ; khai triển biểu thức theo $α_{n}$ , $β_{n}$ để thấy rõ phần dần về $0$ .

\frac{u _{n}^{2}}{v _{n} - u _{n}} = \frac{( 2 + α _{n} ) ^{2}}{1 + β _{n} - α _{n}} = \frac{4 + 4 α _{n} + α _{n}^{2}}{1 + β _{n} - α _{n}} \to \frac{4 + 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 4

u_{n} + 2 v_{n} = 8 + α_{n} + 2 β_{n} \to 8

u_{n} + 2 v_{n} \to 8 = 22

Vậy a) $4$ ; b) $22$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy vì sao cần điều kiện $lim (v_{n} - u_{n}) \neq = 0$ : nếu mẫu dần về $0$ thì phép chia không còn kiểm soát được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề cho sẵn giới hạn nên áp quy tắc là đủ, chỉ cần ghi rõ điều kiện mẫu khác

0

và biểu thức dưới căn không âm.

Đáp số. a)

4

. b)

22

Sai lầm thường gặp. Câu a quên kiểm

lim (v_{n} - u_{n}) = 1 \neq = 0

trước khi dùng quy tắc thương. Câu b tính nhầm

lim (u_{n} + 2 v_{n}) = 2 \cdot (2 + 3) = 10

do đặt nhân tử sai, ra

10

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành

n \to + \infty lim \frac{u _{n}^{2} - 4}{u _{n} - 2}

(với

u_{n} \neq = 2

) thì không dùng quy tắc thương được vì mẫu dần về

0

; phải rút gọn thành

u_{n} + 2 \to 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 5.3★★Trang 109— Giới hạn vô cực của dãy số

Bài 5.3 (trang 109). Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a)

u_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{2 n - 1}

;
b)

v_{n} = 2 n^{2} + 1 - n

Kiến thức cần nhớ

Nếu $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ và $n \to + \infty lim v_{n} = a > 0$ thì $n \to + \infty lim u_{n} v_{n} = + \infty$ .
Nếu $u_{n} \geq w_{n}$ với mọi $n$ và $n \to + \infty lim w_{n} = + \infty$ thì $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .
Với $n > 0$ : $2 n^{2} + 1 = n 2 + \frac{1}{n ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: bậc tử (

2

) lớn hơn bậc mẫu (

1

), hệ số cùng dương nên giới hạn

+ \infty

. Câu b:

2 n^{2} + 1

cỡ

2 n

, lớn hơn hẳn

n

nên hiệu tiến tới

+ \infty

; đặt

n

ra ngoài là thấy ngay thừa số

2 - 1 > 0

. Bẫy: câu b khác bài 5.1b vì hệ số của

n^{2}

trong căn không bằng

1

, nhân liên hợp vẫn làm được nhưng dài.

1Cách 1. Đặt

n

làm nhân tử chung

Định hướng. Tách $n$ ra ngoài để được tích của $n \to + \infty$ với một dãy có giới hạn dương.

u_{n} = \frac{n ^{2} ( 1 + \frac{1}{n ^{2}} )}{n ( 2 - \frac{1}{n} )} = n \cdot \frac{1 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{1}{n}}

n \to + \infty lim n = + \infty

;

n \to + \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{2} > 0 \Rightarrow n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

v_{n} = n 2 + \frac{1}{n ^{2}} - n = n (2 + \frac{1}{n ^{2}} - 1)

n \to + \infty lim (2 + \frac{1}{n ^{2}} - 1) = 2 - 1 > 0 \Rightarrow n \to + \infty lim v_{n} = + \infty

Vậy a) $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ ; b) $n \to + \infty lim v_{n} = + \infty$ .

2Cách 2. Chặn dưới bởi một dãy bậc nhất

Định hướng. Làm nhỏ tử, làm lớn mẫu (câu a) hoặc bỏ số $1$ dưới căn (câu b) để được dãy $c n$ với $c > 0$ .

n^{2} + 1 > n^{2}

;

0 < 2 n - 1 < 2 n \Rightarrow u_{n} > \frac{n ^{2}}{2 n} = \frac{n}{2}

n \to + \infty lim \frac{n}{2} = + \infty \Rightarrow n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

2 n^{2} + 1 > 2 n^{2} = 2 n \Rightarrow v_{n} > (2 - 1) n

n \to + \infty lim (2 - 1) n = + \infty \Rightarrow n \to + \infty lim v_{n} = + \infty

Vậy a) $+ \infty$ ; b) $+ \infty$ .

3Cách 3. Chia đa thức (a) và nhân liên hợp (b)

Định hướng. Câu a tách $u_{n}$ thành phần bậc nhất cộng phần dư; câu b đưa hiệu về phân thức rồi xét bậc.

n^{2} + 1 = (2 n - 1) (\frac{n}{2} + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4}

u_{n} = \frac{n}{2} + \frac{1}{4} + \frac{5}{4 ( 2 n - 1 )} > \frac{n}{2}

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

v_{n} = \frac{( 2 n ^{2} + 1 ) - n ^{2}}{2 n ^{2} + 1 + n} = \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} + 1 + n}

= \frac{n + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n ^{2}} + 1}

;

n \to + \infty lim (n + \frac{1}{n}) = + \infty

n \to + \infty lim (2 + \frac{1}{n ^{2}} + 1) = 2 + 1 > 0

n \to + \infty lim v_{n} = + \infty

Vậy a) $+ \infty$ ; b) $+ \infty$ .

Nhận xét. Cách 3a cho biết thêm $u_{n}$ "gần" $\frac{n}{2} + \frac{1}{4}$ , tức dãy tăng như một cấp số cộng công sai $\frac{1}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt

n

ra ngoài là thao tác chuẩn cho cả hai câu, ra ngay thừa số giới hạn dương

\frac{1}{2}

và

2 - 1

Đáp số. a)

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

. b)

n \to + \infty lim v_{n} = + \infty

Sai lầm thường gặp. Câu a chia tử và mẫu cho

n^{2}

rồi thấy mẫu

\frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}} \to 0

và kết luận "không có giới hạn" — cần thêm mẫu dương và dùng quy tắc

\frac{a}{0 ^{+}} = + \infty

. Câu b nhầm với bài 5.1b và đoán giới hạn hữu hạn; ở đây hệ số trong căn là

2 \neq = 1

nên hiệu không bị triệt tiêu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim (a n^{2} + 1 - n)

bằng

+ \infty

nếu

a > 1

, bằng

0

nếu

a = 1

, bằng

- \infty

nếu

0 < a < 1

— thử với

a = \frac{1}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 5.4★★Trang 109— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

Bài 5.4 (trang 109). Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a)

1, (12) = 1, 121212 \dots

;
b)

3, (102) = 3, 102102102 \dots

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .
Chu kì $k$ chữ số: $0, (a_{1} a_{2} \dots a_{k}) = \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{k}}{k 99 \dots 9}$ .
$99 = 9 \cdot 11$ ; $999 = 27 \cdot 37$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phần lặp lại là chu kì

12

(hai chữ số) và

102

(ba chữ số), nên phần thập phân là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

1 0^{- 2}

và

1 0^{- 3}

— đúng như Ví dụ 5. Có thể kiểm tra bằng mẹo nhân

1 0^{k}

rồi trừ để khử phần lặp. Bẫy: phải rút gọn phân số tới tối giản.

1Cách 1. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định hướng. Tách phần nguyên, phần thập phân là tổng các khối chu kì với công bội $1 0^{- k}$ .

1, (12) = 1 + 0, 12 + 0, 0012 + \dots = 1 + \frac{12}{100} + \frac{12}{10 0 ^{2}} + \dots

= 1 + \frac{\frac{12}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = 1 + \frac{12}{99} = 1 + \frac{4}{33} = \frac{37}{33}

3, (102) = 3 + \frac{102}{1000} + \frac{102}{100 0 ^{2}} + \dots

= 3 + \frac{\frac{102}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = 3 + \frac{102}{999} = 3 + \frac{34}{333} = \frac{1033}{333}

Vậy a) $1, (12) = \frac{37}{33}$ ; b) $3, (102) = \frac{1033}{333}$ .

2Cách 2. Nhân với

1 0^{k}

rồi trừ để khử phần lặp

Định hướng. Nhân với $100$ (chu kì $2$ chữ số) hoặc $1000$ (chu kì $3$ chữ số) thì phần đuôi trùng nhau và triệt tiêu khi trừ.

x = 1, 1212 \dots

;

100 x = 112, 1212 \dots

100 x - x = 112 - 1

99 x = 111

x = \frac{111}{99} = \frac{37}{33}

y = 3, 102102 \dots

;

1000 y = 3102, 102102 \dots

1000 y - y = 3102 - 3

999 y = 3099

y = \frac{3099}{999} = \frac{1033}{333}

Vậy a) $\frac{37}{33}$ ; b) $\frac{1033}{333}$ .

3Cách 3. Quy tắc "chu kì trên các chữ số 9"

Định hướng. Từ Cách 1 rút ra quy tắc: phần thập phân tuần hoàn thuần bằng chu kì chia cho số gồm toàn chữ số $9$ có cùng số chữ số.

1, (12) = \frac{112 - 1}{99} = \frac{111}{99} = \frac{37}{33}

3, (102) = \frac{3102 - 3}{999} = \frac{3099}{999} = \frac{1033}{333}

1033 : 333 = 3, 102102 \dots

Vậy a) $\frac{37}{33}$ ; b) $\frac{1033}{333}$ .

Nhận xét. Quy tắc: số $\overline{a, (b)}$ với chu kì $b$ có $k$ chữ số bằng $\frac{ab - a}{k 9 \dots 9}$ — thử lại bằng phép chia là chắc chắn không sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi tự luận trình bày Cách 1 vì đúng kiến thức của bài (tổng cấp số nhân lùi vô hạn); trắc nghiệm thì Cách 3 nhanh nhất.

Đáp số. a)

1, (12) = \frac{37}{33}

. b)

3, (102) = \frac{1033}{333}

Sai lầm thường gặp. Dùng công bội

\frac{1}{10}

cho chu kì hai chữ số, được

1 + \frac{12/100}{9/10} = \frac{17}{15}

— sai, vì mỗi khối chu kì dịch đi

2

chữ số nên

q = \frac{1}{100}

. Lỗi khác: để nguyên

\frac{111}{99}

hay

\frac{3099}{999}

mà không rút gọn.

🚀 Mở rộng. Với số tuần hoàn tạp như

0, 1 (6)

0, 1 + \frac{0 , 06}{1 - 0 , 1} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}

— tách phần không tuần hoàn trước rồi mới dùng tổng vô hạn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 5.5★★★Trang 109— Cấp số nhân và tổng vô hạn trong bài toán thực tế

Bài 5.5 (trang 109). Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc

150

mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn

5%

. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ

5

. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Kiến thức cần nhớ

$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ ; $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ khi $∣ q ∣ < 1$ .
Còn $5%$ nghĩa là nhân với $0, 05$ .
Dãy truy hồi $x_{n + 1} = q x_{n} + c$ ( $∣ q ∣ < 1$ ) dần về điểm cân bằng $x = \frac{c}{1 - q}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ngày lượng thuốc cũ nhân với

0, 05

rồi cộng thêm

150

: viên uống cách đây

k

ngày còn

150 \cdot 0, 0 5^{k}

mg. Lượng thuốc sau ngày thứ

n

là tổng

n

số hạng đầu của cấp số nhân

u_{1} = 150

q = 0, 05

; "thời gian dài" nghĩa là cho

n \to + \infty

, dùng tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Bẫy: viên của ngày thứ

5

còn nguyên

150

mg, viên ngày đầu còn

150 \cdot 0, 0 5^{4}

chứ không phải

0, 0 5^{5}

1Cách 1. Tổng cấp số nhân và tổng vô hạn

Định hướng. Cộng phần còn lại của từng viên thuốc: các số hạng lập cấp số nhân $u_{1} = 150$ , $q = 0, 05$ .

T_{5} = 150 + 150 \cdot 0, 05 + 150 \cdot 0, 0 5^{2} + 150 \cdot 0, 0 5^{3} + 150 \cdot 0, 0 5^{4}

= \frac{150 ( 1 - 0 , 0 5 ^{5} )}{1 - 0 , 05} = 157, 8946875 \approx 157, 89

(mg)

T = 150 + 150 \cdot 0, 05 + 150 \cdot 0, 0 5^{2} + \dots = \frac{150}{1 - 0 , 05} = \frac{3000}{19} \approx 157, 89

(mg)

Vậy sau ngày thứ $5$ cơ thể có khoảng $157, 89$ mg thuốc; dùng lâu dài thì lượng thuốc ổn định quanh $\frac{3000}{19} \approx 157, 89$ mg.

2Cách 2. Tính lặp theo hệ thức truy hồi

Định hướng. Gọi $x_{n}$ là lượng thuốc ngay sau khi uống viên ngày thứ $n$ : $x_{n + 1} = 0, 05 x_{n} + 150$ .

x_{1} = 150

x_{2} = 0, 05 \cdot 150 + 150 = 157, 5

x_{3} = 0, 05 \cdot 157, 5 + 150 = 157, 875

x_{4} = 0, 05 \cdot 157, 875 + 150 = 157, 89375

x_{5} = 0, 05 \cdot 157, 89375 + 150 = 157, 8946875

Vậy sau ngày thứ $5$ có $157, 8946875 \approx 157, 89$ mg thuốc.

3Cách 3. Điểm cân bằng của dãy truy hồi (ước tính dài hạn)

Định hướng. Lượng thuốc ổn định $L$ là số không đổi qua một ngày: giữ lại $5%$ rồi thêm $150$ mg vẫn ra $L$ ; sau đó chứng minh $x_{n} \to L$ .

L = 0, 05 L + 150 \Leftrightarrow 0, 95 L = 150 \Leftrightarrow L = \frac{3000}{19}

x_{n + 1} - L = 0, 05 (x_{n} - L) \Rightarrow x_{n} - L = 0, 0 5^{n - 1} (x_{1} - L)

x_{1} - L = 150 - \frac{3000}{19} = - \frac{150}{19}

;

n \to + \infty lim 0, 0 5^{n - 1} = 0

n \to + \infty lim x_{n} = L = \frac{3000}{19} \approx 157, 89

(mg)

Vậy dùng thuốc lâu dài thì lượng thuốc trong cơ thể xấp xỉ $157, 89$ mg.

Nhận xét. Chỉ sau $5$ ngày lượng thuốc đã sát giá trị ổn định (chênh chưa tới $0, 0001$ mg) vì $5%$ là tỉ lệ còn lại rất nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức

S_{5}

và một công thức

S

trả lời trọn cả hai câu hỏi; Cách 2 để kiểm tra con số

157, 89

Đáp số. Sau ngày thứ

5

157, 8946875 \approx 157, 89

mg. Dùng lâu dài:

\frac{3000}{19} \approx 157, 89

mg.

Sai lầm thường gặp. Lấy công bội

0, 95

(nhầm "còn

5%

" với "mất

5%

") nên ra tổng dài hạn

3000

mg. Lỗi khác: tính

T_{5}

bằng

S_{6}

hoặc cho viên ngày thứ

5

cũng bị nhân

0, 05

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi ngày thuốc cũ còn

r

(

0 < r < 1

) và liều là

D

mg thì lượng ổn định là

\frac{D}{1 - r}

; muốn lượng ổn định là

200

mg với

r = 0, 05

thì liều cần

190

mg.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 5.6★★★Trang 109— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn trong hình học

Bài 5.6 (trang 109). Cho tam giác vuông

A B C

vuông tại

A

, có

A B = h

và góc

B

bằng

α

(H.5.3). Từ

A

kẻ

A A_{1} ⊥ B C

, từ

A_{1}

kẻ

A_{1} A_{2} ⊥ A C

, sau đó lại kẻ

A_{2} A_{3} ⊥ B C

. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn

A A_{1} A_{2} A_{3} \dots

Tính độ dài đường gấp khúc này theo

h

và

α

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông $=$ cạnh huyền $\times sin$ góc đối diện.
Góc có cạnh tương ứng vuông góc (hoặc song song) thì bằng nhau hoặc bù nhau.
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .
Phép vị tự tâm $C$ tỉ số $k$ nhân mọi độ dài với $∣ k ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi đoạn mới là cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền là đoạn trước và một góc nhọn bằng

α

, nên các đoạn lập cấp số nhân công bội

sin α

. Vì

0 < α < 9 0^{\circ}

nên

0 < sin α < 1

, tổng vô hạn tồn tại. Mấu chốt là chứng minh đúng các góc

A_{1} A C = α

và

A_{2} A_{1} A_{3} = α

1Cách 1. Chứng minh mỗi đoạn bằng đoạn trước nhân

sin α

Định hướng. Xét lần lượt các tam giác vuông $A B A_{1}$ , $A A_{1} A_{2}$ , $A_{1} A_{2} A_{3}$ , … và nhận ra góc nhọn $α$ lặp lại.

△ A B A_{1}

vuông tại

A_{1}

A A_{1} = A B sin B = h sin α

A_{1} A C = 9 0^{\circ} - C = B = α

△ A A_{1} A_{2}

vuông tại

A_{2}

A_{1} A_{2} = A A_{1} sin α = h sin^{2} α

A_{1} A_{2} ∥ A B

(cùng vuông góc

A C

)

\Rightarrow A_{2} A_{1} A_{3} = A B C = α

△ A_{1} A_{2} A_{3}

vuông tại

A_{3}

A_{2} A_{3} = A_{1} A_{2} sin α = h sin^{3} α

A_{n - 1} A_{n} = h sin^{n} α

(với

A_{0} = A

)

L = h sin α + h sin^{2} α + \dots = \frac{h sin α}{1 - sin α}

Vậy độ dài đường gấp khúc là $L = \frac{h sin α}{1 - sin α}$ .

2Cách 2. Tam giác đồng dạng quanh đỉnh

C

Định hướng. Các tam giác $C A A_{1}$ , $C A_{1} A_{2}$ , $C A_{2} A_{3}$ , … đều vuông và chung góc $C$ nên đồng dạng với $△ C B A$ ; tỉ số giữa hai tam giác liên tiếp là $cos C = sin α$ .

C = 9 0^{\circ} - α

;

C A = h tan α

△ C A_{1} A ∽ △ C A B

C A_{1} = C A cos C = C A sin α

;

A A_{1} = C A sin C = C A cos α

△ C A_{2} A_{1} ∽ △ C A_{1} A

tỉ số

\frac{C A _{1}}{C A} = sin α

\Rightarrow A_{1} A_{2} = A A_{1} sin α

A A_{1} = h tan α cos α = h sin α

L = h sin α (1 + sin α + sin^{2} α + \dots) = \frac{h sin α}{1 - sin α}

Vậy $L = \frac{h sin α}{1 - sin α}$ .

3Cách 3. Phép vị tự tâm

C

và phương trình tự đồng dạng

Định hướng. Phép vị tự tâm $C$ biến $A \mapsto A_{2}$ và $A_{1} \mapsto A_{3}$ (vì $A_{2} A_{3} ∥ A A_{1}$ ) nên biến cả đường gấp khúc $A A_{1} A_{2} \dots$ thành $A_{2} A_{3} A_{4} \dots$ ; lập phương trình cho độ dài $L$ .

k = \frac{C A _{2}}{C A} = \frac{C A _{2}}{C A _{1}} \cdot \frac{C A _{1}}{C A} = sin α \cdot sin α = sin^{2} α

L = A A_{1} + A_{1} A_{2} + k L

L (1 - sin^{2} α) = h sin α + h sin^{2} α

L = \frac{h sin α ( 1 + sin α )}{( 1 - sin α ) ( 1 + sin α )} = \frac{h sin α}{1 - sin α}

Vậy $L = \frac{h sin α}{1 - sin α}$ .

Nhận xét. Kiểm tra: với $α = 3 0^{\circ}$ thì $L = \frac{h \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = h$ ; mô phỏng số $4000$ đoạn bằng máy cũng cho đúng $h$ . Khi $α \to 9 0^{\circ}$ tam giác rất dẹt, $L \to + \infty$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chứng minh hai góc bằng

α

là thấy ngay cấp số nhân công bội

sin α

, sau đó chỉ việc dùng

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

Đáp số.

A A_{1} + A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots = \frac{h sin α}{1 - sin α}

Sai lầm thường gặp. Lấy công bội

cos α

vì nhầm góc:

A_{1} A C

bằng

α

chứ không bằng

9 0^{\circ} - α

— thử lại với

α

nhỏ, đường gấp khúc phải ngắn. Lỗi khác: quên đoạn đầu

A A_{1}

, lấy

u_{1} = h sin^{2} α

nên ra

\frac{h sin ^{2} α}{1 - sin α}

🚀 Mở rộng. Nếu kẻ xen kẽ vuông góc với

B C

và

A B

(thay vì

A C

) thì công bội đổi thành

cos α

và độ dài là

\frac{h tan α cos α}{1 - cos α} = \frac{h sin α}{1 - cos α}

Mở bài này trong app ↗