Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 16. Giới hạn của hàm số

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang83 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.11★★Trang 83— Xét sự tồn tại giới hạn của hàm nhiều công thức

Bài 5.11 (trang 83). Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x 21 khi x > 1 khi x = 1 khi x < 1.

Hàm số

f (x)

có giới hạn khi

x \to 1

không?

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x) = L \Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ .
Định nghĩa giới hạn chỉ xét các dãy $x_{n} \neq = x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm đổi công thức tại

x = 1

nên xét hai giới hạn một bên: bên phải dùng

f (x) = x

, bên trái dùng

f (x) = 1

. Giá trị

f (1) = 2

là cái bẫy — giới hạn tại

1

không phụ thuộc giá trị tại chính điểm

1

1Cách 1. So sánh hai giới hạn một bên

Định hướng. Tính giới hạn phải và giới hạn trái rồi so sánh.

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim x = 1

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim 1 = 1

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x) = 1 \Rightarrow x \to 1 lim f (x) = 1

Vậy hàm số có giới hạn khi $x \to 1$ và $x \to 1 lim f (x) = 1$ .

2Cách 2. Đánh giá

∣ f (x) - 1∣

Định hướng. Với mọi $x \neq = 1$ , khoảng cách từ $f (x)$ đến $1$ không vượt quá khoảng cách từ $x$ đến $1$ .

x > 1

∣ f (x) - 1∣ = ∣ x - 1∣

;

x < 1

∣ f (x) - 1∣ = 0

x \neq = 1

0 \leq ∣ f (x) - 1∣ \leq ∣ x - 1∣

x_{n} \to 1

x_{n} \neq = 1

0 \leq ∣ f (x_{n}) - 1∣ \leq ∣ x_{n} - 1∣ \to 0 \Rightarrow f (x_{n}) \to 1

Vậy $x \to 1 lim f (x) = 1$ , hàm số có giới hạn khi $x \to 1$ .

3Cách 3. Đọc đồ thị

Định hướng. Đồ thị gồm tia $y = 1$ (bên trái), tia $y = x$ (bên phải) và một điểm riêng $(1; 2)$ .

Hai tia

y = 1

(

x < 1

) và

y = x

(

x > 1

) cùng dần tới điểm

(1; 1)

Điểm

(1; 2)

không ảnh hưởng đến giới hạn

\Rightarrow x \to 1 lim f (x) = 1

Vậy $f$ có giới hạn bằng $1$ khi $x \to 1$ (dù $f (1) = 2$ ).

Nhận xét. Giới hạn tồn tại ( $= 1$ ) nhưng khác giá trị $f (1) = 2$ — đây là ví dụ hàm có giới hạn mà không liên tục tại $x = 1$ (Bài 17).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng quy trình chuẩn so sánh giới hạn trái, phải, trình bày ba dòng.

Đáp số. Có;

x \to 1 lim f (x) = 1

Sai lầm thường gặp. Kết luận giới hạn bằng

2

vì

f (1) = 2

, hoặc kết luận không có giới hạn vì

f (1) \neq = 1

. Cả hai đều sai: giới hạn tại

1

chỉ xét

x \neq = 1

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dòng thứ ba thành

f (x) = 0

khi

x < 1

thì

x \to 1^{-} lim f (x) = 0 \neq = 1

và hàm không có giới hạn khi

x \to 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.12★★★Trang 83— Tính giới hạn hữu hạn và vô cực tại một điểm

Bài 5.12 (trang 83). Tính các giới hạn sau:
a)

x \to 2 lim \frac{4 x + 1 - 3}{x - 2}

;
b)

x \to 1 lim \frac{x ^{3} + x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - 1}

;
c)

x \to 2^{+} lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}}

;
d)

x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ .
$x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Quy tắc thương: $L < 0$ , $g \to 0$ , $g > 0$ cho $- \infty$ ; $L < 0$ , $g \to 0$ , $g < 0$ cho $+ \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b thay số được

\frac{0}{0}

: câu a có căn nên nhân liên hợp, câu b là phân thức đa thức nên tách nhân tử

x - 1

. Câu c rút gọn một nhân tử

x - 2

thì còn dạng

\frac{L}{0}

; câu d là dạng

\frac{- 2}{0}

— cả hai dùng quy tắc thương, chú ý dấu mẫu.

1Cách 1. Nhân liên hợp, phân tích nhân tử, quy tắc thương

Định hướng. Khử nhân tử gây dạng $\frac{0}{0}$ ở câu a, b; câu c, d xét giới hạn tử và dấu mẫu.

x \to 2 lim \frac{4 x + 1 - 3}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( 4 x + 1 - 3 ) ( 4 x + 1 + 3 )}{( x - 2 ) ( 4 x + 1 + 3 )} = x \to 2 lim \frac{4 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( 4 x + 1 + 3 )}

= x \to 2 lim \frac{4}{4 x + 1 + 3} = \frac{4}{3 + 3} = \frac{2}{3}

x \to 1 lim \frac{x ^{3} + x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + 2 x + 3 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x ^{2} + x + 1} = \frac{6}{3} = 2

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x - 3}{x - 2}

x \to 2^{+} lim (x - 3) = - 1 < 0

;

x - 2 > 0

x - 2 \to 0

\Rightarrow x \to 2^{+} lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = - \infty

x \to 0^{-} lim (x^{2} + x - 2) = - 2 < 0

;

x < 0

x \to 0

\Rightarrow x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x} = + \infty

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $2$ ; c) $- \infty$ ; d) $+ \infty$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ (a), tách phân thức (b, c, d)

Định hướng. Câu a khử căn bằng $t = 4 x + 1$ ; câu b, c, d tách thành tổng các phân thức đơn giản.

t = 4 x + 1

x = \frac{t ^{2} - 1}{4}

x - 2 = \frac{t ^{2} - 9}{4}

;

x \to 2 \Rightarrow t \to 3

t \to 3 lim \frac{4 ( t - 3 )}{t ^{2} - 9} = t \to 3 lim \frac{4}{t + 3} = \frac{2}{3}

x^{3} + x^{2} + x - 3 = (x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) + (x - 1)

\frac{x ^{3} + x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - 1} = 1 + \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) + ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = 1 + \frac{x + 2}{x ^{2} + x + 1}

x \to 1 lim (1 + \frac{x + 2}{x ^{2} + x + 1}) = 1 + \frac{3}{3} = 2

\frac{x - 3}{x - 2} = 1 - \frac{1}{x - 2}

;

x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2} = + \infty \Rightarrow x \to 2^{+} lim (1 - \frac{1}{x - 2}) = - \infty

\frac{x ^{2} + x - 2}{x} = x + 1 - \frac{2}{x}

;

x \to 0^{-} lim \frac{2}{x} = - \infty \Rightarrow x \to 0^{-} lim (x + 1 - \frac{2}{x}) = + \infty

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $2$ ; c) $- \infty$ ; d) $+ \infty$ .

3Cách 3. Dời gốc về điểm đang xét: đặt

h = x - x_{0}

Định hướng. Đặt $h$ là độ lệch của $x$ so với điểm đang xét, mọi biểu thức thành đa thức theo $h$ và dễ rút gọn.

x = 2 + h

h \to 0

\frac{9 + 4 h - 3}{h} = \frac{9 + 4 h - 9}{h ( 9 + 4 h + 3 )} = \frac{4}{9 + 4 h + 3} \to \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

x = 1 + h

x^{3} + x^{2} + x - 3 = h^{3} + 4 h^{2} + 6 h

;

x^{3} - 1 = h^{3} + 3 h^{2} + 3 h

\frac{h ^{3} + 4 h ^{2} + 6 h}{h ^{3} + 3 h ^{2} + 3 h} = \frac{h ^{2} + 4 h + 6}{h ^{2} + 3 h + 3} \to \frac{6}{3} = 2

x = 2 + h

h \to 0^{+}

\frac{( 2 + h ) ^{2} - 5 ( 2 + h ) + 6}{h ^{2}} = \frac{h ^{2} - h}{h ^{2}} = 1 - \frac{1}{h} \to - \infty

x = h

h \to 0^{-}

\frac{h ^{2} + h - 2}{h} = h + 1 - \frac{2}{h} \to + \infty

(vì

- \frac{2}{h} \to + \infty

)

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $2$ ; c) $- \infty$ ; d) $+ \infty$ .

Nhận xét. Câu c: rút gọn còn $\frac{x - 3}{x - 2}$ , nên giới hạn trái lại là $+ \infty$ và không tồn tại $x \to 2 lim$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu đúng một công cụ chuẩn (liên hợp, phân tích nhân tử, quy tắc thương), dễ trình bày nhất.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

; b)

2

; c)

- \infty

; d)

+ \infty

Sai lầm thường gặp. Câu c: thấy mẫu

(x - 2)^{2} > 0

liền kết luận

+ \infty

, quên rằng tử cũng dần về

0

và mang dấu âm — phải rút gọn trước. Câu d: ghi

- \infty

vì chỉ nhìn tử âm, quên mẫu

x < 0

🚀 Mở rộng. Thử thêm:

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = + \infty

và

x \to 0^{+} lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x} = - \infty

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.13★★Trang 83— Tìm tham số để hàm có giới hạn tại một điểm

Bài 5.13 (trang 83). Tìm

a

để hàm số

f (x) = {x^{2} + a x 3 x^{2} + 1 khi x > 3 khi x \leq 3

có giới hạn khi

x \to 3

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x)$ tồn tại $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ (hữu hạn).
Giới hạn của đa thức tại $x_{0}$ bằng giá trị của đa thức tại $x_{0}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.14★★★Trang 83— Tìm tham số để giới hạn dạng phân thức hữu hạn

Bài 5.14 (trang 83). Tìm các số thực

a

và

b

sao cho

x \to 1 lim \frac{2 x ^{2} - a x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2} = b

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x \to x_{0} lim g (x) = 0$ và $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = b$ hữu hạn thì $x \to x_{0} lim f (x) = 0$ .
Quy tắc thương: tử dần về $L \neq = 0$ , mẫu dần về $0$ thì thương ra vô cực (một bên).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.15★★Trang 83— Giới hạn tại vô cực chứa căn — chú ý dấu

Bài 5.15 (trang 83). Cho hàm số

f (x) = \frac{x ^{2} - x + 2}{x}

. Tính:
a)

x \to + \infty lim f (x)

;
b)

x \to - \infty lim f (x)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} = ∣ x ∣$ ; $∣ x ∣ = x$ khi $x > 0$ , $∣ x ∣ = - x$ khi $x < 0$ .
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{k}} = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.16★★Trang 83— Giới hạn vô cực của đa thức tại vô cực

Bài 5.16 (trang 83). Tính giới hạn

x \to + \infty lim (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3})

Kiến thức cần nhớ

$x \to + \infty lim x^{k} = + \infty$ ( $k$ nguyên dương).
Quy tắc tích: $lim f = L < 0$ , $lim g = + \infty$ thì $lim f g = - \infty$ .
Nếu $f (x) \leq g (x)$ và $x \to + \infty lim g (x) = - \infty$ thì $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.17★★★Trang 83— Tìm tham số từ giới hạn dạng

\infty - \infty

Bài 5.17 (trang 83). Cho hàm số

g (x) = x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 - 2 m

với

m

là tham số. Biết

x \to + \infty lim g (x) = 0

, tìm giá trị của

m

Kiến thức cần nhớ

$A - B = \frac{A - B}{A + B}$ .
$x^{2} + b x + c - (x + k) \to \frac{b}{2} - k$ khi $x \to + \infty$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.18★★★Trang 83— Xét dấu tham số từ giới hạn vô cực

Bài 5.18 (trang 83). Cho

m

là một số thực. Biết

x \to - \infty lim [(m - x) (m x + 1)] = - \infty

. Xác định dấu của

m

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc tích: $+ \infty$ nhân $- \infty$ cho $- \infty$ ; $+ \infty$ nhân $+ \infty$ cho $+ \infty$ .
$x \to - \infty lim (m x + 1) = - \infty$ nếu $m > 0$ , $= + \infty$ nếu $m < 0$ .
Đa thức bậc hai $- m x^{2} + \dots$ ( $m \neq = 0$ ) có giới hạn tại $\pm \infty$ cùng dấu với $- m$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.19★★★Trang 83— Chứng minh giới hạn bằng nguyên lí kẹp

Bài 5.19 (trang 83). Cho hàm số

f (x) = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}}

. Chứng minh rằng

x \to + \infty lim f (x) = 0

Kiến thức cần nhớ

$0 \leq sin^{2} x \leq 1$ với mọi $x$ .
Nguyên lí kẹp cho dãy số: $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ , $lim u_{n} = lim w_{n} = L$ thì $lim v_{n} = L$ .
$x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{k}} = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.20★★Trang 83— Giới hạn tại vô cực trong bài toán thực tế

Bài 5.20 (trang 83). Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất

x

đơn vị sản phẩm là

C (x) = 2 x + 55

(triệu đồng).
a) Tìm hàm số

f (x)

biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.
b) Tính

x \to + \infty lim f (x)

. Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Kiến thức cần nhớ

Chi phí trung bình $f (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .
$x \to + \infty lim \frac{k}{x} = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 15. Giới hạn của dãy số Bài tiếp theo ›Bài 17. Hàm số liên tục

📚 Cùng chương: Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 16. Giới hạn của hàm số

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Sổ tay Toán học THPT 10–12

GTLN – GTNN hàm số lượng giác — Toán 11 (14 dạng)

Dãy số – Cấp số cộng/nhân

Toán 11 Toàn diện — cả năm