Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 16. Giới hạn của hàm số

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.11★★Trang 83— Xét sự tồn tại giới hạn của hàm nhiều công thức

Bài 5.11 (trang 83). Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x 21 khi x > 1 khi x = 1 khi x < 1.

Hàm số

f (x)

có giới hạn khi

x \to 1

không?

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x) = L \Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ .
Định nghĩa giới hạn chỉ xét các dãy $x_{n} \neq = x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm đổi công thức tại

x = 1

nên xét hai giới hạn một bên: bên phải dùng

f (x) = x

, bên trái dùng

f (x) = 1

. Giá trị

f (1) = 2

là cái bẫy — giới hạn tại

1

không phụ thuộc giá trị tại chính điểm

1

1Cách 1. So sánh hai giới hạn một bên

Định hướng. Tính giới hạn phải và giới hạn trái rồi so sánh.

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim x = 1

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim 1 = 1

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x) = 1 \Rightarrow x \to 1 lim f (x) = 1

Vậy hàm số có giới hạn khi $x \to 1$ và $x \to 1 lim f (x) = 1$ .

2Cách 2. Đánh giá

∣ f (x) - 1∣

Định hướng. Với mọi $x \neq = 1$ , khoảng cách từ $f (x)$ đến $1$ không vượt quá khoảng cách từ $x$ đến $1$ .

x > 1

∣ f (x) - 1∣ = ∣ x - 1∣

;

x < 1

∣ f (x) - 1∣ = 0

x \neq = 1

0 \leq ∣ f (x) - 1∣ \leq ∣ x - 1∣

x_{n} \to 1

x_{n} \neq = 1

0 \leq ∣ f (x_{n}) - 1∣ \leq ∣ x_{n} - 1∣ \to 0 \Rightarrow f (x_{n}) \to 1

Vậy $x \to 1 lim f (x) = 1$ , hàm số có giới hạn khi $x \to 1$ .

3Cách 3. Đọc đồ thị

Định hướng. Đồ thị gồm tia $y = 1$ (bên trái), tia $y = x$ (bên phải) và một điểm riêng $(1; 2)$ .

Hai tia

y = 1

(

x < 1

) và

y = x

(

x > 1

) cùng dần tới điểm

(1; 1)

Điểm

(1; 2)

không ảnh hưởng đến giới hạn

\Rightarrow x \to 1 lim f (x) = 1

Vậy $f$ có giới hạn bằng $1$ khi $x \to 1$ (dù $f (1) = 2$ ).

Nhận xét. Giới hạn tồn tại ( $= 1$ ) nhưng khác giá trị $f (1) = 2$ — đây là ví dụ hàm có giới hạn mà không liên tục tại $x = 1$ (Bài 17).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng quy trình chuẩn so sánh giới hạn trái, phải, trình bày ba dòng.

Đáp số. Có;

x \to 1 lim f (x) = 1

Sai lầm thường gặp. Kết luận giới hạn bằng

2

vì

f (1) = 2

, hoặc kết luận không có giới hạn vì

f (1) \neq = 1

. Cả hai đều sai: giới hạn tại

1

chỉ xét

x \neq = 1

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dòng thứ ba thành

f (x) = 0

khi

x < 1

thì

x \to 1^{-} lim f (x) = 0 \neq = 1

và hàm không có giới hạn khi

x \to 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.12★★★Trang 83— Tính giới hạn hữu hạn và vô cực tại một điểm

Bài 5.12 (trang 83). Tính các giới hạn sau:
a)

x \to 2 lim \frac{4 x + 1 - 3}{x - 2}

;
b)

x \to 1 lim \frac{x ^{3} + x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - 1}

;
c)

x \to 2^{+} lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}}

;
d)

x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x}

Kiến thức cần nhớ

$(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ .
$x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Quy tắc thương: $L < 0$ , $g \to 0$ , $g > 0$ cho $- \infty$ ; $L < 0$ , $g \to 0$ , $g < 0$ cho $+ \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b thay số được

\frac{0}{0}

: câu a có căn nên nhân liên hợp, câu b là phân thức đa thức nên tách nhân tử

x - 1

. Câu c rút gọn một nhân tử

x - 2

thì còn dạng

\frac{L}{0}

; câu d là dạng

\frac{- 2}{0}

— cả hai dùng quy tắc thương, chú ý dấu mẫu.

1Cách 1. Nhân liên hợp, phân tích nhân tử, quy tắc thương

Định hướng. Khử nhân tử gây dạng $\frac{0}{0}$ ở câu a, b; câu c, d xét giới hạn tử và dấu mẫu.

x \to 2 lim \frac{4 x + 1 - 3}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( 4 x + 1 - 3 ) ( 4 x + 1 + 3 )}{( x - 2 ) ( 4 x + 1 + 3 )} = x \to 2 lim \frac{4 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( 4 x + 1 + 3 )}

= x \to 2 lim \frac{4}{4 x + 1 + 3} = \frac{4}{3 + 3} = \frac{2}{3}

x \to 1 lim \frac{x ^{3} + x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + 2 x + 3 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x ^{2} + x + 1} = \frac{6}{3} = 2

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x - 3}{x - 2}

x \to 2^{+} lim (x - 3) = - 1 < 0

;

x - 2 > 0

x - 2 \to 0

\Rightarrow x \to 2^{+} lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = - \infty

x \to 0^{-} lim (x^{2} + x - 2) = - 2 < 0

;

x < 0

x \to 0

\Rightarrow x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x} = + \infty

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $2$ ; c) $- \infty$ ; d) $+ \infty$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ (a), tách phân thức (b, c, d)

Định hướng. Câu a khử căn bằng $t = 4 x + 1$ ; câu b, c, d tách thành tổng các phân thức đơn giản.

t = 4 x + 1

x = \frac{t ^{2} - 1}{4}

x - 2 = \frac{t ^{2} - 9}{4}

;

x \to 2 \Rightarrow t \to 3

t \to 3 lim \frac{4 ( t - 3 )}{t ^{2} - 9} = t \to 3 lim \frac{4}{t + 3} = \frac{2}{3}

x^{3} + x^{2} + x - 3 = (x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) + (x - 1)

\frac{x ^{3} + x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - 1} = 1 + \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) + ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = 1 + \frac{x + 2}{x ^{2} + x + 1}

x \to 1 lim (1 + \frac{x + 2}{x ^{2} + x + 1}) = 1 + \frac{3}{3} = 2

\frac{x - 3}{x - 2} = 1 - \frac{1}{x - 2}

;

x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2} = + \infty \Rightarrow x \to 2^{+} lim (1 - \frac{1}{x - 2}) = - \infty

\frac{x ^{2} + x - 2}{x} = x + 1 - \frac{2}{x}

;

x \to 0^{-} lim \frac{2}{x} = - \infty \Rightarrow x \to 0^{-} lim (x + 1 - \frac{2}{x}) = + \infty

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $2$ ; c) $- \infty$ ; d) $+ \infty$ .

3Cách 3. Dời gốc về điểm đang xét: đặt

h = x - x_{0}

Định hướng. Đặt $h$ là độ lệch của $x$ so với điểm đang xét, mọi biểu thức thành đa thức theo $h$ và dễ rút gọn.

x = 2 + h

h \to 0

\frac{9 + 4 h - 3}{h} = \frac{9 + 4 h - 9}{h ( 9 + 4 h + 3 )} = \frac{4}{9 + 4 h + 3} \to \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

x = 1 + h

x^{3} + x^{2} + x - 3 = h^{3} + 4 h^{2} + 6 h

;

x^{3} - 1 = h^{3} + 3 h^{2} + 3 h

\frac{h ^{3} + 4 h ^{2} + 6 h}{h ^{3} + 3 h ^{2} + 3 h} = \frac{h ^{2} + 4 h + 6}{h ^{2} + 3 h + 3} \to \frac{6}{3} = 2

x = 2 + h

h \to 0^{+}

\frac{( 2 + h ) ^{2} - 5 ( 2 + h ) + 6}{h ^{2}} = \frac{h ^{2} - h}{h ^{2}} = 1 - \frac{1}{h} \to - \infty

x = h

h \to 0^{-}

\frac{h ^{2} + h - 2}{h} = h + 1 - \frac{2}{h} \to + \infty

(vì

- \frac{2}{h} \to + \infty

)

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $2$ ; c) $- \infty$ ; d) $+ \infty$ .

Nhận xét. Câu c: rút gọn còn $\frac{x - 3}{x - 2}$ , nên giới hạn trái lại là $+ \infty$ và không tồn tại $x \to 2 lim$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu đúng một công cụ chuẩn (liên hợp, phân tích nhân tử, quy tắc thương), dễ trình bày nhất.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

; b)

2

; c)

- \infty

; d)

+ \infty

Sai lầm thường gặp. Câu c: thấy mẫu

(x - 2)^{2} > 0

liền kết luận

+ \infty

, quên rằng tử cũng dần về

0

và mang dấu âm — phải rút gọn trước. Câu d: ghi

- \infty

vì chỉ nhìn tử âm, quên mẫu

x < 0

🚀 Mở rộng. Thử thêm:

x \to 2^{-} lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = + \infty

và

x \to 0^{+} lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x} = - \infty

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.13★★Trang 83— Tìm tham số để hàm có giới hạn tại một điểm

Bài 5.13 (trang 83). Tìm

a

để hàm số

f (x) = {x^{2} + a x 3 x^{2} + 1 khi x > 3 khi x \leq 3

có giới hạn khi

x \to 3

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x)$ tồn tại $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ (hữu hạn).
Giới hạn của đa thức tại $x_{0}$ bằng giá trị của đa thức tại $x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm đổi công thức tại

x = 3

nên có giới hạn khi và chỉ khi giới hạn phải bằng giới hạn trái. Mỗi giới hạn một bên là giá trị của một đa thức tại

3

, dẫn tới một phương trình bậc nhất ẩn

a

1Cách 1. Cho hai giới hạn một bên bằng nhau

Định hướng. Tính giới hạn phải, giới hạn trái theo $a$ rồi cho bằng nhau.

x \to 3^{+} lim f (x) = x \to 3^{+} lim (x^{2} + a x) = 9 + 3 a

x \to 3^{-} lim f (x) = x \to 3^{-} lim (3 x^{2} + 1) = 28

9 + 3 a = 28

3 a = 19

a = \frac{19}{3}

Vậy $a = \frac{19}{3}$ .

2Cách 2. Dùng dãy số dần về 3 từ hai phía

Định hướng. Chọn hai dãy cụ thể $x_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ và $x_{n}^{'} = 3 - \frac{1}{n}$ ; điều kiện cần là $f (x_{n})$ và $f (x_{n}^{'})$ cùng giới hạn, rồi kiểm tra đủ.

f (x_{n}) = (3 + \frac{1}{n})^{2} + a (3 + \frac{1}{n}) \to 9 + 3 a

f (x_{n}^{'}) = 3 (3 - \frac{1}{n})^{2} + 1 \to 28

9 + 3 a = 28 \Rightarrow a = \frac{19}{3}

a = \frac{19}{3}

x \to 3^{+} lim f (x) = 9 + 19 = 28 = x \to 3^{-} lim f (x)

Vậy $a = \frac{19}{3}$ và khi đó $x \to 3 lim f (x) = 28$ .

3Cách 3. Xét hàm hiệu của hai công thức

Định hướng. Hai nhánh gặp nhau tại $x = 3$ khi và chỉ khi hiệu hai công thức có giới hạn $0$ tại $3$ .

d (x) = (x^{2} + a x) - (3 x^{2} + 1) = - 2 x^{2} + a x - 1

x \to 3 lim d (x) = - 18 + 3 a - 1 = 3 a - 19

3 a - 19 = 0

a = \frac{19}{3}

Vậy $a = \frac{19}{3}$ .

Nhận xét. Khi đó $x \to 3 lim f (x) = 28 = f (3)$ , nên với $a = \frac{19}{3}$ hàm còn liên tục tại $x = 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai giới hạn một bên và một phương trình bậc nhất, ngắn và đúng định nghĩa.

Đáp số.

a = \frac{19}{3}

Sai lầm thường gặp. Dùng công thức

x^{2} + a x

cho giới hạn trái vì thấy nó viết trước — sai, công thức trái là

3 x^{2} + 1

. Lỗi khác: tính

3 \cdot 3^{2} + 1 = 10

(quên bình phương trước khi nhân).

🚀 Mở rộng. Tương tự: tìm

a

để

f (x) = {a x + 2 x^{2} - 1 khi x > 1 khi x \leq 1

có giới hạn tại

1

(đáp số

a = - 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.14★★★Trang 83— Tìm tham số để giới hạn dạng phân thức hữu hạn

Bài 5.14 (trang 83). Tìm các số thực

a

và

b

sao cho

x \to 1 lim \frac{2 x ^{2} - a x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2} = b

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x \to x_{0} lim g (x) = 0$ và $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = b$ hữu hạn thì $x \to x_{0} lim f (x) = 0$ .
Quy tắc thương: tử dần về $L \neq = 0$ , mẫu dần về $0$ thì thương ra vô cực (một bên).

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

dần về

0

khi

x \to 1

; muốn giới hạn là số hữu hạn

b

thì tử cũng phải dần về

0

, tức

x = 1

là nghiệm của tử. Từ đó tìm

a

, rút gọn rồi tính

b

. Bẫy: quên kiểm tra rằng với

a

tìm được giới hạn thật sự hữu hạn.

1Cách 1. Điều kiện cần: tử dần về 0

Định hướng. Viết tử $=$ thương $\times$ mẫu rồi lấy giới hạn hai vế.

2 x^{2} - a x + 1 = \frac{2 x ^{2} - a x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2} \cdot (x^{2} - 3 x + 2)

x \to 1 lim (2 x^{2} - a x + 1) = b \cdot 0 = 0

3 - a = 0 \Rightarrow a = 3

b = x \to 1 lim \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = x \to 1 lim \frac{2 x - 1}{x - 2} = \frac{1}{- 1} = - 1

Vậy $a = 3$ , $b = - 1$ .

2Cách 2. Chia đa thức tách phần dư

Định hướng. Chia tử cho $x - 1$ : phần dư $3 - a$ phải bằng $0$ , nếu không sẽ sinh ra số hạng vô cực.

2 x^{2} - a x + 1 = (x - 1) (2 x + 2 - a) + (3 - a)

\frac{2 x ^{2} - a x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2} = \frac{2 x + 2 - a}{x - 2} + \frac{3 - a}{( x - 1 ) ( x - 2 )}

x \to 1 lim \frac{2 x + 2 - a}{x - 2} = a - 4

hữu hạn

\Rightarrow \frac{3 - a}{( x - 1 ) ( x - 2 )}

phải có giới hạn hữu hạn

\Rightarrow 3 - a = 0

a = 3

;

b = a - 4 = - 1

Vậy $a = 3$ và $b = - 1$ .

3Cách 3. Phản chứng bằng quy tắc thương

Định hướng. Giả sử tử không dần về $0$ thì thương ra vô cực, mâu thuẫn; sau đó thử lại.

a \neq = 3

x \to 1 lim (2 x^{2} - a x + 1) = 3 - a \neq = 0

x \to 1 lim (x^{2} - 3 x + 2) = 0

\Rightarrow x \to 1^{+} lim

hoặc

x \to 1^{-} lim

của thương là

\pm \infty

, không bằng

b

hữu hạn

a = 3

\frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2} = \frac{2 x - 1}{x - 2} \to \frac{2 - 1}{1 - 2} = - 1

Vậy $a = 3$ , $b = - 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra số: $x = 1, 001$ cho thương $\approx - 1, 004$ , khớp $b = - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: điều kiện “tử phải dần về

0

” cho

a

ngay trong một dòng, rồi rút gọn tính

b

Đáp số.

a = 3

b = - 1

Sai lầm thường gặp. Cho

b = 0

vì nghĩ “mẫu dần về

0

thì thương bằng

0

”. Lỗi khác: tìm được

a = 3

nhưng tính

b

bằng cách thay

x = 1

trực tiếp (ra

\frac{0}{0}

) rồi dừng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 5

cho

1 + a + b = 0

và

2 + a = 5

, tức

a = 3

b = - 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.15★★Trang 83— Giới hạn tại vô cực chứa căn — chú ý dấu

Bài 5.15 (trang 83). Cho hàm số

f (x) = \frac{x ^{2} - x + 2}{x}

. Tính:
a)

x \to + \infty lim f (x)

;
b)

x \to - \infty lim f (x)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} = ∣ x ∣$ ; $∣ x ∣ = x$ khi $x > 0$ , $∣ x ∣ = - x$ khi $x < 0$ .
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{k}} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tử và mẫu cùng “cỡ

∣ x ∣

” nên chia cho

x

, nhưng

x^{2} = ∣ x ∣

: dương vô cực thì

∣ x ∣ = x

, âm vô cực thì

∣ x ∣ = - x

. Đây đúng là điểm bài muốn kiểm tra — hai đáp số trái dấu.

1Cách 1. Đưa

∣ x ∣

ra khỏi căn

Định hướng. Rút $x^{2}$ ra khỏi căn thành $∣ x ∣$ rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo chiều của $x$ .

f (x) = \frac{∣ x ∣ 1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}}{x}

x > 0

f (x) = 1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}

;

x \to + \infty lim f (x) = 1 - 0 + 0 = 1

x < 0

f (x) = - 1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}

;

x \to - \infty lim f (x) = - 1 = - 1

Vậy a) $1$ ; b) $- 1$ .

2Cách 2. Tính giới hạn của

f^{2}

rồi xét dấu

Định hướng. $f^{2}$ là phân thức hữu tỉ dễ tính; dấu của $f$ trùng dấu của $x$ vì tử luôn dương.

f (x)^{2} = \frac{x ^{2} - x + 2}{x ^{2}} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}} \to 1

khi

x \to \pm \infty

x > 0

f (x) > 0 \Rightarrow f (x) = f (x)^{2} \to 1 = 1

x < 0

f (x) < 0 \Rightarrow f (x) = - f (x)^{2} \to - 1

Vậy $x \to + \infty lim f (x) = 1$ và $x \to - \infty lim f (x) = - 1$ .

3Cách 3. Đổi biến

t = \frac{1}{x}

Định hướng. Đưa về giới hạn tại $0^{+}$ và $0^{-}$ ; khi đó $\frac{t}{∣ t ∣} = \pm 1$ quyết định dấu.

x = \frac{1}{t}

f = t \frac{1}{t ^{2}} - \frac{1}{t} + 2 = \frac{t}{∣ t ∣} 1 - t + 2 t^{2}

x \to + \infty \Rightarrow t \to 0^{+}

\frac{t}{∣ t ∣} = 1

f \to 1 = 1

x \to - \infty \Rightarrow t \to 0^{-}

\frac{t}{∣ t ∣} = - 1

f \to - 1

Vậy a) $1$ ; b) $- 1$ .

Nhận xét. Đồ thị của $f$ có hai tiệm cận ngang khác nhau: $y = 1$ ở bên phải và $y = - 1$ ở bên trái.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng đưa

∣ x ∣

ra ngoài căn, sau đó chỉ cần nhớ đổi dấu khi

x \to - \infty

Đáp số. a)

x \to + \infty lim f (x) = 1

; b)

x \to - \infty lim f (x) = - 1

Sai lầm thường gặp. Câu b viết

x^{2} - x + 2 = x 1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}

như câu a nên ra

1

— sai, vì

x < 0

mà căn luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x \to \pm \infty lim \frac{a x ^{2} + b x + c}{x} = \pm a

(

a > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.16★★Trang 83— Giới hạn vô cực của đa thức tại vô cực

Bài 5.16 (trang 83). Tính giới hạn

x \to + \infty lim (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3})

Kiến thức cần nhớ

$x \to + \infty lim x^{k} = + \infty$ ( $k$ nguyên dương).
Quy tắc tích: $lim f = L < 0$ , $lim g = + \infty$ thì $lim f g = - \infty$ .
Nếu $f (x) \leq g (x)$ và $x \to + \infty lim g (x) = - \infty$ thì $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là đa thức bậc

6

với hệ số cao nhất

(- 1)^{3} = - 1

, nên hành xử như

- x^{6}

khi

x \to + \infty

. Có thể khai triển, đặt lũy thừa ra từng ngoặc, hoặc đánh giá chặn. Bẫy: đếm dấu sai — ba thừa số đều âm khi

x

lớn nên tích âm.

1Cách 1. Khai triển rồi đặt

x^{6}

làm nhân tử

Định hướng. Khai triển thành đa thức, rút lũy thừa cao nhất.

(1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) = - x^{6} + x^{5} + x^{4} - x^{2} - x + 1

= x^{6} (- 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x ^{4}} - \frac{1}{x ^{5}} + \frac{1}{x ^{6}})

x \to + \infty lim x^{6} = + \infty

;

x \to + \infty lim (- 1 + \frac{1}{x} + \dots + \frac{1}{x ^{6}}) = - 1 < 0

Vậy $x \to + \infty lim (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) = - \infty$ .

2Cách 2. Rút lũy thừa ra từng ngoặc

Định hướng. Không khai triển: rút $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ ra khỏi từng thừa số.

(1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) = x^{6} (\frac{1}{x} - 1) (\frac{1}{x ^{2}} - 1) (\frac{1}{x ^{3}} - 1)

x \to + \infty lim (\frac{1}{x} - 1) (\frac{1}{x ^{2}} - 1) (\frac{1}{x ^{3}} - 1) = (- 1)^{3} = - 1 < 0

x \to + \infty lim x^{6} = + \infty

Vậy giới hạn bằng $- \infty$ .

3Cách 3. Phân tích nhân tử và đánh giá chặn

Định hướng. Viết tích thành $- (x - 1)^{3} (x + 1) (x^{2} + x + 1)$ , với $x \geq 2$ các thừa số sau đều $\geq 1$ .

(1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) = (1 - x) \cdot (1 - x) (1 + x) \cdot (1 - x) (1 + x + x^{2}) = - (x - 1)^{3} (x + 1) (x^{2} + x + 1)

x \geq 2

(x + 1) (x^{2} + x + 1) \geq 1

(x - 1)^{3} > 0

\Rightarrow (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) \leq - (x - 1)^{3}

x \to + \infty lim (- (x - 1)^{3}) = - \infty

Vậy $x \to + \infty lim (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) = - \infty$ .

Nhận xét. Quy tắc nhanh: giới hạn của đa thức tại $\pm \infty$ bằng giới hạn của số hạng bậc cao nhất, ở đây là $- x^{6}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: không phải khai triển, chỉ đếm ba dấu trừ là ra

- 1

Đáp số.

x \to + \infty lim (1 - x) (1 - x^{2}) (1 - x^{3}) = - \infty

Sai lầm thường gặp. Viết

(- \infty) (- \infty) (- \infty) = + \infty

do đếm nhầm dấu. Lỗi khác: khai triển sai hệ số cao nhất thành

+ x^{6}

(quên rằng

(- x) (- x^{2}) (- x^{3}) = - x^{6}

🚀 Mở rộng. Khi

x \to - \infty

(1 - x) \to + \infty

(1 - x^{2}) \to - \infty

(1 - x^{3}) \to + \infty

, tích vẫn là

- \infty

vì bậc chẵn và hệ số cao nhất âm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.17★★★Trang 83— Tìm tham số từ giới hạn dạng

\infty - \infty

Bài 5.17 (trang 83). Cho hàm số

g (x) = x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 - 2 m

với

m

là tham số. Biết

x \to + \infty lim g (x) = 0

, tìm giá trị của

m

Kiến thức cần nhớ

$A - B = \frac{A - B}{A + B}$ .
$x^{2} + b x + c - (x + k) \to \frac{b}{2} - k$ khi $x \to + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai căn cùng “cỡ

x

” nên hiệu

x^{2} + 2 x - x^{2} - 1

là dạng

\infty - \infty

; nhân liên hợp để tính được giới hạn của nó (bằng

1

). Khi đó

lim g = 1 - 2 m

, cho bằng

0

. Bẫy: kết luận hiệu hai căn bằng

0

nên

m = 0

1Cách 1. Nhân liên hợp hai căn

Định hướng. Biến hiệu hai căn thành một thương rồi chia cho $x$ .

x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 = \frac{( x ^{2} + 2 x ) - ( x ^{2} - 1 )}{x ^{2} + 2 x + x ^{2} - 1} = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x + x ^{2} - 1}

x \to + \infty lim \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x + x ^{2} - 1} = x \to + \infty lim \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x} + 1 - \frac{1}{x ^{2}}} = \frac{2}{2} = 1

x \to + \infty lim g (x) = 1 - 2 m

1 - 2 m = 0

m = \frac{1}{2}

Vậy $m = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Thêm bớt

x

và

x + 1

Định hướng. Viết $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ gần bằng $x + 1$ , còn $x^{2} - 1$ gần bằng $x$ ; hiệu hai phần “chính” là $1$ .

x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 = [(x + 1)^{2} - 1 - (x + 1)] - [x^{2} - 1 - x] + 1

= \frac{- 1}{( x + 1 ) ^{2} - 1 + x + 1} + \frac{1}{x ^{2} - 1 + x} + 1 \to 0 + 0 + 1 = 1

x \to + \infty lim g (x) = 1 - 2 m = 0

m = \frac{1}{2}

Vậy $m = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Đổi biến

t = \frac{1}{x} \to 0^{+}

Định hướng. Đưa về giới hạn tại $0^{+}$ rồi khử dạng $\frac{0}{0}$ bằng liên hợp.

x = \frac{1}{t}

t > 0

x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 = \frac{1 + 2 t - 1 - t ^{2}}{t}

= \frac{1 + 2 t - 1 + t ^{2}}{t ( 1 + 2 t + 1 - t ^{2} )} = \frac{2 + t}{1 + 2 t + 1 - t ^{2}} \to \frac{2}{2} = 1

1 - 2 m = 0

m = \frac{1}{2}

Vậy $m = \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Kiểm tra số: $x = 1000$ cho $1002000 - 999999 \approx 1, 0005$ , khớp giới hạn $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân liên hợp một lần là ra hiệu hai căn dần về

1

, lập phương trình

1 - 2 m = 0

Đáp số.

m = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 \to 0

vì “hai căn đều xấp xỉ

x

”, từ đó ra

m = 0

— sai, dạng

\infty - \infty

phải khử. Lỗi khác: quên hệ số

2

m

nên ra

m = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x \to + \infty lim (x^{2} + a x + b - x^{2} + c x + d) = \frac{a - c}{2}

; thử với

a = 4

c = - 2

được

3

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.18★★★Trang 83— Xét dấu tham số từ giới hạn vô cực

Bài 5.18 (trang 83). Cho

m

là một số thực. Biết

x \to - \infty lim [(m - x) (m x + 1)] = - \infty

. Xác định dấu của

m

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc tích: $+ \infty$ nhân $- \infty$ cho $- \infty$ ; $+ \infty$ nhân $+ \infty$ cho $+ \infty$ .
$x \to - \infty lim (m x + 1) = - \infty$ nếu $m > 0$ , $= + \infty$ nếu $m < 0$ .
Đa thức bậc hai $- m x^{2} + \dots$ ( $m \neq = 0$ ) có giới hạn tại $\pm \infty$ cùng dấu với $- m$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khi

x \to - \infty

thì

m - x \to + \infty

với mọi

m

, còn

m x + 1

đi về đâu phụ thuộc dấu của

m

: đó là chìa khoá. Cần xét riêng trường hợp

m = 0

vì khi đó thừa số thứ hai là hằng số

1

1Cách 1. Xét ba trường hợp theo dấu của

m

Định hướng. Thừa số $m - x \to + \infty$ luôn; xét giới hạn của $m x + 1$ theo dấu $m$ .

x \to - \infty lim (m - x) = + \infty

m > 0

m x + 1 \to - \infty \Rightarrow (m - x) (m x + 1) \to - \infty

(thoả mãn)

m = 0

(m - x) (m x + 1) = - x \to + \infty

(loại)

m < 0

m x + 1 \to + \infty \Rightarrow (m - x) (m x + 1) \to + \infty

(loại)

Vậy $m > 0$ .

2Cách 2. Rút

x^{2}

làm nhân tử

Định hướng. Khai triển được đa thức bậc hai hệ số cao nhất $- m$ ; rút $x^{2}$ ra ngoài.

(m - x) (m x + 1) = - m x^{2} + (m^{2} - 1) x + m

m \neq = 0

= x^{2} (- m + \frac{m ^{2} - 1}{x} + \frac{m}{x ^{2}})

x^{2} \to + \infty

, ngoặc

\to - m

x \to - \infty lim = - \infty \Leftrightarrow - m < 0 \Leftrightarrow m > 0

m = 0

: biểu thức bằng

- x \to + \infty

(loại)

Vậy $m$ là số dương.

3Cách 3. Đặt

t = - x \to + \infty

Định hướng. Đổi sang biến dương cho dễ nhìn dấu từng thừa số.

(m - x) (m x + 1) = (m + t) (1 - m t)

t \to + \infty

m + t \to + \infty

;

1 - m t \to - \infty

khi

m > 0

\to + \infty

khi

m < 0

= 1

khi

m = 0

(m + t) (1 - m t) \to - \infty \Leftrightarrow m > 0

Vậy $m > 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $m = 1$ cho $(1 - x) (x + 1) = 1 - x^{2} \to - \infty$ đúng; $m = - 1$ cho $(- 1 - x) (1 - x) = x^{2} - 1 \to + \infty$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một thừa số luôn ra

+ \infty

, chỉ cần xét dấu thừa số còn lại — gọn và không bỏ sót

m = 0

Đáp số.

m > 0

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót trường hợp

m = 0

(khi đó biểu thức là

- x

, bậc nhất). Lỗi khác: nghĩ

m x + 1 \to - \infty

khi

m < 0

vì “

x

âm” — thực ra âm nhân âm thành dương,

m x + 1 \to + \infty

🚀 Mở rộng. Tương tự:

x \to + \infty lim (m - x) (m x + 1) = - \infty

khi và chỉ khi

m \geq 0

— chú ý khi

x \to + \infty

thì

m = 0

lại thoả mãn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.19★★★Trang 83— Chứng minh giới hạn bằng nguyên lí kẹp

Bài 5.19 (trang 83). Cho hàm số

f (x) = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}}

. Chứng minh rằng

x \to + \infty lim f (x) = 0

Kiến thức cần nhớ

$0 \leq sin^{2} x \leq 1$ với mọi $x$ .
Nguyên lí kẹp cho dãy số: $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ , $lim u_{n} = lim w_{n} = L$ thì $lim v_{n} = L$ .
$x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{k}} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

sin^{2} x

không có giới hạn khi

x \to + \infty

nên không dùng được quy tắc thương. Nhưng

0 \leq sin^{2} x \leq 1

, nên

f

bị kẹp giữa

0

và

\frac{1}{x ^{2}} \to 0

. Bẫy: viết

lim sin^{2} x \cdot lim \frac{1}{x ^{2}}

khi giới hạn thứ nhất không tồn tại.

1Cách 1. Định nghĩa bằng dãy số và nguyên lí kẹp

Định hướng. Lấy dãy $x_{n} \to + \infty$ bất kì, kẹp $f (x_{n})$ giữa hai dãy cùng dần về $0$ .

x_{n} > 0

x_{n} \to + \infty

0 \leq f (x_{n}) = \frac{sin ^{2} x _{n}}{x _{n}^{2}} \leq \frac{1}{x _{n}^{2}}

n \to + \infty lim \frac{1}{x _{n}^{2}} = 0

n \to + \infty lim f (x_{n}) = 0

Vậy $x \to + \infty lim f (x) = 0$ (đpcm).

2Cách 2. Đánh giá

∣ f (x) ∣

theo định nghĩa

Định hướng. Chỉ ra $∣ f (x) ∣$ nhỏ hơn số dương bất kì khi $x$ đủ lớn.

∣ f (x) - 0∣ = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \leq \frac{1}{x ^{2}}

ε > 0

\frac{1}{x ^{2}} < ε \Leftrightarrow x > \frac{1}{ε}

(

x > 0

)

x > \frac{1}{ε} \Rightarrow ∣ f (x) ∣ < ε

Vậy $f (x)$ gần $0$ tuỳ ý khi $x$ đủ lớn, tức $x \to + \infty lim f (x) = 0$ (đpcm).

3Cách 3. Viết

f = u^{2}

với

u (x) = \frac{sin x}{x} \to 0

Định hướng. Chứng minh $u \to 0$ bằng kẹp, sau đó dùng quy tắc tích $u \cdot u$ .

∣ u (x) ∣ = \frac{∣ sin x ∣}{x} \leq \frac{1}{x}

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x \to + \infty lim u (x) = 0

x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim u (x) \cdot x \to + \infty lim u (x) = 0 \cdot 0 = 0

Vậy $x \to + \infty lim \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} = 0$ (đpcm).

Nhận xét. Kĩ thuật “hàm bị chặn nhân với hàm dần về $0$ ” dùng được cho $\frac{cos x}{x}$ , $\frac{sin 3 x + 2}{x ^{2} + 1}$ , $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ …

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng khung định nghĩa của sách (dãy số) cộng nguyên lí kẹp đã học ở Bài 15.

Đáp số.

0 \leq \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \leq \frac{1}{x ^{2}} \to 0

nên

x \to + \infty lim f (x) = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

lim \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} = \frac{lim sin ^{2} x}{lim x ^{2}}

— sai vì

sin^{2} x

không có giới hạn và mẫu ra vô cực. Lỗi khác: nhầm với

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

nên kết luận bằng

1

🚀 Mở rộng. Tương tự:

x \to - \infty lim \frac{cos 2 x}{x} = 0

vì

\frac{cos 2 x}{x} \leq \frac{1}{∣ x ∣}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.20★★Trang 83— Giới hạn tại vô cực trong bài toán thực tế

Bài 5.20 (trang 83). Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất

x

đơn vị sản phẩm là

C (x) = 2 x + 55

(triệu đồng).
a) Tìm hàm số

f (x)

biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.
b) Tính

x \to + \infty lim f (x)

. Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Kiến thức cần nhớ

Chi phí trung bình $f (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .
$x \to + \infty lim \frac{k}{x} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chi phí trung bình

=

tổng chi phí chia số sản phẩm. Chi phí gồm phần cố định

55

triệu và phần biến đổi

2

triệu mỗi sản phẩm; khi sản xuất rất nhiều, phần cố định chia đều gần như biến mất. Bẫy: nhầm chi phí trung bình với

C (x)

nên ra

+ \infty

1Cách 1. Tách thành hằng số cộng phân số

Định hướng. Chia từng số hạng của $C (x)$ cho $x$ .

f (x) = \frac{2 x + 55}{x} = 2 + \frac{55}{x}

(

x > 0

)
b)

x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim (2 + \frac{55}{x}) = 2 + 0 = 2

Vậy $f (x) = \frac{2 x + 55}{x}$ (triệu đồng) và $x \to + \infty lim f (x) = 2$ : khi số sản phẩm rất lớn, chi phí trung bình mỗi sản phẩm tiến gần $2$ triệu đồng (chi phí cố định $55$ triệu được chia gần hết).

2Cách 2. Theo định nghĩa bằng dãy số

Định hướng. Lấy dãy sản lượng $x_{n} \to + \infty$ bất kì.

f (x_{n}) = \frac{2 x _{n} + 55}{x _{n}} = \frac{2 + \frac{55}{x _{n}}}{1}

n \to + \infty lim \frac{55}{x _{n}} = 0 \Rightarrow n \to + \infty lim f (x_{n}) = 2

Vậy $x \to + \infty lim f (x) = 2$ (triệu đồng).

3Cách 3. Đánh giá khoảng cách tới 2

Định hướng. Đo xem chi phí trung bình còn cao hơn $2$ triệu bao nhiêu.

f (x) - 2 = \frac{55}{x} > 0

f (x) - 2 < 0, 01 \Leftrightarrow x > 5500

x \to + \infty lim \frac{55}{x} = 0 \Rightarrow x \to + \infty lim f (x) = 2

Vậy chi phí trung bình giảm dần và tiến tới $2$ triệu đồng mỗi sản phẩm nhưng luôn lớn hơn $2$ triệu.

Nhận xét. Chẳng hạn sản xuất trên $5500$ sản phẩm thì chi phí trung bình chỉ còn cao hơn $2$ triệu chưa tới $10000$ đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách

2 + \frac{55}{x}

vừa cho giới hạn ngay, vừa giải thích được ý nghĩa thực tế.

Đáp số. a)

f (x) = \frac{2 x + 55}{x}

(triệu đồng); b)

x \to + \infty lim f (x) = 2

: sản xuất càng nhiều, chi phí trung bình mỗi sản phẩm càng gần

2

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Tính

x \to + \infty lim C (x) = + \infty

rồi nói “chi phí tăng vô hạn” — đề hỏi chi phí trung bình

f (x)

, không phải tổng chi phí. Lỗi khác: viết

f (x) = \frac{x}{2 x + 55}

(chia ngược).

🚀 Mở rộng. Với

C (x) = a x + b

(

a, b > 0

) thì chi phí trung bình dần về

a

— đúng bằng chi phí biến đổi cho mỗi sản phẩm.

Mở bài này trong app ↗