Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 17. Hàm số liên tục

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.21★Trang 86— Tính liên tục của thương hai hàm liên tục

Bài 5.21 (trang 86). Cho hàm số

g (x)

liên tục trên

R

trừ điểm

x = 0

. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) = \frac{g ( x )}{x}

tại

x = 1

Kiến thức cần nhớ

$f, g$ liên tục tại $x_{0}$ và $g (x_{0}) \neq = 0$ thì $\frac{f}{g}$ liên tục tại $x_{0}$ .
Tích của hai hàm liên tục tại $x_{0}$ là hàm liên tục tại $x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

x = 1

khác

0

nên

g

liên tục tại

1

; mẫu

x

là đa thức, liên tục và khác

0

tại

1

. Đó đúng là giả thiết của tính chất “thương của hai hàm liên tục”. Bẫy: bị điểm

x = 0

đánh lạc hướng — điểm cần xét là

x = 1

1Cách 1. Tính chất thương của hai hàm liên tục

Định hướng. Kiểm tra đủ ba điều kiện: tử liên tục, mẫu liên tục, mẫu khác $0$ tại $x = 1$ .

1 \neq = 0 \Rightarrow g

liên tục tại

x = 1

y = x

liên tục trên

R

1 \neq = 0

\Rightarrow f (x) = \frac{g ( x )}{x}

liên tục tại

x = 1

Vậy hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa: giới hạn bằng giá trị

Định hướng. Tính $x \to 1 lim f (x)$ bằng quy tắc giới hạn của thương rồi so với $f (1)$ .

x \to 1 lim g (x) = g (1)

;

x \to 1 lim x = 1 \neq = 0

x \to 1 lim f (x) = \frac{x \to 1 lim g ( x )}{x \to 1 lim x} = \frac{g ( 1 )}{1} = g (1) = f (1)

Vậy $x \to 1 lim f (x) = f (1)$ , $f$ liên tục tại $x = 1$ .

3Cách 3. Viết thành tích

Định hướng. $f (x) = g (x) \cdot \frac{1}{x}$ , trong đó $\frac{1}{x}$ là phân thức hữu tỉ xác định tại $1$ .

h (x) = \frac{1}{x}

liên tục trên

(0; + \infty) ∋ 1

g

liên tục tại

1

\Rightarrow f = g \cdot h

liên tục tại

x = 1

Vậy $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Nhận xét. Lập luận giống hệt cho thấy $f$ liên tục tại mọi $x_{0} \neq = 0$ , tức là liên tục trên $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nêu đủ ba điều kiện của tính chất thương là xong.

Đáp số.

f (x)

liên tục tại

x = 1

Sai lầm thường gặp. Kết luận “không xét được vì

g

gián đoạn tại

0

” — tính liên tục tại

1

chỉ phụ thuộc hàm gần

x = 1

. Lỗi khác: quên nêu điều kiện mẫu

1 \neq = 0

🚀 Mở rộng. Với cùng giả thiết,

F (x) = \frac{g ( x )}{x - 1}

có thể không liên tục tại

x = 1

vì mẫu bằng

0

tại đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.22★★Trang 86— Tìm tham số để hàm ba công thức liên tục trên ℝ

Bài 5.22 (trang 86). Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 a x + b 5 khi x \leq 1 khi 1 < x < 2 khi x \geq 2.

Xác định

a

b

để hàm số liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Đường thẳng qua $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ có hệ số góc $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi công thức là đa thức nên

f

liên tục trên ba khoảng mở; chỉ còn hai điểm nối

x = 1

và

x = 2

, mỗi điểm cho một phương trình. Hai phương trình bậc nhất với hai ẩn

a

b

. Bẫy: chỉ đặt điều kiện tại một điểm.

1Cách 1. Điều kiện tại hai điểm nối, giải hệ

Định hướng. Viết điều kiện liên tục tại $x = 1$ và $x = 2$ .

x = 1

x \to 1^{-} lim f (x) = 3 = f (1)

;

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim (a x + b) = a + b

x = 2

x \to 2^{+} lim f (x) = 5 = f (2)

;

x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim (a x + b) = 2 a + b

{a + b = 3 2 a + b = 5 \Leftrightarrow {a = 2 b = 1

Vậy $a = 2$ , $b = 1$ .

2Cách 2. Nối đồ thị

Định hướng. Đồ thị liền nét khi đoạn $y = a x + b$ nối điểm $(1; 3)$ với điểm $(2; 5)$ .

đồ thị cần đi qua

M (1; 3)

và

N (2; 5)

a = \frac{5 - 3}{2 - 1} = 2

b = 3 - a \cdot 1 = 3 - 2 = 1

Vậy $a = 2$ , $b = 1$ ; khi đó đồ thị gồm tia $y = 3$ , đoạn $M N$ và tia $y = 5$ nối liền.

3Cách 3. Viết lại

a x + b

theo mốc

x = 1

Định hướng. Điều kiện tại $x = 1$ cho phép viết $a x + b = 3 + a (x - 1)$ ; còn lại một ẩn $a$ .

a + b = 3 \Rightarrow a x + b = 3 + a (x - 1)

x \to 2^{-} lim [3 + a (x - 1)] = 3 + a = 5 \Rightarrow a = 2

b = 3 - a = 1

Vậy $a = 2$ , $b = 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $2 x + 1$ bằng $3$ tại $x = 1$ và bằng $5$ tại $x = 2$ , đúng khớp hai hằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra đoạn thẳng nối

(1; 3)

và

(2; 5)

là tính ngay hệ số góc

2

Đáp số.

a = 2

b = 1

Sai lầm thường gặp. Đặt điều kiện tại

x = 2

bằng

a + 2 b = 5

(nhầm vai trò

a

b

) nên ra hệ sai. Lỗi khác: chỉ dùng điều kiện tại

x = 1

được

a + b = 3

rồi chọn đại

a = 1

b = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hằng

p

khi

x \leq m

a x + b

khi

m < x < n

, hằng

q

khi

x \geq n

liên tục trên

R

khi và chỉ khi

a = \frac{q - p}{n - m}

b = p - am

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.23★★Trang 86— Tìm tham số để hàm nhiều công thức liên tục

Bài 5.23 (trang 86). Tìm tham số

m

để hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} m x + 1 khi x < 1 khi x \geq 1

liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Với

x < 1

mẫu

x - 1 \neq = 0

nên phân thức liên tục; với

x > 1

là đa thức. Chỉ cần điều kiện tại

x = 1

, trong đó giới hạn trái có dạng

\frac{0}{0}

phải rút gọn. Bẫy: thấy mẫu

x - 1

rồi nghĩ hàm không xác định tại

1

— thật ra

f (1) = m + 1

theo công thức thứ hai.

1Cách 1. Giới hạn một bên tại

x = 1

Định hướng. Rút gọn phân thức cho giới hạn trái, so với giới hạn phải và $f (1)$ .

f (1) = m + 1

;

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim (m x + 1) = m + 1

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x \to 1^{-} lim (x + 1) = 2

m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1

Vậy $m = 1$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa bằng dãy số

Định hướng. Chọn dãy dần tới $1$ từ bên trái để tính giới hạn trái.

x_{n} = 1 - \frac{1}{n} \to 1

f (x_{n}) = x_{n} + 1 = 2 - \frac{1}{n} \to 2

f

liên tục tại

1 \Rightarrow 2 = f (1) = m + 1 \Rightarrow m = 1

m = 1

f (x) = x + 1

với mọi

x

\Rightarrow f

liên tục trên

R

Vậy $m = 1$ .

3Cách 3. Nối đồ thị

Định hướng. Với $x < 1$ đồ thị là đường thẳng $y = x + 1$ dần tới $(1; 2)$ ; đường thẳng $y = m x + 1$ luôn đi qua $(0; 1)$ .

liền nét tại

x = 1

\Leftrightarrow

đường

y = m x + 1

đi qua

(1; 2)

m \cdot 1 + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1

Vậy $m = 1$ ; khi đó hai mảnh ghép lại thành đúng đường thẳng $y = x + 1$ .

Nhận xét. Hai công thức $y = x + 1$ và $y = m x + 1$ cùng đi qua $(0; 1)$ nên chỉ trùng nhau khi $m = 1$ — đó là lí do đáp số “đẹp”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn giới hạn trái bằng

2

rồi cho

m + 1 = 2

Đáp số.

m = 1

Sai lầm thường gặp. Tính giới hạn trái bằng cách thay

x = 1

vào phân thức được

\frac{0}{0}

rồi kết luận không có

m

nào. Lỗi khác: dùng công thức phân thức cho cả giới hạn phải.

🚀 Mở rộng. Với

f (x) = \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

khi

x < 1

và

m x + 1

khi

x \geq 1

thì cần

m + 1 = 3

, tức

m = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.24★★Trang 86— Tính liên tục của phân thức và thương có hàm lượng giác

Bài 5.24 (trang 86). Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)

f (x) = \frac{x ^{3} + x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

;
b)

g (x) = \frac{cos x}{x ^{2} + 3 x - 4}

Kiến thức cần nhớ

Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
$y = cos x$ liên tục trên $R$ ; thương hai hàm liên tục tại $x_{0}$ liên tục tại $x_{0}$ nếu mẫu khác $0$ .
$a x^{2} + b x + c$ có $a + b + c = 0$ thì có nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là phân thức hữu tỉ, câu b) là thương của

cos x

(liên tục trên

R

) với một đa thức. Cả hai đều liên tục tại mọi điểm làm mẫu khác

0

, nên việc chính là tìm nghiệm của mẫu. Bẫy: đi tìm nghiệm của tử.

1Cách 1. Tìm tập xác định

Định hướng. Hàm đã cho liên tục trên tập xác định; tách mẫu thành nhân tử.

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 1

và

x \neq = 2

D = (- \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)

x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4) \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 1

và

x \neq = - 4

D = (- \infty; - 4) \cup (- 4; 1) \cup (1; + \infty)

Vậy a) $f$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; 1)$ , $(1; 2)$ , $(2; + \infty)$ ; b) $g$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 4)$ , $(- 4; 1)$ , $(1; + \infty)$ .

2Cách 2. Tính chất thương tại điểm

x_{0}

bất kì

Định hướng. Tử và mẫu là các hàm liên tục trên $R$ ; xét những $x_{0}$ làm mẫu khác $0$ .

x^{3} + x + 1

x^{2} - 3 x + 2

liên tục trên

R

;

x_{0} \in / {1; 2} \Rightarrow x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 \neq = 0

\Rightarrow f

liên tục tại mọi

x_{0} \in / {1; 2}

cos x

x^{2} + 3 x - 4

liên tục trên

R

;

x_{0} \in / {- 4; 1} \Rightarrow x_{0}^{2} + 3 x_{0} - 4 \neq = 0

\Rightarrow g

liên tục tại mọi

x_{0} \in / {- 4; 1}

Vậy a) $f$ liên tục trên $(- \infty; 1)$ , $(1; 2)$ , $(2; + \infty)$ ; b) $g$ liên tục trên $(- \infty; - 4)$ , $(- 4; 1)$ , $(1; + \infty)$ .

3Cách 3. Phân tích thành tích các hàm liên tục

Định hướng. Viết mỗi hàm thành tích của tử với các thừa số dạng $\frac{1}{x - c}$ .

f (x) = (x^{3} + x + 1) \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 2}

\frac{1}{x - 1}

liên tục khi

x \neq = 1

\frac{1}{x - 2}

liên tục khi

x \neq = 2

g (x) = cos x \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 4}

\frac{1}{x - 1}

liên tục khi

x \neq = 1

\frac{1}{x + 4}

liên tục khi

x \neq = - 4

Vậy a) $f$ liên tục trên $(- \infty; 1)$ , $(1; 2)$ , $(2; + \infty)$ ; b) $g$ liên tục trên $(- \infty; - 4)$ , $(- 4; 1)$ , $(1; + \infty)$ .

Nhận xét. Tại các điểm loại ra, tử khác $0$ (a: $3$ và $11$ ; b: $cos 1$ , $cos (- 4)$ đều khác $0$ ) nên đồ thị có tiệm cận đứng tại đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhẩm nghiệm mẫu nhờ

a + b + c = 0

, viết tập xác định thành các khoảng là xong.

Đáp số. a)

f

liên tục trên các khoảng

(- \infty; 1)

(1; 2)

(2; + \infty)

. b)

g

liên tục trên các khoảng

(- \infty; - 4)

(- 4; 1)

(1; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ở b) phân tích sai

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)

nên loại nhầm

- 1

và

4

— thử lại:

(- 1)^{2} + 3 (- 1) - 4 = - 6 \neq = 0

. Lỗi khác: nghĩ

cos x

làm hàm gián đoạn tại những điểm

cos x = 0

🚀 Mở rộng. Hàm

h (x) = \frac{sin x}{cos x - 1}

liên tục trên từng khoảng

(k 2 π; (k + 1) 2 π)

k \in Z

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.25★★★Trang 86— Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm liên tục

Bài 5.25 (trang 86). Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:
a)

x^{2} = x + 1

, trong khoảng

(1; 2)

;
b)

cos x = x

, trong khoảng

(0; 1)

Kiến thức cần nhớ

$h$ liên tục trên $[a; b]$ và $h (a) h (b) < 0$ thì có $c \in (a; b)$ với $h (c) = 0$ .
$y = x$ liên tục trên $[0; + \infty)$ ; $y = cos x$ liên tục trên $R$ .
$0 < 1 < \frac{π}{2} \Rightarrow 0 < cos 1 < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đưa về dạng

h (x) = 0

với

h

liên tục trên đoạn

[a; b]

, rồi chỉ ra

h (a)

và

h (b)

trái dấu. Câu a) có căn nên cần

x + 1 \geq 0

— thoả trên

[1; 2]

; câu b) dùng

cos x

liên tục trên

R

. Bẫy: tính

cos 1

ở chế độ DEG thay vì radian.

1Cách 1. Tính chất giá trị trung gian trực tiếp

Định hướng. Chuyển hết sang một vế và xét dấu tại hai đầu khoảng.

h (x) = x^{2} - x + 1

liên tục trên

[1; 2]

h (1) = 1 - 2 < 0

;

h (2) = 4 - 3 > 0

h (1) h (2) < 0 \Rightarrow \exists c \in (1; 2)

h (c) = 0

k (x) = cos x - x

liên tục trên

[0; 1]

k (0) = 1 - 0 = 1 > 0

;

k (1) = cos 1 - 1 < 0

k (0) k (1) < 0 \Rightarrow \exists d \in (0; 1)

cos d = d

Vậy cả hai phương trình đều có nghiệm trong khoảng tương ứng.

2Cách 2. Biến đổi tương đương về hàm gọn hơn

Định hướng. a) bình phương hai vế không âm để khử căn, được đa thức; b) thu hẹp khoảng bằng một điểm “đẹp” $\frac{π}{4}$ .

x \in (1; 2)

x^{2} = x + 1 \Leftrightarrow x^{4} = x + 1

(hai vế đều dương)

p (x) = x^{4} - x - 1

liên tục trên

[1; 2]

;

p (1) = - 1 < 0

p (2) = 13 > 0

\Rightarrow \exists c \in (1; 2)

p (c) = 0 \Rightarrow c^{2} = c + 1

k (x) = cos x - x

;

k (0) = 1 > 0

k (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \approx 0, 707 - 0, 785 < 0

\Rightarrow \exists d \in (0; \frac{π}{4}) \subset (0; 1)

cos d = d

Vậy hai phương trình có nghiệm trong $(1; 2)$ và $(0; 1)$ tương ứng.

Nhận xét. Dấu $\frac{2}{2} < \frac{π}{4}$ tương đương $22 < π$ , đúng vì $22 < 2, 83 < 3, 14$ .

3Cách 3. Chia đôi khoảng để định vị nghiệm

Định hướng. Áp dụng lặp tính chất trung gian: mỗi lần lấy trung điểm, giữ nửa khoảng mà hàm đổi dấu; vừa chứng minh có nghiệm vừa ước lượng được nghiệm.

h (1, 5) = 2, 25 - 2, 5 \approx 0, 67 > 0

\Rightarrow

nghiệm thuộc

(1; 1, 5)

h (1, 25) = 1, 5625 - 1, 5 = 0, 0625 > 0

\Rightarrow

nghiệm thuộc

(1; 1, 25)

h (1, 2) = 1, 44 - 2, 2 \approx - 0, 043 < 0

\Rightarrow

nghiệm thuộc

(1, 2; 1, 25) \subset (1; 2)

k (0, 5) = cos 0, 5 - 0, 5 \approx 0, 378 > 0

\Rightarrow

nghiệm thuộc

(0, 5; 1)

k (0, 75) = cos 0, 75 - 0, 75 \approx - 0, 018 < 0

\Rightarrow

nghiệm thuộc

(0, 5; 0, 75) \subset (0; 1)

Vậy a) có nghiệm $c \in (1, 2; 1, 25)$ ; b) có nghiệm $d \in (0, 5; 0, 75)$ ; cả hai đều nằm trong khoảng đề cho.

Nhận xét. Tiếp tục chia đôi được $c \approx 1, 2207$ và $d \approx 0, 7391$ ; máy tính cầm tay (SHIFT SOLVE, chế độ radian ở câu b) cho cùng kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt hàm, tính hai giá trị ở hai đầu, nêu tính liên tục trên đoạn rồi kết luận — đủ ý, ngắn nhất.

Đáp số. a)

h (x) = x^{2} - x + 1

có

h (1) < 0 < h (2)

nên có nghiệm trong

(1; 2)

; b)

k (x) = cos x - x

có

k (0) > 0 > k (1)

nên có nghiệm trong

(0; 1)

Sai lầm thường gặp. Chỉ tính

h (1)

h (2)

mà không nêu

h

liên tục trên đoạn

[1; 2]

. Ở b) bấm máy

cos 1

ở chế độ DEG được

0, 9998

— vẫn nhỏ hơn

1

nên may mắn đúng, nhưng thói quen này làm sai ở bài khác; phải dùng radian.

🚀 Mở rộng. Chứng minh

cos x = x

có đúng một nghiệm: với

x > 1

thì

cos x \leq 1 < x

, với

x < 0

thì

cos x \geq - 1

và

cos x > x

; trên

[0; 1]

cả

cos x

và

- x

đều giảm nên

cos x - x

giảm, không thể có hai nghiệm.

Mở bài này trong app ↗