Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 17. Hàm số liên tục

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang86 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.21★Trang 86— Tính liên tục của thương hai hàm liên tục

Bài 5.21 (trang 86). Cho hàm số

g (x)

liên tục trên

R

trừ điểm

x = 0

. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) = \frac{g ( x )}{x}

tại

x = 1

Kiến thức cần nhớ

$f, g$ liên tục tại $x_{0}$ và $g (x_{0}) \neq = 0$ thì $\frac{f}{g}$ liên tục tại $x_{0}$ .
Tích của hai hàm liên tục tại $x_{0}$ là hàm liên tục tại $x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

x = 1

khác

0

nên

g

liên tục tại

1

; mẫu

x

là đa thức, liên tục và khác

0

tại

1

. Đó đúng là giả thiết của tính chất “thương của hai hàm liên tục”. Bẫy: bị điểm

x = 0

đánh lạc hướng — điểm cần xét là

x = 1

1Cách 1. Tính chất thương của hai hàm liên tục

Định hướng. Kiểm tra đủ ba điều kiện: tử liên tục, mẫu liên tục, mẫu khác $0$ tại $x = 1$ .

1 \neq = 0 \Rightarrow g

liên tục tại

x = 1

y = x

liên tục trên

R

1 \neq = 0

\Rightarrow f (x) = \frac{g ( x )}{x}

liên tục tại

x = 1

Vậy hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa: giới hạn bằng giá trị

Định hướng. Tính $x \to 1 lim f (x)$ bằng quy tắc giới hạn của thương rồi so với $f (1)$ .

x \to 1 lim g (x) = g (1)

;

x \to 1 lim x = 1 \neq = 0

x \to 1 lim f (x) = \frac{x \to 1 lim g ( x )}{x \to 1 lim x} = \frac{g ( 1 )}{1} = g (1) = f (1)

Vậy $x \to 1 lim f (x) = f (1)$ , $f$ liên tục tại $x = 1$ .

3Cách 3. Viết thành tích

Định hướng. $f (x) = g (x) \cdot \frac{1}{x}$ , trong đó $\frac{1}{x}$ là phân thức hữu tỉ xác định tại $1$ .

h (x) = \frac{1}{x}

liên tục trên

(0; + \infty) ∋ 1

g

liên tục tại

1

\Rightarrow f = g \cdot h

liên tục tại

x = 1

Vậy $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Nhận xét. Lập luận giống hệt cho thấy $f$ liên tục tại mọi $x_{0} \neq = 0$ , tức là liên tục trên $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nêu đủ ba điều kiện của tính chất thương là xong.

Đáp số.

f (x)

liên tục tại

x = 1

Sai lầm thường gặp. Kết luận “không xét được vì

g

gián đoạn tại

0

” — tính liên tục tại

1

chỉ phụ thuộc hàm gần

x = 1

. Lỗi khác: quên nêu điều kiện mẫu

1 \neq = 0

🚀 Mở rộng. Với cùng giả thiết,

F (x) = \frac{g ( x )}{x - 1}

có thể không liên tục tại

x = 1

vì mẫu bằng

0

tại đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.22★★Trang 86— Tìm tham số để hàm ba công thức liên tục trên ℝ

Bài 5.22 (trang 86). Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 a x + b 5 khi x \leq 1 khi 1 < x < 2 khi x \geq 2.

Xác định

a

b

để hàm số liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Đường thẳng qua $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ có hệ số góc $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi công thức là đa thức nên

f

liên tục trên ba khoảng mở; chỉ còn hai điểm nối

x = 1

và

x = 2

, mỗi điểm cho một phương trình. Hai phương trình bậc nhất với hai ẩn

a

b

. Bẫy: chỉ đặt điều kiện tại một điểm.

1Cách 1. Điều kiện tại hai điểm nối, giải hệ

Định hướng. Viết điều kiện liên tục tại $x = 1$ và $x = 2$ .

x = 1

x \to 1^{-} lim f (x) = 3 = f (1)

;

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim (a x + b) = a + b

x = 2

x \to 2^{+} lim f (x) = 5 = f (2)

;

x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim (a x + b) = 2 a + b

{a + b = 3 2 a + b = 5 \Leftrightarrow {a = 2 b = 1

Vậy $a = 2$ , $b = 1$ .

2Cách 2. Nối đồ thị

Định hướng. Đồ thị liền nét khi đoạn $y = a x + b$ nối điểm $(1; 3)$ với điểm $(2; 5)$ .

đồ thị cần đi qua

M (1; 3)

và

N (2; 5)

a = \frac{5 - 3}{2 - 1} = 2

b = 3 - a \cdot 1 = 3 - 2 = 1

Vậy $a = 2$ , $b = 1$ ; khi đó đồ thị gồm tia $y = 3$ , đoạn $M N$ và tia $y = 5$ nối liền.

3Cách 3. Viết lại

a x + b

theo mốc

x = 1

Định hướng. Điều kiện tại $x = 1$ cho phép viết $a x + b = 3 + a (x - 1)$ ; còn lại một ẩn $a$ .

a + b = 3 \Rightarrow a x + b = 3 + a (x - 1)

x \to 2^{-} lim [3 + a (x - 1)] = 3 + a = 5 \Rightarrow a = 2

b = 3 - a = 1

Vậy $a = 2$ , $b = 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $2 x + 1$ bằng $3$ tại $x = 1$ và bằng $5$ tại $x = 2$ , đúng khớp hai hằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra đoạn thẳng nối

(1; 3)

và

(2; 5)

là tính ngay hệ số góc

2

Đáp số.

a = 2

b = 1

Sai lầm thường gặp. Đặt điều kiện tại

x = 2

bằng

a + 2 b = 5

(nhầm vai trò

a

b

) nên ra hệ sai. Lỗi khác: chỉ dùng điều kiện tại

x = 1

được

a + b = 3

rồi chọn đại

a = 1

b = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hằng

p

khi

x \leq m

a x + b

khi

m < x < n

, hằng

q

khi

x \geq n

liên tục trên

R

khi và chỉ khi

a = \frac{q - p}{n - m}

b = p - am

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.23★★Trang 86— Tìm tham số để hàm nhiều công thức liên tục

Bài 5.23 (trang 86). Tìm tham số

m

để hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} m x + 1 khi x < 1 khi x \geq 1

liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.24★★Trang 86— Tính liên tục của phân thức và thương có hàm lượng giác

Bài 5.24 (trang 86). Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)

f (x) = \frac{x ^{3} + x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

;
b)

g (x) = \frac{cos x}{x ^{2} + 3 x - 4}

Kiến thức cần nhớ

Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
$y = cos x$ liên tục trên $R$ ; thương hai hàm liên tục tại $x_{0}$ liên tục tại $x_{0}$ nếu mẫu khác $0$ .
$a x^{2} + b x + c$ có $a + b + c = 0$ thì có nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{c}{a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.25★★★Trang 86— Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm liên tục

Bài 5.25 (trang 86). Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:
a)

x^{2} = x + 1

, trong khoảng

(1; 2)

;
b)

cos x = x

, trong khoảng

(0; 1)

Kiến thức cần nhớ

$h$ liên tục trên $[a; b]$ và $h (a) h (b) < 0$ thì có $c \in (a; b)$ với $h (c) = 0$ .
$y = x$ liên tục trên $[0; + \infty)$ ; $y = cos x$ liên tục trên $R$ .
$0 < 1 < \frac{π}{2} \Rightarrow 0 < cos 1 < 1$ .