Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 17. Hàm số liên tục

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 119— Giới hạn tại một điểm và so sánh với giá trị của hàm số

HĐ1 (trang 119). Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm. Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} 2 khi x \neq = 1 khi x = 1.

Tính giới hạn

x \to 1 lim f (x)

và so sánh giá trị này với

f (1)

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Khi tính $x \to x_{0} lim f (x)$ chỉ xét $x \neq = x_{0}$ , không dùng giá trị $f (x_{0})$ .
$f$ liên tục tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tại

x = 1

công thức phân thức có dạng

\frac{0}{0}

, nhưng tử

x^{2} - 1

chứa nhân tử

x - 1

nên rút gọn được. Giới hạn khi

x \to 1

chỉ dùng công thức với

x \neq = 1

; giá trị

f (1) = 2

được cho riêng. Bẫy: thay

x = 1

vào phân thức rồi kết luận “không tính được”.

1Cách 1. Rút gọn phân thức

Định hướng. Triệt tiêu nhân tử chung $x - 1$ rồi tính giới hạn của đa thức còn lại.

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 1 + 1 = 2

f (1) = 2

Vậy $x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa bằng dãy số

Định hướng. Lấy dãy $x_{n} \to 1$ bất kì, $x_{n} \neq = 1$ , tính $f (x_{n})$ .

x_{n} \neq = 1

f (x_{n}) = \frac{x _{n}^{2} - 1}{x _{n} - 1} = x_{n} + 1

x_{n} \to 1 \Rightarrow f (x_{n}) = x_{n} + 1 \to 2

\Rightarrow x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)

Vậy giới hạn bằng $2$ và bằng đúng $f (1)$ .

3Cách 3. Hai giới hạn một bên và đồ thị

Định hướng. Với $x \neq = 1$ đồ thị của $f$ nằm trên đường thẳng $y = x + 1$ ; điểm $(1; f (1)) = (1; 2)$ lấp đúng chỗ trống.

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim (x + 1) = 2

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim (x + 1) = 2

\Rightarrow x \to 1 lim f (x) = 2

; điểm

(1; 2)

thuộc đường thẳng

y = x + 1

Vậy $x \to 1 lim f (x) = f (1) = 2$ : đồ thị của $f$ là cả đường thẳng $y = x + 1$ , liền nét tại $x = 1$ .

Nhận xét. Nếu đổi $f (1) = 3$ thì giới hạn vẫn là $2$ nhưng khác $f (1)$ — đồ thị bị “thủng” tại $(1; 2)$ ; đó chính là hàm gián đoạn tại $x = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn một dòng là ra giới hạn, rồi đặt cạnh

f (1)

để so sánh.

Đáp số.

x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)

Sai lầm thường gặp. Thay

x = 1

vào phân thức được

\frac{0}{0}

rồi kết luận giới hạn không tồn tại; hoặc lấy luôn

f (1) = 2

làm giới hạn mà không tính — hai việc này khác nhau (xem Nhận xét Cách 3).

🚀 Mở rộng. Với

f (x) = \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

khi

x \neq = 1

và

f (1) = a

: hàm liên tục tại

1

khi và chỉ khi

a = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 120— Xét tính liên tục tại điểm nối của hàm nhiều công thức

Luyện tập 1 (trang 120). Xét tính liên tục của hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x 0 x^{2} khi x < 0 khi x = 0 khi x > 0

tại điểm

x_{0} = 0

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Nguyên lí kẹp: $∣ f (x) - L ∣ \leq g (x)$ và $g (x) \to 0$ thì $f (x) \to L$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm đổi công thức tại đúng điểm

x_{0} = 0

nên phải tính riêng giới hạn trái (dùng

- x

) và giới hạn phải (dùng

x^{2}

), rồi so với

f (0) = 0

. Bẫy: chỉ tính một phía hoặc quên so sánh với

f (0)

1Cách 1. So sánh hai giới hạn một bên với

f (0)

Định hướng. Tính giới hạn hai phía theo đúng công thức từng phía.

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim x^{2} = 0

x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim (- x) = 0

f (0) = 0

\Rightarrow x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x) = f (0) = 0

Vậy hàm số $f (x)$ liên tục tại $x_{0} = 0$ .

2Cách 2. Kẹp bởi

∣ x ∣

Định hướng. Gần $0$ cả hai công thức đều không vượt quá $∣ x ∣$ về độ lớn.

x < 0

∣ f (x) ∣ = ∣ x ∣

;

x = 0

∣ f (x) ∣ = 0

0 < x < 1

∣ f (x) ∣ = x^{2} < x = ∣ x ∣

∣ x ∣ < 1 \Rightarrow 0 \leq ∣ f (x) - 0∣ \leq ∣ x ∣

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 \Rightarrow x \to 0 lim f (x) = 0 = f (0)

Vậy $f (x)$ liên tục tại $x_{0} = 0$ .

3Cách 3. Đọc đồ thị

Định hướng. Đồ thị gồm tia $y = - x$ bên trái, nhánh parabol $y = x^{2}$ bên phải và điểm $O (0; 0)$ .

x \to 0^{-}

: tia

y = - x

đi tới điểm

O (0; 0)

x \to 0^{+}

: nhánh parabol

y = x^{2}

đi tới điểm

O (0; 0)

f (0) = 0 \Rightarrow

điểm

O

thuộc đồ thị, hai nhánh gặp nhau tại

O

Vậy đồ thị liền nét tại $O$ , hàm số liên tục tại $x_{0} = 0$ .

Nhận xét. Hàm này còn liên tục trên cả $R$ vì hai công thức $- x$ và $x^{2}$ đều là đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba giá trị (trái, phải,

f (0)

) đặt cạnh nhau là đủ kết luận, không cần đánh giá bất đẳng thức.

Đáp số.

f (x)

liên tục tại

x_{0} = 0

Sai lầm thường gặp. Tính giới hạn trái bằng công thức

x^{2}

(nhầm phía) — tuy ở bài này may mắn vẫn ra

0

, nhưng với

f (x) = x + 1

khi

x < 0

thì cách làm sai này che mất chỗ gián đoạn. Lỗi khác: kết luận liên tục chỉ vì hai giới hạn một bên bằng nhau mà không so với

f (0)

🚀 Mở rộng. Thay

0

ở dòng giữa bằng

a

: hàm liên tục tại

0

khi và chỉ khi

a = 0

; thay

- x

bằng

- x + m

: liên tục khi và chỉ khi

m = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★Trang 120— Liên tục và gián đoạn tại điểm nối, liên hệ với đồ thị

HĐ2 (trang 120). Cho hai hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x 1 khi 0 \leq x \leq \frac{1}{2} khi \frac{1}{2} < x \leq 1

và

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x 1 khi 0 \leq x \leq \frac{1}{2} khi \frac{1}{2} < x \leq 1

với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số

f (x)

và

g (x)

tại điểm

x = \frac{1}{2}

và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Chỉ cần một dãy $x_{n} \to x_{0}$ mà $f (x_{n}) \neq \to f (x_{0})$ là $f$ gián đoạn tại $x_{0}$ .
Hàm liên tục trên một khoảng thì đồ thị là đường liền trên khoảng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hàm đổi công thức tại

x = \frac{1}{2}

nên xét giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị tại

\frac{1}{2}

. Bên phải hai hàm giống nhau (đều bằng

1

), khác nhau ở bên trái:

2 x \to 1

còn

x \to \frac{1}{2}

. Bẫy: nhìn đồ thị

g

thấy hai mẩu “gần nhau” rồi kết luận liên tục.

1Cách 1. Giới hạn một bên

Định hướng. So sánh giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị tại $\frac{1}{2}$ cho từng hàm.

x \to \frac{1}{2}^{-} lim f (x) = x \to \frac{1}{2}^{-} lim 2 x = 1

;

x \to \frac{1}{2}^{+} lim f (x) = 1

;

f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

\Rightarrow x \to \frac{1}{2} lim f (x) = f (\frac{1}{2}) = 1

f

liên tục tại

x = \frac{1}{2}

x \to \frac{1}{2}^{-} lim g (x) = x \to \frac{1}{2}^{-} lim x = \frac{1}{2}

;

x \to \frac{1}{2}^{+} lim g (x) = 1

\frac{1}{2} \neq = 1 \Rightarrow

không tồn tại

x \to \frac{1}{2} lim g (x)

g

gián đoạn tại

x = \frac{1}{2}

Vậy $f$ liên tục tại $x = \frac{1}{2}$ , $g$ gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$ . Đồ thị của $f$ là một đường liền; đồ thị của $g$ bị đứt tại $x = \frac{1}{2}$ (nhảy từ độ cao $\frac{1}{2}$ lên độ cao $1$ ).

2Cách 2. Dùng dãy số và đánh giá khoảng cách

Định hướng. Với $f$ : kẹp $∣ f (x) - 1∣$ bởi $2 x - \frac{1}{2}$ . Với $g$ : chỉ ra một dãy từ bên phải làm $g (x_{n})$ không dần tới $g (\frac{1}{2})$ .

0 \leq x \leq \frac{1}{2}

∣ f (x) - 1∣ = ∣2 x - 1∣ = 2 x - \frac{1}{2}

;

\frac{1}{2} < x \leq 1

∣ f (x) - 1∣ = 0

\Rightarrow ∣ f (x) - 1∣ \leq 2 x - \frac{1}{2} \to 0

khi

x \to \frac{1}{2}

\Rightarrow x \to \frac{1}{2} lim f (x) = 1 = f (\frac{1}{2})

x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n + 2} \to \frac{1}{2}

x_{n} \in (\frac{1}{2}; 1]

g (x_{n}) = 1 \to 1 \neq = \frac{1}{2} = g (\frac{1}{2})

Vậy $f$ liên tục, $g$ gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Đọc Hình 5.7

Định hướng. Hàm liên tục tại một điểm khi đồ thị đi qua điểm đó mà không bị nhấc bút.

Đồ thị

f

: đoạn thẳng từ

O (0; 0)

lên

(\frac{1}{2}; 1)

rồi đoạn nằm ngang

y = 1

nối tiếp ngay tại

(\frac{1}{2}; 1)

Đồ thị

g

: đoạn thẳng từ

O (0; 0)

dừng ở

(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})

, đoạn ngang

y = 1

bắt đầu từ điểm rỗng

(\frac{1}{2}; 1)

Vậy đồ thị $f$ liền nét tại $x = \frac{1}{2}$ nên $f$ liên tục tại đó; đồ thị $g$ bị đứt (có bước nhảy độ cao $\frac{1}{2}$ ) nên $g$ gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Đồ thị cho ta dự đoán, còn lời giải chính thức vẫn là so sánh các giới hạn như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính ba con số trái, phải, giá trị tại điểm là thấy ngay hàm nào liên tục; Cách 3 dùng để giải thích bằng hình.

Đáp số.

f

liên tục tại

x = \frac{1}{2}

;

g

gián đoạn tại

x = \frac{1}{2}

vì

x \to \frac{1}{2}^{-} lim g (x) = \frac{1}{2} \neq = 1 = x \to \frac{1}{2}^{+} lim g (x)

. Đồ thị

f

liền nét, đồ thị

g

bị đứt tại

x = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Thấy

g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

bằng giới hạn trái rồi kết luận

g

liên tục — phải so cả giới hạn phải (

= 1

). Lỗi khác: tính giới hạn phải của

g

bằng công thức

x

nên ra

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Với

g_{a} (x) = a x

khi

0 \leq x \leq \frac{1}{2}

và

g_{a} (x) = 1

khi

\frac{1}{2} < x \leq 1

: hàm liên tục tại

\frac{1}{2}

khi và chỉ khi

a = 2

, tức là chỉ có

f

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★Trang 121— Tìm khoảng liên tục của hàm phân thức hữu tỉ

Luyện tập 2 (trang 121). Tìm các khoảng trên đó hàm số

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x + 2}

liên tục.

Kiến thức cần nhớ

Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
$f, g$ liên tục tại $x_{0}$ và $g (x_{0}) \neq = 0$ thì $\frac{f}{g}$ liên tục tại $x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

f

là thương của hai đa thức nên liên tục trên tập xác định; chỉ cần tìm chỗ mẫu bằng

0

. Bẫy: viết đáp số là “

R ∖ {- 2}

” thay vì hai khoảng như đề hỏi.

1Cách 1. Tập xác định của hàm phân thức

Định hướng. Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó.

x + 2 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = - 2

D = (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)

Vậy $f (x)$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

2Cách 2. Tính chất thương của hai hàm liên tục

Định hướng. Tử $x^{2} + 1$ và mẫu $x + 2$ là đa thức, liên tục trên $R$ ; thương liên tục tại mọi điểm làm mẫu khác $0$ .

x_{0} \neq = - 2

x^{2} + 1

và

x + 2

liên tục tại

x_{0}

x_{0} + 2 \neq = 0

\Rightarrow f

liên tục tại mọi

x_{0} \in (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)

f (- 2)

không xác định

\Rightarrow f

gián đoạn tại

x = - 2

Vậy $f (x)$ liên tục trên $(- \infty; - 2)$ và trên $(- 2; + \infty)$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa tại điểm

x_{0}

bất kì

Định hướng. Tính trực tiếp $x \to x_{0} lim f (x)$ bằng các quy tắc giới hạn và so với $f (x_{0})$ .

x_{0} \neq = - 2

x \to x_{0} lim f (x) = \frac{x \to x _{0} lim ( x ^{2} + 1 )}{x \to x _{0} lim ( x + 2 )} = \frac{x _{0}^{2} + 1}{x _{0} + 2} = f (x_{0})

x \to - 2^{+} lim f (x) = + \infty

\Rightarrow f

không liên tục tại

- 2

Vậy $f (x)$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

Nhận xét. Tại $x = - 2$ tử bằng $5 \neq = 0$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x = - 2$ — gián đoạn không “vá” được bằng cách gán thêm giá trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần giải

x + 2 \neq = 0

và viết tập xác định thành hai khoảng.

Đáp số.

f (x)

liên tục trên các khoảng

(- \infty; - 2)

và

(- 2; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Viết “

f

liên tục trên

(- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)

” rồi hiểu là liên tục trên một khoảng — đó là hợp của hai khoảng rời nhau. Lỗi khác: đi tìm nghiệm của tử

x^{2} + 1 = 0

(vô nghiệm) thay vì của mẫu.

🚀 Mở rộng. Hàm

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}

liên tục trên ba khoảng

(- \infty; - 2)

(- 2; 2)

(2; + \infty)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★Trang 121— Tính liên tục của tổng hai hàm liên tục

HĐ3 (trang 121). Cho hai hàm số

f (x) = x^{2}

và

g (x) = - x + 1

.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại

x = 1

.
b) Tính

L = x \to 1 lim [f (x) + g (x)]

và so sánh

L

với

f (1) + g (1)

Kiến thức cần nhớ

Đa thức liên tục trên $R$ : $x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0})$ .
$x \to x_{0} lim [f (x) + g (x)] = x \to x_{0} lim f (x) + x \to x_{0} lim g (x)$ khi hai giới hạn hữu hạn.

🧠 Phân tích tư duy

f

và

g

đều là đa thức nên giới hạn tại

1

chính là giá trị tại

1

. Câu b) gợi ra tính chất: tổng hai hàm liên tục tại một điểm cũng liên tục tại điểm đó.

1Cách 1. Tính trực tiếp bằng định nghĩa

Định hướng. So sánh giới hạn với giá trị cho từng hàm, rồi gộp $f + g$ thành một đa thức.

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim x^{2} = 1 = f (1)

;

x \to 1 lim g (x) = x \to 1 lim (- x + 1) = 0 = g (1)

L = x \to 1 lim (x^{2} - x + 1) = 1 - 1 + 1 = 1

f (1) + g (1) = 1 + 0 = 1

Vậy a) $f$ và $g$ liên tục tại $x = 1$ ; b) $L = 1 = f (1) + g (1)$ .

2Cách 2. Quy tắc giới hạn của tổng

Định hướng. Tách giới hạn của tổng thành tổng hai giới hạn đã tính ở câu a).

L = x \to 1 lim f (x) + x \to 1 lim g (x) = f (1) + g (1) = 1 + 0 = 1

Vậy $L = f (1) + g (1) = 1$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa bằng dãy số

Định hướng. Lấy dãy $x_{n} \to 1$ bất kì và theo dõi $f (x_{n})$ , $g (x_{n})$ .

x_{n} \to 1 \Rightarrow f (x_{n}) = x_{n}^{2} \to 1 = f (1)

g (x_{n}) = - x_{n} + 1 \to 0 = g (1)

f (x_{n}) + g (x_{n}) = x_{n}^{2} - x_{n} + 1 \to 1

Vậy $f$ , $g$ liên tục tại $1$ và $L = 1 = f (1) + g (1)$ .

Nhận xét. Kết quả $L = f (1) + g (1)$ nói rằng $f + g$ liên tục tại $1$ ; đây là trường hợp riêng của tính chất: tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục tại $x_{0}$ là hàm liên tục tại $x_{0}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai giới hạn ở câu a) có sẵn, cộng lại là xong câu b).

Đáp số. a)

f

và

g

liên tục tại

x = 1

; b)

L = 1 = f (1) + g (1)

Sai lầm thường gặp. Viết

g (1) = - 1 + 1

thành

2

(bỏ sót dấu trừ), dẫn đến

L = 3

. Lỗi khác: nghĩ rằng phải tính giới hạn bằng dãy số mới được, trong khi với đa thức chỉ cần thay

x = 1

🚀 Mở rộng. Tương tự

x \to 1 lim [f (x) g (x)] = f (1) g (1) = 0

, và

\frac{f}{g}

không liên tục tại

1

vì

g (1) = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng★★★Trang 122— Chứng minh tồn tại bằng tính chất của hàm số liên tục

Vận dụng (trang 122). Giải bài toán ở tình huống mở đầu: Một người lái xe từ địa điểm

A

đến địa điểm

B

trong thời gian

3

giờ. Biết quãng đường từ

A

đến

B

dài

180

km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc

60

km/h.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $h$ liên tục trên $[a; b]$ và $h (a) h (b) < 0$ thì có $c \in (a; b)$ với $h (c) = 0$ .
Hệ quả: hàm liên tục trên một đoạn mà không có nghiệm thì không đổi dấu trên đoạn đó.
Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian; vận tốc trung bình bằng quãng đường chia cho thời gian.

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc thay đổi liên tục theo thời gian (xe không thể đột ngột nhảy vận tốc), nên

v (t) - 60

là hàm liên tục trên

[0; 3]

. Muốn nó có nghiệm, chỉ cần chỉ ra nó không thể luôn dương hay luôn âm — điều này suy ra từ vận tốc trung bình

\frac{180}{3} = 60

km/h. Bẫy: nói “vận tốc trung bình là

60

nên có lúc chạy

60

” mà không dùng tính liên tục.

1Cách 1. Phản chứng và tính chất giá trị trung gian

Định hướng. Gọi $v (t)$ (km/h) là vận tốc tại thời điểm $t$ giờ ( $0 \leq t \leq 3$ ), $v$ liên tục trên $[0; 3]$ . Xét $h (t) = v (t) - 60$ .

Giả sử

h (t) \neq = 0

với mọi

t \in [0; 3]

\Rightarrow h

không đổi dấu trên

[0; 3]

h (t) > 0 \forall t \Rightarrow v (t) > 60 \Rightarrow

quãng đường

> 60 \cdot 3 = 180

km (vô lí)

h (t) < 0 \forall t \Rightarrow v (t) < 60 \Rightarrow

quãng đường

< 60 \cdot 3 = 180

km (vô lí)

\Rightarrow \exists t_{0} \in [0; 3]

h (t_{0}) = 0 \Leftrightarrow v (t_{0}) = 60

Vậy có ít nhất một thời điểm $t_{0}$ trên hành trình mà xe chạy với vận tốc $60$ km/h.

2Cách 2. So sánh với một xe chạy đều

60

km/h

Định hướng. Cho một xe “ảo” chạy đều $60$ km/h xuất phát cùng lúc từ $A$ . Gọi $s (t)$ là quãng đường xe thật đi được sau $t$ giờ; xét $d (t) = s (t) - 60 t$ (xe thật đi trước xe ảo bao nhiêu km).

d (0) = 0 - 0 = 0

;

d (3) = 180 - 60 \cdot 3 = 0

v (t) > 60 \forall t \Rightarrow d

tăng

\Rightarrow d (3) > d (0)

(vô lí);

v (t) < 60 \forall t \Rightarrow d (3) < d (0)

(vô lí)

\Rightarrow \exists t_{1}, t_{2} \in [0; 3]

v (t_{1}) \geq 60

v (t_{2}) \leq 60

h (t) = v (t) - 60

liên tục,

h (t_{1}) \geq 0 \geq h (t_{2})

\Rightarrow \exists t_{0}

nằm giữa

t_{1}, t_{2}

h (t_{0}) = 0

Vậy tồn tại thời điểm $t_{0}$ với $v (t_{0}) = 60$ km/h.

Nhận xét. Nếu $h (t_{1}) = 0$ hoặc $h (t_{2}) = 0$ thì đó đã là thời điểm cần tìm; ngược lại $h (t_{1}) h (t_{2}) < 0$ và áp dụng tính chất của hàm liên tục trên đoạn nằm giữa $t_{1}$ , $t_{2}$ .

3Cách 3. Đồ thị vận tốc – thời gian

Định hướng. Quãng đường bằng diện tích phần nằm dưới đồ thị $v = v (t)$ , $0 \leq t \leq 3$ ; hình chữ nhật cao $60$ , rộng $3$ có diện tích đúng $180$ .

Diện tích dưới đồ thị

= 180 = 3 \cdot 60 =

diện tích hình chữ nhật dưới đường thẳng

v = 60

Đồ thị nằm hẳn trên đường

v = 60

\Rightarrow

diện tích

> 180

; nằm hẳn dưới

\Rightarrow

diện tích

< 180

\Rightarrow

đồ thị có điểm không nằm dưới và có điểm không nằm trên đường

v = 60

v

liên tục

\Rightarrow

đồ thị là đường liền

\Rightarrow

cắt đường thẳng

v = 60

tại

t_{0}

Vậy tại thời điểm $t_{0}$ đó, xe chạy với vận tốc $60$ km/h.

Nhận xét. Cả ba cách đều cần giả thiết vận tốc biến thiên liên tục; nếu vận tốc có thể “nhảy” từ $50$ lên $70$ km/h thì kết luận không còn chắc chắn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt

h (t) = v (t) - 60

, phản chứng hai trường hợp dấu rồi áp dụng tính chất của hàm liên tục — gọn và đúng trọng tâm bài học.

Đáp số. Có ít nhất một thời điểm

t_{0} \in [0; 3]

mà vận tốc của xe bằng

60

km/h.

Sai lầm thường gặp. Chỉ viết “vận tốc trung bình là

60

km/h nên có lúc xe chạy

60

km/h” — thiếu lập luận: phải dùng tính liên tục của

v (t)

. Lỗi khác: áp dụng tính chất cho

v (t)

với hai đầu

v (0)

v (3)

— hai giá trị này chưa biết là lớn hơn hay nhỏ hơn

60

🚀 Mở rộng. Tổng quát: xe đi quãng đường

S

trong thời gian

T

thì có lúc vận tốc tức thời bằng đúng

\frac{S}{T}

; ở lớp 12 kết quả này là hệ quả của định lí giá trị trung bình.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.14★★Trang 122— Dùng tính liên tục để tính giá trị tại điểm

Bài 5.14 (trang 122). Cho

f (x)

và

g (x)

là các hàm số liên tục tại

x = 1

. Biết

f (1) = 2

và

x \to 1 lim [2 f (x) - g (x)] = 3

. Tính

g (1)

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .
$lim [a f (x) - g (x)] = a lim f (x) - lim g (x)$ khi các giới hạn hữu hạn.

🧠 Phân tích tư duy

“Liên tục tại

x = 1

” cho phép thay giới hạn bằng giá trị:

x \to 1 lim f (x) = f (1)

x \to 1 lim g (x) = g (1)

. Khi đó giới hạn đã cho trở thành một phương trình bậc nhất với ẩn

g (1)

1Cách 1. Hàm

2 f - g

liên tục tại

1

Định hướng. Hiệu của hai hàm liên tục tại $1$ là hàm liên tục tại $1$ , nên giới hạn bằng giá trị.

x \to 1 lim [2 f (x) - g (x)] = 2 f (1) - g (1)

2 f (1) - g (1) = 3

2 \cdot 2 - g (1) = 3

g (1) = 4 - 3 = 1

Vậy $g (1) = 1$ .

2Cách 2. Tách giới hạn để tìm

lim g (x)

Định hướng. Viết $g (x) = 2 f (x) - [2 f (x) - g (x)]$ , cả hai thành phần đều có giới hạn hữu hạn.

x \to 1 lim g (x) = 2 x \to 1 lim f (x) - x \to 1 lim [2 f (x) - g (x)] = 2 \cdot 2 - 3 = 1

g

liên tục tại

1 \Rightarrow g (1) = x \to 1 lim g (x) = 1

Vậy $g (1) = 1$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa bằng dãy số

Định hướng. Lấy dãy $x_{n} \to 1$ ; tính liên tục chuyển thành $f (x_{n}) \to f (1)$ , $g (x_{n}) \to g (1)$ .

x_{n} \to 1 \Rightarrow f (x_{n}) \to 2

g (x_{n}) \to g (1)

\Rightarrow 2 f (x_{n}) - g (x_{n}) \to 4 - g (1)

4 - g (1) = 3 \Rightarrow g (1) = 1

Vậy $g (1) = 1$ .

Nhận xét. Nếu bỏ giả thiết $g$ liên tục tại $1$ thì chỉ biết $x \to 1 lim g (x) = 1$ , còn $g (1)$ có thể là số bất kì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng

2 f (1) - g (1) = 3

là ra đáp số.

Đáp số.

g (1) = 1

Sai lầm thường gặp. Viết

2 f (1) - g (1) = 3

thành

2 - g (1) = 3

(quên nhân

2

) nên ra

g (1) = - 1

. Lỗi khác: không nêu lí do được thay giới hạn bằng giá trị (tính liên tục tại

1

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{g ( x ) + k} = 1

thì

\frac{2}{1 + k} = 1

, suy ra

k = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.15★★Trang 122— Xét tính liên tục trên tập xác định

Bài 5.15 (trang 122). Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 5 x + 6}

;
b)

f (x) = {1 + x^{2} 4 - x khi x < 1 khi x \geq 1.

Kiến thức cần nhớ

Phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là phân thức hữu tỉ: liên tục trên tập xác định, chỉ cần tìm nghiệm của mẫu. Câu b) mỗi công thức là đa thức nên chỉ cần kiểm tra điểm nối

x = 1

bằng hai giới hạn một bên. Bẫy ở b):

1 + 1^{2} = 2

còn

4 - 1 = 3

, hai công thức không “nối” nhau.

1Cách 1. Tập xác định và giới hạn một bên tại điểm nối

Định hướng. a) tìm nghiệm của mẫu; b) đa thức ở mỗi phía, kiểm tra riêng $x = 1$ .

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = - 2

và

x \neq = - 3

D = (- \infty; - 3) \cup (- 3; - 2) \cup (- 2; + \infty)

D = R

; trên

(- \infty; 1)

f (x) = 1 + x^{2}

, trên

(1; + \infty)

f (x) = 4 - x

là đa thức

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim (1 + x^{2}) = 2

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim (4 - x) = 3 = f (1)

2 \neq = 3 \Rightarrow

không tồn tại

x \to 1 lim f (x)

Vậy a) $f$ liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 3)$ , $(- 3; - 2)$ , $(- 2; + \infty)$ . b) $f$ liên tục trên $(- \infty; 1)$ và $[1; + \infty)$ , gián đoạn tại $x = 1$ , nên không liên tục trên tập xác định $R$ .

2Cách 2. Tính chất tổng, hiệu, tích, thương

Định hướng. Dựng $f$ từ các hàm liên tục quen thuộc và chỉ ra chỗ tính chất không còn áp dụng được.

x

và

(x + 2) (x + 3)

liên tục trên

R

; thương liên tục tại

x_{0}

khi

(x_{0} + 2) (x_{0} + 3) \neq = 0

\Rightarrow f

liên tục tại mọi

x_{0} \neq = - 2

x_{0} \neq = - 3

x_{0} < 1

: gần

x_{0}

có

f (x) = 1 + x^{2}

\Rightarrow f

liên tục tại

x_{0}

;

x_{0} > 1

f (x) = 4 - x

\Rightarrow f

liên tục tại

x_{0}

x_{n} = 1 - \frac{1}{n} \to 1

f (x_{n}) = 1 + (1 - \frac{1}{n})^{2} \to 2 \neq = 3 = f (1)

\Rightarrow f

gián đoạn tại

1

Vậy a) liên tục trên $(- \infty; - 3)$ , $(- 3; - 2)$ , $(- 2; + \infty)$ ; b) liên tục trên $(- \infty; 1)$ và $[1; + \infty)$ , gián đoạn tại $x = 1$ .

3Cách 3. Đọc đồ thị

Định hướng. a) đồ thị có hai tiệm cận đứng $x = - 3$ , $x = - 2$ ; b) đồ thị gồm nhánh parabol và tia thẳng.

x \to - 3^{-} lim f (x) = + \infty

x \to - 2^{+} lim f (x) = - \infty

: đồ thị bị đứt tại

x = - 3

x = - 2

và liền trên từng khoảng còn lại

b) nhánh

y = 1 + x^{2}

(

x < 1

) dần tới điểm rỗng

(1; 2)

tia

y = 4 - x

(

x \geq 1

) bắt đầu từ điểm

(1; 3)

\Rightarrow

đồ thị nhảy từ độ cao

2

lên độ cao

3

tại

x = 1

Vậy a) liên tục trên $(- \infty; - 3)$ , $(- 3; - 2)$ , $(- 2; + \infty)$ ; b) gián đoạn tại $x = 1$ , liên tục trên $(- \infty; 1)$ và $[1; + \infty)$ .

Nhận xét. Ở b) nếu đổi $4 - x$ thành $3 - x$ thì hai giới hạn một bên cùng bằng $2 = f (1)$ và hàm liên tục trên cả $R$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) chỉ là tìm tập xác định, câu b) chỉ cần tính hai giới hạn một bên tại

x = 1

Đáp số. a)

f

liên tục trên

(- \infty; - 3)

(- 3; - 2)

(- 2; + \infty)

. b)

f

liên tục trên

(- \infty; 1)

và

[1; + \infty)

, gián đoạn tại

x = 1

(không liên tục trên

R

Sai lầm thường gặp. Ở a) tách sai

x^{2} + 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

nên ra hai điểm

2

và

3

— thử lại:

2^{2} + 5 \cdot 2 + 6 = 20 \neq = 0

. Ở b) chỉ so

x \to 1^{+} lim f (x) = f (1) = 3

rồi kết luận liên tục, bỏ sót giới hạn trái bằng

2

🚀 Mở rộng. Tìm

a

để

f (x) = 1 + x^{2}

khi

x < 1

f (x) = a - x

khi

x \geq 1

liên tục trên

R

: cần

2 = a - 1

, tức

a = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.16★★Trang 122— Tìm tham số để hàm nhiều công thức liên tục

Bài 5.16 (trang 122). Tìm giá trị của tham số

m

để hàm số

f (x) = {sin x - x + m khi x \geq 0 khi x < 0

liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$y = sin x$ và các đa thức liên tục trên $R$ .
$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trên

(0; + \infty)

hàm là

sin x

, trên

(- \infty; 0)

là đa thức

- x + m

, đều liên tục với mọi

m

. Vậy chỉ còn điều kiện tại điểm nối

x = 0

: giới hạn trái

m

phải bằng

f (0) = sin 0 = 0

1Cách 1. Điều kiện tại điểm nối

Định hướng. Liên tục trên hai khoảng đã có sẵn; đặt điều kiện liên tục tại $x = 0$ .

f (0) = sin 0 = 0

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim sin x = 0

x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim (- x + m) = m

f

liên tục tại

0 \Leftrightarrow m = 0

Vậy $m = 0$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa bằng dãy số

Định hướng. Chọn một dãy dần tới $0$ từ bên trái để lộ ra $m$ .

x_{n} = - \frac{1}{n} \to 0

f (x_{n}) = \frac{1}{n} + m \to m

f

liên tục tại

0 \Rightarrow m = f (0) = 0

m = 0

f (x) = - x

(

x < 0

∣ f (x) ∣ \leq ∣ x ∣

với mọi

x

\Rightarrow x \to 0 lim f (x) = 0 = f (0)

Vậy $m = 0$ .

Nhận xét. Dòng cuối kiểm tra ngược: với $m = 0$ thì $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ và $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ nên $f$ bị kẹp về $0$ .

3Cách 3. Nối đồ thị

Định hướng. Đồ thị liền nét tại $x = 0$ khi tia $y = - x + m$ đi tới đúng điểm mà đường sin bắt đầu.

y = sin x

(

x \geq 0

) bắt đầu từ

O (0; 0)

tia

y = - x + m

(

x < 0

) dần tới điểm

(0; m)

trên trục tung
liền nét

\Leftrightarrow (0; m) \equiv O (0; 0) \Leftrightarrow m = 0

Vậy $m = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng

f (0)

, giới hạn phải, giới hạn trái rồi cho bằng nhau.

Đáp số.

m = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

x \to 0^{-} lim (- x + m) = - m

(đổi dấu nhầm cả

m

) — kết quả vẫn ra

m = 0

nên lỗi bị che, nhưng nếu

f (0) = 1

thì sẽ sai. Lỗi khác: quên kiểm tra tính liên tục trên hai khoảng

(- \infty; 0)

và

(0; + \infty)

🚀 Mở rộng. Với

f (x) = cos x

khi

x \geq 0

và

f (x) = - x + m

khi

x < 0

thì cần

m = cos 0 = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.17★★★Trang 122— Lập hàm nhiều công thức từ bài toán thực tế và xét tính liên tục

Bài 5.17 (trang 122). Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
• Giá mở cửa (

0, 5

km đầu):

10000

đồng;
• Giá cước các km tiếp theo đến

30

km:

13500

đồng;
• Giá cước từ km thứ

31

11000

đồng.
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Đa thức liên tục trên $R$ .
$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Hàm liên tục trên một khoảng thì đồ thị là đường liền.

🧠 Phân tích tư duy

Giá cước chia ba khúc theo quãng đường:

0 < x \leq 0, 5

0, 5 < x \leq 30

x > 30

. Ở mỗi khúc tiền

=

tiền đã tích luỹ tới mốc

+

đơn giá

\times

số km vượt mốc, nên mỗi công thức là đa thức bậc không hoặc bậc nhất. Chỉ cần kiểm tra hai điểm nối

x = 0, 5

và

x = 30

. Bẫy: tính

13500 x

cho cả khúc giữa mà quên trừ

0, 5

km đầu.

1Cách 1. Lập công thức rồi xét giới hạn một bên

Định hướng. Gọi $x$ (km) là quãng đường, $f (x)$ (đồng) là số tiền phải trả, $x > 0$ .

0 < x \leq 0, 5

f (x) = 10000

0, 5 < x \leq 30

f (x) = 10000 + 13500 (x - 0, 5) = 13500 x + 3250

x > 30

f (x) = 10000 + 13500 \cdot 29, 5 + 11000 (x - 30) = 408250 + 11000 x - 330000 = 11000 x + 78250

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 10000 13500 x + 3250 11000 x + 78250 khi 0 < x \leq 0, 5 khi 0, 5 < x \leq 30 khi x > 30

x \to 0, 5^{-} lim f (x) = 10000 = f (0, 5)

;

x \to 0, 5^{+} lim f (x) = 13500 \cdot 0, 5 + 3250 = 10000

x \to 3 0^{-} lim f (x) = 13500 \cdot 30 + 3250 = 408250 = f (30)

;

x \to 3 0^{+} lim f (x) = 11000 \cdot 30 + 78250 = 408250

\Rightarrow f

liên tục tại

x = 0, 5

và

x = 30

; trên mỗi khoảng

f

là đa thức

Vậy a) hàm số như trên; b) $f$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

2Cách 2. Viết mỗi khúc dạng “giá trị tại mốc

+

đơn giá

\times

phần vượt”

Định hướng. Nếu công thức của khúc sau bắt đầu bằng đúng giá trị của khúc trước tại mốc thì hai khúc tự khớp nhau.

f (x) = 10000 + 13500 (x - 0, 5)

khi

0, 5 < x \leq 30

: tại

x = 0, 5

cho

10000 + 0 = 10000

f (30) = 10000 + 13500 \cdot 29, 5 = 408250

f (x) = 408250 + 11000 (x - 30)

khi

x > 30

: tại

x = 30

cho

408250 + 0 = f (30)

\Rightarrow

mỗi khúc là đa thức và giá trị hai bên mỗi mốc trùng nhau

Vậy $f$ liên tục tại mọi $x > 0$ , tức là liên tục trên $(0; + \infty)$ .

Nhận xét. Cách viết này cho thấy vì sao hàm cước taxi luôn liên tục: tiền chỉ được cộng dồn thêm theo số km, không có khoản phí “nhảy bậc” nào tại các mốc.

3Cách 3. Đồ thị gấp khúc

Định hướng. Đồ thị gồm một đoạn nằm ngang và hai đoạn/tia thẳng có hệ số góc $13500$ và $11000$ .

đoạn ngang

y = 10000

trên

(0; 0, 5]

kết thúc tại

A (0, 5; 10000)

đoạn

y = 13500 x + 3250

đi từ

A

đến

B (30; 408250)

tia

y = 11000 x + 78250

xuất phát từ

B

\Rightarrow

các mảnh nối đầu nhau tại

A

và

B

: đường gấp khúc liền

Vậy đồ thị là một đường liền trên $(0; + \infty)$ nên $f$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết ba công thức rút gọn, rồi kiểm tra hai điểm nối bằng giới hạn một bên — đúng khuôn bài xét tính liên tục của hàm nhiều công thức.

Đáp số. a)

f (x) = 10000

khi

0 < x \leq 0, 5

;

f (x) = 13500 x + 3250

khi

0, 5 < x \leq 30

;

f (x) = 11000 x + 78250

khi

x > 30

(đồng). b)

f

liên tục trên

(0; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Viết khúc giữa là

13500 x

(quên trừ

0, 5

km đã tính trong giá mở cửa) thì

x \to 0, 5^{+} lim f (x) = 6750 \neq = 10000

— sai thành “gián đoạn”. Lỗi khác: tính khúc cuối là

11000 x

cho toàn bộ quãng đường.

🚀 Mở rộng. Nếu hãng tính khúc cuối là

11000 x

cho cả quãng đường khi

x > 30

thì tại

x = 30

tiền giảm đột ngột từ

408250

xuống

330000

đồng — hàm gián đoạn, và khách đi

31

km trả ít hơn khách đi

30

km.

Mở bài này trong app ↗