Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang6–7 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.1★Trang 6— Tính căn bậc

n

và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Bài 6.1 (trang 6). Tính:
a)

3 - 27

; b)

2 5^{\frac{3}{2}}

; c)

3 2^{- \frac{2}{5}}

; d)

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}

Kiến thức cần nhớ

Với $n$ lẻ thì $n a^{n} = a$ với mọi số thực $a$ .
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ và $a^{- r} = \frac{1}{a ^{r}}$ với $a > 0$ .
$27 = 3^{3}$ , $25 = 5^{2}$ , $32 = 2^{5}$ , $8 = 2^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn cơ số

27

25

32

\frac{27}{8}

đều là luỹ thừa đúng của một số nguyên nhỏ, đó là dấu hiệu để hạ cơ số về

3

5

hoặc

2

rồi nhân số mũ. Mẫu số của số mũ cho biết phải khai căn bậc mấy: bậc

3

ở câu a và d, bậc

2

ở câu b, bậc

5

ở câu c. Bẫy ở câu a là cơ số âm nên không được viết dưới dạng số mũ hữu tỉ; phải giữ kí hiệu căn bậc ba.

1Cách 1. Hạ cơ số về luỹ thừa của số nguyên tố

Định hướng. Viết mỗi cơ số thành $3^{k}$ , $5^{k}$ hay $2^{k}$ rồi nhân hai số mũ, không phải khai căn số nào.

3 - 27 = 3 (- 3)^{3} = - 3

2 5^{\frac{3}{2}} = (5^{2})^{\frac{3}{2}} = 5^{3} = 125

3 2^{- \frac{2}{5}} = (2^{5})^{- \frac{2}{5}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = [(\frac{3}{2})^{3}]^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

Vậy bốn kết quả lần lượt là $- 3$ ; $125$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{9}{4}$ .

2Cách 2. Diễn giải qua căn bậc

n

Định hướng. Dùng đúng định nghĩa $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ để mọi câu đều trở thành một phép khai căn.

3 - 27 = - 327 = - 3

2 5^{\frac{3}{2}} = 2 5^{3} = 15625 = 125

3 2^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{5 3 2 ^{2}} = \frac{1}{5 1024} = \frac{1}{4}

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = 3 (\frac{27}{8})^{2} = 3 \frac{729}{64} = \frac{9}{4}

Vậy $3 - 27 = - 3$ ; $2 5^{\frac{3}{2}} = 125$ ; $3 2^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{4}$ ; $(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = \frac{9}{4}$ .

3Cách 3. Kiểm chứng ngược bằng phép nâng luỹ thừa

Định hướng. Đoán kết quả rồi nâng lên đúng bậc của căn; trùng với số dưới căn thì kết quả chắc chắn đúng.

(- 3)^{3} = - 27

nên

3 - 27 = - 3

12 5^{\frac{2}{3}} = 25

nên

2 5^{\frac{3}{2}} = 125

(\frac{1}{4})^{- \frac{5}{2}} = 4^{\frac{5}{2}} = 32

nên

3 2^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{4}

(\frac{9}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{27}{8}

nên

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = \frac{9}{4}

Vậy các giá trị cần tìm là $- 3$ ; $125$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Nhận xét. Cách 2 phải tính những số khá lớn như $15625$ và $1024$ , nên khi thi vẫn nên hạ cơ số theo Cách 1 rồi mới nhân số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hạ cơ số về

2

3

5

thì mọi phép tính chỉ còn là nhân hai số mũ, nhanh nhất và không phải nhớ bảng luỹ thừa lớn.

Đáp số. a)

- 3

. b)

125

. c)

\frac{1}{4}

. d)

\frac{9}{4}

Sai lầm thường gặp. Viết

3 - 27 = (- 27)^{\frac{1}{3}}

rồi bấm máy — nhiều máy báo lỗi vì cơ số âm không được phép dùng số mũ hữu tỉ; phải tách dấu trừ ra ngoài trước. Lỗi thứ hai là hiểu

3 2^{- \frac{2}{5}}

thành số âm

- \frac{1}{4}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm:

(\frac{125}{64})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

; tổng quát

(\frac{a ^{n}}{b ^{n}})^{\frac{m}{n}} = \frac{a ^{m}}{b ^{m}}

với

a

b > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.2★★★Trang 6— Xác định vị trí của cơ số so với

1

từ một bất đẳng thức luỹ thừa

Bài 6.2 (trang 6). So sánh cơ số

a

(a > 0)

với

1

, biết rằng:
a)

a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{5}{6}}

; b)

a^{\frac{11}{6}} < a^{\frac{15}{8}}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a > 1$ thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi $m > n$ .
Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi $m < n$ .
Với $a > 0$ thì $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , và $a^{k} > 1$ với $k > 0$ khi và chỉ khi $a > 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài đi ngược so với dạng quen thuộc: bình thường biết cơ số rồi so sánh luỹ thừa, ở đây biết chiều của luỹ thừa mà phải suy ra cơ số. Chìa khoá là so sánh hai số mũ trước; nếu chiều của luỹ thừa cùng chiều với số mũ thì

a > 1

, ngược chiều thì

0 < a < 1

. Bẫy là so sánh nhầm hai phân số, chẳng hạn thấy

11 < 15

mà vội kết luận

\frac{11}{6} < \frac{15}{8}

— may là đúng, nhưng lập luận sai vì hai mẫu số khác nhau.

1Cách 1. So sánh hai số mũ bằng cách đưa về cùng mẫu số

Định hướng. Viết hai số mũ trên cùng một mẫu số để so sánh, rồi đối chiếu chiều của số mũ với chiều của luỹ thừa đề cho.

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

và

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

\frac{9}{12} < \frac{10}{12}

nên

\frac{3}{4} < \frac{5}{6}

Số mũ nhỏ hơn mà luỹ thừa lại lớn hơn

0 < a < 1

\frac{11}{6} = \frac{44}{24}

và

\frac{15}{8} = \frac{45}{24}

\frac{44}{24} < \frac{45}{24}

nên

\frac{11}{6} < \frac{15}{8}

Số mũ nhỏ hơn và luỹ thừa cũng nhỏ hơn

a > 1

Vậy a) $0 < a < 1$ ; b) $a > 1$ .

2Cách 2. Lập tỉ số hai luỹ thừa

Định hướng. Chia hai vế cho nhau để chỉ còn một luỹ thừa duy nhất của $a$ , rồi so sánh nó với $1$ .

\frac{a ^{\frac{3}{4}}}{a ^{\frac{5}{6}}} > 1

a^{\frac{3}{4} - \frac{5}{6}} > 1

a^{- \frac{1}{12}} > 1

Số mũ

- \frac{1}{12}

âm mà luỹ thừa lớn hơn

1

nên

0 < a < 1

\frac{a ^{\frac{11}{6}}}{a ^{\frac{15}{8}}} < 1

a^{\frac{11}{6} - \frac{15}{8}} < 1

a^{- \frac{1}{24}} < 1

Số mũ

- \frac{1}{24}

âm mà luỹ thừa nhỏ hơn

1

nên

a > 1

Vậy a) $0 < a < 1$ ; b) $a > 1$ .

3Cách 3. Loại trừ bằng phản ví dụ số

Định hướng. Chỉ có hai khả năng là $a > 1$ hoặc $0 < a < 1$ (loại $a = 1$ vì khi đó hai vế bằng nhau), nên thử một số ở mỗi khả năng là biết ngay.

a) Thử

a = 16 > 1

1 6^{\frac{3}{4}} = 8

và

1 6^{\frac{5}{6}} \approx 10, 08

nên

1 6^{\frac{3}{4}} < 1 6^{\frac{5}{6}}

— trái đề, loại
Thử

a = \frac{1}{16} < 1

(\frac{1}{16})^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8}

và

(\frac{1}{16})^{\frac{5}{6}} \approx 0, 099

nên vế trái lớn hơn — đúng đề

0 < a < 1

b) Thử

a = \frac{1}{2} < 1

: số mũ

\frac{11}{6} < \frac{15}{8}

cho

(\frac{1}{2})^{\frac{11}{6}} > (\frac{1}{2})^{\frac{15}{8}}

— trái đề, loại

a > 1

Vậy câu a cho $0 < a < 1$ , câu b cho $a > 1$ .

Nhận xét. Trường hợp $a = 1$ luôn phải loại ngay từ đầu vì khi đó mọi luỹ thừa đều bằng $1$ , không thể có dấu lớn hơn hay bé hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần hai dòng so sánh phân số rồi đối chiếu chiều; Cách 2 tuy đẹp nhưng dễ sai dấu khi trừ hai phân số.

Đáp số. a)

0 < a < 1

. b)

a > 1

Sai lầm thường gặp. So sánh hai phân số bằng cách nhìn tử số, chẳng hạn kết luận

\frac{3}{4} > \frac{5}{6}

là sai vì

\frac{3}{4} = 0, 75

còn

\frac{5}{6} \approx 0, 833

. Lỗi thứ hai là quên loại trường hợp

a = 1

rồi trả lời

a \leq 1

ở câu a.

🚀 Mở rộng. Thử bài cùng dạng khó hơn: biết

a^{2} < a^{3}

thì kết luận gì về

a

? Vì

2 < 3

và luỹ thừa cùng chiều với số mũ nên

a > 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.3★★Trang 6— Rút gọn biểu thức chứa căn bậc

n

của biểu thức đại số

Bài 6.3 (trang 6). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

5 32 x^{15} y^{20}

; b)

6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x

Kiến thức cần nhớ

$n a \cdot n b = n ab$ .
Với $n$ lẻ thì $n A^{n} = A$ với mọi biểu thức $A$ .
$32 = 2^{5}$ , $x^{15} = (x^{3})^{5}$ , $y^{20} = (y^{4})^{5}$ và $9 \cdot 24 = 216 = 6^{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.4★★Trang 6— Thu gọn tổng đại số các căn thức đồng dạng

Bài 6.4 (trang 6). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

212 - 327 + 248

;
b)

8 x y - 25 x^{2} y^{2} + 3 8 x^{3} y^{3}

(x > 0, y > 0)

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} B = ∣ A ∣ B$ với $B \geq 0$ ; khi $A > 0$ thì $∣ A ∣ = A$ .
$3 A^{3} = A$ với mọi số thực $A$ .
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $27 = 3^{2} \cdot 3$ , $48 = 4^{2} \cdot 3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.5★★★Trang 6— Rút gọn biểu thức luỹ thừa với số mũ thực của cơ số dương

Bài 6.5 (trang 6). Cho

a

là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(a^{6})^{24}

; b)

a^{2} (\frac{1}{a})^{2 - 1}

; c)

a^{- 3} : a^{(3 - 1)^{2}}

; d)

3 a \cdot 4 a \cdot 12 a^{5}

Kiến thức cần nhớ

Với $a > 0$ : $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .
$\frac{1}{a} = a^{- 1}$ nên $(\frac{1}{a})^{k} = a^{- k}$ .
$n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ với $a > 0$ , và $(3 - 1)^{2} = 4 - 23$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.6★★★★Trang 7— Rút gọn biểu thức phức chứa luỹ thừa số mũ hữu tỉ

Bài 6.6 (trang 7). Cho

a

và

b

là hai số dương,

a \neq = b

. Rút gọn biểu thức sau:

A = \frac{a - b}{a ^{\frac{3}{4}} + a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{4}}} - \frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}} : a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}

Kiến thức cần nhớ

$u^{4} - v^{4} = (u^{2} - v^{2}) (u^{2} + v^{2}) = (u - v) (u + v) (u^{2} + v^{2})$ .
$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}} a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}$ .
$a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.7★★Trang 7— Tính giá trị của mô hình tăng trưởng vi khuẩn dạng luỹ thừa

Bài 6.7 (trang 7). Giả sử một lọ nuôi cấy có

100

con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi

2

giờ. Khi đó số vi khuẩn

N

t

(giờ) sẽ là

N = 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}}

(con). Hỏi sau

3 \frac{1}{2}

giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Kiến thức cần nhớ

$3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ nên $\frac{t}{2} = \frac{7}{4}$ .
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ với $a > 0$ và $2^{\frac{7}{4}} = 4128 \approx 3, 3636$ .
Số cá thể phải là số nguyên nên kết quả cần làm tròn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.8★★Trang 7— Tính giá trị của công thức vật lí chứa căn bậc hai

Bài 6.8 (trang 7). Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài

L

(tính bằng mét) được cho bởi

T = 2 π \frac{L}{9 , 8}

. Nếu một con lắc có chiều dài

19, 6

m, hãy tính chu kì

T

của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

$\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ với $A \geq 0$ , $B > 0$ .
$\frac{19 , 6}{9 , 8} = 2$ và $2 \approx 1, 4142$ .
$π \approx 3, 1416$ nên $2 π \approx 6, 2832$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.9★★★Trang 7— Biểu diễn và tính giá trị từ một quan hệ luỹ thừa trong thiên văn

Bài 6.9 (trang 7). Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo

p

(tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn

d

(tính bằng đơn vị thiên văn AU).
a) Tính

p

theo

d

.
b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là

29, 46

năm Trái Đất, hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến thức cần nhớ

Định luật thứ ba của Kepler: $p^{2} = d^{3}$ với $p$ , $d$ là các số dương.
Từ $p^{2} = d^{3}$ suy ra $p = d^{\frac{3}{2}} = d^{3}$ và $d = p^{\frac{2}{3}} = 3 p^{2}$ .
Nâng hai vế dương lên cùng một luỹ thừa thì đẳng thức không đổi.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.10★★Trang 7— Tính giá trị hàm số chứa căn bậc ba trong bài toán thực tế

Bài 6.10 (trang 7). Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là

d = 3 6 t^{2}

, trong đó

d

là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và

t

là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).
(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)
a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là

687

ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?
b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có

365

ngày).
(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

$3 A = A^{\frac{1}{3}}$ với $A > 0$ và $3 6 t^{2} = 6^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}$ .
Trong $3 6 t^{2}$ , luỹ thừa được thực hiện trước phép nhân.
$68 7^{2} = 471969$ và $36 5^{2} = 133225$ .