Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.1★Trang 6— Tính căn bậc

n

và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Bài 6.1 (trang 6). Tính:
a)

3 - 27

; b)

2 5^{\frac{3}{2}}

; c)

3 2^{- \frac{2}{5}}

; d)

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}

Kiến thức cần nhớ

Với $n$ lẻ thì $n a^{n} = a$ với mọi số thực $a$ .
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ và $a^{- r} = \frac{1}{a ^{r}}$ với $a > 0$ .
$27 = 3^{3}$ , $25 = 5^{2}$ , $32 = 2^{5}$ , $8 = 2^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn cơ số

27

25

32

\frac{27}{8}

đều là luỹ thừa đúng của một số nguyên nhỏ, đó là dấu hiệu để hạ cơ số về

3

5

hoặc

2

rồi nhân số mũ. Mẫu số của số mũ cho biết phải khai căn bậc mấy: bậc

3

ở câu a và d, bậc

2

ở câu b, bậc

5

ở câu c. Bẫy ở câu a là cơ số âm nên không được viết dưới dạng số mũ hữu tỉ; phải giữ kí hiệu căn bậc ba.

1Cách 1. Hạ cơ số về luỹ thừa của số nguyên tố

Định hướng. Viết mỗi cơ số thành $3^{k}$ , $5^{k}$ hay $2^{k}$ rồi nhân hai số mũ, không phải khai căn số nào.

3 - 27 = 3 (- 3)^{3} = - 3

2 5^{\frac{3}{2}} = (5^{2})^{\frac{3}{2}} = 5^{3} = 125

3 2^{- \frac{2}{5}} = (2^{5})^{- \frac{2}{5}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = [(\frac{3}{2})^{3}]^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

Vậy bốn kết quả lần lượt là $- 3$ ; $125$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{9}{4}$ .

2Cách 2. Diễn giải qua căn bậc

n

Định hướng. Dùng đúng định nghĩa $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ để mọi câu đều trở thành một phép khai căn.

3 - 27 = - 327 = - 3

2 5^{\frac{3}{2}} = 2 5^{3} = 15625 = 125

3 2^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{5 3 2 ^{2}} = \frac{1}{5 1024} = \frac{1}{4}

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = 3 (\frac{27}{8})^{2} = 3 \frac{729}{64} = \frac{9}{4}

Vậy $3 - 27 = - 3$ ; $2 5^{\frac{3}{2}} = 125$ ; $3 2^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{4}$ ; $(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = \frac{9}{4}$ .

3Cách 3. Kiểm chứng ngược bằng phép nâng luỹ thừa

Định hướng. Đoán kết quả rồi nâng lên đúng bậc của căn; trùng với số dưới căn thì kết quả chắc chắn đúng.

(- 3)^{3} = - 27

nên

3 - 27 = - 3

12 5^{\frac{2}{3}} = 25

nên

2 5^{\frac{3}{2}} = 125

(\frac{1}{4})^{- \frac{5}{2}} = 4^{\frac{5}{2}} = 32

nên

3 2^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{4}

(\frac{9}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{27}{8}

nên

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = \frac{9}{4}

Vậy các giá trị cần tìm là $- 3$ ; $125$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Nhận xét. Cách 2 phải tính những số khá lớn như $15625$ và $1024$ , nên khi thi vẫn nên hạ cơ số theo Cách 1 rồi mới nhân số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hạ cơ số về

2

3

5

thì mọi phép tính chỉ còn là nhân hai số mũ, nhanh nhất và không phải nhớ bảng luỹ thừa lớn.

Đáp số. a)

- 3

. b)

125

. c)

\frac{1}{4}

. d)

\frac{9}{4}

Sai lầm thường gặp. Viết

3 - 27 = (- 27)^{\frac{1}{3}}

rồi bấm máy — nhiều máy báo lỗi vì cơ số âm không được phép dùng số mũ hữu tỉ; phải tách dấu trừ ra ngoài trước. Lỗi thứ hai là hiểu

3 2^{- \frac{2}{5}}

thành số âm

- \frac{1}{4}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm:

(\frac{125}{64})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

; tổng quát

(\frac{a ^{n}}{b ^{n}})^{\frac{m}{n}} = \frac{a ^{m}}{b ^{m}}

với

a

b > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.2★★★Trang 6— Xác định vị trí của cơ số so với

1

từ một bất đẳng thức luỹ thừa

Bài 6.2 (trang 6). So sánh cơ số

a

(a > 0)

với

1

, biết rằng:
a)

a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{5}{6}}

; b)

a^{\frac{11}{6}} < a^{\frac{15}{8}}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a > 1$ thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi $m > n$ .
Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi $m < n$ .
Với $a > 0$ thì $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , và $a^{k} > 1$ với $k > 0$ khi và chỉ khi $a > 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài đi ngược so với dạng quen thuộc: bình thường biết cơ số rồi so sánh luỹ thừa, ở đây biết chiều của luỹ thừa mà phải suy ra cơ số. Chìa khoá là so sánh hai số mũ trước; nếu chiều của luỹ thừa cùng chiều với số mũ thì

a > 1

, ngược chiều thì

0 < a < 1

. Bẫy là so sánh nhầm hai phân số, chẳng hạn thấy

11 < 15

mà vội kết luận

\frac{11}{6} < \frac{15}{8}

— may là đúng, nhưng lập luận sai vì hai mẫu số khác nhau.

1Cách 1. So sánh hai số mũ bằng cách đưa về cùng mẫu số

Định hướng. Viết hai số mũ trên cùng một mẫu số để so sánh, rồi đối chiếu chiều của số mũ với chiều của luỹ thừa đề cho.

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

và

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

\frac{9}{12} < \frac{10}{12}

nên

\frac{3}{4} < \frac{5}{6}

Số mũ nhỏ hơn mà luỹ thừa lại lớn hơn

0 < a < 1

\frac{11}{6} = \frac{44}{24}

và

\frac{15}{8} = \frac{45}{24}

\frac{44}{24} < \frac{45}{24}

nên

\frac{11}{6} < \frac{15}{8}

Số mũ nhỏ hơn và luỹ thừa cũng nhỏ hơn

a > 1

Vậy a) $0 < a < 1$ ; b) $a > 1$ .

2Cách 2. Lập tỉ số hai luỹ thừa

Định hướng. Chia hai vế cho nhau để chỉ còn một luỹ thừa duy nhất của $a$ , rồi so sánh nó với $1$ .

\frac{a ^{\frac{3}{4}}}{a ^{\frac{5}{6}}} > 1

a^{\frac{3}{4} - \frac{5}{6}} > 1

a^{- \frac{1}{12}} > 1

Số mũ

- \frac{1}{12}

âm mà luỹ thừa lớn hơn

1

nên

0 < a < 1

\frac{a ^{\frac{11}{6}}}{a ^{\frac{15}{8}}} < 1

a^{\frac{11}{6} - \frac{15}{8}} < 1

a^{- \frac{1}{24}} < 1

Số mũ

- \frac{1}{24}

âm mà luỹ thừa nhỏ hơn

1

nên

a > 1

Vậy a) $0 < a < 1$ ; b) $a > 1$ .

3Cách 3. Loại trừ bằng phản ví dụ số

Định hướng. Chỉ có hai khả năng là $a > 1$ hoặc $0 < a < 1$ (loại $a = 1$ vì khi đó hai vế bằng nhau), nên thử một số ở mỗi khả năng là biết ngay.

a) Thử

a = 16 > 1

1 6^{\frac{3}{4}} = 8

và

1 6^{\frac{5}{6}} \approx 10, 08

nên

1 6^{\frac{3}{4}} < 1 6^{\frac{5}{6}}

— trái đề, loại
Thử

a = \frac{1}{16} < 1

(\frac{1}{16})^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8}

và

(\frac{1}{16})^{\frac{5}{6}} \approx 0, 099

nên vế trái lớn hơn — đúng đề

0 < a < 1

b) Thử

a = \frac{1}{2} < 1

: số mũ

\frac{11}{6} < \frac{15}{8}

cho

(\frac{1}{2})^{\frac{11}{6}} > (\frac{1}{2})^{\frac{15}{8}}

— trái đề, loại

a > 1

Vậy câu a cho $0 < a < 1$ , câu b cho $a > 1$ .

Nhận xét. Trường hợp $a = 1$ luôn phải loại ngay từ đầu vì khi đó mọi luỹ thừa đều bằng $1$ , không thể có dấu lớn hơn hay bé hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần hai dòng so sánh phân số rồi đối chiếu chiều; Cách 2 tuy đẹp nhưng dễ sai dấu khi trừ hai phân số.

Đáp số. a)

0 < a < 1

. b)

a > 1

Sai lầm thường gặp. So sánh hai phân số bằng cách nhìn tử số, chẳng hạn kết luận

\frac{3}{4} > \frac{5}{6}

là sai vì

\frac{3}{4} = 0, 75

còn

\frac{5}{6} \approx 0, 833

. Lỗi thứ hai là quên loại trường hợp

a = 1

rồi trả lời

a \leq 1

ở câu a.

🚀 Mở rộng. Thử bài cùng dạng khó hơn: biết

a^{2} < a^{3}

thì kết luận gì về

a

? Vì

2 < 3

và luỹ thừa cùng chiều với số mũ nên

a > 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.3★★Trang 6— Rút gọn biểu thức chứa căn bậc

n

của biểu thức đại số

Bài 6.3 (trang 6). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

5 32 x^{15} y^{20}

; b)

6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x

Kiến thức cần nhớ

$n a \cdot n b = n ab$ .
Với $n$ lẻ thì $n A^{n} = A$ với mọi biểu thức $A$ .
$32 = 2^{5}$ , $x^{15} = (x^{3})^{5}$ , $y^{20} = (y^{4})^{5}$ và $9 \cdot 24 = 216 = 6^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Muốn rút gọn căn bậc

5

hay bậc

3

thì mọi thứ dưới căn phải trở thành luỹ thừa đúng bậc đó — đây là dấu hiệu duy nhất cần bám. Ở câu a, các số mũ

15

và

20

đều chia hết cho

5

và

32 = 2^{5}

nên khai căn ra hết. Ở câu b, hai căn cùng bậc

3

nên gộp lại trước rồi mới phân tích

9 \cdot 24 = 216 = 6^{3}

; nếu nhân rời từng căn thì sẽ không thấy được luỹ thừa đẹp này.

1Cách 1. Viết biểu thức dưới căn thành luỹ thừa đúng bậc

Định hướng. Câu a tách từng thừa số thành luỹ thừa bậc $5$ ; câu b gộp hai căn bậc ba vào một rồi tách thành luỹ thừa bậc $3$ .

5 32 x^{15} y^{20} = 5 2^{5} \cdot (x^{3})^{5} \cdot (y^{4})^{5}

= 5 (2 x^{3} y^{4})^{5}

= 2 x^{3} y^{4}

6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x = 18 3 9 x^{2} \cdot 24 x

= 18 3 216 x^{3}

= 18 3 (6 x)^{3}

= 18 \cdot 6 x

= 108 x

Vậy $5 32 x^{15} y^{20} = 2 x^{3} y^{4}$ và $6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x = 108 x$ .

2Cách 2. Tách căn của tích thành tích các căn

Định hướng. Xé nhỏ căn thức ra từng thừa số một, mỗi thừa số khai căn riêng rồi nhân lại.

5 32 x^{15} y^{20} = 532 \cdot 5 x^{15} \cdot 5 y^{20}

= 2 \cdot x^{3} \cdot y^{4}

= 2 x^{3} y^{4}

6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x = 18 \cdot 39 \cdot 3 x^{2} \cdot 324 \cdot 3 x

= 18 \cdot 3 9 \cdot 24 \cdot 3 x^{3}

= 18 \cdot 6 \cdot x

= 108 x

Vậy hai kết quả lần lượt là $2 x^{3} y^{4}$ và $108 x$ .

3Cách 3. Kiểm chứng ngược bằng phép nâng luỹ thừa

Định hướng. Nâng kết quả lên đúng bậc của căn, nếu ra lại biểu thức dưới căn thì phép rút gọn chính xác.

(2 x^{3} y^{4})^{5} = 2^{5} \cdot x^{15} \cdot y^{20} = 32 x^{15} y^{20}

5 32 x^{15} y^{20} = 2 x^{3} y^{4}

(\frac{108 x}{18})^{3} = (6 x)^{3} = 216 x^{3} = 9 x^{2} \cdot 24 x

6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x = 108 x

Vậy $5 32 x^{15} y^{20} = 2 x^{3} y^{4}$ và $6 3 9 x^{2} \cdot 3 3 24 x = 108 x$ .

Nhận xét. Cả hai căn ở đây đều bậc lẻ nên không cần dấu giá trị tuyệt đối; nếu đổi thành căn bậc chẵn thì kết quả câu a phải viết $2 ∣ x ∣^{3} y^{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp hai căn bậc ba vào một trước khi tính là mấu chốt của câu b, vì chỉ khi đó tích

9 \cdot 24 = 216 = 6^{3}

mới lộ ra.

Đáp số. a)

2 x^{3} y^{4}

. b)

108 x

Sai lầm thường gặp. Ở câu b nhân hệ số vào trong căn, viết

6 3 9 x^{2} = 3 54 x^{2}

(đúng phải là

3 216 \cdot 9 x^{2}

vì

6 = 3216

). Lỗi thứ hai là ở câu a chia số mũ cho

5

nhưng quên khai căn hệ số, viết

32 x^{3} y^{4}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm:

4 81 x^{8} y^{12} = 3 x^{2} ∣ y ∣^{3}

— chú ý dấu giá trị tuyệt đối vì bậc căn chẵn; tổng quát

n a^{n} x^{k n} = a x^{k}

khi

n

lẻ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.4★★Trang 6— Thu gọn tổng đại số các căn thức đồng dạng

Bài 6.4 (trang 6). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

212 - 327 + 248

;
b)

8 x y - 25 x^{2} y^{2} + 3 8 x^{3} y^{3}

(x > 0, y > 0)

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} B = ∣ A ∣ B$ với $B \geq 0$ ; khi $A > 0$ thì $∣ A ∣ = A$ .
$3 A^{3} = A$ với mọi số thực $A$ .
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $27 = 3^{2} \cdot 3$ , $48 = 4^{2} \cdot 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ở câu a, cả ba số

12

27

48

đều có thừa số chính phương và cùng còn lại

3

— dấu hiệu của các căn thức đồng dạng, chỉ cần đưa thừa số ra ngoài rồi cộng trừ hệ số. Ở câu b, điều kiện

x > 0

y > 0

được cho chính là để bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi khai căn bậc hai. Bẫy là cộng thẳng các số dưới căn, chẳng hạn viết

12 + 48 = 60

1Cách 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi thu gọn hệ số

Định hướng. Tách mỗi số dưới căn thành tích của một số chính phương với $3$ , khi đó cả ba hạng tử cùng chứa $3$ .

212 - 327 + 248

= 2 2^{2} \cdot 3 - 3 3^{2} \cdot 3 + 2 4^{2} \cdot 3

= 2 \cdot 23 - 3 \cdot 33 + 2 \cdot 43

= 43 - 93 + 83

= (4 - 9 + 8) 3

= 33

8 x y - 25 x^{2} y^{2} + 3 8 x^{3} y^{3}

= 8 x y - (5 x y)^{2} + 3 (2 x y)^{3}

= 8 x y - 5 x y + 2 x y

= 5 x y

Vậy a) $33$ ; b) $5 x y$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho phần căn thức

Định hướng. Đặt $t = 3$ ở câu a và $u = x y$ ở câu b thì cả hai biểu thức trở thành tổng đại số của những hạng tử đồng dạng.

a) Đặt

t = 3

, khi đó

t^{2} = 3

12 = 4 t^{2} = 2 t

;

27 = 9 t^{2} = 3 t

;

48 = 16 t^{2} = 4 t

212 - 327 + 248 = 4 t - 9 t + 8 t

= 3 t = 33

b) Đặt

u = x y > 0

25 x^{2} y^{2} = 25 u^{2} = 5 u

;

3 8 x^{3} y^{3} = 3 8 u^{3} = 2 u

8 x y - 25 x^{2} y^{2} + 3 8 x^{3} y^{3} = 8 u - 5 u + 2 u

= 5 u = 5 x y

Vậy hai kết quả lần lượt là $33$ và $5 x y$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng giá trị số

Định hướng. Thay một bộ số cụ thể vào cả biểu thức gốc và kết quả rút gọn để chắc chắn không sai hệ số.

3 \approx 1, 7321

212 \approx 6, 9282

;

327 \approx 15, 5885

;

248 \approx 13, 8564

6, 9282 - 15, 5885 + 13, 8564 \approx 5, 1961

33 \approx 5, 1962

b) Lấy

x = 2

y = 3

nên

x y = 6

8 \cdot 6 - 25 \cdot 36 + 3 8 \cdot 216 = 48 - 30 + 12 = 30

5 x y = 5 \cdot 6 = 30

Vậy $212 - 327 + 248 = 33$ và $8 x y - 25 x^{2} y^{2} + 3 8 x^{3} y^{3} = 5 x y$ .

Nhận xét. Nếu bỏ điều kiện $x > 0$ , $y > 0$ thì câu b phải viết $8 x y - 5 ∣ x y ∣ + 2 x y$ , kết quả sẽ là $5 x y$ khi $x y > 0$ và $15 x y$ khi $x y < 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đưa thừa số ra ngoài dấu căn là thao tác chuẩn, chỉ mất ba dòng và thấy ngay các hạng tử đồng dạng.

Đáp số. a)

33

. b)

5 x y

Sai lầm thường gặp. Cộng thẳng các số dưới căn, viết

212 + 248 = 260

— hai căn chỉ cộng được sau khi đã đưa về cùng phần căn

3

. Lỗi thứ hai là ở câu b khai căn

25 x^{2} y^{2} = 5 x^{2} y^{2}

do quên rằng khai căn thì số mũ bị chia đôi.

🚀 Mở rộng. Cùng lối làm:

350 - 218 + 98 = 152 - 62 + 72 = 162

; tổng quát mọi tổng dạng

\sum k_{i} a_{i}^{2} b

đều thu về

(\sum k_{i} a_{i}) b

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.5★★★Trang 6— Rút gọn biểu thức luỹ thừa với số mũ thực của cơ số dương

Bài 6.5 (trang 6). Cho

a

là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(a^{6})^{24}

; b)

a^{2} (\frac{1}{a})^{2 - 1}

; c)

a^{- 3} : a^{(3 - 1)^{2}}

; d)

3 a \cdot 4 a \cdot 12 a^{5}

Kiến thức cần nhớ

Với $a > 0$ : $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .
$\frac{1}{a} = a^{- 1}$ nên $(\frac{1}{a})^{k} = a^{- k}$ .
$n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ với $a > 0$ , và $(3 - 1)^{2} = 4 - 23$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện

a > 0

cho phép dùng trọn bộ tính chất luỹ thừa, nên cả bốn câu đều quy về cộng, trừ, nhân các số mũ. Mỗi câu ứng với đúng một quy tắc: câu a nhân số mũ, câu b và d cộng số mũ, câu c trừ số mũ. Bẫy nằm ở câu b (

\frac{1}{a} = a^{- 1}

nên số mũ phải đổi dấu) và câu c (phải khai triển

(3 - 1)^{2} = 4 - 23

trước khi trừ).

1Cách 1. Áp dụng từng quy tắc luỹ thừa

Định hướng. Mỗi câu chỉ dùng đúng một quy tắc, cứ đưa mọi thứ về luỹ thừa cơ số $a$ rồi làm việc trên số mũ.

(a^{6})^{24} = a^{6 \cdot 24} = a^{144} = a^{12}

a^{2} (\frac{1}{a})^{2 - 1} = a^{2} \cdot a^{1 - 2} = a^{2 + 1 - 2} = a

(3 - 1)^{2} = 3 - 23 + 1 = 4 - 23

a^{- 3} : a^{4 - 23} = a^{- 3 - 4 + 23} = a^{3 - 4}

3 a \cdot 4 a \cdot 12 a^{5} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{4 + 3 + 5}{12}} = a^{1} = a

Vậy a) $a^{12}$ ; b) $a$ ; c) $a^{3 - 4}$ ; d) $a$ .

2Cách 2. Gom cả biểu thức về một số mũ duy nhất rồi tính

Định hướng. Viết ngay kết quả dưới dạng $a^{S}$ rồi tính riêng số mũ $S$ , tách hẳn phần tính số ra khỏi phần biến đổi luỹ thừa.

S = 6 \cdot 24 = 6 \cdot 24 = 144 = 12

Kết quả

= a^{12}

S = 2 - (2 - 1) = 1

Kết quả

= a^{1} = a

S = - 3 - (3 - 1)^{2} = - 3 - 4 + 23 = 3 - 4

Kết quả

= a^{3 - 4}

S = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = 1

Kết quả

= a

Vậy bốn biểu thức lần lượt bằng $a^{12}$ ; $a$ ; $a^{3 - 4}$ ; $a$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng một giá trị cụ thể của cơ số

Định hướng. Chọn $a = 2$ rồi so sánh giá trị của biểu thức gốc với giá trị của kết quả đã rút gọn.

(2^{6})^{24} = 2^{12} = 4096

2^{2} \cdot (\frac{1}{2})^{2 - 1} = 2^{2} \cdot 2^{1 - 2} = 2

2^{- 3} : 2^{4 - 23} = 2^{3 - 4} \approx 2^{- 2, 268} \approx 0, 2076

32 \cdot 42 \cdot 12 2^{5} \approx 1, 2599 \cdot 1, 1892 \cdot 1, 3348 \approx 2

Vậy các kết quả $a^{12}$ ; $a$ ; $a^{3 - 4}$ ; $a$ đều khớp với giá trị thử tại $a = 2$ .

Nhận xét. Câu c không rút gọn được về luỹ thừa số mũ nguyên vì số mũ $3 - 4$ là số vô tỉ; đó là kết quả cuối cùng, không cần biến đổi thêm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính riêng số mũ ra một dòng rồi mới viết

a^{S}

giúp tách bạch phép tính số với phép biến đổi luỹ thừa, hầu như không sai dấu.

Đáp số. a)

a^{12}

. b)

a

. c)

a^{3 - 4}

. d)

a

Sai lầm thường gặp. Ở câu b giữ nguyên số mũ mà quên đổi dấu, viết

(\frac{1}{a})^{2 - 1} = a^{2 - 1}

rồi ra

a^{22 - 1}

. Ở câu c khai triển sai

(3 - 1)^{2} = 3 - 1 = 2

do quên hạng tử

- 23

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu triệt tiêu số mũ:

5 a^{2} \cdot 10 a^{3} \cdot a = a^{\frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{6}{5}}

; tổng quát tích các căn của cùng một cơ số dương luôn quy về

a^{S}

với

S

là tổng các phân số mũ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.6★★★★Trang 7— Rút gọn biểu thức phức chứa luỹ thừa số mũ hữu tỉ

Bài 6.6 (trang 7). Cho

a

và

b

là hai số dương,

a \neq = b

. Rút gọn biểu thức sau:

A = \frac{a - b}{a ^{\frac{3}{4}} + a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{4}}} - \frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}} : a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}

Kiến thức cần nhớ

$u^{4} - v^{4} = (u^{2} - v^{2}) (u^{2} + v^{2}) = (u - v) (u + v) (u^{2} + v^{2})$ .
$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}} a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}$ .
$a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi số mũ trong bài đều là bội của

\frac{1}{4}

, đó là dấu hiệu bảo ta đặt

u = a^{\frac{1}{4}}

v = b^{\frac{1}{4}}

để biến cả biểu thức thành phân thức đại số với số mũ nguyên. Khi đó

a - b = u^{4} - v^{4}

và mẫu thứ nhất là

u^{3} + u^{2} v = u^{2} (u + v)

, nên hai phân thức trong ngoặc đưa được về cùng một dạng. Bẫy là chia ngay cho

a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}

khi chưa rút gọn trong ngoặc — điều kiện

a \neq = b

được cho chính là để phép chia này hợp lệ.

1Cách 1. Đặt ẩn phụ

u = a^{\frac{1}{4}}

v = b^{\frac{1}{4}}

Định hướng. Đổi biến để mọi số mũ thành số nguyên, khi đó bài chỉ còn là rút gọn phân thức với các hằng đẳng thức quen thuộc.

Đặt

u = a^{\frac{1}{4}} > 0

v = b^{\frac{1}{4}} > 0

u \neq = v

a = u^{4}

b = v^{4}

a^{\frac{1}{2}} = u^{2}

b^{\frac{1}{2}} = v^{2}

a^{\frac{3}{4}} = u^{3}

\frac{a - b}{a ^{\frac{3}{4}} + a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{4}}} = \frac{u ^{4} - v ^{4}}{u ^{3} + u ^{2} v} = \frac{( u - v ) ( u + v ) ( u ^{2} + v ^{2} )}{u ^{2} ( u + v )} = \frac{( u - v ) ( u ^{2} + v ^{2} )}{u ^{2}}

\frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}} = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{u + v} = u - v

A = [\frac{( u - v ) ( u ^{2} + v ^{2} )}{u ^{2}} - (u - v)] : (u - v)

A = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{u ^{2}} - 1

A = \frac{v ^{2}}{u ^{2}}

A = \frac{b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}}} = \frac{b}{a}

Vậy $A = \frac{b}{a} = \frac{b}{a}$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung ngay trên biểu thức gốc

Định hướng. Mẫu thứ nhất có nhân tử chung $a^{\frac{1}{2}}$ , sau khi rút ra thì hai phân thức trong ngoặc cùng mẫu $a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}$ .

a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}

\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}} - \frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}} = \frac{a - b - a ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}}

= \frac{a - b - a + a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}}

= \frac{b ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}}

= \frac{b ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} - b ^{\frac{1}{4}} a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}}{a ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}}

= \frac{b ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} - b ^{\frac{1}{4}}}{a ^{\frac{1}{2}}}

A = \frac{b ^{\frac{1}{2}} a ^{\frac{1}{4}} - b ^{\frac{1}{4}}}{a ^{\frac{1}{2}}} : a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}

A = \frac{b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}}}

Vậy $A = \frac{b}{a}$ với mọi $a$ , $b > 0$ và $a \neq = b$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng giá trị số

Định hướng. Chọn $a$ , $b$ là luỹ thừa bậc bốn của số nguyên để mọi căn bậc bốn đều đẹp, rồi tính thẳng giá trị của $A$ .

Lấy

a = 16

b = 81

nên

a^{\frac{1}{4}} = 2

b^{\frac{1}{4}} = 3

a^{\frac{1}{2}} = 4

b^{\frac{1}{2}} = 9

a^{\frac{3}{4}} = 8

\frac{a - b}{a ^{\frac{3}{4}} + a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{4}}} = \frac{16 - 81}{8 + 4 \cdot 3} = \frac{- 65}{20} = - \frac{13}{4}

\frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{4}} + b ^{\frac{1}{4}}} = \frac{4 - 9}{2 + 3} = - 1

A = (- \frac{13}{4} + 1) : (2 - 3) = (- \frac{9}{4}) : (- 1) = \frac{9}{4}

\frac{b}{a} = \frac{81}{16} = \frac{9}{4}

Vậy $A = \frac{b}{a}$ , khớp với kết quả tính bằng số.

Nhận xét. Kết quả $\frac{b}{a}$ không phụ thuộc điều kiện $a \neq = b$ ; điều kiện đó chỉ cần để phép chia ở cuối có nghĩa, bởi khi $a = b$ thì số chia bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đặt

u = a^{\frac{1}{4}}

v = b^{\frac{1}{4}}

biến bài thành phân thức số mũ nguyên, mọi hằng đẳng thức đều quen thuộc và không sợ nhầm số mũ phân số.

Đáp số.

A = \frac{b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}}} = \frac{b}{a}

Sai lầm thường gặp. Rút gọn sai hằng đẳng thức, viết

a - b = a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}} a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}

trong khi thực ra

a - b = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}

và còn phải tách tiếp một lần nữa. Lỗi thứ hai là bỏ dấu ngoặc vuông rồi chia từng phân thức riêng cho

a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}

sai thứ tự phép tính.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng ở mức khó hơn: rút gọn

\frac{a - b}{a ^{\frac{2}{3}} + a ^{\frac{1}{3}} b ^{\frac{1}{3}} + b ^{\frac{2}{3}}} : a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}

— dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương của

a^{\frac{1}{3}}

và

b^{\frac{1}{3}}

sẽ được kết quả bằng

1

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.7★★Trang 7— Tính giá trị của mô hình tăng trưởng vi khuẩn dạng luỹ thừa

Bài 6.7 (trang 7). Giả sử một lọ nuôi cấy có

100

con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi

2

giờ. Khi đó số vi khuẩn

N

t

(giờ) sẽ là

N = 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}}

(con). Hỏi sau

3 \frac{1}{2}

giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Kiến thức cần nhớ

$3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ nên $\frac{t}{2} = \frac{7}{4}$ .
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ với $a > 0$ và $2^{\frac{7}{4}} = 4128 \approx 3, 3636$ .
Số cá thể phải là số nguyên nên kết quả cần làm tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Công thức đã cho sẵn nên việc quan trọng nhất là đổi đúng hỗn số

3 \frac{1}{2}

thành

\frac{7}{2}

rồi thay vào; khi đó số mũ trở thành

\frac{7}{4}

, một số mũ hữu tỉ. Đơn vị đếm là con vi khuẩn nên kết quả phải làm tròn về số nguyên. Bẫy là thay nhầm

t = 3, 5

vào chỗ của

\frac{t}{2}

, cho số mũ

3, 5

thay vì

1, 75

1Cách 1. Thay giá trị của

t

vào công thức

Định hướng. Đổi hỗn số về phân số trước, rồi rút gọn số mũ trước khi bấm máy.

t = 3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}

(giờ)

N = 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}}

N = 100 \cdot 2^{\frac{7}{2} : 2}

N = 100 \cdot 2^{\frac{7}{4}}

N \approx 100 \cdot 3, 3636

N \approx 336, 36

Vậy sau $3 \frac{1}{2}$ giờ trong lọ có khoảng $336$ con vi khuẩn.

2Cách 2. Đưa vào một căn bậc bốn duy nhất

Định hướng. Viết $2^{\frac{7}{4}} = 4128$ rồi đưa cả hệ số $100$ vào trong căn, chỉ còn một phép khai căn.

N = 100 \cdot 2^{\frac{7}{4}} = 100 \cdot 4 2^{7}

N = 100 \cdot 4128

N = 4 10 0^{4} \cdot 128

N = 412800000000

N \approx 336, 36

Vậy số vi khuẩn sau $3 \frac{1}{2}$ giờ vào khoảng $336$ con.

3Cách 3. Tính theo từng chặng thời gian

Định hướng. Bám sát nghĩa của mô hình: cứ $2$ giờ số vi khuẩn gấp đôi, nên $1$ giờ nhân $2$ và nửa giờ nhân $42$ .

2

giờ:

100 \cdot 2 = 200

3

giờ:

200 \cdot 2 \approx 282, 84

3, 5

giờ:

282, 84 \cdot 42 \approx 282, 84 \cdot 1, 1892 \approx 336, 36

Vậy sau $3 \frac{1}{2}$ giờ có khoảng $336$ con vi khuẩn.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy hệ số nhân của mỗi nửa giờ đúng bằng $42$ , tức $2^{\frac{1}{4}}$ — đúng với việc số mũ trong công thức tăng thêm $\frac{1}{4}$ sau mỗi nửa giờ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ hai dòng; nhớ viết rõ dòng

\frac{t}{2} = \frac{7}{4}

để không thay nhầm số mũ.

Đáp số.

N = 100 \cdot 2^{\frac{7}{4}} \approx 336, 36

, tức khoảng

336

con vi khuẩn.

Sai lầm thường gặp. Thay

t = 3, 5

thẳng vào vị trí số mũ, tính

N = 100 \cdot 2^{3, 5} \approx 1131

con — gấp hơn ba lần đáp số đúng. Lỗi thứ hai là làm tròn lên thành

337

con, trong khi số vi khuẩn đã đạt tới phải lấy phần nguyên.

🚀 Mở rộng. Cùng mô hình, muốn biết sau bao lâu có

1600

con thì giải

100 \cdot 2^{\frac{t}{2}} = 1600

, tức

2^{\frac{t}{2}} = 16

nên

\frac{t}{2} = 4

và

t = 8

giờ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.8★★Trang 7— Tính giá trị của công thức vật lí chứa căn bậc hai

Bài 6.8 (trang 7). Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài

L

(tính bằng mét) được cho bởi

T = 2 π \frac{L}{9 , 8}

. Nếu một con lắc có chiều dài

19, 6

m, hãy tính chu kì

T

của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

$\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ với $A \geq 0$ , $B > 0$ .
$\frac{19 , 6}{9 , 8} = 2$ và $2 \approx 1, 4142$ .
$π \approx 3, 1416$ nên $2 π \approx 6, 2832$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm đáng chú ý là hai số

19, 6

và

9, 8

gấp nhau đúng hai lần, nên thương dưới căn rút gọn thành

2

— dấu hiệu để tính chính xác bằng

2 π 2

trước rồi mới làm tròn. Nếu chia ra số thập phân lẻ ngay từ đầu thì dễ sai số. Bẫy là bấm máy ở chế độ độ thay vì chế độ số thực, hoặc quên nhân

2 π

1Cách 1. Rút gọn thương dưới căn rồi tính

Định hướng. Chia $19, 6$ cho $9, 8$ được đúng $2$ , nên chu kì rút gọn thành $2 π 2$ .

T = 2 π \frac{L}{9 , 8}

với

L = 19, 6

T = 2 π \frac{19 , 6}{9 , 8}

T = 2 π 2

T \approx 2 \cdot 3, 1416 \cdot 1, 4142

T \approx 8, 8858

Vậy chu kì dao động của con lắc là $T \approx 8, 9$ giây.

2Cách 2. Viết căn thành luỹ thừa số mũ hữu tỉ

Định hướng. Chuyển thành số mũ $\frac{1}{2}$ để mọi phép biến đổi đều nằm trên số mũ.

T = 2 π (\frac{L}{9 , 8})^{\frac{1}{2}}

T = 2 π \cdot (\frac{19 , 6}{9 , 8})^{\frac{1}{2}}

T = 2 π \cdot 2^{\frac{1}{2}}

T = 2^{\frac{3}{2}} π

T \approx 2, 8284 \cdot 3, 1416

T \approx 8, 8858

Vậy $T = 2^{\frac{3}{2}} π \approx 8, 9$ giây.

3Cách 3. So sánh với con lắc chuẩn dài

9, 8

Định hướng. Con lắc dài $9, 8$ m có chu kì đúng bằng $2 π$ ; chiều dài gấp đôi thì chu kì chỉ gấp $2$ lần, nhờ đó ước lượng được ngay.

Với

L_{0} = 9, 8

T_{0} = 2 π 1 = 2 π \approx 6, 2832

\frac{T}{T _{0}} = \frac{19 , 6}{9 , 8} = 2

T = T_{0} 2 \approx 6, 2832 \cdot 1, 4142

T \approx 8, 8858

Vậy chu kì con lắc dài $19, 6$ m là $T \approx 8, 9$ giây, dài hơn con lắc $9, 8$ m khoảng $1, 41$ lần.

Nhận xét. Từ công thức thấy chu kì tỉ lệ với căn bậc hai của chiều dài: muốn chu kì gấp đôi thì phải làm dây dài gấp bốn lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì rút gọn

\frac{19 , 6}{9 , 8} = 2

ngay từ dòng đầu giúp giữ kết quả chính xác là

2 π 2

, chỉ làm tròn ở dòng cuối.

Đáp số.

T = 2 π 2 \approx 8, 8858

, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất được

T \approx 8, 9

giây.

Sai lầm thường gặp. Quên hệ số

2 π

và chỉ trả lời

T = 2 \approx 1, 4

giây. Lỗi thứ hai là làm tròn quá sớm: lấy

2 \approx 1, 4

rồi tính

T \approx 8, 8

giây, lệch mất một chữ số thập phân.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức, con lắc dài

39, 2

m có chu kì

T = 2 π 4 = 4 π \approx 12, 6

giây; tổng quát

T

tỉ lệ thuận với

L

nên nhân chiều dài với

k

thì chu kì nhân với

k

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.9★★★Trang 7— Biểu diễn và tính giá trị từ một quan hệ luỹ thừa trong thiên văn

Bài 6.9 (trang 7). Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo

p

(tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn

d

(tính bằng đơn vị thiên văn AU).
a) Tính

p

theo

d

.
b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là

29, 46

năm Trái Đất, hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến thức cần nhớ

Định luật thứ ba của Kepler: $p^{2} = d^{3}$ với $p$ , $d$ là các số dương.
Từ $p^{2} = d^{3}$ suy ra $p = d^{\frac{3}{2}} = d^{3}$ và $d = p^{\frac{2}{3}} = 3 p^{2}$ .
Nâng hai vế dương lên cùng một luỹ thừa thì đẳng thức không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Câu chữ 'bình phương của

p

bằng lập phương của

d

' dịch thẳng thành

p^{2} = d^{3}

, đó là toàn bộ nội dung câu a; chỉ cần nhớ

p > 0

để chọn dấu dương khi khai căn. Câu b là bài ngược: biết

p

tìm

d

, nên phải nâng hai vế lên luỹ thừa

\frac{2}{3}

. Bẫy là nhầm vai trò của

p

và

d

, viết

d = p^{\frac{3}{2}}

và cho ra con số hơn

150

AU, vô lí so với hệ Mặt Trời.

1Cách 1. Khai căn trực tiếp từ

p^{2} = d^{3}

Định hướng. Dịch lời phát biểu thành đẳng thức rồi rút ẩn cần tìm, chú ý $p$ và $d$ đều dương.

p^{2} = d^{3}

p > 0

nên

p = d^{3}

p = d^{\frac{3}{2}}

d^{3} = p^{2}

d^{3} = 29, 4 6^{2}

d^{3} = 867, 8916

d = 3 867, 8916

d \approx 9, 5387

Vậy a) $p = d^{3} = d^{\frac{3}{2}}$ ; b) bán trục lớn quỹ đạo Sao Thổ khoảng $9, 54$ AU.

2Cách 2. Nâng hai vế lên luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Định hướng. Muốn chuyển từ $p^{2}$ sang $p$ thì nâng luỹ thừa $\frac{1}{2}$ , muốn từ $d^{3}$ sang $d$ thì nâng luỹ thừa $\frac{1}{3}$ .

(p^{2})^{\frac{1}{2}} = (d^{3})^{\frac{1}{2}}

p = d^{\frac{3}{2}}

(p^{2})^{\frac{1}{3}} = (d^{3})^{\frac{1}{3}}

d = p^{\frac{2}{3}}

d = 29, 4 6^{\frac{2}{3}}

d \approx 9, 5387

Vậy $p = d^{\frac{3}{2}}$ và $d \approx 9, 54$ AU.

3Cách 3. Kẹp giá trị giữa hai số rồi kiểm chứng ngược

Định hướng. Đề chỉ đòi hai chữ số thập phân nên có thể chặn $d$ giữa hai số nguyên rồi thu hẹp dần, cuối cùng thử ngược lại bằng công thức câu a.

p^{2} = 29, 4 6^{2} = 867, 8916

9^{3} = 729

và

1 0^{3} = 1000

nên

9 < d < 10

9, 5^{3} = 857, 375

và

9, 6^{3} = 884, 736

nên

9, 5 < d < 9, 6

9, 5 3^{3} = 865, 523

và

9, 5 4^{3} = 868, 251

nên

9, 53 < d < 9, 54

Kiểm chứng:

9, 5 4^{\frac{3}{2}} \approx 29, 466 \approx 29, 46

Vậy bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ khoảng $9, 54$ AU.

Nhận xét. Con số $9, 54$ AU rất sát giá trị thiên văn thực tế của Sao Thổ, cho thấy định luật Kepler mô tả rất chính xác chuyển động của các hành tinh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì nâng hai vế lên luỹ thừa

\frac{1}{3}

cho ngay

d = p^{\frac{2}{3}}

, bấm máy một lần là ra, không phải qua bước tính

p^{2}

Đáp số. a)

p = d^{3} = d^{\frac{3}{2}}

. b)

d = 29, 4 6^{\frac{2}{3}} \approx 9, 5387

, làm tròn đến hàng phần trăm được

d \approx 9, 54

AU.

Sai lầm thường gặp. Đảo nhầm vai trò, dùng

d = p^{\frac{3}{2}} = 29, 4 6^{\frac{3}{2}} \approx 159, 9

AU — con số này lớn hơn cả bán trục lớn của Sao Diêm Vương nên chắc chắn sai. Lỗi thứ hai là ở câu a lấy cả nghiệm âm

p = - d^{3}

trong khi chu kì phải dương.

🚀 Mở rộng. Cùng định luật, Sao Mộc có chu kì

11, 86

năm nên bán trục lớn

d = 11, 8 6^{\frac{2}{3}} \approx 5, 20

AU; tổng quát mọi hành tinh trong hệ Mặt Trời đều thoả

\frac{p ^{2}}{d ^{3}} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.10★★Trang 7— Tính giá trị hàm số chứa căn bậc ba trong bài toán thực tế

Bài 6.10 (trang 7). Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là

d = 3 6 t^{2}

, trong đó

d

là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và

t

là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).
(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)
a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là

687

ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?
b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có

365

ngày).
(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

$3 A = A^{\frac{1}{3}}$ với $A > 0$ và $3 6 t^{2} = 6^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}$ .
Trong $3 6 t^{2}$ , luỹ thừa được thực hiện trước phép nhân.
$68 7^{2} = 471969$ và $36 5^{2} = 133225$ .

🧠 Phân tích tư duy

Công thức cho sẵn nên chỉ việc thay

t

rồi tính một căn bậc ba; điều cần cẩn thận là thứ tự phép tính — phải bình phương

t

trước rồi mới nhân

6

, sau cùng mới khai căn. Yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai cho biết phải giữ đủ chữ số trong suốt quá trình tính. Bẫy là nhầm

3 6 t^{2}

thành

6 3 t^{2}

, khi đó kết quả lệch đi khoảng

3, 3

lần.

1Cách 1. Thay giá trị của

t

rồi tính căn bậc ba

Định hướng. Bình phương $t$ trước, nhân $6$ , rồi khai căn bậc ba một lần duy nhất.

d = 3 6 \cdot 68 7^{2}

d = 3 6 \cdot 471969

d = 32831814

d \approx 141, 4778

d = 3 6 \cdot 36 5^{2}

d = 3 6 \cdot 133225

d = 3799350

d \approx 92, 8066

Vậy a) khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời khoảng $141, 48$ triệu dặm ; b) khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng $92, 81$ triệu dặm.

2Cách 2. Tách thành tích hai luỹ thừa số mũ hữu tỉ

Định hướng. Viết $d = 6^{\frac{1}{3}} \cdot t^{\frac{2}{3}}$ để tách hằng số ra khỏi biến, tiện khi phải tính cho nhiều hành tinh.

d = (6 t^{2})^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot t^{\frac{2}{3}}

6^{\frac{1}{3}} \approx 1, 8171

68 7^{\frac{2}{3}} \approx 77, 8582

d \approx 1, 8171 \cdot 77, 8582 \approx 141, 4778

36 5^{\frac{2}{3}} \approx 51, 0735

d \approx 1, 8171 \cdot 51, 0735 \approx 92, 8066

Vậy hai khoảng cách lần lượt khoảng $141, 48$ và $92, 81$ triệu dặm.

3Cách 3. Kẹp giữa hai lập phương nguyên

Định hướng. Chặn giá trị dưới căn giữa hai lập phương của số nguyên rồi thu hẹp dần bằng các lập phương một chữ số thập phân.

14 1^{3} = 2803221

và

14 2^{3} = 2863288

nên

141 < d < 142

141, 4^{3} = 2827145, 9

và

141, 5^{3} = 2833148, 4

nên

141, 4 < d < 141, 5

9 2^{3} = 778688

và

9 3^{3} = 804357

nên

92 < d < 93

92, 8^{3} = 799178, 8

và

92, 9^{3} = 801765, 1

nên

92, 8 < d < 92, 9

Vậy $d \approx 141, 48$ triệu dặm với Sao Hoả và $d \approx 92, 81$ triệu dặm với Trái Đất.

Nhận xét. Kết quả câu b rất sát khoảng cách thực tế từ Trái Đất đến Mặt Trời (khoảng $93$ triệu dặm), cho thấy mô hình căn bậc ba này xấp xỉ khá tốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bấm máy một lần là ra; chỉ cần viết rõ dòng

6 \cdot 68 7^{2} = 2831814

để thấy phép bình phương làm trước phép nhân.

Đáp số. a)

d = 3 6 \cdot 68 7^{2} \approx 141, 48

triệu dặm. b)

d = 3 6 \cdot 36 5^{2} \approx 92, 81

triệu dặm.

Sai lầm thường gặp. Hiểu sai thứ tự phép tính, tính

(6 \cdot 687)^{2}

rồi khai căn, cho

d \approx 255

triệu dặm. Lỗi thứ hai là kéo hệ số ra ngoài căn, viết

3 6 t^{2} = 6 3 t^{2}

, cho câu b ra khoảng

306

triệu dặm — xa thực tế.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức, Sao Kim có độ dài năm khoảng

225

ngày nên

d = 3 6 \cdot 22 5^{2} \approx 67, 22

triệu dặm; đây chính là dạng số mũ hữu tỉ của định luật Kepler ở Bài 6.9.

Mở bài này trong app ↗