Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực

Định hướng. Kì hạn bằng đúng một năm nên ba năm là ba kì, chỉ việc nhận ra $P$, $r$, $N$ rồi thay vào công thức đã cho.

Vậy sau $3$ năm bác Minh thu được $119,1016$ triệu đồng, tức là $119101600$ đồng.

Định hướng. Bám sát nghĩa của lãi kép: tiền cuối năm này là vốn của năm sau, mỗi năm nhân thêm $1,06$.

Vậy số tiền thu được sau $3$ năm là $119,1016$ triệu đồng.

Định hướng. Khai triển $(1+r{)}^3$ cho thấy tiền lãi gồm lãi đơn và các phần lãi sinh ra từ lãi, nhờ đó so sánh được ngay với gửi lãi đơn.

Vậy $A=119,1016$ triệu đồng, trong đó $18$ triệu là lãi đơn và $1,1016$ triệu là phần lãi sinh ra từ lãi.

Nhận xét. Gửi lãi đơn ba năm chỉ được $118$ triệu đồng; chênh lệch $1,1016$ triệu chính là giá trị của việc nhập lãi vào vốn.

Định hướng. Số mũ nhỏ nên viết hẳn tích các thừa số rồi nhân dần.

Vậy $(1,5{)}^2=2,25$ ; ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3=-\frac{8}{27}$ ; ${\left(\sqrt{2}\right)}^4=4$.

Định hướng. Viết $1,5=\frac{3}{2}$ và $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$ để cả ba câu cùng dùng một quy tắc, tránh nhân số thập phân.

Vậy ba kết quả lần lượt là $\frac{9}{4}$ ; $-\frac{8}{27}$ ; $4$.

Định hướng. Số mũ $4$ tách được thành $2\cdot 2$, còn số mũ $3$ tách thành $2+1$ nên mọi phép tính chỉ còn là bình phương, dễ nhẩm nhất.

Vậy $(1,5{)}^2=2,25$ ; ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3=-\frac{8}{27}$ ; ${\left(\sqrt{2}\right)}^4=4$.

Nhận xét. Cách nhóm này rất lợi khi số mũ chẵn và lớn, chẳng hạn ${\left(\sqrt{2}\right)}^{10}={\left[{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right]}^5=2^5=32$.

Định hướng. Đưa dấu phẩy về ngay sau chữ số khác $0$ đầu tiên rồi đếm số bước đã dịch.

Vậy khối lượng Trái Đất khoảng $5,98\cdot 10^{24}$ kg và khối lượng hạt proton khoảng $1,67262\cdot 10^{-27}$ kg.

Định hướng. Viết hẳn số đã cho thành tích của một số nguyên với một luỹ thừa của $10$, rồi hạ tiếp phần nguyên xuống dạng $1\le a<10$.

Vậy hai số liệu lần lượt viết được là $5,98\cdot 10^{24}$ kg và $1,67262\cdot 10^{-27}$ kg.

Định hướng. Sau khi dự đoán $m$, nhân ngược $a\cdot 10^m$ và đếm lại số chữ số để chắc chắn không sót chữ số $0$ nào.

Vậy $5,98\cdot 10^{24}$ kg và $1,67262\cdot 10^{-27}$ kg là hai cách viết đúng dưới dạng kí hiệu khoa học.

Nhận xét. Mẹo đếm nhanh: với số nguyên, $m$ bằng số chữ số trừ đi $1$; với số bé hơn $1$, $m$ bằng số chữ số $0$ đứng sau dấu phẩy cộng thêm $1$ rồi lấy dấu âm.

Định hướng. Chuyển hết về một vế rồi dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và tổng hai lập phương để tách nhân tử.

Vậy a) $x\in \{-2;2\}$ ; b) $x=-2$.

Định hướng. Đi tìm những số mà luỹ thừa bậc $2$ bằng $4$, bậc $3$ bằng $-8$, tức là tìm căn bậc $2$ và căn bậc $3$ theo đúng định nghĩa.

Vậy $4$ có hai căn bậc hai là $2$ và $-2$, còn $-8$ chỉ có một căn bậc ba là $-2$.

Định hướng. Nhìn đồ thị hai hàm $y=x^2$ và $y=x^3$: đường thẳng nằm ngang cắt parabol tại hai điểm đối xứng, nhưng chỉ cắt đồ thị hàm bậc ba đúng một điểm.

Vậy phương trình a) có hai nghiệm $x=\pm 2$, phương trình b) có nghiệm duy nhất $x=-2$.

Nhận xét. Đây chính là lí do sách chia hai trường hợp khi định nghĩa căn bậc $n$: $n$ lẻ thì mỗi số thực có đúng một căn bậc $n$, $n$ chẵn thì mỗi số dương có hai căn bậc $n$ đối nhau.

Định hướng. Viết số mũ chẵn thành $2k$ để nhìn thấy ngay một bình phương, mà bình phương thì không âm.

Vậy số âm không có căn bậc chẵn.

Định hướng. Giả sử điều ngược lại rồi đẩy tới mâu thuẫn về dấu.

Vậy giả sử là sai, số âm không có căn bậc chẵn.

Định hướng. Tập giá trị của hàm $y=x^{2k}$ cho câu trả lời ngay lập tức mà không cần biến đổi.

Vậy số âm không có căn bậc chẵn; chẳng hạn $\sqrt[4]{-16}$ không tồn tại, trong khi $\sqrt[3]{-8}=-2$ vẫn có nghĩa.

Nhận xét. Với $n$ lẻ, đồ thị $y=x^n$ trải kín cả hai nửa mặt phẳng nên mọi số thực đều có đúng một căn bậc $n$ — đó là lí do $\sqrt[3]{-8}$ tồn tại còn $\sqrt[4]{-16}$ thì không.

Định hướng. Viết $-125$ thành lập phương và $\frac{1}{81}$ thành luỹ thừa bậc bốn rồi khai căn.

Vậy $\sqrt[3]{-125}=-5$ và $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Căn bậc lẻ cho phép đưa dấu âm ra ngoài, còn căn của một thương bằng thương hai căn.

Vậy hai kết quả lần lượt là $-5$ và $\frac{1}{3}$.

Định hướng. Với $\frac{1}{81}$ dương, viết căn thành số mũ hữu tỉ rồi nhân số mũ; câu a giữ lối khai căn vì cơ số âm không được phép viết ở dạng số mũ hữu tỉ.

Vậy $\sqrt[3]{-125}=-5$ và $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}$.

Nhận xét. Cơ số $-125$ âm nên bắt buộc phải tách dấu trừ ra ngoài trước khi dùng số mũ hữu tỉ; đây chính là điều kiện $a>0$ ở mục sau của bài học.

Định hướng. Khai căn từng số hạng trước, hai vế cùng ra một giá trị thì kết luận bằng nhau.

Vậy hai vế của câu a cùng bằng $-6$, hai vế của câu b cùng bằng $-\frac{2}{3}$.

Định hướng. Đưa $-8$ và $27$ về $(-2{)}^3$ và $3^3$ ngay từ đầu thì phép nhân, phép chia dưới căn trở nên hiển nhiên.

Vậy ở cả hai câu, hai biểu thức được so sánh đều bằng nhau.

Định hướng. Hai số thực bằng nhau khi và chỉ khi lập phương của chúng bằng nhau, nên chỉ cần lập phương là quy luật lộ ra mà không phải khai căn số nào.

Vậy $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$ và $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.

Nhận xét. Cách 3 không phụ thuộc vào các con số cụ thể nên chính là chứng minh cho quy tắc tổng quát mà sách phát biểu ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Hai căn cùng bậc thì gộp được thành một; ở câu b tách dấu âm ra ngoài rồi viết số dưới căn thành luỹ thừa bậc năm.

Vậy $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{625}=\frac{1}{5}$ và $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}=-\sqrt{5}$.

Định hướng. Khi mọi số đều là luỹ thừa của $5$, phép chia căn trở thành phép trừ số mũ, không còn phải nhìn số dưới căn nữa.

Vậy hai kết quả lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $-\sqrt{5}$.

Định hướng. Dự đoán kết quả rồi nâng lên đúng bậc của căn để xác nhận, cách này rất nhanh khi đã đoán được đáp số.

Vậy $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{625}=\frac{1}{5}$ và $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}=-\sqrt{5}$.

Nhận xét. Chìa khoá của câu b là nhận ra $25\sqrt{5}=5^2\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{5}{2}}$ — số mũ $\frac{5}{2}$ chia cho $5$ ra đúng $\frac{1}{2}$, nên kết quả là căn bậc hai của $5$.

Định hướng. Điều kiện ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$ nói rằng $a^{\frac{1}{n}}$ là một số có luỹ thừa bậc $n$ bằng $a$, tức đúng là căn bậc $n$ của $a$.

Vậy $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ và $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ với $a>0$.

Định hướng. Muốn định nghĩa mới không phá vỡ quy tắc cũ thì phải bắt quy tắc nhân số mũ tiếp tục đúng; áp quy tắc đó cho $p=\frac{1}{n}$, $q=n$ là ra ngay.

Vậy định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ là cách duy nhất giữ được quy tắc $(a^p{)}^q=a^{pq}$.

Định hướng. Lấy một cơ số dễ như $a=8$, $n=3$ để đoán quy luật, sau đó viết lại cho trường hợp tổng quát.

Vậy với $a>0$, $m$ nguyên và $n$ nguyên dương thì $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Nhận xét. Định nghĩa này bao trùm cả số mũ nguyên: khi $n=1$ ta được $a^m=\sqrt[1]{a^m}=a^m$, đúng với luỹ thừa số mũ nguyên đã học.

Định hướng. Lấy $a=-8$ và số mũ $\frac{1}{3}$, rồi viết lại số mũ đó thành $\frac{2}{6}$ để thấy hai kết quả không trùng nhau.

Vậy nếu cho phép cơ số âm thì $a^r$ nhận hai giá trị khác nhau ứng với hai cách viết của cùng một số mũ, nên định nghĩa không còn chặt chẽ.

Định hướng. Chỉ cần một số mũ có mẫu chẵn là biểu thức mất nghĩa ngay, nên định nghĩa không thể phủ hết mọi số hữu tỉ $r$.

Vậy với cơ số âm, luỹ thừa số mũ hữu tỉ không xác định được với mọi số mũ, nên phải đòi hỏi $a>0$.

Định hướng. Một định nghĩa mở rộng chỉ có ích khi nó giữ nguyên các quy tắc quen thuộc; thử áp quy tắc nhân số mũ cho cơ số âm sẽ thấy quy tắc gãy.

Vậy chỉ khi $a>0$ thì toàn bộ hệ tính chất của luỹ thừa mới được bảo toàn, đó là lí do sách đặt điều kiện $a>0$.

Nhận xét. Riêng $a=0$ cũng bị loại vì $0^r$ với $r\le 0$ không có nghĩa, giống như $0^0$ và $0^{-n}$ đã nói ở mục $1$.

Định hướng. Tách $x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}$ và $y^{\frac{3}{2}}=y\sqrt{y}$ để cả hai hạng tử cùng chứa thừa số $xy$.

Vậy $A=xy$ với mọi $x>0$, $y>0$.

Định hướng. Đổi biến để mọi số mũ trở thành số nguyên, khi đó bài toán chỉ còn là rút gọn một phân thức đại số quen thuộc.

Vậy $A=xy$.

Định hướng. Đoán kết quả là $xy$ rồi nhân ngược với mẫu số, nếu ra đúng tử số thì phép rút gọn là chính xác.

Vậy $A=xy$; thử số với $x=4$, $y=9$ được $A=\frac{8\cdot 9+4\cdot 27}{2+3}=\frac{180}{5}=36=4\cdot 9$.

Nhận xét. Phép thử số ở dòng cuối chỉ tốn vài giây nhưng phát hiện được ngay mọi sai sót khi đặt nhân tử chung.