Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 2. Công thức lượng giác

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang10–11 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.10★★Trang 10— Tính giá trị lượng giác của một góc không đặc biệt

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc

10 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ và $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ .
Công thức hạ bậc: $sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}$ và $cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}$ .
Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ và $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Góc $10 5^{\circ}$ thuộc góc phần tư thứ hai nên $sin 10 5^{\circ} > 0$ còn $cos 10 5^{\circ} < 0$ và $tan 10 5^{\circ} < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc

10 5^{\circ}

không có trong bảng giá trị đặc biệt, nhưng

105 = 60 + 45

và

105 = 150 - 45

đều là tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, đó là dấu hiệu gọi công thức cộng. Một hướng khác cũng rất tự nhiên là để ý

2 \cdot 10 5^{\circ} = 21 0^{\circ}

lại là góc đặc biệt, nên công thức hạ bậc cho ngay bình phương của hai giá trị cần tìm. Bẫy nằm ở dấu:

10 5^{\circ}

thuộc góc phần tư thứ hai nên côsin và tang phải mang dấu âm, ai lấy căn bậc hai rồi quên chọn dấu sẽ sai ba trong bốn giá trị.

1Cách 1. Tách

10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}

rồi dùng công thức cộng

Định hướng. Viết $10 5^{\circ}$ thành tổng hai góc đặc biệt để mọi giá trị đều quy về bảng đã thuộc.

sin 10 5^{\circ} = sin (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} + cos 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ}

= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} = cos (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} - sin 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 - 6}{4}

tan 10 5^{\circ} = \frac{sin 10 5 ^{\circ}}{cos 10 5 ^{\circ}} = \frac{6 + 2}{2 - 6} = \frac{( 6 + 2 ) ^{2}}{( 2 - 6 ) ( 2 + 6 )} = \frac{8 + 4 3}{- 4} = - 2 - 3

cot 10 5^{\circ} = \frac{1}{tan 10 5 ^{\circ}} = \frac{- ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = \frac{- ( 2 - 3 )}{1} = 3 - 2

Vậy $sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ , $cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$ , $tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$ , $cot 10 5^{\circ} = 3 - 2$ .

Hình minh hoạ lời giải

Đường tròn lượng giác — điểm M ứng với góc 105° nằm ở góc phần tư thứ hai, hai hình chiếu cho thấy sin 105° dương còn cos 105° âm

2Cách 2. Hạ bậc từ góc nhân đôi

21 0^{\circ}

Định hướng. Vì $2 \cdot 10 5^{\circ} = 21 0^{\circ}$ là góc đặc biệt nên công thức hạ bậc cho ngay bình phương của sin và côsin, chỉ còn việc chọn dấu theo góc phần tư thứ hai.

cos 21 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

cos^{2} 10 5^{\circ} = \frac{1 + cos 21 0 ^{\circ}}{2} = \frac{1 - \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 - 3}{4} = \frac{4 - 2 3}{8} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{8}

cos 10 5^{\circ} = - \frac{3 - 1}{2 2} = - \frac{6 - 2}{4} = \frac{2 - 6}{4}

sin^{2} 10 5^{\circ} = \frac{1 - cos 21 0 ^{\circ}}{2} = \frac{1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 + 3}{4} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{8}

sin 10 5^{\circ} = \frac{3 + 1}{2 2} = \frac{6 + 2}{4}

tan 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{2 - 6} = - 2 - 3

và

cot 10 5^{\circ} = 3 - 2

Vậy bốn giá trị lượng giác của góc $10 5^{\circ}$ trùng khít với kết quả của Cách 1, trong đó dấu âm của côsin đến từ vị trí của $10 5^{\circ}$ ở góc phần tư thứ hai.

3Cách 3. Ghép cặp với góc

1 5^{\circ}

rồi biến tổng thành tích

Định hướng. Hai góc $10 5^{\circ}$ và $1 5^{\circ}$ có tổng $12 0^{\circ}$ và hiệu $9 0^{\circ}$ đều đặc biệt, nên tổng và hiệu các giá trị lượng giác của chúng tính được ngay, từ đó giải ra từng giá trị.

sin 10 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6}{2}

sin 10 5^{\circ} - sin 1 5^{\circ} = 2 cos 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2}

2 sin 10 5^{\circ} = \frac{6}{2} + \frac{2}{2}

nên

sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} + cos 1 5^{\circ} = 2 cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2}

cos 10 5^{\circ} - cos 1 5^{\circ} = - 2 sin 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} = - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{6}{2}

2 cos 10 5^{\circ} = \frac{2}{2} - \frac{6}{2}

nên

cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3

và

cot 10 5^{\circ} = 3 - 2

Vậy $sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ và $cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$ , cách này hay ở chỗ tính luôn được cả bộ giá trị của góc $1 5^{\circ}$ mà không tốn thêm dòng nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần gọi công thức cộng là ra cả sin lẫn côsin, không phải lấy căn bậc hai nên tránh hẳn khâu chọn dấu dễ sai của Cách 2.

Đáp số.

sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

;

cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

;

tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3

;

cot 10 5^{\circ} = 3 - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là lấy căn ở Cách 2 rồi viết

cos 10 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4} \approx 0, 26

, trong khi

10 5^{\circ}

nằm ở góc phần tư thứ hai nên côsin phải âm, giá trị đúng là

- 0, 26

. Lỗi thứ hai là tưởng

sin 10 5^{\circ} = sin 10 0^{\circ} + sin 5^{\circ}

; bấm máy thì

sin 10 5^{\circ} \approx 0, 966

còn

sin 10 0^{\circ} + sin 5^{\circ} \approx 1, 072

, một số lớn hơn

1

nên không thể là giá trị của sin.

🚀 Mở rộng. Cùng ba cách này tính được mọi góc là bội của

1 5^{\circ}

, chẳng hạn

7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}

hay

16 5^{\circ}

với góc nhân đôi

33 0^{\circ}

; tổng quát, mỗi góc dạng

\frac{k π}{12}

đều có giá trị lượng giác viết được bằng căn thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.11★★★Trang 10— Tính giá trị lượng giác của góc đơn khi biết góc nhân đôi

Cho

cos 2 x = - \frac{4}{5}

với

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

. Tính

sin x

cos x

sin (x + \frac{π}{3})

cos (2 x - \frac{π}{4})

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ và $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ .
Công thức nhân đôi: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ và $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ .
Biểu diễn theo $t = tan x$ : $cos 2 x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , $sin 2 x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ , $cos^{2} x = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ .
Với $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ thì $sin x > cos x > 0$ và $\frac{π}{2} < 2 x < π$ nên $sin 2 x > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho giá trị của góc nhân đôi mà lại hỏi giá trị của góc đơn, đó là dấu hiệu dùng công thức hạ bậc để bắc cầu từ

cos 2 x

về

sin x

và

cos x

. Điều kiện

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

không phải để trang trí, nó khẳng định

sin x

và

cos x

cùng dương nên mọi căn bậc hai đều lấy dấu cộng. Bẫy nằm ở hai giá trị cuối, một cái hỏi về góc

x

còn một cái hỏi về góc

2 x

, phải dùng đúng bộ giá trị tương ứng chứ không trộn lẫn.

1Cách 1. Hạ bậc để kéo góc

2 x

về góc

x

Định hướng. Công thức hạ bậc lấy ngay $sin^{2} x$ và $cos^{2} x$ từ $cos 2 x$ , chỉ còn việc chọn dấu dương theo điều kiện của đề.

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{9}{10}

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}

sin x = \frac{3}{10} = \frac{3 10}{10}

và

cos x = \frac{1}{10} = \frac{10}{10}

sin (x + \frac{π}{3}) = sin x cos \frac{π}{3} + cos x sin \frac{π}{3} = \frac{3 10}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{10}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 10 + 30}{20}

sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 \cdot \frac{3 10}{10} \cdot \frac{10}{10} = \frac{3}{5}

cos (2 x - \frac{π}{4}) = cos 2 x cos \frac{π}{4} + sin 2 x sin \frac{π}{4} = (- \frac{4}{5}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{2}{10}

Vậy $sin x = \frac{3 10}{10}$ , $cos x = \frac{10}{10}$ , $sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3 10 + 30}{20}$ , $cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{10}$ .

Hình minh hoạ lời giải

Đường tròn lượng giác — M ứng với góc x ở góc phần tư thứ nhất, N ứng với góc 2x ở góc phần tư thứ hai với hoành độ −0,8

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = tan x

để đưa về phương trình đại số

Định hướng. Mọi giá trị lượng giác của $x$ đều biểu diễn được qua $t = tan x$ , nên giả thiết về $cos 2 x$ trở thành một phương trình bậc hai theo $t$ .

\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = - \frac{4}{5}

5 (1 - t^{2}) = - 4 (1 + t^{2})

5 - 5 t^{2} = - 4 - 4 t^{2}

t^{2} = 9

t = 3

, loại

t = - 3

vì

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

kéo theo

tan x > 1

cos^{2} x = \frac{1}{1 + t ^{2}} = \frac{1}{10}

nên

cos x = \frac{10}{10}

và

sin x = t cos x = \frac{3 10}{10}

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 10}{10} + \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{10} = \frac{3 10 + 30}{20}

sin 2 x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

cos (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (- \frac{4}{5} + \frac{3}{5}) = - \frac{2}{10}

Vậy bốn giá trị cần tìm lần lượt là $\frac{3 10}{10}$ , $\frac{10}{10}$ , $\frac{3 10 + 30}{20}$ và $- \frac{2}{10}$ .

3Cách 3. Khai thác tổng và hiệu của

sin x

với

cos x

qua

sin 2 x

Định hướng. Biết $sin 2 x$ là biết ngay $(sin x + cos x)^{2}$ và $(sin x - cos x)^{2}$ , hai đại lượng đó cho một hệ bậc nhất giải ra tức khắc.

\frac{π}{2} < 2 x < π

nên

sin 2 x = 1 - cos^{2} 2 x = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

(sin x + cos x)^{2} = 1 + sin 2 x = \frac{8}{5}

(sin x - cos x)^{2} = 1 - sin 2 x = \frac{2}{5}

sin x + cos x = \frac{2 10}{5}

và

sin x - cos x = \frac{10}{5}

sin x = \frac{1}{2} (\frac{2 10}{5} + \frac{10}{5}) = \frac{3 10}{10}

cos x = \frac{1}{2} (\frac{2 10}{5} - \frac{10}{5}) = \frac{10}{10}

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3 10 + 30}{20}

và

cos (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (- \frac{4}{5} + \frac{3}{5}) = - \frac{2}{10}

Vậy kết quả trùng hai cách trên, và ưu điểm của lối này là chỉ cần khai căn hai số hạng dương $\frac{8}{5}$ với $\frac{2}{5}$ nên không có nguy cơ nhầm dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức hạ bậc đi thẳng từ giả thiết tới đích chỉ trong hai dòng, còn Cách 2 phải giải phương trình rồi loại nghiệm, Cách 3 phải mở thêm một bước tính

sin 2 x

Đáp số.

sin x = \frac{3 10}{10}

;

cos x = \frac{10}{10}

;

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3 10 + 30}{20}

;

cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{10}

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến là dùng nhầm

sin^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

, khi đó

sin^{2} x = \frac{1}{10}

và

sin x \approx 0, 32

; nhưng

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

buộc

sin x > \frac{2}{2} \approx 0, 71

nên kết quả đó vô lí. Sai thứ hai là lấy

sin 2 x = - \frac{3}{5}

chỉ vì thấy

cos 2 x

âm, trong khi

2 x

nằm trong khoảng từ

\frac{π}{2}

đến

π

nên

sin 2 x

vẫn dương.

🚀 Mở rộng. Thay giả thiết bằng

cos 2 x = m

với

- 1 < m < 0

thì cùng cách làm cho

sin x = \frac{1 - m}{2}

và

cos x = \frac{1 + m}{2}

, nhìn ngay ra đáp số biến thiên thế nào khi

m

chạy về

- 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.12★★Trang 11— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng phép hạ bậc liên tiếp

Chứng minh đẳng thức sau:

sin^{4} a + cos^{4} a = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $A^{2} + B^{2} = (A + B)^{2} - 2 A B$ .
Hệ thức cơ bản $sin^{2} a + cos^{2} a = 1$ .
Công thức nhân đôi $sin 2 a = 2 sin a cos a$ .
Công thức hạ bậc $sin^{2} u = \frac{1 - cos 2 u}{2}$ và $cos^{2} u = \frac{1 + cos 2 u}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.13★★★★Trang 11— Tính giá trị đúng của tổng và tích các giá trị lượng giác

Tính giá trị của các biểu thức sau: a)

A = sin \frac{π}{9} - sin \frac{5 π}{9} + sin \frac{7 π}{9}

; b)

B = sin 6^{\circ} sin 4 2^{\circ} sin 6 6^{\circ} sin 7 8^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Biến tích thành tổng: $2 sin u sin v = cos (u - v) - cos (u + v)$ .
Cung bù nhau có sin bằng nhau, cung hơn kém nhau $36 0^{\circ}$ có mọi giá trị lượng giác bằng nhau.
Giá trị đặc biệt $cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4}$ và $cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ .
Công thức nhân ba dạng tích: $sin α sin (6 0^{\circ} - α) sin (6 0^{\circ} + α) = \frac{1}{4} sin 3 α$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.14★★Trang 11— Thu gọn tổng một sin với một côsin thành một hàm lượng giác duy nhất

Chứng minh rằng: a)

cos a - sin a = 2 cos (a + \frac{π}{4})

; b)

sin a + 3 cos a = 2 sin (a + \frac{π}{3})

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ và $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ .
Cung phụ nhau: $sin α = cos (\frac{π}{2} - α)$ và $cos α = sin (\frac{π}{2} - α)$ .
Biến tổng thành tích: $cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ và $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
Biến tích thành tổng: $2 cos u cos v = cos (u - v) + cos (u + v)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.15★★★★Trang 11— Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

Chứng minh rằng trong mọi tam giác

A B C

ta đều có

sin A + sin B + sin C = 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác $A B C$ ta có $A + B + C = π$ , suy ra $\frac{A + B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{π}{2}$ .
Cung phụ nhau: $sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ và $cos \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2}$ .
Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Biến tích thành tổng: $2 cos u cos v = cos (u - v) + cos (u + v)$ .
Công thức nhân đôi: $sin C = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2}$ .