Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 2. Công thức lượng giác

SBT (Sách bài tập) Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.10★★Trang 10— Tính giá trị lượng giác của một góc không đặc biệt

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc

10 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ và $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ .
Công thức hạ bậc: $sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}$ và $cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}$ .
Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ và $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Góc $10 5^{\circ}$ thuộc góc phần tư thứ hai nên $sin 10 5^{\circ} > 0$ còn $cos 10 5^{\circ} < 0$ và $tan 10 5^{\circ} < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc

10 5^{\circ}

không có trong bảng giá trị đặc biệt, nhưng

105 = 60 + 45

và

105 = 150 - 45

đều là tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, đó là dấu hiệu gọi công thức cộng. Một hướng khác cũng rất tự nhiên là để ý

2 \cdot 10 5^{\circ} = 21 0^{\circ}

lại là góc đặc biệt, nên công thức hạ bậc cho ngay bình phương của hai giá trị cần tìm. Bẫy nằm ở dấu:

10 5^{\circ}

thuộc góc phần tư thứ hai nên côsin và tang phải mang dấu âm, ai lấy căn bậc hai rồi quên chọn dấu sẽ sai ba trong bốn giá trị.

1Cách 1. Tách

10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}

rồi dùng công thức cộng

Định hướng. Viết $10 5^{\circ}$ thành tổng hai góc đặc biệt để mọi giá trị đều quy về bảng đã thuộc.

sin 10 5^{\circ} = sin (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} + cos 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ}

= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} = cos (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} - sin 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 - 6}{4}

tan 10 5^{\circ} = \frac{sin 10 5 ^{\circ}}{cos 10 5 ^{\circ}} = \frac{6 + 2}{2 - 6} = \frac{( 6 + 2 ) ^{2}}{( 2 - 6 ) ( 2 + 6 )} = \frac{8 + 4 3}{- 4} = - 2 - 3

cot 10 5^{\circ} = \frac{1}{tan 10 5 ^{\circ}} = \frac{- ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = \frac{- ( 2 - 3 )}{1} = 3 - 2

Vậy $sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ , $cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$ , $tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$ , $cot 10 5^{\circ} = 3 - 2$ .

2Cách 2. Hạ bậc từ góc nhân đôi

21 0^{\circ}

Định hướng. Vì $2 \cdot 10 5^{\circ} = 21 0^{\circ}$ là góc đặc biệt nên công thức hạ bậc cho ngay bình phương của sin và côsin, chỉ còn việc chọn dấu theo góc phần tư thứ hai.

cos 21 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

cos^{2} 10 5^{\circ} = \frac{1 + cos 21 0 ^{\circ}}{2} = \frac{1 - \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 - 3}{4} = \frac{4 - 2 3}{8} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{8}

cos 10 5^{\circ} = - \frac{3 - 1}{2 2} = - \frac{6 - 2}{4} = \frac{2 - 6}{4}

sin^{2} 10 5^{\circ} = \frac{1 - cos 21 0 ^{\circ}}{2} = \frac{1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 + 3}{4} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{8}

sin 10 5^{\circ} = \frac{3 + 1}{2 2} = \frac{6 + 2}{4}

tan 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{2 - 6} = - 2 - 3

và

cot 10 5^{\circ} = 3 - 2

Vậy bốn giá trị lượng giác của góc $10 5^{\circ}$ trùng khít với kết quả của Cách 1, trong đó dấu âm của côsin đến từ vị trí của $10 5^{\circ}$ ở góc phần tư thứ hai.

3Cách 3. Ghép cặp với góc

1 5^{\circ}

rồi biến tổng thành tích

Định hướng. Hai góc $10 5^{\circ}$ và $1 5^{\circ}$ có tổng $12 0^{\circ}$ và hiệu $9 0^{\circ}$ đều đặc biệt, nên tổng và hiệu các giá trị lượng giác của chúng tính được ngay, từ đó giải ra từng giá trị.

sin 10 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6}{2}

sin 10 5^{\circ} - sin 1 5^{\circ} = 2 cos 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2}

2 sin 10 5^{\circ} = \frac{6}{2} + \frac{2}{2}

nên

sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

cos 10 5^{\circ} + cos 1 5^{\circ} = 2 cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2}

cos 10 5^{\circ} - cos 1 5^{\circ} = - 2 sin 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} = - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{6}{2}

2 cos 10 5^{\circ} = \frac{2}{2} - \frac{6}{2}

nên

cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3

và

cot 10 5^{\circ} = 3 - 2

Vậy $sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ và $cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$ , cách này hay ở chỗ tính luôn được cả bộ giá trị của góc $1 5^{\circ}$ mà không tốn thêm dòng nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần gọi công thức cộng là ra cả sin lẫn côsin, không phải lấy căn bậc hai nên tránh hẳn khâu chọn dấu dễ sai của Cách 2.

Đáp số.

sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

;

cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}

;

tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3

;

cot 10 5^{\circ} = 3 - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là lấy căn ở Cách 2 rồi viết

cos 10 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4} \approx 0, 26

, trong khi

10 5^{\circ}

nằm ở góc phần tư thứ hai nên côsin phải âm, giá trị đúng là

- 0, 26

. Lỗi thứ hai là tưởng

sin 10 5^{\circ} = sin 10 0^{\circ} + sin 5^{\circ}

; bấm máy thì

sin 10 5^{\circ} \approx 0, 966

còn

sin 10 0^{\circ} + sin 5^{\circ} \approx 1, 072

, một số lớn hơn

1

nên không thể là giá trị của sin.

🚀 Mở rộng. Cùng ba cách này tính được mọi góc là bội của

1 5^{\circ}

, chẳng hạn

7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}

hay

16 5^{\circ}

với góc nhân đôi

33 0^{\circ}

; tổng quát, mỗi góc dạng

\frac{k π}{12}

đều có giá trị lượng giác viết được bằng căn thức.

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.11★★★Trang 10— Tính giá trị lượng giác của góc đơn khi biết góc nhân đôi

Cho

cos 2 x = - \frac{4}{5}

với

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

. Tính

sin x

cos x

sin (x + \frac{π}{3})

cos (2 x - \frac{π}{4})

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ và $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ .
Công thức nhân đôi: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ và $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ .
Biểu diễn theo $t = tan x$ : $cos 2 x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , $sin 2 x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ , $cos^{2} x = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ .
Với $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ thì $sin x > cos x > 0$ và $\frac{π}{2} < 2 x < π$ nên $sin 2 x > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho giá trị của góc nhân đôi mà lại hỏi giá trị của góc đơn, đó là dấu hiệu dùng công thức hạ bậc để bắc cầu từ

cos 2 x

về

sin x

và

cos x

. Điều kiện

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

không phải để trang trí, nó khẳng định

sin x

và

cos x

cùng dương nên mọi căn bậc hai đều lấy dấu cộng. Bẫy nằm ở hai giá trị cuối, một cái hỏi về góc

x

còn một cái hỏi về góc

2 x

, phải dùng đúng bộ giá trị tương ứng chứ không trộn lẫn.

1Cách 1. Hạ bậc để kéo góc

2 x

về góc

x

Định hướng. Công thức hạ bậc lấy ngay $sin^{2} x$ và $cos^{2} x$ từ $cos 2 x$ , chỉ còn việc chọn dấu dương theo điều kiện của đề.

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{9}{10}

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}

sin x = \frac{3}{10} = \frac{3 10}{10}

và

cos x = \frac{1}{10} = \frac{10}{10}

sin (x + \frac{π}{3}) = sin x cos \frac{π}{3} + cos x sin \frac{π}{3} = \frac{3 10}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{10}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 10 + 30}{20}

sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 \cdot \frac{3 10}{10} \cdot \frac{10}{10} = \frac{3}{5}

cos (2 x - \frac{π}{4}) = cos 2 x cos \frac{π}{4} + sin 2 x sin \frac{π}{4} = (- \frac{4}{5}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{2}{10}

Vậy $sin x = \frac{3 10}{10}$ , $cos x = \frac{10}{10}$ , $sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3 10 + 30}{20}$ , $cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{10}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = tan x

để đưa về phương trình đại số

Định hướng. Mọi giá trị lượng giác của $x$ đều biểu diễn được qua $t = tan x$ , nên giả thiết về $cos 2 x$ trở thành một phương trình bậc hai theo $t$ .

\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = - \frac{4}{5}

5 (1 - t^{2}) = - 4 (1 + t^{2})

5 - 5 t^{2} = - 4 - 4 t^{2}

t^{2} = 9

t = 3

, loại

t = - 3

vì

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

kéo theo

tan x > 1

cos^{2} x = \frac{1}{1 + t ^{2}} = \frac{1}{10}

nên

cos x = \frac{10}{10}

và

sin x = t cos x = \frac{3 10}{10}

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 10}{10} + \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{10} = \frac{3 10 + 30}{20}

sin 2 x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

cos (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (- \frac{4}{5} + \frac{3}{5}) = - \frac{2}{10}

Vậy bốn giá trị cần tìm lần lượt là $\frac{3 10}{10}$ , $\frac{10}{10}$ , $\frac{3 10 + 30}{20}$ và $- \frac{2}{10}$ .

3Cách 3. Khai thác tổng và hiệu của

sin x

với

cos x

qua

sin 2 x

Định hướng. Biết $sin 2 x$ là biết ngay $(sin x + cos x)^{2}$ và $(sin x - cos x)^{2}$ , hai đại lượng đó cho một hệ bậc nhất giải ra tức khắc.

\frac{π}{2} < 2 x < π

nên

sin 2 x = 1 - cos^{2} 2 x = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

(sin x + cos x)^{2} = 1 + sin 2 x = \frac{8}{5}

(sin x - cos x)^{2} = 1 - sin 2 x = \frac{2}{5}

sin x + cos x = \frac{2 10}{5}

và

sin x - cos x = \frac{10}{5}

sin x = \frac{1}{2} (\frac{2 10}{5} + \frac{10}{5}) = \frac{3 10}{10}

cos x = \frac{1}{2} (\frac{2 10}{5} - \frac{10}{5}) = \frac{10}{10}

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3 10 + 30}{20}

và

cos (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (- \frac{4}{5} + \frac{3}{5}) = - \frac{2}{10}

Vậy kết quả trùng hai cách trên, và ưu điểm của lối này là chỉ cần khai căn hai số hạng dương $\frac{8}{5}$ với $\frac{2}{5}$ nên không có nguy cơ nhầm dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức hạ bậc đi thẳng từ giả thiết tới đích chỉ trong hai dòng, còn Cách 2 phải giải phương trình rồi loại nghiệm, Cách 3 phải mở thêm một bước tính

sin 2 x

Đáp số.

sin x = \frac{3 10}{10}

;

cos x = \frac{10}{10}

;

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3 10 + 30}{20}

;

cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{10}

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến là dùng nhầm

sin^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

, khi đó

sin^{2} x = \frac{1}{10}

và

sin x \approx 0, 32

; nhưng

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

buộc

sin x > \frac{2}{2} \approx 0, 71

nên kết quả đó vô lí. Sai thứ hai là lấy

sin 2 x = - \frac{3}{5}

chỉ vì thấy

cos 2 x

âm, trong khi

2 x

nằm trong khoảng từ

\frac{π}{2}

đến

π

nên

sin 2 x

vẫn dương.

🚀 Mở rộng. Thay giả thiết bằng

cos 2 x = m

với

- 1 < m < 0

thì cùng cách làm cho

sin x = \frac{1 - m}{2}

và

cos x = \frac{1 + m}{2}

, nhìn ngay ra đáp số biến thiên thế nào khi

m

chạy về

- 1

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.12★★Trang 11— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng phép hạ bậc liên tiếp

Chứng minh đẳng thức sau:

sin^{4} a + cos^{4} a = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $A^{2} + B^{2} = (A + B)^{2} - 2 A B$ .
Hệ thức cơ bản $sin^{2} a + cos^{2} a = 1$ .
Công thức nhân đôi $sin 2 a = 2 sin a cos a$ .
Công thức hạ bậc $sin^{2} u = \frac{1 - cos 2 u}{2}$ và $cos^{2} u = \frac{1 + cos 2 u}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề là một dãy hai dấu bằng nối ba biểu thức, và bậc của góc tăng dần từ

a

lên

2 a

rồi

4 a

, đó là dấu hiệu đi bằng phép hạ bậc liên tiếp chứ không khai triển tung toé. Vế trái có dạng

A^{2} + B^{2}

với

A = sin^{2} a

và

B = cos^{2} a

mà lại biết

A + B = 1

, gợi ý dùng hằng đẳng thức

A^{2} + B^{2} = (A + B)^{2} - 2 A B

. Bẫy là chứng minh xong dấu bằng thứ nhất rồi tưởng đã xong, trong khi còn phải nối tiếp sang biểu thức thứ ba.

1Cách 1. Dùng hằng đẳng thức tổng hai bình phương rồi hạ bậc một lần

Định hướng. Gom vế trái về $(sin^{2} a + cos^{2} a)^{2}$ trừ đi phần dư, phần dư ấy chính là bình phương của $sin 2 a$ .

sin^{4} a + cos^{4} a = (sin^{2} a + cos^{2} a)^{2} - 2 sin^{2} a cos^{2} a

= 1 - \frac{1}{2} (2 sin a cos a)^{2}

= 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 a

= 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - cos 4 a}{2}

= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

Vậy cả hai dấu bằng của đề đều đúng với mọi số thực $a$ .

2Cách 2. Hạ bậc ngay từ đầu, đưa tất cả về

cos 2 a

rồi

cos 4 a

Định hướng. Thay luôn $sin^{2} a$ và $cos^{2} a$ bằng biểu thức theo $cos 2 a$ , bài toán trở thành phép cộng hai bình phương của hai số đối nhau lệch $1$ đơn vị.

sin^{4} a + cos^{4} a = (\frac{1 - cos 2 a}{2})^{2} + (\frac{1 + cos 2 a}{2})^{2}

= \frac{( 1 - cos 2 a ) ^{2} + ( 1 + cos 2 a ) ^{2}}{4} = \frac{2 + 2 cos ^{2} 2 a}{4} = \frac{1 + cos ^{2} 2 a}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + cos 4 a}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

\frac{1 + cos ^{2} 2 a}{2} = \frac{1 + 1 - sin ^{2} 2 a}{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 a

Vậy biểu thức $\frac{1 + cos ^{2} 2 a}{2}$ là cầu nối chung, nó vừa bằng $1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 a$ vừa bằng $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = sin^{2} a

, đưa về tam thức bậc hai

Định hướng. Coi vế trái là một hàm bậc hai của $t = sin^{2} a$ rồi đưa về dạng chính phương, phần chính phương ấy lộ ra ngay $cos 2 a$ .

t = sin^{2} a

và

cos^{2} a = 1 - t

với

0 \leq t \leq 1

sin^{4} a + cos^{4} a = t^{2} + (1 - t)^{2} = 2 t^{2} - 2 t + 1 = 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}

t - \frac{1}{2} = \frac{1 - cos 2 a}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{cos 2 a}{2}

sin^{4} a + cos^{4} a = 2 \cdot \frac{cos ^{2} 2 a}{4} + \frac{1}{2} = \frac{cos ^{2} 2 a}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - sin ^{2} 2 a}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 a

\frac{cos ^{2} 2 a}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + cos 4 a}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

Vậy dạng chính phương còn cho thêm một kết quả mà đề không hỏi: vì $0 \leq cos^{2} 2 a \leq 1$ nên $sin^{4} a + cos^{4} a$ nhận mọi giá trị từ $\frac{1}{2}$ đến $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một hằng đẳng thức quen thuộc và một lần hạ bậc là đi hết cả hai dấu bằng, trong khi Cách 2 phải khai triển hai bình phương còn Cách 3 phải dựng thêm ẩn phụ.

Đáp số. Đẳng thức đúng với mọi số thực

a

: ba biểu thức đều bằng

\frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 a

, nên hiệu của từng cặp vế luôn bằng

0

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp nhất là viết

sin^{4} a + cos^{4} a = (sin^{2} a + cos^{2} a)^{2} = 1

, tức bỏ quên số hạng

- 2 sin^{2} a cos^{2} a

; thử

a = \frac{π}{4}

thì vế trái bằng

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

chứ không phải

1

. Lỗi thứ hai là viết

sin^{2} 2 a = 2 sin^{2} a

; tại

a = \frac{π}{4}

hai vế cùng bằng

1

nên chưa lộ, nhưng tại

a = \frac{π}{6}

thì

sin^{2} 2 a = \frac{3}{4}

còn

2 sin^{2} a = \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Cùng lối hạ bậc cho

sin^{6} a + cos^{6} a = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 a = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} cos 4 a

, và tổng quát mọi tổng

sin^{2 n} a + cos^{2 n} a

đều rút gọn được thành một đa thức của

sin^{2} 2 a

vì

sin^{2} a

với

cos^{2} a

có tổng bằng

1

và tích bằng

\frac{sin ^{2} 2 a}{4}

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.13★★★★Trang 11— Tính giá trị đúng của tổng và tích các giá trị lượng giác

Tính giá trị của các biểu thức sau: a)

A = sin \frac{π}{9} - sin \frac{5 π}{9} + sin \frac{7 π}{9}

; b)

B = sin 6^{\circ} sin 4 2^{\circ} sin 6 6^{\circ} sin 7 8^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Biến tích thành tổng: $2 sin u sin v = cos (u - v) - cos (u + v)$ .
Cung bù nhau có sin bằng nhau, cung hơn kém nhau $36 0^{\circ}$ có mọi giá trị lượng giác bằng nhau.
Giá trị đặc biệt $cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4}$ và $cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ .
Công thức nhân ba dạng tích: $sin α sin (6 0^{\circ} - α) sin (6 0^{\circ} + α) = \frac{1}{4} sin 3 α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) gồm ba sin của các cung cùng mẫu

9

, trong đó

\frac{π}{9}

và

\frac{7 π}{9}

có nửa tổng

\frac{4 π}{9}

và nửa hiệu

\frac{π}{3}

đặc biệt, đó là dấu hiệu ghép cặp để biến tổng thành tích. Ý b) là tích bốn sin của các cung không đặc biệt nhưng

6 + 66 = 72

và

42 + 78 = 120

lại rất đẹp, nên ghép đôi rồi biến tích thành tổng sẽ đưa mọi thứ về

cos 3 6^{\circ}

với

cos 7 2^{\circ}

. Bẫy chung là bấm máy ra số thập phân rồi đoán bừa, trong khi đề đòi giá trị đúng.

1Cách 1. Ghép cặp hai cung có nửa tổng đặc biệt rồi đổi giữa tổng và tích

Định hướng. Ở ý a) ghép $sin \frac{π}{9}$ với $sin \frac{7 π}{9}$ vì nửa hiệu của chúng là $\frac{π}{3}$ ; ở ý b) ghép $sin 6^{\circ}$ với $sin 6 6^{\circ}$ và $sin 4 2^{\circ}$ với $sin 7 8^{\circ}$ để tích thành tổng ra toàn cung đặc biệt.

sin \frac{π}{9} + sin \frac{7 π}{9} = 2 sin \frac{4 π}{9} cos \frac{π}{3} = 2 sin \frac{4 π}{9} \cdot \frac{1}{2} = sin \frac{4 π}{9}

sin \frac{5 π}{9} = sin (π - \frac{5 π}{9}) = sin \frac{4 π}{9}

A = sin \frac{4 π}{9} - sin \frac{4 π}{9} = 0

sin 6^{\circ} sin 6 6^{\circ} = \frac{1}{2} (cos 6 0^{\circ} - cos 7 2^{\circ}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{5 - 1}{4}) = \frac{3 - 5}{8}

sin 4 2^{\circ} sin 7 8^{\circ} = \frac{1}{2} (cos 3 6^{\circ} - cos 12 0^{\circ}) = \frac{1}{2} (\frac{1 + 5}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{3 + 5}{8}

B = \frac{3 - 5}{8} \cdot \frac{3 + 5}{8} = \frac{9 - 5}{64} = \frac{1}{16}

Vậy $A = 0$ và $B = \frac{1}{16}$ .

2Cách 2. Nhân thêm một thừa số để các số hạng triệt tiêu dây chuyền

Định hướng. Nhân $A$ với $2 sin 6 0^{\circ}$ thì mỗi tích thành tổng lại khử với số hạng kế bên; còn ở ý b) đổi hết sang côsin rồi nhân với $8 sin 1 2^{\circ}$ để dùng nhân đôi liên tiếp.

- sin \frac{5 π}{9} = sin (- \frac{5 π}{9}) = sin \frac{13 π}{9}

nên

A = sin 2 0^{\circ} + sin 14 0^{\circ} + sin 26 0^{\circ}

2 sin 6 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} - cos 8 0^{\circ}

2 sin 6 0^{\circ} sin 14 0^{\circ} = cos 8 0^{\circ} - cos 20 0^{\circ}

2 sin 6 0^{\circ} sin 26 0^{\circ} = cos 20 0^{\circ} - cos 32 0^{\circ}

2 sin 6 0^{\circ} \cdot A = cos 4 0^{\circ} - cos 32 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} - cos 4 0^{\circ} = 0

mà

sin 6 0^{\circ} \neq = 0

nên

A = 0

B = cos 8 4^{\circ} cos 4 8^{\circ} cos 2 4^{\circ} cos 1 2^{\circ}

8 sin 1 2^{\circ} cos 1 2^{\circ} cos 2 4^{\circ} cos 4 8^{\circ} = 4 sin 2 4^{\circ} cos 2 4^{\circ} cos 4 8^{\circ} = 2 sin 4 8^{\circ} cos 4 8^{\circ} = sin 9 6^{\circ}

B = \frac{sin 9 6 ^{\circ} cos 8 4 ^{\circ}}{8 sin 1 2 ^{\circ}} = \frac{cos 6 ^{\circ} sin 6 ^{\circ}}{8 sin 1 2 ^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2} sin 1 2 ^{\circ}}{8 sin 1 2 ^{\circ}} = \frac{1}{16}

Vậy $A = 0$ và $B = \frac{1}{16}$ , đúng như Cách 1.

3Cách 3. Nhìn trên đường tròn lượng giác và dùng công thức nhân ba dạng tích

Định hướng. Ba cung $2 0^{\circ}$ , $14 0^{\circ}$ , $26 0^{\circ}$ chia đều đường tròn lượng giác nên tổng ba tung độ triệt tiêu; còn ở ý b) hai bộ ba cung $6^{\circ}$ , $5 4^{\circ}$ , $6 6^{\circ}$ và $1 8^{\circ}$ , $4 2^{\circ}$ , $7 8^{\circ}$ đều có dạng $α$ , $6 0^{\circ} - α$ , $6 0^{\circ} + α$ .

A = sin 2 0^{\circ} + sin 14 0^{\circ} + sin 26 0^{\circ}

với ba cung cách đều nhau

12 0^{\circ}

Ba điểm biểu diễn là ba đỉnh của một tam giác đều nội tiếp, tâm đường tròn là trọng tâm nên tổng ba tung độ bằng

0

, do đó

A = 0

sin 6^{\circ} sin 5 4^{\circ} sin 6 6^{\circ} = \frac{1}{4} sin 1 8^{\circ}

nên

sin 6^{\circ} sin 6 6^{\circ} = \frac{sin 1 8 ^{\circ}}{4 sin 5 4 ^{\circ}}

sin 1 8^{\circ} sin 4 2^{\circ} sin 7 8^{\circ} = \frac{1}{4} sin 5 4^{\circ}

nên

sin 4 2^{\circ} sin 7 8^{\circ} = \frac{sin 5 4 ^{\circ}}{4 sin 1 8 ^{\circ}}

B = \frac{sin 1 8 ^{\circ}}{4 sin 5 4 ^{\circ}} \cdot \frac{sin 5 4 ^{\circ}}{4 sin 1 8 ^{\circ}} = \frac{1}{16}

Vậy $A = 0$ và $B = \frac{1}{16}$ , lối này đẹp ở chỗ hai thừa số lạ $sin 1 8^{\circ}$ và $sin 5 4^{\circ}$ tự khử nhau nên không cần biết giá trị của chúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi ý a) dùng Cách 1 vì chỉ hai dòng ghép cặp là xong; ý b) dùng Cách 3 nếu đã thuộc công thức nhân ba dạng tích, còn không thì Cách 1 an toàn hơn vì chỉ đòi nhớ

cos 3 6^{\circ}

và

cos 7 2^{\circ}

Đáp số. a)

A = 0

; b)

B = \frac{1}{16}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) nhiều bạn viết

sin \frac{π}{9} - sin \frac{5 π}{9} = sin (\frac{π}{9} - \frac{5 π}{9})

, tức coi hiệu hai sin là sin của hiệu; thay số thì

sin 2 0^{\circ} - sin 10 0^{\circ} \approx - 0, 643

còn

sin (- 8 0^{\circ}) \approx - 0, 985

, hai số khác hẳn nhau. Ở ý b) lỗi hay gặp là nhớ

cos 3 6^{\circ} = \frac{5 + 1}{2} \approx 1, 618

, một số lớn hơn

1

nên không thể là côsin, giá trị đúng là

\frac{5 + 1}{4}

🚀 Mở rộng. Thay ý a) bằng

sin α + sin (α + 12 0^{\circ}) + sin (α + 24 0^{\circ})

thì tổng luôn bằng

0

với mọi

α

, và côsin cũng vậy; còn tích bốn sin ở ý b) chỉ là một trường hợp riêng của đẳng thức

sin α sin (6 0^{\circ} - α) sin (6 0^{\circ} + α) = \frac{1}{4} sin 3 α

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.14★★Trang 11— Thu gọn tổng một sin với một côsin thành một hàm lượng giác duy nhất

Chứng minh rằng: a)

cos a - sin a = 2 cos (a + \frac{π}{4})

; b)

sin a + 3 cos a = 2 sin (a + \frac{π}{3})

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ và $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ .
Cung phụ nhau: $sin α = cos (\frac{π}{2} - α)$ và $cos α = sin (\frac{π}{2} - α)$ .
Biến tổng thành tích: $cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ và $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
Biến tích thành tổng: $2 cos u cos v = cos (u - v) + cos (u + v)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế trái đều có dạng

m sin a + n cos a

còn hai vế phải là một hàm lượng giác duy nhất nhân với một hằng số, đó là dấu hiệu của phép thu gọn biên độ và pha. Ở ý a) thì

1 + 1 = 2

, ở ý b) thì

1 + 3 = 2

, đúng bằng hệ số đứng trước vế phải, nên chỉ việc đặt hệ số đó làm nhân tử chung là hai vế gặp nhau. Bẫy là nhớ nhầm dấu của góc lệch, phải kiểm lại bằng cách thay một giá trị cụ thể của

a

1Cách 1. Khai triển vế phải bằng công thức cộng

Định hướng. Đi ngược từ vế phải vì ở đó chỉ có một hàm lượng giác của một góc tổng, bung ra là gặp ngay vế trái.

2 cos (a + \frac{π}{4}) = 2 (cos a cos \frac{π}{4} - sin a sin \frac{π}{4})

= 2 (\frac{2}{2} cos a - \frac{2}{2} sin a) = cos a - sin a

2 sin (a + \frac{π}{3}) = 2 (sin a cos \frac{π}{3} + cos a sin \frac{π}{3})

= 2 (\frac{1}{2} sin a + \frac{3}{2} cos a) = sin a + 3 cos a

Vậy cả hai đẳng thức đều đúng với mọi số thực $a$ .

2Cách 2. Đưa hai số hạng về cùng một hàm rồi biến tổng thành tích

Định hướng. Dùng cung phụ đổi $sin a$ thành côsin ở ý a) để vế trái là hiệu hai côsin; ở ý b) tách $3 cos a$ thành tổng hai côsin, khi đó chỉ còn việc gộp lại.

cos a - sin a = cos a - cos (\frac{π}{2} - a) = - 2 sin \frac{π}{4} sin (a - \frac{π}{4}) = - 2 sin (a - \frac{π}{4})

2 cos (a + \frac{π}{4}) = 2 sin (\frac{π}{2} - a - \frac{π}{4}) = 2 sin (\frac{π}{4} - a) = - 2 sin (a - \frac{π}{4})

3 cos a = 2 cos \frac{π}{6} cos a = cos (a - \frac{π}{6}) + cos (a + \frac{π}{6})

sin (a + \frac{π}{3}) - sin a = 2 cos (a + \frac{π}{6}) sin \frac{π}{6} = cos (a + \frac{π}{6})

sin (a + \frac{π}{3}) = cos (\frac{π}{2} - a - \frac{π}{3}) = cos (a - \frac{π}{6})

2 sin (a + \frac{π}{3}) - sin a = cos (a - \frac{π}{6}) + cos (a + \frac{π}{6}) = 3 cos a

Vậy hai vế bằng nhau ở cả hai ý, và lối này không dùng tới công thức cộng một lần nào.

3Cách 3. Đổi biến, lấy luôn góc ở vế phải làm ẩn phụ

Định hướng. Đặt ẩn phụ là chính góc xuất hiện ở vế phải rồi thay ngược vào vế trái, đẳng thức cần chứng minh biến thành một phép rút gọn hiển nhiên.

a) Đặt

t = a + \frac{π}{4}

thì

a = t - \frac{π}{4}

cos a - sin a = cos (t - \frac{π}{4}) - sin (t - \frac{π}{4})

= \frac{2}{2} (cos t + sin t) - \frac{2}{2} (sin t - cos t) = 2 cos t = 2 cos (a + \frac{π}{4})

b) Đặt

t = a + \frac{π}{3}

thì

a = t - \frac{π}{3}

sin a + 3 cos a = (\frac{1}{2} sin t - \frac{3}{2} cos t) + 3 (\frac{1}{2} cos t + \frac{3}{2} sin t)

= \frac{1}{2} sin t + \frac{3}{2} sin t = 2 sin t = 2 sin (a + \frac{π}{3})

Vậy hai đẳng thức được chứng minh, và phép đổi biến cho thấy vì sao góc lệch phải là $\frac{π}{4}$ với ý a) và $\frac{π}{3}$ với ý b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển vế phải chỉ mất hai dòng và không cần nhớ thêm công thức nào ngoài công thức cộng, trong khi Cách 2 đòi thuộc cả tổng thành tích lẫn cung phụ.

Đáp số. Cả hai đẳng thức đúng với mọi số thực

a

; dạng thu gọn chung là

m sin a + n cos a = m^{2} + n^{2} sin (a + φ)

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp là viết

cos a - sin a = 2 cos (a - \frac{π}{4})

do nhớ nhầm dấu của góc lệch; thử

a = 0

thì hai bên cùng bằng

1

nên chưa lộ, nhưng thử

a = \frac{π}{2}

thì vế trái bằng

- 1

còn

2 cos \frac{π}{4} = 1

, sai hẳn dấu. Lỗi thứ hai là viết

sin a + 3 cos a = (1 + 3) sin (a + \frac{π}{3})

, lấy tổng hai hệ số thay vì lấy

1^{2} + (3)^{2} = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát

m sin a + n cos a = m^{2} + n^{2} sin (a + φ)

với

cos φ = \frac{m}{m ^{2} + n ^{2}}

và

sin φ = \frac{n}{m ^{2} + n ^{2}}

; nhờ đó thấy ngay giá trị lớn nhất của

sin a + 3 cos a

bằng

2

và nhỏ nhất bằng

- 2

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.15★★★★Trang 11— Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

Chứng minh rằng trong mọi tam giác

A B C

ta đều có

sin A + sin B + sin C = 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác $A B C$ ta có $A + B + C = π$ , suy ra $\frac{A + B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{π}{2}$ .
Cung phụ nhau: $sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ và $cos \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2}$ .
Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Biến tích thành tổng: $2 cos u cos v = cos (u - v) + cos (u + v)$ .
Công thức nhân đôi: $sin C = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giả thiết duy nhất được dùng là

A + B + C = π

, từ đó

\frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}

nên sin của nửa tổng hai góc bằng côsin của nửa góc còn lại, đây chính là cây cầu nối hai vế. Vế trái là tổng ba sin của các góc nguyên còn vế phải là tích ba côsin của các nửa góc, dấu hiệu quá rõ của phép biến tổng thành tích. Bẫy là quên mất ràng buộc tổng ba góc rồi biến đổi thuần tuý, vì đẳng thức này sai với ba góc bất kì.

1Cách 1. Nhóm hai sin đầu rồi biến tổng thành tích

Định hướng. Gom $sin A + sin B$ thành tích để lộ ra $cos \frac{C}{2}$ , sau đó tách $sin C$ theo nửa góc để đặt được $cos \frac{C}{2}$ làm nhân tử chung.

sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} = 2 cos \frac{C}{2} cos \frac{A - B}{2}

sin C = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{C}{2}

sin A + sin B + sin C = 2 cos \frac{C}{2} (cos \frac{A - B}{2} + cos \frac{A + B}{2})

= 2 cos \frac{C}{2} \cdot 2 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2}

= 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}

Vậy đẳng thức đúng trong mọi tam giác $A B C$ .

2Cách 2. Đặt nửa góc làm ẩn phụ rồi khử một góc bằng công thức cộng

Định hướng. Đặt ba nửa góc làm ẩn phụ có tổng $\frac{π}{2}$ , khử ẩn thứ ba rồi khai triển bằng công thức cộng, nhân tử chung hiện ra ngay sau khi gom theo $cos$ .

Đặt

x = \frac{A}{2}

y = \frac{B}{2}

z = \frac{C}{2}

thì

x + y + z = \frac{π}{2}

và

2 z = π - 2 x - 2 y

sin A + sin B + sin C = sin 2 x + sin 2 y + sin (2 x + 2 y)

= sin 2 x + sin 2 y + sin 2 x cos 2 y + cos 2 x sin 2 y

= sin 2 x (1 + cos 2 y) + sin 2 y (1 + cos 2 x)

= 2 sin x cos x \cdot 2 cos^{2} y + 2 sin y cos y \cdot 2 cos^{2} x

= 4 cos x cos y (sin x cos y + cos x sin y) = 4 cos x cos y sin (x + y)

sin (x + y) = sin (\frac{π}{2} - z) = cos z

sin A + sin B + sin C = 4 cos x cos y cos z = 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}

Vậy đẳng thức được chứng minh, và cách này nói rõ vì sao phải có ràng buộc $x + y + z = \frac{π}{2}$ .

3Cách 3. Đi ngược từ vế phải bằng công thức biến tích thành tổng

Định hướng. Tách tích ba côsin ở vế phải thành hai số hạng, mỗi số hạng lại thu về đúng một phần của vế trái.

4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} = 2 cos \frac{C}{2} (cos \frac{A - B}{2} + cos \frac{A + B}{2})

= 2 cos \frac{C}{2} cos \frac{A - B}{2} + 2 cos \frac{C}{2} cos \frac{A + B}{2}

2 cos \frac{C}{2} cos \frac{A - B}{2} = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} = sin A + sin B

2 cos \frac{C}{2} cos \frac{A + B}{2} = 2 cos \frac{C}{2} sin \frac{C}{2} = sin C

4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} = sin A + sin B + sin C

Vậy hai vế bằng nhau, và đi từ vế phải xuống lại ngắn hơn vì tích ba côsin tách ra là gặp ngay hai mảnh của vế trái.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba dòng, dùng đúng một lần biến tổng thành tích và một lần cung phụ, lại dễ nhớ vì luôn bắt đầu bằng việc nhóm hai góc bất kì của tam giác.

Đáp số. Đẳng thức đúng trong mọi tam giác

A B C

; chẳng hạn với tam giác đều thì hai vế cùng bằng

\frac{3 3}{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là dùng

sin \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2}

thay cho

cos \frac{C}{2}

; với tam giác đều thì

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

còn

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

nên toàn bộ lời giải hỏng ngay dòng đầu. Lỗi thứ hai là bỏ quên điều kiện

A + B + C = π

rồi khẳng định đẳng thức đúng với ba góc tuỳ ý; lấy

A = B = C = \frac{π}{2}

thì vế trái bằng

3

còn vế phải bằng

4 (\frac{2}{2})^{3} = 2

🚀 Mở rộng. Cùng cây cầu

\frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}

chứng minh được

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} sin \frac{C}{2}

và

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C

, hai đẳng thức hay ra trong đề học sinh giỏi.

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-11-kn/bai-2-cong-thuc-luong-giac.jsp · https://loigiaihay.com/bai-2-cong-thuc-luong-giac-sbt-toan-11-kntt-e32836.html