Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 3. Hàm số lượng giác và đồ thị

SBT (Sách bài tập) Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.16★★Trang 17— Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)

y = cot 3 x

; b)

y = 1 - cos 4 x

; c)

y = \frac{cos 2 x}{sin ^{2} x - cos ^{2} x}

; d)

y = \frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = tan u$ xác định khi $cos u \neq = 0$ , tức $u \neq = \frac{π}{2} + k π$ ; hàm số $y = cot u$ xác định khi $sin u \neq = 0$ , tức $u \neq = k π$ .
Căn bậc hai $A$ xác định khi $A \geq 0$ ; phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \neq = 0$ .
Công thức nhân đôi và hạ bậc: $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ , $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ và $sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x$ .
Điểm biểu diễn của cung $α$ trùng $A (1; 0)$ hoặc $A^{'} (- 1; 0)$ khi $sin α = 0$ , trùng $B (0; 1)$ hoặc $B^{'} (0; - 1)$ khi $cos α = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều là hàm hợp của các hàm lượng giác nên dấu hiệu cần truy là những chỗ làm biểu thức mất nghĩa: mẫu bằng không hoặc biểu thức dưới căn âm. Hai ý cuối trông rối vì có cả bình phương lẫn căn, nhưng hạ bậc bằng công thức nhân đôi thì mỗi mẫu chỉ còn một hàm lượng giác của góc gấp đôi. Bẫy lớn nhất nằm ở ý d: nhiều bạn đi giải bất phương trình cho cả biểu thức dưới căn, trong khi tử bằng

2 cos^{2} x

và mẫu

1 - sin 2 x

đều không âm nên chỉ còn đúng một điều kiện là mẫu khác không.

1Cách 1. Dùng trực tiếp điều kiện xác định của cot, của căn và của phân thức

Định hướng. Mỗi ý chỉ cần chặn đúng chỗ làm biểu thức mất nghĩa: mẫu khác không và biểu thức dưới căn không âm.

y = cot 3 x

xác định khi

sin 3 x \neq = 0

3 x \neq = k π

x \neq = \frac{k π}{3}

với

k \in Z

y = 1 - cos 4 x

xác định khi

1 - cos 4 x \geq 0

cos 4 x \leq 1

đúng với mọi

x \in R

nên

D = R

y = \frac{cos 2 x}{sin ^{2} x - cos ^{2} x}

xác định khi

sin^{2} x - cos^{2} x \neq = 0

- cos 2 x \neq = 0

2 x \neq = \frac{π}{2} + k π

x \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

y = \frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x}

xác định khi

\frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x} \geq 0

và

1 - sin 2 x \neq = 0

1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x \geq 0

và

1 - sin 2 x \geq 0

nên thương không âm với mọi

x

làm mẫu khác không

sin 2 x \neq = 1

2 x \neq = \frac{π}{2} + k 2 π

x \neq = \frac{π}{4} + k π

với

k \in Z

Vậy a) $D = R ∖ {\frac{k π}{3}}$ ; b) $D = R$ ; c) $D = R ∖ {\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}}$ ; d) $D = R ∖ {\frac{π}{4} + k π}$ với $k \in Z$ .

2Cách 2. Hạ bậc để mỗi biểu thức chỉ còn một hàm lượng giác của góc gấp đôi

Định hướng. Ba đẳng thức $1 - cos 4 x = 2 sin^{2} 2 x$ , $sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x$ và $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ biến bốn ý thành bốn điều kiện đọc được ngay.

cot 3 x = \frac{cos 3 x}{sin 3 x}

nên cần

sin 3 x \neq = 0

, tức

x \neq = \frac{k π}{3}

1 - cos 4 x = 2 sin^{2} 2 x \geq 0

với mọi

x

căn luôn có nghĩa nên

D = R

sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x

y = \frac{cos 2 x}{- cos 2 x} = - 1

với mọi

x

làm

cos 2 x \neq = 0

x \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

\frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x} = \frac{2 cos ^{2} x}{1 - sin 2 x}

tử không âm, mẫu

1 - sin 2 x \geq 0

nên chỉ cần mẫu khác không

x \neq = \frac{π}{4} + k π

Vậy bốn tập xác định vẫn như Cách 1, và hạ bậc còn cho thêm một chi tiết đáng giá: hàm số ở ý c thực chất là hàm hằng $y = - 1$ trên toàn bộ tập xác định của nó.

3Cách 3. Đọc trên đường tròn lượng giác: điểm biểu diễn phải tránh vị trí đặc biệt

Định hướng. Chuyển mỗi điều kiện thành một yêu cầu về vị trí của điểm biểu diễn cung tương ứng trên đường tròn lượng giác.

sin 3 x \neq = 0

nên điểm biểu diễn cung

3 x

không được trùng

A (1; 0)

và

A^{'} (- 1; 0)

3 x \neq = k π

cho

x \neq = \frac{k π}{3}

b) biểu thức không có mẫu và

1 - cos 4 x \geq 0

luôn đúng nên không điểm nào bị loại

cos 2 x \neq = 0

nên điểm biểu diễn cung

2 x

không được trùng

B (0; 1)

và

B^{'} (0; - 1)

2 x \neq = \frac{π}{2} + k π

cho

x \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

sin 2 x \neq = 1

nên điểm biểu diễn cung

2 x

chỉ phải tránh duy nhất điểm

B (0; 1)

2 x \neq = \frac{π}{2} + k 2 π

cho

x \neq = \frac{π}{4} + k π

Vậy ba cách cho cùng đáp số, và nhìn trên đường tròn thấy rất rõ vì sao ý c loại HAI điểm nên các điểm loại cách nhau $\frac{π}{2}$ , còn ý d chỉ loại MỘT điểm nên các điểm loại cách nhau $π$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì hạ bậc xong mỗi ý chỉ còn một hàm lượng giác duy nhất, điều kiện hiện ra sau một dòng và lại lộ luôn chi tiết ý c là hàm hằng

y = - 1

Đáp số. a)

D = R ∖ {\frac{k π}{3}}

; b)

D = R

; c)

D = R ∖ {\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}}

; d)

D = R ∖ {\frac{π}{4} + k π}

với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý d hay bị viết thành điều kiện

\frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x} > 0

rồi loại luôn những

x

làm tử bằng không, chẳng hạn loại

x = \frac{π}{2}

. Thử lại tại

x = \frac{π}{2}

: tử bằng

1 + cos π = 0

, mẫu bằng

1 - sin π = 1 \neq = 0

nên thương bằng

0

và căn vẫn có nghĩa,

y = 0

. Điều kiện đúng là thương

\geq 0

kèm mẫu khác không.

🚀 Mở rộng. Đổi ý d thành

y = \frac{1 - cos 2 x}{1 + sin 2 x}

thì tử là

2 sin^{2} x \geq 0

, mẫu chỉ bằng không khi

sin 2 x = - 1

, nên tập xác định là

R

bỏ đi các điểm

x = - \frac{π}{4} + k π

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.17★★★Trang 17— Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a)

y = 2 + 3∣ cos x ∣

; b)

y = 2 sin x + 1

; c)

y = 3 cos^{2} x + 4 cos 2 x

; d)

y = sin x + cos x

Kiến thức cần nhớ

Với mọi $x$ thì $- 1 \leq sin x \leq 1$ và $- 1 \leq cos x \leq 1$ , do đó $0 \leq ∣ cos x ∣ \leq 1$ .
Công thức hạ bậc $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ dùng để gộp $cos^{2} x$ và $cos 2 x$ về một hàm duy nhất.
Công thức gộp $a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + α)$ với $α$ thoả $cos α = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}$ và $sin α = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
Hàm $y = m + A cos u$ hoặc $y = m + A sin u$ có giá trị lớn nhất $m + ∣ A ∣$ và nhỏ nhất $m - ∣ A ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều quy về việc chặn đúng một đại lượng lượng giác giữa hai số, nên việc đầu tiên là nhận ra đại lượng nào thực sự biến thiên. Ý c có cả

cos^{2} x

và

cos 2 x

nên buộc phải hạ bậc để chỉ còn một hàm, giữ nguyên hai hàm khác nhau là chặn sai ngay. Bẫy nằm ở ý b: tập xác định chỉ gồm những

x

có

sin x \geq 0

nên

sin x

chạy trong đoạn từ

0

đến

1

chứ không phải từ

- 1

đến

1

1Cách 1. Chặn trực tiếp từ miền giá trị của sin và cos

Định hướng. Tìm đoạn biến thiên của đại lượng lượng giác rồi nhân và cộng để suy ra đoạn biến thiên của $y$ .

0 \leq ∣ cos x ∣ \leq 1

0 \leq 3∣ cos x ∣ \leq 3

2 \leq 2 + 3∣ cos x ∣ \leq 5

y = 2

khi

cos x = 0

, tức

x = \frac{π}{2} + k π

;

y = 5

khi

∣ cos x ∣ = 1

, tức

x = k π

b) hàm số xác định khi

sin x \geq 0

, lúc đó

0 \leq sin x \leq 1

0 \leq sin x \leq 1

1 \leq 2 sin x + 1 \leq 3

y = 1

khi

sin x = 0

, tức

x = k π

;

y = 3

khi

sin x = 1

, tức

x = \frac{π}{2} + k 2 π

y = 3 cos^{2} x + 4 cos 2 x = 3 \cdot \frac{1 + cos 2 x}{2} + 4 cos 2 x

y = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} cos 2 x + 4 cos 2 x

y = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} cos 2 x

- 1 \leq cos 2 x \leq 1

nên

\frac{3}{2} - \frac{11}{2} \leq y \leq \frac{3}{2} + \frac{11}{2}

- 4 \leq y \leq 7

y = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1

- 2 \leq y \leq 2

Vậy a) giá trị nhỏ nhất $2$ và lớn nhất $5$ ; b) nhỏ nhất $1$ và lớn nhất $3$ ; c) nhỏ nhất $- 4$ và lớn nhất $7$ ; d) nhỏ nhất $- 2$ và lớn nhất $2$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ rồi khảo sát hàm bậc nhất trên đoạn

Định hướng. Mỗi ý chỉ chứa một đại lượng lượng giác, đặt nó làm ẩn phụ thì bài toán thành tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm bậc nhất trên một đoạn.

a) đặt

t = ∣ cos x ∣

với

t \in [0; 1]

, khi đó

y = 2 + 3 t

đồng biến trên

[0; 1]

y (0) = 2

và

y (1) = 2 + 3

y (1) = 5

b) đặt

u = sin x

với

u \in [0; 1]

, khi đó

y = 2 u + 1

đồng biến trên

[0; 1]

y (0) = 1

và

y (1) = 2 + 1

y (1) = 3

c) đặt

c = cos 2 x

với

c \in [- 1; 1]

, khi đó

y = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} c

đồng biến

y (- 1) = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = - 4

và

y (1) = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = 7

d) đặt

s = sin x + cos x

, từ

s^{2} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

và

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

0 \leq s^{2} \leq 2

- 2 \leq s \leq 2

Vậy bốn cặp giá trị lớn nhất và nhỏ nhất vẫn là $(5; 2)$ , $(3; 1)$ , $(7; - 4)$ và $(2; - 2)$ ; riêng ý d cách bình phương tránh hẳn việc phải nhớ công thức gộp.

3Cách 3. Đưa về một hàm lượng giác duy nhất rồi đọc trục dao động và biên độ

Định hướng. Viết mỗi hàm thành trục dao động cộng biên độ nhân một hàm lượng giác, khi đó hai giá trị cần tìm chính là hai mức biên của dải.

y = 2 + 3∣ cos x ∣

có trục

y = 2

, phần dao động

3∣ cos x ∣

không âm và lớn nhất bằng

3

đồ thị nằm trọn trong dải từ

y = 2

đến

y = 5

và chạm cả hai biên

y = 2 sin x + 1

có trục

y = 1

, phần dao động

2 sin x

không âm và lớn nhất bằng

2

đồ thị nằm trong dải từ

y = 1

đến

y = 3

y = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} cos 2 x

có trục

y = \frac{3}{2}

và biên độ

\frac{11}{2}

y_{m a x} = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = 7

và

y_{m i n} = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = - 4

y = 2 sin (x + \frac{π}{4})

có trục

y = 0

và biên độ

2

y_{m a x} = 2

và

y_{m i n} = - 2

Vậy cách nhìn theo trục dao động và biên độ cho ý c với ý d ra đáp số chỉ trong một dòng, vì mọi hàm dạng $y = m + A cos u$ đều có giá trị lớn nhất $m + ∣ A ∣$ và nhỏ nhất $m - ∣ A ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý c và ý d vì sau khi gộp về một hàm lượng giác thì đáp số đọc ngay ra từ trục dao động và biên độ; riêng ý b vẫn nên theo Cách 1 để không quên điều kiện

sin x \geq 0

Đáp số. a)

y_{m i n} = 2

y_{m a x} = 5

; b)

y_{m i n} = 1

y_{m a x} = 3

; c)

y_{m i n} = - 4

y_{m a x} = 7

; d)

y_{m i n} = - 2

y_{m a x} = 2

Sai lầm thường gặp. Ý b rất hay bị làm thành

- 1 \leq sin x \leq 1

rồi kết luận

y_{m i n} = 2 \cdot (- 1) + 1 = - 1

. Nhưng tại

x = - \frac{π}{2}

thì

sin x = - 1

và

- 1

không tồn tại, nên

x = - \frac{π}{2}

còn không thuộc tập xác định; giá trị nhỏ nhất thật sự là

1

, đạt khi

sin x = 0

🚀 Mở rộng. Cùng phép hạ bậc, hàm

y = a cos^{2} x + b cos 2 x

luôn viết được thành

\frac{a}{2} + (\frac{a}{2} + b) cos 2 x

nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là

\frac{a}{2} \pm \frac{a}{2} + b

; thay

a = 3

b = 4

được đúng

7

và

- 4

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.18★★Trang 18— Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a)

y = \frac{cos 2 x}{x ^{3}}

; b)

y = x - sin 3 x

; c)

y = 1 + cos x

; d)

y = 1 + cos x sin (\frac{3 π}{2} - 2 x)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ có tập xác định $D$ đối xứng qua $0$ gọi là chẵn nếu $f (- x) = f (x)$ và gọi là lẻ nếu $f (- x) = - f (x)$ với mọi $x \in D$ .
$cos$ là hàm chẵn, còn $sin$ , $tan$ , $cot$ và $x^{n}$ với $n$ lẻ đều là hàm lẻ.
Thương hoặc tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là hàm lẻ; tích của hai hàm cùng tính chẵn lẻ là hàm chẵn.
Hai đẳng thức cần dùng: $sin (\frac{3 π}{2} - u) = - cos u$ và $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trước khi so sánh

f (- x)

với

f (x)

phải kiểm tập xác định có đối xứng qua điểm

0

hay không, vì chỉ cần một điểm

x_{0}

thuộc mà

- x_{0}

không thuộc là hàm mất cả hai tính chất. Dấu hiệu phân loại nằm ở chỗ mỗi thừa số đổi dấu thế nào khi thay

x

bởi

- x

: cosin và lũy thừa bậc chẵn giữ nguyên, còn sin cùng lũy thừa bậc lẻ thì đổi dấu. Ý d chính là cái bẫy: cụm

sin (\frac{3 π}{2} - 2 x)

trông như một hàm lẻ nhưng rút gọn lại bằng

- cos 2 x

nên cả hàm hoá ra chẵn.

1Cách 1. Xét trực tiếp

f (- x)

theo tính chẵn lẻ của từng hàm thành phần

Định hướng. Kiểm tập xác định đối xứng, rồi thay $x$ bởi $- x$ và so sánh với $f (x)$ .

D = R ∖ {0}

đối xứng qua

0

f (- x) = \frac{cos ( - 2 x )}{( - x ) ^{3}} = \frac{cos 2 x}{- x ^{3}} = - \frac{cos 2 x}{x ^{3}} = - f (x)

D = R

đối xứng qua

0

f (- x) = - x - sin (- 3 x) = - x + sin 3 x = - (x - sin 3 x) = - f (x)

1 + cos x \geq 0

với mọi

x

nên

D = R

f (- x) = 1 + cos (- x) = 1 + cos x = f (x)

D = R

và

sin (\frac{3 π}{2} + 2 x) = - cos 2 x

sin (\frac{3 π}{2} - 2 x) = - cos 2 x

f (- x) = 1 + cos (- x) sin (\frac{3 π}{2} + 2 x) = 1 - cos x cos 2 x

f (x) = 1 - cos x cos 2 x

nên

f (- x) = f (x)

Vậy a) hàm số lẻ; b) hàm số lẻ; c) hàm số chẵn; d) hàm số chẵn.

2Cách 2. Rút gọn biểu thức rồi dùng quy tắc dấu của tích và thương

Định hướng. Nhận diện mỗi biểu thức là tích hay thương của các hàm đã biết tính chẵn lẻ thì kết luận ra ngay, khỏi phải viết $f (- x)$ .

y = \frac{cos 2 x}{x ^{3}}

là thương của hàm chẵn

cos 2 x

với hàm lẻ

x^{3}

nên là hàm lẻ

y = x - sin 3 x

là hiệu của hai hàm lẻ

x

và

sin 3 x

nên là hàm lẻ

1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}

nên

y = 2 cos \frac{x}{2}

cos \frac{- x}{2} = cos \frac{x}{2}

nên hàm số chẵn

sin (\frac{3 π}{2} - 2 x) = - cos 2 x

nên

y = 1 - cos x cos 2 x

tích hai hàm chẵn

cos x

và

cos 2 x

là hàm chẵn, thêm hằng số vẫn chẵn

Vậy hai ý đầu là hàm lẻ và hai ý sau là hàm chẵn; viết gọn được như thế vì mỗi biểu thức đều quy về một tích hoặc một thương của những hàm đã biết tính chẵn lẻ.

3Cách 3. Thử một cặp giá trị đối nhau để loại nhanh, rồi chứng minh phần còn lại

Định hướng. Một cặp số $f (x_{0})$ và $f (- x_{0})$ đủ để loại ngay một trong hai khả năng, phần còn lại mới cần chứng minh tổng quát.

f (\frac{π}{2}) = \frac{cos π}{( π /2 ) ^{3}} = - \frac{8}{π ^{3}}

và

f (- \frac{π}{2}) = \frac{cos π}{- ( π /2 ) ^{3}} = \frac{8}{π ^{3}}

hai giá trị đối nhau nên loại khả năng chẵn, và

f (- x) = - f (x)

kiểm được với mọi

x \neq = 0

f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - sin \frac{π}{2} = \frac{π}{6} - 1

và

f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{6} + 1

hai giá trị đối nhau nên hàm số lẻ

f (π) = 1 + cos π = 0 = f (- π)

và

f (\frac{π}{2}) = 1 = f (- \frac{π}{2})

các cặp bằng nhau nên loại khả năng lẻ, và

cos (- x) = cos x

cho kết luận hàm chẵn

f (\frac{π}{3}) = 1 - cos \frac{π}{3} cos \frac{2 π}{3} = 1 - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{4}

f (- \frac{π}{3}) = \frac{5}{4}

nên loại khả năng lẻ, và dạng gọn

y = 1 - cos x cos 2 x

cho kết luận hàm chẵn

Vậy kết quả trùng khớp ba cách: a) lẻ, b) lẻ, c) chẵn, d) chẵn; ưu điểm của cách thử số là chỉ sau một phép tính đã biết phải đi chứng minh điều gì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ cần nhìn ra thương của một hàm chẵn với một hàm lẻ, hiệu hai hàm lẻ hay tích hai hàm chẵn là kết luận xong, không phải viết

f (- x)

cho từng ý.

Đáp số. a) hàm số lẻ; b) hàm số lẻ; c) hàm số chẵn; d) hàm số chẵn

Sai lầm thường gặp. Ý a hay bị lập luận rằng

cos 2 x

chẵn và

x^{3}

lẻ nên thương là hàm chẵn. Thực ra thương của một hàm chẵn với một hàm lẻ là hàm lẻ: tại

x = \frac{π}{2}

ta có

f (\frac{π}{2}) = - \frac{8}{π ^{3}}

còn

f (- \frac{π}{2}) = \frac{8}{π ^{3}}

, hai số đối nhau chứ không bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hàm

y = 1 + cos x sin (\frac{3 π}{2} - n x)

là hàm chẵn với mọi số nguyên

n

, bởi

sin (\frac{3 π}{2} - n x) = - cos n x

nên

y = 1 - cos x cos n x

là tích của hai hàm chẵn.

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.19★★★Trang 18— Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số lượng giác

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a)

y = A sin (ω x + φ)

với

A > 0

; b)

y = A tan (ω x + φ)

với

A > 0

; c)

y = 3 sin 2 x + 3 cos 2 x

; d)

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 3 sin (2 x - \frac{π}{3})

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ tuần hoàn với chu kì $T > 0$ nếu $f (x + T) = f (x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, và $T$ là số dương nhỏ nhất có tính chất đó.
$y = sin x$ và $y = cos x$ tuần hoàn với chu kì $2 π$ ; $y = tan x$ và $y = cot x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .
Hàm $y = A sin (ω x + φ)$ có chu kì $T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}$ , còn $y = A tan (ω x + φ)$ có chu kì $T = \frac{π}{∣ ω ∣}$ với $ω \neq = 0$ .
Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của dạng này là hàm được viết dưới dạng một hàm lượng giác của biểu thức bậc nhất

ω x + φ

, khi đó chu kì chỉ phụ thuộc

ω

chứ không phụ thuộc biên độ

A

hay pha

φ

. Hai ý cuối là tổng của hai hàm nên nên gộp về một hàm sin duy nhất trước, vì chỉ nhìn chu kì của từng số hạng rồi đoán là rất dễ nhầm. Cạm bẫy là theo quán tính lấy chu kì của ý b bằng

\frac{2 π}{∣ ω ∣}

, trong khi tang có chu kì

π

nên phải chia đôi.

1Cách 1. Dùng chu kì có sẵn của sin và tang kèm phép đổi biến

Định hướng. Đưa mỗi hàm về đúng khuôn $A sin (ω x + φ)$ hoặc $A tan (ω x + φ)$ rồi lấy chu kì theo $ω$ .

a) với

ω \neq = 0

thì

f (x + \frac{2 π}{∣ ω ∣}) = A sin (ω x + φ \pm 2 π)

= A sin (ω x + φ) = f (x)

T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}

b) chu kì của tang là

π

nên

g (x + \frac{π}{∣ ω ∣}) = A tan (ω x + φ \pm π)

= A tan (ω x + φ) = g (x)

T = \frac{π}{∣ ω ∣}

y = 3 sin 2 x + 3 cos 2 x

có

ω = 2

ở cả hai số hạng

T = \frac{2 π}{2} = π

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 3 sin (2 x - \frac{π}{3})

cũng có

ω = 2

T = \frac{2 π}{2} = π

Vậy a) $T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}$ ; b) $T = \frac{π}{∣ ω ∣}$ ; c) và d) đều tuần hoàn với chu kì $T = π$ .

2Cách 2. Gộp tổng thành một hàm sin duy nhất rồi đọc chu kì

Định hướng. Biến tổng hai hàm sin cùng $ω$ thành một hàm sin duy nhất thì chu kì hiện ra ngay, đồng thời thấy luôn biên độ.

3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 32 (\frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x)

= 32 sin (2 x + \frac{π}{4})

T = \frac{2 π}{2} = π

3 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 3 sin (2 x - \frac{π}{3}) = 6 sin \frac{( 2 x + \frac{π}{6} ) + ( 2 x - \frac{π}{3} )}{2} cos \frac{( 2 x + \frac{π}{6} ) - ( 2 x - \frac{π}{3} )}{2}

= 6 sin (2 x - \frac{π}{12}) cos \frac{π}{4}

= 32 sin (2 x - \frac{π}{12})

T = \frac{2 π}{2} = π

a) và b) đã ở dạng một hàm duy nhất nên

T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}

và

T = \frac{π}{∣ ω ∣}

Vậy hai hàm ở ý c và ý d chỉ khác nhau đúng pha ban đầu: cùng biên độ $32$ và cùng chu kì $π$ , một chi tiết mà cách làm thứ nhất không cho thấy.

3Cách 3. Kiểm bằng định nghĩa và chứng minh không có chu kì nào nhỏ hơn

Định hướng. Muốn chắc $T$ là chu kì nhỏ nhất thì phải chỉ ra một giá trị $x$ làm $f (x + \frac{T}{2}) \neq = f (x)$ .

a) với

T_{1} = \frac{π}{∣ ω ∣}

thì

A sin (ω x + φ + π) = - A sin (ω x + φ)

chọn

x

sao cho

sin (ω x + φ) = 1

thì giá trị đổi từ

A

thành

- A

, mà

A \neq = - A

vì

A > 0

nửa chu kì không lặp lại nên

T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}

là chu kì nhỏ nhất

b) tang nhận mỗi giá trị đúng một lần trên mỗi khoảng dài

π

, nên không số dương nào nhỏ hơn

\frac{π}{∣ ω ∣}

làm được chu kì

y (x + \frac{π}{2}) = 32 sin (2 x + π + \frac{π}{4}) = - 32 sin (2 x + \frac{π}{4})

tại

x = \frac{π}{8}

giá trị đổi từ

32

thành

- 32

nên

\frac{π}{2}

không phải chu kì

d) lập luận y hệt ý c với pha

- \frac{π}{12}

, chu kì nhỏ nhất vẫn là

π

Vậy bốn chu kì tìm được đều là chu kì nhỏ nhất, nên bốn hàm số đã cho đều là hàm tuần hoàn theo đúng định nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a với ý b, rồi dùng Cách 2 cho ý c với ý d: gộp về một hàm sin rồi lấy

\frac{2 π}{∣ ω ∣}

là chắc ăn nhất, khỏi lo hai số hạng có chu kì lệch nhau.

Đáp số. a)

T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}

; b)

T = \frac{π}{∣ ω ∣}

; c)

T = π

; d)

T = π

Sai lầm thường gặp. Ý d hay bị cộng hai chu kì lại thành

T = \frac{2 π}{2} + \frac{2 π}{2} = 2 π

. Thử lại với

T = π

3 sin (2 x + 2 π + \frac{π}{6}) + 3 sin (2 x + 2 π - \frac{π}{3})

trùng đúng biểu thức ban đầu, nên chu kì đã là

π

chứ không cần tới

2 π

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

y = a sin (ω x + α) + a sin (ω x + β)

luôn gộp được thành

2 a cos \frac{α - β}{2} sin (ω x + \frac{α + β}{2})

, nên chu kì vẫn là

\frac{2 π}{∣ ω ∣}

, trừ khi

cos \frac{α - β}{2} = 0

làm hàm suy biến thành hằng số

0

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.20★★Trang 18— Tìm điều kiện để một đẳng thức lượng giác đúng

Với giá trị nào của

x

, mỗi đẳng thức sau đúng? a)

tan x cot x = 1

; b)

1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}

; c)

1 + cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}

; d)

tan x + cot x = \frac{2}{sin 2 x}

Kiến thức cần nhớ

Một đẳng thức chỉ đúng tại những $x$ làm cả hai vế cùng có nghĩa, nên bài này thực chất là bài tìm tập xác định của hai vế.
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ cần $cos x \neq = 0$ ; $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ cần $sin x \neq = 0$ .
$sin 2 x = 2 sin x cos x$ nên $sin x cos x \neq = 0$ và $sin 2 x \neq = 0$ là cùng một điều kiện, cho $x \neq = \frac{k π}{2}$ .
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ là chìa khoá để biến đổi cả bốn đẳng thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không hỏi giải phương trình mà hỏi đẳng thức đúng với những

x

nào, nên bản chất là bài tìm tập xác định của cả hai vế rồi kiểm lại đẳng thức trên tập đó. Dấu hiệu là mỗi vế đều chứa tang, côtang hoặc một mẫu thức, vì vậy chỉ cần chặn các điểm làm một vế nào đó mất nghĩa, còn phần biến đổi đại số thì luôn đúng. Cạm bẫy nằm ở ý d: thấy

sin 2 x

ở vế phải thì tưởng phải thêm điều kiện mới, thực ra điều kiện ấy trùng khít với điều kiện của vế trái.

1Cách 1. Chặn điều kiện xác định của từng vế rồi lấy phần chung

Định hướng. Liệt kê điều kiện có nghĩa của từng hàm ở hai vế rồi gộp lại, chưa cần biến đổi gì.

tan x

có nghĩa khi

cos x \neq = 0

cot x

có nghĩa khi

sin x \neq = 0

gộp hai điều kiện:

sin x cos x \neq = 0

\frac{1}{2} sin 2 x \neq = 0

nên

2 x \neq = k π

x \neq = \frac{k π}{2}

b) vế trái có

tan x

, vế phải có

cos^{2} x

ở mẫu, cả hai cùng đòi

cos x \neq = 0

x \neq = \frac{π}{2} + k π

c) vế trái có

cot x

, vế phải có

sin^{2} x

ở mẫu, cả hai cùng đòi

sin x \neq = 0

x \neq = k π

d) vế trái đòi

sin x cos x \neq = 0

, vế phải đòi

sin 2 x \neq = 0

sin 2 x = 2 sin x cos x

nên hai điều kiện trùng nhau

x \neq = \frac{k π}{2}

Vậy a) và d) đòi $x \neq = \frac{k π}{2}$ ; b) đòi $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ ; c) đòi $x \neq = k π$ , với $k \in Z$ .

2Cách 2. Biến đổi cả hai vế về cùng một phân thức theo sin và cos

Định hướng. Quy mọi thứ về $sin x$ với $cos x$ rồi dùng $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ để thấy hai vế đồng nhất trên tập vừa chặn.

tan x cot x = \frac{sin x}{cos x} \cdot \frac{cos x}{sin x}

= 1

với mọi

x

làm

sin x cos x \neq = 0

1 + tan^{2} x = 1 + \frac{sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x}

= \frac{1}{cos ^{2} x}

với mọi

x

làm

cos x \neq = 0

1 + cot^{2} x = 1 + \frac{cos ^{2} x}{sin ^{2} x} = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin ^{2} x}

= \frac{1}{sin ^{2} x}

với mọi

x

làm

sin x \neq = 0

tan x + cot x = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x}

= \frac{1}{sin x cos x} = \frac{2}{2 sin x cos x}

= \frac{2}{sin 2 x}

với mọi

x

làm

sin 2 x \neq = 0

Vậy trên đúng các tập đã chặn ở Cách 1, cả bốn đẳng thức đều là đồng nhất thức chứ không phải phương trình có nghiệm rời rạc.

3Cách 3. Thử các giá trị đặc biệt để phát hiện điểm phải loại rồi tổng quát hoá

Định hướng. Dò vài giá trị quen thuộc để thấy điểm nào làm đẳng thức mất nghĩa, khoảng cách giữa các điểm hỏng sẽ chỉ ra công thức chung.

a) tại

x = \frac{π}{4}

hai vế bằng

1

; tại

x = 0

thì

cot 0

vô nghĩa; tại

x = \frac{π}{2}

thì

tan \frac{π}{2}

vô nghĩa

các điểm hỏng cách nhau

\frac{π}{2}

nên chúng là

x = \frac{k π}{2}

b) tại

x = \frac{π}{2}

cả hai vế hỏng, còn tại

x = 0

và

x = \frac{π}{4}

đẳng thức đúng

các điểm hỏng cách nhau

π

nên chúng là

x = \frac{π}{2} + k π

c) tại

x = 0

và

x = π

cả hai vế hỏng, còn tại

x = \frac{π}{2}

đẳng thức đúng

các điểm hỏng cách nhau

π

nên chúng là

x = k π

d) tại

x = \frac{π}{4}

hai vế cùng bằng

2

, còn tại

x = 0

và

x = \frac{π}{2}

đều hỏng

các điểm hỏng cách nhau

\frac{π}{2}

nên chúng là

x = \frac{k π}{2}

Vậy cách thử điểm cho đúng bốn tập như trên và phát hiện rất nhanh, nhưng vẫn phải ghép thêm một dòng biến đổi của Cách 2 mới kết luận được đẳng thức đúng trên toàn bộ tập ấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 rồi ghép một dòng biến đổi của Cách 2: phần điều kiện xác định là chỗ cho điểm, còn đẳng thức chỉ cần quy về

\frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x}

là xong.

Đáp số. a)

x \neq = \frac{k π}{2}

; b)

x \neq = \frac{π}{2} + k π

; c)

x \neq = k π

; d)

x \neq = \frac{k π}{2}

, với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý a hay chỉ được ghi điều kiện

sin x \neq = 0

vì thấy

cot x

, rồi kết luận đẳng thức đúng với mọi

x \neq = k π

. Nhưng tại

x = \frac{π}{2}

thì

tan \frac{π}{2}

không xác định nên vế trái vô nghĩa, vậy

x = \frac{π}{2}

vẫn phải loại và đáp số đúng là

x \neq = \frac{k π}{2}

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu lập luận, đẳng thức

tan x - cot x = - \frac{2}{tan 2 x}

đúng khi cả ba hàm cùng có nghĩa, tức

sin 2 x \neq = 0

và

cos 2 x \neq = 0

, cho điều kiện gọn

x \neq = \frac{k π}{4}

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.21★★★Trang 18— Dựng đồ thị hàm số lượng giác bằng phép biến hình đồ thị

Từ đồ thị hàm số

y = cos x

, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau: a)

y = - cos x

; b)

y = ∣ cos x ∣

; c)

y = cos x + 1

; d)

y = cos (x + \frac{π}{2})

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị $y = - f (x)$ là ảnh của đồ thị $y = f (x)$ qua phép đối xứng trục $O x$ .
Đồ thị $y = ∣ f (x) ∣$ giữ nguyên phần nằm trên $O x$ và lấy đối xứng phần nằm dưới $O x$ lên phía trên.
Đồ thị $y = f (x) + b$ là ảnh của đồ thị $y = f (x)$ qua phép dịch theo trục tung $b$ đơn vị; đồ thị $y = f (x + a)$ là ảnh qua phép dịch theo trục hoành sang trái $a$ đơn vị khi $a > 0$ .
Hai đẳng thức tiện dùng: $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ và $cos x + 1 = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu suy đồ thị từ một đồ thị đã biết nên dấu hiệu cần đọc là mỗi công thức tác động vào

y

hay vào

x

: đổi dấu

y

, lấy trị tuyệt đối của

y

hay cộng thêm vào

y

đều là biến đổi theo trục tung, còn cộng vào bên trong ngoặc mới là dịch theo trục hoành. Vẽ lại từ bảng giá trị thì lâu và dễ lệch, trong khi mỗi phép biến hình chỉ mất một động tác trên đồ thị gốc. Bẫy ở ý d là chiều dịch:

cos (x + \frac{π}{2})

dịch sang TRÁI

\frac{π}{2}

chứ không phải sang phải.

1Cách 1. Dùng ba phép biến hình đồ thị: đối xứng trục, gấp phần âm lên và phép dịch

Định hướng. Mỗi ý chỉ là một động tác hình học tác động lên đồ thị $y = cos x$ có sẵn.

y = - cos x

nhận được khi lấy đối xứng đồ thị

y = cos x

qua trục

O x

đỉnh

(0; 1)

chuyển thành

(0; - 1)

và đáy

(π; - 1)

chuyển thành

(π; 1)

y = ∣ cos x ∣

giữ nguyên phần đồ thị nằm trên

O x

và gấp phần nằm dưới

O x

lên trên

đồ thị mới không âm và lặp lại sau mỗi khoảng dài

π

y = cos x + 1

nhận được khi dịch đồ thị

y = cos x

lên trên

1

đơn vị

dải

- 1 \leq cos x \leq 1

chuyển thành

0 \leq y \leq 2

y = cos (x + \frac{π}{2})

nhận được khi dịch đồ thị

y = cos x

sang trái

\frac{π}{2}

đơn vị

đỉnh

(0; 1)

chuyển về

(- \frac{π}{2}; 1)

Vậy bốn đồ thị lần lượt là ảnh đối xứng qua $O x$ , ảnh gấp phần âm lên, ảnh dịch lên $1$ đơn vị và ảnh dịch sang trái $\frac{π}{2}$ đơn vị của đồ thị $y = cos x$ .

2Cách 2. Lập bảng giá trị tại các điểm mốc rồi nối bằng đường trơn

Định hướng. Bảy điểm mốc cách nhau $\frac{π}{2}$ đủ để dựng chính xác một chu kì rưỡi của mỗi đồ thị.

tại

x = - π, - \frac{π}{2}, 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

thì

cos x = - 1, 0, 1, 0, - 1, 0, 1

- cos x

nhận

1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1

∣ cos x ∣

nhận

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1

cos x + 1

nhận

0, 1, 2, 1, 0, 1, 2

cos (x + \frac{π}{2})

nhận

0, 1, 0, - 1, 0, 1, 0

nối các điểm ấy bằng đường trơn, mỗi đồ thị lặp lại sau đúng một chu kì của nó

Vậy bảng giá trị cho đúng bốn đồ thị như Cách 1, nên đây là cách kiểm tra chéo rất tốt khi chưa chắc về chiều của phép dịch.

3Cách 3. Rút gọn công thức về một hàm lượng giác đã biết đồ thị

Định hướng. Mỗi biểu thức còn viết được dưới một dạng khác, và dạng ấy làm dáng đồ thị hiện ra ngay lập tức.

- cos x = cos (x - π)

nên đồ thị còn là ảnh của

y = cos x

khi dịch sang phải

π

đơn vị

∣ cos x ∣ = \frac{1 + cos 2 x}{2}

nên hàm số tuần hoàn với chu kì

π

và trên

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

trùng đúng

cos x

chỉ cần vẽ một nhịp trên đoạn ấy rồi lặp lại

cos x + 1 = 2 cos^{2} \frac{x}{2} \geq 0

nên đồ thị luôn nằm trên

O x

và chạm

O x

tại

x = π + k 2 π

cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x

nên đồ thị chính là ảnh của đồ thị

y = sin x

qua phép đối xứng trục

O x

Vậy mỗi ý đều nhận ra được một dáng đồ thị đã quen: ý a là cosin dịch $π$ , ý b là một nhịp cosin lặp với chu kì $π$ , ý c là cosin nâng lên thành hàm không âm chạm trục, còn ý d là sin lật ngược.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mỗi ý chỉ mất một động tác biến hình trên đồ thị gốc, nhanh hơn hẳn việc lập bảng; giữ Cách 2 để soát lại vài điểm mốc cho chắc chiều dịch.

Đáp số. a) ảnh của đồ thị

y = cos x

qua phép đối xứng trục

O x

; b) phần trên

O x

giữ nguyên và phần dưới

O x

gấp lên, chu kì

π

; c) đồ thị

y = cos x

dịch lên

1

đơn vị, nằm trong dải

0 \leq y \leq 2

; d) đồ thị

y = cos x

dịch sang trái

\frac{π}{2}

đơn vị, cũng chính là đồ thị

y = - sin x

Sai lầm thường gặp. Ý b hay bị lấy đối xứng TOÀN BỘ đồ thị qua

O x

, thành ra vẽ đúng đồ thị

y = - cos x

của ý a. Thử tại

x = 0

∣ cos 0∣ = 1

là số dương, trong khi hình vẽ sai lại cho

- 1

; vậy phải giữ nguyên phần nằm trên

O x

và chỉ gấp phần nằm dưới lên.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, từ đồ thị

y = cos x

dựng được

y = a cos (x + φ) + b

bằng ba động tác liên tiếp: co giãn theo trục tung với hệ số

∣ a ∣

, dịch ngang

φ

đơn vị rồi dịch dọc

b

đơn vị; thử ngay với

y = 2 cos (x - \frac{π}{3}) - 1

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.22★★Trang 18— Đọc nghiệm và dấu của hàm số lượng giác trên một đoạn

Từ đồ thị hàm số

y = sin x

, hãy xác định các giá trị của

x

trên đoạn

[- \frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]

sao cho: a)

sin x = 0

; b)

sin x > 0

Kiến thức cần nhớ

$sin x = 0$ khi và chỉ khi $x = k π$ với $k \in Z$ .
$sin x > 0$ khi và chỉ khi $k 2 π < x < π + k 2 π$ , tức khi điểm biểu diễn nằm ở nửa trên của đường tròn lượng giác.
Trên đồ thị, nghiệm của $sin x = 0$ là hoành độ các giao điểm với trục hoành, còn $sin x > 0$ ứng với các khoảng đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Khi đề giới hạn trên một đoạn thì phải cắt tập nghiệm tổng quát theo đoạn đó và xét riêng hai đầu mút.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho đoạn từ

- \frac{3 π}{2}

đến

\frac{5 π}{2}

chứ không cho toàn trục số, nên đây là bài đọc nghiệm trên một đoạn và phải liệt kê đúng những giá trị rơi vào đoạn ấy. Nhìn đồ thị là nhanh nhất vì nghiệm của

sin x = 0

chính là các giao điểm với trục hoành, còn

sin x > 0

là các khoảng đồ thị nằm phía trên trục hoành. Bẫy nằm ở hai đầu mút:

sin (- \frac{3 π}{2}) = 1

và

sin \frac{5 π}{2} = 1

đều dương nên hai mút phải được lấy vào.

1Cách 1. Đọc trực tiếp trên đồ thị hàm số

y = sin x

Định hướng. Đồ thị cho thấy ngay chỗ nào cắt trục hoành và chỗ nào nằm phía trên trục hoành.

a) các giao điểm của đồ thị với trục hoành trong đoạn đã cho có hoành độ

- π, 0, π, 2 π

b) đồ thị nằm phía trên trục hoành trên ba phần: từ

- \frac{3 π}{2}

tới

- π

, từ

0

tới

π

và từ

2 π

tới

\frac{5 π}{2}

tại

x = - \frac{3 π}{2}

và

x = \frac{5 π}{2}

đồ thị đang ở đỉnh

y = 1

nên hai mút này được lấy

tại

x = - π, 0, π, 2 π

thì

sin x = 0

nên bốn điểm này bị loại khỏi ý b

Vậy a) $x \in {- π; 0; π; 2 π}$ ; b) $x \in [- \frac{3 π}{2}; - π) \cup (0; π) \cup (2 π; \frac{5 π}{2}]$ .

2Cách 2. Giải bằng công thức nghiệm tổng quát rồi chọn

k

thuộc đoạn

Định hướng. Viết tập nghiệm trên toàn trục số trước, sau đó chặn chỉ số $k$ theo đoạn đề cho.

sin x = 0

cho

x = k π

với

k \in Z

- \frac{3 π}{2} \leq k π \leq \frac{5 π}{2}

- \frac{3}{2} \leq k \leq \frac{5}{2}

k \in {- 1; 0; 1; 2}

cho

x = - π, 0, π, 2 π

sin x > 0

cho

k 2 π < x < π + k 2 π

k = - 1

cho khoảng

(- 2 π; - π)

, cắt với đoạn đề cho còn

[- \frac{3 π}{2}; - π)

k = 0

cho khoảng

(0; π)

, nằm trọn trong đoạn đề cho

k = 1

cho khoảng

(2 π; 3 π)

, cắt với đoạn đề cho còn

(2 π; \frac{5 π}{2}]

Vậy hai đáp số trùng khớp với cách đọc đồ thị: bốn nghiệm rời cho ý a và ba khoảng cho ý b.

3Cách 3. Dùng đường tròn lượng giác, đi theo từng vòng quay

Định hướng. Đoạn đề cho dài đúng hai vòng nên chỉ việc theo dõi điểm biểu diễn quay hai vòng trên đường tròn lượng giác.

độ dài đoạn là

\frac{5 π}{2} - (- \frac{3 π}{2}) = 4 π

nên ứng với đúng hai vòng quay

sin x = 0

khi điểm biểu diễn trùng

A (1; 0)

hoặc

A^{'} (- 1; 0)

trong hai vòng đó các cung tương ứng là

- π, 0, π, 2 π

sin x > 0

khi điểm biểu diễn nằm hẳn ở nửa trên đường tròn, tức cung thuộc

(k 2 π; π + k 2 π)

cắt với đoạn đã cho được

[- \frac{3 π}{2}; - π) \cup (0; π) \cup (2 π; \frac{5 π}{2}]

Vậy cả ba cách cho cùng kết quả, và trên đường tròn thấy rõ hai mút $- \frac{3 π}{2}$ với $\frac{5 π}{2}$ đều nằm đúng tại điểm cao nhất $B (0; 1)$ nên chắc chắn được lấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hình vẽ cho thấy ngay ba khoảng dương và bốn nghiệm, khó sót khoảng ở phía âm; sau đó lấy Cách 2 để viết đáp số cho gọn và chặt.

Đáp số. a)

x \in {- π; 0; π; 2 π}

; b)

x \in [- \frac{3 π}{2}; - π) \cup (0; π) \cup (2 π; \frac{5 π}{2}]

Sai lầm thường gặp. Ý b hay bị viết ngay thành

x \in (0; π) \cup (2 π; 3 π)

theo quán tính công thức, vừa sai vừa thiếu. Sai vì

3 π > \frac{5 π}{2}

nên phần đó phải cắt lại thành

(2 π; \frac{5 π}{2}]

, còn thiếu vì bỏ sót hẳn khoảng

[- \frac{3 π}{2}; - π)

ở phía âm.

🚀 Mở rộng. Cùng cách đọc đồ thị, hãy tìm các

x

trong đoạn

[- \frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]

sao cho

sin x \geq \frac{1}{2}

: lúc này ba khoảng co lại thành ba đoạn kín và hai đầu mút vẫn được lấy vì ở đó

sin x = 1

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.23★★Trang 18— Bài toán dao động điều hoà: chu kì, tần số và biên độ

Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình

y = 25 sin 4 π t

(

y

tính bằng centimét,

t

tính bằng giây). a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo. b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây. c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc.

Kiến thức cần nhớ

Dao động điều hoà $y = A sin (ω t + φ)$ có biên độ $∣ A ∣$ , chu kì $T = \frac{2 π}{ω}$ và tần số $f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}$ .
Chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại đúng trạng thái cũ, đo được bằng khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp trên đồ thị.
Tần số là số dao động thực hiện trong một giây, không phải tần số góc $ω$ .
Vì $- 1 \leq sin u \leq 1$ nên li độ thoả $- ∣ A ∣ \leq y \leq ∣ A ∣$ , khoảng cách hai vị trí biên bằng $2∣ A ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình dao động đã cho sẵn ở dạng

y = A sin ω t

nên ba câu hỏi chỉ là ba cách đọc hai hệ số:

ω

cho chu kì rồi cho tần số, còn

A

cho biên độ. Không cần giải phương trình nào, chỉ cần nhớ

T = \frac{2 π}{ω}

với

ω = 4 π

. Bẫy ở câu c là trả lời

25

centimét, trong khi khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất bằng hai lần biên độ.

1Cách 1. Đọc trực tiếp hai hệ số của phương trình dao động

Định hướng. Nhận ra $A$ với $ω$ rồi thay vào ba công thức quen thuộc của dao động điều hoà.

y = 25 sin 4 π t

có dạng

y = A sin ω t

với

A = 25

và

ω = 4 π

T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{4 π}

T = \frac{1}{2}

giây

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{1}{2}}

f = 2

dao động mỗi giây

c) biên độ

A = 25

nên vị trí cao nhất là

y = 25

cm và vị trí thấp nhất là

y = - 25

khoảng cách bằng

25 - (- 25)

= 50

Vậy $T = 0, 5$ giây, $f = 2$ dao động mỗi giây và khoảng cách giữa điểm cao nhất với điểm thấp nhất là $50$ cm.

2Cách 2. Kiểm bằng định nghĩa chu kì và bằng miền giá trị của sin

Định hướng. Không dùng công thức nhớ sẵn mà đi từ định nghĩa $y (t + T) = y (t)$ và từ chặn $- 1 \leq sin u \leq 1$ .

y (t + T) = 25 sin (4 π t + 4 π T)

trùng

y (t)

với mọi

t

khi

4 π T = 2 π

T = \frac{2 π}{4 π}

T = \frac{1}{2}

giây

b) số nhịp trong

1

giây là

\frac{1}{T} = \frac{1}{0 , 5}

f = 2

- 1 \leq sin 4 π t \leq 1

- 25 \leq 25 sin 4 π t \leq 25

độ dài đoạn giá trị bằng

25 - (- 25) = 50

Vậy ba đáp số được xác nhận lại bằng chính định nghĩa chu kì và miền giá trị của hàm sin, không cần mượn công thức nào.

3Cách 3. Đọc chu kì, tần số và biên độ ngay trên đồ thị dao động

Định hướng. Đồ thị li độ theo thời gian cho thấy chu kì bằng khoảng cách hai đỉnh liên tiếp và biên độ bằng độ cao của đỉnh.

hai đỉnh liên tiếp của đồ thị ở

t = \frac{1}{8}

và

t = \frac{5}{8}

T = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8}

T = \frac{1}{2}

giây

trên khoảng thời gian từ

t = 0

đến

t = 1

đồ thị đi hết đúng hai nhịp nên

f = 2

đỉnh cao nhất ở

y = 25

và đáy thấp nhất ở

y = - 25

khoảng cách theo trục tung bằng

50

Vậy đồ thị cho cả ba đáp số chỉ bằng việc đo khoảng cách giữa hai đỉnh và độ cao của một nhịp, nên đây là cách kiểm tra nhanh nhất khi sợ nhầm giữa tần số và tần số góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần nhận ra

ω = 4 π

rồi thay vào

T = \frac{2 π}{ω}

, cả bài gọn trong ba dòng; dùng Cách 3 để kiểm lại bằng hình nếu còn thời gian.

Đáp số. a)

T = \frac{1}{2}

giây; b)

f = 2

dao động mỗi giây; c)

50

Sai lầm thường gặp. Câu b hay bị lấy

f = ω = 4 π \approx 12, 57

do lẫn tần số với tần số góc. Tần số là số lần dao động trong một giây nên

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0 , 5} = 2

; kiểm lại trên đồ thị thì trong một giây con lắc đi đúng hai nhịp, chứ không thể hơn mười hai nhịp.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

y = A sin (ω t + φ)

thì

T = \frac{2 π}{ω}

f = \frac{ω}{2 π}

và khoảng cách hai vị trí biên luôn bằng

2∣ A ∣

; thử lại với

y = 8 sin (6 π t + \frac{π}{3})

để được

T = \frac{1}{3}

giây,

f = 3

và

16

cm.

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.24★★★★Trang 19— Bài toán thực tế dùng hàm côtang và tiệm cận đứng

Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao

40

m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức

S (t) = 40 cot \frac{π t}{12}

, ở đó

S

được tính bằng mét, còn

t

là số giờ tính từ

6

giờ sáng. a) Tính độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm

8

giờ sáng,

12

giờ trưa,

2

giờ chiều và

5

giờ

45

phút chiều. b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà? c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến

6

giờ tối?

Kiến thức cần nhớ

Biến $t$ đếm từ $6$ giờ sáng, nên một thời điểm $h$ giờ ứng với $t = h - 6$ .
$cot \frac{π}{6} = 3$ , $cot \frac{π}{4} = 1$ , $cot \frac{π}{2} = 0$ , $cot \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{3}$ và $cot \frac{3 π}{4} = - 1$ .
$∣ cot u ∣ = 1$ khi $u = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ .
Hàm $y = cot u$ có tiệm cận đứng tại $u = k π$ : khi $u \to k π$ thì $∣ cot u ∣$ tăng không giới hạn.

🧠 Phân tích tư duy

Công thức đã cho sẵn nên câu a chỉ là việc đổi mốc giờ thực tế sang biến

t

đếm từ

6

giờ sáng rồi thay số. Câu b là phương trình

∣ cot u ∣ = 1

, dấu hiệu quen thuộc dẫn tới góc

\frac{π}{4}

hoặc

\frac{3 π}{4}

, còn câu c hỏi về dáng điệu nên phải nhìn vào tiệm cận đứng của hàm côtang. Bẫy lớn nhất là quên trừ

6

giờ:

2

giờ chiều ứng với

t = 8

chứ không phải

t = 14

hay

t = 2

1Cách 1. Đổi mốc giờ sang biến

t

rồi tính trực tiếp theo công thức

Định hướng. Quy mỗi thời điểm về số giờ kể từ $6$ giờ sáng, sau đó tính giá trị côtang của góc tương ứng.

8

giờ sáng ứng với

t = 8 - 6 = 2

, khi đó

S (2) = 40 cot \frac{2 π}{12} = 40 cot \frac{π}{6} = 403 \approx 69, 3

12

giờ trưa ứng với

t = 6

, khi đó

S (6) = 40 cot \frac{6 π}{12} = 40 cot \frac{π}{2} = 40 \cdot 0 = 0

2

giờ chiều ứng với

t = 14 - 6 = 8

, khi đó

S (8) = 40 cot \frac{8 π}{12} = 40 cot \frac{2 π}{3} = 40 \cdot \frac{1}{3} = \frac{40 3}{3} \approx 23, 1

5

giờ

45

phút chiều ứng với

t = 17, 75 - 6 = 11, 75

, khi đó

S (11, 75) = 40 cot \frac{47 π}{48} = 40 cot \frac{π}{48} \approx 610, 3

S (t) = 40

cho

40 cot \frac{π t}{12} = 40

cot \frac{π t}{12} = 1

\frac{π t}{12} = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

t = 3 + 6 k

với

0 < t < 12

ta được

t = 3

và

t = 9

c) khi

t \to 1 2^{-}

thì

\frac{π t}{12} \to π^{-}

nên

sin \frac{π t}{12} \to 0^{+}

cot \frac{π t}{12} \to + \infty

nên

S (t) \to + \infty

Vậy a) bóng dài $403 \approx 69, 3$ m, rồi $0$ m, rồi $\frac{40 3}{3} \approx 23, 1$ m và khoảng $610, 3$ m; b) $t = 3$ và $t = 9$ , tức $9$ giờ sáng và $3$ giờ chiều; c) bóng dài ra vô hạn khi thời gian tiến tới $6$ giờ tối.

2Cách 2. Dùng góc nâng của Mặt Trời: so sánh bóng với chiều cao toà nhà

Định hướng. Gọi $α$ là góc nâng của Mặt Trời thì bóng và chiều cao liên hệ bởi $S = \frac{h}{tan α} = h ∣ cot α ∣$ , nên mô hình đã cho ứng với $α = \frac{π t}{12}$ .

góc nâng

α = \frac{π t}{12}

tăng từ

0

tới

π

trong

12

giờ ban ngày

b) bóng bằng chiều cao khi

∣ cot α ∣ = 1

, tức

α = 4 5^{\circ}

hoặc

α = 13 5^{\circ}

\frac{π t}{12} = \frac{π}{4}

cho

t = 3

, còn

\frac{π t}{12} = \frac{3 π}{4}

cho

t = 9

a) tại

t = 2

thì

α = 3 0^{\circ}

nên

S = 40 cot 3 0^{\circ} = 403 \approx 69, 3

tại

t = 6

thì

α = 9 0^{\circ}

, nắng chiếu thẳng đứng nên

S = 0

tại

t = 8

thì

α = 12 0^{\circ}

nên

S = 40 ∣ cot 12 0^{\circ} ∣ = \frac{40 3}{3} \approx 23, 1

tại

t = 11, 75

thì

α = 176, 2 5^{\circ}

, Mặt Trời gần sát chân trời nên

S = 40 cot 3, 7 5^{\circ} \approx 610, 3

c) khi

α \to 18 0^{\circ}

thì

tan α \to 0

nên

S \to + \infty

Vậy góc nâng $α$ giải thích trọn bài: bóng ngắn nhất đúng lúc nắng chiếu thẳng đứng giữa trưa, bằng chiều cao toà nhà khi nắng nghiêng $4 5^{\circ}$ , và dài ra vô hạn khi Mặt Trời sắp lặn.

3Cách 3. Đọc trên đồ thị của

S (t)

với hai tiệm cận đứng

Định hướng. Đồ thị $S (t) = 40 cot \frac{π t}{12}$ có hai tiệm cận đứng ở hai đầu ngày và chạm trục hoành đúng một lần, nên ba câu hỏi đều đọc được bằng hình.

đồ thị có hai tiệm cận đứng

t = 0

và

t = 12

, chạm trục hoành duy nhất tại

t = 6

a) tung độ đọc trên đồ thị tại

t = 2, 6, 8

lần lượt là

69, 3

0

m và

23, 1

m, còn tại

t = 11, 75

điểm đã vọt lên rất cao, ngoài khung hình

b) đường nằm ngang

S = 40

cắt đồ thị tại đúng hai điểm, hoành độ

t = 3

và

t = 9

hai nhánh đối xứng nhau qua đường thẳng

t = 6

nên

3 + 9 = 12

c) nhánh bên phải đi lên men theo tiệm cận

t = 12

nên

S

tăng không giới hạn

Vậy hình vẽ cho thấy bóng ngắn dần tới $0$ lúc giữa trưa rồi dài trở lại, và hai thời điểm bóng bằng chiều cao toà nhà đối xứng nhau quanh $12$ giờ trưa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a vì chỉ việc trừ

6

rồi thay số, rồi dùng Cách 2 cho câu b với câu c: góc nâng

4 5^{\circ}

và hình ảnh Mặt Trời sắp lặn cho lời giải thích gọn mà thuyết phục.

Đáp số. a)

S (2) = 403 \approx 69, 3

S (6) = 0

S (8) = \frac{40 3}{3} \approx 23, 1

S (11, 75) \approx 610, 3

m; b)

t = 3

và

t = 9

, tức

9

giờ sáng và

3

giờ chiều; c) khi

t \to 1 2^{-}

thì

S (t) \to + \infty

, bóng dài ra vô hạn

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thay thẳng giờ đồng hồ vào công thức, chẳng hạn lấy

t = 14

cho

2

giờ chiều và được

S = 40 cot \frac{7 π}{6} = 403 \approx 69, 3

m. Kết quả này trùng với lúc

8

giờ sáng nên vô lí, vì buổi chiều Mặt Trời đã lên cao hơn hẳn so với

8

giờ. Biến

t

đếm từ

6

giờ sáng nên

2

giờ chiều là

t = 8

và

S = \frac{40 3}{3} \approx 23, 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bóng của toà nhà cao

h

có độ dài

S (t) = h cot \frac{π t}{12}

, nên thời điểm bóng dài bằng

n

lần chiều cao luôn thoả

tan \frac{π t}{12} = \pm \frac{1}{n}

, cho

t = \frac{12}{π} arctan \frac{1}{n}

hoặc

t = 12 - \frac{12}{π} arctan \frac{1}{n}

; với

n = 1

ra đúng

t = 3

và

t = 9

Nguồn: SBT Toán 11 KNTT tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://loigiaihay.com/bai-3-ham-so-luong-giac-sbt-toan-11-kntt-e32837.html · https://vietjack.com/sbt-toan-11-kn/bai-1-16-trang-17-sbt-toan-lop-11-tap-1.jsp