Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 3. Hàm số lượng giác và đồ thị

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang17–19 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.16★★Trang 17— Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)

y = cot 3 x

; b)

y = 1 - cos 4 x

; c)

y = \frac{cos 2 x}{sin ^{2} x - cos ^{2} x}

; d)

y = \frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = tan u$ xác định khi $cos u \neq = 0$ , tức $u \neq = \frac{π}{2} + k π$ ; hàm số $y = cot u$ xác định khi $sin u \neq = 0$ , tức $u \neq = k π$ .
Căn bậc hai $A$ xác định khi $A \geq 0$ ; phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \neq = 0$ .
Công thức nhân đôi và hạ bậc: $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ , $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ và $sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x$ .
Điểm biểu diễn của cung $α$ trùng $A (1; 0)$ hoặc $A^{'} (- 1; 0)$ khi $sin α = 0$ , trùng $B (0; 1)$ hoặc $B^{'} (0; - 1)$ khi $cos α = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều là hàm hợp của các hàm lượng giác nên dấu hiệu cần truy là những chỗ làm biểu thức mất nghĩa: mẫu bằng không hoặc biểu thức dưới căn âm. Hai ý cuối trông rối vì có cả bình phương lẫn căn, nhưng hạ bậc bằng công thức nhân đôi thì mỗi mẫu chỉ còn một hàm lượng giác của góc gấp đôi. Bẫy lớn nhất nằm ở ý d: nhiều bạn đi giải bất phương trình cho cả biểu thức dưới căn, trong khi tử bằng

2 cos^{2} x

và mẫu

1 - sin 2 x

đều không âm nên chỉ còn đúng một điều kiện là mẫu khác không.

1Cách 1. Dùng trực tiếp điều kiện xác định của cot, của căn và của phân thức

Định hướng. Mỗi ý chỉ cần chặn đúng chỗ làm biểu thức mất nghĩa: mẫu khác không và biểu thức dưới căn không âm.

y = cot 3 x

xác định khi

sin 3 x \neq = 0

3 x \neq = k π

x \neq = \frac{k π}{3}

với

k \in Z

y = 1 - cos 4 x

xác định khi

1 - cos 4 x \geq 0

cos 4 x \leq 1

đúng với mọi

x \in R

nên

D = R

y = \frac{cos 2 x}{sin ^{2} x - cos ^{2} x}

xác định khi

sin^{2} x - cos^{2} x \neq = 0

- cos 2 x \neq = 0

2 x \neq = \frac{π}{2} + k π

x \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

y = \frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x}

xác định khi

\frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x} \geq 0

và

1 - sin 2 x \neq = 0

1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x \geq 0

và

1 - sin 2 x \geq 0

nên thương không âm với mọi

x

làm mẫu khác không

sin 2 x \neq = 1

2 x \neq = \frac{π}{2} + k 2 π

x \neq = \frac{π}{4} + k π

với

k \in Z

Vậy a) $D = R ∖ {\frac{k π}{3}}$ ; b) $D = R$ ; c) $D = R ∖ {\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}}$ ; d) $D = R ∖ {\frac{π}{4} + k π}$ với $k \in Z$ .

2Cách 2. Hạ bậc để mỗi biểu thức chỉ còn một hàm lượng giác của góc gấp đôi

Định hướng. Ba đẳng thức $1 - cos 4 x = 2 sin^{2} 2 x$ , $sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x$ và $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ biến bốn ý thành bốn điều kiện đọc được ngay.

cot 3 x = \frac{cos 3 x}{sin 3 x}

nên cần

sin 3 x \neq = 0

, tức

x \neq = \frac{k π}{3}

1 - cos 4 x = 2 sin^{2} 2 x \geq 0

với mọi

x

căn luôn có nghĩa nên

D = R

sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x

y = \frac{cos 2 x}{- cos 2 x} = - 1

với mọi

x

làm

cos 2 x \neq = 0

x \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

\frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x} = \frac{2 cos ^{2} x}{1 - sin 2 x}

tử không âm, mẫu

1 - sin 2 x \geq 0

nên chỉ cần mẫu khác không

x \neq = \frac{π}{4} + k π

Vậy bốn tập xác định vẫn như Cách 1, và hạ bậc còn cho thêm một chi tiết đáng giá: hàm số ở ý c thực chất là hàm hằng $y = - 1$ trên toàn bộ tập xác định của nó.

3Cách 3. Đọc trên đường tròn lượng giác: điểm biểu diễn phải tránh vị trí đặc biệt

Định hướng. Chuyển mỗi điều kiện thành một yêu cầu về vị trí của điểm biểu diễn cung tương ứng trên đường tròn lượng giác.

sin 3 x \neq = 0

nên điểm biểu diễn cung

3 x

không được trùng

A (1; 0)

và

A^{'} (- 1; 0)

3 x \neq = k π

cho

x \neq = \frac{k π}{3}

b) biểu thức không có mẫu và

1 - cos 4 x \geq 0

luôn đúng nên không điểm nào bị loại

cos 2 x \neq = 0

nên điểm biểu diễn cung

2 x

không được trùng

B (0; 1)

và

B^{'} (0; - 1)

2 x \neq = \frac{π}{2} + k π

cho

x \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

sin 2 x \neq = 1

nên điểm biểu diễn cung

2 x

chỉ phải tránh duy nhất điểm

B (0; 1)

2 x \neq = \frac{π}{2} + k 2 π

cho

x \neq = \frac{π}{4} + k π

Vậy ba cách cho cùng đáp số, và nhìn trên đường tròn thấy rất rõ vì sao ý c loại HAI điểm nên các điểm loại cách nhau $\frac{π}{2}$ , còn ý d chỉ loại MỘT điểm nên các điểm loại cách nhau $π$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì hạ bậc xong mỗi ý chỉ còn một hàm lượng giác duy nhất, điều kiện hiện ra sau một dòng và lại lộ luôn chi tiết ý c là hàm hằng

y = - 1

Đáp số. a)

D = R ∖ {\frac{k π}{3}}

; b)

D = R

; c)

D = R ∖ {\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}}

; d)

D = R ∖ {\frac{π}{4} + k π}

với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý d hay bị viết thành điều kiện

\frac{1 + cos 2 x}{1 - sin 2 x} > 0

rồi loại luôn những

x

làm tử bằng không, chẳng hạn loại

x = \frac{π}{2}

. Thử lại tại

x = \frac{π}{2}

: tử bằng

1 + cos π = 0

, mẫu bằng

1 - sin π = 1 \neq = 0

nên thương bằng

0

và căn vẫn có nghĩa,

y = 0

. Điều kiện đúng là thương

\geq 0

kèm mẫu khác không.

🚀 Mở rộng. Đổi ý d thành

y = \frac{1 - cos 2 x}{1 + sin 2 x}

thì tử là

2 sin^{2} x \geq 0

, mẫu chỉ bằng không khi

sin 2 x = - 1

, nên tập xác định là

R

bỏ đi các điểm

x = - \frac{π}{4} + k π

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.17★★★Trang 17— Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a)

y = 2 + 3∣ cos x ∣

; b)

y = 2 sin x + 1

; c)

y = 3 cos^{2} x + 4 cos 2 x

; d)

y = sin x + cos x

Kiến thức cần nhớ

Với mọi $x$ thì $- 1 \leq sin x \leq 1$ và $- 1 \leq cos x \leq 1$ , do đó $0 \leq ∣ cos x ∣ \leq 1$ .
Công thức hạ bậc $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ dùng để gộp $cos^{2} x$ và $cos 2 x$ về một hàm duy nhất.
Công thức gộp $a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + α)$ với $α$ thoả $cos α = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}$ và $sin α = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
Hàm $y = m + A cos u$ hoặc $y = m + A sin u$ có giá trị lớn nhất $m + ∣ A ∣$ và nhỏ nhất $m - ∣ A ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều quy về việc chặn đúng một đại lượng lượng giác giữa hai số, nên việc đầu tiên là nhận ra đại lượng nào thực sự biến thiên. Ý c có cả

cos^{2} x

và

cos 2 x

nên buộc phải hạ bậc để chỉ còn một hàm, giữ nguyên hai hàm khác nhau là chặn sai ngay. Bẫy nằm ở ý b: tập xác định chỉ gồm những

x

có

sin x \geq 0

nên

sin x

chạy trong đoạn từ

0

đến

1

chứ không phải từ

- 1

đến

1

1Cách 1. Chặn trực tiếp từ miền giá trị của sin và cos

Định hướng. Tìm đoạn biến thiên của đại lượng lượng giác rồi nhân và cộng để suy ra đoạn biến thiên của $y$ .

0 \leq ∣ cos x ∣ \leq 1

0 \leq 3∣ cos x ∣ \leq 3

2 \leq 2 + 3∣ cos x ∣ \leq 5

y = 2

khi

cos x = 0

, tức

x = \frac{π}{2} + k π

;

y = 5

khi

∣ cos x ∣ = 1

, tức

x = k π

b) hàm số xác định khi

sin x \geq 0

, lúc đó

0 \leq sin x \leq 1

0 \leq sin x \leq 1

1 \leq 2 sin x + 1 \leq 3

y = 1

khi

sin x = 0

, tức

x = k π

;

y = 3

khi

sin x = 1

, tức

x = \frac{π}{2} + k 2 π

y = 3 cos^{2} x + 4 cos 2 x = 3 \cdot \frac{1 + cos 2 x}{2} + 4 cos 2 x

y = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} cos 2 x + 4 cos 2 x

y = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} cos 2 x

- 1 \leq cos 2 x \leq 1

nên

\frac{3}{2} - \frac{11}{2} \leq y \leq \frac{3}{2} + \frac{11}{2}

- 4 \leq y \leq 7

y = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1

- 2 \leq y \leq 2

Vậy a) giá trị nhỏ nhất $2$ và lớn nhất $5$ ; b) nhỏ nhất $1$ và lớn nhất $3$ ; c) nhỏ nhất $- 4$ và lớn nhất $7$ ; d) nhỏ nhất $- 2$ và lớn nhất $2$ .

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị y = 2 + 3|cosx| nằm trọn trong dải giữa hai đường nét đứt y = 2 và y = 5

2Cách 2. Đặt ẩn phụ rồi khảo sát hàm bậc nhất trên đoạn

Định hướng. Mỗi ý chỉ chứa một đại lượng lượng giác, đặt nó làm ẩn phụ thì bài toán thành tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm bậc nhất trên một đoạn.

a) đặt

t = ∣ cos x ∣

với

t \in [0; 1]

, khi đó

y = 2 + 3 t

đồng biến trên

[0; 1]

y (0) = 2

và

y (1) = 2 + 3

y (1) = 5

b) đặt

u = sin x

với

u \in [0; 1]

, khi đó

y = 2 u + 1

đồng biến trên

[0; 1]

y (0) = 1

và

y (1) = 2 + 1

y (1) = 3

c) đặt

c = cos 2 x

với

c \in [- 1; 1]

, khi đó

y = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} c

đồng biến

y (- 1) = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = - 4

và

y (1) = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = 7

d) đặt

s = sin x + cos x

, từ

s^{2} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

và

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

0 \leq s^{2} \leq 2

- 2 \leq s \leq 2

Vậy bốn cặp giá trị lớn nhất và nhỏ nhất vẫn là $(5; 2)$ , $(3; 1)$ , $(7; - 4)$ và $(2; - 2)$ ; riêng ý d cách bình phương tránh hẳn việc phải nhớ công thức gộp.

3Cách 3. Đưa về một hàm lượng giác duy nhất rồi đọc trục dao động và biên độ

Định hướng. Viết mỗi hàm thành trục dao động cộng biên độ nhân một hàm lượng giác, khi đó hai giá trị cần tìm chính là hai mức biên của dải.

y = 2 + 3∣ cos x ∣

có trục

y = 2

, phần dao động

3∣ cos x ∣

không âm và lớn nhất bằng

3

đồ thị nằm trọn trong dải từ

y = 2

đến

y = 5

và chạm cả hai biên

y = 2 sin x + 1

có trục

y = 1

, phần dao động

2 sin x

không âm và lớn nhất bằng

2

đồ thị nằm trong dải từ

y = 1

đến

y = 3

y = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} cos 2 x

có trục

y = \frac{3}{2}

và biên độ

\frac{11}{2}

y_{m a x} = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = 7

và

y_{m i n} = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = - 4

y = 2 sin (x + \frac{π}{4})

có trục

y = 0

và biên độ

2

y_{m a x} = 2

và

y_{m i n} = - 2

Vậy cách nhìn theo trục dao động và biên độ cho ý c với ý d ra đáp số chỉ trong một dòng, vì mọi hàm dạng $y = m + A cos u$ đều có giá trị lớn nhất $m + ∣ A ∣$ và nhỏ nhất $m - ∣ A ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý c và ý d vì sau khi gộp về một hàm lượng giác thì đáp số đọc ngay ra từ trục dao động và biên độ; riêng ý b vẫn nên theo Cách 1 để không quên điều kiện

sin x \geq 0

Đáp số. a)

y_{m i n} = 2

y_{m a x} = 5

; b)

y_{m i n} = 1

y_{m a x} = 3

; c)

y_{m i n} = - 4

y_{m a x} = 7

; d)

y_{m i n} = - 2

y_{m a x} = 2

Sai lầm thường gặp. Ý b rất hay bị làm thành

- 1 \leq sin x \leq 1

rồi kết luận

y_{m i n} = 2 \cdot (- 1) + 1 = - 1

. Nhưng tại

x = - \frac{π}{2}

thì

sin x = - 1

và

- 1

không tồn tại, nên

x = - \frac{π}{2}

còn không thuộc tập xác định; giá trị nhỏ nhất thật sự là

1

, đạt khi

sin x = 0

🚀 Mở rộng. Cùng phép hạ bậc, hàm

y = a cos^{2} x + b cos 2 x

luôn viết được thành

\frac{a}{2} + (\frac{a}{2} + b) cos 2 x

nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là

\frac{a}{2} \pm \frac{a}{2} + b

; thay

a = 3

b = 4

được đúng

7

và

- 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.18★★Trang 18— Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a)

y = \frac{cos 2 x}{x ^{3}}

; b)

y = x - sin 3 x

; c)

y = 1 + cos x

; d)

y = 1 + cos x sin (\frac{3 π}{2} - 2 x)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ có tập xác định $D$ đối xứng qua $0$ gọi là chẵn nếu $f (- x) = f (x)$ và gọi là lẻ nếu $f (- x) = - f (x)$ với mọi $x \in D$ .
$cos$ là hàm chẵn, còn $sin$ , $tan$ , $cot$ và $x^{n}$ với $n$ lẻ đều là hàm lẻ.
Thương hoặc tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là hàm lẻ; tích của hai hàm cùng tính chẵn lẻ là hàm chẵn.
Hai đẳng thức cần dùng: $sin (\frac{3 π}{2} - u) = - cos u$ và $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.19★★★Trang 18— Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số lượng giác

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a)

y = A sin (ω x + φ)

với

A > 0

; b)

y = A tan (ω x + φ)

với

A > 0

; c)

y = 3 sin 2 x + 3 cos 2 x

; d)

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 3 sin (2 x - \frac{π}{3})

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ tuần hoàn với chu kì $T > 0$ nếu $f (x + T) = f (x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, và $T$ là số dương nhỏ nhất có tính chất đó.
$y = sin x$ và $y = cos x$ tuần hoàn với chu kì $2 π$ ; $y = tan x$ và $y = cot x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .
Hàm $y = A sin (ω x + φ)$ có chu kì $T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}$ , còn $y = A tan (ω x + φ)$ có chu kì $T = \frac{π}{∣ ω ∣}$ với $ω \neq = 0$ .
Biến tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.20★★Trang 18— Tìm điều kiện để một đẳng thức lượng giác đúng

Với giá trị nào của

x

, mỗi đẳng thức sau đúng? a)

tan x cot x = 1

; b)

1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}

; c)

1 + cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}

; d)

tan x + cot x = \frac{2}{sin 2 x}

Kiến thức cần nhớ

Một đẳng thức chỉ đúng tại những $x$ làm cả hai vế cùng có nghĩa, nên bài này thực chất là bài tìm tập xác định của hai vế.
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ cần $cos x \neq = 0$ ; $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ cần $sin x \neq = 0$ .
$sin 2 x = 2 sin x cos x$ nên $sin x cos x \neq = 0$ và $sin 2 x \neq = 0$ là cùng một điều kiện, cho $x \neq = \frac{k π}{2}$ .
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ là chìa khoá để biến đổi cả bốn đẳng thức.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.21★★★Trang 18— Dựng đồ thị hàm số lượng giác bằng phép biến hình đồ thị

Từ đồ thị hàm số

y = cos x

, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau: a)

y = - cos x

; b)

y = ∣ cos x ∣

; c)

y = cos x + 1

; d)

y = cos (x + \frac{π}{2})

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị $y = - f (x)$ là ảnh của đồ thị $y = f (x)$ qua phép đối xứng trục $O x$ .
Đồ thị $y = ∣ f (x) ∣$ giữ nguyên phần nằm trên $O x$ và lấy đối xứng phần nằm dưới $O x$ lên phía trên.
Đồ thị $y = f (x) + b$ là ảnh của đồ thị $y = f (x)$ qua phép dịch theo trục tung $b$ đơn vị; đồ thị $y = f (x + a)$ là ảnh qua phép dịch theo trục hoành sang trái $a$ đơn vị khi $a > 0$ .
Hai đẳng thức tiện dùng: $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ và $cos x + 1 = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.22★★Trang 18— Đọc nghiệm và dấu của hàm số lượng giác trên một đoạn

Từ đồ thị hàm số

y = sin x

, hãy xác định các giá trị của

x

trên đoạn

[- \frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]

sao cho: a)

sin x = 0

; b)

sin x > 0

Kiến thức cần nhớ

$sin x = 0$ khi và chỉ khi $x = k π$ với $k \in Z$ .
$sin x > 0$ khi và chỉ khi $k 2 π < x < π + k 2 π$ , tức khi điểm biểu diễn nằm ở nửa trên của đường tròn lượng giác.
Trên đồ thị, nghiệm của $sin x = 0$ là hoành độ các giao điểm với trục hoành, còn $sin x > 0$ ứng với các khoảng đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Khi đề giới hạn trên một đoạn thì phải cắt tập nghiệm tổng quát theo đoạn đó và xét riêng hai đầu mút.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.23★★Trang 18— Bài toán dao động điều hoà: chu kì, tần số và biên độ

Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình

y = 25 sin 4 π t

(

y

tính bằng centimét,

t

tính bằng giây). a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo. b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây. c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc.

Kiến thức cần nhớ

Dao động điều hoà $y = A sin (ω t + φ)$ có biên độ $∣ A ∣$ , chu kì $T = \frac{2 π}{ω}$ và tần số $f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}$ .
Chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại đúng trạng thái cũ, đo được bằng khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp trên đồ thị.
Tần số là số dao động thực hiện trong một giây, không phải tần số góc $ω$ .
Vì $- 1 \leq sin u \leq 1$ nên li độ thoả $- ∣ A ∣ \leq y \leq ∣ A ∣$ , khoảng cách hai vị trí biên bằng $2∣ A ∣$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.24★★★★Trang 19— Bài toán thực tế dùng hàm côtang và tiệm cận đứng

Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao

40

m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức

S (t) = 40 cot \frac{π t}{12}

, ở đó

S

được tính bằng mét, còn

t

là số giờ tính từ

6

giờ sáng. a) Tính độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm

8

giờ sáng,

12

giờ trưa,

2

giờ chiều và

5

giờ

45

phút chiều. b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà? c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến

6

giờ tối?

Kiến thức cần nhớ

Biến $t$ đếm từ $6$ giờ sáng, nên một thời điểm $h$ giờ ứng với $t = h - 6$ .
$cot \frac{π}{6} = 3$ , $cot \frac{π}{4} = 1$ , $cot \frac{π}{2} = 0$ , $cot \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{3}$ và $cot \frac{3 π}{4} = - 1$ .
$∣ cot u ∣ = 1$ khi $u = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ .
Hàm $y = cot u$ có tiệm cận đứng tại $u = k π$ : khi $u \to k π$ thì $∣ cot u ∣$ tăng không giới hạn.