Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang24–25 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.25★★Trang 24— Giải phương trình lượng giác cơ bản

Giải các phương trình sau: a)

2 sin (\frac{x}{3} + 1 5^{\circ}) + 2 = 0

; b)

cos (2 x + \frac{π}{5}) = - 1

; c)

3 tan 2 x + 3 = 0

; d)

cot (2 x - 3) = cot 1 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$sin u = sin v \Leftrightarrow u = v + k 2 π$ hoặc $u = π - v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$cos u = cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$tan u = tan v \Leftrightarrow u = v + k π$ và $cot u = cot v \Leftrightarrow u = v + k π$ , $k \in Z$ .
Khi cung đo bằng độ thì chu kì của sin và côsin là $k \cdot 36 0^{\circ}$ , của tang và côtang là $k \cdot 18 0^{\circ}$ ; đổi đơn vị bằng hệ thức $18 0^{\circ} = π$ .
Cung đặc biệt cần thuộc: $sin (- 4 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}$ , $cos π = - 1$ , $tan (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều chỉ chứa MỘT hàm lượng giác của một cung bậc nhất theo

x

, nên dấu hiệu là cô lập hàm đó rồi đưa về bốn dạng cơ bản

sin u = m

cos u = m

tan u = m

cot u = m

. Việc cần cân nhắc là chọn cung mốc: lấy mốc là cung đặc biệt thì nghiệm gọn, lấy mốc bằng

arcsin

hay

arctan

thì dài vô ích. Bẫy nằm ở đơn vị đo: ý a và ý d dùng độ nên chu kì phải viết

k \cdot 36 0^{\circ}

hoặc

k \cdot 18 0^{\circ}

, riêng ý d còn trộn số đo thực

3

với số đo độ

1 5^{\circ}

nên phải đổi

1 5^{\circ} = \frac{π}{12}

trước khi cộng.

1Cách 1. Cô lập hàm lượng giác rồi dùng ngay công thức nghiệm tổng quát

Định hướng. Đưa mỗi phương trình về đúng một dạng cơ bản, chọn cung mốc là cung đặc biệt rồi viết công thức nghiệm.

2 sin (\frac{x}{3} + 1 5^{\circ}) + 2 = 0

sin (\frac{x}{3} + 1 5^{\circ}) = - \frac{2}{2} = sin (- 4 5^{\circ})

\frac{x}{3} + 1 5^{\circ} = - 4 5^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

hoặc

\frac{x}{3} + 1 5^{\circ} = 22 5^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

\frac{x}{3} = - 6 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

hoặc

\frac{x}{3} = 21 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

x = - 18 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}

hoặc

x = 63 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}

với

k \in Z

cos (2 x + \frac{π}{5}) = - 1 = cos π

2 x + \frac{π}{5} = π + k 2 π

2 x = \frac{4 π}{5} + k 2 π

x = \frac{2 π}{5} + k π

với

k \in Z

3 tan 2 x + 3 = 0

tan 2 x = - \frac{3}{3} = tan (- \frac{π}{6})

2 x = - \frac{π}{6} + k π

x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

cot (2 x - 3) = cot 1 5^{\circ} = cot \frac{π}{12}

2 x - 3 = \frac{π}{12} + k π

2 x = 3 + \frac{π}{12} + k π

x = \frac{3}{2} + \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

Vậy a) $x = - 18 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}$ hoặc $x = 63 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}$ ; b) $x = \frac{2 π}{5} + k π$ ; c) $x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}$ ; d) $x = \frac{3}{2} + \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}$ với $k \in Z$ .

2Cách 2. Đọc nghiệm trên đường tròn lượng giác qua vị trí điểm biểu diễn

Định hướng. Mỗi phương trình cơ bản chỉ là câu hỏi điểm biểu diễn nằm ở đâu trên đường tròn lượng giác, nên đọc vị trí rồi suy ra cung.

a) đường thẳng tung độ

- \frac{2}{2}

cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm

M_{1}

M_{2}

đối xứng qua trục

O y

M_{1}

ứng với cung

- 4 5^{\circ}

và

M_{2}

ứng với cung

22 5^{\circ}

\frac{x}{3} + 1 5^{\circ} \in {- 4 5^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}; 22 5^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}}

x \in {- 18 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}; 63 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}}

với

k \in Z

b) điểm có hoành độ

- 1

duy nhất là

A^{'} (- 1; 0)

, ứng với cung

π + k 2 π

2 x + \frac{π}{5} = π + k 2 π

x = \frac{2 π}{5} + k π

với

k \in Z

c) trên trục tang, điểm có tung độ

- \frac{3}{3}

nối với

O

cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng tâm, ứng với cung

- \frac{π}{6} + k π

2 x = - \frac{π}{6} + k π

x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

d) trên trục côtang, điểm có hoành độ

cot \frac{π}{12}

cho hai điểm đối xứng tâm, ứng với cung

\frac{π}{12} + k π

2 x - 3 = \frac{π}{12} + k π

x = \frac{3}{2} + \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

Vậy bốn họ nghiệm thu được trùng khít với Cách 1, trong đó hai họ của ý a chính là hai điểm $M_{1}$ , $M_{2}$ trên hình.

3Cách 3. Biến hiệu hai hàm lượng giác thành tích, chuyển sang phương trình tích

Định hướng. Mỗi phương trình đều có dạng hai hàm cùng loại bằng nhau, nên chuyển hết về một vế rồi biến hiệu thành tích.

sin (\frac{x}{3} + 1 5^{\circ}) - sin (- 4 5^{\circ}) = 0

2 cos (\frac{x}{6} - 1 5^{\circ}) sin (\frac{x}{6} + 3 0^{\circ}) = 0

\frac{x}{6} - 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

hoặc

\frac{x}{6} + 3 0^{\circ} = k \cdot 18 0^{\circ}

x = 63 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}

hoặc

x = - 18 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}

với

k \in Z

cos (2 x + \frac{π}{5}) - cos π = 0

- 2 sin (x + \frac{π}{10} + \frac{π}{2}) sin (x + \frac{π}{10} - \frac{π}{2}) = 0

x + \frac{π}{10} - \frac{π}{2} = k π

x = \frac{2 π}{5} + k π

với

k \in Z

tan 2 x - tan (- \frac{π}{6}) = \frac{sin ( 2 x + \frac{π}{6} )}{cos 2 x cos \frac{π}{6}} = 0

sin (2 x + \frac{π}{6}) = 0

2 x + \frac{π}{6} = k π

x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

cot (2 x - 3) - cot \frac{π}{12} = \frac{sin ( \frac{π}{12} - 2 x + 3 )}{sin ( 2 x - 3 ) sin \frac{π}{12}} = 0

\frac{π}{12} - 2 x + 3 = k π

x = \frac{3}{2} + \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

Vậy kết quả bốn ý y như hai cách trên.

Nhận xét. Ở ý b hai nhân tử chỉ cho MỘT họ nghiệm chung, đúng như bản chất của $cos u = - 1$ : điểm biểu diễn là một điểm duy nhất nên không thể sinh ra hai họ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn công thức nghiệm là kiến thức bắt buộc phải thuộc, mỗi ý chỉ ba dòng và không cần nhớ thêm công thức biến đổi nào; Cách 3 chỉ nên dùng khi hai vế đã sẵn hai hàm cùng loại như ý a và ý d.

Đáp số. a)

x = - 18 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}

hoặc

x = 63 0^{\circ} + k \cdot 108 0^{\circ}

; b)

x = \frac{2 π}{5} + k π

; c)

x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}

; d)

x = \frac{3}{2} + \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý a hay bị mất họ thứ hai vì chỉ lấy

\frac{x}{3} + 1 5^{\circ} = - 4 5^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

, khi đó nghiệm

x = 63 0^{\circ}

biến mất dù thay vào ta có

sin (21 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = sin 22 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

đúng. Lỗi thứ hai là nhân chu kì sai: từ

\frac{x}{3} = - 6 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

nhiều bạn viết

x = - 18 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

, nhưng

k = 1

cho

x = 18 0^{\circ}

mà

sin (6 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = sin 7 5^{\circ} \neq = - \frac{2}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, phương trình

sin (a x + b) = m

với

∣ m ∣ \leq 1

và

a \neq = 0

luôn có hai họ nghiệm

x = \frac{arcsin m - b}{a} + \frac{k 2 π}{a}

và

x = \frac{π - arcsin m - b}{a} + \frac{k 2 π}{a}

; thay

a = \frac{1}{3}

sẽ thấy chu kì bị nhân lên ba lần thành

108 0^{\circ}

đúng như ý a.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.26★★★Trang 24— Đưa phương trình lượng giác về dạng cơ bản

Giải các phương trình sau: a)

sin (2 x + 1 5^{\circ}) + cos (2 x - 1 5^{\circ}) = 0

; b)

cos (2 x + \frac{π}{5}) + cos (3 x - \frac{π}{6}) = 0

; c)

tan x + cot x = 0

; d)

sin x + tan x = 0

Kiến thức cần nhớ

Công thức góc phụ: $cos α = sin (9 0^{\circ} - α)$ và $sin α = cos (9 0^{\circ} - α)$ .
Công thức góc bù: $- cos α = cos (π - α)$ và $- sin α = sin (- α)$ .
Biến tổng thành tích: $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ và $cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ .
$tan x$ xác định khi $cos x \neq = 0$ , $cot x$ xác định khi $sin x \neq = 0$ ; trên miền xác định chung thì $tan x \cdot cot x = 1$ .
$tan x + cot x = \frac{1}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}$ nên biểu thức này không bao giờ nhận giá trị $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái mỗi ý là TỔNG hai hàm lượng giác chứ không phải một hàm đơn lẻ, nên trước khi dùng công thức nghiệm bắt buộc phải gộp tổng ấy lại. Ý a và ý b có hai hàm cùng loại sau một phép góc phụ nên biến tổng thành tích là đường ngắn nhất, còn ý c và ý d là tổng của hai hàm nghịch đảo nhau nên phải quy về sin cùng côsin kèm điều kiện xác định. Bẫy lớn nhất là bỏ điều kiện: nhân hai vế với

cos x

hay

sin x

mà không loại chỗ làm mẫu bằng không thì sinh ra nghiệm thừa.

1Cách 1. Dùng công thức góc phụ và góc bù để đưa hai hàm về cùng một loại

Định hướng. Đổi một trong hai hàm sang loại của hàm kia, khi đó bài trở thành so sánh hai cung có cùng hàm lượng giác.

cos (2 x - 1 5^{\circ}) = sin (10 5^{\circ} - 2 x)

nên phương trình thành

sin (2 x + 1 5^{\circ}) = sin (2 x - 10 5^{\circ})

2 x + 1 5^{\circ} = 2 x - 10 5^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

cho

12 0^{\circ} = k \cdot 36 0^{\circ}

, loại

2 x + 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - (2 x - 10 5^{\circ}) + k \cdot 36 0^{\circ}

4 x = 27 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

x = 67, 5^{\circ} + k \cdot 9 0^{\circ}

với

k \in Z

cos (3 x - \frac{π}{6}) = - cos (2 x + \frac{π}{5}) = cos (\frac{4 π}{5} - 2 x)

3 x - \frac{π}{6} = \frac{4 π}{5} - 2 x + k 2 π

hoặc

3 x - \frac{π}{6} = 2 x - \frac{4 π}{5} + k 2 π

5 x = \frac{29 π}{30} + k 2 π

hoặc

x = - \frac{19 π}{30} + k 2 π

x = \frac{29 π}{150} + \frac{2 k π}{5}

hoặc

x = - \frac{19 π}{30} + k 2 π

với

k \in Z

c) điều kiện

sin x \neq = 0

và

cos x \neq = 0

;

cot x = tan (9 0^{\circ} - x)

nên phương trình thành

tan x = - tan (9 0^{\circ} - x) = tan (x - 9 0^{\circ})

x = x - 9 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

cho

9 0^{\circ} = k \cdot 18 0^{\circ}

, vô lí

phương trình vô nghiệm

d) điều kiện

cos x \neq = 0

;

\frac{sin x}{cos x} = - sin x

sin x = - sin x cos x

sin x (1 + cos x) = 0

sin x = 0

hoặc

cos x = - 1

, cả hai đều cho

x = k π

và thoả

cos x \neq = 0

Vậy a) $x = 67, 5^{\circ} + k \cdot 9 0^{\circ}$ ; b) $x = \frac{29 π}{150} + \frac{2 k π}{5}$ hoặc $x = - \frac{19 π}{30} + k 2 π$ ; c) phương trình vô nghiệm; d) $x = k π$ với $k \in Z$ .

Hình minh hoạ lời giải

Đường tròn lượng giác: bốn điểm biểu diễn của họ nghiệm x = 67,5° + k90° là bốn đỉnh một hình vuông

2Cách 2. Biến tổng thành tích rồi giải phương trình tích

Định hướng. Sau một phép góc phụ, hai hạng tử của ý a và ý b thành hai hàm cùng loại nên gộp được thành tích; ý c và ý d thì quy về một phân thức duy nhất.

sin (2 x + 1 5^{\circ}) + sin (10 5^{\circ} - 2 x) = 0

2 sin 6 0^{\circ} cos (2 x - 4 5^{\circ}) = 0

3 cos (2 x - 4 5^{\circ}) = 0

2 x - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

x = 67, 5^{\circ} + k \cdot 9 0^{\circ}

với

k \in Z

2 cos (\frac{5 x}{2} + \frac{π}{60}) cos (- \frac{x}{2} + \frac{11 π}{60}) = 0

\frac{5 x}{2} + \frac{π}{60} = \frac{π}{2} + k π

hoặc

- \frac{x}{2} + \frac{11 π}{60} = \frac{π}{2} + k π

\frac{5 x}{2} = \frac{29 π}{60} + k π

hoặc

- \frac{x}{2} = \frac{19 π}{60} + k π

x = \frac{29 π}{150} + \frac{2 k π}{5}

hoặc

x = - \frac{19 π}{30} + k 2 π

với

k \in Z

c) điều kiện

sin x cos x \neq = 0

;

tan x + cot x = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x} = \frac{1}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}

tử số bằng

2 \neq = 0

nên phân thức không bao giờ bằng

0

phương trình vô nghiệm

d) điều kiện

cos x \neq = 0

;

sin x + tan x = \frac{sin x ( cos x + 1 )}{cos x} = 0

sin x (cos x + 1) = 0

x = k π

với

k \in Z

Vậy bốn kết quả trùng khít Cách 1 nhưng ý a chỉ còn một họ duy nhất ngay từ dòng thứ hai, không phải xét rồi loại trường hợp nào.

3Cách 3. Lập luận đối xứng của hai điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Hai cung có sin bằng nhau thì hai điểm biểu diễn đối xứng qua $O y$ , có côsin đối nhau thì đối xứng qua $O y$ hoặc qua tâm, nên đọc ngay quan hệ giữa hai cung.

sin (2 x + 1 5^{\circ}) = sin (2 x - 10 5^{\circ})

nên hai điểm hoặc trùng nhau, hoặc đối xứng qua

O y

trùng nhau thì hiệu hai cung là

k \cdot 36 0^{\circ}

, cho

12 0^{\circ} = k \cdot 36 0^{\circ}

, loại

đối xứng qua

O y

thì tổng hai cung là

18 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

(2 x + 1 5^{\circ}) + (2 x - 10 5^{\circ}) = 18 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

x = 67, 5^{\circ} + k \cdot 9 0^{\circ}

với

k \in Z

b) hai cung có côsin đối nhau nên tổng bằng

π + k 2 π

hoặc hiệu bằng

π + k 2 π

(2 x + \frac{π}{5}) + (3 x - \frac{π}{6}) = π + k 2 π

cho

5 x = \frac{29 π}{30} + k 2 π

(3 x - \frac{π}{6}) - (2 x + \frac{π}{5}) = π + k 2 π

cho

x = \frac{41 π}{30} + k 2 π = - \frac{19 π}{30} + k 2 π

x = \frac{29 π}{150} + \frac{2 k π}{5}

hoặc

x = - \frac{19 π}{30} + k 2 π

với

k \in Z

tan x \cdot cot x = 1 > 0

nên hai số

tan x

cot x

luôn cùng dấu và đều khác

0

tổng hai số cùng dấu không thể bằng

0

nên phương trình vô nghiệm

sin x (1 + cos x) = 0

nên điểm biểu diễn của

x

nằm trên trục hoành hoặc trùng

A^{'} (- 1; 0)

cả hai khả năng gộp lại là điểm biểu diễn trùng

A (1; 0)

hoặc

A^{'} (- 1; 0)

x = k π

với

k \in Z

Vậy nghiệm bốn ý vẫn đúng như hai cách trên; bốn điểm biểu diễn của ý a cách nhau $9 0^{\circ}$ nên tạo thành bốn đỉnh một hình vuông như hình bên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho cả bài: ý a và ý b chỉ cần một phép biến tổng thành tích là ra ngay phương trình tích mà không phải xét rồi loại trường hợp, còn ý c và ý d thì quy về một phân thức duy nhất, nên toàn bài dùng chung một kĩ thuật.

Đáp số. a)

x = 67, 5^{\circ} + k \cdot 9 0^{\circ}

; b)

x = \frac{29 π}{150} + \frac{2 k π}{5}

hoặc

x = - \frac{19 π}{30} + k 2 π

; c) phương trình vô nghiệm; d)

x = k π

với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý c hay bị biến thành

tan x = - cot x

rồi kết luận

x = - \frac{π}{4} + k π

do nhầm với

tan x = cot x

; thử

x = - \frac{π}{4}

thì

tan x = - 1

và

cot x = - 1

, tổng bằng

- 2

chứ không bằng

0

. Ý d thì hay mất nghiệm vì chia hai vế cho

sin x

, trong khi chính

sin x = 0

mới sinh ra toàn bộ họ nghiệm

x = k π

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật quy về một phân thức, phương trình

tan x + m cot x = 0

đưa được về

tan^{2} x = - m

, nên chỉ có nghiệm khi

m < 0

và lúc đó

x = \pm arctan - m + k π

; ý c ứng với

m = 1

nên vô nghiệm, còn

m = - 3

sẽ cho

x = \pm \frac{π}{3} + k π

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.27★★★Trang 24— Phương trình lượng giác dạng tích và dạng bậc cao

Giải các phương trình sau: a)

(2 + cos x) (3 cos 2 x - 1) = 0

; b)

2 sin 2 x - sin 4 x = 0

; c)

cos^{6} x - sin^{6} x = 0

; d)

tan 2 x \cdot cot x = 1

Kiến thức cần nhớ

$- 1 \leq cos x \leq 1$ nên $2 + cos x \geq 1 > 0$ với mọi $x$ .
Công thức nhân đôi: $sin 2 u = 2 sin u cos u$ và $cos 2 u = 2 cos^{2} u - 1 = 1 - 2 sin^{2} u = cos^{2} u - sin^{2} u$ .
$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ ; với $A = cos^{2} x$ và $B = sin^{2} x$ thì $A^{2} + A B + B^{2} = 1 - \frac{sin ^{2} 2 x}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$ .
$sin 2 x cos x - cos 2 x sin x = sin (2 x - x) = sin x$ .
$cos 2 x = m$ với $∣ m ∣ < 1$ cho $2 x = \pm arccos m + k 2 π$ , tức $x = \pm \frac{1}{2} arccos m + k π$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.28★★★Trang 24— Tìm

x

để hai hàm số lượng giác nhận cùng giá trị

Tìm các giá trị của

x

để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau: a)

y = cos (2 x - \frac{π}{3})

và

y = cos (x - \frac{π}{4})

; b)

y = sin (3 x - \frac{π}{4})

và

y = sin (x - \frac{π}{6})

Kiến thức cần nhớ

$cos A = cos B \Leftrightarrow A = B + k 2 π$ hoặc $A = - B + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$sin A = sin B \Leftrightarrow A = B + k 2 π$ hoặc $A = π - B + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Biến hiệu thành tích: $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ và $sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ .
$sin u = 0 \Leftrightarrow u = k π$ và $cos u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{π}{2} + k π$ , $k \in Z$ .
Hai điểm biểu diễn có cùng hoành độ thì đối xứng qua trục $O x$ , có cùng tung độ thì đối xứng qua trục $O y$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.29★★★Trang 24— Bài toán thực tế về chuyển động tròn đều mô tả bởi hàm sin

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính

2, 5

m; trục của nó đặt cách mặt nước

2

m. Khi guồng quay đều, khoảng cách

h

(mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm

A

trên guồng đến mặt nước là

h = ∣ y ∣

, trong đó

y = 2 + 2, 5 sin 2 π (x - \frac{1}{4})

với

x

là thời gian quay của guồng (

x \geq 0

), tính bằng phút; ta quy ước rằng

y > 0

khi gầu ở trên mặt nước và

y < 0

khi gầu ở dưới mặt nước. a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất? b) Chiếc gầu cách mặt nước

2

mét lần đầu tiên khi nào?

Kiến thức cần nhớ

$- 1 \leq sin u \leq 1$ nên $y = 2 + 2, 5 sin u$ có giá trị lớn nhất $4, 5$ và nhỏ nhất $- 0, 5$ .
Công thức góc phụ dạng lệch pha: $sin (u - \frac{π}{2}) = - cos u$ .
$sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{π}{2} + k 2 π$ ; $sin u = - 1 \Leftrightarrow u = - \frac{π}{2} + k 2 π$ ; $sin u = 0 \Leftrightarrow u = k π$ , $k \in Z$ .
Hàm $sin 2 π (x - \frac{1}{4})$ có chu kì $\frac{2 π}{2 π} = 1$ nên guồng quay đúng một vòng mỗi phút.
$∣ y ∣ = a$ với $a > 0$ tương đương $y = a$ hoặc $y = - a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.30★★★★Trang 25— Bài toán thực tế về mô hình hàm sin trên tập thời gian nguyên

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ

t

của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

L (t) = 12 + 2, 83 sin [\frac{2 π}{365} (t - 80)]

với

t \in Z

và

0 < t \leq 365

. a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất? b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng

10

giờ có ánh sáng mặt trời?

Kiến thức cần nhớ

$- 1 \leq sin u \leq 1$ nên $L$ có giá trị nhỏ nhất $12 - 2, 83 = 9, 17$ và lớn nhất $12 + 2, 83 = 14, 83$ .
Hàm $L$ có chu kì $T = \frac{2 π}{\frac{2 π}{365}} = 365$ ngày và $L (80) = 12$ , nên ngày thứ $80$ là mốc pha của mô hình.
$sin u = - 1 \Leftrightarrow u = - \frac{π}{2} + k 2 π$ và $sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{π}{2} + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$sin u = m$ với $∣ m ∣ < 1$ cho $u = arcsin m + k 2 π$ hoặc $u = π - arcsin m + k 2 π$ .
Số ngày cộng dồn của năm không nhuận: hết tháng một là $31$ , hết tháng năm là $151$ , hết tháng mười là $304$ , hết tháng mười một là $334$ .