Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 5. Dãy số

SBT (Sách bài tập) Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★Trang 33— Viết các số hạng đầu của dãy cho bởi công thức tổng quát và bởi hệ thức truy hồi

Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số

(u_{n})

sau: a)

u_{n} = (- 1)^{n - 1} \frac{n}{2 n - 1}

; b)

u_{1} = 1

u_{n} = n - u_{n - 1}

(n \geq 2)

Kiến thức cần nhớ

Dãy cho bởi công thức của số hạng tổng quát: thay trực tiếp giá trị của $n$ vào để được số hạng cần tìm.
Dãy cho bởi hệ thức truy hồi: phải biết số hạng trước mới tính được số hạng sau, nên luôn tính lần lượt kể từ số hạng đầu.
$(- 1)^{n - 1} = 1$ khi $n$ lẻ và $(- 1)^{n - 1} = - 1$ khi $n$ chẵn.
Tách phần nguyên: $\frac{n}{2 n - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ( 2 n - 1 )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a cho hẳn công thức của số hạng tổng quát nên chỉ việc thay

n

lần lượt bằng

1

đến

5

, còn ý b cho hệ thức truy hồi nên muốn có

u_{n}

phải biết

u_{n - 1}

trước, tức là buộc phải đi tuần tự từ số hạng đầu. Dấu hiệu phân biệt hai kiểu cho dãy số nằm ở chỗ công thức có chứa số hạng liền trước hay không. Bẫy của ý a là thừa số

(- 1)^{n - 1}

đổi dấu luân phiên nhưng bắt đầu từ dấu cộng, rất dễ lệch một nhịp thành dấu trừ ngay ở

u_{1}

1Cách 1. Thay trực tiếp giá trị của n vào công thức, ý b tính truy hồi tuần tự

Định hướng. Ý a thay số vào công thức tổng quát, ý b dùng hệ thức truy hồi để bước từ $u_{1}$ lên dần tới $u_{5}$ .

u_{1} = (- 1)^{0} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{1} = 1

u_{2} = (- 1)^{1} \cdot \frac{2}{2 \cdot 2 - 1} = - \frac{2}{3}

u_{3} = (- 1)^{2} \cdot \frac{3}{2 \cdot 3 - 1} = \frac{3}{5}

u_{4} = (- 1)^{3} \cdot \frac{4}{2 \cdot 4 - 1} = - \frac{4}{7}

u_{5} = (- 1)^{4} \cdot \frac{5}{2 \cdot 5 - 1} = \frac{5}{9}

u_{1} = 1

u_{2} = 2 - u_{1} = 2 - 1 = 1

u_{3} = 3 - u_{2} = 3 - 1 = 2

u_{4} = 4 - u_{3} = 4 - 2 = 2

u_{5} = 5 - u_{4} = 5 - 2 = 3

Vậy năm số hạng đầu của ý a là $1$ ; $- \frac{2}{3}$ ; $\frac{3}{5}$ ; $- \frac{4}{7}$ ; $\frac{5}{9}$ và của ý b là $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ .

2Cách 2. Tách dấu khỏi độ lớn ở ý a, trừ hai hệ thức liền nhau ở ý b

Định hướng. Ý a viết mỗi số hạng thành dấu luân phiên nhân với độ lớn đã tách phần nguyên; ý b trừ hai hệ thức liên tiếp để nhảy hai bậc một lần.

\frac{n}{2 n - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 n}{2 n - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( 2 n - 1 ) + 1}{2 n - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ( 2 n - 1 )}

∣ u_{1} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

∣ u_{2} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

∣ u_{3} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{5}

∣ u_{4} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{14} = \frac{4}{7}

∣ u_{5} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{18} = \frac{5}{9}

n

lẻ mang dấu cộng,

n

chẵn mang dấu trừ

u_{1} = 1

u_{2} = - \frac{2}{3}

u_{3} = \frac{3}{5}

u_{4} = - \frac{4}{7}

u_{5} = \frac{5}{9}

u_{n} + u_{n - 1} = n

và

u_{n + 1} + u_{n} = n + 1

u_{n + 1} - u_{n - 1} = (n + 1) - n = 1

u_{1} = 1 \Rightarrow u_{3} = 2 \Rightarrow u_{5} = 3

u_{2} = 2 - u_{1} = 1 \Rightarrow u_{4} = 2

Vậy kết quả trùng với Cách 1, và phép tách còn cho thấy $∣ u_{n} ∣$ giảm dần về $\frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Đổi vai trò hai kiểu cho dãy: lập hệ thức truy hồi cho ý a, tìm công thức tổng quát cho ý b

Định hướng. Ý a chuyển công thức tổng quát thành quy tắc nhân để sinh số hạng sau từ số hạng trước; ý b đoán rồi kiểm chứng công thức đóng, nhờ đó tính được cả số hạng ở xa.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n} \frac{n + 1}{2 n + 1}}{( - 1 ) ^{n - 1} \frac{n}{2 n - 1}} = - \frac{( n + 1 ) ( 2 n - 1 )}{n ( 2 n + 1 )}

u_{1} = 1

u_{2} = u_{1} \cdot (- \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3}) = - \frac{2}{3}

u_{3} = u_{2} \cdot (- \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 5}) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{10}) = \frac{3}{5}

u_{4} = u_{3} \cdot (- \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7}) = \frac{3}{5} \cdot (- \frac{20}{21}) = - \frac{4}{7}

u_{5} = u_{4} \cdot (- \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 9}) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{35}{36}) = \frac{5}{9}

b) từ

1

;

1

;

2

;

2

;

3

đoán

u_{n} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4}

u_{n} + u_{n - 1} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4} + \frac{2 n - 1 - ( - 1 ) ^{n - 1}}{4}

= \frac{4 n - ( - 1 ) ^{n} - ( - 1 ) ^{n - 1}}{4} = \frac{4 n}{4} = n

u_{1} = \frac{2 + 1 + 1}{4} = 1

và

u_{5} = \frac{10 + 1 + 1}{4} = 3

Vậy công thức đóng $u_{n} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4}$ thoả hệ thức truy hồi và cho đúng năm số hạng $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề chỉ hỏi năm số hạng đầu nên thay số là nhanh nhất và không cần thêm kĩ thuật nào; Cách 3 chỉ đáng dùng khi đề hỏi số hạng ở vị trí xa như

u_{100}

, lúc đó tính tuần tự sẽ quá dài.

Đáp số. a)

1

;

- \frac{2}{3}

;

\frac{3}{5}

;

- \frac{4}{7}

;

\frac{5}{9}

. b)

1

;

1

;

2

;

2

;

3

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm

(- 1)^{n - 1}

thành

(- 1)^{n}

nên viết

u_{1} = - 1

, trong khi

(- 1)^{1 - 1} = (- 1)^{0} = 1

, thế là cả năm số hạng bị đổi dấu hết. Ở ý b hay thay luôn

n = 1

vào

u_{n} = n - u_{n - 1}

để được

u_{1} = 1 - u_{0}

, nhưng hệ thức chỉ đúng khi

n \geq 2

và dãy không có số hạng

u_{0}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy cho bởi

u_{1} = a

và

u_{n} = n - u_{n - 1}

có công thức đóng

u_{n} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4} + (1 - a) (- 1)^{n}

; thay

a = 1

ra đúng kết quả trên, còn

a = 2

cho dãy

2

;

0

;

3

;

1

;

4

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 33

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 33— Xét tính tăng, giảm của dãy số

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau: a)

u_{n} = n^{2} + n + 1

; b)

u_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 2}

; c)

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ tăng khi $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \in N^{*}$ , giảm khi $u_{n + 1} < u_{n}$ với mọi $n \in N^{*}$ .
Với dãy gồm toàn số dương, có thể so sánh tỉ số $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ với $1$ thay cho việc xét dấu của hiệu.
Tổng của hai dãy tăng là dãy tăng; nếu $(a_{n})$ tăng và dương thì $(\frac{1}{a _{n}})$ giảm.
Tách phần nguyên: $\frac{2 n + 5}{n + 2} = 2 + \frac{1}{n + 2}$ .
Chỉ cần một cặp số hạng liên tiếp giảm và một cặp khác tăng là dãy không tăng cũng không giảm.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba ý đều cho công thức tổng quát nên dấu hiệu là lập hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

rồi xét dấu của hiệu đó trên toàn bộ

n \geq 1

. Ý a là đa thức nên hiệu thu gọn rất gọn, ý b là phân thức nên tách phần nguyên trước sẽ đỡ quy đồng, riêng ý c có thừa số

(- 1)^{n - 1}

nên phải nghĩ ngay tới khả năng dãy đan dấu và không đơn điệu. Bẫy là chỉ thử vài số hạng đầu rồi kết luận, vì tính tăng giảm đòi hỏi bất đẳng thức đúng với mọi

n

1Cách 1. Xét dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp theo đúng định nghĩa

Định hướng. Lập hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ rồi thu gọn tới khi nhìn thấy dấu; ý c chỉ cần hai cặp số hạng liên tiếp trái chiều nhau là đủ kết luận.

u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1)^{2} + (n + 1) + 1] - (n^{2} + n + 1)

= n^{2} + 2 n + 1 + n + 2 - n^{2} - n - 1 = 2 n + 2

2 n + 2 > 0

với mọi

n \geq 1

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 7}{n + 3} - \frac{2 n + 5}{n + 2}

= \frac{( 2 n + 7 ) ( n + 2 ) - ( 2 n + 5 ) ( n + 3 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

= \frac{( 2 n ^{2} + 11 n + 14 ) - ( 2 n ^{2} + 11 n + 15 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{- 1}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

\frac{- 1}{( n + 2 ) ( n + 3 )} < 0

với mọi

n \geq 1

u_{1} = \frac{1}{2}

u_{2} = - \frac{1}{5}

u_{3} = \frac{1}{10}

u_{2} - u_{1} = - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{7}{10} < 0

u_{3} - u_{2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10} > 0

Vậy dãy ở ý a tăng, dãy ở ý b giảm, còn dãy ở ý c không tăng cũng không giảm.

2Cách 2. So sánh tỉ số hai số hạng liên tiếp với 1

Định hướng. Hai dãy đầu chỉ gồm số dương nên so $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ với $1$ là ra kết luận; ở ý c tỉ số âm, đó chính là bằng chứng hai số hạng liên tiếp trái dấu.

u_{n} = n^{2} + n + 1 > 0

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{n ^{2} + 3 n + 3}{n ^{2} + n + 1}

(n^{2} + 3 n + 3) - (n^{2} + n + 1) = 2 n + 2 > 0

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1

với mọi

n \geq 1

u_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 2} > 0

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 n + 7}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{2 n + 5} = \frac{2 n ^{2} + 11 n + 14}{2 n ^{2} + 11 n + 15}

\frac{2 n ^{2} + 11 n + 14}{2 n ^{2} + 11 n + 15} < 1

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{( n + 1 ) ^{2} + 1} \cdot \frac{n ^{2} + 1}{( - 1 ) ^{n - 1}} = - \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + 2 n + 2}

- \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + 2 n + 2} < 0

với mọi

n \geq 1

Vậy tỉ số lớn hơn $1$ nên dãy ý a tăng, tỉ số nhỏ hơn $1$ trên dãy dương nên dãy ý b giảm, còn tỉ số âm nên hai số hạng liên tiếp của dãy ý c luôn trái dấu, dãy đó không đơn điệu.

3Cách 3. Dùng tính đơn điệu của các dãy thành phần, ý c tách theo chỉ số chẵn lẻ

Định hướng. Không tính hiệu mà lắp ghép từ những dãy đã biết chiều biến thiên: tổng hai dãy tăng thì tăng, nghịch đảo của dãy dương tăng thì giảm.

(n^{2})

tăng và

(n)

tăng trên

n \geq 1

u_{n} = n^{2} + n + 1

là tổng của hai dãy tăng với một hằng số

(n + 2)

tăng và

n + 2 > 0

với mọi

n \geq 1

(\frac{1}{n + 2})

giảm

u_{n} = 2 + \frac{1}{n + 2}

là hằng số cộng với một dãy giảm

n = 2 k - 1

lẻ:

u_{2 k - 1} = \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2} + 1} > 0

n = 2 k

chẵn:

u_{2 k} = - \frac{1}{4 k ^{2} + 1} < 0

dãy có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm xen kẽ nhau

Vậy dãy ý a tăng, dãy ý b giảm, dãy ý c đan dấu nên không tăng cũng không giảm; riêng hai dãy con của ý c thì $(u_{2 k - 1})$ giảm và $(u_{2 k})$ tăng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xét dấu của hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

là cách duy nhất dùng được cho cả dãy dương, dãy âm lẫn dãy đan dấu mà không phải kiểm tra thêm điều kiện gì; Cách 2 nhanh hơn nhưng chỉ hợp lệ khi đã chắc dãy không đổi dấu.

Đáp số. a) Dãy tăng. b) Dãy giảm. c) Dãy không tăng, không giảm.

Sai lầm thường gặp. Ý b hay bị kết luận tăng do chỉ nhìn tử

2 n + 5

tăng mà quên mẫu

n + 2

cũng tăng; thử số thật thì

u_{1} = \frac{7}{3} \approx 2, 333

còn

u_{2} = \frac{9}{4} = 2, 25

nên dãy giảm. Ý c hay bị kết luận giảm vì thấy

n^{2} + 1

tăng nên nghĩ phân số nhỏ dần, nhưng

u_{2} = - \frac{1}{5}

lại nhỏ hơn

u_{3} = \frac{1}{10}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n} = \frac{an + b}{c n + d}

với

c \neq = 0

và

c n + d \neq = 0

luôn đơn điệu ngặt vì

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a d - b c}{( c n + d ) ( c n + c + d )}

, tăng hay giảm chỉ tuỳ dấu của

a d - b c

; ở ý b thì

a d - b c = 2 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = - 1 < 0

nên dãy giảm.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 33

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 33— Xét tính bị chặn của dãy số

Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a)

u_{n} = \frac{n}{2 n + 1}

; b)

u_{n} = n^{2} + n - 1

; c)

u_{n} = - n^{2} + 1

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ bị chặn trên nếu có số $M$ với $u_{n} \leq M$ cho mọi $n$ ; bị chặn dưới nếu có số $m$ với $u_{n} \geq m$ cho mọi $n$ ; bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Tách phần nguyên: $\frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )}$ .
Dãy tăng thì bị chặn dưới bởi số hạng đầu, dãy giảm thì bị chặn trên bởi số hạng đầu.
Với mọi số $M$ đều tìm được $n \in N^{*}$ lớn hơn $M$ — đây là căn cứ để chứng minh một dãy không bị chặn.

🧠 Phân tích tư duy

Muốn nói một dãy bị chặn trên hay bị chặn dưới thì phải chỉ ra được một số cụ thể chặn mọi số hạng, còn muốn nói không bị chặn thì phải chứng minh không có số nào làm nổi việc đó. Dấu hiệu phân loại nằm ở bậc: ý a là phân thức có tử và mẫu cùng bậc một nên giá trị bị kẹp trong một khoảng hữu hạn, còn ý b và ý c là tam thức bậc hai nên một phía chắc chắn chạy ra vô cùng. Bẫy thường gặp là thấy dãy tăng liền nói bị chặn dưới rồi kết luận luôn là dãy bị chặn, trong khi bị chặn đòi hỏi chặn được cả hai phía.

1Cách 1. Tách phần nguyên rồi đánh giá trực tiếp mọi số hạng

Định hướng. Biến mỗi công thức thành dạng thấy ngay chặn: ý a tách thành hằng số trừ một lượng dương nhỏ dần, ý b và ý c đưa về $n^{2} - 1 \geq 0$ .

u_{n} = \frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( 2 n + 1 ) - 1}{2 n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )}

0 < \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )} \leq \frac{1}{6}

với mọi

n \geq 1

\frac{1}{2} - \frac{1}{6} \leq u_{n} < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u_{n} < \frac{1}{2}

u_{n} = n^{2} + n - 1 = (n^{2} - 1) + n \geq 0 + 1 = 1

với mọi

n \geq 1

u_{n} \geq n

với mọi

n \geq 1

nên không có số nào chặn trên được dãy

u_{n} = - n^{2} + 1 = - (n^{2} - 1) \leq 0

với mọi

n \geq 1

u_{n} \leq 1 - n

với mọi

n \geq 1

nên không có số nào chặn dưới được dãy

Vậy dãy ý a bị chặn vì $\frac{1}{3} \leq u_{n} < \frac{1}{2}$ ; dãy ý b chỉ bị chặn dưới bởi $1$ ; dãy ý c chỉ bị chặn trên bởi $0$ , nên hai dãy sau đều không bị chặn.

2Cách 2. Dùng tính đơn điệu để lấy ngay chặn tốt nhất là số hạng đầu

Định hướng. Chứng minh chiều biến thiên trước, khi đó số hạng đầu chính là chặn chặt nhất và còn là chặn đạt được.

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 3} - \frac{n}{2 n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - n ( 2 n + 3 )}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )}

= \frac{( 2 n ^{2} + 3 n + 1 ) - ( 2 n ^{2} + 3 n )}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} > 0

dãy tăng nên

u_{n} \geq u_{1} = \frac{1}{3}

với mọi

n \geq 1

u_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )} < \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 2 > 0

nên dãy tăng

u_{n} \geq u_{1} = 1^{2} + 1 - 1 = 1

với mọi

n \geq 1

u_{n + 1} - u_{n} = - [(n + 1)^{2} - n^{2}] = - (2 n + 1) < 0

nên dãy giảm

u_{n} \leq u_{1} = - 1 + 1 = 0

với mọi

n \geq 1

Vậy dãy ý a bị kẹp giữa $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{2}$ nên bị chặn; dãy ý b có chặn dưới nhỏ nhất là $1$ ; dãy ý c có chặn trên nhỏ nhất là $0$ , cả ba chặn này đều đạt được tại $n = 1$ .

3Cách 3. Phản chứng bằng cách chọn một chỉ số vượt qua chặn giả định

Định hướng. Muốn khẳng định KHÔNG bị chặn thì chỉ đánh giá là chưa đủ, phải chỉ ra với mỗi số cho trước đều tồn tại số hạng vượt qua nó.

b) giả sử có

M

với

u_{n} \leq M

cho mọi

n \geq 1

chọn

n_{0} \in N^{*}

sao cho

n_{0} > M

u_{n_{0}} = n_{0}^{2} + n_{0} - 1 \geq n_{0} > M

điều này trái với

u_{n_{0}} \leq M

c) giả sử có

m

với

u_{n} \geq m

cho mọi

n \geq 1

chọn

n_{1} \in N^{*}

sao cho

n_{1} > 1 - m

u_{n_{1}} = - n_{1}^{2} + 1 \leq 1 - n_{1} < m

điều này trái với

u_{n_{1}} \geq m

a) giả sử có

M < \frac{1}{2}

chặn trên dãy, đặt

t = \frac{1}{2} - M > 0

chọn

n_{2} \in N^{*}

sao cho

n_{2} > \frac{1}{2 t}

u_{n_{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 n _{2} + 1 )} > \frac{1}{2} - \frac{1}{2 n _{2}} > \frac{1}{2} - t = M

Vậy dãy ý b không bị chặn trên, dãy ý c không bị chặn dưới, nên cả hai không bị chặn; còn ở ý a thì $\frac{1}{2}$ là chặn trên nhỏ nhất, không thể hạ thấp hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a vì phép tách

\frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )}

cho cả hai chặn chỉ trong một dòng; nhưng với ý b và ý c thì nên viết thêm lập luận của Cách 3, vì khẳng định không bị chặn bắt buộc phải chỉ ra được chỉ số vượt qua mọi số cho trước.

Đáp số. a) Dãy bị chặn:

\frac{1}{3} \leq u_{n} < \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

. b) Dãy bị chặn dưới bởi

1

, không bị chặn trên nên không bị chặn. c) Dãy bị chặn trên bởi

0

, không bị chặn dưới nên không bị chặn.

Sai lầm thường gặp. Ý a hay bị ghi chặn trên kèm dấu bằng thành

u_{n} \leq \frac{1}{2}

rồi nói dấu bằng xảy ra khi

n

rất lớn; thật ra

\frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2}

dẫn tới

2 n = 2 n + 1

nên không có

n

nào đạt được. Ý c hay bị kết luận bị chặn chỉ vì đã có chặn trên

0

, trong khi

u_{100} = - 9999

và

u_{n}

còn nhỏ hơn mọi số cho trước khi

n

đủ lớn nên dãy không bị chặn dưới.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi dãy

u_{n} = \frac{an + b}{c n + d}

với

c \neq = 0

đều bị chặn vì tách được thành

\frac{a}{c} + \frac{b c - a d}{c ( c n + d )}

, còn mọi dãy đa thức bậc từ một trở lên đều không bị chặn về phía dấu của hệ số bậc cao nhất — thử xét

u_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + n}

xem chặn nhỏ nhất và lớn nhất là bao nhiêu.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 33

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★★Trang 34— Tính xấp xỉ căn bậc hai bằng dãy truy hồi và đánh giá sai số tuyệt đối

Để tính xấp xỉ giá trị

p

, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

u_{1} = k

u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} + \frac{p}{u _{n - 1}})

với

n \geq 2

, ở đó

k

là một giá trị dự đoán ban đầu của

p

. Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính

u_{5}

và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm). a)

5

(lấy

k = 3

); b)

8

(lấy

k = 3

Kiến thức cần nhớ

Phép lặp $u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} + \frac{p}{u _{n - 1}})$ xuất phát từ $u_{1} > 0$ luôn cho dãy giảm hội tụ về $p$ .
Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng $u$ so với giá trị đúng $a$ là $∣ u - a ∣$ .
Công thức truyền sai số: nếu $e_{n} = u_{n} - p$ thì $e_{n + 1} = \frac{e _{n}^{2}}{2 u _{n}}$ , nên sai số gần như bình phương lại sau mỗi bước.
$5 = 2, 2360679774997896 \dots$ và $8 = 2, 8284271247461903 \dots$

🧠 Phân tích tư duy

Hệ thức lấy trung bình của

u_{n - 1}

và

\frac{p}{u _{n - 1}}

, tức là trung bình của một số và thương của

p

với số đó, nên đích đến phải là số mà hai đại lượng ấy bằng nhau, đúng bằng

p

. Vì đề hỏi

u_{5}

nên phải chạy bốn bước lặp, và điều quyết định độ chính xác là giữ đủ chữ số ở từng bước chứ không phải bấm máy nhanh. Bẫy là làm tròn ngay các số hạng trung gian rồi lấy hiệu của hai số đã làm tròn để gọi là sai số tuyệt đối, trong khi sai số phải so với giá trị chưa làm tròn của

p

1Cách 1. Lặp bằng số thập phân, giữ dự trữ chữ số ở mỗi bước

Định hướng. Chạy bốn bước lặp trên máy tính cầm tay, mỗi bước giữ khoảng mười chữ số thập phân để phần làm tròn không leo lên kết quả cuối.

p = 5

u_{1} = 3

u_{2} = \frac{1}{2} (3 + \frac{5}{3}) = 2, 3333333333

u_{3} = \frac{1}{2} (2, 3333333333 + \frac{5}{2 , 3333333333}) = 2, 2380952381

u_{4} = \frac{1}{2} (2, 2380952381 + \frac{5}{2 , 2380952381}) = 2, 2360688956

u_{5} = \frac{1}{2} (2, 2360688956 + \frac{5}{2 , 2360688956}) = 2, 2360679775

u_{5} \approx 2, 23607

và

5 \approx 2, 23607

p = 8

u_{1} = 3

u_{2} = \frac{1}{2} (3 + \frac{8}{3}) = 2, 8333333333

u_{3} = \frac{1}{2} (2, 8333333333 + \frac{8}{2 , 8333333333}) = 2, 8284313725

u_{4} = \frac{1}{2} (2, 8284313725 + \frac{8}{2 , 8284313725}) = 2, 8284271247

u_{5} = \frac{1}{2} (2, 8284271247 + \frac{8}{2 , 8284271247}) = 2, 8284271247

u_{5} \approx 2, 82843

và

8 \approx 2, 82843

Vậy $u_{5} \approx 2, 23607$ ở ý a và $u_{5} \approx 2, 82843$ ở ý b, hai giá trị này trùng khít với $5$ và $8$ khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm, nên sai số tuyệt đối làm tròn đến hàng đó đều bằng $0, 00000$ .

2Cách 2. Lặp bằng phân số đúng rồi chỉ làm tròn ở bước cuối cùng

Định hướng. Giữ mọi số hạng ở dạng phân số nên tuyệt đối không có sai số làm tròn tích luỹ, nhờ đó đọc được sai số thật của $u_{5}$ chính xác tới hàng rất nhỏ.

u_{1} = 3

u_{2} = \frac{1}{2} (3 + \frac{5}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{3} = \frac{7}{3}

u_{3} = \frac{1}{2} (\frac{7}{3} + \frac{15}{7}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{94}{21} = \frac{47}{21}

u_{4} = \frac{1}{2} (\frac{47}{21} + \frac{105}{47}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4414}{987} = \frac{2207}{987}

u_{5} = \frac{1}{2} (\frac{2207}{987} + \frac{4935}{2207}) = \frac{4870847}{2178309} = 2, 2360679774997 \dots

u_{5} - 5 \approx 1, 88 \cdot 1 0^{- 13}

u_{1} = 3

u_{2} = \frac{1}{2} (3 + \frac{8}{3}) = \frac{17}{6}

u_{3} = \frac{1}{2} (\frac{17}{6} + \frac{48}{17}) = \frac{577}{204}

u_{4} = \frac{1}{2} (\frac{577}{204} + \frac{1632}{577}) = \frac{665857}{235416}

u_{5} = \frac{886731088897}{313506783024} = 2, 8284271247461 \dots

u_{5} - 8 \approx 1, 80 \cdot 1 0^{- 24}

Vậy $u_{5} = \frac{4870847}{2178309} \approx 2, 23607$ với sai số tuyệt đối chỉ $1, 88 \cdot 1 0^{- 13}$ , và $u_{5} = \frac{886731088897}{313506783024} \approx 2, 82843$ với sai số tuyệt đối chỉ $1, 80 \cdot 1 0^{- 24}$ ; cả hai sai số đều nhỏ hơn $1 0^{- 5}$ nên làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm đều cho $0, 00000$ .

3Cách 3. Dùng công thức truyền sai số để biết trước độ chính xác, khỏi tính hết

Định hướng. Thay vì so $u_{5}$ với $p$ ở cuối, hãy theo dõi riêng sai số $e_{n} = u_{n} - p$ ; công thức truyền cho thấy nó bình phương lại mỗi bước.

u_{n + 1} - p = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{p}{u _{n}}) - p = \frac{u _{n}^{2} - 2 p u _{n} + p}{2 u _{n}} = \frac{( u _{n} - p ) ^{2}}{2 u _{n}}

e_{n + 1} = \frac{e _{n}^{2}}{2 u _{n}}

với

e_{n} = u_{n} - p > 0

e_{1} = 3 - 5 \approx 0, 763932

e_{2} \approx \frac{0 , 76393 2 ^{2}}{6} \approx 9, 7265 \cdot 1 0^{- 2}

e_{3} \approx \frac{( 9 , 7265 \cdot 1 0 ^{- 2} ) ^{2}}{2 \cdot 2 , 33333} \approx 2, 0273 \cdot 1 0^{- 3}

e_{4} \approx \frac{( 2 , 0273 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{2 \cdot 2 , 23810} \approx 9, 1814 \cdot 1 0^{- 7}

e_{5} \approx \frac{( 9 , 1814 \cdot 1 0 ^{- 7} ) ^{2}}{2 \cdot 2 , 23607} \approx 1, 885 \cdot 1 0^{- 13}

e_{1} = 3 - 8 \approx 0, 171573

e_{2} \approx \frac{0 , 17157 3 ^{2}}{6} \approx 4, 9062 \cdot 1 0^{- 3}

e_{3} \approx 4, 2478 \cdot 1 0^{- 6}

rồi

e_{4} \approx 3, 1894 \cdot 1 0^{- 12}

và

e_{5} \approx 1, 80 \cdot 1 0^{- 24}

Vậy sai số của $u_{5}$ chỉ cỡ $1 0^{- 13}$ ở ý a và $1 0^{- 24}$ ở ý b, đều nhỏ hơn $1 0^{- 5}$ rất nhiều, nên $u_{5} \approx 2, 23607$ và $u_{5} \approx 2, 82843$ đã trùng khít giá trị đúng ở năm chữ số thập phân, sai số làm tròn bằng $0, 00000$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nhưng bắt buộc giữ ít nhất mười chữ số thập phân ở mỗi bước, vì máy tính cầm tay có phím ANS nên chỉ cần bấm một công thức rồi lặp bốn lần; Cách 3 dành để giải thích vì sao năm bước đã đủ và để kiểm tra kết quả mà không phải tính lại.

Đáp số. a)

u_{5} = \frac{4870847}{2178309} \approx 2, 23607

, sai số tuyệt đối

u_{5} - 5 \approx 1, 88 \cdot 1 0^{- 13}

nên bằng

0, 00000

khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm. b)

u_{5} = \frac{886731088897}{313506783024} \approx 2, 82843

, sai số tuyệt đối

u_{5} - 8 \approx 1, 80 \cdot 1 0^{- 24}

, cũng bằng

0, 00000

khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm.

Sai lầm thường gặp. Hay bị làm tròn ngay ở các bước trung gian, chẳng hạn lấy

u_{2} \approx 2, 33

thì

u_{3} \approx 2, 23796

chứ không phải

2, 23810

, lệch ngay từ chữ số thập phân thứ tư nên cả bảng giá trị trung gian và phần đánh giá sai số đều không còn đáng tin (riêng

u_{5}

vẫn ra đúng vì phép lặp tự sửa sai, và chính điều đó gây ngộ nhận rằng làm tròn sớm là vô hại). Một lỗi nữa là lấy hiệu của hai số đã làm tròn, thấy

2, 23607 - 2, 23607 = 0

rồi kết luận sai số bằng

0

, trong khi sai số thật là

1, 88 \cdot 1 0^{- 13}

chứ không phải

0

🚀 Mở rộng. Cùng phép lặp này, hệ thức

e_{n + 1} = \frac{e _{n}^{2}}{2 u _{n}}

cho thấy số chữ số thập phân đúng xấp xỉ gấp đôi sau mỗi bước, đó là lí do chỉ năm bước đã đúng tới hàng

1 0^{- 13}

— thử tính

2

với

k = 1

xem cần mấy bước để đúng

20

chữ số thập phân.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 34

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 34— Số tam giác: viết số hạng, tìm công thức tổng quát và chứng minh hệ thức

Cho dãy số

(u_{n})

xác định bằng hệ thức truy hồi

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + (n + 1)

. a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu. b) Biết rằng

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là

u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

. c) Chứng minh rằng

u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}

, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Kiến thức cần nhớ

Cộng dồn hệ thức truy hồi: $u_{n + 1} = u_{1} + (u_{2} - u_{1}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n})$ .
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Số tam giác thứ $m$ là $u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ , đếm số chấm xếp thành tam giác có $m$ hàng, hàng thứ $i$ có $i$ chấm.
Hai số tam giác liên tiếp ghép lại vừa khít một hình vuông: $u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ thức

u_{n + 1} = u_{n} + (n + 1)

cho biết mỗi số hạng hơn số hạng liền trước đúng một số tự nhiên tăng dần, nên dấu hiệu là cộng dồn các mức tăng để nối

u_{n + 1}

về

u_{1}

rồi dùng luôn công thức tổng

1 + 2 + \dots + n

mà đề đã cho sẵn. Ý c chỉ là hệ quả của ý b nên không cần tính lại từ đầu, chỉ việc cộng hai biểu thức rồi đặt nhân tử chung

n + 1

. Bẫy nằm ở chỉ số: đề viết công thức cho

u_{n + 1}

chứ không phải cho

u_{n}

, nếu vội thay

n

bởi

n + 1

một lần nữa là lệch hẳn một số hạng.

1Cách 1. Cộng dồn các mức tăng rồi dùng công thức tổng các số tự nhiên đầu tiên

Định hướng. Viết $u_{n + 1}$ thành $u_{1}$ cộng tất cả các mức tăng, khi đó vế phải đúng là tổng $1 + 2 + \dots + (n + 1)$ mà đề đã cho công thức.

u_{1} = 1

u_{2} = u_{1} + 2 = 1 + 2 = 3

u_{3} = u_{2} + 3 = 3 + 3 = 6

u_{4} = u_{3} + 4 = 6 + 4 = 10

u_{5} = u_{4} + 5 = 10 + 5 = 15

u_{6} = u_{5} + 6 = 15 + 6 = 21

u_{7} = u_{6} + 7 = 21 + 7 = 28

u_{k + 1} - u_{k} = k + 1

với mọi

k \geq 1

u_{n + 1} = u_{1} + (u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n})

u_{n + 1} = 1 + 2 + 3 + \dots + (n + 1)

u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) [ ( n + 1 ) + 1 ]}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

c) thay

n + 1

bởi

n

trong công thức trên:

u_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}

u_{n + 1} + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} + \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{( n + 1 ) [ ( n + 2 ) + n ]}{2}

= \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 2 )}{2} = \frac{2 ( n + 1 ) ( n + 1 )}{2} = (n + 1)^{2}

Vậy bảy số tam giác đầu là $1$ ; $3$ ; $6$ ; $10$ ; $15$ ; $21$ ; $28$ ; công thức tổng quát là $u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ và $u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}$ là một số chính phương.

2Cách 2. Kiểm chứng công thức theo dây chuyền truy hồi (quy nạp theo chỉ số)

Định hướng. Khẳng định $u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ đúng ở $m = 1$ , rồi chứng minh hễ đúng ở $m$ thì đúng ở $m + 1$ , nên đúng với mọi $m$ ; ý c thì dùng thẳng hệ thức truy hồi.

b) đặt khẳng định

u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}

với

m \geq 1

m = 1

u_{1} = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

nên khẳng định đúng

giả sử khẳng định đúng ở một chỉ số

m \geq 1

, tức

u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}

u_{m + 1} = u_{m} + (m + 1) = \frac{m ( m + 1 )}{2} + (m + 1)

= \frac{m ( m + 1 ) + 2 ( m + 1 )}{2} = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{2}

khẳng định đúng ở

m + 1

, nên đúng với mọi

m \geq 1

thay

m = n + 1

u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

u_{n + 1} + u_{n} = [u_{n} + (n + 1)] + u_{n} = 2 u_{n} + n + 1

= 2 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + n + 1 = n^{2} + n + n + 1

= n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}

Vậy công thức $u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ được kiểm chứng cho mọi chỉ số, và cách cộng $2 u_{n} + n + 1$ cho ý c chỉ mất ba dòng vì dùng ngay hệ thức truy hồi.

3Cách 3. Đếm chấm trên hình: ghép hai số tam giác liên tiếp thành hình vuông

Định hướng. Coi $u_{m}$ là số chấm của tam giác $m$ hàng; ghép hai bản sao thành hình chữ nhật cho ý b, còn cắt hình vuông theo đường chéo cho ngay ý c.

a) tam giác

m

hàng có hàng thứ

i

gồm

i

chấm

u_{1} = 1

;

u_{2} = 1 + 2 = 3

;

u_{3} = 1 + 2 + 3 = 6

;

u_{4} = 10

u_{5} = 15

;

u_{6} = 21

;

u_{7} = 28

b) ghép hai bản sao của tam giác

m

hàng thành hình chữ nhật

m

hàng và

m + 1

cột

2 u_{m} = m (m + 1)

nên

u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}

thay

m = n + 1

u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

c) xét hình vuông gồm

(n + 1)

hàng và

(n + 1)

cột chấm, cắt theo đường chéo chính

phần gồm đường chéo và bên dưới có

1 + 2 + \dots + (n + 1) = u_{n + 1}

chấm

phần còn lại phía trên đường chéo có

1 + 2 + \dots + n = u_{n}

chấm

u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}

Vậy hình vẽ cho thấy $15 + 10 = 25 = 5^{2}$ đúng với $n = 4$ , và lập luận cắt hình vuông theo đường chéo chứng minh $u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}$ cho mọi $n$ mà không cần tính toán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một lần cộng dồn là có ngay cả ba ý và không phải trình bày giả thiết quy nạp như Cách 2; Cách 3 rất đẹp và dễ nhớ nhưng lập luận đếm hình khó viết cho đủ chặt trong bài làm.

Đáp số. a)

1

;

3

;

6

;

10

;

15

;

21

;

28

. b)

u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

, tương đương

u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}

với mọi

m \geq 1

. c)

u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}

nên tổng hai số tam giác liên tiếp luôn là một số chính phương.

Sai lầm thường gặp. Hay bị lệch chỉ số ở ý b: từ công thức tổng

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

viết luôn

u_{n + 1} = \frac{n ( n + 1 )}{2}

, thử

n = 1

thì ra

u_{2} = 1

trong khi

u_{2} = 3

. Ở ý c hay bị dùng

u_{n + 1} = u_{n}

do quên mức tăng, dẫn tới

2 u_{n} = n (n + 1)

khác

(n + 1)^{2}

ngay tại

n = 1

vì

2 \neq = 4

🚀 Mở rộng. Tổng quát, tổng hai số tam giác cách nhau

d

vị trí là

u_{n + d} + u_{n} = \frac{( n + d ) ( n + d + 1 ) + n ( n + 1 )}{2}

, và mọi số tam giác còn thoả

8 u_{n} + 1 = (2 n + 1)^{2}

nên nhân tám cộng một là biến ngay thành số chính phương — thử tìm mọi số tam giác đồng thời là số chính phương trong

100

số đầu.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 34

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★Trang 34— Dãy số mô hình giảm giá theo tỉ lệ phần trăm không đổi

Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là

50

triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn

75%

giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian

5

năm kể từ khi mua.

Kiến thức cần nhớ

Còn $75%$ giá trị năm trước nghĩa là nhân với $0, 75 = \frac{3}{4}$ , không phải trừ đi một lượng không đổi.
Dãy cho bởi $A_{0} = a$ và $A_{n} = q \cdot A_{n - 1}$ có công thức tổng quát $A_{n} = a \cdot q^{n}$ .
$(\frac{3}{4})^{n} = \frac{3 ^{n}}{4 ^{n}}$ nên tính bằng phân số cho kết quả đúng tuyệt đối, không có sai số làm tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm chỉ còn

75%

giá trị của năm liền trước cho biết mỗi năm giá trị được nhân với cùng một số

0, 75

, đó là dấu hiệu của dãy cho bởi hệ thức truy hồi kiểu nhân, cũng chính là một cấp số nhân. Đề hỏi giá trị sau mỗi năm trong năm năm nên phải liệt kê đủ năm số, không được chỉ đưa ra con số của năm thứ năm. Bẫy là hiểu thành mỗi năm mất

25%

của giá mua ban đầu, dẫn tới phép trừ

50 - 5 \cdot 12, 5

và cho kết quả âm vô lí.

1Cách 1. Nhân liên tiếp với 0,75 theo từng năm sử dụng

Định hướng. Đi đúng theo lời văn của đề: giá trị năm sau bằng $0, 75$ lần giá trị năm trước, nên chỉ việc nhân dồn năm lần.

A_{0} = 50

A_{1} = 0, 75 \cdot 50 = 37, 5

A_{2} = 0, 75 \cdot 37, 5 = 28, 125

A_{3} = 0, 75 \cdot 28, 125 = 21, 09375

A_{4} = 0, 75 \cdot 21, 09375 = 15, 8203125

A_{5} = 0, 75 \cdot 15, 8203125 = 11, 865234375

Vậy giá trị còn lại sau $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ năm lần lượt là $37, 5$ ; $28, 125$ ; $21, 09375$ ; $15, 8203125$ ; $11, 865234375$ triệu đồng.

2Cách 2. Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân công bội 0,75

Định hướng. Lập một công thức chung $A_{n} = 50 \cdot (0, 75)^{n}$ rồi thay năm giá trị của $n$ , mỗi phép tính độc lập nên sai một dòng không kéo sai cả dây.

A_{n} = 50 \cdot (0, 75)^{n}

A_{1} = 50 \cdot 0, 75 = 37, 5

A_{2} = 50 \cdot 0, 5625 = 28, 125

A_{3} = 50 \cdot 0, 421875 = 21, 09375

A_{4} = 50 \cdot 0, 31640625 = 15, 8203125

A_{5} = 50 \cdot 0, 2373046875 = 11, 865234375

Vậy công thức $A_{n} = 50 \cdot (0, 75)^{n}$ cho lại đúng năm giá trị của Cách 1, và còn tính ngay được giá trị của những năm xa hơn.

3Cách 3. Tính bằng phân số 3/4 để có số liệu đúng tuyệt đối, đọc kèm tỉ lệ còn lại

Định hướng. Thay $0, 75$ bởi $\frac{3}{4}$ thì mọi kết quả là phân số nên không có sai số làm tròn, đồng thời luỹ thừa của $\frac{3}{4}$ đọc luôn ra tỉ lệ phần trăm còn lại so với giá mua.

A_{n} = 50 \cdot (\frac{3}{4})^{n} = \frac{50 \cdot 3 ^{n}}{4 ^{n}}

A_{1} = \frac{50 \cdot 3}{4} = \frac{150}{4} = 37, 5

tức còn

75%

A_{2} = \frac{50 \cdot 9}{16} = \frac{450}{16} = 28, 125

tức còn

56, 25%

A_{3} = \frac{50 \cdot 27}{64} = \frac{1350}{64} = 21, 09375

tức còn

42, 1875%

A_{4} = \frac{50 \cdot 81}{256} = \frac{4050}{256} = 15, 8203125

tức còn

31, 640625%

A_{5} = \frac{50 \cdot 243}{1024} = \frac{12150}{1024} = 11, 865234375

tức còn

23, 73046875%

Vậy kết quả trùng khít hai cách trên và còn cho thấy sau $3$ năm máy đã mất hơn một nửa giá trị vì chỉ còn $42, 1875%$ giá mua.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một công thức

A_{n} = 50 \cdot (0, 75)^{n}

rồi thay năm giá trị của

n

, mỗi dòng độc lập nên sai một dòng không kéo sai cả dây như Cách 1; Cách 3 dùng khi cần số liệu đúng tuyệt đối hoặc phải báo cáo theo phần trăm.

Đáp số. Sau lần lượt

1

;

2

;

3

;

4

;

5

năm, giá trị còn lại của máy photocopy là

37, 5

;

28, 125

;

21, 09375

;

15, 8203125

;

11, 865234375

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Hay bị hiểu mỗi năm giảm

25%

của giá mua ban đầu, tức trừ đi

12, 5

triệu đồng mỗi năm; khi đó sau

4

năm máy còn

0

đồng và sau

5

năm thành

- 12, 5

triệu đồng, vô lí. Một lỗi nữa là làm tròn giữa đường, chẳng hạn ghi

A_{3} \approx 21, 09

rồi nhân tiếp thì

A_{5} \approx 11, 863125

chứ không phải

11, 865234375

🚀 Mở rộng. Tổng quát, tài sản giá

a

mà mỗi năm chỉ còn

q

phần giá trị năm trước thì sau

n

năm còn

a \cdot q^{n}

, và nó tụt xuống dưới một nửa giá mua kể từ

n > \frac{- lo g 2}{lo g q}

— với

q = 0, 75

thì ngưỡng là

2, 41

nên từ năm thứ ba máy đã mất hơn nửa giá trị.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 34

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★Trang 34— Tính số hạng của dãy số mô hình lạm phát

Nếu tỉ lệ lạm phát là

3, 5%

mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là

2, 5

tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau

n

năm nữa được cho bởi công thức

A_{n} = 2, 5 \cdot (1, 035)^{n}

(tỉ đồng). Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau

5

năm nữa.

Kiến thức cần nhớ

Tăng $r$ phần trăm mỗi năm nghĩa là mỗi năm nhân với $1 + \frac{r}{100}$ .
$A_{n} = A_{0} \cdot q^{n}$ với $A_{0} = 2, 5$ và $q = 1, 035$ .
$(1, 035)^{5} = [(1, 035)^{2}]^{2} \cdot 1, 035$ nên chỉ cần ba phép nhân.
Nhị thức Newton: $(1 + x)^{5} = 1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + 5 x^{4} + x^{5}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn công thức tổng quát và chỉ hỏi đúng một số hạng nên việc phải làm là thay

n = 5

, phần khó duy nhất là tính luỹ thừa

(1, 035)^{5}

cho chính xác. Cơ số

1, 035

chính là

1 + 0, 035

nên có thể bình phương liên tiếp hoặc khai triển nhị thức để thấy rõ phần lạm phát cộng dồn. Bẫy là cộng thẳng năm lần

3, 5%

thành

17, 5%

rồi lấy

2, 5 \cdot 1, 175

, tức bỏ mất phần lạm phát sinh ra trên chính phần đã tăng.

1Cách 1. Thay n = 5 vào công thức, tính luỹ thừa bằng cách bình phương liên tiếp

Định hướng. Tách số mũ $5$ thành $4 + 1$ và $4 = 2 \cdot 2$ , nhờ đó chỉ mất ba phép nhân thay vì năm phép.

A_{5} = 2, 5 \cdot (1, 035)^{5}

(1, 035)^{2} = 1, 071225

(1, 035)^{4} = (1, 071225)^{2} = 1, 147523000625

(1, 035)^{5} = 1, 147523000625 \cdot 1, 035 = 1, 187686305646875

A_{5} = 2, 5 \cdot 1, 187686305646875 = 2, 9692157641171875

A_{5} \approx 2, 969

Vậy sau $5$ năm nữa giá trung bình của một căn hộ chung cư mới khoảng $2, 969$ tỉ đồng.

2Cách 2. Nhân dồn 1,035 theo từng năm để theo dõi giá của mọi năm trung gian

Định hướng. Dùng hệ thức truy hồi $A_{n + 1} = 1, 035 A_{n}$ nên có luôn bảng giá của cả năm năm, tiện khi đề hỏi thêm mốc giữa.

A_{0} = 2, 5

A_{1} = 2, 5 \cdot 1, 035 = 2, 5875

A_{2} = 2, 5875 \cdot 1, 035 = 2, 6780625

A_{3} = 2, 6780625 \cdot 1, 035 = 2, 7717946875

A_{4} = 2, 7717946875 \cdot 1, 035 = 2, 8688075015625

A_{5} = 2, 8688075015625 \cdot 1, 035 = 2, 9692157641171875

Vậy bảng giá năm năm là $2, 5875$ ; $2, 6780625$ ; $2, 7717946875$ ; $2, 8688075015625$ ; $2, 9692157641171875$ tỉ đồng, số cuối cùng trùng khít Cách 1 nên $A_{5} \approx 2, 969$ tỉ đồng.

3Cách 3. Khai triển nhị thức Newton để đọc rõ phần lạm phát cộng dồn

Định hướng. Viết $(1 + 0, 035)^{5}$ thành tổng các hạng tử, hạng tử thứ hai là lãi đơn còn các hạng tử sau chính là phần lạm phát sinh trên phần đã tăng.

A_{5} = 2, 5 \cdot (1 + 0, 035)^{5}

(1 + 0, 035)^{5} = 1 + 5 \cdot 0, 035 + 10 \cdot 0, 03 5^{2} + 10 \cdot 0, 03 5^{3} + 5 \cdot 0, 03 5^{4} + 0, 03 5^{5}

= 1 + 0, 175 + 0, 01225 + 0, 00042875 + 0, 000007503125 + 0, 000000052521875

= 1, 187686305646875

A_{5} = 2, 5 \cdot 1, 187686305646875 = 2, 9692157641171875

2, 5 \cdot (1 + 5 \cdot 0, 035) = 2, 5 \cdot 1, 175 = 2, 9375

2, 9692157641171875 - 2, 9375 = 0, 0317157641171875

Vậy $A_{5} \approx 2, 969$ tỉ đồng, trong đó phần vượt trên cách cộng gộp phần trăm là khoảng $0, 0317$ tỉ đồng, tức hơn $31$ triệu đồng — đó chính là lạm phát sinh ra trên phần giá đã tăng của các năm trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba phép nhân vì

(1, 035)^{5} = [(1, 035)^{2}]^{2} \cdot 1, 035

, ít bấm máy hơn Cách 2 nên ít sai; Cách 3 để giải thích vì sao không được cộng gộp phần trăm.

Đáp số.

A_{5} = 2, 5 \cdot (1, 035)^{5} = 2, 9692157641171875 \approx 2, 969

tỉ đồng.

Sai lầm thường gặp. Hay bị cộng gộp tỉ lệ thành

5 \cdot 3, 5% = 17, 5%

rồi tính

2, 5 \cdot 1, 175 = 2, 9375

tỉ đồng, thiếu khoảng

0, 0317

tỉ đồng so với đáp số đúng, vì lạm phát của năm sau còn tính trên phần đã tăng của các năm trước. Một lỗi nữa là nhầm sau

5

năm với số hạng thứ năm rồi lấy

n = 4

, cho

2, 8688

tỉ đồng, trong khi đề đã lấy mốc hiện tại là

n = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát, giá sau

n

năm là

A_{n} = A_{0} (1 + r)^{n}

và thời gian để giá tăng gấp đôi là

n = \frac{lo g 2}{lo g ( 1 + r )}

— với

r = 3, 5%

thì khoảng

20, 1

năm, khớp với quy tắc lấy

70

chia cho số phần trăm.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 34

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.8★★Trang 34— Dãy số lãi kép theo kì hạn quý

Bác An gửi tiết kiệm

200

triệu đồng kì hạn

3

tháng, với lãi suất

3%

một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau

n

quý (mỗi quý là

3

tháng) sẽ là

A_{n} = 200 (1 + \frac{0 , 03}{4})^{n}

với

n = 0

;

1

;

2

;

\dots

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số. b) Tìm số tiền bác An nhận được sau

2

năm.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép kì hạn quý: lãi suất mỗi quý bằng lãi suất năm chia cho $4$ .
$A_{n} = A_{0} (1 + i)^{n}$ với $A_{0} = 200$ và $i = \frac{0 , 03}{4} = 0, 0075$ .
Hai năm gồm $2 \cdot 4 = 8$ quý nên số tiền sau hai năm là $A_{8}$ .
$q^{8} = [(q^{2})^{2}]^{2}$ nên chỉ cần ba lần bình phương.

🧠 Phân tích tư duy

Lãi suất

3%

ghi cho một năm nhưng kì hạn gửi là quý nên phải chia bốn, đó chính là lí do trong công thức có

\frac{0 , 03}{4} = 0, 0075

. Ba số hạng đầu ứng với

n = 0

;

1

;

2

nên số hạng đầu là chính số tiền gửi ban đầu chứ không phải số tiền sau một quý. Bẫy lớn nhất của ý b là đổi hai năm thành

n = 2

, trong khi biến

n

đếm theo quý nên hai năm ứng với

n = 8

1Cách 1. Thay trực tiếp giá trị của n vào công thức đã cho

Định hướng. Tính trước công bội $1 + \frac{0 , 03}{4}$ , sau đó ý a thay $n = 0$ ; $1$ ; $2$ còn ý b chỉ cần đổi hai năm thành $8$ quý rồi thay $n = 8$ .

1 + \frac{0 , 03}{4} = 1 + 0, 0075 = 1, 0075

A_{0} = 200 \cdot (1, 0075)^{0} = 200

A_{1} = 200 \cdot 1, 0075 = 201, 5

A_{2} = 200 \cdot (1, 0075)^{2} = 200 \cdot 1, 01505625 = 203, 01125

b) hai năm gồm

2 \cdot 4 = 8

quý nên cần tính

A_{8}

(1, 0075)^{2} = 1, 01505625

(1, 0075)^{4} = (1, 01505625)^{2} = 1, 0303391906640625

(1, 0075)^{8} = (1, 0303391906640625)^{2} = 1, 0615988478 \dots

A_{8} = 200 \cdot 1, 0615988478 \dots = 212, 3197695637 \dots

A_{8} \approx 212, 32

Vậy ba số hạng đầu là $A_{0} = 200$ ; $A_{1} = 201, 5$ ; $A_{2} = 203, 01125$ triệu đồng, và sau $2$ năm bác An nhận được $A_{8} \approx 212, 32$ triệu đồng.

2Cách 2. Lập hệ thức truy hồi rồi cộng lãi theo từng quý

Định hướng. Mỗi quý số tiền được cộng thêm $0, 75%$ của chính nó, tức $A_{n + 1} = 1, 0075 A_{n}$ ; đi tám bước sẽ thấy rõ lãi của từng quý một.

A_{n + 1} = A_{n} + 0, 0075 \cdot A_{n} = 1, 0075 \cdot A_{n}

A_{0} = 200

A_{1} = 200 + 200 \cdot 0, 0075 = 200 + 1, 5 = 201, 5

A_{2} = 201, 5 + 201, 5 \cdot 0, 0075 = 201, 5 + 1, 51125 = 203, 01125

A_{3} = 203, 01125 \cdot 1, 0075 \approx 204, 534

A_{4} \approx 206, 068

A_{5} \approx 207, 613

A_{6} \approx 209, 170

A_{7} \approx 210, 739

A_{8} \approx 212, 320

Vậy lãi mỗi quý một tăng, từ $1, 5$ triệu đồng ở quý đầu lên khoảng $1, 581$ triệu đồng ở quý thứ tám, và tổng cộng sau $8$ quý bác An nhận được khoảng $212, 32$ triệu đồng, đúng bằng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Gộp bốn quý thành một năm rồi so với lãi đơn để kiểm tra kết quả

Định hướng. Tính hệ số của trọn một năm là $(1, 0075)^{4}$ , bình phương lên được hệ số hai năm; kết quả phải lớn hơn lãi đơn $212$ một chút, đó là phép thử nhanh.

(1, 0075)^{4} = 1, 0303391906640625

là hệ số của trọn một năm

A_{8} = 200 \cdot [(1, 0075)^{4}]^{2} = 200 \cdot (1, 0303391906640625)^{2}

A_{8} = 212, 3197695636550674 \dots \approx 212, 32

lãi đơn hai năm:

200 (1 + 0, 03 \cdot 2) = 200 \cdot 1, 06 = 212

A_{8} - 212 = 0, 3197695636 \dots \approx 0, 32

200 \cdot (1, 0303391906640625 - 1) = 6, 0678381 \dots

là lãi của năm thứ nhất

Vậy $A_{8} \approx 212, 32$ triệu đồng, nhiều hơn lãi đơn đúng khoảng $0, 32$ triệu đồng — phần chênh này chính là lãi sinh ra từ lãi, dấu hiệu cho biết đã tính đúng theo lãi kép.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức đã có sẵn trong đề nên chỉ cần đổi

2

năm thành

8

quý rồi bấm một lần luỹ thừa, nhanh và không tích luỹ sai số như Cách 2; Cách 3 dùng để kiểm tra vì đáp số bắt buộc phải lớn hơn lãi đơn

212

một chút.

Đáp số. a)

A_{0} = 200

;

A_{1} = 201, 5

;

A_{2} = 203, 01125

(triệu đồng). b) Sau

2

năm, tức

n = 8

quý, bác An nhận được

A_{8} = 200 \cdot (1, 0075)^{8} \approx 212, 32

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Hay bị thay

n = 2

cho ý b vì đọc hai năm thành hai đơn vị thời gian, cho

203, 01125

triệu đồng, trong khi

n

đếm theo quý nên phải lấy

n = 8

. Một lỗi nữa là dùng luôn lãi suất

3%

cho mỗi quý thành

200 \cdot (1, 03)^{8} \approx 253, 354

triệu đồng, cao hơn đáp số đúng tới hơn

41

triệu đồng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, gửi

A_{0}

với lãi suất năm

r

chia thành

m

kì trong năm thì sau

t

năm nhận được

A_{0} (1 + \frac{r}{m})^{m t}

; càng chia nhỏ kì hạn số tiền càng tăng nhưng chỉ tiến dần tới giới hạn

A_{0} e^{r t}

— với số liệu trên, gửi theo tháng cho

212, 351

còn ghép lãi liên tục cho

212, 367

triệu đồng.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 34

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.9★★Trang 35— Dãy số mô hình phân đôi của vi khuẩn

Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau

20

phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong

12

giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau

12

giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong

48

giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau

48

giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi lần phân đôi số vi khuẩn được nhân với $2$ , nên sau $n$ lần phân chia có $u_{n} = u_{0} \cdot 2^{n}$ vi khuẩn.
$20$ phút bằng một phần ba giờ nên mỗi giờ có $3$ lần phân chia, sau $t$ giờ có $3 t$ lần.
$2^{36} = 68719476736$ và mỗi giờ số vi khuẩn được nhân với $2^{3} = 8$ .
Muốn biết một số khổng lồ lớn cỡ nào thì dùng lôgarit: $lo g (2^{144}) = 144 lo g 2$ , và số chữ số bằng phần nguyên của kết quả cộng $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cứ

20

phút số vi khuẩn lại nhân đôi nên dãy số lượng vi khuẩn là dãy nhân với

2

, việc đầu tiên phải làm là đổi thời gian thành số lần phân chia. Một giờ có ba lần phân chia nên

12

giờ có

36

lần và

48

giờ có

144

lần, đó mới là số mũ cần dùng. Bẫy là lấy luôn

12

hoặc

48

làm số mũ, hoặc quên rằng lúc đầu chỉ có một vi khuẩn nên số hạng ứng với

0

lần phân chia phải bằng

1

1Cách 1. Đổi thời gian thành số lần phân chia rồi dùng công thức nhân đôi

Định hướng. Lấy tổng số phút chia cho $20$ để biết đã phân chia bao nhiêu lần, số đó chính là số mũ của $2$ .

u_{0} = 1

và

u_{n} = 2 u_{n - 1}

nên

u_{n} = 2^{n}

số lần phân chia trong

12

giờ:

\frac{12 \cdot 60}{20} = 36

u_{36} = 2^{36} = 68719476736

số lần phân chia trong

48

giờ:

\frac{48 \cdot 60}{20} = 144

u_{144} = 2^{144}

2^{144} = 22300745198530623141535718272648361505980416

Vậy sau $12$ giờ trong cơ thể có $2^{36} = 68719476736$ vi khuẩn và sau $48$ giờ có $2^{144}$ vi khuẩn, tức khoảng $2, 23 \cdot 1 0^{43}$ con.

2Cách 2. Gộp ba lần phân chia của một giờ rồi tính theo số giờ

Định hướng. Trong một giờ vi khuẩn phân chia ba lần nên số lượng được nhân với $2^{3} = 8$ ; lấy $8$ làm cơ số thì số mũ chính là số giờ.

trong

1

giờ có

3

lần phân chia nên số vi khuẩn được nhân với

2^{3} = 8

v_{t} = 8^{t}

với

t

là số giờ

v_{12} = 8^{12} = 68719476736

8^{12} = (2^{3})^{12} = 2^{36}

v_{48} = 8^{48} = (8^{12})^{4} = (2^{36})^{4} = 2^{144}

Vậy tính theo giờ cho $8^{12}$ và $8^{48}$ , đúng bằng $2^{36}$ và $2^{144}$ của Cách 1; cách này còn cho thấy mỗi giờ số vi khuẩn tăng gấp $8$ lần.

3Cách 3. Dùng lôgarit thập phân để viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học

Định hướng. Số $2^{144}$ quá lớn để đọc, nên lấy lôgarit để biết nó cỡ mấy chục chữ số rồi viết gọn dưới dạng kí hiệu khoa học.

lo g (2^{36}) = 36 lo g 2 \approx 36 \cdot 0, 30103 = 10, 83708

2^{36} \approx 1 0^{10, 83708} \approx 6, 87 \cdot 1 0^{10}

lo g (2^{144}) = 144 lo g 2 \approx 144 \cdot 0, 30103 = 43, 34832

2^{144} \approx 1 0^{43, 34832} \approx 2, 23 \cdot 1 0^{43}

số chữ số của

2^{144}

bằng

43 + 1 = 44

Vậy sau $12$ giờ có khoảng $6, 87 \cdot 1 0^{10}$ vi khuẩn, còn sau $48$ giờ có khoảng $2, 23 \cdot 1 0^{43}$ vi khuẩn, tức một số có $44$ chữ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép chia để ra số lần phân chia rồi viết luỹ thừa của

2

, không phải nhớ thêm quan hệ

8 = 2^{3}

như Cách 2; Cách 3 dùng khi đề yêu cầu viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học hoặc hỏi số chữ số.

Đáp số. Sau

12

giờ có

2^{36} = 68719476736

vi khuẩn. Sau

48

giờ có

2^{144} = 22300745198530623141535718272648361505980416 \approx 2, 23 \cdot 1 0^{43}

vi khuẩn.

Sai lầm thường gặp. Hay bị lấy luôn số giờ làm số mũ, cho

2^{12} = 4096

vi khuẩn sau

12

giờ, nhỏ hơn đáp số đúng đúng

2^{24} = 16777216

lần. Một lỗi nữa là nghĩ

48

giờ gấp

4

lần

12

giờ nên số vi khuẩn cũng gấp

4

lần, thành

4 \cdot 2^{36} = 2^{38}

, trong khi phải là

(2^{36})^{4} = 2^{144}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu chu kì phân đôi là

T

thì sau thời gian

t

số vi khuẩn là

u = u_{0} \cdot 2^{t / T}

, nên thời gian để số vi khuẩn tăng gấp

1000

lần là

t = T lo g_{2} 1000 \approx 9, 97 T

— với

T = 20

phút thì chỉ khoảng

199

phút, chưa tới ba giờ rưỡi.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.10★★★Trang 35— Hệ thức truy hồi dạng

u_{n + 1} = a u_{n} + b

và số hạng tổng quát

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với

1, 0 \cdot 1 0^{9}

vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt

4, 0 \cdot 1 0^{8}

vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên

25%

. a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc. b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Kiến thức cần nhớ

Tăng $25%$ nghĩa là cộng thêm $0, 25$ lần chính nó; tiêu diệt một lượng cố định nghĩa là trừ đi một số không đổi.
Hệ thức $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ với $a \neq = 1$ đưa được về cấp số nhân bằng phép đặt $v_{n} = u_{n} - L$ , trong đó $L$ là nghiệm của $L = a L + b$ .
Tổng $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .
$1, 2 5^{4} = \frac{625}{256} = 2, 44140625$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài trộn hai tác động ngược chiều trong cùng một chu kì bốn giờ: thuốc tiêu diệt một lượng cố định còn vi khuẩn lại tăng theo tỉ lệ, nên hệ thức truy hồi bắt buộc có cả phép nhân lẫn phép trừ, tức dạng

u_{n + 1} = a u_{n} + b

. Cụm lần thứ năm là dấu hiệu có thể phải tìm công thức tổng quát, nhưng với chỉ số nhỏ như vậy thì tính lần lượt vẫn nhanh hơn. Bẫy là lẫn thứ tự hai tác động:

u_{n}

được đếm trước khi dùng thuốc nên lượng tăng

25%

tính trên

u_{n}

, cho

u_{n + 1} = 1, 25 u_{n} - 4, 0 \cdot 1 0^{8}

1Cách 1. Lập hệ thức truy hồi rồi tính lần lượt năm số hạng đầu

Định hướng. Dịch lời văn thành hệ thức: lấy $u_{n}$ trừ đi lượng thuốc diệt rồi cộng thêm $25%$ của $u_{n}$ ; sau đó chạy bốn bước là tới $u_{5}$ .

a) gọi

u_{n}

là số vi khuẩn sống trước lần dùng thuốc thứ

n

u_{1} = 1, 0 \cdot 1 0^{9}

u_{n + 1} = (u_{n} - 4, 0 \cdot 1 0^{8}) + 25% \cdot u_{n} = 1, 25 u_{n} - 4, 0 \cdot 1 0^{8}

u_{2} = 1, 25 \cdot 1 0^{9} - 4 \cdot 1 0^{8} = 1, 25 \cdot 1 0^{9} - 0, 4 \cdot 1 0^{9} = 8, 5 \cdot 1 0^{8}

u_{3} = 1, 25 \cdot 8, 5 \cdot 1 0^{8} - 4 \cdot 1 0^{8} = 10, 625 \cdot 1 0^{8} - 4 \cdot 1 0^{8} = 6, 625 \cdot 1 0^{8}

u_{4} = 1, 25 \cdot 6, 625 \cdot 1 0^{8} - 4 \cdot 1 0^{8} = 8, 28125 \cdot 1 0^{8} - 4 \cdot 1 0^{8} = 4, 28125 \cdot 1 0^{8}

u_{5} = 1, 25 \cdot 4, 28125 \cdot 1 0^{8} - 4 \cdot 1 0^{8} = 5, 3515625 \cdot 1 0^{8} - 4 \cdot 1 0^{8} = 1, 3515625 \cdot 1 0^{8}

u_{5} = 135156250

Vậy hệ thức truy hồi là $u_{1} = 1, 0 \cdot 1 0^{9}$ và $u_{n + 1} = 1, 25 u_{n} - 4, 0 \cdot 1 0^{8}$ , và trước lần dùng thuốc thứ năm còn $135156250$ vi khuẩn sống.

2Cách 2. Chuyển về cấp số nhân bằng cách trừ đi điểm bất động của hệ thức

Định hướng. Tìm số $L$ đứng yên qua một chu kì, rồi đo mọi số hạng bằng khoảng cách tới $L$ ; khoảng cách ấy là một cấp số nhân nên có ngay công thức tổng quát.

L = 1, 25 L - 4 \cdot 1 0^{8}

cho

0, 25 L = 4 \cdot 1 0^{8}

và

L = 1, 6 \cdot 1 0^{9}

đặt

v_{n} = u_{n} - 1, 6 \cdot 1 0^{9}

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1, 6 \cdot 1 0^{9} = 1, 25 u_{n} - 4 \cdot 1 0^{8} - 1, 6 \cdot 1 0^{9} = 1, 25 u_{n} - 2 \cdot 1 0^{9}

v_{n + 1} = 1, 25 (u_{n} - 1, 6 \cdot 1 0^{9}) = 1, 25 v_{n}

v_{1} = 1 0^{9} - 1, 6 \cdot 1 0^{9} = - 6 \cdot 1 0^{8}

v_{n} = - 6 \cdot 1 0^{8} \cdot (1, 25)^{n - 1}

u_{n} = 1, 6 \cdot 1 0^{9} - 6 \cdot 1 0^{8} \cdot (1, 25)^{n - 1}

u_{5} = 1, 6 \cdot 1 0^{9} - 6 \cdot 1 0^{8} \cdot (1, 25)^{4} = 1, 6 \cdot 1 0^{9} - 6 \cdot 1 0^{8} \cdot 2, 44140625

u_{5} = 1, 6 \cdot 1 0^{9} - 1, 46484375 \cdot 1 0^{9} = 0, 13515625 \cdot 1 0^{9} = 135156250

Vậy công thức tổng quát là $u_{n} = 1, 6 \cdot 1 0^{9} - 6 \cdot 1 0^{8} \cdot (1, 25)^{n - 1}$ , thay $n = 5$ được $u_{5} = 135156250$ vi khuẩn, và công thức này tính được số hạng ở vị trí bất kì.

3Cách 3. Khai triển bốn bước rồi thu gọn bằng tổng của cấp số nhân

Định hướng. Thay liên tiếp hệ thức vào chính nó, phần chứa $u_{1}$ gom thành $1, 2 5^{4}$ còn phần chứa liều thuốc gom thành một tổng cấp số nhân bốn số hạng.

u_{5} = 1, 25 u_{4} - 4 \cdot 1 0^{8} = 1, 25 (1, 25 u_{3} - 4 \cdot 1 0^{8}) - 4 \cdot 1 0^{8}

u_{5} = 1, 2 5^{4} u_{1} - 4 \cdot 1 0^{8} (1, 2 5^{3} + 1, 2 5^{2} + 1, 25 + 1)

1, 2 5^{3} + 1, 2 5^{2} + 1, 25 + 1 = \frac{1 , 2 5 ^{4} - 1}{1 , 25 - 1} = \frac{2 , 44140625 - 1}{0 , 25} = 5, 765625

u_{5} = 2, 44140625 \cdot 1 0^{9} - 4 \cdot 1 0^{8} \cdot 5, 765625

u_{5} = 2, 44140625 \cdot 1 0^{9} - 2, 30625 \cdot 1 0^{9} = 0, 13515625 \cdot 1 0^{9}

u_{5} = 135156250

Vậy $u_{5} = 135156250$ vi khuẩn, trùng khít hai cách trên; lối khai triển này còn cho thấy rõ phần vi khuẩn tự nhân lên là $1, 2 5^{4} u_{1}$ và phần bị thuốc tiêu diệt cộng dồn là $4 \cdot 1 0^{8} \cdot 5, 765625$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ bốn phép tính, không cần nhớ kĩ thuật điểm bất động và lại kiểm soát được số vi khuẩn trước từng liều; Cách 2 mới là cách phải dùng nếu đề hỏi số vi khuẩn trước liều thứ

20

hoặc hỏi bao giờ vi khuẩn bị tiêu diệt hết.

Đáp số. a)

u_{1} = 1, 0 \cdot 1 0^{9}

và

u_{n + 1} = 1, 25 u_{n} - 4, 0 \cdot 1 0^{8}

với mọi

n \geq 1

, trong đó

u_{n}

là số vi khuẩn sống trước lần dùng thuốc thứ

n

. b)

u_{5} = 1, 3515625 \cdot 1 0^{8} = 135156250

vi khuẩn.

Sai lầm thường gặp. Hay bị viết hệ thức thành

u_{n + 1} = 1, 25 (u_{n} - 4 \cdot 1 0^{8})

vì cho rằng lượng tăng

25%

tính trên số còn sống sau khi dùng thuốc; khi đó

u_{4} = 4, 6875 \cdot 1 0^{7}

nhỏ hơn

4 \cdot 1 0^{8}

nên

u_{5}

ra số âm, vô nghĩa. Một lỗi nữa là lẫn dấu khi tìm điểm bất động, lấy

L = - 1, 6 \cdot 1 0^{9}

, dẫn tới

u_{5} = 1, 6 \cdot 1 0^{9}

lớn hơn cả số vi khuẩn ban đầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n + 1} = a u_{n} + b

luôn viết được thành

u_{n} = L + (u_{1} - L) a^{n - 1}

với

L = \frac{b}{1 - a}

, nên khi

a > 1

và

u_{1} < L

thì dãy giảm không ngừng và số vi khuẩn sẽ tuyệt diệt — thử tìm liều thuốc nhỏ nhất giữ cho số vi khuẩn không đổi, đáp số là

2, 5 \cdot 1 0^{8}

con mỗi liều.

Nguồn: SBT Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 35

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-11-kn/bai-5-day-so.jsp · https://loigiaihay.com/bai-5-day-so-sbt-toan-11-kntt-e32842.html