Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 5. Dãy số

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang33–35 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★Trang 33— Viết các số hạng đầu của dãy cho bởi công thức tổng quát và bởi hệ thức truy hồi

Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số

(u_{n})

sau: a)

u_{n} = (- 1)^{n - 1} \frac{n}{2 n - 1}

; b)

u_{1} = 1

u_{n} = n - u_{n - 1}

(n \geq 2)

Kiến thức cần nhớ

Dãy cho bởi công thức của số hạng tổng quát: thay trực tiếp giá trị của $n$ vào để được số hạng cần tìm.
Dãy cho bởi hệ thức truy hồi: phải biết số hạng trước mới tính được số hạng sau, nên luôn tính lần lượt kể từ số hạng đầu.
$(- 1)^{n - 1} = 1$ khi $n$ lẻ và $(- 1)^{n - 1} = - 1$ khi $n$ chẵn.
Tách phần nguyên: $\frac{n}{2 n - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ( 2 n - 1 )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a cho hẳn công thức của số hạng tổng quát nên chỉ việc thay

n

lần lượt bằng

1

đến

5

, còn ý b cho hệ thức truy hồi nên muốn có

u_{n}

phải biết

u_{n - 1}

trước, tức là buộc phải đi tuần tự từ số hạng đầu. Dấu hiệu phân biệt hai kiểu cho dãy số nằm ở chỗ công thức có chứa số hạng liền trước hay không. Bẫy của ý a là thừa số

(- 1)^{n - 1}

đổi dấu luân phiên nhưng bắt đầu từ dấu cộng, rất dễ lệch một nhịp thành dấu trừ ngay ở

u_{1}

1Cách 1. Thay trực tiếp giá trị của n vào công thức, ý b tính truy hồi tuần tự

Định hướng. Ý a thay số vào công thức tổng quát, ý b dùng hệ thức truy hồi để bước từ $u_{1}$ lên dần tới $u_{5}$ .

u_{1} = (- 1)^{0} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{1} = 1

u_{2} = (- 1)^{1} \cdot \frac{2}{2 \cdot 2 - 1} = - \frac{2}{3}

u_{3} = (- 1)^{2} \cdot \frac{3}{2 \cdot 3 - 1} = \frac{3}{5}

u_{4} = (- 1)^{3} \cdot \frac{4}{2 \cdot 4 - 1} = - \frac{4}{7}

u_{5} = (- 1)^{4} \cdot \frac{5}{2 \cdot 5 - 1} = \frac{5}{9}

u_{1} = 1

u_{2} = 2 - u_{1} = 2 - 1 = 1

u_{3} = 3 - u_{2} = 3 - 1 = 2

u_{4} = 4 - u_{3} = 4 - 2 = 2

u_{5} = 5 - u_{4} = 5 - 2 = 3

Vậy năm số hạng đầu của ý a là $1$ ; $- \frac{2}{3}$ ; $\frac{3}{5}$ ; $- \frac{4}{7}$ ; $\frac{5}{9}$ và của ý b là $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ .

2Cách 2. Tách dấu khỏi độ lớn ở ý a, trừ hai hệ thức liền nhau ở ý b

Định hướng. Ý a viết mỗi số hạng thành dấu luân phiên nhân với độ lớn đã tách phần nguyên; ý b trừ hai hệ thức liên tiếp để nhảy hai bậc một lần.

\frac{n}{2 n - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 n}{2 n - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( 2 n - 1 ) + 1}{2 n - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ( 2 n - 1 )}

∣ u_{1} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

∣ u_{2} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

∣ u_{3} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{5}

∣ u_{4} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{14} = \frac{4}{7}

∣ u_{5} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{18} = \frac{5}{9}

n

lẻ mang dấu cộng,

n

chẵn mang dấu trừ

u_{1} = 1

u_{2} = - \frac{2}{3}

u_{3} = \frac{3}{5}

u_{4} = - \frac{4}{7}

u_{5} = \frac{5}{9}

u_{n} + u_{n - 1} = n

và

u_{n + 1} + u_{n} = n + 1

u_{n + 1} - u_{n - 1} = (n + 1) - n = 1

u_{1} = 1 \Rightarrow u_{3} = 2 \Rightarrow u_{5} = 3

u_{2} = 2 - u_{1} = 1 \Rightarrow u_{4} = 2

Vậy kết quả trùng với Cách 1, và phép tách còn cho thấy $∣ u_{n} ∣$ giảm dần về $\frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Đổi vai trò hai kiểu cho dãy: lập hệ thức truy hồi cho ý a, tìm công thức tổng quát cho ý b

Định hướng. Ý a chuyển công thức tổng quát thành quy tắc nhân để sinh số hạng sau từ số hạng trước; ý b đoán rồi kiểm chứng công thức đóng, nhờ đó tính được cả số hạng ở xa.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n} \frac{n + 1}{2 n + 1}}{( - 1 ) ^{n - 1} \frac{n}{2 n - 1}} = - \frac{( n + 1 ) ( 2 n - 1 )}{n ( 2 n + 1 )}

u_{1} = 1

u_{2} = u_{1} \cdot (- \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 3}) = - \frac{2}{3}

u_{3} = u_{2} \cdot (- \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 5}) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{10}) = \frac{3}{5}

u_{4} = u_{3} \cdot (- \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7}) = \frac{3}{5} \cdot (- \frac{20}{21}) = - \frac{4}{7}

u_{5} = u_{4} \cdot (- \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 9}) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{35}{36}) = \frac{5}{9}

b) từ

1

;

1

;

2

;

2

;

3

đoán

u_{n} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4}

u_{n} + u_{n - 1} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4} + \frac{2 n - 1 - ( - 1 ) ^{n - 1}}{4}

= \frac{4 n - ( - 1 ) ^{n} - ( - 1 ) ^{n - 1}}{4} = \frac{4 n}{4} = n

u_{1} = \frac{2 + 1 + 1}{4} = 1

và

u_{5} = \frac{10 + 1 + 1}{4} = 3

Vậy công thức đóng $u_{n} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4}$ thoả hệ thức truy hồi và cho đúng năm số hạng $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề chỉ hỏi năm số hạng đầu nên thay số là nhanh nhất và không cần thêm kĩ thuật nào; Cách 3 chỉ đáng dùng khi đề hỏi số hạng ở vị trí xa như

u_{100}

, lúc đó tính tuần tự sẽ quá dài.

Đáp số. a)

1

;

- \frac{2}{3}

;

\frac{3}{5}

;

- \frac{4}{7}

;

\frac{5}{9}

. b)

1

;

1

;

2

;

2

;

3

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm

(- 1)^{n - 1}

thành

(- 1)^{n}

nên viết

u_{1} = - 1

, trong khi

(- 1)^{1 - 1} = (- 1)^{0} = 1

, thế là cả năm số hạng bị đổi dấu hết. Ở ý b hay thay luôn

n = 1

vào

u_{n} = n - u_{n - 1}

để được

u_{1} = 1 - u_{0}

, nhưng hệ thức chỉ đúng khi

n \geq 2

và dãy không có số hạng

u_{0}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy cho bởi

u_{1} = a

và

u_{n} = n - u_{n - 1}

có công thức đóng

u_{n} = \frac{2 n + 1 - ( - 1 ) ^{n}}{4} + (1 - a) (- 1)^{n}

; thay

a = 1

ra đúng kết quả trên, còn

a = 2

cho dãy

2

;

0

;

3

;

1

;

4

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 33— Xét tính tăng, giảm của dãy số

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau: a)

u_{n} = n^{2} + n + 1

; b)

u_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 2}

; c)

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ tăng khi $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \in N^{*}$ , giảm khi $u_{n + 1} < u_{n}$ với mọi $n \in N^{*}$ .
Với dãy gồm toàn số dương, có thể so sánh tỉ số $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ với $1$ thay cho việc xét dấu của hiệu.
Tổng của hai dãy tăng là dãy tăng; nếu $(a_{n})$ tăng và dương thì $(\frac{1}{a _{n}})$ giảm.
Tách phần nguyên: $\frac{2 n + 5}{n + 2} = 2 + \frac{1}{n + 2}$ .
Chỉ cần một cặp số hạng liên tiếp giảm và một cặp khác tăng là dãy không tăng cũng không giảm.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba ý đều cho công thức tổng quát nên dấu hiệu là lập hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

rồi xét dấu của hiệu đó trên toàn bộ

n \geq 1

. Ý a là đa thức nên hiệu thu gọn rất gọn, ý b là phân thức nên tách phần nguyên trước sẽ đỡ quy đồng, riêng ý c có thừa số

(- 1)^{n - 1}

nên phải nghĩ ngay tới khả năng dãy đan dấu và không đơn điệu. Bẫy là chỉ thử vài số hạng đầu rồi kết luận, vì tính tăng giảm đòi hỏi bất đẳng thức đúng với mọi

n

1Cách 1. Xét dấu của hiệu hai số hạng liên tiếp theo đúng định nghĩa

Định hướng. Lập hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ rồi thu gọn tới khi nhìn thấy dấu; ý c chỉ cần hai cặp số hạng liên tiếp trái chiều nhau là đủ kết luận.

u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1)^{2} + (n + 1) + 1] - (n^{2} + n + 1)

= n^{2} + 2 n + 1 + n + 2 - n^{2} - n - 1 = 2 n + 2

2 n + 2 > 0

với mọi

n \geq 1

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 7}{n + 3} - \frac{2 n + 5}{n + 2}

= \frac{( 2 n + 7 ) ( n + 2 ) - ( 2 n + 5 ) ( n + 3 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

= \frac{( 2 n ^{2} + 11 n + 14 ) - ( 2 n ^{2} + 11 n + 15 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{- 1}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

\frac{- 1}{( n + 2 ) ( n + 3 )} < 0

với mọi

n \geq 1

u_{1} = \frac{1}{2}

u_{2} = - \frac{1}{5}

u_{3} = \frac{1}{10}

u_{2} - u_{1} = - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{7}{10} < 0

u_{3} - u_{2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10} > 0

Vậy dãy ở ý a tăng, dãy ở ý b giảm, còn dãy ở ý c không tăng cũng không giảm.

2Cách 2. So sánh tỉ số hai số hạng liên tiếp với 1

Định hướng. Hai dãy đầu chỉ gồm số dương nên so $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ với $1$ là ra kết luận; ở ý c tỉ số âm, đó chính là bằng chứng hai số hạng liên tiếp trái dấu.

u_{n} = n^{2} + n + 1 > 0

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{n ^{2} + 3 n + 3}{n ^{2} + n + 1}

(n^{2} + 3 n + 3) - (n^{2} + n + 1) = 2 n + 2 > 0

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1

với mọi

n \geq 1

u_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 2} > 0

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 n + 7}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{2 n + 5} = \frac{2 n ^{2} + 11 n + 14}{2 n ^{2} + 11 n + 15}

\frac{2 n ^{2} + 11 n + 14}{2 n ^{2} + 11 n + 15} < 1

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{( n + 1 ) ^{2} + 1} \cdot \frac{n ^{2} + 1}{( - 1 ) ^{n - 1}} = - \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + 2 n + 2}

- \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2} + 2 n + 2} < 0

với mọi

n \geq 1

Vậy tỉ số lớn hơn $1$ nên dãy ý a tăng, tỉ số nhỏ hơn $1$ trên dãy dương nên dãy ý b giảm, còn tỉ số âm nên hai số hạng liên tiếp của dãy ý c luôn trái dấu, dãy đó không đơn điệu.

3Cách 3. Dùng tính đơn điệu của các dãy thành phần, ý c tách theo chỉ số chẵn lẻ

Định hướng. Không tính hiệu mà lắp ghép từ những dãy đã biết chiều biến thiên: tổng hai dãy tăng thì tăng, nghịch đảo của dãy dương tăng thì giảm.

(n^{2})

tăng và

(n)

tăng trên

n \geq 1

u_{n} = n^{2} + n + 1

là tổng của hai dãy tăng với một hằng số

(n + 2)

tăng và

n + 2 > 0

với mọi

n \geq 1

(\frac{1}{n + 2})

giảm

u_{n} = 2 + \frac{1}{n + 2}

là hằng số cộng với một dãy giảm

n = 2 k - 1

lẻ:

u_{2 k - 1} = \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2} + 1} > 0

n = 2 k

chẵn:

u_{2 k} = - \frac{1}{4 k ^{2} + 1} < 0

dãy có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm xen kẽ nhau

Vậy dãy ý a tăng, dãy ý b giảm, dãy ý c đan dấu nên không tăng cũng không giảm; riêng hai dãy con của ý c thì $(u_{2 k - 1})$ giảm và $(u_{2 k})$ tăng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xét dấu của hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

là cách duy nhất dùng được cho cả dãy dương, dãy âm lẫn dãy đan dấu mà không phải kiểm tra thêm điều kiện gì; Cách 2 nhanh hơn nhưng chỉ hợp lệ khi đã chắc dãy không đổi dấu.

Đáp số. a) Dãy tăng. b) Dãy giảm. c) Dãy không tăng, không giảm.

Sai lầm thường gặp. Ý b hay bị kết luận tăng do chỉ nhìn tử

2 n + 5

tăng mà quên mẫu

n + 2

cũng tăng; thử số thật thì

u_{1} = \frac{7}{3} \approx 2, 333

còn

u_{2} = \frac{9}{4} = 2, 25

nên dãy giảm. Ý c hay bị kết luận giảm vì thấy

n^{2} + 1

tăng nên nghĩ phân số nhỏ dần, nhưng

u_{2} = - \frac{1}{5}

lại nhỏ hơn

u_{3} = \frac{1}{10}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n} = \frac{an + b}{c n + d}

với

c \neq = 0

và

c n + d \neq = 0

luôn đơn điệu ngặt vì

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a d - b c}{( c n + d ) ( c n + c + d )}

, tăng hay giảm chỉ tuỳ dấu của

a d - b c

; ở ý b thì

a d - b c = 2 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = - 1 < 0

nên dãy giảm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 33— Xét tính bị chặn của dãy số

Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a)

u_{n} = \frac{n}{2 n + 1}

; b)

u_{n} = n^{2} + n - 1

; c)

u_{n} = - n^{2} + 1

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ bị chặn trên nếu có số $M$ với $u_{n} \leq M$ cho mọi $n$ ; bị chặn dưới nếu có số $m$ với $u_{n} \geq m$ cho mọi $n$ ; bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Tách phần nguyên: $\frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 n + 1 )}$ .
Dãy tăng thì bị chặn dưới bởi số hạng đầu, dãy giảm thì bị chặn trên bởi số hạng đầu.
Với mọi số $M$ đều tìm được $n \in N^{*}$ lớn hơn $M$ — đây là căn cứ để chứng minh một dãy không bị chặn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★★Trang 34— Tính xấp xỉ căn bậc hai bằng dãy truy hồi và đánh giá sai số tuyệt đối

Để tính xấp xỉ giá trị

p

, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

u_{1} = k

u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} + \frac{p}{u _{n - 1}})

với

n \geq 2

, ở đó

k

là một giá trị dự đoán ban đầu của

p

. Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính

u_{5}

và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm). a)

5

(lấy

k = 3

); b)

8

(lấy

k = 3

Kiến thức cần nhớ

Phép lặp $u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} + \frac{p}{u _{n - 1}})$ xuất phát từ $u_{1} > 0$ luôn cho dãy giảm hội tụ về $p$ .
Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng $u$ so với giá trị đúng $a$ là $∣ u - a ∣$ .
Công thức truyền sai số: nếu $e_{n} = u_{n} - p$ thì $e_{n + 1} = \frac{e _{n}^{2}}{2 u _{n}}$ , nên sai số gần như bình phương lại sau mỗi bước.
$5 = 2, 2360679774997896 \dots$ và $8 = 2, 8284271247461903 \dots$

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 34— Số tam giác: viết số hạng, tìm công thức tổng quát và chứng minh hệ thức

Cho dãy số

(u_{n})

xác định bằng hệ thức truy hồi

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + (n + 1)

. a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu. b) Biết rằng

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là

u_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

. c) Chứng minh rằng

u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}

, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Kiến thức cần nhớ

Cộng dồn hệ thức truy hồi: $u_{n + 1} = u_{1} + (u_{2} - u_{1}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n})$ .
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Số tam giác thứ $m$ là $u_{m} = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ , đếm số chấm xếp thành tam giác có $m$ hàng, hàng thứ $i$ có $i$ chấm.
Hai số tam giác liên tiếp ghép lại vừa khít một hình vuông: $u_{n + 1} + u_{n} = (n + 1)^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★Trang 34— Dãy số mô hình giảm giá theo tỉ lệ phần trăm không đổi

Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là

50

triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn

75%

giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian

5

năm kể từ khi mua.

Kiến thức cần nhớ

Còn $75%$ giá trị năm trước nghĩa là nhân với $0, 75 = \frac{3}{4}$ , không phải trừ đi một lượng không đổi.
Dãy cho bởi $A_{0} = a$ và $A_{n} = q \cdot A_{n - 1}$ có công thức tổng quát $A_{n} = a \cdot q^{n}$ .
$(\frac{3}{4})^{n} = \frac{3 ^{n}}{4 ^{n}}$ nên tính bằng phân số cho kết quả đúng tuyệt đối, không có sai số làm tròn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★Trang 34— Tính số hạng của dãy số mô hình lạm phát

Nếu tỉ lệ lạm phát là

3, 5%

mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là

2, 5

tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau

n

năm nữa được cho bởi công thức

A_{n} = 2, 5 \cdot (1, 035)^{n}

(tỉ đồng). Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau

5

năm nữa.

Kiến thức cần nhớ

Tăng $r$ phần trăm mỗi năm nghĩa là mỗi năm nhân với $1 + \frac{r}{100}$ .
$A_{n} = A_{0} \cdot q^{n}$ với $A_{0} = 2, 5$ và $q = 1, 035$ .
$(1, 035)^{5} = [(1, 035)^{2}]^{2} \cdot 1, 035$ nên chỉ cần ba phép nhân.
Nhị thức Newton: $(1 + x)^{5} = 1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + 5 x^{4} + x^{5}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.8★★Trang 34— Dãy số lãi kép theo kì hạn quý

Bác An gửi tiết kiệm

200

triệu đồng kì hạn

3

tháng, với lãi suất

3%

một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau

n

quý (mỗi quý là

3

tháng) sẽ là

A_{n} = 200 (1 + \frac{0 , 03}{4})^{n}

với

n = 0

;

1

;

2

;

\dots

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số. b) Tìm số tiền bác An nhận được sau

2

năm.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép kì hạn quý: lãi suất mỗi quý bằng lãi suất năm chia cho $4$ .
$A_{n} = A_{0} (1 + i)^{n}$ với $A_{0} = 200$ và $i = \frac{0 , 03}{4} = 0, 0075$ .
Hai năm gồm $2 \cdot 4 = 8$ quý nên số tiền sau hai năm là $A_{8}$ .
$q^{8} = [(q^{2})^{2}]^{2}$ nên chỉ cần ba lần bình phương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.9★★Trang 35— Dãy số mô hình phân đôi của vi khuẩn

Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau

20

phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong

12

giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau

12

giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong

48

giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau

48

giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi lần phân đôi số vi khuẩn được nhân với $2$ , nên sau $n$ lần phân chia có $u_{n} = u_{0} \cdot 2^{n}$ vi khuẩn.
$20$ phút bằng một phần ba giờ nên mỗi giờ có $3$ lần phân chia, sau $t$ giờ có $3 t$ lần.
$2^{36} = 68719476736$ và mỗi giờ số vi khuẩn được nhân với $2^{3} = 8$ .
Muốn biết một số khổng lồ lớn cỡ nào thì dùng lôgarit: $lo g (2^{144}) = 144 lo g 2$ , và số chữ số bằng phần nguyên của kết quả cộng $1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.10★★★Trang 35— Hệ thức truy hồi dạng

u_{n + 1} = a u_{n} + b

và số hạng tổng quát

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với

1, 0 \cdot 1 0^{9}

vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt

4, 0 \cdot 1 0^{8}

vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên

25%

. a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc. b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Kiến thức cần nhớ

Tăng $25%$ nghĩa là cộng thêm $0, 25$ lần chính nó; tiêu diệt một lượng cố định nghĩa là trừ đi một số không đổi.
Hệ thức $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ với $a \neq = 1$ đưa được về cấp số nhân bằng phép đặt $v_{n} = u_{n} - L$ , trong đó $L$ là nghiệm của $L = a L + b$ .
Tổng $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .
$1, 2 5^{4} = \frac{625}{256} = 2, 44140625$ .