Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 6. Cấp số cộng

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.11★★Trang 36— Nhận biết cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai

Bài 2.11 (trang 36). Mỗi dãy số

(u_{n})

sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó. a)

u_{n} = 4 - 3 n

; b)

u_{n} = n^{2} + 1

; c)

u_{n} = 2 n + 5

; d)

u_{1} = 3

u_{n + 1} = u_{n} + n

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n + 1} - u_{n} = d$ không đổi với mọi $n \geq 1$ ; số $d$ gọi là công sai.
Dấu hiệu nhanh: $(u_{n})$ là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n} = an + b$ (bậc nhất theo $n$ ), khi đó $d = a$ và $u_{1} = a + b$ .
Tính chất trung bình cộng: $(u_{n})$ là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}$ với mọi $k \geq 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều hỏi một câu duy nhất: hiệu hai số hạng liên tiếp có phải là một hằng số hay không, nên dấu hiệu nhận dạng nằm ở chỗ sau khi rút gọn

u_{n + 1} - u_{n}

thì chữ

n

có còn hay không. Hai ý a) và c) cho công thức bậc nhất theo

n

nên có thể đọc thẳng công sai ra khỏi hệ số của

n

, nhanh hơn hẳn việc khai triển. Bẫy nằm ở ý d): hệ thức

u_{n + 1} = u_{n} + n

trông rất giống dạng

u_{n + 1} = u_{n} + d

, nhưng lượng cộng thêm là

n

nên thay đổi theo từng bước.

1Cách 1. Xét hiệu hai số hạng liên tiếp theo đúng định nghĩa

Định hướng. Tính $u_{n + 1} - u_{n}$ rồi xem kết quả còn chứa $n$ hay không: còn chứa $n$ là loại ngay.

u_{n + 1} - u_{n} = [4 - 3 (n + 1)] - (4 - 3 n) = 4 - 3 n - 3 - 4 + 3 n = - 3

u_{1} = 4 - 3 \cdot 1 = 1

u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1)^{2} + 1] - (n^{2} + 1) = n^{2} + 2 n + 1 + 1 - n^{2} - 1 = 2 n + 1

u_{n + 1} - u_{n} = [2 (n + 1) + 5] - (2 n + 5) = 2 n + 2 + 5 - 2 n - 5 = 2

u_{1} = 2 \cdot 1 + 5 = 7

u_{n + 1} - u_{n} = n

Vậy a) là cấp số cộng với $u_{1} = 1$ , $d = - 3$ ; c) là cấp số cộng với $u_{1} = 7$ , $d = 2$ ; b) và d) không là cấp số cộng vì hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ còn phụ thuộc $n$ .

2Cách 2. Đọc thẳng công sai từ dạng bậc nhất của số hạng tổng quát

Định hướng. Một dãy là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n}$ viết được thành $an + b$ ; khi đó $d = a$ và $u_{1} = a + b$ , khỏi phải khai triển hiệu.

u_{n} = - 3 n + 4

, tức

a = - 3

và

b = 4

d = a = - 3

;

u_{1} = a + b = - 3 + 4 = 1

u_{n} = n^{2} + 1

chứa

n^{2}

nên không viết được thành

an + b

u_{n} = 2 n + 5

, tức

a = 2

và

b = 5

d = a = 2

;

u_{1} = a + b = 2 + 5 = 7

u_{1} = 3

;

u_{2} = 3 + 1 = 4

;

u_{3} = 4 + 2 = 6

;

u_{4} = 6 + 3 = 9

u_{2} - u_{1} = 1

;

u_{3} - u_{2} = 2

;

u_{4} - u_{3} = 3

Vậy a) và c) là cấp số cộng với $(u_{1}; d)$ lần lượt là $(1; - 3)$ và $(7; 2)$ ; b) và d) không là cấp số cộng.

3Cách 3. Kiểm tính chất trung bình cộng trên một bộ ba số hạng liên tiếp

Định hướng. Cấp số cộng buộc mỗi số hạng phải là trung bình cộng của hai số hạng kề nó, nên chỉ cần chỉ ra một bộ ba vi phạm là kết luận được ngay.

u_{1} = 1

;

u_{2} = - 2

;

u_{3} = - 5

;

u_{4} = - 8

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{1 + ( - 5 )}{2} = - 2 = u_{2}

và

\frac{u _{2} + u _{4}}{2} = \frac{- 2 + ( - 8 )}{2} = - 5 = u_{3}

u_{1} = 2

;

u_{2} = 5

;

u_{3} = 10

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6 \neq = 5 = u_{2}

u_{1} = 7

;

u_{2} = 9

;

u_{3} = 11

;

u_{4} = 13

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9 = u_{2}

và

\frac{u _{2} + u _{4}}{2} = \frac{9 + 13}{2} = 11 = u_{3}

u_{1} = 3

;

u_{2} = 4

;

u_{3} = 6

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{3 + 6}{2} = 4, 5 \neq = 4 = u_{2}

Vậy chỉ a) và c) là cấp số cộng, với $u_{1} = 1$ , $d = - 3$ và $u_{1} = 7$ , $d = 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần liếc xem

u_{n}

có phải bậc nhất theo

n

hay không là đọc ngay ra

d = a

và

u_{1} = a + b

, không phải khai triển hiệu như Cách 1; Cách 1 vẫn giữ vai trò trình bày chuẩn khi đề bắt chứng minh.

Đáp số. a) Là cấp số cộng với

u_{1} = 1

d = - 3

. b) Không là cấp số cộng. c) Là cấp số cộng với

u_{1} = 7

d = 2

. d) Không là cấp số cộng.

Sai lầm thường gặp. Ý a) hay bị lấy luôn

u_{1} = 4

vì thấy số

4

đứng đầu công thức; thật ra

4

ứng với

n = 0

, còn số hạng đầu là

u_{1} = 4 - 3 \cdot 1 = 1

. Ý d) hay bị kết luận là cấp số cộng công sai

n

, nhưng công sai phải là HẰNG SỐ: ở đây

u_{2} - u_{1} = 1

mà

u_{3} - u_{2} = 2

. Ý b) đôi khi bị loại sai lý do bằng câu

u_{n}

luôn dương, trong khi lý do đúng là hiệu

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1

thay đổi theo

n

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n} = a n^{2} + bn + c

là cấp số cộng khi và chỉ khi

a = 0

, vì

u_{n + 1} - u_{n} = 2 an + a + b

chỉ hết phụ thuộc

n

khi

a = 0

; đây là lý do mọi công thức chứa

n^{2}

đều bị loại ngay từ cái nhìn đầu tiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.12★★Trang 36— Tìm

u_{1}

và

d

của cấp số cộng khi biết hai số hạng bất kì

Bài 2.12 (trang 36). Số hạng thứ tám của một cấp số cộng là

75

và số hạng thứ hai mươi là

39

. a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b) Tìm hệ thức truy hồi cho cấp số cộng đó. c) Tìm công thức số hạng thứ

n

của cấp số cộng đó.

Kiến thức cần nhớ

Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Liên hệ hai số hạng bất kì: $u_{q} = u_{p} + (q - p) d$ , suy ra $d = \frac{u _{q} - u _{p}}{q - p}$ khi $p \neq = q$ .
Hệ thức truy hồi của cấp số cộng: $u_{1}$ cho trước và $u_{n + 1} = u_{n} + d$ với mọi $n \geq 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai số hạng ở hai vị trí khác nhau, mà một cấp số cộng chỉ cần hai dữ kiện

u_{1}

và

d

là xác định xong, nên đây đúng là dạng lập hệ hai phương trình hai ẩn. Đường ngắn hơn là trừ trực tiếp hai số hạng để

u_{1}

tự triệt tiêu, chỉ còn

d

. Bẫy của đề là số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước nên công sai phải âm, ai quen mặc định cấp số cộng là dãy tăng rất dễ đặt nhầm dấu ngay từ dòng đầu.

1Cách 1. Lập hệ hai phương trình với hai ẩn

u_{1}

và

d

Định hướng. Viết cả $u_{8}$ và $u_{20}$ theo $u_{1}$ và $d$ rồi giải hệ bậc nhất hai ẩn.

u_{8} = u_{1} + 7 d = 75

và

u_{20} = u_{1} + 19 d = 39

{u_{1} + 7 d = 75 u_{1} + 19 d = 39 \Leftrightarrow {u_{1} + 7 d = 75 12 d = - 36 \Leftrightarrow {u_{1} = 96 d = - 3

u_{1} = 96

và

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 96 + (n - 1) \cdot (- 3) = 96 - 3 n + 3 = 99 - 3 n

Vậy $u_{1} = 96$ ; $d = - 3$ ; hệ thức truy hồi là $u_{1} = 96$ , $u_{n + 1} = u_{n} - 3$ ; công thức tổng quát là $u_{n} = 99 - 3 n$ .

2Cách 2. Trừ hai số hạng cho nhau để

u_{1}

tự triệt tiêu

Định hướng. Từ $u_{8}$ đi tới $u_{20}$ phải cộng thêm đúng $12$ lần công sai, nên lấy hiệu là ra ngay $d$ mà không cần động tới $u_{1}$ .

u_{20} - u_{8} = (u_{1} + 19 d) - (u_{1} + 7 d) = 12 d

12 d = 39 - 75 = - 36

d = - 3

u_{1} = u_{8} - 7 d = 75 - 7 \cdot (- 3) = 75 + 21 = 96

u_{1} = 96

và

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

u_{n} = 96 + (n - 1) \cdot (- 3) = 99 - 3 n

Vậy $u_{1} = 96$ ; $d = - 3$ ; $u_{n + 1} = u_{n} - 3$ ; $u_{n} = 99 - 3 n$ .

3Cách 3. Coi

u_{n}

là hàm bậc nhất của

n

đi qua hai điểm cho trước

Định hướng. Vì $u_{n} = an + b$ nên các điểm $(n; u_{n})$ thẳng hàng; viết luôn đường thẳng qua $(8; 75)$ và $(20; 39)$ là có ngay công thức tổng quát, rồi mới đọc ngược ra $u_{1}$ và $d$ .

u_{n} = an + b

a = \frac{39 - 75}{20 - 8} = \frac{- 36}{12} = - 3

b = 75 - 8 a = 75 - 8 \cdot (- 3) = 99

u_{n} = - 3 n + 99 = 99 - 3 n

d = a = - 3

và

u_{1} = 99 - 3 \cdot 1 = 96

u_{1} = 96

và

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

Vậy $u_{n} = 99 - 3 n$ , từ đó $u_{1} = 96$ , $d = - 3$ và $u_{n + 1} = u_{n} - 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép trừ là ra

d

, một phép thế là ra

u_{1}

, tổng cộng hai dòng và không phải viết hệ nên gần như không sai dấu; Cách 1 dài gấp đôi, còn Cách 3 tiện khi đề hỏi thẳng công thức tổng quát.

Đáp số. a)

u_{1} = 96

và

d = - 3

. b)

u_{1} = 96

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

. c)

u_{n} = 99 - 3 n

Sai lầm thường gặp. Hay bị viết

u_{8} = u_{1} + 8 d

và

u_{20} = u_{1} + 20 d

do quên dấu trừ một trong công thức

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

; khi đó ra

d = - 3

nhưng

u_{1} = 99

, thử lại thấy

u_{8} = 99 - 24 = 75

đúng còn

u_{1}

lại trùng với

b

nên rất khó phát hiện. Một lỗi khác là ghi công sai là

12 d = - 36

rồi kết luận luôn

d = - 36

. Ở ý c) nhiều bạn dừng ở

u_{n} = 96 + (n - 1) (- 3)

mà quên rút gọn thành

99 - 3 n

như đề yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, biết hai số hạng

u_{p}

và

u_{q}

với

p \neq = q

thì

d = \frac{u _{q} - u _{p}}{q - p}

và

u_{n} = u_{p} + (n - p) d

— công thức này bỏ hẳn bước đi vòng qua

u_{1}

, rất lợi khi

p

và

q

đều lớn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.13★★Trang 36— Tìm số hạng đầu khi biết tổng

n

số hạng đầu và công sai

Bài 2.13 (trang 36). Tổng của

20

số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng

3

là

650

. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Dạng tương đương: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ với $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng các số tự nhiên liên tiếp: $1 + 2 + \dots + m = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

n = 20

d = 3

S_{20} = 650

và hỏi

u_{1}

— bốn đại lượng

n

d

u_{1}

S_{n}

ràng buộc nhau bởi đúng một công thức nên bài này chỉ là giải một phương trình bậc nhất ẩn

u_{1}

. Chọn ngay dạng

S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}

vì nó chứa sẵn cả

d

, khỏi phải tính

u_{20}

trung gian. Bẫy duy nhất là hệ số

n - 1 = 19

chứ không phải

20

1Cách 1. Thay thẳng vào công thức tổng theo

u_{1}

và

d

Định hướng. Dùng dạng tổng chứa sẵn công sai để chỉ còn đúng một ẩn $u_{1}$ .

S_{20} = \frac{20 [ 2 u _{1} + ( 20 - 1 ) \cdot 3 ]}{2} = 10 (2 u_{1} + 57)

10 (2 u_{1} + 57) = 650

2 u_{1} + 57 = 65

2 u_{1} = 8

u_{1} = 4

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là $u_{1} = 4$ .

2Cách 2. Đi qua số hạng cuối

u_{20}

rồi dùng tổng hai đầu

Định hướng. Viết $u_{20}$ theo $u_{1}$ trước, sau đó dùng dạng tổng $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ quen thuộc của hình thang.

u_{20} = u_{1} + 19 \cdot 3 = u_{1} + 57

S_{20} = \frac{20 ( u _{1} + u _{20} )}{2} = 10 (u_{1} + u_{1} + 57) = 10 (2 u_{1} + 57)

10 (2 u_{1} + 57) = 650

u_{1} = 4

u_{20} = 4 + 57 = 61

và

S_{20} = \frac{20 ( 4 + 61 )}{2} = 650

Vậy $u_{1} = 4$ , cấp số cộng là $4$ ; $7$ ; $10$ ; $\dots$ ; $61$ .

3Cách 3. Tách tổng thành phần không đổi và phần tăng dần

Định hướng. Mỗi số hạng bằng $u_{1}$ cộng thêm một số nguyên lần công sai, nên gom riêng $20$ lần $u_{1}$ và gom riêng tổng các bội của $3$ .

S_{20} = (u_{1}) + (u_{1} + 3) + (u_{1} + 2 \cdot 3) + \dots + (u_{1} + 19 \cdot 3)

S_{20} = 20 u_{1} + 3 (1 + 2 + \dots + 19)

1 + 2 + \dots + 19 = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190

S_{20} = 20 u_{1} + 3 \cdot 190 = 20 u_{1} + 570

20 u_{1} + 570 = 650

20 u_{1} = 80

u_{1} = 4

Vậy $u_{1} = 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề cho sẵn đúng bộ

n

d

S_{n}

nên thay một lần là xong trong ba dòng, không cần tính

u_{20}

trung gian như Cách 2; Cách 3 đáng nhớ vì nó giải thích vì sao công thức tổng lại có thừa số

n - 1

Đáp số.

u_{1} = 4

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến nhất là viết

S_{20} = \frac{20 ( 2 u _{1} + 20 d )}{2}

, tức dùng

20 d

thay vì

19 d

; khi đó ra

u_{1} = \frac{65 - 60}{2} = 2, 5

, thử lại thấy

S_{20} = \frac{20 ( 2 , 5 + 59 , 5 )}{2} = 620 \neq = 650

. Một lỗi khác là nhầm

650

là số hạng thứ

20

chứ không phải tổng, khi đó lại ra

u_{1} = 650 - 57 = 593

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu đổi câu hỏi thành tìm

d

khi biết

u_{1}

và

S_{n}

thì

d = \frac{2 S _{n} - 2 n u _{1}}{n ( n - 1 )}

; thay

S_{20} = 650

u_{1} = 4

được đúng

d = \frac{1300 - 160}{380} = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.14★Trang 37— Tìm tham số để ba biểu thức lập thành cấp số cộng

Bài 2.14 (trang 37). Tìm

x

để

2 x

3 x + 2

và

5 x + 3

là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Kiến thức cần nhớ

Ba số $a$ , $b$ , $c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $2 b = a + c$ , tức $b = \frac{a + c}{2}$ .
Điều kiện tương đương: hiệu hai số hạng liên tiếp bằng nhau, tức $b - a = c - b$ .
Công sai của ba số đó là $d = b - a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nói ba số LIÊN TIẾP của một cấp số cộng nên điều kiện cần và đủ là số đứng giữa bằng trung bình cộng của hai số kề, viết ra là được ngay một phương trình bậc nhất ẩn

x

. Cách nghĩ tương đương là hai hiệu liên tiếp phải bằng nhau, cùng cho một phương trình nhưng ít phải nhân phá ngoặc hơn. Bẫy là ba số này KHÔNG bắt buộc là ba số hạng đầu của dãy, nên không được đặt chúng là

u_{1}

u_{2}

u_{3}

rồi áp công thức

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

một cách máy móc.

1Cách 1. Dùng tính chất trung bình cộng của số hạng đứng giữa

Định hướng. Số đứng giữa phải bằng nửa tổng hai số kề, viết thẳng đẳng thức đó ra.

2 (3 x + 2) = 2 x + (5 x + 3)

6 x + 4 = 7 x + 3

6 x - 7 x = 3 - 4

- x = - 1

x = 1

Thử lại:

2 x = 2

;

3 x + 2 = 5

;

5 x + 3 = 8

và

5 - 2 = 8 - 5 = 3

Vậy $x = 1$ , ba số là $2$ ; $5$ ; $8$ với công sai $d = 3$ .

2Cách 2. Cho hai hiệu liên tiếp bằng nhau

Định hướng. Ba số liên tiếp của cấp số cộng thì khoảng cách giữa số thứ nhất và thứ hai bằng khoảng cách giữa số thứ hai và thứ ba.

(3 x + 2) - 2 x = (5 x + 3) - (3 x + 2)

x + 2 = 2 x + 1

x - 2 x = 1 - 2

- x = - 1

x = 1

d = (3 x + 2) - 2 x = x + 2 = 3

Vậy $x = 1$ và công sai của ba số đó là $d = 3$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ là công sai

d

rồi lập hệ

Định hướng. Gọi $d$ là công sai, viết số thứ hai và số thứ ba theo số thứ nhất để có một hệ hai phương trình hai ẩn $x$ và $d$ .

{3 x + 2 = 2 x + d 5 x + 3 = 2 x + 2 d

{d = x + 2 5 x + 3 = 2 x + 2 (x + 2)

5 x + 3 = 4 x + 4

x = 1

d = 1 + 2 = 3

Vậy $x = 1$ , ba số là $2$ ; $5$ ; $8$ và công sai $d = 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng đẳng thức

2 b = a + c

rồi giải phương trình bậc nhất, ngắn nhất và khớp đúng câu chữ của định lí trong sách; Cách 3 dài hơn nhưng có lợi khi đề hỏi thêm công sai hoặc số hạng kế tiếp.

Đáp số.

x = 1

; khi đó ba số là

2

;

5

;

8

với công sai

d = 3

Sai lầm thường gặp. Hay bị viết nhầm điều kiện thành

3 x + 2 = \frac{2 x + 5 x + 3}{2}

rồi quên nhân chéo, hoặc viết

2 (3 x + 2) = 2 x + 5 x + 3

nhưng lại phá ngoặc thành

6 x + 2

nên ra

x = - 1

; thử lại với

x = - 1

được ba số

- 2

;

- 1

;

- 2

có hai hiệu là

1

và

- 1

nên không phải cấp số cộng. Một lỗi khác là kết luận thiếu, chỉ ghi

x = 1

mà không viết ra ba số

2

;

5

;

8

🚀 Mở rộng. Tổng quát, ba biểu thức bậc nhất

a x + b

c x + e

f x + g

lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

(2 c - a - f) x = b + g - 2 e

, nên bài toán vô nghiệm hoặc đúng với mọi

x

tuỳ theo

2 c - a - f

có bằng

0

hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.15★★★Trang 37— Tìm số số hạng

n

khi biết tổng

S_{n}

, số hạng đầu và công sai

Bài 2.15 (trang 37). Phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là

78

và công sai là

- 4

để được tổng là

702

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Phương trình bậc hai $a n^{2} + bn + c = 0$ có $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; khi $Δ > 0$ thì $n = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Định lí Vi-ét: hai nghiệm thoả $n_{1} + n_{2} = - \frac{b}{a}$ và $n_{1} n_{2} = \frac{c}{a}$ .
Điều kiện của ẩn: $n$ phải là số nguyên dương.

🧠 Phân tích tư duy

Ẩn cần tìm nằm ở vị trí số lượng số hạng nên khi thay vào công thức tổng sẽ được một phương trình BẬC HAI theo

n

— đây là dấu hiệu để chuẩn bị trước tinh thần có thể có hai giá trị

n

đều thoả mãn. Công sai âm khiến các số hạng giảm dần rồi đổi dấu, nên phần đuôi của dãy có thể tự triệt tiêu và làm tổng quay lại đúng giá trị cũ. Bẫy lớn nhất là thấy hai nghiệm rồi loại bớt một nghiệm vì nghĩ bài chỉ có một đáp số.

1Cách 1. Lập phương trình bậc hai theo

n

rồi giải bằng

Δ

và bằng tách nhân tử

Định hướng. Thay $u_{1} = 78$ , $d = - 4$ vào công thức tổng, chuyển hết về một vế để có phương trình bậc hai ẩn $n$ .

S_{n} = \frac{n [ 2 \cdot 78 + ( n - 1 ) ( - 4 ) ]}{2} = \frac{n ( 156 - 4 n + 4 )}{2} = \frac{n ( 160 - 4 n )}{2} = 80 n - 2 n^{2}

80 n - 2 n^{2} = 702

2 n^{2} - 80 n + 702 = 0

n^{2} - 40 n + 351 = 0

Δ = (- 40)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 351 = 1600 - 1404 = 196

và

Δ = 14

n = \frac{40 + 14}{2} = 27

hoặc

n = \frac{40 - 14}{2} = 13

Tách nhân tử: hai số có tổng

- 40

và tích

351

là

- 13

và

- 27

n^{2} - 13 n - 27 n + 351 = 0 \Leftrightarrow n (n - 13) - 27 (n - 13) = 0 \Leftrightarrow (n - 13) (n - 27) = 0

n - 13 = 0

hoặc

n - 27 = 0

n = 13

hoặc

n = 27

, cả hai đều là số nguyên dương nên đều nhận

Vậy phải lấy tổng của $13$ số hạng đầu hoặc $27$ số hạng đầu.

2Cách 2. Cộng dồn tới

702

rồi chỉ ra phần đuôi tự triệt tiêu

Định hướng. Viết số hạng tổng quát để thấy dãy đổi dấu ở đâu; cộng dồn được nghiệm nhỏ, còn nghiệm lớn có được nhờ ghép các số hạng đối nhau.

u_{n} = 78 + (n - 1) (- 4) = 82 - 4 n

S_{13} = \frac{13 ( u _{1} + u _{13} )}{2} = \frac{13 ( 78 + 30 )}{2} = \frac{13 \cdot 108}{2} = 702

u_{14} = 26

;

u_{15} = 22

;

\dots

;

u_{20} = 2

;

u_{21} = - 2

;

\dots

;

u_{27} = - 26

u_{14} + u_{27} = 26 + (- 26) = 0

;

u_{15} + u_{26} = 22 + (- 22) = 0

;

\dots

;

u_{20} + u_{21} = 2 + (- 2) = 0

u_{14} + u_{15} + \dots + u_{27} = 7 \cdot 0 = 0

S_{27} = S_{13} + 0 = 702

Vậy $n = 13$ hoặc $n = 27$ — hai bộ số hạng khác nhau nhưng cùng cho tổng $702$ .

3Cách 3. Dùng tính đối xứng của tổng và định lí Vi-ét để nhẩm nghiệm

Định hướng. Tổng $S_{n} = - 2 n^{2} + 80 n$ là một tam thức bậc hai theo $n$ nên đồ thị của nó nhận đường thẳng $n = 20$ làm trục đối xứng; hai giá trị $n$ cho cùng một tổng phải đối xứng qua $20$ .

S_{n} = - 2 n^{2} + 80 n

có trục đối xứng

n = - \frac{80}{2 \cdot ( - 2 )} = 20

S_{n} = 702 \Leftrightarrow n^{2} - 40 n + 351 = 0

n_{1} + n_{2} = 40

và

n_{1} n_{2} = 351

351 = 27 \cdot 13

và

27 + 13 = 40

n_{1} = 13

;

n_{2} = 27

S_{13} = 80 \cdot 13 - 2 \cdot 169 = 1040 - 338 = 702

và

S_{27} = 80 \cdot 27 - 2 \cdot 729 = 2160 - 1458 = 702

Vậy $n = 13$ hoặc $n = 27$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm Vi-ét cặp

13

và

27

chỉ mất một dòng, lại tự nhắc rằng hai nghiệm đối xứng qua

n = 20

nên không ai dám bỏ sót nghiệm thứ hai; Cách 1 là bản trình bày đầy đủ nên vẫn nên viết khi đề yêu cầu giải chi tiết.

Đáp số.

n = 13

hoặc

n = 27

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là loại mất nghiệm

n = 27

với lý do nghe rất xuôi tai rằng tổng không thể lặp lại; thật ra từ

u_{14}

trở đi các số hạng

26

;

22

;

\dots

;

2

và

- 2

;

\dots

;

- 26

ghép thành

7

cặp có tổng bằng

0

nên

S_{27} = S_{13}

. Lỗi thứ hai là thay

(n - 1) d

thành

n d

, dẫn tới

S_{n} = 78 n - 4 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2}

và ra nghiệm không nguyên. Lỗi thứ ba là quên điều kiện

n

nguyên dương nên giữ lại cả nghiệm âm khi đề đổi số.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi

d < 0

thì

S_{n}

là tam thức bậc hai có hệ số bậc hai âm nên phương trình

S_{n} = S

luôn có hai nghiệm đối xứng qua

n_{0} = \frac{1}{2} - \frac{u _{1}}{d}

; ở bài này

n_{0} = 20

chính là vị trí số hạng dương cuối cùng, cũng là chỗ tổng đạt giá trị lớn nhất

S_{20} = 800

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.16★★★Trang 37— Bài toán thực tế đưa về tổng của một cấp số cộng

Bài 2.16 (trang 37). Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng

2, 4

m ở đáy và rộng

1, 2

m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước

10

\times

10

cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?

Kiến thức cần nhớ

Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
Số các số nguyên liên tiếp từ $a$ đến $b$ với $a \leq b$ là $b - a + 1$ .
Khi $n$ lẻ thì $S_{n} = n \cdot u_{\frac{n + 1}{2}}$ , tức tổng bằng số số hạng nhân với số hạng chính giữa.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm chữ mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ngay dưới chính là công sai

d = - 1

, còn hai chiều rộng của hình thang cho số viên ở hàng đầu và hàng cuối, nên bài quy về tính tổng một cấp số cộng đã biết hai đầu. Việc phải làm trước tiên là đổi

2, 4

m và

1, 2

m về xăng-ti-mét rồi chia cho cạnh viên gạch. Bẫy chết người nằm ở số hàng: từ

24

viên giảm xuống

12

viên có

13

hàng chứ không phải

12

hàng.

1Cách 1. Lập cấp số cộng rồi dùng công thức số hạng tổng quát và công thức tổng

Định hướng. Đổi đơn vị để đếm số viên ở hàng dưới và hàng trên, coi số viên mỗi hàng tính từ dưới lên là một cấp số cộng công sai $- 1$ .

2, 4

= 240

cm và

1, 2

= 120

u_{1} = 240 : 10 = 24

và

u_{n} = 120 : 10 = 12

d = - 1

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 24 - (n - 1) = 25 - n

25 - n = 12

n = 13

S_{13} = \frac{13 ( u _{1} + u _{13} )}{2} = \frac{13 ( 24 + 12 )}{2} = \frac{13 \cdot 36}{2} = 234

Vậy cần $234$ viên gạch hình vuông để ốp hết bức tường.

2Cách 2. Viết tổng xuôi rồi viết tổng ngược và ghép cặp kiểu Gauss

Định hướng. Số viên mỗi hàng là các số nguyên liên tiếp từ $12$ đến $24$ ; viết tổng hai lần theo hai chiều rồi cộng lại, mọi cặp đều có cùng một tổng.

Số viên mỗi hàng từ dưới lên:

24

;

23

;

22

;

\dots

;

13

;

12

Số hàng là

24 - 12 + 1 = 13

S = 24 + 23 + \dots + 13 + 12

S = 12 + 13 + \dots + 23 + 24

2 S = (24 + 12) + (23 + 13) + \dots + (12 + 24) = 13 \cdot 36 = 468

S = \frac{468}{2} = 234

Vậy tổng số viên gạch cần dùng là $234$ viên.

3Cách 3. Dùng số hạng chính giữa vì số hàng là số lẻ

Định hướng. Có $13$ hàng, một số lẻ, nên hàng thứ bảy đứng chính giữa và số viên của nó đúng bằng số viên trung bình của cả bức tường.

Số hàng là

24 - 12 + 1 = 13

Hàng chính giữa là hàng thứ

\frac{13 + 1}{2} = 7

u_{7} = 25 - 7 = 18

u_{7} = \frac{u _{1} + u _{13}}{2} = \frac{24 + 12}{2} = 18

S_{13} = 13 \cdot u_{7} = 13 \cdot 18 = 234

Vậy cần $234$ viên gạch.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: sau khi có

13

hàng thì chỉ còn một phép nhân

13 \cdot 18

, không phải nhân chia phân số như Cách 1 nên hầu như không sai số; Cách 1 vẫn là bản trình bày an toàn nhất khi chưa chắc số hàng là chẵn hay lẻ.

Đáp số. Cần

234

viên gạch hình vuông.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là đếm

12

hàng do lấy hiệu

24 - 12

; khi đó tổng thành

\frac{12 ( 24 + 13 )}{2} = 222

viên, thiếu đúng hàng trên cùng — đây chính là con số

222

vẫn lưu truyền trên vài diễn đàn. Sai lầm thứ hai là quên đổi đơn vị, lấy thẳng

2, 4 : 10

rồi ra số viên lẻ. Sai lầm thứ ba là tính chiều cao tường bằng

240 - 120 = 120

cm rồi chia cho

10

để ra

12

hàng, trong khi đề không hề cho chiều cao.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bức tường hình thang rộng

a

viên ở đáy và

b

viên ở đỉnh với

a > b

cần

\frac{( a + b ) ( a - b + 1 )}{2}

viên gạch; thay

a = 24

b = 12

được đúng

\frac{36 \cdot 13}{2} = 234

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.17★★Trang 37— Bài toán thực tế về số hạng thứ

n

và tổng của cấp số cộng

Bài 2.17 (trang 37). Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng

30

bậc. Bậc dưới cùng cần

100

viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng? b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Kiến thức cần nhớ

Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Tổng các số tự nhiên liên tiếp: $1 + 2 + \dots + m = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm chữ mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên cho ngay công sai

d = - 2

, bậc dưới cùng cho

u_{1} = 100

và tổng số bậc cho

n = 30

, nên ý a) hỏi

u_{30}

còn ý b) hỏi

S_{30}

. Nên làm ý a) trước vì có

u_{30}

rồi thì ý b) chỉ còn một phép nhân với dạng tổng hai đầu. Bẫy là nhân

30

lần công sai thay vì

29

lần, vì từ bậc

1

lên bậc

30

chỉ bước

29

lần.

1Cách 1. Tính số hạng thứ ba mươi rồi dùng công thức tổng hai đầu

Định hướng. Số viên gạch mỗi bậc tính từ dưới lên lập thành cấp số cộng với $u_{1} = 100$ và $d = - 2$ ; tìm $u_{30}$ trước rồi mới tính tổng.

u_{1} = 100

;

d = - 2

;

n = 30

u_{30} = u_{1} + 29 d = 100 + 29 \cdot (- 2) = 100 - 58 = 42

S_{30} = \frac{30 ( u _{1} + u _{30} )}{2} = 15 (100 + 42) = 15 \cdot 142 = 2130

Vậy bậc trên cùng cần $42$ viên gạch và cả cầu thang cần $2130$ viên gạch.

2Cách 2. Tách tổng thành phần cố định và phần hao hụt

Định hướng. Coi như mọi bậc đều cần $100$ viên rồi trừ đi phần hao hụt: bậc thứ $k$ hụt $2 (k - 1)$ viên so với bậc dưới cùng.

a) Bậc thứ

30

hụt

2 \cdot 29 = 58

viên so với bậc dưới cùng

u_{30} = 100 - 58 = 42

S_{30} = 30 \cdot 100 - 2 (1 + 2 + \dots + 29)

1 + 2 + \dots + 29 = \frac{29 \cdot 30}{2} = 435

S_{30} = 3000 - 2 \cdot 435 = 3000 - 870 = 2130

Vậy $u_{30} = 42$ viên và $S_{30} = 2130$ viên.

3Cách 3. Ghép cặp bậc dưới với bậc trên để mọi cặp có cùng một tổng

Định hướng. Ghép bậc $1$ với bậc $30$ , bậc $2$ với bậc $29$ , và cứ thế; hai bậc trong mỗi cặp cách đều hai đầu nên tổng của chúng không đổi.

u_{30} = 100 + 29 \cdot (- 2) = 42

u_{1} + u_{30} = 100 + 42 = 142

u_{2} + u_{29} = 98 + 44 = 142

và

u_{3} + u_{28} = 96 + 46 = 142

30

bậc ghép được

15

cặp, mỗi cặp

142

viên

S_{30} = 15 \cdot 142 = 2130

Vậy bậc trên cùng cần $42$ viên và toàn bộ cầu thang cần $2130$ viên gạch.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng thay số là xong cả hai ý, lại dùng đúng hai công thức bắt buộc phải thuộc; Cách 3 hay ở chỗ nhẩm được

15 \cdot 142

trong đầu nên rất tiện để kiểm tra lại kết quả.

Đáp số. a) Bậc trên cùng cần

42

viên gạch. b) Cả cầu thang cần

2130

viên gạch.

Sai lầm thường gặp. Lỗi thường gặp nhất là tính

u_{30} = 100 - 2 \cdot 30 = 40

do nhân

30

lần công sai; khi đó tổng thành

15 \cdot 140 = 2100

, hụt đúng

30

viên. Lỗi thứ hai là hiểu ít hơn hai viên thành giảm một nửa rồi lập cấp số nhân. Lỗi thứ ba là ở ý b) lấy

30 \cdot 42 = 1260

, tức nhân số bậc với số viên của bậc trên cùng thay vì với số viên trung bình

\frac{100 + 42}{2} = 71

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, muốn bậc trên cùng vẫn còn ít nhất một viên thì cần

100 - 2 (n - 1) \geq 1

, tức

n \leq 50

; vậy kiểu cầu thang này nhiều nhất chỉ có

50

bậc và khi đó cần

S_{50} = 25 \cdot 102 = 2550

viên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.18★★★Trang 37— Tìm số số hạng

n

từ tổng

S_{n}

của một cấp số cộng tăng

Bài 2.18 (trang 37). Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài đó có

2040

chỗ ngồi, hàng đầu tiên có

10

chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm

4

chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Phương trình bậc hai $n^{2} + bn + c = 0$ tách được thành tích khi tìm được hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $c$ .
Với $d > 0$ thì dãy $S_{n}$ tăng ngặt nên phương trình $S_{n} = S$ có nhiều nhất một nghiệm nguyên dương.

🧠 Phân tích tư duy

Hàng sau hơn hàng trước đúng

4

chỗ là dấu hiệu của cấp số cộng công sai

d = 4

, tổng số chỗ chính là

S_{n}

, nên ẩn cần tìm nằm ở số lượng số hạng và phương trình thu được sẽ là bậc hai theo

n

. Vì công sai dương nên

S_{n}

tăng ngặt, chỉ có duy nhất một giá trị

n

thoả mãn, khác hẳn bài có công sai âm. Bẫy nhỏ là nghiệm âm của phương trình bậc hai phải bị loại vì số hàng ghế là số nguyên dương.

1Cách 1. Lập phương trình bậc hai theo

n

, giải bằng

Δ

và bằng tách nhân tử

Định hướng. Thay $u_{1} = 10$ , $d = 4$ , $S_{n} = 2040$ vào công thức tổng rồi đưa về phương trình bậc hai ẩn $n$ .

S_{n} = \frac{n [ 2 \cdot 10 + ( n - 1 ) \cdot 4 ]}{2} = \frac{n ( 4 n + 16 )}{2} = 2 n^{2} + 8 n

2 n^{2} + 8 n = 2040

n^{2} + 4 n - 1020 = 0

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1020) = 16 + 4080 = 4096

và

Δ = 64

n = \frac{- 4 + 64}{2} = 30

hoặc

n = \frac{- 4 - 64}{2} = - 34

Tách nhân tử: hai số có tổng

4

và tích

- 1020

là

34

và

- 30

n^{2} + 34 n - 30 n - 1020 = 0 \Leftrightarrow n (n + 34) - 30 (n + 34) = 0 \Leftrightarrow (n + 34) (n - 30) = 0

n + 34 = 0

hoặc

n - 30 = 0

n = - 34

loại vì

n

phải nguyên dương;

n = 30

thoả mãn

Vậy góc khán đài đó có $30$ hàng ghế.

2Cách 2. Đưa tổng về một tích hai số hơn kém nhau

4

rồi phân tích

1020

Định hướng. Viết $S_{n}$ dưới dạng tích thay vì dạng khai triển; khi đó việc tìm $n$ chỉ còn là tách $1020$ thành tích hai số cách nhau $4$ đơn vị.

u_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n + 6

S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n ( 10 + 4 n + 6 )}{2} = \frac{n ( 4 n + 16 )}{2} = 2 n (n + 4)

2 n (n + 4) = 2040

n (n + 4) = 1020

1020 = 30 \cdot 34

và

34 - 30 = 4

n = 30

Vậy có $30$ hàng ghế, hàng cuối cùng có $u_{30} = 4 \cdot 30 + 6 = 126$ chỗ ngồi.

3Cách 3. Chặn hai đầu rồi thử vì tổng tăng ngặt

Định hướng. Công sai dương nên $S_{n}$ tăng ngặt, chỉ cần kẹp $2040$ giữa hai giá trị liên tiếp của $S_{n}$ là khẳng định được nghiệm duy nhất.

S_{n} = 2 n (n + 4)

S_{29} = 2 \cdot 29 \cdot 33 = 1914 < 2040

S_{30} = 2 \cdot 30 \cdot 34 = 2040

S_{31} = 2 \cdot 31 \cdot 35 = 2170 > 2040

S_{n}

tăng ngặt theo

n

nên

n = 30

là giá trị duy nhất

Vậy góc khán đài có đúng $30$ hàng ghế.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa được

S_{n}

về

2 n (n + 4)

rồi nhẩm

1020 = 30 \cdot 34

là xong trong bốn dòng, không phải tính

Δ

tới bốn chữ số như Cách 1; Cách 3 dùng để kiểm tra lại kết quả trong ba mươi giây.

Đáp số. Góc khán đài có

30

hàng ghế.

Sai lầm thường gặp. Hay bị viết

S_{n} = \frac{n [ 2 \cdot 10 + 4 n ]}{2} = 2 n^{2} + 10 n

vì quên dấu trừ một trong

(n - 1) d

; khi đó

2 n^{2} + 10 n = 2040

cho

n^{2} + 5 n - 1020 = 0

với

Δ = 4105

không chính phương, đáng lẽ phải nghi ngờ ngay. Lỗi thứ hai là nhận cả nghiệm

n = - 34

vì quên điều kiện số hàng ghế nguyên dương. Lỗi thứ ba là hiểu

2040

là số chỗ của hàng cuối chứ không phải tổng số chỗ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

u_{1} = a

và

d > 0

thì

S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a - \frac{d}{2}) n

luôn tăng ngặt theo

n

, nên phương trình

S_{n} = S

có nhiều nhất một nghiệm nguyên dương — khác hẳn trường hợp

d < 0

ở Bài 2.15 có tới hai nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.19★★★Trang 37— Bài toán lương thưởng đưa về tìm

n

từ tổng của cấp số cộng

Bài 2.19 (trang 37). Nếu anh Nam nhận lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là

35000

đô la mỗi năm và được tăng thêm

1400

đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là

319200

đô la?

Kiến thức cần nhớ

Mức lương năm thứ $n$ : $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng lương $n$ năm đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
Phương trình bậc hai với hệ số lớn nên đặt nhân tử chung để rút gọn trước khi tính $Δ$ .
Số năm làm việc $n$ phải là số nguyên dương.

🧠 Phân tích tư duy

Lương mỗi năm hơn năm trước đúng

1400

đô la là dấu hiệu của cấp số cộng, còn tổng lương nhận được sau

n

năm chính là

S_{n}

, nên ẩn cần tìm lại nằm ở số lượng số hạng. Các số liệu đều lớn nên nên rút gọn sớm bằng cách đặt nhân tử chung

700

, tránh phải tính

Δ

tới sáu chữ số. Bẫy là hiểu nhầm

319200

là mức lương của năm cuối cùng chứ không phải tổng lương của tất cả các năm.

1Cách 1. Lập phương trình bậc hai theo

n

, giải bằng

Δ

và bằng tách nhân tử

Định hướng. Thay $u_{1} = 35000$ , $d = 1400$ , $S_{n} = 319200$ vào công thức tổng rồi chia cả hai vế cho $700$ để hệ số gọn lại.

S_{n} = \frac{n [ 2 \cdot 35000 + ( n - 1 ) \cdot 1400 ]}{2} = \frac{n ( 1400 n + 68600 )}{2} = 700 n^{2} + 34300 n

700 n^{2} + 34300 n = 319200

n^{2} + 49 n - 456 = 0

Δ = 4 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 456) = 2401 + 1824 = 4225

và

Δ = 65

n = \frac{- 49 + 65}{2} = 8

hoặc

n = \frac{- 49 - 65}{2} = - 57

Tách nhân tử: hai số có tổng

49

và tích

- 456

là

57

và

- 8

n^{2} + 57 n - 8 n - 456 = 0 \Leftrightarrow n (n + 57) - 8 (n + 57) = 0 \Leftrightarrow (n + 57) (n - 8) = 0

n + 57 = 0

hoặc

n - 8 = 0

n = - 57

loại vì số năm phải nguyên dương;

n = 8

thoả mãn

Vậy anh Nam phải làm việc $8$ năm.

2Cách 2. Đưa tổng về dạng tích rồi phân tích

456

thành tích hai thừa số

Định hướng. Giữ tổng ở dạng tích $700 n (n + 49)$ thay vì khai triển, khi đó chỉ cần tách $456$ thành tích của hai số hơn kém nhau $49$ đơn vị.

u_{n} = 35000 + (n - 1) \cdot 1400 = 1400 n + 33600

S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n ( 35000 + 1400 n + 33600 )}{2} = \frac{n ( 1400 n + 68600 )}{2} = 700 n (n + 49)

700 n (n + 49) = 319200

n (n + 49) = 456

456 = 8 \cdot 57

và

57 - 8 = 49

n = 8

Vậy cần $8$ năm làm việc, năm thứ tám anh Nam nhận $u_{8} = 1400 \cdot 8 + 33600 = 44800$ đô la.

3Cách 3. Lập bảng lương từng năm rồi cộng dồn

Định hướng. Liệt kê lương từng năm và cộng dồn cho tới khi chạm mốc $319200$ đô la; cách này không cần công thức nào và cho luôn bức tranh lương theo từng năm.

Lương các năm:

35000

;

36400

;

37800

;

39200

;

40600

;

42000

;

43400

;

44800

2

năm:

35000 + 36400 = 71400

4

năm:

71400 + 37800 + 39200 = 148400

6

năm:

148400 + 40600 + 42000 = 231000

8

năm:

231000 + 43400 + 44800 = 319200

Vậy sau đúng $8$ năm tổng lương anh Nam nhận được là $319200$ đô la.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn về

n (n + 49) = 456

rồi nhẩm

456 = 8 \cdot 57

là ra ngay, tránh hẳn việc bình phương

49

và khai căn

4225

như Cách 1; Cách 3 chỉ nên dùng để đối chiếu vì đề mà đổi thành vài chục năm thì cộng dồn sẽ rất lâu.

Đáp số. Anh Nam phải làm việc

8

năm.

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là hiểu

319200

là lương của năm cuối, khi đó giải

35000 + (n - 1) \cdot 1400 = 319200

n = 204

năm — một con số vô lí mà vẫn có bạn ghi vào bài. Lỗi thứ hai là quên chia hai vế cho

700

rồi tính

Δ = 3430 0^{2} + 4 \cdot 700 \cdot 319200

nên sai số học giữa chừng. Lỗi thứ ba là nhận luôn nghiệm

n = - 57

vì quên điều kiện số năm nguyên dương.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với lương khởi điểm

a

và mức tăng

d

mỗi năm thì tổng lương sau

n

năm là

S_{n} = \frac{d}{2} n (n + \frac{2 a - d}{d})

, nên mọi bài dạng này đều quy về tách một số cho trước thành tích hai thừa số có hiệu bằng

\frac{2 a - d}{d}

; ở đây hiệu đó là

49

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.20★★Trang 37— Chèn các trung bình cộng vào giữa hai số cho trước

Bài 2.20 (trang 37). Nếu

p

m

và

q

lập thành một cấp số cộng thì dễ thấy

m = \frac{p + q}{2}

. Số

m

được gọi là trung bình cộng của

p

và

q

. a) Chèn ba trung bình cộng vào giữa

4

và

12

. b) Tìm bốn trung bình cộng nằm giữa

16

và

91

Kiến thức cần nhớ

Ba số $p$ , $m$ , $q$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $m = \frac{p + q}{2}$ .
Chèn $k$ số vào giữa $p$ và $q$ thì dãy có $k + 2$ số hạng và $q = p + (k + 1) d$ , suy ra $d = \frac{q - p}{k + 1}$ .
Trong cấp số cộng, hai số hạng cách đều hai đầu có tổng không đổi: $u_{i} + u_{n + 1 - i} = u_{1} + u_{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chèn

k

số vào giữa

p

và

q

để được một cấp số cộng nghĩa là dựng một dãy có đúng

k + 2

số hạng với

u_{1} = p

và

u_{k + 2} = q

, nên chỉ cần một phương trình là ra công sai. Dấu hiệu quyết định nằm ở chỗ đếm đúng số số hạng: chèn ba số thì có năm số hạng chứ không phải bốn. Bẫy của đề là chữ trung bình cộng khiến nhiều bạn tưởng phải chia đôi liên tiếp, trong khi ở ý b) số số hạng chẵn nên không có số hạng chính giữa để chia đôi.

1Cách 1. Đếm số số hạng rồi dùng công thức số hạng tổng quát

Định hướng. Chèn $k$ số thì dãy có $k + 2$ số hạng; viết số hạng cuối theo $u_{1}$ và $d$ là có ngay một phương trình bậc nhất ẩn $d$ .

a) Dãy có

3 + 2 = 5

số hạng với

u_{1} = 4

và

u_{5} = 12

u_{5} = u_{1} + 4 d

12 = 4 + 4 d

4 d = 8

d = 2

u_{2} = 6

;

u_{3} = 8

;

u_{4} = 10

b) Dãy có

4 + 2 = 6

số hạng với

u_{1} = 16

và

u_{6} = 91

u_{6} = u_{1} + 5 d

91 = 16 + 5 d

5 d = 75

d = 15

u_{2} = 31

;

u_{3} = 46

;

u_{4} = 61

;

u_{5} = 76

Vậy a) ba số cần chèn là $6$ ; $8$ ; $10$ ; b) bốn số cần tìm là $31$ ; $46$ ; $61$ ; $76$ .

2Cách 2. Dùng tính chất hai số hạng cách đều hai đầu có tổng bằng nhau

Định hướng. Khai thác thẳng định nghĩa trung bình cộng trong đề: mọi cặp số hạng cách đều hai đầu đều có tổng bằng $u_{1} + u_{n}$ .

a) Dãy

4

;

x

;

y

;

z

;

12

có

y

cách đều hai đầu

2 y = 4 + 12 = 16

y = 8

2 x = 4 + y = 4 + 8 = 12

x = 6

2 z = y + 12 = 8 + 12 = 20

z = 10

b) Dãy

16

;

u_{2}

;

u_{3}

;

u_{4}

;

u_{5}

;

91

có

u_{3}

và

u_{4}

cách đều hai đầu

u_{3} + u_{4} = 16 + 91 = 107

(16 + 2 d) + (16 + 3 d) = 107

32 + 5 d = 107

d = 15

u_{2} = 31

;

u_{3} = 46

;

u_{4} = 61

;

u_{5} = 76

Vậy a) được dãy $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$ ; b) được dãy $16$ ; $31$ ; $46$ ; $61$ ; $76$ ; $91$ .

3Cách 3. Chia đều khoảng cách trên trục số rồi tổng quát hoá

Định hướng. Trên trục số, chèn $k$ số làm đoạn từ $p$ tới $q$ bị chia thành $k + 1$ phần bằng nhau, nên công sai chính là độ dài mỗi phần.

d = \frac{q - p}{k + 1}

d = \frac{12 - 4}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2

4

;

4 + 2 = 6

;

6 + 2 = 8

;

8 + 2 = 10

;

10 + 2 = 12

d = \frac{91 - 16}{4 + 1} = \frac{75}{5} = 15

16

;

16 + 15 = 31

;

31 + 15 = 46

;

46 + 15 = 61

;

61 + 15 = 76

;

76 + 15 = 91

Vậy a) ba trung bình cộng là $6$ ; $8$ ; $10$ ; b) bốn trung bình cộng là $31$ ; $46$ ; $61$ ; $76$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhớ một công thức duy nhất

d = \frac{q - p}{k + 1}

là làm được mọi bài chèn trung bình cộng trong hai dòng, không phải đếm lại số hạng như Cách 1; Cách 2 đáng giá ở chỗ nó dùng đúng định nghĩa mà đề vừa nêu nên rất hợp khi phải giải thích.

Đáp số. a) Ba trung bình cộng cần chèn là

6

;

8

;

10

, được dãy

4

;

6

;

8

;

10

;

12

với

d = 2

. b) Bốn trung bình cộng cần tìm là

31

;

46

;

61

;

76

, được dãy

16

;

31

;

46

;

61

;

76

;

91

với

d = 15

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến nhất là đếm nhầm số khoảng: ý a) lấy

d = \frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3}

vì tưởng chèn ba số thì có ba khoảng, ý b) lấy

d = \frac{91 - 16}{4} = 18, 75

; thử lại thấy số hạng cuối không ra

12

và

91

nên biết ngay là sai. Lỗi thứ hai là ở ý b) cố tìm số hạng chính giữa để chia đôi, trong khi dãy có

6

số hạng nên không có số hạng nào đứng giữa. Lỗi thứ ba là kể luôn cả

4

và

12

vào đáp số, trong khi đề chỉ hỏi các số được chèn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

k

trung bình cộng chèn vào giữa

p

và

q

là

p + i \cdot \frac{q - p}{k + 1}

với

i = 1

;

2

;

\dots

;

k

, và tổng của chúng luôn bằng

k \cdot \frac{p + q}{2}

; kiểm ở ý b):

31 + 46 + 61 + 76 = 214 = 4 \cdot \frac{16 + 91}{2}

Mở bài này trong app ↗