Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 6. Cấp số cộng

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang36–37 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.11★★Trang 36— Nhận biết cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai

Bài 2.11 (trang 36). Mỗi dãy số

(u_{n})

sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó. a)

u_{n} = 4 - 3 n

; b)

u_{n} = n^{2} + 1

; c)

u_{n} = 2 n + 5

; d)

u_{1} = 3

u_{n + 1} = u_{n} + n

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n + 1} - u_{n} = d$ không đổi với mọi $n \geq 1$ ; số $d$ gọi là công sai.
Dấu hiệu nhanh: $(u_{n})$ là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n} = an + b$ (bậc nhất theo $n$ ), khi đó $d = a$ và $u_{1} = a + b$ .
Tính chất trung bình cộng: $(u_{n})$ là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}$ với mọi $k \geq 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều hỏi một câu duy nhất: hiệu hai số hạng liên tiếp có phải là một hằng số hay không, nên dấu hiệu nhận dạng nằm ở chỗ sau khi rút gọn

u_{n + 1} - u_{n}

thì chữ

n

có còn hay không. Hai ý a) và c) cho công thức bậc nhất theo

n

nên có thể đọc thẳng công sai ra khỏi hệ số của

n

, nhanh hơn hẳn việc khai triển. Bẫy nằm ở ý d): hệ thức

u_{n + 1} = u_{n} + n

trông rất giống dạng

u_{n + 1} = u_{n} + d

, nhưng lượng cộng thêm là

n

nên thay đổi theo từng bước.

1Cách 1. Xét hiệu hai số hạng liên tiếp theo đúng định nghĩa

Định hướng. Tính $u_{n + 1} - u_{n}$ rồi xem kết quả còn chứa $n$ hay không: còn chứa $n$ là loại ngay.

u_{n + 1} - u_{n} = [4 - 3 (n + 1)] - (4 - 3 n) = 4 - 3 n - 3 - 4 + 3 n = - 3

u_{1} = 4 - 3 \cdot 1 = 1

u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1)^{2} + 1] - (n^{2} + 1) = n^{2} + 2 n + 1 + 1 - n^{2} - 1 = 2 n + 1

u_{n + 1} - u_{n} = [2 (n + 1) + 5] - (2 n + 5) = 2 n + 2 + 5 - 2 n - 5 = 2

u_{1} = 2 \cdot 1 + 5 = 7

u_{n + 1} - u_{n} = n

Vậy a) là cấp số cộng với $u_{1} = 1$ , $d = - 3$ ; c) là cấp số cộng với $u_{1} = 7$ , $d = 2$ ; b) và d) không là cấp số cộng vì hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ còn phụ thuộc $n$ .

2Cách 2. Đọc thẳng công sai từ dạng bậc nhất của số hạng tổng quát

Định hướng. Một dãy là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n}$ viết được thành $an + b$ ; khi đó $d = a$ và $u_{1} = a + b$ , khỏi phải khai triển hiệu.

u_{n} = - 3 n + 4

, tức

a = - 3

và

b = 4

d = a = - 3

;

u_{1} = a + b = - 3 + 4 = 1

u_{n} = n^{2} + 1

chứa

n^{2}

nên không viết được thành

an + b

u_{n} = 2 n + 5

, tức

a = 2

và

b = 5

d = a = 2

;

u_{1} = a + b = 2 + 5 = 7

u_{1} = 3

;

u_{2} = 3 + 1 = 4

;

u_{3} = 4 + 2 = 6

;

u_{4} = 6 + 3 = 9

u_{2} - u_{1} = 1

;

u_{3} - u_{2} = 2

;

u_{4} - u_{3} = 3

Vậy a) và c) là cấp số cộng với $(u_{1}; d)$ lần lượt là $(1; - 3)$ và $(7; 2)$ ; b) và d) không là cấp số cộng.

3Cách 3. Kiểm tính chất trung bình cộng trên một bộ ba số hạng liên tiếp

Định hướng. Cấp số cộng buộc mỗi số hạng phải là trung bình cộng của hai số hạng kề nó, nên chỉ cần chỉ ra một bộ ba vi phạm là kết luận được ngay.

u_{1} = 1

;

u_{2} = - 2

;

u_{3} = - 5

;

u_{4} = - 8

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{1 + ( - 5 )}{2} = - 2 = u_{2}

và

\frac{u _{2} + u _{4}}{2} = \frac{- 2 + ( - 8 )}{2} = - 5 = u_{3}

u_{1} = 2

;

u_{2} = 5

;

u_{3} = 10

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6 \neq = 5 = u_{2}

u_{1} = 7

;

u_{2} = 9

;

u_{3} = 11

;

u_{4} = 13

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9 = u_{2}

và

\frac{u _{2} + u _{4}}{2} = \frac{9 + 13}{2} = 11 = u_{3}

u_{1} = 3

;

u_{2} = 4

;

u_{3} = 6

\frac{u _{1} + u _{3}}{2} = \frac{3 + 6}{2} = 4, 5 \neq = 4 = u_{2}

Vậy chỉ a) và c) là cấp số cộng, với $u_{1} = 1$ , $d = - 3$ và $u_{1} = 7$ , $d = 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần liếc xem

u_{n}

có phải bậc nhất theo

n

hay không là đọc ngay ra

d = a

và

u_{1} = a + b

, không phải khai triển hiệu như Cách 1; Cách 1 vẫn giữ vai trò trình bày chuẩn khi đề bắt chứng minh.

Đáp số. a) Là cấp số cộng với

u_{1} = 1

d = - 3

. b) Không là cấp số cộng. c) Là cấp số cộng với

u_{1} = 7

d = 2

. d) Không là cấp số cộng.

Sai lầm thường gặp. Ý a) hay bị lấy luôn

u_{1} = 4

vì thấy số

4

đứng đầu công thức; thật ra

4

ứng với

n = 0

, còn số hạng đầu là

u_{1} = 4 - 3 \cdot 1 = 1

. Ý d) hay bị kết luận là cấp số cộng công sai

n

, nhưng công sai phải là HẰNG SỐ: ở đây

u_{2} - u_{1} = 1

mà

u_{3} - u_{2} = 2

. Ý b) đôi khi bị loại sai lý do bằng câu

u_{n}

luôn dương, trong khi lý do đúng là hiệu

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1

thay đổi theo

n

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n} = a n^{2} + bn + c

là cấp số cộng khi và chỉ khi

a = 0

, vì

u_{n + 1} - u_{n} = 2 an + a + b

chỉ hết phụ thuộc

n

khi

a = 0

; đây là lý do mọi công thức chứa

n^{2}

đều bị loại ngay từ cái nhìn đầu tiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.12★★Trang 36— Tìm

u_{1}

và

d

của cấp số cộng khi biết hai số hạng bất kì

Bài 2.12 (trang 36). Số hạng thứ tám của một cấp số cộng là

75

và số hạng thứ hai mươi là

39

. a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b) Tìm hệ thức truy hồi cho cấp số cộng đó. c) Tìm công thức số hạng thứ

n

của cấp số cộng đó.

Kiến thức cần nhớ

Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Liên hệ hai số hạng bất kì: $u_{q} = u_{p} + (q - p) d$ , suy ra $d = \frac{u _{q} - u _{p}}{q - p}$ khi $p \neq = q$ .
Hệ thức truy hồi của cấp số cộng: $u_{1}$ cho trước và $u_{n + 1} = u_{n} + d$ với mọi $n \geq 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai số hạng ở hai vị trí khác nhau, mà một cấp số cộng chỉ cần hai dữ kiện

u_{1}

và

d

là xác định xong, nên đây đúng là dạng lập hệ hai phương trình hai ẩn. Đường ngắn hơn là trừ trực tiếp hai số hạng để

u_{1}

tự triệt tiêu, chỉ còn

d

. Bẫy của đề là số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước nên công sai phải âm, ai quen mặc định cấp số cộng là dãy tăng rất dễ đặt nhầm dấu ngay từ dòng đầu.

1Cách 1. Lập hệ hai phương trình với hai ẩn

u_{1}

và

d

Định hướng. Viết cả $u_{8}$ và $u_{20}$ theo $u_{1}$ và $d$ rồi giải hệ bậc nhất hai ẩn.

u_{8} = u_{1} + 7 d = 75

và

u_{20} = u_{1} + 19 d = 39

{u_{1} + 7 d = 75 u_{1} + 19 d = 39 \Leftrightarrow {u_{1} + 7 d = 75 12 d = - 36 \Leftrightarrow {u_{1} = 96 d = - 3

u_{1} = 96

và

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 96 + (n - 1) \cdot (- 3) = 96 - 3 n + 3 = 99 - 3 n

Vậy $u_{1} = 96$ ; $d = - 3$ ; hệ thức truy hồi là $u_{1} = 96$ , $u_{n + 1} = u_{n} - 3$ ; công thức tổng quát là $u_{n} = 99 - 3 n$ .

2Cách 2. Trừ hai số hạng cho nhau để

u_{1}

tự triệt tiêu

Định hướng. Từ $u_{8}$ đi tới $u_{20}$ phải cộng thêm đúng $12$ lần công sai, nên lấy hiệu là ra ngay $d$ mà không cần động tới $u_{1}$ .

u_{20} - u_{8} = (u_{1} + 19 d) - (u_{1} + 7 d) = 12 d

12 d = 39 - 75 = - 36

d = - 3

u_{1} = u_{8} - 7 d = 75 - 7 \cdot (- 3) = 75 + 21 = 96

u_{1} = 96

và

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

u_{n} = 96 + (n - 1) \cdot (- 3) = 99 - 3 n

Vậy $u_{1} = 96$ ; $d = - 3$ ; $u_{n + 1} = u_{n} - 3$ ; $u_{n} = 99 - 3 n$ .

3Cách 3. Coi

u_{n}

là hàm bậc nhất của

n

đi qua hai điểm cho trước

Định hướng. Vì $u_{n} = an + b$ nên các điểm $(n; u_{n})$ thẳng hàng; viết luôn đường thẳng qua $(8; 75)$ và $(20; 39)$ là có ngay công thức tổng quát, rồi mới đọc ngược ra $u_{1}$ và $d$ .

u_{n} = an + b

a = \frac{39 - 75}{20 - 8} = \frac{- 36}{12} = - 3

b = 75 - 8 a = 75 - 8 \cdot (- 3) = 99

u_{n} = - 3 n + 99 = 99 - 3 n

d = a = - 3

và

u_{1} = 99 - 3 \cdot 1 = 96

u_{1} = 96

và

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

Vậy $u_{n} = 99 - 3 n$ , từ đó $u_{1} = 96$ , $d = - 3$ và $u_{n + 1} = u_{n} - 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép trừ là ra

d

, một phép thế là ra

u_{1}

, tổng cộng hai dòng và không phải viết hệ nên gần như không sai dấu; Cách 1 dài gấp đôi, còn Cách 3 tiện khi đề hỏi thẳng công thức tổng quát.

Đáp số. a)

u_{1} = 96

và

d = - 3

. b)

u_{1} = 96

u_{n + 1} = u_{n} - 3

với mọi

n \geq 1

. c)

u_{n} = 99 - 3 n

Sai lầm thường gặp. Hay bị viết

u_{8} = u_{1} + 8 d

và

u_{20} = u_{1} + 20 d

do quên dấu trừ một trong công thức

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

; khi đó ra

d = - 3

nhưng

u_{1} = 99

, thử lại thấy

u_{8} = 99 - 24 = 75

đúng còn

u_{1}

lại trùng với

b

nên rất khó phát hiện. Một lỗi khác là ghi công sai là

12 d = - 36

rồi kết luận luôn

d = - 36

. Ở ý c) nhiều bạn dừng ở

u_{n} = 96 + (n - 1) (- 3)

mà quên rút gọn thành

99 - 3 n

như đề yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, biết hai số hạng

u_{p}

và

u_{q}

với

p \neq = q

thì

d = \frac{u _{q} - u _{p}}{q - p}

và

u_{n} = u_{p} + (n - p) d

— công thức này bỏ hẳn bước đi vòng qua

u_{1}

, rất lợi khi

p

và

q

đều lớn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.13★★Trang 36— Tìm số hạng đầu khi biết tổng

n

số hạng đầu và công sai

Bài 2.13 (trang 36). Tổng của

20

số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng

3

là

650

. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Dạng tương đương: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ với $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng các số tự nhiên liên tiếp: $1 + 2 + \dots + m = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.14★Trang 37— Tìm tham số để ba biểu thức lập thành cấp số cộng

Bài 2.14 (trang 37). Tìm

x

để

2 x

3 x + 2

và

5 x + 3

là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Kiến thức cần nhớ

Ba số $a$ , $b$ , $c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $2 b = a + c$ , tức $b = \frac{a + c}{2}$ .
Điều kiện tương đương: hiệu hai số hạng liên tiếp bằng nhau, tức $b - a = c - b$ .
Công sai của ba số đó là $d = b - a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.15★★★Trang 37— Tìm số số hạng

n

khi biết tổng

S_{n}

, số hạng đầu và công sai

Bài 2.15 (trang 37). Phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là

78

và công sai là

- 4

để được tổng là

702

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Phương trình bậc hai $a n^{2} + bn + c = 0$ có $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; khi $Δ > 0$ thì $n = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Định lí Vi-ét: hai nghiệm thoả $n_{1} + n_{2} = - \frac{b}{a}$ và $n_{1} n_{2} = \frac{c}{a}$ .
Điều kiện của ẩn: $n$ phải là số nguyên dương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.16★★★Trang 37— Bài toán thực tế đưa về tổng của một cấp số cộng

Bài 2.16 (trang 37). Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng

2, 4

m ở đáy và rộng

1, 2

m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước

10

\times

10

cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?

Kiến thức cần nhớ

Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
Số các số nguyên liên tiếp từ $a$ đến $b$ với $a \leq b$ là $b - a + 1$ .
Khi $n$ lẻ thì $S_{n} = n \cdot u_{\frac{n + 1}{2}}$ , tức tổng bằng số số hạng nhân với số hạng chính giữa.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.17★★Trang 37— Bài toán thực tế về số hạng thứ

n

và tổng của cấp số cộng

Bài 2.17 (trang 37). Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng

30

bậc. Bậc dưới cùng cần

100

viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng? b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Kiến thức cần nhớ

Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Tổng các số tự nhiên liên tiếp: $1 + 2 + \dots + m = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.18★★★Trang 37— Tìm số số hạng

n

từ tổng

S_{n}

của một cấp số cộng tăng

Bài 2.18 (trang 37). Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài đó có

2040

chỗ ngồi, hàng đầu tiên có

10

chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm

4

chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Phương trình bậc hai $n^{2} + bn + c = 0$ tách được thành tích khi tìm được hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $c$ .
Với $d > 0$ thì dãy $S_{n}$ tăng ngặt nên phương trình $S_{n} = S$ có nhiều nhất một nghiệm nguyên dương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.19★★★Trang 37— Bài toán lương thưởng đưa về tìm

n

từ tổng của cấp số cộng

Bài 2.19 (trang 37). Nếu anh Nam nhận lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là

35000

đô la mỗi năm và được tăng thêm

1400

đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là

319200

đô la?

Kiến thức cần nhớ

Mức lương năm thứ $n$ : $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Tổng lương $n$ năm đầu: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
Phương trình bậc hai với hệ số lớn nên đặt nhân tử chung để rút gọn trước khi tính $Δ$ .
Số năm làm việc $n$ phải là số nguyên dương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.20★★Trang 37— Chèn các trung bình cộng vào giữa hai số cho trước

Bài 2.20 (trang 37). Nếu

p

m

và

q

lập thành một cấp số cộng thì dễ thấy

m = \frac{p + q}{2}

. Số

m

được gọi là trung bình cộng của

p

và

q

. a) Chèn ba trung bình cộng vào giữa

4

và

12

. b) Tìm bốn trung bình cộng nằm giữa

16

và

91

Kiến thức cần nhớ

Ba số $p$ , $m$ , $q$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $m = \frac{p + q}{2}$ .
Chèn $k$ số vào giữa $p$ và $q$ thì dãy có $k + 2$ số hạng và $q = p + (k + 1) d$ , suy ra $d = \frac{q - p}{k + 1}$ .
Trong cấp số cộng, hai số hạng cách đều hai đầu có tổng không đổi: $u_{i} + u_{n + 1 - i} = u_{1} + u_{n}$ .