Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.21★★Trang 39— Chứng minh dãy số là cấp số nhân, tìm số hạng đầu và công bội

Bài 2.21 (trang 39). Chứng minh rằng mỗi dãy số

(u_{n})

sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.
a)

u_{n} = - 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n}

;
b)

u_{n} = \frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}}

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ là cấp số nhân công bội $q$ khi và chỉ khi $u_{n + 1} = u_{n} \cdot q$ với mọi $n \geq 1$ ; nếu $u_{n} \neq = 0$ với mọi $n$ thì điều này tương đương $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ không đổi.
Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Tính chất: nếu $(u_{n})$ là cấp số nhân thì $u_{k}^{2} = u_{k - 1} \cdot u_{k + 1}$ với mọi $k \geq 2$ ; ngược lại, dãy có mọi số hạng khác $0$ và thoả hệ thức này là cấp số nhân.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai công thức đều có dạng một hằng số nhân với một luỹ thừa mà số mũ là

n

, đó là dấu hiệu của cấp số nhân. Hướng chắc chắn nhất là xét thương

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

và chứng tỏ nó không phụ thuộc

n

; hướng nhanh nhất là nặn công thức về đúng khuôn

u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}

để đọc thẳng

u_{1}

và

q

. Bẫy nằm ở số mũ: câu a có mũ

n

chứ không phải

n - 1

nên số hạng đầu không phải là

- 3

1Cách 1. Xét thương hai số hạng liên tiếp

Định hướng. Mọi số hạng đều khác $0$ , nên chỉ cần chứng tỏ $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ là một hằng số; hằng số đó chính là công bội.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{- 3 \cdot ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{- 3 \cdot ( \frac{1}{2} ) ^{n}}

a) \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{1}{2}

u_{1} = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} \cdot \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n}}

b) \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2 \cdot \frac{1}{3}

b) \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2}{3}

u_{1} = \frac{2 ^{1}}{3 ^{0}} = 2

Vậy a) $(u_{n})$ là cấp số nhân với $u_{1} = - \frac{3}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ; b) $(u_{n})$ là cấp số nhân với $u_{1} = 2$ , $q = \frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Đưa về đúng khuôn số hạng tổng quát

Định hướng. Tách một thừa số ra khỏi luỹ thừa để số mũ còn lại là $n - 1$ ; khi đó công thức có dạng $u_{1} \cdot q^{n - 1}$ và đọc được ngay $u_{1}$ , $q$ .

u_{n} = - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

a) u_{n} = - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

u_{n} = \frac{2 \cdot 2 ^{n - 1}}{3 ^{n - 1}}

b) u_{n} = 2 \cdot (\frac{2}{3})^{n - 1}

Vậy cả hai dãy có dạng $u_{1} \cdot q^{n - 1}$ nên là cấp số nhân: a) $u_{1} = - \frac{3}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ; b) $u_{1} = 2$ , $q = \frac{2}{3}$ .

3Cách 3. Kiểm tính chất trung bình nhân

Định hướng. Dãy có mọi số hạng khác $0$ và thoả $u_{n}^{2} = u_{n - 1} \cdot u_{n + 1}$ với mọi $n \geq 2$ thì là cấp số nhân; công bội lấy bằng $\frac{u _{2}}{u _{1}}$ .

u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = (- 3)^{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1 + n + 1} = 9 \cdot (\frac{1}{2})^{2 n}

a) u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = [- 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n}]^{2} = u_{n}^{2}

u_{1} = - \frac{3}{2}; u_{2} = - \frac{3}{4}; q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{1}{2}

u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = \frac{2 ^{n - 1}}{3 ^{n - 2}} \cdot \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = \frac{2 ^{2 n}}{3 ^{2 n - 2}}

b) u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = (\frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}})^{2} = u_{n}^{2}

u_{1} = 2; u_{2} = \frac{4}{3}; q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{2}{3}

Vậy hai dãy đều là cấp số nhân: a) $u_{1} = - \frac{3}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ; b) $u_{1} = 2$ , $q = \frac{2}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng được vì mọi số hạng khác $0$ ; dãy $0, 0, 1, \dots$ vẫn thoả $u_{2}^{2} = u_{1} u_{3}$ mà không phải cấp số nhân. Cách 1 và Cách 3 là lời chứng minh đầy đủ, Cách 2 ngắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách một thừa số là thấy ngay khuôn

u_{1} \cdot q^{n - 1}

, vừa chứng minh vừa đọc được

u_{1}

q

trong hai dòng; Cách 1 là cách trình bày chuẩn khi đề ghi rõ chữ chứng minh.

Đáp số. a) Cấp số nhân với

u_{1} = - \frac{3}{2}

q = \frac{1}{2}

. b) Cấp số nhân với

u_{1} = 2

q = \frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Câu a hay bị ghi

u_{1} = - 3

vì thấy số

- 3

đứng đầu công thức; thật ra

- 3

ứng với

n = 0

, còn

u_{1} = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

. Dấu trừ ở câu a cũng làm nhiều bạn tưởng công bội âm, nhưng dấu trừ nằm ngoài luỹ thừa nên

q = \frac{1}{2} > 0

. Câu b dễ viết ngược thành

q = \frac{3}{2}

khi lấy

\frac{u _{n}}{u _{n + 1}}

thay vì

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi dãy

u_{n} = A \cdot B^{n}

với

A, B \neq = 0

đều là cấp số nhân có

q = B

và

u_{1} = A B

; chẳng hạn

u_{n} = \frac{5 ^{n + 1}}{2 ^{2 n}} = 5 \cdot (\frac{5}{4})^{n}

có

q = \frac{5}{4}

u_{1} = \frac{25}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.22★Trang 39— Tìm số hạng thứ n của cấp số nhân cho bởi vài số hạng đầu

Bài 2.22 (trang 39). Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân

64, - 32, 16, - 8, \dots

Kiến thức cần nhớ

Công bội: $q = \frac{u _{2}}{u _{1}}$ .
Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ ; tổng quát hơn $u_{n} = u_{m} \cdot q^{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã khẳng định đây là cấp số nhân và cho sẵn các số hạng đầu, nên chỉ cần lấy công bội bằng thương hai số liền nhau rồi áp công thức

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

. Công bội âm nên dấu các số hạng đổi liên tục, đó là chỗ phải cẩn thận. Để ý các số đều là luỹ thừa của

2

nên có thể tính nhẩm hoàn toàn.

1Cách 1. Dùng công thức số hạng tổng quát

Định hướng. Tìm $q$ từ hai số hạng đầu rồi thay vào $u_{10} = u_{1} q^{9}$ .

q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{- 32}{64} = - \frac{1}{2}

u_{10} = u_{1} \cdot q^{9}

u_{10} = 64 \cdot (- \frac{1}{2})^{9}

u_{10} = 64 \cdot (- \frac{1}{512})

u_{10} = - \frac{1}{8}

Vậy số hạng thứ 10 là $u_{10} = - \frac{1}{8}$ .

2Cách 2. Viết mọi số hạng thành luỹ thừa của 2

Định hướng. $64 = 2^{6}$ , $32 = 2^{5}$ , $16 = 2^{4}$ : mỗi bước số mũ giảm $1$ và dấu đổi một lần, nên có ngay công thức số hạng tổng quát gọn.

u_{1} = 2^{6}; u_{2} = - 2^{5}; u_{3} = 2^{4}; u_{4} = - 2^{3}

u_{n} = (- 1)^{n - 1} \cdot 2^{7 - n}

u_{10} = (- 1)^{9} \cdot 2^{7 - 10}

u_{10} = - 2^{- 3}

u_{10} = - \frac{1}{8}

Vậy $u_{10} = - \frac{1}{8}$ .

3Cách 3. Đi tiếp từ số hạng gần nhất đã biết

Định hướng. Không cần quay về $u_{1}$ : từ $u_{4} = - 8$ chỉ cần nhân thêm $q$ sáu lần nữa.

u_{10} = u_{4} \cdot q^{6}

u_{10} = - 8 \cdot (- \frac{1}{2})^{6}

u_{10} = - 8 \cdot \frac{1}{64}

u_{10} = - \frac{1}{8}

Vậy $u_{10} = - \frac{1}{8}$ .

Nhận xét. Mũ chẵn của $q$ âm cho số dương, nên dấu của $u_{10}$ trùng dấu $u_{4}$ : với $q < 0$ , các số hạng có chỉ số chẵn đều âm, chỉ số lẻ đều dương, kiểm dấu nhanh bằng cách này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: xuất phát từ

u_{4}

chỉ phải tính

q^{6}

với mũ chẵn nên không lo sai dấu; Cách 1 là cách chuẩn khi số hạng đã biết nằm xa.

Đáp số.

u_{10} = - \frac{1}{8}

Sai lầm thường gặp. Lấy

q = \frac{64}{- 32} = - 2

(chia ngược thứ tự) sẽ cho

u_{10} = 64 \cdot (- 2)^{9} = - 32768

, sai hoàn toàn: dãy đang giảm về độ lớn nên

∣ q ∣ < 1

. Lỗi thứ hai là dùng

q^{10}

thay cho

q^{9}

, ra

u_{10} = \frac{1}{16}

mang cả sai dấu.

🚀 Mở rộng. Từ

∣ u_{n} ∣ = 2^{7 - n}

suy ra số hạng đầu tiên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

\frac{1}{1000}

là

u_{17}

, vì

2^{- 9} = \frac{1}{512} > \frac{1}{1000} > 2^{- 10} = \frac{1}{1024}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.23★★Trang 39— Tìm số hạng của cấp số nhân khi biết hai số hạng

Bài 2.23 (trang 39). Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là

125

và số hạng thứ 10 là

\frac{125}{64}

. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ và $u_{n} = u_{m} \cdot q^{n - m}$ , suy ra $\frac{u _{n}}{u _{m}} = q^{n - m}$ .
Cấp số nhân có mọi số hạng dương thì $u_{1} > 0$ và $q > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết hai số hạng

u_{4}

u_{10}

là dấu hiệu lập hệ theo

u_{1}

và

q

, chia hai phương trình cho nhau để khử

u_{1}

. Phương trình

q^{6} = \frac{1}{64}

có mũ chẵn nên có hai nghiệm

\pm \frac{1}{2}

, giả thiết mọi số hạng dương chính là để loại nghiệm âm. Thật ra đề chỉ hỏi

u_{14} = u_{10} \cdot q^{4}

, nên không bắt buộc phải tìm

u_{1}

1Cách 1. Lập hệ theo số hạng đầu và công bội

Định hướng. Viết $u_{4}$ , $u_{10}$ theo $u_{1}$ , $q$ ; chia vế theo vế để ra $q$ , rồi tìm $u_{1}$ và $u_{14}$ .

⎩ ⎨ ⎧ u_{1} q^{3} = 125 u_{1} q^{9} = \frac{125}{64}

\frac{u _{1} q ^{9}}{u _{1} q ^{3}} = \frac{125}{64} : 125

q^{6} = \frac{1}{64}

q = \frac{1}{2}

(vì

q > 0

)

u_{1} = \frac{125}{q ^{3}} = 125 : \frac{1}{8} = 1000

u_{14} = u_{1} q^{13} = 1000 \cdot \frac{1}{8192}

u_{14} = \frac{125}{1024}

Vậy số hạng thứ 14 là $u_{14} = \frac{125}{1024}$ .

2Cách 2. Đi thẳng giữa các số hạng, không cần số hạng đầu

Định hướng. Từ $u_{4}$ tới $u_{10}$ nhân thêm $q^{6}$ , từ $u_{10}$ tới $u_{14}$ nhân thêm $q^{4}$ , nên chỉ cần $q$ .

u_{10} = u_{4} \cdot q^{6}

\frac{125}{64} = 125 \cdot q^{6}

q^{6} = \frac{1}{64}

q = \frac{1}{2}

(vì

q > 0

)

u_{14} = u_{10} \cdot q^{4} = \frac{125}{64} \cdot \frac{1}{16}

u_{14} = \frac{125}{1024}

Vậy $u_{14} = \frac{125}{1024}$ .

3Cách 3. Lấy thẳng q mũ 4 từ q mũ 6, không cần tìm q

Định hướng. Vì $q > 0$ nên $q^{4} = (q^{6})^{\frac{2}{3}}$ ; tỉ số $\frac{u _{10}}{u _{4}}$ cho ngay $q^{6}$ , do đó có luôn $\frac{u _{14}}{u _{10}}$ .

\frac{u _{14}}{u _{10}} = q^{4} = (q^{6})^{\frac{2}{3}} = (\frac{u _{10}}{u _{4}})^{\frac{2}{3}}

\frac{u _{14}}{u _{10}} = (\frac{1}{64})^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{4})^{2}

\frac{u _{14}}{u _{10}} = \frac{1}{16}

u_{14} = \frac{125}{64} \cdot \frac{1}{16} = \frac{125}{1024}

Vậy $u_{14} = \frac{125}{1024}$ .

Nhận xét. Vì $u_{14} = u_{10} \cdot q^{4}$ mà $q^{4}$ như nhau với $q = \pm \frac{1}{2}$ , đáp số không đổi dù chọn dấu nào; nhưng lời giải vẫn phải loại $q = - \frac{1}{2}$ vì khi đó $u_{1} = - 1000 < 0$ , trái giả thiết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: không cần tìm

u_{1}

, chỉ hai phép tính

q^{6}

và

q^{4}

với số nhỏ; Cách 1 dài hơn và phải tính

(\frac{1}{2})^{13}

dễ nhầm.

Đáp số.

u_{14} = \frac{125}{1024}

Sai lầm thường gặp. Từ

q^{6} = \frac{1}{64}

nhiều bạn chỉ ghi

q = \frac{1}{2}

mà không nêu lý do loại

q = - \frac{1}{2}

(vì các số hạng dương), lời giải mất ý. Có bạn lấy căn bậc hai thay căn bậc sáu, ra

q = \frac{1}{8}

và

u_{14} = \frac{125}{64} \cdot \frac{1}{4096}

, sai. Lỗi đếm chỉ số: viết

u_{10} = u_{4} \cdot q^{7}

(cộng thừa 1) làm cả bài lệch.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biết

u_{m}

và

u_{k}

thì

q^{k - m} = \frac{u _{k}}{u _{m}}

; nếu

k - m

lẻ thì

q

xác định duy nhất, còn nếu

k - m

chẵn phải có thêm thông tin về dấu, như giả thiết các số hạng dương ở bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.24★★Trang 39— Tìm tham số để ba số lập thành cấp số nhân

Bài 2.24 (trang 39). Tìm

x

sao cho

x, x + 2, x + 3

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Kiến thức cần nhớ

$a, b, c$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì $b^{2} = a c$ .
Nếu $a = u_{k}$ , $b = u_{k + 1}$ , $c = u_{k + 2}$ thì $b = a q$ , $c = a q^{2}$ , và $c - b = q (b - a)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân gợi ngay tính chất trung bình nhân: bình phương số đứng giữa bằng tích hai số hai bên. Khai triển thì

x^{2}

triệt tiêu, chỉ còn phương trình bậc nhất. Bẫy là đặt nhầm số giữa, và quên thử lại xem các số hạng có khác

0

hay không.

1Cách 1. Dùng tính chất trung bình nhân

Định hướng. Số đứng giữa là $x + 2$ , nên $(x + 2)^{2} = x (x + 3)$ ; hạng tử $x^{2}$ hai vế triệt tiêu.

(x + 2)^{2} = x (x + 3)

x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 3 x

4 x - 3 x = - 4

x = - 4

Vậy $x = - 4$ ; thử lại ba số $- 4, - 2, - 1$ lập cấp số nhân công bội $q = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Lập hệ theo x và công bội q

Định hướng. Viết $x + 2 = x q$ và $x + 3 = x q^{2}$ ; trừ từng cặp để được hai tích có chung thừa số $x (q - 1)$ , chia cho nhau là ra $q$ .

{x + 2 = x q x + 3 = x q^{2}

{x (q - 1) = 2 x q (q - 1) = 1

q = \frac{x q ( q - 1 )}{x ( q - 1 )} = \frac{1}{2}

x (\frac{1}{2} - 1) = 2

- \frac{1}{2} x = 2

x = - 4

Vậy $x = - 4$ , cấp số nhân là $- 4, - 2, - 1$ với $q = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn là số hạng đứng giữa

Định hướng. Gọi số giữa là $t = x + 2$ ; hai số hai bên là $t - 2$ và $t + 1$ , phương trình trung bình nhân gọn hơn và ra thẳng số giữa.

t^{2} = (t - 2) (t + 1)

t^{2} = t^{2} - t - 2

t = - 2

x = t - 2 = - 2 - 2 = - 4

Vậy $x = - 4$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho các số hạng $- 4, - 2, - 1$ khác $0$ , nên cấp số nhân tồn tại thật. Cách 2 còn cho biết công bội trước khi biết $x$ , vì hiệu các số hạng liên tiếp $2$ và $1$ cũng lập cấp số nhân cùng công bội.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tính chất trung bình nhân,

x^{2}

tự triệt tiêu nên chỉ còn phương trình bậc nhất; Cách 2 hữu ích khi đề hỏi thêm công bội.

Đáp số.

x = - 4

(ba số là

- 4, - 2, - 1

, công bội

\frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Đặt nhầm số giữa, viết

x^{2} = (x + 2) (x + 3)

, ra

x = - \frac{6}{5}

; thử lại ba số

- \frac{6}{5}, \frac{4}{5}, \frac{9}{5}

có

\frac{4}{5} : (- \frac{6}{5}) = - \frac{2}{3}

còn

\frac{9}{5} : \frac{4}{5} = \frac{9}{4}

, không phải cấp số nhân. Nhầm sang cấp số cộng với

2 (x + 2) = x + (x + 3)

thì ra

4 = 3

, vô lý, rồi kết luận sai là không có

x

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

x, x + a, x + b

là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi

(x + a)^{2} = x (x + b)

, tức

x = \frac{a ^{2}}{b - 2 a}

với

b \neq = 2 a

và

a \neq = 0

; với

a = 2

b = 3

ta lại được

x = - 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.25★★Trang 39— Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Bài 2.25 (trang 39). Tính các tổng sau:
a)

1 + 4 + 16 + 64 + \dots + 4^{9}

;
b)

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2 ^{2}}{3} + \dots + \frac{2 ^{12}}{3}

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân công bội $q \neq = 1$ : $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} = \frac{u _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .
Số số hạng của dãy $q^{0}, q^{1}, \dots, q^{m}$ là $m + 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi tổng là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân (thương hai số liền nhau không đổi), nên dùng công thức

S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}

. Điểm quyết định là đếm đúng số số hạng

n

: mũ chạy từ

0

nên câu a có

10

số hạng, câu b có

13

số hạng.

1Cách 1. Áp công thức tổng n số hạng đầu

Định hướng. Câu a: $u_{1} = 1$ , $q = 4$ , $n = 10$ . Câu b: $u_{1} = \frac{1}{3}$ , $q = 2$ , $n = 13$ .

S_{10} = \frac{u _{1} ( q ^{10} - 1 )}{q - 1} = \frac{1 \cdot ( 4 ^{10} - 1 )}{4 - 1}

a) S_{10} = \frac{1 048 576 - 1}{3} = \frac{1 048 575}{3}

a) S_{10} = 349525

S_{13} = \frac{u _{1} ( q ^{13} - 1 )}{q - 1} = \frac{\frac{1}{3} \cdot ( 2 ^{13} - 1 )}{2 - 1}

b) S_{13} = \frac{8192 - 1}{3}

b) S_{13} = \frac{8191}{3}

Vậy a) tổng bằng $349525$ ; b) tổng bằng $\frac{8191}{3}$ .

2Cách 2. Nhân với công bội rồi trừ vế theo vế

Định hướng. Nhân tổng với $q$ thì các số hạng trượt sang phải một chỗ; trừ đi tổng ban đầu, mọi số hạng giữa triệt tiêu.

S = 1 + 4 + \dots + 4^{9}

4 S = 4 + 4^{2} + \dots + 4^{10}

4 S - S = 4^{10} - 1

3 S = 1048575

S = 349525

T = \frac{1}{3} (1 + 2 + \dots + 2^{12})

2 T = \frac{1}{3} (2 + 2^{2} + \dots + 2^{13})

2 T - T = \frac{1}{3} (2^{13} - 1)

T = \frac{8191}{3}

Vậy a) $349525$ ; b) $\frac{8191}{3}$ .

3Cách 3. Cộng dồn theo kiểu lồng nhau (lược đồ Horner)

Định hướng. $1 + 4 + \dots + 4^{k} = 1 + 4 (1 + 4 + \dots + 4^{k - 1})$ , nên tổng riêng thoả $S_{k + 1} = 1 + 4 S_{k}$ ; cứ thế nhân rồi cộng $1$ , không cần luỹ thừa lớn.

S_{1} = 1; S_{2} = 5; S_{3} = 21; S_{4} = 85; S_{5} = 341

S_{6} = 1365; S_{7} = 5461; S_{8} = 21845; S_{9} = 87381

S_{10} = 1 + 4 \cdot 87381 = 349525

T_{k + 1} = 1 + 2 T_{k}

T_{1} = 1; T_{2} = 3; T_{3} = 7; \dots; T_{k} = 2^{k} - 1

1 + 2 + \dots + 2^{12} = T_{13} = 2^{13} - 1 = 8191

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \dots + \frac{2 ^{12}}{3} = \frac{8191}{3}

Vậy a) $349525$ ; b) $\frac{8191}{3}$ .

Nhận xét. Lược đồ lồng nhau cho thấy $1 + 2 + \dots + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1$ (số nhị phân gồm $k$ chữ số $1$ ), và tương tự $1 + 4 + \dots + 4^{9}$ là số $1111111111$ viết trong hệ cơ số $4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định

u_{1}

q

n

rồi thay công thức là xong; Cách 2 nên nhớ vì nó chính là cách chứng minh công thức và cứu được khi quên công thức.

Đáp số. a)

349525

; b)

\frac{8191}{3}

Sai lầm thường gặp. Đếm sai số số hạng: câu a lấy

n = 9

(theo số mũ cuối) sẽ ra

\frac{4 ^{9} - 1}{3} = 87381

, thiếu hẳn số hạng

4^{9}

; câu b lấy

n = 12

\frac{4095}{3}

. Câu b còn hay bị quên thừa số

\frac{1}{3}

, ra

8191

🚀 Mở rộng. Tổng quát

1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} = \frac{x ^{n + 1} - 1}{x - 1}

với

x \neq = 1

; thử tính

1 - 2 + 4 - \dots + 2^{12}

(công bội

- 2

) sẽ được

\frac{2 ^{13} + 1}{3} = 2731

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.26★★★Trang 39— Bài toán thực tế: mô hình lây lan theo cấp số nhân, tổng n số hạng

Bài 2.26 (trang 39). Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Kiến thức cần nhớ

Đại lượng mà mỗi bước được nhân với cùng một số $q$ tạo thành cấp số nhân công bội $q$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình: gọi

u_{n}

là số người MỚI mắc bệnh trong tuần thứ

n

; mỗi người mới mắc lây cho

4

người ở tuần kế tiếp nên

u_{n + 1} = 4 u_{n}

, tức

(u_{n})

là cấp số nhân

u_{1} = 5

q = 4

. Cụm tính đến hết tuần thứ 10 hỏi TỔNG số người đã mắc qua 10 tuần, tức

S_{10}

, không phải riêng

u_{10}

. Mỗi người chỉ lây một lần (ở cuối tuần tiếp theo), nên không được nhân tổng lên

5

lần mỗi tuần.

1Cách 1. Cấp số nhân các ca mới rồi lấy tổng 10 số hạng đầu

Định hướng. Số ca mới mỗi tuần là cấp số nhân $u_{1} = 5$ , $q = 4$ ; tổng số người đã mắc đến hết tuần 10 là $S_{10}$ .

u_{n} = 5 \cdot 4^{n - 1}

S_{10} = \frac{u _{1} ( q ^{10} - 1 )}{q - 1} = \frac{5 ( 4 ^{10} - 1 )}{4 - 1}

S_{10} = \frac{5 \cdot 1 048 575}{3}

S_{10} = 5 \cdot 349525

S_{10} = 1747625

Vậy đến hết tuần thứ 10 có $1747625$ người đã mắc bệnh (riêng tuần thứ 10 có $u_{10} = 5 \cdot 4^{9} = 1310720$ ca mới).

2Cách 2. Lập bảng theo dõi từng tuần

Định hướng. Mỗi tuần nhân số ca mới với $4$ rồi cộng dồn vào tổng; bảng cho thấy tận mắt con số tăng thế nào.

n u_{n} S_{n} 155220253801054320425512801705

n u_{n} S_{n} 6512068257204802730588192010922593276804369051013107201747625

S_{10} = S_{9} + u_{10} = 436905 + 1310720 = 1747625

Vậy tổng số người đã mắc đến hết tuần 10 là $1747625$ người.

3Cách 3. Truy hồi của tổng và dãy phụ

Định hướng. Các ca mới từ tuần 2 đến tuần $n$ đúng bằng $4$ lần các ca từ tuần 1 đến tuần $n - 1$ , nên $S_{n} = 5 + 4 S_{n - 1}$ ; cộng thêm $\frac{5}{3}$ hai vế để biến nó thành cấp số nhân.

S_{n} = 5 + 4 S_{n - 1}

S_{n} + \frac{5}{3} = 4 (S_{n - 1} + \frac{5}{3})

S_{n} + \frac{5}{3} = (S_{1} + \frac{5}{3}) \cdot 4^{n - 1} = \frac{20}{3} \cdot 4^{n - 1}

S_{10} = \frac{20}{3} \cdot 4^{9} - \frac{5}{3}

S_{10} = \frac{5 \cdot 4 ^{10} - 5}{3}

S_{10} = 1747625

Vậy $1747625$ người.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy dãy tổng $(S_{n})$ không phải cấp số nhân, nhưng dãy $(S_{n} + \frac{5}{3})$ thì là; mẹo cộng hằng số này dùng lại được cho mọi bài gửi tiết kiệm hằng tháng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ca mới mỗi tuần là cấp số nhân rồi áp công thức tổng là xong trong ba dòng; Cách 2 chỉ để kiểm tra nhanh vài tuần đầu.

Đáp số. Đến hết tuần thứ 10 có

1747625

người đã mắc bệnh; riêng tuần thứ 10 có

1310720

ca mới.

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến nhất là trả lời

u_{10} = 5 \cdot 4^{9} = 1310720

: đó chỉ là số ca MỚI của riêng tuần 10, còn cụm tính đến hết tuần thứ 10 đòi cộng dồn cả 10 tuần. Lỗi thứ hai là cho mọi người bệnh cứ tuần nào cũng lây thêm

4

người, khiến tổng nhân

5

mỗi tuần và ra

5 \cdot 5^{9} = 9765625

; đề chỉ nói lây vào cuối tuần tiếp theo, tức mỗi người lây một lần.

🚀 Mở rộng. Muốn biết từ tuần nào tổng số người mắc vượt

1

triệu, giải

\frac{5 ( 4 ^{n} - 1 )}{3} > 1 0^{6}

: vì

S_{9} = 436905

và

S_{10} = 1747625

nên đó là tuần thứ 10.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.27★★Trang 40— Bài toán thực tế: tăng trưởng phần trăm đều theo cấp số nhân

Bài 2.27 (trang 40). Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là

180

triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là

5%

, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Kiến thức cần nhớ

Tăng $r %$ mỗi kì nghĩa là nhân với $1 + \frac{r}{100}$ ; sau $k$ kì giá trị là $A (1 + \frac{r}{100})^{k}$ .
$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Nhị thức Newton: $(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình: gọi

u_{n}

là lương (triệu đồng) của năm làm việc thứ

n

; tăng

5%

mỗi năm nghĩa là nhân với

1, 05

, nên

(u_{n})

là cấp số nhân

u_{1} = 180

q = 1, 05

. Đầu năm thứ sáu là lương của năm thứ sáu, tức

u_{6} = u_{1} q^{5}

: mới tăng

5

lần. Bẫy là cộng đều

5%

của

180

mỗi năm, biến bài thành cấp số cộng.

1Cách 1. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định hướng. Lương năm thứ $n$ là $u_{n} = 180 \cdot 1, 0 5^{n - 1}$ ; năm thứ sáu ứng với $n = 6$ .

u_{6} = u_{1} \cdot q^{5}

u_{6} = 180 \cdot 1, 0 5^{5}

u_{6} = 180 \cdot 1, 2762815625

u_{6} = 229, 73068125

u_{6} \approx 229, 73

Vậy đầu năm thứ sáu, lương của kĩ sư khoảng $229, 73$ triệu đồng một năm.

2Cách 2. Tính lần lượt từng năm

Định hướng. Mỗi năm lấy lương năm trước nhân $1, 05$ (tức cộng thêm $5%$ của chính nó), làm năm lần.

u_{1} = 180

u_{2} = 180 \cdot 1, 05 = 189

u_{3} = 189 \cdot 1, 05 = 198, 45

u_{4} = 198, 45 \cdot 1, 05 = 208, 3725

u_{5} = 208, 3725 \cdot 1, 05 = 218, 791125

u_{6} = 218, 791125 \cdot 1, 05 = 229, 73068125

Vậy $u_{6} \approx 229, 73$ triệu đồng.

3Cách 3. Khai triển nhị thức Newton để tính không cần máy

Định hướng. $1, 0 5^{5} = (1 + 0, 05)^{5}$ khai triển ra các số rất gọn, rồi nhân với $180$ .

(1 + 0, 05)^{5} = 1 + 5 \cdot 0, 05 + 10 \cdot 0, 0 5^{2} + 10 \cdot 0, 0 5^{3} + 5 \cdot 0, 0 5^{4} + 0, 0 5^{5}

(1 + 0, 05)^{5} = 1 + 0, 25 + 0, 025 + 0, 00125 + 0, 00003125 + 0, 0000003125

(1 + 0, 05)^{5} = 1, 2762815625

u_{6} = 180 \cdot 1, 2762815625 = 229, 73068125

Vậy $u_{6} \approx 229, 73$ triệu đồng.

Nhận xét. Ba số hạng đầu $1 + 0, 25 + 0, 025 = 1, 275$ đã cho $u_{6} \approx 229, 5$ triệu đồng, nên khi lãi suất nhỏ có thể ước lượng nhanh bằng vài số hạng đầu của khai triển.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra cấp số nhân

q = 1, 05

rồi bấm máy

180 \cdot 1, 0 5^{5}

là xong; Cách 2 hợp để kiểm chứng và thấy rõ vì sao mũ là

5

chứ không phải

6

Đáp số. Khoảng

229, 73

triệu đồng một năm (đúng bằng

229, 73068125

triệu đồng).

Sai lầm thường gặp. Dùng

u_{1} q^{6} = 180 \cdot 1, 0 5^{6} \approx 241, 22

là lệch một năm: đầu năm thứ sáu mới qua

5

lần tăng lương. Cộng đều

5% \cdot 180 = 9

triệu mỗi năm ra

180 + 5 \cdot 9 = 225

triệu là coi nhầm thành cấp số cộng, bỏ mất phần lương tăng trên phần đã tăng.

🚀 Mở rộng. Lương gấp đôi mức khởi điểm khi

1, 0 5^{n - 1} \geq 2

; vì

1, 0 5^{14} \approx 1, 980

còn

1, 0 5^{15} \approx 2, 079

nên điều đó xảy ra từ năm làm việc thứ 16.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.28★★★Trang 40— Bài toán thực tế: gửi tiết kiệm đều hằng tháng, lãi kép

Bài 2.28 (trang 40). Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hằng tháng bỏ ra

500

nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi

0, 5%

cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích luỹ này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: số tiền $A$ gửi $k$ kì với lãi suất $r$ mỗi kì thành $A (1 + r)^{k}$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .
Gửi đều $a$ mỗi kì, ngay sau lần gửi thứ $n$ có $T_{n} = a \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình: đơn vị triệu đồng,

a = 0, 5

r = 0, 5% = 0, 005

; khoản thứ

k

gửi vào đầu tháng thứ

k

, ngay sau khi gửi khoản thứ

180

thì khoản đó chưa sinh lãi, khoản thứ nhất đã sinh lãi

179

tháng. Tổng tiền là tổng các giá trị

a (1 + r)^{j}

với

j = 0, 1, \dots, 179

, tức tổng

180

số hạng của cấp số nhân công bội

1 + r

. Câu hỏi tuổi cũng phải đếm theo khoảng cách: khoản thứ

180

cách khoản đầu

179

tháng.

1Cách 1. Lập truy hồi rồi khai triển thành tổng cấp số nhân

Định hướng. Gọi $T_{n}$ là số tiền ngay sau lần gửi thứ $n$ ; mỗi tháng tiền cũ sinh lãi rồi cộng khoản mới: $T_{n} = T_{n - 1} (1 + r) + a$ .

T_{1} = a

T_{2} = a (1 + r) + a

T_{3} = a (1 + r)^{2} + a (1 + r) + a

T_{n} = a [(1 + r)^{n - 1} + \dots + (1 + r) + 1] = a \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}

T_{180} = 0, 5 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{180} - 1}{0 , 005}

T_{180} = 100 (1, 00 5^{180} - 1)

T_{180} \approx 100 \cdot 1, 4540936

T_{180} \approx 145, 41

Vậy lúc gửi khoản thứ 180, cô Hoa có khoảng $145, 41$ triệu đồng; khoản này gửi sau khoản đầu $179$ tháng, tức $14$ năm $11$ tháng, nên con gái cô $17$ tuổi $11$ tháng (một tháng nữa tròn $18$ tuổi).

2Cách 2. Cộng giá trị hiện tại của từng khoản gửi

Định hướng. Khoản thứ $k$ đã nằm trong tài khoản $180 - k$ tháng nên lúc đó trị giá $0, 5 \cdot 1, 00 5^{180 - k}$ ; đọc từ khoản $180$ ngược về khoản $1$ được cấp số nhân $u_{1} = 0, 5$ , $q = 1, 005$ , $n = 180$ .

T = 0, 5 + 0, 5 \cdot 1, 005 + 0, 5 \cdot 1, 00 5^{2} + \dots + 0, 5 \cdot 1, 00 5^{179}

T = \frac{0 , 5 ( 1 , 00 5 ^{180} - 1 )}{1 , 005 - 1}

T \approx 145, 409

179 = 12 \cdot 14 + 11

Vậy số tiền khoảng $145, 41$ triệu đồng, con gái $3$ tuổi cộng $14$ năm $11$ tháng, tức $17$ tuổi $11$ tháng.

3Cách 3. Dãy phụ biến truy hồi thành cấp số nhân

Định hướng. Truy hồi $T_{n} = 1, 005 T_{n - 1} + 0, 5$ có điểm bất động $- \frac{0 , 5}{0 , 005} = - 100$ ; cộng $100$ vào hai vế thì dãy $v_{n} = T_{n} + 100$ là cấp số nhân.

T_{n} + 100 = 1, 005 (T_{n - 1} + 100)

v_{n} = v_{1} \cdot 1, 00 5^{n - 1}, v_{1} = 0, 5 + 100 = 100, 5

T_{180} = 100, 5 \cdot 1, 00 5^{179} - 100

T_{180} = 100 \cdot 1, 00 5^{180} - 100

T_{180} \approx 145, 41

Vậy khoảng $145, 41$ triệu đồng, con gái $17$ tuổi $11$ tháng.

Nhận xét. Nhiều tài liệu ghi tuổi là $3 + 180 : 12 = 18$ ; con số đó đúng cho thời điểm một tháng SAU lần gửi thứ 180 (lúc khoản thứ 181 đáng lẽ được gửi). Làm tròn thì nói con gái sắp tròn 18 tuổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn thẳng mỗi khoản gửi đã sinh lãi bao nhiêu tháng rồi cộng, không phải viết truy hồi, và đếm đúng được số mũ lớn nhất là

179

Đáp số. Khoảng

145, 41

triệu đồng (xấp xỉ

145409356

đồng); lúc đó con gái cô Hoa

17

tuổi

11

tháng, tức sắp tròn

18

tuổi.

Sai lầm thường gặp. Cho khoản đầu sinh lãi

180

tháng, tức tính

0, 5 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{181} - 1 , 005}{0 , 005} \approx 146, 14

triệu, là cộng thừa một tháng lãi của mọi khoản (đó là số tiền một tháng sau lần gửi cuối). Đếm tuổi bằng

3 + 180 : 12 = 18

cũng lệch một tháng vì lần gửi thứ nhất ứng với tháng thứ

0

. Chỉ cộng tiền gốc

0, 5 \cdot 180 = 90

triệu rồi thêm lãi đơn là bỏ mất phần lãi cộng dồn hằng tháng.

🚀 Mở rộng. Muốn sau lần gửi thứ

180

có đúng

200

triệu đồng thì mỗi tháng phải gửi

a = \frac{200 \cdot 0 , 005}{1 , 00 5 ^{180} - 1} \approx 0, 688

triệu đồng, tức khoảng

688

nghìn đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.29★★★Trang 40— Bài toán hình học lặp: tổng diện tích theo cấp số nhân

Bài 2.29 (trang 40). Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài

16

cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Kiến thức cần nhớ

Nối trung điểm các cạnh hình vuông cạnh $a$ được hình vuông cạnh $\frac{a 2}{2}$ , diện tích $\frac{a ^{2}}{2}$ .
Tam giác vuông cân cạnh góc vuông $b$ có diện tích $\frac{b ^{2}}{2}$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ với $q \neq = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nối trung điểm bốn cạnh của một hình vuông cho hình vuông mới có diện tích bằng một nửa, nên mọi đại lượng diện tích ở các lần sau đều nhân

\frac{1}{2}

: đó là cấp số nhân. Bốn tam giác vuông cân ở góc chiếm đúng nửa hình vuông cũ, tô hai tam giác là tô một phần tư. Bẫy nằm ở cụm lặp lại năm lần nữa: cộng cả lần đầu là

6

lần tô, không phải

5

1Cách 1. Cấp số nhân diện tích tô ở mỗi lần

Định hướng. Gọi $u_{n}$ là diện tích hai tam giác được tô ở lần thứ $n$ ; lần đầu hai tam giác vuông cân cạnh góc vuông $8$ cm, mỗi lần sau hình vuông co diện tích một nửa nên $q = \frac{1}{2}$ ; có $n = 6$ lần tô.

u_{1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 64

q = \frac{1}{2}

S_{6} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{6} )}{1 - q} = \frac{64 ( 1 - \frac{1}{64} )}{1 - \frac{1}{2}}

S_{6} = 128 \cdot \frac{63}{64}

S_{6} = 126

Vậy tổng diện tích vùng tô màu là $126 cm^{2}$ .

2Cách 2. Đi qua diện tích các hình vuông lồng nhau

Định hướng. Gọi $A_{k}$ là diện tích hình vuông trước lần tô thứ $k$ ; bốn tam giác góc là $A_{k} - A_{k + 1} = \frac{A _{k}}{2}$ , tô hai trong bốn tam giác bằng nhau nên tô $\frac{A _{k}}{4}$ .

A_{k} = 256 \cdot (\frac{1}{2})^{k - 1}

256; 128; 64; 32; 16; 8

S = \frac{1}{4} (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{6})

S = \frac{1}{4} (256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8)

S = \frac{504}{4}

S = 126

Vậy $126 cm^{2}$ .

3Cách 3. Nhìn phần bị cắt đi, tổng tự triệt tiêu

Định hướng. Qua $6$ lần, phần bị cắt khỏi hình vuông ban đầu là hình vuông lớn trừ hình vuông trong cùng; mỗi lần tô đúng nửa phần bị cắt của lần đó, nên vùng tô bằng nửa hiệu hai diện tích đầu cuối.

A_{7} = 256 \cdot (\frac{1}{2})^{6} = 4

S = \frac{1}{2} [(A_{1} - A_{2}) + (A_{2} - A_{3}) + \dots + (A_{6} - A_{7})]

S = \frac{1}{2} (A_{1} - A_{7})

S = \frac{1}{2} (256 - 4)

S = 126

Vậy $126 cm^{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 gần như không phải tính: hình vuông trong cùng sau $6$ lần có cạnh $2$ cm, diện tích $4 cm^{2}$ , phần tô là nửa của $256 - 4$ . Nếu lặp mãi, vùng tô tiến tới nửa hình vuông, tức $128 cm^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần diện tích hình vuông đầu và cuối, một phép trừ và một phép chia đôi; Cách 1 là cách chuẩn theo bài học cấp số nhân.

Đáp số.

126 cm^{2}

Sai lầm thường gặp. Chỉ tính

5

lần tô (

S_{5} = 64 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 124

) là quên lần đầu: đề nói lặp lại năm lần NỮA nên tổng cộng

6

lần. Lấy cạnh góc vuông tam giác đầu là

82

(nhầm với cạnh hình vuông mới) sẽ ra

u_{1} = 128

, gấp đôi. Lấy

q = \frac{2}{2}

(tỉ số cạnh) thay cho

q = \frac{1}{2}

(tỉ số diện tích) cũng sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bắt đầu từ hình vuông diện tích

A

và tô

n

lần thì vùng tô bằng

\frac{A}{2} (1 - \frac{1}{2 ^{n}})

; khi

n

tăng mãi, vùng tô dần tới nửa hình vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.30★★Trang 40— Chèn trung bình nhân giữa hai số

Bài 2.30 (trang 40). Nếu

p

m

và

q

lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy

m^{2} = p \cdot q

. Số

m

được gọi là trung bình nhân của

p

và

q

. Cho hai số

p

và

q

, nếu ta tìm được

k

số khác

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}

sao cho

p, m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}, q

lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã chèn

k

trung bình nhân vào giữa

p

và

q

. Hãy
a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa

3

và

24

;
b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa

2, 25

và

576

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ ; chèn $k$ số giữa $p$ và $q$ thì số hạng cuối là $u_{k + 2}$ .
Phương trình $x^{n} = b$ với $b > 0$ : $n$ lẻ có một nghiệm $x = n b$ ; $n$ chẵn có hai nghiệm $x = \pm n b$ .
Ba số hạng liên tiếp $a, b, c$ của cấp số nhân thoả $b^{2} = a c$ ; các số hạng cách đều $u_{1}$ và $u_{2 k + 1}$ thoả $u_{k + 1}^{2} = u_{1} u_{2 k + 1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chèn

k

số vào giữa

p

và

q

là dựng cấp số nhân có

u_{1} = p

và

u_{k + 2} = q

, nên công bội thoả

q_{0}^{k + 1} = \frac{q}{p}

(kí hiệu

q_{0}

để khỏi trùng với số

q

của đề). Câu a mũ

3

lẻ nên công bội duy nhất; câu b mũ

4

chẵn nên có hai công bội đối nhau, tức hai cách chèn. Để ý thêm

2, 25 = 1, 5^{2}

và

576 = 2 4^{2}

là thấy câu b liên hệ với câu a.

1Cách 1. Dùng công thức số hạng tổng quát

Định hướng. Câu a: $u_{1} = 3$ , $u_{4} = 24$ . Câu b: $u_{1} = 2, 25$ , $u_{5} = 576$ . Tìm công bội rồi nhân dần.

u_{4} = u_{1} q_{0}^{3}

24 = 3 q_{0}^{3}

q_{0}^{3} = 8

q_{0} = 2

m_{1} = 3 \cdot 2 = 6; m_{2} = 6 \cdot 2 = 12

u_{5} = u_{1} q_{0}^{4}

576 = 2, 25 q_{0}^{4}

q_{0}^{4} = 256

q_{0} = 4

hoặc

q_{0} = - 4

q_{0} = 4 : m_{1} = 9; m_{2} = 36; m_{3} = 144

q_{0} = - 4 : m_{1} = - 9; m_{2} = 36; m_{3} = - 144

Vậy a) $3, 6, 12, 24$ ; b) $2, 25; 9; 36; 144; 576$ hoặc $2, 25; - 9; 36; - 144; 576$ .

2Cách 2. Chèn trung bình nhân từng đôi một

Định hướng. Câu b có ba số chèn, số giữa $m_{2}$ là trung bình nhân của hai đầu mút; sau đó chèn tiếp một trung bình nhân vào mỗi nửa. Câu a dùng hai hệ thức trung bình nhân của hai bộ ba liên tiếp.

m_{2}^{2} = 2, 25 \cdot 576 = 1296

m_{2} = 36

(vì

m_{2} = u_{1} q_{0}^{2}

cùng dấu với

u_{1} > 0

)

m_{1}^{2} = 2, 25 \cdot 36 = 81; m_{3}^{2} = 36 \cdot 576 = 20736

m_{1} = \pm 9; m_{3} = \pm 144

, với

m_{1} m_{3} = m_{2}^{2} > 0

nên

m_{1}

m_{3}

cùng dấu
a)

{m_{1}^{2} = 3 m_{2} m_{2}^{2} = 24 m_{1}

m_{1}^{4} = 9 m_{2}^{2} = 9 \cdot 24 m_{1}

m_{1}^{3} = 216

(vì

m_{1} \neq = 0

)

m_{1} = 6; m_{2} = \frac{m _{1}^{2}}{3} = 12

Vậy a) chèn $6$ và $12$ ; b) chèn $9, 36, 144$ hoặc $- 9, 36, - 144$ .

3Cách 3. Nhận ra câu b là bình phương của một cấp số nhân

Định hướng. $2, 25 = 1, 5^{2}$ và $576 = 2 4^{2}$ ; mà $1, 5; 3; 6; 12; 24$ là cấp số nhân công bội $2$ (chính là câu a nối dài về trước), bình phương từng số được cấp số nhân công bội $4$ .

\frac{24}{3} = 8 = 2^{3}

3, 3 \cdot 2, 3 \cdot 2^{2}, 3 \cdot 2^{3} = 3, 6, 12, 24

1, 5^{2}, 3^{2}, 6^{2}, 1 2^{2}, 2 4^{2} = 2, 25; 9; 36; 144; 576

\frac{9}{2 , 25} = \frac{36}{9} = \frac{144}{36} = \frac{576}{144} = 4

2, 25; - 9; 36; - 144; 576

có

\frac{- 9}{2 , 25} = \frac{36}{- 9} = \frac{- 144}{36} = \frac{576}{- 144} = - 4

Vậy a) $6$ và $12$ ; b) $9, 36, 144$ hoặc $- 9, 36, - 144$ .

Nhận xét. Đổi dấu các số hạng chỉ số chẵn của một cấp số nhân vẫn được cấp số nhân (công bội đổi dấu); vì số chèn ở câu b là $3$ nên hai đầu mút ở vị trí lẻ không đổi dấu, do đó mới có hai đáp án. Câu a có $2$ số chèn, đầu mút $24$ ở vị trí chẵn nên chỉ một đáp án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phương trình

q_{0}^{k + 1} = \frac{q}{p}

cho ngay công bội, chỉ cần nhớ mũ chẵn thì lấy cả hai dấu; Cách 2 rất nhanh khi số trung bình nhân chèn vào là số lẻ.

Đáp số. a)

3, 6, 12, 24

(chèn

6

và

12

). b)

2, 25; 9; 36; 144; 576

hoặc

2, 25; - 9; 36; - 144; 576

Sai lầm thường gặp. Câu b hay bỏ sót đáp án

q_{0} = - 4

vì chỉ lấy căn dương của

q_{0}^{4} = 256

. Ngược lại, câu a lại hay thêm thừa

q_{0} = - 2

, nhưng

(- 2)^{3} = - 8 \neq = 8

nên phải loại. Có bạn dùng

u_{k + 1}

thay cho

u_{k + 2}

làm số hạng cuối (câu a viết

24 = 3 q_{0}^{2}

), công bội sai ngay từ đầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, chèn

k

trung bình nhân giữa hai số cùng dấu

p

q

có công bội

q_{0} = k + 1 \frac{q}{p}

khi

k

chẵn (một đáp án) và

q_{0} = \pm k + 1 \frac{q}{p}

khi

k

lẻ (hai đáp án); nếu

p

q

trái dấu thì chỉ chèn được khi

k

chẵn.

Mở bài này trong app ↗