Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang39–40 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.21★★Trang 39— Chứng minh dãy số là cấp số nhân, tìm số hạng đầu và công bội

Bài 2.21 (trang 39). Chứng minh rằng mỗi dãy số

(u_{n})

sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.
a)

u_{n} = - 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n}

;
b)

u_{n} = \frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}}

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ là cấp số nhân công bội $q$ khi và chỉ khi $u_{n + 1} = u_{n} \cdot q$ với mọi $n \geq 1$ ; nếu $u_{n} \neq = 0$ với mọi $n$ thì điều này tương đương $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ không đổi.
Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Tính chất: nếu $(u_{n})$ là cấp số nhân thì $u_{k}^{2} = u_{k - 1} \cdot u_{k + 1}$ với mọi $k \geq 2$ ; ngược lại, dãy có mọi số hạng khác $0$ và thoả hệ thức này là cấp số nhân.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai công thức đều có dạng một hằng số nhân với một luỹ thừa mà số mũ là

n

, đó là dấu hiệu của cấp số nhân. Hướng chắc chắn nhất là xét thương

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

và chứng tỏ nó không phụ thuộc

n

; hướng nhanh nhất là nặn công thức về đúng khuôn

u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}

để đọc thẳng

u_{1}

và

q

. Bẫy nằm ở số mũ: câu a có mũ

n

chứ không phải

n - 1

nên số hạng đầu không phải là

- 3

1Cách 1. Xét thương hai số hạng liên tiếp

Định hướng. Mọi số hạng đều khác $0$ , nên chỉ cần chứng tỏ $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ là một hằng số; hằng số đó chính là công bội.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{- 3 \cdot ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{- 3 \cdot ( \frac{1}{2} ) ^{n}}

a) \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{1}{2}

u_{1} = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} \cdot \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n}}

b) \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2 \cdot \frac{1}{3}

b) \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2}{3}

u_{1} = \frac{2 ^{1}}{3 ^{0}} = 2

Vậy a) $(u_{n})$ là cấp số nhân với $u_{1} = - \frac{3}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ; b) $(u_{n})$ là cấp số nhân với $u_{1} = 2$ , $q = \frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Đưa về đúng khuôn số hạng tổng quát

Định hướng. Tách một thừa số ra khỏi luỹ thừa để số mũ còn lại là $n - 1$ ; khi đó công thức có dạng $u_{1} \cdot q^{n - 1}$ và đọc được ngay $u_{1}$ , $q$ .

u_{n} = - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

a) u_{n} = - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

u_{n} = \frac{2 \cdot 2 ^{n - 1}}{3 ^{n - 1}}

b) u_{n} = 2 \cdot (\frac{2}{3})^{n - 1}

Vậy cả hai dãy có dạng $u_{1} \cdot q^{n - 1}$ nên là cấp số nhân: a) $u_{1} = - \frac{3}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ; b) $u_{1} = 2$ , $q = \frac{2}{3}$ .

3Cách 3. Kiểm tính chất trung bình nhân

Định hướng. Dãy có mọi số hạng khác $0$ và thoả $u_{n}^{2} = u_{n - 1} \cdot u_{n + 1}$ với mọi $n \geq 2$ thì là cấp số nhân; công bội lấy bằng $\frac{u _{2}}{u _{1}}$ .

u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = (- 3)^{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1 + n + 1} = 9 \cdot (\frac{1}{2})^{2 n}

a) u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = [- 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n}]^{2} = u_{n}^{2}

u_{1} = - \frac{3}{2}; u_{2} = - \frac{3}{4}; q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{1}{2}

u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = \frac{2 ^{n - 1}}{3 ^{n - 2}} \cdot \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = \frac{2 ^{2 n}}{3 ^{2 n - 2}}

b) u_{n - 1} \cdot u_{n + 1} = (\frac{2 ^{n}}{3 ^{n - 1}})^{2} = u_{n}^{2}

u_{1} = 2; u_{2} = \frac{4}{3}; q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{2}{3}

Vậy hai dãy đều là cấp số nhân: a) $u_{1} = - \frac{3}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ; b) $u_{1} = 2$ , $q = \frac{2}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng được vì mọi số hạng khác $0$ ; dãy $0, 0, 1, \dots$ vẫn thoả $u_{2}^{2} = u_{1} u_{3}$ mà không phải cấp số nhân. Cách 1 và Cách 3 là lời chứng minh đầy đủ, Cách 2 ngắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách một thừa số là thấy ngay khuôn

u_{1} \cdot q^{n - 1}

, vừa chứng minh vừa đọc được

u_{1}

q

trong hai dòng; Cách 1 là cách trình bày chuẩn khi đề ghi rõ chữ chứng minh.

Đáp số. a) Cấp số nhân với

u_{1} = - \frac{3}{2}

q = \frac{1}{2}

. b) Cấp số nhân với

u_{1} = 2

q = \frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Câu a hay bị ghi

u_{1} = - 3

vì thấy số

- 3

đứng đầu công thức; thật ra

- 3

ứng với

n = 0

, còn

u_{1} = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

. Dấu trừ ở câu a cũng làm nhiều bạn tưởng công bội âm, nhưng dấu trừ nằm ngoài luỹ thừa nên

q = \frac{1}{2} > 0

. Câu b dễ viết ngược thành

q = \frac{3}{2}

khi lấy

\frac{u _{n}}{u _{n + 1}}

thay vì

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi dãy

u_{n} = A \cdot B^{n}

với

A, B \neq = 0

đều là cấp số nhân có

q = B

và

u_{1} = A B

; chẳng hạn

u_{n} = \frac{5 ^{n + 1}}{2 ^{2 n}} = 5 \cdot (\frac{5}{4})^{n}

có

q = \frac{5}{4}

u_{1} = \frac{25}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.22★Trang 39— Tìm số hạng thứ n của cấp số nhân cho bởi vài số hạng đầu

Bài 2.22 (trang 39). Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân

64, - 32, 16, - 8, \dots

Kiến thức cần nhớ

Công bội: $q = \frac{u _{2}}{u _{1}}$ .
Số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ ; tổng quát hơn $u_{n} = u_{m} \cdot q^{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã khẳng định đây là cấp số nhân và cho sẵn các số hạng đầu, nên chỉ cần lấy công bội bằng thương hai số liền nhau rồi áp công thức

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

. Công bội âm nên dấu các số hạng đổi liên tục, đó là chỗ phải cẩn thận. Để ý các số đều là luỹ thừa của

2

nên có thể tính nhẩm hoàn toàn.

1Cách 1. Dùng công thức số hạng tổng quát

Định hướng. Tìm $q$ từ hai số hạng đầu rồi thay vào $u_{10} = u_{1} q^{9}$ .

q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{- 32}{64} = - \frac{1}{2}

u_{10} = u_{1} \cdot q^{9}

u_{10} = 64 \cdot (- \frac{1}{2})^{9}

u_{10} = 64 \cdot (- \frac{1}{512})

u_{10} = - \frac{1}{8}

Vậy số hạng thứ 10 là $u_{10} = - \frac{1}{8}$ .

2Cách 2. Viết mọi số hạng thành luỹ thừa của 2

Định hướng. $64 = 2^{6}$ , $32 = 2^{5}$ , $16 = 2^{4}$ : mỗi bước số mũ giảm $1$ và dấu đổi một lần, nên có ngay công thức số hạng tổng quát gọn.

u_{1} = 2^{6}; u_{2} = - 2^{5}; u_{3} = 2^{4}; u_{4} = - 2^{3}

u_{n} = (- 1)^{n - 1} \cdot 2^{7 - n}

u_{10} = (- 1)^{9} \cdot 2^{7 - 10}

u_{10} = - 2^{- 3}

u_{10} = - \frac{1}{8}

Vậy $u_{10} = - \frac{1}{8}$ .

3Cách 3. Đi tiếp từ số hạng gần nhất đã biết

Định hướng. Không cần quay về $u_{1}$ : từ $u_{4} = - 8$ chỉ cần nhân thêm $q$ sáu lần nữa.

u_{10} = u_{4} \cdot q^{6}

u_{10} = - 8 \cdot (- \frac{1}{2})^{6}

u_{10} = - 8 \cdot \frac{1}{64}

u_{10} = - \frac{1}{8}

Vậy $u_{10} = - \frac{1}{8}$ .

Nhận xét. Mũ chẵn của $q$ âm cho số dương, nên dấu của $u_{10}$ trùng dấu $u_{4}$ : với $q < 0$ , các số hạng có chỉ số chẵn đều âm, chỉ số lẻ đều dương, kiểm dấu nhanh bằng cách này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: xuất phát từ

u_{4}

chỉ phải tính

q^{6}

với mũ chẵn nên không lo sai dấu; Cách 1 là cách chuẩn khi số hạng đã biết nằm xa.

Đáp số.

u_{10} = - \frac{1}{8}

Sai lầm thường gặp. Lấy

q = \frac{64}{- 32} = - 2

(chia ngược thứ tự) sẽ cho

u_{10} = 64 \cdot (- 2)^{9} = - 32768

, sai hoàn toàn: dãy đang giảm về độ lớn nên

∣ q ∣ < 1

. Lỗi thứ hai là dùng

q^{10}

thay cho

q^{9}

, ra

u_{10} = \frac{1}{16}

mang cả sai dấu.

🚀 Mở rộng. Từ

∣ u_{n} ∣ = 2^{7 - n}

suy ra số hạng đầu tiên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

\frac{1}{1000}

là

u_{17}

, vì

2^{- 9} = \frac{1}{512} > \frac{1}{1000} > 2^{- 10} = \frac{1}{1024}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.23★★Trang 39— Tìm số hạng của cấp số nhân khi biết hai số hạng

Bài 2.23 (trang 39). Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là

125

và số hạng thứ 10 là

\frac{125}{64}

. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ và $u_{n} = u_{m} \cdot q^{n - m}$ , suy ra $\frac{u _{n}}{u _{m}} = q^{n - m}$ .
Cấp số nhân có mọi số hạng dương thì $u_{1} > 0$ và $q > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.24★★Trang 39— Tìm tham số để ba số lập thành cấp số nhân

Bài 2.24 (trang 39). Tìm

x

sao cho

x, x + 2, x + 3

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Kiến thức cần nhớ

$a, b, c$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì $b^{2} = a c$ .
Nếu $a = u_{k}$ , $b = u_{k + 1}$ , $c = u_{k + 2}$ thì $b = a q$ , $c = a q^{2}$ , và $c - b = q (b - a)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.25★★Trang 39— Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Bài 2.25 (trang 39). Tính các tổng sau:
a)

1 + 4 + 16 + 64 + \dots + 4^{9}

;
b)

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2 ^{2}}{3} + \dots + \frac{2 ^{12}}{3}

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân công bội $q \neq = 1$ : $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} = \frac{u _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .
Số số hạng của dãy $q^{0}, q^{1}, \dots, q^{m}$ là $m + 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.26★★★Trang 39— Bài toán thực tế: mô hình lây lan theo cấp số nhân, tổng n số hạng

Bài 2.26 (trang 39). Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Kiến thức cần nhớ

Đại lượng mà mỗi bước được nhân với cùng một số $q$ tạo thành cấp số nhân công bội $q$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.27★★Trang 40— Bài toán thực tế: tăng trưởng phần trăm đều theo cấp số nhân

Bài 2.27 (trang 40). Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là

180

triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là

5%

, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Kiến thức cần nhớ

Tăng $r %$ mỗi kì nghĩa là nhân với $1 + \frac{r}{100}$ ; sau $k$ kì giá trị là $A (1 + \frac{r}{100})^{k}$ .
$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Nhị thức Newton: $(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.28★★★Trang 40— Bài toán thực tế: gửi tiết kiệm đều hằng tháng, lãi kép

Bài 2.28 (trang 40). Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hằng tháng bỏ ra

500

nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi

0, 5%

cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích luỹ này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: số tiền $A$ gửi $k$ kì với lãi suất $r$ mỗi kì thành $A (1 + r)^{k}$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .
Gửi đều $a$ mỗi kì, ngay sau lần gửi thứ $n$ có $T_{n} = a \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.29★★★Trang 40— Bài toán hình học lặp: tổng diện tích theo cấp số nhân

Bài 2.29 (trang 40). Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài

16

cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Kiến thức cần nhớ

Nối trung điểm các cạnh hình vuông cạnh $a$ được hình vuông cạnh $\frac{a 2}{2}$ , diện tích $\frac{a ^{2}}{2}$ .
Tam giác vuông cân cạnh góc vuông $b$ có diện tích $\frac{b ^{2}}{2}$ .
$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ với $q \neq = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.30★★Trang 40— Chèn trung bình nhân giữa hai số

Bài 2.30 (trang 40). Nếu

p

m

và

q

lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy

m^{2} = p \cdot q

. Số

m

được gọi là trung bình nhân của

p

và

q

. Cho hai số

p

và

q

, nếu ta tìm được

k

số khác

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}

sao cho

p, m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}, q

lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã chèn

k

trung bình nhân vào giữa

p

và

q

. Hãy
a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa

3

và

24

;
b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa

2, 25

và

576

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$ ; chèn $k$ số giữa $p$ và $q$ thì số hạng cuối là $u_{k + 2}$ .
Phương trình $x^{n} = b$ với $b > 0$ : $n$ lẻ có một nghiệm $x = n b$ ; $n$ chẵn có hai nghiệm $x = \pm n b$ .
Ba số hạng liên tiếp $a, b, c$ của cấp số nhân thoả $b^{2} = a c$ ; các số hạng cách đều $u_{1}$ và $u_{2 k + 1}$ thoả $u_{k + 1}^{2} = u_{1} u_{2 k + 1}$ .