Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang50 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.5★★Trang 50— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.5 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Tần số tương đối $f_{i} = \frac{m _{i}}{n}$ thì $\overset{x}{ˉ} = f_{1} x_{1} + f_{2} x_{2} + \dots + f_{k} x_{k}$ .
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = c + h \overset{u}{ˉ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi “quãng đường trung bình một cầu thủ” trên bảng ghép nhóm — dấu hiệu dùng công thức số trung bình với giá trị đại diện là trung điểm mỗi nhóm. Các nhóm cùng độ rộng

2

nên giá trị đại diện

3

;

5

;

7

;

9

;

11

cách đều, có thể đặt gốc tạm ở nhóm giữa để tính nhẩm. Bẫy của đề: nhân tần số với đầu mút trái thay vì trung điểm, hoặc chia cho số nhóm

5

thay vì cỡ mẫu

25

1Cách 1. Lập giá trị đại diện rồi áp công thức số trung bình

Định hướng. Thay mỗi nhóm bằng trung điểm của nó, rồi lấy trung bình có trọng số là số cầu thủ.

x_{1} = 3

x_{2} = 5

x_{3} = 7

x_{4} = 9

x_{5} = 11

n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25

\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + 9 \cdot 9 + 3 \cdot 11}{25}

\overset{x}{ˉ} = \frac{6 + 25 + 42 + 81 + 33}{25}

\overset{x}{ˉ} = \frac{187}{25} = 7, 48

Biểu đồ minh hoạ lời giải:

Vậy quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu là khoảng $7, 48$ km.

2Cách 2. Dùng tần số tương đối làm trọng số

Định hướng. Đổi số cầu thủ mỗi nhóm thành tỉ lệ trên $25$ ; số trung bình là tổng giá trị đại diện nhân tỉ lệ, không cần chia ở cuối.

f_{i} = \frac{m _{i}}{25}

0, 08

;

0, 2

;

0, 24

;

0, 36

;

0, 12

\overset{x}{ˉ} = 0, 08 \cdot 3 + 0, 2 \cdot 5 + 0, 24 \cdot 7 + 0, 36 \cdot 9 + 0, 12 \cdot 11

\overset{x}{ˉ} = 0, 24 + 1 + 1, 68 + 3, 24 + 1, 32

\overset{x}{ˉ} = 7, 48

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 7, 48$ km.

3Cách 3. Đặt gốc tạm ở nhóm giữa (đổi biến)

Định hướng. Giá trị đại diện cách đều $2$ và đối xứng quanh $7$ , nên đổi sang $u = \frac{x - 7}{2}$ chỉ còn các số nguyên nhỏ.

u_{i} = \frac{x _{i} - 7}{2}

- 2

;

- 1

;

0

;

1

;

2

\overset{u}{ˉ} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{25} = \frac{- 4 - 5 + 0 + 9 + 6}{25} = \frac{6}{25} = 0, 24

\overset{x}{ˉ} = 7 + 2 \overset{u}{ˉ} = 7 + 2 \cdot 0, 24 = 7, 48

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 7, 48$ km.

Nhận xét. Gốc tạm biến tổng $187$ thành tổng $6$ — nhẩm được ngay; $\overset{u}{ˉ} > 0$ cho biết trung bình lệch về phía các nhóm chạy nhiều (nhóm $[8; 10)$ đông nhất).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Tự luận nên trình bày Cách 1 vì bám đúng công thức SGK; làm trắc nghiệm thì Cách 3 nhanh nhất: chỉ nhân với

- 2

;

- 1

;

0

;

1

;

2

nên tính nhẩm, hầu như không sai.

Đáp số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{187}{25} = 7, 48

km.

Sai lầm thường gặp. Lấy đầu mút trái làm giá trị đại diện:

\frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 10}{25} = \frac{162}{25} = 6, 48

km — hụt đúng

1

km (nửa độ rộng nhóm). Chia cho số nhóm:

\frac{187}{5} = 37, 4

km — vô lí vì lớn hơn cả đầu mút

12

của nhóm cuối.

🚀 Mở rộng. Nếu mọi đầu mút cùng tăng

0, 5

km (dời cả bảng sang phải) thì trung bình thành

7, 98

km; tổng quát, dời mọi nhóm đi

c

thì

\overset{x}{ˉ}

dời đúng

c

, còn nhân mọi đầu mút với

k

thì

\overset{x}{ˉ}

nhân với

k

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.6★★Trang 50— Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.6 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tìm trung vị của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được.

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Trên đường tần số tích luỹ (nối các điểm $(a_{i}; cf_{i})$ ), trung vị là hoành độ của điểm có tung độ $\frac{n}{2}$ .
Ý nghĩa: khoảng một nửa số giá trị nhỏ hơn $M_{e}$ , nửa còn lại lớn hơn hoặc bằng $M_{e}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 25

nên mốc trung vị là

\frac{n}{2} = 12, 5

; nhìn dãy tần số tích luỹ

2

;

7

;

13

thấy mốc này vừa vượt

7

nhưng chưa quá

13

, nên nhóm chứa trung vị là

[6; 8)

. Sau đó chỉ việc nội suy tuyến tính trong nhóm đó. Bẫy: chọn nhóm đông nhất

[8; 10)

(đó là nhóm chứa mốt, không phải trung vị).

1Cách 1. Áp công thức trung vị ghép nhóm

Định hướng. Tìm nhóm chứa mốc $\frac{n}{2}$ bằng tần số tích luỹ rồi thay vào công thức.

n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25

\frac{n}{2} = 12, 5

Tần số tích luỹ:

2

;

7

;

13

;

22

;

25

7 < 12, 5 \leq 13

nên nhóm chứa trung vị là

[6; 8)

M_{e} = 6 + \frac{12 , 5 - ( 2 + 5 )}{6} \cdot (8 - 6)

M_{e} = 6 + \frac{5 , 5}{6} \cdot 2 = 6 + \frac{11}{6}

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

Vậy $M_{e} \approx 7, 83$ km: khoảng một nửa số cầu thủ chạy ít hơn $7, 83$ km, nửa còn lại chạy từ $7, 83$ km trở lên.

2Cách 2. Đọc trên đường tần số tích luỹ (hai tam giác đồng dạng)

Định hướng. Trên đoạn gấp khúc nối $A (6; 7)$ và $B (8; 13)$ , điểm $M$ có tung độ $12, 5$ ; tỉ số hoành độ bằng tỉ số tung độ.

\frac{M _{e} - 6}{8 - 6} = \frac{12 , 5 - 7}{13 - 7}

\frac{M _{e} - 6}{2} = \frac{5 , 5}{6} = \frac{11}{12}

M_{e} - 6 = \frac{11}{6}

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

Vậy $M_{e} \approx 7, 83$ km (xem hình).

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải của nhóm

Định hướng. Tích luỹ tới hết nhóm $[6; 8)$ là $13$ , chỉ vượt mốc $12, 5$ có $0, 5$ cầu thủ; lùi từ $8$ về một đoạn tương ứng.

M_{e} = 8 - \frac{13 - 12 , 5}{6} \cdot 2

M_{e} = 8 - \frac{0 , 5}{6} \cdot 2 = 8 - \frac{1}{6}

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

Vậy $M_{e} \approx 7, 83$ km.

Nhận xét. Cách 1 đo từ đầu trái, Cách 3 đo từ đầu phải của cùng nhóm; hai kết quả trùng nhau là phép thử chéo rất nhanh. Khi mốc sát đầu mút phải (ở đây chỉ thiếu $0, 5$ ), Cách 3 ít phép tính hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày Cách 1 cho đúng mẫu SGK, rồi dùng Cách 3 nhẩm kiểm tra trong vài giây:

8 - \frac{1}{6}

phải trùng

6 + \frac{11}{6}

Đáp số.

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

km; khoảng

50%

số cầu thủ chạy ít hơn

7, 83

km và

50%

chạy từ

7, 83

km trở lên.

Sai lầm thường gặp. Chọn nhóm đông nhất

[8; 10)

rồi thay vào công thức:

8 + \frac{12 , 5 - 13}{9} \cdot 2 \approx 7, 89

— kết quả nằm ngoài chính nhóm vừa chọn, dấu hiệu chọn sai nhóm. Lấy mốc

\frac{n + 1}{2} = 13

(quen với mẫu không ghép nhóm):

6 + \frac{13 - 7}{6} \cdot 2 = 8

km — sai vì công thức ghép nhóm dùng mốc

\frac{n}{2}

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm một cầu thủ chạy trong nhóm

[10; 12)

thì

n = 26

, mốc

13

trùng tần số tích luỹ hết nhóm

[6; 8)

, nên

M_{e} = 6 + \frac{13 - 7}{6} \cdot 2 = 8

km — đúng đầu mút phải của nhóm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.7★★★Trang 50— Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.7 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tìm

a

sao cho có

25%

số cầu thủ tham gia trận đấu chạy ít nhất

a

(km).

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
Có $25%$ giá trị lớn hơn hoặc bằng $Q_{3}$ ; có $25%$ giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ .
Nội suy trong nhóm coi các giá trị của nhóm trải đều trên độ dài nhóm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.8★★Trang 50— Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.8 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tính mốt của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được.

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ .
Mốt chia nhóm chứa mốt theo tỉ lệ $\frac{M _{o} - a _{j}}{a _{j + 1} - M _{o}} = \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{m _{j} - m _{j + 1}}$ .
Trên biểu đồ tần số, mốt là hoành độ giao điểm hai đường chéo nối đỉnh cột cao nhất với đỉnh hai cột kề.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.9★★Trang 50— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (số liệu rời rạc)

Bài 3.9 (trang 50). Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu được kết quả sau:

Số lần đi muộn	$0$ – $2$	$3$ – $5$	$6$ – $8$	$9$ – $11$	$12$ – $14$
Số học sinh	$23$	$8$	$5$	$3$	$1$

Trung bình mỗi học sinh trong lớp đi muộn bao nhiêu buổi trong học kì?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ có giá trị đại diện $\frac{k _{1} + k _{2}}{2}$ , trùng trung điểm nhóm đã hiệu chỉnh $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ .
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = c + h \overset{u}{ˉ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.10★★★Trang 50— Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm có hiệu chỉnh nhóm số nguyên

Bài 3.10 (trang 50). Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu được kết quả sau:

Số lần đi muộn	$0$ – $2$	$3$ – $5$	$6$ – $8$	$9$ – $11$	$12$ – $14$
Số học sinh	$23$	$8$	$5$	$3$	$1$

Tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết ý nghĩa của các kết quả thu được.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm liền nhau.
Dời mọi đầu mút đi $c$ thì $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ cùng dời đi $c$ .