Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.5★★Trang 50— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.5 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Tần số tương đối $f_{i} = \frac{m _{i}}{n}$ thì $\overset{x}{ˉ} = f_{1} x_{1} + f_{2} x_{2} + \dots + f_{k} x_{k}$ .
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = c + h \overset{u}{ˉ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi “quãng đường trung bình một cầu thủ” trên bảng ghép nhóm — dấu hiệu dùng công thức số trung bình với giá trị đại diện là trung điểm mỗi nhóm. Các nhóm cùng độ rộng

2

nên giá trị đại diện

3

;

5

;

7

;

9

;

11

cách đều, có thể đặt gốc tạm ở nhóm giữa để tính nhẩm. Bẫy của đề: nhân tần số với đầu mút trái thay vì trung điểm, hoặc chia cho số nhóm

5

thay vì cỡ mẫu

25

1Cách 1. Lập giá trị đại diện rồi áp công thức số trung bình

Định hướng. Thay mỗi nhóm bằng trung điểm của nó, rồi lấy trung bình có trọng số là số cầu thủ.

x_{1} = 3

x_{2} = 5

x_{3} = 7

x_{4} = 9

x_{5} = 11

n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25

\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + 9 \cdot 9 + 3 \cdot 11}{25}

\overset{x}{ˉ} = \frac{6 + 25 + 42 + 81 + 33}{25}

\overset{x}{ˉ} = \frac{187}{25} = 7, 48

Vậy quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu là khoảng $7, 48$ km.

2Cách 2. Dùng tần số tương đối làm trọng số

Định hướng. Đổi số cầu thủ mỗi nhóm thành tỉ lệ trên $25$ ; số trung bình là tổng giá trị đại diện nhân tỉ lệ, không cần chia ở cuối.

f_{i} = \frac{m _{i}}{25}

0, 08

;

0, 2

;

0, 24

;

0, 36

;

0, 12

\overset{x}{ˉ} = 0, 08 \cdot 3 + 0, 2 \cdot 5 + 0, 24 \cdot 7 + 0, 36 \cdot 9 + 0, 12 \cdot 11

\overset{x}{ˉ} = 0, 24 + 1 + 1, 68 + 3, 24 + 1, 32

\overset{x}{ˉ} = 7, 48

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 7, 48$ km.

3Cách 3. Đặt gốc tạm ở nhóm giữa (đổi biến)

Định hướng. Giá trị đại diện cách đều $2$ và đối xứng quanh $7$ , nên đổi sang $u = \frac{x - 7}{2}$ chỉ còn các số nguyên nhỏ.

u_{i} = \frac{x _{i} - 7}{2}

- 2

;

- 1

;

0

;

1

;

2

\overset{u}{ˉ} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{25} = \frac{- 4 - 5 + 0 + 9 + 6}{25} = \frac{6}{25} = 0, 24

\overset{x}{ˉ} = 7 + 2 \overset{u}{ˉ} = 7 + 2 \cdot 0, 24 = 7, 48

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 7, 48$ km.

Nhận xét. Gốc tạm biến tổng $187$ thành tổng $6$ — nhẩm được ngay; $\overset{u}{ˉ} > 0$ cho biết trung bình lệch về phía các nhóm chạy nhiều (nhóm $[8; 10)$ đông nhất).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Tự luận nên trình bày Cách 1 vì bám đúng công thức SGK; làm trắc nghiệm thì Cách 3 nhanh nhất: chỉ nhân với

- 2

;

- 1

;

0

;

1

;

2

nên tính nhẩm, hầu như không sai.

Đáp số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{187}{25} = 7, 48

km.

Sai lầm thường gặp. Lấy đầu mút trái làm giá trị đại diện:

\frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 10}{25} = \frac{162}{25} = 6, 48

km — hụt đúng

1

km (nửa độ rộng nhóm). Chia cho số nhóm:

\frac{187}{5} = 37, 4

km — vô lí vì lớn hơn cả đầu mút

12

của nhóm cuối.

🚀 Mở rộng. Nếu mọi đầu mút cùng tăng

0, 5

km (dời cả bảng sang phải) thì trung bình thành

7, 98

km; tổng quát, dời mọi nhóm đi

c

thì

\overset{x}{ˉ}

dời đúng

c

, còn nhân mọi đầu mút với

k

thì

\overset{x}{ˉ}

nhân với

k

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.6★★Trang 50— Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.6 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tìm trung vị của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được.

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Trên đường tần số tích luỹ (nối các điểm $(a_{i}; cf_{i})$ ), trung vị là hoành độ của điểm có tung độ $\frac{n}{2}$ .
Ý nghĩa: khoảng một nửa số giá trị nhỏ hơn $M_{e}$ , nửa còn lại lớn hơn hoặc bằng $M_{e}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 25

nên mốc trung vị là

\frac{n}{2} = 12, 5

; nhìn dãy tần số tích luỹ

2

;

7

;

13

thấy mốc này vừa vượt

7

nhưng chưa quá

13

, nên nhóm chứa trung vị là

[6; 8)

. Sau đó chỉ việc nội suy tuyến tính trong nhóm đó. Bẫy: chọn nhóm đông nhất

[8; 10)

(đó là nhóm chứa mốt, không phải trung vị).

1Cách 1. Áp công thức trung vị ghép nhóm

Định hướng. Tìm nhóm chứa mốc $\frac{n}{2}$ bằng tần số tích luỹ rồi thay vào công thức.

n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25

\frac{n}{2} = 12, 5

Tần số tích luỹ:

2

;

7

;

13

;

22

;

25

7 < 12, 5 \leq 13

nên nhóm chứa trung vị là

[6; 8)

M_{e} = 6 + \frac{12 , 5 - ( 2 + 5 )}{6} \cdot (8 - 6)

M_{e} = 6 + \frac{5 , 5}{6} \cdot 2 = 6 + \frac{11}{6}

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

Vậy $M_{e} \approx 7, 83$ km: khoảng một nửa số cầu thủ chạy ít hơn $7, 83$ km, nửa còn lại chạy từ $7, 83$ km trở lên.

2Cách 2. Đọc trên đường tần số tích luỹ (hai tam giác đồng dạng)

Định hướng. Trên đoạn gấp khúc nối $A (6; 7)$ và $B (8; 13)$ , điểm $M$ có tung độ $12, 5$ ; tỉ số hoành độ bằng tỉ số tung độ.

\frac{M _{e} - 6}{8 - 6} = \frac{12 , 5 - 7}{13 - 7}

\frac{M _{e} - 6}{2} = \frac{5 , 5}{6} = \frac{11}{12}

M_{e} - 6 = \frac{11}{6}

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

Vậy $M_{e} \approx 7, 83$ km (xem hình).

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải của nhóm

Định hướng. Tích luỹ tới hết nhóm $[6; 8)$ là $13$ , chỉ vượt mốc $12, 5$ có $0, 5$ cầu thủ; lùi từ $8$ về một đoạn tương ứng.

M_{e} = 8 - \frac{13 - 12 , 5}{6} \cdot 2

M_{e} = 8 - \frac{0 , 5}{6} \cdot 2 = 8 - \frac{1}{6}

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

Vậy $M_{e} \approx 7, 83$ km.

Nhận xét. Cách 1 đo từ đầu trái, Cách 3 đo từ đầu phải của cùng nhóm; hai kết quả trùng nhau là phép thử chéo rất nhanh. Khi mốc sát đầu mút phải (ở đây chỉ thiếu $0, 5$ ), Cách 3 ít phép tính hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày Cách 1 cho đúng mẫu SGK, rồi dùng Cách 3 nhẩm kiểm tra trong vài giây:

8 - \frac{1}{6}

phải trùng

6 + \frac{11}{6}

Đáp số.

M_{e} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

km; khoảng

50%

số cầu thủ chạy ít hơn

7, 83

km và

50%

chạy từ

7, 83

km trở lên.

Sai lầm thường gặp. Chọn nhóm đông nhất

[8; 10)

rồi thay vào công thức:

8 + \frac{12 , 5 - 13}{9} \cdot 2 \approx 7, 89

— kết quả nằm ngoài chính nhóm vừa chọn, dấu hiệu chọn sai nhóm. Lấy mốc

\frac{n + 1}{2} = 13

(quen với mẫu không ghép nhóm):

6 + \frac{13 - 7}{6} \cdot 2 = 8

km — sai vì công thức ghép nhóm dùng mốc

\frac{n}{2}

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm một cầu thủ chạy trong nhóm

[10; 12)

thì

n = 26

, mốc

13

trùng tần số tích luỹ hết nhóm

[6; 8)

, nên

M_{e} = 6 + \frac{13 - 7}{6} \cdot 2 = 8

km — đúng đầu mút phải của nhóm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.7★★★Trang 50— Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.7 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tìm

a

sao cho có

25%

số cầu thủ tham gia trận đấu chạy ít nhất

a

(km).

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
Có $25%$ giá trị lớn hơn hoặc bằng $Q_{3}$ ; có $25%$ giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ .
Nội suy trong nhóm coi các giá trị của nhóm trải đều trên độ dài nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

“

25%

số cầu thủ chạy ít nhất

a

” nghĩa là

75%

chạy dưới

a

— đó chính là định nghĩa tứ phân vị thứ ba

Q_{3}

. Mốc

\frac{3 n}{4} = 18, 75

, tần số tích luỹ

13 < 18, 75 \leq 22

nên

a

thuộc nhóm

[8; 10)

. Bẫy: thấy “

25%

” liền tính

Q_{1}

(đó là mốc mà

25%

chạy ít hơn).

1Cách 1. Nhận ra a = Q₃ rồi áp công thức

Định hướng. Chuyển câu chữ về ngôn ngữ tứ phân vị: $a$ là mốc chia $75%$ dưới, $25%$ trên.

a = Q_{3}

n = 25

\frac{3 n}{4} = 18, 75

Tần số tích luỹ:

2

;

7

;

13

;

22

;

25

13 < 18, 75 \leq 22

nên nhóm chứa

Q_{3}

là

[8; 10)

Q_{3} = 8 + \frac{18 , 75 - ( 2 + 5 + 6 )}{9} \cdot (10 - 8)

Q_{3} = 8 + \frac{5 , 75}{9} \cdot 2 = 8 + \frac{23}{18}

Q_{3} = \frac{167}{18} \approx 9, 28

Vậy $a = Q_{3} = \frac{167}{18} \approx 9, 28$ km.

2Cách 2. Đếm từ trên xuống, bám sát lời đề

Định hướng. $25%$ của $25$ cầu thủ là $6, 25$ người chạy nhiều nhất; lấy hết nhóm trên cùng rồi lấy thêm phần còn thiếu ở nhóm kề dưới.

25% \cdot 25 = 6, 25

Nhóm

[10; 12)

có

3

người, còn thiếu

6, 25 - 3 = 3, 25

người
Nhóm

[8; 10)

có

9

người trải đều trên độ dài

2

a = 10 - \frac{3 , 25}{9} \cdot 2 = 10 - \frac{13}{18}

a = \frac{167}{18} \approx 9, 28

Vậy $a \approx 9, 28$ km.

3Cách 3. Đọc trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Điểm có tung độ $18, 75$ nằm trên đoạn nối $(8; 13)$ và $(10; 22)$ ; tỉ số hoành độ bằng tỉ số tung độ.

\frac{a - 8}{10 - 8} = \frac{18 , 75 - 13}{22 - 13}

\frac{a - 8}{2} = \frac{5 , 75}{9} = \frac{23}{36}

a - 8 = \frac{23}{18}

a = \frac{167}{18} \approx 9, 28

Vậy $a \approx 9, 28$ km (xem hình).

Nhận xét. Cách 2 cho thấy vì sao $a$ phải nằm trong nhóm $[8; 10)$ : nhóm trên cùng chỉ có $3$ người, chưa đủ $6, 25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất khi đi thi với câu hỏi dạng lời “có

25%

… ít nhất

a

”: đếm thẳng từ trên xuống, không phải đổi sang

Q_{3}

nên không thể nhầm với

Q_{1}

Đáp số.

a = Q_{3} = \frac{167}{18} \approx 9, 28

km.

Sai lầm thường gặp. Nhầm sang

Q_{1}

: mốc

\frac{n}{4} = 6, 25

thuộc nhóm

[4; 6)

, được

4 + \frac{6 , 25 - 2}{5} \cdot 2 = 5, 7

km — đây là mốc mà

25%

cầu thủ chạy ít hơn, ngược ý đề. Đếm từ trên xuống nhưng cộng từ đầu mút trái:

8 + \frac{13}{18} \approx 8, 72

km — sai vì phần

3, 25

người phải tính lùi từ đầu mút

10

🚀 Mở rộng. Tìm

b

sao cho

25%

số cầu thủ chạy không quá

b

: đó là

Q_{1} = 5, 7

km; khi đó khoảng

[5, 7; 9, 28)

chứa khoảng một nửa số cầu thủ “ở giữa”, độ dài

Q_{3} - Q_{1} \approx 3, 58

km là khoảng tứ phân vị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.8★★Trang 50— Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.8 (trang 50). Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Quãng đường (km)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$
Số cầu thủ	$2$	$5$	$6$	$9$	$3$

Tính mốt của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được.

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ .
Mốt chia nhóm chứa mốt theo tỉ lệ $\frac{M _{o} - a _{j}}{a _{j + 1} - M _{o}} = \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{m _{j} - m _{j + 1}}$ .
Trên biểu đồ tần số, mốt là hoành độ giao điểm hai đường chéo nối đỉnh cột cao nhất với đỉnh hai cột kề.

🧠 Phân tích tư duy

Mốt nằm trong nhóm có tần số lớn nhất:

m_{4} = 9

, nhóm

[8; 10)

. Công thức cần thêm tần số hai nhóm kề

m_{3} = 6

và

m_{5} = 3

: nhóm bên trái đông hơn nên mốt bị kéo về phía đầu trái của nhóm, tức phải nhỏ hơn trung điểm

9

. Bẫy: lấy luôn trung điểm

9

làm mốt, hoặc đảo vai trò

m_{j - 1}

và

m_{j + 1}

1Cách 1. Áp công thức mốt

Định hướng. Xác định nhóm có tần số lớn nhất và hai tần số kề rồi thay vào công thức.

Tần số lớn nhất

m_{4} = 9

nên nhóm chứa mốt là

[8; 10)

m_{3} = 6

m_{5} = 3

h = 2

M_{o} = 8 + \frac{9 - 6}{( 9 - 6 ) + ( 9 - 3 )} \cdot 2

M_{o} = 8 + \frac{3}{9} \cdot 2 = 8 + \frac{2}{3}

M_{o} = \frac{26}{3} \approx 8, 67

Vậy $M_{o} \approx 8, 67$ km: quãng đường mà các cầu thủ chạy phổ biến nhất (hay gặp nhất) là khoảng $8, 67$ km.

2Cách 2. Chia nhóm theo tỉ lệ độ chênh tần số

Định hướng. Mốt chia đoạn $[8; 10]$ theo tỉ lệ hai độ chênh $d_{1} = 9 - 6$ và $d_{2} = 9 - 3$ , lập phương trình bậc nhất.

d_{1} = 3

d_{2} = 6

\frac{M _{o} - 8}{10 - M _{o}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow 2 M_{o} - 16 = 10 - M_{o}

\Leftrightarrow 3 M_{o} = 26

\Leftrightarrow M_{o} = \frac{26}{3} \approx 8, 67

Vậy $M_{o} \approx 8, 67$ km.

3Cách 3. Dựng hai đường chéo trên biểu đồ tần số

Định hướng. Nối $(8; 9)$ với $(10; 3)$ và nối $(10; 9)$ với $(8; 6)$ trong cột cao nhất; giao điểm hai đường cho hoành độ là mốt (xem hình).

d_{1}

y = 9 - 3 (x - 8)

d_{2}

y = 9 - \frac{3}{2} (10 - x)

9 - 3 (x - 8) = 9 - \frac{3}{2} (10 - x)

\Leftrightarrow 6 (x - 8) = 3 (10 - x)

\Leftrightarrow 6 x - 48 = 30 - 3 x

\Leftrightarrow 9 x = 78

\Leftrightarrow x = \frac{26}{3}

Vậy $M_{o} = \frac{26}{3} \approx 8, 67$ km.

Nhận xét. Công thức mốt chính là kết quả của phép dựng hình này — hai tam giác đồng dạng có đáy tỉ lệ với $d_{1}$ và $d_{2}$ , nên Cách 2 và Cách 3 giải thích vì sao công thức đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nếu hay quên thứ tự

m_{j - 1}

m_{j + 1}

thì nhớ theo Cách 2: mốt “nghiêng” về phía nhóm kề đông hơn, ở đây nhóm trái đông hơn nên

M_{o}

gần

8

hơn

10

Đáp số.

M_{o} = \frac{26}{3} \approx 8, 67

km; quãng đường chạy phổ biến nhất của các cầu thủ là khoảng

8, 67

km.

Sai lầm thường gặp. Đảo hai tần số kề:

8 + \frac{9 - 3}{( 9 - 3 ) + ( 9 - 6 )} \cdot 2 = \frac{28}{3} \approx 9, 33

km — mốt bị kéo về phía nhóm ít người, ngược trực giác. Lấy trung điểm nhóm

9

km làm mốt là bỏ qua ảnh hưởng của hai nhóm kề.

🚀 Mở rộng. Nếu hai nhóm kề có tần số bằng nhau (chẳng hạn đổi

m_{5} = 6

) thì

d_{1} = d_{2}

và

M_{o}

đúng bằng trung điểm

9

km; tổng quát

M_{o} - a_{j} = \frac{d _{1}}{d _{1} + d _{2}} h

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.9★★Trang 50— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (số liệu rời rạc)

Bài 3.9 (trang 50). Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu được kết quả sau:

Số lần đi muộn	$0$ – $2$	$3$ – $5$	$6$ – $8$	$9$ – $11$	$12$ – $14$
Số học sinh	$23$	$8$	$5$	$3$	$1$

Trung bình mỗi học sinh trong lớp đi muộn bao nhiêu buổi trong học kì?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ có giá trị đại diện $\frac{k _{1} + k _{2}}{2}$ , trùng trung điểm nhóm đã hiệu chỉnh $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ .
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = c + h \overset{u}{ˉ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng ghép nhóm số nguyên

0

–

2

3

–

5

, …; giá trị đại diện là trung bình hai đầu mút:

1

;

4

;

7

;

10

;

13

. Hiệu chỉnh thành

[- 0, 5; 2, 5)

[2, 5; 5, 5)

, … không làm đổi trung điểm nên tính số trung bình không cần hiệu chỉnh. Các giá trị đại diện cách đều

3

nên đặt gốc tạm để nhẩm. Bẫy: lấy trung điểm theo lưới

[0; 3)

là

1, 5

;

4, 5

; … làm kết quả tăng thêm

0, 5

1Cách 1. Giá trị đại diện và công thức số trung bình

Định hướng. Mỗi nhóm thay bằng trung bình hai đầu mút, rồi lấy trung bình có trọng số là số học sinh.

x_{i}

1

;

4

;

7

;

10

;

13

n = 23 + 8 + 5 + 3 + 1 = 40

\overset{x}{ˉ} = \frac{23 \cdot 1 + 8 \cdot 4 + 5 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 13}{40}

\overset{x}{ˉ} = \frac{23 + 32 + 35 + 30 + 13}{40}

\overset{x}{ˉ} = \frac{133}{40} = 3, 325

Vậy trung bình mỗi học sinh đi muộn khoảng $3, 325$ buổi (xấp xỉ $3$ buổi) trong học kì.

2Cách 2. Trọng số là tần số tương đối

Định hướng. Đổi số học sinh mỗi nhóm thành tỉ lệ trên $40$ , cộng các tích giá trị đại diện với tỉ lệ.

f_{i} = \frac{m _{i}}{40}

0, 575

;

0, 2

;

0, 125

;

0, 075

;

0, 025

\overset{x}{ˉ} = 0, 575 \cdot 1 + 0, 2 \cdot 4 + 0, 125 \cdot 7 + 0, 075 \cdot 10 + 0, 025 \cdot 13

\overset{x}{ˉ} = 0, 575 + 0, 8 + 0, 875 + 0, 75 + 0, 325

\overset{x}{ˉ} = 3, 325

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 3, 325$ buổi.

3Cách 3. Gốc tạm tại nhóm đông nhất

Định hướng. Đặt gốc ở giá trị đại diện $1$ của nhóm đông nhất, bước $3$ : $u = \frac{x - 1}{3}$ nhận các giá trị $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ và nhóm $23$ học sinh đóng góp $0$ .

\overset{u}{ˉ} = \frac{23 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4}{40} = \frac{31}{40}

\overset{x}{ˉ} = 1 + 3 \overset{u}{ˉ} = 1 + \frac{93}{40}

\overset{x}{ˉ} = \frac{133}{40} = 3, 325

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 3, 325$ buổi.

Nhận xét. Chọn gốc tại nhóm đông nhất làm triệt tiêu số hạng lớn nhất ( $23$ học sinh), chỉ còn cộng $8 + 10 + 9 + 4 = 31$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: gốc tạm tại nhóm đông nhất loại bỏ ngay số hạng lớn nhất, tổng còn lại chỉ là

31

nên nhẩm được; Cách 1 dùng để trình bày tự luận.

Đáp số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{133}{40} = 3, 325

buổi (khoảng

3

buổi mỗi học sinh).

Sai lầm thường gặp. Lấy trung điểm theo lưới

[0; 3)

[3; 6)

, …: giá trị đại diện

1, 5

;

4, 5

; … cho

\overset{x}{ˉ} = 3, 825

— thừa

0, 5

buổi. Chia cho

5

nhóm:

\frac{133}{5} = 26, 6

buổi — vô lí vì vượt cả mức

14

lần lớn nhất.

🚀 Mở rộng. So với trung vị

M_{e} \approx 2, 11

ở Bài 3.10, ta có

\overset{x}{ˉ} \approx 3, 33 > M_{e}

: vài bạn đi muộn rất nhiều kéo số trung bình lên — mẫu lệch phải thì trung vị phản ánh “bạn điển hình” tốt hơn số trung bình.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.10★★★Trang 50— Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm có hiệu chỉnh nhóm số nguyên

Bài 3.10 (trang 50). Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu được kết quả sau:

Số lần đi muộn	$0$ – $2$	$3$ – $5$	$6$ – $8$	$9$ – $11$	$12$ – $14$
Số học sinh	$23$	$8$	$5$	$3$	$1$

Tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết ý nghĩa của các kết quả thu được.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm liền nhau.
Dời mọi đầu mút đi $c$ thì $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ cùng dời đi $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số lần đi muộn là số nguyên, các nhóm

0

–

2

3

–

5

, … có khe hở giữa

2

và

3

, nên phải hiệu chỉnh thành

[- 0, 5; 2, 5)

[2, 5; 5, 5)

, … (độ rộng

3

) như SGK làm ở Bài 3.6 trước khi dùng công thức.

n = 40

nên ba mốc

10

;

20

;

30

đều nguyên; tần số tích luỹ

23

;

31

cho thấy

Q_{1}

Q_{2}

cùng nằm trong nhóm đầu,

Q_{3}

nằm trong nhóm thứ hai. Bẫy: giữ độ rộng

2

theo cách viết

0

–

2

, hoặc lấy đầu mút

0

thay cho

- 0, 5

1Cách 1. Hiệu chỉnh nhóm rồi áp công thức tứ phân vị

Định hướng. Nối liền các nhóm bằng cách lùi đầu trái $0, 5$ và tiến đầu phải $0, 5$ , rồi dùng tần số tích luỹ định vị ba mốc $\frac{n}{4}$ , $\frac{n}{2}$ , $\frac{3 n}{4}$ .

[- 0, 5; 2, 5)

[2, 5; 5, 5)

[5, 5; 8, 5)

[8, 5; 11, 5)

[11, 5; 14, 5)

n = 40

; tần số tích luỹ:

23

;

31

;

36

;

39

;

40

\frac{n}{4} = 10 \leq 23

Q_{1} = - 0, 5 + \frac{10 - 0}{23} \cdot 3 = - \frac{1}{2} + \frac{30}{23} = \frac{37}{46} \approx 0, 80

\frac{n}{2} = 20 \leq 23

Q_{2} = - 0, 5 + \frac{20 - 0}{23} \cdot 3 = - \frac{1}{2} + \frac{60}{23} = \frac{97}{46} \approx 2, 11

23 < \frac{3 n}{4} = 30 \leq 31

Q_{3} = 2, 5 + \frac{30 - 23}{8} \cdot 3 = \frac{5}{2} + \frac{21}{8} = \frac{41}{8} = 5, 125

Vậy $Q_{1} \approx 0, 80$ ; $Q_{2} = M_{e} \approx 2, 11$ ; $Q_{3} = 5, 125$ . Ý nghĩa: khoảng $25%$ học sinh đi muộn dưới $0, 8$ lần (gần như không đi muộn); khoảng một nửa lớp đi muộn dưới $2, 11$ lần; khoảng $75%$ đi muộn dưới $5, 125$ lần, tức chỉ khoảng một phần tư lớp đi muộn từ $5, 125$ lần trở lên.

2Cách 2. Tính trên lưới [0; 3), [3; 6), … rồi tịnh tiến về

Định hướng. Lưới $[0; 3)$ , $[3; 6)$ , … cùng độ rộng $3$ nhưng lệch sang phải $0, 5$ so với lưới đúng; tính trên lưới số tròn cho gọn rồi trừ $0, 5$ cho cả ba giá trị.

Q_{1}^{'} = 0 + \frac{10}{23} \cdot 3 = \frac{30}{23}

Q_{1} = \frac{30}{23} - \frac{1}{2} = \frac{37}{46} \approx 0, 80

Q_{2}^{'} = 0 + \frac{20}{23} \cdot 3 = \frac{60}{23}

Q_{2} = \frac{60}{23} - \frac{1}{2} = \frac{97}{46} \approx 2, 11

Q_{3}^{'} = 3 + \frac{7}{8} \cdot 3 = \frac{45}{8}

Q_{3} = \frac{45}{8} - \frac{1}{2} = \frac{41}{8} = 5, 125

Vậy $Q_{1} \approx 0, 80$ ; $Q_{2} \approx 2, 11$ ; $Q_{3} = 5, 125$ .

3Cách 3. Đọc trên đường tần số tích luỹ, kiểm tra bằng đếm ngược

Định hướng. Ba điểm có tung độ $10$ ; $20$ ; $30$ nằm trên các đoạn gấp khúc nối $(- 0, 5; 0)$ , $(2, 5; 23)$ , $(5, 5; 31)$ ; đo lùi từ đầu mút phải của đoạn để kiểm tra.

Q_{1} = 2, 5 - \frac{23 - 10}{23} \cdot 3 = \frac{5}{2} - \frac{39}{23} = \frac{37}{46}

Q_{2} = 2, 5 - \frac{23 - 20}{23} \cdot 3 = \frac{5}{2} - \frac{9}{23} = \frac{97}{46}

Q_{3} = 5, 5 - \frac{31 - 30}{8} \cdot 3 = \frac{11}{2} - \frac{3}{8} = \frac{41}{8}

Vậy $Q_{1} = \frac{37}{46} \approx 0, 80$ ; $Q_{2} = \frac{97}{46} \approx 2, 11$ ; $Q_{3} = \frac{41}{8} = 5, 125$ (xem hình).

Nhận xét. Ba tứ phân vị dồn về phía trái ( $Q_{2} - Q_{1} \approx 1, 3$ còn $Q_{3} - Q_{2} \approx 3$ ): mẫu lệch phải — đa số đi muộn rất ít, một nhóm nhỏ đi muộn nhiều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (có bước hiệu chỉnh rõ ràng, đúng chuẩn SGK). Cách 2 rất đáng nhớ: gặp nhóm số nguyên, tính trên lưới tròn rồi trừ

0, 5

— vừa nhanh vừa giải thích được vì sao quên hiệu chỉnh sẽ lệch đúng

0, 5

Đáp số.

Q_{1} = \frac{37}{46} \approx 0, 80

;

Q_{2} = M_{e} = \frac{97}{46} \approx 2, 11

;

Q_{3} = \frac{41}{8} = 5, 125

(lần). Khoảng

25%

học sinh đi muộn dưới

0, 8

lần,

50%

dưới

2, 11

lần,

75%

dưới

5, 125

lần.

Sai lầm thường gặp. Không hiệu chỉnh mà dùng lưới

[0; 3)

: được

Q_{1} \approx 1, 30

;

Q_{2} \approx 2, 61

;

Q_{3} = 5, 625

— cả ba lệch đúng

0, 5

. Giữ độ rộng

2

theo cách viết

0

–

2

(nhóm

[0, 5; 2, 5)

Q_{1} = 0, 5 + \frac{10}{23} \cdot 2 \approx 1, 37

— sai vì nhóm

0

–

2

gồm ba giá trị

0

;

1

;

2

, độ rộng thật là

3

; trộn độ rộng

2

cho nhóm đầu và

3

cho nhóm sau lại càng sai.

🚀 Mở rộng. Khoảng tứ phân vị

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{41}{8} - \frac{37}{46} = \frac{795}{184} \approx 4, 32

lần; giá trị ngoại lệ là giá trị lớn hơn

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} \approx 11, 6

— nhóm

12

–

14

có

1

bạn đáng chú ý.

Mở bài này trong app ↗