Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương I

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 35 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang25–30 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.31★Trang 25— Trắc nghiệm đổi đơn vị số đo góc từ độ sang rađian

Đổi số đo góc

α = 10 5^{\circ}

sang rađian ta được: A.

α = \frac{5 π}{8}

; B.

α = \frac{π}{8}

; C.

α = \frac{7 π}{12}

; D.

α = \frac{9 π}{12}

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức đổi đơn vị: $18 0^{\circ} = π$ rad, nên $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ rad và $1$ rad $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$ .
Muốn đổi $a^{\circ}$ sang rađian thì nhân với $\frac{π}{180}$ rồi rút gọn phân số.
Muốn kiểm tra ngược, đổi kết quả rađian trở lại độ bằng cách nhân với $\frac{180}{π}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số đo bằng độ và bắt trả về rađian, đây là dạng đổi đơn vị thuần túy nên chỉ cần đúng một hệ thức

18 0^{\circ} = π

. Nên đi theo hướng lập tỉ số

\frac{105}{180}

rồi rút gọn, vì rút gọn phân số an toàn hơn là nhớ thuộc lòng vài góc mẫu. Bẫy nằm ở phương án D:

\frac{9 π}{12}

chưa rút gọn nên trông lạ mắt và dễ bị bỏ qua, trong khi kết quả đúng

\frac{7 π}{12}

lại có cùng mẫu

12

với nó.

1Cách 1. Nhân trực tiếp với hệ số đổi đơn vị rồi rút gọn phân số

Định hướng. Nhân số đo độ với $\frac{π}{180}$ rồi rút gọn phân số nhận được.

α = 10 5^{\circ} = 105 \cdot \frac{π}{180}

α = \frac{105 π}{180}

α = \frac{105 : 15}{180 : 15} π

α = \frac{7 π}{12}

Vậy chọn phương án C.

2Cách 2. Đổi ngược từng phương án về độ để loại trừ

Định hướng. Đổi cả bốn phương án trở lại đơn vị độ bằng hệ số $\frac{180}{π}$ , phương án nào cho $10 5^{\circ}$ thì đúng.

\frac{5 π}{8} = \frac{5}{8} \cdot 18 0^{\circ} = 112, 5^{\circ}

\frac{π}{8} = \frac{1}{8} \cdot 18 0^{\circ} = 22, 5^{\circ}

\frac{7 π}{12} = \frac{7}{12} \cdot 18 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

\frac{9 π}{12} = \frac{3}{4} \cdot 18 0^{\circ} = 13 5^{\circ}

Vậy chỉ $\frac{7 π}{12}$ cho đúng $10 5^{\circ}$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Tách

10 5^{\circ}

thành tổng hai góc đặc biệt đã thuộc

Định hướng. Viết $10 5^{\circ}$ thành tổng hai góc quen thuộc đã biết số đo rađian, rồi cộng hai phân số.

10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

và

4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

α = \frac{π}{3} + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{12} + \frac{3 π}{12}

α = \frac{7 π}{12}

Vậy cách tách góc cũng cho $α = \frac{7 π}{12}$ , chọn phương án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép nhân và một lần rút gọn, không phải nhớ thêm góc mẫu nào; Cách 3 chỉ nhanh khi góc tách được thành hai góc đặc biệt như ở bài này.

Đáp số. Chọn C:

α = \frac{7 π}{12}

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến là nhân với

\frac{180}{π}

thay vì

\frac{π}{180}

, dẫn tới

105 \cdot \frac{180}{π}

là một số rất lớn chứ không phải phân số của

π

. Lỗi thứ hai là rút gọn nửa vời: từ

\frac{105 π}{180}

chỉ chia cho

5

được

\frac{21 π}{36}

rồi thấy không có phương án nào khớp nên chọn bừa

\frac{9 π}{12}

, trong khi

\frac{21 π}{36}

vẫn chia tiếp cho

3

để thành

\frac{7 π}{12}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, góc

a^{\circ}

có số đo rađian là

\frac{aπ}{180}

và phân số này tối giản khi và chỉ khi

a

nguyên tố cùng nhau với

180

; thử với

a = 105

thì ƯCLN

(105; 180) = 15

đúng bằng lượng vừa giản ước.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.32★★★Trang 25— Trắc nghiệm liên hệ giữa góc hình học và số đo góc lượng giác

Cho góc lượng giác

(O u, O v)

có số đo

α

mà

u O v

là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có số nguyên

k

để

\frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{3 π}{2} + k 2 π

; B.

- π \leq α < - \frac{π}{2}

; C.

- \frac{π}{2} < α \leq \frac{3 π}{2}

; D.

\frac{π}{2} < α < π

Kiến thức cần nhớ

Góc hình học $u O v$ chỉ nhận một số đo duy nhất trong $[0; π]$ , còn góc lượng giác $(O u, O v)$ có vô số số đo sai khác nhau $k 2 π$ .
Nếu $u O v = φ$ thì mọi số đo của góc lượng giác $(O u, O v)$ đều có dạng $α = φ + k 2 π$ hoặc $α = - φ + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Góc tù nghĩa là $\frac{π}{2} < φ < π$ .
Một mệnh đề về góc lượng giác chỉ đúng khi nó nghiệm đúng với MỌI số đo của góc đó.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ khoá là hai đối tượng khác nhau bị đặt cạnh nhau:

u O v

là góc HÌNH HỌC chỉ có một số đo trong

[0; π]

, còn

α

là số đo góc LƯỢNG GIÁC nên có vô số giá trị lệch nhau

k 2 π

và có thể âm. Vì thế phải chọn mệnh đề đúng với mọi số đo chứ không phải mệnh đề đúng với một số đo nào đó, và chỉ có phương án chứa

k 2 π

mới gánh nổi yêu cầu này. Bẫy chính là phương án D trông y hệt định nghĩa góc tù, nhưng nó loại sạch các số đo âm như

α = - \frac{3 π}{4}

vốn cũng biểu diễn đúng góc tù ấy.

1Cách 1. Viết công thức tổng quát cho mọi số đo rồi đối chiếu từng phương án

Định hướng. Gọi $φ = u O v$ , viết tập hợp TẤT CẢ số đo của góc lượng giác $(O u, O v)$ rồi xem phương án nào chứa trọn tập đó.

\frac{π}{2} < φ < π

α = φ + k 2 π

hoặc

α = - φ + k 2 π

k \in Z

\frac{π}{2} + k 2 π < φ + k 2 π < π + k 2 π

- π + k 2 π < - φ + k 2 π < - \frac{π}{2} + k 2 π

- π + k 2 π = π + (k - 1) 2 π

và

- \frac{π}{2} + k 2 π = \frac{3 π}{2} + (k - 1) 2 π

cả hai họ đều nằm trong

(\frac{π}{2} + m 2 π; \frac{3 π}{2} + m 2 π)

m \in Z

Vậy chọn phương án A.

2Cách 2. Lấy một số đo âm cụ thể làm phản ví dụ để loại ba phương án

Định hướng. Chọn một góc tù cụ thể, lấy số đo âm của nó rồi thử vào từng phương án; phương án nào bị phản ví dụ thì loại.

φ = \frac{3 π}{4}

là góc tù, lấy

α = - \frac{3 π}{4}

phương án B đòi

- π \leq α < - \frac{π}{2}

, nhưng số đo

α = \frac{3 π}{4}

của cùng góc ấy không thoả

phương án C đòi

- \frac{π}{2} < α

, mà

- \frac{3 π}{4} < - \frac{π}{2}

nên không thoả

phương án D đòi

\frac{π}{2} < α < π

, mà

- \frac{3 π}{4}

âm nên không thoả

phương án A với

k = - 1

cho

- \frac{3 π}{2} < - \frac{3 π}{4} < - \frac{π}{2}

, đúng

Vậy ba phương án B, C, D đều bị phản ví dụ, chọn phương án A.

3Cách 3. Nhìn đường tròn lượng giác, quy về nửa mặt phẳng bên trái

Định hướng. Điểm biểu diễn của góc tù nằm trong góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba của đường tròn lượng giác; mô tả đúng miền đó bằng một bất đẳng thức.

φ

tù nên điểm ngọn của tia

O v

có hoành độ âm, tức

cos α < 0

cos α < 0

khi và chỉ khi điểm biểu diễn thuộc cung mở từ

\frac{π}{2}

đến

\frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{3 π}{2} + k 2 π

k \in Z

Vậy miền đó đúng bằng phương án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần một phản ví dụ

α = - \frac{3 π}{4}

là bắn rơi luôn ba phương án, nhanh hơn nhiều so với Cách 1 phải biến đổi hai họ số đo về chung một họ.

Đáp số. Chọn A: có số nguyên

k

để

\frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{3 π}{2} + k 2 π

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là chọn D vì nhớ máy móc rằng góc tù thì số đo thuộc

(\frac{π}{2}; π)

; điều đó chỉ đúng cho góc HÌNH HỌC. Với

u O v = \frac{3 π}{4}

thì

α = - \frac{3 π}{4}

cũng là một số đo hợp lệ của góc lượng giác

(O u, O v)

mà

- \frac{3 π}{4}

không thuộc

(\frac{π}{2}; π)

, nên D sai.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu lập luận, nếu

u O v

là góc nhọn thì tập số đo của

(O u, O v)

chính là miền

cos α > 0

, tức

- \frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{π}{2} + k 2 π

; nói cách khác dấu của

cos α

là đặc trưng bất biến của góc hình học qua mọi số đo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.33★★Trang 25— Trắc nghiệm tính giá trị lượng giác của cung lớn nhờ tính tuần hoàn

Giá trị

cot \frac{89 π}{6}

bằng A.

- \frac{3}{3}

; B.

3

; C.

- 3

; D.

\frac{3}{3}

Kiến thức cần nhớ

Hàm côtang tuần hoàn với chu kì $π$ : $cot (u + k π) = cot u$ , $k \in Z$ .
Do đó cũng có $cot (u + k 2 π) = cot u$ , tiện khi muốn giữ nguyên góc phần tư.
$cot \frac{5 π}{6} = - 3$ vì $\frac{5 π}{6}$ thuộc góc phần tư thứ hai, nơi côtang âm.
$cot u = \frac{cos u}{sin u}$ , dùng để tính lại khi không nhớ bảng giá trị.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.34★Trang 25— Trắc nghiệm xét dấu các giá trị lượng giác theo góc phần tư

Cho

\frac{π}{2} < α < π

. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.

sin α < 0

;

cos α > 0

; B.

sin α > 0

;

cos α > 0

; C.

sin α < 0

;

cos α < 0

; D.

sin α > 0

;

cos α < 0

Kiến thức cần nhớ

Trên đường tròn lượng giác, $cos α$ là hoành độ và $sin α$ là tung độ của điểm biểu diễn cung $α$ .
Cung $α$ với $\frac{π}{2} < α < π$ có điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ hai.
Ở góc phần tư thứ hai: hoành độ âm nên $cos α < 0$ , tung độ dương nên $sin α > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.35★★Trang 25— Trắc nghiệm nhận diện công thức cung hơn kém nửa pi

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A.

sin (\frac{π}{2} - x) = cos x

; B.

sin (\frac{π}{2} + x) = cos x

; C.

tan (\frac{π}{2} - x) = cot x

; D.

tan (\frac{π}{2} + x) = cot x

Kiến thức cần nhớ

Cung phụ nhau: $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ , $tan (\frac{π}{2} - x) = cot x$ .
Cung hơn kém $\frac{π}{2}$ : $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ , $cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x$ .
Hệ quả: $tan (\frac{π}{2} + x) = - cot x$ , dấu trừ là chỗ hay bị bỏ sót.
Muốn kiểm nhanh một đẳng thức lượng giác, thay một cung đặc biệt như $x = \frac{π}{6}$ vào hai vế.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.36★Trang 26— Trắc nghiệm công thức lượng giác của hai cung bù nhau

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A.

sin (18 0^{\circ} - a) = - cos a

; B.

sin (18 0^{\circ} - a) = - sin a

; C.

sin (18 0^{\circ} - a) = sin a

; D.

sin (18 0^{\circ} - a) = cos a

Kiến thức cần nhớ

Hai cung bù nhau $a$ và $18 0^{\circ} - a$ có: $sin (18 0^{\circ} - a) = sin a$ , $cos (18 0^{\circ} - a) = - cos a$ .
Kéo theo $tan (18 0^{\circ} - a) = - tan a$ và $cot (18 0^{\circ} - a) = - cot a$ .
Có thể suy công thức trên từ công thức cộng: $sin (18 0^{\circ} - a) = sin 18 0^{\circ} cos a - cos 18 0^{\circ} sin a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.37★Trang 26— Trắc nghiệm dùng hệ thức cơ bản giữa sin và côsin

Biết

sin x = \frac{1}{2}

. Giá trị của

cos^{2} x

bằng A.

cos^{2} x = \frac{1}{2}

; B.

cos^{2} x = \frac{3}{2}

; C.

cos^{2} x = \frac{1}{4}

; D.

cos^{2} x = \frac{3}{4}

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ với mọi $x$ .
Suy ra $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ , tính được ngay mà không cần biết dấu của $cos x$ .
Chỉ khi đề hỏi $cos x$ (không bình phương) thì mới phải xét dấu theo góc phần tư.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.38★★★Trang 26— Trắc nghiệm tính biểu thức thuần nhất bậc nhất theo sin và côsin

Biết

cot x = \frac{1}{2}

. Giá trị của biểu thức

\frac{4 sin x + 5 cos x}{2 sin x - 3 cos x}

bằng A.

\frac{1}{17}

; B.

\frac{5}{9}

; C.

13

; D.

\frac{2}{9}

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức thuần nhất cùng bậc theo $sin x$ và $cos x$ thì chia cả tử và mẫu cho $cos x$ (hoặc $sin x$ ) để đưa về biến $tan x$ (hoặc $cot x$ ).
Quan hệ $tan x \cdot cot x = 1$ , nên $cot x = \frac{1}{2}$ cho $tan x = 2$ .
$cot x = \frac{1}{2}$ đã bảo đảm $sin x \neq = 0$ , nên được phép chia cho $sin x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.39★★Trang 26— Trắc nghiệm nhận diện công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A.

cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

; B.

cos u - cos v = 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

; C.

sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

; D.

sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

Kiến thức cần nhớ

Bốn công thức tổng thành tích: $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ , $cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
$sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ và $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
Chỉ duy nhất công thức cho hiệu hai côsin có dấu trừ đứng trước.
Mọi công thức đó suy ra được từ công thức cộng bằng cách đặt $u = \frac{u + v}{2} + \frac{u - v}{2}$ và $v = \frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.40★★Trang 26— Trắc nghiệm nhận diện công thức nhân đôi

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A.

sin 2 a = 2 sin a cos a

; B.

cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a

; C.

cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a

; D.

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân đôi: $sin 2 a = 2 sin a cos a$ và $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1$ .
Công thức nhân đôi của tang: $tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$ , mẫu có dấu TRỪ.
Biểu thức $\frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a}$ thực ra bằng $sin 2 a$ , không phải $tan 2 a$ .
Điều kiện của công thức nhân đôi tang: $cos a \neq = 0$ và $cos 2 a \neq = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.41★★Trang 26— Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số chứa căn bậc hai

Tập xác định của hàm số

y = 1 - cos x

là A.

R ∖ {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}

; B.

R ∖ {k π ∣ k \in Z}

; C.

R ∖ {k 2 π ∣ k \in Z}

; D.

R

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ xác định khi và chỉ khi $f (x) \geq 0$ .
Tập giá trị của côsin là $[- 1; 1]$ , nên $cos x \leq 1$ với mọi $x$ .
Do đó $1 - cos x \geq 0$ với mọi $x$ ; dấu bằng xảy ra khi $cos x = 1$ , tức $x = k 2 π$ với $k \in Z$ .
Giá trị $0$ dưới dấu căn vẫn cho hàm số xác định, chỉ số âm mới bị loại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.42★★Trang 26— Trắc nghiệm tính đồng biến nghịch biến của hàm số côsin

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số

y = cos x

nghịch biến trên khoảng

(- π; 0)

và đồng biến trên khoảng

(0; π)

; B. Hàm số

y = cos x

đồng biến trên các khoảng

(- π; 0)

và

(0; π)

; C. Hàm số

y = cos x

nghịch biến trên các khoảng

(- π; 0)

và

(0; π)

; D. Hàm số

y = cos x

đồng biến trên khoảng

(- π; 0)

và nghịch biến trên khoảng

(0; π)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ , $k \in Z$ .
Trên một chu kì, đồ thị $y = cos x$ đi lên từ điểm thấp nhất $(- π; - 1)$ tới điểm cao nhất $(0; 1)$ rồi đi xuống tới $(π; - 1)$ .
Hàm số $y = cos x$ là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung; chiều biến thiên trên hai khoảng đối xứng luôn NGƯỢC nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.43★★Trang 27— Trắc nghiệm tính chất của hàm số tang

Khẳng định nào sau đây sai? A. Tập xác định của hàm số

y = tan x

là

D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}

; B. Hàm số

y = tan x

đồng biến trên các khoảng

(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)

với mọi

k \in Z

; C. Tập giá trị của hàm số

y = tan x

là

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

; D. Hàm số

y = tan x

là hàm số tuần hoàn với chu kì

π

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = tan x$ có tập xác định $R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$ và tập giá trị là $R$ .
Hàm số $y = tan x$ tuần hoàn với chu kì $π$ và đồng biến trên mỗi khoảng xác định $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ .
Phải phân biệt TẬP XÁC ĐỊNH (miền của biến $x$ ) với TẬP GIÁ TRỊ (miền của $y$ ); khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ là một khoảng của biến chứ không phải của giá trị.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.44★Trang 27— Trắc nghiệm nhận biết hàm số chẵn qua trục đối xứng của đồ thị

Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng? A.

y = cos x

; B.

y = sin^{3} x

; C.

y = sin x

; D.

y = tan x

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi hàm số là hàm CHẴN, tức $f (- x) = f (x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.
Đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm số là hàm LẺ, tức $f (- x) = - f (x)$ .
Trong bốn hàm lượng giác cơ bản chỉ $y = cos x$ là hàm chẵn; $y = sin x$ , $y = tan x$ , $y = cot x$ đều là hàm lẻ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.45★Trang 27— Trắc nghiệm chu kì tuần hoàn của bốn hàm lượng giác cơ bản

Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số

y = sin x

tuần hoàn với chu kì

2 π

; B. Hàm số

y = cos x

tuần hoàn với chu kì

2 π

; C. Hàm số

y = tan x

tuần hoàn với chu kì

2 π

; D. Hàm số

y = cot x

tuần hoàn với chu kì

π

Kiến thức cần nhớ

Chu kì (cơ sở) của $y = sin x$ và $y = cos x$ là $2 π$ .
Chu kì (cơ sở) của $y = tan x$ và $y = cot x$ là $π$ .
Khi nói hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì $T$ được hiểu là số dương NHỎ NHẤT thoả $f (x + T) = f (x)$ ; vì thế $2 π$ không phải chu kì của hàm tang dù $tan (x + 2 π) = tan x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.46★★★Trang 27— Trắc nghiệm xét tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ của hàm số tích

Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số

y = sin x cos 2 x

là hàm số tuần hoàn; B. Hàm số

y = sin x cos 2 x

là hàm số lẻ; C. Hàm số

y = x sin x

là hàm số tuần hoàn; D. Hàm số

y = x sin x

là hàm số chẵn.

Kiến thức cần nhớ

Tích của hai hàm tuần hoàn có chu kì cùng đo được bởi một số $T$ thì tuần hoàn với chu kì $T$ .
Hàm đa thức bậc nhất $y = x$ KHÔNG tuần hoàn, và tích của một hàm không tuần hoàn với một hàm tuần hoàn thường không tuần hoàn.
Tích của hàm lẻ với hàm chẵn là hàm LẺ; tích của hai hàm lẻ là hàm CHẴN.
Muốn bác bỏ tính tuần hoàn, chỉ cần chỉ ra một dãy giá trị tăng vô hạn của hàm số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.47★★Trang 27— Trắc nghiệm công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.

cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π

(k \in Z)

; B.

sin x = 0 \Leftrightarrow x = k 2 π

(k \in Z)

; C.

tan x = 0 \Leftrightarrow x = k 2 π

(k \in Z)

; D.

cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π

(k \in Z)

Kiến thức cần nhớ

Bốn công thức nghiệm đặc biệt: $cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π$ ; $cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ .
$sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ và $tan x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ , $k \in Z$ .
Chu kì $k 2 π$ chỉ dùng khi trên một vòng tròn lượng giác phương trình có ĐÚNG MỘT điểm biểu diễn; nếu có hai điểm đối xứng nhau qua tâm thì gộp lại thành $k π$ .
Muốn kiểm một công thức nghiệm có đủ hay không, thử một nghiệm nằm ngoài công thức đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.48★★★Trang 27— Đếm số nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn cho trước

Số nghiệm của phương trình

2 cos x = 3

trên đoạn

[0; \frac{5 π}{2}]

là A.

1

; B.

4

; C.

3

; D.

2

Kiến thức cần nhớ

$cos x = cos α \Leftrightarrow x = \pm α + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ .
Muốn đếm nghiệm trên một đoạn, giải bất phương trình theo $k$ cho từng họ nghiệm rồi đếm số giá trị nguyên của $k$ .
$\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}$ , tức đoạn đã cho dài hơn một vòng lượng giác đúng một phần tư vòng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 1.49★★★Trang 28— Tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một khoảng

Tổng các nghiệm thuộc khoảng

(0; 2 π)

của phương trình

3 cos x - 1 = 0

bằng A.

S = 2 π

; B.

S = 0

; C.

S = 4 π

; D.

S = 3 π

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $cos x = m$ với $0 < m < 1$ có trên khoảng $(0; 2 π)$ đúng hai nghiệm.
Hai nghiệm đó đối xứng nhau qua trục hoành trên đường tròn lượng giác, tức chúng có dạng $x_{1} = α$ và $x_{2} = 2 π - α$ .
Do đó tổng hai nghiệm là $x_{1} + x_{2} = 2 π$ , không phụ thuộc giá trị $m$ .
Khi $m$ không phải giá trị của cung đặc biệt thì viết nghiệm bằng $arccos m$ là hợp lệ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 1.50★★★Trang 28— Giải phương trình dạng sin bằng sin và chọn đúng họ nghiệm

Giá trị của các hàm số

y = sin 3 x

và

y = sin x

bằng nhau khi và chỉ khi A.

x = k π

hoặc

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

(k \in Z)

; B.

x = \frac{k π}{4}

(k \in Z)

; C.

x = \frac{k π}{2}

(k \in Z)

; D.

x = k 2 π

hoặc

x = \frac{π}{4} + k 2 π

(k \in Z)

Kiến thức cần nhớ

$sin u = sin v \Leftrightarrow u = v + k 2 π$ hoặc $u = π - v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Sau khi giải, phải rút gọn chu kì: từ $2 x = k 2 π$ ta được $x = k π$ chứ không phải $x = k 2 π$ .
Cách kiểm nhanh một phương án: thử một nghiệm đúng xem phương án có chứa nó không, và thử một giá trị thuộc phương án xem nó có thật là nghiệm không.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 1.51★★Trang 28— Biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác và tính giá trị lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm

M

biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng: a)

\frac{23 π}{4}

; b)

\frac{31 π}{6}

; c)

- 138 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai số đo sai khác nhau một bội của $2 π$ (hoặc $36 0^{\circ}$ ) thì cho CÙNG một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Muốn tìm điểm biểu diễn, tách số đo thành $α_{0} + k 2 π$ với $0 \leq α_{0} < 2 π$ và $k \in Z$ .
Điểm biểu diễn có toạ độ $(cos α; sin α)$ ; từ đó $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ và $cot α = \frac{cos α}{sin α}$ .
Các cung đặc biệt cần thuộc: $\frac{7 π}{4}$ , $\frac{7 π}{6}$ và $6 0^{\circ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 1.52★★Trang 28— Ứng dụng công thức độ dài cung tròn vào chuyển động của kim đồng hồ

Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài

1, 75

m và

1, 26

m. Hỏi trong

15

phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Kiến thức cần nhớ

Độ dài cung tròn bán kính $R$ chắn góc ở tâm $α$ (đo bằng rađian) là $ℓ = R α$ .
Công thức $ℓ = R α$ chỉ đúng khi $α$ tính bằng RAĐIAN, nên số đo độ phải đổi trước.
Kim phút đi hết một vòng $2 π$ trong $60$ phút; kim giờ đi hết một vòng $2 π$ trong $12$ giờ tức $720$ phút.
Trong cùng một khoảng thời gian, kim giờ quay chậm hơn kim phút đúng $12$ lần.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 1.53★★Trang 28— Ứng dụng độ dài cung tròn để tính khoảng cách theo kinh tuyến

Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở

10 5^{\circ}

kinh đông, nhưng Quản Bạ ở

2 3^{\circ}

vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ

9^{\circ}

bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó, coi Trái Đất có bán kính

6378

km.

Kiến thức cần nhớ

Hai địa điểm cùng kinh độ thì cùng nằm trên một kinh tuyến, là một đường tròn lớn bán kính bằng bán kính Trái Đất.
Góc ở tâm chắn cung nối hai địa điểm cùng kinh tuyến bằng HIỆU hai vĩ độ (khi cùng bán cầu).
Độ dài cung: $ℓ = R α$ với $α$ tính bằng rađian.
Đổi đơn vị: $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ rad.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 1.54★★★Trang 28— Tính giá trị lượng giác của cung nhân đôi và cung tổng hiệu

Cho

cos α = \frac{3}{4}

sin α > 0

;

sin β = \frac{3}{5}

β \in (\frac{9 π}{2}; 5 π)

. Hãy tính

cos 2 α

sin 2 α

cos 2 β

sin 2 β

cos (α + β)

sin (α - β)

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân đôi: $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α$ và $sin 2 α = 2 sin α cos α$ .
Công thức cộng: $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ và $sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$ .
Hệ thức cơ bản $sin^{2} + cos^{2} = 1$ dùng để tìm giá trị còn thiếu, DẤU lấy theo góc phần tư.
Muốn biết $β$ ở góc phần tư nào, trừ bội của $2 π$ để đưa về nửa khoảng $[0; 2 π)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 1.55★★★★Trang 28— Rút gọn biểu thức lượng giác bằng công thức nhân đôi, hạ bậc và tổng thành tích

Rút gọn các biểu thức sau: a)

\frac{sin ( 4 5 ^{\circ} + α ) - cos ( 4 5 ^{\circ} + α )}{sin ( 4 5 ^{\circ} + α ) + cos ( 4 5 ^{\circ} + α )}

; b)

\frac{sin 2 α + sin α}{1 + cos 2 α + cos α}

; c)

\frac{1 + cos α - sin α}{1 - cos α - sin α}

; d)

\frac{sin α + sin 3 α + sin 5 α}{cos α + cos 3 α + cos 5 α}

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: $1 + cos 2 α = 2 cos^{2} α$ và $1 - cos α = 2 sin^{2} \frac{α}{2}$ , $1 + cos α = 2 cos^{2} \frac{α}{2}$ .
Công thức nhân đôi: $sin 2 α = 2 sin α cos α$ .
Tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ và $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Cung phụ: $cos (4 5^{\circ} + α) = sin (4 5^{\circ} - α)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 1.56★★★★Trang 28— Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc biến

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào

x

: a)

A = sin (\frac{π}{4} + x) - cos (\frac{π}{4} - x)

; b)

B = cos (\frac{π}{6} - x) - sin (\frac{π}{3} + x)

; c)

C = sin^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x)

; d)

D = \frac{1 - cos 2 x + sin 2 x}{1 + cos 2 x + sin 2 x} cot x

Kiến thức cần nhớ

Cung phụ nhau: $cos u = sin (\frac{π}{2} - u)$ và $sin u = cos (\frac{π}{2} - u)$ .
Công thức biến đổi tích thành tổng: $cos u cos v = \frac{1}{2} [cos (u - v) + cos (u + v)]$ .
Công thức hạ bậc: $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ , $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ , $sin 2 x = 2 sin x cos x$ .
Một biểu thức không phụ thuộc $x$ khi rút gọn được về một HẰNG SỐ trên toàn tập xác định.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 1.57★★★★Trang 29— Ứng dụng công thức cộng để tổng hợp hai sóng âm cùng tần số

Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

f_{1} (t) = C sin ω t

và

f_{2} (t) = C sin (ω t + α)

. Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra âm kết hợp có phương trình

f (t) = f_{1} (t) + f_{2} (t) = C sin ω t + C sin (ω t + α)

. a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm

f (t)

có thể viết dưới dạng

f (t) = A sin ω t + B cos ω t

, với

A

B

là hai hằng số phụ thuộc vào

α

. b) Khi

C = 10

và

α = \frac{π}{3}

, tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số

k

và

φ

sao cho

f (t) = k sin (ω t + φ)

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: $sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v$ .
Mọi biểu thức $A sin θ + B cos θ$ đều viết được thành $k sin (θ + φ)$ với $k = A^{2} + B^{2}$ .
Khi đó $cos φ = \frac{A}{k}$ và $sin φ = \frac{B}{k}$ ; $k$ là biên độ, $φ$ là pha ban đầu.
Công thức hạ bậc dùng để rút gọn $1 + cos α = 2 cos^{2} \frac{α}{2}$ và $sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · 1.58★★★Trang 29— Tìm tập xác định của hàm số lượng giác có mẫu hoặc có phân thức bên trong

Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)

y = cos \frac{2 x}{x - 1}

; b)

y = \frac{1}{cos x - cos 3 x}

; c)

y = \frac{1}{cos x + sin 2 x}

; d)

y = tan x + cot x

Kiến thức cần nhớ

Hàm $y = cos u$ xác định với mọi $u$ , nên điều kiện chỉ đến từ biểu thức $u$ .
Phân thức $\frac{1}{M}$ xác định khi $M \neq = 0$ .
$cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ , dùng để phân tích mẫu thành tích.
$tan x$ xác định khi $cos x \neq = 0$ ; $cot x$ xác định khi $sin x \neq = 0$ .
$sin x cos x \neq = 0$ tương đương $sin 2 x \neq = 0$ , tức $x \neq = \frac{k π}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · 1.59★★★★Trang 29— Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a)

y = sin x - cos x

; b)

y = sin x + sin (\frac{π}{3} - x)

; c)

y = sin^{4} x + cos^{4} x

; d)

y = cos 2 x + 2 cos x - 1

Kiến thức cần nhớ

$A sin θ + B cos θ = A^{2} + B^{2} sin (θ + φ)$ , nên hàm này có giá trị lớn nhất $A^{2} + B^{2}$ và nhỏ nhất $- A^{2} + B^{2}$ .
$sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
$sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ .
Với hàm quy về đa thức của $t = cos x$ trên $[- 1; 1]$ , phải xét giá trị tại ĐỈNH parabol và tại HAI ĐẦU đoạn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · 1.60★★★Trang 29— Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a)

y = sin^{3} x - cot x

; b)

y = \frac{cos x + tan ^{2} x}{cos x}

; c)

y = sin 2 x + cos x

; d)

y = 2 cos (\frac{3 π}{4} + x) sin (\frac{π}{4} - x)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $f$ là CHẴN nếu tập xác định đối xứng và $f (- x) = f (x)$ ; là LẺ nếu $f (- x) = - f (x)$ .
Phải kiểm tập xác định có đối xứng qua $0$ TRƯỚC khi so $f (- x)$ với $f (x)$ .
$sin (- x) = - sin x$ , $cos (- x) = cos x$ , $tan (- x) = - tan x$ , $cot (- x) = - cot x$ .
Muốn kết luận một hàm KHÔNG chẵn không lẻ, chỉ cần một giá trị $x_{0}$ mà $f (- x_{0}) \neq = f (x_{0})$ và $f (- x_{0}) \neq = - f (x_{0})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · 1.61★★★★Trang 29— Tìm chu kì của tổng hai hàm lượng giác tuần hoàn

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a)

y = sin \frac{x}{2} + cos 3 x

; b)

y = cos 5 x + tan \frac{x}{3}

Kiến thức cần nhớ

Hàm $y = sin (a x)$ và $y = cos (a x)$ có chu kì $\frac{2 π}{∣ a ∣}$ .
Hàm $y = tan (a x)$ và $y = cot (a x)$ có chu kì $\frac{π}{∣ a ∣}$ .
Nếu $f_{1}$ có chu kì $T_{1}$ và $f_{2}$ có chu kì $T_{2}$ thì $f_{1} + f_{2}$ tuần hoàn với chu kì là BỘI CHUNG NHỎ NHẤT của $T_{1}$ và $T_{2}$ (khi bội chung đó tồn tại).
Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của $T_{1}$ và $T_{2}$ , viết chúng cùng mẫu rồi lấy BCNN của hai tử số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 32 · 1.62★★★★Trang 29— Giải phương trình lượng giác cơ bản và phương trình đưa về cùng một hàm

Giải các phương trình sau: a)

sin 3 x = - \frac{3}{2}

; b)

tan (\frac{x}{3} + 1 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}

; c)

sin 3 x - cos 5 x = 0

; d)

tan 3 x tan x = 1

Kiến thức cần nhớ

$sin u = sin v \Leftrightarrow u = v + k 2 π$ hoặc $u = π - v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$tan u = tan v \Leftrightarrow u = v + k π$ , $k \in Z$ ; khi đo bằng độ thì chu kì là $k \cdot 18 0^{\circ}$ .
$cos u = cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k 2 π$ ; và $sin u = cos (\frac{π}{2} - u)$ dùng để đổi sin thành côsin.
$cos 3 x cos x - sin 3 x sin x = cos 4 x$ , công thức cộng dùng để gom ý d.
Cung đặc biệt: $sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}$ và $tan (- 3 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 33 · 1.63★★★★Trang 30— Giải phương trình lượng giác bằng cách gom hoặc hạ bậc

Giải các phương trình sau: a)

sin 5 x + cos 5 x = - 1

; b)

cos 3 x - cos 5 x = sin x

; c)

2 cos^{2} x + cos 2 x = 2

; d)

sin^{4} x + cos^{4} x = \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

Kiến thức cần nhớ

$A sin u + B cos u = A^{2} + B^{2} sin (u + φ)$ ; riêng $sin u + cos u = 2 sin (u + \frac{π}{4})$ .
$cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
Công thức hạ bậc: $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ và $sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ .
$sin^{2} 2 x = 1$ tương đương $cos 4 x = - 1$ , tiện để viết nghiệm gọn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 34 · 1.64★★★★Trang 30— Bài toán thực tế đưa về cực trị của hàm số lượng giác

Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính

30

cm. a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

S (θ) = 450 sin 2 θ

(cm

^{2}

); ở đó góc

θ

được chỉ ra trong hình vẽ. b) Tìm góc

θ

để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật nội tiếp một đường tròn thì đường chéo của nó là ĐƯỜNG KÍNH của đường tròn đó.
Trong tam giác vuông có cạnh huyền $c$ và một góc nhọn $θ$ kề cạnh $a$ : $a = c cos θ$ và cạnh đối $b = c sin θ$ .
$2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ .
$sin 2 θ \leq 1$ với mọi $θ$ , dấu bằng khi $2 θ = \frac{π}{2}$ tức $θ = \frac{π}{4}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 35 · 1.65★★★★Trang 30— Bài toán thực tế đếm số nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu trên tâm trương. Chỉ số huyết áp

120/80

là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là

70

lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số

P (t) = 100 + 20 sin \frac{7 π t}{3}

, ở đó

P (t)

là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian

t

tính theo giây. a) Trong khoảng từ

0

giây đến

1

giây, hãy xác định số lần huyết áp là

100

mmHg. b) Trong khoảng từ

0

giây đến

1

giây, hãy xác định số lần huyết áp là

120

mmHg.

Kiến thức cần nhớ

$sin u = 0 \Leftrightarrow u = k π$ ; $sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{π}{2} + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Hàm $P (t) = 100 + 20 sin \frac{7 π t}{3}$ có chu kì $T = \frac{2 π}{\frac{7 π}{3}} = \frac{6}{7}$ giây, khớp với nhịp tim $70$ lần mỗi phút.
Huyết áp $P (t) = 100$ ứng với $sin \frac{7 π t}{3} = 0$ ; $P (t) = 120$ là giá trị LỚN NHẤT nên ứng với $sin \frac{7 π t}{3} = 1$ .
Muốn đếm số lần, giải theo $k$ rồi chặn $k$ bởi điều kiện $0 \leq t \leq 1$ .