Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương I

SBT (Sách bài tập) Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 35 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.31★Trang 25— Trắc nghiệm đổi đơn vị số đo góc từ độ sang rađian

Đổi số đo góc

α = 10 5^{\circ}

sang rađian ta được: A.

α = \frac{5 π}{8}

; B.

α = \frac{π}{8}

; C.

α = \frac{7 π}{12}

; D.

α = \frac{9 π}{12}

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức đổi đơn vị: $18 0^{\circ} = π$ rad, nên $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ rad và $1$ rad $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$ .
Muốn đổi $a^{\circ}$ sang rađian thì nhân với $\frac{π}{180}$ rồi rút gọn phân số.
Muốn kiểm tra ngược, đổi kết quả rađian trở lại độ bằng cách nhân với $\frac{180}{π}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số đo bằng độ và bắt trả về rađian, đây là dạng đổi đơn vị thuần túy nên chỉ cần đúng một hệ thức

18 0^{\circ} = π

. Nên đi theo hướng lập tỉ số

\frac{105}{180}

rồi rút gọn, vì rút gọn phân số an toàn hơn là nhớ thuộc lòng vài góc mẫu. Bẫy nằm ở phương án D:

\frac{9 π}{12}

chưa rút gọn nên trông lạ mắt và dễ bị bỏ qua, trong khi kết quả đúng

\frac{7 π}{12}

lại có cùng mẫu

12

với nó.

1Cách 1. Nhân trực tiếp với hệ số đổi đơn vị rồi rút gọn phân số

Định hướng. Nhân số đo độ với $\frac{π}{180}$ rồi rút gọn phân số nhận được.

α = 10 5^{\circ} = 105 \cdot \frac{π}{180}

α = \frac{105 π}{180}

α = \frac{105 : 15}{180 : 15} π

α = \frac{7 π}{12}

Vậy chọn phương án C.

2Cách 2. Đổi ngược từng phương án về độ để loại trừ

Định hướng. Đổi cả bốn phương án trở lại đơn vị độ bằng hệ số $\frac{180}{π}$ , phương án nào cho $10 5^{\circ}$ thì đúng.

\frac{5 π}{8} = \frac{5}{8} \cdot 18 0^{\circ} = 112, 5^{\circ}

\frac{π}{8} = \frac{1}{8} \cdot 18 0^{\circ} = 22, 5^{\circ}

\frac{7 π}{12} = \frac{7}{12} \cdot 18 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

\frac{9 π}{12} = \frac{3}{4} \cdot 18 0^{\circ} = 13 5^{\circ}

Vậy chỉ $\frac{7 π}{12}$ cho đúng $10 5^{\circ}$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Tách

10 5^{\circ}

thành tổng hai góc đặc biệt đã thuộc

Định hướng. Viết $10 5^{\circ}$ thành tổng hai góc quen thuộc đã biết số đo rađian, rồi cộng hai phân số.

10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

và

4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

α = \frac{π}{3} + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{12} + \frac{3 π}{12}

α = \frac{7 π}{12}

Vậy cách tách góc cũng cho $α = \frac{7 π}{12}$ , chọn phương án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép nhân và một lần rút gọn, không phải nhớ thêm góc mẫu nào; Cách 3 chỉ nhanh khi góc tách được thành hai góc đặc biệt như ở bài này.

Đáp số. Chọn C:

α = \frac{7 π}{12}

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến là nhân với

\frac{180}{π}

thay vì

\frac{π}{180}

, dẫn tới

105 \cdot \frac{180}{π}

là một số rất lớn chứ không phải phân số của

π

. Lỗi thứ hai là rút gọn nửa vời: từ

\frac{105 π}{180}

chỉ chia cho

5

được

\frac{21 π}{36}

rồi thấy không có phương án nào khớp nên chọn bừa

\frac{9 π}{12}

, trong khi

\frac{21 π}{36}

vẫn chia tiếp cho

3

để thành

\frac{7 π}{12}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, góc

a^{\circ}

có số đo rađian là

\frac{aπ}{180}

và phân số này tối giản khi và chỉ khi

a

nguyên tố cùng nhau với

180

; thử với

a = 105

thì ƯCLN

(105; 180) = 15

đúng bằng lượng vừa giản ước.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.32★★★Trang 25— Trắc nghiệm liên hệ giữa góc hình học và số đo góc lượng giác

Cho góc lượng giác

(O u, O v)

có số đo

α

mà

u O v

là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có số nguyên

k

để

\frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{3 π}{2} + k 2 π

; B.

- π \leq α < - \frac{π}{2}

; C.

- \frac{π}{2} < α \leq \frac{3 π}{2}

; D.

\frac{π}{2} < α < π

Kiến thức cần nhớ

Góc hình học $u O v$ chỉ nhận một số đo duy nhất trong $[0; π]$ , còn góc lượng giác $(O u, O v)$ có vô số số đo sai khác nhau $k 2 π$ .
Nếu $u O v = φ$ thì mọi số đo của góc lượng giác $(O u, O v)$ đều có dạng $α = φ + k 2 π$ hoặc $α = - φ + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Góc tù nghĩa là $\frac{π}{2} < φ < π$ .
Một mệnh đề về góc lượng giác chỉ đúng khi nó nghiệm đúng với MỌI số đo của góc đó.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ khoá là hai đối tượng khác nhau bị đặt cạnh nhau:

u O v

là góc HÌNH HỌC chỉ có một số đo trong

[0; π]

, còn

α

là số đo góc LƯỢNG GIÁC nên có vô số giá trị lệch nhau

k 2 π

và có thể âm. Vì thế phải chọn mệnh đề đúng với mọi số đo chứ không phải mệnh đề đúng với một số đo nào đó, và chỉ có phương án chứa

k 2 π

mới gánh nổi yêu cầu này. Bẫy chính là phương án D trông y hệt định nghĩa góc tù, nhưng nó loại sạch các số đo âm như

α = - \frac{3 π}{4}

vốn cũng biểu diễn đúng góc tù ấy.

1Cách 1. Viết công thức tổng quát cho mọi số đo rồi đối chiếu từng phương án

Định hướng. Gọi $φ = u O v$ , viết tập hợp TẤT CẢ số đo của góc lượng giác $(O u, O v)$ rồi xem phương án nào chứa trọn tập đó.

\frac{π}{2} < φ < π

α = φ + k 2 π

hoặc

α = - φ + k 2 π

k \in Z

\frac{π}{2} + k 2 π < φ + k 2 π < π + k 2 π

- π + k 2 π < - φ + k 2 π < - \frac{π}{2} + k 2 π

- π + k 2 π = π + (k - 1) 2 π

và

- \frac{π}{2} + k 2 π = \frac{3 π}{2} + (k - 1) 2 π

cả hai họ đều nằm trong

(\frac{π}{2} + m 2 π; \frac{3 π}{2} + m 2 π)

m \in Z

Vậy chọn phương án A.

2Cách 2. Lấy một số đo âm cụ thể làm phản ví dụ để loại ba phương án

Định hướng. Chọn một góc tù cụ thể, lấy số đo âm của nó rồi thử vào từng phương án; phương án nào bị phản ví dụ thì loại.

φ = \frac{3 π}{4}

là góc tù, lấy

α = - \frac{3 π}{4}

phương án B đòi

- π \leq α < - \frac{π}{2}

, nhưng số đo

α = \frac{3 π}{4}

của cùng góc ấy không thoả

phương án C đòi

- \frac{π}{2} < α

, mà

- \frac{3 π}{4} < - \frac{π}{2}

nên không thoả

phương án D đòi

\frac{π}{2} < α < π

, mà

- \frac{3 π}{4}

âm nên không thoả

phương án A với

k = - 1

cho

- \frac{3 π}{2} < - \frac{3 π}{4} < - \frac{π}{2}

, đúng

Vậy ba phương án B, C, D đều bị phản ví dụ, chọn phương án A.

3Cách 3. Nhìn đường tròn lượng giác, quy về nửa mặt phẳng bên trái

Định hướng. Điểm biểu diễn của góc tù nằm trong góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba của đường tròn lượng giác; mô tả đúng miền đó bằng một bất đẳng thức.

φ

tù nên điểm ngọn của tia

O v

có hoành độ âm, tức

cos α < 0

cos α < 0

khi và chỉ khi điểm biểu diễn thuộc cung mở từ

\frac{π}{2}

đến

\frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{3 π}{2} + k 2 π

k \in Z

Vậy miền đó đúng bằng phương án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần một phản ví dụ

α = - \frac{3 π}{4}

là bắn rơi luôn ba phương án, nhanh hơn nhiều so với Cách 1 phải biến đổi hai họ số đo về chung một họ.

Đáp số. Chọn A: có số nguyên

k

để

\frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{3 π}{2} + k 2 π

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là chọn D vì nhớ máy móc rằng góc tù thì số đo thuộc

(\frac{π}{2}; π)

; điều đó chỉ đúng cho góc HÌNH HỌC. Với

u O v = \frac{3 π}{4}

thì

α = - \frac{3 π}{4}

cũng là một số đo hợp lệ của góc lượng giác

(O u, O v)

mà

- \frac{3 π}{4}

không thuộc

(\frac{π}{2}; π)

, nên D sai.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu lập luận, nếu

u O v

là góc nhọn thì tập số đo của

(O u, O v)

chính là miền

cos α > 0

, tức

- \frac{π}{2} + k 2 π < α < \frac{π}{2} + k 2 π

; nói cách khác dấu của

cos α

là đặc trưng bất biến của góc hình học qua mọi số đo.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.33★★Trang 25— Trắc nghiệm tính giá trị lượng giác của cung lớn nhờ tính tuần hoàn

Giá trị

cot \frac{89 π}{6}

bằng A.

- \frac{3}{3}

; B.

3

; C.

- 3

; D.

\frac{3}{3}

Kiến thức cần nhớ

Hàm côtang tuần hoàn với chu kì $π$ : $cot (u + k π) = cot u$ , $k \in Z$ .
Do đó cũng có $cot (u + k 2 π) = cot u$ , tiện khi muốn giữ nguyên góc phần tư.
$cot \frac{5 π}{6} = - 3$ vì $\frac{5 π}{6}$ thuộc góc phần tư thứ hai, nơi côtang âm.
$cot u = \frac{cos u}{sin u}$ , dùng để tính lại khi không nhớ bảng giá trị.

🧠 Phân tích tư duy

Số đo

\frac{89 π}{6}

lớn hơn

2 π

rất nhiều, đó là dấu hiệu phải hạ cung về một cung đặc biệt bằng tính tuần hoàn trước khi tra bảng giá trị. Nên trừ đi bội của

2 π

thay vì bội của

π

, vì như thế điểm biểu diễn giữ nguyên góc phần tư nên dấu của kết quả không bị nhầm. Bẫy của đề là bốn phương án gồm đủ hai cặp đối nhau

\pm 3

và

\pm \frac{3}{3}

, nên chỉ cần lệch dấu hoặc lộn côtang với tang là rơi ngay vào một phương án sai.

1Cách 1. Hạ cung về cung đặc biệt bằng chu kì

2 π

Định hướng. Tách $\frac{89 π}{6}$ thành một bội của $2 π$ cộng với một cung đặc biệt, rồi dùng tính tuần hoàn.

\frac{89 π}{6} = \frac{84 π}{6} + \frac{5 π}{6}

\frac{89 π}{6} = 14 π + \frac{5 π}{6} = 7 \cdot 2 π + \frac{5 π}{6}

cot \frac{89 π}{6} = cot \frac{5 π}{6}

cot \frac{5 π}{6} = cot (π - \frac{π}{6}) = - cot \frac{π}{6}

cot \frac{89 π}{6} = - 3

Vậy chọn phương án C.

2Cách 2. Tính riêng sin và côsin rồi lập thương

Định hướng. Thay vì tra bảng côtang, tính $cos$ và $sin$ của cung đã hạ rồi lập thương, cách này tự kiểm được dấu.

\frac{89 π}{6} = 14 π + \frac{5 π}{6}

cos \frac{89 π}{6} = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

sin \frac{89 π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

cot \frac{89 π}{6} = \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}

cot \frac{89 π}{6} = - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = - 3

Vậy thương của côsin và sin cũng cho $- 3$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Dùng chu kì

π

để đưa về cung âm nhỏ nhất

Định hướng. Côtang có chu kì $π$ nên có thể trừ thẳng bội của $π$ để được một cung rất nhỏ, rồi dùng tính chất côtang là hàm lẻ.

\frac{89 π}{6} = \frac{90 π}{6} - \frac{π}{6} = 15 π - \frac{π}{6}

cot \frac{89 π}{6} = cot (- \frac{π}{6} + 15 π) = cot (- \frac{π}{6})

cot (- \frac{π}{6}) = - cot \frac{π}{6}

cot \frac{89 π}{6} = - 3

Vậy chỉ hai dòng biến đổi cũng ra $- 3$ , chọn phương án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tách

\frac{89 π}{6} = 15 π - \frac{π}{6}

gọn hơn hẳn vì

90

chia hết cho

6

, lại khai thác đúng chu kì

π

riêng của côtang nên chỉ mất hai dòng.

Đáp số. Chọn C:

cot \frac{89 π}{6} = - 3

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là lấy

cot \frac{5 π}{6} = cot \frac{π}{6} = 3

vì quên rằng góc phần tư thứ hai có côtang âm, rơi vào phương án B. Lỗi thứ hai là lộn bảng giá trị:

cot \frac{π}{6} = 3

chứ không phải

\frac{3}{3}

, bởi

\frac{3}{3}

mới là

tan \frac{π}{6}

, nhầm chỗ này sẽ chọn phương án A.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá bằng phép chia có dư: với

cot \frac{nπ}{6}

ta chỉ cần số dư của

n

khi chia cho

6

, nên

cot \frac{89 π}{6} = cot \frac{5 π}{6}

vì

89 = 6 \cdot 14 + 5

; thử lại với

cot \frac{2026 π}{6}

sẽ thấy

2026 = 6 \cdot 337 + 4

nên bằng

cot \frac{2 π}{3} = - \frac{3}{3}

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.34★Trang 25— Trắc nghiệm xét dấu các giá trị lượng giác theo góc phần tư

Cho

\frac{π}{2} < α < π

. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.

sin α < 0

;

cos α > 0

; B.

sin α > 0

;

cos α > 0

; C.

sin α < 0

;

cos α < 0

; D.

sin α > 0

;

cos α < 0

Kiến thức cần nhớ

Trên đường tròn lượng giác, $cos α$ là hoành độ và $sin α$ là tung độ của điểm biểu diễn cung $α$ .
Cung $α$ với $\frac{π}{2} < α < π$ có điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ hai.
Ở góc phần tư thứ hai: hoành độ âm nên $cos α < 0$ , tung độ dương nên $sin α > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một khoảng chứa

α

và hỏi về dấu, đó là dấu hiệu của dạng xét dấu theo góc phần tư chứ không cần tính một giá trị cụ thể nào. Hướng ngắn nhất là dựng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác rồi đọc dấu của hoành độ và tung độ, vì hai toạ độ ấy chính là côsin và sin. Chỗ dễ đi sai ngay từ đầu là đọc nhầm thứ tự: nhiều bạn gán côsin cho tung độ, khi đó đáp án bị lật thành phương án A.

1Cách 1. Đọc dấu hai toạ độ của điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Dựng điểm biểu diễn cung $α$ rồi đọc dấu hoành độ và tung độ của nó.

\frac{π}{2} < α < π

nên điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ hai

ở góc phần tư thứ hai, hoành độ âm và tung độ dương

cos α < 0

và

sin α > 0

Vậy chọn phương án D.

2Cách 2. Thử một giá trị cụ thể trong khoảng đã cho

Định hướng. Lấy một cung cụ thể thuộc khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ rồi tính hai giá trị lượng giác để xem dấu.

chọn

α = \frac{2 π}{3}

thuộc

(\frac{π}{2}; π)

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2} > 0

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2} < 0

Vậy chỉ phương án D khớp với cặp dấu vừa tìm.

3Cách 3. Suy dấu từ công thức cung hơn kém

\frac{π}{2}

Định hướng. Đặt $α = \frac{π}{2} + t$ với $t$ nhọn, rồi dùng công thức cung hơn kém $\frac{π}{2}$ để chuyển về góc nhọn đã biết dấu.

α = \frac{π}{2} + t

với

0 < t < \frac{π}{2}

sin α = sin (\frac{π}{2} + t) = cos t

cos α = cos (\frac{π}{2} + t) = - sin t

t

nhọn nên

cos t > 0

và

sin t > 0

sin α > 0

và

cos α = - sin t < 0

Vậy lập luận bằng công thức cũng dẫn tới phương án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc dấu ngay trên hình, mất vài giây và không phải nhớ công thức nào; Cách 3 tuy dài hơn nhưng đáng dùng khi đề hỏi dấu của cả tang và côtang cùng lúc.

Đáp số. Chọn D:

sin α > 0

và

cos α < 0

Sai lầm thường gặp. Sai điển hình là nhớ lộn vai trò hai trục, cho rằng côsin là tung độ, khi đó cặp dấu bị đảo thành

sin α < 0

và

cos α > 0

tức phương án A. Thử

α = \frac{2 π}{3}

sẽ thấy ngay điều đó vô lí vì

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

là số dương.

🚀 Mở rộng. Cùng cách đọc toạ độ, ở góc phần tư thứ hai còn suy ra

tan α < 0

và

cot α < 0

; nói chung dấu của

tan α

luôn là dấu tích của

sin α

với

cos α

nên chỉ cần nhớ dấu hai toạ độ là suy được cả bốn giá trị.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.35★★Trang 25— Trắc nghiệm nhận diện công thức cung hơn kém nửa pi

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A.

sin (\frac{π}{2} - x) = cos x

; B.

sin (\frac{π}{2} + x) = cos x

; C.

tan (\frac{π}{2} - x) = cot x

; D.

tan (\frac{π}{2} + x) = cot x

Kiến thức cần nhớ

Cung phụ nhau: $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ , $tan (\frac{π}{2} - x) = cot x$ .
Cung hơn kém $\frac{π}{2}$ : $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ , $cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x$ .
Hệ quả: $tan (\frac{π}{2} + x) = - cot x$ , dấu trừ là chỗ hay bị bỏ sót.
Muốn kiểm nhanh một đẳng thức lượng giác, thay một cung đặc biệt như $x = \frac{π}{6}$ vào hai vế.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều là công thức liên hệ giữa cung

x

và cung hơn kém nó

\frac{π}{2}

, nên đây là dạng kiểm tra thuộc bảng công thức chứ không phải dạng biến đổi. Hướng an toàn nhất là lập thương

\frac{sin}{cos}

cho hai phương án về tang, vì khi đó dấu trừ sẽ tự hiện ra thay vì phải nhớ. Cạm bẫy là hai phương án C và D chỉ khác nhau một dấu cộng trừ trong ngoặc, mà công thức cho cung phụ thì không có dấu trừ còn công thức cho cung hơn

\frac{π}{2}

lại có.

1Cách 1. Lập thương sin trên côsin để tự sinh ra dấu của tang

Định hướng. Viết tang thành thương của sin và côsin, thay công thức cung hơn kém $\frac{π}{2}$ cho từng hàm rồi rút gọn.

sin (\frac{π}{2} + x) = cos x

và

cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x

tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{sin ( \frac{π}{2} + x )}{cos ( \frac{π}{2} + x )}

tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{cos x}{- sin x}

tan (\frac{π}{2} + x) = - cot x

Vậy phương án D thiếu dấu trừ nên là đẳng thức sai, chọn D.

2Cách 2. Thay cung đặc biệt

x = \frac{π}{6}

vào bốn phương án

Định hướng. Thay một cung đặc biệt vào hai vế của từng đẳng thức, đẳng thức nào cho hai số khác nhau thì sai.

phương án A:

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

và

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

, khớp

phương án B:

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

và

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

, khớp

phương án C:

tan \frac{π}{3} = 3

và

cot \frac{π}{6} = 3

, khớp

phương án D:

tan \frac{2 π}{3} = - 3

nhưng

cot \frac{π}{6} = 3

, lệch dấu

Vậy chỉ phương án D không khớp, đó là đẳng thức sai.

3Cách 3. Xét tính tuần hoàn chu kì

π

của tang để bác bỏ

Định hướng. Dùng riêng chu kì $π$ của tang: nếu phương án D đúng thì kéo theo một hệ quả vô lí, nên D phải sai.

giả sử

tan (\frac{π}{2} + x) = cot x

với mọi

x

hợp lệ

thay

x

bởi

x + π

thì vế trái không đổi vì tang có chu kì

π

cot x

cũng có chu kì

π

nên hai vế cùng bất biến, chưa mâu thuẫn

lấy

x = \frac{π}{4}

: vế trái là

tan \frac{3 π}{4} = - 1

, vế phải là

cot \frac{π}{4} = 1

- 1 \neq = 1

nên giả sử sai

Vậy đẳng thức ở phương án D không thể đúng, chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay

x = \frac{π}{6}

hoặc

x = \frac{π}{4}

là dò xong cả bốn phương án trong đầu, không cần nhớ chính xác dấu của từng công thức.

Đáp số. Chọn D:

tan (\frac{π}{2} + x) = - cot x

nên đẳng thức đã cho là sai

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chọn C vì thấy dấu trừ trong ngoặc rồi tưởng kết quả cũng phải mang dấu trừ. Thực ra

\frac{π}{2} - x

và

x

là hai cung PHỤ nhau nên

tan (\frac{π}{2} - x) = cot x

không có dấu trừ; thay

x = \frac{π}{6}

cho

tan \frac{π}{3} = 3 = cot \frac{π}{6}

là thấy rõ.

🚀 Mở rộng. Có thể nhớ gọn cả bảng bằng một câu: cung hơn kém

\frac{π}{2}

thì ĐỔI TÊN hàm, còn dấu thì xét theo góc phần tư; thử áp dụng để tự suy ra

cot (\frac{π}{2} + x) = - tan x

mà không cần tra bảng.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.36★Trang 26— Trắc nghiệm công thức lượng giác của hai cung bù nhau

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A.

sin (18 0^{\circ} - a) = - cos a

; B.

sin (18 0^{\circ} - a) = - sin a

; C.

sin (18 0^{\circ} - a) = sin a

; D.

sin (18 0^{\circ} - a) = cos a

Kiến thức cần nhớ

Hai cung bù nhau $a$ và $18 0^{\circ} - a$ có: $sin (18 0^{\circ} - a) = sin a$ , $cos (18 0^{\circ} - a) = - cos a$ .
Kéo theo $tan (18 0^{\circ} - a) = - tan a$ và $cot (18 0^{\circ} - a) = - cot a$ .
Có thể suy công thức trên từ công thức cộng: $sin (18 0^{\circ} - a) = sin 18 0^{\circ} cos a - cos 18 0^{\circ} sin a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng hai cung bằng

18 0^{\circ}

, đó là dấu hiệu rõ ràng của cặp cung bù nhau nên phải nhớ đúng một câu: sin của hai cung bù thì bằng nhau còn côsin thì đối nhau. Hướng chắc chắn nhất là khai triển bằng công thức cộng, vì khi đó

sin 18 0^{\circ} = 0

và

cos 18 0^{\circ} = - 1

sẽ tự dọn hết dấu giúp ta. Bẫy ở đây là hai phương án A và D đổi hẳn sin thành côsin, thứ chỉ xảy ra với cung phụ nhau chứ không phải cung bù nhau.

1Cách 1. Khai triển bằng công thức cộng cho hiệu hai cung

Định hướng. Áp dụng công thức $sin (u - v) = sin u cos v - cos u sin v$ với $u = 18 0^{\circ}$ , rồi thay hai giá trị đặc biệt.

sin (18 0^{\circ} - a) = sin 18 0^{\circ} cos a - cos 18 0^{\circ} sin a

sin 18 0^{\circ} = 0

và

cos 18 0^{\circ} = - 1

sin (18 0^{\circ} - a) = 0 \cdot cos a - (- 1) \cdot sin a

sin (18 0^{\circ} - a) = sin a

Vậy chọn phương án C.

2Cách 2. Nhìn tính đối xứng qua trục tung trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Hai cung bù nhau có điểm biểu diễn đối xứng nhau qua trục tung, từ đó so sánh hai tung độ.

điểm biểu diễn cung

a

có toạ độ

(cos a; sin a)

điểm biểu diễn cung

18 0^{\circ} - a

là ảnh của điểm trên qua trục tung

phép đối xứng trục tung giữ nguyên tung độ và đổi dấu hoành độ

sin (18 0^{\circ} - a) = sin a

và

cos (18 0^{\circ} - a) = - cos a

Vậy tung độ không đổi nên $sin (18 0^{\circ} - a) = sin a$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Thử hai cung cụ thể để loại ba phương án còn lại

Định hướng. Chọn một giá trị cụ thể của $a$ rồi tính cả bốn vế phải, phương án nào không khớp thì loại.

chọn

a = 3 0^{\circ}

, khi đó

sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

phương án A cho

- cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

, loại

phương án B cho

- sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

, loại

phương án C cho

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

, khớp

phương án D cho

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

, loại

Vậy chỉ phương án C khớp với $\frac{1}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thay

a = 3 0^{\circ}

là loại được ba phương án trong vài giây, vì bốn vế phải nhận bốn giá trị khác nhau hẳn nên không sợ trùng nhau gây nhập nhằng.

Đáp số. Chọn C:

sin (18 0^{\circ} - a) = sin a

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn B vì suy diễn rằng có dấu trừ trước

a

thì kết quả phải mang dấu trừ. Thử

a = 3 0^{\circ}

thì vế trái là

sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

dương, còn

- sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

âm, hai số này khác nhau nên B sai; dấu trừ chỉ xuất hiện ở côsin, tang và côtang của cung bù.

🚀 Mở rộng. Ghép công thức này với công thức cung đối sẽ tính được sin của mọi cung về cung nhọn, chẳng hạn

sin 21 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

; hãy thử lập bảng dấu cho cả bốn hàm ở bốn cung

a

18 0^{\circ} - a

18 0^{\circ} + a

- a

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.37★Trang 26— Trắc nghiệm dùng hệ thức cơ bản giữa sin và côsin

Biết

sin x = \frac{1}{2}

. Giá trị của

cos^{2} x

bằng A.

cos^{2} x = \frac{1}{2}

; B.

cos^{2} x = \frac{3}{2}

; C.

cos^{2} x = \frac{1}{4}

; D.

cos^{2} x = \frac{3}{4}

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ với mọi $x$ .
Suy ra $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ , tính được ngay mà không cần biết dấu của $cos x$ .
Chỉ khi đề hỏi $cos x$ (không bình phương) thì mới phải xét dấu theo góc phần tư.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sin và hỏi BÌNH PHƯƠNG của côsin, chi tiết bình phương này là dấu hiệu cho biết bài không cần xét dấu nên chỉ một hệ thức cơ bản là đủ. Vì thế đi thẳng từ

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

là hướng ngắn nhất, không phải dựng hình hay tìm

x

. Bẫy của đề là phương án C bằng đúng

sin^{2} x

, dành cho ai bình phương xong rồi quên trừ khỏi

1

1Cách 1. Rút

cos^{2} x

trực tiếp từ hệ thức cơ bản

Định hướng. Dùng $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ để rút $cos^{2} x$ rồi thay số đã cho.

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

cos^{2} x = 1 - (\frac{1}{2})^{2}

cos^{2} x = 1 - \frac{1}{4}

cos^{2} x = \frac{3}{4}

Vậy chọn phương án D.

2Cách 2. Tìm cung cụ thể thoả đề rồi tính thẳng

Định hướng. Chỉ ra một cung cụ thể có sin bằng $\frac{1}{2}$ , tính côsin của cung đó rồi bình phương; làm thêm một cung nữa để thấy kết quả không đổi.

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

nên lấy

x = \frac{π}{6}

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

cos^{2} x = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}

lấy tiếp

x = \frac{5 π}{6}

cũng có

sin x = \frac{1}{2}

cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

nên

cos^{2} x = \frac{3}{4}

Vậy hai cung khác nhau cùng cho $cos^{2} x = \frac{3}{4}$ , chọn phương án D.

3Cách 3. Dùng công thức hạ bậc theo

cos 2 x

Định hướng. Đi đường vòng qua cung $2 x$ : tính $cos 2 x$ từ $sin x$ rồi dùng công thức hạ bậc để lấy $cos^{2} x$ .

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

cos 2 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

cos^{2} x = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}

cos^{2} x = \frac{3}{4}

Vậy đường qua cung $2 x$ cũng cho $\frac{3}{4}$ , chọn phương án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một dòng thay số, lại không phải xét dấu của

cos x

vì đề chỉ hỏi bình phương; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề hỏi luôn cả

cos 2 x

Đáp số. Chọn D:

cos^{2} x = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là bình phương rồi dừng luôn, ghi

cos^{2} x = \frac{1}{4}

tức phương án C, nhưng

\frac{1}{4}

chính là

sin^{2} x

chứ không phải

cos^{2} x

; kiểm lại bằng

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq = 1

là thấy sai. Lỗi thứ hai là lấy

cos x = \frac{3}{2}

rồi khoanh phương án B, tức trả lời

cos x

trong khi đề hỏi

cos^{2} x

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

sin x = m

với

∣ m ∣ \leq 1

thì

cos^{2} x = 1 - m^{2}

luôn xác định một giá trị duy nhất, nhưng

cos x = \pm 1 - m^{2}

lại có hai giá trị; hãy thử xem cần thêm điều kiện gì về góc phần tư để

cos x

nhận đúng một giá trị.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.38★★★Trang 26— Trắc nghiệm tính biểu thức thuần nhất bậc nhất theo sin và côsin

Biết

cot x = \frac{1}{2}

. Giá trị của biểu thức

\frac{4 sin x + 5 cos x}{2 sin x - 3 cos x}

bằng A.

\frac{1}{17}

; B.

\frac{5}{9}

; C.

13

; D.

\frac{2}{9}

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức thuần nhất cùng bậc theo $sin x$ và $cos x$ thì chia cả tử và mẫu cho $cos x$ (hoặc $sin x$ ) để đưa về biến $tan x$ (hoặc $cot x$ ).
Quan hệ $tan x \cdot cot x = 1$ , nên $cot x = \frac{1}{2}$ cho $tan x = 2$ .
$cot x = \frac{1}{2}$ đã bảo đảm $sin x \neq = 0$ , nên được phép chia cho $sin x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tử và mẫu cùng là bậc nhất đối với

sin x

và

cos x

, dấu hiệu này cho biết giá trị của thương chỉ phụ thuộc tỉ số

\frac{cos x}{sin x}

chứ không phụ thuộc từng giá trị riêng. Vì đề cho sẵn

cot x

nên chia cả tử lẫn mẫu cho

sin x

là gọn nhất, khỏi phải đổi sang

tan x

rồi lại quy đồng. Bẫy nằm ở chỗ nhiều bạn vội kết luận

cot x = \frac{1}{2}

nghĩa là

cos x = 1

và

sin x = 2

, điều vô lí vì sin không thể lớn hơn

1

1Cách 1. Chia tử và mẫu cho

sin x

để đưa về biến

cot x

Định hướng. Vì $cot x = \frac{1}{2}$ nên $sin x \neq = 0$ ; chia cả tử và mẫu cho $sin x$ để mọi thứ chỉ còn phụ thuộc $cot x$ .

\frac{4 sin x + 5 cos x}{2 sin x - 3 cos x} = \frac{\frac{4 sin x}{sin x} + \frac{5 cos x}{sin x}}{\frac{2 sin x}{sin x} - \frac{3 cos x}{sin x}}

= \frac{4 + 5 cot x}{2 - 3 cot x}

= \frac{4 + 5 \cdot \frac{1}{2}}{2 - 3 \cdot \frac{1}{2}}

= \frac{4 + \frac{5}{2}}{2 - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{13}{2}}{\frac{1}{2}}

= 13

Vậy chọn phương án C.

2Cách 2. Đổi sang

tan x

rồi chia cho

cos x

Định hướng. Dùng quan hệ nghịch đảo để lấy $tan x$ , sau đó chia tử và mẫu cho $cos x$ và thay số.

cot x = \frac{1}{2}

nên

tan x = \frac{1}{cot x} = 2

\frac{4 sin x + 5 cos x}{2 sin x - 3 cos x} = \frac{4 tan x + 5}{2 tan x - 3}

= \frac{4 \cdot 2 + 5}{2 \cdot 2 - 3}

= \frac{8 + 5}{4 - 3} = \frac{13}{1}

= 13

Vậy đưa về $tan x$ cũng cho $13$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Dựng một cung cụ thể thoả đề rồi thay số trực tiếp

Định hướng. Chọn hẳn một cặp giá trị $sin x$ , $cos x$ thoả cả hệ thức cơ bản lẫn điều kiện $cot x = \frac{1}{2}$ , rồi thay thẳng vào biểu thức.

cot x = \frac{1}{2}

nên

cos x = \frac{1}{2} sin x

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

cho

sin^{2} x + \frac{1}{4} sin^{2} x = 1

\frac{5}{4} sin^{2} x = 1

nên

sin x = \frac{2}{5}

(chọn cung có

sin x > 0

)

cos x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

\frac{4 \cdot \frac{2}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5}}{2 \cdot \frac{2}{5} - 3 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{8 + 5}{5}}{\frac{4 - 3}{5}}

= \frac{13}{1} = 13

Vậy dựng cung cụ thể cũng cho $13$ , chọn phương án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề đã cho

cot x

nên chia cho

sin x

là khớp ngay, tránh được bước lấy nghịch đảo dễ nhầm của Cách 2 và khỏi phải khai căn như Cách 3.

Đáp số. Chọn C: giá trị biểu thức bằng

13

Sai lầm thường gặp. Sai nguy hiểm nhất là hiểu

cot x = \frac{1}{2}

thành

cos x = 1

sin x = 2

rồi thay vào được

\frac{4 \cdot 2 + 5}{2 \cdot 2 - 3}

; may là vẫn ra

13

nhưng lập luận sai vì

sin x \leq 1

nên không tồn tại cung nào như thế. Sai thứ hai là chia cho

cos x

mà vẫn thay

cot x = \frac{1}{2}

vào chỗ của

tan x

, cho

\frac{4 \cdot \frac{1}{2} + 5}{2 \cdot \frac{1}{2} - 3} = - \frac{7}{2}

, một giá trị không có trong bốn phương án.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với biểu thức thuần nhất

\frac{a sin x + b cos x}{c sin x + d cos x}

ta luôn có giá trị

\frac{a + b cot x}{c + d cot x}

, chỉ phụ thuộc

cot x

; thử xem với

cot x

nào thì mẫu triệt tiêu để biểu thức không xác định.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.39★★Trang 26— Trắc nghiệm nhận diện công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A.

cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

; B.

cos u - cos v = 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

; C.

sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

; D.

sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

Kiến thức cần nhớ

Bốn công thức tổng thành tích: $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ , $cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
$sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ và $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
Chỉ duy nhất công thức cho hiệu hai côsin có dấu trừ đứng trước.
Mọi công thức đó suy ra được từ công thức cộng bằng cách đặt $u = \frac{u + v}{2} + \frac{u - v}{2}$ và $v = \frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án là bốn công thức tổng thành tích viết cạnh nhau, nên việc phải làm chỉ là dò xem công thức nào bị sửa một chi tiết. Hướng nhanh và chắc là nhớ một điểm neo duy nhất: trong cả bốn công thức chỉ hiệu hai côsin mang dấu trừ ở ngoài, rồi kiểm lại bằng một cặp cung cụ thể. Bẫy ở đây rất tinh: vế phải của phương án B đúng từng nhân tử, chỉ thiếu đúng dấu trừ, nên đọc nhanh sẽ thấy quen mắt mà bỏ qua.

1Cách 1. Suy ngược từ công thức cộng để dựng lại công thức đúng

Định hướng. Đặt $p = \frac{u + v}{2}$ , $q = \frac{u - v}{2}$ rồi khai triển $cos (p + q) - cos (p - q)$ bằng công thức cộng.

u = p + q

và

v = p - q

với

p = \frac{u + v}{2}

q = \frac{u - v}{2}

cos (p + q) = cos p cos q - sin p sin q

cos (p - q) = cos p cos q + sin p sin q

cos u - cos v = cos (p + q) - cos (p - q) = - 2 sin p sin q

cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

Vậy công thức đúng có dấu trừ, nên phương án B sai; chọn B.

2Cách 2. Thay cặp cung đặc biệt để bắt lỗi dấu

Định hướng. Chọn $u = \frac{π}{2}$ và $v = 0$ , tính hai vế của từng phương án rồi so sánh.

u = \frac{π}{2}

v = 0

nên

\frac{u + v}{2} = \frac{π}{4}

và

\frac{u - v}{2} = \frac{π}{4}

phương án B có vế trái

cos \frac{π}{2} - cos 0 = 0 - 1 = - 1

vế phải của phương án B là

2 sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{4} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = 1

- 1 \neq = 1

Vậy phương án B không nghiệm đúng nên đó là đẳng thức sai.

3Cách 3. Xét tính đối xứng khi đổi chỗ hai cung

Định hướng. Khai thác một tính chất cấu trúc: đổi chỗ $u$ và $v$ thì vế trái đổi dấu, nên vế phải cũng phải đổi dấu.

đổi chỗ

u

và

v

thì

cos u - cos v

đổi dấu

\frac{u + v}{2}

giữ nguyên còn

\frac{u - v}{2}

đổi dấu

sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

cũng đổi dấu nên vế phải phương án B thoả tính đối xứng, chưa loại được bằng dấu

lấy

u = v = 0

: vế trái bằng

0

, vế phải bằng

2 sin 0 sin 0 = 0

, vẫn khớp

lấy

u = π

v = 0

: vế trái là

- 1 - 1 = - 2

, vế phải là

2 sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = 2

Vậy hai vế trái dấu nhau nên phương án B là đẳng thức sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một cặp cung đặc biệt như

u = \frac{π}{2}

v = 0

cho ngay hai số trái dấu, nhanh hơn nhiều so với dựng lại công thức bằng công thức cộng.

Đáp số. Chọn B: công thức đúng là

cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai điển hình là nhớ cả bốn công thức đều không có dấu trừ rồi kết luận cả bốn phương án đúng và chọn bừa. Chỉ cần lấy

u = π

v = 0

: vế trái của phương án B bằng

- 2

còn vế phải bằng

2

, chênh nhau đúng một dấu trừ; đó là lí do công thức hiệu hai côsin buộc phải viết

- 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

🚀 Mở rộng. Có thể nhớ cả bốn công thức bằng một mẹo: viết

u = p + q

v = p - q

rồi cộng hoặc trừ hai công thức cộng, dấu sẽ tự hiện ra mà không phải học thuộc; hãy thử tự dựng lại công thức cho

tan u + tan v

theo cùng cách đó.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.40★★Trang 26— Trắc nghiệm nhận diện công thức nhân đôi

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A.

sin 2 a = 2 sin a cos a

; B.

cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a

; C.

cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a

; D.

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân đôi: $sin 2 a = 2 sin a cos a$ và $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1$ .
Công thức nhân đôi của tang: $tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$ , mẫu có dấu TRỪ.
Biểu thức $\frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a}$ thực ra bằng $sin 2 a$ , không phải $tan 2 a$ .
Điều kiện của công thức nhân đôi tang: $cos a \neq = 0$ và $cos 2 a \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương án đều là công thức nhân đôi, nên chỉ cần soi chi tiết bị đổi. Hướng tốt nhất là tập trung vào phương án chứa tang, bởi ba công thức đầu về sin và côsin quá quen còn công thức tang mới là chỗ hay bị viết lệch dấu ở mẫu. Cạm bẫy rất đáng chú ý:

\frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a}

không phải một biểu thức vô nghĩa, nó bằng đúng

sin 2 a

, nên trông rất giống công thức thật.

1Cách 1. Dựng lại công thức nhân đôi của tang từ công thức cộng

Định hướng. Xem $2 a$ là $a + a$ rồi áp dụng công thức cộng cho tang để thấy đúng dấu ở mẫu.

tan (u + v) = \frac{tan u + tan v}{1 - tan u tan v}

tan 2 a = tan (a + a) = \frac{tan a + tan a}{1 - tan a tan a}

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}

Vậy mẫu đúng là $1 - tan^{2} a$ , nên phương án D sai; chọn D.

2Cách 2. Thay

a = \frac{π}{6}

để so hai vế bằng số

Định hướng. Chọn một cung đặc biệt rồi tính hai vế của phương án D bằng số cụ thể.

a = \frac{π}{6}

nên

tan a = \frac{3}{3}

và

2 a = \frac{π}{3}

vế trái là

tan \frac{π}{3} = 3

tan^{2} a = \frac{1}{3}

nên vế phải là

\frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 3}{3}}{\frac{4}{3}}

vế phải

= \frac{2 3}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

3 \neq = \frac{3}{2}

Vậy hai vế lệch nhau nên phương án D là đẳng thức sai.

3Cách 3. Chỉ ra vế phải của phương án D chính là

sin 2 a

Định hướng. Rút gọn biểu thức $\frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a}$ về hàm của cung $2 a$ để thấy nó là công thức của một đại lượng khác.

1 + tan^{2} a = \frac{1}{cos ^{2} a}

\frac{2 tan a}{1 + tan ^{2} a} = 2 \cdot \frac{sin a}{cos a} \cdot cos^{2} a

= 2 sin a cos a

= sin 2 a

sin 2 a

và

tan 2 a

chỉ bằng nhau khi

cos 2 a = 1

, không đúng với mọi

a

Vậy vế phải của phương án D là $sin 2 a$ chứ không phải $tan 2 a$ ; chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay

a = \frac{π}{6}

là ra ngay hai số khác nhau, khỏi phải nhớ dấu ở mẫu; Cách 3 hay nhất về mặt hiểu bản chất vì chỉ đúng thủ phạm là

sin 2 a

Đáp số. Chọn D: công thức đúng là

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn C vì thấy

cos 2 a

được viết bằng hai dạng khác nhau ở phương án B và C rồi kết luận phải có một dạng sai. Thực ra cả hai đều đúng: từ

cos^{2} a - sin^{2} a

thay

cos^{2} a = 1 - sin^{2} a

là được ngay

1 - 2 sin^{2} a

; kiểm bằng

a = \frac{π}{6}

thì cả ba biểu thức cùng bằng

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Bộ ba công thức theo

t = tan a

rất đáng nhớ trọn gói:

sin 2 a = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

cos 2 a = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

tan 2 a = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}

; chỉ có công thức tang là mẫu đổi dấu, đó chính là mấu chốt của bài này.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.41★★Trang 26— Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số chứa căn bậc hai

Tập xác định của hàm số

y = 1 - cos x

là A.

R ∖ {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}

; B.

R ∖ {k π ∣ k \in Z}

; C.

R ∖ {k 2 π ∣ k \in Z}

; D.

R

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ xác định khi và chỉ khi $f (x) \geq 0$ .
Tập giá trị của côsin là $[- 1; 1]$ , nên $cos x \leq 1$ với mọi $x$ .
Do đó $1 - cos x \geq 0$ với mọi $x$ ; dấu bằng xảy ra khi $cos x = 1$ , tức $x = k 2 π$ với $k \in Z$ .
Giá trị $0$ dưới dấu căn vẫn cho hàm số xác định, chỉ số âm mới bị loại.

🧠 Phân tích tư duy

Có dấu căn bậc hai nên điều kiện duy nhất là biểu thức dưới căn không âm, không có mẫu nào để phải loại. Hướng đúng là so biểu thức

1 - cos x

với

0

bằng tập giá trị của côsin chứ không giải bất phương trình, vì

cos x \leq 1

luôn đúng. Bẫy của đề nằm ở phương án C: tại

x = k 2 π

biểu thức dưới căn bằng

0

, mà nhiều bạn lại tưởng bằng

0

thì phải loại như trường hợp mẫu số.

1Cách 1. Dùng tập giá trị của côsin để chặn biểu thức dưới căn

Định hướng. Viết điều kiện dưới căn không âm rồi so với chặn trên $cos x \leq 1$ .

hàm số xác định khi

1 - cos x \geq 0

1 - cos x \geq 0

tương đương

cos x \leq 1

cos x \leq 1

đúng với mọi

x \in R

điều kiện luôn được thoả

Vậy tập xác định là $R$ , chọn phương án D.

2Cách 2. Hạ bậc để đưa biểu thức dưới căn về một bình phương

Định hướng. Dùng công thức hạ bậc biến $1 - cos x$ thành một bình phương, khi đó dấu của nó hiện ra ngay.

1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}

sin^{2} \frac{x}{2} \geq 0

với mọi

x

1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2} \geq 0

với mọi

x

y = 2 sin^{2} \frac{x}{2} = 2 sin \frac{x}{2}

Vậy biểu thức dưới căn là bình phương nên hàm xác định trên $R$ ; chọn D.

3Cách 3. Thử các giá trị bị loại ở ba phương án kia

Định hướng. Ba phương án A, B, C đều loại một số điểm; thay chính các điểm đó vào hàm số để xem hàm có thật sự không xác định hay không.

phương án A loại

x = \frac{π}{2}

, nhưng

1 - cos \frac{π}{2} = 1 - 0 = 1 \geq 0

phương án B loại

x = π

, nhưng

1 - cos π = 1 - (- 1) = 2 \geq 0

phương án C loại

x = 0

, nhưng

1 - cos 0 = 1 - 1 = 0 \geq 0

tại cả ba điểm đó hàm số đều xác định

Vậy không điểm nào bị loại, tập xác định là $R$ ; chọn phương án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng

cos x \leq 1

là xong; Cách 2 đáng nhớ vì đưa ra luôn dạng gọn

y = 2 sin \frac{x}{2}

, rất tiện nếu đề hỏi thêm tập giá trị.

Đáp số. Chọn D: tập xác định là

R

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến là chọn C do nhầm điều kiện của căn thức với điều kiện của mẫu số, tức đòi

1 - cos x > 0

rồi loại

x = k 2 π

. Nhưng tại

x = 0

ta có

y = 0 = 0

, một giá trị hoàn toàn xác định, nên

x = 0

vẫn thuộc tập xác định.

🚀 Mở rộng. Đổi đề thành

y = \frac{1}{1 - cos x}

thì kết luận lật ngược hẳn: lúc đó phải có

1 - cos x > 0

nên tập xác định đúng bằng phương án C; hãy so hai đề này để thấy vai trò của dấu bằng.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.42★★Trang 26— Trắc nghiệm tính đồng biến nghịch biến của hàm số côsin

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số

y = cos x

nghịch biến trên khoảng

(- π; 0)

và đồng biến trên khoảng

(0; π)

; B. Hàm số

y = cos x

đồng biến trên các khoảng

(- π; 0)

và

(0; π)

; C. Hàm số

y = cos x

nghịch biến trên các khoảng

(- π; 0)

và

(0; π)

; D. Hàm số

y = cos x

đồng biến trên khoảng

(- π; 0)

và nghịch biến trên khoảng

(0; π)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ , $k \in Z$ .
Trên một chu kì, đồ thị $y = cos x$ đi lên từ điểm thấp nhất $(- π; - 1)$ tới điểm cao nhất $(0; 1)$ rồi đi xuống tới $(π; - 1)$ .
Hàm số $y = cos x$ là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung; chiều biến thiên trên hai khoảng đối xứng luôn NGƯỢC nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi chiều biến thiên trên hai khoảng đối xứng nhau qua gốc, đó là dấu hiệu nên dùng ngay tính chẵn của hàm côsin thay vì xét dấu đạo hàm. Vì hàm chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, chiều biến thiên trên

(- π; 0)

buộc phải ngược với chiều trên

(0; π)

, nhờ đó hai phương án B và C bị loại tức thì. Bẫy còn lại là phân biệt A với D, chỉ cần nhớ

x = 0

là nơi côsin đạt giá trị lớn nhất nên đi vào

0

là đi LÊN.

1Cách 1. Đọc chiều đi lên đi xuống ngay trên đồ thị một chu kì

Định hướng. Vẽ đồ thị $y = cos x$ trên đoạn từ $- π$ đến $π$ rồi đọc chiều biến thiên qua ba điểm mốc.

cos (- π) = - 1

cos 0 = 1

cos π = - 1

trên

(- π; 0)

giá trị tăng từ

- 1

lên

1

nên hàm đồng biến

trên

(0; π)

giá trị giảm từ

1

xuống

- 1

nên hàm nghịch biến

Vậy chọn phương án D.

2Cách 2. So sánh trực tiếp hai giá trị trong từng khoảng

Định hướng. Lấy hai cung cụ thể trong mỗi khoảng, so giá trị côsin để kết luận chiều biến thiên mà không cần hình.

trên

(- π; 0)

lấy

- \frac{2 π}{3} < - \frac{π}{3}

cos (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

và

cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < \frac{1}{2}

nên hàm đồng biến trên

(- π; 0)

trên

(0; π)

lấy

\frac{π}{3} < \frac{2 π}{3}

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

và

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} > - \frac{1}{2}

nên hàm nghịch biến trên

(0; π)

Vậy hai khoảng có chiều trái ngược đúng như phương án D.

3Cách 3. Dùng tính chẵn của hàm côsin để loại hai phương án cùng chiều

Định hướng. Khai thác tính chẵn: đồ thị đối xứng qua trục tung nên chiều biến thiên trên hai khoảng đối xứng phải ngược nhau.

cos (- x) = cos x

nên hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung

phép đối xứng trục tung biến khoảng

(0; π)

thành

(- π; 0)

và đảo chiều biến thiên

hai phương án B và C cho cùng một chiều trên cả hai khoảng nên bị loại

cos 0 = 1

là giá trị lớn nhất của hàm số nên hàm phải đi LÊN khi tiến tới

0

hàm đồng biến trên

(- π; 0)

và nghịch biến trên

(0; π)

Vậy lập luận bằng tính chẵn cũng dẫn tới phương án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tính chẵn loại ngay hai phương án B và C, rồi một nhận xét

cos 0 = 1

là lớn nhất chốt luôn giữa A và D, tất cả làm trong đầu không cần tính số.

Đáp số. Chọn D: hàm số

y = cos x

đồng biến trên

(- π; 0)

và nghịch biến trên

(0; π)

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp nhất là chọn A do bê nguyên chiều biến thiên của

y = sin x

sang: sin thì tăng trên

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

nên nhiều bạn tưởng côsin cũng tăng ở nửa bên phải. Kiểm bằng hai số:

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

lớn hơn

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

, chứng tỏ trên

(0; π)

hàm GIẢM chứ không tăng.

🚀 Mở rộng. Kết quả này lặp lại theo chu kì: hàm

y = cos x

đồng biến trên mọi khoảng

(- π + k 2 π; k 2 π)

và nghịch biến trên mọi khoảng

(k 2 π; π + k 2 π)

; hãy thử dùng nó để nói ngay chiều biến thiên của

y = cos x

trên khoảng

(6 π; 7 π)

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.43★★Trang 27— Trắc nghiệm tính chất của hàm số tang

Khẳng định nào sau đây sai? A. Tập xác định của hàm số

y = tan x

là

D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}

; B. Hàm số

y = tan x

đồng biến trên các khoảng

(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)

với mọi

k \in Z

; C. Tập giá trị của hàm số

y = tan x

là

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

; D. Hàm số

y = tan x

là hàm số tuần hoàn với chu kì

π

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = tan x$ có tập xác định $R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$ và tập giá trị là $R$ .
Hàm số $y = tan x$ tuần hoàn với chu kì $π$ và đồng biến trên mỗi khoảng xác định $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ .
Phải phân biệt TẬP XÁC ĐỊNH (miền của biến $x$ ) với TẬP GIÁ TRỊ (miền của $y$ ); khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ là một khoảng của biến chứ không phải của giá trị.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án nêu bốn tính chất riêng biệt của cùng một hàm, nên phải soi từng tính chất một chứ không biến đổi gì. Chỗ đáng nghi ngay từ đầu là phương án về tập giá trị, bởi

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

là miền quen thuộc của BIẾN

x

trong một chu kì, bị bê sang chỗ của

y

. Chứng cứ dứt điểm là chỉ ra một giá trị của

y

nằm ngoài khoảng ấy, chẳng hạn

tan \frac{π}{3} = 3

lớn hơn

\frac{π}{2}

1Cách 1. Chỉ ra một giá trị của hàm số nằm ngoài khoảng ở phương án C

Định hướng. Muốn bác bỏ khẳng định về tập giá trị, chỉ cần tìm một giá trị của $y$ không thuộc khoảng đã nêu.

tan \frac{π}{3} = 3 \approx 1, 73

\frac{π}{2} \approx 1, 57

3 > \frac{π}{2}

3

là một giá trị của hàm số nhưng không thuộc

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Vậy phương án C sai; chọn C.

2Cách 2. Kiểm ba phương án còn lại đều đúng để chốt bằng loại trừ

Định hướng. Xác nhận A, B, D là ba tính chất đúng của hàm tang, khi đó phương án còn lại buộc phải là khẳng định sai.

tan x = \frac{sin x}{cos x}

xác định khi

cos x \neq = 0

, tức

x \neq = \frac{π}{2} + k π

, nên phương án A đúng

tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3} < tan \frac{π}{4} = 1 < tan \frac{π}{3} = 3

, phù hợp với tính đồng biến ở phương án B

tan (x + π) = \frac{sin ( x + π )}{cos ( x + π )} = \frac{- sin x}{- cos x} = tan x

, nên phương án D đúng

Vậy ba phương án A, B, D đều đúng nên khẳng định sai là C.

3Cách 3. Lập luận tập giá trị bằng giới hạn hai đầu khoảng xác định

Định hướng. Xét hàm tang trên một khoảng xác định: nó liên tục, đồng biến và vượt ra vô cùng ở hai đầu, nên nhận mọi giá trị thực.

trên

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

hàm

y = tan x

liên tục và đồng biến

khi

x

tiến tới

\frac{π}{2}

thì

cos x

tiến tới

0

với giá trị dương nên

tan x

lớn lên vô hạn

khi

x

tiến tới

- \frac{π}{2}

thì

tan x

nhỏ đi vô hạn

hàm liên tục và đồng biến nhận trọn mọi giá trị trung gian

tập giá trị của hàm số là

R

Vậy tập giá trị là $R$ chứ không phải $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ ; chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một giá trị

tan \frac{π}{3} = 3

là đủ bác bỏ phương án C, không cần kiểm ba phương án còn lại như Cách 2 cũng chẳng cần lập luận giới hạn như Cách 3.

Đáp số. Chọn C: tập giá trị của hàm số

y = tan x

là

R

, không phải

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chọn B vì tưởng hàm tang không thể đồng biến trên toàn bộ khoảng do đồ thị bị ngắt. Thực ra đồ thị chỉ ngắt TẠI các điểm

\frac{π}{2} + k π

đã bị loại khỏi tập xác định, còn trên mỗi khoảng mở giữa hai điểm đó hàm liền một nét và luôn tăng, ví dụ

tan \frac{π}{6} < tan \frac{π}{4} < tan \frac{π}{3}

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu phân biệt tập xác định với tập giá trị, hãy thử phát biểu lại bốn tính chất ấy cho hàm

y = cot x

: tập xác định bỏ các điểm

k π

, tập giá trị vẫn là

R

, chu kì vẫn

π

nhưng hàm NGHỊCH biến trên mỗi khoảng xác định.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.44★Trang 27— Trắc nghiệm nhận biết hàm số chẵn qua trục đối xứng của đồ thị

Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng? A.

y = cos x

; B.

y = sin^{3} x

; C.

y = sin x

; D.

y = tan x

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi hàm số là hàm CHẴN, tức $f (- x) = f (x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.
Đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm số là hàm LẺ, tức $f (- x) = - f (x)$ .
Trong bốn hàm lượng giác cơ bản chỉ $y = cos x$ là hàm chẵn; $y = sin x$ , $y = tan x$ , $y = cot x$ đều là hàm lẻ.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm chữ trục tung làm trục đối xứng là cách nói hình học của tính chẵn, nên câu hỏi thực chất là tìm hàm chẵn trong bốn hàm đã cho. Hướng nhanh nhất là nhớ một câu chốt rằng trong các hàm lượng giác cơ bản chỉ côsin chẵn, rồi xác nhận lại bằng

cos (- x) = cos x

. Cạm bẫy là phương án

y = sin^{3} x

có số mũ lẻ nhìn như luỹ thừa bậc ba nên dễ tưởng làm mất tính lẻ, trong khi luỹ thừa bậc lẻ của một hàm lẻ vẫn lẻ.

1Cách 1. Xét đẳng thức

f (- x) = f (x)

cho từng hàm số

Định hướng. Thay $- x$ vào từng hàm rồi so với hàm ban đầu, hàm nào không đổi thì chẵn.

cos (- x) = cos x

nên

y = cos x

là hàm chẵn

sin^{3} (- x) = (- sin x)^{3} = - sin^{3} x

nên

y = sin^{3} x

là hàm lẻ

sin (- x) = - sin x

nên

y = sin x

là hàm lẻ

tan (- x) = - tan x

nên

y = tan x

là hàm lẻ

Vậy chỉ $y = cos x$ là hàm chẵn nên chọn phương án A.

2Cách 2. Thử một cặp cung đối nhau để loại ba hàm lẻ

Định hướng. Lấy $x = \frac{π}{3}$ và $x = - \frac{π}{3}$ , tính giá trị của bốn hàm số rồi so từng cặp.

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

và

cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

, hai giá trị bằng nhau

sin^{3} \frac{π}{3} = \frac{3 3}{8}

và

sin^{3} (- \frac{π}{3}) = - \frac{3 3}{8}

, trái dấu

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

và

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

, trái dấu

tan \frac{π}{3} = 3

và

tan (- \frac{π}{3}) = - 3

, trái dấu

Vậy chỉ hàm $y = cos x$ cho hai giá trị bằng nhau, chọn phương án A.

3Cách 3. Dùng tính chất của tích các hàm lẻ để loại nhanh

Định hướng. Nhận xét về cấu trúc: luỹ thừa bậc lẻ của một hàm lẻ vẫn là hàm lẻ, nhờ đó loại được cả ba phương án còn lại mà không phải tính.

y = sin x

y = tan x

đều là hàm lẻ

nếu

g

lẻ thì

g^{3} (- x) = (g (- x))^{3} = (- g (x))^{3} = - g^{3} (x)

nên

y = sin^{3} x

cũng lẻ

hàm lẻ có đồ thị đối xứng qua GỐC toạ độ, không đối xứng qua trục tung

ba phương án B, C, D đều bị loại

Vậy phương án còn lại là A, ứng với hàm chẵn $y = cos x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng thay

- x

là xong, vừa nhanh vừa nêu rõ lí do; Cách 3 hay ở chỗ loại cả ba phương án bằng một nhận xét về cấu trúc, không phải tính số nào.

Đáp số. Chọn A: hàm số

y = cos x

có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lẫn hai loại đối xứng: thấy đồ thị

y = sin x

rất cân đối rồi chọn C, nhưng đồ thị hàm sin đối xứng qua GỐC toạ độ chứ không qua trục tung. Kiểm bằng một cặp giá trị:

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

còn

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

, hai số này đối nhau nên hàm lẻ.

🚀 Mở rộng. Cùng tiêu chí đó, các hàm

y = cos^{3} x

y = sin^{2} x

y = ∣ sin x ∣

đều chẵn nên đồ thị cũng nhận trục tung làm trục đối xứng; hãy thử giải thích vì sao bình phương một hàm lẻ lại cho hàm chẵn.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.45★Trang 27— Trắc nghiệm chu kì tuần hoàn của bốn hàm lượng giác cơ bản

Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số

y = sin x

tuần hoàn với chu kì

2 π

; B. Hàm số

y = cos x

tuần hoàn với chu kì

2 π

; C. Hàm số

y = tan x

tuần hoàn với chu kì

2 π

; D. Hàm số

y = cot x

tuần hoàn với chu kì

π

Kiến thức cần nhớ

Chu kì (cơ sở) của $y = sin x$ và $y = cos x$ là $2 π$ .
Chu kì (cơ sở) của $y = tan x$ và $y = cot x$ là $π$ .
Khi nói hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì $T$ được hiểu là số dương NHỎ NHẤT thoả $f (x + T) = f (x)$ ; vì thế $2 π$ không phải chu kì của hàm tang dù $tan (x + 2 π) = tan x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn mệnh đề chỉ khác nhau ở cặp tên hàm và số chu kì, nên bài này kiểm tra việc thuộc chính xác bảng chu kì. Mấu chốt là hiểu đúng chữ chu kì: đó là số dương nhỏ nhất làm hàm lặp lại, nên với hàm tang thì

π

mới là chu kì còn

2 π

chỉ là một bội của nó. Bẫy được gài rất kín ở phương án C, vì đẳng thức

tan (x + 2 π) = tan x

vẫn ĐÚNG khiến ta dễ tưởng mệnh đề ấy đúng.

1Cách 1. So với chu kì nhỏ nhất của từng hàm

Định hướng. Viết chu kì nhỏ nhất của bốn hàm rồi đối chiếu với số ghi trong từng mệnh đề.

y = sin x

và

y = cos x

có chu kì

2 π

y = tan x

và

y = cot x

có chu kì

π

ba mệnh đề A, B, D ghi đúng chu kì

mệnh đề C ghi chu kì của hàm tang là

2 π

trong khi chu kì đúng là

π

Vậy mệnh đề C sai; chọn C.

2Cách 2. Chỉ ra một số dương nhỏ hơn vẫn làm hàm tang lặp lại

Định hướng. Muốn bác bỏ rằng $2 π$ là chu kì, chỉ cần chỉ ra một số dương nhỏ hơn $2 π$ mà hàm số đã lặp lại giá trị.

tan (x + π) = \frac{sin ( x + π )}{cos ( x + π )} = \frac{- sin x}{- cos x}

tan (x + π) = tan x

với mọi

x

thuộc tập xác định

0 < π < 2 π

2 π

không phải số dương nhỏ nhất làm hàm lặp lại

Vậy chu kì của hàm tang là $π$ nên mệnh đề C sai.

3Cách 3. Đếm số nghiệm trên một khoảng để phân biệt hai chu kì

Định hướng. Dùng dấu hiệu đếm: trong một chu kì, mỗi giá trị hợp lệ được hàm nhận đúng một lần đối với tang; đếm trên nửa khoảng dài $2 π$ sẽ lộ mâu thuẫn.

xét phương trình

tan x = 1

trên nửa khoảng

[0; 2 π)

tan \frac{π}{4} = 1

và

tan \frac{5 π}{4} = 1

trên nửa khoảng dài

2 π

hàm tang nhận giá trị

1

tới hai lần

nếu

2 π

là chu kì nhỏ nhất thì mỗi giá trị chỉ được nhận một lần trên đó

Vậy hàm tang lặp lại sớm hơn, chu kì đúng là $π$ ; mệnh đề C sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng biến đổi

tan (x + π) = tan x

là chứng minh xong, lại đúng bản chất định nghĩa chu kì là số dương nhỏ nhất.

Đáp số. Chọn C: hàm số

y = tan x

tuần hoàn với chu kì

π

, không phải

2 π

Sai lầm thường gặp. Bẫy chính là nghĩ rằng vì

tan (x + 2 π) = tan x

đúng nên mệnh đề C đúng. Cần phân biệt hai chuyện:

2 π

là MỘT số làm hàm lặp lại, nhưng chu kì phải là số dương NHỎ NHẤT có tính chất đó, và

π

nhỏ hơn

2 π

đã làm được, nên nói chu kì của tang là

2 π

là sai.

🚀 Mở rộng. Với hàm dạng

y = tan (a x)

thì chu kì là

\frac{π}{∣ a ∣}

còn

y = sin (a x)

có chu kì

\frac{2 π}{∣ a ∣}

; hãy thử tìm chu kì của

y = tan 3 x

rồi kiểm lại bằng cách thay

x

bởi

x + \frac{π}{3}

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.46★★★Trang 27— Trắc nghiệm xét tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ của hàm số tích

Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số

y = sin x cos 2 x

là hàm số tuần hoàn; B. Hàm số

y = sin x cos 2 x

là hàm số lẻ; C. Hàm số

y = x sin x

là hàm số tuần hoàn; D. Hàm số

y = x sin x

là hàm số chẵn.

Kiến thức cần nhớ

Tích của hai hàm tuần hoàn có chu kì cùng đo được bởi một số $T$ thì tuần hoàn với chu kì $T$ .
Hàm đa thức bậc nhất $y = x$ KHÔNG tuần hoàn, và tích của một hàm không tuần hoàn với một hàm tuần hoàn thường không tuần hoàn.
Tích của hàm lẻ với hàm chẵn là hàm LẺ; tích của hai hàm lẻ là hàm CHẴN.
Muốn bác bỏ tính tuần hoàn, chỉ cần chỉ ra một dãy giá trị tăng vô hạn của hàm số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề ghép hai câu hỏi khác loại vào một bài: hai mệnh đề nói về tính tuần hoàn, hai mệnh đề nói về tính chẵn lẻ, nên phải xử lí riêng từng loại. Với tính chẵn lẻ thì đếm dấu theo quy tắc tích là xong; với tính tuần hoàn thì thừa số

x

là dấu hiệu đáng ngờ nhất vì nó lớn lên không giới hạn. Cạm bẫy là hàm

y = x sin x

có đồ thị dao động lên xuống trông rất giống tuần hoàn, nhưng biên độ dao động cứ phình to theo

x

nên không thể lặp lại.

1Cách 1. Chỉ ra dãy giá trị tăng vô hạn để bác bỏ tính tuần hoàn

Định hướng. Hàm tuần hoàn thì tập giá trị lặp lại nên bị chặn trên mỗi chu kì; tìm một dãy giá trị lớn dần vô hạn của $y = x sin x$ .

chọn

x_{n} = \frac{π}{2} + n 2 π

với

n

nguyên dương

sin x_{n} = sin \frac{π}{2} = 1

y (x_{n}) = x_{n} \cdot 1 = \frac{π}{2} + n 2 π

y (x_{n})

lớn lên vô hạn khi

n

tăng

hàm tuần hoàn phải nhận lại đúng các giá trị cũ nên không thể có dãy giá trị tăng vô hạn

Vậy hàm $y = x sin x$ không tuần hoàn, mệnh đề C sai; chọn C.

2Cách 2. Xác nhận ba mệnh đề còn lại đều đúng bằng quy tắc dấu của tích

Định hướng. Kiểm tính chẵn lẻ của hai hàm bằng quy tắc tích, và kiểm tính tuần hoàn của hàm thứ nhất bằng một chu kì chung.

y = sin x cos 2 x

có

sin (x + 2 π) = sin x

và

cos 2 (x + 2 π) = cos (2 x + 4 π) = cos 2 x

, nên tuần hoàn chu kì

2 π

và mệnh đề A đúng

sin (- x) cos (- 2 x) = (- sin x) (cos 2 x) = - sin x cos 2 x

, hàm lẻ nên mệnh đề B đúng

(- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x

, hàm chẵn nên mệnh đề D đúng

Vậy ba mệnh đề A, B, D đúng nên mệnh đề sai là C.

3Cách 3. Giả sử có chu kì rồi dẫn tới mâu thuẫn

Định hướng. Giả sử $y = x sin x$ tuần hoàn với chu kì $T > 0$ , thay hai giá trị cụ thể để tìm mâu thuẫn.

giả sử

x sin x = (x + T) sin (x + T)

với mọi

x

và một số

T > 0

thay

x = 0

0 = T sin T

nên

sin T = 0

, tức

T = mπ

với

m

nguyên dương

thay

x = \frac{π}{2}

và

T = mπ

: vế trái là

\frac{π}{2}

vế phải là

(\frac{π}{2} + mπ) sin (\frac{π}{2} + mπ) = \pm (\frac{π}{2} + mπ)

\pm (\frac{π}{2} + mπ) > \frac{π}{2}

vì

m \geq 1

Vậy hai vế không thể bằng nhau, giả sử sai nên mệnh đề C sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dãy

x_{n} = \frac{π}{2} + n 2 π

cho giá trị lớn vô hạn là bác bỏ xong tính tuần hoàn, gọn hơn hẳn phép phản chứng ở Cách 3.

Đáp số. Chọn C: hàm số

y = x sin x

không phải hàm số tuần hoàn

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp là chọn D vì thấy

y = x sin x

có thừa số

x

là hàm lẻ nên kết luận cả tích là lẻ. Nhưng

sin x

cũng lẻ, mà tích HAI hàm lẻ lại là hàm chẵn:

(- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x

, nên mệnh đề D đúng chứ không sai.

🚀 Mở rộng. Nhìn rộng ra, nếu

g

tuần hoàn và không đồng nhất

0

thì

y = x g (x)

hầu như không bao giờ tuần hoàn vì thừa số

x

luôn thổi biên độ lên; hãy thử xét

y = x cos x

và

y = x^{2} sin x

theo đúng dãy điểm như Cách 1.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.47★★Trang 27— Trắc nghiệm công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.

cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π

(k \in Z)

; B.

sin x = 0 \Leftrightarrow x = k 2 π

(k \in Z)

; C.

tan x = 0 \Leftrightarrow x = k 2 π

(k \in Z)

; D.

cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π

(k \in Z)

Kiến thức cần nhớ

Bốn công thức nghiệm đặc biệt: $cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π$ ; $cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ .
$sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ và $tan x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ , $k \in Z$ .
Chu kì $k 2 π$ chỉ dùng khi trên một vòng tròn lượng giác phương trình có ĐÚNG MỘT điểm biểu diễn; nếu có hai điểm đối xứng nhau qua tâm thì gộp lại thành $k π$ .
Muốn kiểm một công thức nghiệm có đủ hay không, thử một nghiệm nằm ngoài công thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều là công thức nghiệm nên việc phải làm là kiểm xem công thức có ĐỦ nghiệm hay không, chứ không chỉ kiểm nghiệm có thoả hay không. Dấu hiệu phân loại rất gọn: đếm số điểm biểu diễn trên một vòng lượng giác, một điểm thì viết

k 2 π

, hai điểm đối tâm thì phải viết

k π

. Bẫy của đề là cả bốn phương án đều cho nghiệm ĐÚNG, ba phương án sai chỉ vì THIẾU nghiệm, nên ai chỉ thử thay vào thấy thoả là chọn lầm.

1Cách 1. Đếm số điểm biểu diễn trên một vòng lượng giác

Định hướng. Với mỗi phương trình, đếm số điểm biểu diễn nghiệm trên một vòng; một điểm thì chu kì $k 2 π$ , hai điểm đối tâm thì chu kì $k π$ .

cos x = - 1

chỉ ứng với một điểm duy nhất là điểm ứng cung

π

, nên

x = π + k 2 π

sin x = 0

ứng với hai điểm là cung

0

và cung

π

, nên

x = k π

tan x = 0

cũng ứng với hai điểm đó, nên

x = k π

cos x = 0

ứng với hai điểm là cung

\frac{π}{2}

và

- \frac{π}{2}

, nên

x = \frac{π}{2} + k π

Vậy chỉ phương án A viết đúng chu kì; chọn A.

2Cách 2. Tìm nghiệm bị bỏ sót của ba phương án còn lại

Định hướng. Với mỗi phương án B, C, D, chỉ ra một nghiệm của phương trình không nằm trong công thức đã nêu.

phương án B:

sin π = 0

nên

x = π

là nghiệm, nhưng

π

không có dạng

k 2 π

phương án C:

tan π = 0

nên

x = π

là nghiệm, cũng không có dạng

k 2 π

phương án D:

cos (- \frac{π}{2}) = 0

nên

x = - \frac{π}{2}

là nghiệm, nhưng không có dạng

\frac{π}{2} + k 2 π

ba công thức B, C, D đều thiếu nghiệm

Vậy phương án A là mệnh đề đúng.

3Cách 3. Kiểm phương án A theo cả hai chiều của dấu tương đương

Định hướng. Chứng minh hẳn hai chiều cho phương án A: mọi $x = π + k 2 π$ đều là nghiệm, và mọi nghiệm đều có dạng đó.

chiều thuận:

cos (π + k 2 π) = cos π = - 1

chiều đảo:

cos x = - 1

là giá trị NHỎ NHẤT của côsin

cos x

đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm biểu diễn trùng điểm ứng cung

π

điểm đó tương ứng duy nhất với

x = π + k 2 π

k \in Z

Vậy dấu tương đương ở phương án A đúng cả hai chiều; chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần thử

x = π

cho hai phương án B, C và

x = - \frac{π}{2}

cho phương án D là loại sạch ba phương án, nhanh hơn việc đếm điểm biểu diễn cho cả bốn phương trình.

Đáp số. Chọn A:

cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Sai lầm rất phổ biến là chỉ thử một nghiệm rồi kết luận: thấy

x = 0

thoả

sin x = 0

và

0 = k 2 π

với

k = 0

nên chọn B. Nhưng công thức nghiệm phải chứa TẤT CẢ nghiệm, mà

x = π

cũng thoả

sin π = 0

trong khi

π

không viết được dưới dạng

k 2 π

, nên B thiếu nghiệm và do đó sai.

🚀 Mở rộng. Quy tắc đếm điểm biểu diễn dùng được cho mọi phương trình cơ bản:

sin x = m

với

∣ m ∣ < 1

cho hai điểm nên hai họ nghiệm, còn

sin x = \pm 1

cho đúng một điểm nên chỉ một họ; hãy thử viết công thức nghiệm của

sin x = 1

theo cách đó.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.48★★★Trang 27— Đếm số nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn cho trước

Số nghiệm của phương trình

2 cos x = 3

trên đoạn

[0; \frac{5 π}{2}]

là A.

1

; B.

4

; C.

3

; D.

2

Kiến thức cần nhớ

$cos x = cos α \Leftrightarrow x = \pm α + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ .
Muốn đếm nghiệm trên một đoạn, giải bất phương trình theo $k$ cho từng họ nghiệm rồi đếm số giá trị nguyên của $k$ .
$\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}$ , tức đoạn đã cho dài hơn một vòng lượng giác đúng một phần tư vòng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi SỐ NGHIỆM trên một đoạn cụ thể chứ không hỏi công thức nghiệm, nên sau khi giải xong phải chặn theo

k

và đếm số nguyên. Chi tiết đáng để ý là đoạn

[0; \frac{5 π}{2}]

dài hơn một vòng

2 π

nhưng chưa tới hai vòng, vì thế số nghiệm không thể chỉ là hai mà cũng không đủ bốn. Bẫy là họ nghiệm âm

x = - \frac{π}{6} + k 2 π

vẫn cho nghiệm nằm trong đoạn khi lấy

k = 1

, nếu bỏ qua họ này sẽ đếm thiếu.

1Cách 1. Giải ra hai họ nghiệm rồi chặn theo

k

và đếm

Định hướng. Đưa về phương trình côsin cơ bản, viết hai họ nghiệm rồi tìm các giá trị nguyên của $k$ để nghiệm thuộc đoạn đã cho.

2 cos x = 3

nên

cos x = \frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}

x = \frac{π}{6} + k 2 π

hoặc

x = - \frac{π}{6} + k 2 π

k \in Z

họ thứ nhất:

0 \leq \frac{π}{6} + k 2 π \leq \frac{5 π}{2}

cho

- \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{7}{6}

, nên

k \in {0; 1}

được

x = \frac{π}{6}

và

x = \frac{13 π}{6}

họ thứ hai:

0 \leq - \frac{π}{6} + k 2 π \leq \frac{5 π}{2}

cho

\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{4}{3}

, nên

k = 1

được

x = \frac{11 π}{6}

Vậy phương trình có $3$ nghiệm; chọn phương án C.

2Cách 2. Đếm giao điểm của đồ thị với đường thẳng nằm ngang

Định hướng. Vẽ đồ thị $y = cos x$ trên đoạn đã cho rồi đếm số giao điểm với đường thẳng $y = \frac{3}{2}$ .

cos x = \frac{3}{2}

với

\frac{3}{2} < 1

trên vòng thứ nhất

[0; 2 π)

đồ thị cắt đường thẳng tại

x = \frac{π}{6}

và

x = \frac{11 π}{6}

phần còn lại của đoạn là

[2 π; \frac{5 π}{2}]

, ở đây

x = \frac{13 π}{6}

thoả vì

2 π < \frac{13 π}{6} < \frac{5 π}{2}

nghiệm kế tiếp là

\frac{23 π}{6} > \frac{5 π}{2}

nên bị loại

Vậy có $3$ giao điểm nên $3$ nghiệm; chọn phương án C.

3Cách 3. Tách đoạn thành một vòng trọn và một phần tư vòng còn lại

Định hướng. Cắt đoạn thành $[0; 2 π)$ và $[2 π; \frac{5 π}{2}]$ , đếm nghiệm trên từng phần rồi cộng lại.

\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}

trên một vòng trọn

[0; 2 π)

phương trình

cos x = \frac{3}{2}

có đúng

2

nghiệm

trên

[2 π; \frac{5 π}{2}]

đặt

x = 2 π + t

với

0 \leq t \leq \frac{π}{2}

cos t = \frac{3}{2}

trên

[0; \frac{π}{2}]

có đúng

1

nghiệm là

t = \frac{π}{6}

tổng số nghiệm là

2 + 1 = 3

Vậy chia đoạn cũng cho $3$ nghiệm; chọn phương án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra

\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}

rồi cộng

2 + 1

là xong trong đầu, tránh hẳn việc giải hai bất phương trình theo

k

dễ sai ở Cách 1.

Đáp số. Chọn C: phương trình có

3

nghiệm, đó là

x = \frac{π}{6}

x = \frac{11 π}{6}

x = \frac{13 π}{6}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp nhất là chỉ xét họ

x = \frac{π}{6} + k 2 π

rồi trả lời

2

nghiệm, tức phương án D, vì quên mất họ

x = - \frac{π}{6} + k 2 π

; họ này với

k = 1

cho

x = \frac{11 π}{6}

nằm gọn trong đoạn nên không được bỏ. Sai thứ hai là đếm luôn cả

x = \frac{23 π}{6}

thành

4

nghiệm, nhưng

\frac{23 π}{6} > \frac{15 π}{6} = \frac{5 π}{2}

nên nó ở ngoài đoạn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, trên một đoạn dài

L

thì phương trình

cos x = m

với

∣ m ∣ < 1

có khoảng

\frac{L}{π}

nghiệm, sai khác nhiều nhất một nghiệm ở hai đầu mút; thử kiểm lại với

L = \frac{5 π}{2}

thì

\frac{L}{π} = 2, 5

và đáp số đúng là

3

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 1.49★★★Trang 28— Tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một khoảng

Tổng các nghiệm thuộc khoảng

(0; 2 π)

của phương trình

3 cos x - 1 = 0

bằng A.

S = 2 π

; B.

S = 0

; C.

S = 4 π

; D.

S = 3 π

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $cos x = m$ với $0 < m < 1$ có trên khoảng $(0; 2 π)$ đúng hai nghiệm.
Hai nghiệm đó đối xứng nhau qua trục hoành trên đường tròn lượng giác, tức chúng có dạng $x_{1} = α$ và $x_{2} = 2 π - α$ .
Do đó tổng hai nghiệm là $x_{1} + x_{2} = 2 π$ , không phụ thuộc giá trị $m$ .
Khi $m$ không phải giá trị của cung đặc biệt thì viết nghiệm bằng $arccos m$ là hợp lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị

\frac{1}{3}

không thuộc bảng cung đặc biệt, đó là tín hiệu đề KHÔNG muốn ta tính từng nghiệm mà muốn ta khai thác tính đối xứng để lấy ngay tổng. Vì hai nghiệm trong một vòng luôn đối xứng qua trục hoành nên tổng của chúng là hằng số

2 π

, hoàn toàn độc lập với số

\frac{1}{3}

. Cạm bẫy là thói quen thấy hai nghiệm đối nhau rồi cộng ra

0

, tức phương án B; điều đó chỉ đúng nếu xét trên khoảng

(- π; π)

chứ không phải trên

(0; 2 π)

1Cách 1. Dùng tính đối xứng qua trục hoành để lấy tổng mà không cần tính nghiệm

Định hướng. Không tính cụ thể từng nghiệm; chỉ dùng việc hai nghiệm trong một vòng đối xứng nhau qua trục hoành.

3 cos x - 1 = 0

nên

cos x = \frac{1}{3}

0 < \frac{1}{3} < 1

nên trên khoảng

(0; 2 π)

có đúng hai nghiệm

hai nghiệm ấy có dạng

x_{1} = α

và

x_{2} = 2 π - α

với

0 < α < \frac{π}{2}

S = x_{1} + x_{2} = α + (2 π - α)

S = 2 π

Vậy chọn phương án A.

2Cách 2. Viết nghiệm qua

arccos

rồi cộng để thấy phần lẻ triệt tiêu

Định hướng. Viết hẳn hai nghiệm bằng $arccos \frac{1}{3}$ rồi cộng lại, phần $arccos$ sẽ tự khử nhau.

cos x = \frac{1}{3}

cho

x = \pm arccos \frac{1}{3} + k 2 π

k \in Z

trên khoảng

(0; 2 π)

lấy

x_{1} = arccos \frac{1}{3}

(ứng

k = 0

)

và

x_{2} = - arccos \frac{1}{3} + 2 π

(ứng

k = 1

)

S = arccos \frac{1}{3} + (2 π - arccos \frac{1}{3})

S = 2 π

Vậy tổng hai nghiệm bằng $2 π$ ; chọn phương án A.

3Cách 3. Đổi biến về tâm khoảng để quy về hai nghiệm đối nhau

Định hướng. Đặt $x = π + t$ đưa khoảng $(0; 2 π)$ về khoảng đối xứng $(- π; π)$ , khi đó hai nghiệm mới đối nhau nên tổng $t$ bằng $0$ .

đặt

x = π + t

, khi

x

chạy trong

(0; 2 π)

thì

t

chạy trong

(- π; π)

cos x = cos (π + t) = - cos t

phương trình thành

- cos t = \frac{1}{3}

, tức

cos t = - \frac{1}{3}

trên

(- π; π)

phương trình theo

t

có hai nghiệm đối nhau

t_{1} = - t_{2}

nên

t_{1} + t_{2} = 0

S = (π + t_{1}) + (π + t_{2}) = 2 π + 0

S = 2 π

Vậy phép đổi biến cũng cho $S = 2 π$ ; chọn phương án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra hai nghiệm có dạng

α

và

2 π - α

là đọc ra tổng

2 π

ngay, không cần viết

arccos

cũng không cần đổi biến.

Đáp số. Chọn A:

S = 2 π

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nhớ công thức nghiệm dạng

x = \pm α + k 2 π

rồi cộng hai nghiệm

α

và

- α

được

0

, khoanh phương án B. Nhưng

- α

là số ÂM nên không thuộc khoảng

(0; 2 π)

; nghiệm thứ hai trong khoảng phải là

- α + 2 π

, vì thế tổng bằng

2 π

chứ không bằng

0

🚀 Mở rộng. Tính chất này rất đáng ghi nhớ: tổng hai nghiệm của

cos x = m

trên

(0; 2 π)

luôn bằng

2 π

với mọi

m

thuộc khoảng

(- 1; 1)

; hãy thử tìm tổng hai nghiệm của

sin x = m

trên

(0; π)

và sẽ thấy đáp số là

π

theo đúng lí lẽ đối xứng ấy.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 1.50★★★Trang 28— Giải phương trình dạng sin bằng sin và chọn đúng họ nghiệm

Giá trị của các hàm số

y = sin 3 x

và

y = sin x

bằng nhau khi và chỉ khi A.

x = k π

hoặc

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

(k \in Z)

; B.

x = \frac{k π}{4}

(k \in Z)

; C.

x = \frac{k π}{2}

(k \in Z)

; D.

x = k 2 π

hoặc

x = \frac{π}{4} + k 2 π

(k \in Z)

Kiến thức cần nhớ

$sin u = sin v \Leftrightarrow u = v + k 2 π$ hoặc $u = π - v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Sau khi giải, phải rút gọn chu kì: từ $2 x = k 2 π$ ta được $x = k π$ chứ không phải $x = k 2 π$ .
Cách kiểm nhanh một phương án: thử một nghiệm đúng xem phương án có chứa nó không, và thử một giá trị thuộc phương án xem nó có thật là nghiệm không.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế là sin của hai cung khác nhau, đó đúng là dạng

sin u = sin v

nên phải viết ra HAI họ nghiệm chứ không được rút gọn thành một. Việc đáng cẩn thận là chia chu kì: mỗi họ sinh ra từ một phương trình bậc nhất với hệ số khác nhau nên chu kì của hai họ cũng khác nhau. Bẫy nặng nhất là phương án D chỉ đổi

\frac{k π}{2}

thành

k 2 π

, nghĩa là nghiệm nào cũng đúng nhưng bỏ sót rất nhiều nghiệm khác.

1Cách 1. Dùng công thức

sin u = sin v

rồi rút gọn chu kì từng họ

Định hướng. Viết hai họ nghiệm theo công thức $sin u = sin v$ với $u = 3 x$ , $v = x$ , rồi rút gọn mỗi họ về dạng tối giản.

sin 3 x = sin x

3 x = x + k 2 π

hoặc

3 x = π - x + k 2 π

k \in Z

2 x = k 2 π

nên

x = k π

4 x = π + k 2 π

nên

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

Vậy nghiệm là $x = k π$ hoặc $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ ; chọn phương án A.

2Cách 2. Biến đổi hiệu hai sin thành tích rồi cho từng nhân tử bằng không

Định hướng. Chuyển hết về một vế, dùng công thức hiệu hai sin thành tích để phương trình thành tích bằng không.

sin 3 x - sin x = 0

2 cos \frac{3 x + x}{2} sin \frac{3 x - x}{2} = 0

2 cos 2 x sin x = 0

sin x = 0

cho

x = k π

cos 2 x = 0

cho

2 x = \frac{π}{2} + k π

, tức

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

Vậy hai nhân tử cho đúng hai họ nghiệm của phương án A.

3Cách 3. Thử nghiệm cụ thể để loại ba phương án còn lại

Định hướng. Tìm một nghiệm cụ thể rồi xem phương án nào chứa nó, và lấy một giá trị trong phương án nghi vấn để xem có thật là nghiệm.

x = \frac{3 π}{4}

có

sin \frac{9 π}{4} = \frac{2}{2}

và

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

, nên đây là một nghiệm

phương án D không chứa

\frac{3 π}{4}

vì

\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

không phải bội của

2 π

, loại D

phương án B chứa

x = \frac{π}{8}

, nhưng

sin \frac{3 π}{8} \neq = sin \frac{π}{8}

, loại B

phương án C chứa

x = \frac{π}{2}

, nhưng

sin \frac{3 π}{2} = - 1

và

sin \frac{π}{2} = 1

, loại C

phương án A chứa

\frac{3 π}{4}

với

k = 1

Vậy ba phương án B, C, D bị loại nên chọn phương án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa về tích

2 cos 2 x sin x = 0

rồi đọc nghiệm từng nhân tử là chắc nhất, vì không phải nhớ hai họ của công thức

sin u = sin v

nên khó bỏ sót họ nào.

Đáp số. Chọn A:

x = k π

hoặc

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến nhất là giải

3 x = x + k 2 π

2 x = k 2 π

rồi ghi luôn

x = k 2 π

, tức quên chia hai vế cho

2

, dẫn tới chọn phương án D. Kiểm lại thấy

x = π

thoả phương trình vì

sin 3 π = 0 = sin π

, nhưng

π

không có dạng

k 2 π

, nên phương án D thiếu nghiệm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

sin a x = sin b x

với

a \neq = \pm b

luôn cho hai họ nghiệm

x = \frac{k 2 π}{a - b}

và

x = \frac{π + k 2 π}{a + b}

; thay

a = 3

b = 1

sẽ ra đúng hai họ của bài này, hãy thử tiếp với

sin 5 x = sin 3 x

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 1.51★★Trang 28— Biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác và tính giá trị lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm

M

biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng: a)

\frac{23 π}{4}

; b)

\frac{31 π}{6}

; c)

- 138 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai số đo sai khác nhau một bội của $2 π$ (hoặc $36 0^{\circ}$ ) thì cho CÙNG một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Muốn tìm điểm biểu diễn, tách số đo thành $α_{0} + k 2 π$ với $0 \leq α_{0} < 2 π$ và $k \in Z$ .
Điểm biểu diễn có toạ độ $(cos α; sin α)$ ; từ đó $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ và $cot α = \frac{cos α}{sin α}$ .
Các cung đặc biệt cần thuộc: $\frac{7 π}{4}$ , $\frac{7 π}{6}$ và $6 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba số đo đều vượt xa một vòng, đó là dấu hiệu phải rút gọn về cung trong nửa khoảng

[0; 2 π)

trước khi làm bất cứ việc gì khác. Nên rút gọn bằng cách trừ bội của

2 π

(hay

36 0^{\circ}

) thay vì đổi hết sang số thập phân, vì giữ dạng phân số của

π

mới nhận ra ngay cung đặc biệt. Bẫy ở ý c là số đo ÂM và tính theo độ, nên phải CỘNG bội của

36 0^{\circ}

chứ không trừ, và phải cộng đủ để kết quả về khoảng

[0^{\circ}; 36 0^{\circ})

1Cách 1. Trừ bội của

2 π

để hạ về cung trong một vòng rồi tra bảng

Định hướng. Tách mỗi số đo thành một bội của $2 π$ cộng cung đặc biệt, điểm biểu diễn chính là điểm của cung đặc biệt ấy.

\frac{23 π}{4} = \frac{16 π}{4} + \frac{7 π}{4} = 2 \cdot 2 π + \frac{7 π}{4}

điểm

M

là điểm biểu diễn cung

\frac{7 π}{4}

sin \frac{23 π}{4} = sin \frac{7 π}{4} = - \frac{2}{2}

cos \frac{23 π}{4} = cos \frac{7 π}{4} = \frac{2}{2}

tan \frac{23 π}{4} = - 1

cot \frac{23 π}{4} = - 1

\frac{31 π}{6} = \frac{24 π}{6} + \frac{7 π}{6} = 2 \cdot 2 π + \frac{7 π}{6}

điểm

M

là điểm biểu diễn cung

\frac{7 π}{6}

sin \frac{31 π}{6} = - \frac{1}{2}

cos \frac{31 π}{6} = - \frac{3}{2}

tan \frac{31 π}{6} = \frac{3}{3}

cot \frac{31 π}{6} = 3

- 138 0^{\circ} = - 138 0^{\circ} + 4 \cdot 36 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

điểm

M

là điểm biểu diễn cung

6 0^{\circ}

sin (- 138 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (- 138 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

tan (- 138 0^{\circ}) = 3

cot (- 138 0^{\circ}) = \frac{3}{3}

Vậy ba điểm lần lượt ứng với các cung $\frac{7 π}{4}$ , $\frac{7 π}{6}$ , $6 0^{\circ}$ với các giá trị lượng giác nêu trên.

2Cách 2. Dùng phép chia có dư để đọc ngay cung rút gọn

Định hướng. Xem tử số của phân số nhân $π$ rồi chia có dư cho mẫu số nhân $2$ ; số dư cho ngay cung cần tìm.

a) mẫu là

4

nên một vòng ứng với tử số

8

;

23 = 8 \cdot 2 + 7

cung rút gọn là

\frac{7 π}{4}

b) mẫu là

6

nên một vòng ứng với tử số

12

;

31 = 12 \cdot 2 + 7

cung rút gọn là

\frac{7 π}{6}

1380 = 360 \cdot 3 + 300

nên

- 138 0^{\circ} = - 30 0^{\circ} - 3 \cdot 36 0^{\circ}

- 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

nên cung rút gọn là

6 0^{\circ}

Vậy phép chia có dư cho đúng ba cung $\frac{7 π}{4}$ , $\frac{7 π}{6}$ , $6 0^{\circ}$ như Cách 1.

3Cách 3. Quy về cung đối hoặc cung nhọn để suy dấu theo góc phần tư

Định hướng. Viết mỗi cung rút gọn dưới dạng liên hệ với một cung NHỌN, rồi lấy dấu theo góc phần tư của điểm biểu diễn.

\frac{7 π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}

, điểm ở góc phần tư thứ tư nên sin âm, côsin dương

sin \frac{7 π}{4} = - sin \frac{π}{4} = - \frac{2}{2}

cos \frac{7 π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

\frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}

, điểm ở góc phần tư thứ ba nên cả sin và côsin đều âm

sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

cos \frac{7 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

6 0^{\circ}

là cung nhọn, điểm ở góc phần tư thứ nhất nên mọi giá trị dương

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

tang và côtang lấy theo thương của hai giá trị vừa tìm

Vậy cách quy về cung nhọn cho cùng kết quả và kiểm chéo được dấu của từng giá trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: phép chia có dư cho cung rút gọn chỉ trong một dòng cho mỗi ý, còn Cách 3 nên dùng kèm để kiểm lại DẤU vì đó là chỗ mất điểm nhiều nhất.

Đáp số. a) Điểm biểu diễn cung

\frac{7 π}{4}

;

sin = - \frac{2}{2}

cos = \frac{2}{2}

tan = - 1

cot = - 1

. b) Điểm biểu diễn cung

\frac{7 π}{6}

;

sin = - \frac{1}{2}

cos = - \frac{3}{2}

tan = \frac{3}{3}

cot = 3

. c) Điểm biểu diễn cung

6 0^{\circ}

;

sin = \frac{3}{2}

cos = \frac{1}{2}

tan = 3

cot = \frac{3}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở ý c nhiều bạn trừ tiếp

36 0^{\circ}

thay vì cộng, ra

- 174 0^{\circ}

rồi loay hoay mãi không về được khoảng

[0^{\circ}; 36 0^{\circ})

; với số đo ÂM thì phải CỘNG bội của

36 0^{\circ}

. Lỗi thứ hai là ở ý a lấy

\frac{23 π}{4} - 4 π = \frac{7 π}{4}

nhưng rồi ghi

sin \frac{7 π}{4} = \frac{2}{2}

vì quên rằng góc phần tư thứ tư có sin âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi số đo

α

đều viết được duy nhất dưới dạng

α = α_{0} + k 2 π

với

α_{0} \in [0; 2 π)

và

k \in Z

, và bốn giá trị lượng giác của

α

trùng với của

α_{0}

; hãy thử áp dụng cho

\frac{2026 π}{3}

bằng phép chia

2026

cho

6

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 1.52★★Trang 28— Ứng dụng công thức độ dài cung tròn vào chuyển động của kim đồng hồ

Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài

1, 75

m và

1, 26

m. Hỏi trong

15

phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Kiến thức cần nhớ

Độ dài cung tròn bán kính $R$ chắn góc ở tâm $α$ (đo bằng rađian) là $ℓ = R α$ .
Công thức $ℓ = R α$ chỉ đúng khi $α$ tính bằng RAĐIAN, nên số đo độ phải đổi trước.
Kim phút đi hết một vòng $2 π$ trong $60$ phút; kim giờ đi hết một vòng $2 π$ trong $12$ giờ tức $720$ phút.
Trong cùng một khoảng thời gian, kim giờ quay chậm hơn kim phút đúng $12$ lần.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chiều dài hai kim và khoảng thời gian, hỏi độ dài đường đi của mũi kim, đó chính là dạng độ dài cung với bán kính là chiều dài kim. Việc quyết định là tính đúng góc quay của từng kim trong

15

phút, vì hai kim có tốc độ quay chênh nhau

12

lần. Cạm bẫy lớn nhất là dùng luôn số đo độ trong công thức

ℓ = R α

, hoặc tưởng kim giờ cũng quét

9 0^{\circ}

như kim phút trong khi nó chỉ nhích được

7, 5^{\circ}

1Cách 1. Tính góc quay theo phần vòng rồi nhân với chiều dài kim

Định hướng. Tìm phần vòng mà mỗi kim quay được trong $15$ phút, đổi ra rađian rồi nhân với chiều dài kim.

kim phút đi hết một vòng trong

60

phút nên trong

15

phút nó quay

\frac{15}{60} = \frac{1}{4}

vòng

α_{1} = \frac{1}{4} \cdot 2 π = \frac{π}{2}

ℓ_{1} = 1, 75 \cdot \frac{π}{2} = \frac{7 π}{8}

ℓ_{1} = \frac{7 π}{8} \approx 2, 75

(m)

kim giờ đi hết một vòng trong

720

phút nên trong

15

phút nó quay

\frac{15}{720} = \frac{1}{48}

vòng

α_{2} = \frac{1}{48} \cdot 2 π = \frac{π}{24}

ℓ_{2} = 1, 26 \cdot \frac{π}{24} = \frac{21 π}{400}

ℓ_{2} = \frac{21 π}{400} \approx 0, 16

(m)

Vậy mũi kim phút vạch cung dài $\frac{7 π}{8} \approx 2, 75$ m, mũi kim giờ vạch cung dài $\frac{21 π}{400} \approx 0, 16$ m.

2Cách 2. Đi qua số đo độ rồi mới đổi sang rađian

Định hướng. Tính góc quay bằng ĐỘ theo tốc độ quay mỗi phút, sau đó đổi sang rađian và áp dụng công thức độ dài cung.

kim phút quay

\frac{36 0 ^{\circ}}{60} = 6^{\circ}

mỗi phút nên trong

15

phút quét

15 \cdot 6^{\circ} = 9 0^{\circ}

9 0^{\circ} = 90 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{2}

ℓ_{1} = 1, 75 \cdot \frac{π}{2} = \frac{7 π}{8} \approx 2, 75

(m)

kim giờ quay

\frac{36 0 ^{\circ}}{720} = 0, 5^{\circ}

mỗi phút nên trong

15

phút quét

15 \cdot 0, 5^{\circ} = 7, 5^{\circ}

7, 5^{\circ} = 7, 5 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{24}

ℓ_{2} = 1, 26 \cdot \frac{π}{24} = \frac{21 π}{400} \approx 0, 16

(m)

Vậy hai kim vạch nên các cung dài $\frac{7 π}{8}$ m và $\frac{21 π}{400}$ m.

3Cách 3. Tính cung kim phút trước rồi suy cung kim giờ bằng tỉ lệ

Định hướng. Dùng quan hệ kim giờ quay chậm hơn kim phút $12$ lần để suy độ dài cung thứ hai từ cung thứ nhất, chỉ cần nhân thêm tỉ số bán kính.

ℓ_{1} = 1, 75 \cdot \frac{π}{2} = \frac{7 π}{8}

(m)

α_{2} = \frac{α _{1}}{12}

vì kim giờ quay chậm hơn

12

lần

\frac{ℓ _{2}}{ℓ _{1}} = \frac{R _{2} α _{2}}{R _{1} α _{1}} = \frac{1 , 26}{1 , 75} \cdot \frac{1}{12}

\frac{ℓ _{2}}{ℓ _{1}} = \frac{18}{25} \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{50}

ℓ_{2} = \frac{3}{50} \cdot \frac{7 π}{8} = \frac{21 π}{400} \approx 0, 16

(m)

Vậy lập tỉ lệ cũng cho $ℓ_{2} = \frac{21 π}{400}$ m, khớp với hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy về PHẦN VÒNG rồi nhân

2 π

là tránh được hẳn việc đổi độ sang rađian, khâu dễ sai nhất; Cách 3 hay để kiểm nhanh vì chỉ cần một tỉ số.

Đáp số. Mũi kim phút vạch cung dài

\frac{7 π}{8} \approx 2, 75

m; mũi kim giờ vạch cung dài

\frac{21 π}{400} \approx 0, 16

Sai lầm thường gặp. Sai nặng nhất là thay số đo ĐỘ vào công thức

ℓ = R α

, tính

1, 75 \cdot 90 = 157, 5

m, một con số vô lí vì kim chỉ dài

1, 75

m nên cung không thể dài hơn

2 π \cdot 1, 75 \approx 11

m. Lỗi thứ hai là cho kim giờ cũng quét

9 0^{\circ}

, ra

ℓ_{2} = 1, 26 \cdot \frac{π}{2} \approx 1, 98

m, trong khi trong

15

phút kim giờ chỉ nhích được

7, 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, trong

t

phút kim phút quét góc

\frac{π t}{30}

còn kim giờ quét góc

\frac{π t}{360}

, nên tỉ số hai cung luôn là

\frac{R _{2}}{12 R _{1}}

không phụ thuộc

t

; hãy thử tính lại cho

t = 20

phút để kiểm nhận xét này.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 1.53★★Trang 28— Ứng dụng độ dài cung tròn để tính khoảng cách theo kinh tuyến

Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở

10 5^{\circ}

kinh đông, nhưng Quản Bạ ở

2 3^{\circ}

vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ

9^{\circ}

bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó, coi Trái Đất có bán kính

6378

km.

Kiến thức cần nhớ

Hai địa điểm cùng kinh độ thì cùng nằm trên một kinh tuyến, là một đường tròn lớn bán kính bằng bán kính Trái Đất.
Góc ở tâm chắn cung nối hai địa điểm cùng kinh tuyến bằng HIỆU hai vĩ độ (khi cùng bán cầu).
Độ dài cung: $ℓ = R α$ với $α$ tính bằng rađian.
Đổi đơn vị: $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ rad.

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện cùng

10 5^{\circ}

kinh đông là chìa khoá: nó bảo đảm hai điểm nằm trên CÙNG một kinh tuyến nên bài toán quy về độ dài cung của một đường tròn bán kính

6378

km. Vì hai vĩ độ đều ở bán cầu bắc nên góc ở tâm là hiệu

2 3^{\circ} - 9^{\circ}

, lấy hiệu chứ không lấy tổng. Chỗ dễ đi sai ngay từ đầu là dùng con số kinh độ

10 5^{\circ}

vào phép tính, trong khi nó chỉ có vai trò khẳng định hai điểm cùng một kinh tuyến.

1Cách 1. Lấy hiệu hai vĩ độ làm góc ở tâm rồi dùng công thức độ dài cung

Định hướng. Tính góc ở tâm bằng hiệu hai vĩ độ, đổi sang rađian rồi nhân với bán kính Trái Đất.

hai huyện lị cùng kinh độ

10 5^{\circ}

đông nên cùng nằm trên một kinh tuyến

α = 2 3^{\circ} - 9^{\circ} = 1 4^{\circ}

α = 14 \cdot \frac{π}{180} = \frac{7 π}{90}

ℓ = R α = 6378 \cdot \frac{7 π}{90}

ℓ = \frac{44 646 π}{90} = \frac{2 479 π}{5}

ℓ \approx 1558

(km)

Vậy độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị xấp xỉ $1558$ km.

2Cách 2. Tính độ dài một độ vĩ tuyến rồi nhân với số độ

Định hướng. Tính trước độ dài cung ứng với $1^{\circ}$ trên kinh tuyến, sau đó nhân với hiệu vĩ độ.

chu vi kinh tuyến là

2 π R = 2 π \cdot 6378 = 12756 π

(km)

cung ứng với

1^{\circ}

dài

\frac{12 756 π}{360} = \frac{1 063 π}{30}

\frac{1 063 π}{30} \approx 111, 3

(km)

ℓ = 14 \cdot \frac{1 063 π}{30} = \frac{14 882 π}{30} = \frac{2 479 π}{5}

ℓ \approx 14 \cdot 111, 3 \approx 1558

(km)

Vậy cách tính theo độ dài một độ cũng cho khoảng $1558$ km.

3Cách 3. Dùng tỉ lệ giữa cung và cả chu vi đường tròn

Định hướng. Lập tỉ lệ: cung cần tìm so với chu vi kinh tuyến đúng bằng $1 4^{\circ}$ so với $36 0^{\circ}$ .

\frac{ℓ}{2 π R} = \frac{1 4 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}}

\frac{14}{360} = \frac{7}{180}

ℓ = \frac{7}{180} \cdot 2 π \cdot 6378

ℓ = \frac{7}{180} \cdot 12756 π = \frac{89 292 π}{180} = \frac{2 479 π}{5}

ℓ \approx 1558

(km)

Vậy ba cách đều cho $ℓ = \frac{2 479 π}{5} \approx 1558$ km.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một công thức

ℓ = R α

sau khi đổi

1 4^{\circ}

sang rađian; Cách 2 đáng nhớ vì con số

1^{\circ}

vĩ tuyến xấp xỉ

111

km rất tiện để ước lượng nhanh mọi bài cùng dạng.

Đáp số.

ℓ = \frac{2 479 π}{5} \approx 1558

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là cộng hai vĩ độ thành

2 3^{\circ} + 9^{\circ} = 3 2^{\circ}

rồi ra

ℓ \approx 3562

km; phép cộng chỉ dùng khi hai điểm ở HAI bán cầu khác nhau, còn ở đây cả hai đều là vĩ bắc nên phải lấy hiệu. Sai thứ hai là quên đổi đơn vị, thay thẳng

14

vào công thức thành

6378 \cdot 14 = 89292

km, lớn hơn cả chu vi Trái Đất nên chắc chắn vô lí.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức, nếu hai điểm ở hai bán cầu với vĩ độ

a^{\circ}

bắc và

b^{\circ}

nam thì góc ở tâm là

a + b

độ; hãy thử tính khoảng cách theo kinh tuyến giữa một điểm ở

2 3^{\circ}

bắc và một điểm ở

9^{\circ}

nam để so với đáp số của bài này.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 1.54★★★Trang 28— Tính giá trị lượng giác của cung nhân đôi và cung tổng hiệu

Cho

cos α = \frac{3}{4}

sin α > 0

;

sin β = \frac{3}{5}

β \in (\frac{9 π}{2}; 5 π)

. Hãy tính

cos 2 α

sin 2 α

cos 2 β

sin 2 β

cos (α + β)

sin (α - β)

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân đôi: $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α$ và $sin 2 α = 2 sin α cos α$ .
Công thức cộng: $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ và $sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$ .
Hệ thức cơ bản $sin^{2} + cos^{2} = 1$ dùng để tìm giá trị còn thiếu, DẤU lấy theo góc phần tư.
Muốn biết $β$ ở góc phần tư nào, trừ bội của $2 π$ để đưa về nửa khoảng $[0; 2 π)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho mỗi cung đúng một giá trị lượng giác kèm một điều kiện về dấu hoặc về khoảng, đó là dấu hiệu phải tìm giá trị còn lại trước rồi mới lắp vào công thức nhân đôi và công thức cộng. Việc quan trọng nhất là xác định góc phần tư của

β

: khoảng

(\frac{9 π}{2}; 5 π)

trừ

4 π

thành

(\frac{π}{2}; π)

, tức góc phần tư thứ hai nên

cos β < 0

. Bẫy chết người là thấy

\frac{9 π}{2}

lớn rồi đoán bừa dấu, hoặc lấy

cos β = \frac{4}{5}

dương vì quen với tam giác ba bốn năm.

1Cách 1. Tìm đủ sin và côsin của hai cung rồi lắp vào công thức

Định hướng. Dùng hệ thức cơ bản để tìm giá trị còn thiếu của mỗi cung, xác định dấu theo góc phần tư, sau đó thay vào công thức nhân đôi và công thức cộng.

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

sin α > 0

nên

sin α = \frac{7}{4}

\frac{9 π}{2} - 4 π = \frac{π}{2}

và

5 π - 4 π = π

nên

β - 4 π \in (\frac{π}{2}; π)

β

thuộc góc phần tư thứ hai nên

cos β < 0

cos^{2} β = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

nên

cos β = - \frac{4}{5}

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}

sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 7}{8}

cos 2 β = 1 - 2 sin^{2} β = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

sin 2 β = 2 sin β cos β = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) - \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{5}

cos (α + β) = - \frac{12}{20} - \frac{3 7}{20} = - \frac{12 + 3 7}{20}

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = \frac{7}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5}

sin (α - β) = - \frac{4 7}{20} - \frac{9}{20} = - \frac{9 + 4 7}{20}

Vậy $cos 2 α = \frac{1}{8}$ , $sin 2 α = \frac{3 7}{8}$ , $cos 2 β = \frac{7}{25}$ , $sin 2 β = - \frac{24}{25}$ , $cos (α + β) = - \frac{12 + 3 7}{20}$ , $sin (α - β) = - \frac{9 + 4 7}{20}$ .

2Cách 2. Đổi biến

β = 4 π + β_{0}

để làm việc với cung nhỏ

Định hướng. Đặt $β = 4 π + β_{0}$ với $β_{0}$ thuộc $(\frac{π}{2}; π)$ , khi đó mọi giá trị lượng giác của $β$ trùng với của $β_{0}$ nên dấu hiện ra rõ ràng.

β = 4 π + β_{0}

với

\frac{π}{2} < β_{0} < π

sin β_{0} = sin β = \frac{3}{5}

và

cos β_{0} = cos β

β_{0}

ở góc phần tư thứ hai nên

cos β_{0} = - \frac{4}{5}

cos 2 β = cos (8 π + 2 β_{0}) = cos 2 β_{0} = cos^{2} β_{0} - sin^{2} β_{0}

cos 2 β = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

sin 2 β = sin 2 β_{0} = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}

với

α

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α = 1 - 2 \cdot \frac{7}{16} = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}

sin 2 α = 2 \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 7}{8}

Vậy hai giá trị của cung $2 β$ tính qua $β_{0}$ trùng khớp Cách 1, và $cos 2 α$ tính bằng công thức theo sin cũng cho $\frac{1}{8}$ .

3Cách 3. Dùng toạ độ điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Gắn mỗi cung với một điểm trên đường tròn đơn vị, đọc toạ độ rồi dùng công thức cộng như phép nhân toạ độ.

điểm ứng cung

α

có toạ độ

(\frac{3}{4}; \frac{7}{4})

vì

sin α > 0

điểm ứng cung

β

có toạ độ

(- \frac{4}{5}; \frac{3}{5})

vì cung ở góc phần tư thứ hai

kiểm lại:

(\frac{3}{4})^{2} + (\frac{7}{4})^{2} = \frac{9 + 7}{16} = 1

kiểm lại:

(- \frac{4}{5})^{2} + (\frac{3}{5})^{2} = \frac{16 + 9}{25} = 1

cos (α + β) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) - \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{5} = - \frac{12 + 3 7}{20}

sin (α - β) = \frac{7}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = - \frac{9 + 4 7}{20}

Vậy đọc toạ độ hai điểm rồi áp dụng công thức cộng cho cùng hai kết quả, lại tự kiểm được bằng hệ thức $sin^{2} + cos^{2} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi

β = 4 π + β_{0}

ngay từ đầu là khoá chặt dấu của

cos β

, xử lí đúng chỗ dễ mất điểm nhất của bài; phần còn lại chỉ là thay số.

Đáp số.

cos 2 α = \frac{1}{8}

;

sin 2 α = \frac{3 7}{8}

;

cos 2 β = \frac{7}{25}

;

sin 2 β = - \frac{24}{25}

;

cos (α + β) = - \frac{12 + 3 7}{20}

;

sin (α - β) = - \frac{9 + 4 7}{20}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm quyết định là lấy

cos β = \frac{4}{5}

theo phản xạ tam giác ba bốn năm mà không xét khoảng; khi đó

sin 2 β = \frac{24}{25}

thay vì

- \frac{24}{25}

và cả hai giá trị

cos (α + β)

sin (α - β)

đều sai dấu. Lỗi thứ hai là lấy

sin α = - \frac{7}{4}

dù đề đã ghi rõ

sin α > 0

, kéo theo

sin 2 α

mang dấu âm.

🚀 Mở rộng. Chú ý

cos 2 β = \frac{7}{25}

và

sin 2 β = - \frac{24}{25}

cho thấy cung

2 β

nằm ở góc phần tư thứ tư, đúng như dự đoán vì

β

ở góc phần tư thứ hai thì

2 β

vượt qua

π

; hãy thử tự lập bảng góc phần tư của

2 β

theo góc phần tư của

β

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 1.55★★★★Trang 28— Rút gọn biểu thức lượng giác bằng công thức nhân đôi, hạ bậc và tổng thành tích

Rút gọn các biểu thức sau: a)

\frac{sin ( 4 5 ^{\circ} + α ) - cos ( 4 5 ^{\circ} + α )}{sin ( 4 5 ^{\circ} + α ) + cos ( 4 5 ^{\circ} + α )}

; b)

\frac{sin 2 α + sin α}{1 + cos 2 α + cos α}

; c)

\frac{1 + cos α - sin α}{1 - cos α - sin α}

; d)

\frac{sin α + sin 3 α + sin 5 α}{cos α + cos 3 α + cos 5 α}

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: $1 + cos 2 α = 2 cos^{2} α$ và $1 - cos α = 2 sin^{2} \frac{α}{2}$ , $1 + cos α = 2 cos^{2} \frac{α}{2}$ .
Công thức nhân đôi: $sin 2 α = 2 sin α cos α$ .
Tổng thành tích: $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ và $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
Cung phụ: $cos (4 5^{\circ} + α) = sin (4 5^{\circ} - α)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý là một phân thức mà tử và mẫu có cùng một cấu trúc, nên chiến lược chung là phân tích cả tử lẫn mẫu thành TÍCH rồi triệt tiêu nhân tử chung. Dấu hiệu chọn công cụ rất rõ: ý a có tổng và hiệu của sin với côsin cùng cung nên dùng cung phụ, ý b và c có hằng số

1

đứng cạnh côsin nên dùng hạ bậc, ý d có ba cung cách đều nên ghép cặp đầu và cuối. Cạm bẫy ở ý c là hai nhân tử chung khác nhau một dấu, nên kết quả mang dấu trừ và rất dễ bị bỏ mất.

1Cách 1. Phân tích tử và mẫu thành tích rồi triệt tiêu nhân tử chung

Định hướng. Với từng ý, đưa tử và mẫu về dạng tích có nhân tử chung rồi giản ước.

cos (4 5^{\circ} + α) = sin (4 5^{\circ} - α)

tử

= sin (4 5^{\circ} + α) - sin (4 5^{\circ} - α) = 2 cos 4 5^{\circ} sin α = 2 sin α

mẫu

= sin (4 5^{\circ} + α) + sin (4 5^{\circ} - α) = 2 sin 4 5^{\circ} cos α = 2 cos α

= \frac{2 sin α}{2 cos α} = tan α

b) tử

= 2 sin α cos α + sin α = sin α (2 cos α + 1)

mẫu

= 2 cos^{2} α + cos α = cos α (2 cos α + 1)

= \frac{sin α ( 2 cos α + 1 )}{cos α ( 2 cos α + 1 )} = tan α

c) tử

= 2 cos^{2} \frac{α}{2} - 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} = 2 cos \frac{α}{2} (cos \frac{α}{2} - sin \frac{α}{2})

mẫu

= 2 sin^{2} \frac{α}{2} - 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} = - 2 sin \frac{α}{2} (cos \frac{α}{2} - sin \frac{α}{2})

= \frac{2 cos \frac{α}{2}}{- 2 sin \frac{α}{2}} = - cot \frac{α}{2}

d) tử

= (sin 5 α + sin α) + sin 3 α = 2 sin 3 α cos 2 α + sin 3 α = sin 3 α (2 cos 2 α + 1)

mẫu

= (cos 5 α + cos α) + cos 3 α = 2 cos 3 α cos 2 α + cos 3 α = cos 3 α (2 cos 2 α + 1)

= \frac{sin 3 α}{cos 3 α} = tan 3 α

Vậy a) $tan α$ ; b) $tan α$ ; c) $- cot \frac{α}{2}$ ; d) $tan 3 α$ .

2Cách 2. Chia cả tử và mẫu cho một hàm để đưa về biến tang

Định hướng. Với ba ý a, b, d: chia tử và mẫu cho cùng một lượng thích hợp để biểu thức chỉ còn tang của một cung.

a) chia tử và mẫu cho

cos (4 5^{\circ} + α)

= \frac{tan ( 4 5 ^{\circ} + α ) - 1}{tan ( 4 5 ^{\circ} + α ) + 1}

tan (4 5^{\circ} + α) = \frac{1 + tan α}{1 - tan α}

tử

= \frac{1 + tan α}{1 - tan α} - 1 = \frac{2 tan α}{1 - tan α}

, mẫu

= \frac{1 + tan α}{1 - tan α} + 1 = \frac{2}{1 - tan α}

= \frac{2 tan α}{2} = tan α

b) chia tử và mẫu cho

cos α

sau khi đã nhóm nhân tử

(2 cos α + 1)

: b)

= tan α

d) chia tử và mẫu cho

cos 3 α

sau khi nhóm nhân tử

(2 cos 2 α + 1)

: d)

= tan 3 α

Vậy ba ý a, b, d đều rút về tang của đúng cung ở tử, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử một giá trị cụ thể để kiểm chứng kết quả rút gọn

Định hướng. Thay một cung cụ thể vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn, hai số phải trùng nhau.

chọn

α = 6 0^{\circ}

a) biểu thức gốc

= \frac{sin 10 5 ^{\circ} - cos 10 5 ^{\circ}}{sin 10 5 ^{\circ} + cos 10 5 ^{\circ}}

, tính được

\approx 1, 7321

tan 6 0^{\circ} = 3 \approx 1, 7321

, khớp

b) biểu thức gốc

= \frac{sin 12 0 ^{\circ} + sin 6 0 ^{\circ}}{1 + cos 12 0 ^{\circ} + cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3

, khớp

tan 6 0^{\circ}

c) biểu thức gốc

= \frac{1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}} \approx - 1, 7321

- cot 3 0^{\circ} = - 3 \approx - 1, 7321

, khớp

d) biểu thức gốc

= \frac{sin 6 0 ^{\circ} + sin 18 0 ^{\circ} + sin 30 0 ^{\circ}}{cos 6 0 ^{\circ} + cos 18 0 ^{\circ} + cos 30 0 ^{\circ}} = \frac{\frac{3}{2} + 0 - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2}} = 0

tan 18 0^{\circ} = 0

, khớp

Vậy bốn kết quả rút gọn đều vượt phép thử số nên lời giải đáng tin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích thành tích rồi triệt tiêu là đường chung cho cả bốn ý, chỉ cần đổi công cụ theo từng ý; nên dành một dòng làm phép thử số kiểu Cách 3 để chốt dấu ở ý c.

Đáp số. a)

tan α

; b)

tan α

; c)

- cot \frac{α}{2}

; d)

tan 3 α

Sai lầm thường gặp. Ý c là chỗ mất điểm nhiều nhất: sau khi phân tích, mẫu là

- 2 sin \frac{α}{2} (cos \frac{α}{2} - sin \frac{α}{2})

nhưng nhiều bạn bỏ mất dấu trừ và trả lời

cot \frac{α}{2}

. Thử

α = 6 0^{\circ}

cho biểu thức gốc xấp xỉ

- 1, 73

là số ÂM, còn

cot 3 0^{\circ} = 3

dương, nên kết quả buộc phải là

- cot \frac{α}{2}

🚀 Mở rộng. Ý d gợi một quy luật đẹp: với ba cung cách đều,

\frac{sin ( u - d ) + sin u + sin ( u + d )}{cos ( u - d ) + cos u + cos ( u + d )} = tan u

vì cả tử và mẫu cùng chứa nhân tử

2 cos d + 1

; hãy thử mở rộng cho năm cung cách đều

α

3 α

5 α

7 α

9 α

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 1.56★★★★Trang 28— Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc biến

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào

x

: a)

A = sin (\frac{π}{4} + x) - cos (\frac{π}{4} - x)

; b)

B = cos (\frac{π}{6} - x) - sin (\frac{π}{3} + x)

; c)

C = sin^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x)

; d)

D = \frac{1 - cos 2 x + sin 2 x}{1 + cos 2 x + sin 2 x} cot x

Kiến thức cần nhớ

Cung phụ nhau: $cos u = sin (\frac{π}{2} - u)$ và $sin u = cos (\frac{π}{2} - u)$ .
Công thức biến đổi tích thành tổng: $cos u cos v = \frac{1}{2} [cos (u - v) + cos (u + v)]$ .
Công thức hạ bậc: $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ , $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ , $sin 2 x = 2 sin x cos x$ .
Một biểu thức không phụ thuộc $x$ khi rút gọn được về một HẰNG SỐ trên toàn tập xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Yêu cầu chứng minh không phụ thuộc

x

có nghĩa đích đến là một hằng số, nên phải rút gọn tới cùng chứ không được dừng ở biểu thức còn chứa

x

. Dấu hiệu dẫn đường khác nhau theo từng ý: ý a và b có hai cung mà tổng của chúng bằng

\frac{π}{2}

nên dùng cung phụ là triệt tiêu ngay, ý c có tích hai côsin nên biến tích thành tổng, ý d có cặp

1 \pm cos 2 x

nên hạ bậc. Bẫy là ở ý a và b hai số hạng THỰC SỰ bằng nhau nên kết quả bằng

0

, nhiều bạn không tin nổi rồi đi tìm một biểu thức khác.

1Cách 1. Dùng cung phụ và hạ bậc để rút mỗi biểu thức về hằng số

Định hướng. Với từng ý, chọn công cụ thích hợp để biến hai số hạng thành cùng một dạng rồi rút gọn hết $x$ .

cos (\frac{π}{4} - x) = sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4} + x) = sin (\frac{π}{4} + x)

A = sin (\frac{π}{4} + x) - sin (\frac{π}{4} + x) = 0

sin (\frac{π}{3} + x) = cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{3} - x) = cos (\frac{π}{6} - x)

B = cos (\frac{π}{6} - x) - cos (\frac{π}{6} - x) = 0

cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = \frac{1}{2} [cos 2 x + cos \frac{2 π}{3}]

= \frac{1}{2} cos 2 x - \frac{1}{4}

C = sin^{2} x + \frac{1}{2} cos 2 x - \frac{1}{4}

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

nên

C = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x - \frac{1}{4}

C = \frac{1}{4}

1 - cos 2 x + sin 2 x = 2 sin^{2} x + 2 sin x cos x = 2 sin x (sin x + cos x)

1 + cos 2 x + sin 2 x = 2 cos^{2} x + 2 sin x cos x = 2 cos x (cos x + sin x)

\frac{1 - cos 2 x + sin 2 x}{1 + cos 2 x + sin 2 x} = \frac{2 sin x ( sin x + cos x )}{2 cos x ( sin x + cos x )} = tan x

D = tan x \cdot cot x = 1

Vậy $A = 0$ , $B = 0$ , $C = \frac{1}{4}$ , $D = 1$ nên cả bốn biểu thức không phụ thuộc $x$ .

2Cách 2. Khai triển hết bằng công thức cộng rồi thu gọn theo

sin x

cos x

Định hướng. Khai triển mọi cung tổng hiệu về $sin x$ và $cos x$ , sau đó thu gọn để thấy các số hạng chứa $x$ triệt tiêu.

sin (\frac{π}{4} + x) = \frac{2}{2} (cos x + sin x)

cos (\frac{π}{4} - x) = \frac{2}{2} (cos x + sin x)

A = \frac{2}{2} (cos x + sin x) - \frac{2}{2} (cos x + sin x) = 0

cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

sin (\frac{π}{3} + x) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

B = 0

cos (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x

và

cos (\frac{π}{3} + x) = \frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x

tích hai lượng đó

= \frac{1}{4} cos^{2} x - \frac{3}{4} sin^{2} x

C = sin^{2} x + \frac{1}{4} cos^{2} x - \frac{3}{4} sin^{2} x = \frac{1}{4} sin^{2} x + \frac{1}{4} cos^{2} x

C = \frac{1}{4} (sin^{2} x + cos^{2} x) = \frac{1}{4}

Vậy khai triển thẳng cũng cho $A = B = 0$ và $C = \frac{1}{4}$ .

3Cách 3. Thay hai giá trị khác nhau để dự đoán hằng số rồi chốt bằng biến đổi

Định hướng. Thay hai cung cụ thể vào từng biểu thức: nếu hai lần cho cùng một số thì đó chính là hằng số cần chứng minh, phần biến đổi chỉ còn việc xác nhận.

a) với

x = 0

A = sin \frac{π}{4} - cos \frac{π}{4} = 0

; với

x = \frac{π}{4}

A = sin \frac{π}{2} - cos 0 = 1 - 1 = 0

b) với

x = 0

B = cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

; với

x = \frac{π}{6}

B = cos 0 - sin \frac{π}{2} = 1 - 1 = 0

c) với

x = 0

C = 0 + cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

với

x = \frac{π}{2}

C = 1 + cos (- \frac{π}{6}) cos \frac{5 π}{6} = 1 + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

d) với

x = \frac{π}{4}

D = \frac{1 - 0 + 1}{1 + 0 + 1} \cdot 1 = 1

; với

x = \frac{π}{6}

D = \frac{1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3 = 1

bốn hằng số dự đoán là

0

0

\frac{1}{4}

1

, trùng với Cách 1

Vậy phép thử hai giá trị khớp hằng số tìm được ở Cách 1, xác nhận lời giải.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý chỉ hai đến ba dòng nhờ chọn đúng công cụ, và ở ý a, b thì công thức cung phụ cho kết quả tức thì; Cách 3 nên dùng làm bước nháp để biết trước hằng số cần đi tới.

Đáp số.

A = 0

;

B = 0

;

C = \frac{1}{4}

;

D = 1

Sai lầm thường gặp. Ở ý a, b nhiều bạn thấy kết quả

0

thì nghi mình làm sai rồi quay lại khai triển lung tung và tạo ra lỗi mới. Thực ra hai cung

\frac{π}{4} + x

và

\frac{π}{4} - x

là PHỤ nhau vì tổng bằng

\frac{π}{2}

, nên hai số hạng bằng nhau và hiệu đúng bằng

0

; thử

x = \frac{π}{4}

cho

sin \frac{π}{2} - cos 0 = 1 - 1 = 0

là xác nhận được ngay.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá ý c rất đẹp: với mọi

a

ta có

cos (a - x) cos (a + x) = cos^{2} a - sin^{2} x

, nên

sin^{2} x + cos (a - x) cos (a + x) = cos^{2} a

luôn là hằng số; thay

a = \frac{π}{3}

ra đúng

\frac{1}{4}

, hãy thử với

a = \frac{π}{4}

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 28

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 1.57★★★★Trang 29— Ứng dụng công thức cộng để tổng hợp hai sóng âm cùng tần số

Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

f_{1} (t) = C sin ω t

và

f_{2} (t) = C sin (ω t + α)

. Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra âm kết hợp có phương trình

f (t) = f_{1} (t) + f_{2} (t) = C sin ω t + C sin (ω t + α)

. a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm

f (t)

có thể viết dưới dạng

f (t) = A sin ω t + B cos ω t

, với

A

B

là hai hằng số phụ thuộc vào

α

. b) Khi

C = 10

và

α = \frac{π}{3}

, tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số

k

và

φ

sao cho

f (t) = k sin (ω t + φ)

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: $sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v$ .
Mọi biểu thức $A sin θ + B cos θ$ đều viết được thành $k sin (θ + φ)$ với $k = A^{2} + B^{2}$ .
Khi đó $cos φ = \frac{A}{k}$ và $sin φ = \frac{B}{k}$ ; $k$ là biên độ, $φ$ là pha ban đầu.
Công thức hạ bậc dùng để rút gọn $1 + cos α = 2 cos^{2} \frac{α}{2}$ và $sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai sóng cùng tần số

ω

chỉ lệch nhau pha

α

, đó là dấu hiệu tổng của chúng vẫn là một sóng hình sin cùng tần số nên chắc chắn gom được về dạng

k sin (ω t + φ)

. Ý a chỉ cần khai triển số hạng thứ hai bằng công thức cộng rồi nhóm theo

sin ω t

và

cos ω t

, còn ý b là bài toán ngược: từ cặp

(A; B)

tìm

k

và

φ

. Chỗ dễ sai ở ý b là tính

φ

chỉ bằng

tan φ = \frac{B}{A}

mà không kiểm dấu, vì phương trình tang cho tới hai nghiệm lệch nhau

π

1Cách 1. Khai triển bằng công thức cộng rồi nhóm theo hai hàm cơ bản

Định hướng. Khai triển $sin (ω t + α)$ , nhóm các số hạng chứa $sin ω t$ và $cos ω t$ , sau đó áp dụng công thức $k = A^{2} + B^{2}$ .

C sin (ω t + α) = C sin ω t cos α + C cos ω t sin α

f (t) = C sin ω t + C sin ω t cos α + C cos ω t sin α

f (t) = C (1 + cos α) sin ω t + C sin α cos ω t

A = C (1 + cos α)

và

B = C sin α

b) với

C = 10

α = \frac{π}{3}

A = 10 (1 + \frac{1}{2}) = 15

B = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53

k = A^{2} + B^{2} = 225 + 75 = 300

k = 103

cos φ = \frac{A}{k} = \frac{15}{10 3} = \frac{3}{2}

và

sin φ = \frac{B}{k} = \frac{5 3}{10 3} = \frac{1}{2}

φ = \frac{π}{6}

f (t) = 103 sin (ω t + \frac{π}{6})

Vậy a) $A = C (1 + cos α)$ , $B = C sin α$ ; b) biên độ $k = 103$ và pha ban đầu $φ = \frac{π}{6}$ .

2Cách 2. Cộng hai sin thành tích ngay từ đầu để đọc thẳng biên độ và pha

Định hướng. Dùng công thức tổng hai sin thành tích cho $f_{1} + f_{2}$ , khi đó dạng $k sin (ω t + φ)$ hiện ra mà không cần giải hệ.

C sin ω t + C sin (ω t + α) = 2 C sin \frac{ω t + ω t + α}{2} cos \frac{ω t - ω t - α}{2}

f (t) = 2 C cos \frac{α}{2} sin (ω t + \frac{α}{2})

so với dạng

k sin (ω t + φ)

thì

k = 2 C cos \frac{α}{2}

và

φ = \frac{α}{2}

với

C = 10

α = \frac{π}{3}

k = 2 \cdot 10 \cdot cos \frac{π}{6} = 20 \cdot \frac{3}{2}

k = 103

φ = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

Vậy chỉ một công thức tổng thành tích đã cho ngay biên độ $103$ và pha ban đầu $\frac{π}{6}$ .

3Cách 3. Kiểm chứng kết quả bằng cách thay hai thời điểm cụ thể

Định hướng. Thay hai giá trị của $ω t$ vào biểu thức gốc và vào dạng đã gom, hai lần đều phải trùng số.

với

C = 10

α = \frac{π}{3}

thì

f (t) = 10 sin ω t + 10 sin (ω t + \frac{π}{3})

lấy

ω t = 0

f = 10 \cdot 0 + 10 \cdot \frac{3}{2} = 53

dạng gom cho

103 sin \frac{π}{6} = 103 \cdot \frac{1}{2} = 53

, khớp

lấy

ω t = \frac{π}{3}

f = 10 \cdot \frac{3}{2} + 10 sin \frac{2 π}{3} = 53 + 53 = 103

dạng gom cho

103 sin \frac{π}{2} = 103

, khớp

giá trị

103

đạt được nên biên độ đúng bằng

103

Vậy phép thử hai thời điểm xác nhận $f (t) = 103 sin (ω t + \frac{π}{6})$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một công thức tổng thành tích cho luôn cả biên độ

2 C cos \frac{α}{2}

và pha

\frac{α}{2}

, khỏi phải tính

A^{2} + B^{2}

rồi dò dấu của

φ

như Cách 1.

Đáp số. a)

A = C (1 + cos α)

và

B = C sin α

. b) Biên độ

k = 103

, pha ban đầu

φ = \frac{π}{6}

, tức

f (t) = 103 sin (ω t + \frac{π}{6})

Sai lầm thường gặp. Sai điển hình ở ý b là cộng biên độ hai sóng thành

10 + 10 = 20

, nhưng hai sóng lệch pha nên không cộng đỉnh cùng lúc; giá trị đúng

103 \approx 17, 3

nhỏ hơn

20

. Lỗi thứ hai là lấy

tan φ = \frac{B}{A} = \frac{3}{3}

rồi chọn

φ = \frac{7 π}{6}

, nhưng

cos \frac{7 π}{6} < 0

trong khi

A = 15 > 0

, nên phải lấy

φ = \frac{π}{6}

🚀 Mở rộng. Kết quả

k = 2 C cos \frac{α}{2}

giải thích trọn hiện tượng giao thoa: khi

α = 0

thì

k = 2 C

là cộng hưởng cực đại, còn khi

α = π

thì

k = 0

nên hai sóng triệt tiêu nhau hoàn toàn; hãy thử tìm

α

để biên độ kết hợp đúng bằng

C

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 29

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · 1.58★★★Trang 29— Tìm tập xác định của hàm số lượng giác có mẫu hoặc có phân thức bên trong

Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)

y = cos \frac{2 x}{x - 1}

; b)

y = \frac{1}{cos x - cos 3 x}

; c)

y = \frac{1}{cos x + sin 2 x}

; d)

y = tan x + cot x

Kiến thức cần nhớ

Hàm $y = cos u$ xác định với mọi $u$ , nên điều kiện chỉ đến từ biểu thức $u$ .
Phân thức $\frac{1}{M}$ xác định khi $M \neq = 0$ .
$cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ , dùng để phân tích mẫu thành tích.
$tan x$ xác định khi $cos x \neq = 0$ ; $cot x$ xác định khi $sin x \neq = 0$ .
$sin x cos x \neq = 0$ tương đương $sin 2 x \neq = 0$ , tức $x \neq = \frac{k π}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý có nguồn điều kiện khác nhau nên phải nhận đúng loại trước khi viết điều kiện: ý a chỉ vướng phân thức bên TRONG côsin, ba ý còn lại vướng mẫu số bằng không. Với các mẫu là hiệu hoặc tổng hai hàm lượng giác thì phải phân tích thành TÍCH rồi mới cho từng nhân tử khác không, vì giải trực tiếp

cos x - cos 3 x \neq = 0

là bế tắc. Bẫy ở ý a là tưởng côsin cũng cần điều kiện như căn thức, trong khi côsin nhận mọi số thực nên chỉ cần

x \neq = 1

1Cách 1. Phân tích mẫu thành tích rồi cho từng nhân tử khác không

Định hướng. Với mỗi ý, xác định nguồn điều kiện rồi đưa mẫu về dạng tích để đọc nghiệm cần loại.

a) côsin xác định với mọi số thực nên chỉ cần

x - 1 \neq = 0

x \neq = 1

, tập xác định

D = R ∖ {1}

cos x - cos 3 x = - 2 sin 2 x sin (- x) = 2 sin 2 x sin x

2 sin 2 x sin x = 2 \cdot 2 sin x cos x \cdot sin x = 4 sin^{2} x cos x

điều kiện

4 sin^{2} x cos x \neq = 0

cho

sin x \neq = 0

và

cos x \neq = 0

sin x cos x \neq = 0

tương đương

sin 2 x \neq = 0

, tức

x \neq = \frac{k π}{2}

D = R ∖ {\frac{k π}{2} ∣ k \in Z}

cos x + sin 2 x = cos x + 2 sin x cos x = cos x (1 + 2 sin x)

điều kiện

cos x \neq = 0

cho

x \neq = \frac{π}{2} + k π

điều kiện

1 + 2 sin x \neq = 0

cho

sin x \neq = - \frac{1}{2}

, tức

x \neq = - \frac{π}{6} + k 2 π

và

x \neq = \frac{7 π}{6} + k 2 π

D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π; - \frac{π}{6} + k 2 π; \frac{7 π}{6} + k 2 π ∣ k \in Z}

tan x

cần

cos x \neq = 0

cot x

cần

sin x \neq = 0

hai điều kiện gộp lại thành

sin 2 x \neq = 0

, tức

x \neq = \frac{k π}{2}

D = R ∖ {\frac{k π}{2} ∣ k \in Z}

Vậy a) $R ∖ {1}$ ; b) và d) cùng là $R ∖ {\frac{k π}{2}}$ ; c) bỏ thêm hai họ điểm ứng $sin x = - \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = sin x

hoặc

t = cos x

để giải điều kiện như phương trình đại số

Định hướng. Quy các mẫu về đa thức theo một ẩn phụ rồi giải phương trình đại số, sau đó trả lại về cung.

cos x - cos 3 x

với

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

cos x - cos 3 x = cos x - 4 cos^{3} x + 3 cos x = 4 cos x - 4 cos^{3} x

= 4 cos x (1 - cos^{2} x) = 4 cos x sin^{2} x

đặt

t = cos x

: mẫu bằng

0

khi

t = 0

hoặc

t^{2} = 1

cos x = 0

cho

x = \frac{π}{2} + k π

;

cos x = \pm 1

cho

x = k π

hai họ đó gộp lại đúng bằng

x = \frac{k π}{2}

c) đặt

t = sin x

: mẫu là

cos x (1 + 2 t)

, bằng

0

khi

cos x = 0

hoặc

t = - \frac{1}{2}

sin x = - \frac{1}{2}

cho

x = - \frac{π}{6} + k 2 π

hoặc

x = \frac{7 π}{6} + k 2 π

Vậy ẩn phụ cho cùng các họ điểm phải loại, trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử các điểm nghi vấn để kiểm lại tập xác định

Định hướng. Lấy vài điểm tiêu biểu, thay trực tiếp vào mẫu để xác nhận điểm nào phải loại và điểm nào vẫn hợp lệ.

b) tại

x = \frac{π}{2}

: mẫu

= cos \frac{π}{2} - cos \frac{3 π}{2} = 0 - 0 = 0

, phải loại

b) tại

x = π

: mẫu

= cos π - cos 3 π = - 1 - (- 1) = 0

, phải loại

b) tại

x = \frac{π}{4}

: mẫu

= \frac{2}{2} - (- \frac{2}{2}) = 2 \neq = 0

, hợp lệ

c) tại

x = - \frac{π}{6}

: mẫu

= cos (- \frac{π}{6}) + sin (- \frac{π}{3}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

, phải loại

c) tại

x = 0

: mẫu

= cos 0 + sin 0 = 1 \neq = 0

, hợp lệ

d) tại

x = \frac{π}{2}

thì

tan x

không xác định, phải loại; tại

x = 0

thì

cot x

không xác định, phải loại

Vậy các điểm thử đều phù hợp với tập xác định tìm ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biến mọi mẫu thành TÍCH rồi đọc nghiệm từng nhân tử là đường ngắn nhất, lại giúp gộp gọn hai họ

sin x \neq = 0

và

cos x \neq = 0

thành một họ

x \neq = \frac{k π}{2}

Đáp số. a)

D = R ∖ {1}

; b)

D = R ∖ {\frac{k π}{2} ∣ k \in Z}

; c)

D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π; - \frac{π}{6} + k 2 π; \frac{7 π}{6} + k 2 π ∣ k \in Z}

; d)

D = R ∖ {\frac{k π}{2} ∣ k \in Z}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a nhiều bạn viết thêm điều kiện

- 1 \leq \frac{2 x}{x - 1} \leq 1

vì tưởng đối số của côsin phải nằm trong

[- 1; 1]

; thực ra

[- 1; 1]

là tập GIÁ TRỊ của côsin chứ không phải miền của đối số, nên

cos 100

vẫn xác định bình thường. Ở ý d lỗi hay gặp là chỉ viết

x \neq = \frac{π}{2} + k π

mà bỏ mất

sin x \neq = 0

, khi đó

x = 0

bị lọt vào tập xác định dù

cot 0

không tồn tại.

🚀 Mở rộng. Nhận xét đáng ghi: hai ý b và d có cùng tập xác định dù biểu thức trông rất khác nhau, vì cả hai đều quy về

sin 2 x \neq = 0

; hãy thử tìm tập xác định của

y = \frac{1}{sin x - sin 3 x}

và xem có ra kết quả tương tự hay không.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 29

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · 1.59★★★★Trang 29— Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a)

y = sin x - cos x

; b)

y = sin x + sin (\frac{π}{3} - x)

; c)

y = sin^{4} x + cos^{4} x

; d)

y = cos 2 x + 2 cos x - 1

Kiến thức cần nhớ

$A sin θ + B cos θ = A^{2} + B^{2} sin (θ + φ)$ , nên hàm này có giá trị lớn nhất $A^{2} + B^{2}$ và nhỏ nhất $- A^{2} + B^{2}$ .
$sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ .
$sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ .
Với hàm quy về đa thức của $t = cos x$ trên $[- 1; 1]$ , phải xét giá trị tại ĐỈNH parabol và tại HAI ĐẦU đoạn.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý thuộc bốn kiểu quy gọn khác nhau nên phải nhận dạng trước: ý a là dạng

A sin x + B cos x

, ý b gom được thành một hàm côsin duy nhất, ý c hạ bậc về

sin^{2} 2 x

, ý d quy về tam thức bậc hai theo

cos x

. Nguyên tắc chung là đưa về MỘT biểu thức lượng giác duy nhất rồi dùng tập giá trị của nó, chứ không được đánh giá riêng từng số hạng rồi cộng các cực trị lại. Bẫy lớn nhất ở ý d là sau khi đặt

t = cos x

thì

t

chỉ chạy trên đoạn

[- 1; 1]

nên phải xét cả hai đầu đoạn chứ không chỉ xét đỉnh parabol.

1Cách 1. Gom về một hàm lượng giác duy nhất rồi dùng tập giá trị của nó

Định hướng. Với mỗi ý, biến đổi về một biểu thức chỉ chứa MỘT hàm lượng giác, sau đó đọc giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ tập giá trị của hàm đó.

y = 2 (\frac{2}{2} sin x - \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

- 1 \leq sin (x - \frac{π}{4}) \leq 1

nên

- 2 \leq y \leq 2

a) giá trị lớn nhất

2

, giá trị nhỏ nhất

- 2

y = 2 sin \frac{x + \frac{π}{3} - x}{2} cos \frac{x - \frac{π}{3} + x}{2} = 2 sin \frac{π}{6} cos (x - \frac{π}{6})

y = cos (x - \frac{π}{6})

b) giá trị lớn nhất

1

, giá trị nhỏ nhất

- 1

sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

0 \leq sin^{2} 2 x \leq 1

nên

\frac{1}{2} \leq y \leq 1

c) giá trị lớn nhất

1

, giá trị nhỏ nhất

\frac{1}{2}

y = 2 cos^{2} x - 1 + 2 cos x - 1 = 2 cos^{2} x + 2 cos x - 2

đặt

t = cos x

với

- 1 \leq t \leq 1

thì

y = 2 t^{2} + 2 t - 2 = 2 (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{2}

tại

t = - \frac{1}{2}

thì

y = - \frac{5}{2}

; tại

t = 1

thì

y = 2

; tại

t = - 1

thì

y = - 2

d) giá trị lớn nhất

2

, giá trị nhỏ nhất

- \frac{5}{2}

Vậy a) $max = 2$ , $min = - 2$ ; b) $max = 1$ , $min = - 1$ ; c) $max = 1$ , $min = \frac{1}{2}$ ; d) $max = 2$ , $min = - \frac{5}{2}$ .

2Cách 2. Chỉ ra cung đạt cực trị để chứng minh chặn là chặt

Định hướng. Sau khi có chặn trên và chặn dưới, chỉ ra cung cụ thể làm dấu bằng xảy ra, nhờ đó khẳng định đó đúng là cực trị.

y = 2

khi

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

, tức

x = \frac{3 π}{4}

y = - 2

khi

x = - \frac{π}{4}

y = 1

khi

x = \frac{π}{6}

y = - 1

khi

x = \frac{7 π}{6}

y = 1

khi

sin 2 x = 0

, tức

x = \frac{k π}{2}

y = \frac{1}{2}

khi

sin^{2} 2 x = 1

, tức

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

y = 2

khi

cos x = 1

, tức

x = k 2 π

y = - \frac{5}{2}

khi

cos x = - \frac{1}{2}

, tức

x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π

ở mọi họ điểm trên,

k \in Z

Vậy mọi chặn đều đạt được nên chúng chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ và dùng điều kiện có nghiệm của phương trình

Định hướng. Xem $y$ là tham số: hàm nhận giá trị $y$ khi và chỉ khi phương trình tương ứng có nghiệm, từ đó suy ra miền giá trị của $y$ .

y = sin x - cos x

có nghiệm khi

y^{2} \leq 1^{2} + (- 1)^{2}

y^{2} \leq 2

nên

- 2 \leq y \leq 2

c) đặt

u = sin^{2} 2 x

với

0 \leq u \leq 1

, ta có

y = 1 - \frac{u}{2}

y

là hàm bậc nhất giảm theo

u

nên

y

lớn nhất tại

u = 0

và nhỏ nhất tại

u = 1

y \in [\frac{1}{2}; 1]

2 t^{2} + 2 t - 2 = y

có nghiệm

t \in [- 1; 1]

khi

y

thuộc miền giá trị của hàm

g (t) = 2 t^{2} + 2 t - 2

trên

[- 1; 1]

g

có đỉnh tại

t = - \frac{1}{2}

thuộc

[- 1; 1]

nên

min g = - \frac{5}{2}

max g = max {g (- 1); g (1)} = max {- 2; 2} = 2

Vậy điều kiện có nghiệm cho đúng các miền giá trị đã tìm ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gom về một hàm duy nhất rồi đọc tập giá trị là cách ngắn và ít sai nhất; riêng ý d nhớ kèm Cách 2 để chỉ ra cung đạt cực trị, vì đó là phần chấm điểm.

Đáp số. a)

max y = 2

min y = - 2

; b)

max y = 1

min y = - 1

; c)

max y = 1

min y = \frac{1}{2}

; d)

max y = 2

min y = - \frac{5}{2}

Sai lầm thường gặp. Ý d là chỗ sai nhiều nhất: sau khi có

y = 2 t^{2} + 2 t - 2

nhiều bạn lấy luôn đỉnh parabol làm giá trị nhỏ nhất rồi kết luận hàm không có giá trị lớn nhất, quên rằng

t = cos x

chỉ chạy trên

[- 1; 1]

nên

y

lớn nhất bằng

g (1) = 2

. Ý a cũng hay bị đánh giá rời: lấy

sin x \leq 1

và

- cos x \leq 1

rồi cộng thành

y \leq 2

, nhưng

2

không đạt được vì

sin x = 1

buộc

cos x = 0

, khi đó

y = 1

chứ không phải

2

🚀 Mở rộng. Ý c còn cho một chuỗi kết quả đẹp:

sin^{2 n} x + cos^{2 n} x

luôn có giá trị lớn nhất bằng

1

và giá trị nhỏ nhất bằng

\frac{1}{2 ^{n - 1}}

đạt tại

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

với

k \in Z

; hãy thử kiểm với

n = 3

để thấy

min = \frac{1}{4}

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 29

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · 1.60★★★Trang 29— Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a)

y = sin^{3} x - cot x

; b)

y = \frac{cos x + tan ^{2} x}{cos x}

; c)

y = sin 2 x + cos x

; d)

y = 2 cos (\frac{3 π}{4} + x) sin (\frac{π}{4} - x)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $f$ là CHẴN nếu tập xác định đối xứng và $f (- x) = f (x)$ ; là LẺ nếu $f (- x) = - f (x)$ .
Phải kiểm tập xác định có đối xứng qua $0$ TRƯỚC khi so $f (- x)$ với $f (x)$ .
$sin (- x) = - sin x$ , $cos (- x) = cos x$ , $tan (- x) = - tan x$ , $cot (- x) = - cot x$ .
Muốn kết luận một hàm KHÔNG chẵn không lẻ, chỉ cần một giá trị $x_{0}$ mà $f (- x_{0}) \neq = f (x_{0})$ và $f (- x_{0}) \neq = - f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý chỉ cần thay

- x

rồi so với biểu thức gốc, nhưng phải nhớ kiểm tập xác định đối xứng trước vì các hàm có tang, côtang đều khuyết điểm. Điều đáng để ý là ý d nên rút gọn trước khi xét, bởi tích hai hàm ở dạng thô rất khó nhìn còn sau khi biến thành

- cos 2 x

thì kết luận hiện ra ngay. Cạm bẫy là ý c trông cân đối với hai số hạng quen thuộc nhưng lại KHÔNG chẵn cũng không lẻ, vì

sin 2 x

lẻ còn

cos x

chẵn nên tổng không thuộc loại nào.

1Cách 1. Thay

- x

vào từng hàm rồi so sánh với biểu thức ban đầu

Định hướng. Kiểm tập xác định đối xứng, sau đó tính $f (- x)$ và so với $f (x)$ .

a) tập xác định là

x \neq = k π

với

k \in Z

, đối xứng qua

0

f (- x) = sin^{3} (- x) - cot (- x) = - sin^{3} x + cot x

f (- x) = - (sin^{3} x - cot x) = - f (x)

nên hàm LẺ

b) tập xác định là

cos x \neq = 0

, đối xứng qua

0

f (- x) = \frac{cos ( - x ) + tan ^{2} ( - x )}{cos ( - x )} = \frac{cos x + tan ^{2} x}{cos x} = f (x)

nên hàm CHẴN

c) tập xác định là

R

, đối xứng qua

0

f (- x) = sin (- 2 x) + cos (- x) = - sin 2 x + cos x

tại

x = \frac{π}{4}

f (\frac{π}{4}) = 1 + \frac{2}{2}

còn

f (- \frac{π}{4}) = - 1 + \frac{2}{2}

hai số đó không bằng nhau và cũng không đối nhau nên hàm KHÔNG chẵn KHÔNG lẻ

2 cos (\frac{3 π}{4} + x) sin (\frac{π}{4} - x) = sin π - sin (\frac{π}{2} + 2 x)

f (x) = 0 - cos 2 x = - cos 2 x

f (- x) = - cos (- 2 x) = - cos 2 x = f (x)

nên hàm CHẴN

Vậy a) hàm lẻ; b) hàm chẵn; c) không chẵn không lẻ; d) hàm chẵn.

2Cách 2. Tách thành tổng các hàm đã biết tính chẵn lẻ rồi dùng quy tắc

Định hướng. Phân tích mỗi hàm thành tổng hoặc tích những hàm đã biết tính chẵn lẻ, rồi áp dụng quy tắc: tổng hai hàm cùng loại giữ nguyên loại, tổng một hàm chẵn với một hàm lẻ thì không thuộc loại nào.

y = sin^{3} x - cot x

với

sin^{3} x

lẻ và

cot x

lẻ

hiệu hai hàm lẻ là hàm lẻ nên a) LẺ

\frac{cos x + tan ^{2} x}{cos x} = 1 + \frac{tan ^{2} x}{cos x}

tan^{2} x

chẵn (bình phương của hàm lẻ) và

cos x

chẵn nên thương chẵn

hằng số

1

cũng là hàm chẵn nên b) CHẴN

sin 2 x

lẻ,

cos x

chẵn; tổng một hàm lẻ khác không với một hàm chẵn khác không thì không chẵn không lẻ nên c) KHÔNG thuộc loại nào

d) sau khi rút gọn

y = - cos 2 x

, mà

cos 2 x

chẵn nên d) CHẴN

Vậy quy tắc tổng và tích cho cùng bốn kết luận như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm bằng bảng giá trị tại hai cung đối nhau

Định hướng. Lập bảng giá trị tại một cặp cung đối nhau: bằng nhau thì nghi chẵn, đối nhau thì nghi lẻ, không cả hai thì kết luận ngay.

chọn cặp

x = \frac{π}{3}

và

x = - \frac{π}{3}

f (\frac{π}{3}) = \frac{3 3}{8} - \frac{3}{3}

và

f (- \frac{π}{3}) = - \frac{3 3}{8} + \frac{3}{3}

, hai số đối nhau

f (\frac{π}{3}) = \frac{\frac{1}{2} + 3}{\frac{1}{2}} = 7

và

f (- \frac{π}{3}) = 7

, hai số bằng nhau

f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

và

f (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

, không bằng cũng không đối

f (\frac{π}{3}) = - cos \frac{2 π}{3} = \frac{1}{2}

và

f (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

, hai số bằng nhau

Vậy bảng giá trị khớp với kết luận lẻ, chẵn, không thuộc loại nào, chẵn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nhưng nhớ rút gọn ý d trước: đưa về

- cos 2 x

rồi kết luận chẵn chỉ mất một dòng, còn để nguyên dạng tích thì rất dễ nhầm dấu khi thay

- x

Đáp số. a) Hàm số lẻ; b) hàm số chẵn; c) hàm số không chẵn không lẻ; d) hàm số chẵn

Sai lầm thường gặp. Ở ý c nhiều bạn kết luận hàm lẻ vì chỉ nhìn số hạng

sin 2 x

, nhưng

cos x

là hàm chẵn nên tổng bị phá vỡ: tại

x = \frac{π}{4}

thì

f = 1 + \frac{2}{2} \approx 1, 71

còn

f (- \frac{π}{4}) = - 1 + \frac{2}{2} \approx - 0, 29

, hai số này không đối nhau. Ở ý a lỗi khác là quên kiểm tập xác định, trong khi

cot x

đòi

x \neq = k π

và may là tập này đối xứng nên kết luận vẫn đúng.

🚀 Mở rộng. Quy tắc đáng ghi nhớ: bình phương của một hàm lẻ luôn cho hàm chẵn, điều này giải thích vì sao

tan^{2} x

ở ý b làm cả hàm thành chẵn; hãy thử xét tính chẵn lẻ của

y = sin x \cdot cot x

và

y = x tan x

theo cùng quy tắc ấy.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 29

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · 1.61★★★★Trang 29— Tìm chu kì của tổng hai hàm lượng giác tuần hoàn

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a)

y = sin \frac{x}{2} + cos 3 x

; b)

y = cos 5 x + tan \frac{x}{3}

Kiến thức cần nhớ

Hàm $y = sin (a x)$ và $y = cos (a x)$ có chu kì $\frac{2 π}{∣ a ∣}$ .
Hàm $y = tan (a x)$ và $y = cot (a x)$ có chu kì $\frac{π}{∣ a ∣}$ .
Nếu $f_{1}$ có chu kì $T_{1}$ và $f_{2}$ có chu kì $T_{2}$ thì $f_{1} + f_{2}$ tuần hoàn với chu kì là BỘI CHUNG NHỎ NHẤT của $T_{1}$ và $T_{2}$ (khi bội chung đó tồn tại).
Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của $T_{1}$ và $T_{2}$ , viết chúng cùng mẫu rồi lấy BCNN của hai tử số.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi hàm là tổng hai hàm tuần hoàn có chu kì khác nhau, nên chu kì của tổng phải là số dương nhỏ nhất đồng thời là bội của cả hai chu kì thành phần. Việc đáng cẩn thận là dùng đúng công thức chu kì cho từng loại hàm: sin và côsin lấy

\frac{2 π}{∣ a ∣}

còn tang lấy

\frac{π}{∣ a ∣}

, lẫn hai công thức này là lệch gấp đôi. Bẫy ở ý b là thấy

tan \frac{x}{3}

rồi lấy chu kì

6 π

theo công thức của sin, trong khi chu kì đúng của nó là

3 π

1Cách 1. Tính chu kì từng số hạng rồi lấy bội chung nhỏ nhất

Định hướng. Áp dụng công thức chu kì cho từng số hạng, viết hai chu kì cùng mẫu rồi lấy bội chung nhỏ nhất của hai tử số.

sin \frac{x}{2}

có chu kì

T_{1} = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

cos 3 x

có chu kì

T_{2} = \frac{2 π}{3}

T_{1} = \frac{12 π}{3}

và

T_{2} = \frac{2 π}{3}

BCNN

(12; 2) = 12

nên

T = \frac{12 π}{3} = 4 π

a) hàm số tuần hoàn với chu kì

4 π

cos 5 x

có chu kì

T_{1} = \frac{2 π}{5}

tan \frac{x}{3}

có chu kì

T_{2} = \frac{π}{\frac{1}{3}} = 3 π

T_{1} = \frac{2 π}{5}

và

T_{2} = \frac{15 π}{5}

BCNN

(2; 15) = 30

nên

T = \frac{30 π}{5} = 6 π

b) hàm số tuần hoàn với chu kì

6 π

Vậy a) chu kì $4 π$ ; b) chu kì $6 π$ .

2Cách 2. Giải hệ ràng buộc để tìm số dương nhỏ nhất làm cả hai số hạng lặp lại

Định hướng. Đặt $T$ là chu kì cần tìm, viết điều kiện $T$ là bội của cả hai chu kì rồi giải để lấy $T$ nhỏ nhất.

a) cần

T = m \cdot 4 π

và

T = n \cdot \frac{2 π}{3}

với

m

n

nguyên dương

4 m = \frac{2 n}{3}

nên

12 m = 2 n

, tức

n = 6 m

chọn

m = 1

nhỏ nhất được

T = 4 π

b) cần

T = m \cdot \frac{2 π}{5}

và

T = n \cdot 3 π

\frac{2 m}{5} = 3 n

nên

2 m = 15 n

15 n

chẵn nên

n

chẵn, chọn

n = 2

nhỏ nhất được

m = 15

T = 15 \cdot \frac{2 π}{5} = 6 π

Vậy giải hệ ràng buộc cho cùng hai chu kì $4 π$ và $6 π$ .

3Cách 3. Kiểm trực tiếp bằng phép thay

x

bởi

x + T

Định hướng. Thay $x$ bởi $x + T$ với $T$ vừa tìm để xác nhận hàm không đổi, đồng thời thử một số nhỏ hơn để thấy nó KHÔNG phải chu kì.

a) với

T = 4 π

sin \frac{x + 4 π}{2} = sin (\frac{x}{2} + 2 π) = sin \frac{x}{2}

cos 3 (x + 4 π) = cos (3 x + 12 π) = cos 3 x

, nên hàm không đổi

thử

T = 2 π

sin \frac{x + 2 π}{2} = sin (\frac{x}{2} + π) = - sin \frac{x}{2}

, đổi dấu nên

2 π

không phải chu kì

b) với

T = 6 π

cos 5 (x + 6 π) = cos (5 x + 30 π) = cos 5 x

tan \frac{x + 6 π}{3} = tan (\frac{x}{3} + 2 π) = tan \frac{x}{3}

, nên hàm không đổi

thử

T = 3 π

cos 5 (x + 3 π) = cos (5 x + 15 π) = - cos 5 x

, đổi dấu nên

3 π

không phải chu kì

Vậy phép thay xác nhận $4 π$ và $6 π$ là chu kì, còn các số nhỏ hơn thì không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết hai chu kì cùng mẫu rồi lấy BCNN hai tử số là xong trong ba dòng; nên kèm một dòng kiểu Cách 3 thử số nhỏ hơn để chứng tỏ chu kì tìm được là nhỏ nhất.

Đáp số. a) Hàm số tuần hoàn với chu kì

T = 4 π

; b) hàm số tuần hoàn với chu kì

T = 6 π

Sai lầm thường gặp. Ở ý b lỗi nặng nhất là dùng công thức của sin cho tang, lấy chu kì của

tan \frac{x}{3}

là

\frac{2 π}{\frac{1}{3}} = 6 π

rồi ra BCNN cũng bằng

6 π

, tình cờ đúng đáp số nhưng lập luận sai vì chu kì thật của nó là

3 π

. Lỗi thứ hai là lấy TỔNG hai chu kì thay vì bội chung nhỏ nhất, ở ý a cho

4 π + \frac{2 π}{3} = \frac{14 π}{3}

, thay vào thấy

cos 3 (x + \frac{14 π}{3}) = cos (3 x + 14 π) = cos 3 x

nhưng

sin \frac{x + \frac{14 π}{3}}{2} \neq = sin \frac{x}{2}

nên số đó không phải chu kì.

🚀 Mở rộng. Quy tắc tổng quát:

y = sin (a x) + cos (b x)

tuần hoàn khi và chỉ khi

\frac{a}{b}

là số hữu tỉ, lúc đó chu kì là BCNN của

\frac{2 π}{∣ a ∣}

và

\frac{2 π}{∣ b ∣}

; hãy thử giải thích vì sao

y = sin x + cos (2 x)

không tuần hoàn.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 29

Mở bài này trong app ↗

Bài 32 · 1.62★★★★Trang 29— Giải phương trình lượng giác cơ bản và phương trình đưa về cùng một hàm

Giải các phương trình sau: a)

sin 3 x = - \frac{3}{2}

; b)

tan (\frac{x}{3} + 1 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}

; c)

sin 3 x - cos 5 x = 0

; d)

tan 3 x tan x = 1

Kiến thức cần nhớ

$sin u = sin v \Leftrightarrow u = v + k 2 π$ hoặc $u = π - v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$tan u = tan v \Leftrightarrow u = v + k π$ , $k \in Z$ ; khi đo bằng độ thì chu kì là $k \cdot 18 0^{\circ}$ .
$cos u = cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k 2 π$ ; và $sin u = cos (\frac{π}{2} - u)$ dùng để đổi sin thành côsin.
$cos 3 x cos x - sin 3 x sin x = cos 4 x$ , công thức cộng dùng để gom ý d.
Cung đặc biệt: $sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}$ và $tan (- 3 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai ý đầu là phương trình cơ bản nên chỉ việc chọn cung mốc đặc biệt rồi viết công thức nghiệm, còn hai ý sau có HAI hàm khác nhau nên trước hết phải đưa về cùng một hàm. Ý c dùng cung phụ để biến sin thành côsin, ý d nhân chéo rồi gom thành

cos 4 x

là gọn nhất vì tránh được việc xét điều kiện rối rắm. Cạm bẫy nằm ở đơn vị của ý b: cung đo bằng ĐỘ nên chu kì phải viết

k \cdot 18 0^{\circ}

, và sau khi nhân ba thì chu kì nở ra thành

k \cdot 54 0^{\circ}

1Cách 1. Chọn cung mốc đặc biệt rồi viết công thức nghiệm cho từng ý

Định hướng. Đưa mỗi phương trình về đúng một dạng cơ bản, chọn cung mốc là cung đặc biệt rồi viết nghiệm và chia hệ số của $x$ .

sin 3 x = - \frac{3}{2} = sin (- \frac{π}{3})

3 x = - \frac{π}{3} + k 2 π

hoặc

3 x = π + \frac{π}{3} + k 2 π = \frac{4 π}{3} + k 2 π

x = - \frac{π}{9} + \frac{k 2 π}{3}

hoặc

x = \frac{4 π}{9} + \frac{k 2 π}{3}

k \in Z

tan (\frac{x}{3} + 1 0^{\circ}) = - \frac{1}{3} = tan (- 3 0^{\circ})

\frac{x}{3} + 1 0^{\circ} = - 3 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

\frac{x}{3} = - 4 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

x = - 12 0^{\circ} + k \cdot 54 0^{\circ}

k \in Z

sin 3 x = cos 5 x

với

sin 3 x = cos (\frac{π}{2} - 3 x)

cos 5 x = cos (\frac{π}{2} - 3 x)

5 x = \frac{π}{2} - 3 x + k 2 π

hoặc

5 x = - \frac{π}{2} + 3 x + k 2 π

8 x = \frac{π}{2} + k 2 π

nên

x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4}

2 x = - \frac{π}{2} + k 2 π

nên

x = - \frac{π}{4} + k π

d) điều kiện

cos 3 x \neq = 0

và

cos x \neq = 0

\frac{sin 3 x}{cos 3 x} \cdot \frac{sin x}{cos x} = 1

cho

sin 3 x sin x = cos 3 x cos x

cos 3 x cos x - sin 3 x sin x = 0

cos 4 x = 0

4 x = \frac{π}{2} + k π

nên

x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}

k \in Z

mọi

x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}

đều thoả điều kiện vì

cos x

và

cos 3 x

khác

0

tại đó

Vậy a) $x = - \frac{π}{9} + \frac{k 2 π}{3}$ hoặc $x = \frac{4 π}{9} + \frac{k 2 π}{3}$ ; b) $x = - 12 0^{\circ} + k \cdot 54 0^{\circ}$ ; c) $x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4}$ hoặc $x = - \frac{π}{4} + k π$ ; d) $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}$ với $k \in Z$ .

2Cách 2. Chuyển về một vế rồi biến đổi tổng thành tích

Định hướng. Với ý c và ý d, dồn hết về một vế rồi dùng công thức biến đổi để phương trình thành tích bằng không.

sin 3 x - cos 5 x = 0

với

cos 5 x = sin (\frac{π}{2} - 5 x)

sin 3 x - sin (\frac{π}{2} - 5 x) = 0

2 cos \frac{3 x + \frac{π}{2} - 5 x}{2} sin \frac{3 x - \frac{π}{2} + 5 x}{2} = 0

2 cos (\frac{π}{4} - x) sin (4 x - \frac{π}{4}) = 0

cos (\frac{π}{4} - x) = 0

cho

\frac{π}{4} - x = \frac{π}{2} + k π

, tức

x = - \frac{π}{4} - k π

sin (4 x - \frac{π}{4}) = 0

cho

4 x - \frac{π}{4} = k π

, tức

x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4}

tan 3 x tan x = 1

nên

tan 3 x = cot x = tan (\frac{π}{2} - x)

3 x = \frac{π}{2} - x + k π

4 x = \frac{π}{2} + k π

nên

x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}

Vậy hai họ nghiệm của ý c và một họ của ý d trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại từng họ nghiệm bằng cung cụ thể

Định hướng. Thay một giá trị của $k$ vào từng họ nghiệm rồi kiểm phương trình gốc, đây là bước tự kiểm bắt buộc khi bài có nhiều họ.

a) với

k = 0

lấy

x = - \frac{π}{9}

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

, đúng

a) với

k = 0

lấy

x = \frac{4 π}{9}

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

, đúng

b) với

k = 0

lấy

x = - 12 0^{\circ}

tan (- 4 0^{\circ} + 1 0^{\circ}) = tan (- 3 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}

, đúng

c) với

k = 0

lấy

x = \frac{π}{16}

sin \frac{3 π}{16}

và

cos \frac{5 π}{16} = sin (\frac{π}{2} - \frac{5 π}{16}) = sin \frac{3 π}{16}

, hai vế bằng nhau

c) với

k = 0

lấy

x = - \frac{π}{4}

sin (- \frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}

và

cos (- \frac{5 π}{4}) = - \frac{2}{2}

, đúng

d) với

k = 0

lấy

x = \frac{π}{8}

tan \frac{3 π}{8} tan \frac{π}{8}

, mà

tan \frac{3 π}{8} = cot \frac{π}{8}

nên tích bằng

1

, đúng

Vậy mọi họ nghiệm đều vượt phép thử nên lời giải đáng tin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn công thức nghiệm cơ bản là kiến thức bắt buộc thuộc nên mỗi ý chỉ ba dòng; riêng ý d thì gom thành

cos 4 x = 0

như Cách 1 hay hơn Cách 2 vì không cần đổi sang côtang.

Đáp số. a)

x = - \frac{π}{9} + \frac{k 2 π}{3}

hoặc

x = \frac{4 π}{9} + \frac{k 2 π}{3}

; b)

x = - 12 0^{\circ} + k \cdot 54 0^{\circ}

; c)

x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4}

hoặc

x = - \frac{π}{4} + k π

; d)

x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}

, với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý b là chỗ sai nhiều nhất: sau khi có

\frac{x}{3} = - 4 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

, nhiều bạn nhân ba chỉ phần đầu và ghi

x = - 12 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

; thử

k = 1

cho

x = 6 0^{\circ}

thì

tan (2 0^{\circ} + 1 0^{\circ}) = tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

là số DƯƠNG nên không thoả, chu kì đúng phải là

k \cdot 54 0^{\circ}

. Ý a hay bị mất họ thứ hai do chỉ lấy

3 x = - \frac{π}{3} + k 2 π

, khi đó nghiệm

x = \frac{4 π}{9}

biến mất dù

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

đúng.

🚀 Mở rộng. Ý d gợi một kết quả tổng quát rất gọn:

tan a x tan b x = 1

tương đương

cos [(a + b) x] = 0

, nên nghiệm là

x = \frac{π}{2 ( a + b )} + \frac{k π}{a + b}

; thay

a = 3

b = 1

ra đúng

x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}

, hãy thử với

tan 5 x tan 3 x = 1

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 29

Mở bài này trong app ↗

Bài 33 · 1.63★★★★Trang 30— Giải phương trình lượng giác bằng cách gom hoặc hạ bậc

Giải các phương trình sau: a)

sin 5 x + cos 5 x = - 1

; b)

cos 3 x - cos 5 x = sin x

; c)

2 cos^{2} x + cos 2 x = 2

; d)

sin^{4} x + cos^{4} x = \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

Kiến thức cần nhớ

$A sin u + B cos u = A^{2} + B^{2} sin (u + φ)$ ; riêng $sin u + cos u = 2 sin (u + \frac{π}{4})$ .
$cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .
Công thức hạ bậc: $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ và $sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ .
$sin^{2} 2 x = 1$ tương đương $cos 4 x = - 1$ , tiện để viết nghiệm gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Không ý nào ở dạng cơ bản nên bước đầu tiên luôn là chọn phép gom thích hợp để rút về một hàm của một cung. Dấu hiệu khá rõ: ý a là tổng sin cộng côsin cùng cung nên gom thành một sin, ý b là hiệu hai côsin nên biến thành tích rồi xuất hiện nhân tử

sin x

chung với vế phải, ý c và d hạ bậc rồi mọi thứ chỉ còn một cung. Cạm bẫy ở ý b là chia hai vế cho

sin x

để cho gọn, làm thế sẽ mất trắng họ nghiệm

sin x = 0

1Cách 1. Gom hoặc hạ bậc để rút về một hàm của một cung duy nhất

Định hướng. Với mỗi ý, chọn phép biến đổi đưa phương trình về một hàm lượng giác của một cung rồi viết nghiệm.

sin 5 x + cos 5 x = 2 sin (5 x + \frac{π}{4})

2 sin (5 x + \frac{π}{4}) = - 1

nên

sin (5 x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} = sin (- \frac{π}{4})

5 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π

nên

x = - \frac{π}{10} + \frac{k 2 π}{5}

5 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + k 2 π

nên

x = \frac{π}{5} + \frac{k 2 π}{5}

cos 3 x - cos 5 x = - 2 sin 4 x sin (- x) = 2 sin 4 x sin x

2 sin 4 x sin x = sin x

nên

sin x (2 sin 4 x - 1) = 0

sin x = 0

cho

x = k π

sin 4 x = \frac{1}{2}

cho

4 x = \frac{π}{6} + k 2 π

hoặc

4 x = \frac{5 π}{6} + k 2 π

x = \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

hoặc

x = \frac{5 π}{24} + \frac{k π}{2}

2 cos^{2} x + cos 2 x = 2

với

2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x

1 + cos 2 x + cos 2 x = 2

nên

2 cos 2 x = 1

cos 2 x = \frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}

2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π

nên

x = \pm \frac{π}{6} + k π

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x = \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

nên

sin^{2} 2 x = 1

cos 4 x = 1 - 2 sin^{2} 2 x = - 1

4 x = π + k 2 π

nên

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

Vậy a) $x = - \frac{π}{10} + \frac{k 2 π}{5}$ hoặc $x = \frac{π}{5} + \frac{k 2 π}{5}$ ; b) $x = k π$ , $x = \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}$ hoặc $x = \frac{5 π}{24} + \frac{k π}{2}$ ; c) $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ ; d) $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ với $k \in Z$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ để quy về phương trình đại số

Định hướng. Với ý c và d, đặt ẩn phụ là một hàm lượng giác rồi giải phương trình đại số theo ẩn đó trước khi trả về cung.

c) đặt

t = cos x

với

- 1 \leq t \leq 1

, ta có

cos 2 x = 2 t^{2} - 1

2 t^{2} + 2 t^{2} - 1 = 2

nên

4 t^{2} = 3

t^{2} = \frac{3}{4}

nên

t = \pm \frac{3}{2}

, cả hai đều thuộc

[- 1; 1]

cos x = \frac{3}{2}

cho

x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π

cos x = - \frac{3}{2}

cho

x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π

bốn họ đó gộp lại thành

x = \pm \frac{π}{6} + k π

d) đặt

u = sin^{2} 2 x

với

0 \leq u \leq 1

1 - \frac{u}{2} = \frac{u}{2}

nên

u = 1

sin^{2} 2 x = 1

cho

sin 2 x = \pm 1

, tức

2 x = \frac{π}{2} + k π

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

Vậy ẩn phụ cho cùng tập nghiệm của ý c và ý d như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm số nghiệm trên một chu kì để chắc không thừa không thiếu

Định hướng. Với mỗi ý, đếm nghiệm trên đúng một chu kì của phương trình rồi đối chiếu với số nghiệm mà các họ vừa tìm sinh ra.

a) chu kì của phương trình là

\frac{2 π}{5}

; hai họ nghiệm mỗi họ cho đúng một nghiệm trên đó, là

\frac{π}{5}

và

\frac{3 π}{10}

thử

x = \frac{π}{5}

sin π + cos π = 0 - 1 = - 1

, đúng

c) chu kì là

π

; hai họ cho hai nghiệm

\frac{π}{6}

và

\frac{5 π}{6}

trên nửa khoảng

[0; π)

thử

x = \frac{π}{6}

2 \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2

, đúng

d) chu kì là

\frac{π}{2}

; một họ cho đúng một nghiệm

\frac{π}{4}

trên đó

thử

x = \frac{π}{4}

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

và

\frac{1}{2} sin^{2} \frac{π}{2} = \frac{1}{2}

, đúng

b) chu kì là

2 π

; ba họ nghiệm cho tất cả

10

nghiệm trên nửa khoảng

[0; 2 π)

thử

x = \frac{π}{24}

cos \frac{π}{8} - cos \frac{5 π}{24} = 2 sin \frac{π}{6} sin \frac{π}{24} = sin \frac{π}{24}

, đúng

Vậy số nghiệm trên mỗi chu kì khớp với các họ đã tìm nên tập nghiệm là đầy đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý một phép gom đúng chỗ là ra ngay, đặc biệt ý b phải giữ dạng TÍCH

sin x (2 sin 4 x - 1) = 0

thay vì chia cho

sin x

, nhờ đó không mất họ nghiệm.

Đáp số. a)

x = - \frac{π}{10} + \frac{k 2 π}{5}

hoặc

x = \frac{π}{5} + \frac{k 2 π}{5}

; b)

x = k π

x = \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

hoặc

x = \frac{5 π}{24} + \frac{k π}{2}

; c)

x = \pm \frac{π}{6} + k π

; d)

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

, với

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ý b là bẫy kinh điển: từ

2 sin 4 x sin x = sin x

nhiều bạn chia hai vế cho

sin x

để được

sin 4 x = \frac{1}{2}

, thế là mất sạch họ

x = k π

; kiểm lại thấy

x = π

thoả phương trình gốc vì

cos 3 π - cos 5 π = - 1 - (- 1) = 0 = sin π

. Ý c hay bị dừng ở

cos 2 x = \frac{1}{2}

rồi ghi

x = \frac{π}{6} + k 2 π

, tức bỏ mất họ

x = - \frac{π}{6} + k π

và viết sai chu kì.

🚀 Mở rộng. Ý d cho thấy một tính chất đáng nhớ:

sin^{4} x + cos^{4} x

và

\frac{1}{2} sin^{2} 2 x

có tổng luôn bằng

1

, nên phương trình cho hai lượng bằng nhau tương đương mỗi lượng bằng

\frac{1}{2}

; hãy thử giải

sin^{4} x + cos^{4} x = \frac{3}{4}

theo cùng ý tưởng đó.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 30

Mở bài này trong app ↗

Bài 34 · 1.64★★★★Trang 30— Bài toán thực tế đưa về cực trị của hàm số lượng giác

Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính

30

cm. a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

S (θ) = 450 sin 2 θ

(cm

^{2}

); ở đó góc

θ

được chỉ ra trong hình vẽ. b) Tìm góc

θ

để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật nội tiếp một đường tròn thì đường chéo của nó là ĐƯỜNG KÍNH của đường tròn đó.
Trong tam giác vuông có cạnh huyền $c$ và một góc nhọn $θ$ kề cạnh $a$ : $a = c cos θ$ và cạnh đối $b = c sin θ$ .
$2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ .
$sin 2 θ \leq 1$ với mọi $θ$ , dấu bằng khi $2 θ = \frac{π}{2}$ tức $θ = \frac{π}{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt cắt là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính

30

cm, nên đường chéo của nó luôn bằng

30

và hai cạnh biểu diễn được qua góc

θ

giữa đường chéo với một cạnh. Nhờ đó diện tích thành hàm một biến

θ

và bài toán thực tế chuyển hẳn thành bài tìm giá trị lớn nhất của một hàm lượng giác. Chỗ dễ đi sai ngay từ đầu là lấy

30

làm cạnh hoặc làm bán kính, trong khi

30

là đường KÍNH và cũng chính là đường chéo hình chữ nhật.

1Cách 1. Biểu diễn hai cạnh qua góc

θ

rồi dùng công thức nhân đôi

Định hướng. Đặt tên mặt cắt là hình chữ nhật $A B C D$ có đường chéo $A C$ là đường kính, biểu diễn hai cạnh qua $θ$ rồi lập diện tích.

A C = 30

vì đường chéo của hình chữ nhật nội tiếp là đường kính

tam giác

A B C

vuông tại

B

với góc

θ

tại đỉnh

A

A B = A C cos θ = 30 cos θ

B C = A C sin θ = 30 sin θ

S (θ) = A B \cdot B C = 30 cos θ \cdot 30 sin θ

S (θ) = 900 sin θ cos θ

S (θ) = 450 \cdot 2 sin θ cos θ

S (θ) = 450 sin 2 θ

(cm

^{2}

)

sin 2 θ \leq 1

với mọi

θ

nên

S (θ) \leq 450

dấu bằng khi

sin 2 θ = 1

, tức

2 θ = \frac{π}{2}

θ = \frac{π}{4} = 4 5^{\circ}

Vậy a) $S (θ) = 450 sin 2 θ$ cm $^{2}$ ; b) diện tích lớn nhất bằng $450$ cm $^{2}$ khi $θ = \frac{π}{4}$ , lúc đó mặt cắt là hình vuông.

2Cách 2. Đặt một cạnh làm ẩn rồi dùng bất đẳng thức về tổng hai bình phương

Định hướng. Gọi hai cạnh là $a$ và $b$ , dùng ràng buộc đường chéo rồi đánh giá diện tích bằng bất đẳng thức, không cần tới lượng giác cho ý b.

gọi hai cạnh mặt cắt là

a

và

b

, đường chéo bằng

30

nên

a^{2} + b^{2} = 900

S = ab

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

với mọi

a

b

dương

900 \geq 2 S

nên

S \leq 450

dấu bằng khi

a = b

, tức mặt cắt là hình vuông

a = b

cho

30 cos θ = 30 sin θ

, tức

tan θ = 1

θ = \frac{π}{4}

Vậy diện tích lớn nhất là $450$ cm $^{2}$ , đạt khi $θ = \frac{π}{4}$ , trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng giá trị để thấy diện tích tăng rồi giảm quanh

4 5^{\circ}

Định hướng. Tính $S (θ)$ tại vài góc rồi quan sát: giá trị tăng tới $4 5^{\circ}$ rồi giảm, xác nhận đỉnh nằm đúng tại $4 5^{\circ}$ .

S (θ) = 450 sin 2 θ

S (1 5^{\circ}) = 450 sin 3 0^{\circ} = 450 \cdot \frac{1}{2} = 225

S (3 0^{\circ}) = 450 sin 6 0^{\circ} = 450 \cdot \frac{3}{2} \approx 389, 7

S (4 5^{\circ}) = 450 sin 9 0^{\circ} = 450

S (6 0^{\circ}) = 450 sin 12 0^{\circ} \approx 389, 7

S (7 5^{\circ}) = 450 sin 15 0^{\circ} = 225

bảng giá trị đối xứng quanh

4 5^{\circ}

và đạt lớn nhất tại đó

Vậy bảng giá trị xác nhận diện tích lớn nhất $450$ cm $^{2}$ tại $θ = 4 5^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a vì đề yêu cầu chứng minh đúng công thức đó, rồi dùng ngay

sin 2 θ \leq 1

cho ý b; Cách 2 đáng nhớ vì cho thêm kết luận đẹp là mặt cắt phải là hình vuông.

Đáp số. a)

S (θ) = 450 sin 2 θ

(cm

^{2}

). b)

θ = \frac{π}{4} = 4 5^{\circ}

, khi đó diện tích mặt cắt lớn nhất bằng

450

^{2}

và mặt cắt là hình vuông cạnh

152

Sai lầm thường gặp. Sai nặng nhất là hiểu

30

cm là BÁN KÍNH, khi đó đường chéo thành

60

và diện tích ra

1800 sin 2 θ

, gấp bốn lần đáp số đúng. Lỗi thứ hai ở ý b là giải

sin 2 θ = 1

rồi ghi

θ = \frac{π}{2}

vì quên chia

2

; với

θ = \frac{π}{2}

thì

S = 450 sin π = 0

, tức mặt cắt suy biến nên chắc chắn vô lí.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính

d

có diện tích lớn nhất

\frac{d ^{2}}{2}

và luôn đạt khi nó là hình vuông; thay

d = 30

450

^{2}

, hãy thử xem chu vi của hình chữ nhật ấy lớn nhất khi nào.

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 30

Mở bài này trong app ↗

Bài 35 · 1.65★★★★Trang 30— Bài toán thực tế đếm số nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu trên tâm trương. Chỉ số huyết áp

120/80

là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là

70

lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số

P (t) = 100 + 20 sin \frac{7 π t}{3}

, ở đó

P (t)

là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian

t

tính theo giây. a) Trong khoảng từ

0

giây đến

1

giây, hãy xác định số lần huyết áp là

100

mmHg. b) Trong khoảng từ

0

giây đến

1

giây, hãy xác định số lần huyết áp là

120

mmHg.

Kiến thức cần nhớ

$sin u = 0 \Leftrightarrow u = k π$ ; $sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{π}{2} + k 2 π$ , $k \in Z$ .
Hàm $P (t) = 100 + 20 sin \frac{7 π t}{3}$ có chu kì $T = \frac{2 π}{\frac{7 π}{3}} = \frac{6}{7}$ giây, khớp với nhịp tim $70$ lần mỗi phút.
Huyết áp $P (t) = 100$ ứng với $sin \frac{7 π t}{3} = 0$ ; $P (t) = 120$ là giá trị LỚN NHẤT nên ứng với $sin \frac{7 π t}{3} = 1$ .
Muốn đếm số lần, giải theo $k$ rồi chặn $k$ bởi điều kiện $0 \leq t \leq 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu hỏi đều là đếm số lần một giá trị được nhận, tức đếm nghiệm của phương trình trên đoạn

[0; 1]

, nên sau khi giải phải chặn tham số

k

chứ không dừng ở công thức nghiệm. Điều đáng nhận ra là

120

chính là giá trị lớn nhất của

P

vì

100 + 20 = 120

, nên câu b chỉ có nghiệm khi sin đạt đúng

1

và do đó rất ít nghiệm. Cạm bẫy là chu kì

\frac{6}{7}

giây không chia hết cho

1

giây nên không thể nhân nhẩm số nhịp, buộc phải chặn

k

cẩn thận.

1Cách 1. Giải phương trình theo

t

rồi chặn tham số

k

bởi đoạn thời gian

Định hướng. Viết phương trình cho từng mức huyết áp, giải ra $t$ theo $k$ rồi tìm các số nguyên $k$ cho $t$ thuộc đoạn $[0; 1]$ .

100 + 20 sin \frac{7 π t}{3} = 100

nên

sin \frac{7 π t}{3} = 0

\frac{7 π t}{3} = k π

nên

t = \frac{3 k}{7}

0 \leq \frac{3 k}{7} \leq 1

cho

0 \leq k \leq \frac{7}{3}

k \in {0; 1; 2}

nên

t \in {0; \frac{3}{7}; \frac{6}{7}}

a) có

3

lần huyết áp bằng

100

mmHg

100 + 20 sin \frac{7 π t}{3} = 120

nên

sin \frac{7 π t}{3} = 1

\frac{7 π t}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π

nên

t = \frac{3}{14} + \frac{6 k}{7}

0 \leq \frac{3}{14} + \frac{6 k}{7} \leq 1

cho

- \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{11}{12}

k = 0

nên

t = \frac{3}{14}

b) có

1

lần huyết áp bằng

120

mmHg

Vậy a) $3$ lần, tại các thời điểm $t = 0$ , $t = \frac{3}{7}$ , $t = \frac{6}{7}$ giây; b) $1$ lần, tại thời điểm $t = \frac{3}{14}$ giây.

2Cách 2. Dùng chu kì để đếm số nhịp tim trọn vẹn trong một giây

Định hướng. Tính chu kì của $P$ , xem một giây chứa bao nhiêu chu kì rồi đếm số lần mỗi mức huyết áp xuất hiện trong mỗi chu kì.

chu kì

T = \frac{2 π}{\frac{7 π}{3}} = \frac{6}{7}

(giây)

\frac{1}{T} = \frac{7}{6}

nên một giây chứa một chu kì trọn và thêm

\frac{1}{6}

chu kì

trong mỗi chu kì,

P = 100

xảy ra

2

lần và

P = 120

xảy ra

1

lần

trên chu kì trọn

[0; \frac{6}{7}]

thì

P = 100

tại

t = 0

t = \frac{3}{7}

và

t = \frac{6}{7}

, tức

3

mốc kể cả hai đầu

phần dư

(\frac{6}{7}; 1]

dài

\frac{1}{7}

giây, nghiệm kế tiếp của

P = 100

là

t = \frac{9}{7} > 1

nên không thêm lần nào

với

P = 120

: nghiệm đầu là

t = \frac{3}{14}

, nghiệm kế tiếp

t = \frac{3}{14} + \frac{6}{7} = \frac{15}{14} > 1

nên chỉ

1

lần

Vậy cách đếm theo chu kì cũng cho $3$ lần và $1$ lần.

3Cách 3. Đếm giao điểm của đồ thị với hai đường huyết áp

Định hướng. Vẽ đồ thị $P (t)$ trên đoạn $[0; 1]$ rồi đếm giao điểm với đường $P = 100$ và đường $P = 120$ .

P (t)

dao động quanh giá trị

100

với biên độ

20

nên

80 \leq P (t) \leq 120

đường

P = 100

là trục dao động nên cắt đồ thị tại mọi điểm sin bằng

0

trên

[0; 1]

các điểm đó là

t = 0

t = \frac{3}{7} \approx 0, 43

t = \frac{6}{7} \approx 0, 86

đường

P = 120

đi qua các ĐỈNH của đồ thị nên chỉ tiếp xúc tại điểm cao nhất

trên

[0; 1]

chỉ có một đỉnh, tại

t = \frac{3}{14} \approx 0, 21

đỉnh tiếp theo ở

t = \frac{15}{14} \approx 1, 07

, đã ra ngoài đoạn

Vậy đồ thị cho $3$ giao điểm với đường $P = 100$ và $1$ giao điểm với đường $P = 120$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải rồi chặn

k

là cách duy nhất chắc chắn không bỏ sót mốc nào; Cách 3 nên vẽ kèm để tự kiểm, vì nhìn hình là thấy ngay đường

P = 120

chỉ chạm đúng một đỉnh.

Đáp số. a)

3

lần, tại

t = 0

;

t = \frac{3}{7}

;

t = \frac{6}{7}

(giây). b)

1

lần, tại

t = \frac{3}{14}

(giây)

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở ý b là giải

sin \frac{7 π t}{3} = 1

nhưng viết chu kì

k π

thành

t = \frac{3}{14} + \frac{3 k}{7}

, khi đó thêm nghiệm

t = \frac{9}{14}

và trả lời

2

lần; thay vào thấy

sin \frac{7 π}{3} \cdot \frac{9}{14} = sin \frac{3 π}{2} = - 1

nên

P = 80

chứ không phải

120

. Ở ý a lỗi khác là bỏ mốc

t = 0

rồi trả lời

2

lần, trong khi

P (0) = 100 + 20 sin 0 = 100

đúng bằng mức cần đếm.

🚀 Mở rộng. Đáng chú ý là chu kì

\frac{6}{7}

giây khớp đúng nhịp tim

70

lần mỗi phút vì

\frac{60}{70} = \frac{6}{7}

, nên hệ số

\frac{7 π}{3}

trong đề không hề ngẫu nhiên; hãy thử viết mô hình huyết áp cho người có nhịp tim

80

lần mỗi phút với cùng biên độ

20

Nguồn: SBT Toan 11 — KNTT, tap 1, trang 30

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-11-kn/bai-tap-cuoi-chuong-1.jsp · https://loigiaihay.com/bai-tap-cuoi-chuong-i-sbt-toan-11-kntt-e32840.html