Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 20 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang40–43 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.31★Trang 40— Trắc nghiệm tính số hạng của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Bài 2.31 (trang 40). Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi:

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + n

. Số hạng

u_{4}

là
A.

5

; B.

6

; C.

7

; D.

10

Kiến thức cần nhớ

Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi: biết $u_{1}$ và quy tắc tính $u_{n + 1}$ từ $u_{n}$ .
Tổng $1 + 2 + \dots + m = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy cho bằng hệ thức truy hồi nên muốn có

u_{4}

phải đi qua

u_{2}

u_{3}

; mỗi bước cộng thêm đúng chỉ số

n

của số hạng trước. Chỉ cần ba phép cộng nên tính lần lượt là an toàn nhất. Bẫy nằm ở chỗ cộng nhầm

n + 1

thay cho

n

(ra

u_{4} = 10

, trùng phương án D).

1Cách 1. Tính lần lượt theo hệ thức truy hồi

Định hướng. Thay $n = 1, 2, 3$ vào $u_{n + 1} = u_{n} + n$ .

u_{2} = u_{1} + 1 = 1 + 1 = 2

u_{3} = u_{2} + 2 = 2 + 2 = 4

u_{4} = u_{3} + 3 = 4 + 3 = 7

Vậy $u_{4} = 7$ , chọn phương án C.

2Cách 2. Cộng dồn các hiệu để có công thức tổng quát

Định hướng. Hiệu $u_{k + 1} - u_{k} = k$ nên cộng các hiệu từ $k = 1$ đến $k = n - 1$ sẽ triệt tiêu các số hạng giữa.

u_{n} - u_{1} = (u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n} - u_{n - 1})

u_{n} - 1 = 1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{( n - 1 ) n}{2}

u_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2}

u_{4} = 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} = 1 + 6 = 7

Vậy $u_{4} = 7$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Tính ngược từ từng phương án

Định hướng. Lấy giá trị $u_{4}$ của mỗi phương án, lùi dần bằng $u_{n} = u_{n + 1} - n$ ; phương án nào quay về đúng $u_{1} = 1$ thì chọn.

u_{4} = 5 \Rightarrow u_{3} = 2 \Rightarrow u_{2} = 0 \Rightarrow u_{1} = - 1 \neq = 1

u_{4} = 6 \Rightarrow u_{3} = 3 \Rightarrow u_{2} = 1 \Rightarrow u_{1} = 0 \neq = 1

u_{4} = 7 \Rightarrow u_{3} = 4 \Rightarrow u_{2} = 2 \Rightarrow u_{1} = 1

u_{4} = 10 \Rightarrow u_{3} = 7 \Rightarrow u_{2} = 5 \Rightarrow u_{1} = 4 \neq = 1

Vậy chỉ phương án C cho $u_{1} = 1$ , chọn C.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn $u_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , dùng được khi đề hỏi số hạng ở xa như $u_{100} = 4951$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba phép cộng nhỏ, không thể nhầm; Cách 2 chỉ đáng dùng khi phải tính số hạng có chỉ số lớn.

Đáp số. Chọn C:

u_{4} = 7

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp là cộng chỉ số của số hạng mới thay vì số hạng cũ:

u_{2} = u_{1} + 2 = 3

u_{3} = 3 + 3 = 6

u_{4} = 6 + 4 = 10

rồi chọn D. Hệ thức ghi

u_{n + 1} = u_{n} + n

, tức muốn có

u_{2}

thì cộng

n = 1

chứ không phải

2

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{1} = a

u_{n + 1} = u_{n} + f (n)

có

u_{n} = a + f (1) + f (2) + \dots + f (n - 1)

; thử với

f (n) = 2 n

sẽ được

u_{n} = a + n (n - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.32★★Trang 40— Trắc nghiệm nhận biết dãy số bị chặn

Bài 2.32 (trang 40). Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = 1 - n^{2}

; B.

u_{n} = 2^{n}

; C.

u_{n} = n sin n

; D.

u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1}

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ bị chặn khi có $m$ , $M$ sao cho $m \leq u_{n} \leq M$ với mọi $n \geq 1$ .
Phân thức $\frac{an + b}{c n + e}$ tách được thành hằng số cộng một phân thức có tử là hằng số.
Dãy giảm thì bị chặn trên bởi $u_{1}$ ; dãy tăng thì bị chặn dưới bởi $u_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy bị chặn phải vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nên dãy nào có số hạng lớn tuỳ ý về trị tuyệt đối là loại ngay. Phương án D là phân thức cùng bậc ở tử và mẫu, tách phần nguyên sẽ thấy nó chỉ dao động quanh

- 1

. Bẫy là phương án C:

sin n

bị chặn nhưng nhân với

n

thì không còn bị chặn nữa.

1Cách 1. Tách phần nguyên của phân thức

Định hướng. Viết $u_{n}$ ở phương án D thành $- 1$ cộng một phân thức dương có mẫu tăng dần.

u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1} = \frac{- ( n + 1 ) + 3}{n + 1} = - 1 + \frac{3}{n + 1}

n \geq 1 \Rightarrow n + 1 \geq 2 \Rightarrow 0 < \frac{3}{n + 1} \leq \frac{3}{2}

\Rightarrow - 1 < - 1 + \frac{3}{n + 1} \leq \frac{1}{2}

\Rightarrow - 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

Vậy dãy ở phương án D bị chặn, chọn D.

2Cách 2. Loại ba phương án không bị chặn

Định hướng. Chỉ ra ba dãy A, B, C có số hạng lớn tuỳ ý về trị tuyệt đối.

u_{n} = 1 - n^{2} \leq 1 - n

, với

M > 0

lấy

n > M + 1

thì

u_{n} < - M

u_{n} = 2^{n} \geq n

, với

M > 0

lấy

n > M

thì

u_{n} > M

∣ sin x ∣ < sin \frac{1}{2}

chỉ khi

x \in (k π - \frac{1}{2}; k π + \frac{1}{2})

, khoảng mở dài

1

chứa tối đa một số nguyên

\Rightarrow

trong hai số

n

n + 1

có số

m

với

∣ u_{m} ∣ = m ∣ sin m ∣ \geq m sin \frac{1}{2} > 0, 47 m

\Rightarrow ∣ u_{m} ∣

lớn tuỳ ý khi

n

lớn

Vậy A, B, C đều không bị chặn, chỉ còn D, chọn D.

3Cách 3. Xét tính đơn điệu rồi chặn dưới bằng bất đẳng thức

Định hướng. Dãy giảm thì $u_{1}$ là chặn trên; chặn dưới lấy từ việc tử lớn hơn số đối của mẫu.

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1 - n}{n + 2} - \frac{2 - n}{n + 1}

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( 1 - n ) ( n + 1 ) - ( 2 - n ) ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( 1 - n ^{2} ) - ( 4 - n ^{2} )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{- 3}{( n + 1 ) ( n + 2 )} < 0

\Rightarrow u_{n} \leq u_{1} = \frac{1}{2}

2 - n > - (n + 1) \Rightarrow u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1} > - 1

Vậy $- 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ , dãy D bị chặn, chọn D.

Nhận xét. Cả ba cách cùng cho chặn trên $\frac{1}{2}$ đạt tại $n = 1$ và chặn dưới $- 1$ không bao giờ đạt: số hạng tiến sát $- 1$ khi $n$ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách phần nguyên cho cả hai chặn chỉ trong ba dòng; Cách 2 cần lập luận về

n sin n

khá phức tạp, không nên sa vào khi làm trắc nghiệm.

Đáp số. Chọn D:

- 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

∣ sin n ∣ \leq 1

rồi kết luận

n sin n

bị chặn, quên rằng hệ số

n

tăng mãi; chẳng hạn

u_{11} = 11 sin 11 \approx - 11, 0

và

u_{344} \approx 344 \cdot 0, 35 \approx 120

. Lỗi khác là chỉ thấy phương án A bị chặn trên bởi

0

rồi chọn A, trong khi bị chặn đòi cả hai phía.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n} = \frac{an + b}{c n + e}

(với

c > 0

c n + e > 0

mọi

n

) luôn bị chặn vì

u_{n} = \frac{a}{c} + \frac{b c - a e}{c ( c n + e )}

, phần sau có trị tuyệt đối không vượt quá giá trị tại

n = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.33★★Trang 41— Trắc nghiệm nhận biết dãy số tăng

Bài 2.33 (trang 41). Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = - 2 n + 1

; B.

u_{n} = n^{2} - n + 1

; C.

u_{n} = (- 1)^{n} 2^{n}

; D.

u_{n} = 1 + sin n

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ tăng khi $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \geq 1$ , tức $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ .
Để bác bỏ tính tăng chỉ cần một cặp $u_{k + 1} \leq u_{k}$ .
Hàm $f (x) = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$ đồng biến khi $x \geq \frac{1}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.34★★★Trang 41— Trắc nghiệm tính tuần hoàn của dãy số lượng giác

Bài 2.34 (trang 41). Cho dãy số

u_{n} = 2020 sin \frac{nπ}{2} + 2021 cos \frac{nπ}{3}

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.

u_{n + 6} = u_{n}

; B.

u_{n + 9} = u_{n}

; C.

u_{n + 4} = u_{n}

; D.

u_{n + 12} = u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$sin (x + k 2 π) = sin x$ và $cos (x + k 2 π) = cos x$ với mọi $k \in Z$ .
Dãy $sin \frac{nπ}{2}$ có chu kì $4$ , dãy $cos \frac{nπ}{3}$ có chu kì $6$ ; tổng của chúng có chu kì BCNN $(4; 6) = 12$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.35★Trang 41— Trắc nghiệm nhận biết cấp số cộng

Bài 2.35 (trang 41). Chọn cấp số cộng trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = 3^{n} + 2

; B.

u_{n} = \frac{3}{n} + 1

; C.

u_{n} = 3 n

; D.

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + n

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ là cấp số cộng khi $u_{n + 1} = u_{n} + d$ với mọi $n$ , $d$ là hằng số (công sai).
$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = d n + (u_{1} - d)$ : số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng $an + b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.36★★Trang 41— Trắc nghiệm tính tổng

n

số hạng đầu của cấp số cộng

Bài 2.36 (trang 41). Cho cấp số cộng với

u_{1} = - 2

u_{9} = 22

. Tổng của

50

số hạng đầu của cấp số cộng này là
A.

3570

; B.

3575

; C.

3576

; D.

3580

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
$S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.37★Trang 41— Trắc nghiệm nhận biết cấp số nhân

Bài 2.37 (trang 41). Chọn cấp số nhân trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = 2 n

; B.

u_{n} = \frac{2}{n}

; C.

u_{n} = 2^{n}

; D.

u_{1} = 1

u_{n + 1} = n u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ là cấp số nhân khi $u_{n + 1} = u_{n} \cdot q$ với mọi $n$ , $q$ là hằng số (công bội).
$u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ : số hạng tổng quát của cấp số nhân có dạng $c \cdot q^{n}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.38★★Trang 41— Trắc nghiệm tính tổng các số hạng của cấp số nhân

Bài 2.38 (trang 41). Tổng

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}

bằng
A.

2 + \frac{1}{2 ^{n}}

; B.

2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}

; C.

2 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}

; D.

2 - \frac{1}{2 ^{n}}

Kiến thức cần nhớ

$S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ), $n$ là SỐ số hạng.
Dãy $\frac{1}{2 ^{0}}, \frac{1}{2 ^{1}}, \dots, \frac{1}{2 ^{n}}$ có $n + 1$ số hạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.39★★★★Trang 41— Trắc nghiệm đếm số cấp số nhân thoả điều kiện tổng và tích

Bài 2.39 (trang 41). Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là

31

và tích của chúng là

1024

?
A.

1

; B.

2

; C.

3

; D.

4

Kiến thức cần nhớ

Trong cấp số nhân: $u_{k - 1} u_{k + 1} = u_{k}^{2}$ , suy ra $u_{1} u_{5} = u_{2} u_{4} = u_{3}^{2}$ .
$q^{2} + \frac{1}{q ^{2}} = (q + \frac{1}{q})^{2} - 2$ ; phương trình $q + \frac{1}{q} = t$ có nghiệm thực khi $∣ t ∣ \geq 2$ .
Hai số có tổng $S$ , tích $P$ là nghiệm của $X^{2} - S X + P = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.40★★Trang 41— Trắc nghiệm lãi kép theo kì hạn (cấp số nhân)

Bài 2.40 (trang 41). Ông Trung có

100

triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn

6

tháng với lãi suất

8%

một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau

3

năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?
A.

126532000

đồng; B.

158687000

đồng; C.

125971000

đồng; D.

112486000

đồng.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: sau $N$ kì, số tiền $A_{N} = A_{0} (1 + r)^{N}$ với $r$ là lãi suất một kì.
Lãi suất năm $8%$ , kì hạn $6$ tháng $\Rightarrow r = 4%$ một kì; $3$ năm $= 6$ kì.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.41★★★Trang 41— Trắc nghiệm bài toán thực tế tổng cấp số nhân

Bài 2.41 (trang 41). Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt

20000

đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua

9

lần liên tiếp và thắng ở lần thứ

10

. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?
A. Thắng

20000

đồng; B. Hoà vốn; C. Thua

20000

đồng; D. Thua

40000

đồng.

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ , $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .
Với $q = 2$ : $1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ , tức mỗi lũy thừa của $2$ lớn hơn tổng các lũy thừa trước nó đúng $1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.42★★★★Trang 42— Trắc nghiệm kết hợp cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 2.42 (trang 42). Ba số phân biệt có tổng là

217

có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ

2

, thứ

9

, thứ

44

của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng

210

?
A.

40

; B.

30

; C.

20

; D.

10

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Ba số $a$ , $b$ , $c$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì $b^{2} = a c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.43★★Trang 42— Nhận biết cấp số cộng, cấp số nhân và tìm công sai, công bội

Bài 2.43 (trang 42). Trong các dãy số

(u_{n})

dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.
a)

u_{1} = 2

u_{n + 1} = u_{n} + n

;
b)

u_{n} = 6 n + 3

;
c)

u_{1} = 1

u_{n + 1} = n \cdot u_{n}

;
d)

u_{n} = 3 \cdot 5^{n}

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $u_{n + 1} - u_{n} = d$ không đổi. Cấp số nhân: $u_{n + 1} = q u_{n}$ , $q$ không đổi.
Ba số hạng liên tiếp $a$ , $b$ , $c$ của cấp số cộng thoả $a + c = 2 b$ ; của cấp số nhân thoả $b^{2} = a c$ .
Cấp số cộng có $u_{n} = an + b$ ; cấp số nhân có $u_{n} = c \cdot q^{n}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.44★★★Trang 42— Chứng minh tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân

Bài 2.44 (trang 42). Chứng minh rằng:
a) Nếu

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

và

b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots

là hai cấp số cộng thì

a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}, \dots

cũng là cấp số cộng.
b) Nếu

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

và

b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots

là hai cấp số nhân thì

a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, a_{3} b_{3}, \dots

cũng là cấp số nhân.

Kiến thức cần nhớ

$(a_{n})$ là cấp số cộng công sai $d$ khi $a_{n + 1} = a_{n} + d$ với mọi $n \geq 1$ .
$(a_{n})$ là cấp số nhân công bội $q$ khi $a_{n + 1} = a_{n} q$ với mọi $n \geq 1$ .
Số hạng tổng quát: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ và $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.45★★Trang 42— Bài toán thực tế tăng trưởng theo phần trăm (cấp số nhân)

Bài 2.45 (trang 42). Một con chó con nặng

0, 4

kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm

24%

. Giả sử

u_{n}

(kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ

n

.
a) Viết lần lượt các công thức tính

u_{2}

u_{3}

. Từ đó dự đoán công thức của

u_{n}

.
b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?

Kiến thức cần nhớ

Tăng thêm $p %$ tức là nhân với $1 + \frac{p}{100}$ .
Cấp số nhân: $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 2.46★★Trang 42— Bài toán thực tế cấp số cộng: truy hồi, số hạng tổng quát, tổng

Bài 2.46 (trang 42). Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi

10

phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm

2

phút mỗi ngày sau đó.
a) Tìm công thức truy hồi cho số phút

T_{n}

mà bác ấy bơi vào ngày thứ

n

của chương trình.
b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số

(T_{n})

.
c) Tìm công thức tổng quát của dãy số

(T_{n})

.
d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất

60

phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?
e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau

30

ngày đầu của chương trình.

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $T_{n + 1} = T_{n} + d$ , $T_{n} = T_{1} + (n - 1) d$ .
$S_{n} = \frac{n ( T _{1} + T _{n} )}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 2.47★★★Trang 43— Lập cấp số cộng từ hiệu của dãy số chính phương, lập phương

Bài 2.47 (trang 43). Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, \dots

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.
a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ

n

của cấp số cộng này.
b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, \dots

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ

n

của nó.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ và $(n + 1)^{3} - n^{3} = 3 n^{2} + 3 n + 1$ .
Dãy có số hạng tổng quát dạng $an + b$ là cấp số cộng với công sai $a$ .
Hiệu hai lần của ba số liên tiếp $x$ , $y$ , $z$ là $(z - y) - (y - x) = x + z - 2 y$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 2.48★★★Trang 43— Chứng minh ba số vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân thì bằng nhau

Bài 2.48 (trang 43). Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

$a$ , $b$ , $c$ là cấp số cộng $\Leftrightarrow a + c = 2 b$ .
$a$ , $b$ , $c$ là cấp số nhân thì $b^{2} = a c$ (và $b = a q$ , $c = a q^{2}$ ).
$A^{2} = 0 \Leftrightarrow A = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 2.49★★Trang 43— Bài toán thực tế so sánh tổng cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 2.49 (trang 43). Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng

5

năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là

300

triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:
– Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm

50

triệu đồng.
– Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm

10%

so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
– Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm

30

triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau

5

năm của anh Nam là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số cộng: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Tổng cấp số nhân: $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ ( $q \neq = 1$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 2.50★★★★Trang 43— Cấp số nhân cộng: số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu

Bài 2.50 (trang 43). Một dãy số

(u_{n})

được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u_{1} = a

u_{n + 1} = q u_{n} + d

.
Nếu

q = 1

ta có cấp số cộng với công sai

d

, còn nếu

d = 0

ta có cấp số nhân với công bội

q

.
a) Giả sử

q \neq = 1

. Dự đoán công thức số hạng tổng quát

u_{n}

.
b) Thiết lập công thức tính tổng

S_{n}

của

n

số hạng đầu của cấp số nhân cộng

(u_{n})

Kiến thức cần nhớ

$1 + q + \dots + q^{k - 1} = \frac{1 - q ^{k}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ).
Nếu $v_{n + 1} = q v_{n}$ thì $(v_{n})$ là cấp số nhân, $v_{n} = v_{1} q^{n - 1}$ .
Phương pháp quy nạp: đúng với $n = 1$ , và đúng với $k$ suy ra đúng với $k + 1$ .