Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 20 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.31★Trang 40— Trắc nghiệm tính số hạng của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Bài 2.31 (trang 40). Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi:

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + n

. Số hạng

u_{4}

là
A.

5

; B.

6

; C.

7

; D.

10

Kiến thức cần nhớ

Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi: biết $u_{1}$ và quy tắc tính $u_{n + 1}$ từ $u_{n}$ .
Tổng $1 + 2 + \dots + m = \frac{m ( m + 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy cho bằng hệ thức truy hồi nên muốn có

u_{4}

phải đi qua

u_{2}

u_{3}

; mỗi bước cộng thêm đúng chỉ số

n

của số hạng trước. Chỉ cần ba phép cộng nên tính lần lượt là an toàn nhất. Bẫy nằm ở chỗ cộng nhầm

n + 1

thay cho

n

(ra

u_{4} = 10

, trùng phương án D).

1Cách 1. Tính lần lượt theo hệ thức truy hồi

Định hướng. Thay $n = 1, 2, 3$ vào $u_{n + 1} = u_{n} + n$ .

u_{2} = u_{1} + 1 = 1 + 1 = 2

u_{3} = u_{2} + 2 = 2 + 2 = 4

u_{4} = u_{3} + 3 = 4 + 3 = 7

Vậy $u_{4} = 7$ , chọn phương án C.

2Cách 2. Cộng dồn các hiệu để có công thức tổng quát

Định hướng. Hiệu $u_{k + 1} - u_{k} = k$ nên cộng các hiệu từ $k = 1$ đến $k = n - 1$ sẽ triệt tiêu các số hạng giữa.

u_{n} - u_{1} = (u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n} - u_{n - 1})

u_{n} - 1 = 1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{( n - 1 ) n}{2}

u_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2}

u_{4} = 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} = 1 + 6 = 7

Vậy $u_{4} = 7$ , chọn phương án C.

3Cách 3. Tính ngược từ từng phương án

Định hướng. Lấy giá trị $u_{4}$ của mỗi phương án, lùi dần bằng $u_{n} = u_{n + 1} - n$ ; phương án nào quay về đúng $u_{1} = 1$ thì chọn.

u_{4} = 5 \Rightarrow u_{3} = 2 \Rightarrow u_{2} = 0 \Rightarrow u_{1} = - 1 \neq = 1

u_{4} = 6 \Rightarrow u_{3} = 3 \Rightarrow u_{2} = 1 \Rightarrow u_{1} = 0 \neq = 1

u_{4} = 7 \Rightarrow u_{3} = 4 \Rightarrow u_{2} = 2 \Rightarrow u_{1} = 1

u_{4} = 10 \Rightarrow u_{3} = 7 \Rightarrow u_{2} = 5 \Rightarrow u_{1} = 4 \neq = 1

Vậy chỉ phương án C cho $u_{1} = 1$ , chọn C.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn $u_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , dùng được khi đề hỏi số hạng ở xa như $u_{100} = 4951$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba phép cộng nhỏ, không thể nhầm; Cách 2 chỉ đáng dùng khi phải tính số hạng có chỉ số lớn.

Đáp số. Chọn C:

u_{4} = 7

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp là cộng chỉ số của số hạng mới thay vì số hạng cũ:

u_{2} = u_{1} + 2 = 3

u_{3} = 3 + 3 = 6

u_{4} = 6 + 4 = 10

rồi chọn D. Hệ thức ghi

u_{n + 1} = u_{n} + n

, tức muốn có

u_{2}

thì cộng

n = 1

chứ không phải

2

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{1} = a

u_{n + 1} = u_{n} + f (n)

có

u_{n} = a + f (1) + f (2) + \dots + f (n - 1)

; thử với

f (n) = 2 n

sẽ được

u_{n} = a + n (n - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.32★★Trang 40— Trắc nghiệm nhận biết dãy số bị chặn

Bài 2.32 (trang 40). Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = 1 - n^{2}

; B.

u_{n} = 2^{n}

; C.

u_{n} = n sin n

; D.

u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1}

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ bị chặn khi có $m$ , $M$ sao cho $m \leq u_{n} \leq M$ với mọi $n \geq 1$ .
Phân thức $\frac{an + b}{c n + e}$ tách được thành hằng số cộng một phân thức có tử là hằng số.
Dãy giảm thì bị chặn trên bởi $u_{1}$ ; dãy tăng thì bị chặn dưới bởi $u_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy bị chặn phải vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nên dãy nào có số hạng lớn tuỳ ý về trị tuyệt đối là loại ngay. Phương án D là phân thức cùng bậc ở tử và mẫu, tách phần nguyên sẽ thấy nó chỉ dao động quanh

- 1

. Bẫy là phương án C:

sin n

bị chặn nhưng nhân với

n

thì không còn bị chặn nữa.

1Cách 1. Tách phần nguyên của phân thức

Định hướng. Viết $u_{n}$ ở phương án D thành $- 1$ cộng một phân thức dương có mẫu tăng dần.

u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1} = \frac{- ( n + 1 ) + 3}{n + 1} = - 1 + \frac{3}{n + 1}

n \geq 1 \Rightarrow n + 1 \geq 2 \Rightarrow 0 < \frac{3}{n + 1} \leq \frac{3}{2}

\Rightarrow - 1 < - 1 + \frac{3}{n + 1} \leq \frac{1}{2}

\Rightarrow - 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

Vậy dãy ở phương án D bị chặn, chọn D.

2Cách 2. Loại ba phương án không bị chặn

Định hướng. Chỉ ra ba dãy A, B, C có số hạng lớn tuỳ ý về trị tuyệt đối.

u_{n} = 1 - n^{2} \leq 1 - n

, với

M > 0

lấy

n > M + 1

thì

u_{n} < - M

u_{n} = 2^{n} \geq n

, với

M > 0

lấy

n > M

thì

u_{n} > M

∣ sin x ∣ < sin \frac{1}{2}

chỉ khi

x \in (k π - \frac{1}{2}; k π + \frac{1}{2})

, khoảng mở dài

1

chứa tối đa một số nguyên

\Rightarrow

trong hai số

n

n + 1

có số

m

với

∣ u_{m} ∣ = m ∣ sin m ∣ \geq m sin \frac{1}{2} > 0, 47 m

\Rightarrow ∣ u_{m} ∣

lớn tuỳ ý khi

n

lớn

Vậy A, B, C đều không bị chặn, chỉ còn D, chọn D.

3Cách 3. Xét tính đơn điệu rồi chặn dưới bằng bất đẳng thức

Định hướng. Dãy giảm thì $u_{1}$ là chặn trên; chặn dưới lấy từ việc tử lớn hơn số đối của mẫu.

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1 - n}{n + 2} - \frac{2 - n}{n + 1}

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( 1 - n ) ( n + 1 ) - ( 2 - n ) ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( 1 - n ^{2} ) - ( 4 - n ^{2} )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{- 3}{( n + 1 ) ( n + 2 )} < 0

\Rightarrow u_{n} \leq u_{1} = \frac{1}{2}

2 - n > - (n + 1) \Rightarrow u_{n} = \frac{2 - n}{n + 1} > - 1

Vậy $- 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ , dãy D bị chặn, chọn D.

Nhận xét. Cả ba cách cùng cho chặn trên $\frac{1}{2}$ đạt tại $n = 1$ và chặn dưới $- 1$ không bao giờ đạt: số hạng tiến sát $- 1$ khi $n$ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách phần nguyên cho cả hai chặn chỉ trong ba dòng; Cách 2 cần lập luận về

n sin n

khá phức tạp, không nên sa vào khi làm trắc nghiệm.

Đáp số. Chọn D:

- 1 < u_{n} \leq \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

∣ sin n ∣ \leq 1

rồi kết luận

n sin n

bị chặn, quên rằng hệ số

n

tăng mãi; chẳng hạn

u_{11} = 11 sin 11 \approx - 11, 0

và

u_{344} \approx 344 \cdot 0, 35 \approx 120

. Lỗi khác là chỉ thấy phương án A bị chặn trên bởi

0

rồi chọn A, trong khi bị chặn đòi cả hai phía.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n} = \frac{an + b}{c n + e}

(với

c > 0

c n + e > 0

mọi

n

) luôn bị chặn vì

u_{n} = \frac{a}{c} + \frac{b c - a e}{c ( c n + e )}

, phần sau có trị tuyệt đối không vượt quá giá trị tại

n = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.33★★Trang 41— Trắc nghiệm nhận biết dãy số tăng

Bài 2.33 (trang 41). Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = - 2 n + 1

; B.

u_{n} = n^{2} - n + 1

; C.

u_{n} = (- 1)^{n} 2^{n}

; D.

u_{n} = 1 + sin n

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ tăng khi $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \geq 1$ , tức $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ .
Để bác bỏ tính tăng chỉ cần một cặp $u_{k + 1} \leq u_{k}$ .
Hàm $f (x) = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$ đồng biến khi $x \geq \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy tăng là dãy có

u_{n + 1} > u_{n}

với MỌI

n

, nên cách chuẩn là xét dấu hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

. Chỉ phương án B là đa thức có hệ số cao nhất dương nên dự đoán B, rồi kiểm bằng hiệu. Bẫy: phương án C có trị tuyệt đối tăng nhưng dấu đan xen nên không tăng; phương án D dao động theo

sin n

1Cách 1. Xét hiệu hai số hạng liên tiếp

Định hướng. Tính $u_{n + 1} - u_{n}$ của phương án B và chứng tỏ nó dương với mọi $n$ .

u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1)^{2} - (n + 1) + 1] - (n^{2} - n + 1)

u_{n + 1} - u_{n} = n^{2} + 2 n + 1 - n - 1 + 1 - n^{2} + n - 1

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n > 0

với mọi

n \geq 1

Vậy dãy $u_{n} = n^{2} - n + 1$ tăng, chọn B.

2Cách 2. Loại trừ bằng phản ví dụ

Định hướng. Với mỗi phương án A, C, D chỉ ra một cặp số hạng liên tiếp không tăng.

u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0

với mọi

n

u_{1} = - 2

u_{2} = 4

u_{3} = - 8 < u_{2}

u_{2} = 1 + sin 2 \approx 1, 909

u_{3} = 1 + sin 3 \approx 1, 141 < u_{2}

Vậy A, C, D không tăng, chỉ còn B, chọn B.

3Cách 3. Biến đổi thành bình phương rồi so sánh

Định hướng. Viết $u_{n}$ thành một bình phương cộng hằng số; cơ số không âm và tăng theo $n$ thì bình phương cũng tăng.

u_{n} = n^{2} - n + 1 = (n - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

0 < n - \frac{1}{2} < n + \frac{1}{2}

với mọi

n \geq 1

\Rightarrow (n - \frac{1}{2})^{2} < (n + \frac{1}{2})^{2}

\Rightarrow u_{n} < u_{n + 1}

Vậy dãy B tăng, chọn B.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy lý do sâu hơn: đỉnh parabol ở $x = \frac{1}{2}$ nằm bên trái $n = 1$ , nên trên tập chỉ số dãy luôn đi lên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

là thao tác chuẩn, ra ngay

2 n

; Cách 2 hữu ích khi đang phân vân giữa các phương án.

Đáp số. Chọn B:

u_{n} = n^{2} - n + 1

(vì

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n > 0

Sai lầm thường gặp. Có bạn thấy

∣ u_{n} ∣ = 2^{n}

ở phương án C tăng rồi chọn C, nhưng

u_{3} = - 8 < u_{2} = 4

. Có bạn chỉ thử

u_{1} = 1 < u_{2} = 3

ở phương án B mà không chứng minh cho mọi

n

— hai số hạng đầu tăng chưa đủ để kết luận cả dãy tăng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

u_{n} = a n^{2} + bn + c

với

a > 0

là dãy tăng khi và chỉ khi

u_{2} > u_{1}

, tức

3 a + b > 0

; thử với

a = 1

b = - 1

được

2 > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.34★★★Trang 41— Trắc nghiệm tính tuần hoàn của dãy số lượng giác

Bài 2.34 (trang 41). Cho dãy số

u_{n} = 2020 sin \frac{nπ}{2} + 2021 cos \frac{nπ}{3}

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.

u_{n + 6} = u_{n}

; B.

u_{n + 9} = u_{n}

; C.

u_{n + 4} = u_{n}

; D.

u_{n + 12} = u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$sin (x + k 2 π) = sin x$ và $cos (x + k 2 π) = cos x$ với mọi $k \in Z$ .
Dãy $sin \frac{nπ}{2}$ có chu kì $4$ , dãy $cos \frac{nπ}{3}$ có chu kì $6$ ; tổng của chúng có chu kì BCNN $(4; 6) = 12$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy là tổng của hai dãy lượng giác:

sin \frac{nπ}{2}

lặp lại sau

4

bước,

cos \frac{nπ}{3}

lặp lại sau

6

bước. Tổng lặp lại sau số bước là bội chung của

4

và

6

, nhỏ nhất là

12

. Bẫy:

6

hay

4

chỉ là chu kì của MỘT thành phần, thành phần còn lại chưa quay về.

1Cách 1. Tính trực tiếp

u_{n + 12}

Định hướng. Thay $n + 12$ vào công thức, tách phần là bội của $2 π$ trong mỗi cung.

u_{n + 12} = 2020 sin \frac{( n + 12 ) π}{2} + 2021 cos \frac{( n + 12 ) π}{3}

u_{n + 12} = 2020 sin (\frac{nπ}{2} + 6 π) + 2021 cos (\frac{nπ}{3} + 4 π)

u_{n + 12} = 2020 sin \frac{nπ}{2} + 2021 cos \frac{nπ}{3}

u_{n + 12} = u_{n}

Vậy $u_{n + 12} = u_{n}$ với mọi $n$ , chọn D.

2Cách 2. Tìm chu kì của từng thành phần rồi lấy bội chung

Định hướng. Tìm số bước nhỏ nhất để mỗi cung tăng thêm một bội của $2 π$ .

\frac{( n + p ) π}{2} - \frac{nπ}{2} = \frac{p π}{2} = k 2 π \Leftrightarrow p = 4 k

\frac{( n + p ) π}{3} - \frac{nπ}{3} = \frac{p π}{3} = l 2 π \Leftrightarrow p = 6 l

p

vừa là bội của

4

vừa là bội của

6

\Rightarrow p

là bội của

12

Vậy trong các số $6$ , $9$ , $4$ , $12$ chỉ có $12$ thoả mãn, chọn D.

3Cách 3. Loại trừ bằng giá trị cụ thể

Định hướng. Tính vài số hạng đầu, tìm phản ví dụ cho A, B, C.

u_{1} = 2020 \cdot 1 + 2021 \cdot \frac{1}{2} = \frac{6061}{2}

u_{7} = 2020 sin \frac{7 π}{2} + 2021 cos \frac{7 π}{3} = - 2020 + \frac{2021}{2} = - \frac{2019}{2} \neq = u_{1}

u_{10} = 2020 sin 5 π + 2021 cos \frac{10 π}{3} = 0 - \frac{2021}{2} \neq = u_{1}

u_{2} = 2020 sin π + 2021 cos \frac{2 π}{3} = - \frac{2021}{2}

u_{6} = 2020 sin 3 π + 2021 cos 2 π = 2021 \neq = u_{2}

Vậy A, B, C đều sai, chọn D.

Nhận xét. Ở phương án C, thử $n = 1$ lại cho $u_{5} = u_{1}$ nên không bắt được lỗi; phải đổi sang $n = 2$ . Một đẳng thức đúng với vài $n$ chưa chắc đúng với mọi $n$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn mẫu số của hai cung là thấy chu kì

4

và

6

, ra

12

trong vài giây; Cách 1 dùng để trình bày chặt chẽ khi làm tự luận.

Đáp số. Chọn D:

u_{n + 12} = u_{n}

với mọi

n

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là chỉ nhìn một thành phần: thấy

cos \frac{nπ}{3}

có chu kì

6

rồi chọn A, hoặc thấy

sin \frac{nπ}{2}

có chu kì

4

rồi chọn C. Lỗi khác là lấy tích

4 \cdot 6 = 24

thay cho BCNN, tuy

24

cũng là một chu kì nhưng không có trong phương án nên dễ hoang mang.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

u_{n} = A sin \frac{nπ}{a} + B cos \frac{nπ}{b}

(

a

b

nguyên dương,

A

B

khác

0

) tuần hoàn với chu kì BCNN

(2 a; 2 b)

; thử với

a = 3

b = 4

được chu kì

24

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.35★Trang 41— Trắc nghiệm nhận biết cấp số cộng

Bài 2.35 (trang 41). Chọn cấp số cộng trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = 3^{n} + 2

; B.

u_{n} = \frac{3}{n} + 1

; C.

u_{n} = 3 n

; D.

u_{1} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + n

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ là cấp số cộng khi $u_{n + 1} = u_{n} + d$ với mọi $n$ , $d$ là hằng số (công sai).
$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = d n + (u_{1} - d)$ : số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng $an + b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cấp số cộng là dãy mà hiệu hai số hạng liên tiếp là một HẰNG SỐ. Công thức tổng quát của cấp số cộng luôn là hàm bậc nhất theo

n

, nên phương án C lộ ra ngay. Bẫy ở D: hệ thức nhìn giống cấp số cộng nhưng lượng cộng thêm là

n

thay đổi.

1Cách 1. Xét hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

Định hướng. Tính hiệu hai số hạng liên tiếp của phương án C, thấy không phụ thuộc $n$ .

u_{n + 1} - u_{n} = 3 (n + 1) - 3 n = 3

với mọi

n \geq 1

Vậy dãy $u_{n} = 3 n$ là cấp số cộng với công sai $d = 3$ , chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng ba số hạng đầu

Định hướng. Viết ba số hạng đầu của mỗi dãy, dãy nào có hai hiệu liên tiếp khác nhau thì bị loại.

5, 11, 29

; hiệu

6 \neq = 18

4, \frac{5}{2}, 2

; hiệu

- \frac{3}{2} \neq = - \frac{1}{2}

1, 2, 4

; hiệu

1 \neq = 2

3, 6, 9

; hiệu

3 = 3

Vậy A, B, D bị loại, chọn C.

3Cách 3. Nhận dạng qua dạng số hạng tổng quát

Định hướng. Cấp số cộng có $u_{n} = an + b$ ; so dạng công thức của từng phương án.

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = d n + (u_{1} - d)

u_{n} = 3 n = 3 n + 0

có dạng

an + b

với

a = 3

3^{n} + 2

là hàm mũ; B:

\frac{3}{n} + 1

là phân thức; D:

u_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2}

là bậc hai

Vậy chỉ dãy C là cấp số cộng, $u_{1} = 3$ , $d = 3$ ; chọn C.

Nhận xét. Hệ số $a$ của $n$ chính là công sai, còn $u_{1} = a + b$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhìn dạng

an + b

là chọn ngay; muốn chắc chắn thì thêm một dòng hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

như Cách 1.

Đáp số. Chọn C:

u_{n} = 3 n

là cấp số cộng với công sai

d = 3

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn D vì hệ thức

u_{n + 1} = u_{n} + n

có dạng "số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm", quên rằng lượng cộng thêm phải là hằng số. Chỉ kiểm hai số hạng đầu cũng không đủ: dãy nào cũng có một hiệu

u_{2} - u_{1}

, phải so ít nhất hai hiệu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy cho bởi

u_{n} = f (n)

là cấp số cộng khi và chỉ khi

f (n + 1) - f (n)

không phụ thuộc

n

; với

f

là đa thức thì điều đó xảy ra đúng khi

f

có bậc không quá

1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.36★★Trang 41— Trắc nghiệm tính tổng

n

số hạng đầu của cấp số cộng

Bài 2.36 (trang 41). Cho cấp số cộng với

u_{1} = - 2

u_{9} = 22

. Tổng của

50

số hạng đầu của cấp số cộng này là
A.

3570

; B.

3575

; C.

3576

; D.

3580

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
$S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

u_{1}

và một số hạng khác là đủ tìm công sai, sau đó áp công thức tổng. Có hai dạng công thức tổng, chọn dạng nào cũng được nhưng phải nhớ đúng hệ số

(n - 1)

. Bẫy là tính

u_{9} = u_{1} + 9 d

(thừa một công sai), ra

d = \frac{8}{3}

lẻ và sai hết.

1Cách 1. Tìm công sai rồi dùng công thức tổng theo

u_{1}

d

Định hướng. Từ $u_{9}$ ra $d$ , rồi thay vào $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .

u_{9} = u_{1} + 8 d

22 = - 2 + 8 d

d = 3

S_{50} = \frac{50 [ 2 \cdot ( - 2 ) + 49 \cdot 3 ]}{2} = 25 \cdot (- 4 + 147) = 25 \cdot 143 = 3575

Vậy $S_{50} = 3575$ , chọn B.

2Cách 2. Tìm số hạng cuối rồi dùng tổng hai đầu mút

Định hướng. Tính $u_{50}$ rồi dùng $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .

8 d = u_{9} - u_{1} = 24 \Rightarrow d = 3

u_{50} = u_{1} + 49 d = - 2 + 147 = 145

S_{50} = \frac{50 ( u _{1} + u _{50} )}{2} = 25 \cdot (- 2 + 145) = 3575

Vậy $S_{50} = 3575$ , chọn B.

3Cách 3. Tách tổng thành phần hằng và phần tăng đều

Định hướng. Mỗi số hạng $u_{k} = u_{1} + (k - 1) d$ , cộng $50$ số hạng thì phần $u_{1}$ lặp $50$ lần, phần $d$ nhân với $0 + 1 + \dots + 49$ .

S_{50} = 50 u_{1} + d (0 + 1 + 2 + \dots + 49)

S_{50} = 50 \cdot (- 2) + 3 \cdot \frac{49 \cdot 50}{2}

S_{50} = - 100 + 3 \cdot 1225 = - 100 + 3675 = 3575

Vậy $S_{50} = 3575$ , chọn B.

Nhận xét. Có thể loại nhanh A, C, D bằng tính chẵn lẻ: $S_{50} = 25 \cdot 143$ là số lẻ tận cùng $5$ , chỉ B thoả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2:

u_{50}

và tổng hai đầu mút là số nhỏ, dễ nhẩm; Cách 1 cũng ngắn nhưng dễ quên nhân đôi

u_{1}

Đáp số. Chọn B:

S_{50} = 3575

(với

d = 3

u_{50} = 145

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: viết

u_{9} = u_{1} + 9 d

nên ra

d = \frac{8}{3}

; hoặc nhớ nhầm

S_{n} = \frac{n [ u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}

(thiếu hệ số

2

của

u_{1}

), ra

25 \cdot 145 = 3625

không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, biết

u_{1}

và

u_{k}

thì

d = \frac{u _{k} - u _{1}}{k - 1}

và

S_{n} = n u_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot \frac{u _{k} - u _{1}}{k - 1}

; thử lại với

k = 9

n = 50

được đúng

3575

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.37★Trang 41— Trắc nghiệm nhận biết cấp số nhân

Bài 2.37 (trang 41). Chọn cấp số nhân trong các dãy số

(u_{n})

sau:
A.

u_{n} = 2 n

; B.

u_{n} = \frac{2}{n}

; C.

u_{n} = 2^{n}

; D.

u_{1} = 1

u_{n + 1} = n u_{n}

Kiến thức cần nhớ

$(u_{n})$ là cấp số nhân khi $u_{n + 1} = u_{n} \cdot q$ với mọi $n$ , $q$ là hằng số (công bội).
$u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ : số hạng tổng quát của cấp số nhân có dạng $c \cdot q^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cấp số nhân là dãy có tỉ số hai số hạng liên tiếp là một HẰNG SỐ, nên số hạng tổng quát có dạng lũy thừa

c \cdot q^{n}

với

n

nằm ở số mũ. Chỉ phương án C có

n

ở số mũ. Bẫy ở D: hệ thức giống cấp số nhân nhưng hệ số nhân là

n

thay đổi.

1Cách 1. Xét tỉ số

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

Định hướng. Các số hạng của dãy C khác $0$ nên xét tỉ số hai số hạng liên tiếp.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{n}} = 2

với mọi

n \geq 1

Vậy $u_{n} = 2^{n}$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ , chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng ba số hạng đầu

Định hướng. Ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân phải có hai tỉ số bằng nhau.

2, 4, 6

; tỉ số

2 \neq = \frac{3}{2}

2, 1, \frac{2}{3}

; tỉ số

\frac{1}{2} \neq = \frac{2}{3}

1, 1, 2

; tỉ số

1 \neq = 2

2, 4, 8

; tỉ số

2 = 2

Vậy A, B, D bị loại, chọn C.

3Cách 3. Nhận dạng qua dạng số hạng tổng quát

Định hướng. Viết $2^{n}$ về đúng khuôn $u_{1} q^{n - 1}$ .

u_{n} = 2^{n} = 2 \cdot 2^{n - 1}

\Rightarrow u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

với

u_{1} = 2

q = 2

2 n

là bậc nhất (cấp số cộng); B:

\frac{2}{n}

là phân thức; D:

u_{n} = (n - 1)!

Vậy chỉ dãy C là cấp số nhân, chọn C.

Nhận xét. Dãy A là cấp số cộng công sai $2$ , đặt cạnh C để thấy rõ khác biệt: cộng thêm $2$ khác nhân thêm $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thấy

n

ở số mũ là chọn ngay; cần chắc chắn thì thêm một dòng tỉ số như Cách 1.

Đáp số. Chọn C:

u_{n} = 2^{n}

là cấp số nhân với

u_{1} = 2

, công bội

q = 2

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm A là cấp số nhân vì "

2 n

có chữ

2

nhân

n

" — thực ra đó là cấp số cộng. Chọn D vì hệ thức "

u_{n + 1} = n u_{n}

" nhìn giống

u_{n + 1} = q u_{n}

là quên rằng

q

phải không đổi.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

u_{n} = c \cdot a^{k n + m}

(

c \neq = 0

a \neq = 0

) luôn là cấp số nhân với công bội

a^{k}

; thử với

u_{n} = 3 \cdot 2^{2 n - 1}

được công bội

4

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.38★★Trang 41— Trắc nghiệm tính tổng các số hạng của cấp số nhân

Bài 2.38 (trang 41). Tổng

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}

bằng
A.

2 + \frac{1}{2 ^{n}}

; B.

2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}

; C.

2 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}

; D.

2 - \frac{1}{2 ^{n}}

Kiến thức cần nhớ

$S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ), $n$ là SỐ số hạng.
Dãy $\frac{1}{2 ^{0}}, \frac{1}{2 ^{1}}, \dots, \frac{1}{2 ^{n}}$ có $n + 1$ số hạng.

🧠 Phân tích tư duy

Các số hạng là lũy thừa của

\frac{1}{2}

nên đây là tổng của một cấp số nhân công bội

\frac{1}{2}

. Điểm mấu chốt là ĐẾM ĐÚNG số số hạng: từ

\frac{1}{2 ^{0}}

đến

\frac{1}{2 ^{n}}

có

n + 1

số hạng. Bẫy: đếm thành

n

số hạng sẽ ra phương án B.

1Cách 1. Áp công thức tổng cấp số nhân

Định hướng. Cấp số nhân có $u_{1} = 1$ , $q = \frac{1}{2}$ và $n + 1$ số hạng.

1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 1 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}}

1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}})

1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}

Vậy tổng bằng $2 - \frac{1}{2 ^{n}}$ , chọn D.

2Cách 2. Nhân với công bội rồi trừ vế theo vế

Định hướng. Đặt $S$ là tổng, $2 S$ có gần hết các số hạng của $S$ ; trừ đi thì chỉ còn hai đầu.

S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}

2 S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}}

2 S - S = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}

S = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Thử với giá trị nhỏ của

n

Định hướng. Công thức đúng phải đúng với mọi $n$ ; thử $n = 1$ rồi $n = 2$ để loại.

n = 1

1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

\frac{5}{2}

; B:

2 - 1 = 1

; C:

2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

; D:

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

n = 2

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

và D:

2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

Vậy chỉ D khớp, chọn D.

Nhận xét. Cách 2 cũng giải thích bằng hình: đoạn dài $2$ , lấy dần $1$ , rồi nửa phần còn lại, rồi nửa tiếp… sau $n + 1$ lần còn thiếu đúng $\frac{1}{2 ^{n}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thử

n = 1

đã loại được ba phương án chỉ bằng nhẩm; khi làm tự luận thì trình bày Cách 1.

Đáp số. Chọn D:

1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là đếm

n

số hạng rồi dùng

S_{n} = \frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1/2} = 2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}

, chọn B. Kiểm bằng

n = 1

: tổng là

\frac{3}{2}

còn B cho

1

, sai ngay.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq = 1

); với

q = \frac{1}{3}

tổng bằng

\frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{n + 1}})

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.39★★★★Trang 41— Trắc nghiệm đếm số cấp số nhân thoả điều kiện tổng và tích

Bài 2.39 (trang 41). Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là

31

và tích của chúng là

1024

?
A.

1

; B.

2

; C.

3

; D.

4

Kiến thức cần nhớ

Trong cấp số nhân: $u_{k - 1} u_{k + 1} = u_{k}^{2}$ , suy ra $u_{1} u_{5} = u_{2} u_{4} = u_{3}^{2}$ .
$q^{2} + \frac{1}{q ^{2}} = (q + \frac{1}{q})^{2} - 2$ ; phương trình $q + \frac{1}{q} = t$ có nghiệm thực khi $∣ t ∣ \geq 2$ .
Hai số có tổng $S$ , tích $P$ là nghiệm của $X^{2} - S X + P = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cấp số nhân năm số hạng có tính chất đối xứng quanh số hạng giữa:

u_{1} u_{5} = u_{2} u_{4} = u_{3}^{2}

, nên tích năm số hạng bằng

u_{3}^{5}

và cho ngay

u_{3} = 4

. Khi đó tổng là biểu thức đối xứng theo

q

và

\frac{1}{q}

, đặt

t = q + \frac{1}{q}

để hạ bậc. Bẫy: đảo thứ tự một cấp số nhân (thay

q

bằng

\frac{1}{q}

) cho một cấp số nhân KHÁC, không được gộp làm một.

1Cách 1. Đặt số hạng giữa và ẩn phụ

t = q + \frac{1}{q}

Định hướng. Viết năm số hạng là $\frac{u _{3}}{q ^{2}}, \frac{u _{3}}{q}, u_{3}, u_{3} q, u_{3} q^{2}$ ; tích cho $u_{3}$ , tổng cho phương trình đối xứng theo $q$ .

\frac{u _{3}}{q ^{2}} \cdot \frac{u _{3}}{q} \cdot u_{3} \cdot u_{3} q \cdot u_{3} q^{2} = u_{3}^{5} = 1024 = 4^{5} \Rightarrow u_{3} = 4

4 (\frac{1}{q ^{2}} + \frac{1}{q} + 1 + q + q^{2}) = 31

4 (t^{2} - 2 + t + 1) = 31

với

t = q + \frac{1}{q}

4 t^{2} + 4 t - 35 = 0

Δ^{'} = 4 + 140 = 144 \Rightarrow t = \frac{- 2 \pm 12}{4}

, tức

t = \frac{5}{2}

hoặc

t = - \frac{7}{2}

4 t^{2} + 14 t - 10 t - 35 = 0 \Leftrightarrow (2 t + 7) (2 t - 5) = 0

(tách nhân tử, cùng kết quả)

t = \frac{5}{2}

2 q^{2} - 5 q + 2 = 0

;

Δ = 25 - 16 = 9

;

2 q^{2} - 4 q - q + 2 = (q - 2) (2 q - 1) = 0 \Rightarrow q = 2

hoặc

q = \frac{1}{2}

t = - \frac{7}{2}

2 q^{2} + 7 q + 2 = 0

;

Δ = 49 - 16 = 33 > 0 \Rightarrow q = \frac{- 7 \pm 33}{4}

Vậy có $4$ giá trị $q$ phân biệt, ứng với $4$ cấp số nhân; chọn D.

2Cách 2. Đặt theo

u_{1}

và

q

, đưa về phương trình hồi quy bậc bốn

Định hướng. Dùng $u_{1}$ , $q$ như định nghĩa; loại riêng $q = 0$ và $q = 1$ rồi dùng công thức tổng.

q = 0

: tích bằng

0 \neq = 1024

(loại);

q = 1

u_{1} = \frac{31}{5}

, tích

(\frac{31}{5})^{5} \neq = 1024

(loại)

u_{1}^{5} q^{10} = (u_{1} q^{2})^{5} = 4^{5} \Rightarrow u_{1} = \frac{4}{q ^{2}}

\frac{4}{q ^{2}} \cdot \frac{1 - q ^{5}}{1 - q} = 31 \Rightarrow 4 (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 31 q^{2}

4 q^{4} + 4 q^{3} - 27 q^{2} + 4 q + 4 = 0

4 (q^{2} + \frac{1}{q ^{2}}) + 4 (q + \frac{1}{q}) - 27 = 0

4 (t^{2} - 2) + 4 t - 27 = 0 \Leftrightarrow 4 t^{2} + 4 t - 35 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}

hoặc

t = - \frac{7}{2}

∣ t ∣ \geq 2

ở cả hai nghiệm

\Rightarrow

mỗi giá trị

t

cho hai giá trị

q

phân biệt

Vậy có $4$ cấp số nhân, chọn D.

3Cách 3. Dùng Vi-ét cho cặp số hạng đối xứng

Định hướng. Đặt $s = u_{2} + u_{4}$ ; vì $u_{2} u_{4} = 16$ và $u_{1} u_{5} = 16$ nên $u_{1} + u_{5}$ tính được theo $s$ .

u_{2} u_{4} = u_{1} u_{5} = u_{3}^{2} = 16

u_{1} + u_{5} = \frac{u _{2}^{2}}{u _{3}} + \frac{u _{4}^{2}}{u _{3}} = \frac{( u _{2} + u _{4} ) ^{2} - 2 u _{2} u _{4}}{4} = \frac{s ^{2} - 32}{4}

\frac{s ^{2} - 32}{4} + s + 4 = 31 \Leftrightarrow s^{2} + 4 s - 140 = 0

s^{2} + 14 s - 10 s - 140 = (s + 14) (s - 10) = 0 \Rightarrow s = 10

hoặc

s = - 14

s = 10

X^{2} - 10 X + 16 = 0 \Rightarrow {u_{2}; u_{4}} = {2; 8}

cho

1, 2, 4, 8, 16

và

16, 8, 4, 2, 1

s = - 14

X^{2} + 14 X + 16 = 0

Δ^{'} = 49 - 16 = 33 \Rightarrow {u_{2}; u_{4}} = {- 7 + 33; - 7 - 33}

, hai thứ tự

Vậy có $2 + 2 = 4$ cấp số nhân, chọn D.

Nhận xét. Cặp $1, 2, 4, 8, 16$ và $16, 8, 4, 2, 1$ là hai cấp số nhân khác nhau (công bội $2$ và $\frac{1}{2}$ ), đúng với việc $q$ và $\frac{1}{q}$ cùng ứng với một giá trị $t$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tích cho

u_{3} = 4

ngay, ẩn phụ

t

đưa về phương trình bậc hai gọn; Cách 2 phải đi qua đa thức bậc bốn nên dài và dễ sai hệ số.

Đáp số. Chọn D: có

4

cấp số nhân (công bội

2

\frac{1}{2}

\frac{- 7 + 33}{4}

\frac{- 7 - 33}{4}

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến: coi

1, 2, 4, 8, 16

và

16, 8, 4, 2, 1

là một nên chỉ đếm được

2

(chọn B), hoặc chỉ tìm được nghiệm "đẹp"

t = \frac{5}{2}

rồi bỏ qua

t = - \frac{7}{2}

vì nghiệm

q

chứa căn (chọn B). Cũng có bạn quên kiểm

∣ t ∣ \geq 2

: nếu

t

ra giá trị trong

(- 2; 2)

thì không có

q

thực.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, cấp số nhân

5

số hạng có tích

P

và tổng

S

thì

u_{3} = 5 P

và

t = q + \frac{1}{q}

thoả

t^{2} + t - 1 = \frac{S}{u _{3}}

; thử với

P = 32

S = 31

xem có bao nhiêu cấp số nhân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.40★★Trang 41— Trắc nghiệm lãi kép theo kì hạn (cấp số nhân)

Bài 2.40 (trang 41). Ông Trung có

100

triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn

6

tháng với lãi suất

8%

một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau

3

năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?
A.

126532000

đồng; B.

158687000

đồng; C.

125971000

đồng; D.

112486000

đồng.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: sau $N$ kì, số tiền $A_{N} = A_{0} (1 + r)^{N}$ với $r$ là lãi suất một kì.
Lãi suất năm $8%$ , kì hạn $6$ tháng $\Rightarrow r = 4%$ một kì; $3$ năm $= 6$ kì.

🧠 Phân tích tư duy

Lãi kép kì hạn

6

tháng nghĩa là cứ mỗi

6

tháng tiền gốc được nhân với

(1 + r)

, trong đó

r

là lãi suất CỦA MỘT KÌ, bằng nửa lãi suất năm. Ba năm là

6

kì nên số tiền là số hạng của cấp số nhân công bội

1, 04

. Bẫy: dùng thẳng

8%

cho mỗi kì

6

tháng, hoặc tính

3

kì thay cho

6

kì — cả hai đều có sẵn phương án nhiễu.

1Cách 1. Áp công thức lãi kép theo kì

Định hướng. Đổi lãi suất năm về lãi suất kì, đếm số kì rồi thay vào $A_{0} (1 + r)^{N}$ .

r = \frac{8%}{2} = 4% = 0, 04

;

N = \frac{36}{6} = 6

A_{6} = 100 \cdot (1 + 0, 04)^{6} = 100 \cdot 1, 0 4^{6}

A_{6} \approx 100 \cdot 1, 265319 \approx 126, 532

(triệu đồng)

Vậy số tiền gần nhất với $126532000$ đồng, chọn A.

2Cách 2. Gộp theo từng năm

Định hướng. Mỗi năm có hai kì, nên hệ số tăng của một năm là $1, 0 4^{2}$ ; ba năm nhân ba lần.

1, 0 4^{2} = 1, 0816

A = 100 \cdot 1, 081 6^{3}

A = 100 \cdot 1, 0816 \cdot 1, 16985856 \approx 100 \cdot 1, 265319 \approx 126, 532

(triệu đồng)

Vậy chọn A.

3Cách 3. Nhận diện phương án nhiễu

Định hướng. Mỗi phương án sai ứng với một cách hiểu sai lãi suất hay số kì; nhận diện chúng rồi giữ lại cách hiểu đúng.

100 \cdot 1, 0 8^{6} \approx 158, 687

(dùng

8%

cho mỗi kì

6

tháng)
C:

100 \cdot 1, 0 8^{3} \approx 125, 971

(gộp lãi theo năm, sai kì hạn)
D:

100 \cdot 1, 0 4^{3} \approx 112, 486

(chỉ tính

3

kì)
A:

100 \cdot 1, 0 4^{6} \approx 126, 532

(

6

kì,

4%

mỗi kì)

Vậy chọn A.

Nhận xét. So sánh A và C: cùng lãi suất năm $8%$ nhưng ghép lãi $6$ tháng một lần cho nhiều hơn ghép lãi một năm một lần khoảng $561$ nghìn đồng, vì lãi được tính lãi sớm hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần đổi đúng

r = 4%

và

N = 6

, bấm máy một lần; Cách 3 giúp tự kiểm vì mỗi phương án nhiễu ứng đúng một lỗi.

Đáp số. Chọn A: khoảng

126532000

đồng (

100 \cdot 1, 0 4^{6} \approx 126, 532

triệu đồng).

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến nhất là dùng

8%

cho mỗi kì

6

tháng, ra

158687000

đồng (phương án B) — đây là lãi suất của CẢ NĂM. Lỗi thứ hai là đếm

3

năm thành

3

kì, ra

112486000

đồng (phương án D).

🚀 Mở rộng. Tổng quát, lãi suất năm

R

, ghép lãi

m

lần mỗi năm thì sau

t

năm có

A_{0} (1 + \frac{R}{m})^{m t}

; thử

m = 12

(kì hạn

1

tháng) với bài này được khoảng

127, 024

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.41★★★Trang 41— Trắc nghiệm bài toán thực tế tổng cấp số nhân

Bài 2.41 (trang 41). Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt

20000

đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua

9

lần liên tiếp và thắng ở lần thứ

10

. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?
A. Thắng

20000

đồng; B. Hoà vốn; C. Thua

20000

đồng; D. Thua

40000

đồng.

Kiến thức cần nhớ

$u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ , $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .
Với $q = 2$ : $1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ , tức mỗi lũy thừa của $2$ lớn hơn tổng các lũy thừa trước nó đúng $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiền đặt mỗi lần gấp đôi lần trước nên các khoản cược là cấp số nhân

u_{1} = 20000

q = 2

. Thua

9

lần là mất tổng

S_{9}

; lần thứ

10

thắng thì nhận về gấp đôi tiền cược, tức lời thêm đúng

u_{10}

. Bẫy nằm ở cách hiểu "nhận gấp đôi": số tiền nhận về đã gồm cả tiền vốn đặt cược.

1Cách 1. So sánh tiền lời lần 10 với tổng tiền thua

Định hướng. Tính số tiền mất trong $9$ lần đầu và tiền lời ở lần $10$ , rồi lấy hiệu.

S_{9} = 20000 \cdot \frac{2 ^{9} - 1}{2 - 1} = 20000 \cdot 511 = 10220000

u_{10} = 20000 \cdot 2^{9} = 10240000

u_{10} - S_{9} = 10240000 - 10220000 = 20000

Vậy du khách thắng $20000$ đồng, chọn A.

2Cách 2. Tổng tiền bỏ ra so với tiền nhận về

Định hướng. Cộng tất cả $10$ khoản đã đặt, so với số tiền nhận về ở lần thắng.

S_{10} = 20000 \cdot (2^{10} - 1) = 20000 \cdot 1023 = 20460000

2 u_{10} = 2 \cdot 10240000 = 20480000

2 u_{10} - S_{10} = 20480000 - 20460000 = 20000

Vậy du khách thắng $20000$ đồng, chọn A.

3Cách 3. Dùng tính chất lũy thừa của 2

Định hướng. Không cần tính số lớn: lũy thừa $2^{9}$ vượt tổng $1 + 2 + \dots + 2^{8}$ đúng $1$ đơn vị.

u_{10} - S_{9} = 20000 [2^{9} - (1 + 2 + \dots + 2^{8})]

u_{10} - S_{9} = 20000 [2^{9} - (2^{9} - 1)]

u_{10} - S_{9} = 20000 \cdot 1 = 20000

Vậy du khách thắng $20000$ đồng, chọn A.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc số lần thua: thua bao nhiêu lần rồi thắng một lần thì vẫn chỉ lời đúng tiền cược đầu $20000$ đồng, trong khi số vốn phải có lên tới hơn $20$ triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: một dòng lũy thừa của

2

cho ngay đáp số, không phải nhân số lớn; Cách 1 là trình bày chuẩn khi làm tự luận.

Đáp số. Chọn A: du khách thắng

20000

đồng.

Sai lầm thường gặp. Hay sai khi hiểu "nhận gấp đôi" là lời gấp đôi, tức lời

2 u_{10} = 20480000

đồng, rồi kết luận thắng

10260000

đồng (không có phương án). Lỗi khác là tính

S_{10}

thay cho

S_{9}

làm tiền thua, ra thua hơn

10

triệu đồng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, cược

a

đồng, mỗi lần gấp đôi, thua

k

lần rồi thắng thì luôn lời đúng

a

đồng; nếu mỗi lần gấp ba thì lời

a \cdot \frac{3 ^{k} + 1}{2}

đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.42★★★★Trang 42— Trắc nghiệm kết hợp cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 2.42 (trang 42). Ba số phân biệt có tổng là

217

có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ

2

, thứ

9

, thứ

44

của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng

210

?
A.

40

; B.

30

; C.

20

; D.

10

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Ba số $a$ , $b$ , $c$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì $b^{2} = a c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số vừa là

u_{2}

u_{9}

u_{44}

của cấp số cộng vừa là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân: hai điều kiện đó cùng với tổng

217

đủ để tìm

u_{1}

và

d

. Khoảng cách chỉ số

9 - 2 = 7

và

44 - 9 = 35

gấp nhau

5

lần, đó chính là công bội. Bẫy: "ba số phân biệt" dùng để loại

d = 0

1Cách 1. Lập hệ theo

u_{2}

và

d

Định hướng. Viết ba số theo $u_{2}$ và $d$ , dùng điều kiện cấp số nhân $b^{2} = a c$ và tổng $217$ .

u_{9} = u_{2} + 7 d

u_{44} = u_{2} + 42 d

(u_{2} + 7 d)^{2} = u_{2} (u_{2} + 42 d)

14 u_{2} d + 49 d^{2} = 42 u_{2} d

7 d (7 d - 4 u_{2}) = 0 \Rightarrow 7 d = 4 u_{2}

(vì

d \neq = 0

)

u_{2} + u_{9} + u_{44} = 3 u_{2} + 49 d = 3 u_{2} + 28 u_{2} = 31 u_{2} = 217 \Rightarrow u_{2} = 7

d = 4

u_{1} = 3

S_{n} = \frac{n [ 6 + 4 ( n - 1 ) ]}{2} = n (2 n + 1) = 210

2 n^{2} + n - 210 = 0

;

Δ = 1 + 1680 = 1681 = 4 1^{2} \Rightarrow n = \frac{- 1 + 41}{4} = 10

(loại

n = - \frac{21}{2}

)

2 n^{2} + 21 n - 20 n - 210 = (2 n + 21) (n - 10) = 0

(tách nhân tử, cùng kết quả)

Vậy phải lấy $10$ số hạng đầu, chọn D.

2Cách 2. Tìm công bội từ tỉ số các khoảng cách

Định hướng. Gọi ba số là $x$ , $x q$ , $x q^{2}$ ; hiệu hai số liên tiếp trong cấp số cộng bằng số bước nhân công sai.

x q - x = u_{9} - u_{2} = 7 d

;

x q^{2} - x q = u_{44} - u_{9} = 35 d

\frac{x q ( q - 1 )}{x ( q - 1 )} = \frac{35 d}{7 d} \Rightarrow q = 5

x (1 + 5 + 25) = 217 \Rightarrow x = 7

; ba số là

7, 35, 175

d = \frac{35 - 7}{7} = 4

u_{1} = u_{2} - d = 3

S_{10} = \frac{10 ( u _{1} + u _{10} )}{2} = 5 (3 + 39) = 210

Vậy cần $10$ số hạng đầu, chọn D.

3Cách 3. Tìm tham số rồi thử ngược bốn phương án

Định hướng. Có $u_{1} = 3$ , $d = 4$ thì $S_{n} = n (2 n + 1)$ ; thay từng phương án và so với $210$ .

S_{n} = \frac{n [ 2 \cdot 3 + ( n - 1 ) \cdot 4 ]}{2} = n (2 n + 1)

S_{40} = 40 \cdot 81 = 3240

; B:

S_{30} = 30 \cdot 61 = 1830

S_{20} = 20 \cdot 41 = 820

; D:

S_{10} = 10 \cdot 21 = 210

Vậy chỉ D cho đúng $210$ , chọn D.

Nhận xét. Tổng $S_{n} = n (2 n + 1)$ là tích của hai số nguyên tố cùng nhau; $210 = 10 \cdot 21$ nhìn ra ngay $n = 10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tỉ số

\frac{35}{7}

cho công bội

5

tức thì, ba số

7

35

175

hiện ra không cần giải hệ; Cách 1 là cách lập hệ chuẩn nhưng dài hơn.

Đáp số. Chọn D:

10

số hạng (cấp số cộng

u_{1} = 3

d = 4

; ba số là

7

35

175

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: viết

u_{44} = u_{2} + 43 d

(đếm thừa một bước) làm hệ sai hết; hoặc giải

7 d (7 d - 4 u_{2}) = 0

mà giữ cả

d = 0

, khi đó ba số bằng nhau

\frac{217}{3}

, trái với giả thiết "phân biệt".

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

u_{a}

u_{b}

u_{c}

của một cấp số cộng (công sai khác

0

) lập thành cấp số nhân thì công bội là

\frac{c - b}{b - a}

; ở đây

\frac{44 - 9}{9 - 2} = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.43★★Trang 42— Nhận biết cấp số cộng, cấp số nhân và tìm công sai, công bội

Bài 2.43 (trang 42). Trong các dãy số

(u_{n})

dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.
a)

u_{1} = 2

u_{n + 1} = u_{n} + n

;
b)

u_{n} = 6 n + 3

;
c)

u_{1} = 1

u_{n + 1} = n \cdot u_{n}

;
d)

u_{n} = 3 \cdot 5^{n}

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $u_{n + 1} - u_{n} = d$ không đổi. Cấp số nhân: $u_{n + 1} = q u_{n}$ , $q$ không đổi.
Ba số hạng liên tiếp $a$ , $b$ , $c$ của cấp số cộng thoả $a + c = 2 b$ ; của cấp số nhân thoả $b^{2} = a c$ .
Cấp số cộng có $u_{n} = an + b$ ; cấp số nhân có $u_{n} = c \cdot q^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Với dãy cho bằng công thức tổng quát (ý b, d) thì xét trực tiếp hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

hoặc tỉ số

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

. Với dãy truy hồi mà lượng thêm vào phụ thuộc

n

(ý a, c) thì đoán là không phải, và chỉ cần một phản ví dụ từ ba số hạng đầu. Bẫy: phải kết luận CẢ HAI ý "không là cấp số cộng" và "không là cấp số nhân".

1Cách 1. Xét hiệu, tỉ số và phản ví dụ

Định hướng. Ý b, d xét hiệu hoặc tỉ số tổng quát; ý a, c tính ba số hạng đầu để bác bỏ.

u_{1} = 2

u_{2} = 3

u_{3} = 5

;

u_{2} - u_{1} = 1 \neq = u_{3} - u_{2} = 2

;

\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{3}{2} \neq = \frac{u _{3}}{u _{2}} = \frac{5}{3}

u_{n + 1} - u_{n} = 6 (n + 1) + 3 - (6 n + 3) = 6

u_{1} = 1

u_{2} = 1 \cdot 1 = 1

u_{3} = 2 \cdot 1 = 2

;

u_{2} - u_{1} = 0 \neq = u_{3} - u_{2} = 1

;

\frac{u _{2}}{u _{1}} = 1 \neq = \frac{u _{3}}{u _{2}} = 2

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3 \cdot 5 ^{n + 1}}{3 \cdot 5 ^{n}} = 5

Vậy a) và c) không là cấp số cộng, không là cấp số nhân; b) là cấp số cộng, $d = 6$ ; d) là cấp số nhân, $q = 5$ .

2Cách 2. Nhận dạng qua công thức số hạng tổng quát

Định hướng. Tìm công thức tổng quát của từng dãy rồi so với hai khuôn $an + b$ và $c \cdot q^{n}$ .

u_{n} = 2 + (1 + 2 + \dots + (n - 1)) = 2 + \frac{n ( n - 1 )}{2}

: bậc hai theo

n

u_{n} = 6 n + 3

: dạng

an + b

với

a = 6

u_{n} = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n - 1) = (n - 1)!

: tăng nhanh hơn mọi dạng

c \cdot q^{n}

vì tỉ số

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n

tăng mãi
d)

u_{n} = 3 \cdot 5^{n} = 15 \cdot 5^{n - 1}

: dạng

u_{1} q^{n - 1}

với

u_{1} = 15

q = 5

Vậy chỉ b) là cấp số cộng ( $d = 6$ ) và chỉ d) là cấp số nhân ( $q = 5$ ).

3Cách 3. Dùng tính chất ba số hạng liên tiếp

Định hướng. Cấp số cộng cần $u_{k - 1} + u_{k + 1} = 2 u_{k}$ , cấp số nhân cần $u_{k}^{2} = u_{k - 1} u_{k + 1}$ với mọi $k \geq 2$ .

k = 2

u_{1} + u_{3} = 7 \neq = 2 u_{2} = 6

;

u_{2}^{2} = 9 \neq = u_{1} u_{3} = 10

u_{k - 1} + u_{k + 1} = (6 k - 3) + (6 k + 9) = 12 k + 6 = 2 u_{k}

k = 2

u_{1} + u_{3} = 3 \neq = 2 u_{2} = 2

;

u_{2}^{2} = 1 \neq = u_{1} u_{3} = 2

u_{k - 1} u_{k + 1} = 9 \cdot 5^{2 k} = (3 \cdot 5^{k})^{2} = u_{k}^{2}

, các số hạng khác

0

Vậy b) là cấp số cộng với $d = u_{2} - u_{1} = 6$ ; d) là cấp số nhân với $q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = 5$ ; a), c) không là cấp số cộng và không là cấp số nhân.

Nhận xét. Ở ý d), tính chất $u_{k}^{2} = u_{k - 1} u_{k + 1}$ chỉ đủ để kết luận khi mọi số hạng khác $0$ ; dãy $1, 0, 0, 0, \dots$ thoả tính chất đó nhưng không phải cấp số nhân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hiệu hoặc tỉ số cho ý b, d chỉ một dòng, phản ví dụ ba số hạng cho ý a, c cũng một dòng; Cách 2 giúp hiểu vì sao a, c không thể là cấp số.

Đáp số. a) Không là cấp số cộng, không là cấp số nhân; b) cấp số cộng, công sai

d = 6

; c) không là cấp số cộng, không là cấp số nhân; d) cấp số nhân, công bội

q = 5

Sai lầm thường gặp. Ở ý c,

u_{2} = u_{1} = 1

khiến nhiều bạn vội kết luận "cấp số nhân công bội

1

" hoặc "cấp số cộng công sai

0

" chỉ từ hai số hạng đầu; phải xét thêm

u_{3} = 2

. Ở ý d, hay nhầm số hạng đầu là

3

(thực ra

u_{1} = 15

), tuy công bội vẫn là

5

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

u_{n + 1} = u_{n} + f (n)

là cấp số cộng khi và chỉ khi

f

là hằng; dãy

u_{n + 1} = g (n) u_{n}

(các số hạng khác

0

) là cấp số nhân khi và chỉ khi

g

là hằng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.44★★★Trang 42— Chứng minh tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân

Bài 2.44 (trang 42). Chứng minh rằng:
a) Nếu

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

và

b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots

là hai cấp số cộng thì

a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}, \dots

cũng là cấp số cộng.
b) Nếu

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

và

b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots

là hai cấp số nhân thì

a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, a_{3} b_{3}, \dots

cũng là cấp số nhân.

Kiến thức cần nhớ

$(a_{n})$ là cấp số cộng công sai $d$ khi $a_{n + 1} = a_{n} + d$ với mọi $n \geq 1$ .
$(a_{n})$ là cấp số nhân công bội $q$ khi $a_{n + 1} = a_{n} q$ với mọi $n \geq 1$ .
Số hạng tổng quát: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ và $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cấp số tổng quát nên phải đặt tên công sai

d_{1}

d_{2}

(hoặc công bội

q_{1}

q_{2}

) rồi đi đúng định nghĩa. Tổng hai cấp số cộng có hiệu liên tiếp bằng tổng hai công sai; tích hai cấp số nhân có tỉ số liên tiếp bằng tích hai công bội. Chú ý dùng định nghĩa dạng NHÂN

u_{n + 1} = q u_{n}

ở ý b để khỏi vướng chuyện chia cho số hạng bằng

0

1Cách 1. Dùng định nghĩa bằng hệ thức truy hồi

Định hướng. Gọi $d_{1}$ , $d_{2}$ là công sai và $q_{1}$ , $q_{2}$ là công bội, biến đổi số hạng thứ $n + 1$ của dãy mới.

a_{n + 1} + b_{n + 1} = (a_{n} + d_{1}) + (b_{n} + d_{2}) = (a_{n} + b_{n}) + (d_{1} + d_{2})

với mọi

n \geq 1

a_{n + 1} b_{n + 1} = (a_{n} q_{1}) (b_{n} q_{2}) = (a_{n} b_{n}) \cdot q_{1} q_{2}

với mọi

n \geq 1

Vậy $(a_{n} + b_{n})$ là cấp số cộng công sai $d_{1} + d_{2}$ , $(a_{n} b_{n})$ là cấp số nhân công bội $q_{1} q_{2}$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng công thức số hạng tổng quát

Định hướng. Viết $a_{n}$ , $b_{n}$ theo số hạng đầu, rồi đưa tổng, tích về đúng khuôn của cấp số cộng, cấp số nhân.

a_{n} + b_{n} = [a_{1} + (n - 1) d_{1}] + [b_{1} + (n - 1) d_{2}] = (a_{1} + b_{1}) + (n - 1) (d_{1} + d_{2})

a_{n} b_{n} = a_{1} q_{1}^{n - 1} \cdot b_{1} q_{2}^{n - 1} = (a_{1} b_{1}) (q_{1} q_{2})^{n - 1}

Vậy dãy tổng có dạng $c_{1} + (n - 1) D$ với $c_{1} = a_{1} + b_{1}$ , $D = d_{1} + d_{2}$ ; dãy tích có dạng $p_{1} Q^{n - 1}$ với $p_{1} = a_{1} b_{1}$ , $Q = q_{1} q_{2}$ (đpcm).

3Cách 3. Dùng tính chất ba số hạng liên tiếp

Định hướng. Với $k \geq 2$ : cấp số cộng thoả $x_{k - 1} + x_{k + 1} = 2 x_{k}$ ; đem cộng hai đẳng thức như vậy. Ý b dùng hiệu $c_{k + 1} - q_{1} q_{2} c_{k}$ để khỏi chia.

(a_{k - 1} + b_{k - 1}) + (a_{k + 1} + b_{k + 1}) = (a_{k - 1} + a_{k + 1}) + (b_{k - 1} + b_{k + 1}) = 2 a_{k} + 2 b_{k} = 2 (a_{k} + b_{k})

c_{k} = a_{k} b_{k}

c_{k + 1} - q_{1} q_{2} c_{k} = a_{k + 1} b_{k + 1} - (q_{1} a_{k}) (q_{2} b_{k}) = a_{k + 1} b_{k + 1} - a_{k + 1} b_{k + 1} = 0

Vậy dãy tổng thoả tính chất trung bình cộng nên là cấp số cộng; dãy tích thoả $c_{k + 1} = q_{1} q_{2} c_{k}$ nên là cấp số nhân (đpcm).

Nhận xét. Tính chất trung bình cộng $x_{k - 1} + x_{k + 1} = 2 x_{k}$ với mọi $k \geq 2$ là ĐIỀU KIỆN ĐỦ cho cấp số cộng; còn $x_{k}^{2} = x_{k - 1} x_{k + 1}$ thì chưa đủ cho cấp số nhân khi có số hạng bằng $0$ , nên ý b không đi đường đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng định nghĩa, hai dòng là xong và không có trường hợp ngoại lệ; Cách 2 cho thêm luôn số hạng đầu của dãy mới.

Đáp số. a)

(a_{n} + b_{n})

là cấp số cộng với công sai

d_{1} + d_{2}

; b)

(a_{n} b_{n})

là cấp số nhân với công bội

q_{1} q_{2}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở ý b là chứng minh bằng tỉ số

\frac{a _{n + 1} b _{n + 1}}{a _{n} b _{n}} = q_{1} q_{2}

mà không để ý có thể có số hạng bằng

0

(ví dụ

a_{n} = 0

với mọi

n \geq 2

khi

q_{1} = 0

). Một lỗi khác là "chứng minh" bằng ví dụ số cụ thể — ví dụ chỉ minh hoạ, không thay được lập luận với

d_{1}

d_{2}

tổng quát.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: tích hai cấp số CỘNG nói chung không là cấp số cộng (ví dụ

n \cdot n = n^{2}

), còn tổng hai cấp số NHÂN nói chung không là cấp số nhân (ví dụ

2^{n} + 3^{n}

cho

5, 13, 35

có

1 3^{2} \neq = 5 \cdot 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.45★★Trang 42— Bài toán thực tế tăng trưởng theo phần trăm (cấp số nhân)

Bài 2.45 (trang 42). Một con chó con nặng

0, 4

kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm

24%

. Giả sử

u_{n}

(kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ

n

.
a) Viết lần lượt các công thức tính

u_{2}

u_{3}

. Từ đó dự đoán công thức của

u_{n}

.
b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?

Kiến thức cần nhớ

Tăng thêm $p %$ tức là nhân với $1 + \frac{p}{100}$ .
Cấp số nhân: $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi tuần khối lượng tăng

24%

tức được nhân với

1, 24

: đó là dấu hiệu của cấp số nhân công bội

1, 24

. Theo cách lập mô hình của sách, mốc

u_{1} = 0, 4

là khối lượng ban đầu và mỗi tuần sau nhân thêm

1, 24

. Khi dự đoán

u_{n}

phải đếm đúng số lần nhân là

n - 1

1Cách 1. Tính lần lượt rồi dự đoán theo quy luật

Định hướng. Viết $u_{2}$ , $u_{3}$ dưới dạng $u_{1}$ nhân với lũy thừa của $1, 24$ để lộ ra quy luật số mũ.

u_{1} = 0, 4

u_{2} = u_{1} + 24% \cdot u_{1} = u_{1} (1 + 0, 24) = 0, 4 \cdot 1, 24

u_{3} = u_{2} (1 + 0, 24) = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{2}

u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1}

u_{6} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{5} \approx 1, 173

Vậy a) $u_{2} = 0, 4 \cdot 1, 24$ , $u_{3} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{2}$ , $u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1}$ ; b) khi sáu tuần tuổi con chó nặng khoảng $1, 173$ kg.

2Cách 2. Lập bảng khối lượng từng tuần

Định hướng. Nhân liên tiếp với $1, 24$ , ghi đủ chữ số để không dồn sai số khi làm tròn.

u_{1} = 0, 4

u_{2} = 0, 4 \cdot 1, 24 = 0, 496

u_{3} = 0, 496 \cdot 1, 24 = 0, 61504

u_{4} = 0, 61504 \cdot 1, 24 = 0, 7626496

u_{5} = 0, 7626496 \cdot 1, 24 \approx 0, 9456855

u_{6} \approx 0, 9456855 \cdot 1, 24 \approx 1, 17265

Vậy con chó nặng khoảng $1, 173$ kg khi sáu tuần tuổi.

3Cách 3. Chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp

Định hướng. Hệ thức $u_{k + 1} = 1, 24 u_{k}$ đúng với mọi $k$ , nên chứng minh $u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1}$ bằng quy nạp rồi thay $n = 6$ .

n = 1

u_{1} = 0, 4 = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{\circ}

Giả sử

u_{k} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{k - 1}

\Rightarrow u_{k + 1} = 1, 24 \cdot u_{k} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{k}

\Rightarrow u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1}

với mọi

n \geq 1

u_{6} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{5} = 0, 4 \cdot 2, 93162506 \dots \approx 1, 173

Vậy công thức $u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1}$ đúng với mọi $n$ và $u_{6} \approx 1, 173$ kg.

Nhận xét. Nếu lấy mốc $0, 4$ kg là lúc mới sinh (tuần $0$ ) và đếm đủ $6$ lần tăng thì được $0, 4 \cdot 1, 2 4^{6} \approx 1, 454$ kg; cách lập mô hình của sách là $u_{1} = 0, 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết hai số hạng là thấy ngay dạng cấp số nhân, rồi bấm máy

0, 4 \cdot 1, 2 4^{5}

một lần; Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra.

Đáp số. a)

u_{2} = 0, 4 \cdot 1, 24

u_{3} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{2}

, dự đoán

u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1}

; b)

u_{6} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{5} \approx 1, 173

kg.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là cộng thêm

24%

của khối lượng BAN ĐẦU mỗi tuần (như cấp số cộng), ra

0, 4 + 5 \cdot 0, 096 = 0, 88

kg — sai vì

24%

tính trên khối lượng của tuần trước. Lỗi khác là viết

u_{n} = 0, 4 \cdot 1, 2 4^{n}

(thừa một lần nhân) rồi ra

1, 454

kg trong khi mô hình của đề lấy

u_{1} = 0, 4

🚀 Mở rộng. Tổng quát, đại lượng ban đầu

A

tăng

p %

mỗi kì thì sau

k

kì bằng

A (1 + \frac{p}{100})^{k}

; với bài này, con chó vượt

2

kg lần đầu khi

0, 4 \cdot 1, 2 4^{n - 1} > 2

, tức

n = 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 2.46★★Trang 42— Bài toán thực tế cấp số cộng: truy hồi, số hạng tổng quát, tổng

Bài 2.46 (trang 42). Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi

10

phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm

2

phút mỗi ngày sau đó.
a) Tìm công thức truy hồi cho số phút

T_{n}

mà bác ấy bơi vào ngày thứ

n

của chương trình.
b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số

(T_{n})

.
c) Tìm công thức tổng quát của dãy số

(T_{n})

.
d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất

60

phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?
e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau

30

ngày đầu của chương trình.

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $T_{n + 1} = T_{n} + d$ , $T_{n} = T_{1} + (n - 1) d$ .
$S_{n} = \frac{n ( T _{1} + T _{n} )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Thêm

2

phút mỗi ngày" là cộng một hằng số, nên

(T_{n})

là cấp số cộng

T_{1} = 10

d = 2

. Năm ý đi đúng trình tự: truy hồi, liệt kê, số hạng tổng quát, giải bất phương trình theo

n

, tính tổng. Bẫy ở ý d: "ít nhất

60

phút" là bất phương trình

T_{n} \geq 60

và phải lấy

n

NHỎ NHẤT.

1Cách 1. Dùng các công thức cấp số cộng

Định hướng. Nhận ra cấp số cộng $T_{1} = 10$ , $d = 2$ rồi áp lần lượt công thức cho từng ý.

T_{1} = 10

T_{n + 1} = T_{n} + 2

với mọi

n \geq 1

T_{1} = 10

T_{2} = 12

T_{3} = 14

T_{4} = 16

T_{5} = 18

T_{6} = 20

T_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n + 8

T_{n} \geq 60 \Leftrightarrow 2 n + 8 \geq 60 \Leftrightarrow n \geq 26

T_{30} = 2 \cdot 30 + 8 = 68

;

S_{30} = \frac{30 ( 10 + 68 )}{2} = 15 \cdot 78 = 1170

Vậy a) $T_{1} = 10$ , $T_{n + 1} = T_{n} + 2$ ; b) $10, 12, 14, 16, 18, 20$ ; c) $T_{n} = 2 n + 8$ ; d) ngày thứ $26$ ; e) $1170$ phút (tức $19$ giờ $30$ phút).

2Cách 2. Đếm số lần tăng và ghép cặp Gauss

Định hướng. Ý d đếm cần bao nhiêu lần tăng $2$ phút; ý e ghép ngày đầu với ngày cuối thành các cặp có tổng bằng nhau.

60 - 10 = 50

phút cần tăng thêm, mỗi ngày tăng

2

phút

\Rightarrow 50 : 2 = 25

lần tăng

\Rightarrow

đạt

60

phút ở ngày

1 + 25 = 26

(ngày

25

mới có

58

phút)
e)

T_{1} + T_{30} = T_{2} + T_{29} = \dots = T_{15} + T_{16} = 10 + 68 = 78

S_{30} = 15 \cdot 78 = 1170

Vậy ngày thứ $26$ và tổng $1170$ phút.

3Cách 3. Tách tổng thành phần cố định và phần tăng thêm

Định hướng. Mỗi ngày gồm $10$ phút cố định cộng $2 (n - 1)$ phút tăng thêm; cộng riêng hai phần.

T_{n} = 10 + 2 (n - 1)

S_{30} = 30 \cdot 10 + 2 (0 + 1 + 2 + \dots + 29)

S_{30} = 300 + 2 \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 300 + 870 = 1170

Vậy tổng thời gian bơi sau $30$ ngày là $1170$ phút.

Nhận xét. Cả ba cách đều cho $1170$ phút; từ ngày thứ $26$ trở đi bác Hưng luôn bơi ít nhất $60$ phút vì dãy tăng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: năm ý đều là áp công thức cấp số cộng trực tiếp, trình bày gọn và đủ ý; Cách 2 nhẩm nhanh để kiểm tra ý d, e.

Đáp số. a)

T_{1} = 10

T_{n + 1} = T_{n} + 2

(

n \geq 1

); b)

10

;

12

;

14

;

16

;

18

;

20

; c)

T_{n} = 2 n + 8

; d) ngày thứ

26

; e)

1170

phút.

Sai lầm thường gặp. Ở ý d hay tính

60 : 2 = 30

rồi trả lời ngày

30

, hoặc giải

10 + 2 n = 60

ra ngày

25

(quên rằng ngày đầu chưa tăng). Ở ý e hay nhầm

S_{30} = 30 \cdot T_{30} = 2040

vì quên lấy trung bình của ngày đầu và ngày cuối.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bắt đầu

a

phút, mỗi ngày thêm

d

phút thì ngày đầu tiên đạt mục tiêu

M

phút là ngày

1 + ⌈ \frac{M - a}{d} ⌉

; thử với

a = 15

d = 3

M = 60

được ngày

16

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 2.47★★★Trang 43— Lập cấp số cộng từ hiệu của dãy số chính phương, lập phương

Bài 2.47 (trang 43). Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, \dots

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.
a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ

n

của cấp số cộng này.
b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, \dots

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ

n

của nó.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ và $(n + 1)^{3} - n^{3} = 3 n^{2} + 3 n + 1$ .
Dãy có số hạng tổng quát dạng $an + b$ là cấp số cộng với công sai $a$ .
Hiệu hai lần của ba số liên tiếp $x$ , $y$ , $z$ là $(z - y) - (y - x) = x + z - 2 y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy

n^{2}

là bậc hai nên hiệu liên tiếp của nó là bậc nhất, tức một cấp số cộng. Dãy

n^{3}

là bậc ba: lấy hiệu một lần được bậc hai (chưa phải cấp số cộng), lấy hiệu thêm lần nữa mới được bậc nhất. Bẫy ở ý b: nhiều bạn dừng ở hiệu lần một

7, 19, 37, \dots

tưởng đã xong.

1Cách 1. Tính trực tiếp từ các số đã cho

Định hướng. Trừ từng cặp số liên tiếp; với lập phương thì trừ thêm một lần nữa trên dãy hiệu.

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 - 16 = 9

36 - 25 = 11

49 - 36 = 13

64 - 49 = 15

81 - 64 = 17

u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1

(cấp số cộng,

u_{1} = 3

d = 2

)
b) hiệu lần một:

7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, \dots

(chưa là cấp số cộng)
c) hiệu lần hai:

12, 18, 24, 30, 36, 42, 48

v_{n} = 12 + (n - 1) \cdot 6 = 6 n + 6

Vậy a) $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17$ và $u_{n} = 2 n + 1$ ; b) lấy hiệu hai số hạng liên tiếp, rồi lấy hiệu liên tiếp của dãy hiệu đó; c) $12, 18, 24, 30, 36, 42, 48$ và $v_{n} = 6 n + 6$ .

2Cách 2. Biến đổi đại số bằng hằng đẳng thức

Định hướng. Tính hiệu tổng quát theo $n$ thay vì từng số, rồi lấy hiệu tiếp cho đến khi được bậc nhất.

u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} = 2 n + 1

;

u_{n + 1} - u_{n} = 2

w_{n} = (n + 1)^{3} - n^{3} = 3 n^{2} + 3 n + 1

;

w_{n + 1} - w_{n}

còn phụ thuộc

n

v_{n} = w_{n + 1} - w_{n} = [3 (n + 1)^{2} + 3 (n + 1) + 1] - (3 n^{2} + 3 n + 1)

v_{n} = 6 n + 3 + 3 = 6 n + 6

;

v_{n + 1} - v_{n} = 6

Vậy cấp số cộng ở ý a có $u_{n} = 2 n + 1$ , ở ý c có $v_{n} = 6 n + 6$ (công sai $6$ ).

3Cách 3. Công thức hiệu hai lần cho ba số hạng liên tiếp

Định hướng. Hiệu hai lần của ba lập phương liên tiếp là $n^{3} + (n + 2)^{3} - 2 (n + 1)^{3}$ ; khai triển một lần là ra công thức.

v_{n} = n^{3} + (n + 2)^{3} - 2 (n + 1)^{3}

(số đầu cộng số thứ ba trừ hai lần số giữa)
c)

v_{n} = n^{3} + (n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8) - 2 (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1)

v_{n} = 6 n + 6

v_{1} = 1 + 27 - 16 = 12

v_{2} = 8 + 64 - 54 = 18

, …,

v_{7} = 343 + 729 - 1024 = 48

Vậy bảy số hạng là $12, 18, 24, 30, 36, 42, 48$ và $v_{n} = 6 n + 6$ .

Nhận xét. Ở ý a có thể nhìn hình: thêm vào hình vuông cạnh $n$ một "thước thợ" gồm $2 n + 1$ ô để thành hình vuông cạnh $n + 1$ — đó là số hạng $u_{n}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hằng đẳng thức cho ngay công thức tổng quát và chứng minh luôn là cấp số cộng; Cách 1 dùng để liệt kê số hạng.

Đáp số. a)

3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17

u_{n} = 2 n + 1

; b) lấy hiệu liên tiếp hai lần (số đầu cộng số thứ ba trừ hai lần số giữa của ba lập phương liên tiếp); c)

12; 18; 24; 30; 36; 42; 48

v_{n} = 6 n + 6

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp ở ý b là dừng ở hiệu lần một

7, 19, 37, 61, \dots

: hiệu của dãy này là

12, 18, 24

không bằng nhau nên nó KHÔNG phải cấp số cộng. Ở ý a có bạn viết

u_{n} = n^{2} - (n - 1)^{2} = 2 n - 1

rồi lấy

u_{1} = 1

, lệch chỉ số so với cách đánh số tám hiệu

3, 5, \dots, 17

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dãy

n^{k}

phải lấy hiệu liên tiếp

k - 1

lần mới được cấp số cộng, và lấy hiệu

k

lần thì được dãy hằng

k!

; với

k = 3

công sai là

3! = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 2.48★★★Trang 43— Chứng minh ba số vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân thì bằng nhau

Bài 2.48 (trang 43). Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

$a$ , $b$ , $c$ là cấp số cộng $\Leftrightarrow a + c = 2 b$ .
$a$ , $b$ , $c$ là cấp số nhân thì $b^{2} = a c$ (và $b = a q$ , $c = a q^{2}$ ).
$A^{2} = 0 \Leftrightarrow A = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng cho một đẳng thức (trung bình cộng), lập thành cấp số nhân cho một đẳng thức (trung bình nhân). Kết hợp hai đẳng thức sẽ ra một bình phương bằng

0

. Chọn cách đặt ẩn khéo (đối xứng quanh số giữa) giúp lời giải ngắn nhất.

1Cách 1. Đặt số đầu và số cuối

Định hướng. Gọi hai số ngoài là $x$ , $y$ ; điều kiện cấp số cộng cho số giữa, điều kiện cấp số nhân cho phương trình giữa $x$ và $y$ .

Ba số:

x, \frac{x + y}{2}, y

(\frac{x + y}{2})^{2} = x y

x^{2} + 2 x y + y^{2} = 4 x y

(x - y)^{2} = 0 \Rightarrow x = y

\frac{x + y}{2} = \frac{2 x}{2} = x

Vậy ba số đều bằng $x$ (đpcm).

2Cách 2. Đặt đối xứng theo công sai

Định hướng. Viết ba số của cấp số cộng là $a - d$ , $a$ , $a + d$ rồi áp điều kiện cấp số nhân.

(a - d) (a + d) = a^{2}

a^{2} - d^{2} = a^{2}

d^{2} = 0 \Rightarrow d = 0

Vậy ba số là $a$ , $a$ , $a$ , bằng nhau (đpcm).

3Cách 3. Đặt theo công bội

Định hướng. Viết ba số của cấp số nhân là $a$ , $a q$ , $a q^{2}$ rồi áp điều kiện cấp số cộng.

a + a q^{2} = 2 a q

a (q^{2} - 2 q + 1) = 0

a (q - 1)^{2} = 0 \Rightarrow a = 0

hoặc

q = 1

a = 0

: ba số là

0, 0, 0

;

q = 1

: ba số là

a, a, a

Vậy trong cả hai trường hợp ba số bằng nhau (đpcm).

Nhận xét. Cách 2 ngắn nhất vì cách đặt $a - d$ , $a$ , $a + d$ đã "dùng hết" điều kiện cấp số cộng, chỉ còn một hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt đối xứng quanh số giữa, chỉ ba dòng và không phải xét trường hợp; Cách 3 phải tách trường hợp

a = 0

Đáp số. Ba số đó bằng nhau: cấp số cộng có công sai

d = 0

(và cấp số nhân có công bội

q = 1

hoặc cả ba số bằng

0

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp ở Cách 3 là chia hai vế cho

a

mà không xét

a = 0

, hoặc từ

b^{2} = a c

suy ngược "ba số là cấp số nhân" rồi chia cho

b

khi

b

có thể bằng

0

. Có bạn chỉ lấy ví dụ

2, 2, 2

để "chứng minh" — ví dụ không phải là chứng minh.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu

a

b

c

là cấp số cộng và

a

c

b

(đổi thứ tự) là cấp số nhân với

a \neq = 0

thì hoặc ba số bằng nhau, hoặc chúng tỉ lệ với

4

1

- 2

; thử kiểm với

4, 1, - 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 2.49★★Trang 43— Bài toán thực tế so sánh tổng cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 2.49 (trang 43). Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng

5

năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là

300

triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:
– Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm

50

triệu đồng.
– Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm

10%

so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
– Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm

30

triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau

5

năm của anh Nam là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Tổng cấp số cộng: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Tổng cấp số nhân: $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ ( $q \neq = 1$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Ba phương án ứng với ba loại dãy: phương án 1 là dãy hằng

350

, phương án 3 là cấp số cộng

d = 30

, phương án 2 là cấp số nhân

q = 1, 1

. Tính tổng

5

số hạng đầu của mỗi dãy rồi so sánh. Bẫy: "bắt đầu kể từ năm thứ hai" nghĩa là năm thứ nhất vẫn nhận

300

triệu, có đúng

4

lần tăng.

1Cách 1. Dùng công thức tổng của từng loại dãy

Định hướng. Nhận dạng mỗi phương án là dãy gì, áp công thức tổng $5$ số hạng.

PA 1:

S = 5 \cdot (300 + 50) = 1750

PA 2:

S = 300 \cdot \frac{1 , 1 ^{5} - 1}{1 , 1 - 1} = 300 \cdot \frac{0 , 61051}{0 , 1} = 1831, 53

PA 3:

S = \frac{5 [ 2 \cdot 300 + 4 \cdot 30 ]}{2} = \frac{5 \cdot 720}{2} = 1800

1831, 53 > 1800 > 1750

Vậy phương án 2 cho tổng lương lớn nhất, $1831, 53$ triệu đồng.

2Cách 2. Lập bảng lương từng năm

Định hướng. Liệt kê lương năm $1$ đến năm $5$ của mỗi phương án rồi cộng.

PA 1:

350 + 350 + 350 + 350 + 350 = 1750

PA 2:

300 + 330 + 363 + 399, 3 + 439, 23 = 1831, 53

PA 3:

300 + 330 + 360 + 390 + 420 = 1800

Vậy phương án 2 lớn nhất (đơn vị triệu đồng).

3Cách 3. So sánh phần vượt trên

5

năm lương gốc

Định hướng. Mỗi phương án đều có $5 \cdot 300 = 1500$ triệu lương gốc; chỉ cần so phần cộng thêm.

PA 1:

5 \cdot 50 = 250

PA 3:

30 \cdot (0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 30 \cdot 10 = 300

PA 2:

300 [(1, 1 - 1) + (1, 1^{2} - 1) + (1, 1^{3} - 1) + (1, 1^{4} - 1)]

= 300 (0, 1 + 0, 21 + 0, 331 + 0, 4641) = 300 \cdot 1, 1051 = 331, 53

331, 53 > 300 > 250

Vậy phương án 2 vượt nhiều nhất, tổng lương $1500 + 331, 53 = 1831, 53$ triệu đồng.

Nhận xét. Phương án 2 và 3 cùng cho lương năm thứ hai $330$ triệu; từ năm thứ ba tăng $10%$ bắt đầu vượt tăng $30$ triệu vì $10%$ tính trên mức lương đã lớn hơn $300$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba công thức tổng, mỗi phương án một dòng; Cách 3 đỡ phải nhân số lớn và thấy rõ phần chênh lệch.

Đáp số. Phương án 2: tổng lương

5

năm là

1831, 53

triệu đồng (phương án 1:

1750

; phương án 3:

1800

triệu đồng).

Sai lầm thường gặp. Hay sai khi tính phương án 2 là

300 \cdot 1, 1^{5} \approx 483, 15

(chỉ là lương năm thứ sáu nếu có) hoặc dùng

5

lần tăng từ năm đầu, ra

330 \cdot \frac{1 , 1 ^{5} - 1}{0 , 1} \approx 2014, 68

. Đề nói tăng "kể từ năm thứ hai" nên năm đầu vẫn là

300

triệu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, sau

n

năm phương án 2 vượt phương án 3 khi

300 \cdot \frac{1 , 1 ^{n} - 1}{0 , 1} > 300 n + 15 n (n - 1)

; hợp đồng càng dài thì tăng theo phần trăm càng có lợi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 2.50★★★★Trang 43— Cấp số nhân cộng: số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu

Bài 2.50 (trang 43). Một dãy số

(u_{n})

được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u_{1} = a

u_{n + 1} = q u_{n} + d

.
Nếu

q = 1

ta có cấp số cộng với công sai

d

, còn nếu

d = 0

ta có cấp số nhân với công bội

q

.
a) Giả sử

q \neq = 1

. Dự đoán công thức số hạng tổng quát

u_{n}

.
b) Thiết lập công thức tính tổng

S_{n}

của

n

số hạng đầu của cấp số nhân cộng

(u_{n})

Kiến thức cần nhớ

$1 + q + \dots + q^{k - 1} = \frac{1 - q ^{k}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ).
Nếu $v_{n + 1} = q v_{n}$ thì $(v_{n})$ là cấp số nhân, $v_{n} = v_{1} q^{n - 1}$ .
Phương pháp quy nạp: đúng với $n = 1$ , và đúng với $k$ suy ra đúng với $k + 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Viết vài số hạng đầu sẽ thấy

u_{n}

gồm phần "cấp số nhân"

a q^{n - 1}

cộng phần

d (1 + q + \dots + q^{n - 2})

là một tổng cấp số nhân. Cách gọn hơn là tìm hằng số

c

để dãy

u_{n} - c

trở thành cấp số nhân thật sự (

c = \frac{d}{1 - q}

). Khi có

u_{n}

thì

S_{n}

là tổng của một cấp số nhân và một dãy hằng.

1Cách 1. Viết các số hạng đầu, dự đoán rồi tách tổng

Định hướng. Thay liên tiếp để lộ quy luật, chốt bằng quy nạp; sau đó cộng hai phần của $u_{k}$ .

u_{2} = q a + d

u_{3} = q^{2} a + d (q + 1)

u_{4} = q^{3} a + d (q^{2} + q + 1)

u_{n} = q^{n - 1} a + d (1 + q + \dots + q^{n - 2}) = q^{n - 1} a + d \cdot \frac{1 - q ^{n - 1}}{1 - q}

u_{k + 1} = q u_{k} + d = q^{k} a + d \cdot \frac{q - q ^{k}}{1 - q} + d = q^{k} a + d \cdot \frac{1 - q ^{k}}{1 - q}

(quy nạp đúng)
b)

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} [q^{k - 1} a + \frac{d}{1 - q} - \frac{d}{1 - q} q^{k - 1}]

S_{n} = a \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} + \frac{n d}{1 - q} - \frac{d}{1 - q} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Vậy $u_{n} = a q^{n - 1} + d \cdot \frac{1 - q ^{n - 1}}{1 - q}$ và $S_{n} = \frac{a ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} + \frac{n d}{1 - q} - \frac{d ( 1 - q ^{n} )}{( 1 - q ) ^{2}}$ .

2Cách 2. Đổi biến về cấp số nhân qua điểm bất động

Định hướng. Tìm $c$ thoả $c = q c + d$ ; khi đó $v_{n} = u_{n} - c$ thoả $v_{n + 1} = q v_{n}$ .

c = q c + d \Leftrightarrow c = \frac{d}{1 - q}

v_{n + 1} = u_{n + 1} - c = (q u_{n} + d) - (q c + d) = q (u_{n} - c) = q v_{n}

v_{n} = (a - c) q^{n - 1} \Rightarrow u_{n} = c + (a - c) q^{n - 1} = \frac{d}{1 - q} + (a - \frac{d}{1 - q}) q^{n - 1}

S_{n} = n c + (a - c) (1 + q + \dots + q^{n - 1}) = \frac{n d}{1 - q} + (a - \frac{d}{1 - q}) \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Vậy $u_{n} = \frac{d}{1 - q} + (a - \frac{d}{1 - q}) q^{n - 1}$ và $S_{n} = \frac{n d}{1 - q} + (a - \frac{d}{1 - q}) \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ (khai triển ra đúng công thức ở Cách 1).

3Cách 3. Cộng dồn hệ thức truy hồi để tính tổng

Định hướng. Cộng các đẳng thức $u_{k + 1} = q u_{k} + d$ với $k = 1, \dots, n - 1$ , vế trái là $S_{n} - a$ , vế phải chứa $S_{n} - u_{n}$ .

u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} = q (u_{1} + \dots + u_{n - 1}) + (n - 1) d

S_{n} - a = q (S_{n} - u_{n}) + (n - 1) d

(1 - q) S_{n} = a - q u_{n} + (n - 1) d

S_{n} = \frac{a - q u _{n} + ( n - 1 ) d}{1 - q}

với

u_{n}

tìm ở ý a

Vậy $S_{n} = \frac{a - q u _{n} + ( n - 1 ) d}{1 - q}$ , thay $u_{n}$ ở ý a vào được đúng công thức của Cách 1.

Nhận xét. Kiểm tra với $a = 1$ , $q = 2$ , $d = 1$ : dãy $1, 3, 7, 15$ có $S_{4} = 26$ ; công thức Cách 3 cho $\frac{1 - 2 \cdot 15 + 3}{1 - 2} = 26$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi biến

v_{n} = u_{n} - \frac{d}{1 - q}

biến bài toán lạ thành cấp số nhân quen thuộc, cho cả

u_{n}

lẫn

S_{n}

gọn nhất; Cách 3 là lối tắt khi đã có

u_{n}

Đáp số. a)

u_{n} = a q^{n - 1} + d \cdot \frac{1 - q ^{n - 1}}{1 - q}

; b)

S_{n} = \frac{a ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} + \frac{n d}{1 - q} - \frac{d ( 1 - q ^{n} )}{( 1 - q ) ^{2}}

(với

q \neq = 1

), tương đương

S_{n} = \frac{a - q u _{n} + ( n - 1 ) d}{1 - q}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp là đếm nhầm số hạng của tổng

d (1 + q + \dots + q^{n - 2})

: có

n - 1

số hạng chứ không phải

n

, nên tử là

1 - q^{n - 1}

. Cũng có bạn cho rằng

(S_{n})

lại là một cấp số nhân cộng theo hệ thức

S_{n + 1} = q S_{n} + a + n d

— lượng cộng thêm

a + n d

thay đổi theo

n

nên không đúng định nghĩa.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: với

∣ q ∣ < 1

, khi

n

lớn thì

u_{n}

dần tới

\frac{d}{1 - q}

; chẳng hạn hồ nước mỗi ngày mất

20%

rồi bơm thêm

10

m³ (

q = 0, 8

d = 10

) sẽ ổn định quanh

50

m³.

Mở bài này trong app ↗