Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.11★Trang 50— Nhóm số liệu rời rạc

Bài 3.11 (trang 50). Nhóm số liệu rời rạc

k_{1}

–

k_{2}

với

k_{1}, k_{2} \in N

k_{1} < k_{2}

là nhóm gồm các giá trị
A.

k_{1}

và

k_{2}

.
B.

k_{1} + 1, \dots, k_{2}

.
C.

k_{1}, \dots, k_{2} + 1

.
D.

k_{1}, k_{1} + 1, \dots, k_{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ có đúng $k_{2} - k_{1} + 1$ giá trị.

🧠 Phân tích tư duy

Nhóm rời rạc

k_{1}

–

k_{2}

là cách viết gọn của mọi số nguyên từ

k_{1}

đến

k_{2}

, lấy cả hai đầu. Chỉ cần thử một nhóm cụ thể là thấy phương án nào thiếu hay thừa giá trị. Bẫy: phương án A chỉ lấy hai đầu mút, còn B, C lệch mất một giá trị ở đầu hoặc cuối.

1Cách 1. Dùng định nghĩa nhóm số liệu rời rạc

Định hướng. Nhóm rời rạc gồm mọi số nguyên nằm giữa hai đầu mút, kể cả hai đầu mút.

k_{1}

–

k_{2} = {k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Thử với một nhóm cụ thể

Định hướng. Lấy nhóm $1$ – $3$ (gồm $1$ ; $2$ ; $3$ học sinh đăng kí, chẳng hạn) rồi so từng phương án.

1

;

3

— thiếu

2

2

;

3

— thiếu

1

1

;

2

;

3

;

4

— thừa

4

1

;

2

;

3

— đúng

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đếm số giá trị của mỗi phương án

Định hướng. Nhóm $k_{1}$ – $k_{2}$ phải có đúng $k_{2} - k_{1} + 1$ giá trị; đếm số giá trị mỗi phương án liệt kê.

2

giá trị;

k_{2} - k_{1}

giá trị;

k_{2} - k_{1} + 2

giá trị
D:

k_{2} - k_{1} + 1

giá trị

Vậy chỉ D có đủ số giá trị, chọn D.

Nhận xét. Khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt, nhóm $k_{1}$ – $k_{2}$ được hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ có độ dài đúng bằng số giá trị $k_{2} - k_{1} + 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thử nhóm

1

–

3

là thấy ngay phương án nào thiếu hay thừa.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nghĩ nhóm chỉ ghi hai đầu mút; hoặc chọn B vì lẫn với nửa khoảng

(k_{1}; k_{2}]

của số liệu liên tục.

🚀 Mở rộng. Nhóm

10

–

12

gồm

3

giá trị; sau hiệu chỉnh là

[9, 5; 12, 5)

, độ dài

3

— đúng như trong Bài 3.24.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.12★Trang 51— Giá trị đại diện của nhóm

Bài 3.12 (trang 51). Giá trị đại diện của nhóm

[a_{i}; a_{i + 1})

là
A.

a_{i}

.
B.

a_{i + 1}

.
C.

\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}

.
D.

\frac{a _{i + 1} + a _{i}}{2}

Kiến thức cần nhớ

Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
Nửa độ dài nhóm $\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}$ là khoảng cách từ giá trị đại diện tới mỗi đầu mút.

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị đại diện là trung điểm của nhóm — trung bình cộng hai đầu mút. Bẫy nằm ở phương án C:

\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}

là nửa độ dài nhóm, chỉ khác D một dấu.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Giá trị đại diện của một nhóm là trung điểm của nhóm.

x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Thử với một nhóm cụ thể

Định hướng. Lấy nhóm $[20; 40)$ , giá trị đại diện phải là $30$ .

20

;

40

\frac{40 - 20}{2} = 10

\frac{40 + 20}{2} = 30

Vậy chỉ D cho $30$ , chọn D.

3Cách 3. Loại trừ theo tính chất

Định hướng. Giá trị đại diện phải nằm trong nhóm và phải thay đổi khi dời nhóm trên trục số.

a_{i + 1} \in / [a_{i}; a_{i + 1})

: loại B

\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}

chỉ phụ thuộc độ dài: các nhóm cùng độ dài có cùng giá trị, loại C

a_{i}

là đầu mút, lệch hẳn về một phía: loại A

Vậy chọn D.

Nhận xét. Nếu mọi giá trị trong nhóm rải đều thì trung bình của chúng đúng bằng trung điểm — đó là lí do chọn trung điểm làm đại diện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay một nhóm số cụ thể là phân biệt ngay C với D.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nhớ lẫn “chia đôi” thành nửa hiệu; với nhóm

[20; 40)

phương án C cho

10

, không thuộc nhóm.

🚀 Mở rộng. Nhóm số nguyên

k_{1}

–

k_{2}

có giá trị đại diện

\frac{k _{1} + k _{2}}{2}

, không đổi sau khi hiệu chỉnh thành

[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.13★Trang 51— Ý nghĩa của các tứ phân vị

Bài 3.13 (trang 51). Số

a

thoả mãn có

25%

giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn

a

và

75%

giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn

a

là
A. số trung bình.
B. trung vị.
C. tứ phân vị thứ nhất.
D. tứ phân vị thứ ba.

Kiến thức cần nhớ

$Q_{1}$ , $Q_{2} = M_{e}$ , $Q_{3}$ chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25%$ số giá trị.
Khoảng $25%$ giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ ; khoảng $50%$ nhỏ hơn $M_{e}$ ; khoảng $75%$ nhỏ hơn $Q_{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi mô tả một số chia mẫu thành hai phần theo tỉ lệ

25%

–

75%

— đó là định nghĩa của tứ phân vị. Ba tứ phân vị chia mẫu thành bốn phần bằng nhau; phần nhỏ hơn

a

chiếm

25%

nên

a

là tứ phân vị thứ nhất. Bẫy: nhầm thứ tự

Q_{1}

Q_{3}

, hoặc nghĩ số trung bình cũng chia mẫu theo tỉ lệ cố định.

1Cách 1. Theo định nghĩa tứ phân vị

Định hướng. Đếm xem phần giá trị nhỏ hơn $a$ chiếm mấy phần tư của mẫu.

25% = \frac{1}{4}

số giá trị nhỏ hơn

a

a = Q_{1}

Vậy $a$ là tứ phân vị thứ nhất. Chọn C.

2Cách 2. Loại trừ ba phương án còn lại

Định hướng. Trung vị chia đôi mẫu; số trung bình không gắn với tỉ lệ cố định nào; còn lại hai tứ phân vị phân biệt theo tỉ lệ phía dưới.

trung vị:

50%

–

50%

, loại B
mẫu

1

;

2

;

3

;

4

;

100

có

\overset{x}{ˉ} = 22

lớn hơn

80%

số giá trị: số trung bình không chia theo tỉ lệ cố định, loại A

Q_{1}

25%

nhỏ hơn;

Q_{3}

75%

nhỏ hơn

Vậy chọn C.

3Cách 3. Kiểm tra trên một mẫu cụ thể

Định hướng. Lấy mẫu $1; 2; \dots; 8$ đã sắp xếp, tính các tứ phân vị rồi đếm.

Q_{1} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5

M_{e} = \frac{4 + 5}{2} = 4, 5

Q_{3} = \frac{6 + 7}{2} = 6, 5

nhỏ hơn

2, 5

1

;

2

(

25%

); lớn hơn

2, 5

6

giá trị (

75%

)

Vậy $a = Q_{1}$ , chọn C.

Nhận xét. Mẫu ghép nhóm cũng vậy: $Q_{1}$ ứng với mốc $\frac{n}{4}$ , $Q_{3}$ ứng với mốc $\frac{3 n}{4}$ trên dãy tần số tích luỹ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ “

Q_{1}

để lại

25%

số giá trị ở phía dưới” là chọn C ngay, không cần xét các phương án khác.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Chọn nhầm D vì đọc con số

75%

ở vế sau (phần lớn hơn

a

) thay vì vế trước (phần nhỏ hơn

a

🚀 Mở rộng. Số

a

có

10%

giá trị nhỏ hơn

a

gọi là phân vị thứ

10

;

Q_{1}

chính là phân vị thứ

25

, trên mẫu ghép nhóm ứng với mốc

\frac{n}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.14★Trang 51— Ý nghĩa của các tứ phân vị

Bài 3.14 (trang 51). Số

a

thoả mãn có

75%

giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn

a

và

25%

giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn

a

là
A. số trung bình.
B. trung vị.
C. tứ phân vị thứ nhất.
D. tứ phân vị thứ ba.

Kiến thức cần nhớ

$Q_{1}$ , $Q_{2} = M_{e}$ , $Q_{3}$ chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25%$ số giá trị.
Khoảng $25%$ giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ ; khoảng $50%$ nhỏ hơn $M_{e}$ ; khoảng $75%$ nhỏ hơn $Q_{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi mô tả một số chia mẫu thành hai phần theo tỉ lệ

75%

–

25%

— đó là định nghĩa của tứ phân vị. Ba tứ phân vị chia mẫu thành bốn phần bằng nhau; phần nhỏ hơn

a

chiếm

75%

nên

a

là tứ phân vị thứ ba. Bẫy: nhầm thứ tự

Q_{1}

Q_{3}

, hoặc nghĩ số trung bình cũng chia mẫu theo tỉ lệ cố định.

1Cách 1. Theo định nghĩa tứ phân vị

Định hướng. Đếm xem phần giá trị nhỏ hơn $a$ chiếm mấy phần tư của mẫu.

75% = \frac{3}{4}

số giá trị nhỏ hơn

a

a = Q_{3}

Vậy $a$ là tứ phân vị thứ ba. Chọn D.

2Cách 2. Loại trừ ba phương án còn lại

Định hướng. Trung vị chia đôi mẫu; số trung bình không gắn với tỉ lệ cố định nào; còn lại hai tứ phân vị phân biệt theo tỉ lệ phía dưới.

trung vị:

50%

–

50%

, loại B
mẫu

1

;

2

;

3

;

4

;

100

có

\overset{x}{ˉ} = 22

lớn hơn

80%

số giá trị: số trung bình không chia theo tỉ lệ cố định, loại A

Q_{1}

25%

nhỏ hơn;

Q_{3}

75%

nhỏ hơn

Vậy chọn D.

3Cách 3. Kiểm tra trên một mẫu cụ thể

Định hướng. Lấy mẫu $1; 2; \dots; 8$ đã sắp xếp, tính các tứ phân vị rồi đếm.

Q_{1} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5

M_{e} = \frac{4 + 5}{2} = 4, 5

Q_{3} = \frac{6 + 7}{2} = 6, 5

nhỏ hơn

6, 5

6

giá trị (

75%

); lớn hơn

6, 5

7

;

8

(

25%

)

Vậy $a = Q_{3}$ , chọn D.

Nhận xét. Mẫu ghép nhóm cũng vậy: $Q_{1}$ ứng với mốc $\frac{n}{4}$ , $Q_{3}$ ứng với mốc $\frac{3 n}{4}$ trên dãy tần số tích luỹ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: loại nhanh trung vị (

50%

) và số trung bình, rồi phân biệt

Q_{3}

với

Q_{1}

bằng phần nhỏ hơn

a

là

75%

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Chọn nhầm C vì đọc con số

25%

ở vế sau (phần lớn hơn

a

) thay vì vế trước (phần nhỏ hơn

a

🚀 Mở rộng. Số

a

có

90%

giá trị nhỏ hơn

a

gọi là phân vị thứ

90

;

Q_{3}

chính là phân vị thứ

75

, trên mẫu ghép nhóm ứng với mốc

\frac{3 n}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.15★★Trang 51— Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.15 (trang 51). Mẫu số liệu ghép nhóm với tần số các nhóm bằng nhau có số mốt là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Mẫu có tần số các nhóm (hoặc các giá trị) bằng nhau thì không có mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Mốt là giá trị “xuất hiện nhiều nhất”, nên phải có một (hoặc vài) nhóm nổi trội hơn các nhóm còn lại. Khi mọi nhóm có tần số bằng nhau thì không nhóm nào nổi trội, mẫu không có mốt. Bẫy: nghĩ mọi nhóm đều là nhóm chứa mốt rồi chọn số mốt bằng số nhóm.

1Cách 1. Theo ý nghĩa của mốt

Định hướng. Mốt đại diện cho nhóm giá trị xuất hiện nhiều nhất; tần số bằng nhau thì không có nhóm như vậy.

m_{1} = m_{2} = \dots = m_{k}

không có nhóm nào có tần số lớn hơn các nhóm khác

Vậy mẫu không có mốt, số mốt là $0$ . Chọn A.

2Cách 2. Thử công thức mốt

Định hướng. Nếu cứ áp công thức cho một nhóm ở giữa thì tử và mẫu cùng bằng $0$ .

m_{j} - m_{j - 1} = 0

m_{j} - m_{j + 1} = 0

\frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} = \frac{0}{0}

không xác định

Vậy công thức không cho mốt, chọn A.

3Cách 3. Loại trừ bằng phản ví dụ

Định hướng. Nếu số mốt là $1$ , $2$ hay $3$ thì kết quả phải phụ thuộc số nhóm; lấy hai mẫu có số nhóm khác nhau là thấy vô lí.

mẫu

3

nhóm tần số

5

;

5

;

5

và mẫu

4

nhóm tần số

5

;

5

;

5

;

5

coi mọi nhóm là mốt thì hai mẫu có

3

và

4

mốt, không cùng một đáp án B, C hay D
cách hiểu nhất quán duy nhất: không nhóm nào là mốt

Vậy chọn A.

Nhận xét. Tương tự với mẫu không ghép nhóm: dãy $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ mỗi giá trị xuất hiện một lần thì không có mốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ “không ai nổi trội thì không có mốt” là chọn ngay A.

Đáp số. Chọn A.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì nghĩ “mẫu nào cũng có một mốt”, hoặc nghĩ mọi nhóm đều là mốt nên số mốt bằng số nhóm — với

4

nhóm thì con số đó còn không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Mẫu

4

nhóm cùng độ dài có tần số

6

;

10

;

10

;

4

thì có

2

mốt; thử tính (đáp số

M_{o}

ứng với hai nhóm giữa trùng nhau tại đầu mút chung của chúng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.16★★Trang 51— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.16 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Số trung bình của mẫu số liệu là
A.

5, 0

.
B.

5, 32

.
C.

5, 75

.
D.

6, 5

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = c + h \overset{u}{ˉ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hỏi số trung bình của bảng ghép nhóm nên thay mỗi nhóm bằng trung điểm

2, 75

;

4, 25

;

5, 75

;

7, 25

rồi lấy trung bình có trọng số. Các nhóm cùng độ dài

1, 5

nên đặt gốc tạm ở

5, 75

sẽ tính nhẩm được. Bẫy: phương án C (

5, 75

) chính là giá trị đại diện của nhóm đông nhất, dễ chọn theo cảm giác.

1Cách 1. Áp công thức số trung bình

Định hướng. Lập giá trị đại diện và cỡ mẫu rồi thay vào công thức.

x_{i}

2, 75

;

4, 25

;

5, 75

;

7, 25

;

n = 8 + 22 + 35 + 15 = 80

\overset{x}{ˉ} = \frac{8 \cdot 2 , 75 + 22 \cdot 4 , 25 + 35 \cdot 5 , 75 + 15 \cdot 7 , 25}{80}

\overset{x}{ˉ} = \frac{22 + 93 , 5 + 201 , 25 + 108 , 75}{80}

\overset{x}{ˉ} = \frac{425 , 5}{80} = 5, 31875 \approx 5, 32

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đặt gốc tạm ở nhóm đông nhất

Định hướng. Các giá trị đại diện cách đều $1, 5$ ; đổi $u = \frac{x - 5 , 75}{1 , 5}$ chỉ còn các số nguyên nhỏ.

u_{i}

- 2

;

- 1

;

0

;

1

\overset{u}{ˉ} = \frac{8 \cdot ( - 2 ) + 22 \cdot ( - 1 ) + 35 \cdot 0 + 15 \cdot 1}{80} = \frac{- 23}{80}

\overset{x}{ˉ} = 5, 75 + 1, 5 \cdot \frac{- 23}{80} = 5, 75 - 0, 43125 = 5, 31875

Vậy $\overset{x}{ˉ} \approx 5, 32$ , chọn B.

3Cách 3. Dùng tần số tương đối

Định hướng. Chia mỗi tần số cho $80$ để được tỉ lệ; số trung bình là tổng giá trị đại diện nhân tỉ lệ.

f_{i}

0, 1

;

0, 275

;

0, 4375

;

0, 1875

\overset{x}{ˉ} = 0, 1 \cdot 2, 75 + 0, 275 \cdot 4, 25 + 0, 4375 \cdot 5, 75 + 0, 1875 \cdot 7, 25

\overset{x}{ˉ} = 0, 275 + 1, 16875 + 2, 515625 + 1, 359375 = 5, 31875

Vậy chọn B.

Nhận xét. $\overset{u}{ˉ} < 0$ cho biết trung bình nằm bên trái $5, 75$ : nhóm $[2; 3, 5)$ và $[3, 5; 5)$ cộng lại ( $30$ bóng) đông hơn nhóm $[6, 5; 8)$ ( $15$ bóng), kéo trung bình xuống.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm trắc nghiệm dùng Cách 2: tổng

- 16 - 22 + 15 = - 23

nhẩm được, rồi chỉ một phép nhân là ra

5, 32

Đáp số. Chọn B (

\overset{x}{ˉ} = 5, 31875 \approx 5, 32

năm).

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì lấy luôn giá trị đại diện của nhóm đông nhất (

5, 75

); hoặc dùng đầu mút trái làm đại diện:

\frac{8 \cdot 2 + 22 \cdot 3 , 5 + 35 \cdot 5 + 15 \cdot 6 , 5}{80} \approx 4, 57

— lệch đúng nửa độ dài nhóm

0, 75

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm

20

bóng tuổi thọ trong nhóm

[6, 5; 8)

thì

\overset{x}{ˉ} = \frac{425 , 5 + 20 \cdot 7 , 25}{100} = 5, 705

năm — thử kiểm tra bằng Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.17★★Trang 51— Nhóm chứa trung vị

Bài 3.17 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
$n$ chẵn thì trung vị là $\frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 80

, mốc trung vị

\frac{n}{2} = 40

; tần số tích luỹ

8

;

30

;

65

cho thấy mốc rơi vào nhóm thứ ba. Bẫy: chọn nhóm

[3, 5; 5)

vì nó “ở giữa” bảng bốn nhóm.

1Cách 1. Dò mốc n/2 trên tần số tích luỹ

Định hướng. Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ không nhỏ hơn $40$ .

n = 80

\frac{n}{2} = 40

tần số tích luỹ:

8

;

30

;

65

;

80

30 < 40 \leq 65

Vậy nhóm chứa trung vị là $[5; 6, 5)$ . Chọn C.

2Cách 2. Xác định vị trí hai giá trị chính giữa

Định hướng. Xếp $80$ giá trị tăng dần; trung vị là trung bình của $x_{40}$ và $x_{41}$ .

M_{e} = \frac{x _{40} + x _{41}}{2}

x_{31}, \dots, x_{65} \in [5; 6, 5)

x_{40}, x_{41} \in [5; 6, 5)

Vậy chọn C.

3Cách 3. Tính hẳn trung vị

Định hướng. Tính $M_{e}$ bằng công thức rồi xem thuộc nhóm nào; đọc lại trên đường tần số tích luỹ.

M_{e} = 5 + \frac{40 - 30}{35} \cdot 1, 5

M_{e} = 5 + \frac{3}{7} = \frac{38}{7} \approx 5, 43

5 \leq 5, 43 < 6, 5

Vậy chọn C.

Nhận xét. Khoảng một nửa số bóng đèn có tuổi thọ dưới $5, 43$ năm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dãy tích luỹ

8

;

30

;

65

;

80

lập một lần dùng cho cả Bài 3.17, 3.18, 3.19.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì lấy “nhóm thứ hai trong bốn nhóm” làm nhóm giữa; phải xét tần số chứ không xét vị trí nhóm trong bảng.

🚀 Mở rộng. Nhóm chứa phân vị thứ

90

(mốc

72

) là

[6, 5; 8)

; giá trị phân vị đó là

6, 5 + \frac{72 - 65}{15} \cdot 1, 5 = 7, 2

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.18★★Trang 51— Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất

Bài 3.18 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
$n = 80$ : $Q_{1}$ là trung vị của nửa dưới $x_{1}, \dots, x_{40}$ , tức $\frac{x _{20} + x _{21}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mốc của

Q_{1}

là

\frac{n}{4} = 20

; tần số tích luỹ

8

;

30

cho thấy mốc rơi vào nhóm thứ hai. Bẫy: chọn nhóm đầu

[2; 3, 5)

vì nghĩ “phần tư đầu là nhóm đầu”.

1Cách 1. Dò mốc n/4 trên tần số tích luỹ

Định hướng. Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ không nhỏ hơn $20$ .

\frac{n}{4} = \frac{80}{4} = 20

tần số tích luỹ:

8

;

30

;

65

;

80

8 < 20 \leq 30

Vậy nhóm chứa $Q_{1}$ là $[3, 5; 5)$ . Chọn B.

2Cách 2. Xác định vị trí của Q1

Định hướng. $Q_{1}$ là trung vị của $40$ giá trị nhỏ nhất.

Q_{1} = \frac{x _{20} + x _{21}}{2}

x_{9}, \dots, x_{30} \in [3, 5; 5)

x_{20}, x_{21} \in [3, 5; 5)

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tính hẳn Q1

Định hướng. Tính $Q_{1}$ bằng công thức rồi đối chiếu.

Q_{1} = 3, 5 + \frac{20 - 8}{22} \cdot 1, 5

Q_{1} = 3, 5 + \frac{9}{11} = \frac{95}{22} \approx 4, 32

3, 5 \leq 4, 32 < 5

Vậy chọn B.

Nhận xét. Khoảng $25%$ số bóng đèn có tuổi thọ dưới $4, 32$ năm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần mốc

20

và hai số tích luỹ đầu

8

;

30

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nhầm “tứ phân vị thứ nhất” với “nhóm thứ nhất”; nhóm đầu chỉ có

8

bóng, chưa đủ

20

bóng (

25%

của

80

🚀 Mở rộng. Khoảng tứ phân vị

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{44}{7} - \frac{95}{22} = \frac{303}{154} \approx 1, 97

năm — độ phân tán của nửa giữa mẫu, sẽ học ở lớp sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.19★★Trang 51— Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Bài 3.19 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
$n = 80$ : $Q_{3}$ là trung vị của nửa trên $x_{41}, \dots, x_{80}$ , tức $\frac{x _{60} + x _{61}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mốc của

Q_{3}

là

\frac{3 n}{4} = 60

; tần số tích luỹ

30

;

65

cho thấy

60

vẫn nằm trong nhóm thứ ba. Bẫy: chọn nhóm cuối

[6, 5; 8)

theo suy luận “tứ phân vị thứ ba ở cuối bảng”.

1Cách 1. Dò mốc 3n/4 trên tần số tích luỹ

Định hướng. Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ không nhỏ hơn $60$ .

\frac{3 n}{4} = 60

tần số tích luỹ:

8

;

30

;

65

;

80

30 < 60 \leq 65

Vậy nhóm chứa $Q_{3}$ là $[5; 6, 5)$ . Chọn C.

2Cách 2. Đếm từ phía trên xuống

Định hướng. Phía trên $Q_{3}$ có $25%$ số bóng, tức $20$ bóng; nhóm cuối chỉ có $15$ bóng nên chưa đủ.

25% \cdot 80 = 20

[6, 5; 8)

15 < 20

cần thêm

20 - 15 = 5

bóng lấy từ nhóm

[5; 6, 5)

Vậy $Q_{3}$ nằm trong nhóm $[5; 6, 5)$ . Chọn C.

3Cách 3. Tính hẳn Q3

Định hướng. Tính $Q_{3}$ bằng công thức rồi đối chiếu.

Q_{3} = 5 + \frac{60 - 30}{35} \cdot 1, 5

Q_{3} = 5 + \frac{9}{7} = \frac{44}{7} \approx 6, 29

5 \leq 6, 29 < 6, 5

Vậy chọn C.

Nhận xét. $Q_{3} \approx 6, 29$ khá sát đầu mút $6, 5$ vì chỉ cần thêm $5$ trong $35$ bóng của nhóm là đủ $25%$ phía trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhóm cuối chỉ

15

bóng, chưa đủ

20

— một phép so sánh là xong.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì nghĩ

Q_{3}

luôn ở nhóm cuối; ở đây nhóm cuối chỉ chiếm

\frac{15}{80} \approx 19%

, chưa đủ

25%

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[6, 5; 8)

có

25

bóng (các nhóm khác giữ nguyên,

n = 90

) thì mốc

67, 5

vượt

65

và

Q_{3}

chuyển sang nhóm cuối:

Q_{3} = 6, 5 + \frac{67 , 5 - 65}{25} \cdot 1, 5 = 6, 65

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.20★Trang 51— Nhóm chứa mốt

Bài 3.20 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn nhóm cùng độ dài

1, 5

nên nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Hàng tần số

8

;

22

;

35

;

15

có

35

lớn nhất. Bẫy: nhầm với nhóm chứa

Q_{1}

(

[3, 5; 5)

) của câu trước.

1Cách 1. So sánh tần số

Định hướng. Tìm tần số lớn nhất.

max {8; 22; 35; 15} = 35

ở nhóm

[5; 6, 5)

Vậy chọn C.

2Cách 2. Tính hẳn mốt

Định hướng. Áp công thức mốt cho nhóm có tần số lớn nhất rồi kiểm tra.

M_{o} = 5 + \frac{35 - 22}{( 35 - 22 ) + ( 35 - 15 )} \cdot 1, 5

M_{o} = 5 + \frac{13}{33} \cdot 1, 5 = 5 + \frac{13}{22} = \frac{123}{22} \approx 5, 59

5 \leq 5, 59 < 6, 5

Vậy chọn C.

3Cách 3. Chia nhóm theo tỉ lệ chênh lệch tần số

Định hướng. Mốt chia nhóm chứa mốt theo tỉ lệ độ chênh với hai nhóm kề; điểm chia luôn nằm trong nhóm có tần số lớn nhất.

(M_{o} - 5) : (6, 5 - M_{o}) = 13 : 20

20 (M_{o} - 5) = 13 (6, 5 - M_{o})

33 M_{o} = 184, 5

M_{o} = \frac{123}{22} \approx 5, 59

Vậy chọn C.

Nhận xét. Tuổi thọ phổ biến nhất của loại bóng đèn này khoảng $5, 59$ năm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn thấy

35

lớn nhất là chọn ngay.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì lẫn với nhóm chứa

Q_{1}

; hoặc chọn D vì nghĩ “bóng sống lâu thì phổ biến”. Mốt chỉ phụ thuộc tần số lớn nhất.

🚀 Mở rộng. Đổi tần số nhóm

[6, 5; 8)

thành

35

: có hai nhóm kề nhau cùng tần số lớn nhất, công thức cho cả hai mốt trùng nhau tại

6, 5

— thử kiểm tra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 3.21★Trang 51— Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.21 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Số mốt bằng số nhóm cùng đạt tần số lớn nhất; mọi nhóm có tần số bằng nhau thì không có mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Các nhóm cùng độ dài nên số mốt bằng số nhóm đạt tần số lớn nhất. Tần số

8

;

22

;

35

;

15

đôi một khác nhau nên chỉ có một nhóm lớn nhất. Bẫy: đếm cả những nhóm có tần số “khá lớn” như

22

1Cách 1. Đếm số nhóm có tần số lớn nhất

Định hướng. Xem tần số lớn nhất xuất hiện ở mấy nhóm.

max {8; 22; 35; 15} = 35

chỉ nhóm

[5; 6, 5)

có tần số

35

Vậy mẫu có $1$ mốt. Chọn B.

2Cách 2. Tính mốt

Định hướng. Công thức mốt cho đúng một giá trị.

M_{o} = 5 + \frac{13}{33} \cdot 1, 5 = \frac{123}{22} \approx 5, 59

Vậy mẫu có một mốt duy nhất. Chọn B.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Đối chiếu điều kiện của từng phương án với hàng tần số.

A cần mọi tần số bằng nhau, mà

8 \neq = 35

: loại
C, D cần ít nhất hai nhóm cùng tần số lớn nhất, mà

8

;

22

;

35

;

15

đôi một khác nhau: loại

Vậy chọn B.

Nhận xét. So với Bài 3.15: tần số bằng nhau thì $0$ mốt; ở đây có một nhóm nổi trội nên có đúng $1$ mốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần nhìn hàng tần số là đủ.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì coi cả nhóm

[3, 5; 5)

(

22

bóng) là mốt thứ hai; mốt chỉ ở nhóm có tần số lớn NHẤT.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[2; 3, 5)

cũng có

35

bóng thì mẫu có

2

mốt ở hai nhóm không kề nhau, mỗi mốt tính riêng trong nhóm của nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 3.22★★★Trang 51— Lập bảng ghép nhóm và tính số trung bình

Bài 3.22 (trang 51). Nồng độ cồn trong hơi thở (đơn vị tính là miligam/1 lít khí thở) của

20

lái xe ô tô vi phạm được cho như sau:

$0, 09$ $0, 18$ $0, 47$ $1, 20$ $0, 28$ $0, 45$ $0, 72$ $0, 15$ $0, 75$ $0, 36$
$0, 21$ $0, 15$ $0, 23$ $0, 30$ $0, 41$ $0, 13$ $0, 05$ $0, 38$ $0, 42$ $0, 79$ .

Theo quy định, mức phạt nồng độ cồn đối với lái xe ô tô như sau:
Mức 1. Nồng độ cồn trong hơi thở chưa vượt quá

0, 25

phạt từ

6

đến

8

triệu đồng;
Mức 2. Nồng độ cồn trong hơi thở từ trên

0, 25

đến

0, 4

phạt từ

16

đến

18

triệu đồng;
Mức 3. Nồng độ cồn trong hơi thở vượt quá

0, 4

phạt từ

30

đến

40

triệu đồng.
a) Lập bảng thống kê biểu diễn số lượng lái xe vi phạm theo mức tiền bị phạt.
b) Trung bình mỗi lái xe bị phạt bao nhiêu tiền? Tổng số tiền phạt của

20

lái xe khoảng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Tổng các giá trị của mẫu xấp xỉ bằng $n \cdot \overset{x}{ˉ}$ .
“Chưa vượt quá $a$ ” nghĩa là $\leq a$ ; “vượt quá $a$ ” nghĩa là $> a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là phân loại

20

giá trị vào ba mức theo ranh giới

0, 25

và

0, 4

— chú ý “chưa vượt quá

0, 25

” là

\leq 0, 25

, “từ trên

0, 25

đến

0, 4

” là nửa khoảng

(0, 25; 0, 4]

. Câu b: mỗi mức phạt là một khoảng tiền nên lấy trung điểm

7

;

17

;

35

triệu làm giá trị đại diện. Bẫy: xếp

0, 41

0, 42

vào mức 2 vì “gần

0, 4

”, hoặc lấy đại diện mức 3 là

30

1Cách 1. Phân loại từng giá trị rồi dùng giá trị đại diện

Định hướng. Đếm số lái xe mỗi mức, lập bảng, rồi áp công thức số trung bình với đại diện là trung điểm khoảng tiền phạt.

\leq 0, 25

0, 09

;

0, 18

;

0, 15

;

0, 21

;

0, 15

;

0, 23

;

0, 13

;

0, 05

—

8

người

(0, 25; 0, 4]

0, 28

;

0, 36

;

0, 30

;

0, 38

—

4

người

> 0, 4

0, 47

;

1, 20

;

0, 45

;

0, 72

;

0, 75

;

0, 41

;

0, 42

;

0, 79

—

8

người

\overset{x}{ˉ} = \frac{8 \cdot 7 + 4 \cdot 17 + 8 \cdot 35}{20} = \frac{56 + 68 + 280}{20} = \frac{404}{20} = 20, 2

20 \cdot 20, 2 = 404

Số tiền phạt (triệu đồng)	$6$ – $8$	$16$ – $18$	$30$ – $40$
Số người vi phạm	$8$	$4$	$8$

Vậy trung bình mỗi lái xe bị phạt khoảng $20, 2$ triệu đồng; tổng tiền phạt của $20$ lái xe khoảng $404$ triệu đồng.

2Cách 2. Sắp xếp dãy số liệu rồi cắt theo ngưỡng, tính bằng tần số tương đối

Định hướng. Xếp $20$ giá trị tăng dần thì hai ngưỡng $0, 25$ và $0, 4$ cắt dãy thành ba đoạn liền, đếm không sót.

0, 05

;

0, 09

;

0, 13

;

0, 15

;

0, 15

;

0, 18

;

0, 21

;

0, 23

0, 28

;

0, 30

;

0, 36

;

0, 38

0, 41

;

0, 42

;

0, 45

;

0, 47

;

0, 72

;

0, 75

;

0, 79

;

1, 20

tần số:

8

;

4

;

8

; tần số tương đối:

0, 4

;

0, 2

;

0, 4

\overset{x}{ˉ} = 0, 4 \cdot 7 + 0, 2 \cdot 17 + 0, 4 \cdot 35 = 2, 8 + 3, 4 + 14 = 20, 2

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 20, 2$ triệu đồng, tổng khoảng $404$ triệu đồng.

3Cách 3. Kẹp tổng tiền phạt giữa mức thấp nhất và cao nhất

Định hướng. Mỗi người bị phạt trong một khoảng tiền; cộng lại được khoảng chứa tổng tiền phạt, giá trị ước lượng là trung điểm của khoảng đó.

tối thiểu:

8 \cdot 6 + 4 \cdot 16 + 8 \cdot 30 = 48 + 64 + 240 = 352

tối đa:

8 \cdot 8 + 4 \cdot 18 + 8 \cdot 40 = 64 + 72 + 320 = 456

ước lượng tổng:

\frac{352 + 456}{2} = 404

trung bình mỗi người:

\frac{404}{20} = 20, 2

Vậy tổng tiền phạt từ $352$ đến $456$ triệu đồng, ước lượng khoảng $404$ triệu đồng; trung bình $20, 2$ triệu đồng mỗi người.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy “khoảng bao nhiêu” trong đề có nghĩa: con số $404$ chỉ là ước lượng, sai lệch thật tối đa $52$ triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a (sắp xếp rồi cắt thì không đếm sót) và công thức Cách 1 cho câu b; Cách 3 giúp tự kiểm tra kết quả nằm trong khoảng hợp lí.

Đáp số. a) Mức

6

–

8

triệu:

8

người;

16

–

18

triệu:

4

người;

30

–

40

triệu:

8

người. b) Trung bình khoảng

20, 2

triệu đồng/người; tổng khoảng

404

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Xếp

0, 41

và

0, 42

vào mức 2 thì ra

8

;

6

;

6

và

\overset{x}{ˉ} = \frac{56 + 102 + 210}{20} = 18, 4

triệu — sai vì

0, 41 > 0, 4

. Lấy đại diện là mức thấp nhất (

6

;

16

;

30

) thì chỉ được

17, 6

triệu, thấp hơn thực tế.

🚀 Mở rộng. Nếu mức 2 nới thành “từ trên

0, 25

đến

0, 5

” và mức 3 chỉ áp cho nồng độ trên

0, 5

thì bảng thành

8

;

8

;

4

người và trung bình còn

\frac{8 \cdot 7 + 8 \cdot 17 + 4 \cdot 35}{20} = 16, 6

triệu đồng — ngưỡng phạt ảnh hưởng rất mạnh đến tổng tiền.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 3.23★★★Trang 52— Đọc mẫu ghép nhóm và tìm trung vị

Bài 3.23 (trang 52). Bạn Chi vào website của một cửa hàng bán điện thoại tìm hiểu và đã thống kê số lượng một loại điện thoại theo giá bán cho kết quả như sau:

Giá tiền (triệu đồng)	Dưới $2$	$[2; 4)$	$[4; 7)$	$[7; 13)$	$[13; 20]$
Số lượng	$20$	$5$	$11$	$18$	$21$

a) Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm này.
b)

50%

loại điện thoại trên có giá dưới bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Số lượng của nhóm không có đầu mút (nhóm mở) vẫn dùng được để tính trung vị, tứ phân vị; nhưng không tính được chính xác số trung bình.

🧠 Phân tích tư duy

“

50%

có giá dưới bao nhiêu” chính là hỏi trung vị

M_{e}

. Các nhóm không cùng độ dài (

2

;

2

;

3

;

6

;

7

) và nhóm đầu “dưới

2

” không có đầu mút trái, nhưng trung vị vẫn tính được vì chỉ dùng số lượng của nhóm đầu. Bẫy: dùng độ dài nhóm chung cho mọi nhóm, hoặc tìm mốt (không định nghĩa được ở đây).

1Cách 1. Đọc bảng và áp công thức trung vị

Định hướng. Câu a đọc từng cột; câu b tìm nhóm chứa mốc $\frac{n}{2}$ bằng tần số tích luỹ rồi nội suy.

20

điện thoại giá dưới

2

triệu;

5

chiếc từ

2

đến dưới

4

triệu;

11

chiếc từ

4

đến dưới

7

triệu;

18

chiếc từ

7

đến dưới

13

triệu;

21

chiếc từ

13

đến

20

triệu
b)

n = 20 + 5 + 11 + 18 + 21 = 75

\frac{n}{2} = 37, 5

tần số tích luỹ:

20

;

25

;

36

;

54

;

75

36 < 37, 5 \leq 54

nên nhóm chứa trung vị là

[7; 13)

M_{e} = 7 + \frac{37 , 5 - 36}{18} \cdot (13 - 7) = 7 + \frac{1 , 5}{18} \cdot 6 = 7 + 0, 5 = 7, 5

Vậy $50%$ loại điện thoại trên có giá dưới $7, 5$ triệu đồng.

2Cách 2. Đếm từ nhóm giá cao xuống

Định hướng. Phía trên trung vị cũng có $37, 5$ điện thoại; nhóm cao nhất có $21$ chiếc nên lấy thêm từ đầu trên của nhóm $[7; 13)$ .

37, 5 - 21 = 16, 5

chiếc lấy trong nhóm

[7; 13)

gồm

18

chiếc

M_{e} = 13 - \frac{16 , 5}{18} \cdot 6

M_{e} = 13 - 5, 5 = 7, 5

Vậy $M_{e} = 7, 5$ triệu đồng.

3Cách 3. Đọc trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Trung vị là hoành độ điểm có tung độ $37, 5$ trên đoạn nối $(7; 36)$ với $(13; 54)$ .

đoạn thẳng:

y = 36 + \frac{54 - 36}{13 - 7} (x - 7) = 36 + 3 (x - 7)

36 + 3 (x - 7) = 37, 5

x - 7 = 0, 5

x = 7, 5

Vậy $M_{e} = 7, 5$ triệu đồng.

Nhận xét. Mẫu có nhóm mở “dưới $2$ ” và các nhóm dài ngắn khác nhau nên không tính chính xác được số trung bình và không tìm được mốt; trung vị là số đặc trưng phù hợp nhất ở đây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đúng khuôn SGK; Cách 2 để kiểm tra nhanh: đếm từ trên xuống cũng phải ra đúng

7, 5

Đáp số. b)

M_{e} = 7, 5

50%

loại điện thoại có giá dưới

7, 5

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Nhân với độ dài nhóm sai:

7 + \frac{1 , 5}{18} \cdot 7 \approx 7, 58

(lấy độ dài

7

của nhóm cuối). Lấy mốc

\frac{n + 1}{2} = 38

thay cho

\frac{n}{2} = 37, 5

thì ra

7, 67

— sai công thức ghép nhóm của SGK.

🚀 Mở rộng. Tìm mức giá mà

25%

số điện thoại rẻ hơn: mốc

18, 75

thuộc nhóm “dưới

2

”, cần giả thiết giá thấp nhất (chẳng hạn

0

) mới tính được — đây là hạn chế của nhóm mở.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 3.24★★★Trang 52— Số trung bình và tứ phân vị của mẫu ghép nhóm số nguyên

Bài 3.24 (trang 52). Số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các bạn trong lớp được thống kê trong bảng sau:

Số nguyện vọng	$1$ – $3$	$4$ – $6$	$7$ – $9$	$10$ – $12$
Số học sinh	$5$	$18$	$13$	$7$

a) Trung bình một bạn trong lớp đăng kí bao nhiêu nguyện vọng.
b) Tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.
Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số nguyện vọng là số nguyên, các nhóm viết dạng

k_{1}

–

k_{2}

nên đây là mẫu ghép nhóm số nguyên: số trung bình dùng giá trị đại diện

2

;

5

;

8

;

11

, còn tứ phân vị phải hiệu chỉnh nhóm thành

[0, 5; 3, 5)

[3, 5; 6, 5)

, … để các nhóm nối liền. Cỡ mẫu

n = 43

nên các mốc là

10, 75

;

21, 5

;

32, 25

. Bẫy: quên hiệu chỉnh (lấy đầu mút

4

thay

3, 5

, lệch

0, 5

), hoặc dùng độ dài nhóm

2

(

6 - 4

) thay vì

3

1Cách 1. Giá trị đại diện, hiệu chỉnh rồi áp công thức

Định hướng. Câu a tính trực tiếp với giá trị đại diện; câu b hiệu chỉnh bảng rồi dò ba mốc trên tần số tích luỹ.

n = 5 + 18 + 13 + 7 = 43

;

x_{i}

2

;

5

;

8

;

11

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 \cdot 2 + 18 \cdot 5 + 13 \cdot 8 + 7 \cdot 11}{43} = \frac{10 + 90 + 104 + 77}{43} = \frac{281}{43} \approx 6, 53

b) tần số tích luỹ:

5

;

23

;

36

;

43

\frac{n}{4} = 10, 75

5 < 10, 75 \leq 23

;

Q_{1} = 3, 5 + \frac{10 , 75 - 5}{18} \cdot 3 = 3, 5 + \frac{23}{24} = \frac{107}{24} \approx 4, 46

\frac{n}{2} = 21, 5

5 < 21, 5 \leq 23

;

Q_{2} = 3, 5 + \frac{21 , 5 - 5}{18} \cdot 3 = 3, 5 + 2, 75 = 6, 25

\frac{3 n}{4} = 32, 25

23 < 32, 25 \leq 36

;

Q_{3} = 6, 5 + \frac{32 , 25 - 23}{13} \cdot 3 = 6, 5 + \frac{111}{52} = \frac{449}{52} \approx 8, 63

Số nguyện vọng	$[0, 5; 3, 5)$	$[3, 5; 6, 5)$	$[6, 5; 9, 5)$	$[9, 5; 12, 5)$
Số học sinh	$5$	$18$	$13$	$7$

Vậy trung bình mỗi bạn đăng kí khoảng $6, 53$ nguyện vọng; $Q_{1} \approx 4, 46$ , $Q_{2} = 6, 25$ , $Q_{3} \approx 8, 63$ .

2Cách 2. Gốc tạm cho số trung bình, vị trí và đếm ngược cho tứ phân vị

Định hướng. Giá trị đại diện cách đều $3$ nên đổi biến; với tứ phân vị, xác định vị trí trong dãy $43$ giá trị rồi đếm từ hai đầu.

u = \frac{x - 5}{3}

- 1

;

0

;

1

;

2

;

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 5 + 0 + 13 + 14}{43} = \frac{22}{43}

\overset{x}{ˉ} = 5 + 3 \cdot \frac{22}{43} = \frac{281}{43} \approx 6, 53

Q_{1} = x_{11}

Q_{2} = x_{22}

Q_{3} = x_{33}

;

x_{6}, \dots, x_{23} \in [3, 5; 6, 5)

x_{24}, \dots, x_{36} \in [6, 5; 9, 5)

phía trên

Q_{3}

có

\frac{43}{4} = 10, 75

giá trị: nhóm cuối

7

, thêm

3, 75

từ nhóm

[6, 5; 9, 5)

Q_{3} = 9, 5 - \frac{3 , 75}{13} \cdot 3 = \frac{449}{52} \approx 8, 63

Q_{1} = 3, 5 + \frac{5 , 75}{18} \cdot 3 \approx 4, 46

;

Q_{2} = 3, 5 + \frac{16 , 5}{18} \cdot 3 = 6, 25

Vậy $\overset{x}{ˉ} \approx 6, 53$ ; $Q_{1} \approx 4, 46$ ; $Q_{2} = 6, 25$ ; $Q_{3} \approx 8, 63$ .

3Cách 3. Đọc trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Nối các điểm $(0, 5; 0)$ , $(3, 5; 5)$ , $(6, 5; 23)$ , $(9, 5; 36)$ , $(12, 5; 43)$ ; mỗi tứ phân vị là hoành độ của điểm có tung độ bằng mốc tương ứng.

trên đoạn

(3, 5; 5)

–

(6, 5; 23)

y = 5 + 6 (x - 3, 5)

y = 10, 75

x = 3, 5 + \frac{5 , 75}{6} \approx 4, 46

;

y = 21, 5

x = 3, 5 + \frac{16 , 5}{6} = 6, 25

trên đoạn

(6, 5; 23)

–

(9, 5; 36)

y = 23 + \frac{13}{3} (x - 6, 5)

y = 32, 25

x = 6, 5 + \frac{3 \cdot 9 , 25}{13} \approx 8, 63

Vậy $Q_{1} \approx 4, 46$ ; $Q_{2} = 6, 25$ ; $Q_{3} \approx 8, 63$ .

Nhận xét. Khoảng $25%$ số bạn đăng kí dưới $4, 46$ nguyện vọng, một nửa đăng kí dưới $6, 25$ và $75%$ đăng kí dưới $8, 63$ nguyện vọng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hiệu chỉnh bảng một lần rồi ba công thức cùng khuôn; Cách 2 (gốc tạm) giúp câu a nhẩm được.

Đáp số. a)

\overset{x}{ˉ} = \frac{281}{43} \approx 6, 53

nguyện vọng. b)

Q_{1} = \frac{107}{24} \approx 4, 46

;

Q_{2} = 6, 25

;

Q_{3} = \frac{449}{52} \approx 8, 63

Sai lầm thường gặp. Không hiệu chỉnh, dùng nhóm

[4; 6]

với độ dài

2

Q_{2} = 4 + \frac{16 , 5}{18} \cdot 2 \approx 5, 83

— sai cả đầu mút lẫn độ dài nhóm. Tính nhầm câu a thành

6, 73

(như một số lời giải trên mạng) là do cộng sai tử số; tử số đúng là

281

🚀 Mở rộng. Tính thêm mốt của mẫu này (xem Bài 3.25) và so sánh:

M_{o} \approx 5, 67 < M_{e} = 6, 25 < \overset{x}{ˉ} \approx 6, 53

— dấu hiệu phân bố lệch phải (đuôi dài về phía nhiều nguyện vọng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 3.25★★★Trang 52— Điều kiện tìm mốt và tính mốt

Bài 3.25 (trang 52). Trong các mẫu số liệu cho trong bài tập 3.23 và 3.24, ta có thể tìm mốt cho mẫu số liệu nào? Tìm mốt của mẫu số liệu đó và giải thích ý nghĩa của giá trị tìm được.

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Công thức mốt của SGK chỉ dùng cho mẫu có các nhóm cùng độ dài. Bài 3.23 có độ dài nhóm

2

;

2

;

3

;

6

;

7

(lại có nhóm mở) nên không tìm mốt; Bài 3.24 sau hiệu chỉnh có các nhóm cùng độ dài

3

nên tìm được. Bẫy: thấy nhóm

[13; 20]

của Bài 3.23 có tần số lớn nhất

21

rồi vội kết luận nhóm chứa mốt.

1Cách 1. Kiểm tra độ dài nhóm rồi áp công thức mốt

Định hướng. Chỉ mẫu có các nhóm cùng độ dài mới dùng công thức mốt; với Bài 3.24 dùng bảng đã hiệu chỉnh.

Bài 3.23: độ dài

2

;

2

;

3

;

6

;

7

khác nhau: không tìm mốt
Bài 3.24:

[0, 5; 3, 5)

[3, 5; 6, 5)

[6, 5; 9, 5)

[9, 5; 12, 5)

cùng độ dài

3

tần số lớn nhất

18

, nhóm chứa mốt

[3, 5; 6, 5)

M_{o} = 3, 5 + \frac{18 - 5}{( 18 - 5 ) + ( 18 - 13 )} \cdot 3

M_{o} = 3, 5 + \frac{13}{18} \cdot 3 = 3, 5 + \frac{13}{6} = \frac{17}{3} \approx 5, 67

Vậy chỉ tìm được mốt cho mẫu ở Bài 3.24: $M_{o} \approx 5, 67$ — số nguyện vọng các bạn đăng kí nhiều nhất là khoảng $5$ đến $6$ nguyện vọng.

2Cách 2. Giao điểm hai đường chéo trên biểu đồ tần số

Định hướng. Trên biểu đồ tần số của bảng đã hiệu chỉnh, mốt là hoành độ giao điểm hai đoạn chéo dựng trên cột cao nhất.

đoạn qua

(3, 5; 18)

và

(6, 5; 13)

y = 18 - \frac{5}{3} (x - 3, 5)

đoạn qua

(6, 5; 18)

và

(3, 5; 5)

y = 5 + \frac{13}{3} (x - 3, 5)

18 - \frac{5}{3} (x - 3, 5) = 5 + \frac{13}{3} (x - 3, 5)

13 = 6 (x - 3, 5)

x = 3, 5 + \frac{13}{6} = \frac{17}{3}

Vậy $M_{o} = \frac{17}{3} \approx 5, 67$ .

3Cách 3. Chia nhóm theo tỉ lệ chênh lệch tần số

Định hướng. Mốt chia nhóm $[3, 5; 6, 5)$ theo tỉ lệ độ chênh tần số với hai nhóm kề: $13 : 5$ .

(M_{o} - 3, 5) : (6, 5 - M_{o}) = (18 - 5) : (18 - 13) = 13 : 5

5 (M_{o} - 3, 5) = 13 (6, 5 - M_{o})

18 M_{o} = 102

M_{o} = \frac{17}{3} \approx 5, 67

Vậy $M_{o} \approx 5, 67$ .

Nhận xét. Vì số nguyện vọng là số nguyên, có thể hiểu: mức $5$ hoặc $6$ nguyện vọng là phổ biến nhất trong lớp. Mốt lệch về bên phải trung điểm $5$ vì nhóm kề phải ( $13$ bạn) đông hơn nhóm kề trái ( $5$ bạn).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tỉ lệ

13 : 5

cho ngay

M_{o} = 3, 5 + \frac{13}{18} \cdot 3

; nhưng bước kiểm tra “các nhóm cùng độ dài” của Cách 1 là bắt buộc phải viết.

Đáp số. Chỉ tìm được mốt cho mẫu ở Bài 3.24:

M_{o} = \frac{17}{3} \approx 5, 67

— khoảng

5

đến

6

nguyện vọng là mức các bạn đăng kí phổ biến nhất.

Sai lầm thường gặp. Không hiệu chỉnh, dùng nhóm

[4; 6]

độ dài

2

M_{o} = 4 + \frac{13}{18} \cdot 2 \approx 5, 44

— sai. Kết luận Bài 3.23 có nhóm chứa mốt

[13; 20]

vì tần số

21

lớn nhất — sai vì nhóm đó dài gấp

3, 5

lần nhóm

[2; 4)

, so tần số không công bằng.

🚀 Mở rộng. Muốn so sánh độ “dày” của các nhóm không đều ở Bài 3.23, hãy chia tần số cho độ dài nhóm (mật độ):

[2; 4)

có

2, 5

chiếc mỗi triệu đồng,

[13; 20]

có

3

chiếc mỗi triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗