Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang50–52 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.11★Trang 50— Nhóm số liệu rời rạc

Bài 3.11 (trang 50). Nhóm số liệu rời rạc

k_{1}

–

k_{2}

với

k_{1}, k_{2} \in N

k_{1} < k_{2}

là nhóm gồm các giá trị
A.

k_{1}

và

k_{2}

.
B.

k_{1} + 1, \dots, k_{2}

.
C.

k_{1}, \dots, k_{2} + 1

.
D.

k_{1}, k_{1} + 1, \dots, k_{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ có đúng $k_{2} - k_{1} + 1$ giá trị.

🧠 Phân tích tư duy

Nhóm rời rạc

k_{1}

–

k_{2}

là cách viết gọn của mọi số nguyên từ

k_{1}

đến

k_{2}

, lấy cả hai đầu. Chỉ cần thử một nhóm cụ thể là thấy phương án nào thiếu hay thừa giá trị. Bẫy: phương án A chỉ lấy hai đầu mút, còn B, C lệch mất một giá trị ở đầu hoặc cuối.

1Cách 1. Dùng định nghĩa nhóm số liệu rời rạc

Định hướng. Nhóm rời rạc gồm mọi số nguyên nằm giữa hai đầu mút, kể cả hai đầu mút.

k_{1}

–

k_{2} = {k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Thử với một nhóm cụ thể

Định hướng. Lấy nhóm $1$ – $3$ (gồm $1$ ; $2$ ; $3$ học sinh đăng kí, chẳng hạn) rồi so từng phương án.

1

;

3

— thiếu

2

2

;

3

— thiếu

1

1

;

2

;

3

;

4

— thừa

4

1

;

2

;

3

— đúng

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đếm số giá trị của mỗi phương án

Định hướng. Nhóm $k_{1}$ – $k_{2}$ phải có đúng $k_{2} - k_{1} + 1$ giá trị; đếm số giá trị mỗi phương án liệt kê.

2

giá trị;

k_{2} - k_{1}

giá trị;

k_{2} - k_{1} + 2

giá trị
D:

k_{2} - k_{1} + 1

giá trị

Vậy chỉ D có đủ số giá trị, chọn D.

Nhận xét. Khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt, nhóm $k_{1}$ – $k_{2}$ được hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ có độ dài đúng bằng số giá trị $k_{2} - k_{1} + 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thử nhóm

1

–

3

là thấy ngay phương án nào thiếu hay thừa.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nghĩ nhóm chỉ ghi hai đầu mút; hoặc chọn B vì lẫn với nửa khoảng

(k_{1}; k_{2}]

của số liệu liên tục.

🚀 Mở rộng. Nhóm

10

–

12

gồm

3

giá trị; sau hiệu chỉnh là

[9, 5; 12, 5)

, độ dài

3

— đúng như trong Bài 3.24.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.12★Trang 51— Giá trị đại diện của nhóm

Bài 3.12 (trang 51). Giá trị đại diện của nhóm

[a_{i}; a_{i + 1})

là
A.

a_{i}

.
B.

a_{i + 1}

.
C.

\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}

.
D.

\frac{a _{i + 1} + a _{i}}{2}

Kiến thức cần nhớ

Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
Nửa độ dài nhóm $\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}$ là khoảng cách từ giá trị đại diện tới mỗi đầu mút.

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị đại diện là trung điểm của nhóm — trung bình cộng hai đầu mút. Bẫy nằm ở phương án C:

\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}

là nửa độ dài nhóm, chỉ khác D một dấu.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Giá trị đại diện của một nhóm là trung điểm của nhóm.

x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Thử với một nhóm cụ thể

Định hướng. Lấy nhóm $[20; 40)$ , giá trị đại diện phải là $30$ .

20

;

40

\frac{40 - 20}{2} = 10

\frac{40 + 20}{2} = 30

Vậy chỉ D cho $30$ , chọn D.

3Cách 3. Loại trừ theo tính chất

Định hướng. Giá trị đại diện phải nằm trong nhóm và phải thay đổi khi dời nhóm trên trục số.

a_{i + 1} \in / [a_{i}; a_{i + 1})

: loại B

\frac{a _{i + 1} - a _{i}}{2}

chỉ phụ thuộc độ dài: các nhóm cùng độ dài có cùng giá trị, loại C

a_{i}

là đầu mút, lệch hẳn về một phía: loại A

Vậy chọn D.

Nhận xét. Nếu mọi giá trị trong nhóm rải đều thì trung bình của chúng đúng bằng trung điểm — đó là lí do chọn trung điểm làm đại diện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay một nhóm số cụ thể là phân biệt ngay C với D.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nhớ lẫn “chia đôi” thành nửa hiệu; với nhóm

[20; 40)

phương án C cho

10

, không thuộc nhóm.

🚀 Mở rộng. Nhóm số nguyên

k_{1}

–

k_{2}

có giá trị đại diện

\frac{k _{1} + k _{2}}{2}

, không đổi sau khi hiệu chỉnh thành

[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.13★Trang 51— Ý nghĩa của các tứ phân vị

Bài 3.13 (trang 51). Số

a

thoả mãn có

25%

giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn

a

và

75%

giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn

a

là
A. số trung bình.
B. trung vị.
C. tứ phân vị thứ nhất.
D. tứ phân vị thứ ba.

Kiến thức cần nhớ

$Q_{1}$ , $Q_{2} = M_{e}$ , $Q_{3}$ chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25%$ số giá trị.
Khoảng $25%$ giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ ; khoảng $50%$ nhỏ hơn $M_{e}$ ; khoảng $75%$ nhỏ hơn $Q_{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.14★Trang 51— Ý nghĩa của các tứ phân vị

Bài 3.14 (trang 51). Số

a

thoả mãn có

75%

giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn

a

và

25%

giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn

a

là
A. số trung bình.
B. trung vị.
C. tứ phân vị thứ nhất.
D. tứ phân vị thứ ba.

Kiến thức cần nhớ

$Q_{1}$ , $Q_{2} = M_{e}$ , $Q_{3}$ chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25%$ số giá trị.
Khoảng $25%$ giá trị nhỏ hơn $Q_{1}$ ; khoảng $50%$ nhỏ hơn $M_{e}$ ; khoảng $75%$ nhỏ hơn $Q_{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.15★★Trang 51— Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.15 (trang 51). Mẫu số liệu ghép nhóm với tần số các nhóm bằng nhau có số mốt là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Mẫu có tần số các nhóm (hoặc các giá trị) bằng nhau thì không có mốt.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.16★★Trang 51— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.16 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Số trung bình của mẫu số liệu là
A.

5, 0

.
B.

5, 32

.
C.

5, 75

.
D.

6, 5

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = c + h \overset{u}{ˉ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.17★★Trang 51— Nhóm chứa trung vị

Bài 3.17 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
$n$ chẵn thì trung vị là $\frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.18★★Trang 51— Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất

Bài 3.18 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
$n = 80$ : $Q_{1}$ là trung vị của nửa dưới $x_{1}, \dots, x_{40}$ , tức $\frac{x _{20} + x _{21}}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.19★★Trang 51— Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Bài 3.19 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
$n = 80$ : $Q_{3}$ là trung vị của nửa trên $x_{41}, \dots, x_{80}$ , tức $\frac{x _{60} + x _{61}}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.20★Trang 51— Nhóm chứa mốt

Bài 3.20 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là
A.

[2; 3, 5)

.
B.

[3, 5; 5)

.
C.

[5; 6, 5)

.
D.

[6, 5; 8)

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 3.21★Trang 51— Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.21 (trang 51). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Tuổi thọ	$[2; 3, 5)$	$[3, 5; 5)$	$[5; 6, 5)$	$[6, 5; 8)$
Số bóng đèn	$8$	$22$	$35$	$15$

Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Số mốt bằng số nhóm cùng đạt tần số lớn nhất; mọi nhóm có tần số bằng nhau thì không có mốt.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 3.22★★★Trang 51— Lập bảng ghép nhóm và tính số trung bình

Bài 3.22 (trang 51). Nồng độ cồn trong hơi thở (đơn vị tính là miligam/1 lít khí thở) của

20

lái xe ô tô vi phạm được cho như sau:

$0, 09$ $0, 18$ $0, 47$ $1, 20$ $0, 28$ $0, 45$ $0, 72$ $0, 15$ $0, 75$ $0, 36$
$0, 21$ $0, 15$ $0, 23$ $0, 30$ $0, 41$ $0, 13$ $0, 05$ $0, 38$ $0, 42$ $0, 79$ .

Theo quy định, mức phạt nồng độ cồn đối với lái xe ô tô như sau:
Mức 1. Nồng độ cồn trong hơi thở chưa vượt quá

0, 25

phạt từ

6

đến

8

triệu đồng;
Mức 2. Nồng độ cồn trong hơi thở từ trên

0, 25

đến

0, 4

phạt từ

16

đến

18

triệu đồng;
Mức 3. Nồng độ cồn trong hơi thở vượt quá

0, 4

phạt từ

30

đến

40

triệu đồng.
a) Lập bảng thống kê biểu diễn số lượng lái xe vi phạm theo mức tiền bị phạt.
b) Trung bình mỗi lái xe bị phạt bao nhiêu tiền? Tổng số tiền phạt của

20

lái xe khoảng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Tổng các giá trị của mẫu xấp xỉ bằng $n \cdot \overset{x}{ˉ}$ .
“Chưa vượt quá $a$ ” nghĩa là $\leq a$ ; “vượt quá $a$ ” nghĩa là $> a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 3.23★★★Trang 52— Đọc mẫu ghép nhóm và tìm trung vị

Bài 3.23 (trang 52). Bạn Chi vào website của một cửa hàng bán điện thoại tìm hiểu và đã thống kê số lượng một loại điện thoại theo giá bán cho kết quả như sau:

Giá tiền (triệu đồng)	Dưới $2$	$[2; 4)$	$[4; 7)$	$[7; 13)$	$[13; 20]$
Số lượng	$20$	$5$	$11$	$18$	$21$

a) Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm này.
b)

50%

loại điện thoại trên có giá dưới bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Số lượng của nhóm không có đầu mút (nhóm mở) vẫn dùng được để tính trung vị, tứ phân vị; nhưng không tính được chính xác số trung bình.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 3.24★★★Trang 52— Số trung bình và tứ phân vị của mẫu ghép nhóm số nguyên

Bài 3.24 (trang 52). Số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các bạn trong lớp được thống kê trong bảng sau:

Số nguyện vọng	$1$ – $3$	$4$ – $6$	$7$ – $9$	$10$ – $12$
Số học sinh	$5$	$18$	$13$	$7$

a) Trung bình một bạn trong lớp đăng kí bao nhiêu nguyện vọng.
b) Tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.
Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 3.25★★★Trang 52— Điều kiện tìm mốt và tính mốt

Bài 3.25 (trang 52). Trong các mẫu số liệu cho trong bài tập 3.23 và 3.24, ta có thể tìm mốt cho mẫu số liệu nào? Tìm mốt của mẫu số liệu đó và giải thích ý nghĩa của giá trị tìm được.

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.