Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 3.8★Trang 69— Giá trị đại diện của một nhóm số liệu

3.8 (trang 69). Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối

11

thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số học sinh	$5$	$9$	$12$	$10$	$6$

Bảng 3.6

Giá trị đại diện của nhóm

[20; 40)

là
A.

10

.
B.

20

.
C.

30

.
D.

40

Kiến thức cần nhớ

Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
Các nhóm cùng độ dài $h$ thì các giá trị đại diện lập thành cấp số cộng công sai $h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi “giá trị đại diện” của một nhóm — đó là trung điểm của nhóm, không liên quan đến tần số. Chỉ cần lấy trung bình cộng hai đầu mút

20

và

40

. Bẫy của đề là các phương án

20

và

40

chính là hai đầu mút, còn

10

là giá trị đại diện của nhóm liền trước.

1Cách 1. Lấy trung bình cộng hai đầu mút

Định hướng. Giá trị đại diện là trung điểm của nhóm.

x_{2} = \frac{20 + 40}{2}

x_{2} = \frac{60}{2}

x_{2} = 30

Vậy giá trị đại diện của nhóm $[20; 40)$ là $30$ . Chọn C.

2Cách 2. Loại trừ phương án

Định hướng. Giá trị đại diện phải nằm trong nhóm và cách đều hai đầu mút.

10 \in / [20; 40)

: loại A

20

và

40

là hai đầu mút, không cách đều hai đầu: loại B, D

30 - 20 = 40 - 30 = 10

: C thoả mãn

Vậy chọn C.

3Cách 3. Dãy giá trị đại diện cách đều

Định hướng. Năm nhóm cùng độ dài $20$ nên các giá trị đại diện tăng đều $20$ , bắt đầu từ trung điểm nhóm đầu.

x_{1} = \frac{0 + 20}{2} = 10

x_{2} = x_{1} + 20 = 10 + 20 = 30

Vậy chọn C.

Nhận xét. Dãy giá trị đại diện của cả bảng là $10$ ; $30$ ; $50$ ; $70$ ; $90$ — tính một lần là dùng được cho mọi câu hỏi về số trung bình sau đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép cộng và một phép chia, không thể nhầm; Cách 2 chỉ để kiểm tra lại.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì nghĩ “đại diện là đầu mút trái” (lẫn với cách ghi nhóm

[a_{i}; a_{i + 1})

), hoặc chọn A vì lấy nhầm nửa độ dài nhóm

\frac{40 - 20}{2} = 10

thay cho nửa tổng.

🚀 Mở rộng. Nhóm

[a; b)

bất kì có giá trị đại diện

\frac{a + b}{2}

; thử tính giá trị đại diện của nhóm

[2, 5; 5, 5)

sau khi hiệu chỉnh nhóm số nguyên

3

–

5

(đáp số

4

, trùng với trung bình của

3

;

4

;

5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.9★Trang 69— Số mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

3.9 (trang 69). Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối

11

thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số học sinh	$5$	$9$	$12$	$10$	$6$

Bảng 3.6

Mẫu số liệu ghép nhóm này có số mốt là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Mẫu ghép nhóm (các nhóm cùng độ dài) có bao nhiêu nhóm cùng đạt tần số lớn nhất thì có bấy nhiêu mốt; mọi nhóm có tần số bằng nhau thì không có mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Số mốt bằng số nhóm đạt tần số lớn nhất (khi các nhóm cùng độ dài). Bảng có năm nhóm cùng độ dài

20

với tần số

5

;

9

;

12

;

10

;

6

, chỉ có một số lớn nhất. Bẫy: nhầm “số mốt” với “giá trị của mốt”, hoặc tưởng nhóm

[60; 80)

tần số

10

gần bằng

12

cũng là mốt.

1Cách 1. Đếm số nhóm có tần số lớn nhất

Định hướng. Các nhóm có cùng độ dài nên chỉ cần xem tần số lớn nhất xuất hiện ở mấy nhóm.

max {5; 9; 12; 10; 6} = 12

chỉ nhóm

[40; 60)

có tần số

12

Vậy mẫu số liệu có đúng $1$ mốt. Chọn B.

2Cách 2. Tính hẳn mốt bằng công thức

Định hướng. Công thức mốt cho đúng một giá trị ứng với nhóm có tần số lớn nhất duy nhất.

M_{o} = 40 + \frac{12 - 9}{( 12 - 9 ) + ( 12 - 10 )} \cdot 20

M_{o} = 40 + \frac{3}{5} \cdot 20

M_{o} = 40 + 12 = 52

Vậy mẫu có một mốt duy nhất $M_{o} = 52$ . Chọn B.

3Cách 3. Loại trừ theo điều kiện của từng phương án

Định hướng. Mỗi phương án đòi hỏi một kiểu tần số riêng; đối chiếu với bảng là loại được ba phương án.

A (

0

mốt) cần mọi tần số bằng nhau, mà

5 \neq = 12

: loại
C, D cần ít nhất hai nhóm cùng tần số lớn nhất, mà

5

;

9

;

12

;

10

;

6

đôi một khác nhau: loại

Vậy chọn B.

Nhận xét. Nếu nhóm $[60; 80)$ cũng có tần số $12$ thì mẫu có $2$ mốt, mỗi mốt tính riêng trong nhóm của nó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ nhìn hàng tần số một lần; Cách 2 chỉ cần khi đề hỏi thêm giá trị của mốt.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nghĩ mẫu ghép nhóm “không có mốt”, hoặc chọn C vì tính cả nhóm

[60; 80)

(tần số

10

) là mốt thứ hai; mốt chỉ ở nhóm có tần số lớn nhất

12

🚀 Mở rộng. Đổi tần số nhóm

[0; 20)

thành

12

thì mẫu có

2

mốt: nhóm

[0; 20)

cho

M_{o} = 0 + \frac{12 - 0}{( 12 - 0 ) + ( 12 - 9 )} \cdot 20 = 16

và nhóm

[40; 60)

vẫn cho

M_{o} = 52

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.10★Trang 69— Nhóm chứa mốt

3.10 (trang 69). Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối

11

thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số học sinh	$5$	$9$	$12$	$10$	$6$

Bảng 3.6

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
A.

[20; 40)

.
B.

[40; 60)

.
C.

[60; 80)

.
D.

[80; 100)

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Trên biểu đồ tần số, nối đỉnh trái cột cao nhất với đỉnh trái cột kế sau và đỉnh phải cột cao nhất với đỉnh phải cột kế trước; giao điểm hai đoạn có hoành độ bằng mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất (các nhóm cùng độ dài

20

). Nhìn hàng tần số thấy ngay

12

ở nhóm

[40; 60)

. Bẫy: lẫn với nhóm chứa trung vị, hoặc chọn nhóm ở giữa bảng theo cảm giác.

1Cách 1. So sánh tần số

Định hướng. Tìm tần số lớn nhất trong hàng số học sinh.

5 < 9 < 12

và

12 > 10 > 6

tần số lớn nhất

12

thuộc nhóm

[40; 60)

Vậy nhóm chứa mốt là $[40; 60)$ . Chọn B.

2Cách 2. Tính mốt rồi xem nó thuộc nhóm nào

Định hướng. Tính mốt bằng công thức rồi đối chiếu với các phương án.

M_{o} = 40 + \frac{12 - 9}{( 12 - 9 ) + ( 12 - 10 )} \cdot 20 = 40 + 12 = 52

40 \leq 52 < 60

Vậy mốt thuộc nhóm $[40; 60)$ . Chọn B.

3Cách 3. Dựng hai đường chéo trên biểu đồ tần số

Định hướng. Cột cao nhất của biểu đồ là nhóm chứa mốt; hai đường chéo dựng trên cột đó cắt nhau đúng tại mốt.

cột cao nhất ứng với nhóm

[40; 60)

, cao

12

đường chéo qua

(40; 12)

(60; 10)

và đường chéo qua

(60; 12)

(40; 9)

hai đường cắt nhau tại hoành độ

x = 52 \in [40; 60)

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hình giải thích vì sao mốt $52$ lệch về bên phải trung điểm $50$ : cột bên phải ( $10$ ) cao hơn cột bên trái ( $9$ ), kéo giao điểm về phía nó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhìn thấy số

12

lớn nhất là xong.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì thấy nhóm

[60; 80)

“có nhiều học sinh” (

10

), hoặc nhầm sang nhóm chứa trung vị; ở đây trùng hợp nhóm chứa trung vị cũng là

[40; 60)

, nhưng hai khái niệm khác nhau và thường cho nhóm khác nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[20; 40)

có tần số

12

thay cho

9

thì mẫu có hai nhóm chứa mốt là

[20; 40)

và

[40; 60)

— thử tính hai mốt đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.11★★Trang 69— Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất

3.11 (trang 69). Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối

11

thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số học sinh	$5$	$9$	$12$	$10$	$6$

Bảng 3.6

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
A.

[0; 20)

.
B.

[20; 40)

.
C.

[40; 60)

.
D.

[60; 80)

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
Với $n$ giá trị đã xếp tăng dần $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ : $n$ chẵn thì $M_{e} = \frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ ; $Q_{1}$ là trung vị của nửa dưới, $Q_{3}$ là trung vị của nửa trên.

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 42

nên mốc của

Q_{1}

là

\frac{n}{4} = 10, 5

; nhóm chứa

Q_{1}

là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ đạt tới

10, 5

. Dãy tích luỹ

5

;

14

cho thấy mốc rơi vào nhóm thứ hai. Bẫy: chọn nhóm đầu

[0; 20)

vì nghĩ “phần tư đầu tiên là nhóm đầu tiên”.

1Cách 1. Dùng tần số tích luỹ với mốc n/4

Định hướng. Tính cỡ mẫu, mốc $\frac{n}{4}$ rồi dò trên dãy tần số tích luỹ.

n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42

\frac{n}{4} = 10, 5

tần số tích luỹ:

5

;

14

;

26

;

36

;

42

5 < 10, 5 \leq 14

Vậy nhóm chứa $Q_{1}$ là $[20; 40)$ . Chọn B.

2Cách 2. Xác định vị trí của Q1 trong dãy đã xếp

Định hướng. Xếp $42$ giá trị tăng dần; $Q_{1}$ là trung vị của nửa dưới $x_{1}, \dots, x_{21}$ .

Q_{1} = x_{11}

x_{1}, \dots, x_{5} \in [0; 20)

;

x_{6}, \dots, x_{14} \in [20; 40)

x_{11} \in [20; 40)

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tính hẳn Q1 và đọc trên đường tích luỹ

Định hướng. Tính $Q_{1}$ bằng công thức, kiểm lại bằng điểm có tung độ $10, 5$ trên đường tần số tích luỹ.

Q_{1} = 20 + \frac{10 , 5 - 5}{9} \cdot 20

Q_{1} = 20 + \frac{110}{9} = \frac{290}{9} \approx 32, 22

20 \leq 32, 22 < 40

Vậy $Q_{1} \approx 32, 22$ phút thuộc nhóm $[20; 40)$ . Chọn B.

Nhận xét. Ý nghĩa: khoảng $25%$ số học sinh tập thể dục ít hơn $32, 22$ phút mỗi ngày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một mốc

10, 5

và dãy tích luỹ là đủ, không phải tính

Q_{1}

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì tưởng “tứ phân vị thứ nhất nằm ở nhóm thứ nhất”; nhóm đầu chỉ có

5

học sinh, chưa đủ

25%

của

42

(tức

10, 5

). Cũng hay nhầm mốc

\frac{n}{4}

thành

\frac{n}{2}

và ra nhóm của trung vị.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm tìm nhóm chứa

Q_{3}

: mốc

\frac{3 n}{4} = 31, 5

nằm giữa

26

và

36

nên nhóm chứa

Q_{3}

là

[60; 80)

, và

Q_{3} = 60 + \frac{31 , 5 - 26}{10} \cdot 20 = 71

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.12★★Trang 69— Nhóm chứa trung vị

3.12 (trang 69). Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối

11

thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số học sinh	$5$	$9$	$12$	$10$	$6$

Bảng 3.6

Nhóm chứa trung vị là
A.

[0; 200)

.
B.

[20; 40)

.
C.

[40; 60)

.
D.

[60; 80)

Kiến thức cần nhớ

Trung vị: nếu nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ chứa mốc $\frac{n}{2}$ thì $M_{e} = a_{j} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{j - 1} )}{m _{j}} \cdot (a_{j + 1} - a_{j})$ .
Với $n$ giá trị đã xếp tăng dần $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ : $n$ chẵn thì $M_{e} = \frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ ; $Q_{1}$ là trung vị của nửa dưới, $Q_{3}$ là trung vị của nửa trên.

🧠 Phân tích tư duy

Mốc trung vị là

\frac{n}{2} = 21

; dãy tần số tích luỹ

5

;

14

;

26

cho thấy mốc rơi vào nhóm thứ ba. Nhóm chứa trung vị không phụ thuộc giá trị đầu mút, chỉ phụ thuộc tần số. Lưu ý phương án A in là

[0; 200)

— lỗi in của sách, ý là

[0; 20)

1Cách 1. Dùng tần số tích luỹ với mốc n/2

Định hướng. Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$ .

n = 42

\frac{n}{2} = 21

tần số tích luỹ:

5

;

14

;

26

;

36

;

42

14 < 21 \leq 26

Vậy nhóm chứa trung vị là $[40; 60)$ . Chọn C.

2Cách 2. Xác định vị trí trung vị

Định hướng. $n = 42$ chẵn nên trung vị là trung bình của hai giá trị chính giữa.

M_{e} = \frac{x _{21} + x _{22}}{2}

x_{15}, \dots, x_{26} \in [40; 60)

x_{21}, x_{22} \in [40; 60)

Vậy chọn C.

3Cách 3. Tính hẳn trung vị

Định hướng. Tính $M_{e}$ bằng công thức rồi xem nó thuộc nhóm nào.

M_{e} = 40 + \frac{21 - 14}{12} \cdot 20

M_{e} = 40 + \frac{35}{3} = \frac{155}{3} \approx 51, 67

40 \leq 51, 67 < 60

Vậy chọn C.

Nhận xét. Ý nghĩa: khoảng một nửa số học sinh tập thể dục dưới $51, 67$ phút mỗi ngày; kết quả khá gần mốt $52$ vì bảng gần như đối xứng quanh nhóm giữa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dãy tích luỹ đã lập ở câu 3.11 dùng lại ngay, chỉ đổi mốc thành

21

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Phương án A của sách in

[0; 200)

là lỗi in (đúng là

[0; 20)

); đừng vì thấy “khoảng rất rộng chứa mọi giá trị” mà chọn A. Lỗi khác: chọn B vì lấy mốc

\frac{n}{4}

của câu trước.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm

10

học sinh vào nhóm

[0; 20)

(

n = 52

, mốc

26

) thì nhóm chứa trung vị vẫn là

[40; 60)

còn

M_{e} = 40 + \frac{26 - 24}{12} \cdot 20 = \frac{130}{3} \approx 43, 33

— trung vị tụt xuống vì thêm nhiều giá trị nhỏ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.13★★★Trang 69— Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm số nguyên

3.13 (trang 69). Cơ cấu dân số Việt Nam năm

2020

theo độ tuổi được cho trong bảng sau:

Độ tuổi	Dưới $5$ tuổi	$5$ – $14$	$15$ – $24$	$25$ – $64$	Trên $65$
Số người (triệu)	$7, 89$	$14, 68$	$13, 32$	$53, 78$	$7, 66$

(Theo: http://ourworldindata.org)

Chọn

80

là giá trị đại diện cho nhóm trên

65

tuổi. Tính tuổi trung bình của người Việt Nam năm

2020

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ và $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Nhóm số nguyên $k_{1}$ – $k_{2}$ gồm các giá trị $k_{1}; k_{1} + 1; \dots; k_{2}$ ; khi tính trung vị, tứ phân vị, mốt phải hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ để các nhóm nối liền nhau.
Đổi biến $u = x - c$ (gốc tạm $c$ ) thì $\overset{x}{ˉ} = c + \overset{u}{ˉ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tuổi ghi theo số nguyên và các nhóm viết dạng

k_{1}

–

k_{2}

nên đây là mẫu ghép nhóm số nguyên: giá trị đại diện của nhóm

k_{1}

–

k_{2}

là

\frac{k _{1} + k _{2}}{2}

, nhóm “dưới

5

tuổi” gồm

0

;

1

;

2

;

3

;

4

tuổi nên đại diện là

2

. Tần số ở đây là số người tính bằng triệu, không phải số nguyên — công thức vẫn giữ nguyên. Bẫy: chia cho số nhóm

5

, hoặc lấy đại diện nhóm trên

65

bằng đầu mút

65

thay vì

80

đề đã cho.

1Cách 1. Lập bảng giá trị đại diện rồi áp công thức

Định hướng. Thay mỗi nhóm tuổi bằng giá trị đại diện, lấy trung bình có trọng số là số người.

x_{1} = \frac{0 + 4}{2} = 2

x_{2} = \frac{5 + 14}{2} = 9, 5

x_{3} = \frac{15 + 24}{2} = 19, 5

x_{4} = \frac{25 + 64}{2} = 44, 5

x_{5} = 80

n = 7, 89 + 14, 68 + 13, 32 + 53, 78 + 7, 66 = 97, 33

\overset{x}{ˉ} = \frac{7 , 89 \cdot 2 + 14 , 68 \cdot 9 , 5 + 13 , 32 \cdot 19 , 5 + 53 , 78 \cdot 44 , 5 + 7 , 66 \cdot 80}{97 , 33}

\overset{x}{ˉ} = \frac{15 , 78 + 139 , 46 + 259 , 74 + 2393 , 21 + 612 , 8}{97 , 33}

\overset{x}{ˉ} = \frac{3420 , 99}{97 , 33} \approx 35, 15

Vậy tuổi trung bình của người Việt Nam năm $2020$ khoảng $35, 15$ tuổi.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ dân số từng nhóm

Định hướng. Đổi số người mỗi nhóm thành tỉ lệ trên tổng dân số $97, 33$ triệu; tuổi trung bình là tổng tuổi đại diện nhân tỉ lệ.

f_{1} = \frac{7 , 89}{97 , 33} \approx 0, 0811

;

f_{2} \approx 0, 1508

;

f_{3} \approx 0, 1369

;

f_{4} \approx 0, 5526

;

f_{5} \approx 0, 0787

\overset{x}{ˉ} \approx 0, 0811 \cdot 2 + 0, 1508 \cdot 9, 5 + 0, 1369 \cdot 19, 5 + 0, 5526 \cdot 44, 5 + 0, 0787 \cdot 80

\overset{x}{ˉ} \approx 0, 162 + 1, 433 + 2, 670 + 24, 591 + 6, 296

\overset{x}{ˉ} \approx 35, 15

Vậy $\overset{x}{ˉ} \approx 35, 15$ tuổi.

3Cách 3. Đặt gốc tạm ở nhóm đông nhất

Định hướng. Nhóm $25$ – $64$ chiếm hơn một nửa dân số; lấy gốc tạm $c = 44, 5$ thì số hạng lớn nhất biến mất, chỉ còn tính độ lệch của bốn nhóm nhỏ.

u_{i} = x_{i} - 44, 5

- 42, 5

;

- 35

;

- 25

;

0

;

35, 5

\overset{u}{ˉ} = \frac{7 , 89 \cdot ( - 42 , 5 ) + 14 , 68 \cdot ( - 35 ) + 13 , 32 \cdot ( - 25 ) + 53 , 78 \cdot 0 + 7 , 66 \cdot 35 , 5}{97 , 33}

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 335 , 325 - 513 , 8 - 333 + 0 + 271 , 93}{97 , 33} = \frac{- 910 , 195}{97 , 33} \approx - 9, 35

\overset{x}{ˉ} = 44, 5 + \overset{u}{ˉ} \approx 44, 5 - 9, 35 = 35, 15

Vậy $\overset{x}{ˉ} \approx 35, 15$ tuổi.

Nhận xét. Nhiều tài liệu lấy $2, 5$ làm đại diện cho nhóm dưới $5$ tuổi (coi là $[0; 5)$ ) và ra $\approx 35, 19$ ; nếu coi tuổi là đại lượng liên tục với các nhóm $[0; 5)$ , $[5; 15)$ , $[15; 25)$ , $[25; 65)$ thì ra $\approx 35, 61$ . Các cách hiểu đều cho tuổi trung bình khoảng $35$ tuổi; file này theo quy ước nhóm số nguyên của SGK.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho bài tự luận vì bám công thức SGK; nếu phải bấm tay, Cách 3 đỡ nhân số lớn nhất (

53, 78 \cdot 44, 5

) nên ít sai hơn.

Đáp số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{3420 , 99}{97 , 33} \approx 35, 15

tuổi (khoảng

35

tuổi).

Sai lầm thường gặp. Lấy

65

làm đại diện nhóm trên

65

tuổi (đề đã cho

80

) sẽ ra

\approx 33, 97

, thấp hơn thực tế. Chia cho số nhóm:

\frac{3420 , 99}{5} \approx 684

tuổi — vô lí. Lấy đại diện nhóm

5

–

14

là

\frac{5 + 15}{2} = 10

nhưng nhóm

15

–

24

lại là

19, 5

là trộn hai quy ước, phải thống nhất một cách.

🚀 Mở rộng. Nếu cơ cấu dân số già đi, chẳng hạn nhóm trên

65

tuổi tăng thêm

5

triệu người (các nhóm khác giữ nguyên), tuổi trung bình tăng lên khoảng

\frac{3420 , 99 + 400}{102 , 33} \approx 37, 34

tuổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.14★★Trang 69— Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

3.14 (trang 69). Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:

Tuổi thọ (ngày)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số lượng	$5$	$12$	$23$	$31$	$29$

Tìm mốt của mẫu số liệu. Giải thích ý nghĩa của giá trị nhận được.

Kiến thức cần nhớ

Mốt: nhóm $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất thì $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ; mốt chỉ xét khi các nhóm có cùng độ dài $h$ .
Mốt chia nhóm chứa mốt $[a; b)$ theo tỉ lệ $(M_{o} - a) : (b - M_{o}) = (m_{j} - m_{j - 1}) : (m_{j} - m_{j + 1})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các nhóm cùng độ dài

20

nên mốt được xác định; nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất

31

, tức

[60; 80)

. Hai nhóm kề có tần số

23

và

29

, bên phải cao hơn nhiều nên mốt sẽ lệch hẳn về phía đầu mút

80

. Bẫy: lấy nhầm nhóm kề trước/sau, hoặc báo mốt là trung điểm

70

1Cách 1. Áp công thức mốt

Định hướng. Xác định nhóm có tần số lớn nhất và hai tần số kề, rồi thay vào công thức.

m_{4} = 31

lớn nhất, nhóm chứa mốt là

[60; 80)

h = 20

M_{o} = 60 + \frac{31 - 23}{( 31 - 23 ) + ( 31 - 29 )} \cdot 20

M_{o} = 60 + \frac{8}{10} \cdot 20

M_{o} = 60 + 16 = 76

Vậy $M_{o} = 76$ ngày.

2Cách 2. Giao điểm hai đường chéo trên biểu đồ tần số

Định hướng. Đặt hệ trục (hoành: tuổi thọ, tung: số lượng); mốt là hoành độ giao điểm của hai đoạn chéo dựng trên cột cao nhất.

đoạn qua

(60; 31)

và

(80; 29)

y = 31 - \frac{x - 60}{10}

đoạn qua

(80; 31)

và

(60; 23)

y = 23 + \frac{2 ( x - 60 )}{5}

31 - \frac{x - 60}{10} = 23 + \frac{2 ( x - 60 )}{5}

8 = \frac{x - 60}{10} + \frac{4 ( x - 60 )}{10} = \frac{x - 60}{2}

x = 76

Vậy $M_{o} = 76$ ngày.

3Cách 3. Chia nhóm theo tỉ lệ chênh lệch tần số

Định hướng. Mốt chia đoạn $[60; 80]$ thành hai phần tỉ lệ với độ chênh tần số so với hai nhóm kề.

(M_{o} - 60) : (80 - M_{o}) = (31 - 23) : (31 - 29) = 8 : 2

2 (M_{o} - 60) = 8 (80 - M_{o})

10 M_{o} = 760

M_{o} = 76

Vậy $M_{o} = 76$ ngày.

Nhận xét. Ý nghĩa: tuổi thọ khoảng $76$ ngày là phổ biến nhất — nhiều con ong có tuổi thọ quanh $76$ ngày hơn bất kì mức nào khác. Mốt nằm gần đầu mút $80$ vì nhóm $[80; 100)$ ( $29$ con) đông gần bằng nhóm chứa mốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ một tỉ lệ

8 : 2

là ra ngay

60 + \frac{8}{10} \cdot 20 = 76

; Cách 2 cho thấy công thức mốt từ đâu mà có.

Đáp số.

M_{o} = 76

ngày: tuổi thọ phổ biến nhất của loài ong này vào khoảng

76

ngày.

Sai lầm thường gặp. Đảo hai nhóm kề:

60 + \frac{31 - 29}{( 31 - 29 ) + ( 31 - 23 )} \cdot 20 = 64

— sai vì

m_{j - 1}

phải là nhóm đứng trước (

23

). Báo mốt là

70

(trung điểm) là bỏ qua ảnh hưởng của hai nhóm kề.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[80; 100)

cũng có

31

con thì mẫu có hai nhóm chứa mốt kề nhau; thử tính (đáp số:

M_{o} = 60 + \frac{8}{8} \cdot 20 = 80

cho nhóm

[60; 80)

và

M_{o} = 80 + \frac{0}{0 + 31} \cdot 20 = 80

cho nhóm

[80; 100)

— hai mốt trùng nhau tại

80

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.15★★★Trang 69— Tứ phân vị thứ ba — bài toán ngưỡng

3.15 (trang 69). Một bảng xếp hạng đã tính điểm chuẩn hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:

Điểm	Dưới $20$	$[20; 30)$	$[30; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số trường	$4$	$19$	$6$	$2$	$3$	$1$

Xác định điểm ngưỡng để đưa ra danh sách

25%

trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{1}$ , $Q_{3}$ tính như trung vị với mốc $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ (thay cho $\frac{n}{2}$ ); $Q_{2} = M_{e}$ .
Số $a$ có $75%$ giá trị nhỏ hơn $a$ và $25%$ giá trị lớn hơn $a$ là tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ .
Tứ phân vị (khác với mốt) vẫn tính được khi các nhóm có độ dài khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

“

25%

trường tốt nhất” là nhóm có điểm từ ngưỡng trở lên, mà dưới ngưỡng có

75%

số trường — đó chính là tứ phân vị thứ ba

Q_{3}

. Các nhóm không cùng độ dài nhưng tứ phân vị vẫn tính bằng công thức nội suy trong nhóm chứa nó. Bẫy: tìm

Q_{1}

(vì “

25%

”), hoặc tìm mốt — mốt không định nghĩa được khi độ dài nhóm khác nhau.

1Cách 1. Tính Q3 bằng công thức

Định hướng. Ngưỡng cần tìm là $Q_{3}$ ; dò nhóm chứa mốc $\frac{3 n}{4}$ rồi nội suy.

n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35

\frac{3 n}{4} = 26, 25

tần số tích luỹ:

4

;

23

;

29

;

31

;

34

;

35

23 < 26, 25 \leq 29

nên nhóm chứa

Q_{3}

là

[30; 40)

Q_{3} = 30 + \frac{26 , 25 - 23}{6} \cdot (40 - 30)

Q_{3} = 30 + \frac{3 , 25}{6} \cdot 10 = 30 + \frac{65}{12}

Q_{3} = \frac{425}{12} \approx 35, 42

Vậy điểm ngưỡng là khoảng $35, 42$ : các trường có điểm từ $35, 42$ trở lên thuộc nhóm $25%$ tốt nhất.

2Cách 2. Đếm ngược từ nhóm điểm cao nhất

Định hướng. $25%$ của $35$ trường là $8, 75$ trường; lấy dần từ nhóm điểm cao xuống cho đủ $8, 75$ trường, phần còn thiếu lấy ở đầu trên của nhóm tiếp theo.

25% \cdot 35 = 8, 75

[80; 100)

[60; 80)

[40; 60)

1 + 3 + 2 = 6

trường
còn thiếu

8, 75 - 6 = 2, 75

trường, lấy trong nhóm

[30; 40)

gồm

6

trường
ngưỡng

= 40 - \frac{2 , 75}{6} \cdot 10 = 40 - \frac{55}{12}

ngưỡng

= \frac{425}{12} \approx 35, 42

Vậy điểm ngưỡng khoảng $35, 42$ .

3Cách 3. Đọc trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Nối các điểm (đầu mút phải; tần số tích luỹ); ngưỡng là hoành độ điểm có tung độ $26, 25$ , nằm trên đoạn nối $(30; 23)$ với $(40; 29)$ .

đoạn qua

(30; 23)

và

(40; 29)

y = 23 + \frac{6}{10} (x - 30)

23 + \frac{3}{5} (x - 30) = 26, 25

\frac{3}{5} (x - 30) = 3, 25

x = 30 + \frac{65}{12} = \frac{425}{12} \approx 35, 42

Vậy ngưỡng $\approx 35, 42$ điểm.

Nhận xét. Nhóm “Dưới $20$ ” không có đầu mút trái nhưng không ảnh hưởng, vì $Q_{3}$ chỉ dùng số trường của nhóm đó ( $4$ ); cũng vì thế không tính được số trung bình chính xác. Hình vẽ tạm lấy đầu mút trái là $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho bài tự luận vì đúng công thức SGK; Cách 2 rất hợp để hiểu bài: “lấy từ trên xuống cho đủ

25%

” chính là ý nghĩa của ngưỡng.

Đáp số. Điểm ngưỡng

Q_{3} = \frac{425}{12} \approx 35, 42

điểm.

Sai lầm thường gặp. Tính

Q_{1}

vì thấy chữ “

25%

”:

Q_{1} = 20 + \frac{8 , 75 - 4}{19} \cdot 10 = 22, 5

— đó là ngưỡng của

25%

trường có điểm THẤP nhất. Lỗi khác: dùng độ dài nhóm

20

(của nhóm

[40; 60)

) thay cho

10

của nhóm

[30; 40)

và ra

40, 83

🚀 Mở rộng. Muốn lấy danh sách

10%

trường tốt nhất thì tìm phân vị

90%

: mốc

0, 9 \cdot 35 = 31, 5

thuộc nhóm

[60; 80)

, ngưỡng

= 60 + \frac{31 , 5 - 31}{3} \cdot 20 = \frac{190}{3} \approx 63, 33

điểm.

Mở bài này trong app ↗