Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang72–74 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.48★★Trang 72— Trắc nghiệm — vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 4.48 (trang 72). Trong không gian cho hai đường thẳng cắt nhau

a

và

b

. Nếu

c

là một đường thẳng song song với

a

thì
A.

c

và

b

song song với nhau.
B.

c

và

b

cắt nhau.
C.

c

và

b

chéo nhau.
D.

c

và

b

không song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi "chắc chắn đúng" nên phải loại mọi phương án chỉ đúng trong một số trường hợp.

c

có thể cắt

b

(khi

c

nằm trong mặt phẳng

(a, b)

) hoặc chéo

b

(khi

c

nằm ngoài) — nên B, C chưa chắc; còn

c ∥ b

thì kéo theo

a ∥ b

, vô lí. Bẫy: chọn B vì chỉ hình dung trong mặt phẳng.

1Cách 1. Phản chứng

Định hướng. Giả sử $c ∥ b$ .

c ∥ a

c ∥ b

\Rightarrow a ∥ b

hoặc

a \equiv b

.
Mâu thuẫn với

a

b

cắt nhau

\Rightarrow c

không song song

b

Vậy chọn D.

2Cách 2. Ví dụ trong hình hộp

Định hướng. Lấy $a = A B$ , $b = A D$ trong hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

c = D C ∥ A B

c \cap b = D

\Rightarrow

cắt nhau (loại C).

c = A^{'} B^{'} ∥ A B

c

A D

không đồng phẳng

\Rightarrow

chéo nhau (loại B).
Cả hai trường hợp đều có

c

không song song

b

(loại A).

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phân chia theo mặt phẳng

(a, b)

Định hướng. Xét $c$ nằm trong hay ngoài mặt phẳng $(α)$ chứa $a$ , $b$ .

c \subset (α)

c ∥ a

a

cắt

b

\Rightarrow c

cắt

b

c \neq \subset (α)

c ∥ a \subset (α)

\Rightarrow c ∥ (α)

\Rightarrow c \cap b = \emptyset

c

b

không đồng phẳng

\Rightarrow

chéo nhau.

Vậy $c$ và $b$ cắt nhau hoặc chéo nhau, tức là không song song; chọn D.

Nhận xét. Cách 3 liệt kê đủ hai khả năng nên thấy rõ vì sao B, C chỉ đúng "một nửa".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng phản chứng bằng tính chất bắc cầu.

Đáp số. D.

c

và

b

không song song với nhau.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì vẽ cả ba đường trên một mặt phẳng giấy — quên khả năng

c

nằm ngoài mặt phẳng

(a, b)

và chéo

b

🚀 Mở rộng. Nếu thêm điều kiện

c

đi qua một điểm của

b

thì

c

cắt

b

; nếu

c

không có điểm chung với mặt phẳng

(a, b)

thì

c

chéo

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.49★★Trang 72— Trắc nghiệm — định lí về ba giao tuyến

Bài 4.49 (trang 72). Cho tứ diện

A B C D

. Một mặt phẳng cắt các cạnh

A B

B C

C D

D A

của tứ diện lần lượt tại các điểm

M

N

P

Q

. Khi đó
A.

M N

A C

P Q

đồng quy.
B.

M N

A C

P Q

đôi một song song.
C.

M N

A C

P Q

đôi một chéo nhau.
D.

M N

A C

P Q

đôi một song song hoặc đồng quy.

Kiến thức cần nhớ

Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song.
Định lí Thalès đảo trong tam giác: $\frac{B M}{B A} = \frac{B N}{B C}$ thì $M N ∥ A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba đường

M N

A C

P Q

là giao tuyến đôi một của ba mặt phẳng

(A B C)

(A C D)

(M N P Q)

— đúng khung định lí ba giao tuyến. Định lí cho hai khả năng, cả hai đều xảy ra tuỳ vị trí mặt phẳng cắt, nên phải chọn phương án "hoặc". Bẫy: vẽ một hình cụ thể thấy đồng quy rồi chọn A.

1Cách 1. Định lí ba giao tuyến

Định hướng. Nhận ra ba mặt phẳng đôi một cắt nhau.

(A B C) \cap (M N P Q) = M N

(A C D) \cap (M N P Q) = P Q

(A B C) \cap (A C D) = A C

\Rightarrow M N

A C

P Q

đồng quy hoặc đôi một song song.

Vậy chọn D.

2Cách 2. Chia trường hợp

M N

cắt hay song song

A C

Định hướng. Hai đường $M N$ , $A C$ cùng nằm trong $(A B C)$ nên chỉ cắt nhau hoặc song song.

M N \cap A C = I

I \in (M N P Q) \cap (A C D) = P Q

\Rightarrow M N

A C

P Q

đồng quy tại

I

M N ∥ A C

A C ∥ (M N P Q)

(A C D) \supset A C

cắt

(M N P Q)

theo

P Q

\Rightarrow P Q ∥ A C ∥ M N

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ bằng ví dụ

Định hướng. Chỉ ra mỗi phương án A, B, C đều có trường hợp sai.

M

N

P

Q

là trung điểm bốn cạnh

\Rightarrow M N ∥ A C ∥ P Q

(loại A).

\frac{A M}{A B} = \frac{1}{2}

\frac{B N}{B C} = \frac{3}{10}

\Rightarrow M N

cắt

A C

(loại B).

M N

A C

cùng nằm trong

(A B C)

nên không chéo nhau (loại C).

Vậy chọn D.

Nhận xét. Hình vẽ minh hoạ trường hợp đồng quy tại $I$ nằm trên đường thẳng $A C$ , ngoài đoạn $A C$ (toạ độ đã kiểm bằng Python).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi đúng tên định lí ba giao tuyến là xong.

Đáp số. D.

M N

A C

P Q

đôi một song song hoặc đồng quy.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì hình vẽ quen thuộc cho thấy ba đường gặp nhau — bỏ sót trường hợp

M

N

P

Q

là trung điểm, khi đó ba đường song song.

🚀 Mở rộng. Tương tự,

N P

B D

M Q

cũng đồng quy hoặc đôi một song song (ba giao tuyến của

(B C D)

(A B D)

(M N P Q)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.50★Trang 72— Trắc nghiệm — giao tuyến với hai mặt phẳng song song

Bài 4.50 (trang 72). Nếu mặt phẳng

(R)

cắt hai mặt phẳng song song

(P)

và

(Q)

lần lượt theo hai giao tuyến

a

và

b

thì vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

a

và

b

là
A. song song.
B. chéo nhau.
C. trùng nhau.
D. cắt nhau.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(P) ∥ (Q)$ thì mọi mặt phẳng cắt $(P)$ đều cắt $(Q)$ và hai giao tuyến song song.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.51★Trang 72— Trắc nghiệm — định lí Thalès trong không gian

Bài 4.51 (trang 72). Cho ba mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

đôi một song song với nhau. Đường thẳng

d

cắt các mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

lần lượt tại

A

B

C

. Đường thẳng

d^{'}

cắt các mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

lần lượt tại

A^{'}

B^{'}

C^{'}

. Biết rằng

\frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}

, tỉ số

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

bằng
A.

\frac{1}{3}

.
B.

\frac{2}{3}

.
C.

\frac{3}{2}

.
D.

\frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.52★Trang 72— Trắc nghiệm — giao tuyến chứa hai đường song song

Bài 4.52 (trang 72). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang (

A B ∥ C D

). Gọi

d

là giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S C D)

. Khi đó

d

đi qua

S

và song song với
A.

A C

.
B.

C D

.
C.

B D

.
D.

B C

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.53★★Trang 72— Trắc nghiệm — giao tuyến song song nhờ đường trung bình

Bài 4.53 (trang 72). Cho tứ diện

A B C D

có

E

F

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

C D

. Mặt phẳng

(P)

chứa đường thẳng

E F

và cắt mặt phẳng

(A B D)

theo giao tuyến

d

. Khi đó
A.

d

song song với

B C

.
B.

d

song song với

A B

.
C.

d

song song với

B D

.
D.

d

song song với

C D

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.54★★Trang 72— Trắc nghiệm — hình chiếu song song của một điểm

Bài 4.54 (trang 72). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Hình chiếu song song của điểm

A

trên mặt phẳng

(C D D^{'} C^{'})

theo phương

B C^{'}

là
A.

D^{'}

.
B.

D

.
C.

B

.
D.

C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song theo phương $ℓ$ lên $(P)$ : hình chiếu của $M$ là giao điểm của $(P)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $ℓ$ .
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hình hộp có các mặt là hình bình hành.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.55★Trang 73— Trắc nghiệm — định nghĩa giao tuyến

Bài 4.55 (trang 73). Cho hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

cắt nhau theo giao tuyến

d

. Khi đó
A.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm trong mặt phẳng

(P)

và nằm ngoài mặt phẳng

(Q)

.
B.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài mặt phẳng

(P)

và nằm trong mặt phẳng

(Q)

.
C.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài cả hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

.
D.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Kiến thức cần nhớ

Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung là đường thẳng gồm tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng: $d = (P) \cap (Q)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.56★Trang 73— Trắc nghiệm — sự tồn tại duy nhất của mặt phẳng song song

Bài 4.56 (trang 73). Cho mặt phẳng

(P)

và điểm

A

nằm ngoài mặt phẳng

(P)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Qua

A

có vô số mặt phẳng song song với

(P)

.
B. Qua

A

có đúng một mặt phẳng song song với

(P)

.
C. Qua

A

không có mặt phẳng nào song song với

(P)

.
D. Qua

A

có đúng hai mặt phẳng song song với

(P)

Kiến thức cần nhớ

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$ thì $(P) ∥ (Q)$ .
Qua điểm $A$ có vô số đường thẳng song song với $(P)$ , tất cả nằm trong mặt phẳng qua $A$ song song $(P)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.57★★★Trang 73— Giao tuyến trong hình chóp ngũ giác và chứng minh song song

Bài 4.57 (trang 73). Cho hình chóp ngũ giác

S . A B C D E

. Giả sử

A B

song song với

D E

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A D)

và

(S B E)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S D E)

.
c) Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A E)

và

(S B C)

song song với đường thẳng

A E

. Chứng minh rằng

A E ∥ B C

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến.
Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.58★★★Trang 73— Đường thẳng song song mặt phẳng, giao tuyến trong lăng trụ

Bài 4.58 (trang 73). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A^{'}

A B

A C

.
a) Chứng minh rằng

B C ∥ (M N P)

.
b) Xác định giao tuyến

d

của hai mặt phẳng

(M N P)

và

(A^{'} B^{'} C^{'})

.
c) Chứng minh rằng

d ∥ N P

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $(P) ∥ (Q)$ thì mọi mặt phẳng cắt $(P)$ đều cắt $(Q)$ và hai giao tuyến song song.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.
Hai đáy của lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.59★★★Trang 73— Giao tuyến, hình thang và hai giao tuyến song song

Bài 4.59 (trang 73). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Mặt phẳng

(P)

chứa đường thẳng

A D

và cắt hai cạnh

S B

S C

lần lượt tại

E

F

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(E A B)

và

(F C D)

.
b) Chứng minh rằng tứ giác

A E F D

là hình thang.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(E C D)

và

(F A B)

.
d) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng

(E C D)

và

(F A B)

song song với giao tuyến của hai mặt phẳng

(E A B)

và

(F C D)

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.60★★★Trang 73— Giao điểm và giao tuyến qua mặt phẳng phụ

Bài 4.60 (trang 73). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang (

A B ∥ C D

). Gọi

O

là một điểm nằm trong tam giác

S A D

.
a) Xác định giao điểm của đường thẳng

A O

và mặt phẳng

(S C D)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S B O)

và

(S A C)

.
c) Xác định giao điểm của đường thẳng

B O

và mặt phẳng

(S A C)

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với $(P)$ : chọn mặt phẳng phụ $(Q) \supset d$ , tìm $Δ = (P) \cap (Q)$ , giao điểm là $d \cap Δ$ .
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.61★★Trang 74— Hình bình hành trong lăng trụ và giao tuyến với mặt bên

Bài 4.61 (trang 74). Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

M

N

M^{'}

N^{'}

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

C D

A^{'} B^{'}

C^{'} D^{'}

.
a) Chứng minh rằng bốn điểm

M

N

M^{'}

N^{'}

đồng phẳng và tứ giác

M N N^{'} M^{'}

là hình bình hành.
b) Giả sử

M N

không song song với

B C

. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(M N N^{'} M^{'})

và

(B C C^{'} B^{'})

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Các mặt bên của lăng trụ là hình bình hành, các cạnh bên song song và bằng nhau.
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến.
Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.62★★Trang 74— Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và hình bình hành trong hình hộp

Bài 4.62 (trang 74). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

M

N

P

Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

D D^{'}

. Chứng minh rằng bốn điểm

M

N

P

Q

đồng phẳng và

M N P Q

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hình hộp có sáu mặt là hình bình hành.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 4.63★★★Trang 74— Vận dụng — đường thẳng song song với mặt phẳng trong thực tế

Bài 4.63 (trang 74). Một người thợ đang cố gắng đặt tấm kính

A B C D

(mép

A B

không song song với

C D

) dựa vào tường sao cho mép kính

C D

song song với đường chân tường, còn mép kính

A B

nằm hoàn toàn trên tường. Sau một hồi loay hoay, người thợ vẫn không thể đặt được tấm kính như mong muốn. Hãy giải thích tại sao. Có cách nào đặt tấm kính để một mép kính song song với đường chân tường, một mép kính khác nằm hoàn toàn trên tường không?
(Sách có hình minh hoạ người thợ dựng tấm kính nghiêng dựa vào tường.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.