Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.48★★Trang 72— Trắc nghiệm — vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 4.48 (trang 72). Trong không gian cho hai đường thẳng cắt nhau

a

và

b

. Nếu

c

là một đường thẳng song song với

a

thì
A.

c

và

b

song song với nhau.
B.

c

và

b

cắt nhau.
C.

c

và

b

chéo nhau.
D.

c

và

b

không song song với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi "chắc chắn đúng" nên phải loại mọi phương án chỉ đúng trong một số trường hợp.

c

có thể cắt

b

(khi

c

nằm trong mặt phẳng

(a, b)

) hoặc chéo

b

(khi

c

nằm ngoài) — nên B, C chưa chắc; còn

c ∥ b

thì kéo theo

a ∥ b

, vô lí. Bẫy: chọn B vì chỉ hình dung trong mặt phẳng.

1Cách 1. Phản chứng

Định hướng. Giả sử $c ∥ b$ .

c ∥ a

c ∥ b

\Rightarrow a ∥ b

hoặc

a \equiv b

.
Mâu thuẫn với

a

b

cắt nhau

\Rightarrow c

không song song

b

Vậy chọn D.

2Cách 2. Ví dụ trong hình hộp

Định hướng. Lấy $a = A B$ , $b = A D$ trong hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

c = D C ∥ A B

c \cap b = D

\Rightarrow

cắt nhau (loại C).

c = A^{'} B^{'} ∥ A B

c

A D

không đồng phẳng

\Rightarrow

chéo nhau (loại B).
Cả hai trường hợp đều có

c

không song song

b

(loại A).

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phân chia theo mặt phẳng

(a, b)

Định hướng. Xét $c$ nằm trong hay ngoài mặt phẳng $(α)$ chứa $a$ , $b$ .

c \subset (α)

c ∥ a

a

cắt

b

\Rightarrow c

cắt

b

c \neq \subset (α)

c ∥ a \subset (α)

\Rightarrow c ∥ (α)

\Rightarrow c \cap b = \emptyset

c

b

không đồng phẳng

\Rightarrow

chéo nhau.

Vậy $c$ và $b$ cắt nhau hoặc chéo nhau, tức là không song song; chọn D.

Nhận xét. Cách 3 liệt kê đủ hai khả năng nên thấy rõ vì sao B, C chỉ đúng "một nửa".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng phản chứng bằng tính chất bắc cầu.

Đáp số. D.

c

và

b

không song song với nhau.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì vẽ cả ba đường trên một mặt phẳng giấy — quên khả năng

c

nằm ngoài mặt phẳng

(a, b)

và chéo

b

🚀 Mở rộng. Nếu thêm điều kiện

c

đi qua một điểm của

b

thì

c

cắt

b

; nếu

c

không có điểm chung với mặt phẳng

(a, b)

thì

c

chéo

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.49★★Trang 72— Trắc nghiệm — định lí về ba giao tuyến

Bài 4.49 (trang 72). Cho tứ diện

A B C D

. Một mặt phẳng cắt các cạnh

A B

B C

C D

D A

của tứ diện lần lượt tại các điểm

M

N

P

Q

. Khi đó
A.

M N

A C

P Q

đồng quy.
B.

M N

A C

P Q

đôi một song song.
C.

M N

A C

P Q

đôi một chéo nhau.
D.

M N

A C

P Q

đôi một song song hoặc đồng quy.

Kiến thức cần nhớ

Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song.
Định lí Thalès đảo trong tam giác: $\frac{B M}{B A} = \frac{B N}{B C}$ thì $M N ∥ A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba đường

M N

A C

P Q

là giao tuyến đôi một của ba mặt phẳng

(A B C)

(A C D)

(M N P Q)

— đúng khung định lí ba giao tuyến. Định lí cho hai khả năng, cả hai đều xảy ra tuỳ vị trí mặt phẳng cắt, nên phải chọn phương án "hoặc". Bẫy: vẽ một hình cụ thể thấy đồng quy rồi chọn A.

1Cách 1. Định lí ba giao tuyến

Định hướng. Nhận ra ba mặt phẳng đôi một cắt nhau.

(A B C) \cap (M N P Q) = M N

(A C D) \cap (M N P Q) = P Q

(A B C) \cap (A C D) = A C

\Rightarrow M N

A C

P Q

đồng quy hoặc đôi một song song.

Vậy chọn D.

2Cách 2. Chia trường hợp

M N

cắt hay song song

A C

Định hướng. Hai đường $M N$ , $A C$ cùng nằm trong $(A B C)$ nên chỉ cắt nhau hoặc song song.

M N \cap A C = I

I \in (M N P Q) \cap (A C D) = P Q

\Rightarrow M N

A C

P Q

đồng quy tại

I

M N ∥ A C

A C ∥ (M N P Q)

(A C D) \supset A C

cắt

(M N P Q)

theo

P Q

\Rightarrow P Q ∥ A C ∥ M N

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ bằng ví dụ

Định hướng. Chỉ ra mỗi phương án A, B, C đều có trường hợp sai.

M

N

P

Q

là trung điểm bốn cạnh

\Rightarrow M N ∥ A C ∥ P Q

(loại A).

\frac{A M}{A B} = \frac{1}{2}

\frac{B N}{B C} = \frac{3}{10}

\Rightarrow M N

cắt

A C

(loại B).

M N

A C

cùng nằm trong

(A B C)

nên không chéo nhau (loại C).

Vậy chọn D.

Nhận xét. Hình vẽ minh hoạ trường hợp đồng quy tại $I$ nằm trên đường thẳng $A C$ , ngoài đoạn $A C$ (toạ độ đã kiểm bằng Python).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi đúng tên định lí ba giao tuyến là xong.

Đáp số. D.

M N

A C

P Q

đôi một song song hoặc đồng quy.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì hình vẽ quen thuộc cho thấy ba đường gặp nhau — bỏ sót trường hợp

M

N

P

Q

là trung điểm, khi đó ba đường song song.

🚀 Mở rộng. Tương tự,

N P

B D

M Q

cũng đồng quy hoặc đôi một song song (ba giao tuyến của

(B C D)

(A B D)

(M N P Q)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.50★Trang 72— Trắc nghiệm — giao tuyến với hai mặt phẳng song song

Bài 4.50 (trang 72). Nếu mặt phẳng

(R)

cắt hai mặt phẳng song song

(P)

và

(Q)

lần lượt theo hai giao tuyến

a

và

b

thì vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

a

và

b

là
A. song song.
B. chéo nhau.
C. trùng nhau.
D. cắt nhau.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(P) ∥ (Q)$ thì mọi mặt phẳng cắt $(P)$ đều cắt $(Q)$ và hai giao tuyến song song.

🧠 Phân tích tư duy

Hai giao tuyến cùng nằm trong

(R)

nên đồng phẳng, lại nằm trên hai mặt phẳng không có điểm chung. Đây là tính chất trực tiếp của hai mặt phẳng song song. Bẫy: chọn B vì

a

b

nằm "ở hai tầng khác nhau".

1Cách 1. Tính chất hai mặt phẳng song song

Định hướng. Áp dụng thẳng tính chất.

(P) ∥ (Q)

(R) \cap (P) = a

(R) \cap (Q) = b

\Rightarrow a ∥ b

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đồng phẳng và không có điểm chung

Định hướng. Xét điểm chung và mặt phẳng chứa cả hai.

a \subset (P)

b \subset (Q)

(P) \cap (Q) = \emptyset

\Rightarrow a \cap b = \emptyset

(loại C, D).

a, b \subset (R)

\Rightarrow a

b

đồng phẳng (loại B)

\Rightarrow a ∥ b

Vậy chọn A.

3Cách 3. Qua đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. $a$ nằm trong $(P)$ nên song song với $(Q)$ .

a \subset (P)

(P) ∥ (Q)

\Rightarrow a ∥ (Q)

(R) \supset a

(R) \cap (Q) = b

\Rightarrow b ∥ a

Vậy chọn A.

Nhận xét. Ba cách là ba "tầng" lí thuyết: tính chất của hai mặt phẳng song song, định nghĩa song song, tính chất đường thẳng song song mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ đúng tính chất là trả lời ngay.

Đáp số. A. song song.

Sai lầm thường gặp. Chọn B "chéo nhau" vì thấy

a

b

nằm trên hai mặt phẳng khác nhau — quên rằng cả hai cùng nằm trong

(R)

🚀 Mở rộng. Ứng dụng: các mép bậc cầu thang trên cùng một bức tường song song với nhau (SGK Bài 4.28).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.51★Trang 72— Trắc nghiệm — định lí Thalès trong không gian

Bài 4.51 (trang 72). Cho ba mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

đôi một song song với nhau. Đường thẳng

d

cắt các mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

lần lượt tại

A

B

C

. Đường thẳng

d^{'}

cắt các mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

lần lượt tại

A^{'}

B^{'}

C^{'}

. Biết rằng

\frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}

, tỉ số

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

bằng
A.

\frac{1}{3}

.
B.

\frac{2}{3}

.
C.

\frac{3}{2}

.
D.

\frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Ba mặt phẳng song song cắt hai cát tuyến

d

d^{'}

— định lí Thalès. Tỉ số hỏi

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

tương ứng đúng với

\frac{A B}{A C}

nên giữ nguyên. Bẫy: nhầm với

\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}} = 2

1Cách 1. Định lí Thalès

Định hướng. Các đoạn tương ứng tỉ lệ.

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C}

\Rightarrow \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đường phụ qua

A

song song

d^{'}

Định hướng. Đưa về Thalès trong một tam giác.

ℓ ∥ d^{'}

qua

A

cắt

(Q)

(R)

tại

B_{1}

C_{1}

\Rightarrow A B_{1} = A^{'} B^{'}

A C_{1} = A^{'} C^{'}

(A C C_{1})

cắt

(Q)

(R)

theo

B B_{1} ∥ C C_{1}

\Rightarrow \frac{A B _{1}}{A C _{1}} = \frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}

Vậy $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{2}{3}$ , chọn B.

3Cách 3. Đặt độ dài

Định hướng. Đặt $A B = 2 x$ , $A C = 3 x$ và hệ số tỉ lệ $k$ .

A^{'} B^{'} = 2 k x

A^{'} C^{'} = 3 k x

\Rightarrow \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{2 k x}{3 k x} = \frac{2}{3}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Từ Cách 3 cũng đọc được $\frac{B ^{'} C ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{1}{3}$ và $\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}} = 2$ — chính là các phương án nhiễu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng Thalès, không cần vẽ hình hay dựng đường phụ.

Đáp số. B.

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

rồi chọn nhầm, hoặc chọn A

\frac{1}{3}

vì lấy

\frac{B ^{'} C ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

🚀 Mở rộng. Biết

A^{'} C^{'} = 9

cm thì

A^{'} B^{'} = 6

cm,

B^{'} C^{'} = 3

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.52★Trang 72— Trắc nghiệm — giao tuyến chứa hai đường song song

Bài 4.52 (trang 72). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang (

A B ∥ C D

). Gọi

d

là giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S C D)

. Khi đó

d

đi qua

S

và song song với
A.

A C

.
B.

C D

.
C.

B D

.
D.

B C

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

(S A B)

chứa

A B

(S C D)

chứa

C D

, mà

A B ∥ C D

— dạng "điểm chung + phương": giao tuyến qua

S

song song

A B

C D

. Bẫy: chọn

B C

hay

A C

vì đó là đường nối hai mặt.

1Cách 1. Điểm chung và phương

Định hướng. Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

S \in (S A B) \cap (S C D)

A B \subset (S A B)

C D \subset (S C D)

A B ∥ C D

\Rightarrow d

qua

S

d ∥ A B ∥ C D

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chứng minh $C D ∥ (S A B)$ .

C D ∥ A B \subset (S A B)

\Rightarrow C D ∥ (S A B)

(S C D) \supset C D

(S C D) \cap (S A B) = d

\Rightarrow d ∥ C D

Vậy chọn B.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Các đường $A C$ , $B D$ , $B C$ đều cắt một trong hai mặt phẳng.

A C \cap (S A B) = A

B D \cap (S A B) = B

B C \cap (S A B) = B

.
Nếu

d ∥ A C

thì

A C ∥ d \subset (S A B)

, mâu thuẫn

A C \cap (S A B) = A

(loại A); tương tự loại C, D.

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 dùng: một đường thẳng song song với đường nằm trong $(P)$ thì hoặc song song $(P)$ , hoặc nằm trong $(P)$ — không thể chỉ cắt tại một điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay cặp

A B ∥ C D

Đáp số. B.

C D

Sai lầm thường gặp. Nối

S

với giao điểm của

A B

và

C D

— không tồn tại vì

A B ∥ C D

; hoặc chọn

B C

vì nhầm với giao tuyến

(S A D) \cap (S B C)

🚀 Mở rộng. Với

(S A D)

và

(S B C)

thì giao tuyến là

S I

I = A D \cap B C

(nếu

A D

không song song

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.53★★Trang 72— Trắc nghiệm — giao tuyến song song nhờ đường trung bình

Bài 4.53 (trang 72). Cho tứ diện

A B C D

có

E

F

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

C D

. Mặt phẳng

(P)

chứa đường thẳng

E F

và cắt mặt phẳng

(A B D)

theo giao tuyến

d

. Khi đó
A.

d

song song với

B C

.
B.

d

song song với

A B

.
C.

d

song song với

B D

.
D.

d

song song với

C D

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.

🧠 Phân tích tư duy

E

F

là trung điểm hai cạnh của tam giác

B C D

nên

E F ∥ B D

, mà

B D

nằm trong

(A B D)

. Mặt phẳng chứa

E F

cắt

(A B D)

thì giao tuyến song song

E F

, tức song song

B D

. Bẫy: chọn

C D

hay

B C

vì

E

F

nằm trên các cạnh đó.

1Cách 1.

E F ∥ (A B D)

Định hướng. Đường trung bình cho đường thẳng song song với mặt phẳng.

△ B C D

E F

là đường trung bình

\Rightarrow E F ∥ B D \subset (A B D)

\Rightarrow E F ∥ (A B D)

(P) \supset E F

(P) \cap (A B D) = d

\Rightarrow d ∥ E F ∥ B D

Vậy chọn C.

2Cách 2. Hai mặt phẳng chứa hai đường song song

Định hướng. $(P) \supset E F$ , $(A B D) \supset B D$ , $E F ∥ B D$ .

\Rightarrow d ∥ E F

hoặc

d ∥ B D

(hoặc trùng một trong hai).

d \subset (A B D)

E F \neq \subset (A B D)

\Rightarrow d ∥ B D

hoặc

d \equiv B D

; cả hai đều loại A, B, D.

Vậy chọn C.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Các cạnh $B C$ , $C D$ , $A B$ đều có điểm chung với $(P)$ hoặc nằm trong $(A B D)$ mà cắt $B D$ .

d ∥ E F

(giao tuyến với mặt chứa

E F ∥ (A B D)

); nếu

d ∥ A B

thì

A B ∥ E F ∥ B D

, vô lí vì

A B \cap B D = B

(loại B).

B C \cap (P) = E

C D \cap (P) = F

\Rightarrow B C

C D

không song song với đường nào nằm trong

(P)

(loại A, D).

Vậy chọn C.

Nhận xét. Trên hình, $d$ đi qua hai điểm nằm trên $A B$ và $A D$ ; thiết diện là hình thang có hai đáy $E F$ và $d$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đường trung bình rồi tính chất giao tuyến.

Đáp số. C.

d

song song với

B D

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì

F

nằm trên

C D

— quên rằng

C D

cắt

(P)

tại

F

nên không thể song song với đường nằm trong

(P)

🚀 Mở rộng. Nếu

E

F

không là trung điểm mà

\frac{C E}{C B} = \frac{C F}{C D}

thì kết luận vẫn đúng:

d ∥ B D

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.54★★Trang 72— Trắc nghiệm — hình chiếu song song của một điểm

Bài 4.54 (trang 72). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Hình chiếu song song của điểm

A

trên mặt phẳng

(C D D^{'} C^{'})

theo phương

B C^{'}

là
A.

D^{'}

.
B.

D

.
C.

B

.
D.

C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song theo phương $ℓ$ lên $(P)$ : hình chiếu của $M$ là giao điểm của $(P)$ với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $ℓ$ .
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hình hộp có các mặt là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Cần đường qua

A

song song

B C^{'}

rồi cắt với mặt

(C D D^{'} C^{'})

. Trong hình hộp,

A B ∥ D^{'} C^{'}

và bằng nhau nên

A B C^{'} D^{'}

là hình bình hành, cho

A D^{'} ∥ B C^{'}

với

D^{'}

nằm sẵn trên mặt chiếu. Bẫy: chọn

D

vì

A D ∥ B C

(nhầm phương

B C

với

B C^{'}

1Cách 1. Hình bình hành

A B C^{'} D^{'}

Định hướng. Tìm điểm trên mặt chiếu mà đường nối với $A$ song song $B C^{'}$ .

A B ∥ D C ∥ D^{'} C^{'}

A B = D^{'} C^{'}

\Rightarrow A B C^{'} D^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A D^{'} ∥ B C^{'}

D^{'} \in (C D D^{'} C^{'})

\Rightarrow

hình chiếu của

A

là

D^{'}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Phương pháp vectơ

Định hướng. Đặt $A B = b$ , $A D = d$ , $A A^{'} = a$ .

B C^{'} = d + a

;

A D^{'} = d + a = B C^{'}

\Rightarrow A D^{'} ∥ B C^{'}

D^{'} \in (C D D^{'} C^{'})

Vậy hình chiếu của $A$ là $D^{'}$ , chọn A.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Kiểm tra từng phương án: đoạn nối $A$ với điểm đó có song song $B C^{'}$ không.

A D ∥ B C

, không song song

B C^{'}

(loại B).

A B \cap B C^{'} = B

(loại C);

A C^{'}

là đường chéo hình hộp,

A C^{'} \cap B C^{'} = C^{'}

(loại D).

Vậy chọn A.

Nhận xét. Nhận xét chung: chiếu theo phương $B C^{'}$ lên $(C D D^{'} C^{'})$ biến $A \mapsto D^{'}$ , $B \mapsto C^{'}$ ; đáp án không phụ thuộc hình hộp có là hình hộp chữ nhật hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra hình bình hành

A B C^{'} D^{'}

là thấy đáp án.

Đáp số. A.

D^{'}

Sai lầm thường gặp. Chọn B (

D

) vì nhầm phương chiếu

B C^{'}

thành

B C

(

A D ∥ B C

🚀 Mở rộng. Theo cùng phương chiếu, hình chiếu của

B

lên

(C D D^{'} C^{'})

là

C^{'}

, nên hình chiếu của đoạn

A B

là

D^{'} C^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.55★Trang 73— Trắc nghiệm — định nghĩa giao tuyến

Bài 4.55 (trang 73). Cho hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

cắt nhau theo giao tuyến

d

. Khi đó
A.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm trong mặt phẳng

(P)

và nằm ngoài mặt phẳng

(Q)

.
B.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài mặt phẳng

(P)

và nằm trong mặt phẳng

(Q)

.
C.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài cả hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

.
D.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Kiến thức cần nhớ

Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung là đường thẳng gồm tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng: $d = (P) \cap (Q)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi kiểm tra đúng định nghĩa: giao tuyến là tập các điểm chung. Mỗi phương án là một "phép toán tập hợp" khác nhau trên

(P)

(Q)

— chỉ có giao mới là giao tuyến.

1Cách 1. Định nghĩa giao tuyến

Định hướng. Giao tuyến chính là giao của hai tập điểm.

d = (P) \cap (Q) = {M : M \in (P), M \in (Q)}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Loại trừ bằng một điểm của

d

Định hướng. Lấy $M \in d$ và thử với từng phương án.

M \in d

\Rightarrow M \in (P)

và

M \in (Q)

M \in (Q)

(loại A);

M \in (P)

(loại B);

M

thuộc cả hai (loại C).

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc đúng định nghĩa.

Đáp số. D.

d

là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì hiểu "giao tuyến là mép của

(P)

chạm vào

(Q)

" — điểm của giao tuyến nằm TRONG

(Q)

chứ không nằm ngoài.

🚀 Mở rộng. Tương tự, giao điểm của đường thẳng

a

với

(P)

là điểm vừa thuộc

a

vừa thuộc

(P)

— dùng định nghĩa này để tìm giao điểm qua mặt phẳng phụ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.56★Trang 73— Trắc nghiệm — sự tồn tại duy nhất của mặt phẳng song song

Bài 4.56 (trang 73). Cho mặt phẳng

(P)

và điểm

A

nằm ngoài mặt phẳng

(P)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Qua

A

có vô số mặt phẳng song song với

(P)

.
B. Qua

A

có đúng một mặt phẳng song song với

(P)

.
C. Qua

A

không có mặt phẳng nào song song với

(P)

.
D. Qua

A

có đúng hai mặt phẳng song song với

(P)

Kiến thức cần nhớ

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$ thì $(P) ∥ (Q)$ .
Qua điểm $A$ có vô số đường thẳng song song với $(P)$ , tất cả nằm trong mặt phẳng qua $A$ song song $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là định lí "qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song" của Bài 13. Muốn thấy rõ: dựng được (tồn tại) và hai mặt phẳng như thế phải trùng (duy nhất). Bẫy: nhầm với "qua

A

có vô số đường thẳng song song với

(P)

1Cách 1. Định lí tồn tại duy nhất

Định hướng. Áp dụng thẳng định lí.

A \in / (P)

\Rightarrow

có đúng một mặt phẳng

(Q)

qua

A

và

(Q) ∥ (P)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Dựng mặt phẳng

Định hướng. Lấy hai đường cắt nhau trong $(P)$ rồi kẻ qua $A$ hai đường song song.

a, b \subset (P)

a \cap b = O

; qua

A

kẻ

a^{'} ∥ a

b^{'} ∥ b

a^{'} ∥ (P)

b^{'} ∥ (P)

a^{'} \cap b^{'} = A

\Rightarrow (Q) = (a^{'}, b^{'}) ∥ (P)

— tồn tại (loại C).

Vậy có mặt phẳng qua $A$ song song $(P)$ ; kết hợp tính duy nhất, chọn B.

3Cách 3. Phản chứng cho tính duy nhất

Định hướng. Giả sử có hai mặt phẳng phân biệt $(Q_{1})$ , $(Q_{2})$ qua $A$ cùng song song $(P)$ .

Lấy

c \subset (P)

và mặt phẳng

(R)

qua

A

c

không chứa

Δ = (Q_{1}) \cap (Q_{2})

(R)

cắt

(Q_{1})

(Q_{2})

theo hai đường phân biệt

Δ_{1}

Δ_{2}

cùng qua

A

;

Δ_{1} ∥ c

Δ_{2} ∥ c

(tính chất giao tuyến).

Δ_{1}

Δ_{2}

cùng qua

A

, cùng song song

c

trong

(R)

\Rightarrow Δ_{1} \equiv Δ_{2}

, mâu thuẫn.

Vậy chỉ có đúng một mặt phẳng, chọn B.

Nhận xét. Cách 3 dùng tiên đề Euclid trong mặt phẳng $(R)$ : qua $A$ chỉ có một đường song song với $c$ . Như vậy loại được A và D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một định lí.

Đáp số. B. Qua

A

có đúng một mặt phẳng song song với

(P)

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nhớ nhầm "qua

A

có vô số đường thẳng song song với

(P)

" — đường thẳng thì vô số, mặt phẳng thì chỉ một.

🚀 Mở rộng. Hệ quả: mọi đường thẳng qua

A

song song với

(P)

đều nằm trong mặt phẳng duy nhất đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.57★★★Trang 73— Giao tuyến trong hình chóp ngũ giác và chứng minh song song

Bài 4.57 (trang 73). Cho hình chóp ngũ giác

S . A B C D E

. Giả sử

A B

song song với

D E

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A D)

và

(S B E)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S D E)

.
c) Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng

(S A E)

và

(S B C)

song song với đường thẳng

A E

. Chứng minh rằng

A E ∥ B C

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến.
Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: hai đường chéo

A D

B E

của ngũ giác lồi cắt nhau tại

I

— điểm chung thứ hai. Câu b:

A B ∥ D E

— dạng "điểm chung + phương". Câu c đi ngược lại: từ giao tuyến song song

A E

suy ra

A E ∥ (S B C)

, rồi mặt đáy chứa

A E

cắt

(S B C)

theo

B C

. Bẫy: ở câu c chứng minh vòng tròn, dùng luôn điều phải chứng minh.

1Cách 1. Điểm chung, phương và tính chất giao tuyến

Định hướng. Câu c: $A E$ song song một đường nằm trong $(S B C)$ .

I = A D \cap B E

\Rightarrow I \in (S A D) \cap (S B E)

\Rightarrow (S A D) \cap (S B E) = S I

.
b)

S \in (S A B) \cap (S D E)

A B ∥ D E

\Rightarrow (S A B) \cap (S D E) = d

qua

S

d ∥ A B ∥ D E

.
c)

Δ = (S A E) \cap (S B C)

A E ∥ Δ \subset (S B C)

A E \neq \subset (S B C)

\Rightarrow A E ∥ (S B C)

(A B C D E) \supset A E

(A B C D E) \cap (S B C) = B C

\Rightarrow A E ∥ B C

Vậy a) $S I$ với $I = A D \cap B E$ ; b) đường thẳng qua $S$ song song $A B$ ; c) $A E ∥ B C$ .

2Cách 2. Câu c bằng phản chứng

Định hướng. Giả sử $A E$ cắt $B C$ tại $J$ .

J \in A E \subset (S A E)

J \in B C \subset (S B C)

\Rightarrow (S A E) \cap (S B C) = S J

S J

đi qua

J \in A E

\Rightarrow S J

cắt

A E

hoặc trùng

A E

— mâu thuẫn với giao tuyến song song

A E

A E

B C

cùng nằm trong mặt đáy, không cắt nhau

\Rightarrow A E ∥ B C

Vậy $A E ∥ B C$ ; câu a, b như Cách 1.

3Cách 3. Câu b bằng đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. $D E ∥ A B$ nên $D E ∥ (S A B)$ .

D E ∥ A B \subset (S A B)

\Rightarrow D E ∥ (S A B)

(S D E) \supset D E

cắt

(S A B)

theo

d

\Rightarrow d ∥ D E

S \in d

.
Câu c tương tự:

A E ∥ Δ

\Rightarrow

ba mặt

(S A E)

(S B C)

(A B C D E)

cắt nhau đôi một theo

Δ

A E

B C

đôi một song song hoặc đồng quy;

Δ ∥ A E

\Rightarrow

đôi một song song

\Rightarrow A E ∥ B C

Vậy các giao tuyến và kết luận như trên.

Nhận xét. Cách 3 ở câu c dùng định lí ba giao tuyến: đã có hai giao tuyến song song thì giao tuyến thứ ba cũng song song với chúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba ý, mỗi ý đúng một tính chất quen thuộc.

Đáp số. a)

S I

, với

I = A D \cap B E

. b) Đường thẳng qua

S

song song với

A B

(và

D E

). c) Giao tuyến song song

A E

nên

A E ∥ (S B C)

; mặt đáy chứa

A E

cắt

(S B C)

theo

B C

nên

A E ∥ B C

Sai lầm thường gặp. Ở câu a nối

S

với giao điểm của

A B

và

D E

— hai đường này song song, không có giao điểm. Ở câu c viết "vì

A E ∥ B C

nên giao tuyến song song

A E

" — là chứng minh đảo chiều.

🚀 Mở rộng. Đảo lại: nếu

A E ∥ B C

thì

(S A E) \cap (S B C)

là đường qua

S

song song

A E

— câu c và câu b là hai chiều của cùng một tính chất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.58★★★Trang 73— Đường thẳng song song mặt phẳng, giao tuyến trong lăng trụ

Bài 4.58 (trang 73). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A^{'}

A B

A C

.
a) Chứng minh rằng

B C ∥ (M N P)

.
b) Xác định giao tuyến

d

của hai mặt phẳng

(M N P)

và

(A^{'} B^{'} C^{'})

.
c) Chứng minh rằng

d ∥ N P

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $(P) ∥ (Q)$ thì mọi mặt phẳng cắt $(P)$ đều cắt $(Q)$ và hai giao tuyến song song.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.
Hai đáy của lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

N

P

là trung điểm

A B

A C

nên

N P ∥ B C

— xong câu a. Câu b: kéo dài

M N

M P

(nằm trong hai mặt bên) cắt

A^{'} B^{'}

A^{'} C^{'}

để có hai điểm chung với đáy trên. Câu c: hai đáy lăng trụ song song nên

(M N P)

cắt chúng theo hai giao tuyến song song

N P

và

d

. Bẫy: nghĩ

d

phải "nằm trong" tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

1Cách 1. Kéo dài

M N

M P

Định hướng. Hai điểm chung nằm trên đường thẳng $A^{'} B^{'}$ , $A^{'} C^{'}$ .

△ A B C

N P

là đường trung bình

\Rightarrow N P ∥ B C

\Rightarrow B C ∥ (M N P)

(

B C \neq \subset (M N P)

).
b) Trong

(A B B^{'} A^{'})

E = M N \cap A^{'} B^{'}

;

△ M A N = △ M A^{'} E

\Rightarrow A^{'} E = A N = \frac{1}{2} A^{'} B^{'}

(

E

đối phía

B^{'}

qua

A^{'}

).
Trong

(A C C^{'} A^{'})

F = M P \cap A^{'} C^{'}

A^{'} F = A P = \frac{1}{2} A^{'} C^{'}

(

F

đối phía

C^{'}

qua

A^{'}

E, F \in (M N P) \cap (A^{'} B^{'} C^{'})

\Rightarrow d = E F

.
c)

(A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})

(M N P) \cap (A B C) = N P

(M N P) \cap (A^{'} B^{'} C^{'}) = d

\Rightarrow d ∥ N P

Vậy $B C ∥ (M N P)$ ; $d = E F$ với $E = M N \cap A^{'} B^{'}$ , $F = M P \cap A^{'} C^{'}$ ; $d ∥ N P$ .

2Cách 2. Một điểm chung và phương

Định hướng. $(M N P)$ chứa $N P ∥ B^{'} C^{'}$ nên giao tuyến với đáy trên song song $B^{'} C^{'}$ .

N P ∥ B C ∥ B^{'} C^{'}

\Rightarrow N P ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})

E = M N \cap A^{'} B^{'}

là một điểm chung

\Rightarrow d

qua

E

d ∥ N P

(tính chất giao tuyến).

\Rightarrow d ∥ N P

, đồng thời

d ∥ B^{'} C^{'}

Vậy $d$ là đường thẳng qua $E$ song song $B^{'} C^{'}$ và $d ∥ N P$ .

3Cách 3. Phép vị tự tâm

A^{'}

(vectơ)

Định hướng. Đặt $A B = b$ , $A C = c$ , $A A^{'} = a$ .

A^{'} E = - \frac{1}{2} b

A^{'} F = - \frac{1}{2} c

\Rightarrow E F = \frac{1}{2} (b - c)

N P = \frac{1}{2} c - \frac{1}{2} b = - E F

\Rightarrow E F ∥ N P

B C = c - b = 2 N P

\Rightarrow B C ∥ N P \subset (M N P)

Vậy $B C ∥ (M N P)$ , $d = E F ∥ N P$ .

Nhận xét. Vì $M$ là trung điểm $A A^{'}$ nên $E$ , $F$ đối xứng với $N$ , $P$ qua $M$ : thực chất $E F$ là ảnh của $N P$ qua phép đối xứng tâm $M$ . Toạ độ đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dựng rõ

E

F

rồi dùng tính chất hai đáy song song cho câu c.

Đáp số. a)

N P ∥ B C

nên

B C ∥ (M N P)

. b)

d = E F

với

E = M N \cap A^{'} B^{'}

F = M P \cap A^{'} C^{'}

(

A^{'} E = \frac{1}{2} A^{'} B^{'}

A^{'} F = \frac{1}{2} A^{'} C^{'}

, nằm ngoài đáy trên). c) Hai đáy song song nên

d ∥ N P

Sai lầm thường gặp. Tìm giao điểm của

M N

với cạnh

A^{'} B^{'}

trong đoạn — không có, giao điểm nằm trên phần kéo dài phía

A^{'}

. Kết luận

d ∥ N P

vì "

d

và

N P

không cắt nhau" — thiếu điều kiện đồng phẳng.

🚀 Mở rộng. Nếu

M

chia

A A^{'}

theo

\frac{A M}{A A ^{'}} = t

thì

\frac{A ^{'} E}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{1 - t}{2 t}

; với

t = \frac{1}{3}

giao tuyến đi qua đúng

B^{'}

C^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.59★★★Trang 73— Giao tuyến, hình thang và hai giao tuyến song song

Bài 4.59 (trang 73). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Mặt phẳng

(P)

chứa đường thẳng

A D

và cắt hai cạnh

S B

S C

lần lượt tại

E

F

.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(E A B)

và

(F C D)

.
b) Chứng minh rằng tứ giác

A E F D

là hình thang.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(E C D)

và

(F A B)

.
d) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng

(E C D)

và

(F A B)

song song với giao tuyến của hai mặt phẳng

(E A B)

và

(F C D)

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

🧠 Phân tích tư duy

(E A B)

chính là

(S A B)

(F C D)

chính là

(S C D)

— hai mặt chứa

A B ∥ C D

. Câu b:

A D ∥ B C

nên

A D ∥ (S B C)

, mặt

(P)

chứa

A D

cắt

(S B C)

theo

E F ∥ A D

. Câu c: điểm chung là giao của hai đường chéo

A F

D E

của hình thang

A E F D

, phương là

A B ∥ C D

. Bẫy: nhầm

(E C D)

là một mặt bên.

1Cách 1. Nhận ra các mặt phẳng và dùng phương

A B

Định hướng. Điểm chung + phương song song $A B$ .

(E A B) = (S A B)

(F C D) = (S C D)

A B ∥ C D

\Rightarrow

giao tuyến là

d

qua

S

d ∥ A B

.
b)

A D ∥ B C \subset (S B C)

\Rightarrow A D ∥ (S B C)

;

(P) \cap (S B C) = E F

\Rightarrow E F ∥ A D

E F < B C = A D

\Rightarrow A E F D

là hình thang (đáy

A D

E F

).
c)

I = A F \cap D E

(hai đường chéo của hình thang)

\Rightarrow I \in (F A B) \cap (E C D)

A B \subset (F A B)

C D \subset (E C D)

A B ∥ C D

\Rightarrow (E C D) \cap (F A B) = d^{'}

qua

I

d^{'} ∥ A B

.
d)

d ∥ A B

d^{'} ∥ A B

\Rightarrow d ∥ d^{'}

Vậy a) $d$ qua $S$ song song $A B$ ; b) $A E F D$ là hình thang; c) $d^{'}$ qua $I = A F \cap D E$ song song $A B$ ; d) $d ∥ d^{'}$ .

2Cách 2. Câu b bằng ba giao tuyến

Định hướng. Ba mặt $(P)$ , $(S B C)$ , $(A B C D)$ đôi một cắt nhau theo $E F$ , $B C$ , $A D$ .

A D ∥ B C

\Rightarrow E F

B C

A D

đôi một song song

\Rightarrow E F ∥ A D

E

nằm trong cạnh

S B

\Rightarrow E F = \frac{S E}{S B} \cdot B C < B C = A D

\Rightarrow A E F D

là hình thang.
Câu c, d:

d^{'}

và

d

cùng song song

A B

(như Cách 1)

\Rightarrow d ∥ d^{'}

Vậy $A E F D$ là hình thang và hai giao tuyến song song.

3Cách 3. Câu d bằng đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chứng minh $A B$ song song với cả hai giao tuyến qua $(S C D)$ và $(E C D)$ .

A B ∥ C D \subset (S C D)

\Rightarrow A B ∥ (S C D)

;

(S A B) \supset A B

cắt

(S C D)

theo

d

\Rightarrow d ∥ A B

A B ∥ C D \subset (E C D)

\Rightarrow A B ∥ (E C D)

;

(F A B) \supset A B

cắt

(E C D)

theo

d^{'}

\Rightarrow d^{'} ∥ A B

\Rightarrow d ∥ d^{'}

(

d \neq = d^{'}

vì

S \in / d^{'}

Vậy $d ∥ d^{'}$ .

Nhận xét. Cả hai giao tuyến đều song song với $A B$ và $C D$ ; chúng phân biệt vì $d^{'}$ đi qua $I$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ , còn $S \in / (P)$ . Đã kiểm bằng sympy: $E F ∥ A D$ với mọi vị trí của $E$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra

(E A B) = (S A B)

(F C D) = (S C D)

thì mọi ý đều quy về phương

A B

Đáp số. a) Đường thẳng

d

qua

S

song song

A B

. b)

E F ∥ A D

(và

E F < A D

) nên

A E F D

là hình thang. c) Đường thẳng

d^{'}

qua

I = A F \cap D E

song song

A B

. d)

d

d^{'}

cùng song song

A B

nên

d ∥ d^{'}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c tìm giao điểm của

E C

và

F A

— hai đường này có thể không đồng phẳng; phải dùng hai đường chéo

A F

D E

cùng nằm trong

(P)

. Ở câu b quên chỉ ra

E F \neq = A D

nên chưa loại trường hợp hình bình hành.

🚀 Mở rộng. Nếu

(P)

đi qua trung điểm

E

của

S B

thì

E F

là đường trung bình,

E F = \frac{1}{2} A D

và

I

chia

A F

theo tỉ số

\frac{A I}{I F} = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.60★★★Trang 73— Giao điểm và giao tuyến qua mặt phẳng phụ

Bài 4.60 (trang 73). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang (

A B ∥ C D

). Gọi

O

là một điểm nằm trong tam giác

S A D

.
a) Xác định giao điểm của đường thẳng

A O

và mặt phẳng

(S C D)

.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(S B O)

và

(S A C)

.
c) Xác định giao điểm của đường thẳng

B O

và mặt phẳng

(S A C)

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với $(P)$ : chọn mặt phẳng phụ $(Q) \supset d$ , tìm $Δ = (P) \cap (Q)$ , giao điểm là $d \cap Δ$ .
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

A O

nằm trong mặt

(S A D)

, mặt này cắt

(S C D)

theo

S D

— mặt phẳng phụ có sẵn. Câu b: kéo

S O

xuống đáy được

F = S O \cap A D

, khi đó

(S B O) = (S B F)

cắt

(S A C)

tại

S

và

G = B F \cap A C

. Câu c dùng ngay giao tuyến

S G

vừa tìm. Bẫy: nối

B

với

O

rồi tìm giao với

A C

trong đáy —

B O

không nằm trong đáy.

1Cách 1. Mặt phẳng phụ chứa đường thẳng

Định hướng. Dùng $(S A D)$ cho câu a, $(S B F)$ cho câu b, c.

A O \subset (S A D)

(S A D) \cap (S C D) = S D

;

O

trong

△ S A D

\Rightarrow A O

cắt

S D

tại

E

\Rightarrow A O \cap (S C D) = E

.
b)

F = S O \cap A D

\Rightarrow (S B O) = (S B F)

;

G = B F \cap A C

(trong đáy).

S, G \in (S B O) \cap (S A C)

\Rightarrow (S B O) \cap (S A C) = S G

.
c)

B O \subset (S B O)

(S B O) \cap (S A C) = S G

\Rightarrow B O \cap (S A C) = H = B O \cap S G

Vậy a) $E = A O \cap S D$ ; b) $S G$ với $G = B F \cap A C$ , $F = S O \cap A D$ ; c) $H = B O \cap S G$ .

2Cách 2. Câu c qua mặt phẳng phụ

(S B F)

ghi rõ trong mặt phẳng

Định hướng. Mọi điểm đều nằm trong tam giác $S B F$ .

O \in S F

\Rightarrow B

O

S

F

G

cùng nằm trong

(S B F)

.
Trong

△ S B F

B O

là đường nối đỉnh

B

với điểm trong cạnh

S F

S G

nối đỉnh

S

với điểm trong cạnh

B F

\Rightarrow B O

S G

cắt nhau tại

H

trong tam giác.

H \in S G \subset (S A C)

\Rightarrow H = B O \cap (S A C)

Vậy $H = B O \cap S G$ là giao điểm cần tìm (và $H$ nằm trong tam giác $S B F$ ).

3Cách 3. Câu a qua mặt phẳng phụ khác

Định hướng. Dùng mặt $(S A O)$ trùng $(S A D)$ hoặc kéo $A O$ qua điểm trên $S D$ theo Menelaus.

(S A O) = (S A D)

vì

O

nằm trong tam giác

S A D

; giao tuyến với

(S C D)

là

S D

.
Trong

△ S A D

: đường

A O

đi qua đỉnh

A

và điểm trong tam giác nên cắt cạnh đối diện

S D

tại

E

.
Câu b, c: mặt phẳng phụ chứa

B O

là

(S B O)

, giao tuyến

S G

như Cách 1.

Vậy các giao điểm, giao tuyến như trên.

Nhận xét. Điều kiện $A B ∥ C D$ không dùng đến trong bài này; nó chỉ bảo đảm hình đáy là hình thang để $A C$ , $B F$ cắt nhau trong đáy. Toạ độ hình vẽ đã kiểm bằng Python.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba ý nối tiếp, ý sau dùng kết quả ý trước.

Đáp số. a)

E = A O \cap S D

. b)

S G

, với

F = S O \cap A D

G = B F \cap A C

. c)

H = B O \cap S G

Sai lầm thường gặp. Ở câu b lấy điểm chung là

B O \cap A C

— hai đường này thường chéo nhau, không có giao điểm. Ở câu a tìm giao của

A O

với

C D

—

A O

không nằm trong mặt đáy.

🚀 Mở rộng. Tương tự, giao điểm của

C O

với

(S B D)

: dựng

G^{'} = C F \cap B D

, giao tuyến

(S C O) \cap (S B D) = S G^{'}

, giao điểm là

C O \cap S G^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.61★★Trang 74— Hình bình hành trong lăng trụ và giao tuyến với mặt bên

Bài 4.61 (trang 74). Cho hình lăng trụ tứ giác

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

M

N

M^{'}

N^{'}

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

C D

A^{'} B^{'}

C^{'} D^{'}

.
a) Chứng minh rằng bốn điểm

M

N

M^{'}

N^{'}

đồng phẳng và tứ giác

M N N^{'} M^{'}

là hình bình hành.
b) Giả sử

M N

không song song với

B C

. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(M N N^{'} M^{'})

và

(B C C^{'} B^{'})

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Các mặt bên của lăng trụ là hình bình hành, các cạnh bên song song và bằng nhau.
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến.
Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Mặt bên lăng trụ là hình bình hành nên đoạn nối trung điểm hai cạnh đối (

M M^{'}

N N^{'}

) song song và bằng cạnh bên — cho ngay

M M^{'} ∥ N N^{'}

M M^{'} = N N^{'}

. Câu b:

M N

B C

cùng nằm trong đáy dưới và cắt nhau tại

I

; tương tự

M^{'} N^{'} \cap B^{'} C^{'} = I^{'}

. Bẫy: quên rằng

M N N^{'} M^{'}

chứa cạnh bên song song nên giao tuyến cũng song song cạnh bên.

1Cách 1. Hai cạnh song song và bằng nhau; hai điểm chung

Định hướng. Đoạn nối trung điểm trong mỗi mặt bên song song và bằng cạnh bên.

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành,

M

M^{'}

là trung điểm

A B

A^{'} B^{'}

\Rightarrow M M^{'} ∥ A A^{'}

M M^{'} = A A^{'}

.
Tương tự

N N^{'} ∥ D D^{'}

N N^{'} = D D^{'}

;

A A^{'} ∥ D D^{'}

A A^{'} = D D^{'}

\Rightarrow M M^{'} ∥ N N^{'}

M M^{'} = N N^{'}

\Rightarrow M

N

N^{'}

M^{'}

đồng phẳng và

M N N^{'} M^{'}

là hình bình hành.
b)

I = M N \cap B C

I^{'} = M^{'} N^{'} \cap B^{'} C^{'}

\Rightarrow I, I^{'} \in (M N N^{'} M^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow (M N N^{'} M^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'}) = I I^{'}

Vậy $M N N^{'} M^{'}$ là hình bình hành và giao tuyến là $I I^{'}$ với $I = M N \cap B C$ , $I^{'} = M^{'} N^{'} \cap B^{'} C^{'}$ .

2Cách 2. Câu b bằng một điểm chung và phương cạnh bên

Định hướng. Hai mặt phẳng chứa hai đường song song $M M^{'}$ và $B B^{'}$ .

I = M N \cap B C

là điểm chung.

M M^{'} \subset (M N N^{'} M^{'})

B B^{'} \subset (B C C^{'} B^{'})

M M^{'} ∥ B B^{'}

\Rightarrow

giao tuyến qua

I

, song song

B B^{'}

.
Câu a:

M M^{'} = A A^{'} = N N^{'}

\Rightarrow M N N^{'} M^{'}

là hình bình hành.

Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $I$ song song với $B B^{'}$ (chính là $I I^{'}$ ).

3Cách 3. Phương pháp vectơ cho câu a

Định hướng. So sánh hai vectơ $M M^{'}$ , $N N^{'}$ .

M M^{'} = \frac{1}{2} (A A^{'} + B B^{'}) = A A^{'}

N N^{'} = \frac{1}{2} (C C^{'} + D D^{'}) = A A^{'}

\Rightarrow M M^{'} = N N^{'}

M \in / N N^{'}

\Rightarrow M N N^{'} M^{'}

là hình bình hành (nên đồng phẳng).

Vậy $M N N^{'} M^{'}$ là hình bình hành; câu b như Cách 1 hoặc Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không cần đáy là hình gì — bài đúng với mọi lăng trụ tứ giác. Giao tuyến $I I^{'}$ song song với cạnh bên, khớp với hình vẽ đã kiểm toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a và Cách 2 cho câu b: chỉ cần một điểm

I

và phương cạnh bên.

Đáp số. a)

M M^{'} ∥ N N^{'}

(cùng song song cạnh bên) và

M M^{'} = N N^{'}

nên

M N N^{'} M^{'}

là hình bình hành, bốn điểm đồng phẳng. b) Giao tuyến là

I I^{'}

với

I = M N \cap B C

I^{'} = M^{'} N^{'} \cap B^{'} C^{'}

(song song với cạnh bên).

Sai lầm thường gặp. Ở câu a chỉ chứng minh

M M^{'} ∥ N N^{'}

rồi kết luận hình bình hành — thiếu

M M^{'} = N N^{'}

(hoặc cặp cạnh thứ hai). Ở câu b lấy giao điểm

M N \cap B B^{'}

— hai đường này chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu

M N ∥ B C

(chẳng hạn đáy là hình bình hành) thì

(M N N^{'} M^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})

, không có giao tuyến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.62★★Trang 74— Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và hình bình hành trong hình hộp

Bài 4.62 (trang 74). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

M

N

P

Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

D D^{'}

. Chứng minh rằng bốn điểm

M

N

P

Q

đồng phẳng và

M N P Q

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hình hộp có sáu mặt là hình bình hành.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Trung điểm hai cạnh bên cùng một mặt bên (hình bình hành) cho đoạn song song và bằng cạnh đáy:

M N ∥ A B

M N = A B

;

QP ∥ D C

QP = D C

. Mà

A B

D C

song song cùng chiều và bằng nhau nên

M N

QP

cũng vậy. Bẫy: chứng minh hình bình hành trước khi chỉ ra bốn điểm đồng phẳng mà không nhận ra hai việc là một.

1Cách 1. Một cặp cạnh song song và bằng nhau

Định hướng. Đi qua hai mặt bên $A B B^{'} A^{'}$ , $D C C^{'} D^{'}$ .

A M ∥ B N

A M = B N = \frac{1}{2} A A^{'}

\Rightarrow A B N M

là hình bình hành

\Rightarrow M N ∥ A B

M N = A B

.
Tương tự

D C P Q

là hình bình hành

\Rightarrow QP ∥ D C

QP = D C

A B ∥ D C

A B = D C

\Rightarrow M N ∥ QP

M N = QP

\Rightarrow M

N

P

Q

đồng phẳng và

M N P Q

là hình bình hành.

Vậy $M N P Q$ là hình bình hành (nên bốn điểm đồng phẳng).

2Cách 2. Hai cặp cạnh đối song song

Định hướng. Ghép $M N$ với $QP$ , $N P$ với $M Q$ .

M N ∥ A B ∥ D C ∥ QP

;

N P ∥ B C ∥ A D ∥ M Q

M N ∥ QP

\Rightarrow M

N

P

Q

đồng phẳng.

M N P Q

có hai cặp cạnh đối song song

\Rightarrow

là hình bình hành.

Vậy bốn điểm đồng phẳng và $M N P Q$ là hình bình hành.

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. So sánh $M N$ với $QP$ .

M N = M A + A B + B N = - \frac{1}{2} A A^{'} + A B + \frac{1}{2} B B^{'} = A B

QP = D C = A B

\Rightarrow M N = QP

M \in / QP

\Rightarrow M N P Q

là hình bình hành.

Vậy $M N P Q$ là hình bình hành, bốn điểm đồng phẳng.

Nhận xét. Thực ra $(M N P Q)$ song song và cách đều hai đáy; $M N P Q$ là ảnh của $A B C D$ qua phép tịnh tiến theo $\frac{1}{2} A A^{'}$ . Đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một cặp cạnh song song và bằng nhau cho luôn cả đồng phẳng lẫn hình bình hành.

Đáp số.

M N ∥ A B

M N = A B

và

QP ∥ D C

QP = D C

, mà

A B ∥ D C

A B = D C

, nên

M N ∥ QP

M N = QP

: bốn điểm đồng phẳng và

M N P Q

là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

M N ∥ QP

và

N P ∥ M Q

bằng cách "nhìn hình" mà không nêu căn cứ hình bình hành

A B N M

D C P Q

; hoặc khẳng định bốn điểm đồng phẳng vì "cùng nằm giữa hai đáy".

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

M

N

P

Q

chia

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

D D^{'}

theo cùng tỉ số

t

thì

M N P Q

vẫn là hình bình hành bằng đáy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 4.63★★★Trang 74— Vận dụng — đường thẳng song song với mặt phẳng trong thực tế

Bài 4.63 (trang 74). Một người thợ đang cố gắng đặt tấm kính

A B C D

(mép

A B

không song song với

C D

) dựa vào tường sao cho mép kính

C D

song song với đường chân tường, còn mép kính

A B

nằm hoàn toàn trên tường. Sau một hồi loay hoay, người thợ vẫn không thể đặt được tấm kính như mong muốn. Hãy giải thích tại sao. Có cách nào đặt tấm kính để một mép kính song song với đường chân tường, một mép kính khác nằm hoàn toàn trên tường không?
(Sách có hình minh hoạ người thợ dựng tấm kính nghiêng dựa vào tường.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá: mặt tường

(T)

, mặt kính

(K)

, đường chân tường

ℓ \subset (T)

C D ∥ ℓ

kéo theo

C D ∥ (T)

; mặt kính chứa

C D

cắt tường theo

A B

nên

A B ∥ C D

— trái giả thiết. Câu hỏi sau: muốn làm được thì mép nằm trên tường phải song song với mép song song chân tường, tức cần hai mép đối song song. Bẫy: đổ lỗi cho "tường nghiêng" hay "sàn không phẳng".

1Cách 1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chuyển điều kiện $C D ∥ ℓ$ thành $C D ∥ (T)$ .

C D ∥ ℓ \subset (T)

C D \neq \subset (T)

\Rightarrow C D ∥ (T)

(K) \supset C D

(K) \cap (T) = A B

\Rightarrow A B ∥ C D

— mâu thuẫn với

A B

không song song

C D

.
Nếu tấm kính có hai mép đối song song, chẳng hạn

A D ∥ B C

: đặt

B C

nằm trên tường,

B C ∥ ℓ

\Rightarrow

mặt kính cắt sàn theo mép

A D ∥ B C ∥ ℓ

Vậy không thể đặt được vì khi đó buộc $A B ∥ C D$ ; có thể đặt được nếu chọn hai mép đối song song (ví dụ $B C$ trên tường, $A D$ trên sàn, cùng song song chân tường).

2Cách 2. Bắc cầu hai đường song song

Định hướng. Mép trên tường song song với chân tường.

(K) \cap (T) = A B

;

C D ∥ (T)

\Rightarrow A B ∥ C D

A B ∥ C D ∥ ℓ

\Rightarrow A B ∥ ℓ

và

A B ∥ C D

, trái giả thiết.
Vậy cặp mép (một trên tường, một song song chân tường) phải là hai mép song song với nhau.

Vậy điều mong muốn chỉ làm được với hai mép song song của tấm kính (như $A D$ và $B C$ nếu $A D ∥ B C$ ).

3Cách 3. Phản chứng theo giao điểm

Định hướng. Giả sử đặt được; xét giao điểm của đường thẳng $A B$ và $C D$ .

A B

C D

cùng nằm trong

(K)

, không song song

\Rightarrow A B \cap C D = J

J \in A B \subset (T)

\Rightarrow J \in C D \cap (T)

, mâu thuẫn

C D ∥ (T)

.
Với tấm kính hình thang

A D ∥ B C

B C \subset (T)

B C ∥ ℓ

\Rightarrow A D ∥ (T)

, đặt được.

Vậy không đặt được theo cách ban đầu; đặt được khi dùng hai mép song song.

Nhận xét. Ba cách cùng một ý: mặt kính chứa mép song song với tường thì cắt tường theo đường song song với mép đó. Muốn kính đứng vững, đặt mép $A D$ trên sàn song song chân tường, mép $B C$ tựa lên tường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hay nhất: đúng một định lí về giao tuyến, giải thích gọn và chỉ ra luôn cách đặt đúng.

Đáp số. Mép

C D

song song chân tường nên

C D ∥

mặt tường; mặt kính chứa

C D

cắt tường theo

A B

nên buộc

A B ∥ C D

, trái giả thiết — không đặt được. Có thể đặt được nếu tấm kính có hai mép đối song song (chẳng hạn

A D ∥ B C

): đặt

B C

nằm trên tường và

A D

trên sàn, cả hai song song với chân tường.

Sai lầm thường gặp. Giải thích "vì tấm kính không phải hình chữ nhật" — chưa đủ: tấm kính hình thang có hai đáy song song vẫn đặt được; mấu chốt là hai mép được chọn phải song song.

🚀 Mở rộng. Nếu tấm kính là hình bình hành thì có hai cách đặt (dùng cặp

A B

C D

hoặc cặp

A D

B C

Mở bài này trong app ↗